P a r a m e t e r s p e z i a l i s i e r u n g in P o l y n o m r i n g e n

Von WOLFGANG KRULL in Bonn

I~ der vorliegenden No~e wird der folgende, ffir die idealtheoretische Behandlung. der algebraischen Geometrie wichtige Satz bewiesen: Es sei ~-----K (u) ein rein transzendenter OberkSrper des beliebigeh K(irpers K, ~ bzw. H der Polynomring

iX1, . . . x,] bzw. K [x~, ..~ x,,]. Dann bleiben alle-zwischen endlich vielen, festen Idealen aus ~ bestehenden Summen-, Durchschnitts-, Produkt- und Qudtienten- beziehungen fast immer (d. h. immer nach Ausschlul~ von endlich vielen a-Werten) erhalten, w enn man durch eine Zuordnung (Parameterspezialisierung) u ~ a (a ~ K) den Ring ?~ auf H abbildet. Entsprechendes gilt in weitein Ur~ang ffir den Aufbau eines einzelnen Ideals; insbesondere geht e!n ungeniischt v-dimensionales Ideal aus

fast immer in ein ebensolches Ideal aus H tiber.

Der Beweis stfitz~ sich im wesentlichen aaf eine i~ltere Arbeit yon O. HERMANI'~I), WO gezeigt wird, da~ alle ffir uns wichtigen Idealoperafionen rational in endlich vielen Schritten mit Hilfe gewisser kanonischer Algorithmen durchgeffihrt werden kSnnen. Einige Fragen, auf die die vorliegende Note nieht eingeht, und die sich im wesentlichen ~uf alas Verhaltcn der Primideale bei Parameterspezialisierung beziehen, sollen in einer sp~tteren VerSffentlichung behandelt werden.

w 1. Problemstelhmg. Elementare Rechenoperationen

Es sei K ein beliebigcr, nicht-endlicher KSrper, ~-----K (u) ein einfach trans- zendenter 0berkSrper;H bzw. ~ bzw. 1~, sei der Polynomring in endlich vielen Un- bestimmtea x l , . . . x,, fiber K bzw. ~ bzw. der Poly~omring in x 1 . . . . x,,, u fiber K. Unter einer ,,Parameterspezialisierung" oder ktirzer , , A b b i l d u n g " u----> a vers~ehen wh" diejenige Abbildung yon ~ auf H, die sich ergibt, wenn man in allen Koeffizienten des Polynoms a (x) aus ~ die Transzendente u durch das K-Element a ersetzt. (Na~firlich sind dabei alle die a (x) yon der Betrachtung auszuschliel]en, bei denen ein Koeffizient mit einem dureh u - a teilbaren Nenner auftritt.) Bei der Abbildung u --> a wird jedem U-Ideal a ein bestimmtes//-Ideal a zugeordnet2); a umlaut alle

1) Die Frage der e/Ldlich vielea Schri~e in der Theorie tier Polynomringe. Ma~h. Ann. 95, (1926), S. 736--788.

3) a h~i~gt natiirlich yon der speziellen Wahl voa a ab. Im folgenden kSnnen wir darauf ver- zichten, diese Abh~ingigkeit in der Bezeichnungsweise besonders hervorzuheben.

P~rameterspezialisierung ia Polynomringcn 57

und nur die Elemente a- (x) aus / / , die aus eincm zu a gehSrigen ~-Element a (x) durch die Abbildung u -~ a gewonnen werdem Bedeutet ferner a~ : a ~ II~ das Durchschnittsideal yon a und H , , a~ das aus a~ dutch u - ~ a entstehendc/-/-Ideal so wird, wie miihelos zu sehen, a-, ---- a. Aus dieser Bemerkung f01gt leicht

S a tz 1: Jedes Ideal ~ besitzt (mindestens) eine ausgezeichnete Basis In l* (x) . . . . * a,, (x)] wird. Ist andrerseits [a 1 (x), a m (x)], /iir die immer ~ ~- [al* (x), .. - *

a,; (x)] eine beliebige Basis yon a, so wird wenigstens /ast immer -a- -~ [al (x), . . . a-i, (x)].

Dab e ibedeute t bier and weiterhin ,,immer" bzw. ,,fast immer" so viel wie ,,fUr jede Wahl des die Abbildung u --> a charakterisiere~nden Elements a" bzw. ,,f~ir jede Wahl vo~ a mit endlich vielen Ausnahmen".

