Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier I. Grundlagen der Ionenoptik Jürgen Struckmeier, GSI mit einigen Bildern von: Gerald Dugan, USPAS

Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier

I. Grundlagen der Ionenoptik

Jürgen Struckmeier, GSI

mit einigen Bildern von:

Gerald Dugan, USPAS


Definition Ionenstrahl

Ionenstrahlen: gerichtete Bewegung geladener Teilchen

vz >> vx, vy

i. a. eine Teilchensorte (Masse, Ladung)

Wechselwirkung: Elektromagnetische Wechselwirkung,

Gravitation ist vernachlässigbar

Strahlführung: Biegemagnete, Quadrupole, Multipole

Beschleunigung: HF-Kavitäten


Analogie: Lichtstrahlen

“ebene Welle”von punktförmigerLichtquelle unendlichweit entfernt

Licht von ausge-dehnter Quelle

Dünne Linse: Ablenkwinkel proportional zum Abstand von der Strahlachse

Brennpunkt

Astigmatismus

Ein Ionenstrahl verhält sich analog


Eigenschaften Ionenstrahl

Ionenstrahl im Schwerpunktsystem betrachtet:ungeordnete Bewegung der geladenen Teilchen


Projektionen des "Phasenraums"

*E-16.04.02.00.0-2.0-4.0-6.0

*E-1

6.0

4.0

2.0

0.0

-2.0

-4.0

-6.0

*E-16.04.02.00.0-2.0-4.0-6.0

*E-4

6.0

4.0

2.0

0.0

-2.0

-4.0

-6.0

*E-16.04.02.00.0-2.0-4.0-6.0

*E-4

6.0

4.0

2.0

0.0

-2.0

-4.0

-6.0

*E-46.04.02.00.0-2.0-4.0-6.0

*E-4

6.0

4.0

2.0

0.0

-2.0

-4.0

-6.0

x

x

y

x'

y

x' y'

y'Ortsraum:Blick inStrahlrichtung

Geschwindig-keitsraum

Die belegten "Flächen" in den (x,x')- und (y,y')-Ebenen sindinvariant im Falle von linearen Kräften


Prinzip der Emittanzmessung

h

d

g

a

Schlitz Gitter

Strahlachse

Ionenstrahl

Prinzip der Emittanzmessung: Ein Schlitz wird in x- (y-) Richtung durch den Strahl gefahren.Die Intensitätsverteilung an den Gitterstäben wird aufgenommen


Ergebnis einer Emittanzmessung

Rohdaten einer Emittanzmessung : 3D „Gebirge“ der Strahlintensität i(x,x )


Allg. Beschleunigeranlage

Ionenquelle

Linearbeschleuniger

Ringbeschleuniger

Schematischer Aufbau einer Beschleunigeranlage


Analytische Strahldynamik

Wir unterscheiden zwei grundlegende Fälle:

• Die Strahldynamik wird im wesentlichen durch die äußeren Felder bestimmt.

die Teilchen beeinflussen sich nicht.

• Die Strahldynamik wird durch die Eigenfelder des Strahls („Raumladung“) mitbestimmt.

kompliziertes Rückkopplungsproblem:

Felder Teilchendynamik


Lorentzgleichung

Die Bewegung eines Teilchens im elektromagnetischen Feld folgt der Lorentz Gleichung:

)( BvEepdtd

wobei p =mv den Teilchenimpuls, m die (invariante) Masse,v die Teilchengeschwindigkeit und den Lorentzfaktorbezeichnet:

2

2

1

1 vc

E und B ergeben sich aus den Maxwell-Gleichungen.


Koordinatensystem

Ionenoptik: Beschreibung der Teilchenbewegung bezüglich einer Referenzbahn (Strahlachse, geschlossene Zentralbahn).

Wir definieren an jedem Punkt der Raumkurve das

„begleitende Dreibein“:

Tangente: zwei Nachbarpunkte der Raumkurve

Hauptnormale: Ebene durch drei Nachbarpunkte, senkrecht zur Tangente

Binormale: senkrecht zu Tangente und Hauptnormale


Frenet-Serret System (Dreibein)

0r

ntb

s = Bogenlänge der Referenzbahn

Referenzbahn

ds

tdsn

)(

ds

rdt 0

Das Dreibein bildet ein Orthonormalsystem in Raum


Frenet-Serret Formeln

Die Ableitungen der Vektoren des Dreibeins nach s sind:

nsds

bd

bss

t

ds

nd

s

n

ds

td

)(

)()(

)(

s) Krümmungsradius, s) Torsion der Bahnkurve

Ableitung der Formeln: Übung


Frenet-Serret System (Forts.)

