Praktikum Physik · W25 Diffusion ... Gemäß Stu-dienordnung §11 kann die Klausur einmal im laufenden Semesters wiederholt werden. Voraussetzung zur Zulassung zur Klausur ist,

MARTIN-LUTHER-UNIVERSITÄTHALLE-WITTENBERG

Institut für PhysikGrundpraktikum

PraktikumPhysik

für Pharmazeuten

18. Auflage (2020)

Grundpraktikum xy

Vorwort

Das Praktikum „Physik für Pharmazeuten“ ist im Sinne der Approbationsordnung für Apothe-

ker eine scheingebende Veranstaltung, deren regelmäßiger und erfolgreicher Besuch für die

Teilnahme am Ersten Abschnitt der Pharmazeutischen Prüfung nachgewiesen werden muss.

Nach Einschreibung zum Praktikum sind innerhalb des laufenden Semesters 7 Versuche er-

folgreich durchzuführen und eine Abschlussklausur zu schreiben. Die Praktikumsleistung kann

an der Martin-Luther-Universität nur einmal wiederholt werden.

In den einführenden Kapiteln des Praktikumsheftes finden Sie alle organisatorischen und prak-

tischen Hinweise zu Praktikumsablauf, Versuchsführung, Protokollierung und Auswertung der

Versuche sowie zur Leistungskontrolle. Im Hauptteil stehen die Versuchsanleitungen mit den

physikalischen Grundlagen, die Sie mindestens zum Versuch wissen müssen. Kontrollfragen

und Literaturangaben am Ende jeder Versuchsanleitung sind als Hilfestellung zur Vorbereitung

und Selbstkontrolle gedacht. Der Anhang enthält Hinweise zum PC-gestützten Messen mit

CASSY und zur Auswerte-Software ORIGIN, sowie die Werte wichtiger Naturkonstanten.

Weitere Hinweise finden Sie in Stud.IP und auf der Homepage des Praktikums.

Herausgeber:

Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg

Institut für Physik

Physikalisches Grundpraktikum

Tel.: 0345 55-25551, -25550

Fax.: 0345 55-27300

Mail: [email protected]

http://www.physik.uni-halle.de/praktika/gp/

Autoren:

✝A. Christ, U. Cobet , K.-H. Felgner, W.

Fränzel, K.-V. Jenderka, A. Klemenz, J.

Leschhorn, M. Stölzer

Praktikumsleiter:

Dr. Mathias Stölzer

18. Auflage Halle, März 2020

1

Grundpraktikum xy

Inhaltsverzeichnis

Allgemeine EinführungLaborordnung für das Praktikum.................................................................................................1Hinweise zum Ablauf des Praktikums.........................................................................................2Richtlinien für die Protokollführung............................................................................................4Fehlerrechnung und Statistik.......................................................................................................5

MechanikM2 Dichtebestimmung..........................................................................................................10M4 Oberflächenspannung von Flüssigkeiten........................................................................14M13 Dehnung..........................................................................................................................17M14 Viskosität........................................................................................................................19M19 Ultraschall-Abbildungsverfahren...................................................................................23

WärmelehreW1 Lineare Ausdehnung.......................................................................................................27W6 Spezifische Wärmekapazität von Metallen.....................................................................28W12 Luftfeuchtigkeit..............................................................................................................31W17 Spezifische Wärmekapazität von Flüssigkeiten.............................................................35W25 Diffusion.........................................................................................................................37

ElektrizitätslehreE7 Innenwiderstand von Gleichspannungsquellen..............................................................41E8 Leitfähigkeit von Elektrolyten........................................................................................45E10 Thermospannung............................................................................................................48E28 Fadenstrahlrohr...............................................................................................................51E39 Messwerterfassung mit Computer (EKG)......................................................................54

Optik und StrahlungO4 Mikroskop.......................................................................................................................58O10 Polarimeter und Refraktometer.......................................................................................66O16 Radioaktivität..................................................................................................................71O20 Spektralphotometer.........................................................................................................74O22 Röntgenverfahren...........................................................................................................79

AnhangHinweise zur Bedienung des Messwerterfassungssystems CASSY..........................................85Kurzanleitung zur Software Origin............................................................................................88Einige Naturkonstanten..................................................................................................Umschlag

2

Einführung Laborordnung für das Praktikum

Laborordnung für das Praktikum

Allgemeines Verhalten

1 Die Praktikanten haben sich in den Prak-tikumsräumen so zu verhalten, dass Personennicht gefährdet sowie Einrichtungen, Geräteund Versuchsaufbauten nicht beschädigt wer-den.

2 Die von den betreuenden Assistenten,vom Praktikumspersonal sowie die in denVersuchsanleitungen gegebenen Hinweise zurHandhabung der Geräte und Versuchsanord-nungen sind unbedingt zu beachten.

3 Störungen und Unregelmäßigkeiten beider Durchführung der Versuche, Beschädi-gungen und Funktionsstörungen an Gerätensowie Unfälle sind sofort zu melden. Es istnicht zulässig, Geräte selbst zu reparieren!

4 Für grob fahrlässig verursachte Schädenan Geräten und Arbeitsmaterialien können diePraktikanten zur Verantwortung gezogen wer-den.

5 Den Praktikanten steht jeweils nur dieam Arbeitsplatz befindliche Ausrüstung zurVerfügung. Es ist nicht gestattet, Geräte vonfremden Arbeitsplätzen zu benutzen.

6 Zur Auswertung von Messergebnissenkann jeder freie Computer genutzt werden.Dazu haben sich die Praktikanten mit derVersuchsbezeichnung anzumelden und beiBeendigung der Arbeit wieder abzumelden.

7 Nach Beendigung des Versuches ist derArbeitsplatz aufgeräumt und sauber zu ver-lassen.

8 Essen und Trinken ist in den Praktikums-räumen nicht erlaubt. Rauchen ist im gesam-ten Gebäude untersagt.

9 Die Benutzung von Handys ist in denPraktikumsräumen untersagt!

10 Das Praktikum beginnt pünktlich zu derim Stundenplan angegebenen Zeit. Mehr als15 Minuten nach Praktikumsbeginn könnenkeine Versuche mehr begonnen werden.

Arbeiten mit elektrischen Schaltungen

11 Der Auf- und Abbau elektrischer Schal-tungen hat stets im spannungslosen Zustandzu erfolgen (Stromversorgungsgeräte aus,Batterien und Steckernetzteile nicht ange-schlossen). Die Schaltungen sollen übersicht-lich aufgebaut werden.

12 Bei elektrischen Messgeräten ist auf dierichtige Polung, auf die Einstellung des rich-tigen Messbereiches und die Verwendung derrichtigen Messeingänge zu achten. (Überlas-tungsgefahr!)

13 Elektrische Schaltungen müssen vor derInbetriebnahme vom zuständigen Betreuerüberprüft werden!

14 Unter Spannung stehende Anlagen müs-sen ständig überwacht werden.

15 Spannungsführende Teile dürfen nichtberührt werden. Gefährliche Spannungen (>42 V) sind in der Regel durch Schutzvorrich-tungen vor Berührung gesichert. Es ist unter-sagt, solche Schutzvorrichtungen außer Be-trieb zu setzen!

16 Bei Unfällen ist die Spannung sofort ab-zuschalten (Notausschalter: gelb-rote Tast-schalter in jedem Raum). Der Unfall mussunverzüglich gemeldet werden.

Arbeiten mit Chemikalien

17 Bei der Arbeit mit Chemikalien ist aufSauberkeit zu achten. Verwenden Sie Trichterzum Umfüllen und Fließpapierunterlagenbeim Abwiegen von Chemikalien!

18 Mit dem Versuchszubehör ausgegebeneArbeitsschutzmittel (z. B. Schutzbrille) müs-sen getragen werden!

19 Bei Unfällen oder bei Verschütten ge-fährlicher Substanzen (z. B. Quecksilber)muss sofort ein Betreuer verständigt werdenEs sind keine eigenständigen Beseitigungs-versuche zu unternehmen!

1

Einführung Laborordnung für das Praktikum

20 Alle Chemikalien befinden sich in Gefä-ßen mit eindeutiger Kennzeichnung des In-haltes. Dies ist besonders zu beachten, wennChemikalien nach der Verwendung in dieAufbewahrungsgefäße zurückgegossen wer-den müssen.

21 Nach Beendigung des Versuches sindalle verwendeten Gefäße (außer Vorratsgefä-ßen) sorgfältig auszuspülen.

Arbeiten mit radioaktiven Präparaten

22 Im Praktikum wird ausschließlich mitumschlossenen Präparaten unterhalb der Frei-grenze laut Strahlenschutzverordnung gear-beitet. Die Strahlenbelastung während einesVersuches ist 100...1000 mal geringer als beieiner Röntgenaufnahme.

23 Vermeiden Sie trotzdem jede unnötigeBestrahlung. Abstand ist der beste Strahlen-schutz! Halten Sie radioaktive Präparate nichtunnötig in der Hand. Halten Sie während der

Messung einen Abstand von 0,5 m zum Prä-parat ein.

24 Es ist untersagt, die Präparate aus ihrenAcrylglashüllen zu entfernen.

Brandschutz

25 Bunsenbrenner und elektrische Heizge-räte sind so aufzustellen, dass sich keine be-nachbarten Gegenstände entzünden können.Offene Flammen und eingeschaltete Heizge-räte müssen ständig beaufsichtigt werden!

26 Vorsicht beim Umgang mit brennbarenFlüssigkeiten (z. B. Ethanol)! Sie sind von of-fenen Flammen fernzuhalten.

27 Wird ein Brand bemerkt, so ist dies so-fort zu melden und es sind nach MöglichkeitLöschmaßnahmen einzuleiten.

28 Jeder Praktikant hat sich über die Lageund Funktionsweise der Handfeuerlöscher so-wie über die vorhandenen Fluchtwege zu in-formieren.

Hinweise zum Ablauf des Praktikums

1 Vorbereitung

Das Versuchsthema ist der Praktikums-Homepage im Internet oder dem Aushang imPraktikum (nur am vorherigen Praktikums-tag) zu entnehmen. Zu Hause werden die physikalischen Grund-lagen zum Versuch studiert (Literaturangabenam Ende jeder Versuchsanleitung) und dasProtokoll vorbereitet (siehe auch „Richtlinienfür die Protokollführung“).

2 Versuchsausgabe

Das benötigte Zubehör wird an der Ausgabegegen Hinterlegung eines Studentenauswei-ses pro Versuchsgruppe abgeholt.

3 Kontrolle der Vorbereitung

Vor Versuchsbeginn kontrolliert der zuständi-ge Betreuer die Protokollvorbereitung undführt ein kurzes Antestat durch (multiple-Choice-Test). Bei ungenügender Vorbereitung(kein Protokoll, keine Kenntnisse und 0Punkte im Antestat) darf der Versuch nichtdurchgeführt werden und muss zu einem spä-teren Termin innerhalb der Vorlesungszeit deslaufenden Semesters nachgeholt werden.Hierzu ist ein Termin zu vereinbaren!

4 Versuchsdurchführung

Die Versuche werden in der Regel in Zweier-gruppen durchgeführt, notfalls allein. JederStudent führt ein eigenes Protokoll. Der Ab-lauf gliedert sich wie folgt:

2

Einführung Hinweise zum Ablauf des Praktikums

- Selbständiger Aufbau des Versuchs

- Prüfung elektrischer Schaltungen vor Inbe-triebnahme vom Betreuer

- Durchführung der Messungen und Proto-kollführung (siehe nächstes Kapitel).

- Kontrolle der Messwerte und Kurzunter-schrift des Betreuers.

5 Versuchsauswertung

Die Versuchsauswertung wird, wenn möglich,noch während der Praktikumszeit durchge-führt bzw. begonnen. Sie ist bis zum nächstenPraktikumstermin fertigzustellen.Hinweise zur Auswertung geben die „Richtli-nien zur Protokollführung“.Es werden Taschenrechner, Lineal, evtl. Kur-venlineal und Millimeterpapier benötigt.Computer können eingesetzt werden und ste-hen im Praktikum zur Verfügung. Millimeter-papier und zu manchen Versuchen erforderli-che Spezialpapiere können im Praktikum er-worben werden.

6 Abschluss des Versuchs

Die Bestätigung der erfolgreichen Versuchs-durchführung erfolgt nach Kontrolle derAuswertung durch die Eintragung von er-reichter Punktzahl, Datum und Langunter-schrift des zuständigen Betreuers in das Pro-tokoll, in der Regel zum nächsten Prakti-kumstermin. Der Betreuer kann einmal eineNachbesserung der Auswertung verlangen.Bei verspäteter Vorlage der Auswertung wer-den je Woche 2 Punkte abgezogen.

7 Fehlversuche

Für einen erfolgreichen Abschluss müssenSie alle Praktikumstermine wahrnehmen.Zum Nachholen versäumter oder nicht be-standener Versuche werden jedem Studieren-den zwei zusätzliche Praktikumstermine ga-rantiert. (ein „Nachholtermin” für alle am Se-mesterende, weitere Termine nach Möglich-

keit im laufenden Semester) In jedem Fallmüssen Sie den Termin an der Versuchsaus-gabe vereinbaren, damit sichergestellt ist,dass der Arbeitsplatz frei und die Betreuunggewährleistet ist! Zu einem Praktikumsterminkann jeweils nur ein Versuch durchgeführtwerden.Kann das Praktikum aufgrund fehlender Ver-suche im laufenden Semester nicht mehr er-folgreich beendet werden, so ist es im nächs-ten Jahr zu wiederholen. Bereits erfolgreichabgeschlossene Versuche müssen dabei nichtnoch einmal durchgeführt werden.

8 Leistungskontrollen

Vor jedem Versuch wird ein kurzer multiple-choice-Test mit 4 Fragen durchgeführt (An-testat). Bei 0 richtigen Antworten entscheidetder Praktikumsleiter, ob der Versuch durchge-führt werden darf. Nach Abschluss aller Versuche wird eine mc-Klausur geschrieben (Abtestat). Gemäß Stu-dienordnung §11 kann die Klausur einmal imlaufenden Semesters wiederholt werden.Voraussetzung zur Zulassung zur Klausur ist,dass alle Versuche durchgeführt wurden unddabei eine Mindestpunktzahl von 42 (60 %der maximalen Punktzahl) erreicht wurde.

9 Betrugsversuch

Das Vortäuschen einer Versuchsdurchfüh-rung, die Verwendung fremder Protokolle amArbeitsplatz, Fälschen von Messwerten undÄhnliches führen zur Nichtanerkennung desVersuches, im Wiederholungsfall zum Aus-schluss vom Praktikum.

10 Abschluss des Praktikums

Das Praktikum ist erfolgreich absolviert,wenn (i) alle Versuche mit Auswertungdurchgeführt wurden, (ii) mindestens 60 %der maximalen Punktzahl erreicht wurdenund (iii) die Klausur (Abtestat) bestandenwurde. Gemäß Studienordnung kann dasPraktikum einmal wiederholt werden.

3

Einführung Richtlinien für die Protokollführung

Richtlinien für die Protokollführung

1 Allgemeines

Jeder Student führt während des Versuchesund unmittelbar ein Protokoll. Das Protokollenthält

- die Versuchsvorbereitung,

- alle Messwerte und Beobachtungen in chro-nologischer Reihenfolge (Messprotokoll),

- die Auswertung.

Führen Sie das Protokoll handschriftlich miteinem nicht löschbarem Stift. Bleistift ist nurfür Diagramme und Skizzen zulässig. Fehl-messungen werden mit Angabe des Grundesdurchgestrichen und dürfen nicht unlesbar ge-macht werden. Fehler sind Teil der Arbeit;das Ausradieren oder Löschen von Messdatenist schlechter wissenschaftlicher Stil!

Alle Protokolle des Praktikums sind in einemgebundenen Heft oder in einem Schnellhefterder Größe A4 zu führen und zu jeder Veran-staltung mitzubringen.

Lose Blätter (z.B. Computerausdrucke) sindmit Name und Datum zu beschriften und indas Protokoll einzufügen.

2 Vorbereitung zu Hause

Jedes Protokoll muss enthalten:

- Name und Datum,

- Versuchsbezeichnung und Aufgabenstellung(wörtlich),

- kurze Beschreibung des Versuches (prinzi-pielle Vorgehensweise) einschließlich derfür Verständnis und Auswertung wichtigenGleichungen, sowie Beschreibung des Ver-suchsaufbaus, wenn möglich mit Skizze,

- vorbereitete Urlisten (Tabellen) für die Auf-nahme der Messdaten und, soweit sinnvoll,der aus diesen zu berechnenden Daten.

Dieser Teil des Protokolls ist Bestandteil derVersuchsvorbereitung und wird vor Versuchs-beginn vom Betreuer kontrolliert.

3 Während des Versuches

Notieren Sie alle verwendeten Geräte undMaterialien, soweit nicht schon bei der Be-schreibung des Versuchsaufbaus geschehen.

Halten Sie das Protokoll übersichtlich undgut lesbar, am besten durch eine klare Gliede-rung mit Zwischenüberschriften (z.B. „Mes-sungen zu Aufgabe 1” ...).

Alle physikalischen Größen müssen vollstän-dig mit Zahlenwert und Einheit angeben wer-den. Tabellen müssen eine Überschrift oderLegende besitzen, die Spalten sind mit physi-kalischer Größe und Einheit zu beschriften.

Grundsätzlich werden alle Messdaten vor jeg-licher rechnerischer Aufbereitung protokol-liert (Urlisten).

Neben den Messwerten selbst müssen auchInformationen zu deren Genauigkeit proto-kolliert werden (Herstellerangaben zur Mess-genauigkeit der Geräte und eigene Beobach-tungen, die zur Abschätzung der Messgenau-igkeit dienen).

Das Messprotokoll ist dann vollständig, wennnur mit seiner Hilfe auch eine Person, die denVersuch nicht selbst durchgeführt hat, dievollständige Auswertung des Versuches vor-nehmen kann!

4 Auswertung

Alle Rechnungen müssen anhand der For-meln und der Messdaten im Protokoll nach-vollziehbar sein. Das erreicht man am ein-fachsten durch übersichtliche Tabellen.

Diagramme sollen die Ergebnisse in über-sichtlicher, leicht erfassbarer Form präsentie-ren. Sie werden in der Regel am Computererstellt, dürfen aber auch von Hand (nur sau-ber mit Lineal auf Millimeterpapier) gezeich-net werden. Die Achsen müssen mit Größeund Einheit beschriftet und geeignet skaliertsein. Die Voreinstellungen der Software sind

4

Einführung Richtlinien für die Protokollführung

hierbei nicht immer sinnvoll! Vermeiden SieZahlen mit vielen Nullen, verwenden Sie stattdessen Einheitenvorsätze oder Zehnerpoten-zen. Wenn Diagramm mehrere Messkurvenenthält, ist eine Legende erforderlich.

Zu jedem Versuch gehört eine Fehlerdiskussi-on. Dabei sind die Unsicherheiten aller Mess-größen stets quantitativ anzugegeben. Wennes in der Aufgabenstellung verlangt wird,muss die Unsicherheit der Ergebnisse mitHilfe einer Fehlerfortflanzungsrechnung (sie-

he nächstes Kapitel) aus den Unsicherheitender Messgrößen berechnet werden.

Am Ende werden die Versuchsergebnisse,wenn möglich zusammen mit ihren Messun-sicherheiten, in einem Ergebnissatz oder einerErgebnistabelle aufgelistet und kurz bewertet.Dabei sollen sie bezüglich ihrer Genauigkeitund der Übereinstimmung mit den Erwartun-gen eingeschätzt und wenn möglich mit Lite-raturwerten verglichen werden.

Fehlerrechnung und Statistik

Jede Messung einer physikalischen Größe istmit mehr oder weniger großen „Messfehlern”behaftet. Misst man eine Größe mehrmals, soweichen die Ergebnisse im Allgemeinen so-wohl voneinander als auch vom zu bestim-menden „wahren Wert“ ab. Ziel der Auswer-tung einer Messung ist das Ermitteln des bes-ten Schätzwertes für den wahren Wert (dasMessergebnis) und für die Größe der Abwei-chung vom wahren Wert (die Messunsicher-heit). Beide Informationen zusammen bildendas „vollständiges Messergebnis”.

1 Begriffsbestimmungen

Messgröße:

Die zu messende physikalische Größe, z. B.Spannung U, Strom I, Masse m

Messwert:

Der gemessene Wert einschließlich Einheit,z.B. I = 2,0 A; l = 1254 mm

Messergebnis:

Das aus mehreren Messwerten berechnete Er-gebnis, z.B. P = U · I = 231 V · 2,0 A = 462 W

Messabweichung:

Differenz zwischen einem Messwert oderMessergebnis und dem wahren Wert. Der

wahre Wert ist eine Idealvorstellung, in derRegel nicht exakt definiert und nicht bekannt.Daher ist auch die Messabweichung im All-gemeinen unbekannt. Meist besteht sie aus ei-nem zufälligen und einem systematischenAnteil.

Zufällige (statistische) Messabweichungen:

Sie treten unregelmäßig auf; sie schwankenin der Größe und im Vorzeichen. Hervorgeru-fen werden sie z. B. durch nicht beeinflussba-re unsystematische Änderungen der Ver-suchs- und Umgebungsbedingungen sowiedurch Unvollkommenheiten beim subjektivenErfassen von Messwerten. Durch mehrfachesMessen und Bildung des arithmetischem Mit-telwertes kann der Einfluss zufälliger Mess-abweichungen verringert werden.

Systematische Messabweichungen:

Sie beeinflussen bei gleichen Versuchsbedin-gungen die Messung in der gleichen Weise.Hervorgerufen werden sie z. B. durch Unvoll-kommenheiten der Messgeräte, der Maßver-körperungen und der Messverfahren sowiedurch systematische Änderungen der Ver-suchsbedingungen. Sie können sich aus ei-nem bekannten und einem unbekannten An-teil zusammensetzen. Das Messergebnis istum bekannte systematische Messabweichun-gen zu korrigieren.

5

Einführung Fehlerrechnung und Statistik

(Mess)unsicherheit u:

Sie kennzeichnet die Streuung der Werte, dieder Messgröße vernünftigerweise zugeordnetwerden können. Die Unsicherheit u(x) desMesswertes oder Messergebnisses x kann alsSchätzung der Messabweichung angesehenwerden. Der wahre Wert liegt mit relativ gro-ßer Wahrscheinlichkeit im Intervall x ± u(x). Die Messunsicherheit wird entweder m.H.statistischer Methoden aus den Messwertenermittelt (Methode A) oder, wenn dies nichtmöglich ist, auf der Grundlage aller vorlie-genden Informationen zu den Messgerätenund Messverfahren geschätzt (Methode B).Beispiel (für den Messwert l = 1,254 m):

u(l) = 0,005 m (absolute Unsicherheit), u(l)/l = 0,4% (relative Unsicherheit)

Vollständiges Messergebnis

Messergebnis mit Messunsicherheit. Die Un-sicherheit wird mit 1...2 Stellen angegeben.Mögliche Schreibweisen sind:

l = 1,254 m ± 5 mml = (1,254 ± 0,005) ml = 1,254(5) ml = 1,254 m und u(l)/l = 0,4 %

2 Ermittlung von Messunsicher-

heiten

Zur Abschätzung der Genauigkeit von Mes-sungen dienen verschiedene Informations-quellen, z.B. die Messwertstatistik (→Metho-de A), Herstellerangaben und Zertifikate zuden verwendeten Messgeräten oder einfacheSchätzung (→Methode B).

2.1 Ermittlungsmethode A

Wird eine Messgröße x n mal gemessen, sostreuen die einzelnen Messwerte xi (i = 1 ... n)aufgrund der zufälligen Messabweichungenum einen Erwartungswert μ. Die Verteilungder Messwerte ist meist näherungsweise eineNormalverteilung (Abb.1). Der beste Schätz-wert für μ ist dann der arithmetische Mittel-wert

. (1)

Ein Maß für die Streuung der Messwerte istdie Standardabweichung σ. Der aus denMesswerten berechnete beste Schätzwert fürσ ist die experimentelle Standardabweichung

. (2)

Genügen die Messwerte einer Normalvertei-

lung mit dem Mittel-

wert µ (siehe Abb.1), so beträgt die Wahr-scheinlichkeit, einen Messwert im Intervall μ± σ anzutreffen, etwa 68 %. Für das Intervallμ ± 2σ beträgt diese Wahrscheinlichkeit etwa95 %. Wenn zufällige Messunsicherheiten dominie-ren, d.h. systematische Unsicherheitsanteilevernachlässigt werden können, ist die Unsi-

cherheit eines Einzelmesswertes gleich derStandardabweichung: u(x) = s.Der Mittelwert aus n Einzelmesswerten istgenauer als ein einzelner Messwert. Mankann sich vorstellen, viele Messreihen derMessgröße x vom selben Umfang n aufzu-nehmen. Die Mittelwerte aller dieser Mess-reihen werden sich etwas voneinander unter-scheiden. Sie sind ebenfalls normalverteilt,das Maß für ihre Streuung ist die Standard-

abweichung des Mittelwertes

. (3)

6

�

�(x)

x

� �

Abb. 1: Normalverteilung mit dem Mittelwert

µ und der Standardabweichung σ


Ist das Messergebnis ein Mittelwert einerMessreihe mit ausreichend vielen (n ≥ 10)Messwerten xi und können dabei die systema-tischen Unsicherheitsanteile gegenüber denzufälligen vernachlässigt werden, so ist dieUnsicherheit des Mittelwertes

. (4)

Weitere Beispiele, wie Messunsicherheitenm.H. statistischer Methoden als Standardab-weichungen berechnet werden, finden sich inAbschnitt 3 (Regression).

2.2 Ermittlungsmethode B

Wenn die Berechnung einer Standardabwei-chung nicht möglich ist (z.B. weil systemati-sche Unsicherheiten immer in gleicher Weisewirken oder weil nur ein Messwert vorhan-den ist), wird die Messunsicherheit auf derBasis aller vorliegenden Informationen ge-schätzt.

2.2.1 Herstellerangaben zu Messgeräten

In Bedienungsanleitungen von Messgerätenfindet man Angaben zu maximalen Messab-weichungen oder garantierten Messgenauig-keiten. Beispiele:

- 0,7 K + 0,1 % (für ein Thermometer)

- 0,5 % vom Messwert + 3 dgt

- Genauigkeitsklasse 1

Oft werden absolute und relative maximaleMessabweichungen (in Einheiten der Mess-größe bzw. in % von angezeigten Wert) ge-trennt angegeben; beide Beiträge sind zu ad-dieren. 1 dgt (für Digit) ist die kleinste digitalangezeigte Stelle der Messgröße. Die Genau-igkeitsklasse ist die maximale Messabwei-chung in % vom Endwert des Messbereichs(nicht vom Messwert!) bzw. vom Wert derMaßverkörperung.

2.2.2 Schätzung der Messunsicherheit

Bei sehr einfachen Messgeräten liegen oftkeine Angaben zur Messgenauigkeit vor.Dann ist die Messunsicherheit zu schätzen.

Sie setzt sich zusammen aus der Ungenauig-keit des Messgerätes selbst und der Ungenau-igkeit beim Ablesen des Wertes. Beispiele:

- Ablesen von Skalen (Lineal, Thermometer,Winkelmesser, ...): u(x) ≈ 0,5 Skalenteile

- Längenmessungen mit einem Messschieber(Noniusablesung): u(l) = 1 Skalenteil desNonius

- Messung eines Zeitintervalls mit einerHandstoppuhr: u(t ) ≈ 0,1 s

2.3 Die Unsicherheit von Messergebnissen

(„Fehlerfortpflanzung”)

Es sei y = f (x1, x2, ..., xn) ein Messergebnis,das aus den Messwerten x1, x2, ..., xn mit denUnsicherheiten u1, u2, ..., un zu berechnen ist.Wie groß ist dann die Unsicherheit u(y) desMessergebnisses?Eine kleine Änderung Δxi des Messwertes xi

würde im Messergebnis etwa die Änderung

hervorrufen; bezeichnet da-

bei die partielle Ableitung der Funktion y =f (x1, x2, ..., xn) nach xi. Wenn man also vor-aussetzt, dass die Unsicherheiten der Mess-werte im Vergleich zu den Messwerten selbstklein sind, ergibt sich durch Addition derAuswirkungen aller Messunsicherheiten aufdas Ergebnis die maximale Unsicherheit desMessergebnisses:

(5)

Diese Gleichung kann für bestimmte, häufigvorkommende Fälle weiter vereinfacht wer-den. Für den Alltag des Mediziners oderPharmazeuten (und auch für das Physikprak-tikum) ist die Kenntnis und Anwendung vonGl. (5) nicht erforderlich. Es reicht aus, diefolgenden beiden Spezialfälle zu kennen:

Fall 1: (6)

(c1, c2 sind Konstanten). Durch Einsetzen inGleichung (5) ergibt sich:

. (7)

7


Werden zwei Messgrößen (evtl. mit Faktorenc1 und c2) addiert oder subtrahiert, so addie-ren sich in jedem Fall die absoluten Unsicher-heiten (ggf. mit den Faktoren c1 und c2).

Fall 2: (8)

(c, m und n sind Konstanten)Einsetzen in (5) ergibt eine einfache Glei-chung für die relative maximale Unsicher-

heit des Ergebnisses:

. (9)

Werden zwei Messgrößen multipliziert oderdividiert (evtl. mit Potenzen m und n), so ad-dieren sich die relativen, d.h. die prozentua-len Unsicherheiten (ggf. multipliziert mit denBeträgen der Potenzen m und n).

Anwendungsbeispiel: Bei der gleichmäßigbeschleunigte Bewegung ist s = a/2 ∙ t2 ; Wegs und Zeit t werden gemessen mit einer relati-ven Messunsicherheit von jeweils 1 %, dieBeschleunigung a ist zu berechnen. Nach (9)ergibt sich für a eine maximale relative Unsi-cherheit von 3 %:

3 Anpassung einer Funktion an

eine Messreihe (Regression)

3.1 Lineare Regression

Häufig besteht zwischen verschiedenenMessgrößen x und y ein linearer Zusammen-hang

(10)

oder es wird ein solcher vermutet.

Beispiel: Bei der thermischen Ausdehnung von Metal-len gilt für die Länge l = l0 + α⋅l0⋅ΔT, α istder lineare thermische Ausdehnungskoeffizi-ent, l0 die Länge bei der Temperaturdifferenz

ΔT=0 (siehe Versuch W1).

Die eigentliche Messaufgabe besteht in derBestimmung der (konstanten) Parameter aund b in Gl. (10). Grundsätzlich könnten aund b durch Messung von zwei Wertepaaren(x, y) bestimmt werden. Meist wird jedocheine ganze Messreihe mit n Wertepaaren (xi,yi) (i = 1...n) aufgenommen, um zunächst denlinearen Zusammenhang nachzuweisen, ehea und b ermittelt werden.Werden die Messwerte grafisch dargestellt, sostreuen die Messpunkte wegen der unver-meidlichen statistischen Messabweichungenum eine ausgleichende Gerade. Die Aufgabebesteht nun darin, die Gerade zu finden, die„am besten“ zu den Messpunkten „passt”(siehe Abb.2). Hierfür gibt es ein auf C. F.

Gauß zurückgehendes mathematisches Ver-fahren, welches man als lineare Regression,Ausgleichsrechnung, Geradenanpassung oderauch (englisch) linear curve fit bezeichnet.Das Verfahren beruht auf der Minimierungder Summe der Abweichungsquadrate

(11)

(siehe Abb. 2 zur Bedeutung der Abweichun-gen Δyi) und heißt deshalb auch „Methodeder kleinsten Quadrate”.Mit geeigneter Software (z.B. Excel, Origin,CassyLab) und auch mit manchen Taschen-

8

o u

o u

y yb

x x

��

�

xo

xu

yu

yo

�yi

x

y

0

y = a + b·x

a

Abb. 2: Lineare Regression. Δyi = yi−(a+b·xi)ist die „Abweichung“ eines Messpunktes von

der Geraden.


rechnern kann man diese Methode benutzen,ohne dass man den mathematischen Forma-lismus kennen und verstehen muss. Dabeisind die n Messwertpaare (xi, yi) einzugeben,danach werden die Parameter a und b der an-gepassten („besten”) Geraden und je nachSoftware auch die Standardabweichungen derParameter sa und sb berechnet. Wenn keine geeigneten Rechenhilfsmittel zurVerfügung stehen, nimmt man die Anpassunggrafisch vor: Die Messpunkte werden in einmöglichst großes Diagramm auf Millimeter-papier gezeichnet und die Regressionsgerademit einem durchsichtigen Lineal „nach Au-genmaß“ eingezeichnet. Die Parameter a undb werden als y-Achsenabschnitt bzw. Anstiegwie in Abb. 2 gezeigt abgelesen und ihre Un-sicherheiten werden geschätzt.

3.2 Regression mit anderen Funktionen

Grundsätzlich kann die Gaußsche Methodeder kleinsten Quadrate (11) nicht nur auf einelineare Funktion (10), sondern auf beliebigeFunktionen mit mehreren Parametern ange-wendet werden. Im Allgemeinen ist diesesProblem jedoch nicht mehr analytisch lösbar,sondern muss mit Hilfe numerischer Metho-den iterativ gelöst werden. Die im Praktikumeingesetzten Computerprogramme Origin undCassyLab bieten diese Möglichkeit. (Stich-worte: Nichtlinearer Fit bzw. Freie Anpas-sung)Einige nichtlineare Funktionen können linea-

risiert, d.h. durch Transformation in eine line-are Funktion überführt werden (z.B. y = a·xb

und y = a·ebx durch Logarithmieren). In sol-chen Fällen kann die lineare Regression mitder transformierten Funktion durchgeführtwerden. Dies wird z. B. im Versuch O16 (Ra-dioaktivität) benutzt, um die Halbwertsdickevon Blei für Gammastrahlung des IsotopsCo-60 zu ermitteln.

4 Richtige Angabe von Messergeb-

nissen

Es ist immer das vollständige Messergebnismit absoluter und relativer Unsicherheit (so-fern bekannt) anzugeben:

y ± u(y) und u(y) / y . (12)

Dabei ist auf richtiges Runden zu achten:

Die Messunsicherheit, die ja meist auf Schät-zungen und Näherungen beruht, ist auf nurein oder zwei zählende („signifikante”) Zif-fern zu runden, wobei in der Regel aufgerun-det werden soll. Das Messergebnis ist mit derselben Genauigkeit (mit der selben AnzahlNachkommastellen) anzugeben wie dieMessunsicherheit, wobei mathematisch exaktgerundet werden muss.

Beispiele:

y = (431 ± 5) mm; u(y)/y = 1,2 %

U = (20,00 ± 0,25) V; u(U)/U = 1,3 %

R = 2,15 kΩ ± 0,07 kΩ; u(R)/R = 4 %

9

Mechanik Dichtebestimmung M2

Dichtebestimmung M2

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Dichte dreier Probekörper ist aus ih-rer Masse und ihrem Volumen zu bestimmen.

1.2 Die Dichte der drei Probekörper ist nachder Auftriebsmethode zu bestimmen.

1.3 Die Dichte von Ethanol ist mit Hilfe ei-nes Pyknometers zu bestimmen.

1.4 Die Dichten von Ethanol und NaCl-Lö-sung ist mit der Dichtewaage nach MOHR-WESTPHAL und mit dem Aräometer zu be-stimmen.

2 Grundlagen

Die Dichte ρ eines homogenen Stoffes ist dasVerhältnis seiner Masse m zu seinem Volu-men V:

(1)

Im medizinischen und pharmazeutischen All-tag spielen unterschiedliche Dichten eine gro-ße Rolle bei der Sedimentation. Je größer derUnterschied zwischen den Dichten der Flüs-sigkeit und der Teilchen, desto schneller wer-den die Teilchen absinken. Durch Zentrifuga-tion kann die Sedimentation noch wesentlichschneller ablaufen als allein unter Wirkungder Gravitation.Anwendung findet dies in der Arzneiformen-lehre (z.B. Suspensionen) und bei der analyti-schen Zentrifugation.

2.1 Analysenwaage

Die Bestimmung der Masse zählt zu den ge-nauesten Messverfahren der Physik. Mit denAnalysenwaagen im Praktikum lassen sichrelative Genauigkeiten bis zu 10-6 erzielen!Bei solchen Präzisionsmessungen muss derAuftrieb in Luft berücksichtigt werden. Jeder Körper, der sich in einem Medium(Flüssigkeit oder Gas) befindet, erfährt einenAuftrieb. Die Auftriebskraft FA ist gleich der

Gewichtskraft des vom Körper verdrängtenMediums (Archimedessches Prinzip):

(2)

Dabei sind mM die Masse und ρM die Dichtedes vom Körper verdrängte Mediums, V seinVolumen und g = 9,81 m/s2 die Fallbeschleu-nigung.Bei einer Analysenwaage (Balkenwaage)wirkt der Auftrieb in Luft der Dichte ρL so-wohl auf den zu wiegenden Körper (Massem, Dichte ρ) als auch auf die Wägestücke(Masse mN, Dichte ρN). Im Kräftegleichge-wicht ist

(3)

bzw. mit V = m/ρ und VN = mN/ρN

. (4)

Diese Formel für die Korrektur des Luftauf-triebs gilt auch für moderne elektronischeAnalysenwaagen. Hier werden zwar bei derWägung keine Gewichtstücke mehr benutzt,jedoch wird die Anzeige der Waage (ent-spricht mN) mit Hilfe von Normalgewichtstü-cken mit der standardisierten Dichte von ρN =8000 kg/m3 geeicht bzw. justiert.

