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Physik 1 fur Ingenieure
Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universitat Ulm
[email protected]: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/PhysIng1
Ubungsblatter und Losungen: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/PhysIng1/Ueb/ue#
5. Februar 2002
Universitat Ulm, Experimentelle Physik
http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/PhysIng1 5. Februar 2002
Klausur zur Vorlesung statt.
• Fragestunde zur Klausur: 25. 2. 2002, 10:00 H2 (voraussichtlich)
• Fragestunde zur Klausur: 4. 3. 2002, 10:00 H2 (voraussichtlich)
• Datum: 7. 3. 2002
• Uhrzeit: 9:00 bis 11:00
• Ort: 43.2.101/104
• Hilfsmittel: Taschenrechner
• Anmeldung: bis 28. 2. 2002
Universitat Ulm, Experimentelle Physik 1
http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/PhysIng1 5. Februar 2002
Polarisation I
Polarisation durch Absorption
E = E0 cos θ (1)
wobei θ der Winkel zwischen
den Polarisationsrichtungen von
Polarisator und Analysator ist.
Da die Intensitat proportional
zum Quadrat der Amplitude ist
I ∝ E2 gilt fur die Intensitat
I = I0 cos2θ (2)
(Gesetz von Malus).
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Polarisation II
Licht durch einen Polarisator und einen Analysator mit gekreuzten Polarisationsrich-
tungen. Darunter die gleiche Anordnung, aber der Analysator ist nun um π/4 gedreht.
Universitat Ulm, Experimentelle Physik 3
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Polarisation III
Polarisation durch Streuung
Universitat Ulm, Experimentelle Physik 4
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Polarisation IV
Winkel bei der Reflexion unter dem Brewster-Winkel.
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Polarisation V
• Einfallswinkel = Ausfallswinkel (Impulserhaltung fur die zur Grenzflache tangentiale
Komponenten des Lichtes)
• Das Gesetz von Snellius n sin θP = n2 sin θ2
Wenn nun der Winkel zwischen dem gebrochenen Licht und dem reflektierten Licht π/2 ist,
kann im reflektierten Licht keine Lichtwelle angeregt werden, deren Polarisationsrichtung
( ~E!) in der durch den einfallenden und gebrochenen Lichtstrahl definierten Einfallsebene
liegt. Der reflektierte Strahl ist vollkommen polarisiert mit der Polarisationsebene senkrecht
zur Einfallsebene. Eine Betrachtung der Winkel in der Abbildung ergibt, dass θP + θ2 =
π/2 ist. Damit wird der Brewster-Winkel
n sin θP = n2 sin θ2 = n2 sin(π/2− θP ) = n2 cos θP (3)
und damit
tan θP =n2
n(4)
Universitat Ulm, Experimentelle Physik 6
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Beugung
• dem Auflosungsvermogen von Mikroskopen. Die Beugung an der Offnung der Objek-
tivlinse limitiert die Auflosung, da zwei Objekte im Abstand d eine Beugung mit dem
ersten Beugungsmaximum beim Winkel Θ = arcsin1.22λ
d
erzeugen. Wenn dieses
erste Beugungsmaximum nicht in die Apertur der Linse fallt, sind die beiden Objekte
nicht mehr getrennt abbildbar.
• der Berechnung der ubertragenen Struktur bei Masken fur die Halbleiterlithographie. Die
Beugung an den mit < 100nm definierten Schattenmasken fur Halbleiters verandert
das Bild. Bei Kontaktmasken tritt zusatzlich noch der Talboteffekt auf.
• der Holografie. Ein Hologramm ist ein auf fotografischem Wege erzeugtes Beugungs-
muster. Dieses Beugungsmuster ist so, dass bei der Bilichtung mit monochromatischem
Licht1 das ursprungliche Wellenfeld wieder erzeugt wird. Im Gegensatz zu einer Foto-
grafie ist bei der Holografie die Information uber das ganze Aufnahmemedium verteilt.
