Neue Begründung der Theorie der „Distributionen” von L. Schwartz

Neue Begrundung der Theorie der ,,Distributionen" von L. Schwartz")

Von HEINZ XONIG in Kiel

(Eingegangen am 9. 8.1952)

Inhalt Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

$ 1. Klassen von fast uberall gleichen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 131

139 . . . . . . . . . . . . 142

$2. Weitere Siitze iiber integrable Klassen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 $ 3. Die Konstruktion des Erweiterungsbereiches . . . . . . . . . . . . . . . . 85. Die wichtigsten Eigenschaften des Erweiterungsbereiches . . . . . . . . . . 144 3 4. Vergleich mit den Distributionen von L. Schwartz

Einleitung I n seiner Theorie der ,,&stributionen" gelang es L. SCHWARTZ[1I1), gewisse

Schwierigkeiten der klassischen Analysis, die mit dem Begriff der Differentiation zusammenhangen, weitgehend auszuschalten. Bekanntlich sind die Eigen- schaften des Differentiationsprozesses nicht so einfach, wie es wunschenswert wiire : Erstens sind nur verhiiltnismafiig ,,wenige" Funktionen ableitbar, und zwar braucht nicht einmal die Grenzfunktion einer gleichmaoig konvergenten Folge differenzierbarer Funktionen differenzierbar zu sein. Zweitens ist im Falle einer differenzierbaren Grenzfunktion die Differentiation nicht notwendig mit dem Grenziibergang vertauschbar. Ganz allgemein macht die Vertauschbarkeit von Grenzprozessen, in die die Differentiation hineinspielt, Schwierigkeiten.

Dagegen sind die Iiir die Schwartzschen ,,n-dimensionalen Distributionen" (das sind gewisse lineare Funktionale) erklarten , ,partiellen Ableitungen" erstens unbeschrankt ausfuhrbar und zweitens stetige Operatimen, d. h. vertauschbar mit dem (geeignet definierten) Grenzubergang. Ferner sind gewisse spezielle Distri- butionen umkehrbar eindeutig den Klassen von im Definitionsbereich fast uberalt (im Lebesgueschen Sinne) gleichen L-integrablen Punktionen f(xl, . . . . xn) zugeordnet, so daB fur die neu eingefiihrte Begriffsbildung die oben genannten Schwierigkeiten fortfallen.

Daraus folgt, daB die ,,Ableitung" einer Funktion und die ,,Konvergenz" einer Funktionenfolge im Sinne der Theorie der Distributionen nicht in allen Fallen mit den alten Begriffen ubereinstimmen konnen. Und zwar beweist Schwartz, daB seine Definition der ,,Ableitung" im Falle von ,,Funktionen"

*) Diss. Kiel 1952; Referenten: Prof. Dr. KARL-HEINRICH WEISE, Prof. Dr. FRIEDRICH

') Zahlen in eckigen Klammern verweisen auf das Literaturvereeichnis S. 148.

Math. Nachr. 1Q53, Bd. 9, H. 3

BACHMANN.

9

130 H. IWnig, Neue Regyiindung dcr Theorie der ,,Distributionen"

gennu - 1iUl.z gesagt - auf die Vmkehruny einer unbestimmttn L-lntegmtiozL hinanskonimt2) ; der Konvergenzhegriff nndererseits wird im ivesent,licllen dahin- gehend erueilert,, dafi eine Folge f k ( 2 ) (k = I , 2 , . . . ) im Schwartzschen Sinno

sclion gegcn Xu11 konvergiert, wenn dies nur fur die Folge der fk( t )d t in) iib-

liclien Sinne gilt, (vgl. das a.nl SchluS von 5 3 gegebene Beispiel). j

Es ist. klar, da13 dieee Zuriickfiihrung des Begriffes der ,,Ableitung" auf den Lebesgueschen Jntegralbegriff, in] Verein mit der genannten dnderung des Konvergenzbegriffes, den entscheidenden Punkt fiir den Erfolg der Schwartz- scdieii Theorie clnrstellt. Das folgt unmittelbar aus den grundlegenden Eigen- scliaft en des L-I n t e p l s .

lm €olgenden sol1 nun eine Tlieorie begriindet werden, die mit der der Distri- butionen das gleiclie Ziel von deiieelben sachlichen Grundeiitzen her verfolgt , die aber formal einen anderen Weg einschlagt. Mxn kann in Analogie zu be- ka nnten VerhSlt,nisfen in der Algebra kurz sagen, da13 sicli die Schwartesche Br14~eiterung cles Fu nktionsbegriffes zu cler hier vorgetragenen ebenso verhlilt \vie die Auflosung algebraischer Gleichungen im Korper der komplexen Zalilen zur sog. ,,symbolischen Adjunktion" algebraischer GI onen. Unsere Methode besteht niinilich in der direkten Konstruktion eines geeignetcn Erweiterungs- bereiches, die bib: in Einzellieiten niit der in der abstrakten Algebra ublichen iibereinstimnit. Die Struktur dieses Bereiches wird dabei von vornherein festgelegt und braucht niclit erst, wie bei Schwartz, unter Heranziehung tiefliegender Siitze aufgedeckt, zu ,werden. AuBerdem gelingt es auf diesem Wege, nicht nur die Lintepablen Fu nktionen, sondern sogar den allqenzeknsten Funktiombegti// zii umfasFen. An sachlidien Hilf~mitteln benutzen wir allein die grundlegenden Satze der Lebesgueschen Tntegrat.ionsthcoric, und es wird sich auf das deut- lichste zeigen, daB genau auf ihnen die Moglichlteit unserer Xonstruktion beruht. - Angesichts der Einfachheit. yon 5 3, der die genane Durchfuhrung bringt, \verde hier auf niiliere Einzelheiten verzichtet.

Die vorliegende Arbcit beliandelt nur den eberi angedeuteten Grundgedunken. Im einzelnen bringen 0 1 und 2 die im weiteren benutzten Siitze aus der Lebesgue- schen Theorie. Die Beweise sind im AnschluB an die zitierte Literatur vollstiindig durchgefiihrt. I n 5 3 wird dann, wie gesagt, die Konstruktion des Erweiterungs- bereic.lies durchgefuhrt. Revor wir in 0 5 die Begrundung der Theorie durcli die nichtigsten Definitionen und $atee vollenclen, bewcieen ivir sodann, urn Cabei a n Bekanntes ankniipfen zu kiinnen, in $4 zunachst, dsD der Bereich der Scliwartzschen Distributionen in unserein Erweiterungsbereich ,,enthalten" ist (Rate 14). 0 5 heginnt mit der Ausdehnung des ,,produd rnultiplicatif" mit einer iiribescliriinlit stetig differenzieibaren Funlition. Die Divieicn durch eine solche Funlition, die nur n u f cincr Kullmcnge vrschwindct, ict i n einfachster W&e stcts mijglich. Z u i i ~ Al~~cliliifi zeigcn wir, wie inan niit Hilfe des produit niulti- l)licntif, allnlic11 wie bei Gchwnrtz, von den ,,ZokaZen" Eigenscliaften der Eleniente ties Er~i.eitelun~sbtreicl~es, die in § 3 jrri X'Grdcrgrund standen, zu ,,gEobakn" .I u srnge n gela ngen k:i n n.

2 ) [l]? S. 58. 'I'hbulknie \'.

H. Konig, Neue Begrundung der Theorie der ,,Distributionen"

Q 1. Klassen von fast iiberall gleichen Funktionen

131

Es sei D eine beliebige offene Menge des n-dimensionalen euklidischen Xaumes E,.

