Physikalisches Praktikum für Fortgeschrittene

Elektronenspinresonanz

Anna Merdian und Tim IJsselstein Gruppe 68

16.05.2007

Inhaltsangabe

Deckblatt………………………………………………………………………….. 1 Inhaltsangabe……………………………………………………………………… 2

1. Ziel des Versuches……………………………………………………………. 3

1.1. Bedeutung der ESR………………………………………………........ 3

2. Theoretische Grundlagen……………………………………………………... 3

2.1. Der g-Faktor:………………………………………………………….. 3

2.2. Der Zeeman-Effekt……………………………………………………. 4

2.3. Elektronenspinresonanz………………………………………………. 4

2.4. Linienform…………………………………………………………...... 5

3. Aufbau………………………………………………………………………… 6

3.1. Vorversuch …………………………………………………………… 7

3.2. Elektronenspinresonanz mit ESR-Adapter…………………………… 7

3.3. Elektronenspinresonanz mit ESR-Betriebsgerät……………………… 7

4. Durchführung…………………………………………………………………. 7

5. Auswertung/ Fehlerrechnung…………………………………………………. 7

5.1. Vorversuch……………………………………………………………. 7

5.2. Elektronenspinresonanz………………………………………………. 8

5.3. Magnetfeldabhängigkeit der Resonanzfrequenz……………………… 8

5.4. Bestimmung des g- Faktors…………………………………………… 12

5.5. Messung der Linienbreite……………………………………………... 13

5.6. Formeln für die Fehlerberechnung……………………………………. 14

1. Ziel des Versuches Es ist das Ziel des Versuches einen kleinen Einblick in den Bereich der Elektronenspinresonanz zu geben. Dabei gilt es sich zunächst mit den theoretischen Grundlagen und den auftretenden Effekten auseinanderzusetzen. Die Experimente geben dann nochmals einen praktischen Einblick in das grundsätzliche Prinzip der ESR und ermöglichen es, diese an einer eigenen kleinen Messung zu erproben. Anhand der gewonnenen Messwerte können dann Rückschlüsse auf Grundlegende atomare Strukturen und Prinzipien gezogen werden, welche in ihren Werten hoffentlich nicht all zu weit von der Theorie entfernt liegen.

1.1. Bedeutung der ESR Die ESR hat ihren Platz in der Analyse von molekularen Strukturen. Dabei lässt man eine Probe von elektromagnetischer Strahlung durchlaufen. Stellt man den Resonanzfall ein, so absorbiert die Probe Energie. Bei diesem Prozess lässt sich ein Absorptionsspektrum aufnehmen, welches die Abschwächung der Strahlung gegenüber der Wellenlänge wiedergibt. Aus dem Verlauf dieses Spektrums und einer genügend großen Datenmenge lassen sich, unter zuhilfenahme der Theorie, Energieniveaus bestimmen. Aus diesen Niveaus lassen sich viele atomare Strukturen ableiten und auch viele chemische Informationen sind darin enthalten. Wie der Name schon sagt muss ein System, auf die die ESR angewandt werden soll einen resultierenden Spin besitzen. Da dies aber für eine größere Menge von interessanten Stoffen (z.B. freie Radikale, Biradikale, … ) gilt, hat die ESR durchaus eine Bedeutung.

2. Theoretische Grundlagen Das Prinzip der ESR ruht in seiner Gesamtheit auf der Tatsache, dass ein Atom, aufgrund seiner festen Energieniveaus, Energie nur in wohldefinierten, gequantelten, Einheiten aufnehmen, bzw. abgeben kann. Daraus begründen sich charakteristische Absorptions- und Emissionsspektren welche im Folgenden genauer betrachtet werden.

