Praxis der Lebensversicherungs- mathematik TU Kaiserslautern, SS 2012 von Dr. Hans-Otto Herr 1

Praxis der Lebensversicherungs-

mathematik

TU Kaiserslautern, SS 2012

vonDr. Hans-Otto Herr

1

Praxis der LebensversicherungmathematikTU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Über mich56 Jahre altMathematikstudium in MainzDiplom 1983, Promotion 1988Wissenschaftlicher Mitarbeiter der

Uni Mainz von 1984 bis 1988Ab 1988 Mitarbeiter der DBVLeiter der Produktentwicklung

Leben/RenteVerantwortlicher Aktuar der

winsecura PensionskasseZuletzt AbteilungsdirektorZum 1.9.2011 mein Arbeitsverhältnis

beim AXA-Konzern beendet1999 erster Gaußpreisträger (damals

Jahrespreis der DGVM) zusammen mit Markus Kreer

2

Idee zu dieser VorlesungDie Theorie zur Versicherungsmathematik ist schon

lange besser und fortschrittlicher als die Wirklich-keit in der weitaus meisten LVU

Diese verwenden noch Methoden, die tlw aus dem Beginn des vorigen Jahrhundert sind.

Trotzdem scheinen diese auch für die heutige Zeit robust genug zu sein, wenn man genügend vorsichtig ist.

Ziel der Veranstaltung ist, Ihnen eine Vorstellung davon zu geben, was Sie als Versicherungstechnik in der Wirklichkeit nach Ende des Studiums erw.

Und Sie sollten damit umgehen können

Praxis der Lebensversicherungmathematik 3TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Ideen zu den Übungen

Die üblichen RechenbeispieleDabei an DAV-Sterbetafeln orientieren,

soweit einfach zugänglichSchrittweiser Aufbau eines EXCEL-Modells,

das Beitrags-, Deckungskapital- und Überschussberechnung für eine oder zwei Versicherungsformen (z.B. Kapitalbildende LV und/oder Rentenversicherung) liefert

Damit könnten auch Effekte bei Parameteränderungen studiert werden



Unser Fahrplan oder: was Sie nach dem Sommersemester wissen sollten

11.Grundlegendes aus der elementaren Finanzmathematik

12.Bezeichnungen und Konventionen der Versicherungsmathematik

13.Gesetzlicher Rahmen14.Grundlegende Versicherungsformen

5

21.Biometrische Rechnungsgrundlagen22.Erlebensfall/Todesfallcharakter23.Erstellung von Rechnungsgrundlagen

31.Kommutationswerte32.Rentenbarwerte33.Leistungsbarwerte34.Weitere Rechnungsrundlagen35.Äquivalenzprinzip


41.Deckungskapital42.Retrospektive vs. prospektive

Deckungsrückstellung43.Zillmerung

51.Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung52.Grundsätze der Gewinnzerlegung

61.Überschussbeteiligung (grundsätzlich)62.Überschussermittlung63.Beteiligung der Versicherungsnehmer



71.Vertragsänderungen72.Kündigung73.Beitragsfreistellung

81.Weitere Vertragsänderungen82.Erhöhungen, Herabsetzungen

91.Was gibt es noch / Was fehlt?92.Ein paar Worte zur Rechnungslegung93.Profitabilität

100.Was ist noch unklar?101.Round up / Ihre Kritik

Literatur (eine Auswahl)

◦Grimmer/Führer, Einführung in die LebensversicherungsmathematikVVW 2006

◦Isenbart/Münzer, Lebensversicherungsmathe-matik für Praxis und Studium, Gabler, 3. A. (?)

◦Gerber, Life Insurance Mathematics, Springer

◦Koller, Stochastische Modelle in der Lebens-versicherung, Springer


11.Grundlegendes aus der elementaren Finanzmathematik

Rechnungszins „i“

Begriff „Barwert“

„Rentenbarwert“

12.Bezeichnungen und Konventionen der Versicherungsma-thematik

Feste Buchstaben für gewisse Größen

x, y stets Álter eines/r Mannes/Frau

ä, a Rentenbarwert vor-/nachschüssig

A Leistungsbarwert



13.Gesetzlicher Rahmen

GesetzeVAG (Versicherungs-

aufsichtsGesetzVVG (VVertragsGesetz)Dazu z.B.

