Physikalisches Praktikum für Fortgeschrittene

Leitfähigkeit und Halleffekt in

Halbleitern

Anna Merdian und Tim IJsselstein Gruppe 68

18.06.2007

INHALTSVERZEICHNIS SEITE

Deckblatt … 1 Inhaltsverzeichnis … 2 1. Ziel des Versuches … 3 2. Theoretische Grundlagen … 3

2.1. Halleffekt … 3 2.2. Halbleiter … 4

2.2.1. Das Bändermodell … 4 2.2.2. Dotierung … 5 2.2.3. Ladungsträgerdichte … 5 2.2.4. Leitfähigkeit und Ladungsträgerbeweglichkeit … 6

3. Durchführung … 7 4. Auswertung … 7

4.1. Fehlerabschätzung … 7 4.2. Probe A – Germanium … 7

4.2.1. Die Messwerte … 7 4.2.2. Bereichsfestlegung … 10 4.2.3. Art der Dotierung … 10 4.2.4. Die intrinsische Ladungsträgerkonzentration … 11 4.2.5. Die Bandlücke über das Arrhenius-Diagramm … 11

4.3. Probe B – Galliumarsenid Multischichtprobe … 12 4.3.1. Die Messwerte … 12 4.3.2. Die Mobilität … 15

4.4. Vergleich der Mobilitäten … 16

1. Ziel des Versuches

In diesem Versuch sollen einige Eigenschaften von Halbleitern untersucht werden. Dazu wird an einem stromdurchflossenen Halbleiter, der sich in einem konstanten Magnetfeld befindet, die Hallspannung gemessen. Um auch den Temperatureinfluss zu untersuchen, werden die Messungen in einem Temperaturbereich von -180°C bis +150°C durchgeführt. Mit diesem Versuch können Aussagen über die Leitfähigkeit eines Stoffes, die Dichte der Ladungsträger, ihr Vorzeichen und die Mobilität gemacht werden.

2. Theoretische Grundlagen

2.1. Halleffekt

Befindet sich ein stromdurchflossener Leiter in einem Magnetfeld, so findet in diesem Leiter eine Ladungstrennung statt. Diese Trennung der Ladungsträger wird als Halleffekt bezeichnet.

Abb.1: Der Halleffekt. In der Abbildung 1 ist dieser Vorgang schematisch dargestellt. Zu sehen sind zwei Metallplättchen, die von einem Strom I von links nach rechts durchflossen wird. Das Magnetfeld zeigt in die Papierebene hinein. Auf die Ladungsträger (positiv: Abb.1(a), negativ: Abb.1(b)) wirkt dann die Lorentzkraft

mit dv als Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger. Diese beschleunigt nun die Ladungsträger

zum oberen Rand des Metallplättchens, wodurch unten ein Überschuss an den je nachdem negativen oder positiven Ladungen entsteht. Diese Trennung von positiven und negativen Ladungen erzeugt im Streifen ein elektrisches Feld, das ebenfalls Kraft auf die Ladungsträger ausübt, jedoch entgegengesetzt der Lorentzkraft. Dieser Vorgang geht so lange bis ein

Gleichgewicht dieser beiden Kräfte sich einstellt: elL FFrr

= .

Misst man nun die Potentialdifferenz zwischen der oberen und der unteren Rand der Metallplatte, so erhält man damit die Hallspannung. Für diese gilt

BbvU dH =

Aus dem Vorzeichen der gemessenen Hallspannung kann man das Vorzeichen der Ladungsträger ableiten.