Zum Beweis yon Satz 1 beachte m a n : a) Es sei In1* (x), . . . a : (x)] eine Basis yon a~ in H , und damit auch eine solche yon a in ~. Dann wird immer a--:-, a-~ [al* ( x i , - . a~* (x)], wefljede Polynomg!eichung in H~ bei ]eder Abbildung-u--> a

eine sinnvolle Poly~omgleichung in H liefert, b) Ist [a 1 (x), / . . a, (x)] eine beliebige Basis Voi~ ct, u~d haben die EIemente a* (x) dieselbe Bedeutung {~ie i n a),: so gilt

in ~3 ein Gleichungssystem'a* (x)-= ~ C,.~ (x)a~ (x)(i 1 , ' . . . m ) , uad daraus ent- h : l

r

steht fast immer in H ein sinnvolles System a* (x) -~ ,X w C~k (x) ak (x). k : l

Satz 1 kann nicht verscharft Werden, auch ivenn man nut solche Idealbasen bc- trachtet, deren Elemente alle Polynome in u sind. Z.B. ist zwax a -~ ( x , y ) - (x, x + u y) in ~3, aber es wird a ---- (x, y) + (x, x -+- 0. y) = (z) in H bei der Ab- bildung u --~ 0.

S a t z 2 : Es ist immer a--~-t)-~ ~a --~ b, a -D ~ c/- ~ und /ast immer ~--~ ~ : a + 5, a - b - - = a . 5.

a) Aus a ~ a + b , 5 ~ a + b f o t g t a ~ a + b , b = ~ a + b und d a m i t a + b - a +--~. Andrerseits ist a - b das kleinste //-Ideal, das al]e Produkte a (x ) -b - (x ) [a ( x )~ a, b ( x ) ~ ~-] enthiilt; diese Produkte liegen aber auch si~mtlich in ~ ; deshalb a . b ~ a �9 b. b) Es sei [a 1 (x), . . . a~ (x)] bzw. [b 1 (x), . . . b~ (x)] eine Basis yon a bzw. b; [e~ (x) . . . . . c? (z)] bzw. [d~' (x), . . . . d* (x)] bedeute eine Basis v~on (a + b), bzw. ( a -b ) , in II~,. Dann gelten in ~3 zwei Gleichungssysteme

r s r 3

c? (x) ~- ._~ rlk (x) a k (x) -~- ._~ sik (x) b k (x) bzw. d? (x) = .--~ ~ t~.kz (x). a k (x). b z (x), k - ~ - I k = l k = l l = 1

die fas t immer in sinnvolle Gleichungssy.st_eme in / / t ibe rgehen . Daraus folgt aber so~ort, dab fast i m m e r a + 6 = E + b , a - B = a �9 ~, weil nach Satz I immer a-k- 5 = [e~' (x) . . . . c~" (x)], a . b ----- [d-* (x) . . . . -d* (x)]. DaB Satz 2 nieht wesentlich ver- sehgfft werden kann, zeigen (ftir die Abbildung u---> 0) die Beispiele" a = (x 0, 5 = ( x ~ , + u x ~ ) ; a - ~ 5 - = ( % ) ~ a § bzw. a-----(x~, x ~ §

5 8 W . K R U L L

= ( z l , x~); a - ~ = ( x ? , x l x~., z~ za, ~.~- § u z2 z3); a - ~ = (Xx, x2)2 ~ a - b = 2 ( x l "2, x 1 x2, x2 , x l xa).

Wesentlich weiter, ausholen als bei der Idealsumme und dem Idealprodukt mtissen wir beim Durehschnitt u n d Quotientenl Es sei N eine beliebige ganze po- sitive Zahl, p (x, V) sei das ,,allgemeine': Polynom St:ten Gj:ades in xl, . . , x, mit de~ in irgendeiner Reihe~fotge genommenen (unbestimmten) Koeffizienten V~, . . . V~i l (V) bedeute eine Linearform in den V; mit Koeffizienten aus ~. Das Linear- formensystem 11 (V1), . : , l~(V) mSge ,,fiir die ZugehSrigkeit eines hSchstens 5 r- gradigen Polynoms zu a charaktenstaseh heiBen, weDn ftir irgendwelche-Elemente v 1 . . . . v~ aus ~ dann und nur dann 1 l(v) . . . . . 1 t (v)---0, fails p ( x , v ) ~ a .

