Physik A – VL8 (25.10.2012)

Arbeit, Energie und Leistung

• Arbeit und Energie

• Energiebilanzen

• Leistung

• Reibung

Arbeit und Energie

• umgangssprachlich: man muss „arbeiten“, um etwas hochzuheben:

→ physikalisch im Falle der Gewichtskraft: Hubarbeit

Alltagserfahrung: je schwerer ein Körper und je höher man ihn hebt,

desto mehr Arbeit.

Hubarbeit (als physikalische Größe) ist proportional zur Masse des Körpers

(→ Gewichtskraft) und Hubhöhe:

Δh

WsJNm hFW GHub

• der angehobene Gegenstand kann herunterfallen, und dabei etwas zerstören

→ physikalisch: Hubarbeit hat dem Körper Energie zugeführt

→ potentielle Energie

WsJNm hFE GPot

gmFG hgmEPot

Hubarbeit erhöht die potentielle Energie

Bild: Wikipedia

Potentielle Energie:

Wasserkraftwerke nutzen die

potentielle Energie eines Stausees.

Energieumwandlung

Arbeit und Energie

Potentielle Energie

Beispiel Flaschenzug: Benötigt man weniger Arbeit, um das Gewicht anzuheben?

einfacher Flaschenzug

GF

ZF

Δh

Δs1 2

Einfacher Flaschenzug:

• Gewichtskraft FG verteilt sich auf Seilstücke 1 und 2:

n

FFn

FF G

GG

G ' :Teilstücke für allgemein bzw. ,2

'

• Um das Gewicht um Δh anzuheben, muss jedes Teilstück des

Seiles um Δh angehoben werden:

hns

• Für die gesamte zu leistende Arbeit ergibt sich:

hFsFsFW GZG '

Die gesamte zu leistende Arbeit ist die Gleiche!!

Arbeit und Energie

Potentielle Energie

• Allgemeine Definition der Arbeit bei nicht konstanter Kraft:

Arbeit = Kraft entlang eines Weges: F = F(s)

F = const.

F = F(t)

h

F

i

iipot sFW

Die Arbeit ist das Wegintegral der Kraft.

Arbeit ist ein Skalar !

• Grenzwertbetrachtung für Δs → 0:

2

1

)(s

spot dssFW

bzw. vektoriell:

2

1

)(s

spot sdsFW

skalares Produkt:

Arbeit = Kraft mal Weg

• Arbeit wird nur in Richtung des Weges geleistet:

cos sFsFW

Arbeit und Energie

Potentielle Energie

• Arbeit wird nur in Richtung des Weges geleistet

Beispiel: schiefe Ebene

Die Hubarbeit hängt nur von der

überwundenen Höhe und nicht

vom Weg ab !

sFW

gmF

||

|| sin

hgmsgmW sin

Transport ohne Höhenüberwindung:

Arbeit = Null

Wegunabhängigkeit der Arbeit:

Die Arbeit längs einer geschlossenen Kurve ist Null.

Arbeit und Energie

• Fall eines konservativen Kraftfelds (ohne Reibung!)

Wegunabhängigkeit der Arbeit

Arbeit längs einer geschlossenen Kurve ist Null

Potentielle Energie

• Arbeit wird nur in Richtung des Weges geleistet

Beispiel: Bergaufstieg – Ist die Arbeit auf den Wegen A und B gleich?

Arbeit und Energie

Arbeit und Energie – Federn: Spannenergie

• Potentielle Energie einer Feder: die gespannte Feder hat Energie gespeichert

sDFDsF FF

;

1

00

2

02

1''

s

ssp sEDssEdssDE

• Die Spannungsarbeit einer Feder wird als elastische Energie (Spannenergie)

in der Feder gespeichert

D

D s

F

2

2

1DsEsp

eine gespannte Feder

kann Arbeit leisten

Arbeit und Energie

Kinetische Energie

• kinetische Energie:

beim Herabfallen verliert ein Körper potentielle Energie, aber er gewinnt Geschwindigkeit

1. vor dem Fall: potentielle Energie hgmEPot

2. nach dem Fall: Geschwindigkeit

gefallene Strecke

tgv

2

2

1tgh

kinetische Energie

22

2

2

1

2

1

tgm

tggmEkin

2

2

1mvEkin

Arbeit und Energie

Verschiedene Energieformen:

• mechanische Energie (potentielle E., kinetische E., Spann-E.)