0

0

0

( ) ( )

( )

1

r t r t x n y b

d r d r d n dbv t x n x y b y

dt dt dt dt

d r d n dbs x n sx y b sy

ds ds ds

xt s n x sy b y sx

Orts- und Geschwindigkeitsvektoren:


Lorentzgleichung (Fortsetzung)

Vereinfachung für Beschleuniger (Ringe): die Referenzbahn

liegt in einer Ebene (s) = 0.Die Komponenten der Lorentzgleichung vereinfachen zu:

2

1

1 1

d d d xp m v m x n yb s t

dt dt dt

d s x d d x sxm x n m y b m s t

dt dt dt

1 1s y x s y x

x xv B yB s B n s B xB b xB yB t

tEbEnEE syx



Wir erhalten somit für die drei Einheitsvektoren n,b,t das folgende gekoppelte System von Differentialgleichungen:

xys

xsy

ysx

ByBxEm

exsxs

dt

d

Bx

sBxEm

ey

dt

d

Bx

sByEm

exsx

dt

d

1

1

112



dlds

Es ist zweckmäßig, diese Gleichungen mit der Bogenlänge s entlang der Referenzbahn als unabhängiger Variabler auszudrücken.

Referenzbahn

Teilchenbahn

ds

d

l

v

dt

d

s

vlsl

ds

dls

dt

dlv

,



xys

xsy

ysx

Bl

vyB

l

vxE

m

e

l

vxx

l

v

ds

d

l

v

Bx

l

vB

l

vxE

m

ey

l

v

ds

d

l

v

Bx

l

vB

l

vyE

m

ex

l

vx

l

v

ds

d

l

v

2

2

1

1

11

Wir teilen nun durch v / l‘ und setzen p = m v ein. Dies liefert das endgültige System:



xys

xsy

ysx

ByBxEv

l

le

xpx

ds

d

le

p

le

p

ds

dx

Bx

BxEv

l

le

p

ds

dyy

le

p

Bx

ByEv

lx

le

p

le

p

ds

dxx

le

p

1

1

11

Im allgemeinen: magnetische Fokussierung und Ablenkung

22

2

2

1

const.,,0

yxx

s

vl

l

lp

l

p

ds

dpvE



p

eBly

p

eBlx

xx

ds

d

l

lx

p

eBl

x

p

eBlx

l

lyy

p

eBl

x

p

eBly

x

l

lxx

xy

xs

ys

1

1

111

Häufig verwendet: „paraxiale Näherung“:

2

2 2, 1 1 , , 0x x

x y l x l y l



2

2

11 1 1

1 1

1

ys

s x

eBx x eB xx y

p p

x eB x eBy x

p p

xl

Im folgenden werden diese Gleichungen und ihre Lösungen für Quadrupole und Biegemagnete diskutiert.


Injektionssystem Heidelberg


Synchrotron Heidelberg


Beispiel 1: Quadrupol


Beispiel 1: Quadrupol (Forts.)

Mit hyperbolischen Polschuhen im Abstand R von der Strahlachse ergeben sich die magnetischen Flußdichten im Inneren des Quadrupols:


Beispiel 1: Quadrupol (Forts.)

0,, 00 syx BR

xBB

R

yBB

0, 0m mx k x y k y und somit die Bahngleichungen:

km liefert somit den Zusammenhang zwischen den physikalischen Parametern und der geometrischen Wirkung der Linse auf den gegebenen Strahl.

0 0

-2

, : Feldgradient, : magn. Steifigkeit

[m ]

m

m

eB B pk B B

pR R e

Bk

B


Beispiel 2: Biegemagnet


Beispiel 2: Biegemagnet (Forts.)

Im vereinfachten Modell hat ein Biegemagnet im Inneren nur ein homogenes Magnetfeld in y-Richtung:

G

Integration path

Iron

NI

y

x

N

S



0,,00

00 syx B

e

pBBB

0

0

1, 0, wenn 1

p xx y

p

Im vereinfachten Modell hat ein Biegemagnet im Inneren nur ein homogenes Magnetfeld in y-Richtung:

und somit die Bahngleichungen:

Näherungen:

00

00

2000

0

1

111

p

p

pp

p

p

p

x

xx



0,1

0020

yp

pxx

Die vereinfachte Bahngleichung des Biegemagneten ist also:

Zusammengefaßt mit der Quadrupolgleichung heißt dies:

20 0 0

1 1( )

( ) ( )

( ) 0

m

m

px k s x

s s p

y k s y

Die Integration dieser Gleichungen liefert die wesentlichen Aussagen über die Ringoptik.


Lösung der Bahngleichungen

Die Lösung einer linearen inhomogenen Differential-gleichung ist die Summe aus allgemeiner Lösung der homogenen Gleichung plus einer speziellen Lösung der inhomogenen:

Homogene Lösung (Index ): Betatronbewegung. Diese entsteht durch Ablage von der Referenzbahn.

Inhomogene Lösung (Index D): Dispersionsbahn. Diese entsteht durch Abweichung vom Sollimpuls.

)()(

)()()(

sysy

sxsxsx D


Lösung der Bahngln. (Forts.)

2

2( ) ( )

d zK s z F s

ds

Die Bahngleichungen haben die allgemeine Form einer linearen, inhomogenen Gleichung zweiter Ordnung:

Lineare Dgl. zweiter Ordnung die allgemeine Lösung ist eine Linearkombination zweier Fundamentallösungen.