Wir betrachten die Klassen von in 9 definierten uluz dort fast &era11 (d. h. bis auf eine Punktrnenge vom Lebesgueschen MaDe Null 8 ) ) gleichen reellen Funh$ionen. Die Klasse, der die Funktion f ( x l , . . . , x,) = f ( X ) = f angehort, werde rnit f(z,, . . . , 2,) = f ( X ) = f bezeichnet. Die Abbildung f 3 f ist offenbar ein Homomorphismus des Ringes aller in D definierten reellen Funktionen.

Wichtige Eigenschaften dieser Funktionen lassen sich als Xlusseneigen- schaften aussprechen. Wir stellen zunachst kurz die im folgenden benutzten zusammen. Dabei bezeichne d C D jeweils eine gewisse mefibare Teilmenge von positivern Mafi.

1. Eine Klasse f ( X ) definiert auf A wieder eindeutig eine Klasse von fast uberall gleichen FGnktionen.

2. Eine Klasse f ( X ) heil3t im Punkte X,, E D stetig, wenn sie mindestens eine dort stetige Funktion enthiilt. Alle diese Funktionen haben dann den gleichen Funktionswert f (X,,), d. 11. der Grenzwert

- - - -

-

lim f (X)

ist eindeutig festgelegt. - Eine in jedem Punkte von Q stetige Klasse enthiilt offenbar genau eine in D stetige Funktion.

3. Eine Klasse heil3t fast uberall in D nach xi4) partiell differenzierbar, wenn sie eine Funktion mit dieser Eigenschaft enthalt. Sind dann f ( X ) und g(X) zwei solche Funktionen, so erhalt man durch Wegnalime einer Nullrnenge von Q eine Menge, in deren Punkten beide einander gleich, partiell nach x i differenzierbar und auf den durch sie gehenden Parallelen zur zi-Achse in D fast uberall gleich sind. I n all diesen Punkten haben f ( X ) und g ( X ) dann sicher die gleiche partielle Ableitung ; ihre Ableitungen definieren mithin die gleiche Klasse. - Insbesondere ist die partielle Differenzierbarkeit nach xi uberall in D eine Klassen- eigenschaft.

4. Klasseneigenschaften sind : mepbar in A und integrierbar uber A . Eine Klasse, die iiber eine gewisse Unigebung eines jeden Punktes von 52 integrierbar ist, heil3t lokal integrabel in 9; nach dem Borelschen Uberdeckungssatz ist sie dann uber jeden kompakten Teil von D integrabel.

6. Klasseneigenschaftensind : - f ( X ) s g ( X ) in A , insbesondere beschrankt in A ; such lokal beschrankt in D, woraus wieder die Beschranktheit in jedem koni- pakten Teil von 9 folgt.

6. Eine Klasse heifit J2-unabhdngig von xi , wenn sie eine Funktion enthalt, dieinirgendzweiPunktenvon9mitgleicheni Yi = (xl,. . . , xi-lJ xi+l, ..., x,) deren Verbindungsstrecke ganz in D liegt, den gleichen Wert hat. - Wie man leicht einsieht, ist ihr gleichwertig die lokale Unabhiingigkeit von xi in 0: Zu

x+xo-,

3) Fur alle das Lebesguesche Ma6 nnd Integral betreffenden Fragen wird auf [2], [4]

4 ) Im folgenden sei immer i = 1, , . . , n. verwiesen.

9*

132 H. Konig, Neue Begrundung der Theorie der ,,Distributionen"

jedeni Punkt von J2 gibt es eine Umgebung, in der eine gewisse Funktion der Klasse von xi unabhlingig ist.

7. Eine Folge von Klassen f k ( X ) ( k = 1 , 2 , . . .) heifit konvergent gegen f ( X ) , wenn dies f i i r eine Folge ausgewiihlter Funktionen im ublichen Sinne gilt, Fur jede andere ausgewiihlte Folge gilt es dann fast iiberall.

8. SchlieBlich nennen wir eine Folge f k ( X ) in D norrnal, wenn es eine feste lokal integrable Klasse h(X) gibt, fur die inl2 I - fk(X)l &(X) ( k = 1 , 2 , . , .) gilt, lnsbesondere ist also jede lokal gleichgradig beschrankte Folge normal.

Fur den Rest dieses Paragmphen legen wir nun einen n-dimem'malen Quader

- -

Q: aiS xis bi zugrunde und betracliten die iiber Q integrablen Klassen.

Jede iiber Q integrable Funktion f ( X ) ist fur fast alle Y , als Funktion von x i iiber das Interval1 (ai, 6,) integrierbar. In Q ist also fast iiberall die Funktion

5i

P~(x) = [/(XI, . - 1 9 xj-1, $ 9 zi+l, * - . > s n ) d t ai

erltllrt. Ferner fuhren fast iiberall gleiche f (X) offenbar zu fast uberall gleichen P { ( X ) . Jede integrable Klasse f ( X ) definiert also n weitere Klassen & ( X ) . -

Satz 1. Die Khssen Zi(X) sind wieder iiber Q integrabels). Hierfiir geniigt es, zu zeigen : Im n-dimensionalen Quader

Q : l O S X S b Q y 9 Y = ( ~ 2 , . a . 3 xn) 1 sei die Funktion f(x, Y ) integrabel. Dann ist auch die fast uberall in Q definierlc Funktion 2

(1)

iiber Q integrabel. - Zum Beweise bilden wir den (n + 1)-dimensionalen Quader des Ix, t , Y)-Raumes

P(x, Y) =/ ' f ( i , Y)dt 0

Q' ist also ebenfalls abgeschlossen; den offenen Quader bezeiclinen wir mit Q . Jedem Punkte (zo, Yo) E Q wird die Menge aller h n k t e ( x , t , Yo) aus Q bzw. Q" zugeordnet, fur die xt = bx,, ist. Jede Menge M C Q besitzt dann zwei Bild- mengen M', M", die sic11 nur urn eine (n + 1)-dimensionale Nullmenge unter- acheiden. Uber cliese Zuordnung gilt nun folgendes:

1. ALIS C C A + B folgt C' C A' + B'. 2. 1st .M offen, so auch M"; ist H abgesclilossen, so such M'. - Das ist

leicht zu sehen,

6 ) In der Literatur wird meinee Wissens nur die MeDbarkeit dieser Klmsen bewiesen. Wegen der fur den gegenwartigen Zweck grundlegenden Bedeutung des SIttzes 1 beweisen wir daher hier aucli deren Integrierbarkeit.

H. Konig, Neue Begrundung der Theorie der ,,Distributionen" 133

3. Es sei I = (xa - x,)It, der Inhalt eines Teilquaders D von Q, I' der (na- turlich existierende) Jnhalt des Bildes D', und fur alle Punkte von D gelte x 2 d > 0. Dann ist

%-X1 I ' S 6. b - 21

bs I, I T I .

4. Hat die Teilmenge A von Q das LuBere MaB m und gilt x 2 d > 0 fur 2ba

alle Punkte von A , so hat A' ein iiul3eres Ma13 m ' s ~ r n . Zu jedem E > 0 gibt es abztihlbar viele Teilquader von Q, die A uberdecken,

fur deren Inhaltssumme I gilt: I < m + E , und fur deren slmtliche Punkte:

x 2 I. Fur die Tnhaltssumme I' der Bilder dieser Quader, die zusammen A' d

uberdecken, gilt also nach 3. 2ba

I ' < T ( m 3- E ) .

Wegen m' I' folgt aber daraus die Behauptung.

5. 1st M mel3bar und hat die Eigenschaft x 2 d > 0, so ist auch M' mel3bar. Da M mel3bar ist, gibt es zu jedem q > 0 eine offene Menge B mit m(B) < 9 ,

so daB M -- B abgeschlossen iste). Uber B kann dabei x 2 T vorausgesetzt

werden. - Wir geben nun ein E > 0 beliebig vor und setzen q = me. B" ist 4bP

als offene Menge meBbar, daher auch B', und es gilt m'(B) 7 m(B) < E .

