Muster Uebung 9, von J.Bruenecke, WQ, u.a. Aufgabe1quapp/Mma/MusterUb9.pdf · x H* oder von Kai Benning *L "Da x2 = ¨x¨ = –x für x ˛ R, da Simplify mit x ˛ R nicht funktioniert

Muster Uebung 9, von J.Bruenecke, WQ, u.a.

Aufgabe 1

Simplify@Sqrt@x^2D, x <= 0DSimplify@Sqrt@x^2D, x ³ 0D-x

x

H* oder von Kai Benning *L"Da x

2= ÈxÈ = ±x für x Î R, da Simplify mit x Î R

nicht funktioniert nutze Reformulierung mit Assumptions um

es zu ermöglichen Hohne Redukion des DefinitionsbereichsL"PrintB" x

2= ", SimplifyB x

2, Assumptions ® x ³ 0ê x £ 0FF

H* oder von Tino Schulze & Laurenz Thyen *LSimplifyB x

2, Element@x, RealsDF

H* WQ: andere Versionen waeren *LSqrt@x^2D �� Refine@ð, x > 0D &

Sqrt@x^2D �� Refine@ð, x < 0D &

x

-x

Refine@Sqrt@x^2D, Assumptions -> x < 0D-x

H* PowerExpand Hexpands all powers of products and powers implicitly

assuming positive real valuesL allein gibt das falsche Resultat *LSqrt@x^2D �� PowerExpand

x

H* etwas tricky, von der Mma-Hilfe *LSqrt@x^2D �� PowerExpand@ð, Assumptions ® TrueD &

ãä Π FloorB 1

2-Arg@xD

ΠFx

ãä Π FloorB 1

2-Arg@xD

ΠF �. Arg@xD ® Pi

-1

H* 2., graphische Loesung von Tom Quaas *L

Plot@Sqrt@x^2D, 8x, -5, 5<, AxesLabel ® 8x, y<D

-4 -2 2 4

x

1

2

3

4

5

y

H*1. von Tobias Abel *Lf := Sqrt@y^2DSolve@f == k, yD88y ® -k<, 8y ® k<<H* Aus dem Betrag von y wurde wieder +-y ;

WQ: Ist aber falsch, wenn k>0 angenommen wird,

weil dann y<0 in der ersten Loesung ! Oder umgedreht ... *L

Aufgabe 2Clear@x, y, z, fD;f@x_, y_, z_D := x^2 + 3 y^2 + 7 z^2

r1 = 1 � Sqrt@6D;r2 = -1 � Sqrt@6D;r3 = 2 � Sqrt@6D;a = 1;

b = 2;

c = -1;

H*Gradient*LGf := Grad@f@x, y, zD, 8x, y, z<DGf

H*Richtungsableitung*[email protected], r2, r3< �. x ® a �. y ® b �. z ® cDH*Alternative*LLimit@1 � h * Hf@a + h r1, b + h r2, c + h r3D - f@a, b, cDL, h ® 0D82 x, 6 y, 14 z<

-192

3

2 MusterUb9JBrueneckeUa.nb

H* Bild nach Tino Schulz *[email protected]; Sqrt@20. � 3D; Sqrt@20. � 7D;p1 = RegionPlot3D@f@x, y, zD < 20, 8x, -4.47, 4.47<, 8y, -2.58, 2.58<,

8z, -1.69, 1.69<, PlotPoints ® 30, AxesLabel ® Automatic, BoxRatios ® AutomaticDH* Eigentlich wollte ich noch den Richtungsvektor ausgehend von dem

benannten Punkt einzeichnen, hatte aber nicht mehr genügend Zeit,

das auseinanderzuklamüsern. Was wäre dafür denn die effektivste Lösung? *Lp2 = Graphics3D@

[email protected], Arrow@Tube@ 881, 2, -1<, 2 81 + 1, 2 - 1, -1 + 2<<, 0.05DD<D;Show@p1, p2D

-4-2

02

4x

-2

0

2

y

-1

0

1

z

WQ : Siehe oben : Ist aber nur eine ' Scheinloesung' da die Funktion ueber dem

3 - dimensionalen Grundgebiet Hx, y, zL schon eine

3 - dimensionale Flaeche im 4 - dimensionalen Raum Hx, y, z, fL ist -- -

Dadurch uebersteigt sie unsere Anschauung. Durch f = constant = 20,

eine ' Hoehenflaeche' auf der der Ausgangspunkt liegt, kann man versuchen,

etwas Anschauung zu retten. Darauf ist ein Vektor in Richtung r angebracht.

