Ökonometrie II Peter Hackl Sprechstunde: Fr, 10:30-11:30 Tel.: 31336-4663

Ökonometrie II

Peter Hackl Sprechstunde: Fr, 10:30-11:30Tel.: 31336-4663

11.3.2005 Ökonometrie II 2

Termine

März: 11., 18., 25. April: 1., 8., 15., 22., 29. Mai: 6., 13., 20., 27.Juni: 3., 10., 17., 24.


Literatur P. Hackl, Einführung in die Ökonometrie. Pearson

Studium, 2004 P. Hackl, Ökonometrie, 7.Auflage. Fakultas Skripten. J. Stewart & L. Gill, Econometrics, 2nd Ed. Prentice Hall,

2000. W.H. Greene, Econometric Analysis. 5th Ed. Prentice Hall,

2002.


Inhalte von Ökonometrie II Themen von Ökonometrie I waren: Lineares

Regressionsmodell, Schätzverfahren, Annahmen des linearen Regressionsmodells, Statistische Bewertung von Regressionsbeziehungen, Variablenauswahl und Missspezifikation, Lineare Restriktionen, Prognose und Prognosequalität

Ökonometrie II behandelt Methodische Erweiterungen Multikollinearität Heteroskedastizität Autokorrelation Zeitreihen und Zeitreihen-Modelle Trends und Unit root-Tests Instrumentvariablen-Schätzung


Regression und Modellierung

Multiples lineares RegressionsmodellY: endogene VariableX2, … Xk: exogene Variable

Modell beschreibt den Daten-generierenden Prozess von Y unter der Bedingung X2, … Xk

: Interzept

k: Koeffizienten von X1, …, Xk

1 2 2 ... k kY X X u


Einkommen und Konsum

200

400

600

800

1000

1200

70 75 80 85 90 95 00

PYRT PCRT

PCR: Privater Konsum, real, in Mrd.EURPYR: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real1970:1-2003:4

Basis: 1995Quelle: AWM-Datenbasis


Einkommen und Konsum, Forts.

200

400

600

800

1000

500 600 700 800 900 1000 1100

PYRT

PC

RT

PCRT vs. PYRT

PCRT: Privater Konsum, real, in Mrd.EURPYRT: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real1970:1-2002:4

Basis: 1995Quelle: AWM-Datenbasis


Konsumfunktion

Dependent Variable: PCR_D4Method: Least SquaresDate: 08/20/04 Time: 11:06Sample(adjusted): 1971:1 2002:4Included observations: 128 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010855 0.001053 10.31071 0.0000PYR_D4 0.747032 0.041840 17.85451 0.0000

R-squared 0.716716 Mean dependent var 0.024898Adjusted R-squared 0.714468 S.D. dependent var 0.014817S.E. of regression 0.007918 Akaike info criterion -6.823949Sum squared resid 0.007899 Schwarz criterion -6.779386Log likelihood 438.7327 F-statistic 318.7837Durbin-Watson stat 0.632776 Prob(F-statistic) 0.000000


Area-Wide Model (AW-Modell) Europäischen Zentralbank Working Paper Nr. 42 (2001) von Gabriel Fagan, Jerome Henry, Ricardo Mestre beschreibt die makroökonomischen Prozesse der

Euro-Zone Zielsetzung:

the assessment of economic conditions in the area microeconomic forecasting policy analysis deepening the understanding of the functioning of

euro area economy AWM-Datenbasis: ca. 100 Variable, 1976:1 bis 2003:4


EViews Software zur Ökonometrischen Analyse QMS (Quantitative Micro Software, USA) bringt 1994

EViews 1.0 als moderne Version von Micro TSP aktuelle Version: EViews 5.1 (2005) EViews 3.1 weiter als aktuelle Student-Version Link: www.eviews.com/index.html WU: Campus-Lizenz, an allen PCs EViews 5.1


Matrixschreibweisen Beobachtungen

(X1,Y1), … , (Xn,Yn)

Modell: Yt = 1 + 2Xt + ut

= xt‘ + ut, t = 1, …, n,

mit1

2

1,t

t

xX


Matrixschreibweise, Forts.

Gemeinsame Darstellung der n BeziehungenYt = 1 + 2Xt + ut, t = 1, …, n:

y = X + u

mit

1 1 11

2

1

, , ,

1n n n

Y X u

y X u

Y X u


Schätzen der Koeffizienten

1, 2: „wahre“ Regressionskoeffizienten

Störgrößen: ut = Yt - (1 + 2Xt)

Residuen: et = Yt - (b1 + b2 Xt)

Schätzer von i: bi ist Funktion von (Xt, Yt), t = 1, …, n.