H i l f s s a t z 1: a) Sind-m und u beliebige Ideale aus ~ , s o gibt es flit jedes feste N stets ein ftir die ZugehSrigkeit eines hSchstens N-~adigen Polynoms zu m:n eharakteristisches LineafformensysCem ll (V), . t t (V). b) Ist das System l 1 (V), . . . l t (V . ) fiir die ZugehSrigkeit eines hSchstens N-gradigen Polynoms zu m : u charakteristisch, so ist fast immer das System ll (V), . . . l~ (V) fiir dieZugehSrigkeit eines: hSchstens N-gradigen Polynoms zu m:n charakteristisch.

-a) Es sei m -- [ml(x), . .. m~ (x)], und es werde zunachst n'---- [n (z)] ats t taupt- ideal angenommen. Naeh einem bekannten (wohl zuerst yon G. HEnM~r~) voll- stiindig bewiesenen) Satz gibt es "ein nur yon n, r, N und den Gradzalden g l , . . g,-,

g yon m 1 (x), . . . m, (x), n (x) abhan~ges L _~> N derart, dal~ fiir ein behebiges~ hSchstens N-gradiges Poly~om p ( x , v) dann und nur dann p (x, v). n (x) ~ m wird, wenn sieh in ~ .die hSchstens . ( L - - g i ) - g r a d i g e n Polynome ~ (x) ( i : 1, .. r ) so bestimmen lassen, dal]

,r

m,. (x)- ~, (x) ~- p (x, v)- n (x) (1) i---- 1.

wird. (1) wiederum ist gleichwertig mit einem linearen Gleiehungssystem h

A, k �9 U k = w~ (i = 1 . . . . h'), (2) ] z ~ l

bei dem h und h' nut von L, n, r, g~, . .. g~ abh/ingen, die U k die zuniichst unbekann- ten Koeffizienten der $~. (x) bedeuten, un4 die u,; feste Linearformen in den Koeffi- zienten yon p (x, v), die Aik dagegen feste Elemente aus R darstellen. Bezeichnet e den Rang der Matrix il A~ ][ so ist bekanntlich (2) dann und nur dann auflSsbar, wenn in der dutch Anftigung der Spalte !! w i ]:~ erweiterten l~Iatrix atle Unterdeter- minanten (0§ Grades versehwinden. Ersetzt man nun in diesen Unterde- terminanten, (soweit sie nicht yon den .v; unabh/~ngig und damit identisch 0 sind), die v~- dutch Unbestimmte V;, so erh/flt man offenbar ein ftir die ZugehSrigkeit eines htiehstens N-gradigen Polynoms zu m: [n (x) ] charakteristisches Linearformensystem. Ist ferner allgemein n = [n~ (x) . . . . . n~ (x)], und ist das System l.~ (V) (k ~ 1, . . . t,) fiir die ZugehSrigkeit eines h(ichstens N-gradigen Polynoms zu m:[ni(x)]

Parameterspezialisierung in Polynomringen 59

charakteristisch (i = 1 , . . . s), so ist es das Formensystem z~. k (V)(i = 1 . . . . s; k = 1, ~ . . ti) ftir die Zugeh(irigkeit zu m:m

b) Ist l 1 (V) . . . l t (V) ein nach den Richtlinien yon a) konstruiertes, ftir die ZugehSrigkeit eines hSchstens N-gradigen Polynoms zu m-a charakteristisches Lineafformensystem, so tiberlegt man sich leicht, dal~ das Sysiem ~ (V), . . . ~ (V) ftir die ZugehSrigkeit eines hSchstens N-gradigen Polynoms zu m :~ charakteristisch ist, sofern nur die Abbildung u -+ a den folgenden Bedingungen gentigt:

a) E s ' w i r d m = [ml (x) . . . . m--~ (x)], ~ = [n 1 (x), . . . n s (x)]. fl) m:(x) und m l (x), nk (x) ur~d nk (x) haben jeweils denselben Grad. 7) Der Rang yon II~ A,-k [I wird nicht kleiner als ~ und damit genau gleich e.

