Partikulare Integrale von dynamischen Gleichungssystemen ( \ ' e r o f f e n t l i c h i i n g e n d c r S t c r n w a r t c Miinchen Rd. 5 N r . 6 )

Von F. SCHAIEIDLER, Munchen (Eingcgangen 1958 Nov. 11)

Es wird allgeniein die Frage untcrsucht, unter welchen Bedingungen ein dynamischcs Systcm spezielle Losungen besitzt, welche beliebig vorgegcbene Bedingungcn erfiillen. Als Anwendung wird die LAGRAXGESC~C Lasung des Drei- ktirperproblems neu bewicsen, bei welclier die drei Massen stets an den Ecken eines gleichseitigen Drciccks stehcn. Als weitere Anwendung w i d die Existenz eincr Klasse von Losungen des ebenen Z)reikorperproblcms gczeigt. bci welcher die Apsidenlinien der beiden Planctenbahnen inimcr ziisammenfallen. falls nur sikulare Sttirungen beriicltsichtigt werdcn.

1. Allgemeine Theorie Die Tatsache, da0 das Dreikorperproblem die von 1-AGHASGE cntdccktcn partikultiren Losungen

besitzt, bci denen die drei Masscn cntweder standig cin glcichseitiges Dreieck bilden odcr stets in cincr Geraden angeordnet sind, lcgt es nahe, dic folgcndc Frage zu stellen:

, , W e laL3t sich cntscheiden, ob ein dynamisches Problem, welchcs durch cin Systcm gcwohnlichcr Differentialgleichungen definicrt ist, partikulirc Losungen besitzt, bei denen gewisse vorgcgcbcnc gcomctrische Bedingungen wahrend des Ablaufs der Bewegung stets crfiillt sind ?"

\Venn das System durch K Koordinaten gekcnnzeichnet ist, hat man im allgemeincn k gcwohn- liche Diffcrcntialgleichungen zweiter Ordnung ; wenn man in der ublichen Wcisc die Gcschwindigkeitcn als zusatzliche unabhangigc Variable betrachtet, liegen 2 h gcwolinlichc Differentialgleichungen erster Ordnung vor. Daher wird die ganz allgemeine Annahme gemacht, daB die Bewegung durch 11 Koordi- naten und n gewohnliche Diffcrcntialglcichiingen crster Ordnung

n (1)

gekcnnzcichnet ist. Dazu sei eine gewissc Anzahl, ctwa 1, Beziehungen zwischen den Koordinaten gegeben

F,(w,, . . . , x,,) = 0, F*(q, . . . , w,) =- 0 , . . . , F,(ZI, . , XI, ) 7 0 (4 und dic Frage gestellt, ob es partikularc Losungcn dcs Systems (I) gibt, fur dic die Bedingungcn (2) wahrend des Ablaufs der Bcwcgung jcdcrzeit erfullt sind.

Es ist trivial, daL3 solche Losungen existieren, wenn alle Funktionen FA in (2) allgcmcinc Intc- grale des Systems (I) sind. In dicscm Fall sind dic FA wahrend drr Bcwegung numcrisch koiistant und die gesuchten partikularen Liisungen, die die Bedingungcn (2) erfiillcn, sind diejenigrn Losungrn, fur dic die betreffenden Integrationskonstanten den speziellen Wert Kull habcn.

\?"c das Beispiel der LAGRANcEschen Losungen dcs Dreikorperproblrms zeigt , konnrn part ikularc Losungcn von (I) auch Bedingungen der Form (2) crfiillen, die nicht allgcmeine Intcgrale von (I) sind; die bei dcr LAGRASGEschen Losung crflillte numer ische Gleichheit der drei Rclativabstande ist clurchaus kcin allgemcines Integral des Drcikorperproblems. Daher muB die Fragc, wann Bedingungen der Form (2) crfiillbar sind, allgemcincr untersiicht wcrdcn.

