Vol. XIII, 1962 151

N a d ~ b a r s c h a I t s f i l f e r u n d V e r b a n d s h a l b g r u p p e n

tterrn REn~OLD BAm~ zum 60. Geburtstag am 22. Juli 1962

Yon

G ~ PICKERT

Unte r einem Nachbarscha/tsfdter (oder auch: einer uniformen St ruktur) fiir eine nichtleere Menge R versteht m a n einen Filter ~ im cartesischen Produk t R • R (---- {(x, y) ;x , y e R)) mit den folgenden Eigenschaftenl) :

Wenn 2' e ~, so A C 2";

wenn 2" e ~, so F - l e ~;

zu jedem 2" e ~ gibt es F ' e ~ mit 2" o 2" C 2".

Dabei ist /t = ((x, x); x e R} die Diagonale yon R, 2"-1 = {(x, y); (y, x) e 2"} die zu 2' konverse Menge und 2" o F " ---- {(x, z) ; es gibt y mit (x, y) e 2", (y, z) e 2""} das iibliche Rela t ionenprodukt yon 2", 2"".

H a t man auf R einen Abstand 2) d definiert, d. h. eine Abbildung yon R • _R in die Menge der nichtnegat iven reellen Zahlen (unter Einschlu8 der uneigentlichen Zahl r fiir die x ~ ~ , x + ~ = ~ = ~ + x gilt) mit den Eigenschaften

d (x, x) = 0,

d (x, y) = d(y, x),

d(x, z) <= d(x, y) + d(y, z)

(f'fir aile x, y, z �9 R), so ist bekanntl ich die Menge der 3)

K r = { ( x , y ) ; d ( x , y ) ~ r ) mit r > 0

Fflterbasis eines Kachbarschaftsfil ters. Umgekehr t kann man jeden Nachbarschafts- filter durch eine gewisse Menge yon solchen Abst~nden gewinnen2). I m folgenden soU nun gezeigt werden, dal3 man jeden Nachbarschaftsfi l ter in der oben angegebenen Weise mittels eines einzigen, allerdings unsymmetr ischen Abstandes beschreiben kann, sobald man die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen durch eine (ohne Ver-

1) Siehe z. B. N. BOVR~d~I, l~16ments de Math6matique, Topologie g6n6rale, Ch. I I (Paris 1961), w 1.

2) Siehe z. B. N. BOVRBAXI, ]~16ments de Math6matique, Topologie g6n6rale, Ch. IX (Paris 1948), w 1.

3) Der auch bei der sp~iteren Verallgemeinerung beibehaltene Buchstabe K soll an ,,Kugel" erinnem: K r n {(x, y); y e R} ist ja -- mit d als dem Abstand im dreidimensionalen euklidischen Raum -- die Kugel um x mit Radius r.

152 G. PICKERT ARCH. MATH,

wenden der reellen Zahlen gebildete) Verbandshalbgruppe mit gewissen Eigenschaften und die Menge der positiven reellen Zahlen durch eine geei~cmete Untermenge dieser Verbandshalbgruppe ersetzt. Dabei ist unter einer Verbandshalbgruppe eine Menge mit einer iiberall definierten assoziativen Verkniipfung --~ und einer Ordnungsrela- tion 4) zu verstehen, wobei die Menge beztigTich der Ordnun~relat ion ein Verband ist und mit ~) als Bildung der oberen Grenze im Verband die Rechenregeln

+ ( ~ u ~ ' ) = ( ~ + ~ ) w ( ~ + ~ ' ) , ( ~ u ~ ' ) + ~ = ( ~ + ~ ) u ( ~ ' + ~ )

gelten a). Es zeigt sich nun, daft die hierzu nStigen Herleitungen die besondere Gestalt R • R

der dem Filter ~ zugvunde liegenden Menge nicht wesentlich benutzen. Daher werden die Beweise gleich f'tir Filter in einer beliebigen nichtleeren Menge M durchgefiihrt; um den Nachbarschaftsfilterbegriff verallgemeinern zu kSnnen, miissen dabei natiir- lich in M eine Teilmenge D (als Ersatz f'fir die Diagonale), eine (nicht notwendig fiber- all definierte) Verknfipfung o (als Ersatz f'tir ((x, y), (y, z)) --> (x, z)) und eine umkehr- bare Abbildung yon M auf sich (als Ersatz ffir (x, y) --> (y, x)) gegeben sein, die noch gewisse Bedingungen zu erffiilen haben.