Das Halbe Hologramm hat die gleiche Bildinformation wie das ganze Hologramm, aber
mit einer schlechteren Auflosung.
1Es gibt auch Hologramme, die mit weissem Licht arbeiten.
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Absorption
Absorption von Licht
Wenn Licht durch Materie transportiert wird, dann gibt es,
abhangig vom Material, eine Wahrscheinlichkeit, dass ein
bestimmter Anteil der transportierten Energie absorbiert
wird. Auf der Strecke dz verringert sich die Intensitat um
dI = −αIdz (5)
Diese Gleichung kann integriert werden und fuhrt zum
Beer-Lambertschen Absorptionsgesetz
I(z) = I0e−αz
(6)
In beiden Gleichungen ist α der Absorptionskoeffizient.
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Federmodell fur Dispersion
Federmodell fur die Dispersion nach Kanzig.
Die Bewegungsgleichung fur die n-te Masse ist
mξn = −k (ξn − ξn−1) + k (ξn+1 − ξn) = k (ξn+1 + ξn−1)− 2kξn (7)
analog zur Gleichung fur ein inneres Pendel bei gekoppelten Pendeln. Bei sehr kleinen
Frequenzen schwingen alle Massen in Phase: wie bei den gekoppelten Pendeln gibt die
gleichsinnige Bewegung aller Massen die tiefste Frequenz, die hier, da wir eine unendliche
Anzahl Massen annehmen, null ist.
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Federmodell fur Dispersion II
Die maximale Frequenz erhalt man dann, wenn jeweils zwei benachbarte Massen
gegensinnig schwingen. Eine hoher Schwingungsfrequenz ist nicht moglich. Die minimale
Wellenlange ist λmin = 2a und entsprechend kmax = πa . Wir setzen Ω2
0 = 4km und
erhalten
ξn = Ω20
1
4(ξn+1 + ξn−1)−
1
2ξn
(8)
Wir setzen als vorlaufige Losung fur λ > 2a an: ξ(x, t) = Aei(kx−ωt). Da die
Schwingung nur fur diskrete Positionen definiert ist, ersetzen wir x = na und erhalten als
endgultigen Losungsansatz
ξn = ξ(n, t) = Aei(kna−ωt)
(9)
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Federmodell fur Dispersion III
Eingesetzt in die Bewegungsgleichung erhalten wir
−ω2e
ikna= Ω
20
1
4
e
ik(n−1)a+ e
ik(n+1)a− 1
2e
ikna
ω
2=
1
2Ω
20
1− 1
2
e
ika+ e
−ika
=1
2Ω
20 [1− cos(ka)]
= Ω20 sin
2 ka
2(10)
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Federmodell fur Dispersion IV
Die Dispersionsbeziehung fur die Feder-Masse-Kette
ist
ω(k) = Ω0 sinka
2(11)
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Federmodell fur Dispersion V
• Fur lange Wellen λ À a oder ka ¿ 2π ist sin ka2 ≈ ka
2 . Damit ist ω(k) ≈ 12Ω0ka.
Mit der Definition der Phasengeschwindigkeit c = ω/k Erhalten wir
c ≈ 1
2Ω0a =
1
2
√km
Die Gruppengeschwindigkeit cG = dωdk ist
cg ≈1
2Ω0a = c
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Federmodell fur Dispersion VI
• Fur Wellen mit λ = λmin = 2a ist die Phasengeschwindigkeit
c0
Ω0
π/a=
Ω0a
π=
1
π
√km
und die Gruppengeschwindigkeit
cG =d
dkΩ0 sin
ka
2
π/a
=a
2cos
ka
2
π/a
= 0
• Fur λ < 2a wird die Welle exponentiell gedampft.
