Parabeln

Funktionsvorschrift:

Wertetabelle:

x -3 -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 3

x² 9 4 1 0,25 0 0,25 1 4 9

y = x²

Parabeln

Funktionsvorschrift: y = x²

01

1

y

x

Jedem Zahlenpaar der Tabelle entspricht ein Punkt des Schaubildes.

Verbindet man die gezeichneten Punkte, so erhält man eine Kurve, die wir als Normalparabel bezeichnen.

x -3 -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 3

x² 9 4 1 0,25 0 0,25 1 4 9

Öffnung

Symmetrieachse

Scheitelpunkt

Parabeln

Die Normalparabel ist achsensymmetrisch..

01

1

y

x

y = x²

Die Symmetrieachse schneidet die Parabel im Scheitelpunkt.

Das Schaubild zur Funktionsgleichung y = x² ist eine Normalparabel, deren Scheitelpunkt bei O(0/0) liegt und die nach oben geöffnet ist.

Parabeln

Funktionsvorschrift:

Wertetabelle:

x -3 -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 3

x² -2 7 2 -1 -1,75 -2 -1,75 -1 2 7

x² 9 4 1 0,25 0 0,25 1 4 9

y = x² - 2

Wir vergleichen die Werte von y = x² - 2 mit denen von y = x².

Parabeln

y = (x –1)²

01

1

y

x

Vergleicht man die Punkte der Funktion y = (x – 1)² mit denen der Funktion y = x², so sind sie alle um 1 Einheit nach rechts verschoben.

y = x²

Das Schaubild zur Funktionsgleichung y = (x – 1)² ist eine Normalparabel, deren Scheitelpunkt bei S(1/0) liegt und die nach oben geöffnet ist.

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4

(x –1)² 16 9 4 1 0 1 4 9

x² 9 4 1 0 1 4 9 16

Parabeln

Funktionsvorschrift:

Wertetabelle:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4

(x –1)² 16 9 4 1 0 1 4 9

(x – 1)² + 2 18 11 6 3 2 3 6 11

y =(x – 1)² + 2

Wir vergleichen die Werte von y = (x – 1)² + 2 mit denen von y = (x – 1)² .

y = (x –1)² +2 Parabeln

01

1

y

x

Vergleicht man die Punkte der Funktion y = (x – 1)² mit denen der Funktion y = x², so sind sie alle um 1 Einheit nach rechts verschoben.

y = x²

Das Schaubild zur Funktionsgleichung y = (x – 1)² + 2 ist eine Normalparabel, deren Scheitelpunkt bei S(1/2) liegt und die nach oben geöffnet ist.

Vergleicht man die Punkte der Funktion y = (x – 1)² +2 mit denen der Funktion y = (x – 1)² , so sind sie alle um 2 Einheit nach oben verschoben.

y = (x –1)²

Parabeln

Funktionsvorschrift:

Wertetabelle:

x -3 -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 3

2x² 18 8 2 0.5 0 0,5 2 8 18

x² 9 4 1 0,25 0 0,25 1 4 9

y =2 x²

Wir vergleichen die Werte von y = 2x² mit denen von y = x².

Parabeln

y = 2x²

01

1

y

x

Vergleicht man die Punkte der Funktion y = 2x² mit denen der Funktion y = x², so wurden alle y-Werte verdoppelt.

y = x²Das Schaubild zur Funktionsgleichung y = 2x² ist eine schlankere Parabel als die Normalparabel. Ihr Scheitelpunkt liegt bei O(0/0) und sie ist nach oben geöffnet.

x -3 -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 3

2x² 18 8 2 0.5 0 0,5 2 8 18

x² 9 4 1 0,25 0 0,25 1 4 9

Parabeln

Funktionsvorschrift:

Wertetabelle:

x -3 -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 3

0,5x² 4,5 2 0,5 0.125 0 0,125 0,5 2 4,5

x² 9 4 1 0,25 0 0,25 1 4 9

y =0,5 x²

Wir vergleichen die Werte von y = 0,5x² mit denen von y = x².