Satz 1. Jeder Filter ~ in der Menge M besitzt eine Darstellung

(1) ~ = {K~; aeM0}

mit

(2) K~ --~ {z; d(x) ~_ ~},

wobei Ivl ein vollstSndiger distributiver Verband beziiglich der Ordnungsrelation ~=, Mo ein Ideal im Verband hi, das (beziiglich ~ ) diezelbe obere Grenze wie M0 besitzt, und d eine Abbildung yon M in Ivl mit der /olgenden Eigenscha/t ist :

(3) Z u jedem :r e IVlo gibt es x e M mit d (x) <= :r

Umgekehrt ist (1) eine Filterbasis in M, sobald nu t die Relation ~ in M transitiv, h4o (C M) dUTCh ~ nach unten gerichtet und d eine Abbildung von M in Ivt mit (3) ist.

Beweis . Sei ~ ein Filter in M. Fiir M nimmt man dann die Menge derjenigen Teil- mengen ~ yon ~, welche die Bedingung erffillen 6):

(4) W e n n F ' D = F e : r so F ' � 9

In M wird :r G fl durch a ~ fl definiert. Offenbar gilt ~,J :r ('~ cr �9 M ffir jede Teil- : teA aeA

menge A C M, so daft M vollst~ndiger distributiver Verband beziiglich ~ ist. Man

4) D.h. eine reflexive transitive Relation ~ mit der Eigensehaft: wenn ~ ~ fl, fl ~_ ~, so cr ---- ft. 5) Im Gegensatz zur iiblichen Definition (siehe z. B. G. B ~ O F F , Lattice Theory, 2. Aufi.

New York 1948, S. 201) wird also hier nicht die Existenz eines neutralen Elementes der Ver- kniipfung -t- gefordert.

s) Diese Bedingung wird nur deshalb gefordert, um in Satz 2 die Beziehung (10) beweisen zu k6nnen. Fiir den Beweis von Satz 1 aUein kSnnte man einfacher f'tir h4 die Potenzmenge yon nehmen.

Vol. XIII, 1962 Nachbarschahsfiher und Verbandshalbgruppen 153

setzt nun mi t der Abkiirzung F~ = ( ~ F

(5) M0 = { ~ ; ~ e M, F ~ e ~} .

Wegen F~D= F~, falls fi ~ ~, und F ~ u ~ = F~ (~F~ gilt: Wenn fl ~ ~ �9 M0 und fl e M, so fi �9 M0; werm ~r • �9 M0, so ~ w ~ �9 Mo. D a c~ ~) fl die obere Grenze yon {cr r} im Verband M (beziiglich ~ !) ist, handel t es sich also bei M0 um ein Ideal in M. I )urch

(6) d(x) = {F ; x e F e ~ }

wird nun offenbar eine Abbi ldung d yon M in M definiert. Zufolge (2) und der De- finition yon ~ bedeute t x �9 K= dasselbe wie ~ C d(x), also x e F fiir alle F �9 ~. Das b e s a ~ aber gerade x �9 Fa , so dab

(7) K~ ---- F ~ ( = ( ~ F ) FE~

gilt . Wegen (5) gehSrt also K~ fiir ~ e M0 zu ~, ist insbesondere daher nicht !eer, ~o dab (3) gilt. Setzt m a n r162 = {F ' ; F C F ' } (fiir F �9 ~), so wird naeh (7) F ---- Ka. Dami t ist (1) bewiesen. Ferner ergibt sich daraus, dal] �9 fl e M m i t ~ ~ fl fiir aile