Aus

folgt nun

(M - B)' ist nach 2. abgeschlossen, also meBbar; M' kann also zwischen zwei mel3bare Mengen von beliebig mal3kleiner Differenzmenge eingeschlossen werden und ist daniit mefibar, was zu beweisen war.

a a

( M - B ) + B 3 J f 3 ( M - - B )

(M - B)' + B' 3 M' 3 ( M - B)';

6. Mit M C Q ist auch M' mel3bar. Denn mit M ist auch fiir jedes d > 0 die Menge M d : x 1 d meBbar, daher

auch .Mi nach 5. M' ist aber bis auf eine Nullmenge Vereinigung von abzahlbar vielen dieser Ni, also mel3bar.

Wegen 6. folgt aus der MeBbarkeit von f (x, Y ) in Q nun die MeBbarkeit von

/($, Y ) und also auch die von f (2, Y ) in Q'. Fur die Integrierbarkeit dieser letzten Bhnktion uber Q', die wir nun zeigen wollen, ist daher nur noch die Existenz einer ,,zuliissigenEinteilung" vonQ'fur unsere Funktion nachzuweisen '). Das zeigen wir so:

Da f ( x , Y ) uber Q integrierbar ist, gibt es fur diese Funktion eine zulLssige Einteilung (Q) (8 = 1 , 2, . . .) von Q mit der Eigenschaft, daB die Teilbereiche

1 x 1 (k = 1 , 2 , . . .) - (2) k + l <+z-

") [4], S. 40f. ') [4], R. 77.


yon Q Vereinigungen von Bereichen 9, sind. Seien C,, gs obere und untere Grenze von f ( x , Y ) in B, und setzen wir 0 00 = 0 , so sind jedenfalls die Reihen

(3)

eigentlich konvergent. - 1st nun (B:) die durcll in &' induzierte Teilung

und sind G:, g: die entsprechenden Werte €ur:f (T, Y ) , so gilt, falls 5b8 im k-ten Interval1 (2) liegt,

1

xt

I s:l 9 la:( 5 X(lQ81 + ISal)

und nnch 4. 2 (k + 1) ba

m'(%i) s 7- m(s8) d kbm(%8),

also (auch mit der obigen Ubereinkunft)

i g : i m v : ) , t q m w s 4 b w 8 t + t g 8 i ) w m .

Daher sind die (3) entsprechenden Reihen in den gestrichenen GroI3en eigentlich konvergent, die Teilung (B;) von &' fur unsere Funktion also zuliissig, dieee Funktion also uber Q' integrabel. In Q existiert also insbeeondere fast uberall

F ( x , Y ) = +Sf (2, Y ) dt und ist dort integrabel. Das ist aber gerade die

Funktion (1); damit ist Satz 1 bewiesen. - Wir bezeichnen jede Klasse, die sich von &(X) nur uw eine additive in-

tegrable, von xi unabhlingige Klasse unterscheidet, als (unbestimmtes) Integral vm f ( X ) nach xi und sclireiben dafiir einfach

b

0

- ,-

Ober diese Integrale gelten die folgenden Satze:

so sind sie identisch.

Funktion h ( X ) aus dieser Klasse ist daher

Satz 2. Huben zwei uber Q integrable Klassen ein gemeinsames Integral nach 5; I

Beweis. Die Differenz hat dann ein von x i unabhangiges Tntegral; fur eine

xi

H(X) = /h(x,, . . . , q - 1 , t , ziti, . . . ;a,)dt ai

fur fast alle Y , konstant und h ( X ) mithin jedesmal fast uberall Kull. Da aber h ( X ) integrabel, die Rknge, auf der h ( X ) 'f 0 , also meI3bar ist, ist dies eine Nullmenge. Es ist also &(X) = 0, was zu bewei, fen war.

Sat& 3 (1. Hauptsatz von Lebesgue). Konvergiert die normale Folge f k ( X ) ( k = 1 , 2 , , . .) iiber Q dntegrabler K b s e n gegen - f ( X ) , so ist - f ( X ) ebenfulk Lber Q integrabel. Ferner konvergieren die won einer festen unteren Qrenze ti aus genommenen

H. Ktinig, Neue Begrundung der Theorie der ,,Distributionen" 135

Satz 4 (Partielle Integration). _ - f , g seien uber Q integrabel, z, C Integrale in Q beschrankt. Dann ist - f_C + - g F uber Q in- nach xi davm; ferner seien g ,

tegrubel und hat uls Integral nach xi die Klasse EQ. -

Q 2. Weitere Siitzc uber integrable Klasson

Wir betrachten wieder die im Quader Q: ai

Es werde speziell mit q m l , . . . ,

xi 5 bi integrablen Klassen

( X ) jede in Q integrable Funktion cler Form - f ( X ) .

bezeichnet, wo p$(X) ganz rational in xi vom Grade liochstens ~i - 1 mit integrablen, von xi unabhiingigenKoeflizienten (und gleich 0 fur rn = 0) ist. - Schreiben wir wie iiblich

so gilt der

8atz 6. Eine in Q integrable Klasse f ( X ) ist genau dann vm der Form qml, , , , , m, (X) , wenn fzir alle ,,hinreichend kleinen, positiven" (h,, . . . . h,J jedesmal fur fast alle sinnvollen (xl, . . . , 2,) gilt:

(4)

-

A T . . . dT f (% . . , Zn) = 0. b, - a, Das sol1 heiDen: wenn (4) fur alle (h l , . . . , h,) mit 0 < h, < -GLT

E a ist klar, daD die Bedingung (4) notwendig ist; dem Beweis, daD sie hin- jedesmal fur fast alle X gilt, fur die in (4) alle Argumente nocli in Q liegen.

reicht, schicken wir zwei Hilfssatze voraus. - Setzen wir

a:&) = f ( 4 - f ( 4 1

so gilt zunachst offenbar der

Hilissatz 1. Ist f (2) in ( a , b ) integrabel, SO gilt dort fur alle hinreichend kleinen h und sinnvollen x

b - a Hilfssatz 2. p ( x ) sei in ( a , b) stetig, und fur alle hb = 7 ( k = 1 , 2 , . . .) sei, soweit sinnvoll, in ( a , b)

(7) A E p ( z ) = 0.

Dann ist p ( x ) dorl ganz rational von Grade hochstens m - 1.

136 H. Konig, New Begrundung der Tlieorie der ,,Distributionen"

Beweis. Die p(x)-Werte an den Stellen a , a + h,: . . . , a + (m - - 1)hk legen je ein Polynom m ( z ) von liochstens (m --1)-tem Grade fest. Dann besagt, (7) gerade, daB p ( z ) und p k ( x ) auch an den Stellen a + mht7 a + (m + l )hk , . . . , a + mkh, = b ubereinstimmen. Das lieifit aber pk(x) = ~ , + ~ ( x ) = - . = pl(z). p l ( z ) und p ( z ) stimmen also auf einer uberall in ( a , b ) dichten Punktmenge uberein, woraus wegen der Stetigkeit beider ihre Gleichheit folgt, was zu beweisen war.

Wir beweisen nun den folgenden Hilfssatz 3, der insbesondere den Beweis von Satz 5 vollendet.