Aufgabe 3 a

Clear@x, y, k, a, t, Sol, MyStream1, MyPlot1D;H*Das funktioniert aus irgendeinem Grund nicht,

bevor man Mathematica neu gestartet hat. Manchmal aber doch...*LSol = DSolve@8y'@xD == k Ha - y@xDL, y@0D � 0<, y@xD, xD99y@xD ® a ã

-k x I-1 + ãk xM==

MusterUb9JBrueneckeUa.nb 3

k = 0.2

a = 2.0

MyStream1 = StreamPlot@81, k Ha - yL<, 8x, 0, 10<, 8y, 0, a<D;MyPlot1 =

Plot@8Sol@@1, 1, 2DD<, 8x, 0, 10<, PlotRange ® 80, a<, PlotStyle ® RedD;Show@MyPlot1, MyStream1D0.2

2.

0 2 4 6 8 10

0.5

1.0

1.5

2.0

Aufgabe 3 b


Clear@x, y, k, a, t, SolD;a = 2.0;

k = 0.2;

Sol = DSolve@8y'@xD � k Ha - y@xDL^2, y@0D � 0<, y@xD, xDMyStream2 = StreamPlot@81, k Ha - yL^2<, 8x, 0, 10<, 8y, 0, a<D;MyPlot2 =

Plot@Sol@@1, 1, 2DD, 8x, 0, 10<, PlotRange ® 80, a<, PlotStyle ® GreenD;Show@MyStream2, MyPlot2D::y@xD ®

2. x

2.5 + x

>>

0 2 4 6 8 10

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0


In[1]:=

H* 3 bL 2.Teil, mit dem was ich mir denke, was gemeint war *LH* WQ: Sorry fuer den Verwechsler. Alle die es gemerkt haben,

bekommen einen Zusatzpunkt *LClear@x, y, k, a, t, SolD;a = 2.0;

b = 1.5;

k = 0.2;

Sol = DSolve@8y'@xD � k Ha - y@xDL Hb - y@xDL, y@0D � 0<, y@xD, xDMyStream4 = StreamPlot@81, k Ha - yL Hb - yL<, 8x, 0, 10<, 8y, 0, a<D;Sol@@1, 1, 2DD �� Chop

MyPlot4 =

Plot@Sol@@1, 1, 2DD, 8x, 0, 10<, PlotStyle ® Black, PlotRange ® 80, a<D;Show@MyStream4, MyPlot4DSolve::ifun : Inverse functions are being used by Solve, so some

solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. �

Out[5]= ::y@xD ®

1.5 I1.33333 - I1.33333 + 4.28838 ´ 10-16 äM 2.718280.1 xM

1. - I1.33333 + 4.28838 ´ 10-16 äM 2.718280.1 x

>>

Out[7]=

1.5 H1.33333 - 1.33333 ´ 2.718280.1 xL

1. - 1.33333 ´ 2.718280.1 x

Out[9]=

0 2 4 6 8 10

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0


Show@MyPlot1, MyPlot2, MyPlot4D

0 2 4 6 8 10

0.5

1.0

1.5

2.0

WQ : hier war k etwas gross gewaehlt;

ich habe es verkleinert. Bei kleinerem k und a > 1 :

Zu Beginn ist die Reaktion 2. Ordnung schneller,

aber sie wird von der 1. Ordnung irgendwann ueberholt. Diese gleicht sich bei

grossen Zeiten schneller an den Grenzwert an. Bei b < a ist b der Grenzwert.