Ist ferner l~ (V) (i----1 . . . . t') ein zweites, gleichfalls ftir die ZugehSrigkeit eines hSchstens N-gradigen Poly~oms zu m:n. charakteristisches Syste m, So mtissen fiber ~ lineare Beziehungen der Form

t ,

z,.(v) = ~ ~;,~ ~i, ( v ) ( , = I , . . . O; ~ ( v ) = ~d~ z~ (V) ( i = 1. . . . . :t') (3) �9 k ~ l k ' ~ l "

- t - - ~ t

bestehen,, u n d e s ist klar, dal~ neben ii (V), .: .IT (v) auch ll (V) . . . . . / , , (V) ftir die ZugehSrigkei t eines hiichstens N-gradigen Polynoms-zu m : ~ charakteristisch= ist, sobald nur tiber a), fl), 7) hinaus noch gilt! b) Die Beziehungev)(3) gehen bei der Abbildung u - > a tiber in sinnvolle Beziehungen:

-p

Y, (v) = 2 ~ 71 (7) (i = 1, . . t), ~ (v) = 2 ~ L (v) (i = 1, . . t'). (4) ~ 1 k ~ - i

Aus diesen Bemerkungen zusammengenomme~ ergibt sich die Richtigkeit der Behauptung b) yon Hilfsatz 1 in vollem Umfange.

Sa tz 3: E s ist stets -~-~ ~ ~ a f~ 5, a : b ~ a:b und last immer a ~ b -~ a ~ b,

a) Wegen_ a ~ 5 ~ a, ~= b ist a ~ b ~-a , ~-5 ; ferner haben wit: (a:5) �9 5 ~= a, (a:b)- b ~ (a:b) - b ~ a; a :b ~ -a : b. Da~ der erste Teil yon Satz 3 nicht verscharft

�9 werden kann, zeigen die Beispiele : Bei u ~ 0 ~ird fiir a =- (x~), 5 ----- (x~ -F u x~) 2 offenbar a ~ b = (x x ) C . a ~ b = (xi); ~:5 -= ( x l ) ~ a:5~ H.

b) Ftir den zweiten Teil yon Satz 3 gentigt es nach G. H~aMX~ ~) w 5 zu beweisen, dal~ ftir ein/estes, nur Yon ~ und 5 abhangiges N ]ast immer jedes zu a ~ b bzw. a-:-5 ~ehSrige, hSchste~s N-gradige Polynom notwendig auch zu a ~ 5 bzw. a :b gehSrt. Ist nun zunfichst t~ (V), . . . l~ (V) ein ftir die ZugehSrigkei t eines h(ichstens N-gradigen Polynoms zu ~:b charakterj'stisches System, so hat ~(-V) . . . . ~ ( V ) fast immer dieselbe Bedeutung einerseits ftir E:I~, andererseits ftir a:b. (Man setze in Hilfssatz i das einemal m -= - - ~, ~ = b, .das andremal m : a:5, ~ = ~.) Es ist

f

also jedenfalls fast immer ~ :b - - - - a :b . Sind ferner die Systeme /'I(V), . . . l~, (V) bzw. l" (V), l~: (V) charakteristisch ftir die ZugehSrigkeit eines hSchstens

1 " " "

60 W. KaULL

7 N-gradigen Polynoms zu a bzw. b, so hat offenbar das Vereinigungssystem l~ (V), . . . l~', (V) die gleiche Bedeutung ftir a "~ b, and nach Hilfssatz 1 ist weiter ( m = a bzw. = b bz~:. = a ~ 5, a = ~ ! ) fast immer l ' l ( V ) , . . . ' l t ,(V) bz~. l " " ( V ) b z ~ . - l ' . . - - " (V), . . . lt, ~ (V), . lt,, (V) charakteristisch fiir die ZugehSrigkeit

eines hSchstens N-gradigen Polynoms zu a bzw. b bzw. a ~ 5. Daraus folgt aber, dal~ fast immer -a ~ b- -~ a ~ 5 wixd, well ja 7'1 (V), . . . it,, (V) f tit die ZugehSrig- keit eines hSchstens 5r-g~adigen Polynoms zu a ~ b charakteristisch sein mul3, falls-l'1 (V) . . . . l t, (V) bzw. /-" . . 1 (V), .. it- (V) die entsI)rech'ende Bedeutung ftir ~i-bzw. b besitzt. ~ i t den zum Beweise yon Satz 3 benutzten l~ber!eguI/gen beweist man noch leicht:

�9 Z u s a t z h e m e r k u ~ g : Gibt es in a . ke in Polynom p* (x)=~ 0 h~chstens 2V-ten Grades~ das hinsichtlich der einzelnen .x i vorgeschriebenen Gradbeschriinkungen geniigt (z. B. in x , + 1 hgchstens den Grad M ~ N , in x,+2, . . . x,. den Grad 0 besitzO, so r es last immer auch in "-a kein derartiges P.olynom -p* (x).