Summe der Fehlerquadrate S(1, 2) = t ut

2= t [Yt - (1 + 2Xt)]2

Prinzip der Kleinsten Quadrate:bi = arg min1, 2 S(1, 2)


Ableiten der NormalgleichungenPartielles Ableiten von

S(1, 2) = t [Yt - (1 + 2Xt)]2 liefert

1 21

1 22

2 ( )

2 ( )

t tt

t t tt

SY X

SY X X

Nullsetzen:

ergibt die Normalgleichungen1 2

0, 0S S


Normalgleichungen

Auflösen nach b1 und b2 gibt die OLS-Schätzer

1 2

21 2 t

t tt t

t t tt t t

b b X Y

b X b X X Y

2 2

1 2

xy

x

sb

s

b y b x

2 2

1( )( )

1( )

xy t tt

x tt

s X x Y yn

s X xn

mit


OLS-Schätzung in Matrixform

Yt = xt‘ + ut, t = 1, …, n

odery = X + u

Summe der FehlerquadrateS() = (y-X)‘(y-X)

= y‘y -2y‘X+‘X‘X

OLS-Schätzer: b = (X‘X)-1X‘y


Konsumfunktion, Forts.




ˆ 0.011 0.747C Y


Eigenschaften von Schätzern Erwartungstreue: Schätzer bfür Parameter ist

erwartungstreu, wennE{b} =

Effizienz: Schätzer bfür Parameter ist effizienter als b*, wenn Var{b} < Var{b*}; bist effizient, wenn seine Varianz geringer als die jedes anderen Schätzers (aus einer Klasse von Schätzern) ist

Konsistenz: Schätzer bnfür Parameter ist konsistent, wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung von bnfür n->∞ im Punkt kollabiert


OLS-Schätzer: Erwartungstreue

1 1( ' ) ' ( ' ) 'E b E X X X y E X X X u

wegen E{u|X}=0

Der OLS-Schätzer b (und damit auch der ML-Schätzer) ist erwartungstreu!

Die Verteilung der ut muss als unabhängig von den Regressoren (Spalten von X) vorausgesetzt werden! Für fixe X ist das stets erfüllt.


Varianz der OLS-Schätzer

1

1 1

2 1

( ' ) '

( ' ) ' ( ' )

( ' )

Var b Var X X X u

X X X Var u X X X

X X

wegen Var{a+Au} = A Var(u) A‘, wenn

Var(u) = 2I vorausgesetzt wird.

Achtung! Die Annahme Var(u) = 2I bedeutet:• Homoskedastizität• Serielle Unkorreliertheit


Beispiel: Einfache Regression

Yt = + Xt + ut

Dafür ergibt sich

Die Varianzen sind

2

n nxX'X =

nx ttX

22 1

222

2 22 1

211

( ' )

( ' )

x

tt

x

Var b X Xns

XVar a X X

ns


Konsumfunktion, Forts.




22 1

222

2 22 1

211

( ' )

( ' )

x

tt

x

Var b X Xns

XVar a X X

ns


OLS-Schätzer: Effizienz

Das Gauss-Markov Theorem sagt: der OLS-Schätzer b ist der beste, lineare,

erwartungstreue (BLU) Schätzer für b hat minimale Varianz unter allen linearen,

erwartungstreuen Schätzern b ist effizient gegenüber allen linearen,

erwartungstreuen Schätzern

2 1( ' )Var b X X


OLS-Schätzer: Konsistenz

hat die Varianz

2

1lim lim 0nn n

Var b Qn

Konvergenz im quadratischen Mittel: E{bn}= für alle n

1' 'n n n n

n

X X X ub

n n

12 'n n

n

X XVar b

n n

mit der regulären Matrix Q = lim (Xn‘Xn/n)


Beispiel: Einfache Regression

Yt = + Xt + ut

Dafür ergibt sich

Damit Q regulär ist, muss Xt2/n auch bei beliebig

großem n endlich bleiben.

Achtung! X kann einen Trend enthalten!

n n 2

1 x1

Q = lim X 'X = lim 1n xx x

ttX

n


ML-SchätzerAnnahme: u ~ N(0, 2I), normalverteilte StörgrößenDichtefunktion der Beobachtungen (X1,Y1), … , (Xn,Yn)

Likelihood-Funktion

Log-Likelihood-Funktion

2 2 / 22

1( ; , , ) (2 ) exp ( ) '( )

2np y X y X y X

2 2 / 22

1( , ; , ) (2 ) exp ( ) '( )

2nL y X y X y X

2 22

22

1log ( , ) log(2 ) log ( ) '( )

2 2 2( )

log(2 ) log2 2 2

n nL y X y X

n n S


ML-Schätzer, Forts.