1. Fundamentallösungen C,S der homogenen Gleichung:

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

( ) 0, ,

( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ), ( , ) 1, ( , ) 0

( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ), ( , ) 0, ( , ) 1

z K s z z x y

z s C s s z s S s s z s C s s S s s

z s C s s z s S s s z s C s s S s s



C und S heißen cosinus- und sinusartige Fundamentallösungen. Sie erfüllen die Gleichungen:

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

( , ) ( ) ( , ) 0, ( , ) 1, ( , ) 0

( , ) ( ) ( , ) 0, ( , ) 0, ( , ) 1

C s s K s C s s C s s C s s

S s s K s S s s S s s S s s

C und S haben die Eigenschaft:

0 | ( )

0 | ( )

const. 0

C KC S

S KS C

dC S S C CS C S

ds

const. 1CS C S



2. Wir gehen zurück zur inhomogenen Gleichung:

Mit C als Lösung der homogenen Gleichung folgt:

0

( ) ( ) | ( )

( ) 0 | ( )

( ) ( )

z K s z F s C

C K s C z

dC z Cz C z Cz z s CF s

ds

0

0 0 0 0( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )s

s

C s s z s C s s z s z s C t s F t dt

2

2( ) ( )

d zK s z F s

ds



ebenso:

Multiplikation der ersten Gleichung mit (-S) und der zweiten mit C und anschließende Subtraktion liefert:

0

0 0 0 0( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )s

s

S s s z s S s s z s z s S t s F t dt

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )

( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( )s s

s s

z s C s s z s S s s z s

S s s C t s F t dt C s s S t s F t dt

Dies ist die allgemeine Lösung der linearen, inhomogenen Gleichung zweiter Ordnung. Anwendung auf unsere Gleichung:

0( ) ,( )

pF s s p



0 0

0 00 0 0

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )

( ) ( )

s sx x

x x x

s s

C t s S t sD s s S s s dt C s s dt

t t

Die allgemeine Lösung der Bahngleichung für die y-Richtung besteht nur aus der homogenen Lösung:

0 0 0 0 0( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )x x xx s C s s x s S s s x s D s s

mit der Dispersionsfunktion

0 0 0 0( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )y yy s C s s y s S s s y s



0

0 0 0

0 0

0 0 00 0

51 0 0 52 0 0 56 0

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

( , ) ( , ) ( , )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )

s

s

s s sx x x

s s s

x ts l s l s s s dt

t

C t s S t s D t sx s dt x s dt dt

t t t

M s s x s M s s x s M s s

Diese Ergebnisse können als Matrixgleichung zusammengefaßt werden:

( ) ( )1

( )

dl s x s

ds s

Es fehlt nun nur noch die Gleichung für die Bahnlänge. Wir hatten in der „paraxialen Näherung“ (s.o.):

und somit nach Integration:



Diese Matrix wird als die Transfermatrix des Systems bezeichnet. In vielen Fällen können wir uns auf Untermatrizen beschränken. So gilt für = 0 :

0 0 0

0 0 0

0 0

0 0

51 0 52 0 56 0

( ) ( , ) ( , ) 0 0 0 ( , )

( ) ( , ) ( , ) 0 0 0 ( , )

( ) 0 0 ( , ) ( , ) 0 0

( ) 0 0 ( , ) ( , ) 0 0

( ) ( , ) ( , ) 0 0 1 ( , )

0 0 0 0 0 1

x x x

x x x

y y

y y

x s C s s S s s D s s x

x s C s s S s s D s s

y s C s s S s s

y s C s s S s s

s M s s M s s M s s

0

0

0

0

0

( )

( )

( )

( )

( )

s

x s

y s

y s

s

0 0 0 00

0 0 0 0

( , ) ( , ) ( ) ( )( )( , )

( , ) ( , ) ( ) ( )( )x x

x x

C s s S s s x s x sx ss s

C s s S s s x s x sx s

M



Die Bahngleichungen sind ein inhomogenes System von Differentialgleichungen mit s-abhängigen Koeffizienten nur numerisch lösbar!

Vereinfachung: die Koeffizientenfunktionen werden stückweise konstant gesetzt.

Die Bahngleichungen können dann stückweise analytisch gelöst werden.

realer Feldverlauf

idealisierter Verlauf



Für

02

1const., 0,x mK k s s L

0, (0,0) 1, (0,0) 0,

0, (0,0) 0, (0,0) 1,

1( ,0) cos , ( ,0) sin ,

0, (0,0) 1, (0,0) 0,

0, (0,0) 0, (0,0) 1,

1( ,0) cosh , ( ,0)

x x x x x

x x x x x

x x x x

x

y y y y

y y y y

y y

C K C C C

S K S S S

C L L K S L L KK

C kC C C

S kS S S

C L L k S Lk

sinh L k

können wir die Bahngleichungen explizit integrieren:



Wir betrachten uns nun die Transfermatrizen für eine reine Driftstrecke, einen Quadrupol und einen Biegemagneten.

