Download pdf - MULTINOMIAL LOGIT - econ.jku.at · PDF fileKurs Mikroökonometrie Rudolf Winter-Ebmer Thema 4: Multinomial Logit 1 MULTINOMIAL LOGIT Outcome ist Kategorial aber nicht geordnet Bsp.:

Kurs Mikroökonometrie Rudolf Winter-Ebmer Thema 4: Multinomial Logit

1

MULTINOMIAL LOGIT Outcome ist Kategorial aber nicht geordnet Bsp.: Jobwahl (Arbeiter, Angestellter, Beamter, Selbständig) Einfachster Zugang: Jeweils Wahl zwischen zwei Entscheidungen: • Arb. vs. Ang. • Arb. vs. Beam. • Arb. vs. Selbst. • Ang. vs. Beam. • etc.

Mögliche Formulierung durch jeweils einfaches binäres Logit, aber Info geht verloren


YK Outcome { }, ,A B C Bsp.: XK einzige RHS-Variable

, ,A B CN N N K Anzahl der Outcomes der einzelnen Kategorien Man verwendet A BN N+ Beobachtungen für

( )( ) 0, | 1, |

Pr |ln

Pr | A B A B

A XX

B Xβ β

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎣ ⎦

Log-Odds Spezifikation

( )( ) 0, | 1, |

Pr |ln

Pr |A C A C A C

A XN N X

C Xβ β

⎡ ⎤+ ⇒ = +⎢ ⎥

⎣ ⎦

2


( )( ) 0, | 1, |

Pr |ln

Pr |B C B C B C

B XN N X

C Xβ β

⎡ ⎤+ ⇒ = +⎢ ⎥

⎣ ⎦

Eine der drei Beziehungen ist redundant, weil

( )( )

( )( )

( )( )

Pr | Pr | Pr |ln ln ln

Pr | Pr | Pr |A X B X A XB X C X C X

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3


MULTINOMIALES LOGIT ALS WAHRSCHEINLICHKEITEN ALog-Odds: als Basis

( )( ) ( )( )

( )( )( )( )

|

|

|

Prln ln 1 0

Pr

Prln

Pr

Prln

Pr

A A

B A

C A

AX

A

BX

A

CX

A

β

β

β

⎡ ⎤= = =⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤

=⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

=⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( )

( )( )

( )( )

| | |Pr Pr PrPr Pr Pr

A A B A C AX X XA B Ce e e

A A Aβ β β+ + = + +

4


( )

{ }

( ) ( ) ( )|

, ,

Pr 1 , Pr Pr Pr 11 r AX

r A B C

AA B C

e β

∈

= + + =∑

( ) ( ){ }

||

|

, ,

Pr PrB A

B A

r A

XX

X

r A B C

eB e Ae

ββ

β

∈

= =∑

| 0A Aβ = , (weil | 1A AXe β = )

5


SCHÄTZUNG ( )2Pr | , , ,i i i JP y m X β β= = K ist die Wahrscheinlichkeit, dass iy m= mit

Parametervektoren 2 , , Jβ βK beobachtet wird.

( )

( )

21

21

1

, , | ,

, , | ,i m

i ji

N

J ii

XJ

J J Xm y m

j

L y X P

eL y Xe

β

β

β β

β β

=

= ==

=

=

∏

∏∏∑

K

K

Der Parametervektor gibt jeweils Abweichungen zur Basis an. Also: 3|1,kβ gibt den Einfluss der Variable auf die Entscheidung zwischen Alternative 3 und 1 an.

kX

Entscheidung zwischen 3 und 2: 3|2, 3|1, 2|1,k k kβ β β= −

6


MULTINOMIALES LOGIT VS. CONDITIONAL LOGIT Multinom. Logit: Jede Variable hat unterschiedlichen Einfluss

auf Alternativen: 3|1, 2|1,k kβ β≠ Aber ist gleich kX

(Persönliche Charakteristika)

Condit. Logit: (McFadden, 1968, Transportwahl)

Variable k für jede X Alternative unterschiedlich Aber nur ein Koeffizienten-Vektor

(Choice-specific Charakteristika)

7


CONDITIONAL LOGIT

( )1

Pr |im

ij

Z

i i J Z

j

ey m Ze

γ

γ

=

= =∑

MNL: ( ) 1

1

Pr | , 0i m

i j

X

i i J X

j

ey m Xe

β

ββ

=

= = =∑

Bsp. für CL: Fahrtzeit für jede Person und jedes Transportmittel unterschiedlich

Restriktion: Fahrtzeit hat gleiche Disutility bei allen Transportmitteln

Combined Model möglich

8


PROBLEM BEI MNL Independence of irrelevant alternatives (IIA) muss gelten: Die Odds-Ratio zwischen 2 Alternativen hängt nicht von anderen Alternativen ab

0 0

i j i ji k

i ki s i s

X XXij

H H XX Xik s s

P e e eeP e e

β ββ

ββ β= =

= =∑ ∑

Manchmal nicht wünschenswert Bsp.: Zwei Alternativen: = Bus, = Rotes Auto j s

1ij

is

PP

= , 50/50 Chance

9


Neue Option: = Blaues Auto t Annahme: Auto wird gewählt, ungeachtet der Farbe

. .0.5, 0.25, 0.25Bus Bl Auto R AutoP P P= = = Aber Logit würde weiterhin prognostizieren:

1ij

is

PP

=

Kompatibel mit . . 1 3Bus R Auto Bl AutoP P P= = = , aber auch problematisch

10


TEST: HAUSMAN, McFADDEN (1984) Idee: Wenn ein Subset wirklich irrelevant ist, so sollten sich die Parameter nicht ändern, wenn man es weglässt

( ) ( )1 2ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆB A B A B AHM V Vβ β β β χ

−′ ⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦

ˆ ˆ,B Aβ β ML-Schätzer des restringierten/unrestringierten Modells ˆ ˆ,B AV V Kovarianz-Matrizen

0H : Beide konsistent, IIA gilt ˆBβ effizienter

11


12

ALTERNATIVEN

Multinomial Probit; Problem: multivariate Normalverteilung, sehr zeitintensiv

Nested Logit Modell

Wahl

Bus Auto

Rot Blau