Infolge der zcitlichen Verandcrung der Koordinaten xi hat jede beliebige Funktion F(w,, wt, . . . , x,,) zu jedcm Zeitpunkt cinen andercn numerischen Wert. Die zeitlichc Anclcrung der Funktion F ist durch ihren Differentialquotientcn gegebcn, dcr aus (I) berechnet werdm kann : man findet

wobei unter Xi der allgemcine Operator n -.I

F. SCHXEIDLER: Partikillire Integrale von dynamischen Gleichungssystcrnen 59

verstanden sein soll. Wcnn zufallig XI; identiscli vcrschwindet, ist dic Funktion F wahrend der Be- wegung konstant und damit ein Integral von (I). Das entspricht dcr brkannten Tatsache, daB dir partielle Differentialgleichung

Xf = 0

die gleichcn Integralc wie das System (I) besitzt. Wenn die in dcn Bcdingiingen (2) auftretcndcn Funktionen FA nicht allgemeine Integrale yo11 (I)

sind, kann es deniioch partikulare Losungen gebcn, bci dcnen die Bcdingungcn (2 ) stets erfiillt sind. Um die Frage clcr Existenz solcher Losungen zu klarcn, hat man die zeitlichen Ableitungcn der Fa, also mit Hilfe des durch (3) definicrtcn Ausdrucks X/ die Funktionen XF), zii bildrn. Dicsc vcrschwinden nicht identisch, aber es kanii dcr Fall eintreten, daB die XF, immcr dann vcrschwindcn, wcnn die Fj

vcrscliwindeii; rlas ist dann der Fall, wciin die Clcichungeii

XF, = o

fur alle dicjenigen Wertesysteiiw dcr xi crfullt sind, fur wclche aucli allc F a = o sind. Solcllc Re- ziehungen, die nicht selbst Intcgralc cines dynamischen Systems sind, aber dcnnoch untcr geeigneten Bedingungcn st andig crfiillt sind, hat BRWSS~) als ,,Intcgralgleichungcn" bczeichnet. Da dicscr AUS- druck inzwischen fiir mathematisclir I'rol~leme andcrer Art veiwciidct wird, sol1 er hicr niclit benutzt wcrden.

\Venn die Rczicliungen X F A = o iiiclit infolgc voii Fa = o crfiillt sind, wird cs unter den Funk- iionen X F I einc gcwissr Anzalil solchcr gcben, die iiicht infolge von (2) vcrschwinden. Diese sind deli urspriinglichcii Funktionen FA hinzuzufugcn. und die gesuchte partikulirc Liisung mull, falls sic iibcr- haiipt existiert, auch dicse neuen Funktionen zum Verscliwindeii bringcn. Auf d i m Weise mogeii insgesamt I, 2 I Bedingungcn fur die gcsuchte Liisung bt-stclien:

Fl - 0 , F , = G , . . . , F/ 0 , F/+1 = 0 , . . . F, -1 0 .

Die ncu hinzugckomnienen Bedingungcn werdm dcmsclbcn Verfahren unterworfcn, es wcrden ihre zeitlichen Ableitungcn mit Hilfc des durch (3) clefinierten Ausdrucks X/ gcbildet und gepriift, ob ihrc Ableit ungcn infolge der bislicr bestehenden Bcdingungsglcichungcn verschwinden. Wenn das nicht dcr Fall ist, wcrden wiederum diejcnigen zcitlichcn Ableitungen hinzugenommcn, die nicht infolge der bisherigen Bcdingungsglcichungcn verschwinden ; sie stellen, gleich Null gesctzt, wiederum zusatzliche Bedingungen dar, dic die gesuchtc Losung erfiillen muB. Da nicht inehr als n unabhangigc Reziehungen zwischen dcn n Koordinaten bestehen konnen, mu0 dicscr Prom0 iiach cndlich viclcn Schritten zu cinem Ende f ihren; man gelangt also schlieBlich zu cinem System von 91 - m iinabhangigcn Be- zichungen zwischen dcn Koordinaten

Fl(%l, . . . , %,,) = 0 , F Z ( X l , . . . , x,) = 0 , . . . , F*-,n(z,, . . . , %,) = 0. (4) Wenn diese Beziehungen (4) cinander widersprcchcn odcr unerfiillbar sind, dann gibt cs keinc partiliu- larc Losung von (I), die die Rcdingungen (2) erfiillt; denn (4) stellt die Bcdingung daftir dar, dalj mit (2) auch die zcitlichcn Ableitungen dcr dort auftretenden Funktionen FA vcrschwinden. Wcnn indes das Systcm (4, zu dcm man zuletzt gclangt, crfullbar ist, daiin sind die darin auftretcnden Funktionen F,, so beschaffen, daB stets, wenn alle F, vcrschwinden, auch die XF,,, d. h. dic zeitlichen Ableitungen der F,, verschwindcn; es la& sich beweisen, daB in dieseni Fall wirklich Losungen von (I) existieren, die die Bedingungen (4) und damit auch (2 ) er[iillcii.