Parabeln

y = 0,5x²

01

1

y

x

Vergleicht man die Punkte der Funktion y = -0,5x² mit denen der Funktion y = 0,5x², so hat sich das Vorzeichen aller y-Werte geändert.

y = -0,5x²Das Schaubild zur Funktionsgleichung y = - 0,5x² ist eine breitere Parabel als die Normalparabel. Ihr Scheitelpunkt liegt bei O(0/0) und sie ist nach unten geöffnet.

x -3 -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 3

-0,5x² -4,5 -2 -0,5 -0.125 0 -0,125 -0,5 -2 -4,5

0,5x² 4,5 2 0,5 0,125 0 0,125 0,5 2 4,5

Parabeln

y =- 0,5x²+5

01

1

y

x

Vergleicht man die Punkte der Funktion y = -0,5x² +5 mit denen der Funktion y = - 0,5x², so sind alle y-Werte um 5 größer geworden.

y = -0,5x²

Das Schaubild zur Funktionsgleichung

y = -0,5x² + 5 ist eine breitere Parabel als die Normalparabel. Ihr Scheitelpunkt liegt bei S(0/5) und sie ist nach unten geöffnet.

x -3 -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 3

-0,5x² -4,5 -2 -0,5 -0.125 0 -0,125 -0,5 -2 -4,5

-0,5x² +5

0,5 3 4,5 4,875 5 4,875 4,5 3 0,5

Parabeln

Funktionsvorschrift:

Wertetabelle:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

-0,5(x-1)² +5 -3 0,5 3 4,5 5 4,5 3

-0,5x² +5 0,5 3 4,5 5 4,5 3 0,5

y =-0,5 (x - 1)² + 5

Wir vergleichen die Werte von y = - 0,5(x - 1)² + 5 mit denen von y = -0,5x² +5.

Parabeln

y =- 0,5x²+5

01

1

y

x

Vergleicht man die Punkte der Funktion y = -0,5(x-1)² + 5 mit denen der Funktion

y = - 0,5x² + 5, so sind sie alle um 1 nach rechts verschoben.

y = -0,5x²

Das Schaubild zur Funktionsgleichung

y = -0,5(x-1)² + 5 ist eine breitere Parabel als die Normalparabel. Ihr Scheitelpunkt liegt bei S(1/5) und sie ist nach unten geöffnet.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

-0,5(x-1)² +5 -3 0,5 3 4,5 5 4,5 3

-0,5x² +5 0,5 3 4,5 5 4,5 3 0,5

Parabeln

Die Funktionsvorschrift:

Ist a > 0 so ist die Parabel nach oben geöffnet.

y =a (x - e)² + f

Bezeichnen wir als Verschiebungsform der Parabelgleichung.

Ist a < 0 so ist die Parabel nach unten geöffnet.

Ist l a l < 1 so ist die Parabel breiter als die Normalparabel.

Ist l a l > 1 so ist die Parabel schlanker als die Normalparabel.

Der Scheitelpunkt der Parabel hat die Koordinaten S( e / f ).

Parabeln

Die Funktionsvorschrift: y =a x² + bx + c

Bezeichnen wir als allgemeine Form der Parabelgleichung.

Um den Scheitelpunkt der Parabel zu bestimmen formen wir y =a x² + bx + c in die Verschiebungsform y =a (x - e)² + f der Parabelgleichung um.

Beispiel: y = 2x² - 20x +46 = 2(x²-10x) +46

y = 2(x² - 10x + 25 –25) + 46

y = 2(x² - 10x + 25) –50 +46

y = 2(x - 5)² -4

Die Parabel hat den Scheitelpunkt S(5/-4), ist schlanker als die Normalparabel und nach oben geöffnet.

Parabelny = 2x²

01

1

y

x

Vergleicht man die Punkte der Funktion y = 2x² mit denen der Funktion y = x², so wurden alle y-Werte verdoppelt.

y = x²

y = 2(x-5)²-4

Die blaue Parabel wird nun um 5 Einheiten nach rechts und um 4 Einheiten nach unten verschoben.