- Wärmetransport -

Prof. Dr. Ulrich HahnWS 2008/09

Physik IIIim Studiengang Elektrotechnik

Wärmetransport 2

Transportmechanismen

Temperaturausgleich:T Wärme

WärmeleitungWärmeleitungT Medium (f, fl, g)

mikrospkopischmikrospkopisch ungeordnete Bewegungungeordnete Bewegung Atome/MoleküleElektronen

WärmestrahlungWärmestrahlungT

WärmeströmungWärmeströmungT

LichtLicht

Medium (fl, g)

makrospkopischmakrospkopischgeordnete Bewegunggeordnete Bewegung

Wärmetransport 3

Wärmeleitung

T Medium

Wärme fließt in endlicher Zeit:WWWWäääärmestromrmestromrmestromrmestromtreibende Kraft:TemperaturdifferenzTemperaturdifferenzTemperaturdifferenzTemperaturdifferenz

elel IRU ⋅=

treibende Kraft:Potentialdifferenz Potentialdifferenz Potentialdifferenz Potentialdifferenz UUUU

QRTT th &⋅=− A

Rel

el

l⋅κ

= 1Draht:

stabförmiges Medium:A

Rthl⋅

λ= 1

l

λλλλ: W: W: W: WäääärmeleitfrmeleitfrmeleitfrmeleitfäääähigkeithigkeithigkeithigkeitKm

W][

⋅=λ Werkstoffeigenschaft

WK

][ =thR

UTIQ

↔∆↔&

Wärmetransport 4

Wärmeleitfähigkeitλλλλ @ 20°C in W/(m .K)

Diamant 2000,00

gute elektrische Leiter ���� gute Wärmeleiter

Wiedemann-Franz: λ ~ κ κ⋅⋅=λ TL L: Lorenzzahl 2,45.10-8 V²/K²

Diamant: perfekter Einkristallperfekter Nichtleiter

���� elastische Wellen elastische Wellen elastische Wellen elastische Wellen

���� freie Elektronen freie Elektronen freie Elektronen freie Elektronen

Hindernisse für Phononen: GitterstörungenKorngrenzenGitterschwingungen

Wärmetransport 5

Wärmeleitung durch mehrere Medien

TM 1: λ1, ℓ1, A1M 2: λ2, ℓ2, A2

ParallelschaltungParallelschaltung

R1 R221 GGG +=

SerienschaltungSerienschaltung

T λ1, ℓ1, A1 λ2, ℓ2, A2 21 RRR +=

R1

R2

häufig: ebene Geometrie (Wand):A1 = A2 = A

Def.: kkkk----Wert Wert Wert Wert (U(U(U(U----Wert) Wert) Wert) Wert) A

G

ARk th

th

=⋅

= 1:Km²

W][

⋅=k

2

2

1

11λ

+λ

= ll

Sk⇒

Grenzschichttemperaturen ���� Spannungsteiler

Wärmetransport 6

Temperaturverlauf im Medium

Spannungsteiler:

Rl

x homogenes Medium:l

x

R

Rx =

x

x

R

U

R

UI ==

xTT

TTx ⋅−+= <l

T

Mehrschichtenwand:T

λ1ℓ1

λ2ℓ2

λ3ℓ3λ1 < λ2 < λ3

T

x

)(1

112 > −⋅λ

⋅−= TTkTT l

Steigungen Steigungen Steigungen Steigungen ~ 1/1/1/1/λλλλiiii

Grenzschichttemperatur:

Wärmetransport 7

dynamische EffekteWärmestrom warm ���� kalt:

Abkühlen des warmen ReservoirsT Medium kaltes Reservoir: keine Erwärmung

Analogie: Entladen eines Kondensators Analogie: Entladen eines Kondensators Analogie: Entladen eines Kondensators Analogie: Entladen eines Kondensators

RsWRWRel cmCC ⋅=↔

warmes Reservoir � Kapazität

wärmeleitendes Medium � Widerstand

λ⋅=↔ l

ARR thel

1

Abklingkonstante

λ⋅⋅=⋅

sWR

WR

c

AmCR

l

CRt

eTTTtT ⋅−

⋅−=− ))0(()(

AbkühlkurvenAbkühlkurven

Wärmetransport 8

Wärmeleitung: nicht ebene Geometrien

>T

Wärmetransport 9

Kontinuitätsgleichung

Hülle umschließt Wärmequelle:

WWWWäääärmestrom geht durch die Hrmestrom geht durch die Hrmestrom geht durch die Hrmestrom geht durch die Hüüüülle lle lle lle

∫ •=Hülle

Q ajQrr& d

Form der HForm der HForm der HForm der Hüüüülle beliebig! lle beliebig! lle beliebig! lle beliebig!