51 52

56 2

1 cos sin( ,0) , ( ,0) ,

sin 1 cos( ,0) , ( ,0) ,

sin1( ,0)

x x

x xx x

x x

xx

x

x x

L K L KD L D L

K K

L K L KM L M L

KK

L KM L L

K K



Reiner Sektordipol:

Sollbahnlänge , Ablenkwinkel , 0

cos sin 0 0 0 1 cos

1sin cos 0 0 0 sin

0 0 1 0 0( ,0)

0 0 0 1 0 0

sin 1 cos 0 0 1 sin

0 0 0 0 0 1

BB m

B

LL k

L

M



Reiner Quadrupol:

1Länge , 0,

1cos sin 0 0 0 0

sin cos 0 0 0 0

10 0 cosh sinh 0 0( ,0)

0 0 sinh cosh 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

Q Q m

m

m

Qm

m

L L k

k

k

Lk

k

M



Driftstrecke der Länge LD Quadrupol mit:

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0( ,0)

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

D

DD

L

LL

M

0mk



Dünne Linse Quadrupol mit:

1

DL 1

1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0(0,0)

0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

1Brennweite

f

f

Qm Q

f Lk L

M

0QL



Verkettung von Transfermatrizen:

1 1 1 0

2 2 2 1 1

2 2 1 1 1 0

2 2 1 1 1 0 2 2 1 1 0

3 3 3 2 2

3 3 2 2 1 1 0

3 0

3 3

T

3

z M (s ,0)z

z M (s ,s ) z

M (s ,s ) M (s ,0)z

M (s s ,0) M (s ,0)z M (L ,0) M (L ,0)z

z M (s ,s ) z

M (L ,0) M (L ,0) M (L ,0)z

M(s ,0)z

M(

z(s) x(s),x (s), y(s), y (s), (s),

s ,0) M (L ,0

2 2 1 1) M (L ,0) M (L ,0)


Ellipsentransformation

Ist die Transformation eines Einzelteilchens (x,x ) bekannt, so wissen wir sofort die Transformation aller Teilchen innerhalb einer Ellipse Ellipsentransformation.

A

2 2 2( ) 2 ( ) ( ) , 1 s x s xx s x

Strahlenveloppe

Maß für dieEmittanz

des Strahls

: x,x-Korrelation= 0 Ellipse auf Hauptachsen


Ellipsentransformation (Forts.)

Zusammenhang zwischen Verlauf der Strahlenveloppe und Lage der Phasenraumellipse entlang einer Driftstrecke



2, det det

S S A S

Die Ellipsengleichung kann äquivalent geschrieben werden als:

1, 1 1

Txx x x S x

x

mit S als der Strahlmatrix:

Einzelteilchentransformation durch Transfermatrix M :

01 11 12 11 0 0 1

01 21 22

xx m mx M x x M x

xx m m



1 1 11 0 1

1 11 1 11 0 1

1

1 0 1

1

1,

1

T

TT T T

T T

M x S M x

x M S M x M M

x MS M x

Einsetzen in Ellipsengleichung:1 1

0 0 0 0 11, Tx S x x M x

liefert:

und somit schließlich:

11 1 1 1 01, mit T Tx S x S M S M



Erhaltung der Ellipsenfläche wenn die Transfermatrizen die Determinante Eins haben:

1 0det det 1 det det TM M S S

Wichtig: formal gleiche Transformation für 4D und 6D Ellipsoide mit S als 4x4 bzw. 6x6 Strahlmatrix:

Dies ist immer der Fall in unserer linearen Näherung.

1 1

0 1 1 0

, , , , ,

1, 1, mit

T

T T T

z x x y y

z S z z S z S M S M


Theorie der starken Fokussierung

Starke Fokussierung:

• Strahloptik mittels Fokussierung durch Quadrupole.

• Lokal ist der Strahl immer instabil, Stabilität wird nur durch wechselnde Gradienten gewährleistet (alternating gradient (AG) focusing).

• Hierzu muß die Fokussierungsstruktur periodisch sein (Ringe! I.a. haben Synchrotrons und Speicherringe auch noch periodische Substrukturen.

Sei M die Gesamttransfermatrix für eine Strukturperiode:

11 12

21 22

, det 1m m

M Mm m


Starke Fokussierung (Forts.)

Frage: welche Ellipse wird durch eine Strukturperiode in sich selbst überführt?

Diese Ellipse kann dann durch unendlich viele Wiederholungen dieser Strukturperiode transformiert werden.

Existiert eine solche Ellipse nicht, so ist Strahltransformation über lange Strecken mit dieser Struktur nicht möglich.

Bedingung für die Abbildung einer Strahlmatrix S in sich selbst:

, e eTe e e

e e

S M S M S



2 211 11 12 12

11 21 11 22 12 21 12 22

2 221 21 22 22

2

2

e e e e

e e e e

e e e e

m m m m

m m m m m m m m

m m m m

0e e eAY Y A I Y

Ausführlich heißt das:

und somit als Eigenwertgleichung in Matrixform:

mit I als der Einheitsmatrix und

2 211 11 12 12

!