Hilfssatz 3. I m (n + s)-dimensionalen Quader

I i QC , C=(c,, . . ' 3 CS)

ai g xi s bi Qn+e :

sei die Klasse f ( X , C) integrabel, und f u r alle -

( I c = 1 , 2 : . . . )

sei jedesmal fur fast alle sinnvollen ( X , C )

Dann gilt - f ( X , C , = g J X , C ) + * - . + z ' , " p , C ) *

wo pgi ( X , C) ganz rational in xi vom Grade hochstens m - 1 mil von xi mab- hangigen, integrablen Koeffizienten (und gleich 0 fur m = 0) ist.

Beweis. a) Es sei n = 1. Fur fast alle c ist 5

S(z, C ) =jf ( t , C)dt a

in (a, b ) erklart und als Funktion von z stetig; ferner ist fur fast alle C fur nlle k = 1, 2, . . . und alle jeweils sinnvollen z

d;i1P(Z, 0) = A$) f ( t , C)dt = 0. rh(k) Nach Hilfssatz 3 list man daher fur diese C fur alle x

3 9 F ( x , C ) = a&) + . . ' -1 a,(C) m .

Die ai(C) sind integrabel; denn ist F ( x , C ) etwa fur x = xj ( j = 0 , . , . , m) als Funktion von C integrabel, 80 setze man diese Werte fur x in (8) ein und erhalte die ai(C) durch Auflosen fur fast alle C als Linearkombinationen der F(zj, C) . - Nun ist z(z, C) Integral von - f ( z , C) und von a, + . - + g.m,m-i; nach Satz 2 folgt daraus die Behauptung.

b) Sch.lup won n - 1 auf n. 1st etwa m, > 0, so denken wir uns aunachst k,, . . , , k, beliebig, aber fest gewiihlt. Fur jedes k, = 1, 2, . . . ist dann fur fast

H. Konig, Neuc Begriindung der Theorie der ,,Distributionen" 137

nnch Voraussetzung

u nd ?llz m,

H ( 2 , ; x2, . . . , x , , c; h p , . . 9 , h p ) = A ha (k ) * * . d h y f ( x l , . . , , ql, C)

ist in Q:,,, integrabel. Wegen a) ist daher dort fast iiberall

wo die ak unabliiingig von x1 Rind. - xii), . . . , X ~ I ) seien nun m, verschiedene Werte aus (al , b , ) , fur die erstens f ( @ , z2, . . . , z,,, C) in Qn+s integrabel ist und zweitens fiir alle k2, . . . , k, im jeweiligen fast iiberalldie jeweilige Gleichung (9) gilt, Dann folgt wie unter a) fur gewisse cik) (in denen nur die xij) vorkommen) jeweils fast uberall in QL+,

Ferner ist der in der runden Klanimer stehende Ausdruek in Qnfs int,egrabel. Aus der Induktionsvoraussetzung folgt daher unmittelbar die Giiltiglteit der Behauptung aucli fiir n, womit alles bewiesen ist.

Aus Satz 5 sclilieBen a4r weiter

Satz 6 . Fur ein in Q integrable8 f ( X ) ist -

(10) J l (x ) = l m l ,..., m d - l , md+i,:mi+], . .., ma 1

gleichwertig mit

(11) f (X) = gm, ,. . . ,mi- ,, m i , m,+,, .. . , m, . Beweis. Von (11) zu (10) gelangt man sofort nit Hilfe der Forniel (6);

andererseits von (10) ZLI (11) mit Benutzung von (5) und der Benierkung, daR eine Funktion qm,, . ..,9,,n ( X ) auch derjenigen Differenzengleichung geniigt, die aus (4) hervorgeht, aenn man fur ein (oder mehrere) x i den letzten Operator Ah, durch 82 erset.zt.

Satz 7. Pur ein in Q integrables - f ( X ) gilt

wenn auf der Einken Seite jedesmal in irgendeiner Reihenfolge insgesamt ml-mal nach x l , . . . , m,-ma1 nach xn integriert wird.

138 H. Kdnig, Neue Begrundung cler Theoric der ,,Distributionen"

Niniiiit n im namliali zuniiclist d e Integrale von den unteren Grenzen a, an: so wird die Differenz auf Grund des bekannten T'ertausclibarkritssatzes Null Hieraus und t i u s Satz 6 folgt die Behauptung.

Satz 0. Rine konvergente n o m l e Polge qg; , .. . , ,n,, ( k =;- 1 , 2, . . .) konvergiert gegen eine Grenze der Form qnll ,..,, )) ,,,.

Das folgt untriittelbar nus den Siitzen 3 und 5, 1 n 5 4 brauchen wir schlieRlich den

Satz !I. Gilt fur eine iiber Q integrable Klasse f ( X ) und fur alle in Q unbeschrankf stetig differenzierbaren Funktionen ~1 ( X ) , die nur auf einer nbgeschlos8enen Tcil- m ~ n g e des offenen Q?cnders Q von Nu11 verschieden sincl,

-

-

J f ( X ) y . ' " ' 1 3 . . . 4 J - ( X ) d X =()a),

Q so ist in Q

- f ( X ) = &n,, . . , , m,,' Beweis. a) Piir m, =- - * * = m,, = 0 ist der Satz grundlegend in der Theorie

der Distributionen; sein Beweis mag daher hier nur angedeutet werden: Man bcnutzt, daB jede in Q integrable Klasee Funlitionen der zweiten Bairesclieii lilasse enthWts), sowie die gleic1imaRige Approximierbarkeit jeder in Q stetigen. nur auf einer abgeschlossenen Teilmenge des offenen Quaders von Kull verschiedenen Funktion durcli IGinktionen p ( X ) der im Satz genannten Ar t l o ) .

Dnrnus schlieflt man auf

0

wo md(X) =-- 1 fiir alle Punkte ron Q, fur die f ( X ) 2 d > 0 bzw. f ( X ) S cl < 0 ist, und Fonst rn,(X) = 0 ist. f ( X ) mu13 also fast iiherall Kull sein.

b) Bei beliebigem (m1, . . . , m,) nehmen wir hinreichend kleine hi > 0 beliebig, aber fest an und betrechten zunachst fiir eine feste Funktion q(x), deren ,,Triiger" in

Q : ai < xi < bi - mihi

liegt , die Fu nlit ioii " c

I ( Y ) =/ f ( X + Y)p(X)dX = J f ( X ) 9 ( X - Y ) d X Q Q

I( Y ) ist fur 0 5 yi mihi erkliirt und dort unbeschriinlrt stetig (in der zweiten Schreibweisc Linter dem Integralzeichen) differenzierbarl'), geniigt nach Voraus- setzung also der Differentialgleichung

p, I . , , 1 q,i ( y ) 0

aml + ... 4- m 8 ) Wir schreiben kurz

9) [2], s. 407, Satz 6.

11) [2], 8 575.

. . "p(x) = v ( 9 . . . . , % ) ( L y ) .

10) [I], S. 22, ThBorBme I.


und ist niit.hin von der Form qm, , . . . ,,,, (Y) . Daraus folgt

q 1 . . . '42 I ( 0 ) = / - A ; ; ' . . . L l j y ( X ) l p ( X ) d X = 0 . 8

Da dies fur alle betrachteten Funkt,ionen cp(X) gilt, mu13

nacli a ) in &' fast uberall versohwinden. Da die hi ganz beliebig ua.ren, folgt daraus nach Fatz 5 die Behanptung.

dCl. . . d 2 f ( X )

8 3. Die Konstruktion des Erweiterungsbereiehes Es sei D C En eine beliebige, aber weiterhin feste offene Punktmenge. Wir bilden uber dem Koeffizientenbereich der Kluspen von in 0 fast uberall

gleiehen reellen Funktionen die formalen Potenzreihen in den Unbestimmten 2,. . . . ) z,: (12) .=Cf - a 1 , . . . ,a,, 23 * ' * 23 (Si = 0,1, . . . ) )

und betracliten speziell den Bereich % aller Pot.enzreihen (12) von der Art, da13 in einer gewiseen Umgebung eines jeden Punktes von nur endlich viele ihrer Koeffizienten f a , , . . . ,a,, von Null verschieden sind; also den Bereich aller - kurz gesagt - ,,lo-&zl endlichen" Potenzreihen.