�9 Mo die sgmtlichen F e ~ enthal ten, also gleich der oberen Grenze (bezi~glich ~ ) yon M sein muB. Zum Beweis der U m k e h r u n g b rauch t m a n nur zu beachten, dab wegen (2), (3)

K~ ~ 0 fiir ~ �9 M0 gilt und dab es zu ~, fl ~ Mo ein Y �9 M0 mi t Y --~ ~, fl gibt, ffir das dann wegen (2) und der Trans i t iv i t~ t yon ~ die Beziehung K~ C K= n K s gilt.

Es sei nun in M eine nicht notwendig iiberall definierte bingre Verknfipfung o (d. h. eine Abbi ldung aus M • M in M) gegeben, die im folgenden Sinn assoziat iv ist: Falls einer der Te rme x o (y o z), (z o y )o z existiert , existierb aueh der andere und es gilt x o (y o z) ---- (x o y) o z. Durch die Definit ion

(8) X o Y = {z; es gibt z e X , y e Y m i t z = x o y }

~ d o auf die Potenzmenge ~ (M) yon M i iber t ragen und ist dor t iiberall definiert. Insbesondere ha t man

{x} o {y} = { {x o0 y} ' sonst.falls x o y existiert ,

I n ~ (M) ist o assoziativ, u �9 X o ( Y o Z) besagt nach (8) ngmlich die Exis tenz yon x � 9 y � 9 z � 9 mi t u ---- x o (yoz) , und daraus folgt u = (xo y) oz �9 ( X o Y ) o Z ; dami t ha t m a n

Xo(YoZ) C(XoY)oZ, und genauso beweist sich

(Xo Y) oZ =CXo (YoZ).

Satz 2. I n M ( ~. (~) seien gegeben eine nicht notwendig iAberall definierte assoziative Verkni~p/ung o und eine Teilmenge D, die z~e jedem x �9 M Elemente y, z mit x o y = x = z o x enthtilt. Jeder Filter ~ in M mit

(9) D C F ]iiralle F e E

154 G. PICKS~T ARCH. MATH.

besitzt dann eine DarsteUung (1), wobei ha eine (als Verband) voUsffindige distributive Verbandshalbgruppe mit ~ als Ordnungsrelation und der Halbgruppenverkniip]ung -- ist, die Beziehung

(10) r162 <=o~-- fl ]iir alle ~r

gilt, Mo ein Ideal ira Verband Mis t und die in tier Definition (2) vorkomraende Ab- bildung d yon M in M die/olgenden Eigenscha/ten besitzt:

(11) w e n n x e D , so d ( x ) < a /iiralle ~ e M ;

(12) wenn z = x o y , so d (z )~d(x ) - -pd(y ) ;

]erner gilt die Umkehrung yon (11), also

(11') w e n n d ( x ) ~ ]iiralle ~ e M , so x e D

genau dann, wenn (9) verschtir/t wird zu

(9 ' ) OF = D . Fe~

Umgekehrt ist (i) eine Filterba~is in M ( • O) mit (9), sobald nur die Relation ~ in M transitiv, h4o(Ch4) durch ~ nach unten geriehtet und d eine Abbildung yon M in h~ mit (11) bei Beschr~inkung au] die ~ e hao ist.

B e w e i s . Sei ~ ein Fi l ter in M mi t (9). Man definiert M, ha0, ~ , d wie beim Be- weis yon Satz 1, so dsB h4 vollst~ndiger dis t r ibut iver Verband (beztiglich ~ ) und M0 ein Ideal dar in ist. Ferner setzt man fiir a, fl �9 M:

(13) ~ + fl---- {F ; . e s ~ b t X e ~ , Y e f l mi t F D _ X o Y } .