2.1. Der g-Faktor: Den Einstieg unserer theoretischen Grundlagen finden wir in der Beschreibung des g-Faktors, auch Landé- Faktor genannt, welcher das Verhältnis des magnetischen Moments zum Drehimpuls innerhalb des bohrschen Magnetons beschreibt.

h

rrr J

g bj ** µµ = ; cm

eb

**2

*h=µ

Dabei ergibt sich g in folgender Art und Weise:

)1(2

)1()1()1(1

+

+−++++=

jj

llssjjg

wobei j , l, s die zu J,L und S gehörenden Quantenzahlen sind. Dabei beschreibt J den Gesamtdrehimpuls welcher aus der Kopplung von Spin ( S ) und Bahndehimpuls ( L ) resultiert. Die zugehörige Quantenzahl j ergibt sich zu :

slslslj −−++= ,...,1,

Bei vielen Stoffen ist der g-Faktor nicht ein fester Wert sondern liegt in anisotroper Art vor. Er kann dann durch eine Matrix ausgedrückt werden, welche dann für unterschiedliche Richtungen den jeweils entsprechenden Wert wiedergibt. Allgemein müssen zur Beschreibung eines Systems alle Elektronen berücksichtigt werden. Da in unserem Fall jedoch nur Elektronen mit resultierendem Gesamtdrehimpuls betrachtet werden müssen, verringert sich diese Zahl auf die ungepaarten Elektronen. ( Elektronen in gefüllten Schalen haben Gesamtdrehimpuls Null , bei Bindungselektronenpaaren stehen die Spins antiparallel und es gibt kein resultierendes magnetisches Moment ). Diese besitzen keinen Spin kompensierenden Partner und führen zu einem Paramagnetismus des jeweiligen Stoffes. Aufgrund ihrer Eigenschaften, kommen diese Elektronen einem freien Elekktron sher nahe, weshalb man bei ihnen einen g Faktor von ca. 2 erwartet ( S= ½ , L=0 ), was später in den Versuchen zu zeigen sein wird. Der erwartete Wert liegt bei 2,0023, wobei die Abweichung zu g=2 durch Effekte in der Quantenelektrodynamik begründet werden kann.

2.2. Der Zeeman-Effekt Bringt man nun das eben beschriebene Elektron in ein äußeres Magnetfeld der Stärke B0, so erfolgt eine Aufspaltung des Energieniveaus in mehrere Unterniveaus welche durch folgende Formel beschrieben werden können, wobei die Auswahlregel : ∆mj=1 erfüllt sein muss. ∆EZeeman= g*µb*B0 Neben dem allgemeinen Fall des anormalen Zeeman-Effektes gibt es auch noch den Spezialfall des normalen Zeeman-Effektes. Dabei gibt es in der Regel weniger Energieniveaus, da dich alle Spins zu 0 addieren müssen.

2.3. Elektronenspinresonanz Nun geht von eben jener Situation aus, das man eine Probe in ein äußeres Magnetfeld einbringt. Als Reaktion spalten sich die Energieniveaus in die Zeeman - Niveaus auf. Bestrahlt man nun eben diese Probe mit elektromagnetischer Strahlung einer wohldefinierten Wellenlänge, so ist es möglich einem Elektron genau so viel Energie zuzuführen, dass es seinen Zustand wechselt. Die gesuchte Frequenz der Strahlung muss so gewählt werden, dass die zugeführte Energie genau dem ∆E der möglichen Energieniveaus entspricht. Man bezeichnet diese dann als Larmor-Frequenz und spricht von einem Resonanzfall.

LarmorLarmorbZeeman fhBgE ωµ **** 0 h===∆

Aus dieser Beziehung lässt sich sofort Ablesen, dass die Resonanzfrequenz proportional zum äußeren Magnetfeld ist. Bisher haben wir nur beschrieben, wie ein Elektron von einem unteren Niveau auf ein höheres gelangen kann. Es kann aber genauso gut der umgekehrte Fall eintreten. Hierfür ist auch die

E0

ms= 1/2

ms= -1/2

∆E

bereits beschrieben elektromagnetische Strahlung notwendig, welche ein Elektron in diesem Fall zur stimulierten Emission anregt ( vgl. Laser ). Dabei fällt dieses unter Emission eines Photons auf das untere Niveau zurück. Welcher dieser beiden Übergänge nun genau immer stattfindet hängt direkt mit den Besetzungszahlen der beiden Zustände verknüpft. Vernachlässigt man die Wechselwirkung zwischen verschiedenen Atomen, so kommt man über die Betrachtung der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten bei thermischem Gleichgewicht für zwei mögliche Zustände zu folgendem Verhältnis :

