Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 193 [email protected] ... 3_2014/script... · Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 193 [email protected] Modul(e) Pflichtmodul Stahlbau - Bachelor

Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 193

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Modul(e) Pflichtmodul Stahlbau - Bachelor

4.5.5 Die Interaktion von Moment, Normalkraft und Querkraft

Bisher wurden Interaktionen für die gleichzeitige Wirkung zweier Schnittkraftkomponenten aufgeschrieben. In der Praxis müssen aber auch Bauteile nachgewiesen werden können, bei denen mehr als zwei Schnittgrößen in einem Schnitt wirken. Darauf wird in den folgen-den Abschnitten eingegangen.

Zunächst zur Interaktion bei gleichzeitiger Wirkung von Biegemoment, Querkraft und Nor-malkraft. Die zur Verfügung stehende Querschnittsfläche ist nun entsprechend auf drei statt bisher auf nur zwei Schnittgrößen aufzuteilen. Ein empfohlenes Vorgehen in diesem Fall ist das folgende:

1. Schritt Die Fläche für die auftretende Querkraft V wird „reserviert“, indem der resultierende Normalspannungsanteil nach Gleichung 4-39 berechnet wird.

2. Schritt Die verbleibenden noch aufnehmbaren weiteren Schnittgrößen (hier M pl ,V

und N pl , V ) werden unter Verwendung der Gleichungen in Tabelle 4-2 berechnet. In diesen Gleichungen ist bei der Berechnung der „Restkräfte“ indem Teil, der durch V belegt ist, mit der abgeminderten Spannung nach Schritt 1 gearbeitet worden. Die Gleichungen in der mittleren Spalte derTabelle 4-2 entsprechen ansonsten denen zur Berechnung der vollplastischen Schnittgrößen unter ausschließlicher Verwendung der Fließspannung f y .

3. Schritt Die Interaktion zwischen Moment und Normalkraft wird nunmehr nachGleichung 4-28 durchgeführt, wobei die vollplastischen Schnittgrößen

M pl und N pl durch die im Schritt 2 ermittelten „Restkräfte“ ersetzt werden. 4-28 lautet damit (gültig für Rechteckquerschnitte):

M pl , N

M pl , V

=(1 �N pl , M

2

N pl ,V

2 ) (4-52)

In Tabelle 4-2 wurden die Gleichungen für Quadrat- und Rechteckhohlprofile aufgenom-men. Beim Einsatz für Rechtecke ist anhand der Wirkungsrichtung der Schnittgrößen zu entscheiden, ob die lange oder die kurze Seite als Steg wirkt.

Für die Doppel-T-Profile kann bei Biegung um deren starke Achse auch die folgende Nä-herung verwendet werden, die eine Kombination aus (4-34) und (4-46) darstellt:

M pl , NV

M pl

= 1,1 � 1,1⋅N pl ,MV

N pl

� 0,3⋅V pl ,MN

V pl

≤ 1,0 (4-53)

Weitere Hinweise zur M �N �V -Interaktion sind in der Literatur zu finden. Zu den Anga-ben in der Norm wird bei den Beispielen eingegangen. Es folgt Tabelle 4-2.


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Querschnitt Geometriewerte M pl ,V N pl , Vσ x ,V

M y bzw.V z

mit

A f = t f⋅b

und

Aw = tw⋅(h�2⋅t f )

N pl , V = 2⋅A f⋅f y+Aw⋅σ x , V

σ x ,V = f y⋅√1�V z , MN

2

V pl

2

M pl ,V = A f⋅(h�t f )⋅ f y+1

4⋅Aw⋅(h�2⋅t f )⋅σ x ,V

M z bzw. V y

mit A f = t f⋅b

undAw = tw⋅(h�2⋅t f )

N pl , V = 2⋅A f⋅σ x ,V +Aw⋅f y

M pl ,V =1

2⋅A f⋅b⋅σ x , V+

1

4⋅Aw⋅t w⋅ f y

mit d m =

Durchmesser des Mittelkreises und

t ≪ d m

N pl , V = A⋅σ x ,V

M pl ,V = d m

2⋅t⋅σ x ,V

mit:

d 1 , d 2 = Seiten- längen im Mittel- rechteck,

t ≪ d w , d f

Aw = d w⋅t

A f = d f⋅t

N pl , V = 2 A⋅ f y +2 Aw⋅σ x ,V

M pl ,V = A f⋅d w⋅f y +1

2⋅Aw⋅d w⋅σx , V

Tabelle 4-2: Interaktionsgleichungen zur schrittweisen Interaktion bei Wirkung von M, N und V, Hinweis: In Spalte 3 ist mit der vollplastischen und der auftretenden Querkraft zu arbeiten. In Spalte 2 werden dann Ersatzwerte für M pl und N pl berechnet und in 4-52 eingeführt.Damit wird dann für die auftretenden Größen M und N die Interaktion vorgenommen.

