Normalverteilung, normal distibutiong,

Carl Friedrich Gauß, der „Fürst der Mathematik“ , the „lord of mathematics“1777 1855 P f i Gö i

Der alte 10‐Mark‐Schein, gültig bis 2002

1777‐1855, Professor in Göttingen,Lehrer von Bernhard Riemann 

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015  http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de

Folie  1

, g gThe old 10‐mark‐note available till 2002

Normalverteilung, normal distibutiong,2

2( )

21x

21( )

2f x e

2

21( )x

21( )

2x e

Vorsicht, wilde Formel, attention strange formula

Gaußsche Glockenkurve Gaussian bell curveGaußsche Glockenkurve    Gaussian bell curveWahrscheinlichskeitsdichte‐Funktion

b bilit d it f tiProf. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015  http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de

Folie  2probability density function

Normalverteilung, normal distributionstetig und nicht diskretstetig  und nicht diskret continuous and not discrete

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Folie  3Wahrscheinlichskeitsdichte‐Funktion probability density function PDF 

StandardNormalverteilung  ,standard normal distib tionstandard normal distibution

W.‐Rechner

früher in Tafeln

Nur die Flächen haben Bedeutung einer Wahrscheinlichkeit.Only areas have the meaning of probabilities, not the ordinates. 

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Folie  4

Binomial‐ und Normalverteilungbinomial and normal distibution

1‐sigma‐Abstandliegt bei den Wendepunkten

sehr ungewöhnlicheminent abnormalliegt bei den Wendepunkten

Ergebnisse außerhalb des 2‐sigma‐Bereichs heißen „ungewöhnlich“,

The inflection points define the 1‐sigma‐distance

eminent abnormal

Bereichs heißen „ungewöhnlich ,sie treten mit 5% W. auf.

distance

Results outside of the 2‐sigma‐region are called

Folie  5

Results outside of the  2 sigma region are called   „abnormal“, their probability is 5%.

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Beim Testen: signifikant auf dem 5% Niveau   //  hochsignifikant

Messwerte sind normalverteilt,(meist)ll d d l di ib dcollected data are normal distibuted, mostly

und nun?und nun?what is to do now?

Messreihe, test seriesDie (n‐1) im Nenner ist richtig denn so ist es

Mittelwert 1x x

ist richtig, denn so ist esein erwarungstreuerSchätzer für das wahre sigma.Bei beschreibender Mittelwert

mean q ii

x xn

Bei beschreibender Statistik steht dort  n.

the (n‐1) is important

21s x x StandardabweichungStichproben‐

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Folie  6

1 i q

i

s x xn

standard deviation

Messwerte sind normalverteilt,(meist)ll d d l di ib dcollected data are normal distibuted, mostly

d d h h h h h?Und was ist die Wahrheit, what is the truth?

Wurzel‐n‐Gesetz

Wir haben mit     vermutlich nicht       getroffend it i ht !

qx

Wurzel n Gesetz

und mit s nicht     !What are the valid values for and ? 

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Folie  7

Gaußsches Wurzel‐n‐GesetzGaussian square root n theorem

Wurzel‐n‐Gesetz

lt f thresult of themesurement

for english thereare the slides 13+14

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Folie  8

Gaußsches Wurzel‐n‐GesetzGaußsches Wurzel n GesetzGaussian square root n theoremWurzel‐n‐Gesetz

for english thereare the slides 13+14

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Folie  9

Gaußsches Wurzel‐n‐GesetzGaußsches Wurzel n GesetzGaussian square root n theorem

Wuzel(n)‐Gesetz for english thereare the slides 13+14

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Folie  10

Messungen auswertenMessungen auswertenevaluation of the collected data

1 2 3, , ,..., nx x x x english on slide 131 2 3, , ,..., nx x x xentstammen einer  (Normal‐) Verteilung mit  und .

english on slide 13

unbekannt

berechne  ix x 211 ( )ins x x

Mittelwert Standardabweichung alsMittelwertals Schätzwert für 

Standardabweichung alsSchätzwert für 

Je mehr Messungen man gemacht hat desto weniger wird der Je mehr Messungen man gemacht hat, desto weniger wird der gemessene Mittelwert vom wahren Wert abweichen. Daher hat die Verteilung der Mittelwerte aus n Messungen einekl i d d b i h ä li h

s

kleinere Standardabweichung , nämlich Man schätzt sie mit dem Standardfehler .