• elektrische Energie

• chemische Energie (Verbrennung von Kohle, Erdöl)

• Strahlungsenergie (Sonne)

• Kernenergie (Fusion in der Sonne)

Energie ist komplexer Begriff

Energiesatz:

Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden,

sie kann lediglich von einer Form in eine Andere umgewandelt werden

Achtung ! umgangssprachlich: „Energieverbrauch“ ist physikalisch nicht korrekt!

Arbeit und Energie

Energie-Umwandlung

• Umwandlung von Energien in der Mechanik

Beispiel 1: potentielle Energie → Spannenergie

potentielle Energie Spannenergie

kinetische Energie

potsp EE

mghDs 2

2

1

D

mghs

2

potentielle Energie Spannenergie

Arbeit und Energie

Energie-Umwandlung

• Umwandlung von Energien in der Mechanik

Beispiel 2: potentielle Energie → kinetische Energie (schiefe Ebene)

potentielle Energie Spannenergie

kinetische Energie

Geschwindigkeiten bei beiden

Neigungen gleich (ohne Reibung)!

AnfangpotEndekin EE ,,

2

2

1mvE

hmgE

kin

pot

hgm

Ev

pot

2

2

Arbeit und Energie

Energie-Umwandlung

• Umwandlung von Energien in der Mechanik

Beispiel 3: potentielle Energie → kinetische Energie (Achterbahn)

potentielle Energie Spannenergie

kinetische Energie

www.achterbahn-freizeitpark.de

Beim Start: Energie gleich Null:

Mit Hubarbeit wird zunächst potentielle Energie bereitgestellt:

Danach finden mehrere schnelle Umwandlungen zwischen potentieller und kinetischer Energie statt.

0 kinpot EE

potGHub EhFW

Arbeit und Energie

Energie-Umwandlung

• Umwandlung von Energien in der Mechanik

potentielle Energie Spannenergie

kinetische Energie

Beispiel 4: potentielle Energie → kinetische Energie (Das Pendel)

2

2

1

cos1

mvE

mglhmgE

kin

pot

0,maximal , kinpot EE

cos12 glv

Arbeit und Energie

• Umwandlung zwischen mechanischen Energien findet

nur exakt statt, wenn keine Reibung herrscht

• Umwandlung in Wärme findet immer statt

• mikroskopisch: Wärme = kinetische Energie:

Atome und Moleküle bewegen sich ungeordnet

(→ Thermodynamik, ideale u. reale Gase)

Wärme ist ebenfalls eine mechanische Energieform!!

Statik, Bewegung und Reibung müssen gemeinsam und einheitlich

beschrieben werden

Wärmeenergie

Beispiel: Brown’sche Molekularbewegung

◦ Fett-Tröpfchen in Milch aufgenommen mit einem

Lichtmikroskop.

◦ Die Bewegung der Fett-Tröpfchen kommt durch

die thermische Bewegung der Moleküle in der

Flüssigkeit Zustande.

◦ Je höher die Temperatur, desto schneller die Bewegung.

(http://www.microscopy-uk.org.uk/dww/home/hombrown.htm)

Energiebilanzen

• Darstellung des Bewegungsverhaltens über Energiebilanz

Beispiel 1: potentielle Energie → kinetische Energie (Achterbahn) www.achterbahn-freizeitpark.de

Beim Start: Energie gleich Null:

Mit Hubarbeit wird zunächst potentielle Energie bereitgestellt:

Danach finden mehrere schnelle Umwandlungen zwischen potentieller und kinetischer Energie statt.

0 kinpot EE

potGHub EhFW

kinpotges EEE mghmvEEE kinpotges 2

2

1

m

EEvmghmvEEE

potges

kinpotges

)(2

2

1 2

Energiebilanz:

)(2)(2)(2

xhgm

mgxmgh

m

EEv

potges

h

x

Energiebilanzen

Frage: Wie hoch ist die Geschwindigkeit des Balls beim Aufprall auf den Boden?

