Praktische Durchführung der explorativen Faktorenanalyse · Dr. Wolfgang Langer - Methoden V: Explorative Faktorenanalyse SoSe 1999 - 1 Praktische Durchführung der explorativen

Dr. Wolfgang Langer - Methoden V: Explorative Faktorenanalyse SoSe 1999 - 1

Praktische Durchführung der explorativen Faktorenanalyse

Bei ihrem Sozialisationstypus „Autoritäre Persönlichkeit“ unterscheiden Adorno u.a. (1950) alskonstituierende Subdimensionen „Autoritäre Unterwürfigkeit“, „Antisemitismus“ und „Fremden-feindlichkeit (Xenophobie)“, wobei sie davon ausgehen, daß zwischen diesen drei Konstruktenjeweils ein enger Zusammenhang besteht. Im ALLBUS 1996 wurden diese drei Konstruktefolgendermaßen operationalisiert sowie in den Alten und Neuen Bundesländern erhoben:

XENOPHOBIE

AUTORITÄREUNTER-

WÜRFIGKEIT

ANTISEMI-TISMUS

Mehr Lebens-stil an-passen (V50)

Remigration bei knapperArbeit (V51)

Keine poli-tische Be-tätigung(V52)

Unter sichheiraten(V53)

Juden haben zuviel Ein-fluß (V137)

Keine Scham wg.dt.Ver-brechen anJuden (V138A)

Juden nutzendt.Vergangen-heit aus(V139)

Juden an Ver-folgung nichtunschuldig (V140)

Wichtigkeitgehorchen zulernen(V13A)

Dankbarkeitfür führendeKöpfe (V69)

Anpassung alsKind lernenspäter nütz-lich (V70)

Abbildung12: Messmodelle der Konstrukte „Autoritäre Unterwürfigkeit“,„Antisemitismus“ und „Xenophobie“ im ALLBUS 1996

Die explorative Faktorenanalyse eröffnet uns die Möglichkeit, zu überprüfen, ob die in Abbildung12 formulierten Messrelationen wirklich gelten. Unter der Annahme, daß die drei Konstrukte„Xenophobie“, „Autoritäre Unterwürfigkeit“ und „Antisemitismus“ statistisch unabhängig sind,können wir untersuchen, ob ihre Items die vorgegebene Zieldimension im Sinne der angenomme-nen Einfachstruktur messen oder ob sich hinter ihnen eine nichtintendierte „Fremddimension“verbirgt. Hierfür benötigen wir fünf Arbeitsschritte, die sukzessiv aufeinander aufbauen, wieAbbildung 13 verdeutlicht:


Abbildung13 : Sequentielle Arbeitsschritte der explorativen Faktorenanalyse


Kaiser, Meyer&Olkin Measure of Sampling Adequacy (KMO):

KMO�Kriterium �

��igj

r 2ij

��igj

r 2ij � � �

igjgkr 2

ij.k

� [ 0 ; 1]

(28) Berechnung des Kaiser, Meyer&Olkin Kriteriums der Stichprobenadäquanz

rij.k �

rij � rik � rjk

1 � r 2ik � 1 � r 2

jk

(29) Berechnung des Partiellen Korrelationskoeffizienten

1. Arbeitsschritt: Auswahl der Variablen und Berechnung der Korrelationen

Zunächst müssen wir überprüfen, ob unsere Korrelationsmatrix überhaupt dazu geeignet ist, ummit ihr eine Faktorenanalyse durchzuführen. Hierzu bieten sich zwei Vorgehensweisen an. Zu-nächst können wir per Augenschein feststellen, ob sich in unserer Matrix Variablencluster mitrelativ hohen bivariaten Korrelation befinden. Ist dies nicht der Fall, so eignet sich die Matrix nichtfür weiterführende Faktorenanalysen. Alternativ hierzu können wir uns das von Kaiser, Meyer undOlkin entwickelte MSA-Maß („measure of sampling adequacy“) berechnen lassen. Es gibt Auf-schluß darüber, wie stark die Korrelationen unter der Kontrolle von Drittvariableneffekten ins-gesamt ausfallen. Durch ihre Quadrierung normieren die Autoren das KMO-Maß auf den Werte-bereich von Null bis Eins.

Die im Nenner enthaltenen Partialkorrelationen können wir folgendermaßen berechnen:

Das von Kaiser, Meyer&Olkin vorgeschlagene KMO-Kriterium setzt die Summe aller quadriertenbivariaten Korrelationen ins Verhältnis zu den Summen der quadrierten bivariaten und partiellenKorrelationskoeffizienten der Matrix. Je geringer die Summe quadrierten partiellen Korrelations-koeffizienten ausfällt, desto höher ist das KMO-Maß. Je größer das Ausmaß, in dem die be-obachteten Indikatoren einen gemeinsamen Faktor messen, desto geringer fallen ihre Partialkorrela-tionen aus. Je weniger die beobachteten Korrelationen der Indikatoren untereinander durch andereDrittvariablen „erklärt“ werden , umso eher eignet sich die Korrelationsmatrix für die Faktoren-analyse. Kaiser (1974, S. 111) schlägt folgende Schwellenwerte vor, wobei er die Durchführungeiner Faktorenanalyse ab einem KMO-Wert von 0,80 für sinnvoll hält.


Tabelle 4: Kaisers Bewertung des KMO-Kriteriums:

MSA >= 0,9 marvelous „erstaunlich“

MSA >= 0,8 meritorious „verdienstvoll“

MSA >= 0,7 middling „ziemlich gut“

MSA >= 0,6 mediocre „mittelmäßig“

MSA >= 0,5 miserable „kläglich“

MSA < 0,5 unacceptable „untragbar“

Die KMO-Werte für die einzelnen Variablen liefern einen Hinweis dafür, welche Variablen bei derFaktorenanalyse ausgeschlossen werden sollten. Hierbei gilt ebenfalls ein MSA-Wert von 0,80.SPSSfWin gibt die MSA-Werte für die einzelnen Indikatoren in der Anti-Image-Korrelations-matrix aus, die wir über die Option „AIC“ der /PRINT-Anweisung anfordern können.Mit Hilfe des von Bartlett entwickelten Anpassungstests läßt sich das KMO-Maß für die gesamteKorrelationsmatrix inferenzstatistisch absichern („Bartlett‘s Test of Sphericity“). Unter Annahmeeiner Multinormalverteilung lautet die Nullhypothese des �2-Anpassungstests, daß alle Korrela-tionskoeffizienten der Matrix Null sind, d.h., daß nur die Hauptdiagonale Einsen enthält, alleanderen Elemente aber Null sind. Die Alternativhypothese HA behauptet, daß es sich nicht um einesogenannte Einheitsmatrix handelt. Ist die Nullhypothese auf dem üblichen 5%-Signifikanzniveauzu verwerfen, so eignet sich die Korrelationsmatrix für eine Faktoren-/Komponentenanalyse.