∫ •⋅λ−=Hülle

aTgradr

d

Problem: Finden von T(x,y,z) und jQ(x,y,z) bei gegebener Geometrie von Wärmequelle (T>) und –senke (T

Wärmetransport 10

Beispiel: Zylindersymmetrie

iT

aT

Wärmestrom: radial

Hüllfläche: konzentrische Zylinder

Manteldemauf.|| constjQ =r

nDeckflächedenauf0d =• ajQrr

r

rl

QjQ ⋅⋅π⋅

=2

&rl: Zylinderlänge

Wärmestrom: )()/ln(

2ia

ia

TTrr

lQ −⋅λ⋅⋅π⋅−=&

Temperaturverlauf T(r): )ln()/ln(

)(iia

iai r

r

rr

TTTrT ⋅−+=

ir

ar

Wärmetransport 11

KonvektionWärmetransport durch Materiebewegung Gase, FlüssigkeitenGase, Flüssigkeiten

erzwungene Bewegungerzwungene Bewegung Pumpen, Ventilatoren, Wind ...

AuftriebsbewegungenAuftriebsbewegungen thermisch bedingte Dichteunterschiede

linearer Ansatz:

TAQ K ∆⋅α⋅=&

häufig: Wärmetransport Fluid �� Wand

WT

FT

Qj

vr

WT

Temperaturverlauf:

Grenzschicht:keine Bewegung

x

Fluid:T ≈ const. bei x ≈αK/λWand

Tj FQ grad⋅λ−=

Wärmeübergangskoeffizient

FT

Wärmetransport 12

Wärmeübergangskoeffizienten α [W/m²K]

Wärmetransport 13

Wärmeübergangskoeffizienten α

Wärmetransport 14

Anwendung: Aufwindkraftwerk

Wärmetransport 15

Anwendung: Aufwindkraftwerk

Wärmetransport 16

WärmetauscherWärme von einem Medium (Fluid) auf ein anderes übertragen

Rekuperatoren getrennte Stoffströme

Regeneratoren getrennte StoffströmeWärmespeicher

Mischwärmetauscher Stoffströme mischen sich

kontinuierliche Wärmeübertragung

� Wärmerückgewinnung (Lüftung)� Autokühler� Kühlkreisläufe (Kernkraftwerke)

Laden: Stoffstrom 1, Entladen: Stoffstrom 2

� Winderhitzer

� Kühlturm

Wärmetransport 17

Wärmetauscher

Winderhitzer

Wärmetransport 18

Rekuperatoren

Gleichstromwärmetauscher

Gegenstromwärmetauscher

Kreuzstromwärmetauscher

Q& Q&

Q& Q&

ET1AT1

AT2ET2

ET1AT1

AT2ET2

ET1

AT1

AT2 ET2

Wärmetransport 19

WärmestrahlungWärmetransport: elektromagnetische Strahlung

Ursache der Strahlung: Beschleunigung von Ladungen (Beschleunigung von Ladungen (ee--))

Atom-/ Molekülbewegung

jeder Körper bei T > 0 emittiert Lichtjeder Körper bei T > 0 emittiert Lichtjeder Körper bei T > 0 emittiert Lichtjeder Körper bei T > 0 emittiert Lichtjeder Körper bei T > 0 emittiert Lichtjeder Körper bei T > 0 emittiert Lichtjeder Körper bei T > 0 emittiert Lichtjeder Körper bei T > 0 emittiert Licht

abhängig von: TemperaturOberflächenbeschaffenheit

jeder Körper absorbiert Lichtjeder Körper absorbiert Lichtjeder Körper absorbiert Lichtjeder Körper absorbiert Lichtjeder Körper absorbiert Lichtjeder Körper absorbiert Lichtjeder Körper absorbiert Lichtjeder Körper absorbiert Licht

abhängig von:ReflektivitätOberflächenbeschaffenheit

Wärmetransport 20

Absorptions-, Emissionsgrad, Reflektivität

schwarzer Körper: absorbiert alle auftreffende Strahlung

weißer Körper: absorbiert keine auftreffende Strahlung Strahlung wird reflektiert

grauer Körper: absorbiert und reflektiert Strahlung

Definitionen:

Strahlungsintensität:Strahlungsintensität:Fläche

PI Strahlung=: Fläche ⊥ Strahlungsrichtung

Absorptionsgrad:Absorptionsgrad:

Emissionsgrad:Emissionsgrad:

Reflektivität:Reflektivität:sKabsreflabsein IIII =+==ρ :

ein

ref

I

I1=1=1=1=αααα++++ρρρρ

=ε :sKem

em

I

I

=α :sKabs

abs

I

I

Wärmetransport 21

Zusammenhang Emission - Absorption2 Körper im thermischen Gleichgewicht:

Tεεεε1αααα1

Tεεεε2αααα2

Spiegel

Spiegel

P1

P2

von Körper 2 absorbierte Strahlung

12*

1 PP ⋅α=von Körper 1 absorbierte Strahlung

21*

2 PP ⋅α=*

2*

1 PP =thermisches Gleichgewicht:

Kirchhoff: Kirchhoff: Kirchhoff: Kirchhoff: α~emP

sKem

sKabs PPP 1,2,

*1 ==2 schwarze Körper: sK

iemsK

iabs PP ,, =

(2) schwarzer, (1) grauer Körper:

)()( λε=λα⇒

Temperaturen gleich

sKem

sKem

sKem PPPPP 2,

*22,11,1

*1 ==⋅ρ+⋅ε=

sKem

sKabs PPP 2,1,

*2 ==

Wärmetransport 22

Emissionsgrade

Metalle:

