Ortskurve

5/17/2018 Ortskurve - slidepdf.com

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SDRT I - Übungsblock 8Frequenzkennlinien II / Nyquist-OrtskurveDipl.-Ing. Markus Grün

WS 10/11 | IAT-rtm | M. Grün | 1



Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveMotivation

Die Ortskurve ist (wie das Bode-Diagramm) eine graphische Darstellung desFrequenzganges G (jω).

Im Gegensatz zum Bode-Diagramm wird aber nicht Betrag und Phase

aufgetragen, sondern Real- und Imaginärteil. Anwendung:

Mit Hilfe des Nyquistkriteriums lassen sich anhand der Ortskurve des offenenRegelkreises Aussagen über die Stabilität des geschlossenen Regelkreisesmachen.

In dieser ÜbungSkizzierung von Ortskurven, Anwendung des Nyquistkriteriums.




Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 1: FMD-System

Übertragungsfunktion

G (s ) =0,1

s 2 + 52s + 100Frequenzgang

G (jω) = 10− 0,1ω2

(100− ω2)2 + (52ω)2

Realteil

+j −5,2ω

(100− ω2)2 + (52ω)2

Imaginärteil

Ortskurve berechenbar für alle Frequenzen ω, bsp. :

ω = 0 ⇒ G (j0) = 10−3

,ω = 10 ⇒ G (j10) = 0 + j1,92 · 10−4 usw.

oder Berechnung charakteristischer Werte:

Im (G (jω)) = 0 ⇒ ω = 0 ∨ ω →∞





-2 0 2 4 6 8 10x 10

-4

-6

-4

-2

0

2

4

6

x 10-4

Reelle Achse

I m a g i n ä r e A c h s e

ω = 0

ω = 10





Bode-Diagramm

10-1

100

101

102

103

-180

-135

-90

-45

0

P h a s e

( ˚ )

Frequenz (rad/s)

-150

-100

-50

0

V e r s t ä r k u n g

( d B )

Ortskurve

-2 0 2 4 6 8 10x 10

-4

-6

-4

-2

0

2

4

6

x 10-4

Reelle Achse



G α(s ) =0,001

( 12s + 1)( 1

50s + 1)





Bode-Diagramm

-100

-80

-60-40

-20

0

20


( d B )

100 101 102-180

-135

-90

-45

0

P h a s e

( ˚ )

Frequenz (rad/s)


G β(s ) =0,001

1100s

2 + 150s + 1





-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

x 10-3

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

x 10-3

Reelle Achse





Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 3: RLC-Glied

Bode-Diagramm

-100

-50

0

50


( d B )

100

101

102

103

104

105

-180

-90

0

90

P

h a s e

( ˚ )

Frequenz (rad/s)


G (s ) =10−4s

10−6s 2 + 1,2 · 10−3s + 1




Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 3: RLC-Glied

-0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0

0,02

0,04

Reelle Achse





Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 4: GSM

Bode-Diagramm

-200

-150

-100

-50

0

50

V e r s t ä

r k u n g

( d B )

10-1

100

101

102

103

-270

-180

-90

0

P h

a s e

( ˚ )

Frequenz (rad/s)


G ϕ(s ) =0,2421

( 118,12s + 1)( 1

1,883s + 1)s

WS 10/11 | IAT-rtm | M. Grün | 10




-0,25 -0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

Reelle Achse


WS 10/11 | IAT-rtm | M. Grün | 11




Teilvergrößerung

-25 -20 -15 -10 -5 0 5

x 10

-3

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0

0,02

0,04

0,06

Reelle Achse

I m

a g i n ä r e A c h s e

WS 10/11 | IAT-rtm | M. Grün | 12



Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 5: Heizlüfter

Bode-Diagramm

-40

-20

0

20

40

V e r s t ä r

k u n g

( d B )

100

101

102

103

-90

-45

0

45

90

P h

a s e

( ˚ )

Frequenz (rad/s)


G 2(s ) = 201

40s + 11

20s + 1

WS 10/11 | IAT-rtm | M. Grün | 13



Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 5: Heizlüfter

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Relle Achse


WS 10/11 | IAT-rtm | M. Grün | 14



Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveStabilität des geschlossenen Regelkreises

Strukturbild eines Regelkreises

G (s)R

G (s)S

U(s) Y(s)W(s)

Strukturbildvereinfachungen:

G ges(s ) =Y (s )

W (s )

=G R(s ) · G S(s )

1 + G R(s ) · G S(s )

=F O(s )

1 + F O(s )

−→ Für die Stabilitätsanalyse des geschlossenen Regelkreises muss dieÜbertragungsfunktion des offenen Regelkreises F O(s ) = G R(s ) · G S(s )untersucht werden.

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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveSpezielle Form des Nyquistkriteriums

Voraussetzung:Die Üfkt des offenen Regelkreises F O (s ) besitzt keine Pole in der rechtens -Halbebene.