23 bildet eine additive Gruppe, wenn wir die Addition zweier Potenzreilien gliedweise definieren. I n diesem Bereich erklaren u i r weiter

1. eine Ableitung, u nd zwar RIS partielle Ableitung des Elementee (12) nach xi das Element

at - = Cl,,, ,.,, 8 i , . . .,*,, X;I . e zsi-1 z%+' Z ' ; t l - - * 22, axi i - 1 2 i+ l

das offenbar wieder zu 23 gehort; 2. eine Konvergenz einer Folge T~ (k = 1 ) 2 , . . . ) gegen ein z aus %, und

m a r so11 diese Konvergenz vorliegen, wenn a) die zk ,,lokal gleichgradig endlid" sind, d . h. wenn in einer gezuissen U r n

gebung eines jeden Punktes von SZ gleichzeitig alle Koeffizienten - fiy,. . . ~ , ~ aller z,,. verschwinden, fur die (sl, . . . ~ SJ ,,auBerhalb" ( N , , . . . ) N,) liegt (die Ni ko nne fi natiirlich von Punkt zu Punkt verschieden sein!) ;

, im erkliirten Sinne gegen den entsprechenden Koeffizien,ten I,, , . . . , *, von z konvergiert und

Die Potenzreihe z gehort dann offenbar wieder zu %.

1-1) fur jedes (sl, . . . , 8,) die Folge f::)

') die f::',. .. ,S, . . , 8 , n o m a l ist.

Aus diesen Definitionen folgt unmittelbar : A ) Der Ableitungsproze/? ist distributiv zur Addition. R) Bei der Bildung hoherer Abbitungen ist die Reihenfolge gleichgultig. C) Die Xonvergenz hat die iiblichen einfachen Eigen&aften : sie ist dktributio

xur Addition ; eine Folge, deren iilieder suvntlick ein und demselben Element gleich sind, konvergiert gegen dieses Elem.en.t; t i n s Teil/olge einer kunzwgenten Folge konvergierl w ider gegen dieselbe Genze.

- -

-

D ) Differentiation und Grenzubergang sind oertuuschbare Prozesee.


Es sei weiter U eine Untergruppe von 8, die die folgenden ,,AbgeschZosslen-

( I ) mit jedem Element liegen auch dessen partielk Ableitungen in U; (11) konvergiert die Folge E~ E U (k = 1 , 2 , . , .) gegen E , so liegt auch E in U . Erfullt U namlich diese Forderungen, so heil3t das gerade, da5 wir fur die

heitsforderungen" erfiillt :

in 2.3 nach U gebildeten Restklassen %

T = [z] E - U Fj ebenfalls eindeutige, R h. vom Reprasentanten wnabhangige Definitionen von .,Ableifung" und ,,Konvergenz" abgeben konnen. In der Faktorgruppe Fj gelten dann alle die im Vorangehenden iiber 8 genannten Tatsachen.

Durch geeignete Wahl von U erhalten wir nun in Gestalt von 8 einen Er- weitermngsbereich des Bereichs aller - f mit den gewiinschten Eigenschaften. Dazu mu13 niimlich U so gewilhlt werden, daB

erstens d ie speziellen Restklassen T = [f] eineindeutig d e n Khssen - f entaprechew und da5

zweitens, falls in Sa lokal - f i / g - gilt, die partielle Ableitung der Restklassc

-

a

T = [f] nach xi gegeben wird durch

Das bedeutet, daB U alle Elemente E = g - f z i , mit Beriicksichtigung von (I) also alle Elemente

- -

g in Q lokal integrabel

{ I lokal gleich /g 12) } E = (g - f Z i ) z;1 . * * 22 (13) - - i

enthalten mu5. Wir werden nun umgekehrt zeigen, daB die Untergruppe aller derjenigen

Elemente ( 1 2) , die sich bkal auf eine endliche Summe von Elementen (1 3) reduzieren, unsere Abgeschloseenheitsforderungen ( I ) , (11) erfiillt. Diese Untergruppe werde fortan mit U bezeichnet.

Die Giiltigkeit von (I) ist unmittelbar zu sehen, denn die Ableitung eines Elementes (13) hat wieder die Form (13). - Um aber weiterzukommen und insbesondere (11) zu beweieen, mussen wir den Bereich U genauer zu charakteri- sieren lernen. Das wird in einfncher Weise erreicht durch den

Satz 10. Bas Element E = 2 f,, , . . .,#" z i i . 8 - 22 gehort dann und nur dann zu U , wenn alle Koeffizienten in SZ lokal integrabel sind und wenn auperdem in einer gewissen Umgebung Qo eines jeden Punktes X, E Q, in der alle Koeffizienten , ,auj?erhalb" ( N l , . . . , N,) verschwdnden mogen,

(14) xJ. . .J!8,,....aa = gHx,...,Hs

gilt, 2L.O Uber fa,, . , , ,8* linker Hand in irgendeiner Reihen folge insgesamt (Nl - s,)-mal nach xl, . . . , ( N , - 8,)-ma1 nach x , integriert wird.

-

-

12) Falls diese Bezieliung in sd ,,lokal" gilt, gilt eie dort auch ,,im GroOen". Wir werden davoii aber keinen Gebrauch machen.

H. Konig, New Begrundung der Theorie der ,,Distributionen" 141

Dazu ist zunachst zu bemerken, daB die Bedingung (14) nach Satz 7 f u r jede -4usfuhrung der Integrationen gilt, wenn sie auch nur fur eine spedelle Aus- fuhrung gilt.

Beweis. a) Es sei zunachst E ein Element ron U, das sich in der Umgebung Qo von Xo auf die Summanden mit si Ni reduzieren moge. Es bestelit dort dann aus einer Summe von endlicli vielen Elementen (13), von denen jedes einzelne ,,innerlialb" (N1, , . , , 8J liegen moge (nach dem Bisherigen brmcht nicht notwendig schon Si = Ni zu sein, die verschiedenen Bestandteile (13) konnten sicli vielniehr ,,auBerlialb" ( N l , . . . , N,L) noch gegenseitig nnnullieren!). Zunachst sind also alle Koeffizienten in 12 lokal integrabel. Wir bilden in Qo sodann eine ahnliche Sumnie wie auf der linken Seite von (14), nur integriereii wir uber den hingeschriebenen Summanden jetzt insgesamt (ai -- si)-mal nacli zi. Zu dieser Summe leistet jeder Bestandteil (13) von E nach Satz 7 hochstens einen Beitrag qsl,..,,,Ts; also hat auch die ganze Summe diese Form. Von hicr aus gelangen wir aber unmittelbar zu (14), indem wir die fur alle Koeffizienten gemeinsamen Xi -- N i Integrationen nach xi gemiil3 Satz 7 nacli auBen ziehen und dann Satz 6 anwenden.

b) Setzen wir nun uingekehrt die Bedingungen des Satzes als erfullt voraus! - Wir sclireiben zuniichst fur jeden einzelnen Sunimanden von E in Qo

-

also ! 8 , , . . . , 8,, 'il ' ' z8" % = 8 1 s . . . , 8 , 8 +/. . ,..., 8,,'y1 ' . ' zs'',

'yo E81, . . .38, , Sumnie von endlicli vielen Elementen (13) ist und uber f8,,...,s,

ebensooft \vie in (14) integriert w i d . Auf Grund dieser Gleichung erliiilt man also durch Suninintion in Qo

wo 17 wieder eine Summe ron endlicli vielen Elementen (13) ist. DaB liierin auch der zweite Summand rechts von dieser Form ist, folgt schlieBlicli sofort aus der Definition der q-Klassen, wenn man nocli, ahnlich wie eben, uberlegt, daR & - ' x ~ fur in Qo integrsbles und von zi unabhsngiges 21 dort die gesuchte Gestalt hat. - Damit i u t Satz 10 bewiesen.