RechtsverordnungenDeckRVHGB

14. Grundlegende Ver-sicherungsformen

PersonenversicherungKV(PK, PF)LV und RV

◦RisikoV◦Kapitalbildende LV◦RV aufgeschoben◦RV sofort beginnend◦Dazu BU/EU + … + Exoten

wie Aussteuer


Allgemeine Struktur eines Vers.Vetrags1 Haupversicherung +

zzgl ZusatzversicherungenBeitragszahlweisen:

normalerweise 1/1- jährliche Kalkulation◦Mögliche Zwen:

EB, 1/1, ½, ¼, 1/12 Evtl. abgekürzt

Optionen◦Bfreistellung, Rückkauf◦+ evtl. weitere

Andere Versicherungsformen◦Fondsgebundene, AILV◦Hinterbliebene◦Kapitalisation

Verantwortlicher Aktuar◦§12a VAG◦Dauerhafte Erfüllbarkeit

der Verpflichtungedn◦Testat DeckR in Bilanz◦Erläuterungsbericht,◦Vorschlag Übbeteiligung


21. Biometrische Rechnungsgrundlagen

Wichtigster Parameter –neben i - der Beitragskalkulation und Reservestellung

Beschreibung der Ausscheideordnung

Einfache Version: Periodentafeln

Für x=0 bis qx = Wkeit eines x-Jährigen

vor Vollendung des x+1-ten Lebensj. zu sterben


Lebende Tote

Ausscheideordnung

Sterbetafel

Invalide

LebendeAnwärter

Tote

Aktiven-Sterbetafel

Reaktivierte

Invaliditäts-Wahrscheinlk.

Reak-

tivie

-ru

ng

sW

keit

Invali

-d

en

-S

terb

-li

ch

k.

Rechnungsgrundlagen• 1. Ordnung = die, mit

denen kalkuliert wird• 2. Ordnung =tatsächlich

beobachtete

Probleme◦Gesundheitsprüfung,

listenmäßige Annahme◦Versicherten-/

Arbeitnehmerkollektive◦Extreme Situationen

„preferrred lives“◦Medizinischer

FortschrittPraxis der Lebensversicherungmathematik 15TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

• Außer Sterbewkeit noch wichtig:

• Weitere Ausscheideord-nungen• Invalidisierungswk• Erwerbsunfähigkeit• …• Wkeit im Zeitpunkt des

Todes verheiratet• Wkeit im Alter x zu

heiraten

HinweisHiermit erhalten Sie

das zweite Päckchen der Folien zu dieser Veranstaltung.

Bitte beachten Sie, dass diese nicht alles Relevante enthalten.

Wichtig sind vor allem auch die

Übungen◦Hier wird auch nur

hier vorkommender Stoff behandelt

das gesprochene Wort in der Vorlesung, sowie alles, was

an der Tafel steht


22. Erlebensfall/Todesfallcharakter

Todesfallcharakter = Erhöhung der qx bewirkt Verteuerung des Versicherungsprodukts/ Erhöhung der Verpflichtung; Bsp. Risikoversicherung

Erlebensfallcharakter = Erhöhung der qx bewirkt Verbilligung…Reduktion; z.B.: Rentenversicherg

Thema Unisex Übungen

23. Erstellung von Sterbetafeln

Schritt 1: Ermittlung der rohen Sterbewk. Ausgleichen

Schritt 2: Zu/Abschläge für Irrtum, Schwankg, Selektion


Schritt 3:◦ Vom Geburtsjahr

abhängige Zuschläge für den Trend bei der Sterblichkeit für Versicherungen mit Erlebensfallchar., vor allem Renten

◦ Bei Todesfallchar evtl Raucher/ Nichtraucher unterschieden

Jetzt hat das Warten ein Ende und es gibt Formeln

Aber vorher noch ein paar Worte zum Rechnungszins i◦Festgelegt in Deckrv

ist nur der HöchstRz für die Reservierung

◦Fragwürdiger Formalismus (60% der Durchschnitts-Rendite öffentlicher Anleihen…)


Wir wiederholen nochmals die festen Bezeichnungen für Parameter:

x/y Alter Mann/Frau

n Dauer, Vers.dauer

t Dauer, BZD m abgel. Dauer s Dauer, Aufschub-

zeit

i Rechnungszins

v = 1/(1+i) d = i/(1+i) = 1 - v Praxis der Lebensversicherungmathematik 19

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GRUNDSATZ der Kalkulation


Es wird immer deter-ministisch nie stocha-stisch gerechnet.

Um trotzdem brauch-bare Ergebnisse zu erzielen, ist beson-dere Vorsicht (Zu-schläge) notwendig

Es wird immer deter-ministisch nie stocha-stisch gerechnet.