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Dispersion I
Ein Puls oder eine Wellengruppe besteht aus Wellen benachbarter Frequenz. Analog
zur Modulation besteht ein Puls aus einer Einhullenden sowie einer Phase, die fur sich
aber keine Information tragt. Die resultierende Wellenfunktion besteht aus harmonischen
Welle ei(k0x−ωt) sowie der Modulation G
x− dωdk
k0
t
. Die resultierende Welle ist
ξ(x, t) =1√2π
ei(k0x−ωt)
G
x− dω
dk
k0
t
!(12)
Die Gruppengeschwindigkeit
vG =dω
dk
k0
(13)
Bei unserem Feder-Masse-System ist vG = 0 wenn λ = 2a ist. Das heisst, der Puls,
der die Information tragt, ist ortsfest. Wenn vG nicht konstant ist, bewegen verandert
sich die Form des Pulses, da die verschiedenen Frequenzanteile sich unterschiedlich schnell
ausbreiten.
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Dispersion II
• Dispersionskompensation. Sie ist aufwendig und wird hauptsachlich bei Kurzpuls-
Lasersystemen angewandt.
• Betrieb des Systems bei einer Wellenlange, bei der die Dispersion minimal, also
vG moglichst konstant ist. Dies wird bei der optischen Kommunikation angewandt
(Wellenlangen 1300 nm und 1500 nm).
• Man setzt die Datenrate auf nidrigere Werte, verbreitert also die Pulse und minimiert so
die Fehler durch die Dispersion. Bis zu einer Verringerung der ubertragenen Datenrate
um den Faktor 2 kann der Geschwindigkeitsverlust meist durch die Anwendung von
Kompressionsalgorithmen minimiert werden.
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Streuung
Alle Teilchen, ob sie sehr viel kleiner als die Wellenlange des Lichtes sind wie Molekule
oder ob sie etwa die gleiche Grosse wie die Wellenlange haben, streuen Licht. Molekule
und Atome werden zur Berechnung der Streuung als Dipolstrahler betrachtet.
• Zwei Ladungen +Q und −Q in einem Molekul vom Querschnitt A erzeugen das
elektrische Feld E = Q/(ε0A)
• Das resultierende Dipolmoment, wenn die Ladungen im Abstand d sind, ist
p = Qd ≈ ε0AdE ≈ ε0V E. dabei ist V = Ad das Volumen des Molekuls.
• Die Polarisierbarkeit des Molekuls ist p/E ≈ εV
• Wenn diese molekulare Antenne schwingt, so strahlt sie nach H. Hertz die Leistung
P = ω4p2/(6πε0c3) ≈ ω4ε0V
2E2/(6πε0) ab.
• Diese Leistung entzieht die Streuung sie der Einfallenden Welle mit der Intensitat
I = cε0E2.
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Streuung II
Ein Molekul hat also den Streuquerschnitt
σ =P
I≈ ω4V 2
6πc4(14)
Blaues Licht wird also durch Molekule sehr viel starker gestreut als rotes Licht. Wir
berechnen die Eindringtiefe oder die mittlere freie Weglange fur Licht
• Mittlere Freie Weglange: ` = 1/(nσ), wobei n die Molekulzahldichte ist.
• Also ist ` = 6πc4
nV 2ω4 = 6πλ4
16π4nV 2 = 38π3
λ4
nV 2
• Das Molekulvolumen ist etwa V ≈ 5 · 10−29m3
• Die Eindringtiefe ist dann ` = 160λ4 (wobei ` in km und λ in µm gemessen werden).
Universitat Ulm, Experimentelle Physik 18
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Streuung III
Wellenlange in nm Farbe Eindringtiefe in km
400 violett 4
600 gelb 20
800 rot 65
Es ist deshalb auch nicht verwunderlich, dass die Alpen von Ulm aus gesehen nur
schlecht zu sehen sind. Diese Rayleigh-Streuung ist fur den blauen Himmel und das rotliche
Licht am Morgen und am Abend verantwortlich. Ist die Atmosphare dichter, dann nimmt
die Streuung zu. Licht wird dann nicht mehr propagierend sondern diffusiv transportiert. So
braucht ein Photon aus dem Sonneninneren etwa ein Jahr um die Oberflache zu erreichen.