BvqF dL

rrr×=

2.2. Halbleiter

2.2.1. Das Bändermodell

Betrachtet man ein Atom isoliert von seiner Umgebung, so können seine Valenzelektronen als freie Elektronen angesehen werden, die nur diskrete Energiezustände einnehmen können. Bringt nun aber zwei gleiche Atome einander näher, so beeinflussen sie sich gegenseitig. Dabei werden die entarteten Energiezustände jeweils in zwei Zustände aufgespaltet, deren Energien sich um einige eV unterscheiden. Betrachtet man jetzt nicht nur zwei benachbarte Atome sondern ein N-Atom-System, so spaltet ein bestimmter Zustand der einzelnen Atome in N verschiedene Energiezustände mit etwas unterschiedlichen Energien auf. Je größer also die Anzahl der Atome, desto dichter liegen die Niveaus beieinander. Bei einem Halbleiter handelt es sich um eine sehr große Anzahl der Atome, dementsprechend wird jedes Energieniveau in eine große Anzahl sehr dicht aufeinander folgenden Niveaus aufgespaltet. Und weil die Energiedifferenz der Niveaus sehr klein ist, bezeichnet man die Aufgespaltete Energieniveaus als Band. Das Band, das von den Valenzelektronen besetzt ist, wierd Valenzband genannt. Das energetisch niedrigste Band, das über dem Valenzband liegt und in dem noch unbesetzte Zustände gibt, wird Leitungsband genannt. Die verschiedenen Bänder können energetisch dicht oder nicht so dicht bei einander liegen oder sich auch überlappen. Mit diesem Modell kann man nun den Unterschied zwischen Leitern und Isolatoren erklären. Auch wie die Halbleiter sie hier einreihen lassen. Dabei soll die folgende Abbildung 2 helfen.

Abb.2: Vier mögliche Bandstrukturen von Festkörpern. Unter (a) ist die Bandstruktur eines Leiters zu sehen. Hier ist das Valenzband nur teilweise gefüllt, so dass Elektronen leicht in das direkt darüber liegende Niveau springen können. (b) zeigt die Bandstruktur eines Isolators. Sein Merkmal ist, dass das volle Valenzband und das Leitungsband durch ein verbotenes Band getrennt sind. Die Elektronen hier schaffen es nicht, diese Barriere zu überwinden. (c) zeigt eine Struktur, bei der sich das teilweise gefüllte Valenzband und das Leitungsband überlappen. Die Elektronen können hier also ohne Mühe aus dem Valenzband in das Leitband gelangen: Der Stoff leitet. (d) zeigt einen Halbleiter. Sein Merkmal ist , dass die Energielücke zwischen dem vollen Valenzband und einem leeren Leitungsband sehr klein ist. Einige Elektronen können auf Grund der Fermi-Verteilung bereits bei Zimmertemperatur die Lücke überspringen. Verlässt ein Elektron das Valenzband, dann hinterlässt er da einen leeren Platz. Dieser leere Platz wird Loch genannt. Es hat positive Ladung und trägt zum Stromtransport bei.

2.2.2. Dotierung

Bei einem dotierten Halbleiter handelt es sich um einen Halbleiter, dem bestimmte Fremdatome eingebaut wurden. Dabei unterscheidet man zwischen einem n-Typ- Halbleiter und einem p-Typ-Halbleiter. Wie schon im Kapitel 2.1 erwähnt, kann man von der Hallspannung die Art des Halbleiters ablesen: Ist die Hallspannung positiv, dann handelt es sich um einen p-Typ-Halbleiter, bei negativer Hallspannung um einen n-Typ-Halbleiter. Will man nun einen n-Typ-Halbleiter dotieren, so muss man ihm Fremdatome zuführen, die einen Valenzelektron haben als der Halbleiter selbst. Damit bringt jedes Störatom ein Elektron mit, das keine Bindung mit nächsten Nachbarn eingeht. Es ist also nur sehr schwach an das Störatom gebunden und und können durch geringe Energiezufuhr getrennt werden. Diese Elektronen bilden damit Energieniveaus, Donator-Niveaus genannt, die dicht unter dem Leitungsband liegen. Sie können also leicht in das Leitungsband gelangen, so dass sie zur elektrischen Leitfähigkeit beitragen. Bei einem p-Typ-Halbleiter wählt man die Fremdatome so, dass sie ein Valenzelektron weniger haben als der Halbleiter. Es fehlt also jedem Störatom ein Elektron zur Bindung. Dieses fehlende Elektron wird durch ein Elektron des Valenzbandes ersetzt, wodurch im Valenzband ein Loch entsteht. Dieses Loch kann nun als freies Loch am Ladungstransport teilnehmen. Da die Störstellen Elektronen aus dem Valenzband aufnehmen, werden sie als Akzeptoren und ihre Energieniveaus als Akzeptor-Nieveaus bezeichnet. 2.2.3. Ladungsträgerdichte