Mit Hilfe von Satz 10 kann man nun muhelos die Ciiltigkeit der Abgeschbssen- heitsforderung (11) einsehen. 1st nkmlich eine konvergente Folge von Elementen ck aus U gegeben, so kann man in Qo in der Gleichung (14) zunachst fur alle ek die gleichen Ni benutzen. E'erner bilde nian alle Integrale von denselben festen unteren Grenzen ai aus. Dann folgt durcli Anwendung der Satze 3 und 8 unmittelbar, dnIj auch die Crenze E der Folge in U liegt, was zu beweisen war.

-

E = 12 f $X1, ..., N,, z?l * ' . Zzn,

Wir erhalten also folgendes C.g ' 1 ebnis:

Satz 11. Der Bereich 8 der Restklussen T = [t] bildet einen Mcdul, in dem n stets ausfiihrbnre partielle Ableitungen und eine Konveygenz erk,%rt sind, die die Eigenschaften A) bis D) haben.

142 H. Bonig, Neue Begrundung der Theorie der ,,Distributionen"

Mit einem Element zo haben nach Satz 10 auch alle z aus T = [zO] aussclilieB- lich lokal integrable Koeffizienten. Wir kijnnen daher einfach die Restklasse T = [zO] integrabel nennen. Die integrablen T bilden einen Untermodul 2 von 8. und man hat sofort den

Satz 12. Der Bereich 2 der integrablen Restklassen ist gegen Differentiation und Konvergenz abgeschlossen .

SchlieBlich erhalten wir fur die speziellen Restklassen T = [ f ] unrnittelbar aus Satz 10 den

Satz 13. Die Elemente T = [f] aus ij entsprechen umkehehrbar eindeutig den Klassen f von in sd fast iiberall gleichen reellen Punktioenn. Ferner ist die Gleichung

-

- -

a z[!J = &I gleichbedeutend damit, dap - g in D lokal integrabel und lokal f = J g ist. - -

L

Insbesondere ergibt sich also, daS a

axi - -[f] = 0

genau dann gilt, wenn f loknl integrabel und 0-unabhdngig von x, is t ; die Un- abhlingigkeit von xi geniigt also nicht ! Dies zeigt, da13 die Ableitung nicht lokal integrabler Klassen in 3 einen gewissen formalen Charakter behalten hat. Es ist indessen selbstverstkndlich, da13 man nichts anderes erwarten darf.

Die weitere Frage, wann nach unserer Definition der Konvergenz in ij insbesondere [Ik] +- [/] gilt, wann also eine Folge von ,,Funktionen" [fk] gegen Null konvergiert, werden wir in 5 5 beantworten (Satz 18). Es ist klar, da13 fur eine normale E'olge fa (k = 1 , 2 , . . .), die im gewohnlichen Sinne gegen Null konvergiert, auch [ f k ] - --f 0 gilt. Die Umkehrung hiervon ist jedoch falsch; dies zeigt das Beispiel (J2 = E l )

-

- - -

-

Hier divergiert die Folge f k , aber die Folge -

.) I 2 j - 1 <T ( j = = 1 , 2 , . .

2i < $- ( k = = l , 2 , * * . )

der Integrale zk(r) = f k ( t ) d t ist ,i- normal und ltonvergiert gegen h'ull; daraus folgt [fk] - = [&I 4 0 .

0 4. Vergloieh mit den Distributionen von L. Schwartz Bevor wir die systematische Darstellung in f 5 fortsetzen, wollen wir untere

Begriffe in diesem Paragraphen zunachst mit denen von Schwartz in Beziehung setzen. Dabei werden selbstversttindlich kompliziertere Satze aus der Tlieoi ie der Distributionen benutzt. Es sei jedoch betont, daB das Ergebnis dieses Para- graphen in § 5 niemals Zuni Beweise von Satzen uber den Bereich 8 benutzt wird, sondern nur Zuni Aufzeigen von Rnalogien in Begriffshildung und Beweis- fiihru ng.

Der Einfachheit halber nehnien w i r in diesem Paragraphen .Q = E,, an.


Fur jedes Element

aus 8 mit lokal integrable11 Koeffizienten ist zunachst

fur alle Funktionen 9 ( X ) E (D) 13) erklart und stellt eine Distribution dar, denn nach dem Borelschen uberdeckungssatz reduziert sich z fur jede kompakte Punktmenge auf eine endliche Summe.

Wir behaupten weiter, daB die Elemente E E U dadurch charakterisiert sCnd, dap ~ ( p ) = 0 ist fiir jedes p E (D) .

Sei zunachst F E U, E (0). Wir uberdeclien den Trgger von p durch endlich viele (offene) Qunder-Umgebungen Q1, . . . , Q,, in denen E jedesmal eine endliche Summe von Elementen (13) darstellt, und zerlegen p entsprechend i n

* . -t p?, wo der Trager von rpj E (0) im Innerri von Qi (i = 1, . . . , r ) liegt14). Zu e(pj) leistet nun aber keiner jener Summanden (13) von E in Qj einen Beitrag, wie sofort durch partielle Integration folgt. Also ist ~ ( 9 ~ ) = 0 und clamit E ( Q / ) = 0. -SeizweitenszeinElement (15), das z(p) = O fur alle y e (B) liefert. Wir fassen einen beliebigen Punkt X, und eine Umgebung Q, von X,, ins Auge, in der alle Koeffizienten von z mit inindestens einem si > Nd ver- scliwinden mogen. Fur alle p E (D) , deren Trager im offenen Quader Q0 liegen, wird dann

= Q", +

wo der in der runden Klanimer stehende Ausdruck ebenso wie die linke Seite der Gleichurig (14) gebildet ist. Anwendung der Satze 9 und 10 liefert dann sofort z E U, was zu beweisen war.

Die Elemente T E 2 sind also eineindeutig gewissen Distributionen T ( 9 ) zugeordnet. - Andererseits beeagt das Schwartzsche Thdorhme S X X ([l], S. 96) gerade, daB dadurch auch alle Distributionen erfapt werden. Denn man erhalt hiernach, wenn man eine lokal endliche offene Tfberdeckung des En durch be- xhrankie Mengen zugrunde legt, jede Distribution in der Form (16) mit lokaI integrablen - f 8 1 , . . . , 8 , , von denen in jeder kompakten Teilmenge jeweils nur endlich viele von Null versehieden sind.

Setz 14. DET Modul 2 der integrablen T i&: isomorph dem Bereich (D') der Uistribuutionen von L. Schwartz. Die Begriffe ,,Ableitung" und ,,Konvergenz" in beiden sind gleichwertig.

Fur den Begriff der Ableitung folgt die Behauptung unmittelbar aus (16). Denn ist der Klasse T = [z] die Distribution T(p) = z(q) zugeordnet, so ent-

dT apricht nach unserer in Q 3 gegebenen Definition der Klasse

Distribution = [&] die

(p) = -z($) = -T (g), inubereinstimmung mit dT at ( y ) = . .

der Definition von Scliwartz.

r') E'iir alle vorkommenden Begriffe und Bezeichnungen aus der Theorie der Distri-

14) [l], S. 23, Th6orkme 11. butionen vgl. [ 13.