4.5.6 Die Interaktion der Momente bei zweiachsiger Biegung

Alle bisher aufgeschriebenen Interaktionsbeziehungen behandelten Schnittgrößenkombi-nationen in einer Ebene bzw. um eine Achse, waren also der klassischen einachsigen Bie-gung zuzuordnen. Reine zweiachsige Biegung, also die gleichzeitige Wirkung von Biege-momenten um zwei senkrechte Achse im Querschnitt ist Thema dieses Abschnittes. Bei-spielsweise kann jede Kombination einwirkender Biegemomente auf die Querschnitts-hauptachsen aufgeteilt werden.

tw

t f b

h

tw

t f

b

h

t

d m

t

d w

d f


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Zu bilden und zu kombinieren sind also die Verhältnisse:

M y

M pl , y

undM z

M pl , z

(4-54)

Am einfachsten ist zweiachsige Biegung beim rotationssymmetrischen Rohrquerschnitt zu erfassen. Durch seine Polsymmetrie kann jede zweiachsige Biegung auf den Fall der ein-achsigen Biegung zurückgeführt werden. Die Interaktionsformel entspricht damit der Kreis-gleichung, was u.a. im Bild 4-15 als Diagramm dargestellt ist:

( M y

M pl , y)

2

+( M z

M pl , z)

2

≤ 1 (4-55)

Der Kreisringquerschnitt verhält sich dahingehend also am günstigsten. Die weiteren bei-den Kurven in Bild 4-15 sind für quadratische Hohlprofile und ein sogenanntes Sandwich-profil. Letzterer darf für Doppel-T Querschnitte als Ersatz angesetzt werden, wobei die vollplastischen Momente M pl , y und M pl , z für das tatsächliche Profil, also MIT Berück-sichtigung des Steges zu verwenden sind.

Bild 4-15: Beispiel für Interaktionsdiagramme bei zweiachsiger Biegung

Die Vorteile des Sandwichprofils bzw. Sandwichquerschnitts werden in der EN 1993-1-1 vielfach (unbewusst) ausgenutzt, was in den folgenden Abschnitten noch erläutert wird. Bei doppeltsymmetrischen Querschnitten, s.a. Bild 4-16, findet bei zweiachsiger Biegung eine Verdrehung der Flächenhalbierenden um den Schwerpunkt statt. Wegen des sich än-dernden Hebelarms der inneren Kräfte bei der Berechnung des aufnehmbaren Momentes


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lassen sich die Verhältnisse nicht mehr so einfach darstellen und aufschreiben, wie im Fal-le des Kreisringquerschnitts.

Bild 4-16: Verdrehung der Flächenhalbierenden um den Schwerpunkt bei zweiachsiger Biegung am doppeltsymmetrischen Querschnitt

4.5.7 Interaktion bei zweiachsiger Biegung und Querkraft

Zweiachsige Biegung in Verbindung mit einer Querkraft wird wie zweiachsige Biegung be-handelt, wobei nicht die vollplastischen Momente M pl , y und M pl , z für die Interaktion nach Abschnitt 4.5.6 zu verwenden sind, sondern die nach Tabelle 4-2 abgeminderten Werte M pl ,V für die beiden Achsen y und z . Also auch hier erfolgt die Berücksichti-gung mehrerer Schnittgrößen nacheinander, wobei zuerst die Schnittgröße behandelt wird, die keine Normalspannungen erzeugt, also die Querkraft.

4.5.8 Interaktion bei zweiachsiger Biegung, Quer- und Normalkraft

Je mehr Kraftkomponenten an der Plastizierung des Querschnitts beteiligt sind, um so komplexer werden die Zusammenhänge, die beschrieben werden müssen. Für viele Quer-schnitte ist es fast unmöglich geschlossene Formeln anzugeben, weil zu viele Einflusspa-rameter zu berücksichtigen sind. Einzelne Formeln wären somit stets Insellösungen, die nur unter speziellen Randbedingungen gelten und schwer zu verallgemeinern sind. Das grundsätzliche Vorgehen wird anhand des Sandwichquerschnitts gezeigt.