Ist n~mlich etwa a = [ m 1 (x), . . . m, (x)], so tiberlegt man sich ~hnlich wie bei Hilfssatz 1, dafi die NichtzugehSrigkeit eines Polynoms p* (x) ~ 0 zu a gleichwertig

h ist mit der Tatsache, dal] ein bestimmtes Formensystem l,. (U).---- v A,~ uk. (i - 1,

k - - - - - 1 h t

t t ! �9 o

�9 -. e ; Aik ~ ~) yon einem gewissen andern Formcr~system 1,. (U) ~ v A k Uk (* = 1,

(2 t

. . . ~'; A~k G ~) linear abhiingt: /~-(U)----.~ c,.~ l'~ (U) ( i - - - -1 , . . . o). (Man denke k - - - - 1

sich auf der rechten Seite yon (1) p* (x) anstelle v on'p '(x; v ) . n (x); die U~ sind wieder die Koeffizienten der ~ (x); l' . . . . l' (U) ,,, (U) : 0 ist notwendig und hinreichend daftir, dal~ p* ( x ) d e n vorgeschriebenen Gradbedingungen gentigt;

t ! - l~ (U) . . . . . l o (U) = l~ (U) . . . . . l~, (U) ---- 0 charakterisiert das iden.tische Verschwinden yon p* (x).) - - Welter tiberlegt man sich da~n sofort, da~ a sicher ebensowenig wie a ein ~* (x) =~ 0 enthalt, wenn nur 1. d ----- [m 1 (x), . . . m,(x)] wird, 2. jedes m i (x) genau denselben Grad gi besitzt wie m , ( x ) and 3. das

Relationensystem l i (U) - ~ .,v, cl ~ l~ (U) in ein sinnvotles Relationensystem k = l

o t

l, (U)---- v cr l~ (U) iibergeht. Damit ist das ,,fast immer" gesichert. k = l

w 2. Idealzerlegungen. Zugehiirige Primideale

Gruadlegend fiir die weitere~ Unters.uchungen ist ein allgemeines Lemma, dessen Formulieru~g wit uns jetzt zuwenden. Es seien Ai (x) (i ---- 1 . . . . h) endlich viele Polynome in x 1, . . . x~, yon den Gradzahlen g,.; ihre irgendwie angeordneten Koeffizi- enten seien d 1 . . . . a(,~. Ferner sei eiue Rechenvorschri_ft vorgelegt, die es gestattet, aus den A i (x) schrittweise eine endliche Kette B 1 (x; a) . . . . l~t;(x; a) yon Polyno-

Parameterspezialisierung in Polynomri~gea 61

men Bk (x; a) in x 1 . . . . x~ zu bitden, deren Koeffizienten ganzzahlige Polyn9me in al . . . . ao, darstellen. Schlie$lich werde ek = 0 bzw. ek = 1 gesetzt, je nachdem ob /~k (x: a) (identisch in den Xr bei den gegebenen Wer~en der %) versehwindet oder nicht. Dann mSge unsere Rechenvorschrift als , ,kanonischer Algori thmus ''

bezeichnet werden, wenn folgende Bedingungen efffiltt sind: 1. Eine obere Schrauke L ffir die Gliederzahl l der Kette der Bk (x; a) sowie das Bildungsgesetz yon B~ (x; a) ist altein durch die Zahlen n, h, g~, . . . gh gegeben. 2. Bei bereits berechneten B~ (x; a), . . . B k (x; a) ist das Bildungsgesetz yon Bk+l (x; a) allein dutch die Zah- len n, h, gx, . . . gh, ex . . . . e~ eindeutig bestimmc. Fiir kanonische Algorithmen gilt offenbar das folgende

L e m m a : Lie]ert i n ~ e in Kanonischer Algor i thmus zur Polynomreihe A l (x) ,

�9 . . At, (x) die Ket te B k (x', a) (k --~ 1, . . . 1), 8o lie/eft derselbe Algori thmus fast i m m e r

in I-[ zur Reihe Z41 (x) . . . . . 7t h (x ) die Ket te Bk (x; a) = B k (x; a) (k = 1 . . . . l).