2.2 Auftriebsmethode

Mit Hilfe des Auftriebes lässt sich relativ ein-fach die Dichte eines Körpers mit unbekann-tem Volumen V bestimmen. Dazu wird derKörper mit Hilfe einer Analysenwaage anLuft und in Wasser eingetaucht gewogen.m1 bezeichne den Anzeigewert der Waage beiWägung in Luft. Nach (4) ist

(5)

Danach wird der Körper völlig unter Wassergetaucht und erneut gewogen, Anzeige m2:

(6)

10


(ρW - Dichte des Wassers).Aus den Gleichungen (5) und (6) folgt:

(7)

2.3 Pyknometer

Ein Pyknometer ist ein Gefäß, mit dem einFlüssigkeitsvolumen sehr genau reproduzier-bar ist, da der durch die Krümmung der Ober-fläche verursachte Volumenfehler wegen desgeringen Kapillarquerschnittes sehr klein ist(Abb.1). So kann man damit über eine Mes-sung der Masse sehr einfach und genau dieDichte von Flüssigkeiten bestimmen. Dabeierfolgt erst eine Messung mit Luft, um dieLeermasse mP des Pyknometers zu erhalten(ρP ist die Dichte des Pyknometers):

(8)

Danach wird die Masse des Pyknometers mitdestilliertem Wasser (Masse mW, Dichte ρW)und dann seine Masse mit der Messflüssig-keit (Masse mFl, Dichte ρFl) bestimmt. m1, m2

und m3 bezeichnen jeweils Anzeige der Waa-ge. Für Messung 2 und 3 ergibt sich:

(9)

(10)

Wegen des konstanten Pyknometervolumensist außerdem

(11)

Mit Hilfe der Gleichungen (8) bis (11) lässtsich ρFL berechnen:

(12)

2.4 Mohr-Westphalsche Waage

Die Mohr-Westphalsche Waage ist eine un-gleicharmige Hebelwaage. Der rechte Hebel-arm ist durch Kerben in 10 gleiche Teile ge-teilt. Am Ende des Hebelarmes befindet sichein Senkkörper mit sehr genau definiertemVolumen. Wird der Senkkörper in eine Flüs-sigkeit getaucht, erfährt er einen Auftrieb, derdurch die Gewichtskraft entsprechend aufge-legter Reiter kompensiert werden kann. Zuroriginal Mohr-Westphalschen Waage (Abb.2)gehören große, mittlere und kleine Reiter, de-ren Gewichtskräfte sich wie 100 : 10 : 1 ver-halten. Die relative Dichte ergibt sich aus derPosition der Reiter in den Kerben 1 bis 10.Die moderneren, im Praktikum eingesetztenDichtewaagen verwenden einen in 100 Teileeingeteilten Wägebalken, zwei Reiter im Ver-hältnis 100 : 1 und ein zusätzliches Anhänge-gewicht. Die Dichte wird auf 4 Dezimalstel-len an der Stellung der Reiter abgelesen.

2.5 Aräometer

Mit Hilfe eines Aräometers (Abb. 3) kannebenfalls die Dichte einer Flüssigkeit be-stimmt werden. Schwimmt das Aräometer inder Messflüssigkeit, ist die Gewichtskraft desAräometers FG gleich der Auftriebskraft FA.Nach (2) folgt für die Dichte der Messflüssig-keit

, (13)

11

Abb. 1:

Pyknometer


wobei VM das eingetauchte Volumen desAräometers ist. Die Skala, die sich am Aräo-meter befindet, zeigt unmittelbar die den Ein-tauchtiefen entsprechende Dichte an.

3 Versuchsaufbau

Geräte:

- Analysenwaage mit Dichtebestimmungsein-richtung (Tauchkorb, Brücke, Becherglas)

- Messschieber- Pyknometer- Dichtewaage mit Senkkörper und Senkglas

(ca. 130 ml)- 2 Aräometer und 2 Standzylinder (100 ml)- 3 Probekörper- 2 Flaschen mit Ethanol und NaCl-Lösung- Spritzflasche mit H2O dest.- Pinzette- Pipette- Thermometer- Tabelle zur Dichte von Wasser

Die Waage am Arbeitsplatz ist für die Dichte-bestimmung nach der Auftriebsmethode aus-gerüstet. Der Standard-Wägeteller ist durchein Gestell ersetzt, in welches der Tauchkorbeingehängt werden kann. Mit Brücke und Be-cherglas ermöglicht dies ohne Umbau dasWiegen in Wasser (auf dem Tauchkorb) undan Luft (auf der oberen Schale).Wenn ausschließlich an Luft gewogen wer-den soll (Aufgaben 1 und 3), können Tauch-korb und Brücke entfernt werden.


Die Analysenwaage erreicht die vom Herstel-ler angegebene Genauigkeit nur im günstigs-ten Fall, d.h. ohne Dichtebestimmungsein-richtung, richtig justiert, bei Arbeit mit äu-ßerster Sauberkeit und Vermeidung von Er-schütterungen, Luftbewegungen und Tempe-raturschwankungen. Arbeiten Sie besonderssorgfältig und schätzen Sie ggf. eine größereMessunsicherheit!Zu Versuchsbeginn wird die Analysewaagepositioniert und mittels der verstellbarenFüße nivelliert.

4.1 Masse und Volumen

Zur Bestimmung ihrer Masse werden die dreiProbekörper in Luft gewogen. Für die Be-stimmung des Volumens werden Höhe undDurchmesser der zylindrischen Probekörpermit dem Messschieber gemessen.

4.2 Auftriebsmethode

Die Probekörper müssen an Luft und in Was-ser gewogen werden (m1 und m2). Die Wä-gungen an Luft sind bereits in 4.1 erfolgt. ZurBestimmung der Masse m2 wird das Becher-glas mit Wasser auf die Brücke gestellt, derTauchkorb vorsichtig eingehängt und dieWaage auf Null abgeglichen („Tare“-Taste).Danach legt man jeden der drei Probekörpermit der Pinzette vorsichtig auf den Tauch-korb, so dass der Körper vollständig in dasWasser eintaucht, und liest m2 ab. Die Reproduzierbarkeit der Messungen mitdem etwas wackeligem Gestell zur Dichtebe-stimmung ist nicht so gut wie mit der normalausgestatteten Waage. Bei der Wägung inWasser können durch Luftbläschen und Sprit-zer größere Fehler entstehen. Achten Sie dar-auf und führen Sie alle Wägungen mindestens3 mal durch!Messen Sie die die Temperatur des Wassers.

4.3 Pyknometer

Bestimmen Sie die Leermasse des Pyknome-ters m1, die Masse des Pyknometers mit de-stilliertem Wasser m2 und die Masse des Py-knometers mit Ethanol m3. Das Pyknometerwird jeweils bis zum Überlaufen gefüllt und

12

Abb. 3:

Aräometer


außen sorgfältig abgetrocknet. Messen Sieauch die Temperatur der Flüssigkeiten.

4.4 Dichtewaage und Aräometer

Zunächst wird die Nullpunktseinstellung derDichtewaage kontrolliert und ggf. nachjus-tiert. Verfahren Sie hierzu entsprechend derausliegenden Bedienungsanleitung. Für die Bestimmung der Dichte muss derSenkkörper vollständig in die Flüssigkeit ein-getaucht sein. Vermeiden Sie Luftbläschensowie die Berührung der Gefäßwand! DieWaage wird durch Verschieben der Reiter ab-geglichen. Dabei bleibt für Dichten < 1 g/cm2

das Anhängegewicht eingehängt, bei Dichten> 1 g/cm3 muss es ausgehängt werden. Für die Messung der Dichte mit dem Aräo-meter sind die beiden mit Ethanol und NaClbeschrifteten Standzylinder und die entspre-chenden Aräometer zu verwenden. Die Flüs-sigkeiten werden in die Standzylinder gegos-sen, die Aräometer eingetaucht, die Messwer-te abgelesen.Messen Sie auch die Temperaturen aller un-tersuchten Flüssigkeiten.

Die Messflüssigkeiten sind im Anschluss in

die richtigen Behälter zurückzufüllen!

5 Auswertung

5.1 Berechnen Sie die Dichten der Probekör-per und ihre Messunsicherheiten nach Gl. (1).Die Auftriebskorrektur nach (4) ist nicht er-forderlich. (Warum?)5.2 Berechnen Sie die Dichten der Probekör-per nach Gl. ((7)). Die Dichte von Wasser ρW

bei der gemessenen Temperatur ist der Tabel-

le zu entnehmen. Die Dichte von Luft beträgtbei Raumtemperatur etwa ρL = 0,0012 g/cm3.

Vergleichen Sie die Ergebnisse aus 5.1 und5.2 miteinander und mit Tabellenwerten. Umwelches Material könnte es sich handeln?

5.3 Die Dichte von Ethanol ist nach Glei-chung (12) zu berechnen.

5.4 Vergleichen Sie die mittels Dichtewaage,Aräometer und Pyknometer gemessenenDichten der Flüssigkeiten sowie die abge-schätzten Messunsicherheiten miteinander.Vergleichen Sie die Dichte von Ethanol mitdem Literaturwert und diskutieren Sie mögli-che Abweichungen.

6 Literatur

Kamke/Walcher: Physik für Mediziner. B.G.Teubner, Stuttgart 1994

Beier, W.; Pliquett, F.: Physik. J.A.Barth,Leipzig 1987

Wolfgang Hellenthal: Physik für Medizinerund Biologen. WVG, Stuttgart, 2002

7 Kontrollfragen

7.1 Welche Methoden zur Bestimmung derDichte von festen Körpern und Flüssigkeitenkennen Sie?

7.2 Welchen Einfluss hat der Auftrieb inLuft auf Wägungen?

7.3 Erläutern Sie die Messmethode mit demPyknometer! Worauf ist dabei besonders zuachten?

13

Mechanik Oberflächenspannung von Flüssigkeiten M4

Oberflächenspannung von Flüssigkeiten M4

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Oberflächenspannung von verschie-denen Flüssigkeiten ist mit Hilfe der Abreiß-methode zu bestimmen.

1.2 Die Oberflächenspannung ist mit Hilfeder Steighöhe in Kapillaren zu bestimmen.

2 Grundlagen

2.1 Oberflächenspannung:

Jedes einzelne Molekül einer Flüssigkeitwirkt innerhalb eines gewissen kugelförmi-gen Bereiches anziehend auf seine Nachbar-moleküle (Kohäsion). Ein Molekül im Inne-ren der Flüssigkeit übt nach allen Seiten glei-che anziehende Kräfte aus und wird von denumgebenden Molekülen ebenfalls gleichmä-ßig angezogen, so dass die Resultierende die-ser Kohäsionskräfte gleich Null ist. Befindetsich das Molekül an der Oberfläche der Flüs-sigkeit, so werden die Kräfte nicht vollstän-dig durch die Wechselwirkungskräfte mitdem angrenzenden Medium (Adhäsion) kom-pensiert (Abb.1). Es ergibt sich eine resultie-rende Kraft in das Innere der Flüssigkeit.Möchte man jetzt ein Molekül aus dem Inne-ren an die Oberfläche bringen, muss man dienach innen wirkenden Kräfte überwinden.Ein Molekül an der Oberfläche besitzt des-halb eine höhere potentielle Energie. DieEnergie der Gesamtheit aller in der Oberflä-

che sitzenden Moleküle ist der Größe derOberfläche proportional und kann als Ober-flächenenergie bezeichnet werden. Will mandie Oberfläche um ΔA vergrößern, muss mander Flüssigkeit Energie zuführen, also ArbeitΔW verrichten:

(1)

Dabei ist σ die Oberflächenspannung, einevon der Temperatur abhängige Materialgröße.Die SI-Einheit ist N/m. In der Natur ist jedesSystem bestrebt, den Zustand kleinster poten-tieller Energie zu erreichen. Die Oberflächeeines Flüssigkeitsvolumens wird daher immereinen möglichst kleinen Wert annehmen.

2.2 Kapillarität:

An einer Grenzfläche zwischen zwei Medienüben auch die verschiedenartigen MoleküleAnziehungskräfte aufeinander aus. Im Ge-gensatz zur Kohäsion bezeichnet man die An-ziehungskraft zwischen den Molekülen ver-schiedener Stoffe als Adhäsion.Die Oberfläche eines Festkörpers wird voneiner Flüssigkeit benetzt, wenn die Adhäsi-onskräfte größer sind als die Kohäsionskräfteinnerhalb der Flüssigkeit. Die Flüssigkeit ver-sucht dann, sich möglichst weit auf der Ober-fläche auszubreiten. Taucht man eine Kapilla-re mit dem Innendurchmesser 2r in eine be-netzende Flüssigkeit (z.B. Glas in Wasser), sosteigt diese in der Kapillare nach oben (Ka-pillaraszension im Gegensatz zur Kapillarde-pression bei nicht benetzenden Flüssigkei-ten). Das ist folgendermaßen zu erklären:Die Benetzung der Kapillarinnenwand führtzu einer Vergrößerung der freien Flüssigkeits-oberfläche und damit der Oberflächenenergie.Durch das Aufsteigen der Flüssigkeit im In-neren der Kapillare wird die Größe der freienOberfläche wieder verringert, dafür erhöhtsich aber die potentielle Energie. Der Gleich-gewichtszustand ist der Zustand minimalerEnergie. Die Höhe der Flüssigkeitssäule imGleichgewicht kann man deshalb mit folgen-der Überlegung berechnen:

14

F … 03 6

F = 036

Abb. 1: Kohäsionskräfte und Oberflächen-

energie von Flüssigkeiten


Steigt die Flüssigkeit um den kleinen BetragΔh, so verringert sich die freie Oberfläche umden Betrag 2πrΔh und damit nach (1) dieOberflächenenergie um

. (2)

Dabei vergrößert sich die potentielle Energiedurch das Anheben der Flüssigkeit in der Ka-pillare um

. (3)

(Δm ist der Massenzuwachs und ρ die Dichteder Flüssigkeit in der Kapillare, g = 9,81 m/s2

die Fallbeschleunigung.)Im Energieminimum ist ΔW = ΔW2 −ΔW1 = 0,daraus ergibt sich die Steighöhe h zu

. (4)

Gl. (4) kann auch mit Hilfe des Gleichge-wichtes aus dem Druck durch die gekrümmteOberfläche und dem Schweredruck der Flüs-sigkeitssäule hergeleitet werden (siehe Litera-turangaben).

2.3 Die Oberflächenspannung spielt bei wei-teren im Alltag beobachtbaren Phänomeneneine wichtige Rolle: Die Randkrümmung eines Flüssigkeitsspie-gels in einem Gefäß hängt mit der Benetzungzusammen. Oberflächenaktive Stoffe (z.B. Tenside) ver-ringern die Oberflächenspannung und verbes-sern die Benetzung - wichtig in Waschmittelnund in biologischen Systemen.Die Größe von Tropfen (z.B. an einer Pipette)wird durch Oberflächenspannung und Dichteder Flüssigkeit bestimmt. Ein Tropfen reißtab, wenn seine Gewichtskraft die ihn halten-de Kraft überschreitet. Letztere ist proportio-nal zur Oberflächenspannung. Daher könnenFlüssigkeiten sehr einfach mittels Pipettedurch Tropfenzählung dosiert werden. Umge-kehrt benutzt man die Zählung der Tropfen,die sich aus einem bestimmten Flüssigkeits-volumen ergeben, zur Messung der Oberflä-chenspannung mit dem Stalagmometer.

Der Druck in Blasen (z.B. Seifenblasen) wirddurch Oberflächenspannung und Krüm-mungsradius bestimmt.

3 Versuchsaufbau

Geräte:- Federkraftmesser 50 mN- Glasgefäß für Seifenlösung- Glasgefäß für andere Flüssigkeiten- Messring, Radius (14,85 ± 0,05) mm - höhenverstellbarer Tisch- 2 Kapillaren (Ø ca. 0,6...1,2 mm)- Gefäße mit Seifenlösung, Ethanol, ...

3.1 Zur Messung der Oberflächenspannungnach der Abreißmethode wird ein Messringmit dem Durchmesser 2∙r verwendet, der zu-nächst völlig in die Flüssigkeit eingetauchtund damit vollständig benetzt wird. Beimlangsamen Herausziehen aus der Flüssigkeitbildet sich am Ring ein zylindrischer Flüssig-keitsfilm mit dem Durchmesser 2∙r und derHöhe Δh. Da sich der Film sowohl an der In-nen- als auch an der Außenfläche des Ringesbildet, ergibt sich die Vergrößerung der Flüs-sigkeitsoberfläche zu:

(5)

Die dafür erforderliche Arbeit ist:

(6)

Setzt man Gleichung (5) und (6) in (1) ein,erhält man:

(7)

Die Kraft F wird mit einem Federkraftmessergemessen.

3.2 Die verwendeten Glaskapillaren dürfennach erstmaliger Verwendung nicht austrock-nen. Deshalb werden sie in destilliertem Was-ser gelagert. Der Innendurchmesser ist derAuslage am Arbeitsplatz zu entnehmen.

15



4.1 Um Verunreinigungen auszuschließen,sollten Messring und Glasgefäß zu Beginnunter heißem Wasser gründlich abgespültwerden.Der trockene Messring (evtl. Tropfen abtup-fen) wird an den Federkraftmesser angehängt.Der Federkraftmesser ist durch Verschiebendes Außenmantels auf Null (oder, falls nichtmöglich, auf einen ganzen Wert, z. B. 10 mN)zu stellen. Das mit der zu untersuchendenFlüssigkeit gefüllte Glasgefäß wird auf denhöhenverstellbaren Tisch gestellt. Durch An-heben der Tischfläche lässt man den Mess-ring vollständig in die Flüssigkeit eintauchen.Zur Messung wird der Tisch langsam undohne Erschütterung abgesenkt und dabei dieAnzeige des Federkraftmessers beobachtet.Beim Abreißen der Verbindung zwischenFlüssigkeit und der Unterkante des Messrin-ges wird die Kraft F abgelesen. Die Messungist für jede Flüssigkeit 10 mal durchzuführen.Beim Wechsel der Flüssigkeit sind Gefäß undBügel gründlich abzuspülen.

4.2 Die Kapillaren werden sorgfältig unterfließendem Wasser gespült und dann vollstän-dig entleert (schräg halten und das Wasser mitfeuchtem Papierhandtuch aussaugen). Wennsie verschmutzt sind, so dass kleine Tröpf-chen darin zurückbleiben, können sie in derAusgabe getauscht werden.Zur Messung taucht man die Kapillare in dieMessflüssigkeit. Die Höhe der senkrechtenFlüssigkeitssäule über der äußeren Flüssig-keitsoberfläche wird mit einem Lineal be-stimmt. Die Messung ist mit beiden Kapilla-ren und mit jeder Flüssigkeit je fünf maldurchzuführen.

Die Messflüssigkeiten (außer Wasser) sindnach Versuchsende wieder in die Vorratsbe-hälter zurück zu füllen!

5 Auswertung

5.1 Aus den zehn Messwerten für die Kraftist jeweils der Mittelwert zu bilden und nachGleichung (7) die Oberflächenspannung σund die zugehörige Messunsicherheit zu be-rechnen (Radius des Messrings: siehe Ver-suchsaufbau).

5.2 Aus den Mittelwerten der gemessenenSteighöhen ist mit Hilfe von Gl. (4) jeweilsdie Oberflächenspannung zu berechnen. DieDichte von Wasser und Seifenlösung beträgt1,00 g/cm3, die von Ethanol 0,79 g/cm3. DerDurchmesser der Kapillaren ist am Arbeits-platz angegeben.Für beide Teilversuche ist eine Fehlerrech-nung durchzuführen. Vergleichen Sie alle Er-gebnisse und Messunsicherheiten miteinan-der!

6 Literatur

Eichler, Kronfeld, Sahm: Das Neue Physika-lische Praktikum, Springer, Berlin etc. 2006

Haas, U.: Physik für Pharmazeuten und Me-diziner. WVG Stuttgart 2012

Trautwein, Kreibig, Hüttermann: Physik fürMediziner, Biologen, Pharmazeuten, W. deGruyter, Berlin 2008

7 Kontrollfragen

7.1 Welche Form nimmt ein Wassertropfenan, wenn keinerlei äußere Kräfte auf ihn wir-ken? Warum?

7.2 Wovon hängt die Steighöhe einer Flüs-sigkeit in einer Kapillare ab?

7.3 Was ist Benetzung, wovon hängt sie ab?

16

Mechanik Dehnung M13

Dehnung M13

1 Aufgabenstellung

Es ist der Elastizitätsmodul E von zwei Me-tallen und von Polyamid (Perlon) durch Deh-nungsmessungen zu bestimmen.

2 Grundlagen

Eine wichtige Eigenschaft von Festkörpernist die Elastizität. Ein Körper ist elastisch,wenn er nach einer durch äußere Kräfte her-vorgerufenen Gestaltsänderung seine ur-sprüngliche Gestalt wieder annimmt, sobalddiese Kräfte wegfallen. Die elastischen Formänderungen könnendurch Dehnung, Stauchung, Biegung oderDrillung (Torsion) auftreten.Unter (mechanischer) Spannung versteht mandas Verhältnis aus Kraft und der Quer-schnittsfläche, an der die Kraft angreift:

(1)

Bei Normalspannungen σ steht die Kraft Fsenkrecht auf der Fläche A (Abb. 1 links), beiTangentialspannungen τ verläuft sie parallelzur Fläche (Abb. 1 rechts). Normalspannun-gen können als Zug- oder Druckspannungenwirksam werden, Tangentialspannungen alsScher- oder Torsionsspannungen.Die relative Längenänderung Δl/l0 bei Wir-kung einer Zugspannung (vergl. Abb.1) nenntman Dehnung:

(2)

Das elastische Verhalten bei Zug- und Druck-belastungen wird im Spannungs-Dehnungs-Diagramm (Abb. 2) dargestellt. Innerhalb des Proportionalitätsbereiches giltdas Hookesche Gesetz:

Die elastische Verformung ist der verformen-

den mechanischen Spannung proportional.

Feste Körper haben eine Elastizitätsgrenze.Bei Überschreiten dieser Grenze kommt es jenach Material zu unterschiedlichen Abwei-chungen vom Hookeschen Gesetz. Bei Metal-len tritt meist eine irreversible Verformungauf (Plastizität). Bei biologischen Materialienund bei Polymeren ist bei hohen Spannungenaufgrund des makromolekularen Aufbaus ofteine Verfestigung zu beobachten. Das Über-schreiten der Zerreißgrenze führt zum Materi-albruch.Die meisten Polymere und viele Biomateriali-en (z. B. Muskelfasern) zeigen kein reineselastisches sondern sogenanntes viskoelasti-sches Verhalten. Im Materialinneren tretengeschwindigkeitsabhängige Reibungskräfteauf (vergl. Versuch M14: Viskosität). DieDehnung hängt nicht nur von der Spannung

17

12

3a

b

c

d

ε

σ

Abb. 2: Spannungs-Dehnungs-Diagramm

1 Verhalten nach Hookeschem Gesetzes

2 Metall: Bereich (a) elastischer und (b)plastischer Verformung

3 Blutgefäß: (a) Verhalten nach Hooke-

schem Gesetzt, (b) Verfestigung


sondern auch von der Zeit ab, wobei die ma-ximale Dehnung bei Wirkung einer konstan-ten Spannung asymptotisch erreicht wird.

Der Elastizitätsmodul E ist eine Materialgrö-ße. Im Bereich der Gültigkeit des Hooke-schen Gesetzes stellt sein Kehrwert den Pro-portionalitätsfaktor zwischen der relativenDehnung Δl/l0 eines Stabes und der anlie-genden mechanischen Spannung F/A dar.Mit (1) und (2) ergibt sich eine allgemeineForm des Hookeschen Gesetzes zu:

(3)

Mit der Längenausdehnung verbunden isteine Verringerung des Querschnitts, die mitHilfe der elastischen MaterialkonstantenPOISSON sche Querkontraktionszahl beschrie-ben werden kann.

3 Versuchsaufbau

Geräte:- Wandhalterung mit Messuhr- Inbusschlüssel für die Messuhr- 2 Metalldrähte und Perlonfaden mit Haken

und Messmarke- Bandmaß- Mikrometerschraube- Massestücke- mit Schaumstoff gefüllter Eimer

Der zu vermessende Draht bzw. Faden kannin die obere Aufhängung der Apparatur ein-gehängt werden. Auf ihm ist eine Messmarkebefestigt, diese wird unter den Fühler derMessuhr geklemmt. Dazu ist der Fühler vor-

sichtig von Hand anzuheben. Sollte derMessbereich der Messuhr (0 bis 10 mm) nichtausreichen, so kann sie mittels einer Klemm-schraube in der Höhe verstellt werden. Am unteren Ende des Drahtes ist ein Hakenzum Einhängen der Massestücke angebracht.


Der zu vermessende Metalldraht wird einge-hängt und mit einem Massestück von 500 g

vorbelastet. Es ist darauf zu achten, dass derMessbereich ausreicht, gegebenenfalls mussdie Messuhr in ihrer Höhe verstellt werden.Diese Stellung der Messuhr entspricht Δl = 0.Die Anfangslänge l0 wird mit dem Bandmaßbestimmt (freie Drahtlänge von der Klemm-schraube der oberer Aufhängung bis zurKlemmschraube der Messmarke). Der Durch-messer des Drahtes d wird an 5 verschiede-nen Stellen mit der Mikrometerschraube be-stimmt.Nun wird der Draht mit verschiedenen Mas-sestücken (200 g bis 2000 g in 200 g-Schrit-ten) belastet und die zugehörigen Längenän-derungen Δl gemessen (Δl bezieht sich hier-bei immer auf die Stellung der Messuhr imvorbelasteten Zustand l0).Der gesamte Messvorgang ist für beide Me-talldrähte durchzuführen.

Die Längenänderung des Perlonfadens ist we-sentlich größer als die der Metalldrähte, siewird nicht mit der Messuhr gemessen son-dern an einem Stahllineal abgelesen, welchesunter der Messuhr angebracht ist. Der Perlon-faden wird eingehängt und mit 100 g vorbe-lastet. Sein Durchmesser wird an 5 verschie-denen Stellen mit der Mikrometerschraubeund die Länge l0 mit dem Bandmaß bestimmt.

Es kann vorkommen, dass der Perlonfaden

reißt! Stellen Sie deshalb den Eimer mit

Schaumstoff-Füllung unter die Apparatur,

ehe Sie weitere Massestücke anhängen!

Die Position der Messmarke a ist am Stahlli-neal abzulesen. Dieser Wert entspricht Δl=0.Danach wird der Faden schrittweise belastet(400 g bis 2000 g in 400 g-Schritten) und(nach 5 min) die Position a bestimmt. Unmittelbar nach dem Anhängen der Masse-stücke kann man beobachten, dass die Längenicht sofort konstant ist, sondern, immerlangsamer werdend, noch etwas anwächst(Viskoelastizität). Zwischen jeder Änderungder Gewichte und dem Ablesen von a ist des-halb eine Wartezeit von 5 min einzuhalten.

18


5 Auswertung

Aus den Mittelwerten der Drahtdurchmessersind die Querschnittsflächen zu berechnen.Im Fall des Perlonfadens sind aus den gemes-senen Werten für a die Längenänderungen Δl

zu berechnen.Für jeden Messschritt werden die anliegendeZugspannung σ nach (1) und die Dehnung εnach (2) berechnet. Die Kraft in Gleichung(1) ist die Gewichtskraft der Massestücke(g = 9,81 m/s2).Für jedes Material wird die Zugspannung σals Funktion der Dehnung ε grafisch darge-stellt und der Elastizitätsmodul E als Kurven-anstieg aus dem Diagramm ermittelt.Mit Hilfe der ausliegenden Tabelle ist aus denermittelten Werten auf das Material der Me-talldrähte zu schließen.Schätzen Sie alle Messunsicherheiten (z.B.für Längenmessung; Kraftbestimmung usw.)und diskutieren Sie ihren Einfluss auf dasMessergebnis. Wenn die lineare Regression

mit Origin durchgeführt wurde, ist auch diestatistisch Unsicherheit des Elastizitätsmo-duls anzugeben.

6 Literatur

Haas, U.: Physik für Pharmazeuten und Me-diziner. WVG Stuttgart 2012


7 Kontrollfragen

7.1 Was bedeutet elastisches Materialverhal-ten? Welche Arten der elastischer Verformunggibt es?

7.2 Was besagt das Hookesche Gesetz?Welche Abweichungen vom Hookeschen Ge-setz können auftreten?

7.3 Wo spielen Dehnungen im menschlichenOrganismus eine Rolle?

Viskosität M14

1 Aufgabenstellung

Es ist die Viskosität η von Rizinusöl alsFunktion der Temperatur mit einem Höppler-Viskosimeter (Kugelfallmethode) zu bestim-men.

2 Grundlagen

Reale Flüssigkeiten und Gase sind durchWechselwirkungskräfte zwischen den Mole-külen innerhalb des Stoffes (Kohäsion) undzu Molekülen anderer Stoffe an Grenzflächenwie z.B. festen Wandungen (Adhäsion) ge-kennzeichnet. Bei idealen Flüssigkeiten undGasen werden solche Kräfte vernachlässigt.Die Kohäsionskräfte bewirken Reibungskräf-te zwischen den Molekülen einer Flüssigkeit.Als Maß für diese innere Reibung wird die

Viskosität η („eta”) mit Hilfe des Gedanken-experiments in Abb. 1 definiert:In einer Flüssigkeit wirke auf die Fläche A imAbstand d von der festen Wand eine konstan-te Scherkraft F. Dann bewegt sich A mit einervon der Reibung abhängigen Geschwindig-keit v, in der Flüssigkeit stellt sich ein linea-res Geschwindigkeitsprofil ein. Man definiert

(1)

19

Mechanik Viskosität M14

Strömt eine benetzende reale Flüssigkeitdurch ein zylindrisches Rohr, so stellt sich imFalle einer laminaren stationären Strömungein parabolisches Strömungsprofil ein. DurchAdhäsionskräfte haftet die Flüssigkeit amRand und strömt in der Mitte am schnellsten.Zur Modellierung stellt man sich die Strö-mung als ineinander gleitende Zylinder vor,zwischen denen die innere Reibung wirkt.Für ein langes dünnes Rohr wird das pro Zei-teinheit hindurchfließende Volumen (der Vo-lumenstrom) bei einer gegebenen Druckdiffe-renz Δp zwischen den Enden des Rohresdurch das Gesetz von Hagen und Poisseuillebeschrieben:

(2)

(l: Länge, r: Radius des Rohres). Dieses Ge-setz hat u. a. große Bedeutung für das Ver-ständnis des Blutkreislaufs. Die ungewöhn-lich starke Abhängigkeit vom Radius ergibtsich durch die inhomogene Geschwindig-keitsverteilung, siehe Abb. 2.

In Analogie zum Ohmschen Gesetz in derElektrik scheibt man Gleichung (2) auch

, (3)

wobei R = 8ηl/(πr4) Strömungswiderstandgenannt wird. Für Volumenstrom I undDruckdifferenz Δp gelten die KirchhoffschenRegeln ebenso wie für den elektrischenStrom I und die Spannung U.

Eine Flüssigkeit, bei der die Viskosität nichtvon der Strömung selbst sondern nur von derTemperatur abhängt, nennt man eine Newton-sche Flüssigkeit. Beispiele für nicht-newton-sche Flüssigkeiten sind Wandfarbe (leichtstreichbar, nicht tropfend) und Blut.

Messung der Viskosität:Sinkt ein kugelförmiger Körper (Radius r,Dichte ρ1) in einer viskosen Flüssigkeit(Dichte ρ2), so wirken die Gewichtskraft FG,die Auftriebskraft FA und die ReibungskraftFR und es gilt im stationären Zustand:

(4)

Nach ARCHIMEDES ist der Auftrieb gleichdem Gewicht des von der Kugel verdrängtenFlüssigkeitsvolumens:

(5)

Für die Gewichtskraft FG gilt:

(6)

Da die Reibungskraft FR entsprechend demGesetz von Stokes

(7)

proportional zur Geschwindigkeit v der Kugelist, stellt sich nach kurzer beschleunigter Be-wegung ein stationärer Zustand mit konstan-ter Fallgeschwindigkeit ein (wenn FR = FG −FA erreicht ist). Aus Gl. (4) folgt:

(8)

und

. (9)

Aus der Fallgeschwindigkeit v einer Kugel ineiner unendlich ausgedehnten ruhenden New-tonschen Flüssigkeit kann demnach die Vis-kosität η der Flüssigkeit bestimmt werden.Ersetzt man noch die Geschwindigkeit vdurch den Fallweg s und die Fallzeit t gemäßv = s/t, so erhält man aus (9):

(10)

Alle unveränderlichen Größen können ineiner Konstanten K vereinigt werden, so dassfolgt:

(11)

20


In einem Höppler-Viskosimeter fällt die Ku-gel nicht in einer unendlich ausgedehntenFlüssigkeit, sondern in einer Röhre, derenDurchmesser wenig größer als der Kugel-durchmesser ist. Um eine definierte Abrollbe-wegung zu erzielen, wird die Röhre um 10°gegen die Normale geneigt. Beides beein-flusst die Kugelkonstante K, so dass bei in-dustriell gefertigten Viskosimetern experi-mentell bestimmte Kugelkonstanten angege-ben werden.

Die Viskosität von Flüssigkeiten nimmt mitzunehmender Temperatur sehr stark ab; nähe-rungeweise gilt

(12)

(a, b Konstanten, T in K). Die Ursache hier-für ist die thermische Bewegung der Teil-chen. Wenn sich die Moleküle der Flüssigkeitstärker bewegen, können sie sehr viel leichteraneinander vorbeigleiten.Im Gegensatz zu Flüssigkeiten steigt in Ga-sen die Viskosität mit zunehmender Tempera-

.

3 Versuchsaufbau

Geräte:- HÖPPLER-Viskosimeter- 2 Stoppuhren- Thermostat

Das Höppler-Viskosimeter ist ein Präzisions-messinstrument. Es besteht aus einem dreh-bar gelagerten geneigten zylindrischen Fall-rohr, das mit der zu untersuchenden Flüssig-keit gefüllt ist. Das Fallrohr wird von einemWasserbad umgeben, dessen Temperaturdurch einen Thermostaten geregelt wird.Am Fallrohr befinden sich ringförmige Mess-marken, der Abstand zwischen der oberstenund der untersten beträgt 100 mm.Das Instrument kann in die Messlage (Ther-mometer oben) oder in die Rücklauflage ge-schwenkt werden und rastet dabei am Instru-mentenfuß jeweils definiert in 10°-Positionein. Im Praktikum kann mit ausreichender

Genauigkeit in beiden Richtungen gemessenwerden. Das Fallrohr ist am oberen Ende durch einenHohlstopfen verschlossen, der etwas Luft ent-hält. Dadurch wird ein zu hoher Druck durchdie Ausdehnung der Messflüssigkeit bei Er-wärmung vermieden. Bei Änderung der Tem-peratur und bei Versuchsende soll sich derStopfen immer oben befinden (Messlage), da-mit die Luftblase im Stopfen bleibt.Das Viskosimeter wird mit einem Satz von 6Kugeln für verschiedene Viskositätsbereichegeliefert. Im Versuch wird Kugel Nr. 4 ver-wendet. Jedes Viskosimeter hat eine eigenePrüfbescheinigung mit etwas unterschiedli-chen Kugelkonstanten!


Studieren Sie die am Arbeitsplatz ausliegen-den Kurzanleitungen zum Thermostaten undzum Viskosimeter. Schalten Sie zu Beginnauf keinen Fall die Thermostatheizung ein,das Wasserbad benötigt viel Zeit um wiederabzukühlen!Die Viskosität soll im Temperaturbereich vonRaumtemperatur bis 50°C bestimmt werden(etwa ein Messpunkt aller 5 K).Das Viskosimeter ist m. H. der Libelle hori-zontal auszurichten. Vor der ersten Messungmuss die Kugel einmal die Messstreckedurchlaufen, um die Messflüssigkeit zudurchmischen.Die Messung der Fallzeiten zwischen deroberen und der unteren Ringmarke wird vonbeiden Studenten durchgeführt. Damit siesich gegenseitig nicht beeinflussen, startet(stoppt) der erste Student seine Uhr, wenn dieKugel mit ihrer unteren Fläche die obere (un-tere) Ringebene berührt. Der zweite Studentbeginnt die Messung, wenn die obere Flächeder Kugel die obere Ringebene verlässt.Die Messungen sind bei jeder Temperaturvier mal durchzuführen, dabei sind alle 8Messwerte von beiden Studenten zu protokol-lieren. Falls das Fallen der Kugel durch einesehr große Luftblase behindert wird, ist der

21


zuständige Assistent zu verständigen. Sie dür-fen das Viskosimeter nicht selbst öffnen!

Man beginnt zweckmäßigerweise bei Raum-temperatur. Der Thermostat ist einzuschalten,die Solltemperatur wird auf einen Wert unterRaumtemperatur gestellt, damit der Thermo-stat nur umwälzt. Falls erforderlich, muss vorder Messung ein Temperaturausgleich zwi-schen Thermostat und Viskosimeter abgewar-tet werden (etwa 10 min). Danach wird die Temperatur schrittweise inSchritten von etwa 5 K bis auf 50°C erhöhtund die Fallzeiten werden bestimmt. Nach je-dem Erreichen der Solltemperatur am Ther-mostaten muss mindestens noch weitere 5Minuten abgewartet werden ehe mit der Mes-sung begonnen wird, damit auch die Flüssig-keit im Messzylinder die Temperatur des um-gebenden Wasserbades annimmt. Währenddieser Wartezeit soll die Kugel einmal (ohneZeitmessung) die Fallstrecke durchlaufen.