Für den ersten Arbeitsschritt müssen im Statistikhauptmenu die Faktorenanalyse als Datenreduk-tionsverfahren wählen. Zunächst wählen wir für unsere Analyse die zu den Konstrukten „Xeno-phobie“, „Antisemitismus“ sowie „autoritäre Unterwürfigkeit“ gehörenden Variablen/Items aus.


SPSSfWin-Menuführung:

1. Statistik - Datenreduktion - Faktorenanalyse

Über den Schaltknopf „Deskr.Statistiken...“ gelangen wir in das Untermenu für die Anforderungder deskriptiven Statistiken wie den Mittelwerten oder den Standardabweichungen der Items sowieihren Korrelationen. Neben der unrotierten Faktor-/Komponentenlösung fordern wir dort dieunivariaten Statistiken, die Korrelationen das KMO-Maß und die Anti-Image-Matrix nach Guttmanan. Die Hauptdiagonale letzterer enthält die KMO-Maße der einzelnen Variablen.

2. Deskr. Statistiken....


Für unseren ersten Arbeitsschritt erhalten wir für die Stichprobe „Alte Bundesländer“ des Allbus1996 folgendes SPSSfWin-Ausgabeprotokoll:

- - - - - - - - - - - F A C T O R A N A L Y S I S - - - - - - - - - - -

Analysis number 1 Listwise deletion of cases with missing values

Mean Std Dev Label

V50 4.88188 1.88664 AUSLAENDER: MEHR LEBENSSTILANPASSUNGV51 3.29730 1.99617 AUSLAEND.:WIEDER HEIM BEI KNAPPER ARBEITV52 3.76827 2.21951 AUSLAENDER: POLIT.BETAETIGUNG UNTERSAGENV53 2.67467 2.10545 AUSLAENDER: SOLLTEN UNTER SICH HEIRATENV13A 2.67467 1.33114 Wichtigkeit Erziehungsziel gehorchen lerV69 2.77578 1.84034 DANKBAR SEIN FUER FUEHRENDE KOEPFEV70 2.44444 1.70969 ANPASSUNG ALS KIND SPAETER NUETZLICHV137 3.24575 2.01501 JUDEN HABEN AUF DER WELT ZUVIEL EINFLUSSV138A 2.35385 1.83206 KEINE SCHAM WG.DEUTSCHER VERBRECHEN AN JV139 4.39590 2.05506 JUDEN NUTZEN DEUTSCHE VERGANGENHEIT AUSV140 2.64214 1.86890 JUDEN AN VERFOLGUNGEN NICHT UNSCHULDIG

Number of Cases = 1998

Correlation Matrix:

V50 V51 V52 V53 V13A V69 V70

V50 1.00000V51 .35145 1.00000V52 .40627 .48822 1.00000V53 .31809 .47626 .42652 1.00000V13A .25567 .24390 .25125 .29848 1.00000V69 .20726 .16482 .16503 .20435 .21284 1.00000V70 .21670 .24019 .24133 .32355 .30340 .34999 1.00000V137 .26739 .30763 .33419 .26967 .24862 .17313 .24329V138A .08439 .11855 .09850 .10204 .07946 -.03393 .06839V139 .27102 .30051 .32005 .22861 .21387 .07075 .13503V140 .23185 .33188 .30292 .31413 .23578 .13797 .17956

V137 V138A V139 V140

V137 1.00000V138A .14219 1.00000V139 .52332 .19167 1.00000V140 .52520 .18018 .48554 1.00000

Aus dem Blickwinkel unseres Messmodells in Abbildung 1 lassen sich per Augenschein in derKorrelationsmatrix die drei Variablencluster der Konstrukte „Xenophobie“, „Autoritäre Unterwür-figkeit“ und „Antisemitismus“ identifizieren. Hierbei zeigt sich aber, daß die Items V13A undV138A sehr viel schwächer mit den anderen zu ihrem Konstrukt gehörenden Items korrelieren.Dies weist daraufhin, daß sie ihre Zieldimension schlechter messen als ihre Koindikatoren.


Kaiser-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy = .84981

Bartlett Test of Sphericity = 4804.3859, Significance = .00000

Nach den von Kaiser entwickelten Bewertungskriterien eignet sich die Korrelationsmatrix derABL-Stichprobe mit dem KMO-Wert von 0,85 für die Faktorenanalyse, da der kritische Schwellen-wert von 0,80 deutlich überschritten wird. Der von Bartlett entwickelte Tests der Sphärizitätverwirft mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von weniger als einem Promille die Nullhypothese desVorliegen einer Einheitsmatrix. Aufgrund beider Kriterien eignet sich die Korrelationsmatrix fürdie Faktorenanalyse.Mit Hilfe der Anti-Image-Matrix (AIC) können wir überprüfen, ob die einzelnen Variablen für dieFaktorenanalyse geeignet sind. Die AIC-Matrix enthält im unteren Dreieck alle Partialkorrelationder Indikatoren mit umgekehrten Vorzeichen. Da bei den Partialkorrelationen die linearen Effekteder anderen Indikatoren statistisch kontrolliert werden, handelt es sich bei ihnen um Schätzer fürdie „uniquen Faktoren“, die sogenannten Meßfehler. Gemäß den Annahmen der Faktorenanalysesollten sie möglichst einen Wert von Null aufweisen.