Nichtmetalle:

C/ °TStoff ε

Wärmetransport 23

schwarzer Körper: StrahlungsgesetzeExperimente von Stefan:

spezifische Abstrahlung spezifische Abstrahlung spezifische Abstrahlung spezifische Abstrahlung ächeStrahlerfl

LeistungteabgestrahlRichtungenalleinM e =:

4TM SBe ⋅σ=

spektrale Verteilung (M. Planck 1900): �

Lage des Maximums abhängig von T:

Kµm2900max ⋅=⋅λ T

Wiensches VerschiebungsgesetzWiensches VerschiebungsgesetzWiensches VerschiebungsgesetzWiensches Verschiebungsgesetz

1)exp(

d²2d),( 5

−⋅⋅λ

⋅λ⋅

λ⋅⋅π⋅=λ⋅λ

Tkch

chTM e

Plancksches Wirkungsquantum h=6,62Plancksches Wirkungsquantum h=6,62Plancksches Wirkungsquantum h=6,62Plancksches Wirkungsquantum h=6,62....10101010 ---- 34343434 JsJsJsJs

48

SBK²m

W10760,5 −⋅=σ

Wärmetransport 24

1

2

Strahlungsaustausch (schwarze Körper)welche Strahlungsleistung geht von 1 ���� 2?

gradlinige Ausbreitung:SichtfaktorenSichtfaktoren

121

:12 hlungGesamtstraStrahlung

F→=

thermisches Gleichgewicht: T1 = T2sKsK PP 1221 →→ =⇒ 212121 FAFA ⋅=⋅

T1 ≠≠≠≠ T2: )(4

24

112112 TTFAQ SB −⋅σ⋅⋅=&

einfach: Körper 2 umgibt Körper 1

1

FFFF12121212 = 1= 1= 1= 1

)( 424

1112 TTAQ SB −⋅σ⋅=&

Halbraum über Ebeneparallele Ebenen (∝ groß) dann: Wärmestromdichte

Wärmetransport 25

Sichtfaktoren einfacher GeometrienFlächenelement 1 parallel zu Rechteckfläche 2:

h

bb

h

aa

b

a

b

b

a

b

a

aF

==

+⋅

++

+⋅

+⋅

π=

:~

,:~

))1²

~~

arctan(1²

~

~)

1²~

~arctan(

1²~~

(21

2,1

Flächenelement 1 senkrecht zu Rechteckfläche 2:

))1²~

~arctan(

1²~1~

(arctan21

2,1 +⋅

++⋅

π=

a

b

abF

Kugelförmiges Element 1 senkrecht zu Rechteckfläche 2:

)1²

~²~

~~arctan(

41

2,1 ++⋅⋅

π=

ba

baF

Wärmetransport 26

Werte für Sichtfaktoren

Flächenelement 1 parallel zu Fläche 2 Sichtfaktor Flächenelement � Fläche

Sichtfaktor kugelförmiges Element 1 �Fläche 2

2,1F↑

2,1F↑

Wärmetransport 27

Werte für Sichtfaktoren

Gleiche Rechtecke parallelSichtfaktor Fläche 1 � Fläche 2

Rechtecke orthogonal, gleiche LängeSichtfaktor Fläche 1 � Fläche 2

2,1F↑

2,1F

↑

Wärmetransport 28

Umrechnung für andere Fälle

Summationsgesetz:Summe der Sichtfaktoren über die Flächen, die einen Halbraum über der betrachtete Fläche bilden

11

, =∑=

n

kkiF (i: Fläche, Flächenelement, Kugel)

Wechselwirkungsgesetz (Flächen): 21,212,1 AFAF ⋅=⋅

Zerlegungsgesetz:''2,1'2,12,1 FFF −=

Wärmetransport 29

Strahlungsaustausch (graue Körper)

1

2 teilweise Reflexion teilweise Reflexion teilweise Reflexion teilweise Reflexion

212

2

121

42

4112211

12

1

)(

FAA

TTFAQ

⋅⋅ρ⋅ρ−

−⋅⋅ε⋅ε⋅=&

11AM M1A1F12 21211 εFAM

M1A1F12ρ2F21

M1A1F12ρ2F21ρ1F12 21122121211 FFFAM ρρε

Strahlung von 1 ���� 2: ∑∞

=

⋅ρ⋅⋅ρ⋅⋅ε⋅⋅=0

2121211221112 )(i

iFFFAMP

Wärmestrom von 1 ���� 2:

211212 PPQ −=&

Wärmetransport 30

Strahlungsaustausch (umschlossene Flächen)Wärmestrom vom Körper

)( 44 UKUKKK TTCAQ −⋅⋅= →&

U

KUK

SBUKUK

AA

Cmit⋅ρ⋅ρ−

σ⋅ε⋅ε=→1

CK�U: Strahlungsaustauschkoeffizient

Grenzfälle: • AK ≈ AU (Rohrummantelung): )111/( −ε

+ε

σ=→UK

SBUKC

• AK