5 Auswertung

Berechnen Sie die Mittelwerte und die statis-tischen Unsicherheiten der gemessenen Fall-zeiten, sowie aus den mittleren Fallzeiten je-weils die Viskosität η nach Gleichung (11).Stellen Sie η als Funktion der Temperaturgrafisch dar.

Die Dichte der Kugel ρ1 und der Wert derKonstanten K sind der am Messplatz auslie-genden Prüfbescheinigung zu entnehmen(Kugel Nr 4).Dichte von Rizinusöl: ρ2 = 0,96 g cm−3

Weisen Sie nach, dass die Viskosität entspre-chend Gl. (1) von der absoluten Temperatur Tabhängt. Stellen Sie hierzu ln(η) als Funktionvon 1/T (in Kelvin) grafisch dar und disku-tieren Sie die so erhaltene Kurve.

6 Literatur

Haas, U.: Physik für Pharmazeuten und Me-diziner, WVG, Stuttgart, 2012


Trautwein, Kreibig, Hüttermann: Physik fürMediziner, Biologen, Pharmazeuten. W. deGruyter, Berlin u.a., 2008

7 Kontrollfragen

7.1 Wodurch unterscheiden sich reale undideale Flüssigkeiten?

7.2 Was ist innere Reibung, wie kann mansie messen?

7.3 Wie beeinflusst innere Reibung die Strö-mung in einem Rohr?

22

Mechanik Ultraschall-Abbildungsverfahren M19

Ultraschall-Abbildungsverfahren M19

1 Aufgabenstellung

1.1 Bestimmung der Schallgeschwindigkeitund der Wellenlänge von Longitudinalwellenin Polyethylen (PE), Berechnung des Elastizi-tätsmoduls von Polyethylen.

1.2 Bestimmung der Anzahl und Lage vonBohrlöchern in einem PE-Körper, Anferti-gung einer Lageskizze.

2 Grundlagen

Steht ein mechanischer Schwinger in Kontaktzu einem anderen Medium, so findet durchdie Kopplung zu diesem eine Energieübertra-gung statt, die sich als mechanische bzw.elastische Welle (Schallwelle) ausbreitet. Diein dem Medium entstehenden periodischenDruck- bzw. Dichteänderungen breiten sichmit einer Phasengeschwindigkeit (der Schall-geschwindigkeit) c aus. Die Wellenlänge λ imMedium wird nach

(1)

durch die Frequenz f der Schallquelle und dievon Stoffeigenschaften abhängige Ausbrei-tungsgeschwindigkeit c bestimmt. Die me-chanischen Wellen treten in gasförmigen undflüssigen Stoffen infolge fehlender Scherelas-tizität stets als Longitudinalwellen auf, wäh-rend in festen Körpern außer Longitudinal-wellen auch Transversalwellen sowie Kopp-lungen zwischen beiden (z.B. Oberflächen-wellen, Rayleighwellen) auftreten können. In unendlich ausgedehnten, homogenen, iso-tropen Festkörpern ergibt sich die Schallge-schwindigkeit cL für Longitudinalwellen ausden mechanischen Eigenschaften des Aus-breitungsmediums nach:

(2)

(E: Elastizitätsmodul, ν: Poissonscher Quer-

kontraktionskoeffizient; ρ: Massendichte).Durch inelastische Prozesse wird die Schall-welle im Medium gedämpft (absorbiert). Fürdie Abhängigkeit der Schwingungsamplitudey von der Ausbreitungsrichtung x gilt dasSchwächungsgesetz

(3)

Dabei ist y0 die Amplitude bei x = 0 und μ derSchwächungskoeffizient (auch Absorptions-koeffizient). Die Dämpfung kann in der me-dizinischen Ultraschalldiagnostik zur Unter-scheidung verschiedener Gewebearten die-nen.In der Akustik werden Frequenzen unterhalbdes menschlichen Hörbereichs (ca. 16 Hz -16 kHz) als Infraschall und oberhalb diesesBereiches als Ultraschall bezeichnet.

Ultraschallwellen werden mit Hilfe des inver-sen piezoelektrischen Effektes erzeugt. EineScheibe aus piezoelektrischer Keramik - derUltraschallwandler oder Transducer - wirdelektrisch zu Schwingungen angeregt. Sieschwingt mit ihrer Resonanzfrequenz fr undverursacht so eine sich im umgebenden Me-dium ausbreitende Schallwelle.Bei den Impuls-Echo-Verfahren A-Bild, B-Bild und TM (die Bezeichnungen kommenvon den engl. Begriffen Amplitude, Bright-ness und Time Motion) wird der Ultraschall-wandler durch einen elektrischen Spannungs-impuls zu einer kurzzeitigen mechanischenDickenschwingung und zum Aussenden einesUltraschallimpulses angeregt (inverser piezo-elektrischer Effekt). Aus dem angekoppeltenMedium auf denselben Wandler auftreffendeUltraschallwellen bewirken geringe Deforma-tionen des Wandlers, die in dem piezoelektri-schen Material in elektrische Spannungenumgewandelt werden (direkter piezoelektri-scher Effekt).Ein und derselbe Wandler kann deshalb so-wohl als Sender als auch als Empfänger ge-nutzt werden.

23


Unter akustischer Impedanz (Schallkennim-pedanz, akustischer Widerstand) Z verstehtman das Produkt aus den MaterialkennzahlenMassendichte ρ und Schallgeschwindigkeit c:

(4)

Änderungen oder Sprünge der akustischenImpedanz (z.B. an Organgrenzflächen beimedizinischen Ultraschalluntersuchungen)längs der Ausbreitungsrichtung führen zueiner teilweisen Reflexion der Schallwelleund damit gleichzeitig zu einer Schwächungin Ausbreitungsrichtung (siehe Abb. 1). Fürden senkrechten Einfall einer Schallwelle aufeine Fläche gilt:

(5)

(R = Reflexionsgrad; I0, IR = einfallende undreflektierte Intensität; Z1, Z2 = akustische Im-pedanzen).

Der durch die Fläche hindurchgehende AnteilID berechnet sich nach

(6)

Beim A-Bild-Verfahren wird die Amplitudeder vom Schallwandler gesendeten sowie derempfangenen und verstärkten akustischenImpulse auf dem Monitor in Abhängigkeitvon der Zeit dargestellt. Die Echos von Struk-turgrenzen im Medium, an denen sich dieakustische Impedanz ändert, erscheinen imBild als Zacken (Fehler: Verweis nicht gefun-

den). Der zeitliche Abstand zwischen Sende-impuls und Empfangsecho entspricht derdoppelten Laufzeit t des akustischen Impulseszwischen Wandler und reflektierender Struk-tur. Bei bekannter Schallgeschwindigkeit ckann damit nach

(7)

die Entfernung l zwischen beiden gemessenwerden.Beim B-Bild- oder Schnittbildverfahren wirddie Amplitude des eindimensionalen A-Bild-Verfahrens in Grauwerte (Brightness) einerzweidimensionalen Hell-Dunkel-Darstellungumgesetzt. Durch Bewegung des Schallwand-lers (siehe Fehler: Verweis nicht gefunden)erhält man ein Schnittbild. Moderne Schall-wandler für B-Bild-Geräte sind sogenannteMultielementwandler. Sie bestehen aus einerZeile von vielen einzelnen Wandlerelemen-ten. Eine Bewegung des Schallkopfes istnicht mehr erforderlich, sie wird ersetzt durchdie elektronische Ansteuerung der einzelnenWandlerelemente.Zum Ausgleich der Dämpfung wird in bildge-benden Ultraschallgeräten das reflektierte Si-gnal laufzeitabhängig verstärkt. Damit soll imIdealfall erreicht werden, dass die Stärke derReflexe unabhängig von der Tiefe der reflek-tierenden Struktur ist.Die Qualität des Ultraschallbildes wird durchdas Auflösungsvermögen charakterisiert.Darunter versteht man den Kehrwert deskleinstmöglichen Abstandes zweier reflektie-render Strukturen, die bei der Wiedergabe ge-

24


rade noch als getrennte Punkte dargestelltwerden können. Man unterscheidet das axiale(in Ausbreitungsrichtung) und das lateraleAuflösungsvermögen (quer zur Ausbreitungs-richtung), siehe Abb. 3.

Während das axiale Auflösungsvermögen vorallem durch die Dauer des Schallimpulses be-stimmt wird, hängt das laterale Auflösungs-vermögen stark von der Schallfeldgeometrieab. So sind die Querabmessungen des Schall-feldes in einer bestimmten Entfernung vomWandler minimal (Fokussierung), danachwird der Schallstrahl mit zunehmendem Ab-stand breiter und die Auflösung schlechter.Die Impulsdauer, der Querschnitt des Schall-feldes und der Abstand des Fokusbereichesvom Wandler werden mit wachsender Fre-quenz geringer. Daher werden mit höhererUltraschallfrequenz sowohl die axiale alsauch die laterale Auflösung besser. Jedochwächst mit zunehmender Frequenz auch dieDämpfung der Ultraschallwellen, und damitwird der abbildbare Bereich (die Eindringtie-fe) kleiner.Die Interpretation eines Ultraschall-B-Bildeswird durch verschiedene Effekte erschwert:- Schallschatten entstehen hinter stark reflek-

tierenden Strukturen. Objekte hinter derStruktur bleiben unsichtbar.

- Mehrfachbilder können durch Mehrfachre-flexion des Schalls zwischen einer stark re-flektierenden Struktur und der Oberflächeauftreten.

- Abbildungsfehler (Lagefehler) entstehendurch Brechung der Schallwellen an Struk-turen mit unterschiedlicher Schallgeschwin-digkeit.

3 Versuchsaufbau

Geräte:- Ultraschallgerät - Computer- 2 Schallköpfe (1 MHz; 2 MHz)- PE-Körper mit Fehlstellen- Messschieber

Das Ultraschallgerät ermöglicht ein A-Bildsowie (durch manuelle Bewegung des Schall-kopfes) ein einfaches B-Bild. Darstellung undAuswertung der Messungen erfolgen mit Hil-fe des Computers. Zum Messen von Zeiten bzw. Abständen undAmplituden im A-Bild dienen drei farbigeMarker, die mit der Maus verschoben werdenkönnen.Regler an der Frontplatte des Ultraschallgerä-tes dienen der Einstellung der Leistung derausgesandten Ultraschallpulse (TRANSMIT-

TER), der Verstärkung des empfangenenEchosignals (RECEIVER) sowie der laufzeitab-hängigen Verstärkung (TGC = Time GainControl). Weitere Hinweise zur Bedienung und Funkti-onsweise sind der am Platz ausliegenden Be-dienungsanleitung zu entnehmen.


Der verwendete Schallkopf ist an der BuchsePROBE/REFLECTION anzuschließen, Kipp-schalter auf REFLEC. Die Ankopplung derSchallwandler an den PE-Körper erfolgt mitWasser. (Es ist nur ein dünner Wasserfilm er-forderlich!)

4.1 Für die Bestimmung der Schallge-schwindigkeit sind mit einem Messschieberdie Dicke l des PE-Körpers (Noniusable-sung!) und auf der Zeitskala bei aufgesetztemSchallkopf die Zeit t bis zum Maximum desRückwandechos zu bestimmen.

4.2 Der PE-Körper ist mit beiden Schallköp-fen auf Fehlstellen zu untersuchen.Um die Messungen zu erleichtern, wird zu-erst die Schallgeschwindigkeit berechnet (sie-he 5.1) und im Menüpunkt 'Einstellungen'

25

Abb. 3: Zum lateralen Auflösungsvermögen

[nach: Krestl, Bildgebende Systeme für die

medizinische Diagnostik]


eingegeben. Danach wird die x-Achse (durchKlick auf den Button 'Tiefe') von Laufzeit aufAbstand umgestellt. Kontrollieren Sie, ob dieTiefe des Rückwandechos gleich der gemes-senen Dicke des PE-Körpers ist!Ein Schallkopf wird über die seitlichen Flä-chen des PE-Körpers geführt. Am Gerät sinddabei die Einstellungen für TGC, Leistungund Verstärkung nach folgenden Gesichts-punkten zu variieren:

- Das gewünschte Echo darf nicht vom Initia-lecho überdeckt werden.

- Die mit zunehmender Eindringtiefe verbun-dene Schwächung muss ausgeglichen wer-den.

- Das Echosignal darf nicht übersteuert sein,damit eine genaue Lokalisation auf demSchirm möglich ist.

Wenn Reflexe von Bohrlöchern gefunden undalle Einstellungen optimiert sind, schalten Sieum in den B-Bild-Modus. Mit dem B-Bildgewinnt man schnell einen Überblick überdie Lage der Löcher. Stellen Sie die ungefähre Größe des Körperssowie Anfangs- und Endwert der Farbskalarichtig ein, drücken Sie den Start/Stop-Buttonund führen Sie den Schallkopf langsam undgleichmäßig über den PE-Körper. Die Mes-sung muss mit dem Start/Stop-Button been-det werden. Eventuell müssen Sie für ein gu-tes Bild ein wenig üben und alle Einstellun-gen weiter verbessern.Das B-Bild kann ausgedruckt werden. Bitte

drucken Sie für jede Frequenz und pro

Student nur einmal!

Die genaue Messung der Lage der Bohrlö-cher muss im A-Bild erfolgen. Für alle Lö-cher sind die Abstände von der Oberfläche zubestimmen. Die zweite Koordinate jedes Lo-ches wird ermittelt, indem man die Messungnach Drehen des PE-Körpers um 90° wieder-holt. Mit Hilfe des höherfrequenten Schall-

kopfes (besseres Auflösungsvermögen) istnachzuprüfen, ob die gefundenen Fehlstellenmöglicherweise zusätzlich strukturiert sind.

5 Auswertung

5.1 Die Schallgeschwindigkeit ist nach Glei-chung (7) zu berechnen. Die Berechnung derWellenlänge λ erfolgt für beide Wandler überdie Gleichung (1). Der Elastizitätsmodul istnach Gleichung (2) zu errechnen.(ν = 0,45; ρ = 0,932 g cm-3)

5.2 Es ist auf Millimeterpapier im Maßstab1:1 ein Schnitt des PE-Körpers mit Einzeich-nung der Fehlstellen (Bohrungen) darzustel-len.Das B-Bild ist auf Artefakte (Schallschatten,Mehrfachbilder) zu untersuchen.

6 Literatur


Eichler, Kronfeld, Sahm: Das Neue Physika-lische Praktikum, Springer, Berlin u.a., 2006

Fercher, A.F.: Medizinische Physik, Springer,1992

Millner, R.: Wissensspeicher Ultraschalltech-nik, Leipzig: Fachbuchverlag 1987

7 Kontrollfragen

7.1 Welche physikalische Größe ist auf derSkale des Ultraschallgerätes dargestellt?

7.2 Warum ist eine Ankopplung von Ultra-schallwandlern mittels Wasser oder Gel not-wendig?7.3 Welche Wellenlänge hat eine Ultra-schallwelle in Polyethylen bei einer Frequenzvon a) 1 MHz b) 2 MHz ?

26

Wärmelehre Lineare Ausdehnung W1

Lineare Ausdehnung W1

1 Aufgabenstellung

Der lineare Ausdehnungskoeffizient zweierunbekannter Materialien ist zu bestimmen.

2 Grundlagen

In Festkörpern und Flüssigkeiten führen dieTeilchen (Atome bzw. Moleküle) temperatur-abhängige Schwingungen aus. Wegen der un-symmetrischen Potentialkurve der zwischen-atomaren Bindung werden die mittlerenAtomabstände mit zunehmender Schwin-gungsamplitude größer. Das äußert sich ineiner Volumenausdehnung, in festen Körpernauch in einer Längenausdehnung. Diese ist inhomogenen und isotropen Festkörpern (Me-tall, Polymere, Glas) in alle Richtungengleich groß.Bei der Erwärmung bzw. Abkühlung einesStabes ändert sich seine Länge mit der Tem-peratur T. Ist l0 die Länge des Stabes bei derAnfangstemperatur T0, so ist die Längenände-rung Δl = l − l0

. (1)

Dabei ist α der lineare Ausdehnungskoeffizi-ent (SI-Einheit: 1/K), eine Materialgröße. Mitder Abkürzung ΔT = T−T0 ergibt sich für dieLänge l des Stabes bei der Temperatur T:

. (2)

Der lineare Zusammenhang (1) bzw. (2) giltstreng genommen nur für nicht zu großeTemperaturdifferenzen ΔT.1 Weil aber α sehrklein ist (≈10-5 K-1 für Metalle, ≈10-4 K-1 fürPolymere) und bei den meisten Stoffen nurwenig von der Temperatur abhängt, wird inder Praxis meist nur mit diesen linearen Glei-chungen gerechnet. Auch im vorliegendenVersuch ist diese Näherung gerechtfertigt.

1 Exakt definiert man den temperaturabhängigen Längenausdehnungskoeffizienten α(T) mittels

.

3 Versuchsaufbau

Geräte:- Halterung mit zwei eingespannten Rohren,

jeweils mit Messuhr (0,01 mm) zur Erfas-sung der Längenänderung

- Stahlbandmaß- Umwälzthermostat (Genauigkeit 0,1 K)

Die Rohre sind in der Halterung einseitig ein-gespannt. Im Abstand l0 von der Einspannungdrückt jedes Rohr gegen den Stift einer Mess-uhr, so dass die Längenänderung Δl mit einerAuflösung von 1/100 mm gemessen werdenkann. Die Temperaturveränderungen werdenmit Hilfe eines Thermostaten erzeugt, dertemperiertes Wasser durch die Rohre pumpt.


Studieren Sie die am Arbeitsplatz ausliegendeKurzanleitung zum Thermostaten. SchaltenSie auf keinen Fall die Thermostatheizungein, bevor die richtige Solltemperatur einge-stellt ist.

Der Thermostat wird ohne Heizung in Betriebgenommen, indem eine Solltemperatur unter-halb der Raumtemperatur eingestellt wird.Nach wenigen Minuten haben die Rohre diegleiche Temperatur angenommen wie dasWasser im Thermostaten (etwa Raumtempe-ratur). Diese Temperatur wird abgelesen unddie Messuhren auf Null gestellt.Die Längen l0 zwischen der Einspannung undder Stirnseite der Rohre sind mit dem Band-maß zu messen.Danach wird am Thermostat eine Temperatureingestellt, die etwa 10 K höher ist als dieAusgangstemperatur. Etwa 5 min nach Errei-chen der Solltemperatur werden die Tempera-tur T und die dazugehörigen Längenänderun-gen Δl abgelesen.Die Temperatur wird in Schritten von ca.10 K weiter erhöht; dabei sind jeweils dieTemperatur und die Längenänderungen in

27

Wärmelehre Lineare Ausdehnung W1

gleicher Weise zu messen, bis eine Tempera-tur von ca. 80°C erreicht ist.

Während der gesamten Messungen müssengroße Erschütterungen vermieden werden,die Messeinrichtung sollte am besten nichtberührt werden.

5 Auswertung

Entsprechend Gleichung (1) ist die Längen-änderung Δl in Abhängigkeit von der Tempe-ratur T (in °C) grafisch darzustellen. Mit Hil-fe linearer Regression ist der Anstieg derKurve zu ermitteln. Formt man (1) um in

(3)

und vergleicht mit der Geradengleichung

, (4)

so ergibt sich der Anstieg der Messkurve zu

. (5)

Mit dieser Gleichung ist der lineare Ausdeh-nungskoeffizient α aus dem Anstieg zu be-rechnen.

Aus der statistischen Unsicherheit des Anstie-ges und der geschätzten Messunsicherheit derLänge l0 ist die Unsicherheit des Ergebnissesu(α) zu berechnen (Fehlerrechnung).Anhand des Ausdehnungskoeffizienten unddes Aussehens der Rohre ist das vermuteteMaterial zu bestimmen.

6 Literatur

Haas, U.: Physik für Pharmazeuten und Me-diziner. WVG, Stuttgart, 2012

Harten, H.-U. Physik für Mediziner. Sprin-ger-Verlag, 2011.

7 Kontrollfragen

7.1 Welche physikalischen Phänomene wer-den zur Temperaturmessung genutzt?

7.2 Weshalb ist die Wärmekapazität einesThermometers für die Temperaturmessungvon Bedeutung?

7.3 Wie ist der Zusammenhang zwischenLängen- und Volumenausdehnung?

7.4 Um wieviel wird ein 1 m langer Metall-stab bei Erwärmung um 10 K etwa länger?

Spezifische Wärmekapazität von Metallen W6

1 Aufgabenstellung

Die spezifische Wärmekapazität von drei ver-schiedenen Metallen ist zu bestimmen.

2 Grundlagen

Die Aufnahme oder Abgabe einer bestimmtenWärmemenge Q ist mit der Temperaturände-rungen eines Körpers verbunden, sofern nichtchemische Reaktionen oder Änderungen desAggregatzustandes erfolgen. Dabei kann derWärmetransport von einem Körper zum an-deren über Wärmeleitung (Konduktion),

Wärmeströmung (Konvektion) und Wärme-strahlung erfolgen. In einem abgeschlossenen System (keinStoff- und Energieaustausch mit der Umge-bung) gilt der Energieerhaltungssatz, d. h. dieSumme der Wärmeenergien aller am Wär-meaustausch beteiligten Körper ist konstant.Ein Kalorimeter ist die näherungsweise expe-rimentelle Umsetzung eines abgeschlossenenSystems.

Die Wärmekapazität C ist definiert als dasVerhältnis zwischen der dem Körper zuge-führten Wärme Q und der dadurch hervorge-rufenen Temperaturerhöhung ΔT. Die spezifi-

28

Wärmelehre Spezifische Wärmekapazität von Metallen W6

sche Wärmekapazität c ist die Wärmekapazi-tät pro Masseneinheit:

(1)

Um eine Substanz der Temperatur T1 auf eineTemperatur T2 = T1 + ΔT zu erwärmen, mussihr die Wärmemenge

(2)

zugeführt werden.Die Messung der spezifischen Wärmekapazi-tät geschieht in einem Mischungskalorimeter.Das Kalorimetergefäß hat die Wärmekapazi-tät CK. Im Kalorimetergefäß befindet sichWasser der Masse mW und der spezifischenWärmekapazität cW. Gefäß und Wasser habenzunächst die Temperatur T1. Dann wird einheißes Metallstück der Masse mM mit derTemperatur TH in das Kalorimeter eingeführt.Durch Wärmeaustausch stellt sich nach eini-ger Zeit die Mischtemperatur T2 ein.Bei diesem Vorgang gibt der Metallkörper dieWärmemenge QM ab, das Wasser nimmt dieWärmemenge QW und das Kalorimeter dieWärmemenge QK auf. Nach dem Energieer-haltungssatz gilt:

(3)

Für die spezifische Wärmekapazität cM desMetalls ergibt sich daraus:

(4)

Ein reales Kalorimeter ist kein vollständigabgeschlossenes System, sondern gibt imVerlaufe des Experiments Wärme an die Um-gebung ab bzw. nimmt Wärme auf. Der Feh-ler, der durch den Wärmeaustausch mit derUmgebung entsteht, kann minimiert werden,wenn man die Temperaturen T1 und T2 ent-sprechend Abb. 1 grafisch aus einem Tempe-ratur-Zeit-Diagramm bestimmt. Dazu wird der Temperaturverlauf im Kalori-meter während des gesamten Experiments in

Abhängigkeit von der Zeit aufgetragen. Indas Diagramm wird dann eine Senkrechte soeingetragen, dass die entstehenden FlächenABC und CDE etwa gleich groß sind. DieTemperaturen T1 und T2 ergeben sich dannaus den Schnittpunkten der an die gemesseneKurve angelegten Tangenten mit der Senk-rechten (siehe Abb.1). Die Senkrechte repräsentiert einen idealisier-ten adiabatischen Prozess, der in einem sehrkurzen Zeitraum (Δt → 0) abläuft, so dasswährend dieser Zeit kein Wärmeaustauschmit der Umgebung stattfinden kann.

3 Versuchsaufbau

Geräte:- Kalorimeter (vakuumisoliert)- Magnetrührer, Rührstäbchen- Digitalthermometer (Auflösung 0,01 K)- 3 Probekörper- Gefäß zur Erwärmung der Probekörper- Laborkocher- Stoppuhr- Laborwaage (Genauigkeit 0,1 g)

Das Kalorimeter besteht aus einem doppel-wandigen Edelstahlgefäß und einem durch-sichtigen Deckel mit einem passenden Lochzur Aufnahme des Thermometers. Der her-ausnehmbare innere Teil des Deckels besitzteinen Schlitz zum Einhängen des Probekör-pers.

29



Zunächst werden die Massen der ProbekörpermM bestimmt. Die Masse des Kalorimeters (mit Rührstäb-chen) wird in leerem Zustand und nach demEinfüllen von etwa 500 ml Wasser bestimmt;die Wassermasse mW ergibt sich als Differenzaus diesen beiden Wägungen. Die Wasser-temperatur sollte etwa bei Raumtemperaturoder wenig darunter liegen.Üben Sie einmal, einen Probekörper mög-lichst schnell und ohne anzustoßen in das Ka-lorimeter einzuhängen. Die Probekörper sind in siedendem Wasser zuerwärmen. Es ist darauf zu achten, dass dieKörper vollständig eintauchen und genügendlange (etwa 10 min) im Wasserbad verweilen,damit die Zuordnung der Siedetemperatur beigegebenem Luftdruck zur Körpertemperaturdes erwärmten Probekörpers gerechtfertigtist. Die Probekörper dürfen weder den Randnoch den Boden des Gefäßes berühren.Während des gesamten Experiments muss derRührer gleichmäßig laufen.Bei der Bestimmung der Temperaturen T1 undT2 für alle drei Probekörper soll der Wär-meaustausch zwischen Kalorimeter und Um-gebung entsprechend Abb. 1 berücksichtigtwerden. Deshalb ist der Temperaturverlauf imKalorimeter über einen längeren Zeitraum zuregistrieren, indem in Abständen von 30 Se-kunden die Anzeige des Thermometers proto-kolliert wird. Am besten geht man nach fol-gendem Plan vor:

t / min 0 Beginn der Messung (Vorperiode) 5 Körper 1 in Kalorimeter tauchen10 Körper 1 herausnehmen11 Körper 2 in Kalorimeter tauchen16 Körper 2 herausnehmen17 Körper 3 in Kalorimeter tauchen23 Ende der Messung (Nachperiode)

Nach Beendigung der Messreihe wird dieMasse des wassergefüllten Kaloriemeters (imgleichen Zustand wie bei der Wägung zu Be-ginn) noch einmal bestimmt, um den Einfluss

des mit den Probekörpern verschleppten Was-sers abzuschätzen.Für die Bestimmung der Siedetemperatur TB

wird der Luftdruck am Barometer im Raumabgelesen und aus der Umrechnungstabelledie Siedetemperatur ermittelt.

5 Auswertung

Der Temperaturverlauf im Kalorimeter wirdin Abhängigkeit von der Zeit grafisch darge-stellt. Aus diesem Diagramm werden dieTemperaturen T1 und T2 ermittelt wie in Abb.1 gezeigt. Die Auswertung kann für alle dreiProbekörper in einem gemeinsamen Dia-gramm erfolgen. Die spezifische Wärmekapazität der Metalleist nach Gleichung (4) zu berechnen. Dabeisind folgende Werte zu verwenden:spezifische Wärmekapazität des Wassers: cW = 4187 J kg−1 K−1

Wärmekapazität des Gefäßes mit Rührer: CK = (70 ± 8) J K−1

Die Siedetemperatur des Wassers ist anhanddes gemessenen Luftdrucks einer Tabelle zuentnehmen.Mit Hilfe der Messergebnisse (und unter Be-rücksichtigung von Aussehen und Gewicht)sind die unbekannten Metalle zu bestimmen.

6 Literatur

Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experi-mentalphysik Bd.1 Mechanik, Akustik, Wär-me. de Gruyter, Berlin u.a., 2008


Trautwein, Kreibig, Hüttermann: Physik fürMediziner, Biologen, Pharmazeuten. W. deGruyter, Berlin u.a. 2008

7 Kontrollfragen

7.1 Erläutern Sie die Begriffe Wärmekapazi-tät, Temperatur, abgeschlossenes thermody-namisches System, thermodynamischesGleichgewicht!

30


7.2 Nennen Sie Temperaturmessverfahren! 7.3 Erläutern Sie den ersten und zweitenHauptsatz der Thermodynamik!

Luftfeuchtigkeit W12

1 Aufgabenstellung

1.1 Ein Kupfer-Konstantan-Thermoelementist zu kalibrieren.

1.2 Die relative Luftfeuchtigkeit ist mit Hilfeeines Taupunkt-Hygrometers zu bestimmen.

1.3 Das Raoultsche Gesetz (Dampfdrucker-niedrigung in Lösungen) ist qualitativ zu be-stätigen.

2 Grundlagen

2.1 Thermoelement

In einem (isolierten) elektrischen Leiter wirddurch einen Temperaturgradienten eine elek-trische Potentialdifferenz erzeugt (absoluterSeebeck-Effekt), die jedoch nicht unmittelbarmessbar ist. Vereinfacht gesehen, verhaltensich die Ladungsträger im Leiter wie die Teil-chen eines idealen Gases: Ladungsträger vonder wärmeren Seite mit höherer kinetischerEnergie diffundieren schneller zur kalten Sei-te als umgekehrt; auf diese Weise entsteht aufder kalten Seite ein Überschuss an Ladungs-trägern, der durch die entstehende Potential-differenz begrenzt wird.Verbindet man zwei verschiedene Leiter, z. B.Kupfer und Konstantan wie in Abb. 1, zu ei-

nem Stromkreis und bringt die beiden Kon-taktstellen auf verschiedene Temperaturen T0

und T1, so entstehen in den beiden Leitern un-terschiedliche innere Potentiale. Zwischenden Punkten A und B tritt die Differenz derbeiden Potentiale auf, die sogenannte Ther-mospannung UT. Dies wird als Seebeck-Ef-fekt bezeichnet.Die Thermospannung UT ist näherungsweiseproportional zur Temperaturdifferenz ΔT =T1 − T0 :

(1)

Der Koeffizient α heißt Thermokraft oderSeebeckkoeffizient und ist von beiden Mate-rialien abhängig.Thermoelemente werden häufig zur Tempera-turmessung verwendet. Sie sind preiswert,schnell (kleine Wärmekapazität) und bietenden Vorteil, dass sich die Thermospannungenunmittelbar als Eingangssignale für Compu-ter, Steuer- und Regelgeräte nutzen lassen.

2.2 Luftfeuchtigkeit nennt man den Gehaltder Luft an Wasserdampf. Die absolute Luftfeuchtigkeit fa ist die Was-serdampfmasse md pro Volumen V der Luft:

(2)

Die relative Luftfeuchtigkeit fr ist das Ver-hältnis der vorhandenen Wasserdampfmengezur Sättigungsmenge bzw. das Verhältnis desvorhandenen Dampfdruckes pd zum Sätti-gungsdampfdruck pS bei der vorliegendenTemperatur T :

(3)

Die relative Luftfeuchtigkeit wird meist inProzent angegeben.

31

Wärmelehre Luftfeuchtigkeit W12

In einem geschlossenen Gefäß, das eine Flüs-sigkeit enthält, welche das Gefäßvolumennicht vollständig ausfüllt, verdampft ein Teilder Flüssigkeit, bis das verbleibende Volumenmit Dampf „gesättigt” ist. Im thermodynami-schen Gleichgewicht bildet sich der Sätti-gungsdampfdruck pS aus, der nur von derArt der Flüssigkeit und von der Temperatur(etwa exponentiell) abhängt. In einem abgeschlossenen Gefäß muss die re-lative Luftfeuchtigkeit bei Anwesenheit vonflüssigem Wasser im thermodynamischenGleichgewicht folglich 100 % betragen.Sind in der Flüssigkeit nicht verdampfendeSubstanzen gelöst, so ist der Sättigungs-dampfdruck über der Lösung entsprechenddem RAOULTschen Gesetz um Δp verringert.Diese Dampfdruckerniedrigung ist unabhän-gig von der Art des gelösten Stoffes, sie hängtnur von der Anzahl der gelösten Teilchen ab:

(4)

Dabei ist x der Molenbruch des gelösten Stof-fes (n2: Menge der gelösten Teilchen, n1: Teil-chenmenge des Lösungsmittels), pS ist derSättigungsdampfdruck des reinen Lösungs-mittels und pS,L der der Lösung. Bei der Be-stimmung von x muss die Dissoziation desgelösten Stoffes berücksichtigt werden. DasRaoultsche Gesetz gilt nur für n2 ≪ n1, beihöheren Konzentrationen x ist die beobachte-te Dampfdruckerniedrigung geringer. Infolgedes Raoultschen Gesetzes ist die Luftfeuch-tigkeit über einer Salzlösung kleiner als100 %.Ist bei der Temperatur T die Luftfeuchtigkeitim Raum kleiner als 100 %, so kann man100 %ige Luftfeuchtigkeit erreichen, indemman die Temperatur erniedrigt. Ab einer be-stimmten Temperatur τ, dem Taupunkt, kon-densiert der Wasserdampf und scheidet sich z.B. auf einer Oberfläche ab. Dies dient zurMessung der Luftfeuchtigkeit mit einem Tau-punkthygrometer: Anhand der Temperatur τkann der zugehörige SättigungsdampfdruckpS(τ) ermittelt werden, der gleich demDampfdruck pd(T) ist. Die relative Luftfeuch-

tigkeit fr ergibt sich dann aus

. (5)

3 Versuchsaufbau

Geräte:- Taupunkthygrometer (Alu-Grundkörper mit

Peltierkühler, Metallspiegel, Thermoele-ment und Lichtschranke, Abdeckhaube)

- Steuergerät für Lichtschranke- Stromversorgungsgerät für Peltierkühler- Kupfer-Konstantan-Thermoelement, eine

Lötstelle in Röhrchen mit Gallium- Becherglas, Isoliergefäß, flache Schale- Flasche mit 3 molarer CaCl2-Lösung- Sensor-Cassy mit μV-Box- Computer, CassyLab-Software

3.1 Zur Kalibrierung des Kupfer-Konstan-tan-Thermoelementes dienen zwei Fixpunkte:der Schmelzpunkt von Wasser und der vonGallium (TS = 29,76 °C). Die Thermospan-nung wird mittels Sensor-Cassy/μV-Box undComputer gemessen.Eine Kurzanleitung zur Benutzung der Cassy-Lab Software befindet sich im Anhang.

3.2 Das Taupunkthygrometer (Abb.2) besitzteine abkühlbare, spiegelnde Metallfläche (po-lierter Aluminiumblock), deren Temperaturgemessen und deren Bedeckung mit konden-siertem Wasserdampf beobachtet werdenkann. Zur Temperaturerniedrigung dient einHalbleiterkühlelement (Nutzung des Peltier-Effektes), das mit Hilfe eines Stromversor-gungsgerätes als Konstantstromquelle mit0,1...1 A betrieben wird. Die Temperaturmes-sung erfolgt mit einem Kupfer-Konstantan-Thermoelement, dessen Messstelle sich imAluminiumblock befindet und die Vergleichs-stelle bei 0°C in einem Eis-Wasser-Gemisch.Die Thermospannung wird mit der μV-Boxdes Sensor-Cassy gemessen und mit Hilfe desComputers registriert.Zur reproduzierbaren Beobachtung der Was-serdampf-Kondensation dient eine Reflex-lichtschranke mit Anzeige-LED und Relais-

32


ausgang. Das Relais der Lichtschranke er-möglicht eine einfache Temperaturregelungzum Erreichen des Taupunktes, indem es denKühlerstrom entsprechend der Betauung desSpiegels automatisch ein- und ausschaltet.

3.3 Das Taupunkthygrometer befindet sichzusammen mit einer Schale mit Wasser bzw.3 molarer CaCl2-Lösung unter einer Plastik-haube.


4.1 Die Schaltung wird entsprechend Abb. 1aufgebaut. Als Spannungsmesser dient dieμV-Box des Sensor-Cassy. Starten Sie dasProgramm CASSYLab-W12 erst, nachdemdas Messgerät mit Strom versorgt ist. AlleEinstellungen im Programm (Messbereich,Messintervall etc.) sind bereits richtig vorein-gestellt. Mit der Taste F9 oder Mausklick auf

wird die Aufzeichnung einer Messreihegestartet und auch wieder beendet.Das Isoliergefäß wird mit gestoßenem Eisund (nicht zuviel) Wasser gefüllt, das Becher-glas mit heißem Wasser. Die Vergleichs-Löt-stelle des verwendeten Thermoelements wirdin das Eis-Wasser-Gemisch getaucht. Zur Ka-librierung des Kupfer-Konstantan-Thermo-elementes wird eine Messreihe gestartet unddas Röhrchen mit Gallium in das heiße Was-ser getaucht. Bei einer Temperatur von T1 =29,76°C schmilzt das Gallium, so dass dieSpannungs-Zeit-Kurve einen Haltepunkt auf-weist, bis das gesamte Gallium geschmolzenist. Bringt man danach das Röhrchen in das

Becherglas mit dem Eis-Wasser-Gemisch, sozeigt der Spannungsverlauf bei T1 = 29,76°Cwieder einen Haltepunkt (evtl. erst nach einerUnterkühlung der Galliumschmelze). Ausdem Mittelwert der Haltepunkte beimSchmelzen und beim Erstarren des Galliumswird mit (1) der Seebeck-Koeffizient α desKupfer-Konstantan-Thermoelementes be-rechnet.