11 21 11 22 12 21 12 222 221 21 22 22

2

, , 1

2

e

e e

e

m m m m

Y A m m m m m m m m

m m m m



22

11 22

det 0, det 1

1 2 1 0

A I M

m m

Wir müssen also den Eigenvektor Y der Matrix A zum Eigenwert =1 bestimmen (falls dieser Eigenwert existiert). Eigenwerte Nullstellen des charakteristischen Polynoms

=1 ist tatsächlich ein Eigenwert für alle Matrizen M. Der zugehörige Eigenvektor folgt (nach einigen Rechnungen) als:

12

111 222

21

,e

e e

e

m

Y c m m c

m



2

2111 222

1, det 1

1 1

e e e M

m m c

111 2221 1 1 1c m m

Die Variable c wird durch die Normierungsbedingung festgelegt

Ein reelles c – und damit eine reelle Eigenellipse – existiert nur wenn:

Wir können oBdA definieren:

1 111 222 2

1 sin , 0 2

Sp cos

c

m m M



12

1111 222 2

21

sin

sin , cos Sp

sin

e

e e

e

m

Y m m M

m

111 222 1m m

Hat dagegen die Transfermatrix M die Eigenschaft:

so existiert keine reelle Eigenellipse jeder Strahl, der durch diese Struktur transformiert wird, geht nach und nach verloren.

Die endgültigen Parameter der Eigenellipse sind somit:

cos sin sin

sin cos sine e

e e

M

Darstellung der Transfermatrix M durch die EEP:



Wir betrachten ein Einzelteilchen am Beginn der Periode auf seiner Eigenellipse:

A

2 2 20 0 0 02 , 1e e e e e ex x x x

Dieses Teilchen wird nun durch eine Periode transformiert.



12 Fläche des Ellipsensektors pA

Am Beginn der folgenden Periode:

• ist die Eigenellipse identisch:

• liegt das Teilchen wieder auf der Eigenellipse, aber um einen Winkel verschoben.

A

2 21 1 1 12e e ex x x x



0 2

0 0( , )x x

Beweis über Parameterdarstellung der Ellipse:

cos sin

sin

e e

e

x

x

Transformation des Punktes :

0 01

1 0

1 11 0

1

cos sincos sin sin

sin cos sin sin

cos sin,

sin

e ee e

e e e

e e

e

x

x



Fläche des Ellipsensektors:

1

0

12

12

1 02 2

p

C

A x dx xdx

dx dxx x d

d d

Der Punkt bewegt sich entlang der Ellipse um den Winkel seiner Parameterdarstellung (nicht des Polarwinkels!).

Daher die Bezeichnung „Phasenvorschub“ (tune).

In Ringen: Qx,y = x,y/2: Zahl der Schwingungen pro Umlauf.


Beispiel: period. Quadrupolkanal

Angepaßter Strahl im Quadrupolkanal, =60°

GSI QUADRUPOLE CHANNEL , SIGMA-0=60 DEG., MATCHED kv - 3259

Cells1211109876543210

x (cm)

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

y (cm)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



Fehlangepaßter Strahl im Quadrupolkanal, =60°

GSI QUADRUPOLE CHANNEL , SIGMA-0=60 DEG., MISMATCHED kv - 3260

Cells1211109876543210

x (cm)

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

y (cm)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



Nichtlinearer Effekt: „Halo“-Bildung bei Fehlanpassung

1.51.00.50.0-0.5-1.0-1.5

x

1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

y

1.51.00.50.0-0.5-1.0-1.5

x

*$-2

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

x'

1.51.00.50.0-0.5-1.0-1.5

y

*$-2

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

y'

*$-21.00.50.0-0.5-1.0

x'

*$-2

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

y'

KONT. FOKUSSIERUNG, SIGMA-NULL=60 GRAD, SIGMA=15 GRAD,SK-WB-VERT.,ODD run 4573

$l$m.

500

, strom

0.80

ma , tz=

100000

$ingang $l.

1 tz=

100000


Beispiel: ESR

Verlauf Enveloppe und Einzelteilchen im ESR

ESR UMFANG = 10836 CM kv - 3257

Cells10

x (cm)

3.5

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

y (cm)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5


Hillsche Differentialgleichung

2

2

( ) 0 1 ( )( ) 0

( ) ( ) 0 ( )

z s z sd z dK s z

z s K s z sds ds

0 00 0 0

0 0

( , ) ( , ) 1 0( , ) , ( , ) , det 1

( , ) ( , ) 0 1

C s s S s ss s s s I

C s s S s s

M M M

Wir kehren nun zur Hillschen Differentialgleichung zurück und untersuchen ihre Lösungen für beliebiges K(s):

bezeichnet. Wir untersuchen nun die Eigenschaften von C und S. Hierzu definieren wir den Lösungsansatz:

Ihre Lösung wurde symbolisch durch das Fundamentalsystem:

( ) ( )0 0( , ) ( ) , ( , ) ( )i s i sC s s w s e S s s w s e

w(s) : Amplitude, (s) : Phase. Einsetzen ergibt:


Hillsche Gleichung (Forts.)