Um die Existcnz von Losungen, die die Bcdingungcn (4) erfiillen, zu beweisen, hat man zu zeigen, daO nicht nur die ersten, sondcrn aiich alle hoheren Ableitungen dcr in (4) auftrctendcn Funktionen F, verschwinden, falls die F, selbst verschwinden. Wenn demnach alle Funkt ionen F,, zii irgendeineni Zcitpunkt vcrschwinden, so tun sie das jcderzeit.

Anschaulich ist das beinahe sclbstverstkndlicli. Angcnommcn, dic Rclationm (4) scicn zur Zeit 1 = to erfiillt. Dann sind zu dicser Zeit auch allc crstcn zeitlichen Ableitungcn der F, gleich Null und dalier sind nacli eincm kleinen Zeitintcrvall dl noch immcr allc F,, = 0. Da aber stets aus F,, = o aucli das Vcrschwinden der ersten zeitlichcn hbleitungen folgt, sind dicse aucli ziir Zeit to + dt noch gleich Null. So kann man von Zeitintervall 211 Zcitintcrvall weiter schlieBcn, (la0 inimer die Bedingungen (4) crfiillt bleiben.

Ein analytischcr Beweis fiir die Richtiekcit dieser Betrachtung erfordert zunaclist den Beweis cines Hilfssatzes :

,,Jedes Systcm von Glcichungcn g&,) = 0, p = I, 3, . . . , Y , wclchcs infolge dcr Rclatioiien (4) crfiillt ist, bcsitzt die Eigenschaft. daO alle Ausdriickr Xg, als Folgtr der Relationen (4) verschwinden."

Zum Hcweis werden neue Koordinatcn yl, yt, . . . , yI eingefiihrt, von dcnen dic u - m ersten gleich dcn Ausdriickcn F,, gewahlt werden und dic restlichen gleich irgendwclchtn andercn Funktionen

1) H. BRUNS, Ubcr die Integralc ties Vielk6rprrproblems. Acta math. 11.25 (1887) .

60 F. SCHUEIDLER : Partikulare Tntegrale von dynamischen Cleichungssystemen

der xv, die zusammen mit dcn F, ein Systcm von n unabhangigen Funktionen bilden. Dann konnen alle Funktionen g, nach Potcnzen dcr n - m erstcn Variablen ye entwickclt werden; die iiblichen Be- dingungen rnie Stetigkeit , Differcnzicrbarkcit etc. mogen vorausgesetzt werden und man findet

n - 111

gp ..:= I / , + z h e j Fj + * * * . ( 5 ) j = I

Dabei sind mit h., diejenigen Ausdriicke bezeichnct, die man aus den f e erhalt, wenn man die ersten n - m Variablen glcich Null sctzt ; cntsprechend sind dic he, diejenigen Ausdriicke, die man aus den ersten particllcn Ableitungen der ge erhalt, wenn man wieder y, = yI = - - = ym-m = o setzt. Auf diesen Ausdruck (5) fur g, wendet man den Operator X f an und erhalt

Da nach Voraussetzung allc ge infolge von (4) verschwinden, miissen in (5) alle Ire = o sein; folglich verschwindet auf dcr rechten Scitc von (6) das erste Glied. Die an zwciter Stellc rechts stehende Summe vcrschwindet aber infolge dcr Relationen F, = 0, welche nach Voraussetzung die Beziehungen XF, = o zur Folge habcn. SchlieBlich sind die auf der rechtcn Seite von (6) durch Punkte angedeutcten Gliedcr in den F, von mindestens zweitem Grad und verschwindcn also auch infolge des Systcms (4). Damit ist der Hilfssatz bewiesen.