Tk

EE

en

n*

1

212 −

−

=

Entwickelt man dies nun nach der Exponentialfunktion und setzt n= n1+n2 so erhält man :

Tk

Bgnn b

**2

*** 0µ

≈∆

Aus dieser Nährung kann man folgende Rückschlüsse ziehen:

- Die Absorption ist proportional zur Molekülzahl - Die Absorption ist proportional zum Magnetfeld - Die Absorption ist umgekehrt proportional zur Temperatur

Somit sollte für eine Messung mit hoher Absorptionsrate die Bedingungen hohes Magnetfeld und tiefe Temperaturen realisiert werden.

2.4. Linienform Wie soeben beschrieben sollte es, wenn man eine Probe mit der Resonanzfrequenz bestrahlt zu einer Energieaufnahme kommen, welches zu einem Ausschlag im ESR- Signal führt. Wie nicht anders zu erwarten, ist ein solcher Versuch jedoch nicht ohne Störeffekte durchzuführen, weshalb sich der erwartete Peak bei einer wohldefinierten Frequenz zu einer Kurve verbreitert. ( Grenzfall : Gauß bzw. Lorentzkurve ). Solche Störeffekte können in Material-abhängige und –unabhängige getrennt werden :

1. Materialunabhängig

- Das äußere Magnetfeld wird über ein Helmholzspulenpaar erzeugt. Daraus resultiert zwar ein relativ homogenes Magnetfeld, jedoch kein völlig homogenes. Dies führt dazu, dass an unterschiedlichen Orten in der Probe unterschiedliche Magnetfelder und somit unterschiedliche Resonanzfrequenzen vorliegen. - Das äußere Feld richtet die Spins der Atome aus, wodurch ein zusätzliches Magnetfeld entsteht. Dieses ist für ein einzelnes Atom abhängig von der Zahl seiner Nachbarn, welche im Randbereich der Probe kleiner wird. Dies führt wiederum zu einer Inhomogenität des resultierenden Magnetfeldes.

2. Materialabhängig

- Dipol-Dipol-Wechselwirkung Aufgrund der Ladungen kommt es zu einem Quasi stationären Zusatzfeld, wodurch sich die Larmorfrequenz, mit der der Spin präzidiert, ändert. Dies führt zu einer Verbreiterung der Linie. Dieser Effekt tritt zum einen durch die Wechselwirkung von ungepaarten Elektronen auf und zum anderen durch die Wechselwirkung benachbarter Kerne, was eine Hyperfeinstruktur zur Folge hat. Kann diese mit der gegebenen Auflösung nicht in ihre Einzellinien zerlegt werden, ergibt sich ebenfalls das Bild einer Linienverbreiterung.

- Austauschverschmählerung Dies ist ein linienverschmählender Effekt. Er beruht auf der Tatsache, dass sich Wellenfunktionen sehr naher Moleküle überlappen und dadurch Elektronen ihr Molekül wechseln können. Durch diesen Austausch ändern sich die Zusatzfelder, was in diesem Fall der Dipol-Dipol-Wechselwirkung entgegenwirkt.

- Sättigungsverbreiterung Wenn die eingestrahlte Elektromagnetische Strahlung zu stark ist, ist es der Spin Gitter Relaxation nicht mehr möglich das System in den Zustand der Boltzmann- Verteilung zurückzuführen. Es stellt sich eine Gleichverteilung der Zustände ein, was sich in einer Sättigung der Resonanzlinie ausdrückt.

- Longitudinale Relaxationszeit Wenn in einer Probe genau gleich viele Spins parallel bzw. antiparallel zum äußeren Feld orientiert sind, so würde sich im Resonanzfall die abgegebene und aufgenommene Energie genau ausgleichen und es wäre in Summe nichts zu beobachten. Zum Glück ist die Probe in einem thermischen Kontakt mit der Umgebung, wodurch sich eine Boltzmann Verteilung einstellt. Dadurch sind mehr Spins im tieferen Nivea, was im Resonanzfall eine höhere Energieaufnahme als Abgabe bewirkt. Durch diese Aufnahme wird jedoch das thermische Gleichgewicht gestört und muss sicht erst wieder einstellen. Dieser Prozess wird charakterisiert durch die longitudinale Relaxationszeit und verbreitert ebenfalls die Linie.