Fur grossere Teilchen, d ≈ λ oder grosser, folgt die Streuung dem Gesetz von Mie
(Mie-Streuung). In diesem Bereich ist die Streuung unabhangig von der Wellenlange.
Deshalb sieht das gestreute Licht weiss aus, zum Beispiel das an Wolken oder am Nebel
gestreute Licht.
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Welle-Teilchen-Dualismus
Licht verhalt sich wie eine Welle, sofern wir eine genugend grosse Intensitat betrachten.
Bei sehr niedriger Intensitat beobachtet man, dass Licht scheinbar nicht aus Wellen,
sondern aus Teilchen besteht. Gestutzt auf Experimente zum Photoeffekt hat Albert
Einstein jedem Lichtteilchen, Photon genannt, die Energie
E = hω (15)
zugeschrieben. h = 2πh ist das Plancksche Wirkungsquantum. Seine Grosse ist
h = 6.6260755 · 10−34Js
h = 1.05457267 · 10−34Js (16)
Fur die meisten Rechnungen genugt es h = 10−34Js zu verwenden. Die Energie eines
Photons ist auch E = hν
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Welle-Teilchen-Dualismus II
Ein Photon ist ein Teilchen mit der Ruhemasse 0. Deshalb muss es sich nach der
speziellen Relativitatstheorie) mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. Nach dem relativistischen
Energiesatz ist (m0 = 0
hω = E =q
m20c
4 + c2p2 =p
c2p2 = cp (17)
Wir teilen durch c und erhalten
p =hω
c= h
ω
c= hk (18)
mit der fur Wellen gultigen Relation c = ω/k. Deshalb ist der Impuls eines Photons uber
seinen Wellenvektor gegeben. Von der Wellenlange hangt der Impuls uber p = h/λ ab.
Die folgende Tabelle gibt einige Zahlenwerte zur Energie und dem Impuls von Photonen.
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Welle-Teilchen-Dualismus III
Wellenlange Frequenz Impuls Energie Energieλ/m ν/Hz p/Ns E/J E/eV
1.00 · 10−11 3.00 · 10+19 6.63 · 10−23 1.99 · 10−14 1.24 · 10+05
1.00 · 10−10 3.00 · 10+18 6.63 · 10−24 1.99 · 10−15 1.24 · 10+04
1.00 · 10−09 3.00 · 10+17 6.63 · 10−25 1.99 · 10−16 1.24 · 10+03
1.00 · 10−08 3.00 · 10+16 6.63 · 10−26 1.99 · 10−17 1.24 · 10+02
1.00 · 10−07 3.00 · 10+15 6.63 · 10−27 1.99 · 10−18 1.24 · 10+01
2.00 · 10−07 1.50 · 10+15 3.31 · 10−27 9.93 · 10−19 6.20 · 10+00
3.00 · 10−07 9.99 · 10+14 2.21 · 10−27 6.62 · 10−19 4.13 · 10+00
4.00 · 10−07 7.49 · 10+14 1.66 · 10−27 4.97 · 10−19 3.10 · 10+00
5.00 · 10−07 6.00 · 10+14 1.33 · 10−27 3.97 · 10−19 2.48 · 10+00
6.00 · 10−07 5.00 · 10+14 1.10 · 10−27 3.31 · 10−19 2.07 · 10+00
7.00 · 10−07 4.28 · 10+14 9.47 · 10−28 2.84 · 10−19 1.77 · 10+00
8.00 · 10−07 3.75 · 10+14 8.28 · 10−28 2.48 · 10−19 1.55 · 10+00
1.00 · 10−06 3.00 · 10+14 6.63 · 10−28 1.99 · 10−19 1.24 · 10+00
1.50 · 10−06 2.00 · 10+14 4.42 · 10−28 1.32 · 10−19 8.27 · 10−01
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Welle-Teilchen-Dualismus IV
Wellenlange Frequenz Impuls Energie Energieλ/m ν/Hz p/Ns E/J E/eV
1.00 · 10−05 3.00 · 10+13 6.63 · 10−29 1.99 · 10−20 1.24 · 10−01
1.00 · 10−04 3.00 · 10+12 6.63 · 10−30 1.99 · 10−21 1.24 · 10−02
1.00 · 10−03 3.00 · 10+11 6.63 · 10−31 1.99 · 10−22 1.24 · 10−03
1.00 · 10−02 3.00 · 10+10 6.63 · 10−32 1.99 · 10−23 1.24 · 10−04