+ fl lieg~ wieder in ha; denn aus X, Y e ~ folgt X o Y e ~. Das beweist man so : iYach der Voraussetzung tiber D ist X C X o D; wegen (9) zteht Y e ~ daher X o Y D__ X o D =D X naeh sieh, so dal3 wegen X e ~ und der Fi l tereigenschaft von aueh X o Y in ~ liegt. Nach (13) bes teh t nun (cr q- fl) -~ 7 genau aus denjenigen F, zu denen es F ' e ~ + fl, Z e 7 mi t F D F' o Z gibt, und F ' e ~ - - fl besagt die Exi- stenz yon X e a, Y e fl mi t F ' D__ X o Y. Das zieht dann F _D'(X o Y) o Z naeh sich; aber umgekehr t folgt daraus mi t F ' = X o Y wieder F D__ F ' o Z, F ' e a -P ft. Dahe r ist

( ~ + f l ) + y - - - - - { F ; e s g i b t X e ~ , Y e f l , Z e 7 mi t FD__(XoY) oZ} .

Nach demselben Verfahren beweist man

+ (fl + 7) = {F; es gibt Xeo~, Ye f l , Z e 7 mit F~ X o ( Y o Z ) } .

Die Assoziat ivi tgt yon o in ~ (M) zieht daher die Assoziativit i i t yon + in ha nach sich. U m ha je tz t als Verbandsha lbgruppe nachzuweisen, ist nur noch

(t4) r162 ( f l u f l ' )= (o~ + fl)u(~c + fl '), ( f lu f l ' ) Q-=---- ( f l - i -~)~J(f l ' 4-cr

herzuleiten. ~ 'ach (13) besteht ~r ~- (fl w fl') aus denjenigen F, zu denen es X, Y mi t F D _ X o Y u n d X � 9 1 6 2 1 6 2 und Y e f l oder Y e f l ' ~ b t , w~hrend ( x + f l ) w ( ~ - f l ' ) genau diejenigen F enth~it , zu denen es X, Y gibt mi t F D_ X o Y und X e ~r Y e fl

Vol. XIII, 1962 Nachbarschaftsfilter und Verbandshalbgruppen 155

oder X �9 ~, Y �9 fl'. Da beide Aussagen dasselbe besagen, ist damit die erste H~lfte yon (14) bewiesen, und die zweite H~ffte beweist sich genauso.

Nach Voraussetzung fiber D /st nicht nur X C X o D, sondern auch Y ~ D o Y. Aus F �9 a ~- fl folgt wegen (13) und (9) daher F D__ X, Y (ffir gewisse X �9 ~, Y �9 r) und naeh (4) daher F �9 r ft. Daraus ergibt sich ~, fl ~ :c + r , also (10).

Aus (9) und (6) folgt d(x) = "~ ftir all�9 x �9 D trod daher (11). Wird (9') voraus- gesetzt und ist d(x) ~ ffir all�9 ~ e M , so folgt mit cc = { F ' ; F C F ' } , dal3 x e F fiir alle F �9 ~ und damit x �9 D gilt. Ha t man umgekehrt (11') und x e F ffir aUe F e ~, so ist d (x) <: :c ffir all�9 :c e M0, naeh Satz 1 also aueh ffir all�9 :c �9 M und daher x e D. Zusammen mit (9) ergibt das dann (9').

Wenn F�9 d(y), so gibt es naeh (6), (13) X, Y e ~ re_it x e X , y e Y , F ~ X o Y , und ffir z = x o y ist daher z � 9 also F e d ( z ) . Daraus e r ~ b t s i c h d(x) "-b d(y) C d(z), also (12).

Die letzte Behauptung yon Satz 2 fo l~ aus der letzten Behauptung yon Satz 1 und daraus, dal~ (11), (2) D C K~ f'tir all�9 :c E M0 nach sich ziehen, worin insbesondere (3) enthalten ist.