144 H. Ktjnig, Neue Begriindung der Theorie der ,,Distributionen"

Es sei weiter Tk = [zk] eine gegen T = [r] konvergierende Folge; die zk mogen gegeri z konvergieren. Dann folgt unmittelbar aus unserer in 5 3 gegebenen Definition der Konvergenz, da13 fur jede Familie von Funktionen (p E (D), deren Trager in einer festen kompakten Punktmenge liegen und die wie alle ihre Ableitungen gleichmilBig beechrankt sind, gleichrniil3ig T,((p) = z,( (p) gegen T ( 9 ) = z(p) konvergiert. Es liegt also auch Konvergenz im Sinne der Theorie der Distributionen vor.

Uni schlieBlich hiervon auch die Umkehrung einzueehen, wiihle man wie oben eine lokal endliche offene Oberdeckung {Qj) (i = 1 , 2 , . . .) des En mit beschriinkten Qj . Durch die q ( X ) E (U) werde eine zugehorige ,,partition de l'unitd" hewirkt (d. h. der Triiger von ai(X) liegt im Innern von Q, und in jedem Punkte X E E, ist die (endliche) Summe 2 + ( X ) gleich 1). 1st dann Tk((p) eine im Schwartzschen $inne etwa gegen Null konvergierende Folge von Distri-

m

Tk('?') =c Tk(aip) i=1

butionen, so kann man in

nach Tli6orAme XXIII ([l], $. 87) mit von k unabhlingigem (pl, . . . , p,)

T,(&~ (p) = ( - 1)p1+ .. . + pn (a, (p)(pi* . * * . p ~ d~ PI

schreiben, wo fur jedes i die Folge f y ) , #), . . . von stetigen Funktionen in E , gleichmiCI3ig gegen Null konvergiert. Dies zeigt, daI3 man, wie oben fiir eine einzelne Distribution, jetzt fur alle der Folge zugleich Darstellungen Tk = [rk] (zk E 8) finden kann, fur die die rk nach unserer Definition gegen Null konvergieren. - Damit ist Satz 14 vollstiindig bewiesen.

8 6. Die wichtigsten Eigenschaften des Erweitcrungsbereiches Nine grundlegende Rolle spielt bei L. Schwartz das , ,produit muZtipZicatif"

einer Distribution mit einer unbeschrankt stetig ddfferenxierbaren Funktion ([I], Chap. V ) . Wir verallgemeinern dieses Produkt zunachst fur alle T E 3. Sodann zeigen wir, da13 man mit Hilfe dieses produit multipIicatif, in Ver- bindung niit der Methode der ,,partition de l'unitk", iihnlich wie bei Schwnrtz in einfacher Weise von den ,,lokalen" Eigenscliaften der Elemente von 8 zu ,,globalen" Aussagen gelangen kann. Die lokalen Eigenschaften sind doch nach unserer Konstruktion gerade die leicht ubersehbaren. Hieruber beweisen wir die Siitze 16 und 17. Endlich gehort auch Satz 18 hierher, der die nngekiindigte Interpretation der Konvergenz [ f k ] -+ 0 gibt.

Wir lassen als Grundbereich uTieder eine beliehige offene Punktmenge 52 E E,& zu und bezeichnen den Ring der in 52 unbeechrankt stetig differenzierbaren Klassen init (E) , den der fast uberall in s;Z unbeschrankt stetig differenzierbaren Klassen nrit ( N ) . Unter Beachtung des in 8 1 Gesagten kijnnen wir ohne Gefahr bei den II.;lementen von ( N ) die dieKlassenbildung andeutende Unterstreichung fortlassen.

Fur ein a E ( N ) definieren wir nun, zuniichst fur die speziellen Elemente f + * * - z > aus 23: - a * fz> ' ' * 22

K. KBnig, hreue Begrtindung der Theorie der ,,Distributionen" 145

Wegen der lokalen Endlichkeit der ~€23 wird hierdurch uhd durch die For- derung der rechtsaeitigen fistributivitiit zur Addition fur jedes z e 8 ein ein- deutiges ,,Produkt" u - r E 8 erklart. Diese Multiplikation ist offenbar auch linksseitig diatributiv, ferner ist, 1 z = z und, wie man sich sofort iiberzeugt, fur a, /3 E ( N ) stets (up) * z = u . (B e z ) . 8 bdldet also einen linearen Vektwraum uber ( N ) . - Fur z = f wird nacli (17) insbesondere u * - f = ( a f ) - .

Fur die Ableitungen von u - z gilt, wie sich durch einfaches Umreclinen der Binomia.lkoeffizienten ebenfalls leicht ergibt, die ,, Produktregel"

-

ferner hat rg --f z fur a E ( E ) auch die Konvergenz a . zg -+ 0: z zur Folge. Wir untersuchen nun insbesondere das Produkt M E mit einem Ebment

E E U. In einer gewissen Umgebung Qo eines jeden Punktes X, E 9 wird E durch eine endliche Summe von Elenienten (13) dargestellt; es genugt also, in Qo das Produld yon M rni t einer solchen Erzeugenden (13) ZLI untersuchen. Speziell fur

I

folgt dabei zuniielist

i i

ist also a E (E) , so hat u . q nach Satz 4 dieselbe Form wie 11, wahrend dies fur ein anderes u E ( N ) natiirlich nicht zu gelten braucht. Durch vollstandige In- duktion nacli s, + * - . + s, folgt daraus weiter, daI3 fur beliebiges q der Form (13) und a E ( E ) das Produkt u q aus einer endlichen Summe von Elementen (13) besteht ; der Induktiongscliritt wird namlich unmittelbar durch die Produkt- regel (18) ermdgliclit. Damit ist gezeigt, dal3 fiir u E (E) mit E U U C ~ a * E zu 11 gehort; U biZdet also einen linearen Vektorraum iiber (E), nicht aber iiber ( N ) .

Wir erhalten somit den

Satz 15. Durch die Fomel

(19) uT=[ [ar . t ] (T = [ T I ) wird in 5 eine eindeutige Multiplikation mit einem a E ( E ) erkliirt, f u r die folgendes gilt :

A) 5 bildet damit einen linearen Vektorraum iiber ( E ) . B) Insbesondere gilt u[f] = [u f ] . (I) Fur die Differentiatkon gilt die ,, Produktregel". D) A u ~ T k -+ T fdgt U T k +uT. Aus B) und D) sclilieBt man in Verbindung mit Satz 17, daB unsere Bildung

im Falle T E 2 mit dem Schwartzschen ,,proahit rnultiplicutif", das ebenfalls diese Eigenschaften hat, iibereinstimmt.

Fur ein beliebiges a E ( N ) liefert die Formel (19) jedoch kein eindeutigee Ergebnis. Mit ihrer Hilfe konnen wir aber die ,,I"sio')z'' durch eine Funktioa a E (E) , die hochstens auf einer Nullmenge verschwindet, leisten, d . h. fur ein solches a die Gleichung (20) a T = S

Math. Nachr. 1953, 13d. 9, H. 3 10

146 H. Kanig, Keue Begriindung der Theorio der ,,Distributionen"

nach T aufloseri. Alle Losungen dieser Gleichung werden nlimlich offenbnr durch die Restklassen

gegeben, wenn ci alle Reprtisenbanten von X durchliiuft. Insbesondere erhiilt man alle Losungen cler ,,homogenen" Gleichung

a T = Q durch die Formel

T = I L I (Y (FE1l).

Wir finden also, was auch Schwartz betont, daB die Gleichung (20) im allgemeinen nicht eindeutig nach T auflosbar isi. lDadurcli aber, daD sie in 8 stets Losungen besitzt und wir alle diese explizit angeben konnen, wird das Schwartzsche ,,probl&me de la division", das dort nur fur Spezialfiille gelost wird - also das Problem, fiir welche X E I! und M E ( E ) wieder Losnngen (21) aus 2 existieren - natiirliuh noch nicht erledigt.