Ausgegangen wird vom Doppel-T Profil, welches im Stahlbau zweifelsfrei am häufigsten eingesetzt wird. Auch hier wird zuerst die Schnittgröße behandelt, welche keine Normal-spannungen im Querschnitt erzeugt, also die Querkraft. Allerdings erfolgt das in stark ver-einfachter Form, indem nämlich gesagt wird, dass die Querkraft ausschließlich im Steg aufgenommen wird und folglich wird einfach der Steg des Doppel-T Profils aus dem Quer-schnitt "eliminiert". Die Aufnahme der Querkraft im Steg ist also der erste Nachweis, der

-+

f y

f y

y

y

d

d

t

t

z

t≪dz

M y

M z


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(gesondert) geführt werden muss. Es verbleibt das Sandwichprofil, welches nunmehr "nur" noch die beiden Biegemomente M y und M z sowie die Normalkraft N x aufzunehmen hat. Es werden folgend zwei Fälle unterschieden:

a) überwiegende Wirkung eines Biegemomentes M y , also (M y≫M z)b) überwiegende Wirkung eines Biegemomentes M z , also (M z≫M y)

Bild 4-17: zweiachsige Biegung mit Normalkraft am Sandwichquerschnitt(Querkraft wurde vorab allein dem Steg zugeordnet)

Beide Fälle sind im Bild 4-17 skizziert. In beiden Fällen wirkt die Normalkraft N x senk-recht zur Zeichenebene im Schwerpunkt S. Für diese Kraft wird unterstellt, dass sie genau so viel Querschnittsfläche „beansprucht“ dass sie dort die Fließspannung f y erzeugt. Das sind in den beiden Darstellungen rechts im Bild 4-17 die rot schraffierten Bereiche. Diese Flächen müssen wieder symmetrisch zur Flächenhalbierenden angeordnet sein, da-her sind sie zu gleichen Anteilen im oberen und unteren Gurt eingeführt, liegen aber we-gen der zweiachsigen Biegung nicht mehr symmetrisch zur z -Achse. Dazu werden nun die beiden Fälle betrachtet:

Fall a)Im ersten Fall tritt zu einer überwiegenden Beanspruchung durch ein Biegemoment M y

eine kleinere Beanspruchung durch ein zweites Biegemoment M z . Dadurch wird die ur-sprünglich senkrecht verlaufende z -Achse um einen kleinen Winkel verdreht und zur Achse z* , wie im mittleren Bild gezeigt. Die reservierten Flächen für die Normalkraft ver-schieben sich dadurch, aber wegen der nur geringfügigen Verdrehungen ändern sich die „Restflächen“ für M y und M z so lange nicht, wie die reservierte Fläche für die Normal-kraft vollständig innerhalb der Gurtfläche verbleibt. Ein hinreichend kleines Moment M z

hat also keine Auswirkungen auf die Querschnittstragfähigkeit und es gilt mithin die einfa-che Interaktionsbeziehung:

M y

M pl , y

= 1�( N x

N pl , x)

2

(4-56)

deren Gültigkeit sich mit den vorab gezeigten Algorithmen bereits gezeigt wurde.

+

-

S

+

- +

-

f y

y

z

t

b

h

t≪h

y

z

tf y

f y

f y

z*

z*

z*

z*

M y

M z


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Fall b)Überwiegt dagegen das Biegemoment M z , sind die Verhältnisse etwas anders. Wirkt ein kleines Moment M y , dann verdreht sich wieder die ursprünglich senkrechte z-Achse. Diese Verdrehung zur Achse z* erzwingt in Teilen der Flansche eine Vorzeichenumkehr der Fließspannung f y (Bild 4-17, rechte Darstellung). Daraus folgt, dass in diesem Fall die Mitwirkung von M y sehr wohl zu erfassen ist. Die Interaktionsbedingung dafür lautet:

( N x

N pl , x

+M y

M pl , y)

2

+M z

M pl , z

≤ 1 (4-57)

Mit den allgemeinen Interaktionsformeln (4-56) und (4-57) für den Sandwichquerschnitt, deren Auswertung in vieler Literatur in Diagrammform vorliegt, ist die Möglichkeit gegeben, immer dann zu Ergebnissen zu kommen, wenn zusätzlich noch Querkräfte V z übertra-gen werden müssen, wozu dann der Steg anzusetzen ist. Eine Querkraft V y muss dage-gen anders berücksichtigt werden. Hier sind bei der Berechnung mit den Gleichungen (4-56) und (4-57) statt der vollplastischen Schnittgrößen wieder die nach Tabelle 4-2 zu redu-zieren vollplastischen Schnittgrößen zu verwenden.

Für Rohrprofile kann wiederum auf einachsige Biegung zurückgeführt werden, wenn das resultierende Biegemoment aus der Kreisgleichung berechnet wird:

M res = √M y

2 + M z

2 (4-58)

Querkräfte werden auch beim Rohrprofil durch den Ansatz abgeminderter vollplastischer Biegemomente erfasst (s. Tabelle 4-2).