2 22 , 2i iC w w i w w e S w w i w w e

0

2 20 2

2 0 0 ( , )( )

s

s

d dtww w w s s

ds w t

0 0( ) ( , ) ( , ), , , const.z s aC s s b S s s a b

Damit diese Bedingung allgemein erfüllt wird, muß also gelten:

Die allgemeine Lösung der Hillschen Gleichung ist dann:

d.h., ausführlich:

2

0 im allgemeinen 0 im allgemeinen

2 0i i i iw w Kw ae be i w w ae be

2(a) : 0, (b) : 2 0w w Kw w w

Aus (b) folgt unmittelbar:



3

1( ) 0w K s w

w

Die Transfermatrix M(s1,s0)

1 0 2 01 1 2 11 0

1 0 2 01 1 2 1

( ) ( )( ) ( )( , )

( ) ( )( ) ( )

z s z sz s z ss s

z s z sz s z s

M

Aus (a) folgt mit dem Ergebnis für (b) die nichtlineare Dgl.:

läßt sich nun durch die Lösungen z1,2(s1,0) wie folgt ausdrücken:

1

0

0 0 1 1 0 01

0 1 1 0 1

2 0 2 01 1 2 11 0 1,2 1,2 1 0

1 0 1 01 1 2 1

1 0 1 2

10 1

( ) ( )( ) ( )( , ) , ( ), ( , )

( ) ( )( ) ( )

cos sin sin

sin cos cos sin

ww

w w w w w www w w w w

z s z sz s z ss s w w s s s

z s z sz s z s

w w w w

w w

M



2 2

2

2

0 0 1

cos sin sin( , )

sin cos sine e

e

e e e

w we ew

w w ws C s

w w

M

0 0

cos sin sin( , )

sin cos sine e

e e

s C s

M

Wir können somit identifizieren:

Diese Transfermatrix kann nun verglichen werden mit ihrer Darstellung durch die Eigenellipsenparameter:

Spezialfall w1=w0,w1=w0 , d.h. periodische Lösung mit Perioden- länge C:

2 2 2

2

2

12

1 ( ) ( ) 1 ( )( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )w s w s ssw s

w s s

w s w s s s

s



2 21 12 4 ( ) 1K s

2

3( ) 0, ( ) ( ) ( )X K s X X s s w s

X

oder auch durch die Enveloppenfunktion X(s) :

Diese Form der Beschreibung der Strahlenveloppe wird immer benötigt, wenn K(s) nicht als stückweise konstant gesetzt werden kann.

Erforderlich z.B. wenn Raumladungskräfte nicht vernachlässigbar (Hochstrom-Strahldynamik).

Die Dgl. Für die Amplitude w(s) kann also auch durch die Ellipsenfunktion (s) ausgedrückt werden:


Statistische Enveloppengleichung

( ) 0, 1, , - Anzahl der Teilcheni ix K s x i N

21 11 1

,N N

i iN Ni ix x x x x

2 2 2

22 2 2

2

22rms

2 3

2 , ( )

2 ( ) 2 0

( ) 0

i i i i i i ii i i i i

i i ii i i

d dx x x x x K s x x

ds ds

dx K s x x

ds

d xK s x

ds x

Bewegungsgleichung für

Das Quadrat der rms-Emittanz rms ist hierin definiert durch:

Einzelteilchen-Bewegungsgleichung:

2

22 2 2rms 2 2

1 1 1 1 1

1 1

2

N N N N N

i i i i i j j ii i i i j

x x x x x x x xN N

Gleiche Form wie Enveloppen-gleichung für X(s) mit


Statistische Enveloppengl. (Forts.)

( ) 0i ix K s x

2

2 1rms i j j i i jN

i j

dx x x x x x

ds i j j ix x x x

2

( )

j i

K si j j i i jN

i j

x x

x x x x x x

j ix x 0

Der Zusammenhang der Randgrößen X(s), mit den statistischen Größen x~(s), rms ist somit:

Für die lineare Bewegungsgleichung ist rms konstant:

2rms( ) ( ),X s a x s a

Der Faktor a hängt von der Verteilung der Punkte ab. So gilt z.B. a = 2 für eine homogene Punktdichte in der Ebene (x,x ).


Statistische Enveloppengl. (Forts.)

1.00.50.0-0.5-1.0

x

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

y

1.00.50.0-0.5-1.0

x

*$-3

1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

x'

1.00.50.0-0.5-1.0

y

*$-3

1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

y'

*$-31.51.00.50.0-0.5-1.0-1.5

x'

*$-3

1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

y'

Transf$r SIS , L1 = L2 = 610 cm run 4585

$l$m. 28 , strom

0.00 ma , tz=10000 $ingang $l.

1 tz=10000

Homogene (links) und inhomogene (rechts) Punktdichte in den 2D-Projektionen der Phasenraumverteilung.

1.00.50.0-0.5-1.0

x

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

y

1.00.50.0-0.5-1.0

x

*$-3

1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

x'

1.00.50.0-0.5-1.0

y

*$-3

1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

y'

*$-31.51.00.50.0-0.5-1.0-1.5

x'

*$-3

1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

y'

Transf$r SIS , L1 = L2 = 610 cm run 4584

$l$m.

28 , strom

0.00 ma , tz=

10000 $ingang $l.

1 tz=10000


Teilchenbeschleunigung

E

B

beam

y

x

r

s

R

L

Effektivste Art der Beschleunigung: Resonanzkavitäten:

Die Kavität wird im -Modus betrieben: longitudinales E-Feld, transversales B-Feld.

010TM


IH-Kavität Heidelberg


Teilchenbeschleunigung (Forts.)

00 0 rf 1 rf( , ) ( ) cos

0

, ( , ) ( )sins

EE r t E J kr t B r t J k

E

r t

B

c

tE

Particle enters Particle exits

L/v

Lösung der Maxwellgleichungen ergibt mit den erforderlichen Randbedingungen:



RF0

RF

2sin sin

2 s

LcE eE L

L c

/ 2

0 RF

/ 2

sin ,L

s

L

E eE t ds s vt c t

Wir sehen: beim Durchlauf der Teilchen durch die Kavität ändert sich das beschleunigende elektrische Feld.