- Transversale Relaxationszeit Durch die Einstrahlung elektromagnetischer Strahlung kommt es in der Probe zu einer Quermagnetisierung, welche ebenfalls erst wieder abgebaut werden muss.

3. Aufbau

Der Allgemein Aufbau aller Versuche sieht folgendermaßen aus: Die Probe, an der die ESR verdeutlicht werden soll, wird im inneren einer Spule eines hochfrequenten Schwingkreises gelagert. Bestrahlt man nun die Welle mit der Resonanzfrequenz kann die Probe der Spule Enrgie entziehen, wodurch sich der Wechselstromwiderstand des Schwingkreises ändert.

Moduliert man nun das Gleichfeld langsam, so kann man den Wechselstromwiderstand periodisch wiederherstellen, was dann eine Visualisierung am Oszilloskop möglich macht. Des Weiteren steht ei Helmholzspulenpaar zur Verfügung in dessen Mitte die Spule mit der Probe gebracht werden kann, um sie dort einem annähern konstanten Magnetfeld aussetzten zu können. Bei der Probe handelt es sich um DPPH ( Diphenyl – Picryl – Hydrazyl ), was ein organische Radikal ist, welches eine gute Untersuchung mittels dem ESR Verfahren zulässt.

3.1. Vorversuch Ein Amperemeter wird, zusammen mit dem Probenkopf und einer gegebene Spule an den ESR-Adapter angeschlossen. Nun wird ein zweiter, passiver Schwingkreis so aufgebaut, dass er sich genau gegenüber der ersten Spule befindet, und ein Voltmeter an ihm angeschlossen. Nun variiert man langsam die an den Probenkopf angelegte Frequenz und beobachtet dabei die Messgeräte. Der Resonanzfall hat sich genau dann eingestellt, wenn das Amperemeter am Probenkopf ein Minimum und das Voltmeter am passiven Schwingkreis Maximum erreicht hat.

3.2. Elektronenspinresonanz mit ESR-Adapter Nun kommt das DPPH zum Einsatz. Es wird in einer Steckspule am Probenkopf befestigt und alles zusammen wird in die Mitte eines Helmholzspulenpaares gebracht. Der Probenkopf wird dabei wieder an den ESR Adapter angeschlossen, welcher gleichzeitig ein Signal an den Frequenzzähler und das Oszilloskop abgibt. Die Helmholzspulen werden an einen Stelltrafo angeschlossen, wodurch das Magnetfeld entweder ständig von Null bis zum Maximum durchlaufen wird oder in Verbindung mit einer Gleichspannungsquelle einen bestimmten Bereich durchläuft. Über einen Widerstand wird hier noch die Spannung abgegriffen und das Signal an das Oszilloskop angelegt. Am Probenkopf selbst wird eine feste Frequenz eingestellt. Auf dem Bildschirm des Oszilloskops sollte nun ein Resonanzimpuls sichtbar sein, wobei je nach Lage des Impulses ein oder zwei Peaks zu sehen sind. Je nachdem ob die entsprechende Frequenz ein oder zweimal durchlaufen wird.

3.3. Elektronenspinresonanz mit ESR-Betriebsgerät

Im Prinzip kein Unterschied zu eben, nur anderes Gerät.

4. Durchführung Nach der kurzen Bekanntmachung mit den Geräten, wurden die recht detaillierten Arbeitsaufträge ohne große Schwierigkeit ausgeführt. Die Ergebnisse und ihre Auswertung werden im folgenden Abschnitt diskutiert.