Mit dem Hilfssatz kann leicht bewiescn werden, daB auch alle hohcren zeitlichen Ableitungcn der F, verschwinden. Die zweiten Ableitungen sind gleich

Da die Ausdriicke XF, infolgc dcr Relationen (4) vcrschwinden, kanii man auf sie den Hilfssatz an- wenden und schlieBen, daB aus ihncn bei Anwendung des Operators X/ ein System entsteht, welches infolgc der Relationen (4) verschwindet ; damit ist bewiesen, daB die zweiten Ablcitungen der F,, auch verschwinden. Entsprcchend kann man durch erneute Anwendung des Hilfssatzes und des Operators Xf auf das Vcrschwinden dcr dritten und allcr hoheren zcitlichen Ableitungcn schliellen. Es ergibt sich also, daB die Bedingungen (4) fur ailc Zciten erfiillt sind.

Man kann das ganze Problem als ein solches aus der Theorie der Transformationsgruppen auf- fassen. Nach SOPHUS h E 1 ) ist dcr durch (3) definierte Operator XI das Symbol einer infinitesimalen Transformation, der eine einglicdrige Gruppe von endlichcn Transformationen cntspricht. Die Lo- sungen

der Gleichungen (I), die zur &it t = I, die Anfangswerte xi = x: annehmen, definieren im Sinne von LIE cine Koordinatentransformation zwischen den Variablen x, und xt . Der Gesamtheit aller moglichen Werte von t cntspricht eine cinfach unendliche Schar von Transformationen, von der man leicht zeigen kann, daB sie dic Gruppeneigenschaft bcsitzt.

Wenn das Interval1 zwischen 1 und to infinitesimal klcin gcwahlt wird, sind auch die Unterschiede xi - x! klein und die entsprechende Transformation ist eine infinitesimale Transformation. Durch Ausiibung einer solchen Transformation geht, wie sich zcigen la&, jede beliebige Funktion F(x,, x8, . . . , x,) der Koordinaten in F + (1 - 1,) X F iiber, wenn X/ das durch (3) definicrte Symbol der be- trachtctcn infinitesimalen Transformation ist.

Im Sinn der LxEschen Theorie der Transformationsgruppcn ist das Systcm (4) ein System von Cleichungen, welches die infinitesimale Transformation (3) gestattet. Auf Grund dieser Tatsache kann man die Theorie der Transformationsgruppen heranziehcn, um die hier entwickeltcn Satze zu beweisen. In der vorliegenden Arbcit werden aber durchweg unabhkgige Beweise gegeben.

Die allgemeinste Losung von (I), welche die Bedingungcn (4) erfiillt, kann wie folgt gefunden wcrden. Infolge der Relationen (4) sind nur in von dcn Koordinaten xi frci veranderlich; die iibrigen Koordinaten sind Funktionen der in ungebundenen Koordinaten, die man crhalt, w n n man die Re- lationen (4) in der Form

x , = xi (x!, x! , . . . , x,O, t -- I,) i = I, 2, . . . , n

X l = f i ( x n - i n + I r . . . , x n ) , ~,,--m=(~n-n(~n-ntl,...rxl)

auflost; naturlich wird vorausgcsetzt, dall diese Auflosung iibcrall moglich und eindcutig ist. Die Ver- andcrungen dcr m ungebundenen Koordinaten gehorchcn dann offensichtlich dem System

l) S. LIE, Theorie der Transformationsgruppen, Leipzig 1888.

I;. SCX~~EIDLER : Partikulare Intcgralc von dynamischeu. Glcichungssptemen 61

Fiigt man die allgemcinc Losung yon (7) den Gleichungcii (4) hinzu, so crliilt man diejcnigc allgemcinste Losung von (I), bei dcr die Bedingungen (4) und infolgcdcsscn auch (2) standig erfiillt sind; dicsc all- gemeinste Losung enthalt tl: Konstante, namlich dic Intcgrationskonstantcn des Systcrns (7).

Es kann also dcr folgende Satz festgcstcllt werdcn : ,,Um zu cntschcidcn, ob das System (I) Losungcn bcsitzt, bci dcncn die Bedingungcn (2) standig

crfiillt sind, hat man mit Hilfe des durch (3) definiertcn husdrucks X / dic Funktionen XFA 211 bilden. Falls diese nicht alle infolge von (2) verschwindcn, sctzt man sic wicderum glcich Null und betrachtet die crhaltencn Relationcn als zusatzlichc Bcdingungcn. Auf dicsc wcndet man crneut dcn Operator X/ an. So gelangt man nach endlich viclcn Schrittcn cntwedcr zu Gleichungm, dic cinandcr wider- sprcchen bzw. unerfiillbar sind, oder zu einem System dcr Gcstalt (4) dcrart, daB alle X F , infolgc (4) vcrschwinden. Im ersteren Fall gibt es kcine partikularen Losungen von (I), die stcts (2) erfiillen, im letztercn Fall cxisticrcn solche Liisungen. Die Gcsamthcit allcr Losungen dicser Art findet man dann durch Integration der nr gewohnlichen Differentialgleichungen (7) . I '