1.00 · 10−01 3.00 · 10+09 6.63 · 10−33 1.99 · 10−24 1.24 · 10−05
1.00 · 10+00 3.00 · 10+08 6.63 · 10−34 1.99 · 10−25 1.24 · 10−06
1.00 · 10+01 3.00 · 10+07 6.63 · 10−35 1.99 · 10−26 1.24 · 10−07
1.00 · 10+02 3.00 · 10+06 6.63 · 10−36 1.99 · 10−27 1.24 · 10−08
1.00 · 10+03 3.00 · 10+05 6.63 · 10−37 1.99 · 10−28 1.24 · 10−09
1.00 · 10+04 3.00 · 10+04 6.63 · 10−38 1.99 · 10−29 1.24 · 10−10
1.00 · 10+05 3.00 · 10+03 6.63 · 10−39 1.99 · 10−30 1.24 · 10−11
1.00 · 10+06 3.00 · 10+02 6.63 · 10−40 1.99 · 10−31 1.24 · 10−12
6.00 · 10+06 5.00 · 10+01 1.10 · 10−40 3.31 · 10−32 2.07 · 10−13
1.00 · 10+07 3.00 · 10+01 6.63 · 10−41 1.99 · 10−32 1.24 · 10−13
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Welle-Teilchen-Dualismus V
1 Photon
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–200 –100 0 100 200 300j
10 Photonen
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–200 –100 0 100 200 300j
Verteilung der gemessenen Photonen in einem simulierten Beugungsbild. Links wurde
1 Photon, rechts 10 gemessen.
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Welle-Teilchen-Dualismus VI
100 Photonen
0
0.5
1
1.5
2
–200 –100 0 100 200 300j
1000 Photonen
0
1
2
3
4
5
6
7
–300 –200 –100 0 100 200 300j
Verteilung der gemessenen Photonen in einem simulierten Beugungsbild. Links wurden
100 Photonen, rechts 1000 gemessen.
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Welle-Teilchen-Dualismus VII
10000 Photonen
0
10
20
30
40
–300 –200 –100 0 100 200 300j
100000 Photonen
0
50
100
150
200
250
300
350
–300 –200 –100 0 100 200 300j
Verteilung der gemessenen Photonen in einem simulierten Beugungsbild. Links wurden
10000 Photonen, rechts 100000 gemessen.
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Welle-Teilchen-Dualismus VIII
1000000 Photonen
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
–300 –200 –100 0 100 200 300j
10000000 Photonen
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
–200 –100 0 100 200 300j
Verteilung der gemessenen Photonen in einem simulierten Beugungsbild. Links wurden
1000000 Photonen, rechts 10000000 gemessen.
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Reflexion
Geometrie der Reflexion
Bei der Reflexion gilt:
Einfallswinkel=Ausfallswinkel
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Optisch dichteres Medium
Bei zwei Medien mit unterschiedli-chen Bfrechzahlen heisst dasjenigedas optisch dichtere Medium, des-sen Brechzahl grosser ist.
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Brechung
Geometrie der Brechung
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Totalreflexion und optische Kommunikation
Transport von Licht in einer Stufenindexfaser
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Prismen
Links: Strahlengang durch ein Prisma. Rechts: Dispersion einiger Materialien
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Spiegel
Ebener Spiegel
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Spiegel II
Gekrummter Spiegel
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