5. Auswertung/ Fehlerrechnung

5.1 Vorversuch Die Aufgabe des Vorversuchs war es, den Resonanzeffekt qualitativ zu bestätigen. Wenn man den Versuch so wie in der Anleitung beschrieben aufbaut, sollte man bei bestimmter Frequenz

einen Abfall der Stromstärke und gleichzeitig einen Anstieg der Spannung an den jeweiligen Messgeräten erkennen. Wir haben den Aufbau etwas abgeändert, indem wir das Spannungsmessgerät weggelassen haben . Um die Resonanz zu zeigen, reicht es hier aus, den Abfall der Stromstärke zu zeigen. Das Strommessgerät hat jedoch beim ersten Durchlauf nicht wie erwartet, einen Minimum angezeigt. Und auch bei den darauf folgenden Durchläufen des Versuches mit teilweise geänderter Frequenz des passiven Schwingkreises ist es uns nicht gelungen den Abfall der Stromstärke zu beobachten. Auf Empfehlung des Betreuers wurde dann der Hochfrequenz- oszillator hinzugenommen. Hier konnte man nun die gewünschte Kurve beobachten und daraus schließen, dass er sich bei überein- stimmender Frequenz der Schwingkreise in Resonanz mit dem äußeren Schwingkreis befindet.

5.2 Elektronenspinresonanz In diesem Versuch kam zum ersten Mal die Probe DPPH zum Einsatz. Sie wurde wie in der Anleitung beschrieben zwischen die Helmholtz-Spulen angebracht. Am Oszilloskop konnte man nun die Elektronenspinresonanz der Probe erstmals beobachten. Die Kurven wurden bei allen drei spulen angeschaut (s. Abb. ). An dieser Stelle ist anzumerken, dass es bei der hochfrequenten Spule schwierig war, eine schöne Kurve einzustellen. Bemerkung: Die Spannung wurde abweichend zum Aufgabenblatt und der Anleitung an einem Widerstand von Ω= 07,1R abgegriffen. Dies wird

für die folgenden Aufgaben und Berechnungen wichtig sein.

5.3 Magnetfeldabhängigkeit der Resonanzfrequenz In diesem Versuch sollten einige Eigenschaften der Resonanzfrequenz untersucht werden. Hierzu wurde das Verhalten der Kurve angeschaut bei Veränderung bestimmter Einstellungen. Bei unverändertem Aufbau wurde das Magnetfeld nun so eingesellt, dass man zwei ESR-Signale sehen konnte (s.Abb.). Im ersten Schritt wurden nun überprüft, ob die zu sehenden Resonanzpeaks auch wirklich durch der Probe verursacht wurden. Dazu sollte lediglich die Probe entfernt werden. Wie erwartet verschwanden die Peaks. Als nächstes sollte bei unveränderter Frequenz der Kurvenverlauf beobachtet werden, während man die Amplitude des HF-Oszillators ändert. Unsere Beobachtung war, dass eine Erhöhung der Amplitude eine Verstärkung des ESR-Signals hervorruft. Im nächsten Schritt wurde die Magnetfeldamplitude verändert ebenfalls bei unveränderter Frequenz. Dies führte zu einer

Verschiebung des Punktes, an dem man die ESR beobachten konnte. Als letztes sollten nun einige Messwerte aufgenommen werden, um damit eine Magnetfeldabhängigkeit zu zeigen. Wir notierten folgende Werte:

• Spule 1 (13-30MHz):

AC [mV] 216

DC [mV] -233

Frequenz f [MHz]

Spannung U [mV]

Feldstärke B [mT]

13 -300 1,110280374

15 -300 1,110280374

17 -333 1,232411215

19 -350 1,295327103

21 -366 1,354542056

23 -383 1,417457944

25 -400 1,480373832

27 -433 1,602504673

29 -450 1,665420561

• Spule 2 (30-75MHz):

AC [mV] 350

DC [mV] -266

Frequenz [MHz]

Spannung U [mV]

Feldstärke B [mT]

32 -300 1,110280374

34 -316 1,169495327

36 -316 1,169495327

38 -333 1,232411215

40 -366 1,354542056

42 -383 1,417457944

44 -400 1,480373832

46 -433 1,602504673

48 -433 1,602504673

50 -450 1,665420561

55 -500 1,85046729

60 -533 1,972598131

65 -600 2,220560748

70 -650 2,405607477

75 -700 2,590654206

• Spule 3 (75-130MHz):

AC [mV] -633

DC [mV] -966

Frequenz [MHz]

Spannung U [mV]