Zusatz 1. Die beim Beweis yon Satz 2 gebildete Verbandshalbgruppe M er/iillt genau dann die Bedingung

(15) Zujedem ~eMo gibtes fleM0 mit f l - - fl ~:c,

wenn /iir den Filter ~ gilt:

(16) Zujedem F e ~ gibtes F ' e ~ mit F'oF'C=F..

Auch schon dann, wenn ~ in M lediglich transitiv, M0(__CM) durch ~ nach unten ge- richtet, eine in M iiberaU erlddrte Verkniip/ung -'b die Bedingung

(17) wenn ~ f l , so c c + 7 ~ f l + ~ / , 7 + : c ~ y + f l

und die Abbildung d von M in M die Bedingung (12) er/iillt, /olgt aus (15) die Eigen- scha]t (16) der Filterbasis (1).

Beweis . Seien die zuletzt genannten Voraussetzungen fiber M, M0, <:, + , d sowie (15) erfiiUt. Aus (17) und der Transitivit~t yon ~ folgt bekanntlich:

(18) Wenn :r 7 ~ 5 , so ~ + 7 ~ f l + 5 .

Aus x, y e K s ergibt sieh daher nach (2) d (x) + d (y) ~ fl + ft. Ist fl zu x e M0 wie in (15) bestimmt und z ~ - x o y e K~o K s, so fo l~ aus (12) daher d(z) ~_ ~, also z e K~. Damit ist K s o K s C K~ bewiesen, so dal3 (16) fiir die Filterbasis (1) gilt. Da bekanntlich (17) aus (14) folgt, hat man zugleich auch fiir die im Beweis yon Satz 2 gebildete Verbandshalbgruppe M (16) aus (15) hergeleitet. Wird umgekehrt (16) fiir den Filter ~ vorausgesetzt, so ~ b t es zu jedem :r �9 M0 ein F ' �9 ~ mit F'o F ' C K~, und nach (7) hat man K s = F ' f f i r fl-----{F;F'=CF}. Aus F � 9 folg~ nach (7) F ~ K~: also F D__ K so K s mit K s �9 naeh (13) also F ef t -[- ft. Damit ist aber fl ~- fl ~_ ~ hergeleitet.

156 G. PICKERT ARCH. MATH.

Zusatz 2. Besitzt M einen Antiautomorphismus x ---> ~ bezi~glich o 7) und gilt/iir die Cbertragung dieser Abbildung au/ ?~ (~ (M) ) durch die Definitionen

F = { ~ ; x e F } , ~ = { P ; F e ~ } die Gleichung

(19) ~ = ~ ,

so ist :~ ---> & ein Verbandsautomorphizmus und zugleich Halbgruppenantiautomorphis. mus der im Beweis yon Satz 2 gebildeten Verbandahalbgrutrpe Ivt, der h4o au/ sich abbildet, und es gilt

(20) d (x) = d (x) /i~r alle x ~ M .

W ird andererseits nur vorausgesetzt, daft ~ in M transitiv, Mo ( C M) durch ~ nach unten gerichtet, ~---> ~ ein Automorphismus yon M beziiglich <: s), der Mo au/ sieh abbildet, und d eine Abbildung yon M in M mit (3), (20) ist, so gilt (19)/ / /r die Filterbasis (1).

B e w e i s . Es sei (19) erfiillt. Dann ist offenbar F -+ :P eine um~ehrbare Abbi ldung yon ~ auf sich und daher a -~ ~ eine solche yon M auf sieh, die nach der Definit ion yon ~ Verbandsautomorphismus ist. Nach (13) gilt

~ - - f l = ( ~ ; e s g i b t Xecc, Y e f l mit FD=XoY} .

Nun ist F __D X o Y gleiehbedeutend mit F D__ X o Y, und man ha t X o Y = Y o X. Also gilt

a + f l = ( F ; e s g i b t Z e ~ , Y e f l mit FD=YoX}

mud daher ~ + ~ = ~ + ~ .