Ableitungen:

Likelihood-Gleichungen: Nullsetzen der AbleitungenMaximum-Likelihood (ML)-Schätzer:

Beachte: ML-Schätzer für ist identisch mit OLS-Schätzer (wenn Störgrößen normalverteilt sind)

2

2 2 4

( ) 1

2

( )

2 2

S

n S

1

2

( ' ) '

1( ) '( )

X X X y

y X y Xn


Eigenschaften der ML-Schätzer Schätzer für

erwartungstreu effizient konsistent

Schätzer für 2

nicht erwartungstreu! konsistent


Schätzer der Koeffizienten:Wahrscheinlichkeitsverteilung ML-Schätzer sind asymptotisch normalverteilt

OLS- und ML-Schätzer für sind ident; daher ist auch der OLS-Schätzer asymptotisch normalverteilt

Bei endlichem Umfang n: nur bei normalverteilten Störgrößen gilt

12, 'b N X X

12, 'b N X X


Liste der Annahmen

A1 lineare funktionale Form des Modells

A2 r(X) = k

A3 lim Xn‘ Xn/n = Q hat vollen Rang

A4 Xi unabhängig von u für alle i (Exogenität)

A5 E{u} = 0

A6 Var{u} = 2I

A61Var{ut} = 2 für alle t

A62Cov{ut, us} = 0 für alle t und s mit t ≠ s

A7 ut normalverteilt für alle t


Dimensionen der Bewertung Globale Bewertung: Kann das Modell den datengenerierenden

Prozess der abhängigen Variablen als Ganzes erklären? Globale Kriterien:

Bestimmtheitsmaß Adjustiertes Bestimmtheitsmaß Logarithmierte Likelihoodfunktion Informationskriterien, zB Akaike‘s AIC-Kriterium

Inferenz der Regressionsparameter t-Test F-Test ANOVA-Tafel


Bestimmtheitsmaß Definition:

Anteil der durch das Regressionsmodell erklärten Varianz (der Varianz der geschätzten Y) an der Gesamtvarianz der Beobachtungen von Y

Anteil der Varianz der abhängigen Variablen, die durch das Modell erklärt wird

oft in Prozenten angegeben

2ˆ22

y

y

sR

s

2 2ˆ22 2

1y e

y y

s sR

s s


R2: Eigenschaften Wegen gilt:

R2=1 bedeutet: ; alle Residuen sind Null! R2=0 bedeutet:

alle Regressionskoeffizienten haben den Wert Null! R2 soll einen möglichst hohen Wert haben

Einfache Regression: Multiple Regression:

R2 kann durch Hinzufügen eines Regressors nicht kleiner werden!

Achtung! Bei homogener Regression ist R2<0 möglich!

2 2 2ˆy y es s s

20 1R 2 2 2

ˆ , 0y y es s s 2 2 2

ˆ, 0y e ys s s

2 2 2ˆxy yyR r r

2 2ˆyyR r


Beispiel: Konsumfunktion




ys

2 2t ete ns

22

2 2

0.007899 0.007861 1 0.716716

128 0.0148 0.0148R


Bewertung der Parameter Frage: Trägt der Regressor Xi zur Erklärung bei?

Test von H0: i = 0 gegen H1: i>0 oder H1: i≠0: (t-Test)

Konfidenzintervall für i

Tragen alle Regressoren zur Erklärung bei? Test von H0: 2 = … =k (F-Test)


t-Test Verteilung der OLS-Schätzer b:

Für den Schätzer bi gilt:

mit dem i-ten Diagonalelement aii aus (X‘X)-1

√(aii) bzw. s√(aii) heißt Standardfehler von bi

Test von H0: i=0 gegen H1: i≠0:

Entscheidung mittels p-Wert:

1 2 1( ' ) ' , ( ' )b X X X u N X X

2( , )i i iib N a

0ii

ii

bp Wert P T

s a






ii

bt

s a

17.85 0P T


F-TestTest von H0: 1=…= k gegen H1: 0 trifft nicht zu

F ist verteilt nach F(k-1,n-k)Entscheidung mittels p-Wert

2

2

ˆ( )

1 1tt

tt

Y Y n k ESS n kF

e k RSS k







Eigenschaften von b, wennrelevante Regressoren nicht berücksichtigt werden

b ist verzerrt:

Das Vorzeichen des Bias ist schwer abzuschätzen

Die Varianz der Störgrößen wird überschätzt

1( )E b X X X Z

2 1( )Var b X X

2 2ˆ 0( )

xZ M ZE

n k g


Eigenschaften von , wennnicht relevante Regressoren berücksichtigt werden

ist unverzerrt

Zu große Varianzen

keine effizienten Schätzer

ˆE

2 1 2 1ˆ ( ) ( )zVar X M X X X Var b


Modellvergleich: F-Statistik In drei Schritten:1. Anpassen des kurzen Modells Y = X + u an die

Regressoren aus X, Berechnen der Residuen e2. Anpassen des weiteren Modells Y = X + Z + v an die

Variablen aus X und Z, Berechnen der Residuen 3. Berechnen von

4. F ist (näherungsweise) verteilt nach F(g,n-k)

ˆ ˆ

ˆ ˆRS Se e v v n k n k

Fv v g S g

v

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