Feldstärke B [mT]

91,4 -700 2,590654206

105 -766 2,834915888

110 -833 3,082878505

112,5 -833 3,082878505

115 -866 3,205009346

117,5 -866 3,205009346

120 -900 3,330841121

122,7 -900 3,330841121

125 -966 3,575102804

Die Feldstärke wurde hierbei mit der Formel

A

mT

R

U

A

mTIB 96,396,3 ⋅=⋅=

mit gemessenen Werten für U und Ω= 07,1R berechnet. An dieser Stelle ist anzumerken,

dass wir beim Berechnen der B-Feldwerte das Vorzeichen der Spannung weggelassen haben, da dieses von der Verkabelung hervorgerufen wird. Trägt man nun die Frequenz ν über das Magnetfeld B auf, so erhält man folgende Diagramme:

• Spule 1 (13-30MHz):

y = 27,399x - 16,349

0

5

10

15

20

25

30

35

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

Magnetfeld B [mT]

Reso

nan

zfr

eq

uen

z v

[M

Hz]

• Spule 2 (30-75MHz):

y = 28,662x + 1,5277

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Magnetfeld B [mT]

Reso

nan

zfr

eq

uen

z v

[M

Hz]

• Spule 3 (75-130MHz):

y = 34,739x + 4,2374

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

Magnetfeld B [mT]

Reso

nan

zfr

eq

uen

z v

[M

Hz]

Trotz der Schwierigkeit, genaue Werte für die Spannung U zu bestimmen, kann man in allen drei Frequenzbereichen deutlich eine lineare Magnetfeldabhängigkeit erkennen.

5.4 Bestimmung des g- Faktors Für die Bestimmung des g- Faktors der verwendeten DPPH- Probe wurden die Messreihen aus der Aufgabe 3 verwendet. Diese kamen zustande, indem wir bei verschiedenen Frequenzen die zu jeweiligem Resonanzmaximum zugehörigen Spannungswert bestimmt haben. Trotz des Cursors, mit dem man recht gut zu den gewünschten Punkten gelangen konnte, war das genaue Bestimmen der Werte sehr schwer möglich. Die zu bestimmenden Werte wurden zwar digital angezeigt, ihre Sprunghaftigkeit war aber nicht zu übersehen und auch kaum zu vermeiden. Nach Anweisung des Betreuers sollten in jedem Frequenzbereich jeweils an die 10 Werte aufgenommen werden. Die Messergebnisse sind sowohl im Abschnitt 5.3 als auch im Anhang zu finden. Um nun den g- Faktor zu berechnen, muss man zuerst die Steigung m der Regressionsgeraden bestimmen. Denn es gilt ja der Zusammenhang

Bh

gBBgh B

B ⋅⋅

=⇒⋅⋅=⋅ )()(µ

νµν .

Daraus kann man nun den g- Faktor selbst bestimmen. Es gilt

B

B hmg

h

gm

µ

µ ⋅=⇒

⋅= .

Die Steigung kann entweder von Excel ausgeben lassen oder mit folgender Formel bestimmen:

∑ ∑∑ ∑ ∑

−⋅

⋅−⋅=

22 )()(

)()()(

ii

iiii

xxN

yxyxNm .

Auch der y-Achsenabschnitt b kann sowohl mit Excel im Diagramm ausgegeben werden als auch mit der Formel

∑ ∑∑ ∑ ∑∑

−⋅

⋅−⋅=

22

2

)()(

)()()()(

ii

iiiii

xxN

yxxyxb

berechnet werden. Es ergeben sich folgende Ergebnisse für den g- Faktor der einzelnen Frequenzbereiche:

Spule Messergebnis

Spule 1 (13-30MHz) g = 1,958 ± 0,090

Spule 2 (30-75MHz) g = 2,048 ± 0,021

Spule 3 (75-130MHz) g = 2,482 ± 0,207

Für die Berechnung des Mittelwertes gilt

)(3

1321 gggg ++= .

Damit erhält man für den gemittelten Wert folgendes Ergebnis:

076,0163,2 ±=g .