2. Beweis der LACRANGE schen Liieungen durch das beschriebene Verfahren

Als Beispiel sol1 die von LAGRANGE gcfundcnc partikularc Liisung des Drcikorperproblenis ncu bewiesen werden, bei der die drei Massenpunktc stcts ein gleichseitiges Dreieck bildcn. Die cine dcr drei Massen, die Zentralmasse M, wird als Ursprung eines reclrtwinkligen Koordinatcnsystcrns bc- trachtet, die beiden anderen Massen und dcren Koordinatcn scicn m, (x,, y,, zl) und ma (x2, y2, z2). Ge- schwindigkciten sollen durch Punkte bezcichnct wcrdcn. Die bckannten Glcichungcn dcr Hrwcgung von m, und ma relativ zur Zentralmasse M lautcii

dazu die analogen Glcichungen fur die iibrigcn Koordinatcn. Entsprcchcnd der Definition (3) lautet der Ausdruck X f :

Gefragt wird nun, ob das System (8) Losungcn mit der spezicllcn Eigcnschaft besitzt, daD die drci Rclativabstiinde Y,, ra und A standig numerisch gleicli sind. Es uird fur das Folgcndc bequemer sein, diese beiden Bedingungcn Y, = r, =:: A in der Form

oder, in Koordinaten ausgedriickt, in der Form

F, = X: + yt + Z : - Z : - Y : - ~ = 0 1

zu schreiben. Um zu crniitteln, ob es Losungen gibt, fur die stets (9) erfiillt ist, hat man die zeitlichen Ableitungen der Funktionen F, und F, zu bildcn, die gleich XF, und XF, sind; dabci ist X / durch (8 a) definiert. Die Ausrechnung zeigt, daD keinc dcr bcidcn abgeleiteten Funktionen vcrschwindct, weder identisch noch infolge von F, = Fa = 0. Sie werden also glcich zwei weitcrcn Funktionen F, und F, gesetzt, die bei der gesuchteii Losung cbenfalls verschwinden miisscn. Man fiiidct :

X F , = F , = Z ( X ~ ~ , + ~ I j r . t z , ~ l - x a ~ , - y a ~ a - % * i , ) ,

XF: Fd = 2 (%a d + xi i r -t Y: 9 1 + yi 9: + t i i s + 22 ii) - (xi % + Y: 9: + 21 4 + xa &a

+ Y: 9: + 2: i3 .

I;. S C X ~ ~ E ~ D L E R : Partikulare Intcgralc von dynamischeu. Glcichungssptemen 61

Fiigt man die allgemcinc Losung yon (7) den Gleichungcii (4) hinzu, so crliilt man diejcnigc allgemcinste Losung von (I), bei dcr die Bedingungen (4) und infolgcdcsscn auch (2) standig erfiillt sind; dicsc all- gemeinste Losung enthalt tl: Konstante, namlich dic Intcgrationskonstantcn des Systcrns (7).

Es kann also dcr folgende Satz festgcstcllt werdcn : ,,Um zu cntschcidcn, ob das System (I) Losungcn bcsitzt, bci dcncn die Bedingungcn (2) standig

crfiillt sind, hat man mit Hilfe des durch (3) definiertcn husdrucks X / dic Funktionen XFA 211 bilden. Falls diese nicht alle infolge von (2) verschwindcn, sctzt man sic wicderum glcich Null und betrachtet die crhaltencn Relationcn als zusatzlichc Bcdingungcn. Auf dicsc wcndet man crneut dcn Operator X/ an. So gelangt man nach endlich viclcn Schrittcn cntwedcr zu Gleichungm, dic cinandcr wider- sprcchen bzw. unerfiillbar sind, oder zu einem System dcr Gcstalt (4) dcrart, daB alle X F , infolgc (4) vcrschwinden. Im ersteren Fall gibt es kcine partikularen Losungen von (I), die stcts (2) erfiillen, im letztercn Fall cxisticrcn solche Liisungen. Die Gcsamthcit allcr Losungen dicser Art findet man dann durch Integration der nr gewohnlichen Differentialgleichungen (7) . I '