Die Dichte der freien Elektronen und Löcher in einem reinen Halbleiter ergibt sich zu

Tk

E

iB

G

eTATn22

3

)(−

⋅⋅=

mit pnTni ==)( , Konstanten A und VLG EEE −= als Differenz der Bänderenergien. Diese

Trägerdichte der Eigenleitung wird auch die intrinsische Ladungsträgerdichte bezeichnet. Ist der Halbleiter mit der n-dotiert, dann ergibt sich für die Konzentration der freien Elektronen

Tk

E

LD B

D

eNn

Tn2

2)(

−

=

mit der Konzentration der Donatoratome Dn , der Zustandsdichte des Leitungsbandes LN . Bei

einem p-Typ-Halbleiter gilt mit der Akzeptoren-Konzentration An und der Zustandsdichte des

Valenzbandes VN entsprechendes. Man bewegt sich im extrinsichen Bereich. der Leitung.

Abb.3: Extrinsische und intrinsische Leitung, schematische Darstellung. Die Abbildung 3 zeigt einen Idealfall der Veränderung der Trägerdichte. Der erste Anstieg der Kurve erklärt sich durch die n-Dotierung. Die Elektronen können bereits bei seht tiefen Temperaturbereichen das Ladungsband erreichen. In dem konstanten Bereich des Verlaufs sind die Elektronen der Fremdatome alle in das Ladungsband übergesprungen, die Temperatur reicht jedoch noch nicht aus um die Elektronen des Halbleiters aus dem Valenzband in das Leitungsband zu erregen. Ist die Temperatur hoch genug, so setzt die intrinsische Leitung ein. 2.2.4. Leitfähigkeit und Ladungsträgerbeweglichkeit

Wenn man an eine Halbleiter eine Spannung anlegt, dann fließen die freien Elektronen zur Anode. Die gebundenen Elektronen, die sich in der Nähe von Löchern befinden, können durch Platzwechsel in ein Loch springen, so dass das Loch dadurch in Richtung Kathode wandert. Will man den Gesamtstrom des Halbleiters betrachten, muss man beide Ladungstransporte berücksichtigen. Die Gleichung für die elektrische Leitfähigkeit eines Leiters µσ en= muss also erweitert werden. Es ergibt sich für die Leitfähigkeit eines

Halbleiters )( pn pne µµσ += .

Dabei ist n die Dichte der Elektronen, p die Dichte der Löcher, nµ und pµ die

entsprechenden Beweglichkeiten der Ladungsträger. Diese wird im klassischen Modell wird die Beweglichkeit durch stöße der Elektronen mit dem Atomrümpfen erklärt. Zusätzlich verlangt das Ohmsche Gesetz, dass die Driftgeschwindigkeit eines Elektrons proportional zum elektrischen Feld im Inneren des Leiters ist. Die Beweglichkeit µ ist dabei die

Proportionalitätskonstante

τµ

em

e=

mit der Relaxationszeit τ , die der mittleren Zeit zwischen zwei Stößen entspricht.

n

T/

extrinsisch

intrinsisch

3. Durchführung Wir führten den Versuch gemäß der Ausliegenden Versuchsanleitung durch. Dabei hatten wir anfänglich Probleme mit dem einstellen der Temperatur, da diese nur mit großen Überschwingern angefahren wurde. Mit zunehmender Versuchsdauer bekamen wir dies jedoch immer besser in den Griff, was sich auch dadurch äußerte, dass sich der Abstand der einzelnen Messungen zum Ende hin stark verringerte.