Der Beweis folgt soforL aus der Bemerkung, da~ b~st immer A i (x) und .4;-(x) denselben Grad haben und.fast immer B k (x; a) und Bk (x; a) das gleiehe sk zu- geordnet ist. Ffir die A~wendung des Lemmas sei bemerk~: Unter die kanonisehen

Algorithmen l~l]t sieh jedes Verfahren einordnen, bei dem nach der Bestimmt~ng yon B~ (x; a) . . . . Bk, (x; a) die Bereehnung einer weiteren Reihe Yon Polynomen

�9 G] (x; a) nach eindeutiger Vorsehrift mSglich ist, sobald man nt/r iiber das Versehwin- - . , , .

den oder blieht~-ersehvfinden gewisser Koeffizienten Yl . . . . ~,~, der A ~ ( x ) , . .

Ah (x), B 1 (x) . . . . Bk, (x), sowie fiber die Rangzahlen gewisser aus den A~ (x), . . . A~ (x), /3~ (x) . . . . B~, (x) gebildeter�9 P01ynommatrizen i ,,(~) ~.o I] (~ = 1, . . . T;

---- 1, . . . H~; o = 1 . . . . P~) Bescheid well]. (Hart braucht nur die ~,~ . . . . Z,,, sowie die s~mtlicheh aus den Matrizea.l] C (~) -.~o I[ ableitbaren Determinanten unmittel- bar anseh]ie~end an B~, (x) in die Reihe der B~ (x) aufzupehmen).

Bei den weiteren .Untersuchungen betrachten wir, genau genommen, nicht die Idea]e aus ~ , sondern nach Adjunk~ion y o n n "~ Unbestimmten u~ (i, k ~- 1, . . . n) zum GrundkSrper ~ die Erweiterungsideale ~ - ~ (%~) ~us ~ . ~ (uik) [und-ent- sprechend die Erweiterungsideale ~-. K (ui~) aus H - K (u;~)]. Da aber naeh bekann- ten Satzen der Aufbau der Ideale a- ~ (ui~) genau dem der ursprtingliche~ Ideale ~i entspricht , kSn~en wir die Adjunktion der u,~ stillschweigend vornehmen, d.h. nach wie vor ~ start ~ (u,~), ~ statt ~ - ~ (u,.~) usw. schreibena). Mii Hi~e der ui~

fiihren wir anstelle, der x i neue, ,,allgemeine" Variable z i ~ ~ ui~ x~: (i ~ 1 . . . . n)

ein; mit ~ bzw. ~ bezeichnen wir de~ Polynomring ~ [ z ~ , " . z~] bzw. den zugeh(i-

a~ Vgl. z. B.: W. ~RCLL, Beitr~ge : zur Ari~hmetik kommutati.ver In~egrit~tsbereiche VIII, Math. ZeiC;schrift (1943) S. 1--20, w 1. Zuodea weiterhia beniitzten Begriffea und S~tzea aus der Polynomidealtheorie vgL etwa: W. xau~L, Idealtheorie, Ergebnisse der Mathematik und ikrer Grenzgebiete, Bd. 4, Heft 3 (1935), insbesondere w ~,'w 17, w

62 W. K ~

rigen QuotientenkSrper ~ (zl, . . . z,.) (i = 05 t, . . . n; ~o = .~; ~,, ~- ~)- Unter dem /-ten , ,Grundideal" yon a verstehen wir das Ideal aller der a (x)-E ~, ffir die eine Beziehung a i (x) . a (x) ~ a [a i (x) ~ ~i] ~l t ; gi:gi+ 1 mSge der ~te ,,Grund- quotient'" yon a heil~en (i -~ 0, 1, . . . n - - 1; go ----- a, g, -~ ~).

Sa tz 4: Is t ~i bzw. ~i das i-re Grundideal bzw: der i-re Grundquotient yon a, so ist /ast immer : gi bzw. f,. das i-te Grundideal bzw. der i-te Grundquotient yon ~.