Mit Hilfe des produit multiplicatif behandeln wir nun den Zusammenhang yon ,,lokalen" und ,,globalen" Eigenschaften der Elemente von 5. - Dazu nehnien wir zunachst abzahlbar viele beschrankte Quader Qi ( j = 1, 2, . . .) an; die offenen Qj mogen eine lokal endliche Uberdeckung von SZ bilden, die aj(X) E. (0) eine zugehorige ,,partition de l'unit6". 1st dann in Qi ein ,,Polynom" zi gegeben, so wird durch (22)

m

z =cap3 j=1

ein Element z E 23 definiert. Hierbei gilt nach friiher Gezeigtem: 1. Xtimmt zi in Qi mit zo E 8 iiberein, so w&rd z = 7,.

2 . I s t jedes zi S u m m e von endlich vielen Elementen (13), so folgt z E U. 3. ,,Konvergiert" in jedem Qi die Folge T $ ~ ) gegen z3 (gemaB der ins ,,Lolcale"

iibertragenen Definition 5 3, 2. ) , so konvergieren in D die tiach (22) a u s den TY' gebildeten E k m n t e dk) gegm z.

4. Unter der gleichen Voraussetzung konvergieren auch die Elemente

@) = 2 aj zjk) gegen t , k

j=1

Aus diesen Bemerkungen schliefien wir weiter : Satz 16 16). In einer gewissen (quaderformigen beschrankten) Umgebung Qo

eines jeden Punktes X, E SZ sei e in , , P o l y n m " to gegeben, und die Differenz der zu XI, X, gehorigen z,, z, werde im Durchschnitt Q1 n Qz durch eine endliche Xumme von Elementen (13) dargestellt. D a n n gibt es unendlich viele z E % mit der Eigenschaft, dab sich z und zo fur jedes X , in Qo n u r um eine endliche Summe von Elementen (13) unlerscheiden; alle diese z E 8 bilden genau eine Klasse T E 3.

Dieser Satz besagt also, da13 ein Element T E 8 durch seine ,,lokale" Vorgabe festgebgt ist.

Beweis. Aus allen (offenen, evtl. verkleinerten) Quadern Qo wahlen wir eine lokal endliche Uberdeckung {QI} ( j = 1, 2 , . . .) von D aus und berechnen 7

16) Vgl. [I], S. 26, Th6orbme V.

If. Konig, Neue Begrundung der Theorie der ,,Distributionen" 147

geinLB (22). 1st dann X , beliebig aus Q init zugehorigem Qo, das von Q1, . . . , Q, uberdeckt werde, iind z,, so gilt in Qo

r t -- = 2 aj * (Ti -7,).

j=1

Hierin besteht zi - zo nach Voraussetzung in Qj n Qo, also aj - (zi - zo) und damit 7 - zo in Qo aus endlich vielen Summanden (13). Der Rest der Behauptung von Satz 16 ist trivial.

Es ergibt sicli auch leicht der bekannte Satz 1716). J d e s T E 2 ist Crenze einer Folge [ B k ] , Beweis. Zunachst konnen wir in T = [2] die Koeffizienten von z als stetig

annehmen. Denn andernfalls fornien wir z in jedem einzelnen der wie oben angenommenen Qi (j = 1 , 2 , . . .) durch Integration der Koeffizienten nach

jeder einzelnen Variablen xi in zi urn und ersetzen z durch 2 ai * zi, das offenbar

stetige Koeffizienten hat und sich nach 2 . von z nur um ein Element aus u unterscheidet. - Nach dem WeierstraBschen Approximationssatz gibt es dann fur jedes j eine E'olge 4k)von ,,Polynomen" mit unbeschrlinkt stetig differenzierbaren Koeffizienten, die in Qi gegen z konvergiert. zik) unterscheidet sich von eineni gewissen j3jk) E ( E ) nur urn endlicli viele Summanden (13); folglich liegt

E ( D ) .

m

j= i

nach 2. k k

j= 1 j=l z ( k ) - ps = 2 aj . .y' - - 2 ai Bf'

in U. Nach 4. erhalten wir also [dk)'] = [ p k ] + T, was zu beweisen war. Zum AbschluR beweisen wir in ahnlicher Weise den

Satz 18. Die Cleichung lim[jk] = 0 k-rw -

(23)

besagt genau: Es gibt eine Folge l o k l integrabler Klassen - g k , f i i r die I. die Folge f k - gk normal ist und gegen Null konvergieert; 11. in einer gewissen Umgebung Qo eines jeden Punktes X , E Q bei geeignetem

(ml, . . . , m,) und passender Wahl der knsgesamt mi Integrationen nach xi und der q-Klaseen die Folge

- -

(24) - pk =J. . - / n k - 92: ,..., m,,

d k ) = 2 i::), , , . , $,, z;1 . * * z>

normal ist und gegen Null konvergiert.

Elenienten

aus U gilt: f k + E ( ~ ) -+ 0. Mit g h y , . . , , = - - g k folgt daraus zunachst I. Weiter schreiben wir in einer gewissen Umgebung eines beliebigen Punktes von G gemiil3 (14) mit von k unabhangigen (mly . . . , m,)

Beweis. a) (23) besagt nach Definition, dal3 fiir eine gewisse Folge von

- - -

16) Vgl. [l], S. 75, ThBorBme XV. 10*

148

wobei gL2,), . , , auf der rechten Seite naturlicli fortgelassen wird. Bilden wir fur die iibrigen Suinnianden die Integrale jedesmal von denselben festen unteren Grenzen ai aus, so lronvergiert die Folge der Klassen (26) gegen Null und ist normal. Dainit ist auch 11. nachgewiesen.

b) Zuni Ueweise, da5 die Bedingungen des Satzes hinreicliend sind, brauchen wir negen I. aus 11, nur noch [gk] 3 0 zu scldieI3en. Dazu wiililen wir wieder a u s den Q,, eine lokal endliclie Uberdeckung {Qj} (j = 1 , 2 , . . .) aus und setzen in Qj Init. (24)

* * z%l i - 7 % '

Verinittels (22) erhalten \fir hieraus nach 2. Elemente

H. Konig, Neue Begrundung der Theorie der ,,Distributionen"

-

-

= - g E + 2;' q 1

E(k) = - gk + -

aus U, wobei nach 3, dk) -+ 0 gilt. Das heiRt aber [gk] -+ 0, womit der Beweis yon Satz 18 vollendet ist.

Wir bcmerken noch, da13 fur eine normnle Folge f k - 2 0 aus vkJ - i.0 schon f k --f 0 folgt, wie man an Hand des am Schlul3 von 3 gegehenen Beispiels ohne weiteres veriiiut en wirdl') .

-

-

Literatur [I] L. SCHWARTZ, Thborie des distributions. I, 11. Actual. scient. industr. 1091 (1950),

[2] C. CARATH~ODORY, Vorlesungen iiber reelle Funktionen. 2. Aufl., Leipzig u. Berlin 1925. [3] 0. HAUPT, G. AUMANN u. CHR. PAUC, Differential- und Integralrechnung. 11. Diffe-

(41 0. HAUPT u. G. AUNANN, Differential- und Integralrechnung. 111. Integralrechnung.

1 lR$ (1951). - Alle Zitate in dieser Arbeit beziehen sich auf Tome I.

rentialrechnung. 2. Aufl., Berlin 1950.

Berlin 1938.

17) Fur den Beweis siehe [3], S. 129, 2. Satz.

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Neue Begründung der Theorie der „Distributionen” von L. Schwartz