4. Auswertung 4.1.Fehlerabschätzung In dem hier vorliegenden Experiment macht es keinen Sinn eine genaue Fehlerrechnung durchzuführen, da eine genaue Angabe der Fehler nur sehr schwer möglich ist. Für die verwendeten Geräte und vorgegebenen Eichgeraden waren keine Fehlerangaben gegeben, weshalb die Annahme dieser Fehler eine Reine Schatzung ohne Grundlage wäre. Aus diesem Grund beschränken wir uns darauf eine kurze Liste der Fehlerquellen zu erstellen ohne im Weiteren eine explizite Fehlerrechnung durchzuführen.

- Alle Messinstrumente sind in ihren Angaben eine Mögliche Fehlerquelle. Hierzu zählen alle Strom und Spannungsmessgeräte sowie die Temperaturanzeige

- Die Eichgerade, welche angibt welchen Spulenstrom man einstellen muss um das Gewünschte B-Feld zu bekommen birgt einen gewissen Fehler in sich, was dem B-Feld –Wert von 0,5 Tesla einen gewissen Fehler anlastet.

- Die Einstellungen in welcher Art und Weise die gewünschte Temperatur angefahren werden sollen sind immer nur für einen gewissen Bereich gültige Durchschnittswerte. Somit ergeben sich Fehler beim einstellen der Temperatur.

- Das Einstellen der Temperatur erwies sich teilweise trotz richtiger Einstellungen als schwierig, da großes Übersteuern auftrat und Nachregelungen nötig wurden. Auch dies birgt einen möglichen Fehler.

4.2. Probe A – Germanium

4.2.1. Die Messwerte

Auf der nächsten Seite folgt eine tabellarische Auflistung der Werte für Germanium. Dabei wurden die Felder mit den grau hinterlegten Überschriften im Versuch gemessen und die Felder mit weißen Überschriften aus ihnen berechnet. Diese Berechnungen erfolgten gemäß der in der Vorbereitung erwähnten Gleichungen, welche aus Gründen der Übersichtlichkeit nochmals aufgelistet werden.

Temperatur in Kelvin : T [°K] = ( T[°C] / [°C] + 273,15) * [°K] Hall-Spannung : UHall = ( Uquer+ - Uquer- ) / 2 Stromdichte : j = I / A = I / bd E-Feld in x-Richtung : Ex = ULeit / l E-Feld – Halleffekt : EHall = UHall / b Leitfähigkeit : σ = j / Ex Hall Koeffizient : RH = EHall / ( j * B )

Die so gewonnen Daten lassen sich nun in Schaubilder darstellen, aus deren Form man weitere Rückschlüsse ziehen kann.

Leitfähigkeit über Tem peratur

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

140,00

160,00

90 140 190 240 290 340 390 440

T [ K ]

σ [

1/Ω

m ]

Hallkoeffizient über Temperatur

0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

4,000

90 140 190 240 290 340 390 440

T [ K ]

R-H

all

[Ω

/T ]

reziproker Hallkoeffizient über Temperatur

0,1

1

10

100

1000

90 140 190 240 290 340 390 440

T [ K ]

1/R

-Hall [

T/Ω

]

Mobilität über Temperatur

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

90 140 190 240 290 340 390

T [ K ]

µ [

m^

2/V

s ]

4.2.2. Bereichsfestlegung

Ein interessanter Punkt dabei ist die Festlegung des intrinsischen und extrinsischen Bereichs. Hierzu ist es nützlich die Mobilität gegen die Temperatur in einer doppelt logarithmischen Abbildung darzustellen, wobei bereits der Ausschnitt auf den gewünschten Bereich eingeschränkt wurde. Leider hatten wir kein gutes Programm zur Verfügung, welche eine doppelt logarithmische Skala gut darstellen konnte. Deshalb logarithmierten wir die Werte um das Verfahren anzuwenden und rechneten dann wieder auf die eigentlichen Temperaturen um.