Anti-image Correlation Matrix:

V50 V51 V52 V53 V13A V69 V70

V50 .89330V51 -.11022 .86103V52 -.20938 -.26519 .86724V53 -.07379 -.26800 -.17205 .86179V13A -.09192 -.02308 -.03602 -.10984 .90371V69 -.09867 -.01428 -.00521 -.03687 -.07875 .78125V70 -.02582 -.02932 -.03773 -.15352 -.16321 -.26388 .81516V137 -.03792 -.02703 -.08184 .00358 -.04724 -.05610 -.09785V138A -.01302 -.02828 .00338 -.01840 -.01616 .08289 -.03620V139 -.08770 -.05761 -.08458 .02613 -.04560 .05683 .03600V140 .01018 -.08637 -.01668 -.11044 -.04956 -.03126 .01676

V137 V138A V139 V140

V137 .82838V138A -.00933 .84921V139 -.31920 -.09601 .82581V140 -.31011 -.07937 -.24576 .84342

Measures of Sampling Adequacy (MSA) are printed on the diagonal.Bis auf V69 überschreiten alle Indikatoren den von Kaiser vorgegebenen Schwellenwert von 0,80.Da V69 diesen Schwellenwert nur knapp verpaßt hat, empfiehlt es sich, sie für die weiterenAnalysen beizubehalten.

2. Arbeitsschritt: Auswahl des Extraktionsverfahrens der Faktoren

Zunächst wenden wir die Hauptkomponentenmethode an, wobei wir davon ausgehen, daß diegemeinsamen Faktoren die Varianz der Indikatoren vollständig „aufklären“. Hierfür behalten wirim Untermenu „Extraktion....“ die Voreinstellungen bei. Nach dem von Kaiser entwickeltenEigenwertkriterium berechnet SPSSfWin nur Hauptkomponenten, deren Varianzaufklärung höher


ausfällt als diejenige jedes einzelnen Indikators.. Da alle Indikatoren z-standardisiert sind, beträgtihre Varianz jeweils Eins. Eine Hauptkomponente führt nur dann zu einer relevanten Variablenre-duzierung und damit zu einem Informationsgewinn, wenn ihre „gebundene“ Varianz den Wert Einsüberschreitet. Der Forscher kann aber auch aus inhaltlichen Gründen die Anzahl der „zu ziehendenFaktoren“ extern vorgeben. Zusätzlich fordern wir den Screeplot der Eigenwerte nach Cartlett an.

SPSSfWin-Menu Faktorenanalyse - Extraktion

SPSSfWin berechnet zunächst so viele Hauptkomponenten, wie es Indikatoren vorfindet. Diezugehörigen Eigenwerte und Anteile der „aufgeklärten“ Gesamtvarianz der Indikatoren werdenausgegeben. Wenden wir das Kaiser-Eigenwert Kriterium an, so genügen drei Hauptkomponenten, um die Korrelationsstruktur der Indikatoren hinreichend zu beschreiben, da bereits der vierteFaktor mit einem Eigenwert von 0,92 weniger Varianz aufklärt als ein einzelner Indikator beisteu-ert. Daher extrahiert SPSSfWin drei Hauptkomponenten und berechnet die geschätzten Kommuna-litäten aus der unrotierten Ladungsmatrix.

SPSSfWin-Ausgabeprotokoll:

Extraction 1 for analysis 1, Principal Components Analysis (PC)

Initial Statistics:

Variable Communality * Factor Eigenvalue Pct of Var Cum Pct *V50 1.00000 * 1 3.66216 33.3 33.3V51 1.00000 * 2 1.32672 12.1 45.4V52 1.00000 * 3 1.01301 9.2 54.6V53 1.00000 * 4 .92191 8.4 62.9V13A 1.00000 * 5 .75896 6.9 69.8V69 1.00000 * 6 .74004 6.7 76.6V70 1.00000 * 7 .61422 5.6 82.2V137 1.00000 * 8 .54924 5.0 87.1V138A 1.00000 * 9 .49169 4.5 91.6V139 1.00000 * 10 .47962 4.4 96.0V140 1.00000 * 11 .44244 4.0 100.0

PC extracted 3 factors.


Faktor-Scree-Plot

Faktornummer

1110987654321

Eig

enwe

rt

4

3

2

1

0

Abbildung14: Plot des Eigenwertverlaufs nach Cattel

Betrachtet man den Eigenwertverlauf der Hauptkomponentenlösung genauer, so zeigt sich, daß sichdie Steigung der zu gehörige Linie nach dem dritten Faktor zunehmend dem Wert Null nähert.Bereits der vierte Faktor verfügt über einen Eigenwert, der mit 0,92 kleiner als der von Kaiservorgeschlagene Schwellenwert 1 ausfällt. Daher reichen drei Hauptkomponenten aus, um dieKorrelationsstruktur der Indikatoren hinreichend zu beschreiben.

Für die 3er Hauptkomponentenlösung erhalten wir die folgende unrotierte Ladungsmatrix.

Factor Matrix:

Factor 1 Factor 2 Factor 3

V50 .58529 .14581 -.27604V51 .67399 .06357 -.41516V52 .67720 .06381 -.40372V53 .65430 .22164 -.28868V13A .51972 .24443 .20593V69 .37748 .54663 .43263V70 .50101 .46813 .33353V137 .66989 -.33891 .31080V138A .24660 -.40160 .02307V139 .61851 -.49115 .16928V140 .65030 -.39134 .22701

Final Statistics:


Variable Communality * Factor Eigenvalue Pct of Var Cum Pct *V50 .44003 * 1 3.66216 33.3 33.3V51 .63065 * 2 1.32672 12.1 45.4V52 .62565 * 3 1.01301 9.2 54.6V53 .56057 *V13A .37226 *V69 .62847 *V70 .58140 *V137 .66020 *V138A .22262 *V139 .65245 *V140 .62758 *