Der Energiegewinn E ist das Integral über das Feld:

s ist die Phasendifferenz des Sollteilchens zum Nulldurchgang.

Mit T als Laufzeitfaktor (transit time factor) haben wir somit:

RFDC DC 0

sinsin , , ,

2s

LuE T E T u E eE L

u c



L

RF Cavities

1 2 n

....... s

Synchronous particle

ab

Synchronteilchen: Teilchen, welches entsprechend seiner Phasenlage so beschleunigt wird, daß es am Beginn der folgenden HF-Kavität wieder die gleiche Phase hat.

Benachbarte Teilchen schwingen longitudinal um das Sollteilchen: Synchrotronschwingung.



t

Cavity 1

Cavity 2

eV

b

t

a

a

b

accsin tE

s

s

Prinzip der Phasenstabilität:



Teilchen „a“ betritt die Kavität „1“ früher (t ist kleiner!) als das Synchronteilchen es erfährt geringere Beschleunigung es betritt Kavität „2“ später es erfährt stärkere Beschleunigung es betritt die Kavität „3“ früher, usw.

Analog:

Teilchen „b“ betritt die Kavität „1“ später (t ist größer!) als das Synchronteilchen es erfährt größere Beschleunigung es betritt Kavität „2“ früher es erfährt geringere Beschleunigung es betritt die Kavität „3“ später, usw.



RF

2T h

Synchronbedingung:

Um die Existenz eines Synchronteilchens zu ermöglichen muß der Laufzeit T zwischen aufeinanderfolgenden Kavitäten einer ganzen Zahl h von Schwingungen entsprechen:

RFRF

2s s s

cL c T h h

D.h., für den Abstand der Kavitäten muß gelten:

Da der Abstand L festliegt, muß die Frequenz RF synchron mit s ansteigen: Synchrotron.


Momentum compaction

( )( )1 , ( ) ( )

( )D

D x

x sdl sx s D s

ds s

In Ringen ist die Bahnlänge eines Umlaufs abhängig vom Teilchenimpuls (s.o.):

Integriert über den Ringumfang C heißt das:0

0

0

0

( )

( )

( )1,

( )

s C

x

C s

s C

xC C

s

D sdl C C C ds

s

D sCds

C C s

Der dimensionslose Koeffizient C heißt momentum compaction Faktor. Er beschreibt wie dicht Bahnen mit unterschiedlichen Impulsen longitudinal „gepackt“ sind (Ringcharakteristikum !).


Slip Faktor

2 21 1,C C C C

d dC d

C

Für die Umlaufszeit = C / c bedeutet das:

Die charakteristische Ringgröße C heißt „Slip Faktor“. Sie mißt den longitudinalen „Slip“ eines Teilchens als Funktion seiner relativen Impulsabweichung. Die Energie, d.h. das t, für das C= 0 heißt „transition gamma“:

2 2 2

1 1 10C C C

t t

In diesem Falle alle Teilen die gleiche Umlaufszeit, unabhängig von ihrer relativen Impulsabweichung .


Long. Bewegungsgleichungen

Notation:

,

,

eff,

, Zeit und Energie des Synchronteilchens, Kavität

, Zeit und Energie eines nicht-Synchronteilchens, Kavität

Energiedifferenz zum Sollteilchen, Kavität

effektive Bes

s s n

n n

n n s n

n

t E n

t E n

E E E n

V

chleunigungsspannung der Kavität n

Energieänderung durch eine Kavität:

,1 eff , RF eff, RF

eff, RF RF

sin , sin

sin sin

s nn nn n n n n s

n n n s

dEdE EE E eV t eV t

dn n dnd

E eV t tdn

Die Ersetzung der Differenzengleichung durch eine Differential- gleichung gilt nur für kleine relative Energieänderungen!


Long. Bewegungsgl. (Forts.)

: Laufzeit von einer Kavität zur nächsten

1 ,

1 ,

n n n s n

nn n n s n

t t T T

t dtt t T T

n dn

,,n s nT T



Wir drücken nun die Zeitdifferenzen durch Energiedifferenzen aus:

, , ,,

, , ,

2 2, , , , , ,,

, RF2 2, , , ,

1,

n s s s sn n

s n s n s ns n

s n s n s ns s s CC

s s n s n s n s n s n s ns n

C s nn Cn n

s n s n s n s n

dt dt dt t TE E

dn dE dE E E

dp dp dEdt dt t

t p p E dE E

Tdt hE E

dn E E c

Der gekoppelte Satz von Bewegungsgleichungen ist somit:



RF2

, ,

eff, RF RFsin sin

n Cn

s n s n

n n n s

dt hE

dn E c

dE eV t t

dn

In kontinuierlicher Beschreibung ist dies äquivalent zu:

2

2

e

RF RF

ff sin sin2

2, , ,

s

s C

s s

n ss

s

E

hdW

dt E

eVdW

d

d dt h W

dn dt

t



222

2 eff22

sin sin 0,cos

cos2

ss

C

s

ss s

s s

d h V

dt

e

E

Dieses System beschreibt die Energie-Phasen-Schwingungen der Teilchen. Hierin sind nur und W schnell variierende Größen, alle anderen ändern sich nur langsam.