2. Beweis der LACRANGE schen Liieungen durch das beschriebene Verfahren

Als Beispiel sol1 die von LAGRANGE gcfundcnc partikularc Liisung des Drcikorperproblenis ncu bewiesen werden, bei der die drei Massenpunktc stcts ein gleichseitiges Dreieck bildcn. Die cine dcr drei Massen, die Zentralmasse M, wird als Ursprung eines reclrtwinkligen Koordinatcnsystcrns bc- trachtet, die beiden anderen Massen und dcren Koordinatcn scicn m, (x,, y,, 2,) und ma (x2, y2, z2). Ge- schwindigkciten sollen durch Punkte bezcichnct wcrdcn. Die bckannten Glcichungcn dcr Hrwcgung von m, und ma relativ zur Zentralmasse M lautcii

dazu die analogen Glcichungen fur die iibrigcn Koordinatcn. Entsprcchcnd der Definition (3) lautet der Ausdruck X f :

Gefragt wird nun, ob das System (8) Losungcn mit der spezicllcn Eigcnschaft besitzt, daD die drci Rclativabstiinde Y,, Y, und A standig numerisch gleicli sind. Es uird fur das Folgcndc bequemer sein, diese beiden Bedingungcn Y, = Y, =:: A in der Form

oder. in Koordinaten ausgedriickt, in der Form

zu schreiben. Um zu crniitteln, ob es Losungen gibt, fur die stets (9) erfiillt ist, hat man die zeitlichen Ableitungen der Funktionen F, und F , zu bildcn, die gleich XF, und X F , sind; dabci ist X / durch (8 a) definiert. Die Ausrechnung zeigt, daD keinc dcr bcidcn abgeleiteten Funktionen vcrschwindct, weder identisch noch infolge von Fl = Fa = 0. Sie werden also glcich zwei weitcrcn Funktionen F3 und F, gesetzt, die bei der gesuchteii Losung cbenfalls verschwinden miisscn. Man fiiidct :

X F , = F3 = z (XI .C., + ~1 y, -1 I, i, - xa iz - ya y a - 12 &) , XF, FI = 2 (%a .C.i + xi i r -t Y S 9 1 + yi 9 s + t i

+ Y l 9, + 2, i3 . + 22 &) - (xi % + Y: 9: + zi + xa i z

62 F. S C X L I X I D L X R : Partikiiltirc Iiitcgralc \-on dynainischen Gleichiingssysterne:1

Um zu priifen, ob aucli dic beideii Funktioiicn F3 und F4 standig verschwindcn konnen, hat nian illre zeitlichcn Ablcitungcii zu bilden und zu priifen, ob sie vrrschwinden. Durcli Anwendung des Ausdrucks (8a) auf F3 und F4 crhalt man nach einigcn I~cclinungcn

Aucli diese Ausclrucke verscliwindcn wcdcr ideiitisch nocli infolge der bishrrigcii Bedingungcn I;, = I;, = Fa = F4 = 0. Man erkcnnt abcr, dall sie infolgc dicser bisherigen Bcdingungcn verschwinclcii wurdcn, wcnn auUerdem noch zwei, durch (12) gcgebene Funktioncn I;, und I;, zu Null werden:

(14 t 1:. - .;; -6 )I; 1. 3 - ,i; - 9; - i; ,

I; , = 2 (il i, + $J1 y2 + t, i*) - (i; -1- 9: + 2; 4 .i; + j ; f 3) . I

2

Um zu priifen, ob aucli I;, und F, standig vcrscliwiiidcn konnen, hat man dereii zeitliche Ablcitungeii X F , und XF, zu bilden und fiiidet

I I

- (2 (x2 .I., + yr i; + 2, 5,) - (xz il + y, i2 + 2, 2 , ) ) - - A- . . (;; I3)

Man erkennt unmittelbar, dafl XF, vcrschwiiidet, wcil Y, = Y, = d und F3 = o ist; die Funktion XF, vcrschwindct, weil auller Y, = r, = A auch F4 = o ist. Dalier sind die scchs Funktioncn Fl bis I;, Ausdruckc, dcren zcitliclie Ableitungen vcrschwinden, wenn dic Funktionen FA sclbst verschwindcn ; die Gleichungen (9) mit (13) cnthalten die Definitionen dieser sechs Funktioncn sowie den Beweis fur das Vcrschwindcn der Ableitungen XI;; infolge dcs Verschwindcns der F, sclbst. Also kann das System

(14) I; --I; - - F - -F --I; --I; .:-o 1 - X . 3 - 4 - 5 - 6

standig crfiillt werden; weiiii (14) zu irgendeinem Zcitpunkt crfiillt ist, blcibt os walircnd dcr wcitcrcn Bewegung jederzeit erfiillt.