4.5.9 Interaktionen mit Beteiligung von Torsionsbeanspruchungen

Wird die Ausnutzung plastischer Reserven des Querschnitts bei gleichzeitiger Beanspru-chung durch Torsionsmomente angestrebt, ist eine Interaktion der Schubspannungen nö-tig. Die Schubspannungen aus Torsion setzen sich gemäß Abschnitt 3.5 des Scriptes aus Anteilen infolge St. Venantscher Torsion und Wölbkrafttorsion zusammen. Diese Spannun-gen werden in jedem Fall elastisch berechnet. Die Bezeichnungen in EN 1993-1-1 sind:

τ t , Ed für Schubspannungen aus St. Venantscher Torsion und (4-59)

τω , Ed für Schubspannungen aus Wölbkrafttorsion

Die Erfassung nach der Norm erfolgt ähnlich wie bei Anwendung der Tabelle 4-2 des Scriptes, nur dass hier die aufnehmbare vollplastische Querkraft V pl , Rd auf den Wert

V pl , T , Rd abgemindert wird. In den dafür gültigen Gleichungen 6.26 bis 6.28 der Norm zeigt sich erneut die Abhängigkeit der Interaktionsbeziehungen von den Querschnitten.

Mit der infolge Torsion abgeminderten vollplastischen Querkraft können dann alle anderen Interaktionen gemäß EN 1993-1-1 bzw. wie in der Theorie in den vorstehenden Abschnit-ten beschrieben durchgeführt werden.


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Die Abminderung der vollplastischen Querkraft ist nach der Norm wie folgt vorzunehmen:

a) für Doppel-T Querschnitte gilt:

V pl , T , Rd = √1�τ t , Ed

1,25⋅f y

√3⋅γM0

⋅V pl , Rd(6.26 lt. EN 1993-1-1) (4-60)

b) für U-Querschnitte gilt:

V pl , T , Rd = [√1�τt , Ed

1,25⋅f y

√3⋅γM0

�τω , Ed

f y

√3⋅γM0]⋅V pl , Rd

(6.27 in EN 1993-1-1) (4-61)

c) für Hohlprofile gilt:

V pl , T , Rd = √1�τt , Ed

f y

√3⋅γM0

⋅V pl , Rd(6.28 in EN 1993-1-1) (4-62)

Zu beachten ist, dass in den Gleichungen 4-60 und 4-62 keine Anteile für Wölbkrafttorsion enthalten sind (kein τω , Ed ). Alle drei Gleichungen haben nach Division durch V pl , Rd die klassische Form einer Interaktionsgleichung. Weitere Bezüge zur EN 1993-1-1 sind im Ab-schnitt 4.7 und bei den Beispielen unter 4.8 angegeben. Die Vorgaben der Norm enthalten an dieser Stelle auch keine Hinweise darüber, wie Wölbnormalspannungen zu behandeln sind. Es wird daher dringend empfohlen, Torsionsbeanspruchungen, die nicht mit den o.a. Gleichungen erfasst werden können, nach der Elastizitätstheorie zu erfassen.

4.6 Allgemeine Beanspruchung des Querschnitts

Eine anschauliche Darstellung der gleichzeitigen Wirkung mehrerer Schnittgrößen liefert das Bild 4-18 für die zweiachsige Biegung mit Normalkraft. Die Achsen stellen die jeweili-gen Verhältnisse der einwirkenden Schnittgrößen zu den aufnehmbaren vollplastischen Schnittgrößen bei alleiniger Wirkung dar. Dieser Wert kann maximal gleich Eins werden.

Die farbig dargestellten Kurven in den Ebenen der Koordinatenachsen sind Darstellungen der Interaktionsgleichungen jeweils zweier wirkender Größen. Eine Schnittebene parallel zu einer Ebene aus zwei Koordinatenachsen (im Bild für einen Wert N x = const. ) verklei-nert offensichtlich den Spielraum für die verbleibenden Biegemomente.

Wirken weitere Schnittgrößen, beispielsweise Querkräfte und Torsionsmomente, dann sind statt der vollplastischen Schnittgrößen in den Nennern der Achsenbezeichnungen die nach Tabelle 4-2 abgeminderten Werte anzusetzen. Ergo stellt die im Bild 4-18 durch die Kur-ven aufgespannte Fläche den Grenzwert für die kombinierte Beanspruchung dar, der durch jegliche Interaktion nicht verlassen werden darf. Das ist durch entsprechende Nach-weise sicher zu stellen.