4.2 Die Versuchsanordnung ist entsprechendAbb. 2 aufzubauen. Die Vergleichs-Lötstelledes Thermoelements des Taupunkthygrome-ters muss sich im Eis-Wasser-Gemisch befin-den. Die Thermospannung wird wie unter 4.1mit Hilfe des Computers registriert. Der Schaltzustand der Lichtschranke wirddurch eine LED signalisiert. Die Komparator-schwelle wird so eingestellt, dass bei nichtbeschlagenem Spiegel gerade noch Reflexionangezeigt wird (LED leuchtet), bei beschla-genem Spiegel jedoch die LED erlischt. Die Stromversorgung des Kühlers wird ersteinige Zeit nach dem Start einer Messreihe inCassyLab eingeschaltet, um auch die Ther-mospannung bei Raumtemperatur zu regis-trieren. Ein geeigneter Kühlerstrom (maximal1 A) ist mittels Stromregler einzustellen. DieLED der Lichtschranke leuchtet. Wenn derTaupunkt unterschritten wird, erlischt dieLED und der Kühlerstrom wird durch das Re-lais unterbrochen. Die Temperatur im Tau-punkthygrometer steigt wieder; der Belag aufder Spiegelfläche verdampft, so dass die LEDwieder aufleuchtet und der Kühler automa-tisch wieder eingeschaltet wird. Auf diese

33


Weise ergeben sich „Regelschwingungen“um die Thermospannung, die dem Taupunktentspricht. Die Regelung funktioniert am bes-ten, wenn der Kühlerstrom so eingestelltwird, dass Abkühl- und Aufheizgeschwindig-keit etwa gleich sind. (Warum?) Es werdenetwa 10 Regelschwingungen aufgezeichnet.Nach Beendigung der Messung ist der Kühlerauszuschalten.Die Thermospannung am Taupunkt kanndurch Einzeichnen einer waagerechten Gera-de oder durch Mittelwertbildung im Pro-gramm CassyLab bestimmt werden.

4.3 Zum Nachweis des Raoultschen Geset-zes wird neben das Hygrometer eine Schalemit Wasser gestellt, dessen Temperatur gleichder Raumtemperatur ist. Hygrometer undWasserschale werden gemeinsam mit derPlastikhaube abgedeckt. Die Luftfeuchtigkeitunter der Haube wird nun langsam bis auf na-hezu 100 % ansteigen. Nach 20…30 minwird die Messung gestartet und der Kühler-strom eingeschaltet (günstig sind hier etwa0,1…0,3 A). Die Thermospannung wird so-lange aufgezeichnet, bis sich der Taupunktnicht mehr ändert (etwa 5 min). Der Versuch wird wiederholt, wobei dieSchale nun mit 3 molarer CaCl2-Lösung ge-füllt ist. Die o.g. Wartezeit ist wieder einzu-halten; die Messkurve wird in das selbe Dia-gramm geschrieben.Die Thermospannungen am Taupunkt werdenwie in 4.2 mit Hilfe von CassyLab bestimmt.

Die CaCl2-Lösung ist nach Versuchsende

wieder in die Flasche zurück zu füllen!

5 Auswertung

5.1 Das Messdiagramm UT(t) ist auszudru-cken. Der Seebeck-Koeffizient α des Kupfer-Konstantan-Thermoelementes ist nach Gl. (1)zu berechnen.

5.2 Das Messdiagramm UT(t) ist auszudru-cken. Die Raumtemperatur und der Taupunktsind aus UT zu ermitteln. Die relative Luft-feuchtigkeit fr wird nach (1) berechnet, wobei

die Sättigungsdampfdrücke der beiliegendenTabelle entnommen werden.

5.3 Die Taupunkte und die relativen Luft-feuchtigkeiten über Wasser und 3 molarerCaCl2-Lösung (Dichte: 1,25 g cm−3, Dissozia-tionsgrad 100%) werden wie unter 5.2 ermit-telt. Die durch Dampfdruckerniedrigung nachdem Raoultschen Gesetz zu erwartende Luft-feuchtigkeit über der CaCl2-Lösung ist mitHilfe Gl. (4) zu berechnen. Die gemessenenLuftfeuchtigkeiten sind mit den theoretischerwarteten Werten zu vergleichen.

Hilfe zur Berechnung des Molenbruches:mCaCl2 und mH2O sind die Massen, nCaCl2 undnH2O die Stoffmengen und MCaCl2 und MH2O

die Molmassen der CaCl2- und der H2O-Mo-leküle in V = 1 L Salzlösung. Dann ist dieDichte der Lösung

(6)

Daraus ergibt sich die Teilchenmenge des Lö-sungsmittels

. (7)

Wegen der Dissoziation von CaCl2 ist dieMenge der gelösten (von einander unabhän-gig beweglichen) Teilchen

. (8)

6 Literatur

Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experi-mentalphysik Bd.1 Mechanik, Akustik, Wär-me. de Gruyter, Berlin u.a., 2008



34


7 Kontrollfragen

7.1 Erklären Sie die Entstehung von Wetter-erscheinungen wie Regen, Nebel, Tau!

7.2 Wie funktioniert ein Thermoelement?

7.3 Bei welcher Temperatur siedet eine Salz-lösung (in Wasser)?

Spezifische Wärmekapazität von Flüssigkeiten W17

1 Aufgabenstellung

Die spezifische Wärmekapazität von Wasserist zu bestimmen.

2 Grundlagen

Lesen Sie zuerst die Grundlagen zum Ver-

such W6 !

Im durchzuführenden Versuch befindet sichin einem Kalorimeter mit der Wärmekapazi-tät CK Wasser der Masse m und der spezifi-schen Wärmekapazität c. Durch eine elektri-sche Heizung im Kalorimeter kann dem Was-ser definiert Wärme zugeführt werden.Gefäß und Wasser haben zunächst die Tempe-ratur T1. Wird die Heizung eingeschaltet, sowerden Kalorimeter und Wasser bis zur Tem-peratur T2 erwärmt. Dabei ist die von der Hei-zung in der Zeit t abgegebene Wärmemenge

, (5)

wobei U die Spannung und I die Stromstärkesind. Die vom Wasser aufgenommene Wär-memenge QW und die vom Kalorimeter auf-genommene Wärmemenge QK sind nach derEnergieerhaltung gleich Q (siehe Gl.(3) beiW6). Daraus ergibt sich für die spezifischeWärmekapazität c des Wassers:

(6)

3 Versuchsaufbau

Geräte:- Kalorimeter (vakuumisoliert) mit- elektrischer Heizung (ca. 10 Ω)- Digitalthermometer (Auflösung 0,01 K)- Laborwaage (Genauigkeit 0,1 g)- Stoppuhr- Magnetrührer, Magnetrührstäbchen- Stromversorgungsgerät (12 V, 2 A)- 2 Vielfachmessgeräte (analog)- Schalter- Verbindungskabel

Das Kalorimeter besteht aus einem doppel-wandigen Edelstahlgefäß und einem durch-sichtigen Deckel mit angestecktem Heizwi-derstand. Abb. 2 zeigt das Schaltbild für denAnschluss der Heizung.


Das Kalorimeter wird mit etwa 500 ml Was-ser gefüllt. Die Wassertemperatur sollte etwader Raumtemperatur entsprechen. Die Massedes Wassers m ist mit Hilfe der Waage zu be-stimmen.

35

Wärmelehre Spezifische Wärmekapazität von Flüssigkeiten W17

Die elektrische Schaltung wird entsprechendAbb. 2 aufgebaut. Die Schaltung ist einemAssistenten vor Inbetriebnahme vorzuführen.Der Rührer muss während des gesamten Ex-periments gleichmäßig laufen.Am Stromversorgungsgerät wird vor Beginnaller Messungen eine Spannung von 10 Veingestellt. Die Heizung muss hierzu zur Pro-be kurz eingeschaltet werden. VergewissernSie sich, dass Strom und Spannung korrektangezeigt werden, stellen Sie an den Messge-räten die richtigen Messbereiche ein undschalten Sie den Strom wieder aus. Zur Bestimmung der Temperaturen T1 und T2

soll der Temperaturverlauf im Kalorimeterwährend des gesamten Experiments fortlau-fend registriert werden. Mit Hilfe dieserMessdaten ist es möglich, den Wärmeaus-tausch zwischen Kalorimeter und Umgebungin der Auswertung zu berücksichtigen, so wiein Versuch W6 beschrieben.Messen Sie 30 min die Temperatur im Kalori-meter in Abständen von 1 Minute:

a) 10 min ohne Heizung (Vorperiode),

b) während einer Heizperiode von 10min und

c) 10 min nach Abschalten der Heizung(Nachperiode).

Achten Sie darauf, dass während der Heizpe-riode die Spannung U und der Strom I kon-stant bleiben und notieren Sie die Werte.

Nach Beendigung des Versuches bitte das

Kalorimeter ausleeren!

5 Auswertung

Zur Bestimmung der TemperaturdifferenzΔT = T2 − T1 muss ein Temperatur-Zeit-Dia-gramm entsprechend Abb.1 (Versuch W6) ge-zeichnet werden. Anschließend ist die spezifi-sche Wärmekapazität der Flüssigkeit nachGleichung (6) zu berechnen.

Die Wärmekapazität des Kalorimeters CK be-trägt (70 ± 8) J K−1.Berechnen Sie auch die Unsicherheit u(c) derermittelten Wärmekapazität mit Hilfe einerFehlerrechnung und vergleichen Sie Ihr Er-gebnis mit dem Tabellenwert!

Hilfe zur Fehlerrechnung: Noch im Praktikum werden die relativen Un-sicherheiten aller Messgrößen U, I, t, m undΔT ermittelt. Gleichung (6) lässt sich umfor-men in

.

Berechnen Sie zunächst die relativen Unsi-cherheiten der Terme A und B entsprechendGl.(9) im Abschnitt 2.3 des Kapitels „Fehler-rechnung und Statistik”. Anschließend be-rechnen Sie u(c) aus den (absoluten) Unsi-cherheiten von A und B entsprechend Gl.(7)in dem genannten Kapitel.

6 Literatur

Haas, U.; Physik für Pharmazeuten und Me-diziner. WVG Stuttgart, 2012

Trautwein, A., Kreibig, U., Oberhausen, E.:Physik für Mediziner. de Gruyter Berlin-NewYork 1987

Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experi-mentalphysik. de Gruyter Berlin-New York1990

7 Kontrollfragen

7.1 Erläutern Sie die Begriffe Wärmekapazi-tät, Wärmemenge, Temperatur, adiabatischerProzess, thermodynamisches Gleichgewicht!

7.2 Was besagen die Hauptsätze der Ther-modynamik?

7.3 Was muss bei der Temperaturmessungeines Objektes beachtet werden?

36

Wärmelehre Diffusion W25

Diffusion W25

1 Aufgabenstellung

Der Diffusionskoeffizient eines unbekanntenSalzes in Wasser soll bestimmt werden. Hier-für ist

1.1 die elektrische Leitfähigkeit zweier Salz-lösungen in Abhängigkeit von der Konzentra-tion zu messen (Erstellung von Kalibrierkur-ven),

1.2 die Apparatekonstante der Diffusionszel-le zu bestimmen durch Messung der Diffusi-on eines bekanntes Salzes (KCl),

1.3 der gesuchte Diffusionskoeffizient zu be-stimmen durch Wiederholung der Messungzu 1.2 mit dem unbekannten Salz.

2 Grundlagen

Diffusion ist eine Form des Massetransportsin Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen, derdurch die mikroskopische, ungeordnete Be-wegung der Teilchen (Brownsche Bewegung)hervorgerufen wird und so gerichtet ist, dasssich ein lokales räumliches Konzentrations-gefälle (Konzentrationsgradient) ausgleicht.Sie besitzt große Bedeutung in der zellulärenund organismischen Physiologie. In einemeinphasigen System bei konstanter Tempera-tur und dem Fehlen äußerer Kräfte sorgt dieDiffusion für eine gleichmäßige Konzentrati-on der Komponenten der Phase im gesamtenSystem.Diffusion durch eine semipermeable Wand(permeabel für das Lösungsmittel, nicht aberfür gelöste Stoffe) führt zur Osmose.Um den eindimensionalen Diffusionsvorgangquantitativ zu beschreiben, wird der Diffusi-onsfluss (auch Teilchenstrom) J definiert alsdie Stoffmenge, die netto pro Zeiteinheit inpositive x-Richtung durch eine senkrecht zudieser Richtung angeordnete Fläche A hin-durchtritt. Die Einheit des Diffusionsflussesist mol/s. Bezieht man den Diffusionsflussauf die Fläche A, so spricht man von dem

spezifischen Diffusionsfluss oder der Diffusi-onsstromdichte Φ = J/A.Der Diffusionsfluss ist im isothermen Fallproportional zur betrachteten Querschnittsflä-che A und zum Konzentrationsgradienten

(1. Ficksches Gesetz):

(1)

Dabei ist D der Diffusionskoeffizient (Ein-heit: m2 s−1), eine Materialkennzahl für dieBeweglichkeit der Teilchen in der Phase. Dasnegative Vorzeichen in (1) gibt an, dass derTeilchenfluss in Richtung abnehmender Kon-zentration verläuft. Der Diffusionskoeffizientist abhängig von der Temperatur, der Konzen-tration der Komponente und von der Art undKonzentration anderer Komponenten. Ernimmt mit steigender Temperatur (etwa expo-nentiell) zu.Als einfache Anwendung des 1. FickschenGesetzes soll die stationäre Diffusion zwi-schen zwei Lösungsräumen untersucht wer-den, die durch eine feinporige Wand der Di-cke s getrennt sind (Abb. 1). Wenn jeder derbeiden Lösungsräume gut durchmischt wird

37


(z.B. durch einen Rührer), kann man in jedemder beiden Räume eine ortsunabhängige Kon-zentration annehmen. Das gesamte Konzen-trationsgefälle erstreckt sich dann über diefeinporige Trennwand, in dieser ist

. (2)

Da bei der experimentellen Realisierung diebeiden Lösungsräume relativ groß sind unddie Bedingung cI ≫ cII während der gesamtenMesszeit erfüllt ist, vereinfacht sich (2) zu

(3)

und der Diffusionsfluss J wird entsprechendGl. (1) zeitlich konstant.Die Konzentration cII ergibt sich bei konstan-tem Zustrom von Ionen in den LösungsraumII mit dem Volumen V zu

(4)

Fasst man die gerätespezifischen Größen zueiner Apparatekonstanten

(5)

zusammen, so ergibt sich aus (4) mit (1), (3)und (5) die Konzentration cII im Lösungs-raum II als Funktion der Zeit:

(6)

Das ist eine lineare Funktion mit dem Anstieg

. (7)

Misst man cII in Abhängigkeit von der Zeit t,so kann also aus dem Anstieg der Messkurvebei bekannter Apparatekonstante β und Kon-zentration cI nach (7) der Diffusionskoeffizi-ent D bestimmt werden. Die Apparatekon-stante kann ebenso aus der Messung mit einerSubstanz mit bekanntem Diffusionskoeffizi-enten bestimmt werden.

Im 1. Fickschen Gesetz (Gleichung (1)) stehtder Gradient der Stoffmengenkonzentration(Molarität, Einheit mol/L). Da in (6) und (7)die Konzentration auf beiden Seiten der Glei-

chung steht, kann sie dort durch die Massen-konzentration (Einheit g/L) ersetzt werden.Damit ist es für die Bestimmung des Diffusi-onskoeffizienten nicht notwendig, die Mol-masse des gelösten Salzes zu kennen. ImWeiteren werden deshalb für alle Konzentra-tionsangaben Massenkonzentrationen in g/Lverwendet.

3 Versuchsaufbau

Geräte:- Einzelmesskammer- Doppelmesskammer- 2 Röhrchen (4 mL) für Stammlösungen- Leitfähigkeits-Messsonde mit Stativ- Generator 1 V, 130 Hz- Anschluss-Box mit Umschalter und Mess-

widerstand- Digitalmultimeter- Doppelmagnetrührer mit 2 Rührstäbchen- Pipette 100 μL, Pipettenspitzen- Mikrospatel, Pinzette- Stoppuhr- Laborwaagen 0,0001 g und 0,1 g- Messzylinder 250 mL

Die Ionenkonzentration der beiden Salzlösun-gen (Substanz A: KCl, Substanz B: unbe-kanntes Salz) wird mit Hilfe Messung elektri-schen Leitwertes bestimmt.Die Einzelmesskammer besitzt die gleichenMaße wie ein Teil der Doppelmesskammerund dient zur Kalibrierung der Konzentrati-onsmessung, d. h., zur experimentellen Be-stimmung des Zusammenhangs zwischenLeitwert und Konzentration.Die poröse Wand der Doppelmesskammerwird durch ein Zellulosenitrat-Filter mit0,2 μm Porengröße gebildet. Abb. 2 zeigt die Anordnung zur Messung derLeitwert-Konzentrationsabhängigkeit der Lö-sung. In die Messkammer wird eine Leitfä-higkeits-Messsonde, die aus zwei Elektrodenbesteht, eingetaucht.Mit Hilfe eines Voltmeters kann über einenMesswiderstand (R = 100 Ω; in die Anschluss-box eingebaut) der zwischen den Elektrodenfließende Strom I bestimmt werden. Dieser

38


ergibt sich aus der zu messenden SpannungUi nach dem Ohmschen Gesetz.Mit Hilfe eines Umschalters kann mit demselben Voltmeter auch die GeneratorspannungUz bestimmt werden. Aus diesen beidenSpannungsmessungen und dem bekanntenWert des Messwiderstandes lässt sich der zurjeweiligen Konzentration gehörende elektri-sche Leitwert der Lösung G(c) berechnen:

(8)


Bereiten Sie schon vor Beginn des Prakti-

kums die Tabellen für die Aufnahme der

Messwerte vor und berechnen Sie die Kon-

zentrationen der Messlösungen in g/l in

den einzelnen Schritten!

Für das Versuchsergebnis sind Sauberkeit derArbeitsgeräte und Reinheit der Lösungen vongroßer Bedeutung. Nach jedem Benutzensind deshalb die Messkammern zu reinigen!Zum Einwiegen der Substanzen stehen Waa-gen einer Auflösung von 0,1 mg zur Verfü-gung. Am einfachsten ist es, die Substanzendirekt in die (trockenen!) Glasröhrchen einzu-wiegen. Die Wassermenge von 220 mL kannwahlweise mit einer Waage (0,1 g Auflösung)oder mit einem Messzylinder abgemessenwerden.Achten Sie darauf, dass die Magnetrührer im-mer funktionieren!

4.1 Messung der Kalibrierkurven:

Sowohl für die KCl-Lösung als auch für dieLösung des unbekannten Salzes wird derLeitwert in Abhängigkeit von der Salzkon-zentration im Konzentrationsbereich von(0…0,5) g/L gemessen. Dazu sind von beiden Stoffen jeweils 3 mLeiner Stammlösung der Konzentration220 g/L herzustellen (Salz in ca. 2,5 mLdeionisiertem Wasser auflösen, dann mit derPipette auf 3 mL auffüllen). Die Einzelmesskammer ist mit 220 mL deio-nisiertem Wasser zu füllen. In 5 Schrittenwerden jeweils 100 μl der KCl-Stammlösungzur Messlösung hinzugegeben. Nach demKonzentrationsausgleich sind jeweils Ui undUz zu messen. Diese Prozedur ist mit dem un-bekannten Salz zu wiederholen.Es ist empfehlenswert, die Auswertung zudiesem Teilversuch sofort durchzuführen (sie-he 5.1), damit die Kalibrierkurven bereitswährend der Durchführung von 4.2 und 4.3zur Verfügung stehen.

4.2 Bestimmung der Apparatekonstante:

Beide Teile der Doppelmesskammer sind mitje 220 mL deionisiertem Wasser zu füllen.Zum Zeitpunkt t = 0 wird durch Zugabe vonKCl in Kammer I eine Konzentration von10 g/L eingestellt. Der Leitwert in Kammer IIist 15 min lang alle 3 min zu messen. DiePausen zwischen den Messungen sollten Sienutzen, um den Leitwert sofort zu berechnenund anhand der Kalibrierkurve die Konzen-tration zu bestimmen (siehe 5.2).

4.3 Messung des Diffusionskoeffizienten:

Die Messung erfolgt analog zu Punkt 4.2. Fürdas Salz mit dem unbekannten Diffusionsko-effizienten wird eine Ausgangskonzentrationin Kammer I von 20 g/L eingestellt.

5 Auswertung

5.1 Aus den gemessenen Spannungen Ui undUz ist der Leitwert der Lösungen nach Gl. (8)zu berechnen. Für beide Salze ist der Leitwertin Abhängigkeit von der Konzentration gra-phisch darzustellen.

39


5.2 Aus den gemessenen Spannungen Ui undUz ist nach Gl. (8) der Leitwert der Lösungim Kammer II zu berechnen. Mit Hilfe der in5.1 erstellten Kalibrierkurven sind aus denLeitwerten die Konzentrationen zu ermitteln.Die KCl-Konzentration in Kammer II ist inAbhängigkeit von der Zeit graphisch darzu-stellen. Mittels linearer Regression wird derAnstieg der Kurve bestimmt und aus diesemgemäß Gl. (7) die Apparatekonstante β be-rechnet.Der Diffusionskoeffizient von KCl beträgtD0 = 1,96 ∙10−9 m2 s−1 bei 25°C.

5.3 Die Konzentration des unbekannten Sal-zes in Kammer II ist wie in 5.2 zu ermittelnund in Abhängigkeit von der Zeit graphischdarzustellen. Mittels linearer Regression wirdder Anstieg der Kurve bestimmt und aus die-sem gemäß Gl. (7) der DiffusionskoeffizientD berechnet. Dabei ist die mit KCl ermittelteApparatekonstante β aus 5.2 einzusetzen.

6 Literatur


Adam, G., Läuger, P., Stark, G., Physikali-sche Chemie und Biophysik, Springer Berlin,1995

7 Kontrollfragen

7.1 Welcher Zusammenhang besteht zwi-schen der Diffusion und der Wärmeleitung?

7.2 Warum erfolgt die Messung des Leitwer-tes der Lösungen mit niederfrequentemWechselstrom?

7.3 Von welchen Größen hängt der Diffusi-onskoeffizient ab?

40

Elektrizitätslehre Innenwiderstand von Spannungsquellen E7

Innenwiderstand von Spannungsquellen E7

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Strom-Spannungs-Kennlinien ver-schiedener Gleichspannungsquellen sind auf-zunehmen.

1.2 Die Innenwiderstände dieser Spannungs-quellen sind zu bestimmen.

2 Grundlagen

Die Spannung UK an den Klemmen einer rea-len Spannungsquelle ist in der Regel nichtkonstant, sondern abhängig von der Stärkedes Stromes I, den die Quelle liefert. (Dane-ben gibt es natürlich noch weitere Einfluss-größen wie z.B. Temperatur, Ladezustand desAkkus oder Beleuchtungsstärke der Solar-zelle.) Die Spannung U0 der unbelasteten Span-nungsquelle (I = 0) nennt man Urspannungoder Leerlaufspannung (früher auch elektro-motorische Kraft, EMK). Jede Spannungs-quelle besitzt durch ihren inneren Aufbau ei-nen Innenwiderstand, den man in vielen Fäl-len näherungsweise als konstant ansehenkann. Abb. 1 zeigt das Ersatzschaltbild einerrealen Spannungsquelle: eine Reihenschal-tung der idealen Spannungsquelle U0 mit demInnenwiderstand Ri.

➝Mit dem Maschensatz ( Kirchhoffsche Ge-setze) folgt für den Stromkreis in Abb. 1:

(1)

Der Spannungsabfall am Lastwiderstand istgleich der Klemmenspannung:

(2)

Damit ergibt sich aus (1):

(3)

Für den Strom folgt aus (2) und (3):

(4)

Aus Gl. (3) ist zu erkennen, dass die Klem-menspannung linear mit der Strombelastungsinkt. Der Strom wird gemäß Gl. (4) durchden veränderlichen Lastwiderstand RL und dieEigenschaften der Spannungsquelle (U0, Ri)bestimmt. Die grafische Darstellung des Zu-sammenhangs zwischen Klemmenspannungund Strom wird als Strom-Spannungs-Kenn-linie bezeichnet. Abb. 2 zeigt eine solche Kennlinie für eineSpannungsquelle mit konstantem Innenwider-stand. Aus der Darstellung geht hervor, dassbei I = 0 die Klemmenspannung UK gleich derUrspannung U0 ist. Mit abnehmendem Last-widerstand RL steigt der Strom und die Klem-menspannung sinkt, bis der Spannungsabfallüber Ri den Wert der Urspannung erreicht hat.

41


Jetzt ist der Lastwiderstand Null und derSpannungsabfall am Innenwiderstand Ri istgleich der Urspannung U0. Diesen Fall nenntman Kurzschluss. Im Kurzschlussfall wirdUK Null und es fließt der maximal möglicheStrom, der Kurzschlussstrom IK.Derartige Kennlinien weisen zum BeispielBatterien (Primärelemente) und Akkumulato-ren (Sekundärelemente) auf, da sie einen rela-tiv konstanten Innenwiderstand besitzen. DieKennlinie einer Solarzelle ist nichtlinear, dasie keinen konstanten Innenwiderstand be-sitzt. (Solarzellen sind spezielle Halbleiterdi-oden, deren Physik im Rahmen dieses Expe-riments nicht näher betrachtet wird.)Zur Messung der Spannung U0 werden dieKlemmen der Spannungsquelle mit einemVoltmeter verbunden (Abb. 1: Voltmeter anStelle des Lastwiderstandes). In diesem Fallwird der Lastwiderstand RL durch den Innen-widerstand des Voltmeters gebildet. Die vomVoltmeter angezeigte Spannung UK kann un-ter Umständen signifikant kleiner sein als diezu messende Urspannung U0! Dies muss vorallem bei schwachen Spannungsquellen mitgroßen Innenwiderständen (z.B. Biopotentia-le, EKG-Signal) berücksichtigt werden.Wenn die Größenordnung von Ri bekannt ist,kann man meist ein geeignetes Spannungs-messverfahren bzw. Messgerät auswählen,bei dem RL ≫ Ri ist. Dann gilt I·Ri ≪ UK

bzw. UK ≈ U0, d. h. die Urspannung U0 wirdnahezu unverfälscht gemessen. Alternativkann man die Leerlaufspannung auch mitHilfe einer Kompensationsschaltung unmit-telbar bei I = 0 messen (siehe Versuch E10).Die von einer Spannungsquelle gelieferteelektrische Energie soll der Verbraucher (Wi-derstand RL) nutzen. Da der Verbraucher-oder Laststrom I aber auch durch die Span-nungsquelle fließt, nimmt diese (über den In-nenwiderstand Ri) einen Teil der am gesamtenUmsatz beteiligten Leistung auf. Die an denVerbraucher abgegebene Leistung

(5)

kann mit Hilfe der Gleichungen (2) und (4)umgeformt werden zu:

(6)

Analog gilt für die in der Spannungsquelleumgesetzte Leistung:

(7)

Die gesamte von der Spannungsquelle gelie-ferte Leistung ist damit:

(8)

Für den Wirkungsgrad η, das Verhältnis vonNutzleistung zur Gesamtleistung, folgt:

(9)

Nach Gleichung (9) steigt der Wirkungsgradmit wachsendem Verhältnis von RL zu Ri an.Um die Verluste innerhalb der Spannungs-quelle gering zu halten, sollte die BedingungRL ≫ Ri eingehalten werden, d.h. es muss inLeerlaufnähe gearbeitet werden. Diese Forde-rung gilt für Batterien und Akkus wegen de-ren endlicher Kapazität (entnehmbare La-dung), die üblicherweise in Ah (Amperestun-den) angegeben wird.Anders ist die Situation bei Solarzellen, dadie Sonne ja ständig Energie nachliefert. Hierbesteht das Ziel darin, der Quelle eine mög-lichst große Leistung zu entnehmen. DerStrom, für den die Leistung PL maximal wird,ergibt sich aus der Bedingung dPL/dI = 0. Aus(5) folgt sich unter der Berücksichtigung,dass UK von I abhängt und mit (2):

(10)

Die Nullstelle und somit die maximale Leis-tung ist bei

. (11)

Diesen Fall nennt man (Leistungs-)Anpas-sung. Bei linearer Strom-Spannungs-Kennli-nie (Ri ist konstant) ergibt sich für den Anpas-

42


sungsfall aus (11) und (3) die einfache Bezie-hung RL = Ri.

3 Versuchsaufbau

Geräte:- verschiedene Gleichspannungsquellen:

Alkali-Mangan-Batterie, Bleiakku, Solar-zellenmodul

- verschiedene Lastwiderstände:Schiebewiderstand 140 Ω, Drehwiderstand5 Ω, Dekadenwiderstände 1/10/100/1000 Ω

- 2 Digitalmultimeter- 1 Schalter- Verbindungsleitungen

3.1 Schaltungsaufbau:

Zur Aufnahme der Strom-Spannungs-Kennli-nie dient die Schaltung nach Abb.3. Als Span-nungsmesser wird ein Messgerät mit hohemEingangswiderstand verwendet, so dass dieSpannungsquelle bei geöffnetem Schalter nurmit einem vernachlässigbar kleinem Strombelastet wird.


Achtung!

Bleiakkus liefern sehr hohe Ströme. Durch

einen Kurzschluss können Kabel ver-

schmelzen! Falsch angeschlossene Messge-

räte können beschädigt werden! Lassen Sie

die Schaltung vor dem Anschließen der

Spannungsquellen kontrollieren!

Wenn die Urspannung des Akkus ≤ 1,96 Vund die der Batterie ≤ 1,4 V ist, dürfen sie

nicht mehr verwendet werden und müssenausgetauscht werden!Machen Sie sich zunächst mit der Funktions-weise der zu verwendenden Lastwiderständevertraut. Dazu stehen Ihnen die Multimeterzur Verfügung, mit denen Widerstände direktgemessen werden können.Die ungefähren Leerlaufspannungen U0 desBleiakkus und der Batterie stehen aufge-druckt an den Geräten. Damit diese beidenSpannungsquellen während der Messungnicht zu stark entladen werden, muss derStrom begrenzt werden auf 3 A für den Blei-akku und 200 mA für die Batterie. BerechnenSie aus diesen Werten die erforderlichenLastwiderstände RL und entscheiden Siedann, welche Widerstände Sie für die Batterieund den Akku verwenden wollen. Bauen Sie die Schaltung gemäß Abb. 2 auf.Stellen Sie die veränderlichen Widerständevor Beginn der Messung so ein, dass die ge-nannten Ströme in keinem Fall überschrittenwerden. Für die Kennlinie des Akkus werden mindes-tens 10 etwa äquidistante Messpunkte zwi-schen 0 und 3 A gewählt. Die dazugehörigenKlemmenspannungen UK sowie die Urspan-nung U0 (bei I = 0) sind zu messen.Für die Kennlinie der Batterie werden eben-falls mindestens 10 etwa äquidistante Mess-punkte zwischen 0 und 200 mA gewählt. Diedazugehörigen Klemmenspannungen UK unddie Urspannung U0 sind zu messen.

Das Solarzellenmodul darf (im Gegensatz zuBatterie und Akku) bis zum Kurzschluss be-lastet werden. Als Lastwiderstand werden dievier Dekadenwiderstände (0 … 10000 Ω)verwendet. Das Modul muss während der ge-samten Messzeit gleichmäßig beleuchtet wer-den, da U0 und Ri von der Beleuchtungsstärkeabhängen! Es ist die gesamte I-U-Kennlinie,d. h. von der Leerlaufspannung bis zumKurzschlussstrom, aufzunehmen. Dabei sol-len etwa 20, bezüglich der Stromstärke etwaäquidistante Punkte gemessen werden. Mes-sen Sie zuerst den Kurzschlussstrom und ent-scheiden Sie dann, bei welchen Stromstärkendie weiteren Messpunkte liegen sollen. Ne-

43


ben der Stromstärke I und der Klemmenspan-nung UK sind auch die Werte der zugehörigenLastwiderstände RL zu protokollieren.

5 Auswertung

Für alle Gleichspannungsquellen werden dieStrom-Spannungs-Kennlinien wie in Abb. 2grafisch dargestellt.Für die beiden galvanischen Spannungsquel-len sind die Innenwiderstände aus dem An-stieg der Regressionsgeraden in den grafi-schen Darstellungen zu ermitteln. Die lineare Regression ist wie im KapitelFehlerrechnung und Statistik, Abschnitt 3.1beschrieben durchzuführen. Durch Vergleichvon Gl. (10) und Abb. 2 dort mit Gl. (3) undAbb. 2 in dieser Versuchsanleitung sieht man,dass der Innenwiderstand Ri gleich dem nega-tiven Anstieg −b der Regressionsgerade ist.Aus dem Schnittpunkt der Geraden mit derOrdinate wird die Urspannung U0 bestimmtund dann aus diesen beiden Werten der Kurz-schlussstrom berechnet. Vergleichen Sie dieso bestimmte Urspannung mit dem gemesse-nen Wert! Wie ist die Genauigkeit des berech-neten Kurzschlussstromes zu bewerten?Für den Solarzellenmodul werden die Innen-widerstände anhand der Messpunkte nachGleichung (3) und die abgegebene LeistungPL nach (5) berechnet. Der InnenwiderstandRi, der Lastwiderstand RL sowie die LeistungPL sind in Abhängigkeit vom Strom grafisch

darzustellen. Zeichnen Sie alle drei Kurven inein Diagramm (linke y-Achse: Widerstand,rechte y-Achse: Leistung) und diskutieren Siedie Lage des Maximums der Leistungskurve!

6 Literatur

W. Schenk, F. Kremer: Physikalisches Prakti-kum. Springer, 2014


Kamke, W.; Walcher, W.: Physik für Medizi-ner, B.G. Teubner, Stuttgart 1994

7 Kontrollfragen

7.1 Erklären Sie den Unterschied zwischender Klemmenspannung und der Urspannungeiner Spannungsquelle!

7.2 Erläutern Sie das Ersatzschaltbild einerSpannungsquelle!

7.3 Erläutern Sie die Begriffe Leerlauf,Kurzschluss und Anpassung!

7.4 Sie haben die Aufgabe, mit einem Volt-meter die Urspannung einer Spannungsquel-le mit dem Innenwiderstand Ri = 500 kΩ zubestimmen. Wie groß muss der Innenwider-stand des Messgerätes mindestens sein, damitder Messwert um nicht mehr als 1% vomwahren Wert abweicht?

44

Elektrizitätslehre Leitfähigkeit von Elektrolyten E8

Leitfähigkeit von Elektrolyten E8

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Zellenkonstante Κ einer elektrolyti-schen Zelle ist zu bestimmen.

1.2 KCl-Lösungen verschiedener Konzentra-tion sind herzustellen und ihre elektrischeLeitfähigkeit σ ist zu bestimmen.

1.3 Die molare Leitfähigkeit Λ der Lösun-gen ist zu berechnen.

2 Grundlagen

2.1 Für eine genaue Widerstandsmessungund für die Bestimmung von kleinen Wider-ständen werden häufig Brückenschaltungenverwendet. Die Grundschaltung jeder Mess-brücke ist die Wheatstone-Brücke (Abb. 1). Zwischen den Punkten A und B sowie zwi-schen C und D liegt die Spannung U an.Ohne Galvanometer zwischen den Mess-punkten E und F wird das Potential in diesenPunkten durch die Verhältnisse R1 : RX sowieR3 : R4 bestimmt (Spannungsteiler zwischenA und B sowie zwischen C und D).Besteht zwischen E und F kein Potentialun-terschied, so sagt man, Brücke ist abgegli-chen. Über das Galvanometer (ein hochemp-findliches Amperemeter) wird dann keinStrom fließen. In diesem Fall muss die fol-gende Bedingung erfüllt sein:

(1)

Wenn zwischen E und F ein Potentialunter-schied besteht, so fließt über das Galvanome-ter ein Strom. Das Prinzip der Brückenmes-sung besteht darin, durch Änderung der be-kannten Widerstände R1, R3 und R4 den abge-glichenen Zustand der Brücke zu finden. DieGröße des unbekannten Widerstandes RX lässtsich dann nach (1) berechnen. Soll eine Messbrücke mit Wechselstrom be-trieben werden, so ist eine mögliche Phasen-verschiebung zwischen Strom und Spannung

zu berücksichtigen. Für den Brückenabgleichmüssen in diesem Fall Betrag und Phase derSpannung zwischen E und F abgeglichenwerden. Zu diesem Zweck wird die einfacheWheatstone-Schaltung durch eine zusätzlicheKapazität ergänzt, siehe VersuchsschaltungAbb. 2.Da die elektrolytische Zelle neben dem Wi-derstand RX auch eine Kapazität CX besitzt,müssen für den Abgleich der Brücke zweiBedingungen erfüllt sein: der Amplitudenab-gleich (1) und der Phasenabgleich

(2)

(1) und (2) gelten gleichzeitig, wenn die Brü-cke vollständig abgeglichen ist.Die Brückenschaltung in Abb. 1 wird alsWien-Brücke bezeichnet. Sie kann nach Gl.(2) auch zur Messung von Kapazitäten einge-setzt werden.