Aufgabe 4


Clear@x, y, zD;f@x_, y_D := x + y

H* von T.Quaas *L" Für das Integrationsgebiet ergibt sich die markierte

Fläche in der x - y - Ebene im nachfolgenden Plot: "

Show@Plot@0, 8x, 0, 4.5<, PlotRange ® 80, 8.5<, AxesLabel ® 8x, y<D,Plot@82 x, x � 3<, 8x, 1, 3<, PlotStyle ® 8Red, Blue<,Filling ® 81 ® 82<<, FillingStyle ® GrayD,

Plot@82 x, x � 3<, 8x, 0, 1<, PlotStyle ® 8Red, Blue<, PlotLegends ® 82 x, x � 3<D,Plot@82 x, x � 3<, 8x, 3, 4<, PlotStyle ® 8Red, Blue<DD

Für das Integrationsgebiet ergibt sich die markierte

Fläche in der x - y - Ebene im nachfolgenden Plot:

0 1 2 3 4

x

2

4

6

8

y

2 x

x

3

H* von Tino Schulze *L


PlotB:2 x, x

3

>, 8x, 1, 3<, PlotStyle ®

8Directive@Red, Dashed, ThickD, Directive@Green, Dashed, ThickD, None<,Filling ® 81 ® 882<, Yellow<<, GridLines ® 883, 0<, 8<<,GridLinesStyle ® Directive@Brown, Dashed, ThickD,PlotLegends ® :2 x, 1

3

x>, AxesLabel ® 8x, y<F

1.5 2.0 2.5 3.0

x

1

2

3

4

5

6

y

2 x

x

3

H*nested Integral*LIntegrate@Integrate@f@x, yD, 8y, x � 3, 2 x<D, 8x, 1, 3<DIntegrate@f@x, yD, 8x, 1, 3<, 8y, x � 3, 2 x<D845

27

845

27


Show@Plot3D@f@x, yD, 8x, 1, 3<, 8y, 1 � 3, 6<D,RegionPlot3D@z £ f@x, yD && y >= x � 3 && y <= 2 x,

8x, 1, 3<, 8y, 1 � 3, 6<, 8z, 0, 10<DD

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

2

4

6

2

4

6

8

H* Abbildung nach Tom Schilling

BoxRatios®Automatic funktioniert fuer x zu y

AspectRatio®1.43 ist fuer f verwendet *L


Show@Plot3D@f@x, yD, 8x, 1, 3<, 8y, 1 � 3, 6<, PlotRange ® 80, 9.1<, AxesLabel ® 8x, y, f<,BoxRatios ® Automatic, AspectRatio ® 1.43, MeshFunctions ® 8ð3 &<D,

RegionPlot3D@f@x, yD > z - 0.1 && y > x � 3 && y < 2 x, 8x, 1, 3<, 8y, 1 � 3, 6<,8z, 0, 9.1<, Mesh ® None, PlotStyle ® Directive@Yellow, [email protected],BoundaryStyle ® Directive@Red, ThickD, PlotPoints ® 50D

D1.0

1.52.0

2.53.0

x

2

4

6

y

0

2

4

6

8

f

Aufgabe 4b

x und y sind in der Funktion vertauschbar. Deshalb können

auch die Integrationsgrenzen einfach vertauscht werden. D. h. man

kann auch x von y � 3 bis 2 y und y von 1 bis 3 integrieren.Kommentar WQ : Man kann sozusagen das unsymmetrische Integrationsgebiet

unter der symmetrischen Funktion spiegeln. Formal sieht das wie eine

Vertauschung der Grenzen aus.

H* von T.Quaas *LStyle@"Zum Test: ", Blue, 15DZum Test:


à1

3

ày�32 yHx + yL âx ây == à

1

3

àx�32 xHx + yL ây âx

True

b) Die formale Antwort von Kai Benning ist natuerlich richtig:

"Für die Integration in umgekehrter

Reihenfolge ist die untere Integrationsgrenze

xu = 1 für y £ 2 und xu =Hy - 1L

2

für 2 £ y £ 6

und die obere Integrationsgrenze

xo = 3*y für y £ 1 und xo = 3 für 1 £ y £ 6"


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Muster Uebung 9, von J.Bruenecke, WQ, u.a. Aufgabe1quapp/Mma/MusterUb9.pdf · x H* oder von Kai Benning *L "Da x2 = ¨x¨ = –x für x ˛ R, da Simplify mit x ˛ R nicht funktioniert