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Bild 4-18: räumliche Darstellung der Interaktion bei zweiachsiger Biegung mit Normalkraft

4.7 Bezüge zur EN 1993-1-k

Für Querschnitte der Klassen 1 und 2 dürfen plastische Reserven des Querschnitts ausge-lastet werden. Das entspricht dem Vorgehen "elastisch - plastisch" nach der (alten) DIN 18800, wobei die Schnittgrößen in der statischen Berechnung nach der Elastizitätstheorie berechnet werden mussten. Folglich sind auch in der neuen Norm entsprechende Interak-tionsbeziehungen zu finden. Für die gemeinsame Beanspruchung aus Schubspannungen infolge Querkraft und Torsion sind die Gleichungen zum Beispiel bereits im Abschnitt 4.5.9 angegeben worden.

Bei der tatsächlich seltenen reinen Zug- oder Druckbeanspruchung gilt unter Aus-schluss eines Stabilitätsversagens bei Druck der Abschnitt 3 analog. Das liegt daran, dass in diesen Fällen die Normalspannung im gesamten Querschnitt gleich groß ist und folglich bei Laststeigerung in allen Fasern des Querschnitts die Fließspannung f y gleichzeitig erreicht wird. Damit ist bei reiner Zug- oder Druckbeanspruchung der elastische Grenzwert der Querschnittstragfähigkeit mit dem plastischen Grenzwert identisch.

In allen anderen Fällen sind aber zum Teil erhebliche Tragreserven im Querschnitt vorhan-den. Für reine einachsige Biegung in den Querschnittsklassen 1 und 2 wird in EN 1993-1-1 folgendes Nachweisformat angegeben:

M c , Rd = M pl , Rd =W pl⋅ f y

γM0(4-63)

Dabei steht M c , Rd für den aufnehmbaren Wert des Biegemomentes unter Berücksichti-gung eventueller Querschnittsschwächungen. Das Vorgehen ist analog Abschnitt 3.9. Zu prüfen ist demnach, ob ein Lochabzug im Zugflansch überhaupt zu beachten ist (s. Glei-chung 3-163 im Script bzw. 6.16 in der Norm). Sollte das der Fall sein, ist der Restquer-schnitt anzusetzen, wie im Beispiel auf Seite 151 gezeigt.

Ein- und zweiachsige Biegung mit Normalkraft wird in der EN 1993-1-1 im Abschnitt

1 1

1

N x

N pl , x

M y

M pl , y

M z

M pl , z

Interaktion M z mit N x

Interaktion M y mit M z

Interaktion M y mit N x

Fläche N x = const.


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6.2.9 beschrieben. Dabei kann auf die Erfassung der Normalkraft verzichtet werden, wenn die Bedingungen 4-64:

N Ed ≤ 0,25⋅N pl , Rd und N Ed ≤0,5⋅hw⋅tw⋅ f y

γM0

(4-64)

gleichzeitig erfüllt sind, die einwirkende Normalkraft also maximal 25% der Normalkraft-tragfähigkeit entspricht und dabei nicht mehr als die Hälfte der Stegfläche beansprucht. Beansprucht die Normalkraft maximal die Stegfläche:

N Ed ≤hw⋅t w⋅f y

γM0

(4-65)

kann deren Einfluss bei einer Momentenbelastung um die (schwache) z -Achse vernach-lässigt werden. Die Bedingungen (4-64) und (4-65) gelten für Gurt/Steg- Profile und folgen unmittelbar aus den Überlegungen des Abschnittes 4.5.8 zum Sandwichquerschnitt.

Für Rechteckquerschnitte wird die Interaktion von Biegemoment und Normalkraft im Falle einachsiger Biegung exakt durch die Gleichung (4-28) des Scriptes beschrieben. Sie lau-tet mit den Bezeichnungen und in der Form der EN 1993-1-1:

M N , Rd = M pl , Rd⋅[1�( N Ed

N pl , Rd)

2

] (4-66)

Für andere Querschnitte wird eine Interaktionsbeziehung mit querschnittsabhängigen Bei-werten angegeben. Zu bestimmen sind die Beiwerte a und n , wobei a ein quer-schnittsabhängiger Wert ist und n ein normalkraftabhängiger Wert. Es wird deutlich, dass es auch hier um die Effekte geht, die im Abschnitt 4.5.8 dargelegt wurden.

a =(A�2⋅b⋅t f )

Amit (a ≤ 0,5) n =

N Ed

N pl , Rd

(4-67)

Es wird nun unterschieden nach

a) gewalzten Doppel-T Querschnitten und geschweißten Doppel-T Querschnitten mit glei-chen Flanschen ohne Abzug von Schraubenlöchern:

M N , y , Rd = M pl , y , Rd⋅(1 � n)

(1 � 0,5⋅a), aber M N , y , Rd < M pl , y , Rd (4-68)

wenn gilt n ≤ a → M N , z , Rd = M pl , z , Rd

(4-69)

wenn gilt n > a → M N , z , Rd = M pl , z , Rd⋅[1 �(n�a

1�a )2

]