Der Bewe~s, der wegen Satz 3 nur flit die 9: gefiihrt zu werden braucht, folgt sofort daraus, dab nach G. HERMAN'1), w 4, aus einer gegebenen Basis [A1 (z) . . . . A t (z)] yon a fiir jedes i durch einen kanonischen Algorithmus bin der Gleichung a:[D (z~ . . . . z-i)] ---- ~i genfigendes Polynom D (zl, . z,) bereehnet werden kann. Zur Auswertung yon Satz 4 brauehen wit eirSge bekannte Definitionen und Siitze. Wie iibfich nennen wit ein Primideal p , , zu a gehSrig", wenn bei jeder Primfixkompo- nentenzerlegung yon a ein zu p gehSriges Primiirideal auftritt. Unter derDimens iou

eines Primideals verstehen wi'r den Transzendenzgrad des zugehSrigen Restklassen- kSrpers fiber ~ ; die Dimension eines beliebigen Ideals a wird gleich m gesetzt, wenn a mindestens ein m-dimensionales, abet kein (m + 1)-dimensiona!es Primoberideal besitzt, a heist ungemischt r-dimensional, wenn, alle zugehSrigen Primideale ~:-di- mensional sind, d.h. wenn a als Durchsehnitt yon endfieh vielen, durchweg r-di- :mensionalen Primiiridealen dargestelltwerden kann. Naeh E. NOETHER 4) gelterL die Satze: a ist dann und nur dann r-dimensionall ~venn a kein Polynom in. z~ . . . . z . aUein, v<ohl aber ein solches in z 1 . . . . z,+ ~ enthalt. Der i-te Idealquo~ient ~,. yon a ist dann und n u r dann ~ ~, wenn a mindestens ein zugehSriges i-dimensionales Primarideal besitzt; ~. =~ ~ ist. ungemischt r-dimensional, seine zugehSrigen Prim-

-ideale sind identisch mit den i-dimensioaalen, zu a gehSrigen Primidealen. a ist dann und nur danu ungemiseht ~r-dimensional, wenn fiir die zugehSrigen Grundideale go----- ~1 . . . . . 9 , ~ a; g,+l---- g,+_~ . . . . . g, ---- ~ wird. Aus der letzten Bemerkung und Satz4 folgt so fo r t :

Sa tz 5: Is t a ungemisc~t r-dimensional, so ist es ]ast immer auch a.

S a t z 6: Die Dimension yon. a is t /ast immer gleich der Dimension yon a und niemals

gr6[3er.

In der Tat, ist a r-dimensional, so enthalt a mindestens ein Polynom P (z~ . . . . z, + ~), yon dem vorausgesetzt werden dad, da ]es in a ganz ist, dal~ abet seine Ko- effizienten keinen. Teiler positiven Grades in u gemeinsam haben. Bei ]eder A b - bildung u ~ a geht nun "P (z 1, . . . z, + 1) in ein yon 0 verschiedenes, yon z, + 2 .. �9 z, freies Element P (z 1 . . . . Z,+ 1) aus a fiber, und es k a n n deswegen a , (das u. U. gleich H wird), jedenfalls hSchstens die Dimension r haben. Andrerseits wird fast immer, falls ~ der r-re Idealquotient yon a ist,-~, der r-te Idealquotient yon a, und da aus ~. ~ ~ fast immer -~r ~= H folgt, mul~ a fas~ immer gleiehzeitig mi t a mindestens

~) Eliminationstheorie und allgemeine Idealtheorie, )lath. Ann. 91}, (1923), S. 229--261.

Parameterspezialisierung in Polynomringen 63

ein r-dimensionales Primoberideal besitzem Dal~ die Dimension yon a u. U. kleiner werden kann als die yon a, zeigt folgendes Beispiel: a = [x 1 �9 (1 + u %), x 2 �9 (1 + u xa) ] ist (~ - - 1) -dimensional, wiihrend alas bei der Abbildung u - > 0 entstehende Ideal ~ ~ i(xl, x2) die Dimension n - 2 hat.

S a t z T : Sind ~)1 und ~ zwei verschiedene Primideale aus:~, so bexitzen 01 und t)~ ]ast immer kein gemeinsames zugehSriges Primideal.

Ist 'namlich r,. die-Dimension y o n ~,, so ist-~i nach Satz 5 fast immer ungemisc!li ri:dimensional (i ~ 1, 2). Daraus folgt zunachst sofort die Behauptung fiir r 1 =~ r~. Ist aber r r--- ru = r, so hat t)~ + 0~ und damit nach Satz 6 auch ~)1 + 0~ stets hSch- stens die Dimension r - - 1, und das ware ausgeschlossen, wenn die ungemischt r-di- mensionalen .Ideale 01, 0~ eir~ gemei~sames zugehSriges Primideal besal~en. Die Unmiiglichkeit, Satz 7 zu versch~rfen, zeigt folgendes Beispiet: ~)1 = (xl 2 + x l + u x~) und t)2 (xl ~- + u x2) sind in ~ versehiedene, (n - - 1)-dimensio~ale Primideale, bei u ~ 0 entstehen in T /d ie tmgemischt (n - - 1)-dimensionalen I d e a l e ~ = (x~ + xl), ~)~----(x~) mit dem gemeinsamen zugehSrigcn, Primideal (xl).

