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Kurs Mikroökonometrie Rudolf Winter-Ebmer Thema 4: Multinomial Logit
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MULTINOMIAL LOGIT Outcome ist Kategorial aber nicht geordnet Bsp.: Jobwahl (Arbeiter, Angestellter, Beamter, Selbständig) Einfachster Zugang: Jeweils Wahl zwischen zwei Entscheidungen: • Arb. vs. Ang. • Arb. vs. Beam. • Arb. vs. Selbst. • Ang. vs. Beam. • etc.
Mögliche Formulierung durch jeweils einfaches binäres Logit, aber Info geht verloren
Kurs Mikroökonometrie Rudolf Winter-Ebmer Thema 4: Multinomial Logit
YK Outcome { }, ,A B C Bsp.: XK einzige RHS-Variable
, ,A B CN N N K Anzahl der Outcomes der einzelnen Kategorien Man verwendet A BN N+ Beobachtungen für
( )( ) 0, | 1, |
Pr |ln
Pr | A B A B
A XX
B Xβ β
⎡ ⎤= +⎢ ⎥
⎣ ⎦
Log-Odds Spezifikation
( )( ) 0, | 1, |
Pr |ln
Pr |A C A C A C
A XN N X
C Xβ β
⎡ ⎤+ ⇒ = +⎢ ⎥
⎣ ⎦
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Kurs Mikroökonometrie Rudolf Winter-Ebmer Thema 4: Multinomial Logit
( )( ) 0, | 1, |
Pr |ln
Pr |B C B C B C
B XN N X
C Xβ β
⎡ ⎤+ ⇒ = +⎢ ⎥
⎣ ⎦
Eine der drei Beziehungen ist redundant, weil
( )( )
( )( )
( )( )
Pr | Pr | Pr |ln ln ln
Pr | Pr | Pr |A X B X A XB X C X C X
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
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MULTINOMIALES LOGIT ALS WAHRSCHEINLICHKEITEN ALog-Odds: als Basis
( )( ) ( )( )
( )( )( )( )
|
|
|
Prln ln 1 0
Pr
Prln
Pr
Prln
Pr
A A
B A
C A
AX
A
BX
A
CX
A
β
β
β
⎡ ⎤= = =⎢ ⎥
⎣ ⎦⎡ ⎤
=⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤
=⎢ ⎥⎣ ⎦
( )( )
( )( )
( )( )
| | |Pr Pr PrPr Pr Pr
A A B A C AX X XA B Ce e e
A A Aβ β β+ + = + +
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Kurs Mikroökonometrie Rudolf Winter-Ebmer Thema 4: Multinomial Logit
( )
{ }
( ) ( ) ( )|
, ,
Pr 1 , Pr Pr Pr 11 r AX
r A B C
AA B C
e β
∈
= + + =∑
( ) ( ){ }
||
|
, ,
Pr PrB A
B A
r A
XX
X
r A B C
eB e Ae
ββ
β
∈
= =∑
| 0A Aβ = , (weil | 1A AXe β = )
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Kurs Mikroökonometrie Rudolf Winter-Ebmer Thema 4: Multinomial Logit
SCHÄTZUNG ( )2Pr | , , ,i i i JP y m X β β= = K ist die Wahrscheinlichkeit, dass iy m= mit
Parametervektoren 2 , , Jβ βK beobachtet wird.
( )
( )
21
21
1
, , | ,
, , | ,i m
i ji
N
J ii
XJ
J J Xm y m
j
L y X P
eL y Xe
β
β
β β
β β
=
= ==
=
=
∏
∏∏∑
K
K
Der Parametervektor gibt jeweils Abweichungen zur Basis an. Also: 3|1,kβ gibt den Einfluss der Variable auf die Entscheidung zwischen Alternative 3 und 1 an.
kX
Entscheidung zwischen 3 und 2: 3|2, 3|1, 2|1,k k kβ β β= −
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MULTINOMIALES LOGIT VS. CONDITIONAL LOGIT Multinom. Logit: Jede Variable hat unterschiedlichen Einfluss
auf Alternativen: 3|1, 2|1,k kβ β≠ Aber ist gleich kX
(Persönliche Charakteristika)
Condit. Logit: (McFadden, 1968, Transportwahl)
Variable k für jede X Alternative unterschiedlich Aber nur ein Koeffizienten-Vektor
(Choice-specific Charakteristika)
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CONDITIONAL LOGIT
( )1
Pr |im
ij
Z
i i J Z
j
ey m Ze
γ
γ
=
= =∑
MNL: ( ) 1
1
Pr | , 0i m
i j
X
i i J X
j
ey m Xe
β
ββ
=
= = =∑
Bsp. für CL: Fahrtzeit für jede Person und jedes Transportmittel unterschiedlich
Restriktion: Fahrtzeit hat gleiche Disutility bei allen Transportmitteln
Combined Model möglich
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Kurs Mikroökonometrie Rudolf Winter-Ebmer Thema 4: Multinomial Logit
PROBLEM BEI MNL Independence of irrelevant alternatives (IIA) muss gelten: Die Odds-Ratio zwischen 2 Alternativen hängt nicht von anderen Alternativen ab
0 0
i j i ji k
i ki s i s
X XXij
H H XX Xik s s
P e e eeP e e
β ββ
ββ β= =
= =∑ ∑
Manchmal nicht wünschenswert Bsp.: Zwei Alternativen: = Bus, = Rotes Auto j s
1ij
is
PP
= , 50/50 Chance
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Neue Option: = Blaues Auto t Annahme: Auto wird gewählt, ungeachtet der Farbe
. .0.5, 0.25, 0.25Bus Bl Auto R AutoP P P= = = Aber Logit würde weiterhin prognostizieren:
1ij
is
PP
=
Kompatibel mit . . 1 3Bus R Auto Bl AutoP P P= = = , aber auch problematisch
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TEST: HAUSMAN, McFADDEN (1984) Idee: Wenn ein Subset wirklich irrelevant ist, so sollten sich die Parameter nicht ändern, wenn man es weglässt
( ) ( )1 2ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆB A B A B AHM V Vβ β β β χ
−′ ⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦
ˆ ˆ,B Aβ β ML-Schätzer des restringierten/unrestringierten Modells ˆ ˆ,B AV V Kovarianz-Matrizen
0H : Beide konsistent, IIA gilt ˆBβ effizienter
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ALTERNATIVEN
Multinomial Probit; Problem: multivariate Normalverteilung, sehr zeitintensiv
Nested Logit Modell
Wahl
Bus Auto
Rot Blau