Um trotzdem brauch-bare Ergebnisse zu erzielen, ist beson-dere Vorsicht (Zu-schläge) notwendig

31.Kommutationswerte Formaler Kalkül, der mit wenig Tabellen alle

wesentlichen Größen der Kalkulation mit geringem Aufwand errechnen lässt

Die Grundregeln für reservierte Bezeichnungen:

◦ Barwerte für◦ A einmalige Todesfallleistung◦ E einmalige Erlebensfallleistung◦ a wiederkehrende Erlebensfallleistung

dabei a=nachschüssig und ä=vorschüssig

◦ Index rechts unten: grundlegendes Alter (x oder y oder xy)

◦ Rechts daneben unter Winkel: Dauer (n oder t))Praxis der Lebensversicherungmathematik 21TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Die Grundregeln (Fortsetzung)◦ Rechts oben: von jährlicher Zahlweise ab-

weichende Zahlweise◦ Links unten weitere Zeitparameter, dabei

wichtig „Aufschubzeit“ mit senkrechtem Strich rechts daneben: „ n| “

◦ A

◦ a

◦ ä

◦

◦


Berechnung eines Rentenbarwertes:◦Wir erinnern uns [mit v = 1/(1+i)]

◦Jetzt mit Biometrie. Dazu ist zusätzlich gegeben für x=0,…,ω: qx (1 jährige Sterblk)

◦Daraus (1 jährige Überlebenswahrscheinlichkeit)

◦Weiterhin nützlich◦


Damit

Die lebenslängliche Variante wäre bei

qx=0 ohne Biometrie


Und da für gilt, wenn |v| < 1

ä= 1/(1-v) =1/d

Wenn wir nun an interessiert sind, können wir genauso rechnen und haben keine Probleme mit dem Limes, da

somit


Die klassische Versicherungsmathematik berechnet (mit dem gleichen Ergebnis) anders:

Berechne zu normiertem Startwert:die Lebenden (Anmerkung lx+k/lx=k|px)

Zwischenbemerk:◦Mittl zuk Leb.erwartg =


Hieraus die diskontierten Lebenden und Toten, D und C

Hieraus die Summen N und M der D und C

Sowie für einige exotischen Versicherungen die Summen T, S der Summen


32. Rentenbarwerte

Dann ist

Und

So ergibt sich


Spezialfall x+n = , dann Dx+n = 0, damit

äx – ax = 1 – 0 = 1 was aber auch mit bloßem Auge zu erkennen ist

Bemerkung: diese Herleitung nutzt die Überlebenden (lx) des Alters x.

Genau so hätte man dies auch über die Toten (dx) tun können vielleicht eine Spur umständlicher.

Es gilt


Unterjährige Rentenzahlung

◦Man kalkuliert meist mit jährlichen Werten◦Für die Prämie (Beitrag) wird bei unterjähriger

Zahlweise meist ein Zuschlag verwendet.◦Dieser muss (neuerdings) belegt werden.◦Üblich sind für den Zahlungsweisezuschlag sind

Werte wie:


Zahlungs-weise

Zuschlag bei

Normal-geschäft

Zuschlag bei Groß-geschäft

1/ 2 2.0% 1.0%

1/4 3.0% 2.0%

1/12

5.0% 2.5%

Unterjährige Rentenzahlung (Fortsetzung) ◦Davon zu unterscheiden die Modifikation eines

(natürlich zunächst für jährliche Zahlungs-weise) gegebenen Rentenbarwertes. Problem:

Einfache und auch weit verbreitete Lösung:

verwende als Korrektur Abzug in Höhe von

(k-1)/2k (vorsch) bzw. (k+1)/2k (nachsch.)

also z.B.


32.Leistungsbarwerte

Risikoversicherungen A IA DA

Kapitalbildende („gemischte“) Versicherung A

Rentenverscherung Aufgeschoben Sofort beginnend Mit Garantiezeit Mit Beitragsrückgewähr im Todesfall


33. Weitere Kosten, Kosten der Verwaltung, des Abschlusses,…

Abschlusskosten

z Zillmersatz, in %o Bsumme,

also t*B*z

g lfd AK während bpfl Zeit in %B oder %oVS entweder zur Darstellung von lfd Provision oder Amortisationskosten


Verwaltungskosten in % B „Inkassokosten“

in %o Vers.Summe während bpf Zeit

in %o Vers.Summe während bfr Zeit ◦Dabei Unterschied, ob planmäßig oder außerplanmäßig bfr

in % Rente während Rentenbezug

Weitere Zuschläge Stk Stückkosten in € pro Police Bspsweise in % LBW


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