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Wärmetransport in Fliessgewässern
Wolfgang Kinzelbach, Olaf CirpkaModellierung der Wasserqualität
in Fliessgewässern, SS06
Warum Temperaturmodelle?
• Temperatur ist ein universeller Parameter, der alle Prozesse beeinflusst
• Es gibt Grenzwerte für die Temperatur• Flüsse verfügen deshalb über eine
begrenzte Wärmeaufnahmekapazität, die bewirtschaftet werden muss
• In Seen bestimmt das Temperaturprofil wesentlich die vertikale Vermischung
Wärmetransportgleichung (1)• Extensive (transportierte) Grösse
– Wärmeenergie im Volumen VcpT– Wärmeenergie pro Volumen cpT– Einheit: J oder Ws (alte Einheit cal: 1 J = 4.2 cal)
• Intensive Grösse in Transportgleichung– Temperatur T– Aufwärmespanne T bezüglich Basistemperatur T0 – Einheit °C oder K
• Umrechnungsfaktor– cp = 4.2 x106 J/(m3K)
Wärmetransportgleichung (2)• Transportgleichung für Temperatur T
• H(T) ist der Wärmefluss (J/m2/s = W/m2)– Wärmeaustausch durch Wasseroberfläche– Wärmeaustausch durch Sohle (im folgenden vernachlässigt)– Im Nenner des Wärmeaustauschterms steht die Wärmekapazität
der Wassersäule mit Tiefe h und Einheitsfläche
TTAq
hcTH
xTAD
xAxTu
tT
inp
1
Wärmeflüsse durch die Wasseroberfläche
Direkte und diffuse Sonnenstrahlung = Globalstrahlung (kurzwellig)
Atmosphärische Gegenstrahlung (langwellig)
R eflektierter Anteil
R eflektierter Anteil
L angwellige Abstrahlung
Verdunstung / Kondensation
Konvektion (fühlbare Wärme)
H S
H G
r s H S r G H G H W H V H K
(1 - r G ) H G (1 - r S ) H S
SW GW W V KH H H H H H
HSW HGW
Globalstrahlung
HSW Wärmefluss ins WasserrS Reflektionsfaktor (ungef. 0.15)w Bewölkungsfaktor (0 = wolkenlos, 1 = stark bewölkt)0.65 berücksichtigt diffuse Strahlung bei BewölkungHS = f(geografische Position, Datum, Solarkonstante)
SSSW rwHH 165.01
Rand der Atmosphäre HS = 1370 W/m2 (fast konstant) Erdboden im Mittel bei uns HS=100 W/m2 (schwankt stark: Jahreszeit, Tag-Nacht)
Atmosphärische Gegenstrahlung (1)
HGW Wärmefluss ins WasserrG Reflektionsfaktor (ungef. 0.03)
GGGW rHH 1
20 1 kwHH GG
k Wolkenartfaktor (0.04 – 0.25)w Bewölkungsgrad
Atmosphärische Gegenstrahlung (2)
4069.00 27310294.0848.0'
L
EG TH
0GH Atmosphärische Gegenstrahlung bei wolkenlosem Himmel
Stefan-Boltzmann-Konstante [W/(m2K4)]
Wasserdampfpartialdruck der Luft [mm Hg]
Lufttemperatur in 2 m Höhe (Standardhöhe) [°C]
8107.5
LEE '
LT
Umrechnungsfaktor: 1 mmHg = 1.33 hPa
Annahme: Schwarzer Strahler
Langwellige Abstrahlung
427397.0 WW TH
TW Wassertemperatur [°C]
0.97 Emissivität, im Einklang mit rG = 0.03
Stefan-Boltzmann-Konstante [W/(m2K4)]
8107.5
Abhängig von Wassertemperatur
Strahlungsbilanz
Verdunstung/Kondensation
vz Windgeschwindigkeit in der Höhe z über dem Wasserspiegel
EL,z Wasserdampfpartialdruck der Luft in der Höhe z (in mm Hg)
ES Sättigungsdampfdruck (Funktion der Wassertemperatur TW) (in mm Hg)
f(vz) Windformel, allgemeine Form:
WSzLzV TEEvfH ,
3221c
z vccvf
Beispiel: Formel nach Trabert(nicht verwendbar für Seen) 01 c
Abhängig von Wassertemperatur
Hg 64.11 22 mmm
Wc 5.03 c
Umrechnungsfaktor: 1 mmHg = 1.33 hPa
zLWS ETE ,
Kondensation falls
Konvektion
vz Windgeschwindigkeit in der Höhe z über dem Wasserspiegel
T,L Lufttemperatur (in °C)
TW Wassertemperatur TW (in °C)
f*(vz) Windformel Konvektion Abhängig von Wassertemperatur
WLzK TTvfH *
Bowen-HypotheseHg
03.2konstant*
mmKc
ff
b
Umrechnungsfaktor: 1 mmHg = 1.33 hPa
Wärmebilanz des Zürichsees
nach Kuhn, aus Imboden, Physik aquatischer Systeme
Gleichgewichtstemperatur (1)
• Wassertemperatur TG bei der H(TG ) = 0
• Hängt ab von den Parametern
SLzzL HTvEw ,,,, ,
Gleichgewichtstemperatur (2)
• Berechnung durch Nullstellensuche mit Newton-Verfahren
• oder durch Intervallschachtelung
( ) ( ) 0( ) ( ) 0
L M R M
R M L M
falls H T H T T Tfalls H T H T T T
,, ,
,
( )( )
G altG neu G alt
G alt
H TT T
H T
TL TR
TM
Transportgleichung für T (1)• Transportgleichung für Temperatur T mit anthropogenen
Wärmequellen W
• Transportgleichung für natürliche Temperatur Tn
• Differenzbildung unter Verwendung vonT =T – Tn und
1in
p
H TT T T qu AD T T Wt x A x x c h A
,( )1n n n n
in n np
T T T H T qu AD T Tt x A x x c h A
( ) ( ) ( )n
n nT
HH T H T T TT
Transportgleichung für T (2)
• Stationärer Fall, unter Vernachlässigung der Dispersion, Wärmequelle und/oder Nebenflüsse in oberstromiger Randbedingung, uniforme Strömung
• Lösung
1in
p
HT T T qTu AD T T T Wt x A x x c h A
nT
p
H Td Tu Tdx c h
1
0p Tn
H xc hu TT T e
Entwicklung der Aufwärmespanne relativ zur Gleichgewichtstemperatur