Wegen F a = F ; und (19) ist nach (5) ~ e M0 gleichbedeutend mit ~ e M0. Daher bildet a -> ~ das Ideal kl0 auf sich ab.

,Nach (6) und (19) ist feraer

d (~) = {_~; �9 e F e i~} = {_Z; ~ e ~ e ~ } = d(~) .

Sind umgekehr t nur die im zweiten Tell des Zusatzes genannten Voraussetzungen erfiiUt, so e r ~ b t sich nach (2)

~ a = {~; d (z) _-- a} = (~; d (x) ~ ~} (wegen der Automorphismuseigensehaft yon ~ -+ ~)

= {x; d (x) _~ ~} wegen (20),

also ~ a = K~,und daraus folgt (19) wegen (1).

7) D.h. x --~ ~ ist umkehrbare Abbfldung yon M auf sich, und wenn einer der Terme x o y, o ~ existiert, so existiert auch der andere und es ist x o y = y o x. 8) D.h. r ~ fl genau dann, wenn E ~ ft. Es wird jetzt abet nicht mehr angenommen, dal3

in der oben angegebenen %Veise dutch x -+ x bestimmt ist, wie ja auch M nicht mehr Teilmenge yon ~ (~) zu sein braucht.

Vol. XIII, 1962 Nachbarschaftsfilter und Verbandshalbgruppen 157

Man karm in Satz 2 auch erreichen, dab h4 eine Verbandshalb~uppe bezgl. ~ wird, d. h. es gelten start (14) die Rechenregeln

(14') ~ + (~ n ~') = (~ + ~) c~ (= + / ~ ' ) , (~ n ~') + ~ = (~ + ~) n (/~' + =).

Man nimmt dazu fiir h4 den Verband der Dualideale des Mengenverbandes ~, d. h. man erg~nzt (4) noch dutch die Ford�9 (4') Wenn F ,F '~cr so F { % F ' ~ .

Bekannt.lich~) ist die so definierte Menge M ein vollst~ndiger distributiver Verband bezgl. __c und daher auch bezgl. ~ . Die obere Grenze (bezgl. ~ ) einer Teilmenge A yon M ist der mengen- theoretische Durchschnitt N cr doch ist die untere Grenze yon {~, ~} im allgemeinen verschieden

~EA

yon der mengentheoretischen Vereinigung = • fl, n~imlich gleieh {F n F ' ; F �9 ~, F ' �9 fl}, wofiir im folgenden die Abkiirzung (~, fl) verwandt sei. M0 wird wieder dutch (5) erkl~rt, und wegen

F=~,~ = F<=.~>

ist Mo Dualidea! in M (bezgl. ~) . Die fibrigen Herleitungen yon Satz 1 bleiben unge~ndert, da d(x) und ~ F ' ; F ~ F ' } fiir cc eingesetzt auch (4') effiillen. (4') gilt nach (13) fftir = -S, fl, wenn es yon ~, fl erfiillt wird; dean F ~ X o Y, F ' D_. X ' o Y' mit X , X" �9 ~, Y, Y" �9 fl zieht

F n F ' ~ ( X n X ' ) o ( Y n Y')

nach sich. Auger der Herleitung yon (14) bleibt alles Ubrige giiltig. Zum Beweis yon (14') wird / ' � 9 q- (flc~/~') nach (13) umgeformt zu:

(21) Es gibt X e ~ , Yefl , fl' mit F ~ X o Y .

Andererseits be~gt F �9 (co q-/~) n (:~ +/~'):

(22) E s ~ b t X , X ' ea , Y e fl, Y ' e fl" mit F g X o Y, X" o Y'.