S a t z 8 : Sind t)l , . . . t),~ die z u a geh6rigen Primideale, so besteht die Menge der zu -~ geh6rigen Primideale /ast. immer aus allen un~d nur den primidealen, die zu einem der Ideate ~i gehOren.

In der Tat, sind Iu, ~1 . - - I , - ~ die zu a gehOrigen Idealquotienten, so darf nach Satz 5 ")orausgesetzt werden, dal~ I~, f l . . . . f~_ ~ im gleichen Verhaltnis zu a- stehen. Ist r u n fi = ~ , so ist immer f,. = H, u~d es besitzt weder a noch a ein zugehSriges i-dimegsionales Pr imideal . Ist aber ~ ~ ~ , so ist ~ieht nu r I~', so~dern ~ach Satz 5 fast immer ' auch fi u.ngemiseht/-dimensional. Die i-dimensionalen Primoberideale yon ir bzw. ~,., die mit ~/~, . . . 0,.~ bzw. q,.~, . . . q,-,, bezeichnet werden mSgen, stellen dan~ gerade die samtliche~ zu a bzw. ~ gehSdgen, i-dimensi0nalen-Primideale dar , und zum Beweis yon Sa t z8 hat man nur zu beachte~: 3 ) N a c h Satz 5 sind die Ideale ~,-~ fast immer ungemischt i-dime~si0nal; dann abet ist jedes zu e i n e m ~r gehiSrige Primideal aIs i-dimensionales Pr imober ideal yon ~i in der Reihe der q/z

r . . r ~ n i l " �9 �9 enthalteri, b ) F i i r geniigend groBes r wird ~),x . . . ~)im= i~ und damit - " �9 �9 r - - ~),-~ ~ ~. Jedes q~z muB daher mindesteI~s ein ~ , enthal ten ulid damit als i-dimen-

sionales Primoberideal yon 0;~ zu O,.k gehOren.-- Wir wolleI~ nun die Gleichultg a = ql ~ --- ~ qm eine , ,Normalzerlegung" voll ct nennen, wenn die q; Pr imar- ideale darstellea, deren zugehSrige Primideale al le verschieden sind und in il~rer Gesamtheit gerade die Menge a l l e r zu a gehSrigen Primideale bilden.

S a t z 9: Is t a -~ ql ~ . . . ~ qm eine Normalzerlegunff yon a in ~ , -q~ ~-

q~ ~ ~ . . ~ q~,i eine solche yon q~ in H (k = 1, . . . m), so i s t / a z t immer a ~-

qn ~ - . . ~ q,,,,, eine Normalzerlegung yon ~ in H.

Zunachst wird nach Satz 3 fast immer ~ = q ~ ~ . . . ~ q ~ , . Ist f e r , er t)~

bzw. t)~ (l = 1, . . . m~ ) das zu q~ bzw. -q~ gehSrige Primideal, so miissen nach Satz 8

64 Xv. J~_RULL: Parameterspezialisierung in Potynomringen

fast immer ~)kl . . . . ~)2mk nicht nur die zugeh(irigen Primideale yon qk, sondern auch

die yon ~k darstellen, und eine nochmalige Anwendung yon Satz 8 zeigt, dal3 die Ideale ~)11, �9 �9 ~)mr,, zusammenge~ommen gerade die MelIge all_er zu a gehSrige~ Primideale

bilden. Schlie~lich fo]gt aus Satz 7, daI~ die Ideale ~k fast immer alle verschieden sin&

Da nach E. 5~OETH~R jedes Ideal a mindestens eine Normalzerlegu~g besitzt, daft man sich bei der weiteren Behandlung des Problems der Verhalten der Ideale bei Parameterspezialisierung aUsschliel31ich auf Prim- und Primiirideale beschriinkem Die hier noch iibrig bleibe~de~ Frs sollen in einer zweiten Note behandelt werden-

(Eingegangen am 10. 1. 1948)