2.2 Der elektrische Widerstand eines Leitersmit der Länge l und dem Querschnitt A ist

(3)

er wird neben den geometrischen Größen lund A durch eine Materialkonstante, den spe-zifischen elektrischen Widerstand ρ (griechi-sches rho) bestimmt. Der Kehrwert des elek-trischen Widerstandes G = 1/R heißt elektri-scher Leitwert, seine SI-Einheit ist das Sie-mens: [G] = 1/Ω = S. Analog zu (3) schreibt

45


man

. (4)

σ = 1/ρ heißt spezifische elektrische Leitfä-higkeit und hat die Einheit [σ] = S/m. Die An-gabe eines Leitwertes ist insbesondere beielektrisch leitenden Flüssigkeiten üblich.

Elektrolyte sind elektrisch leitende Flüssig-keiten, bei denen der Ladungstransport durchIonen der Ladung z ∙e erfolgt (z: Wertigkeit,Ladungszahl). In einem elektrischen Feld E wirkt auf die Io-nen die Kraft FE = z ∙e ∙E . Bei ihrer Bewe-gung in der viskosen Flüssigkeit erfahren siezudem eine zu ihrer Geschwindigkeit propor-tionale Reibungskraft FR (Stokesche Rei-bung, siehe Versuch M14). Im Resultat be-wegen sich die Ionen in Richtung des elektri-schen Feldes mit der konstanten Geschwin-digkeit

. (5)

Die Größe µ = v/E heißt Beweglichkeit. Siewird durch die Viskosität des Lösungsmittelsund die Größe der Ionen bestimmt. Sie hängtdaher von den beteiligten Stoffen ab undwächst mit zunehmender Temperatur.Mit der Beweglichkeit µ ergibt sich für dieelektrische Leitfähigkeit:

(6)

(n = c⋅NA: Teilchenkonzentration, c: Stoff-mengenkonzentration, NA: Avogadrozahl).Die elektrische Leitfähigkeit wird also be-stimmt durch die Konzentration der Ionen,ihre Ladung z∙e und ihre Beweglichkeit.

Bei genauerer Betrachtung muss berücksichtigt wer-den, dass Anionen (+) und Kationen (−) im Allge-meinen unterschiedliche Beweglichkeiten, Ladun-gen und Konzentrationen besitzen. Aus Gl. (6) wirddann σ = e ∙ (n+∙ z+∙ µ+ + n−∙ z−∙ µ−) .

Die Leitfähigkeit von Elektrolyten steigt mitder Temperatur (wegen µ) und mit der Ionen-konzentration an. In stark verdünnten Salzlö-sungen ist die elektrische Leitfähigkeit zurKonzentration proportional.

Die molare Leitfähigkeit ist definiert als

, (7)

ihre SI-Einheit ist S∙m2/mol. c hat die Einheitmol/m3, meist wird jedoch mol/L verwendet.Λ ist nicht konzentrationsunabhängig, wieman vielleicht erwarten könnte. Bei schwa-chen Elektrolyten wird die Ionenkonzentrati-on n in (6) durch den konzentrationsabhängi-gen Dissoziationsgrad α beeinflusst. Bei star-ken Elektrolyten (wie NaCl und KCl in die-sem Versuch) gilt immer α = 1. Hier hängtaber die Beweglichkeit µ in (6) von der Kon-zentration ab. Durch elektrostatische Wech-selwirkung behindern sich die wanderndenIonen gegenseitig, wodurch ihre Beweglich-keit und damit die molare Leitfähigkeit mitzunehmender Konzentration abnimmt. Beisehr starker Verdünnung (große Abständezwischen den Ionen) ist die Wechselwirkungvernachlässigbar. Die molare Leitfähigkeit istdann von der Konzentration unabhängig undwird als molare Grenzleitfähigkeit Λ0 be-zeichnet.

2.3 Eine elektrolytische Zelle, die mit einemElektrolyten gefüllt ist, hat den elektrischenWiderstand R. Für den elektrischen LeitwertG der Zelle schreibt man

. (8)

In dieser Gleichung wurden gegenüber Gl.(4) die Größen A und l zur Zellkonstanten Kzusammengefasst. Ihre Einheit ist [K] = 1/m.Die Zellkonstante K wird nur vom Aufbau(Größe und Form) der elektrolytischen Zellebestimmt, während die elektrische Leitfähig-keit σ nur von der Art des gelösten Stoffes,seiner Konzentration und von der Temperaturabhängt. Zur Bestimmung der elektrischen Leitfähig-keit σ wird der Widerstand RX der elektrolyti-schen Zelle gemessen. Aus (8) ergibt sich

. (9)

Die Zellkonstante Κ wird durch Messung ei-nes Elektrolyten bekannter Leitfähigkeit (hiergesättigte NaCl-Lösung) bestimmt.

46


Die Leitfähigkeit von Elektrolyten mussgrundsätzlich mit Wechselstrom gemessenwerden, damit das Messergebnis nicht durchdie Elektrodenpolarisation verfälscht wird.Die Widerstände RX der gefüllten elektrolyti-schen Zelle werden deshalb mit Hilfe einerWechselstrombrücke Abb. 2 ermittelt.

3 Versuchsaufbau

Geräte:- elektrolytische Zelle mit Halterung- Sinus-Generator 1 kHz 1...6 V- Vielfachmesser- Widerstandsdekaden 0,1 Ω - 1 MΩ (1 %)- Kapazitätsdekaden 0,1 nF - 10 µF (5 %)- 2 Festwiderstände 100 Ω (0,2 %)- Thermometer- Flasche mit NaCl-Lösung- Flasche mit KCl- Analysenwaage, Wägeschälchen - 3 Messzylinder 100 mL, 25 mL, 10 mL- Becherglas, Trichter, Spatel, Glasstab

Abb. 2 zeigt den Schaltungsaufbau. Als Span-nungsquelle dient ein Sinus-Generator mitder festen Frequenz 1 kHz und einer Span-nung von Ueff = 2 V. Für R3 und R4 werdendie beiden Festwiderstände mit je 100 Ω, fürR1 die Widerstandsdekade und für C1 dieKapazitätsdekade verwendet. Zur Anzeigedes Brückenstromes dient ein empfindlicherVielfachmesser mit veränderlichen Messbe-reichen.


Die Brückenschaltung ist nach Abb. 2 aufzu-bauen. Der Generator soll während des Versuchesnicht ausgeschaltet werden, weil Gleichspan-nungsspitzen beim Ein- und Ausschaltendurch Elektrodenpolarisation zu leicht ver-fälschten Messwerten führen können.

4.1 Bestimmung der Zellkonstante:Am Vielfachmesser wird zunächst ein un-empfindlicher Messbereich (etwa 100 mA)eingestellt. Generator und Vielfachmessersind einzuschalten. Die elektrolytische Zellewird mit der gesättigten NaCl-Lösung gefüllt,die Temperatur T der Lösung wird gemessen.Nun werden der Widerstand R1 und die Kapa-zität C1 abwechselnd verändert, bis der Brü-ckenstrom ein Minimum erreicht, wobei dieMessbereiche am Vielfachmesser immerempfindlicher geschaltet werden. Wenn dieBrücke abgeglichen ist, sollte der Brücken-strom kleiner als 2 μA sein. Der dazugehörigeWiderstand R1 = RX (folgt aus Gl. (1), wennR3 = R4) ist abzulesen und zu protokollieren.

Achtung! Nach jeder Widerstandsmessung

muss am Vielfachmesser wieder ein un-

empfindlicher Messbereich eingestellt wer-

den, damit beim Wechsel der Elektrolyte

das Messgerät nicht überlastet wird.

4.2 Bestimmung der elektrischen Leitfähig-keit von KCl-Lösungen der Konzentration1 mol/L; 0,5; 0,2; 0,1; 0,05 und 0,02 mol/L:Zunächst werden 100 mL KCl-Lösung derKonzentration c = 1 mol/L hergestellt. Diemolare Masse von KCl beträgt 74,55 g/mol.Die erforderliche Menge KCl ist abzuwiegenund im Messzylinder in etwa 90 mL deioni-siertem Wasser aufzulösen (Rühren mitGlasstab). Danach wird die Lösung mit deio-nisiertem Wasser auf 100 mL aufgefüllt.Die elektrolytische Zelle ist mit dieser Lö-sung zu füllen, die Temperatur und der Wi-derstand werden wie oben beschrieben ge-messen.Anschließend wird die KCl-Lösung zur wei-teren Verwendung in einem Becherglas auf-bewahrt; die Reste können nach Abschluss

47


des Versuches entsorgt werden.Je 100 mL KCl-Lösung der Konzentration0,5; 0,2; 0,1; 0,05 und 0,02 mol/L werdendurch Verdünnung eines Teils der 1 mol/L-KCl-Lösung aus dem Becherglas hergestellt.Der Widerstand und die Temperatur dieserLösungen in der elektrolytischen Zelle wer-den gemessen. Anschließend sind die Lösun-gen zu verwerfen.Alle gemessenen Werte sind übersichtlich ta-bellarisch zu erfassen.

Hinweis:

Es muss sauber gearbeitet werden. Die elek-trolytische Zelle und die Elektroden sind beijedem Umfüllen sorgfältig zu spülen.Die gesättigte NaCl-Lösung wird nach derMessung in die Vorratsflasche zurückgegos-sen.

5 Auswertung

5.1 Die Zellenkonstante K ist mittels (9) zuberechnen. Die elektrische Leitfähigkeit σ dergesättigten NaCl-Lösung ist anhand der ge-messenen Temperatur T einer Tabelle zu ent-nehmen.

5.2 Die elektrischen Leitfähigkeiten σ derKCl-Lösungen werden nach Gl. (9), die mo-laren Leitfähigkeiten Λ nach (7) berechnet.Beide sind in Abhängigkeit von der Konzen-tration c der KCl-Lösung grafisch darzustel-len und zu diskutieren.

6 Literatur

Wedler, G. und Freund, H-J.: Lehrbuch derPhysikalischen Chemie. Wiley-VCH, 2012


7 Kontrollfragen

7.1 Erläutern Sie das Prinzip der Wider-standsmessung mit einer Brückenschaltung!

7.2 Welche Größen bestimmen die elektri-sche Leitfähigkeit und wie hängt sie von derTemperatur ab?

7.3 Wie wird die molare Leitfähigkeit defi-niert und wovon hängt sie ab?

Thermospannung E10

1 Aufgabenstellung

Der SEEBECK-Koeffizient eines Thermoele-mentes ist mit Hilfe einer Kompensationsme-thode zu bestimmen.

2 Grundlagen

2.1 Thermoelement: In einem (isolierten)elektrischen Leiter wird durch einen Tempe-raturgradienten eine elektrische Potentialdif-ferenz erzeugt (absoluter Seebeck-Effekt), diejedoch nicht unmittelbar messbar ist. Verein-facht gesehen, verhalten sich die Ladungsträ-ger im Leiter wie die Teilchen eines idealenGases: Ladungsträger von der wärmeren Sei-

te mit höherer kinetischer Energie diffundie-ren schneller zur kalten Seite als umgekehrt;auf diese Weise entsteht auf der kalten Seiteein Überschuss an Ladungsträgern, der durchdie entstehende Potentialdifferenz begrenzt

48

Elektrizitätslehre Thermospannung E10

wird.Verbindet man zwei verschiedene Leiter zueinem Stromkreis (Abb. 1) und bringt die bei-den Kontaktstellen auf verschiedene Tempe-raturen T0 und T1, so entstehen in den beidenLeitern unterschiedliche innere Potentiale.Zwischen den Punkten A und B tritt die Dif-ferenz der beiden Potentiale auf, die soge-nannte Thermospannung. Dies wird als See-beck-Effekt bezeichnet.(Damit wirklich nur die durch Cu und Kon-stantan erzeugte Thermospannung gemessenwird, müssen alle anderen Verbindungen zwi-schen verschiedenen Leitern im Stromkreis,also die Punkte A und B und das Messgerät,isotherm sein.) In vielen älteren Lehrbüchern wird die Ther-mospannung falsch als „Kontaktspannung“erklärt. Dies ist nicht richtig! (siehe Literatur-hinweis) Die Thermospannung UT ist näherungsweiseproportional zur Temperaturdifferenz ΔT =T1 − T0 :

(1)

Der Koeffizient α heißt Thermokraft oderSeebeckkoeffizient und ist von beiden Mate-rialien abhängig.Thermoelemente werden häufig zur Tempera-turmessung verwendet. Sie sind preiswert,schnell (kleine Wärmekapazität) und bietenden Vorteil, dass sich die Thermospannungenunmittelbar als Eingangssignale für Compu-ter, Steuer- und Regelgeräte nutzen lassen.

2.2 Kompensationsschaltung: Die Messungder Urspannung einer Spannungsquelle istnur möglich, wenn der Quelle dabei keinStrom entnommen wird (siehe Versuch E7).Stromlose Spannungsmessungen lassen sichmit Hilfe einer Kompensationsschaltung vor-nehmen (Abb. 2). Hierzu werden neben der zu messendenSpannungsquelle U0 eine Hilfsspannungs-quelle Uh (genau bekannte Spannung, gerin-ger Innenwiderstand), ein Spannungsteiler(bestehend aus den Teilwiderständen R1 undR2) und ein Galvanometer (hochempfindli-ches Amperemeter, Nullinstrument) benötigt.

Wird jetzt durch Veränderung des Verhältnis-ses zwischen R1 und R2 erreicht, dass derSpannungsabfall über R1 gleich der SpannungU0 ist, so wird der Spannungsquelle U0 keinStrom entnommen.Für die beiden Maschen in der Schaltung inAbb. 2 gilt in diesem Fall nach der Kirchhoff-schen Regel:

(2)

Mit Hilfe des Galvanometers kann die Kom-pensationsschaltung genau abgeglichen wer-den; U0 wird dann nach (2) berechnet.

3 Versuchsaufbau

Geräte:- Halterung mit Thermoelement- Heizplatte mit Magnetrührer, Rührstäbchen- Isoliergefäß- kleiner Topf- Digitalthermometer- Stöpselwiderstand (Genauigkeit: 0,1 %)- elektron. Galvanometer (Nullinstrument)- Akkumulator- Digitalmultimeter (Spannungsmesser)- Verbindungsleitungen

Zur Bestimmung der Thermospannungen UT

wird eine Kompensationsschaltung nach Abb.3 verwendet. Die linke Lötstelle des Thermo-elementes wird mit Hilfe eines Eis-Wasser-Gemisches im Isoliergefäß auf der konstantenTemperatur T0 = 0°C gehalten; die Tempera-

49


tur der rechten Lötstelle T1 kann durch die Er-wärmung des Wasserbades (im Topf) verän-dert werden. Für T1 − T0 = ΔT ≠ 0 entstehteine Thermospannung UT .Die Widerstände R (Gesamtwiderstand) undR1 (ein kleiner Teilwiderstand von R) werdendurch den Präzisions-Stöpselwiderstand ge-bildet. Dieser besteht aus einer Reihenschal-tung von vielen Einzelwiderständen (0,1 Ω;0,2 Ω; 0,5 Ω; 1 Ω; ... ; 50 000 Ω). Durch Ein-stecken von Metallstöpseln kann man jedenEinzelwiderstand kurzschließen und damitden Gesamtwiderstand R verändern. Außer-dem kann mit Hilfe zweier Abgriffstöpselüber einem beliebigen, genau definiertenTeilwiderstand R1 eine Spannung abgegriffenwerden.Der Stöpselwiderstand ist an einen Akku mitder (Hilfs-) Spannung Uh angeschlossen, esfließt ein Strom Ih :

(3)

Uh wird mit einem genauen Voltmeter gemes-sen. Der Spannungsabfall U1 am WiderstandR1 zwischen den verstellbaren Abgriffspitzen(Abb. 3) beträgt

. (4)

Mit dieser (Gegen-) Spannung U1 kann dieThermospannung UT kompensiert werden: Esist U1 = UT , wenn der vom Galvanometer Gangezeigte Thermostrom IT gleich Null ist.


Achtung! Bevor der Akku an den Stöpselwi-derstand angeschlossen wird, muss die Schal-tung vom Betreuer überprüft werden! BeimAuf- und Abbau des Versuches sowie beimMessen darf das Galvanometer nicht überlas-tet werden! Bauen Sie die Schaltung nach Abb. 3 auf.Der Gesamtwiderstand R des Stöpselwider-standes ist durch Einstecken von Stöpseln soeinzurichten, dass der Strom Ih etwa 0,05 mAbeträgt. Dazu ist R mit Hilfe der aufgedruck-ten Akku-Spannung Uh zu berechnen. Das Isoliergefäß ist mit einer Eis-Wasser-Mi-schung zu füllen, so dass die linke Lötstelleeine Temperatur von T0 = 0°C annimmt. DerTopf ist mit Wasser von ca. 5°C zu füllen (et-was Eis hinzugeben). Die Spannung Uh ist zu messen; Uh und derGesamtwiderstand R sind zu protokollieren!Der Widerstand R1 zwischen den Abgriffstöp-seln wird so gewählt, dass am GalvanometerG ein negativer Ausschlag entsteht, d.h.U1 > UT . Erwärmt man dann das Wasserbad langsamunter ständigem Rühren, so steigt T1 und da-mit die Thermospannung UT . Wenn IT = 0 ist(Nulldurchgang am Galvanometer), istUT = U1. In diesem Moment ist die Tempera-tur T1 abzulesen. Danach wird die Gegen-spannung U1 mit Hilfe von R1 wieder erhöht(Linksausschlag am Galvanometer). Die weitere Erwärmung führt erneut zu IT = 0(also UT = U1), wobei beim Nulldurchgangdes Zeigers am Galvanometer wieder dieTemperatur T1 gemessen wird. Dieses Verfah-ren wird bis zur Siedetemperatur fortgesetzt. Zur Einstellung der Gegenspannungen U1

empfiehlt es sich, folgende Widerstandswertefür R1 zu wählen: 5Ω, 10Ω, 15Ω, 20Ω, …

5 Auswertung

Für alle Messpunkte wird die Thermospan-nung UT = U1 nach (4) berechnet und in Ab-hängigkeit von der Temperatur T1 grafischdargestellt.

50

Abb. 3: Versuchsaufbau


Aus der grafischen Darstellung ist die Ther-mokraft (der Seebeckkoeffizient) α durch li-neare Regression zu ermitteln. VergleichenSie das Ergebnis mit Literaturwerten! Wurden die Messungen sehr sorgfältig durch-geführt, so sollte aus der Grafik zu erkennensein, dass die Thermospannung nicht exakt li-near mit der Temperatur ansteigt. Passen Sieeine Parabel oder einen Polynom höherenGrades an die Messwerte an und berechnenSie den Seebeckkoeffizient als Funktion derTemperatur durch Differenzieren:

(5)

Stellen Sie α als Funktion der Temperaturgrafisch dar.

6 Literatur

Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experi-mentalphysik Bd.2 Elektromagnetismus. deGruyter, Berlin u.a., 2008

http://www.uni-konstanz.de/FuF/Physik/Jaeckle/papers/thermospannung/

7 Kontrollfragen

7.1 Wie entsteht eine Thermospannung?

7.2 Welche Vorteile hat ein Thermoelementverglichen mit anderen Temperaturmessver-fahren?

7.3 Warum verwendet man zur Messung derThermospannung eine Kompensationsschal-tung?

Fadenstrahlrohr E28

1 Aufgabenstellung

Die spezifische Ladung e/m des Elektrons istmit Hilfe des Fadenstrahlrohres zu bestim-men.

2 Grundlagen

Unter der spezifischen Ladung eines Elek-trons versteht man das Verhältnis der Ladunge des Elektrons (Elementarladung) zu seinerMasse m. Dieses Verhältnis e/m kann aus derAblenkung von Elektronenstrahlen im ma-gnetischen Feld bestimmt werden. Da sichdie Elementarladung mit Hilfe des MILLIKAN-Versuches messen lässt, kann somit die Mas-se des Elektrons bestimmt werden.Im Fadenstrahlrohr (Abb. 1) geht von der Ka-thode durch Glühemission ein Elektronen-strahl (Fadenstrahl) aus. Die Elektronen wer-den in einem elektrischen Feld zwischen Ka-thode und Anode beschleunigt, so dass sienach dem Durchgang durch ein Loch in derAnode die Geschwindigkeit v haben. Ausdem Energieerhaltungssatz folgt:

, (1)

wobei U die an die Anode angelegte Span-nung ist. Ist die Bewegungsrichtung der Elek-tronen senkrecht zur Richtung eines homoge-nen Magnetfeldes, das von einem Helmholtz-Spulenpaar erzeugt wird, so werden die Elek-tronen durch die Lorenzkraft

(2)

auf eine Kreisbahn mit dem Radius r abge-lenkt. B ist die magnetische Induktion desFeldes. Die Lorenzkraft steht senkrecht zurBewegungsrichtung, so dass zwischen ihrund der Zentrifugalkraft Gleichgewicht be-steht:

(3)

Aus den Gleichungen (1) und (3) folgt

. (4)

51

Elektrizitätslehre Fadenstrahlrohr E28

Unter einem Helmholtz-Spulenpaar verstehtman eine Anordnung von zwei kurzen dün-nen Spulen, deren Abstand etwa gleich ihremRadius ist. Im Inneren ist das Magnetfeldweitgehend homogen. Die Induktion in derMitte zwischen den Spulen beträgt

. (5)

Dabei bedeuten: μ0 die magnetische Feld-konstante (Induktionskonstante), N die Win-dungszahl der Spulen, I der Strom durch dieSpulen, R der mittlere Radius der Spulen undA der mittlere Abstand zwischen den beidenSpulen.Für A = R wird aus (5)

. (6)

Die Bahn der Elektronen ist im Fadenstrahl-rohr sichtbar, weil die Röhre eine kleineMenge Neon enthält (ca. 1,3 Pa). Die Elek-tronen stoßen mit den Gasatomen zusammenund regen diese zur Lichtaussendung an.

3 Versuchsaufbau

Geräte:- Fadenstrahlrohr mit Sockel- HELMHOLTZ-Spulenpaar (Windungszahl

N = 124, Drahtstärke d = 1,5 mm, mittlererSpulenradius R ≈ 148 mm, mittlerer Ab-stand A ≈ 150 mm)

- Röhren-Stromversorgungsgerät- Stromversorgungsgerät für Helmholtz-Spu-

len (30 V, 5 A)- 2 Vielfachmessgeräte- Sicherheits-Messleitungen- Messleitungen- Teslameter mit Hallsonde

Zwischen den beiden HELMHOLTZ-Spulen be-findet sich das Fadenstrahlrohr, das auf einGehäuse mit Fassung aufgesteckt ist. DasElektrodensystem des Fadenstrahlrohres (sie-he Abb. 1) besteht aus einer indirekt beheiz-ten Oxidkathode, einem Wehneltzylinder zur

Abschirmung und Strahlfokussierung undeiner mit einem Loch versehenen Anode.Über dem Elektrodensystem befinden sich inAbständen von jeweils 20 mm Markierungenzur genauen Einstellung des Kreisdurchmes-sers des Elektronenstrahles. Heizspannung (+6…11V), Wehneltspannung(0…-30V) und Anodenspannung (0…+500V)für das Fadenstrahlrohr werden entsprechendAbb. 1 dem Röhren-Stromversorgungsgerätentnommen. Die Helmholzspulen werden mit0…5 A Gleichstrom betrieben. Die Hallsondedient zur Messung der Stärke und Homogeni-tät des Magnetfeldes.


Das Fadenstrahlrohr ist teuer, gehen Sie

vorsichtig damit um!

Die Beschleunigunsspannung (max. 500 V,

50 mA) ist berührungsgefährlich! Für alle

Anschlüsse an das Röhren-Stromversor-

gungsgerät sind daher Sicherheitsleitungen

zu verwenden!

52

Elektrizitätslehre Fadenstrahlrohr E28

4.1 In einem Vorversuch sollen zunächst dieStärke des Magnetfeldes in Abhängigkeitvom Strom und seine Homogenität gemessenwerden.Die beiden Magnetspulen werden in Reihe andas Netzgerät 30V/5A angeschlossen. AchtenSie auf gleiche Stromrichtung in den Spulen!Zur Strommessung wird ein Vielfachmesserverwendet, da dieser genauer ist als die An-zeige des Netzgerätes.Messen Sie mit Hilfe der Hallsonde das Ma-gnetfeld in der Mitte zwischen den Helm-holtzspulen in Abhängigkeit vom Strom fürI = 0…5 A (etwa 10 Messpunkte). Der Sen-sorchip muss dabei genau senkrecht zum Ma-gnetfeld gerichtet sein (nach Augenmaß).Klemmen Sie ein Lineal senkrecht in der Mit-te zwischen den Spulen fest und messen Siebei I = 3 A das Magnetfeld im Bereich vonetwa 12 cm unter bis 12 cm über der Mitteder Spulenanordnung alle 2 cm.Bestimmen Sie außerdem den Abstand A undden Durchmesser 2R beider Helmholtzspulenan wenigstens drei verschiedenen Stellen.(Gl. (5) gilt für Spulen mit vernachlässigba-rem Querschnitt, es ist also von Mitte bisMitte der Wicklungen zu messen!).

4.2 Das Fadenstrahlrohr wird zwischen dieMagnetspulen gestellt und entsprechend Abb.1 angeschlossen. Anodenspannung, Spulenstrom und Heiz-spannung sind so einzurichten, dass ein kreis-förmiger Elektronenstrahl sichtbar wird, dermit Hilfe der Wehneltspannung fokussiertwird. (Der Heizstrom wird durch eine Siche-rung abgeschaltet, wenn der auf dem Röhren-sockel notierte Schwellwert überschrittenwird.)Für die Beschleunigungsspannungen U =150 V, 200, 300 V und 400 V sind jeweils dieKreisdurchmesser 2r = 40 mm, 60 mm, 80mm und 100 mm einzustellen und der zuge-

hörige Magnetstrom ist zu messen.

5 Auswertung

5.1 Aus Gleichung (4) bzw. (5) folgt

. (7)

Die Konstante K ist aus den gemessenen Wer-ten für R und A zu berechnen.Die Magnetflussdichte B ist in Abhängigkeitvom Strom I grafisch darzustellen. Bestim-men Sie K als Anstieg der Kurve und verglei-chen Sie diesen Wert mit dem aus der Spulen-geometrie berechneten Wert.Zeichnen Sie die Ortsabhängigkeit des Ma-gnetfeldes in radialer Richtung, indem Sie dieGröße B(x)/B(x=0) in Prozent grafisch dar-stellen.

5.2 Für alle Messungen ist die Magnetfluss-dichte B aus dem Spulenstrom zu berechnenund e/m nach Gl. (4) zu bestimmen. Als Ergebnis ist der Mittelwert aus allen Ein-zelmessungen anzugeben. Diskutieren Siesystematische Fehler in der Messanordnungund führen Sie eine Fehlerrechnung durch!

6 Literatur

W. Schenk, F. Kremer: Physikalisches Prakti-kum. Springer 2014

Dieter Meschede: Gerthsen Physik, Springer,Berlin u.a. 2010

7 Kontrollfragen

7.1 Welche Kräfte üben elektrische und ma-gnetische Felder auf die Elektronen aus?

7.2 Wie berechnet man das Magnetfeld einerRingspule?

7.3 Was passiert, wenn man den Restgas-druck in der Röhre ändert?

53

Elektrizitätslehre Messwerterfassung mit dem Computer (EKG) E39

Messwerterfassung mit dem Computer (EKG) E39

1 Aufgabenstellung

1.1 Mit Hilfe des Cassy-Messwerterfas-sungssystems ist ein 3-Kanal-EKG aufzuneh-men. Aus den Messkurven sind die Größe derR-Zacken-Potentiale, die Pulsfrequenz unddie Lage der elektrischen Herzachse zu be-stimmen.

1.2 Der Einfluss eines großen Kontaktwider-standes auf das EKG-Signal ist zu untersu-chen.

2 Grundlagen

Die rhythmische Kontraktion des Herzmus-kels wird stimuliert durch eine elektrische Er-regung der Herzzellen, die am Sinus-Knotenbeginnt und sich in charakteristischer Weiseüber das gesamte Herz ausbreitet. Die Akti-onspotentiale (etwa 70 mV) aller Zellen erge-ben in Summe ein elektrisches Dipolfeld desHerzens. Dieses Feld breitet sich auch im ge-samten Organismus aus, wobei es durch dieelektrische Leitfähigkeit geschwächt wird.Auf der Hautoberfläche können deshalb dieelektrischen Vorgänge bei der Reizausbrei-tung im Herzen gemessen werden. Dabeiwerden eine Reihe Elektroden in normierterArt und Weise an den Armen und Beinen so-wie auf dem Brustkorb angebracht. Die elek-trischen Spannungen auf der Körperoberflä-che liegen im Millivoltbereich und können,entsprechend verstärkt, gemessen und auf ei-nem Monitor oder mit Hilfe eines Schreibersoder Druckers dargestellt werden.Bei den drei bipolaren Ableitungen nachEinthoven (Abb. 1) werden die folgenden Po-tentiale gemessen:

Abl. I zwischen linkem und rechtem Arm

Abl. II zw. linkem Bein und rechtem Arm

Abl. III zw. linkem Bein und linkem Arm.

Im so genannten Einthoven-Dreieck (Abb. 2)lässt sich aus den drei Potentialen U1, U2 undU3 der Dipolvektor den Herzens (genauer: die

Projektion des Dipolvektors auf die Frontal-ebene) konstruieren. Der Dipolvektor variiertim Rhythmus des Herzschlages, seine Lageim Moment des größten Potentials (R-Za-cken-Potential) wird als elektrische Herzach-se bezeichnet. Sie stimmt bei normaler Erre-gungsausbreitung etwa mit der anatomischenLängsachse des Herzens überein.Neben der Kurvenform im EKG (siehe Abb.4in Versuch E23) ist die Lage der Herzachsebzw. der zeitliche Verlauf des Dipolvektors(Vektor-EKG) von diagnostischer Bedeutung.

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Abb. 1: EKG-Ableitungen nach EINTHOVEN


Messen mit dem Computer:Moderne medizinische Diagnosegeräte (z. B.EKG, EEG, Ultraschall-A-Bild, Audiometer)werden heute oft auf der Basis handelsübli-cher Computer gebaut. Das hat sowohl prak-tische Gründe (vielseitige Einsetzbarkeit, ein-fache Vernetzung mit anderen Geräten, mitder elektronischen Patientenkartei etc.) alsauch ökonomische Gründe. Der Computer(bzw. die Software) übernimmt die Auswer-tung und die graphische Darstellung derMessergebnisse sowie ihre Archivierung. Le-diglich die eigentliche Messwerterfassung,Signalverstärkung und die Umwandlung desanalogen Messsignals in digitale Daten (A/D-Wandlung) muss noch mit Hilfe speziellerHardware erfolgen.Die Genauigkeit der Messung wird dabeidurch die sogenannte Auflösung oder Wand-lerbreite des A/D-Wandlers begrenzt. Bei-spielsweise bedeutet eine Auflösung von 12Bit, dass der Wandler 212 = 4096 verschiede-ne digitale Werte messen kann. Die kleinstenoch messbare Änderung des Messsignals (1Digit) beträgt also 1/4096 des Messbereichs.Meist ist die Messunsicherheit digitalerMessgeräte jedoch deutlich größer als 1Digit.Ein zeitabhängiges Messsignal (z. B. einEKG-Signal) wird einfach in schneller Folgeimmer wieder gemessen („abgetastet“). DieAnzahl der Messungen pro Sekunde bezeich-net man als Messrate oder Abtastrate R(engl.: sampling rate), die Einheit ist 1 Hz.Beispiel: Bei einem Zeitintervall Δt von10 ms zwischen zwei Messungen beträgt dieMessrate R = 1/Δt = 100 Hz. Technisch sindheute Messraten >10 GHz möglich.Die Messrate bestimmt die Zeitauflösung derMessung bzw. die maximal messbare Fre-quenz fG (“Grenzfrequenz”); es gilt

. (1)

Zur Definition der Grenzfrequenz sieheGrundlagen zum Versuch E23.Nach dem Fouriertheorem kann jedes beliebi-ge, nicht-harmonische (d. h. nicht sinusförmi-ge) periodische Signal als eine Summe har-

monischer (sinusförmiger) Teilschwingungenaufgefasst werden kann, deren Frequenzenganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz desperiodischen Signals sind. Im EKG-Signalentspricht die Grundfrequenz der Herzfre-quenz. Die Zerlegung eines Signals in seineFrequenzanteile (d. h. in einzelne Sinus-schwingungen) nennt man Fourier-Analyse,der mathematische Algorithmus dafür heißtFFT (von Fast Fourier Transformation). ImErgebnis erhält man eine grafische Darstel-lung der Signalamplitude in Abhängigkeitvon der Frequenz, das Frequenzspektrum.Informieren Sie sich über die Begriffe Fouri-er-Analyse, FFT und Shannonsches Abtast-theorem im Kapitel Grundlagen zu VersuchM25!

3 Versuchsaufbau

Geräte:- Cassy-EKG/EMG- 3 Widerstände 10 MΩ; 4,7 MΩ; 100 kΩ- Computer mit CASSYLab-Software- 4 Klammerelektroden- Elektrodenspray

Es sind zwei Versionen des EKG-Gerätes imEinsatz: Ein Sensor-CASSY mit aufgesteck-ter EKG/EMG-Box, Steckernetzteil und seri-eller Verbindung zum PC, sowie eine (kleine-re) EKG/EMG-Box mit USB-Anschluss anden PC. Die Widerstände dienen zur Simulation einesschlechten elektrischen Kontaktes zwischenHaut und EKG-Elektrode.Das Elektrodenspray wirkt desinfizierend underhöht die elektrische Leitfähigkeit des Haut-kontaktes.


Starten Sie am Computer das Programm Cas-syLab2 - die vorgefundene Gerätekonfigurati-on wird angezeigt (beim seriellen Cassy mussdas Netzteil angeschlossen sein). AktivierenSie die EKG/EMG-Box, indem Sie mit derMaus auf das Bild der Box klicken.

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Machen Sie sich zuerst mit der Bedienungdes Programms vertraut. Benutzen Sie hierzudie Kurzanleitung im Anhang und die Online-Hilfe . Folgende Tätigkeiten müssen Sie be-herrschen:

- Einstellung von Messbereich und -Intervall

- Start und Stopp einer Messung

- Vergrößern/Alles anzeigen (Zoom)

- Skalieren des Diagramms

- Einfügen von Text in das Diagramm

- Anzeigen der Messpunkte

- Messen von Differenzen (Spannung, Zeit)

- Speichern und Drucken der Messung

4.1 Zur Ableitung des EKG-Signals nachEinthoven (Abb. 1) werden die Metallflächender Elektrodenklammern mit Elektrodenspraybesprüht und an den Innenseiten der Handge-lenke und oberhalb der Knöchel befestigt.Die Elektrodenkabel werden wie folgt ange-schlossen: rot - rechter Arm, gelb - linkerArm, grün - linke Wade, schwarz - rechteWade.Die Versuchsperson muss in ruhiger, ent-spannter Lage sitzen, die Unterarme auflie-gend, damit die EKG-Potentiale nicht durchandere Muskel-Aktionspotentiale verfälschtwerden.Die Voreinstellungen der Messparameter wer-den unverändert beibehalten (Messintervall:10 ms, Messbereiche: ±1 mV). Das EKGwird etwa 10...20 s lang aufgezeichnet unddanach abgespeichert. Falls die Kurven sehrunregelmäßig sind, werden die Ursachenhierfür beseitigt und die Messung wiederholt.Alle Versuchsbedingungen sind zu protokol-lieren!Das EKG soll an jedem Studenten gemessenwerden; die Auswertung führt jeder an sei-nem EKG durch.

4.2 Die folgenden Messungen sollen miteiner größeren Abtastrate von 500 Hz durch-geführt werden (Messintervall: 2 ms). DasEKG-Gerät kann bei schnellen Messungen(Intervall <10 ms) nur einen Kanal aufzeich-nen - daher müssen die EKG-Ableitungen U11

und U13 in den Einstellungen zuerst deak-

tiviert werden, ehe das Intervall geändertwerden kann. Es wird nur Ableitung II ge-messen.Zeichnen Sie ein EKG 10 Sekunden lang auf.Führen Sie eine Fourier-Analyse des EKG-Signals durch, indem Sie Einstellungen -Rechner - FFT - Neu anklicken. Ändern Siedie Skalierung der Koordinatenachsen desEKGs und des Frequenzspektrums so, dassdie Messkurven den größten Teil des Dia-gramms einnehmen und speichern Sie dasMessergebnis ab.Tipp: Die Diagramme kann man mit derMaus ziehen und so anordnen, dass beidegleichzeitig zu sehen sind.Zur Simulation eines schlechten elektrischenKontaktes zwischen EKG-Elektrode undHaut bauen Sie den 10 MΩ-Widerstand in dieZuleitung zum rechten Arm (rot) ein. Zeich-nen Sie unter ansonsten unveränderten Bedin-gungen ein weiteres EKG und dessen Fre-quenzspektrum auf und speichern Sie es ab.Das Resultat der Messung ist von den Kon-taktwiderständen und von den elektromagne-tischen Störfeldern im Raum abhängig. NachRücksprache mit dem Betreuer sind eventuellweitere Messungen erforderlich, wobei dasStörsignal durch einen zusätzlichen Wider-stand von 100 kΩ an der rechten Wade(schwarzer Druckknopf) vergrößert oderdurch Tausch des 10 MΩ Widerstandes gegen4,7 MΩ verringert werden kann.