• Darstellung des Bewegungsverhaltens über Energiebilanz

Beispiel 2:

Energiebilanz für den schrägen Wurf

mit Anfangshöhe h

mghmvEEE kinpotges 2

2

1

• beim Aufprall : 0potE

• Energiebilanz: AufprallgespotkinStartges EEEE ,,

Beim Aufprall nur kinetischen Energie

2

,

2

0,2

1

2

1AufprallAufprallgespotkinStartges mvEmghmvEEE

ghvvAufprall 22

0

Arbeit und Energie und Leistung

• Arbeit kann in verschiedenen Zeiten erledigt werden

Begriff der Leistung

Leistung = Arbeit / Energie-Änderung je Zeitintervall

Die Leistung ist um so größer, je mehr Arbeit pro Zeit verrichtet wird

s

JWWattW

dt

dwP

Beispiel: Hub-Leistung

hmgdt

d

dt

dwPHub h

dt

dmghmg

dt

d

dt

dwPHub Fvmgvh

dt

dmghmg

dt

d

dt

dwPHub

Hub-Leistung ist das Produkt aus Kraft mal Geschwindigkeit

FvPHub

Beispiel und Anwendung: Motor-Leistung

Ein Auto wiegt 1500 kg und hat eine Motorleistung von 100 kW (136 PS).

Wie schnell kann das Auto eine 200 m hohen Steigung hinauffahren ?

1 kW = 1000 W = 1,36 PS

1 PS = 0,736 kW

Ansatz:

1. Potentielle Energie,

die das Auto gewinnen muss:hmgWpot

J 1094,2m 200s

m 81,9kg 1500 6

2

hmgWpot

2. Definition der Leistung,

Leistung = Arbeit (= Energieänderung) pro Zeitspanne:t

WP

3. Gesucht hier: Zeitspanne Umformen nach ΔtP

Wt

4. Einsetzen: s 6,29 W10

J 1096,25

6

Motor

pot

P

W

P

Wt

Arbeit und Energie und Leistung

Reibung

• Beispiel: Luftkissenbahn

ohne Luftschicht:

rauhe Oberflächen haften

aneinander, sie bewegen sich

nicht: Haftreibung

mit Luftschicht:

starke Verringerung

der Reibung

• Umwandlung zwischen mechanischen Energien findet nur exakt statt,

wenn keine Reibung herrscht

• Umwandlung in Wärme findet immer statt

• Reibung wird bedingt durch Eigenschaften der

Grenzflächen

Reibung

• Die Erfahrung zeigt:

„Anschieben“ eines Körpers braucht mehr Kraft als weiteres Schieben.

• Physikalisch:

„Anschieben“ erfordert Kraft gegen die Haftreibung FH.

Körper bleibt in Ruhe bis maximale Haftreibungskraft FH,max erreicht wird.

Weiteres Schieben: Gleitreibung FGl ist konstant und < FH,max

• Haftreibung und Gleitreibung

FH,max > FGl

FG

FN

Normalkraft FN: negative, senkrecht zur Kontaktfläche

stehende Komponente der (hier) Gewichtskraft

Haftreibung

Haftreibungskraft FH,max

• wirkt der angreifenden Kraft entgegen

• ist proportional zur Normalkraft (Kraft senkrecht auf Unterlage) des Körpers

• hängt von Oberflächenmaterial des Körpers und der Gleitfläche ab

Haftreibungskraft = Haftreibungszahl mal Normalkraft

NHH FF max,

Normalkraft FN:

negative, senkrecht zur Kontaktfläche

stehende Komponente der Gewichtskraft

FG Gewichtskraft

FGN Komponente der Gewichtskraft senkrecht zur Fläche

FGH ‟ ‟ senkrecht zu FGN

= Hangabtriebskraft

FR Reibungskraft (Haft-, oder Gleitreibung)