Mit den extrahierten drei Hauptkomponenten binden wir 54,6% der Gesamtvarianz der Indikatoren,bei 33,3% auf die erste, 12,1% auf die zweite sowie 9,2% auf die dritte Hauptkomponente entfal-len. Bis auf die Indikatoren V50 (44,0%), V13A(37,2%) sowie V138A(22,3%) binden die dreiHauptkomponenten zwischen 56,1 und 66,0% der Varianz des einzelnen Indikatoren. Betrachtenwir die unrotierte Ladungsmatrix genauer, so zeigt sich, daß wir weit von der gesuchten Einfach-struktur der Faktorladungen entfernt sind. Anstatt der von uns in Abbildung 12 erwarteten Einfach-struktur erhalten wir einen „Generalfaktor“, auf dem bis auf V69 und V138A alle anderen Indika-toren hoch laden. Zusätzlich treten Doppelladungen zum Teil mit negativem Vorzeichen beietlichen Indikatoren auf. Die vorliegende Ladungsstruktur entzieht sich daher vollständig einerinhaltlichen Interpretation, wie dies ebenfalls im folgenden Ladungsplot zum Ausdruck kommt.

v137v140

v139

v13a

v70

,6,7

Komponente 2

-,4

v53

v52

-,2

v51

v69

,4

,0

,6

v50,2

,4

,2

,6

,5

v138a

Komponente 3Komponente 1,0,4 -,2,3 -,4

Abbildung15: Ladungsplot der unrotierten Hauptkomponentenlösung


4. Arbeitsschritt: Inhaltliche Interpretation der Faktorenlösung

Im Rotationsmenu können wir das Rotationsverfahren für die Vereinfachung der Ladungsstrukturwählen. Wir wenden zunächst das von Kaiser entwickelte Varimaxverfahren zur Vereinfachung derLadungsstruktur an. Zusätzlich fordern wir neben den Ladungskoeffizienten der rotierten Lösungden zugehörigen dreidimensionalen Faktorladungsplots an.

SPSSfWin-Menu: Rotation ...

SPSSfWin-Ausgabeprotokoll:

VARIMAX rotation 1 for extraction 1 in analysis 1 - Kaiser Normalization.

VARIMAX converged in 5 iterations.

Rotated Factor Matrix:

Xenophobie Antisemi- Autoritäre tismus Unterwürfigkeit


V50 .62323 .13564 .18223V51 .76434 .19925 .08210V52 .75856 .20491 .09080V53 .69486 .11534 .25386V13A .26104 .19263 .51673V69 .06735 -.03365 .78918V70 .20497 .06131 .73187V137 .16985 .74607 .27337V138A .06946 .44691 -.13444V139 .20255 .77928 .06439V140 .20438 .74422 .17873


Factor Transformation Matrix:


Factor 1 .68297 .57944 .44475Factor 2 .20617 -.73704 .64364Factor 3 -.70074 .34789 .62284

Die Betrachtung der Varimax-rotierten Ladungsmatrix ergibt, daß wir nunmehr die von unsgesuchte „Einfachstruktur“ der Messmodelle in Abbildung 12 erhalten. Legen wir die Entschei-dungsregeln zu Grunde, daß Ladungen ab 0,50 eine Hauptkomponente inhaltlich charakterisierenund Ladungen unter 0,30 ausgeblendet werden können, so zeigt sich, daß die erste Komponentedurch die Items zur „Xenophobie“ eindeutig charakterisiert wird. Ihre Ladungen liegen zwischen0,62 (V50) und 0,76 (V51). „Kreuz- oder Doppelladungen“ auf den beiden anderen Komponentenliegen oberhalb des Schwellenwert von 0,30 nicht vor. Auf der zweiten Komponente laden nur dieItems zum „Antisemitismus“ hoch, die bis auf das Item V138A Koeffizienten zwischen 0,74(V140) und O,78 (V139) aufweisen. „Die Verneinung des Schamempfindens wegen der deutschenVerbrechen an den Juden“ verfügt mit einem Wert von 0,45 über die niedrigste Ladung. Ebensowie bei den Items V137, V139 sowie V140 treten aber keine nennenswerten Doppelladungen aufden beiden anderen Komponenten auf. Auf der dritten Komponente laden nur die Items zur„autoritären Unterwürfigkeit“ hoch, wobei V69 und V70 mit 0,79 bzw. 0,73 sehr hohe Koeffizien-ten aufweisen. Hingegen fällt das Items V13A mit einer Ladung von 0,52 deutlich ab. Insgesamtkönnen wir davon ausgehen, daß unsere Hauptkomponentenanalyse unter der Annahme derstatistischen Unabhängigkeit der Konstrukte die in Abbildung 12 hypothetisch formuliertenMessrelationen vollständig reproduziert.

Die durch die Varimaxrotation identifizierte Einfachstruktur können wir auch dem „Ladungsplot“in Abbildung 16 entnehmen. Die Xenophobie messenden Items V50, V51, V52 und V53 weisenhohe Ladungswerte nur auf der ersten Komponentenachse auf und setzen sich räumlich deutlichvon den anderen Items im dreidimensionalen Streudiagramm ab. Auf der zweiten Komponenten-achse bilden die zum Antisemitismus gehörenden Indikatoren V137, V139 und V140 ein Varia-blencluster, wobei sich V138A mit seiner deutlich niedrigeren Ladung von ihnen räumlich absetzt.Die Komponente charakterisieren die Items zur „Autoritären Unterwürfigkeit“, wobei die ItemsV69 und V70 mit hohen Ladungen eindeutig hervorstechen.

Da die Items V13A und V138A nur auf ihrer jeweiligen Zieldimension laden, können wir sieebenfalls bei einer späteren Skalenkonstruktion beibehalten. Ihre relativ niedrigen Ladungen weisenuns daraufhin, daß sie ihre Zieldimension deutlich schlechter messen als die zugehörigen anderenIndikatoren. Daher sollten sie bei der Skalenkonstruktion ein deutlich niedrigeres Gewicht erhaltenals ihre Koindikatoren.


Abbildung16: Ladungsplot der Varimax-rotierten Hauptkomponentenlösung

SPSSfWin Syntax zur Durchführung der Hauptkomponentenanalyse:

GET FILE='G:\DATEN\METH5\spssfwin\all96fak.sav'.EXECUTE .FILTER OFF.USE ALL.SELECT IF( v3=1).EXECUTE .

var labels v138a 'KEINE SCHAM WG.DEUTSCHER VERBRECHEN AN JUDEN'.freq /variables=v138a.