5 Auswertung

Wenn die Auswertung nicht im Praktikum er-folgen kann, drucken Sie alle benötigtenEKGs und Frequenzspektren nach Rückspra-che mit dem Betreuer aus, damit die vollstän-dige Auswertung zu Hause möglich ist. Alter-nativ können Sie CassyLab2 von der Websitedes Herstellers LD Didactic downloaden, aufdem eigenen Rechner installieren und die imPraktikum erzeugten Dateien damit auswer-ten.

5.1 Die Messung des R-Zacken-Potentialsder drei Ableitungen und der Pulsfrequenzsoll mit CassyLab durchgeführt werden. Be-

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nutzen Sie hierfür die Zoom-Funktion; hilf-reich sind außerdem die Funktionen „Koordi-naten anzeigen“, „Differenz messen“ und„Werte anzeigen“. Für die drei Ableitungen UI, UII und UIII wirddie Höhe von jeweils 5 verschiedenen R-Za-cken abgelesen und daraus der Mittelwert be-rechnet.Die Pulsfrequenz f (in min−1) wird aus dermittleren Zeit zwischen zwei R-Zacken er-mittelt. Dafür sind aus 10 aufeinander folgen-den Pulsschlägen der Mittelwert und dieStandardabweichung sT zu berechnen. Wel-che Bedeutung hat die Standardabweichungin diesem Zusammenhang?Für die Bestimmung der Lage der elektri-schen Herzachse werden die Ableitungen Iund II verwendet. Erfassen Sie etwa fünf zeit-gleiche Wertepaare (UI, UII) vom Beginn biszum Ende einer R-Zacke. Die Wertepaarewerden im Einthoven-Dreieck (Spezialpapier,im Praktikum erhältlich) auf den Ableitungs-linien I und II abgetragen, der Schnittpunktim Dreiecksgitter wird markiert. Die so ent-standenen Punkte werden der Reihe nachdurch eine Linie verbunden. Diese Linie zeigtden Verlauf der Frontalprojektion des Dipol-vektors. Die Verbindung vom Nullpunkt zummaximalen Ausschlag definiert den elektri-schen Herzvektor.

5.2 Vergleichen Sie die EKGs und die zuge-hörigen Frequenzspektren mit und ohne Kon-taktwiderstand:Zoomen Sie so weit in die EKG-Kurve, dassnur etwa ein Pulsschlag auf dem gesamtenBildschirm dargestellt wird. Betrachten Siedas gesamte Frequenzspektrum (0...250 Hz).Beschreiben Sie die Veränderungen im EKG,die durch den Kontaktwiderstand hervorgeru-fen werden.

Wahrscheinlich ist das EKG von einer höher-frequenten Störspannung überlagert. Bestim-men Sie die Frequenz dieser Störspannungaus der Periodendauer im EKG-Signal (wenneine Periode erkennbar ist) und durch direk-tes Ablesen im Frequenzspektrum. Was könn-te die Quelle dieser Störspannung sein?

Zusätzliche Experimentiermöglichkeiten:- Zeichnen Sie EKGs mit verschiedenen

Messintervallen (5 ms, 10 ms, 20 ms, 50ms) auf. Welchen Einfluss hat das Messin-tervall (bzw. die Messrate) auf das Messer-gebnis?

- Messen Sie die Größe und des Muskel-Ak-tionspotentials am Unterarm. Folgen Siedazu der Anleitung in der Online-Hilfe zuCASSYLab (EMG-Versuchsbeispiel).

6 Literatur

Kamke, W.; Walcher, W.: Physik für Medizi-ner, B.G. Teubner, Stuttgart 1994

Harten, U.: Physik für Mediziner. SpringerVerlag 2011

7 Kontrollfragen

7.1 Was verstehen Sie unter dem elektri-schen Herzvektor und wie kann man ihn mes-sen?

7.2 Was verstehen Sie unter Messrate undAuflösung bei digitalen Messungen?

7.3 Warum werden beim EKG besondershochohmige Spannungsmessgeräte einge-setzt?

7.4 Was verstehen Sie unter Fourier-Analyseund Fourier-Synthese?

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Optik und Strahlung Mikroskop O4

Mikroskop O4

1 Aufgabenstellung

1.1 Einstellung des Mikroskops und derKöhlerschen Beleuchtungseinrichtung.

1.2 Kalibrierung eines Okularmikrometersdurch Bestimmung des Abbildungsmaßstabesfür mehrere Objektive.

1.3 Justierung der Phasenkontrasteinrich-tung.

1.4 Beobachtung biologischer Präparate mitverschiedenen Verfahren, Ausmessung vonStrukturen, Abschätzung des Auflösungsver-mögens

2 Grundlagen

2.1 Aufbau des Mikroskops:

Das optische System eines Lichtmikroskopsbesteht aus dem Objektiv und Okular. Umdas Prinzip der Bildentstehung besser erken-nen zu können, werden die Linsensysteme (eswerden zur Bildfehlerkorrektur jeweils meh-rere Linsen benötigt) zu je einer dünnen Kon-vexlinse zusammengefasst.Ein Gegenstand G zwischen einfacher unddoppelter Brennweite des Objektives wird alsumgekehrtes, vergrößertes und reelles Zwi-

schenbild B außerhalb der doppelten Brenn-weite des Objektives abgebildet, Abb. 1. DasOkular wird als Lupe eingesetzt. Das reelleZwischenbild, das sich innerhalb der einfa-chen Brennweite des Okulars befindet, wirddadurch dem akkommodierten Auge als di-vergentes Strahlenbündel angeboten.Eine rückwärtige Verlängerung der Strahlenzeigt, in welcher Größe und Entfernung dasAuge etwa das virtuelle Bild erkennt. Eineeinfache Bildkonstruktion nach der geometri-schen Optik kann jeweils mit Hilfe zweierausgezeichneter Strahlen (Parallelstrahl,Brennpunktstrahl, Mittelpunktstrahl; sieheAbb. 1) eines Bildpunktes gefunden werden.Für ein Mikroskopieren mit entspanntem (d.h. nicht akkommodiertem) Auge soll das vir-tuelle Bild in großer Entfernung (“im Unend-lichen”) entstehen. Abweichend von Abb.1fällt dann das reelle Zwischenbild in dieBrennebene des Okulars; der Sehwinkel β'bleibt gleich.In modernen Mikroskopen mit “Unendlich-optik” (ICS, infinity corrected system) bildetdas Objektiv allein den Gegenstand nicht inder Zwischenbildebene sondern im Unendli-chen ab, d. h. der Gegenstand befindet sich inder Brennebene des Objektivs. Erst durch

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eine zusätzliche Tubuslinse (zwischen Objek-tiv und Okular) entsteht das reelle Zwischen-bild in der Brennebene des Okulars. Das er-möglicht u. A. den problemlosen Einbau vonZubehör (z. B. für Fluoreszenz- und Polarisa-tionsmikroskopie), da die Tubuslänge varia-bel ist. Als optische Tubuslänge bezeichnetman den Abstand zwischen hinterer Brenn-ebene des Objektivs und Zwischenbild.Als Vergrößerung V definiert man das Ver-hältnis der scheinbaren Größe eines Objektesmit optischem Instrument zur scheinbarenGröße ohne Instrument in der deutlichen Seh-weite (auch Bezugssehweite, 25 cm Entfer-nung vom Auge). Sie ergibt sich aus den Seh-winkeln β' und β mit und ohne optisches In-strument zu:

(1)

Beim Mikroskop setzt sich die Gesamtver-größerung aus der Objektivvergrößerung VOb

und Okularvergrößerung VOk zusammen:

(2)

Will man die Größe eines Objektes im Mi-kroskop messen, dann bringt man an die Stel-le des reellen Zwischenbildes einen Maßstab(„Okularmessplatte” oder „Okularmikrome-ter“). Dieser ist dann gemeinsam mit demBild scharf zu sehen und dient als Größenver-gleich. Für exakte Messungen muss also derAbbildungsmaßstab des Objektives, d.h. dasVerhältnis von Bildgröße B zu Gegenstands-größe G

(3)

genau bekannt sein. Er steht in der Regel aufdem Objektiv, jedoch kann sich der tatsächli-che Wert vom aufgedruckten aufgrund vonFertigungstoleranzen etwas unterscheiden.Der Abbildungsmaßstab wird bestimmt, in-dem man ein Objekt definierter Größe („Ob-jektmikrometer”) mit dem Okularmikrometervergleicht.

2.2 Auflösungsvermögen:Die Bildentstehung im Mikroskop kann voll-ständig nur mit Hilfe der Wellennatur des

Lichtes verstanden werden. Die Lichtwellenwerden am Objekt gebeugt; das Objektiv bil-det die gebeugten Lichtwellen in die Zwi-schenbildebene ab, wo sich durch Interferenzdas Bild ergibt. Um diesen Prozess zu verstehen, betrachtenwir ein Gitter als einfaches Modellobjekt, indem nur ein einziger Abstand d (die Gitter-konstante) auftritt. In Versuch O6 und O20wurde gezeigt, dass hinter dem Gitter Beu-gungsmaxima auftreten unter den Winkeln φ,welche die Gleichung

(4)

erfüllen. (k: Beugungsordnung, λ: Wellenlän-ge, n: Brechzahl des umgebenden Mediums,in Luft ist n = 1)Nach der Theorie des Auflösungsvermögensvon ABBÉ wird ein Bilddetail nur dann aufge-löst, wenn neben dem ungebeugten Licht we-nigstens das Beugungsmaximum erster Ord-nung in das Objektiv fällt und zur Bildentste-hung beiträgt. Abb. 2 zeigt, dass dies nurmöglich ist, wenn der Beugungswinkel φnicht größer als der halbe Öffnungswinkeldes Objektivs α („Apperturwinkel“) ist. Dar-aus ergibt sich der kleinste Abstand d zweierObjektpunkte, die gerade noch getrennt abge-bildet werden können (die „Auflösung”) zu

. (5)

A = n ∙ sin α heißt numerische Apertur desObjektives und ist neben der Vergrößerungauf dem Objektiv angegeben. Ein Objektdetail wird um so objektähnlicherabgebildet, je mehr Beugungsmaxima im

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Bild interferieren. Den Kehrwert von d be-zeichnet man als Auflösungsvermögen. Die Wellenlänge λ ist durch den sichtbarenBereich des Spektrums bestimmt (Mittelwert550 nm). Eine Steigerung des Auflösungsver-mögens kann durch Verwendung von Ölim-mersionssystemen erzielt werden. Dabeiwird das Medium Luft (n ≈ 1) zwischen Ob-jekt und Objektiv durch ein Immersionsöl(n ≈ 1,5) ersetzt; dafür sind spezielle Objekti-ve erforderlich. Außerdem ergibt sich eineSteigerung des Auflösungsvermögens, wenndas Objekt nicht mit parallelem Licht (wiebei der Herleitung von Gl. (5) vorausgesetzt),sondern aus verschiedenen Richtungen be-leuchtet wird. Wenn die Beleuchtungsapertur(Sinus des halben Öffnungswinkels des Be-leuchtungskegels) gleich der numerischenApertur des Objektivs ist, ergibt sich einGrenzwert von

. (6)

Dieser Wert gilt auch für die Mikroskopievon selbstleuchtenden Objekten (Fluores-zenzmikroskopie) und im Dunkelfeld.

2.3 Förderliche Vergrößerung: Ein Auge mitnormaler Sehschärfe kann zwei Punkte nochbequem getrennt wahrnehmen, wenn sie un-ter einem Winkel von zwei Bogenminuten er-scheinen. In der deutlichen Sehweite von25 cm entspricht das einem Abstand von0,15 mm. Wird die Vergrößerung des Mikro-skops so gewählt, dass die kleinsten trennba-ren Objektabstände d (durch das Auflösungs-

vermögen des Mikroskops gegeben) im virtu-ellen Bild unter einem Winkel von zwei Bo-genminuten erscheinen, dann bezeichnet mandiese Vergrößerung als förderliche Vergröße-rung VM. Als Faustregel gilt: VM = (500…1000) ∙A. Vergrößerungen über diesen Betraghinaus bezeichnet man als „leere Vergröße-rung“, denn man erhält keine neuen Informa-tionen von dem Objekt.

2.4 Köhlersche Beleuchtung:Beim Beleuchtungsverfahren nach KÖHLER

wird der Lichtkegel der Beleuchtung demÖffnungskegel des Objektivs angepasst. Da-durch wird das Auflösungsvermögens desObjektives vollständig ausgenutzt und überf-lüssiges Licht, das als Streulicht den Kontrastvermindert, wird vermieden.Abb. 3 zeigt den prinzipiellen Aufbau der Be-leuchtungsanordnung. Sie besteht aus Licht-quelle, Kollektorlinse und Leuchtfeldblende,die sich in der Mikroskopierleuchte befinden,sowie Aperturblende und Kondensorlinse, dieunterhalb des Mikroskoptisches angebrachtsind. Der Kollektor bildet die Lichtquelle(Glühwendel) in die Ebene der Aperturblendeab. Der Kondensor bildet die Leuchtfeldblen-de, die sich unmittelbar neben dem Kollektorbefindet, in die Objektebene ab. Die Apertur-blende liegt in der vorderen Brennebene desKondensors. Dadurch werden alle von einemPunkt der Lichtquelle ausgehenden Strahlenzu Parallelstrahlen. Je kleiner die Apertur-blende eingestellt wird, um so kleiner ist derÖffnungswinkel des Strahlenbündels (die Be-

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leuchtungsapertur).Durch diese Anordnung können sowohl dieGröße des ausgeleuchteten Feldes (mit derLeuchtfeldblende) als auch die Größe der Be-leuchtungsapertur (mit der Aperturblende)unabhängig voneinander verändert werden.Die Aperturblende verändert außerdem dieBildhelligkeit.

2.5 Verfahren zur Kontraststeigerung:Viele biologische Präparate, vor allem Gewe-beschnitte, zeigen im einfachen Durchlicht-mikroskop wenig Kontrast, so dass man trotzausreichender Vergrößerung und Auflösungkaum etwas erkennen kann. Oft werden Prä-parate deshalb mit verschiedenen Methodeneingefärbt. Dies ist jedoch zeitaufwendig, au-ßerdem lassen sich lebende Präparate kaumfärben und das Objekt wird durch die Fär-bung selbst verändert. Mit speziellen opti-schen Vorrichtungen am Mikroskop lässt sichder Kontrast ebenfalls steigern; es können so-gar Strukturen sichtbar gemacht werden, dieim „normalen“ (Hellfeld-)Mikroskop unsicht-bar sind. Für Medizin und Biologie von Be-deutung sind die Dunkelfeldmikroskopie, diePhasenkontrastmikroskopie, die Polarisati-onsmikroskopie und die Fluoreszenzmikro-skopie. Alle außer dem letzten Verfahren kön-nen im Praktikum erprobt werden.

2.5.1 Dunkelfeld: Das bisher beschriebeneMikroskopierverfahren heißt Hellfeld, da dasGesichtsfeld ohne Präparat hell ausgeleuchtetist. Sorgt man durch eine Zentralblende in derMitte der Aperturblende (Abb. 3) dafür, dasskein Licht auf direktem Wege in den Strah-lengang des Mikroskops gelangen kann, sobleibt das Gesichtsfeld ohne Präparat dunkel.Das Licht trifft nur aus solchen Winkeln aufdas Präparat, die größer sind als die Objektiv-apertur (siehe Abb. 2). Zur Abbildung trägtdann nur das am Objekt gebeugte Licht bei.In diesem „Dunkelfeldkontrast“ erscheinenvöllig lichtdurchlässige und völlig lichtun-durchlässige Bereiche des Objektes in glei-cher Weise dunkel, die Kanten von Objekt-strukturen leuchten dagegen hell auf. Beson-ders gut zu erkennen sind kleinste Partikel,

die das Licht nach allen Seiten streuen.

2.5.2 Phasenkontrast: Mikroskopische Präpa-rate unterscheidet man in Amplitudenobjekteund Phasenobjekte. Amplitudenobjekte besit-zen unterschiedliche Lichtdurchlässigkeiten,was zu einem Hell-Dunkel-Kontrast führt.Phasenobjekte dagegen besitzen überall(etwa) gleiche Lichtdurchlässigkeit, aber ver-schiedene Brechzahlen. Im durchgehendenLicht treten Gang- bzw. Phasenunterschiedeauf (siehe (7) und (8)), die das Auge nichtwahrzunehmen kann. Typische Phasenobjektesind ungefärbte Gewebeschnitte.Zur wellenoptischenen Beschreibung der Bil-dentstehung betrachtet man wieder Beu-gungsgitter als einfache Modellobjekte:Bei einem Amplitudengitter (siehe Abb. 4)haben die Gitteröffnungen und -stege unter-schiedliche Lichtdurchlässigkeiten, so dassdas im Zwischenbild Helligkeitsunterschiedevorliegen, die das Auge wahrnimmt. BeimPhasengitter haben die Gitterelemente gleicheLichtdurchlässigkeiten, aber verschiedeneBrechzahlen. Obwohl auch beim Phasengitterdurch Interferenz ein reelles Zwischenbildentsteht, treten dabei aber keine Helligkeits-unterschiede auf, d. h. es gibt keinen Bild-kontrast.

Die mathematisch exakte wellenoptische Be-schreibung der Bildentstehung zeigt, dass beieinem Amplitudengitter das gebeugte Lichtim reellen Zwischenbild gegenüber dem un-gebeugten um 180° (λ/2) phasenverschobenist, bei einem Phasengitter dagegen um 90°(λ/4). Beim Phasenkontrastverfahren nachZERNIKE (Nobelpreis 1953) wird durch einenTrick die Phasendifferenz zwischen gebeug-tem und ungebeugtem Licht um 90° vergrö-ßert - dadurch wird aus dem Phasenkontrastein Amplitudenkontrast, d. h. Phasenobjekte

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werden sichtbar.An die Stelle der Aperturblende (siehe Abb.3) wird eine Ringblende in den Strahlenganggebracht, hierdurch wird das Präparat mit ei-nem Strahlenbündel in Form eines Kegel-mantels beleuchtet. Die ungebeugten Strahlendurchlaufen in der hinteren Brennebene desObjektives eine Ringfläche. An dieser Stellebefindet sich im Objektiv ein λ/4-Phasenring,der die Phase der ungebeugten Strahlen ge-genüber dem überwiegendem Anteil der ge-beugten Strahlen um -90° verschiebt.Eine weitere Kontraststeigerung erzielt mandurch eine Schwächung des ungebeugtenLichtes durch den leicht grau getönten Pha-senring. (Nur deshalb kann man ihn sehen;siehe Abschnitt 4.3.)

2.5.3 Polarisationskontrast:Schickt man natürliches Licht durch ein Pola-risationsfilter (den Polarisator P in Abb. 5),so erhält man linear polarisiertes Licht (sieheVersuch O10).Lässt man dieses Licht auf ein zweites Polari-sationsfilter (den Analysator A) fallen, sowird es nur dann ungehindert hindurch gelas-sen, wenn die Durchlassrichtung des Analy-sators parallel zu der des Polarisators ist. Istdie Durchlassrichtung des Analysators dage-gen um 90° gedreht („gekreuzte Stellung“von P und A), so wird das Licht vollständigausgelöscht.Für den qualitativen Polarisationskontrast istein Mikroskop mit einem Polarisator in derBeleuchtungseinrichtung und eine Analysatoroberhalb des Objektivs ausgerüstet. Beide be-finden sich in gekreuzter Stellung, so dassdas Gesichtsfeld ohne Präparat dunkel bleibt.Wenn aber Strukturen im Präparat die Polari-sationsrichtung des Lichtes verändern, dannwird dieses Licht im Analysator nicht mehrausgelöscht, und die Strukturen erscheinenhell oder in charakteristischen Interferenzfar-ben.Ein „Polarisationsmikroskop“ besitzt darüber hinausEinrichtungen zum Messen von Winkeln und einendrehbaren Probentisch; dieses ist in der Medizin undBiologie meist nicht notwendig und wird hier nicht be-sprochen.

Die Polarisationsrichtung kann durch zweiphysikalische Effekte beeinflusst werden:(i) Optischer Aktivität ist die Eigenschaft be-stimmter asymmetrisch aufgebaute Kristalleoder organischer Stoffe mit asymmetrischemKohlenstoffatom (z.B. Zucker), beim Durch-gang von linear polarisiertem Licht dessenSchwingungsrichtung zu drehen. Siehe hierzuVersuch O10.(ii) Doppelbrechung ist eine Eigenschaft op-tisch anisotroper Stoffe. Diese besitzen fürverschiedene Schwingungsrichtungen desLichtes unterschiedliche Brechzahlen. Da-durch werden unpolarisierte Lichtstrahlen inzwei zueinander senkrecht linear polarisierteTeilbündel aufgespalten. Ursachen für die Doppelbrechung sind asym-metrische Kristallgitter (z.B. bei Kalkspat),mechanische Spannung („Spannungsdoppel-brechung“) oder ein submikroskopisch aniso-troper Aufbau („Formdoppelbrechung“).Letzteres tritt häufig bei biologischen Materi-alien auf, die eine geschichtete- oder Faser-struktur besitzen(z.B. Muskelfasern, Nerven-fasern, Kollagenfasern).Abb. 5 zeigt die Schwingungsrichtungen des(senkrecht zur Papierebene einfallenden)Lichtes, wenn eine dünne doppelbrechendePlatte der Dicke d zwischen gekreuzte Polari-satoren (P und A) gebracht wird. Hinter demPolarisator P hat das Licht die Schwingungs-

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richtung L. Beim Durchgang durch die Plattewird es in zwei Strahlen aufgespalten, diesenkrecht zueinander polarisiert sind(Schwingungsrichtungen L1 und L2). Auf-grund der für beide Strahlen unterschiedli-chen Brechzahlen n1 und n2 besteht zwischenihnen nach Austritt aus der Platte ein Gang-unterschied

(7)

bzw. eine Phasendifferenz von

. (8)

Die Phasenverschiebung hängt also von derDicke der Platte und von der Wellenlänge λdes Lichtes ab.Die beiden Teilstrahlen können zunächstnicht miteinander interferieren, da sie senk-recht zueinander polarisiert sind. (Beide Teil-strahlen zusammen nennt man auch zirkularbzw. elliptisch polarisiert.)Der Analysator lässt von den beiden Strahlenjeweils die Anteile L1' und L2' hindurch. Dadiese jetzt in gleicher Richtung polarisiertsind, interferieren sie miteinander.Das Resultat hängt vom Gangunterschied δab. Für δ = λ, 2λ, 3λ, ... verstärken sich beideAnteile und für δ = 1/2 λ, 3/2 λ, 5/2 λ, ... lö-schen sie sich aus. Im Spektrum des einfal-lenden weißen Lichtes werden sich folglichbestimmte Farben auslöschen und andere ver-stärken. Gemäß der Physiologie des Augesentstehen charakteristische Mischfarben. Beisehr kleinen Gangunterschieden δ ≪ λ entste-hen keine Interferenzfarben.Schwach doppelbrechende Strukturen wiez.B. Kollagenfasern führen also im Polarisati-onskontrast zu einer Aufhellung und könnendadurch identifiziert werden. Stark doppel-brechende Strukturen wie manche Kristalleoder Knochen erscheinen farbig.

3 Versuchsaufbau

Geräte:- Mikroskop „Axiostar“ mit Phasenkon-

trasteinrichtung, Okularmikrometer und

Analysator eingebaut- Hilfsmikroskop- Polarisationsfilter- Objektmikrometer- Objektträger- Deckgläser- Präparate: Blutausstrich, Schnitt einer Maus

oder Kaninchenzunge, Hautschnitt, Sehne,Knochenschnitt, Diatomeen

3.1 Beim Mikroskop Axiostar befindet sichdie Lampe hinter einer Streuscheibe im Mi-kroskopfuß, sie muss nicht justiert werden. Am Kondensor befindet sich ein Blendenre-volver mit den Ringblenden Ph1, Ph2 undPh3 für den Phasenkontrast sowie den Stel-lungen H für Hellfeld und DF für Dunkelfeld.Die mit Ph gekennzeichneten Objektive sindfür Phasenkontrast geeignet.Im Tubus des Mikroskops ist der Analysatorfür den Polarisationskontrast fest eingebautDas Polarisator wird bei Bedarf in die Vertie-fung über der Leuchtfeldblende gelegt.

3.2 Das Objektmikrometer für die Bestim-mung des Abbildungsmaßstabes ist 1 mmgroß mit 0,01 mm Teilung, das Okularmikro-meter 10 mm mit 0,1 mm Teilung.

3.4 Diatomeen sind einzellige Kieselalgen,die in mehr als 12.000 Arten praktisch überallvorkommen. Sie weisen in ihrer Schalenkon-struktion winzige Feinststrukturen von hoherRegelmäßigkeit auf und dienen deshalb alsTestobjekte für das Auflösungsvermögen vonMikroskopobjektiven.


Wichtiger Hinweis:Um Schäden an den Objekten und Objektivenzu vermeiden, führt man das Objektiv unterseitlicher Sicht dicht über das Präparat. An-schließend erfolgt die Scharfstellung immerdurch Vergrößerung des Abstandes.

4.1 Alle Einstellung werden zuerst mit demObjektiv 10× durchgeführt. Der Kondensorist zunächst ganz nach oben zu stellen, derRevolver muss sich in der Stellung H (Hell-

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feld) befinden und die Aperturblende (Hebelam Kondensorrevolver) soll etwa halb geöff-net sein.

1. Fokussieren des Okularmikrometers:Stellen Sie mit dem Beleuchtungsstärkereglerdie Helligkeit geeignet ein. Falls ein Präparatauf dem Objekttisch liegt, defokussieren Siees, so dass es nicht zu sehen ist. Stellen Siedurch Verdrehen der Augenlinse das Okular-mikrometer scharf; versuchen Sie dabei ent-spannt in die Ferne zu blicken. Das zweiteOkular ist etwa so einzustellen wie das erste. (Wenn keine Okularmessplatte verwendetwird entfällt dieser Schritt, statt dessen sinddie Augenlinsen etwa in Mittelstellung zubringen.)

2. Legen Sie ein kontrastreiches Präparat(am besten den Blutausstrich) auf den Ob-jekttisch. Blicken Sie mit einem Auge in dasOkular mit der Messplatte und fokussierenSie auf das Objekt. Blicken Sie nun mit demanderen Auge in das andere Okular und stel-len Sie, falls erforderlich, die Bildschärfedurch Verdrehen der Augenlinse nach.

3. Schließen Sie die Leuchtfeldblende soweit, dass sie im Sehfeld (zunächst unscharf)erscheint. Stellen sie dann den Kondensor soein, dass die Leuchtfeldblende scharf zu se-hen ist. Mit Hilfe der beiden Stellschraubenam Kondensor wird das Bild der Leuchtfeld-blende zentriert. Danach öffnen Sie dieLeuchtfeldblende so weit, dass sie gerade ausdem Bildfeld verschwindet.

4. Entfernen Sie ein Okular. Im Tubus siehtman nun das Bild der Aperturblende in derhinteren Brennebene des Objektivs. (Das er-gibt sich aus Abb. 3: Strahlen, die von einemPunkt der Aperturblende ausgehen, sind imObjekt parallel und werden folglich in derhinteren Brennebene des Objektivs vereinigt.)Stellen Sie nun die Aperturblende so ein, dassihr Rand gerade noch sichtbar ist. Jetzt ist dieBeleuchtungsapertur gleich der Objektivaper-tur. Eine weitere Verringerung der Beleuchtungs-apertur kann - objektabhängig - erforderlichsein, um einen ausreichenden Kontrast zu er-

zielen. Eine zu weit geöffnete Aperturblendeführt zu überschüssigem Licht, das nicht zurAbbildung beiträgt, jedoch Streulicht erzeugt,welches den Kontrast vermindert. Ein zu star-kes Schließen der Blende vermindert dasAuflösungsvermögen. In den meisten Fällenerzielt man einen Kompromiss zwischen ma-ximalem Auflösungsvermögen und maxima-lem Kontrast durch folgende Faustregel:Die Beleuchtungsapertur soll etwa 2/3 der

Objektivapertur betragen.

Die Einstellung der Beleuchtung nach demKöhlerschen Prinzip ist damit für dieses Ob-jektiv gewährleistet. Die Zentrierung des Kondensors und die Ein-stellung von Leuchtfeld- und Aperturblendemüssten eigentlich nach jedem Objektiv-wechsel wiederholt werden. In der Regel zen-triert man jedoch den Kondensor nur für dasstärkste Objektiv, für alle anderen Objektivestimmt die Zentrierung dann ungefähr.Die Bildhelligkeit sollte grundsätzlich nichtmit Hilfe der Aperturblende sondern mit demRegler (über dem Schalter) oder mit Hilfevon Graufiltern eingestellt werden.

4.2 Zur Bestimmung der Abbildungsmaßstä-be der Objektive wird das Objektmikrometerauf den Objekttisch gelegt und das Mikro-skop darauf scharf gestellt. Bei richtiger Ein-stellung ist keine Parallaxe (Verschiebungzwischen Okular- und Objektmikrometer beiÄnderung des Blickwinkels) mehr zu sehen.Beim Vergleich der beiden Skalen wird einemöglichst große Gegenstandsgröße G auf derObjektmikrometerskale gewählt; die dazuge-hörige Bildgröße B ist auf der Okularmikro-meterskale abzulesen. Diese Messungen sindfür alle vier vorhandenen Objektive durchzu-führen.

4.3 Ein Phasenkontrastobjektiv wird in denStrahlengang eingeschwenkt; das Okularmi-krometer durch das Hilfsmikroskop ersetztund dieses auf das Phasenplättchen scharfeingestellt. Das Hilfsmikroskop verändert denStrahlengang im Mikroskop so, dass man indie hintere Brennebene des Objektivs sieht(so wie ohne Okular, nur vergrößert). Am

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Blendenrevolver ist die zum Objektiv passen-de Ringblende (Ph1 bzw. Ph2) auszuwählen,die Aperturblende muss dabei voll geöffnetsein. Kontrollieren Sie, ob beim Einrasten desBlendenrevolvers das Phasenplättchen dieRingblende vollständig überdeckt. Gegebe-nenfalls ist die Blende nach Rücksprache mitdem Betreuer zu justieren (Justierschlüsselerforderlich). Diese Kontrolle ist für alle drei Phasenkon-trastobjektive durchzuführen. Setzt man da-nach wieder das Okular anstelle des Hilfsmi-kroskops ein, ist das Phasenkontrastmikro-skop arbeitsfähig.

4.4 Bei der mikroskopischen Untersuchungvon Präparaten beginnt man grundsätzlichmit der schwächsten Vergrößerung. Ist einObjekt gefunden und fokussiert, werden biszur erforderlichen Vergrößerung schrittweisestärkere Objektive eingesetzt.Um die verschiedenen Kontrastierungsver-fahren kennenzulernen, werden folgende Un-tersuchungen vorgeschlagen (der Betreuerlegt fest, welche durchzuführen sind): Vergessen Sie dabei nicht, alle Beobachtun-gen zu protokollieren!

1. Der Blutausstrich ist im Hellfeld zu be-trachten. In der stärksten Vergrößerung wer-den die Durchmesser von 10 Erythrozytenbestimmt. Dabei sollten einzelne, flach lie-gende Erythrozyten ausgewählt werden. Es werden die Bildgrößen in Skalenteilen(Skt.) gemessen. Später werden daraus mitHilfe des Abbildungsmaßstabes die Objekt-größen berechnet.

2. Im Diatomeen-Präparat sind an mindestenszwei Objekten die Größen der Feinstrukturenunter Verwendung des Objektivs mit derstärksten Vergrößerung zu messen bzw. zuschätzen. Suchen Sie die kleinsten noch er-kennbaren Strukturen und schätzen Sie ausderen Größe das Auflösungsvermögen desObjektivs. Beobachten (und protokollieren)Sie, wie sich die Änderung der Beleuchtungs-apertur auf Kontrast und Auflösungsvermö-gen auswirkt. Betrachten Sie das Präparatauch im Dunkelfeld. (siehe Hinweis unter 5.)

3. Am Phasenkontrast-Präparat (junge Mausoder Kaninchen-Geschmacksknospen, ge-kennzeichnet mit Phako) ist mit und ohnePhasenkontrast zu untersuchen, welche Struk-turdetails erkennbar sind. (z.B. bestimmte Or-gane, Zellen, Zellkerne)

4. Der gefärbte Schnitt einer Sehne ist imHellfeld und mit Polarisationskontrast zu be-trachten. Dazu wird das Polarisationsfilter aufdie Leuchtfeldblende gelegt und so gedreht,dass das Gesichtsfeld ohne Präparat bei maxi-maler Beleuchtungsstärke dunkel ist. DieAperturblende muss dazu etwas geschlossenwerden. Die Doppelbrechung im Sehnenge-webe wird durch Kollagen hervorgerufen.

5. Der gefärbte Knochenschnitt ist im Hell-feld, Dunkelfeld und Polarisationskontrast zuuntersuchen. Für Dunkelfeldkontrast ist maximale Be-leuchtung erforderlich, die Aperturblendemuss vollständig geöffnet sein. Falls das Ge-sichtsfeld (mit Präparat) ungleichmäßig und/oder farbig ausgeleuchtet erscheint, muss derKondensor etwas verstellt werden. (Die rich-tige Zentrierung des Kondensors und Einstel-lung der Leuchtfeldblende entspr. 4.1 wirdimmer vorausgesetzt.)

6. Ein Haar wird mit einem Tropfen Wasserauf einen Objektträger gelegt und mit einemDeckglas abgedeckt. (Ein Deckglas der Stan-dard-Dicke 0,17 mm ist erforderlich bei ent-sprechend korrigierten Objektiven, die mit/0.17 gekennzeichnet sind.)Der Durchmesser des Haares ist an 10 ver-schiedenen Stellen zu bestimmen.

5 Auswertung

5.1 Die Abbildungsmaßstäbe der Objektivewerden nach Gl. (3) berechnet und mit denAngaben auf den Objektiven verglichen.

5.4 Aus den 10 Einzelmessungen der Ery-throzyten und des Haares sind Mittelwert undStandardabweichung und daraus m.H. desAbbildungsmaßstabes nach Gl. (3) die Grö-ßen in μm zu berechnen. Welche Bedeutung

65


hat hier die Standardabweichung?Aus der numerischen Apertur des verwende-ten Objektivs ist nach (5) und nach (6) dietheoretische Auflösung d zu berechnen undmit dem am Diatomeen-Präparat abgeschätz-ten Wert zu vergleichen.

6 Literatur

Gerlach, D.: Das.Lichtmikroskop, GeorgThieme Verlag, 1985


7 Kontrollfragen

7.1 Wodurch werden die Vergrößerung unddas Auflösungsvermögen eines Mikroskopsbestimmt?

7.2 Was versteht man unter einer förderli-chen Vergrößerung, und wie groß ist sie beieinem Objektiv mit Ölimmersion (n · sin α =1,3 und λ = 500 nm)?

7.3 Wozu dienen Leuchtfeld- und Apertur-blende?

7.4 Welche Kontrastierungsverfahren gibt esund wofür setzt man sie ein?

Polarimeter und Refraktometer O10

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Konzentration einer wässrigen Zu-ckerlösung (Saccharose) ist mit dem Polari-meter zu bestimmen.

1.2.2 Die Brechzahl von Glycerol-Wasser-Gemischen ist in Abhängigkeit von der Kon-zentration mit dem Refraktometer zu bestim-men.

1.2.3 Von einem vorgegebenen Glycerol-Wasser-Gemisch ist die Konzentration zu er-mitteln.

2 Grundlagen

Lichtwellen sind elektromagnetische Wellen.Jeder Lichtstrahl besteht dabei aus einer Viel-zahl einzelner Wellenzüge. Ein solcher Wel-lenzug besteht aus einem elektrischem undeinem damit verkoppelten magnetischemWechselfeld, deren Lage jeweils transversal(senkrecht) zur Ausbreitungsrichtung ist.Elektrische und magnetische Feldstärkeschließen einen Winkel von 90° ein (Abb. 1).Besteht ein Lichtstrahl aus natürlichem (un-polarisiertem) Licht, können die elektrischenund magnetischen Felder in beliebige, dabei

aber immer zur Ausbreitungsrichtung trans-versale Richtungen schwingen. Licht heißtlinear polarisiert, wenn alle elektrischen Fel-der nur noch in einer transversalen Richtungschwingen. Die zugehörigen magnetischenFelder liegen dann senkrecht dazu auch nurnoch in einer Richtung.Die Richtung der elektrischen Feldstärkevek-toren heißt Schwingungsrichtung oder Polari-sationsrichtung des Lichtes.