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und

b) rechteckigen Hohlquerschnitten mit konstanten Blechdicken und geschweißten Kasten-querschnitten mit gleichen Flanschen und Stegen ohne Abzug von Schraubenlöchern:

Hier wird der Beiwert a ersetzt durch die Beiwerte aw (Steg) und a f (Flansch), wobei auch diese Werte stets kleiner als 0,5 sein müssen.:

aw =(A�2⋅b⋅t f )

Amit (a ≤ 0,5) (Hohlquerschnitte)

aw =(A�2⋅b⋅t f )

Amit (aw ≤ 0,5) (Kastenquerschnitte)

(4-70)

a f =(A�2⋅h⋅t )

Amit (a f ≤ 0,5) (Hohlquerschnitte)

a f =(A�2⋅h⋅t w)

Amit (a f ≤ 0,5) (Kastenquerschnitte)

Die Beiwerte gehen in die Berechnung der abgeminderten Biegemomente wie folgt ein:

M N , y , Rd = M pl , y , Rd⋅(1 � n)

(1�0,5⋅aw)aber M N , y , Rd < M pl , y , Rd

bzw. (4-71)

M N , z , Rd = M pl , z , Rd⋅(1 � n)

(1�0,5⋅a f )aber M N , z , Rd < M pl , z , Rd

Es wird deutlich, dass mit diesen Gleichungen viele, aber bei weitem nicht alle Querschnit-te erfasst sind. In anderen Fällen dürfen entweder die allgemeineren Gleichungen aus dem Script sinngemäß angewendet werden oder es ist, wie auch stets in Zweifelsfällen, die konservativere Elastizitätstheorie zum Nachweis heranzuziehen. Der Nachweis erfolgt mit den nach (4-66) bis (4-71) ermittelten Größen nach dem Format:

M Ed

M N , Rd

≤ 1 (4-72)

in dem M Ed das nach der Elastizitätstheorie berechnete Biegemoment in einer stati-schen Berechnung ist.

Ist die Normalkraft bei zweiachsiger Biegung zu berücksichtigen, muss ausgehend vom Bild 4-18 für eine vorhandene Normalkraft N Ed = N x zunächst die zur Grundebene paral-lele (kleinere) Ebene N x = const. gefunden werden. Dazu werden die vollplastischen Mo-mente M pl , y und M pl , z nach Gleichung (4-67) bis (4-71) abgemindert anschließend nach dem Kriterium (4-73) überprüft:


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[ M y , Ed

M N , y , Rd]α

+ [ M z , Ed

M N , z , Rd]β

≤ 1 (4-73)

Darin sind zuvor noch die Bewerte α und β zu berechnen. Diese sind wieder vom Querschnitt abhängig und werden unter Verwendung des Parameters n nach (4-67) wie folgt bestimmt:

a) Doppel-T Querschnitte:

α = 2 und β = 5⋅n aber β > 1 (4-74)

b) runde Hohlquerschnitte (entspricht dem resultierenden Moment):

α = β = 2 (4-75)

c) rechteckige Hohlquerschnitte:

α = β =1,66

1�1,13⋅n2

aber α = β ≤ 6 (4-76)

Für Nachweise von Beanspruchungen aus Querkräften unter Berücksichtigung plasti-scher Querschnittsreserven ist die wirksame Schubfläche zu ermitteln, die zur Berechnung der aufnehmbaren plastischen Querkraft benötigt wird. Das Nachweisformat lautet allge-mein:

V Ed

V c , Rd

≤ 1 (4-77)

Der Wert V Ed stammt wie auch N Ed oder M Ed aus der statischen Berechnung, stellt also den Designwert der Auswirkung einer Einwirkungskombination dar. In den Quer-schnittsklassen 1 und 2 darf nun V c , Rd (inkl. Schwächungen) wie folgt ermittelt werden:

V c , Rd =

AV⋅( f y

√3)γM0

(4-78)

Die wirksame Schubfläche AV ist unter Verwendung des Beiwertes η gemäß EN 1993-1-5 sowie üblichen Bezeichnungen für die Querschnittsmaße zu berechnen. Auf der siche-ren Seite liegend darf η = 1 gesetzt werden, was in vielen praktischen Fällen ausrei-chend und zielführend ist. Es gilt nun für:

a) gewalzte Doppel-T Profile, Lastrichtung parallel zum Steg

AV = A � 2⋅b⋅t f + (tw + 2⋅r)⋅t f aber min AV = η⋅hw⋅tw (4-79)

Die wirksame Schubfläche ist in diesem Fall also mindestens so groß wie die Stegfläche.