Gleichung zweiter Ordnung aus den zwei Gln. erster Ordnung:

Für kleine Abweichungen von der Sollphase ergibt dies:

22

2

sin sin2sin ,

cos 2

0, Frequenz der "Synchrotronschwingung"

s ss s

s

s s

d

dt

Dgl. des harmonischen Oszillators, analog zur transv. Bew.!



1

0

cos sin

sin cosss s

d ddt dts s st

t t

t t

RF

s eff2 cosC

Ls s

h

c eV E

Mit dieser Näherung erhalten wir wieder eine explizite Lösung:

Umgeschrieben in eine Transformation für t,E ergibt dies:

Ganz analog zur transversalen Bewegung gibt es in der linearen Näherung der longitudinalen Bewegung die Invariante:

1

0

cos sin

sin coss L s

L s st

t tt t

t tE E

mit L als der longitudinalen - Funktion



2 21 const.n L n L

L

t E

Dementsprechend heißt L longitudinale Emittanz. Diese Größe bleibt im Verlauf der Energie-Phasen-Schwingungen der Teilen adiabatisch invariant.

E

t

E max L

L

t max LL



22

2

221

2

2

0 0

2

0 0

sin sin 0 |cos

cos sin 0cos

2 2cos sin const. cos sin

cos cos

2cos cos sin 0

cos

ss

s

ss

s

s ss s s

ss s

d

dt

d d

dt dt

Wir kehren zurück zur nichtlinearen Analyse. Die Gleichung für die Energie-Phasen-Schwingungen kann einmal analytisch integriert werden ( ):

Graphische Darstellung für verschiedene Sollphasen:

const.s


longitudinaler Phasenraum

Sollphase 0 Grad: keine Beschleunigung des Sollteilchens

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-150 -100 -50 0 50 100 150

* /

s

s=0o



-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-50 0 50 100 150

* /

s

s=30o

Sollphase 30 Grad



-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 20 40 60 80 100 120

* /

s

s=60o

Sollphase 60 Grad



-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-400 -200 0 200 400

* /

s

s=60o

Sollphase 60 Grad, Teilchen außerhalb Separatrix


Transitionsenergie

2 0s

222

2 eff22

sin sin 0,cos

cos2

ss

C

s

ss s

s s

d h V

dt

e

E

0C

Gleichung für Energie-Phasenschwingungen:

Ist , so muß . Wegen:

Stabile Schwingung nur für , d.h. für ! Im Gegensatz zu Linearbeschleunigern kann C in Ringen positiv sein oder im Verlauf der Beschleunigung werden:

0

0

2 2 2

( )11 1 1,

( )

s C

xCC

t st

D sds

C s

3

2 2cos 0s s

C

d dp

p

Teilchen mit höherer Energie haben dann eine längere Umlaufzeit: „negative Masse“ Effekt.

0C


Numerische Simulation eines Durchgangs durch die Transitionsenergie


Chromatizität

Mit dem Begriff Chromatizität bezeichnen wir die Abhängigkeit der Fokussierung (des Tunes) vom Teilchenimpuls B:

Der Tune wird im wesentlichen durch die Quadrupole bestimmt:

00

,0

0 0

1 ,

1 1 , 11m m

B B p p

B B Bk k

B B B

,0m mk k

Die Abweichung vom Sollimpuls (B)0 entspricht einem Fehler im Quadrupolgradienten B – und verursacht somit eine Verschiebung Qx,y des Tunes Qx,y =2 x,y :

,0 ,01 0, 1 0m mx k x y k y


Chromatizität (Forts.)

Mit Q=2 schreiben wir die Transfermatrix für einen Umlauf als Produkt von ungestörtem Tune und einer dünnen Linse:

Der Tune ist gegeben durch die halbe Spur von M, und somit:

In kontinuierlicher Näherung folgt hieraus:

0 0

1,

4 e m QQ k L Q Q Q Q

0 0

0 0 0

0 0 0

cos 2 sin 2 sin 2( , )

sin 2 cos 2 sin 2

1 0 cos 2 sin 2 sin 2

( ) 1 sin 2 cos 2 sin 2

e e

e e

e e

m e e

Q Q QM C s s

Q Q Q

Q Q Q

k L Q Q Q


Chromatizität (Forts.)

Die Chromatizität der gegebenen periodischen Struktur ist definiert als Q /

Die Chromatizität, welche durch die Abhängigkeit der optischen Wirkung der Quadrupole (= Brechkraft) vom Impuls verursacht wird, heißt „natürliche Chromatizität“.

0

0

0

0

,0

1( ) ( )

4

( ) ( )4

s C

m

s

s C

m

s

Q s k s ds

s k s ds

0

0

,, , ,0

1( ) ( )

4

s Cx y

x y x y m

s

Qs k s ds

Documents

Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier I. Grundlagen der Ionenoptik Jürgen Struckmeier, GSI mit einigen Bildern von: Gerald Dugan, USPAS