2.1 Aus normalem, unpolarisiertem Licht er-zeugt man linear polarisiertes Licht durch Re-flexion an einem durchsichtigen Stoff unter

66

Optik und Strahlung Polarimeter und Refraktometer O10

dem BREWSTERschen Winkel, durch Doppel-brechung (NICOLsches Prisma, siehe Litera-turangaben) oder mit Hilfe von Polarisations-filtern auf der Basis dichroitischer Folien.Unter Dichroismus versteht man die Eigen-schaft mancher doppelbrechender Stoffe, ei-nen der beiden senkrecht zueinander linearpolarisierten Teilstrahlen zusätzlich stark zuabsorbieren, während der andere fast unge-schwächt hindurchgeht. Dichroismus lässtsich künstlich erzeugen in Polymerfilmen,deren Makromoleküle parallel ausgerichtetsind (Formdoppelbrechung, siehe VersuchO4). Damit lassen sich preiswerte Polarisati-onsfilter herstellen, die einen Polarisations-grad von über 99% aufweisen. Optisch aktive Substanzen sind Stoffe, diebeim Durchgang von linear polarisiertemLicht dessen Schwingungsrichtung drehen.Diese optische Aktivität kann hervorgerufenwerden durch asymmetrische Molekülstruk-turen (z.B. bei asymmetrischen Kohlenstoff-atomen) oder durch die schraubenförmigeAnordnung von Gitterbausteinen. MancheSubstanzen, von denen zueinander spiegel-bildliche Isomere existieren (chirale Verbin-dungen), gibt es in einer rechtsdrehenden (+)und einer linksdrehenden (−) Variante. Bei-spiele sind die verschiedenen Zucker undMilchsäure.Bei Lösungen von optisch aktiven Substan-zen hängt der Drehwinkel von der Art desStoffes, von der Dicke der durchstrahltenSchicht (Länge l des Polarimeterrohrs), vonder Konzentration c und von der Wellenlängeλ ab. Diese Wellenlängenabhängigkeit nenntman Rotationsdispersion. Blaues Licht wirdstärker gedreht als rotes.Für den Drehwinkel φ gilt:

(1)

Die Materialgröße k heißt spezifische Dre-hung oder spezifisches Drehvermögen, siehängt von der Wellenlänge ab.

2.2 Die Brechzahl n eines Stoffes ist defi-niert als das Verhältnis der Lichtgeschwindig-keit im Vakuum c0 zur Lichtgeschwindigkeitc im Stoff:

(2)

Sie ist abhängig vom Material und von derWellenlänge λ des Lichtes (Dispersion). Ineiner Lösung ist die Brechzahl von der Kon-zentration (d. h. vom Mischungsverhältnis)abhängig. Die Messung der Brechzahl eignetsich deshalb in manchen Fällen für genaueund einfach durchführbare Konzentrations-messungen. Anwendungen sind z. B. die Be-stimmung des Gesamteiweißgehaltes imBlutserum in der Medizin oder die Bestim-mung des Zuckergehaltes im Traubensaft inder Winzerei.Beim Übergang des Lichtes von einem op-tisch dünneren Medium mit der Brechzahl n1

zu einem optisch dichteren Medium mit derBrechzahl n2 (n2 > n1) werden die Lichtstrah-len zum Einfallslot hin gebrochen (Abb. 2).Bezeichnet man den Einfallswinkel mit α undden Brechungswinkel mit β, so lautet dasBrechungsgesetz:

(3)

Für den größtmöglichen Einfallswinkel α =90° (streifender Lichteinfall) ergibt sich einmaximaler Brechungswinkel βGr. Den Strahlengang in Abb. 2 kann man auch umkehren: vom optisch dichteren Medium (n2) zum optisch dünneren Medium (n1), Ein-fallswinkel β, Ausfallswinkel α. Für β > βGr wird kein Licht in das optisch dünnere Medi-um gebrochen, denn das Brechungsgesetz (3) kann nicht erfüllt werden. Statt dessen wird das Licht an der Grenzfläche vollständig re-flektiert. βGr heißt deshalb Grenzwinkel der Totalreflexion.

67


Aus dem Brechungsgesetz ergibt sich:

(4)

Bei bekannter Brechzahl n2 (Messprisma desRefraktometers) kann somit durch die Mes-sung des Grenzwinkels βGr die Brechzahl n1

des anderen Mediums (der Messflüssigkeit)bestimmt werden.

Zur Messung des Grenzwinkels beleuchtetman die Grenzfläche durch eine Mattscheibemit rauer Oberfläche (siehe Abb.3 Abb.2).Die Lichtstrahlen treffen dann unter allenmöglichen Einfallswinkeln zwischen 0° und90° auf die Grenzfläche. Somit können alleBrechungswinkel zwischen 0 und βGr auftre-ten. Wenn man durch ein Fernrohr unter demWinkel βGr auf die Grenzfläche blickt, siehtman eine Hell-Dunkel-Grenze; diese lässtsich leicht ausmessen.

3 Versuchsaufbau

Geräte:- Polarimeter mit Natrium-Spektralleuchte- Polarimeterrohr (Länge 200 mm)- Flasche mit Zuckerlösung- Refraktometer nach Abbe- 2 Büretten mit Glycerol 83 Vol.% und aqua

dest.- diverse Glasgeräte- Fläschchen mit Glycerol-Wasser-Gemisch

unbekannter Konzentration

3.1 Das Polarimeter besteht aus einer mono-chromatischen Lichtquelle (Na-D-Licht, λ =589,3 nm), einem Polarisator, dem Polarime-terrohr zur Aufnahme der Messflüssigkeit,und einem zweiten Polarisator, dem „Analy-sator“. Dieser ist drehbar, der Drehwinkelkann abgelesen werden.

Stehen die Schwingungsrichtungen (Durch-lassrichtungen) von Polarisator und Analysa-tor senkrecht zueinander („gekreuzt“), so istdas Gesichtsfeld im Polarimeter dunkel.Bringt man dann zwischen Polarisator undAnalysator das Polarimeterrohr mit der Lö-sung des optisch aktiven Stoffes (Zuckerlö-sung), so wird das Gesichtsfeld aufgehellt, dadie Schwingungsrichtung des linear polari-sierten Lichtes um den Winkel φ gedreht wur-de. Dreht man den Analysator um diesenWinkel φ nach, so ist das Gesichtsfeld wiederdunkel. Auf diese Weise lässt sich der Dreh-winkel φ messen.Da die Einstellung auf maximale Dunkelheitoder Helligkeit ohne einen Vergleich sehr un-genau ist, benutzt man im Polarimeter eindreigeteiltes Sehfeld (siehe Abb. 4). Dazu be-steht der Polarisator aus zwei um 10° gegen-einander versetzten Polarisationsfolien (Halb-schattenpolarimeter). Während des Messvor-ganges wird der Drehwinkel des Analysatorsso eingestellt, dass sich die drei Teile desSehfelds nicht unterscheiden (gleicheResthelligkeit) und die Trennlinien nahezuverschwinden. Bei einer geringen Drehung ineine Richtung muss der mittlere Teil hellerund bei geringer Drehung in die entgegenge-setzte Richtung dunkler als die äußeren Teilewerden.Zur genauen Ablesung des Winkels für denUmschlagpunkt ist die Winkelmesseinrich-tung am Analysator mit einem Nonius ausge-stattet, mit dessen Hilfe der Winkel auf 0,05°genau abgelesen werden kann.

3.2 Mit dem vorliegenden Refraktometernach Abbé wird die Brechzahl nD (bei Na-D-Licht, 589 nm) unter Verwendung von natür-lichem (weißem) Licht bestimmt. Die beiFlüssigkeiten recht starke Dispersion wird da-

68


bei durch ein AMICI-Prismenpaar kompen-siert, welches für Na-D-Licht geradsichtig ist.Andere Refraktometer arbeiten mit mono-chromatischem Licht (früher Natriumdampf-lampe, heute spezielle LEDs). Das Gerät be-steht im wesentlichen aus

- einem Beleuchtungsprisma mit einer rauenOberfläche,

- einem Messprisma, dessen Brechzahl n2

größer sein muss als die Brechzahl n1 derMessflüssigkeit,

- einem schwenkbaren Fernrohr mit Winkel-messeinrichtung, wobei auf der gemäßGleichung (4) kalibrierten Skale Brechzah-len abgelesen werden können,

- einer Einrichtung zur Kompensation bzw.zum Messen der Dispersion.

Der Grenzwinkel der Totalreflexion βGr er-scheint im Fernrohr als Grenzlinie zwischendem hellen und dem dunklen Bereich desSehfeldes.Eine einfache Prüfung der Justierung der Re-fraktometers kann mit destilliertem Wassererfolgen, dessen Brechzahl ist nD = 1,3330bei 20°C bzw. nD = 1,3325 bei 25°C.


4.1 Zu Beginn wird die Na-Spektralleuchteeingeschaltet; nach ca. 5 min erreicht dieLampe ihre maximale Helligkeit.Durch Verdrehen des Okularringes wird dasSehfeld scharfgestellt. Die Nullstellung desPolarimeters wird bestimmt, indem man ohnePolarimeterrohr die Einstellung des Sehfeldeswie in 3.1 beschrieben vornimmt (Umschlag-punkt einstellen) und den dazugehörigenWinkel φ0 abliest. (Der Winkel sollte unge-fähr 0° betragen). Die Messung ist 5 mal zuwiederholen.Das Polarimeterrohr soll möglichst blasenfreimit Zuckerlösung gefüllt werden. Dazu hältman das Rohr senkrecht und füllt es vollstän-dig. Das Glasfenster (ohne Schraubkappe)wird seitlich über die Öffnung geschoben undüberflüssige Lösung mit Zellstoff entfernt.Danach wird das Rohr (nicht zu fest) zuge-

schraubt und in das Polarimeter eingelegt.Eine verbleibende kleine Blase kann in dieVerdickung des Polarimeterrohres gebrachtwerden. Nach dem erneuten Scharfstellen des Ge-sichtsfeldes wird der Analysator nachgedrehtund wieder der Umschlagpunkt eingestellt.Der zugehörige Winkel φm ist abzulesen.Auch diese Messungen werden 5 mal durch-geführt.Der Drehwinkel φ ergibt sich dann als Diffe-renz der Mittelwerte von φm und φ0 :

(5)

Nach den Messungen wird die verwendeteZuckerlösung in die Flasche zurückgefülltund das Polarimeterrohr mit Wasser ausge-spült; das Rohr ist offen zu lassen.

4.2 Das Refraktometer wird so hingestellt,dass sich die beiden Prismen auf der rechtenSeite befinden. Die Lichteintrittsöffnung derSkalenbeleuchtung (links oben) muss aufge-klappt sein.Die Prismen werden auseinander geklappt,das Beleuchtungsprisma mit der rauen Ober-fläche (unten) wird etwa waagerecht einge-richtet. Nun bringt man einen Tropfen derMessflüssigkeit auf das Beleuchtungsprisma,danach wird das Beleuchtungsprisma auf dasMessprisma geklappt und der Riegel ge-schlossen (ohne Kraftaufwand!). Durch Verdrehen der Okulare wird die Skaleim Ablesemikroskop (links) und das Faden-kreuz im Fernrohr (rechts) scharfgestellt.Wenn nötig, kann die Skalenbeleuchtungdurch Einstellen der spiegelnden Klappe(links oben) verbessert werden. Durch Aus-richten des Beleuchtungsspiegels erhält manein helleres Bild im Fernrohr (rechts). Nun wird die Grenzlinie zwischen Hell- undDunkelfeld im Fernrohr aufgesucht. Ein evtl.vorhandener Farbsaum wird durch Verstellender AMICI-Prismen (kleiner Rändelknopfrechts) beseitigt. Die Hell-Dunkel-Gernzewird mit Hilfe des großen Rändelknopfes(links) auf die Mitte des Fadenkreuzes einge-stellt und die dazugehörige Brechzahl wirdabgelesen.

69


Zuerst ist die Justierung des Refraktometersmit destilliertem Wasser zu überprüfen. Wenndie ermittelte Brechzahl um mehr als einenSkalenteil vom Sollwert abweicht, dann bit-ten Sie den zuständigen Betreuer, das Gerätneu zu justieren.

Es werden die Brechzahlen für folgende Flüs-sigkeiten gemessen:

- aqua dest.,

- Glycerol 83 Vol.%,

- 5 Glycerol-Wasser-Gemische:

- 4:1, 4:2, 4:4, 4:8, 4:16 und

- ein Glycerol-Wasser-Gemisch unbekannterKonzentration.

Für das Gemisch 4:1 nimmt man 4 ml Glyce-rol 83 vol% und 1 ml aqua dest., die weiterenGemische werden durch Verdünnung mitWasser hergestellt.Jede Brechzahl ist 5 mal zu messen (jeweilsNeueinstellung mit großem Rändelknopf).Bei Wechsel der Messflüssigkeit und amEnde sind die Prismen sorgfältig zu reinigen.

Die Brechzahl des Glycerol-Wasser Gemi-sches unbekannter Zusammensetzung istebenfalls fünf mal zu messen.

5 Auswertung

5.1 Die Konzentration c (in g/L) der Zu-ckerlösung wird nach den Gleichungen (1)und (5) berechnet.Das spezifisches Drehvermögen von Saccha-rose (C12H22O11) beträgt bei λ = 589,3 nm

k = 66,456 grad mL dm−1 g−1. Die Länge desPolarimeterrohres ist (200 ± 0,2) mm. Es ist eine Fehlerrechnung durchzuführen.Die Messunsicherheit des Drehwinkels ergibtsich aus den statistischen Unsicherheiten vonNullstellung und Drehwinkel.

5.2 Aus den Mischungsverhältnissen werdendie Volumenkonzentrationen (reines Glycerolin Wasser) berechnet. Anschließend sind dieBrechzahlen in Abhängigkeit von der Volu-menkonzentration grafisch darzustellen.Mit Hilfe des Diagramms wird die Konzen-tration des unbekannten Glycerol-Wasser-Ge-misches bestimmt. Die Konzentration ist inVol.% Glycerol anzugeben.

6 Literatur

Grimsehl, E.: Lehrbuch der Physik. Bd 3,B.G. Teubner, Leipzig 1978

Trautwein, Kreibig, Hüttermann: Physik fürMediziner, Biologen, Pharmazeuten. W. deGruyter, Berlin u.a., 2008

Kamke, D.; Walcher, W.: Physik für Medizi-ner, B.G. Teubner, Stuttgart, 1994

7 Kontrollfragen

7.1 Was ist Licht?

7.2 Wie kann linear polarisiertes Licht er-zeugt werden?

7.3 Was ist Brechung, wann tritt Totalrefle-xion auf?

7.4 Welche störenden Effekte kann Dispersi-on im Refraktometer hervorrufen?

70

Optik und Strahlung Radioaktivität O16

Radioaktivität O16

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Abhängigkeit der Strahlungsintensi-tät vom Abstand zur Strahlenquelle ist zu er-mitteln.

1.2 Der Schwächungskoeffizient und dieHalbwertsdicke von Blei für die Gamma-strahlung von Co-60 sind zu bestimmen.

2 Grundlagen

Unter Radioaktivität versteht man die Eigen-schaft bestimmter Atomkerne, sich infolgeungünstiger Proton-Neutron-Verhältnissespontan in andere Atomkerne oder Atomker-ne anderen Energieinhalts unter Emissioncharakteristischer radioaktiver Strahlung um-zuwandeln. Sie kommt natürlich vor, kannaber auch künstlich erzeugt werden (durchBeschuss stabiler Atomkerne). Abhängig vonder Art der Umwandlung entsteht dabei: α-Strahlung (Heliumkerne, bestehend aus 2Protonen und zwei Neutronen),β − -Strahlung (Elektronen),β + -Strahlung (Positronen),γ-Strahlung (elektromagnetische Wellen miteiner Quantenenergie über 100 keV),Neutronen und (selten) Protonen.γ-Strahlung entsteht als Folge von Kernreak-tionen, bei denen der Kern in einen angereg-ten Zustand gelangt ist. Aus diesem kehrt erdurch Aussendung von γ-Strahlung wieder inden Grundzustand zurück. Auf der Messung radioaktiver Strahlung be-ruhen viele diagnostische Verfahren der Nu-klearmedizin. Z. B. können durch Aktivitäts-messungen nach Gabe von RadiopharmakaStoffwechselprozesse ohne Eingriff in denKörper untersucht werden (zeitlicher Verlauf,Anreicherung in Organen usw.). BildgebendeVerfahren, die auf der Messung von γ-Strah-lung basieren (Szintigraphie, Positronenemis-sionstomographie), ergänzen die bekanntenRöntgen- und NMR-Methoden.

Der therapeutische Einsatz radioaktiverStrahlung dient meist der Bestrahlung vonTumoren.

2.1 In einem radioaktiven Präparat ist dieZahl der sich pro Zeiteinheit umwandelndenAtomkerne proportional zur Zahl der vorhan-denen Kerne. Die (mittlere) Anzahl der Kern-umwandlungen pro Sekunde nennt man Akti-vität A:

(1)

Die Einheit heißt Becquerel (1 Bq = 1 s−1).Da alle Atomkerne mit der gleichen Wahr-scheinlichkeit zerfallen, wird die Zahl der ra-dioaktiven Kerne während des folgendenZeitintervalls dt um

(2)

(λ - Zerfallskonstante) abnehmen. Für die An-zahl N gilt daher das Zerfallsgesetz

(3)

mit N0 als Zahl der radioaktiven Atomkernezur Zeit t = 0.

Wenn ein γ-Quant (oder auch ein α- oder β-Teilchen) von einem Strahlungsdetektor wiedem Geiger-Müller-Zählrohr registriert wird,löst es in diesem einen Stromimpuls aus; dieImpulse werden gezählt. Die pro Zeiteinheitregistrierte Impulsanzahl N heißt ImpulsrateI, sie ist proportional zur Strahlungsintensität.Außerdem hängt sie von den Eigenschaftendes Zählrohres und unter Umständen auchvon der Energie der Strahlung ab.Die von einem radioaktiven Präparat erzeugteImpulsrate ergibt sich aus der Differenz derImpulsraten, die mit und ohne Präparat ge-messen werden:

, (4)

wobei IP die Messrate und IL den Leerwert(Nulleffektrate) bezeichnet. Der Nulleffektwird durch kosmische und Umgebungsstrah-lung sowie durch Detektorstörimpulse be-

71


wirkt.

2.2 Beim Durchgang durch Materie wird dieIntensität der Gamma-Strahlung (gemessenals Impulsrate I) in Abhängigkeit von der Di-cke x des durchstrahlten Stoffes verringert(Schwächungsgesetz):

(5)

I0 ist die Intensität der einfallenden und I dieIntensität der austretenden Strahlung. μ heißtSchwächungskoeffizient und hängt vom Stoffund von der Energie der Gamma-Quanten ab.Für die Schwächung sind neben der elasti-schen Streuung (μS) drei Absorptionseffektewesentlich: Der Photoeffekt (μPh), die unelas-tische Streuung (Comptoneffekt, μC) und diePaarbildung (μP):

(6)

Der Einfluss dieser einzelnen Effekte auf denSchwächungskoeffizienten ist energieabhän-gig, wobei die elastische Streuung und derPhotoeffekt bei niedrigen und der Paarbil-dungseffekt bei den höchsten Energien domi-nieren.Unter der Halbwertsdicke d1/2 eines Stoffesversteht man die Schichtdicke, nach der dieIntensität der Strahlung auf die Hälfte abge-sunken ist. Aus der Gleichung (5) folgt damit

. (7)

3 Versuchsaufbau

Geräte:- Radioaktives Präparat Co-60 (γ-Strahler

1,17 MeV und 1,33 MeV; A = 74 kBq 2010;t1/2 = 5,27 a)

- Geiger-Müller-Zählrohr- Digitalzähler- verschieden dicke Absorberplatten aus Blei

Co-60 ist ein γ-Strahler, der früher in der Me-dizin für die Telekobalttherapie verwendetwurde. Co-60 entsteht durch Neutronen-Ein-fang aus Co-59 und hat eine Halbwertszeitvon 5,27 Jahren. Das radioaktive Präparat be-

findet sich in einer Bohrung in einem Acryl-glasblock, der auf einem beweglichen Schlit-ten befestigt ist. Zur Messung der Strahlungsintensität (Im-pulsrate) dient ein selbstlöschendes Geiger-Müller-Zählrohr. Das Zählrohr besitzt ein ca.15 µm dünnes Glimmerfenster, wodurch esaußer für γ- auch für β-Strahlung empfindlichist. Die Impulse werden von einem elektroni-schen Zähler registriert, der gleichzeitig dieBetriebsspannung für das Zählrohr liefert. Präparat und Zählrohr sind auf Schlittenmontiert, die auf einer Schiene mit cm-Skalein definiertem Abstand zueinander angeord-net werden können. Der Abstand r zwischenPräparat und Zählrohrmitte ist 10 mm größerals der zwischen den Schlitten. Um z.B. r =40 mm einzustellen, muss der Abstand zwi-schen den Schlitten 3 cm betragen. Absorberplatten verschiedener Dicke könnenauf einen weiteren Schlitten gestellt werden,der zwischen Präparat und Zählrohr auf dieSchiene gesetzt wird.


Die Co-60 - Quelle ist ein umschlossenesPräparat mit einer Aktivität unterhalb derFreigrenze laut Strahlenschutzverordnung.Die Strahlenbelastung (effektive Dosis) beider Durchführung des Versuches liegt in derGrößenordnung von 1 µSv, das entspricht0,1% der Dosis bei einer medizinischen Rönt-genaufnahme.

4.1 Für das Zählrohr ist eine Betriebsspan-nung von 480 V einzustellen. Die Messzeit

72

Strahlenschutz

Entsprechend der Strahlenschutzverord-nung ist jede Bestrahlung, auch unterhalbder zulässigen Grenzwerte, zu minimie-ren. Abstand ist der beste Strahlenschutz!Deshalb: Halten Sie das Präparat nicht un-nötig in der Hand. Halten Sie beim Expe-rimentieren einen Abstand von etwa 0,5 mzum Präparat ein.


beträgt 60 s. Alle Messungen werden jeweilsfünf mal durchgeführt.Zu Beginn ist der Nulleffekt IL durch Mes-sung ohne radioaktives Präparat zu bestim-men.Zur Ermittlung der Abhängigkeit der Impuls-rate vom Abstand r wird das Präparat in denAbständen 40; 50; 70; 100; 140; 190 und250 mm zum Zählrohr positioniert und diezugehörigen Impulsraten werden bestimmt.

4.2 Zur Bestimmung des Schwächungskoef-fizienten μ für Blei wird das Präparat in ei-nem Abstand von 70 mm vom Zählrohr posi-tioniert und zwischen ihnen die Absorberhal-terung eingesetzt. Bleiplatten verschiedenerDicken x werden in den Strahlengang ge-bracht und die dazugehörigen Impulsraten ge-messen. Die Messungen sind für x = 1; 2; 5;10; 20; 30 mm je fünfmal durchzuführen. DieMessung für x = 0 wurde bereits in 4.1 durch-geführt.

5 Auswertung

Aus den jeweils fünf Einzelmessungen in 4.1und 4.2 wird der Mittelwert gebildet. AlleWerte für die Impulsraten werden durch Ab-zug des Nulleffektes korrigiert.

5.1 Zur Bestimmung des AbstandsgesetzesI = I(r) werden die Impulsraten in Abhängig-keit vom Abstand r doppelt logarithmischdargestellt. Aus dem Anstieg ist der Exponentdes Abstandsgesetzes zu bestimmen. Verglei-chen Sie diesen mit dem theoretischen Wert!

5.2 Zur Bestimmung des Schwächungskoef-fizienten μ für Blei werden die Impulsraten in

Abhängigkeit von den Absorberdicken x gra-phisch dargestellt. Es ist eine halblogarithmi-sche Darstellung zu wählen (Zählrate loga-rithmisch als Ordinate, Dicke linear als Ab-szisse). Alternativ kann ln(I) berechnet undlinear (d. h. auf normalem Millimeterpapier)dargestellt werden.Aus (5) erhält man durch Logarithmieren:

Der Schwächungskoeffizient μ ergibt sichfolglich aus dem Anstieg der Kurve. Die Halbwertsdicke von Blei ist nach Gl. (7)zu berechnen.

6 Literatur


Beier, W., Pliquett, F., Physik, Leipzig 1987

Fercher, A.F.: Medizinische Physik. SpringerVerlag 1992

7 Kontrollfragen

7.1 Was ist der Unterschied zwischen Rönt-gen- und γ-Strahlung?

7.2 Was versteht man unter den Begriffen„Halbwertsdicke“ und „Halbwertszeit“?

7.3 Nach welchem Gesetz nimmt die Strah-lungsintensität mit der Entfernung ab?

7.4 Welcher Zusammenhang besteht zwi-schen der Härte und der Durchdringungsfä-higkeit der γ-Strahlung?

73

Optik und Strahlung Spektralphotometer O20

Spektralphotometer O20

1 Aufgabenstellung

Bringen Sie bitte zum Versuch ein frischesgrünes Blatt mit.

1.1 Das Spektrum der Leuchtstofflampen imRaum soll untersucht werden, die darin auf-tretenden Hg-Spektrallinien sind zu identifi-zieren. Selbst mitgebrachte LED-Lampen,Laserpointer etc. können untersucht werden.

1.2 Ein alkoholischer Chlorophyllextrakt istherzustellen, seine Extinktion im Spektralbe-reich 400…800 nm bei verschiedenen Kon-zentrationen ist zu messen. Aus den Messkur-ven sind die Konzentrationen von Chloro-phyll a und Chlorophyll b sowie das Verhält-nis beider Konzentrationen zu ermitteln.

2 Grundlagen

2.1 Beim Durchgang durch Materie wirdLicht durch Absorption und durch Streuung(Brechung und Reflexion an kleinen Teil-chen) geschwächt. An Grenzflächen wird dasLicht partiell reflektiert. Alle drei Prozessesind abhängig von der Wellenlänge.Das Verhältnis der durch eine Probe hin-durchgehenden Lichtintensität I zu einfallen-der Intensität I0 wird als Transmissionsgradoder kurz Transmission T bezeichnet:

(1)

Die Abnahme der Intensität in Abhängigkeitvon der durchstrahlten Materialdicke d wirdmathematisch beschrieben durch

, (2)

wobei μ als Schwächungskoeffizient bezeich-net wird; siehe auch Versuch O16, Gl.(5).Wird in einer Lösung das Licht vom gelöstenStoff absorbiert, so ist μ proportional zu des-sen Konzentration c:

(3)

εn heißt (natürlicher) Extinktionskoeffizientund hängt von der Substanz und von der Wel-lenlänge ab. Aus (2) und (3) ergibt sich das Lambert-Beer-sche Gesetz

. (4)

Als natürliche Extinktion En bezeichnet man

. (5)

Die Konzentration einer Lösung ist proportio-nal zur Extinktion und lässt sich somit be-quem durch Messung der Extinktion bestim-men.In der Praxis verwendet man nicht den natür-lichen, sondern mit dem dekadischen Loga-rithmus; das Wort dekadisch lässt man dabeimeist weg. Die Beziehung für die (dekadi-sche) Extinktion E lautet:

(6)

Der (dekadische) Extinktionskoeffizient ist ε = εn / ln 10 = 0,4343 ∙ εn .Durch Vergleich von (1) und (6) findet mandie wichtige Gleichung

. (7)

Wir betrachten nun den Fall, dass das Lichterst durch eine Lösung des Stoffes 1 und da-nach durch eine Lösung des Stoffes 2 ge-schwächt werde. Die eingestrahlte Intensitätsei I0, die Intensität nach der 1. Lösung I1 undnach der 2. Lösung I2. Dann ist nach (1) dieTransmission der 1. Lösung T1 = I1/I0, die der2. Lösung T2 = I2/I1 und die Transmissionder gesamten Anordnung

. (8)

Für die Extinktionen gilt nach (7):

74


(9)

Diese Betrachtung gilt auch, wenn sich diebeiden Stoffe gemeinsam in einer Lösung be-finden (sofern sie sich nicht gegenseitig be-einflussen). Zusammengefasst gilt deshalbfolgender Satz:

Wird Licht durch mehrere verschiedene Pro-

zesse geschwächt, so multiplizieren sich die

Transmissionen und addieren sich die Extink-

tionen der Einzelprozesse.

Im wissenschaftlichen Alltag wird die Extink-tion (englisch: absorbance) oft fälschlich Ab-sorption genannt. Dies sollte man im Interes-se einer eindeutigen Sprache vermeiden. Ex-tinktion ist die gesamte Lichtschwächungdurch Absorption und Streuung; in der Ab-sorption ist das gestreute Licht (dessen Ener-gie nicht absorbiert wird) nicht enthalten.

2.2 Ein Spektralphotometer ist ein Gerät,welches die Lichtintensität, die Transmissionoder die Extinktion in Abhängigkeit von derWellenlänge misst. Ein (optisches) Spektro-meter misst das Lichtspektrum, d. h. dieLichtintensität in Abhängigkeit von der Wel-lenlänge. Beide Begriffe werden auch syn-onym verwendet, jedoch steht beim Spektral-photometer die genaue Messung von I, Tbzw. E (für Konzentrationsmessungen im me-dizinisch-chemischen Labor) im Vorder-grund, beim Spektrometer dagegen mehr diegenaue Messung der Wellenlänge λ. Es gibt zwei Anwendungsfälle: Die Untersu-chung der spektralen Zusammensetzung desLichtes einer Quelle (Emissionsspektrum)und die Untersuchung der Absorption vonLicht durch einen Stoff (Absorptionsspek-trum). Im zweiten Fall benötigt man zusätz-lich eine Lichtquelle mit kontinuierlichemSpektrum (z.B. eine Glühlampe); die zu un-tersuchende Substanz befindet sich meist ineiner Küvette zwischen Lichtquelle undSpektrometer.Die spektrale Zerlegung des Lichts geschiehtin modernen Geräten durch ein Beugungsgit-

ter. Die Beugung kann mit Hilfe desHUYGENS-FRESNELschen Prinzips beschrie-ben werden, wonach jeder Punkt einer Wel-lenfront als Ausgangspunkt einer Elementar-welle (Kugelwelle) aufgefasst wird. Diesichtbare Wellenerscheinung entsteht danndurch Überlagerung (Interferenz) dieser Ele-mentarwellen. Trifft eine ebene Lichtwelleauf Transmissionsgitter (Abb. 1), so kannsich danach die ebene Wellenfront nicht mehrvollständig formieren, weil diejenigen Ele-mentarwellen fehlen, die auf die lichtun-durchlässigen Bereiche getroffen sind. Es ent-stehen Beugungserscheinungen.

Wir betrachten entsprechend Abb. 1 das umeinen bestimmten Winkel φ gebeugte Licht.Der Abstand zwischen zwei Öffnungen imGitter - die Gitterkonstante - sei b. Dann istder Gangunterschied zwischen den Elemen-tarwellen zweier benachbarter Spalte

. (10)

In der Überlagerung der Elementarwellen tre-ten bei Beobachtung aus großer EntfernungIntensitätsmaxima (konstruktive Interferenz)in den Richtungen φ auf, für die der Gangun-terschied ein ganzzahliges Vielfaches einerWellenlänge ist: δ = k ∙ λ (k = 0, 1, 2, ...).Intensitätsminima (destruktive Interferenz)entstehen in den Richtungen, in denen derGangunterschied δ = (2k + 1) ∙ λ/2 beträgt.Die Zahl k heißt Beugungsordnung. Das un-gebeugt durch das Gitter gehende Licht be-zeichnet man auch als nullte Beugungsord-nung (k = 0). Für die Beugungsmaxima folgt

75


somit aus (10):

(11)

Die Lage der Beugungsmaxima (der Winkelφ bzw. der Ort auf einem Beobachtungs-schirm) hängt von der Wellenlänge λ ab. Ro-tes Licht wird stärker gebeugt als blaues, sodass weißes Licht in seine Spektralfarben zer-legt werden kann. Bei bekannter Ordnung kkann mit (11) die Wellenlänge λ des Lichtesdurch Messung der Beugungswinkel φ be-stimmt werden. In vielen praktischen Fällen,so auch bei dem verwendeten Spektrometer,ist k = 1.

2.3 Die photometrische Bestimmung desChlorophyllgehaltes in Biomasse ist eineStandardmethode in der Biologie. Dafür istunter anderem die vollständige und schonen-de Extraktion des Chlorophylls erforderlich,was im Rahmen des Physikpraktikums nichtmöglich ist. Hier liegt der Schwerpunkt aufder spektroskopischen Methode. Es soll dieKonzentration in einem selbst hergestelltenChlorophyll-Rohextrakt gemessen werden.Dieser enthält hauptsächlich Chlorophyll a(Chl.a) und Chlorophyll b (Chl.b), deren Ex-tinktionsspektren bekannt sind (Abb. 2).

In Ethanol liegt das Extinktionsmaximumvon Chl.a bei 665 nm und das von Chl.b bei649 nm. Die Extinktion der Rohextraktlösungist entsprechend Gl. (9) die Summe aus denAnteilen beider Chlorophylle. Misst man dieExtinktion in den beiden Maxima, so kann

mit Hilfe der Gleichungen

(12)

und den vier Extinktionskoeffizienten fürChl.a und Chl.b bei 649 nm und 665 nm dieKonzentration von Chl.a und Chl.b berechnetwerden.

3 Versuchsaufbau

Geräte:- Spektrometer Red Tide USB650 mit ange-

bauter Lichtquelle und KüvettenhalterWellenlängengenauigkeit: ± 1 nmoptische Linienbreite (FWHM): 2 nm

- schwarzer Lichtblocker- Acrylglas-Prisma zur Beleuchtung durch

externe Lichtquellen von oben- 2 Küvetten (d = 10 mm)- Computer mit Software SpectraSuite- Reibeschale, Pistill, Quarzsand- Ethanol 99% mit 1% MEK vergällt- kleines Becherglas- 4 Probenröhrchen 4 ml- Filterpapier- Pasteurpipetten- Mikroliterpipette 750 μl

Abb. 3 zeigt den optischen Aufbau des Spek-trometers. Die nicht mit abgebildete Licht-quelle-Küvettenhalter-Einheit ist mit demSpektrometer fest verbunden. Das Licht wird

76

Abb. 3: Aufbau des Spektrometers: 1 Ein-

trittsspalt und Filter, 2 Kollimatorspiegel, 3Gitter, 4 Abbildungsspiegel, 5 CCD-Sensor


durch eine Glühlampe und eine blaue LEDerzeugt und gelangt nach Durchstrahlung derKüvette in den Eintrittsspalt 1 des Spektro-meters. Dieser befindet sich in der Brennebe-ne des Kollimatorspiegels 2, der ein paralle-les Lichtbündel auf das Reflexionsgitter 3schickt. Ein weiterer Hohlspiegel 4 bildet dieBeugungsbilder des Eintrittsspaltes auf denCCD-Sensor 5 ab.

Bedienung der Software SpectraSuite:Nach Programmstart ist die laufende Mes-sung (Scan) sofort aktiv. Die obere Toolbarenthält folgende wichtige Steuerelemente:„Integrationszeit” regelt die vom CCD-Sen-sor gemessene Lichtmenge. Sie wird so ein-gestellt, dass bei Beleuchtung die Maxima imSpektrum gerade noch nicht abgeschnittenwerden. Bei kleiner Integrationszeit ist dieMessung sehr schnell (bis 100 Scans pro Se-kunde), zur Verringerung des Rauschens soll-te daher der Mittelwert aus 10...20 Scans an-gezeigt werden. Zusätzlich kann das Spek-trum über mehrere Messpunkte geglättet wer-den (das Glättungsintervall wird als „Boxcar”bezeichnet). Wenn scharfe Spektrallinien beo-bachtet werden sollen, ist die Glättung auszu-schalten (Boxcarbreite = 0). „Lamp Enable”schaltet die Lichtquelle ein.Das gemessene Spektrum ist zunächst nichtnormiert. Die angezeigte Größe S(λ) wird au-ßer von der Intensität des Lichtes auch nochvon den wellenlängenabhängigen Eigenschaf-ten aller Gerätekomponenten (Lampenspek-trum, Reflexionsvermögen des Gitters undder Spiegel, Filter-Absorption, Reflexion undAbsorption durch die Küvette, Sensorkennli-nie) bestimmt. Der CCD-Sensor misst auchohne Licht ein von Null verschiedenes Signal(Dunkelspektrum).Die Toolbar im Spektrumgraph enthält nebenmehreren Buttons zum Zoomen und Ver-schieben die Buttons zum Speicherndes Dunkelspektrums D(λ) und des Referenz-spektrums R(λ). Die Buttons zeigen folgende Spektren an:

- unkorrigierter Scan S(λ)

- Dunkelspektrum subtrahiert: S(λ) − D(λ)

- Extinktion (Absorbance) E = lg(1/T)

(13)

Links-Klick in das Diagramm zeigt einenCursor zum genauen Ablesen der Wellenlän-ge und der Werte aller Messkurven an. DerButton verwandelt das aktuelle Spektrumin ein „Overlay” (statische Kurve) und starteteine neue Messkurve. Auf diese Weise erhältman mehrere Spektren in einem Graph. speichert nur die aktuelle Messkurve, druckt alle Kurven aus. Will man die Datenexportieren oder mit nach Hause nehmen, sobedient man sich der beiden Copy-Buttons

. Der erste kopiert die Daten aller Kur-ven zum Einfügen in Origin, Excel oder eineTextdatei, der zweite kopiert die Grafik in dieZwischenablage. Von dort kann man sie z.B.im Programm IrfanView einfügen und spei-chern oder drucken.


Starten Sie das Programm SpectraSuite undmachen Sie sich mit der Bedienung vertraut,indem Sie einfach alles ausprobieren.