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b) gewalzte U-Profile, Lastrichtung parallel zum Steg

AV = A � 2⋅b⋅t f + (tw + r )⋅t f (4-80)

c) Profile mit T-Querschnitten, Lastrichtung parallel zum Steg

gewalzt: AV = A � b⋅t f + (t w + 2⋅r )⋅t f

2(4-81)

geschweißt: AV = t w⋅(h �t f

2 )d) geschweißte Doppel-T Profile und Kastenquerschnitte, Lastrichtung parallel zum Steg

AV = η⋅∑ (hw⋅t w) (4-82)

e) geschweißte Doppel-T und U Profile sowie Kastenquerschnitte, Lastrichtung parallel zum Flansch

AV = A � η⋅∑ (hw⋅tw) (4-83)

f) gewalzte Rechteckhohlprofile mit konstanter Blechdicke

Last parallel zur Trägerhöhe AV =A⋅h

(b+h)(4-84)

Last parallel zur Trägerbreite AV =A⋅b

(b+h)

g) Rohrquerschnitte mit konstanter Blechdicke

AV =2⋅Aπ (4-85)

Die wirksamen Schubflächen sind für viele Profile bereits tabelliert. Es ist bei der Auswahl auf die Lastrichtungen zu achten. Die plastische Querkrafttragfähigkeit V c , Rd ist gem. Ab-schnitt 4.5.9 abzumindern, wenn gleichzeitig Torsion auftritt.

Für Beanspruchungen aus Biegung und Querkraft ist nach EN 1993-1-1 keine Interakti-on erforderlich, wenn gilt:

V Ed ≤ 0,5⋅V c , Rd (4-86)

sofern eine Gefährdung auf Schubbeulen nach EN 1995-1-5 ausgeschlossen ist bzw. die Querkrafttragfähigkeit durch Schubbeulen reduziert ist ( V c , Rd gem. Gl. 4-78). Ansonsten ist für die schubbeanspruchte Fläche die Fließgrenze abzumindern (s.a. Bild 4-13). Diese


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Abminderung wird durch:

f y,red =(σ x ,V ) =(1 � ρ)⋅ f y (4-87)

vorgenommen, wobei die abgeminderte Fließspannung im Wesentlichen dem Wert σ x , V

aus Tabelle 4-2 entspricht, denn ρ ist dabei wie folgt definiert:

ρ =( 2⋅V Ed

V pl , Rd

� 1)2

(4-88)

enthält also sozusagen den zweiten Teil der Interaktionsbeziehung. V pl , Rd entspricht da-bei dem Wert V c , Rd nach (4-78). Bei gleichzeitiger Torsion ist in (4-88) V pl , Rd durch

V pl , T , Rd nach Abschnitt 4.5.9 des Scriptes zu ersetzen, wobei auch hier in Analogie zu (4-86) gilt:

ρ = 0 wenn V Ed ≤ 0,5⋅V pl , T , Rd (4-89)

Eine Vereinfachung der Regeln gibt es für Doppel-T- Querschnitte mit gleichen Flanschen bei einachsiger Biegung um die starke Achse. Hier muss keine Abminderung der Fließ-spannung erfolgen, sondern es darf direkt ein abgeminderter Wert der Momentenbean-spruchung berechnet werden. Statt M pl , y , Rd wird mit M y , V , Rd gearbeitet. Dieser Wert berechnet sich:

M y , V , Rd = [W pl , y�ρ⋅Aw

2

4⋅tw]⋅ f y

γM0(4-90)

Dabei muss das abgeminderte Moment natürlich kleiner sein, als der Ausgangswert, also:

M y , V , Rd < M y , c , Rd = M pl , y (4-91)

In Gleichung (4-90) ist mit Aw die Stegfläche gemeint ( Aw = hw⋅tw ).

Zum besseren Verständnis der vorstehenden Bezüge zur EN 1993-1-1 und der vorab dar-gelegten theoretischen Grundlagen wird das parallele Studium des Abschnitts 6.2 der EN 1993-1-1 im Zusammenhang mit dem nationalen Anhang dringend empfohlen. Weitere An-gaben zu Interaktionen können der EN 1993-1-5 entnommen werden. Sie werden z.T. auch in den späteren Abschnitten dargelegt. Dabei geht es beispielsweise um die gleich-zeitige Beanspruchung aus Biegung, Querkraft und Querbelastung.

4.8 Beispiele

Im Abschnitt 3.9 wurden einige Beispiele bereits nach der Elastizitätstheorie behandelt. Unter Bezug auf diese Beispiele soll später gezeigt werden, wie sich diese Nachweise un-ter Ausnutzung plastischer Querschnittsreserven ändern. Vorher werden noch einige Bei-spiele zu den angegebenen Interaktionsformeln vorgerechnet.