* Hauptkomponentenlösung ohne Rotation.

FACTOR /VARIABLES v50 v51 v52 v53 v13a v69 v70 v137 v138a v139 v140 /MISSING LISTWISE /ANALYSIS v50 v51 v52 v53 v13a v69 v70 v137 v138a v139 v140 /PRINT UNIVARIATE INITIAL CORRELATION KMO EXTRACTION ROTATION /CRITERIA MINEIGEN(1) ITERATE(25) /EXTRACTION PC /CRITERIA ITERATE(25) /ROTATION NOROTATE. /PLOT EIGEN ROTATION.


* Hauptkomponentenlösung mit Varimax-Rotation.

FACTOR /VARIABLES v50 v51 v52 v53 v13a v69 v70 v137 v138a v139 v140 /MISSING LISTWISE /ANALYSIS v50 v51 v52 v53 v13a v69 v70 v137 v138a v139 v140 /PRINT UNIVARIATE INITIAL EXTRACTION ROTATION /CRITERIA MINEIGEN(1) ITERATE(25) /EXTRACTION PC /CRITERIA ITERATE(25) /ROTATION VARIMAX. /PLOT ROTATION.

Berechnung der Hauptachsenlösung : „Principal Axis Factoring (PAF)“

Alternativ zum bisherigen Vorgehen können wir unsere Faktorenanalyse mit Hilfe des „Haupt-achsenverfahren“ durchführen. Hierbei müssen wir beachten, daß dieses Verfahren „uniqueLadungen“ im Sinne der Meßfehler zu läßt. Hieraus folgt, daß die „gemeinsamen Faktoren“deutlich weniger als 100% der Varianz der einzelnen Indikatoren erklären können. Deshalb läßtsich das von Kaiser vorgeschlagene Eigenwertkriterium zur Bestimmung der benötigten Faktoren-anzahl für die eigentliche Hauptachsenlösung nicht anwenden. SPSSfWin verwendet als Startwertefür die Hauptachsenlösung die Ergebnisse der Hauptkomponentenlösung, wobei es ebenso vieleKomponenten „zieht“, wie Indikatoren vorhanden sind. Das Kaiser-Kriterium dient insoweit alsRichtschnur für die Hauptachsenlösung, da SPSSfWin nur so viele Faktoren berechnet, wie in derHauptkomponentenlösung einen Eigenwert von Eins haben. Als Schätzer für die unbekanntenKommunalität des Indikators dient der multiple Determinationskoeffizienten der Regression desbetrachteten auf alle übrigen Indikatoren. Die im ersten Arbeitsschritt durchzuführende Variablen-auswahl erfolgt analog zur Hauptkomponentenlösung. Wir haben lediglich im Extraktionsmenu derFaktorenanalyse als Methode die Option „Hauptachsen“ auszuwählen. Neben der unrotiertenFaktorlösung fordern wir ebenfalls einen Screeplot nach Cattel an.

SPSSfWin-Menu: Faktorenanalyse - Extraktion


Wir erhalten folgendes SPSSfWin-Ausgabeprotokoll:

Extraction 1 for analysis 1, Principal Axis Factoring (PAF)

Initial Statistics:

Variable Communality * Factor Eigenvalue Pct of Var Cum Pct *V50 ,24310 * 1 3,66216 33,3 33,3V51 ,36133 * 2 1,32672 12,1 45,4V52 ,35806 * 3 1,01301 9,2 54,6V53 ,33873 * 4 ,92191 8,4 62,9V13A ,18433 * 5 ,75896 6,9 69,8V69 ,16179 * 6 ,74004 6,7 76,6V70 ,23361 * 7 ,61422 5,6 82,2V137 ,40384 * 8 ,54924 5,0 87,1V138A ,05597 * 9 ,49169 4,5 91,6V139 ,36765 * 10 ,47962 4,4 96,0V140 ,37361 * 11 ,44244 4,0 100,0

PAF extracted 3 factors. 12 iterations required.

Factor Matrix: Unrotierte Ladungsmatrix der Hauptachsenmethode


V50 ,51086 ,12242 -,10081V51 ,63347 ,12835 -,29785V52 ,63163 ,11383 -,26674V53 ,59877 ,22914 -,14274V13A ,44470 ,14776 ,12636V69 ,32752 ,31290 ,29419V70 ,45431 ,34790 ,31171V137 ,64387 -,32550 ,19720V138A ,20088 -,14551 -,02968V139 ,58856 -,41891 ,04020V140 ,60989 -,31782 ,09067

Final Statistics:

Variable Communality * Factor Eigenvalue Pct of Var Cum Pct *V50 ,28613 * 1 3,10445 28,2 28,2V51 ,50648 * 2 ,74131 6,7 35,0V52 ,48306 * 3 ,43969 4,0 39,0V53 ,43140 *V13A ,23556 *V69 ,29173 *V70 ,42459 *V137 ,55940 *V138A ,06240 *V139 ,52350 *V140 ,48119 *


Im Vergleich zur dreier Hauptkomponentenlösung sind sinkt bei der Hauptachsenlösung der Anteilder „erklärten Gesamtvarianz“ der Indikatoren von 54,6% auf 39,0% ab. Der erste Faktor bindetmit einem Eigenwert von 3,10 28,2% der Varianz. Ihm folgen mit deutlichem Abstand der zweiteund dritte Faktor mit 6,7% bzw. 4,0%. Auf der Ebene der einzelnen Indikatoren fällt die Varianz-aufklärung durch die gemeinsamen Faktoren ebenfalls deutlich geringer als bei der Hauptkompo-nentenlösung aus. Diese „schlechtere Modellanpassung“ ist auf die beschriebenen Besonderheitender Hauptachsenlösung zurückzuführen.