Mit diesem Ergebnis kann man recht zufrieden sein. Die Abweichung des hier ermittelten g- Faktors zum Literaturwert beträgt 8,026%. Wie bereits im Abschnitt 5.3 erwähnt, hat uns die Sprunghaftigkeit der angezeigten Werte vermuten lassen, dass die Werte nicht sehr genau sind. Andere Fehlerquelle kann z. B die ungenaue Positionierung der Probe im Magnetfeld der Helmholtz-Spule sein.

5.5 Messung der Linienbreite In diesem Versuch sollte die Linienbreite der Probe bestimmt werden. Dazu habe wir folgende Werte aufgenommen.

• Spule 1 (13-30MHz):

AC [mV] 100

DC [mV] -350

Frequenz [MHz] 24,2 27 29

U bei halber Höhe links [mV] -450 -466 -483

U bei Maximum [mV] -400 -433

U bei halber Höhe rechts [mV] -350 -383 -416

• Spule 2 (30-75MHz):

AC [mV] 633

DC [mV] 333

Frequenz [MHz] 57,1 63 70,5

U bei halber Höhe links [mV] -583 -650 -716

U bei Maximum [mV] -533 -600 -666

U bei halber Höhe rechts [mV] -483 -550 -616

• Spule 3 (75-130MHz):

AC [mV] 1020

DC [mV] 533

Frequenz [MHz] 96,5 102,8 119,6

U bei halber Höhe links [mV] -1020 -1120 -1180

U bei Maximum [mV] -966 -1080 -1130

U bei halber Höhe rechts [mV] -916 -1050 -1080

Der Einfachheit halber sollen im Folgenden nur die Spannungswerte des Maximums und der Werte, die auf halber Höhe links von dem Maximum aufgenommen worden sind. Die Ergebnisse sind in der nachstehenden Tabelle zusammengefasst:

Spule Frequenz v

[MHz]

U bei Maximum

[mV]

U bei halber

Höhe links [mV]

Linienbreite [mV]

24,2 -400 -450 50 Spule 1

27 -433 -466 33

57,1 -533 -583 50

63 -600 -650 50 Spule 2

70,5 -666 -716 50

96,6 -966 -1020 54

102,8 -1080 -1120 40 Spule 3

119,6 -1130 -1180 50

Wie auch schon in der Aufgabe davor werden hier die Vorzeichen ebenfalls nicht berücksichtigt. Der Tabelle kann man entnehmen, dass die Linienbreite offensichtlich frequenzunabhängig ist, obwohl die Werte für die Linienbreite zwischen 33 und 50mV schwanken. Der Mittelwert für die Linienbreite beträgt 47,125mV. Die Standardabweichung beträgt 6,985mV. Den Ausreißer, der sich bei der Resonanzfrequenz von 27MHz gemessen ergeben hat (=33mV), könnte man mit der Ableseungenauigkeit erklären. Dabei ist gemeint, dass wir die halbe Höhe des Peaks mit bloßem Auge unter Zuhilfenahme des Gitters des Oszilloskopes bestimmt haben. Es könnte sein, dass wir hier die halbe Höhe falsch eingeschätzt haben. 5.6 Formeln für die Fehlerberechnung

• Mittelwert, Standardabweichung

o der Mittelwert ∑=

=n

i

ixn

x1

1

o die Standardabweichung ∑=

−−

=N

i

ix xxN

s1

2)()1(

1

o Fehler des Mittelwerts N

ss x

x =

• Statistische Abweichung

o Varianz der y-Werte 22 )(2

1bxmy

Niiy −⋅−

−= ∑σ

o Unsicherheit der Steigung NxxN ii

y

m ⋅−⋅

=∑ ∑ 22

2

)()(

σσ

o Unsicherheit des y-Achsenabschnittes ∑∑ ∑

⋅−⋅

= 2

22

2

)()(i

ii

y

b xxxN

σσ

o Relativwerte b

relundm

rel b

b

m

m

σσ

σσ == )()(

o Unsicherheit des g- Faktors grelmg ⋅= )(σσ

• Fehlerfortpflanzung

222

2

2

3

2

2

2

2

2

1

321

321

3

1ggg

ggggg

g

g

g

g

g

σσσ

σσσσ

++=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=