Mit X = X', Y = Y' ergibt sich offenbar (22) aus (21). Andererseits ist

(X o Y) u (X' o Y') ~ (X n X') o (Y u Y'),

so dal3 wegen Xc~ X ' � 9 =, Y ~ Y ' e fl,/~' umgekehrt aus (22) wieder (21) folgt. Damit ist die erste H~lfte yon (14') bewiesen, und die zweite H~ilfte ergibt sich genauso. In (14) miiBte es jetz% natiirlich

heigen. Die im Anschlul~ an Satz 3 angeFuhrten Gegenbeispiele zeigen, dal~ diese Rechenregeln ebensowenig immer gelten wie bei der Bestimmung yon h4 im Beweis yon Satz 2 die Rechenregeln (14).

N i m m t m a n f'fir M insbesondere da~ m i t einer n icht leeren Menge R gebi lde te car tes ische P r o d u k t R • R, ffir D die Diagonale A, wird (x, y) o (y', z) genau dann

erkl~irt, und zwar ~ls (x, z), wenn y = y ' ist , und wi rd schlieBlich (x, y) = (y, x) ge- setzt , so gi l t X = X-~ (fiir X C / ~ • R), X o Y h a t f i ir X, Y C R • R gerade die i ibl iche Bedeu tung des Re la t i onenproduk te s und die Bed ingungen (9), (16), (19) kennze ichnen ~ ~ls Nachbarschaf t s f i l t e r f'ur R. Aus Satz 2 und seinen Zus~tzen,

deren Vorausse tzungen j e t z t durch d ieVerkn i ip fung o und die Abb i ldung (x, y) --> (x, y) erf i i l l t werden, erh$1t m a n u n m i t t e l b a r

9) Siehe z . B . H . Hm~tgs, Einfiihrung in die Verbandstheorie (Berlin-G6ttingen-Heidelberg 1955), S. 62.

] 5S G. PICKER1" ARCm MATH.

Sa/z 3. Jeder Nachbarscha]tsfilter /fir R ldflt sich darstellen aIs

{Ks; ~, �9 ~ } mit K~ = {(x, y); d (x, y) < ~}. Dabei ist d Abbildung yon R • R in eine (als Verband) volh't?indige distributive Ver- bandshalbgruppe M mit der Ordnungsrelation ~ und der HalbgruppenverIcni~p[ung -~, b/to �9 Ideal im Verband M; es ist ]erner o~ --~ ~ ein involutorischer Verband.sautomor- phismus sowie Halbgruppenantiautomorphismus yon M, der IVto au/ sich abbildet, und es gelten die Beziehungen:

~r fl ~ cc -~ fl /iir alle ~, fl e M ;

zu jedem o~ �9 Mo gibt es fl �9 M0 mit fl -~ fl ~ o~ ,"

d (x, x) ist/i~r jedes x �9 R das kleinste Element o yon M (bezi~glich ~_) ;

~ ) ----- d (y, x) ]iir all�9 x, y �9 R ;

d(x ,z ) ~ d ( x , y ) + d ( y , z ) ]iir alle x ,y , z e R .

Ferner ist die durch den Nachbarscha/tsfilter in R erzeugte Topologie genau dann haus- dor~sch, wenn im Fall x =- y stets d (x, y ) . o gilt.

Ist umgekehrt M eine Menge mit der transitiven Relation ~ und der i~berall definierten, beziiglich ~ monotonen 1~ Verkni~p/ung ~ , Mo eine durch ~ nach unten gerichtete Teil- menge yon hA, d eine Abbildung yon R • R in hA, sehliefllich ~ ->~ �9 Automorphismws yon hA bezi~glich ~ , der lVlo au/ sich abbildet, und gelten die vier letzten der oben an- gegebenen Bedingungen, so bilden die

K a = {(x, y); d(x, y) ~ } (~ �9 M0)

die Basis eines Nachbarscha]tsfdters /iir R.