Ihre unrotierte Ladungsmatrix entzieht sich weitgehend einer inhaltlichen Interpretation, da erstensfast alle Indikatoren auf dem ersten Faktor hoch laden und zweitens bei V69, V70 und V139Doppelladungen auftreten. Dies ist ebenfalls im folgenden Ladungsplot ersichtlich.

v137v140

v139

v70

,4,7

Faktor 2

v13a

-,4

v69

,3

-,2

,6

v53

,0

v50v52

,2

v51,2

,5

,4

,1

Faktor 3Faktor 10,0,4

v138a

-,1,3 -,2,2 -,3

Abbildung17: Ladungsplot der unrotierten Hauptachsenlösung

Fortsetzung des SPSSfWin-Ausgabeprotokolls:

VARIMAX rotation 1 for extraction 1 in analysis 1 - Kaiser Normalization.

VARIMAX converged in 6 iterations.


Rotated Factor Matrix: Varimax-rotierte Ladungsmatrix der Hauptachsenlösung

Antisemi- Xenophobie Autoritäre tismus Unterwürfigkeit


V50 ,20684 ,43694 ,22897V51 ,23950 ,65302 ,15062V52 ,25553 ,62538 ,16330V53 ,17290 ,55858 ,29917V13A ,19193 ,24678 ,37124V69 ,02778 ,11320 ,52739V70 ,08416 ,19389 ,61638V137 ,68761 ,16180 ,24580V138A ,22938 ,09829 -,01132V139 ,69199 ,20277 ,05942V140 ,63920 ,21632 ,16068

Factor Transformation Matrix:


Factor 1 ,62520 ,63665 ,45144Factor 2 -,75424 ,34421 ,55914Factor 3 ,20059 -,69007 ,69539

Nach der Varimaxrotation erhalten wir die obige Ladungsmatrix, welche die von uns gesuchteEinfachstruktur aufweist. Auf dem ersten Faktor laden die Antisemitismusitems V137, V139 undV140 mit Koeffizienten zwischen 0,64 (V140) und 0,69 (V139) hoch. Alle sonstigen Ladungenerreichen nicht die 0,30-Grenze. Hingegen unterschreitet die Ladung des Items V138A dieseGrenze, so daß es zur inhaltlichen Interpretation nichts beiträgt. Seine Ladungen auf den beidenanderen Faktoren erreichen ebenfalls nicht diesen Schwellenwert. Auf dem zweiten Faktor ladenausschließlich die Items zur „Xenophobie“ V50, V51, V52 und V53, wobei die letzten drei mitKoeffizienten zwischen 0,56 (V53) und 0,65 (V51) den Faktor inhaltlich prägen. Das „Lebens-stilitem“ V50 erreicht die hierfür notwendige 0,50-Grenze nicht. Alle vier Items weisen keine„Doppel-oder Kreuzladungen“ auf den beiden anderen Faktoren auf, so daß wir davon ausgehenkönnen, daß sie nur ihre Zieldimension „Xenophobie“ messen. Den dritten Faktor prägen die Itemszur „autoritären Unterwürfigkeit“, wobei die Items V69 und V70 mit 0,53 bzw. 0,62 die höchstenKoeffizienten aufweisen. Mit einer Ladung von 0,37 fällt das Item V13A deutlich ab. Alle dreiItems laden ausschließlich auf dem dritten Faktor, so daß davon auszugehen ist, daß sie ebenfallsnur ihre Zieldimension messen.

Die „Einfachstruktur“ ist ebenfalls deutlich im Ladungsplot der Abbildung 11 erkennbar. DieAntisemitismus-, Xenophobie- und Unterwürfigkeitsitems werden nach der Rotation klar imLadungsraum getrennt. Die entsprechenden Indikatoren liegen nahe bei den Achsen und weisenhohe Ladungen/Koordinaten auf. Die Antisemitismusindikatoren prägen mit ihren hohen Ladungendie erste Faktorenachse, während dies die Xenophobieitems auf der zweiten Achse tuen. Die dritteFaktorenachse markieren hingegen die Items zur „autoritären Unterwürfigkeit“.


v137 v70v140

Faktor 2

,7,8

v139

,1

v69,2

,6

,3 v13a

,6

,4

,5

,5

,6

,7

,4,4

v50

v53

Faktor 3Faktor 1,3

v138a

v52

,2

v51

,2,10,0 0,0

Abbildung18: Ladungsplot der varimax-rotierten Hauptachsenlösung

Insgesamt gesehen bleibt festzuhalten, daß sowohl die Hauptkomponenten also auch die Haupt-achsenmethode dieselbe Faktorstruktur reproduzieren, wobei Unterschiede in der Aufklärung derGesamt- und Itemvarianz auf die explizite Berücksichtigung der Messfehler durch das Haupt-achsenverfahren zurückzuführen sind.

SPSSfWin Syntax für die Durchführung der Hauptachsenanalyse:

* Hauptachsenlösung ohne Varimax-Rotation.

FACTOR /VARIABLES v50 v51 v52 v53 v13a v69 v70 v137 v138a v139 v140 /MISSING LISTWISE /ANALYSIS v50 v51 v52 v53 v13a v69 v70 v137 v138a v139 v140 /PRINT UNIVARIATE INITIAL EXTRACTION ROTATION /CRITERIA MINEIGEN(1) ITERATE(25) /EXTRACTION PAF /CRITERIA ITERATE(25) /ROTATION NOROTATE /PLOT ROTATION.

* Hauptachsenlösung mit Varimax-Rotation.

FACTOR /VARIABLES v50 v51 v52 v53 v13a v69 v70 v137 v138a v139 v140 /MISSING LISTWISE /ANALYSIS v50 v51 v52 v53 v13a v69 v70 v137 v138a v139 v140 /PRINT UNIVARIATE INITIAL EXTRACTION ROTATION /CRITERIA MINEIGEN(1) ITERATE(25) /EXTRACTION PAF /CRITERIA ITERATE(25) /ROTATION VARIMAX /PLOT ROTATION.