FN Normalkraft

Gleitreibung

• Gleitreibungzahl ist bei kleinen Geschwindigkeiten (cm/s bis m/s) konstant

• Gleitreibungs- und Haftreibungszahl sind Materialkonstanten

Gleitreibungskraft FGl

• wirkt der angreifenden Kraft entgegen

• ist proportional zur Normalkraft (Kraft senkrecht auf Unterlage) des Körpers

• hängt von Oberflächenmaterial des Körpers und der Gleitfläche ab

Gleitreibungskraft = Gleitreibungszahl mal Normalkraft

NGlGl FF

• Gleitreibungskraft ist immer kleiner als Haftreibungskraft:

HGl

Reibungskoeffizienten

Bestimmung von Haftreibungskoeffizienten an der schiefen Ebene

x

yHaftreibung (keine Bewegung) für NHRGH FFF

cossin

sinsin

mgFF

mgFF

GN

GGH

Körper fängt an, sich zu bewegen, wenn

cossin GHNHGGH FFFF

Haftreibungszahl:

tan

cos

sin

G

GH

F

F

Gleit- und Haftreibungskoeffizienten

Materialkombination μH μGlMaterialkombination μH μGl

Stahl / Stahl 0,15 0,12 Teflon / Teflon 0,04 0,04

Blech / Stahl 0,5 0,4 Gummi / Beton (trocken) 1,0 0,8

Kupfer / Eisen 1,1 0,3 Gummi / Beton (nass) 0,3 0,25

Teflon / Stahl 0,04 0,04 Ski / Schnee 0,1 0,05

Reibung

Beispiel: Schlitten im Schnee

gegeben: Seilwinkel α = 40°

μH = 0,1; μ Gl = 0,05

Masse Schlitten: m = 50,0 kg

Zugkraft: FZ = 100 N

gesucht: Reibungskräfte und Beschleunigung

m = 50,0 kg

FZ

FH / FGlFN FG

FZ, x

FZ, y

• Komponenten der Zugkraft

N 2,6440sinN 100sin

N 6,7640cosN 100cos

,

,

ZyZ

ZxZ

FF

FF

• Normalkraft N 2,328N )2,645,490(, yZN FmgF

• Haftreibungskraft N 3,32 1,0max, NNNH FFF

• Bedingung für BewegungxZH FF ,max,

• Gleitreibungskraft N 2,16 05,0 NNGlGl FFF

• Beschleunigung 2-,sm 21,1

kg 50

N )2,166,76(

m

FF

m

FamaF

GlxZug

Zusammenfassung

• Arbeit und Energie

• Arbeit erzeugt Energie, Einheit der Arbeit und Energie: [Nm = J = Ws]

• Drei Beispiele: 1. Hubarbeit potentielle Energie

2. Bewegungsarbeit (Beschleunigung)

kinetische Energie

3. Spannarbeit (Federn) Spann-Energie

• Arbeit ist in Systemen ohne Reibung (in konservativen Systeme) wegunabhängig.

• Energiesatz: Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden. Sie kann aber von

einer Energieform in eine Andere umgewandelt werden

mghEpot

2

2

1mvEkin

2

2

1DsEkin

potentielle Energie Spannenergie

kinetische Energie

Zusammenfassung

• Reibung

• Umwandlung zwischen mechanischen Energien findet nur exakt statt, wenn keine Reibung

herrscht

• Umwandlung in Wärme findet immer statt

• Reibung wird bedingt durch Eigenschaften der Grenzflächen

• Haftreibung und Gleitreibung: Körper bleibt in Ruhe bis maximale Haftreibungskraft

FH,max erreicht wird.

Bewegung: Gleitreibung FGl ist konstant und < FH,max

wirkt der angreifenden Kraft entgegen

• Reibungskräfte sind proportional zur Normalkraft (Kraft senkrecht auf Unterlage)

• Reibungskräfte hängen von Oberflächenmaterial des Körpers und der Gleitfläche ab

Gleit- / Haftreibungszahl

• Arbeit, Energie und Leistung

• Leistung = Arbeit / Energie-Änderung je Zeitintervall

s

JWWattW

dt

dwP