4.1 Untersuchung von Lichtquellen:

Der unkorrigierte Scan (S) ist anzuzeigen, dieinterne Lichtquelle muss ausgeschaltet sein,ebenso die Kurvenglättung (Boxcarbreite 0).Der angezeigte Spektralbereich ist auf denBereich des sichtbaren Lichtes (400...750nm) einzugrenzen. Stecken Sie das Acrylglas-Prisma so in denKüvettenhalter, dass das von oben kommendeLicht durch Totalreflexion an der schrägenFläche in den Eintrittsspalt des Spektrometersgelangt. Wenn das Spektrometer unter einerLeuchtstofflampe steht, muss jetzt das Lam-penspektrum zu sehen sein. Stellen Sie Inte-grationszeit und Mittelwertbildung geeignetein.Das Spektrum enthält jetzt noch einen sensor-abhängigen Untergrund, der auch etwas vonder Integrationszeit abhängt. Daher sollte diefolgende Untergrundkorrektur immer nach

77


einer größeren Veränderung der Integrations-zeit durchgeführt werden:Ersetzen Sie das Acrylglas-Prisma durch denLichtblocker, speichern Sie ein Dunkelspek-trum, stellen Sie die Anzeige auf „Scan minusDunkelspektrum“ und setzen Sie wieder dasAcrylglas-Prisma bzw. die Küvette ein.Das Leuchtstofflampen-Spektrum ist zu do-kumentieren (ausdrucken, speichern, expor-tieren in Origin, Excel oder IrfanView nacheigenem Ermessen). Die Auswertung (Be-stimmung der Wellenlängen der Spektrallini-en, siehe 5.1) kann sofort im Programm Spec-traSuite durchgeführt werden.

4.2 Messung der Chlorophyllkonzentration

Hinweise zum Umgang mit den Küvetten:

- Die Oberflächen im optischen Strahlengangmüssen klar sein; zerkratzte Küvetten bitteentsorgen, in der Ausgabe gibt es neue

- Küvetten nur oben und seitlich anfassen,nicht an den optischen Flächen

- nasse Außenflächen vorsichtig trocknen

- Küvetten nur bis zur Hälfte füllen (1 ml)

- Küvette so in die Halterung stecken, dassder Pfeil zur Lichtquelle zeigt

Zur Herstellung des Chlorophyll-Rohextrak-tes werden etwa 0,4 g Blattmasse in der Rei-beschale mit etwas Quarzsand und einigenmL Ethanol zerrieben. Dabei werden die Zel-len aufgebrochen und das Clorophyll geht inLösung. Fügen Sie anschließend weiteresEthanol hinzu, insgesamt etwa 10 mL. FaltenSie ein Rundfilter zu einer Tüte und filtrierenSie den Extrakt damit in das Becherglas. Schalten Sie die Lichtquelle des Spektrome-ters ein. Sie soll bis zum Versuchsende nichtausgeschaltet werden, da ihre Lichtintensitäterst nach einigen Minuten Einschaltdauer sta-bil ist. Stellen Sie die Integrationszeit so ein,dass der Scan (S) bei leerem Küvettenhalterden Anzeigebereich voll ausschöpft, die Ma-xima aber nicht abgeschnitten werden. Weite-re Einstellungen: Mittelwert über 20 Scans,Boxcarbreite 3, Zoom x-Achse 400...800 nm.Speichern Sie ein Dunkelspektrum (mit demLichtblocker).

Bringen Sie eine mit reinem Lösungsmittel(Ethanol) gefüllte Küvette in den Probenraumund speichern Sie ein Referenzspektrum. Ab jetzt können die Messgrößen Transmissi-on (T) und Extinktion (A) verwendet werden.Die nach (13) berechnete Transmission be-trägt im gesamten Spektrum genau 100 %,die Extinktion ist überall Null.Füllen Sie etwa 1 mL der Lösung in eine Kü-vette und prüfen Sie die Transmission im Mi-nimum bei 665 nm. Falls T < 5 % ist, verdün-nen Sie die Lösung im Becherglas schrittwei-se mit jeweils einigen mL Ethanol und über-prüfen T erneut. (Wenn die Transmission zugering ist, wird die Messung sehr ungenau.)Zeichnen Sie ein Extinktionsspektrum aufund wiederholen Sie diese Messung mit dendrei Verdünnungen 75 %, 50 % und 25 %.Alle vier Spektren sollen im selben Dia-gramm angezeigt werden (aktuelle Messungin Overlay umwandeln und neue Messungdurchführen).Die Verdünnungen der Ausgangslösung mitEthanol (3:1, 2:2 und 1:3) werden mit Hilfeder auf 750 μl eingestellte Pipette hergestelltund in den Probenröhrchen aufbewahrt. DieKüvette ist nach jedem Schritt mit wenigEthanol zu spülen und zu trocknen.Nachdem der Betreuer die Messergebnisseakzeptiert hat, können die Clorophyllösungenim Ausguss entsorgt werden. Alle benutztenGefäße sind mit wenig Ethanol zu spülen undabzutupfen!

5 Auswertung

5.1 Bestimmen Sie die Wellenlängen derwenigen scharfen Spektrallinien Spektrumder Leuchtstofflampe. Das geht am einfachs-ten mit dem Messcursor im Programm Spec-traSuite. Identifizieren Sie die Hg-Liniendurch Vergleich mit den Werten in der auslie-genden Tabelle.Diskutieren Sie das Spektrum: Wie ist seineForm zu erklären? Warum werden Farben imLicht von Leuchtstofflampen nicht so gutwiedergegeben wie im Sonnenlicht?

78


5.2 Stellen Sie die Wellenlängen der vierdeutlich erkennbaren Maxima in den Spek-tren fest und ordnen Sie diese den beidenFarbstoffen Chl.a und Chl.b zu.Die Extinktion in allen vier Maxima ist inAbhängigkeit von der Verdünnung grafischdarzustellen und an Hand von Gleichung (6)zu diskutieren.Löst man das Gleichungssystem (12) nachden Konzentrationen ca und cb auf, so erhältman

(14)

(Zahlenangaben nach R. J. Ritchie 2006).Bestimmen Sie für alle Verdünnungen ausden Spektren die Extinktion bei den Wellen-längen 649 nm und 665 nm. Berechnen Siemit Gl. (14) die Konzentrationen von Chloro-phyll a und Chlorophyll b sowie das Verhält-nis beider Konzentrationen.

6 Literatur



R. J. Ritchie, Photosynth. Res. (2006) 89 pp27-41

7 Kontrollfragen

7.1 Wie ist die spektrale Zerlegung desLichts an einem Gitter zu erklären?

7.2 Wie kann man mit einem Photometer dieKonzentration eines gelösten Stoffes in einerLösung unabhängig von weiteren gelöstenStoffen bestimmen?

7.3 Wie groß ist die Transmission bei einerExtinktion von E = 0, E = 1 und E = 2 ?

Röntgenverfahren O22

1 Aufgabenstellung

1.1 Messung von Röntgenemissionsspektreneiner Molybdän-Anode mit Hilfe eines LiF-Kristalls und Bestimmung der maximalenQuantenenergie der Röntgenstrahlung in Ab-hängigkeit von der Anodenspannung.

1.2 Bestimmung der Ionendosisleistung derRöntgenröhre.

1.3 Durchleuchtung und Interpretation biolo-gischer Objekte.

2 Grundlagen

Bei der diagnostischen Anwendung vonRöntgenstrahlen stehen fotografische Verfah-ren bei der Anfertigung von Röntgenaufnah-men noch im Vordergrund. Abgebildet wirddas unterschiedliche Absorptionsvermögen

verschiedener Gewebe. Diese Unterschiedekönnen durch die Applikation von Kontrast-mitteln verstärkt werden. Eine Kontrasterhö-hung bei geringen Differenzen in der Absorp-tion erhält man mit computertomografischenVerfahren.In der Forschung kommt der Röntgenstruk-turanalyse hervorragende Bedeutung zu. Mitihrer Hilfe konnte die Tertiärstruktur von Ei-weißen und Nukleinsäuren mit einer hohenräumlichen Auflösung (< 0,3 nm) bestimmtwerden.

2.1 Als Röntgenstrahlen werden Photoneneiner Wellenlänge zwischen 0,01 nm und 10nm bezeichnet. Sie entstehen beim Beschusseiner Anode mit Elektronen, deren Energie 10keV überschreitet. Beim Aufprall entstehenneben ca. 98% Wärme zwei Arten von Rönt-genstrahlung: Bremsstrahlung und charakte-ristische Strahlung.

79

Optik und Strahlung Röntgenverfahren O22

Bremsstrahlung entsteht, wenn die auftreffen-den Elektronen im Kernfeld des Anodenmate-rials abgebremst werden. Die Differenz zwi-schen den kinetischen Energien des Elektronsvor und nach der Wechselwirkung wird inRöntgenstrahlung der Frequenz f entspre-chend Gleichung (2) umgesetzt.Mit E der kinetischen Energie der Elektronenbeim Aufprall auf die Anode nach der Be-schleunigung im elektrischen Feld ergibt sichfolgende Energiebilanz:

(1)

mit:e = ⋅1,602 10−19 C: ElementarladungU: Anodenspannungme: Elektronenmassev1: Geschwindigkeit des Elektrons vor dem

Aufprallv2: Geschwindigkeit des Elektrons nach

dem AufprallEph: Photonenenergie (Energie eines Rönt-

genstrahlungsquants).Die Energie eines Strahlungsquants ist

. (2)

h = 6,626 ∙10−34 Ws2: Plancksche Konstante c = 2,998 ∙108 m/s : Vakuumlichtgeschwin-

digkeitf: Frequenzλ: WellenlängeDie Energie wird in diesem Zusammenhangmeist in eV (Elektronenvolt) angegeben. 1 eVist die kinetische Energie, die eine Elementar-ladung e bei der Beschleunigung durch eineSpannung von 1 V erhält. Die Energie inJoule erhält man folglich, indem man denWert in eV mit e multipliziert.Die Bremsstrahlung hat ein kontinuierlichesSpektrum mit kurzwelliger Kante (siehe Abb.1). Letztere kommt dadurch zustande, dassdie Elektronen beim Aufprall höchstens ihregesamte kinetische Energie in Röntgenstrah-lung umsetzen können (vollständige Abbrem-sung, v2 = 0). Die Röntgenstrahlung hat danneine maximale Energie, die Wellenlänge wirdminimal:

(3)

Charakteristische Strahlung: Beim Aufprallkönnen Anodenatome ionisiert werden. Wenndadurch eine Leerstelle auf der dem Kern amnächsten liegenden K-Schale entsteht, sowird diese durch Elektronen der L- bzw. M-Schale sofort wieder besetzt und die Energie-differenz in Form von Röntgenstrahlung ab-gegeben. Die Photonen (Energiequanten), diewährend dieser Elektronensprünge frei wer-den, bezeichnet man als Kα- bzw. K0-Photo-nen. Ihre Wellenlängen berechnen sich aus:

(4)

EL − EK : Differenz der Elektronenenergiender L- und K-Schale,

EM − EK : Differenz der Elektronenenergiender M- und K-Schale.

Da diese Energiedifferenz charakteristisch fürjedes Material ist, wird die Strahlung „cha-rakteristische Strahlung“ genannt. Sie hat einLinienspektrum, welches die Bremsstrahlungüberlagert (siehe Abb. 1).

Röntgenbeugung:Die Wellenlänge von Röntgenstrahlen kannmit Hilfe der Beugung an einem Kristallgitterbei bekanntem Netzebenenabstand bestimmtwerden (Röntgen-Spektralanalyse). Umge-

80


kehrt werden mit Röntgenstrahlung bekannterWellenlänge Atomabstände in Kristallgitterngemessen. (Bragg-Verfahren).Gemäß dem HUYGENSschen Prinzip kann je-des Atom des von der Röntgenstrahlung ge-troffenen Kristalls als Ausgangspunkt einerElementarwelle betrachtet werden. Die Kris-tallatome lassen sich in einer Vielzahl vonhintereinander liegenden, zur Oberfläche(Spaltfläche) des Kristalls parallelen Ebenen,zusammenfassen. Man nennt diese EbenenNetzebenen. Im einfachsten Fall lässt sich dieBeugung (Diffraktion) von Röntgenstrahlenauf die Reflexion an Netzebenen eines Kris-tallgitters zurückführen. Jede Netzebenewirkt auf die einfallende Röntgenstrahlungwie ein partieller Spiegel, d. h. ein (sehr klei-ner) Teil des auf die Ebene treffenden Rönt-genstrahlenbündels wird reflektiert. Abb. 2 zeigt die grundlegenden Vorgänge beidiesem als BRAGG-Reflexion bezeichnetenVorgang: Die an den Netzebenen A und B re-flektierten Strahlen 1 und 2 interferieren mit-einander. Konstruktive Interferenz (ein „Re-flex“) tritt nur auf, wenn der Gangunterschiedder beiden Wellen gleich einem ganzen Viel-fachen der Wellenlänge ist:

(5)

mit k = 1, 2, … Dabei ist k die Beugungsordnung und d derNetzebenenabstand (d = 0,201 nm für denLiF-Kristall). Für die erste Beugungsordnung(k = 1) ergibt sich mit Gl. (2):

(6)

Durch Drehen des Kristalls wird der Einfalls-winkel der Röntgenstrahlung und damit auchder Phasenunterschied der interferierendenStrahlen verändert, so dass die Bedingung derkonstruktiven Interferenz (5) für jeweils an-dere Wellenlängen des Primärstrahls erfülltwird (vergl. Abb. 2). Gleichzeitig mit der Ro-tation des Kristalls muss der Strahlungsemp-fänger (Zählrohr) unter dem doppeltenBragg-Winkel β mitgeführt werden, so dassimmer die Reflexionsbedingung Zählrohr-

winkel = 2 × Kristallwinkel erfüllt ist. Damitkann das Spektrum einer Röntgenquelle be-stimmt werden.Als Auflösung eines Spektrometers bezeich-net man den kleinsten Abstand zwischen zweiSpektrallinien, die man noch trennen kann.Meist wird statt dessen die ähnlich großeHalbwertsbreite (Breite bei halber Höhe) vonPeaks bzw. Linien im Spektrum angegeben.Das Auflösungsvermögen eines Röntgen-spektrometers wird durch die Strahldivergenzund durch die Breite des Spaltes vor demSensor begrenzt.

2.2 Als Dosimetrie bezeichnet man die Mes-sung der Wirkung, die ionisierende Strahlung(Röntgen und radioaktive Strahlung) beimDurchgang durch Materie hervorruft. DieseWirkung kann entweder über die Menge derin der Materie erzeugten Ionen oder über dievon der Materie absorbierte Energie gemes-sen werden.Die Ionendosis J ist definiert als Quotientaus der in einem Volumenelement erzeugtenLadung der Ionen eines Vorzeichens ΔQ undder Masse des durchstrahlten Volumenele-mentes Δm:

(7)

Die Einheit der Ionendosis ist As/kg oderC/kg (die alte Einheit 1 Röntgen = 2,58∙10−4

C/kg darf nicht mehr verwendet werden).Die Energiedosis D ist der Quotient aus derim Volumenelement absorbierten Energie undder Masse des durchstrahlten Volumenele-mentes Δm:

, (8)

81


ihre Einheit ist das Gray (1 Gy = 1 J/kg).Die biologische Wirkung ionisierender Strah-lung wird durch die Äquivalentdosis

(9)

angegeben (biologisch bewertete Energiedo-sis). Die Einheit ist das Sievert (1 Sv =1 J/kg). w heißt Strahlungswichtungsfaktor;w = 1 für Röntgen-, Gamma- und Betastrah-lung und w = 20 für Alphastrahlung.Die wirksame Intensität der Röntgenstrah-lung ist die Dosis pro Zeit, die als Ionendosis-leistung j (Einheit A/kg), Energiedosisleis-tung d (Einheit Gy/s) bzw. Äquivalentdosis-leistung h (Einheit Sv/s) bezeichnet wird. Die Ionendosisleistung wird in einem mitLuft gefüllten Kondensator (“Ionisationskam-mer”) entsprechend Abb. 3 gemessen. An denKondensator wird eine Spannung angelegt,die so groß ist (etwa 100...300 V), dass alleerzeugten Ionen zu den Kondensatorplattengelangen. Dann ergibt sich die Ionendosis-leistung

(10)

aus der Stromstärke IC und der durchstrahltenLuftmasse m. Mit Hilfe der bekannten mittle-ren Ionisationsenergie der Luftmoleküle kanndie Ionendosis in die Äquivalentdosis umge-rechnet werden; es gilt (für Luft):

(11)

3 Versuchsaufbau

Geräte:- Röntgengerät mit Goniometer incl. LiF-

Kristall (d = 0,201 nm), Zählrohr und Im-pulsratenmesser

- PC mit Programm “Röntgengerät”- Plattenkondensator mit Röntgenblende für

Ionendosismessung- Spannungsquelle 0...450 V, Ri = 5 MΩ- Strom-Messverstärker- Vielfachmesser- Verbindungsleitungen- Biologische Objekte zur Durchleuchtung

3.1 Das Röntgengerät (siehe Abb. 2) besitztein strahlenabschirmendes Gehäuse, das ausdrei getrennten Kammern besteht. Die größte(rechte) Kammer ist der Experimentierraum,der das Goniometer (für Röntgenbeugungs-untersuchungen) oder den Plattenkondensatoroder die zu durchleuchtenden Präparate ent-hält. In der mittleren Kammer befindet sichdie Röntgenröhre. Die linke Kammer enthältdie mikroprozessorgesteuerte Elektronik mitden Bedien- und Anzeigelementen.Die Schiebetüren und Sichtfenster des Gerä-tes bestehen aus Bleiglas (Vorsicht, kratzemp-findlich!).

3.2 Die Hochspannungsquelle besitzt einensehr großen Innenwiderstand (Ri = 5 MΩ)und ist deshalb berührungsungefährlich. ZurStrommessung dient der Messverstärker miteinem Vielfachmesser als Anzeigegerät.


Die in die Kristallhalter fest eingebauten

Kristalle sind sehr empfindlich. Bitte be-

rühren Sie diese nicht! Gleiches gilt für die

0,1 mm dünnen Absorberfolien zu 4.3. Bit-

te nur am Kunststoff-Rand anfassen!

4.1 Zur Aufnahme der Röntgenspektren inBragg-Anordnung sind folgende Betriebspa-rameter einzustellen:

82


Anodenstrom: I = 1,0 mAHochspannung: U = 20…35 kVMesszeit: Δt = 5 sSchrittweite: Δβ = 0,1°Anfangswinkel: βmin = 4,0°Endwinkel: βmax = 12,0°

Starten Sie das Computerprogramm „Rönt-gengerät“. Die Spektren werden im automatischen Scan-Modus mit 2:1-Kopplung von Zählrohr- undKristallbewegung (Einstellung COUPLED)aufgenommen und auf dem Computerbild-schirm dargestellt. Man beginnt am besten mit der maximalenBeschleunigungsspannung von 35 kV. DurchDrücken des Knopfes SCAN wird die Auf-zeichnung eines Spektrums gestartet. WeitereSpektren sind jeweils bei einer Hochspan-nung von 30 kV, 25 kV und 20 kV aufzuneh-men. Alle Spektren werden in die selbe Gra-fik geschrieben.

4.2 Für die Messung der Ionendosisleistungwird das Röntgengerät mit eingebautem Plat-tenkondensator benutzt. Vervollständigen Sie

die Schaltung gemäß Abb. 3! Das Koaxialka-bel von der unteren Kondensatorplatte ist mitden Eingang I des Messverstärkers zu verbin-

⊥den. Der Masseanschluss des Verstärkerswird mit dem Minuspol und die obere Kon-densatorplatte mit dem Pluspol der Span-nungsquelle verbunden. Es wird der Messbe-reich 10−9 A verwendet (1 V am Verstärker-ausgang entspricht I = 1 nA) und eine Span-nung U ≥ 200 V.Messen Sie den Ionenstrom IC bei der maxi-malen Beschleunigungsspannung von 35 kVund den Anodenströmen 1,0 mA; 0,8 mA;0,6 mA; 0,4 mA und 0,2 mA.Notieren Sie den Luftdruck p und die Tempe-ratur T im Röntgengerät.

4.3 Zur Durchleuchtung von Objekten istdas dafür vorbereitete Röntgengerät zu benut-zen. Die maximal mögliche Energie wird ein-gestellt (U = 35 kV, I = 1 mA), der Raummuss abgedunkelt werden.Interpretieren Sie den Schatten der Objekteauf dem Leuchtschirm. Untersuchen Sie dieVeränderung des Bildes bei Veränderung des

83

Abb. 4: Röntgengerät mit Goniometer

a Netzanschlussfeld (Seite), b Bedienfeld, c Anschlussfeld, d Röhrenraum mit Mo-Röhre,

e Experimentierraum mit Goniometer, f Leuchtschirm, h Verriegelungstaster


Präparateortes. Sie können auch eigene Ob-jekte (z.B. Taschenrechner, Kugelschreiber)durchleuchten. Vergessen Sie nicht, alle Be-obachtungen zu protokollieren!Nach Beendigung der Untersuchungen mussder Leuchtschirm mit dem zugehörigen De-ckel wieder abgedeckt werden.

5 Auswertung

5.1 Die Wellenlängen und die Quantenener-gien der charakteristischen Linien Kβ und Kα

der Molybdänanode sind nach Gleichung (5)bzw. (6) zu bestimmen, dabei gilt k = 1. DieQuantenenergien sind in keV anzugeben. Für jede verwendete Anodenspannung U wirddie maximale Quantenenergie (in keV) nach(6) aus dem zur jeweiligen kurzwelligen Kan-te gehörenden Winkel β berechnet. In einerTabelle sind diese Energien mit der den Elek-tronen im elektrischen Feld zugeführtenEnergie E = e ∙ U zu vergleichen. Im Rahmen der Fehlerbetrachtung soll auchdie Wellenlängen-Auflösung des Röntgen-spektrometers abgeschätzt und ihr Einflussauf das Messergebnis diskutiert werden.

5.2 Die Ionendosisleistung j ist nach (10)aus dem Ionenstrom IC und der Masse m desdurchstrahlten Luftvolumens V zu berechnenund in Abhängigkeit vom Anodenstrom gra-fisch darzustellen.Die Luftmasse ergibt sich aus

(12)

mit V = 125 cm3, ρ0 = 1,293 kg/m3, T0 = 273 K und p0 = 1013 hPa.Die maximale Äquivalentdosisleistung h imRöntgengerät (bei I = 1 mA) ist mit Hilfe vonGl. (11) zu berechnen und in der Einheit Sv/hanzugeben. Vergleichen Sie Ihr Messergebnismit der Dosis der natürlichen Strahlung undmit der tödlichen Dosis!

5.3 Die Beobachtungen bei der Durchleuch-tung von Objekten sind zu protokollieren.

6 Literatur

Fercher, A. F.: Medizinische Physik, Sprin-ger, 1992


7 Kontrollfragen

7.1 Wie ist das Spektrum einer Röntgenröh-re zu erklären, welchen Einfluss haben dieBetriebsparameter U und I ?

7.2 Wie wird die biologische Wirkung ioni-sierender Strahlung gemessen?

7.3 Auf welche Weise schädigen Röntgen-strahlen (wie auch Gammastrahlen) den Or-ganismus und wie kann man sich dagegenschützen?

7.4 Wie kann man Röntgenstrahlung nach-weisen?

84

Anhang Hinweise zur Bedienung von CASSY

85

Hinweise zur Bedienung des computergesteuerten Mess-

werterfassungssystems CASSY

Allgemeines

Cassy-S, ein für die Lehre in Schulen und Universitäten konzipiertes universelles Messwert-Erfassungssystem, besteht aus verschiedenen Geräten mit serieller oder USB-Schnittstelle sowieder Windows-Software CASSY Lab 2. Im Praktikum kommen zum Einsatz:

• Sensor-Cassy ist ein zweikanaliges Messgerät für Strom und Spannung mit einer Auflösungvon 12 bit (1:4096) und einer maximalen Messrate von 100 kHz (105 Messwerte proSekunde). Mit Hilfe von Zubehör (aufzusteckende „Sensorboxen“ und verschiedeneSensoren) können damit fast alle denkbaren physikalischen Größen gemessen werden.

• Pocket-Cassy (nur mit Computer verwendbar) und Mobile-Cassy (ohne Computer einsetzbar)besitzen die gleiche Funktionalität, jedoch nur einen Messkanal, messen nur 104 bzw. 5Werte pro Sekunde und benötigen kein Netzteil (Stromversorgung über USB).

• Power-Cassy ist ein Leistungs-Funktionsgenerator, also eine computersteuerbare Strom- oderSpannungsquelle, die bei einer Abtastrate von 100 kHz maximal 10V / 1A liefert.

• Cassy-Display ist ein großformatiges Anzeigegerät. Es zeigt in Verbindung mit Sensor-Cassy(ohne Computer) gleichzeitig zwei Messwerte mit Einheit an.

Die Software CASSY Lab 2 steuert die Messung, stellt die Messergebnisse grafisch dar undbietet viele Möglichkeiten zur mathematischen Auswertung. Die Bedienung ist relativ einfachund erfordert nur wenige Grundkenntnisse. Die Software ist beim Hersteller unterhttp://www.ld-didactic.de frei verfügbar und kann daher auch zuhause zur Auswertung vomMessungen aus dem Praktikum verwendet werden.

Quick Start: Einschalten und Konfigurieren des Systems

Stellen Sie sicher, dass alle benötigten Cassy-Module zusammengesteckt, mit dem PCverbunden und mit Strom versorgt sind. Starten Sie nun das Programm “CASSY Lab 2". DasFenster CASSYs wird präsentiert und zeigt die vorgefundene Gerätekonfiguration.

Um eine Messung durchzuführen, muss der entsprechen-

de Eingang oder Ausgang â angeklickt werden. Es er-scheint das Fenster Einstellungen (siehe nächste Seite).Im oberen Teil dieses Fensters bietet eine BaumstrukturZugriff auf alle Bereiche der Software: Unter CASSYs

sind alle Einstellungen zu den verwendeten Messgerätenzu finden, unter Rechner können aus den Messgrößenneue physikalische Größen berechnet werden, unterDarstellungen können die Messwerttabellen und Dia-gramme angepasst werden sowie neue Diagrammeangelegt werden.Im unteren Teil des Fensters stehen die Einstellungendes in der Baumstruktur markierten Knotens (hier wirdz.B. der Messbereich einer Messgröße eingestellt) unddie Messparameter.


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Vor Aufnahme einer Messreihe sollte man hierden richtigen Messbereich einstellen und sinnvolleMessparameter auswählen: Aufnahme: automatisch bedeutet, dass der Com-puter mehrere Messpunkte nacheinander aufzeich-net. T Neue Messreihe anhängen bewirkt, dass ineiner Grafik mehrere Messreihen (Messkurven)dargestellt werden können. Die wichtigste Größe,die hier auf einen sinnvollen Wert eingestelltwerden muss, ist das Mess-Intervall. Bei 10 μsentstehen pro Sekunde 100.000 Messwerte! AusIntervall und Messzeit ergibt sich die Anzahl derEinzelmessungen. Wenn bei Messzeit kein Werteingetragen ist, wird die Messreihe so langefortgesetzt, bis sie manuell gestoppt wird.Die Aufnahme einer Messreihe kann nun mit F9

oder durch Klick auf den Start/Stopp-Buttonbegonnen werden.

Grundlegende Bedienelemente

ã Buttonleiste mit Buttons für die Anzeigeinstrumente aller gemessenen und berechnetenGrößen

ä Anzeigeinstrument. Rechts-Klick: Messgröße und Messbereich einstellen

å Umschalten zwischen mehreren Darstellungen. Durch Ziehen mit der Maus freieAnordnung auf dem Bildschirm.

æ Messwerte-Tabelle kann editiert werden. Rechts-Klick: Messwerte und Messreihenlöschen

ç Im Diagramm werden Punkte und Kurvenbereiche mit der Maus markiert. Rechts-Klick:Diagramm-Menü


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è Skala der Diagrammachsen mit Maus verschieben, mit Rechts-Klick ändern

é Umschalten zwischen verschiedenen y-Achsen

ê Trennlinie verschieben

F4 Neue Messung (aktuelle Messung löschen)

F3 Gespeicherte Messung (mit allen Einstellungen und Auswertungen) laden

F2 Aktuelle Messung (mit allen Einstellungen und Auswertungen) speichern

Diagramm oder Tabelle ausdrucken

F9 Eine Messreihe starten oder beenden (Einzelmessung bei manueller Aufnahme)

F5 Cassy-Module anzeigen (wie bei Programmstart)

F5 (2× drücken) Einstellungen bzw. Messparameter anzeigen

F6 Inhalt der Statuszeile (z. B. das Ergebnis einer Rechnung) groß darstellen

F7 Alle Anzeigeinstrumente ein/aus schalten

Das Anzeigeinstrument UA1 ein/aus schalten, Rechts-Klick: Einstellungen

Tipps und Tricks zu CASSY Lab 2

• Die Messparameter lassen sich am schnellsten durch Rechts-Klick auf den Start/Stopp-Button anzeigen, die Einstellung des Messbereiches durch Rechts-Klick auf dasentsprechende Messinstrument

• Mit Alt+T fügen Sie Text in das Diagramm ein, dabei ist immer das Ergebnis der letztenAuswertung voreingestellt. Machen Sie viel von dieser Möglichkeit Gebrauch!

• Skalierung der Achsen: Rechts-Klick auf eine Achse.

• Die Zoom-Funktion wird mit Alt+Z aufgerufen, Alt+A zeigt wieder alles an.

• Unter Einstellungen - Rechner - Formel kann eine neue physikalische Größe erzeugt werden,die aus Messgrößen berechnet oder manuell in die Wertetabelle eingetragen werden kann.Auf diese Weise kann z. B. aus Strom I(t) und Spannung U(t) der Widerstand R(t) alsFunktion der Zeit berechnet werden.

• Weitere Diagramme zur Darstellung gemessener und berechneter Größen werden unterEinstellungen - Darstellungen angelegt. Beispiel: Erzeugen Sie eine neue Darstellung mitdem Namen “Kennlinie”, dem gemessenen Strom auf der x-Achse und dem berechnetenWiderstand auf der y-Achse

• Die Auswertefunktionen (z. B. Mittelwertbildung, Regressionsanalyse, Integration) sindausführlich in der Hilfe zum Programm dokumentiert. Jede mathematische Auswertungbezieht sich immer auf einen Kurvenbereich, der mit der Maus markiert werden muss.

• Das Programm ist frei verfügbar (s.o.), Sie können Ihre Messergebnisse aus dem Praktikum(*.labx Dateien) auch am eigenen PC zuhause oder im Computerpool auswerten. Messwertekönnen als *.txt Dateien exportiert werden (Datei speichern und Dateityp Textexportauswählen) und mit anderen Programmen (Origin, Excel, ...) importiert werden.

Anhang Kurzanleitung zur Software ORIGIN

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Kurzanleitung zur Software ORIGIN

Für die Auswertung von Messergebnissen und die Anfertigung grafischer Darstellungen steht inallen Physikpraktika die professionelle Visualisierungs- und Datenanalysesoftware Origin 2016- 2018 zur Verfügung. Die Uni Halle besitzt eine Campuslizenz dieser Software, die sich auchvon zuhause aus (mit VPN) nutzen lässt. Den Link zum Download und eine Installations-anleitung finden Sie auf der Seite des IT-Servicezentrums der Uni origin.itz.uni-halle.de, Hilfezum VPN unter itz.uni-halle.de/dienstleistungen/virtual_private_netwok.Der Umgang mit Software ist nicht Gegenstand der Physikausbildung. Origin ist lediglich einAngebot an Sie. Sie können alle Auswertungen und Grafiken auch von Hand in Tabellen bzw.auf Millimeterpapier anfertigen oder beliebige andere Software (z.B. Microsoft Excel,LibreOffice Calc) verwenden.

1. Grundsätzliches

• Alle Daten, Rechnungen und Grafiken werden zusammen in einer Projektdatei gespeichert.Ein leeres Projekt (bei Programmstart) enthält nur die Arbeitsmappe Book1 mit einer x- undeiner y-Spalte zur Eingabe der Daten. Weitere Spalten erzeugt man mittels Rechtsklick in

den leeren Bereich oder mit ., weitere Arbeitsmappen mit Datei - Neu... oder .

• Die Sprache kann im Hilfe Menü kann auf Deutsch oder Englisch eingestellt werden.

• Eine Grafik erhält man am schnellsten, indem man eine oder mehrere y-Spalten markiert (in

den Spaltenkopf klicken) und Zeichnen wählt oder auf einen der Buttons klickt.

• Alle Objekte (z.B. Spaltennamen, Beschriftungen von Achsen, Skalierung von Achsen,Aussehen einer Kurve, Legende) kann man bearbeiten, indem man darauf doppelklickt.

2. Arbeitsmappen

• Die Dateneingabe funktioniert wie in Excel. Weitere Spalten erhält man mit .

• In den Spaltenkopf sollte man immer Langname und Einheiten eingetragen - sie werdenautomatisch in die Achsen-Beschriftung und in die Legende einer Grafik übernommen.

• Spalten als X oder Y setzen: Spalte markieren, Rechtsklick und Setzen als auswählen.

• Rechnen mit Spalten: Formel in das Feld F(x)= eintragen oder Rechtsklick in markierteSpalte und Spaltenwerte errechnen... wählen.

Syntax: Spalte A ! Spalte B col(A) !col(B)

a b / (c + d) a * b / (c + d)

x2 x^2

%&x sqrt(x)

ex exp(x)

π pi

Anhang Kurzanleitung zur Software ORIGIN

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3. Grafiken

• Grafik-Fenster enthalten ein oder mehrere Koordinatensysteme, in Origin Layer genannt.

• Verschönern einer Grafik: Doppelklick auf die zu ändernden Dinge (siehe oben).

• Hinzufügen einer weiteren Kurve zu einem bereits existierenden Layer:

Weg1: in der Arbeitsmappe die zu zeichnenden Spalten auswählen und am rechten Rand mitder Maus in die Grafik ziehen

Weg 2: Doppelklick auf das “Layersymbol” links oben im Graph öffnet den DialogLayerinhalt. Dort links die Daten auswählen und den Button º klicken.

• Hinzufügen eines weiteren Koordinatensystems oder einer zweiten Achse zu einer bestehen-

den Grafik: Grafik - Neuer Layer (Achsen) wählen oder einen der Buttons drücken.

• Eine Legende hinzufügen oder die bestehende Legende aktualisieren: Grafik - Legende

wählen oder drücken.

• Beliebigen Text in eine Grafik schreiben: drücken und in die Grafik klicken. Text

formatieren mit Format-Buttonleiste (z.B. hoch, tief, griechisch mit )

• Werte aus einer Grafik ablesen mit den Werkzeugen Bildschirmkoordinaten und

Datenkoordinaten .

• Glatte (runde) Kurven durch die Messpunkte zeichnen: Kurve doppelklicken; denDiagrammtyp “Linie + Symbol” wählen; Linie - Verbindung - Spline oder B-Spline

einstellen. Lineare Regression: Analysis - Anpassen - Linearer Fit wählen. Bei mehrerenKurven vorher im Menü Daten die richtige Kurve auswählen. Soll nur ein Teil der Kurve

angepasst werden, dann vorher mit den Werkzeugen Daten-Selektor und Punkte

maskieren den Bereich einschränken. Mit Linearer Fit: Grundpraktikum-Standard

wird die Regression sofort ausgeführt, alle Parameter sind bereits für die meistenAnwendungsfälle im Praktikum sinnvoll eingestellt.

4. Ausdruck von Grafiken und Arbeitsmappen

• Prüfen Sie Ihre Grafiken vor dem Ausdruck genau, vermeiden Sie mehrfache Korrektur-drucke! Im Praktikum werden mehrere 10.000 Seiten pro Jahr gedruckt - das kostet Geld undbelastet die Umwelt. Arbeitsmappen mit sehr vielen Daten (mehrere Seiten) sollen imPraktikum nicht gedruckt werden. Solche mit nur drei Zahlen können Sie abschreiben!

• Mehrere Grafiken und/oder Arbeitsmappen und Text auf einem A4-Blatt anordnen:

Datei - Neu... Layout wählen oder klicken; Rechtsklick auf die Layoutseite um Grafikenoder Arbeitsmappen hinzuzufügen.

• druckt eine Grafik, Arbeitsmappe oder ein Layout unmittelbar auf ein A4-Blatt.

Einige Naturkonstanten

Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c = 2,997 924 58 ∙ 108 m/s

≈ 300 000 km/s

Gravitationskonstante γ = 6,674 30(15) ∙ 10−11 N m2 kg−2

Fallbeschleunigung im Grundpraktikum g = 9,812 03(2) m/s2

Elementarladung e0 = 1,602 176 634 ∙ 10−19 C

Elektronenruhemasse me = 9,109 383 7015(28) ∙ 10−31 kg

Atomare Masseneinheit u = 1,660 539 066 6(5) ∙ 10−27 kg

elektrische Feldkonstante ε0 = 8,854 187 817 ∙ 10−12 A s V−1 m−1

(Dielektrizitätskonstante des Vakuums)

magnetische Feldkonstante μ0 = 1,256 637 062 12(19) ∙ 10−6 V s A−1 m

−1

(Permeabilität des Vakuums)

Planck-Konstante h = 6,626 070 15 ∙ 10−34 J s

(Planckschen Wirkungsquantum) = 4,135 667 66(3) ∙ 10−15 eV s

Avogadro-Konstante NA = 6,022 140 76 ∙ 1023 mol−1

Boltzmann-Konstante k = 1,380 649 ∙ 10−23 J/K

molare Gaskonstante R = 8,314 462 618 153 24 J mol−1 K−1

Faraday-Konstante NA ∙ e0 F = 9,648 533 212 331 ∙ 104 C/mol

Quelle und weitere Daten: http://physics.nist.gov/cuu/

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Praktikum Physik · W25 Diffusion ... Gemäß Stu-dienordnung §11 kann die Klausur einmal im laufenden Semesters wiederholt werden. Voraussetzung zur Zulassung zur Klausur ist,