Berechnung der Hauptkomponentenlösung mit einer schiefwinkeligen Rotation

Sowohl bei der Hauptkomponenten- als auch bei der Hauptachsenanalyse haben wir stets unter-stellt, daß unsere theoretischen Konstrukte „autoritäre Unterwürfigkeit“, „Antisemitismus“ und„Xenophobie“ jeweils voneinander statistisch / stochastisch unabhängig sind. In der Terminologieder Faktorenanalyse spricht man auch von einer „orthogonalen Faktorlösung“. Aufgrund unsererinhaltlichen Überlegungen gehen wir aber davon aus, daß alle drei Konstrukte Subdimensionen desvon Adorno u. a. entwickelten „autoritären Persönlichkeits- / Sozialisationstypus“ sind. Autorit-ärgeprägte Personen zeichnen sich dadurch aus, daß sie in hohem Maße sowohl antisemitisch alsauch fremdenfeindlich sind. Zusätzlich neigen sie dazu, sich Autoritäten bedingungslos zu unter-werfen. Daher unterstellen wir, daß die betrachteten Faktoren nicht unabhängig voneinandersondern hoch miteinander korreliert sind. Dieser spezielle Sozialisationstypus erfordert daher keineorthogonale sondern eine korrelierte Faktorenstruktur. In der Terminologie der Faktorenanalysespricht man in diesem Fall von obliquen Faktoren. Ihnen entsprechen die Messrelationen derfolgenden Abbildung.

XENOPHOBIE

AUTORITÄREUNTER-

WÜRFIGKEIT

ANTISEMI-TISMUS

Mehr Lebens-stil an-passen (V50)

Remigration bei knapperArbeit (V51)

Keine poli-tische Be-tätigung(V52)

Unter sichheiraten(V53)

Juden haben zuviel Ein-fluß (V137)

Keine Scham wg.dt.Ver-brechen anJuden(V138A)

Juden nutzendt.Vergangen-heit aus(V139)

Juden an Ver-folgung nichtunschuldig (V140)

Wichtigkeitgehorchen zulernen(V13A)

Dankbarkeitfür führendeKöpfe (V69)

Anpassung alsKind lernenspäter nütz-lich (V70)

Abbildung19: Messmodelle der Konstrukte „Autoritäre Unterwürfigkeit“, „Antisemitis-mus“ und „Xenophobie“ unter Annahme einer obliquen Faktorenstruktur

Bei der klassischen Vorgehensweise der explorativen Faktorenanalyse versucht man die Abhängig-keit der Faktoren durch eine schiefwinkelige Rotation der Faktorachsen im Nachhinein zu berück-sichtigen. Nach einer orthogonalen Hauptkomponenten oder Hauptachsenlösung erfolgt dieRotation der Achsen dergestalt, daß der Winkel zwischen ihnen iterativ so lange verkleinert wird,bis ein vorgegebenes Minimierungskriterium erfüllt ist. Bei SPSSfWin muß der Forscher für die


1 S. Nie, Hull, Jenkins, Steinbrenner, Brent 1975, S. 486

schiefwinkelige „direkte Oblimin“-Rotationsmethode das Ausmaß der durchschnittlichen Abhän-gigkeit der Faktoren über das Delta-Kriterium direkt angeben. Die Voreinstellung des Delta-Wertesvon Null unterstellt eine mäßige Abhängigkeit der Faktoren. Hingegen entspricht dem positivenMaximalwert von 0,80 dem Höchstmaß der Interkorrelation der Faktoren. Negative Delta-Wertezwischen -0,5 und -5,0 entsprechen sehr geringen Faktorkorrelationen. Eine orthogonale Lösungenthält man bei Delta-Werten kleiner als -5,0.1 Da es für die Festlegung des Delta-Kriteriums keinePatentrezepte gibt, schlägt Arminger folgende Analysestrategie vor:

„1. Man versucht zunächst latente Dimensionen zu definieren um mit Hilfe meßbarer Variablenzu operationalisieren.

2. Man berechnet eine direkte Lösung des Faktorproblems und zeichnet die Faktorladungs-matrix auf. Variable, die jeweils eine latente Dimension operationalisieren sollen, müsseneine in sich geschlossene Punktwolke bilden. Variable, die nicht einer Punktwolke zuorden-bar sind, werden eliminiert.

3. Wenn man durch die Punktwolken Achsen zieht, können auch in etwa die Winkel zwischendiesen Achsen festgestellt werden. Der Kosinus des Winkels gibt in etwa die Korrelationenzwischen den Faktoren an. Sind die Korrelationen stark, wird man � > 0, sind sie gering,wird man � < 0 wählen.

4. Sowohl bei der Elimination von Variablen als auch bei der Wahl von � sind auch inhaltli-che Überlegungen heranzuziehen.“ (Arminger 1979, S. 112f.)

SPSSfWin geht seitens seiner Voreinstellung von einer mäßigen Interkorrelation der Faktoren aus.Da die schiefwinkelige Rotation auf einer orthogonalen Hauptkomponenten- oder Hauptachsenlö-sung aufsetzt, entsprechen die hierzu notwendigen Arbeitsschritte denen bereits dargestelltenvollständig. Nach der Auswahl der Variablen und der Ziehung der orthogonalen Faktoren müssenwir im Rotationsmenu die „direkte Oblimin“-Methode auswählen.

SPSSfWin-Menu: Faktorenanalyse - Rotation:


Für unsere bereits ausführlich diskutierte dreier Hauptkomponentenlösung erhalten wir nach derdirekten obliquen Rotation die folgende Ladungs- und Strukturmatrizen. Die erstere, auch Pattern-matrix genannt, enthält die direkten Faktorladungen der einzelnen Indikatoren. Ihnen entsprechendie Koeffizienten der direkten kausalen Effekte der Pfadanalyse. Hingegen enthält die Strukturma-trix die Korrelationen der Items mit den Faktoren, wobei sich diese Korrelation wie der Gesamt-effekt der Pfadanalyse aus den direkten und den über die Korrelation der Faktoren vermitteltenLadungen des Indikators ergibt.

SPSSfWin Ausgabeprotokoll:

OBLIMIN rotation 1 for extraction 1 in analysis 1 - Kaiser Normalization.

OBLIMIN converged in 8 iterations.