n

sn

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sn

x Angabe des Mess‐Ergebnisses Folie  11

B d t d M E b iBedeutung des Mess‐Ergebnissessx Angabe des Mess‐Ergebnisses z.B. 57 2.3

werden etwa mit 68%Wahrscheinlichkeit Mittelwerte in dem durch die

nund

Angabe des Mess ErgebnissesJeweils mit diesem gemessene normalverteilte  n  Messwerte  

werden etwa mit 68% Wahrscheinlichkeit Mittelwerte  in dem durch die  wahre Standardabweichung        gegebenen Bereich um       haben. zu  95% liegen sie im          ‐Bereich um       . 

n

2n

english on slide 14Solch ein Mittelwert ist der von uns gemessene Wert       . Wir kennen wedernoch       . Letzteres schätzen wir mit dem Standardfehler        .

xn

n s

english on slide 14

Wir hoffen nun, das nun auch umgekehrt das wahre       in dem durch        gegebenen Bereich mit etwa 68% Wahrscheinlichkeit und im Bereich

sn

n

n

mit etwa 95% Wahrscheinlichkeit liegt. Mit größerem n werden wir immer genauer.

Sieht man auf einem Messgerät z B die Angabe

2 sn

Folie 12

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Sieht man auf einem Messgerät z.B. die AngabeGenauigkeit         , so deutet man a als        für Einzelmessungen.a

Folie  12

Messungen auswertenMessungen auswertenevaluation of the collected data

1 2 3, , ,..., nx x x x Thi t ill b il bl i E li h1 2 3, , ,..., nx x x xfollow a normal didtribution with the unkrown parameters nd .a

This two pages will be available in English soon

calculate ix x 211 ( )ins x x

mean standard deviationmeanestimating value for

standard deviationestimating value for

The more measured data you have the merrier is the calculatedThe more measured data you have the merrier is the calculatedmean near the truthful value . Therefor the distribution of the means out of n measurements has

l d d d i i h i

s

a lower standard deviation, that isWe estimate this value with the standard error . n

sn

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sn

x We give as result of the measurement Folie  13

M i f th R ltMeaning of the Resultsx result of the measurement i.e. 57 2.3

There is a probaility of round about 68% that the calculated means for the n measuredvalues under the normal distribution with parameters will be in a 

d h b b l f h

n

nd a

result of the measurement

region round . With a probability of 95% they are in a regionof the width round .  

n2

n

Such a mean is the measured an calculated mean , also called . we know neither nor but we estimate this with the standard errorand with 95% in the region round

xn

sn

qxand with 95% in the ‐region round

We hope in reverse that the true wth an probability of 68%  will be in the ‐regionsn

n 2 sn

xWith growing up n we will be better and more accurate. 

If you see on a measuring tool the declaration , so this is thea Folie 14

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for single measured values.a

Folie  14

Messungen auswertenevaluation of the collected data

sx Wahrheit

truthn

Mess‐Ergebnisgmeasurement result

95%. Konfidenzintervall my liegt hoffentlich darinmy liegt hoffentlich darin we hope, my is in the confidence interval

Pech gehabt tough luck

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Folie  15Aber Pech gehabt, tough luck

Was weiß man denn überhaupt?pCan we say any thing at all?

Gibt es denn gar keine Gewissheit ??

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Is there any certainty?Folie  16

Man hat Verabredungen wie man mit der Unsicherheit umgeht There are rules to handle with uncertaintyumgeht  There are rules to handle with uncertainty.

Gedankenexperiment: Ho gilt. Thought experiment: Ho is valid 20 Forscher testen, 19 können Ho nicht ablehnen. 20 scientists, they keep Ho1 F h h fälli i i ifik E b i k i h d1 Forscher hat zufällig ein signifikantes Ergebnis, er kann nichts dazu, 

wenn er nun den alpha‐Fehler begeht. One scientist has accidentally a significant result so he slipped up the error of type 1significant result, so he slipped up the error of type 1.

Später wird seine H1 in der Fachwelt nicht mehr bestätigt,  die anderen 19  können froh sein, dass sie nichts behauptet haben, was falsch ist. 

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Aber er eine hat sich korrekt verhalten. But other sientists will not confirm H1, but he does‘nt work wrong. The 19 are glad, that they nothing accepted. Folie  17

Alle empirischen Wissenschaften phaben die gleichen Probleme

All empiricalworking sciencesworking scienceshave the sameproblemsproblems.In the inferencestatistics we learnstatistics we learnthe rules.

In der Beurteilenden Statistik lernt man die Regeln.N h I f i ik hli ß d S i ik I d k i S i ik

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Namen auch: Inferenzstatistik, schließende Statistik, Induktive StatistikFolie  18