Leitfähigkeit über Temperatur

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6 6,1

ln (T [ K ] )

ln (σ

[ 1

/Ωm

] )

Nun legt man an das Schaubild zwei parallele Gerade an. Die gesuchten Bereiche zeichnen sich dadurch aus, dass genau die Punkte des Schaubilds annähernd auf dieser Geraden liegen. Es ergibt sich: Intrinsischer Bereich : 320 K – 390 K Übergangsbereich : 250 K – 329 K Extrinsischer Bereich : 180 K – 250 K 4.2.3. Art der Dotierung

Ein weiterer Punkt, der sich über die Schaubilder klärt, ist die Frage ob ein N oder P Leiter vorliegt. Hierzu kann man nun folgende Überlegung anstellen. Im Intrinsischen Bereich sind die Ladungsträgerkonzentrationen von Elektronen und Löcher als gleich anzusehen. Die Elektronen besitzen jedoch aufgrund ihrer kleineren effektiven Masse eine höhere Mobilität, weshalb hier hauptsächlich Elektronenleitung vorliegt. Betrachtet man nun das 1/RH –Schaubild, so erkennt man, das beim Übergang in den extrinsischen Bereich keine Polstelle auftritt, was gleichbedeutend damit ist, das sich der Leitungstyp nicht ändert. Somit ist es klar, das es sich um einen N dotierten Halbleiter handeln muss, weil eben bei diesem die auftretende Leitungsart vorherrscht.

4.2.4. Die intrinsische Ladungsträgerkonzentration

Als nächstes ermitteln wir die intrinsische Ladungsträgerkonzentration. Hierbei benutzen wir folgende Formeln:

b

b

eRn

h

i+

−=

1

1*

1 ; b = 1,2688+(0,00097*T)

In dem nun folgenden Plot ist die Ladungsträgerkonzentration über dem intrinsischen Bereich aufgetragen.

Intrinsische Ladungsträgerkonzentration

0

2E+19

4E+19

6E+19

8E+19

1E+20

1,2E+20

1,4E+20

250 270 290 310 330 350 370 390 410

T [K]

ni [1

/m³]

4.2.5. Die Bandlücke über das Arrhenius-Diagramm

Als letztes ist die Bandlücke gefragt. Diese bestimmen wir über ein so genanntes Arrheniusdiagramm in linearer Nährung. Hierzu wird ln ( ni*T-3/2 ) über 1/T aufgetragen. Um dies zu bewerkstelligen kommen folgende Formeln zur Anwendung:

−

=

Tk

TETkmmTni

B

Gb

pn2

exp*2

*)*()( 0,2/3

4/3α

πh

Tk

E

k

kmmTTni

B

G

B

b

pn222

*)*(ln*)(ln( 0,

2/3

4/32/3−+

=

α

πh

für Germanium: mn* = 0,22*me , mp* = 0,37*me

Arrhenius Diagramm

y = -4497,9x + 48,772

34,5

35

35,5

36

36,5

37

37,5

0,0025 0,0026 0,0027 0,0028 0,0029 0,003 0,0031 0,0032

1/T [1/K]

ln (

ni/T

^3/2

)

Über den y-Abschnitt und die Steigung der Ausgleichsgerade lassen sich nun α und EG,0 näherungsweise bestimmen. Es ergeben sich:

EG,O ≈ 0,775 eV α ≈ 0,321mev/K

Hierbei sind wir dem Literaturwert von α, der mit 0,4 meV/K angegeben wird, relativ nahe gekommen. In einem weiteren kleinen Schritt lässt sich nun, über ein lineares Nährungsverfahren, E0(T) bestimmen als:

E0 (T) = EG,O – α T E0 (300K) = 0,679 eV

Auch bei diesem letzten Wert sind wir erstaunlich nahe am Literaturwert, welcher sich zu 0,67 eV ergibt. Zieht man den Literaturwert von α zur Rechnung heran, so kommt man zu einem E0 von 0,66 eV, was ebenfalls sehr nahe bei 0,67 eV liegt. Alles in allem ist man also über diesen Versuch zu einem sehr genauen Wert der Energielücke gelangt. 4.3. Probe B – Galliumarsenid Multischichtprobe

4.3.1. Die Messwerte

Bei dem zweiten Versuch wird eine Probe in der Van-der-Pauw Geometrie, genauer in der Kreuzform, verwendet. Wie in der Vorbereitungsmappe beschrieben, können wir hierbei von einem 2-dimensionalen Fall ausgehen, was es uns erleichtert aus den Messwerten Leitfähigkeit und Hallkoeffizient zu berechnen. Es folgt eine Auflistung der Messdaten, dabei sind wieder grau hinterlegte Spalten gemessene Werte und weis hinterlegte Spalten berechnete Werte.

Aus den Messdaten lassen sich Leitfähigkeit und Hallkoeffizient folgendermaßen berechnen.

Leit

AB

U

I

πσ

2ln= ;

BI

URH

AC

BD 1=

Die mit diesen Formeln berechneten Werte lassen sich nu wiederum gut in einem Diagramm darstellen.

Leitfähigkeit über Temperatur

0,0000

0,0005

0,0010

0,0015

0,0020

0,0025

0,0030

0,0035

80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280

Te mpe r a t ut [ K ]

Hallkoeffizient über Temperatur

2000,00

2500,00

3000,00

3500,00

4000,00

4500,00

5000,00

80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280

Te mpe r a t u t [ K ]

4.3.2. Die Mobilität

Die Mobilität wurde genauso wie bei der Probe A bestimmt. Leider waren wir mit unserem Programm nicht in der Lage eine definierte Fitfunktion anzulegen, so dass wir eine Anpassung an die Kurve C* Tγ vorgenommen haben.

µ (T) = C*Tγ

ln (µ (T)) = ln(C) + γ ln ( T )

Diagrammtitel

y = -2,4069x + 13,283

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4,4 4,8 5,2 5,6 6

ln (Temperatur [K] )

ln (

Mo

bilit

ät

[m²/

VS

] )

Über die Gleichung der Ausgleichsgeraden lassen sich sehr schnell die Koeffizienten C und γ bestimmen.

γ = -2,41 m²/VS C = 5,87 *105

Zeichnet man noch einmal den realen Verlauf mit der Anpassung in ein Diagramm, so erkennt man, dass bei tiefen Temperaturen eine Abweichung besteht, welche sich zu höheren Temperaturen hin deutlich abschwächt.

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

80 130 180 230 280

Temperatur [K]

Mo

bilit

ät

[m²/

VS

]

4.4. Vergleich der Mobilitäten

Als letzter Aufgabenteil sollen die beiden Mobilitäten von Probe A und B in einem Diagramm verglichen werden.

Vergleich der Mobilitäten

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

80 180 280 380

Temperatur [K]

Mobilität [m

²/V

S]

Probe B

Prpbe A

Ein guter Vergleich ist vor allem daher Möglich, da die Mobilitäten beider Halbleiter, trotz unterschiedlicher Hallkoeffizienten und Leitfähigkeiten, in der gleichen Größenordnung liegen. Man kann nun feststellen, dass Probe A bei höheren Temperaturen eine höhere Mobilität besitzt. Gleichzeitig erkennt man, dass sie gegen tiefe Temperaturen zu einem Isolator zu werden scheint. Im Gegensatz dazu besitzt Probe B bereits bei tiefen Temperaturen eine hohe Mobilität, die sich jedoch bei höheren Temperaturen schnell abschwächt.