Pattern Matrix: Ladungsmatrix:

Xenophobie Antisemitis Autoritäre -mus Unterwürfigkeit


V50 ,64374 ,00900 ,05805V51 ,80916 -,02344 -,07871V52 ,79966 -,03103 -,06850V53 ,71606 ,04831 ,11917V13A ,15503 -,14516 ,48413V69 -,06675 ,04796 ,81817V70 ,07950 -,01935 ,72631V137 -,02601 -,76169 ,23036V138A ,00471 -,46242 -,16936V139 ,04371 -,78787 ,00245V140 ,03177 -,75044 ,12354

Structure Matrix: Strukturmatrix


V50 ,66107 -,27169 ,29136V51 ,79042 -,35575 ,21925V52 ,78785 -,36070 ,22702V53 ,73900 -,27131 ,37352V13A ,39294 -,27633 ,56024V69 ,21100 -,03437 ,78737V70 ,35231 -,15125 ,75789V137 ,38075 -,78181 ,32387V138A ,13901 -,44152 -,10512V139 ,37853 -,80673 ,12490V140 ,39485 -,78061 ,23658

Für die inhaltliche Benennung der Faktoren müssen wir uns die Ladungen der Patternmatrixgenauer ansehen. Ebenso wie bei der Varimax-rotierten Hauptkomponentenlösung bilden sicherneut drei Variablencluster oder Punktwolken, die jeweils ausschließlich auf einem Faktorangesiedelt sind. Den ersten Faktor prägen die vier Items zur Xenophobie ausschließlich, wobei ihreLadungen im Vergleich zur Varimax-rotierten Hauptkomponentenlösung mit Koeffizientenzwischen 0,64 (V50) und 0,81 (V51) geringfügig höher ausfallen. Den zweiten Faktor charakterisie-


ren die Items zum „Antisemitismus“, deren Ladungskoeffizienten vom Betrag her zwischen 0,46(V138A) und 0,79 (V139) angesiedelt sind. Da keine hohen positiven Ladungskoeffizienten andererIndikatoren vorliegen, spielen die negativen Vorzeichen der Antisemitismusindikatoren für dieinhaltliche Interpretation des Faktors keine Rolle. Hingegen charakterisieren den dritten Faktor dieItems zur „Autoritären Unterwürfigkeit“, deren Ladungskoeffizienten zwischen 0,48 (V13A) und0,82 (V69) angesiedelt sind. Sie fallen ebenfalls geringfügig höher als bei der Varimax-rotiertenHauptkomponentenlösung aus. Die Strukturmatrix enthält bei der schiefwinkeligen Rotation die jeweilige Korrelation zwischenFaktor und Item. Durch die über die Interkorrelation der Faktoren vermittelten korrelativen Effekteder Ladungen fallen ihre Koeffizienten vom Betrag her deutlich höher als diejenigen der eigentli-chen Ladungs-/Patternmatrix aus. Die Vorzeichen der von SPSSfWin berechneten Korrelationender Faktoren entziehen sich ebenso wie die Vorzeichen der Faktor-/Komponentenladungen einerinhaltlichen Interpretation, da sie lediglich die Richtung der Winkelverschiebung angeben. Einnegatives Vorzeichen der Korrelation zweier Faktoren weist daraufhin, daß der von ihren Achsenaufgespannte Winkel größer als 90° ist, während ein positives Vorzeichen einen Winkel vonweniger als 90° indiziert. Um dies zu veranschaulichen enthält die Tabelle 2 neben den Korrelatio-nen der Faktoren die zugehörigen Winkel zwischen ihren Achsen.

Factor Correlation Matrix:


Factor 1 1,00000Factor 2 -,42385 1,00000Factor 3 ,36432 -,13521 1,00000

Mit Hilfe der Arkus-Kosinus-Funktion können wir nach dem Formel 16 die Faktor-/Komponenten-korrelationen in die zugehörigen Winkel zwischen ihren Achsen umrechnen.

Tabelle 5: Umrechnung der Faktorkorrelationen in die Winkel zwischen den Faktoren-achsen:

Korrelation: r Fi Fj = � = (In Grad und Minuten)

Faktor 1 und 2 - 0,42385 115° 4´

Faktor 1 und 3 +0,36432 68° 37´

Faktor 2 und 3 - 0,13521 97° 46'

Aus inhaltlicher Sicht her weisen die Beträge der obigen Korrelationen daraufhin, daß unserKonstrukt „Xenophobie“ entsprechend unseren Hypothesen zum „autoritären Persönlichkeitstypus“mit den Subdimensionen „Antisemitismus“ und „autoritäre Unterwürfigkeit“ ziemlich hochkorreliert ist. Im Gegensatz hierzu fällt der Zusammenhang zwischen „Antisemitismus“ und„Autoritarismus“ relativ schwach aus.


Für die oblique Faktorenlösung erhalten wir den folgenden dreidimensionalen Plot für die Ladungs-koeffizienten der Patternmatrix, wobei SPSSfWin die Ladungen fälschlicherweise in ein recht-winkelige Koordinatensystem einzeichnet:

Komponente 2

1,01,0

-,8

-,6

,8,8

-,4

v53

-,2

v52v51 v70

,6

v50

0,0

,6

v13a

v69,2

,4

Komponente 3Komponente 1

v137

,4

v140

,2

v139

,2 0,00,0

v138a

-,2

Abbildung20: Ladungsplot der Patternmatrix der Hauptkomponentenlösung nach obliqueroder schiefwinkeliger Rotation

SPSSfWin-Syntax für die Hauptkomponentenlösung mit obliquer Rotation:

* Hauptkomponentenlösung mit obliquer / schiefwinkeliger Rotation.

FACTOR /VARIABLES v50 v51 v52 v53 v13a v69 v70 v137 v138a v139 v140 /MISSING LISTWISE /ANALYSIS v50 v51 v52 v53 v13a v69 v70 v137 v138a v139 v140 /PRINT UNIVARIATE INITIAL CORRELATION KMO EXTRACTION ROTATION /PLOT ROTATION /CRITERIA MINEIGEN(1) ITERATE(25) /EXTRACTION PC /CRITERIA ITERATE(25) DELTA(0) /ROTATION OBLIMIN /PLOT ROTATION.

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Praktische Durchführung der explorativen Faktorenanalyse · Dr. Wolfgang Langer - Methoden V: Explorative Faktorenanalyse SoSe 1999 - 1 Praktische Durchführung der explorativen