Dann gilt:

Der geschlossene Regelkreis ist genau dann stabil, wenn die Ortskurvedes offenen Regelkreises F O(jω) für 0 ≤ ω ≤ +∞ den Punkt (−1,0) derkomplexen z -Ebene links liegen lässt.

Beispiel (P-Regler mit Verstärkung 1)

G R(s ) = 1 ⇒ F O(s ) = G S(s )

WS 10/11 | IAT-rtm | M. Grün | 16



Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveSpezielle Form des Nyquistkriteriums

Voraussetzung:Die Üfkt des offenen Regelkreises F O (s ) besitzt keine Pole in der rechtens -Halbebene.

Dann gilt:

Der geschlossene Regelkreis ist genau dann stabil, wenn die Ortskurvedes offenen Regelkreises F O(jω) für 0 ≤ ω ≤ +∞ den Punkt (−1,0) derkomplexen z -Ebene links liegen lässt.


G R(s ) = 1 ⇒ F O(s ) = G S(s )

−→ Die Ortskurven von Strecke und offenen RK sind gleich.

−→ Da bei allen Beispielsystemen der Punkt (-1,0) links der Ortskurven liegt, sinddie geschlossenen RK stabil!

WS 10/11 | IAT-rtm | M. Grün | 16



Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveAllgemeine Form des Nyquistkriteriums

Voraussetzung:Die Üfkt des offenen Regelkreises F O (s ) besitzt n p Pole in der rechtens -Halbebene.

Dann gilt:

Der geschlossene Regelkreis ist genau dann stabil, wenn die Ortskurvedes offenen Regelkreises F O (jω) für −∞ ≤ ω ≤ +∞, den Punkt (−1,0)der komplexen z -Ebene genau n p mal entgegen dem Uhrzeigersinnumschließt.


G R(s ) = 1 ⇒ F O(s ) = G S(s )

WS 10/11 | IAT-rtm | M. Grün | 17



Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveAllgemeine Form des Nyquistkriteriums

Voraussetzung:Die Üfkt des offenen Regelkreises F O (s ) besitzt n p Pole in der rechtens -Halbebene.

Dann gilt:

Der geschlossene Regelkreis ist genau dann stabil, wenn die Ortskurvedes offenen Regelkreises F O (jω) für −∞ ≤ ω ≤ +∞, den Punkt (−1,0)der komplexen z -Ebene genau n p mal entgegen dem Uhrzeigersinnumschließt.


G R(s ) = 1 ⇒ F O(s ) = G S(s )

−→ Die Ortskurven von Strecke und offenen RK sind gleich.

−→ Da n p = 0 für alle Beispielsysteme ist, sind die geschlossenen RK stabil!

WS 10/11 | IAT-rtm | M. Grün | 17



Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 6: Pendelschrauber

αM R

M G

M S

WS 10/11 | IAT-rtm | M. Grün | 18





G 0,25π(s ) =10965,57

(s + 3,1 · 104) · (s + 1,64) · (s + 0,7)

G a(s )

·1

(s − 0,31)

G b(s )

Bode-Diagramm

-400

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100


( d B )

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

106

-360

-270

-180

-90

0

P h a s e

( ˚ )

Frequenz (rad/s)

G (s)

G (s)

a

a

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Bode-Diagramm

-400

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

V e r s t ä r k u

n g

( d B )

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

106

-360

-270

-180

-90

0

P h a s e

( ˚ )

Frequenz (rad/s)

G (s)

G (s)

b

b


G b(s ) =1

(s − 0,31)

WS 10/11 | IAT-rtm | M. Grün | 20




Bode-Diagramm des offenen RK (P-Regler mit Verst. K = 1)

-400

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

V e r s t ä

r k u n g

( d B )

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

106

-360

-270

-180

-90

0

P h a s e

( ˚ )

Frequenz (rad/s)

G (s)

G (s)

G(s)

G (s)

G (s)

G(s)

a

a

b

b

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Ortskurve

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0

-0,25

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

Reelle Achse


ω = 0

ω = +∞

ω = −∞

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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 6: Pendelschrauber (Ortskurven,Sprungantworten)

P - R e g l e r m i t K

= 1

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0

-0,25

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

Reelle Achse


ω = 0

ω = +∞

ω = −∞

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Zeit (s)

h ( t )

P

- R e g l e r m i t K =

2

-2 -1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

Reelle Achse


ω = 0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

Zeit (s)

h ( t )

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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveFazit

Alternative Darstellung zum Bode-Diagramm des Frequenzgangs. Das prinzipielle Verhalten ist in einer Ortskurve ablesbar;

Frequenzinformationen gehen verloren.

Die Ortskurve eines Systems läßt sich eindeutig aus einem Bode-Diagrammbestimmen, die Umkehrung gilt nicht.

Die Ortskurve des offenen Regelkreises (egal ob stabil oder instabil!) erlaubteine Aussage über die Stabilität des geschlossenen Regelkreises.

Im nächsten Übungsblock

Reglerentwurf mittels Frequenzkennlinienverfahren

WS 10/11 | IAT-rtm | M. Grün | 24

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