Statt dabei das Kriterium fiir die Giiltigkeit des Hausdorffschen Trennungsaxioms auf das bekannte Kriterium N F = ~ fiir den Nachbarschaftsfilter ~ zuriickzufiihren, kann man es auch

Fe~ direkt beweisen, genau wie bei den metrischen R~umen. Is t n~imlich d(x, y ) . o, so muB, da o nach Satz 1 auch die untere Grenze (bezgl. __) yon M0 ist, ein a e bAo vorhanden sein, l~tir das d(x, y) ~ c~ falseh ist. Bestimmt man zu diesem cr �9 f i e h4o mit fl ~ fl _~ u, so kann es keinen Punkt z mit d(x, y) ~ fl, d(y, z) ~ ~ geben, weft fiir einen solchen

d (z, y) < d(x, z) + d (z, y) _~ ~ + ~ _~

sein wiirde. Gibt es umgekehrt eine Umgebung yon x, die den Punkt y nicht enth~lt, so muB es ein e Mo so geben, dab d(x, y) ~ o~ nicht gilt; also ist d(x, y) ~ o. Damit hat man zugleich die be-

kannte Tatsache erneut bewiesen, dab in uniformen R~umen das Hausdorffsche Trennungsaxiom bereits aus dem Trennungsaxiom To folgt.

~iit R als Menge der ganzen ZaMen ~1) soll nun am Beispiel des durch die

{(x,y); I x - - y ] < r } , 0 < f e b

erzeagten Nachbarschaftsfilters ~ gezeigt werden, dab bei der im Beweis yon Satz 2 konstruierten Verbandshalbgruppe (14') nicht zu gelten braucht, w~hrend andererseits bei der auf S. 157 be- schriebenen VerbandshalbgTuppe mit (14') die Rechenregeln (14) (mit der dort angegebenen Er- setzung fiir w) verletzt sein kSnnen. Um das erste zu zeigen, setzt man

10) D. h. es grit (17). 11) Es kSrmte start dessen auch jede (linear) geordnete, additiv geschriebene Gruppe und start 1

dann irgendein Gruploenelement ~ 0 genommen werden.

Vol. XIII , 1962 Nachbarschahsfilter und Verbandshalbgruppen 159

= {(~, y ) ; l ~ - yl < 2}, F" = {(x,y); I x - - y[ < 1 oder I x - - y] > 5},

und hat (0,3) e F o F n F ' o F ' , ( 0 , 3 ) ~ F o F ' , F ' o F .

W~hlt man nun ~ = { x ; F c x } , ~ ' = { X ; F ' c x } , ~ = ~ u ~ ' ,

so gilt F" o F u F o F " e ( ~ ~, f l)~(cc + fl').

Ferner ist naeh dem fiber (0,3) Festgestel]ten weder F o F noch F ' o F ' Teilmenge yon . F ' o F u F o F ' , und aus X e a , : Y ~ f l n f l ' fo l~ X o Y D _ : F o F oder aber X o Y ~ = F ' o F ". Daher gehSrt F ' o F • F o F ' nicht zu u + ( f ln fl'), und somit gilt (14) nieht.

:Fiir das zweite Gegenbeispiel w~thlt man F wie eben und setzt

~ ' = {(~, y); Ix - yl < 1 oder Ix -- Yl > 3}, so dab

(O,3) e F o F V 3 F o F ' , ( 0 , 3 ) ~ F o ( F n F ' ) grit. Mit

~=~={X;Fcx} , ~' = { X ; F ' c X } e r~b t sich

To (F~ F') ~ ~ + <~, ~'>,

w~ihrend na~h dem fiber (0,3) FestgesteHten _~ o F ~ F o F' nicht Teilmenge yon F o (F ~ F') ist. Aus X , X" e ~, Y e fl, Y" ~ fl" folgt nun

X o Y r 3 X ' o Y ' ~ - F o F f 3 F o F ' ,

so dab F o (F (3 F ' ) nicht Element von <:c -- r , a q- fl ') sein kann. Also ist

~- <~,~'>, <~ + ~,~ + ~'>, was zu zeigen war.

Eingegangen am 29. 1. 1962

Anschrift des Autors:

Giinter Pickert Mathematisches. Insti tut der Universit~t Tfibingen