Es sol1 hervorgehoben werden, dall es fur das Bestchen einer LACRANGESChen Losung nicht gcnugt, wenn zu irgendeinem Zeitpunkt die drci Masscn ein gleichscitiges Dreieck bilden, d. h. nur die beiden Bcdingungcn (9) crfiillt sind; es iniisscn vielmelir allc scchs Gleichungen (14) crfiillt sein, wobei die vier

F. SCHMEIDLER: I'artikularc Intcgrale \on tlynanirschcn Glcichungssyrtemcn 63

zusatzlichcn Brdingungen, wie man leicht erkennt, gconictriscli bedeutcn, daB fur bcide Plancten dic Geschwindigkcit und dic Winkel zwischen dcn Vektoren dcr Gcschwindigkeit und dcs Radius- vektors glcich sind. Wenn diesc Cleichheit nicht erfiillt ist, folgt atis eincr momentanen Gleichhcit der drei Kelativabstaiide keineswegs das Bestehen eincr LAGRAXGEschcn I-osung.

Durch die Ucdingungcn (14) sind sechs von dcn zwolf Koordinatcn gebunden und als Funktionen Jcr scchs iibrigcn dcfiniert. Es lie@ nahe. die Koordinaten des rinrn Korpcrs, etwa voii tn, als Funk- tionen derjenigcn von m, zu bctrachten. die durch Auflosung des Systrms (r4) nach den GroBen x,, y2, t,, i,, C,, 2, aufzustellen sind. Die allgciiieinste, rnit den Bcdingungen (14) vcrtragliche Losung findet man dann durch Einsetzen dcr Koordinaten von rn2 in tlas System (7) als Funktionen der Koordinaten von ml. Es ergibt sich, daB man iiifolge der giinstigcn Form von (6) dic Auflosung nicht tatsachlich auszufiiliren h a t ; es geniigt, in (8) die GroBcn Y, und d glrich Y, zu setzeii und man findet als Diffcren- tialgleicliungen f u r die auf ntl brzogrnrn Koordinaten

Aus dicsen Gleichuiigen folgt, daU die hlassc rnl cinen Kcgclschnitt niit A1 im Breniipunkt bcsclircibt, also cine vollkommcn uiigestortc Balin; nur findct die Bewegung so statt , als ob die Planctenmassc iiicht j)t1 sondern gleich nr, + j n a ware. Dic Bcwegung tlcr zweitcn Masse ni, ist dann durch die Be- tlinguiigcii (r4) gegeben, wclclir hesagrii, daR ti i , zu jcdcm Zeitpunkt mit M und nil cin gleichseitiges Dreieck bildct .

3. Ein weiteres Beispiel

Urn riiic andcre Anwenclung aus den1 Gebiet dcr Himmelsmeclianik zu zeigen, sol1 mit dcr ent- wiclccltcn Thcoric die folgendc Fragc diskutiert werdcn : Gibt es Liisuiigcn des ebcnen Drcikorperpro- hlems von der Art, daB dic Apsidenlinien dcr Bahncn beidcr Plaiictcn bci ausschliclllichcr Beriicksich- tigung drr sakularcn Storungcn stcts die gleiche Richtuiig haben ?

Es ist bckannt, daB cs Losiingcn dieser .4rt gibt, dcnn die genanntc Bedingung ist fur POISCAR~S periodisclie Losungcn der zweiten Gattung crfiillt. Die hicr gegebcne Bchandlung des Problcms wird auBerdcm zrigen, daB es noch weitere lilassen von Rahnforinen des cbenen Dreikorpcrproblems gibt, hei dcncii die Apsidenliiiicii standig zusammcnfallrn, solange man von periodischcn Storungeii absieht .

Kennzcichnet inaii dio Bahncn beider Planeten um die Sonnr durch die vier Bahnelcmente a , E ,

w , E wid tinterscheidet man dic hcitleii Plancten durch dic Indizcs I iind 2 , dann lautcn tlir Diffcren- t ialgleichungen dcr gestorten Bewguiig :

? I : a; -7 Ir" ('\I -+ m , ) .

Die beidcn Storungsfunktionrn h', untl R, siiid an sicli \:cirschicden, wcrdcii aber fur das vorliegende Problem bis auf dcn Massenfaktor identiscli, wcil nur sakulare Storungcn beriicksiclitigt wcrdcn und daher nur tlcr beiden Funktionen gcmeinsamc Haupt tril der Storungsfunktion in Ersclieinung tritt. In bclanntcr \Vcise hangt drr Siikularteil cler Stiiriingsfunktion nur von der Diffrreiiz I I J ~ - oj2 der

64 1.'. SCXNElDLElI : Partikulare Intcgrale von dpaniischen Gleichungssystemen

Pcrihellangen beider Planeten ab und kann in cine FouRxaR-Reihe entwickelt werden, die nach den Cosinus der ganzzahligcn Vielfachcn von o1 - fortschreitet'). Danach ist in (15) zu setzen

Die Koeffizicnten Si dieser Reilic hangcn von den gro13cn Halbachscn a, und den Exzentrizitaten e, ab, jedoch nicht von den mittlcrcn Langen weil S nur die sakularen Termc dcr Storungsfunktion enthalt. Daher ergibt die erste Gleichung (15) in bekannter Weise das Theorem von LAPLACE iiber tlic Unveranderlichkeit der gro13en Halbachsen und wir konnen n, und u, als Konstante betrachten.

Zu untersuchcn ist jetzt dic Frage, ob es Losungen der Gleichungen (15) gibt, bci dencn stets w1 - w2 = o oder o1 - wz = 180' erfiillt ist. Der Einfachhcit halbcr sol1 nur die erste der beiden Hedingungcn behandelt werden. Wrmn es solche Losungen gibt, muU fur sic auch die Bcdingung

niit

erfullt sein. Nachdem bcide mittlere Bewegungcn und die groDen Ilalbachsen a, des Problems kon- stant sind, ist durch (17) eine Beziehung zwischen den Exzentrizitatcn el und e) fcstgelcgt, die standig erfiillt sein muD. Dcshalb mu13 auch die zeitliche Ablcitung von (17) standig verschwinden, fur dic man unter Berucksichtigung von (15) erhalt

\Ycgen wI - wt = o ist aber diese Bedingung stets erfiillt. Also konnen die beidcn Relationtn 00

(01 - w* = 0 U l l d x M , = o I - 0

bci ausschlie13licher Beriicksichtigung der sakularen Storungen standig erfiillt sein. Zwischen deli acht unabhangigen Variablen der Gleichungen (15) bestehen in der betrachteten partikularen Losung zwei Relationen, es gibt also cine scchsfach unendliche Schar von Bahnen, bei denen die Bedingungen (18) standig erfiillt sind. Man findet sie, indcm man (18) in das System (15) einsetzt und dicscs a l s System fur die restlichen sechs Variablen betrachtet und integriert. Diesc Iiitegrationsaufgabe ist ein Spezialfall dcs Problems der Ermittlung der Sakularstorungen von zwei Plancten in cincr Ebcne. Dieses Problem ist bci Bcschrankung auf Terme von hochstens dem zweiten Grade in den Exzen- trizitatcn in Strenge gelost, bei Beriicksichtigung beliebig hoher I'otenzen jcdoch ebenso ungelost wie das allgemeine Dreikorperproblem.

Dic hier aufgestellte Klasse von Losungen des ebenen Drcikorperproblems enthalt die POINCAR& schen periodischen Losungen zweiter Gattung, ist aber umfassender als diesc. Bci einer periodischen Losung miissen auBer den Bedingungen (18) noch andere Bedingungen erfiillt sein, namlich eine ganz- zalilige Kommensurabilitat dcr bcidcn mitt leren Bewegungen und gewisse Relationen zwischen den Anfangswerten der mittlercn Langcn.

1) Vgl. C. L. CXARLIYR, Die Mechanik des Himmels, W. 2, p. 205, Leiprig :907.