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Folgende Interaktionen werden zunächst beispielhaft gezeigt:

a) Interaktion bei einachsiger Biegung mit Normalkraft und Querkraft- nach Tabelle 4-2- nach EN 1993-1-1

b) Interaktion bei zweiachsiger Biegung mit Querkraft - nach EN 1993-1-1

c) Interaktion von Querkraft und St. Venantscher Torsion bei einachsiger Biegung- nach EN 1993-1-1

a) Interaktion bei einachsiger Biegung mit Normalkraft und Querkraft

Ein Biegeträger sei Teil einer stählernen Fluchttreppe. Für das Profil, ein IPE-200 als Be-standteil eines Rahmensystems, weist die EDV-Berechnung in der maßgebenden Last-kombination und an der maßgebenden Schnittstelle folgende Designwerte aus:

N x , d = 270 kN , M y , d = 37 kNm , V z , d = 108 kN (4-92)

Bild 4-19: Systemvorgaben für Beispiel a) zur Interaktion

Es ist der Nachweis zu führen, dass das Profil im Bild 4-19 so ausgeführt werden kann. Dabei sollen Lochabzüge nicht berücksichtigt werden. Als Material ist mit S235 zu arbei-ten. Zuerst werden die Tragwerkswiderstände anhand der Profilwerte bestimmt:

A = 28,5 cm2

b = 100 mm tw = 5,6 mm t f = 8,5 mm r = 12 mm

AV , z = 2850 � 2⋅100⋅8,5 + (5,6+2⋅12)⋅8,5 = 1402 mm2 = 14,02 cm

2

(4-93)W pl , y = 220 cm

3

f y (S235)= 235N

mm2

(z.B. aus Tabellenwerk oder Norm entnehmen bzw. nach Norm berechnen)

N x ,d

V z , d

M y , d

IPE�200, S235


[email protected]


V pl , z , Rd =

1402⋅(235

√3 )1,0

= 190219,6 N = 190,22 kN

(4-94)

N pl , Rd =2850⋅235

1,0= 669750 N = 669,7 kN

M pl , y , Rd =220000⋅235

1,0= 51700000 Nmm = 51,7 kNm

(nach den Gleichungen der Norm bzw. dem Script berechnen)

In den Gleichungen (4-93) und (4-94) wurden Einheiten erst im Ergebnis explizit ausge-wiesen. Der Wert 1,0 wurde mit angegeben. Er repräsentiert den Teilsicherheitsbeiwert

γM0 . Das Ergebnis aus (4-94) zeigt, dass jeder einzelne Wert problemlos aufgenommen werden kann:

N x ,d

N pl , Rd

=270

669,7= 0,403 < 1 ,

M y , d

M pl , y , Rd

=37

51,7= 0,716 < 1

V z ,d

V pl , z , Rd

=108

190,22= 0,568 < 1 (4-95)

Da aber die Werte alle an derselben Schnittstelle auftreten, ist eine Interaktion auszufüh-ren. Nach Tabelle 4-2 kann zunächst die aufnehmbare Restnormalspannung σ x , V bei gleichzeitiger Wirkung der Querkraft berechnet werden (1. Zeile, Spalte 3):

σ x , V = 235⋅√1 �108

2

190,222= 193,45

N

mm2

(4-96)

Diese Normalspannung ist kleiner als Fließspannung f y und es wird nach Tabelle 4-2, Spalte 2, berechnet, wie groß die Normalkraft und das Biegemoment unter diesen Bedin-gungen maximal noch werden können (Achtung, z.T. ohne vollständige Angabe aller Zwi-schenrechnungen):

N pl , V = 2⋅8,5⋅100⋅235 + 5,6⋅(200�2⋅8,5)⋅193,45 = 597740 N = 597,74 kN

(4-97)

M pl ,V = 8,5⋅100⋅(200�8,5)⋅235 +5,6

4⋅183

2⋅193,45 = 47320000 Nmm = 47,32 kNm

Mit Gleichung (4-52) wird das noch aufnehmbare Biegemoment berechnet:

M pl , N

M pl , V

=(1 �N pl , M

2

N pl ,V

2 ) → M pl , N = M pl ,V(1 �N pl , M

2

N pl , V

2 )


[email protected]


M pl , N = 47,32⋅(1�270

2

597,742)= 37,67 kNm > 37,0 kNm = M y , d (4-98)

Der Nachweis ist also gerade so erfüllt. Dabei wurde die Tabelle 4-2 und nicht die "stren-ge" Norm genutzt. Wie verändert sich die Interaktion, wenn die Gleichungen und Randbe-dingungen der EN 1993-1-1 angewandt werden ? Nach Gleichung (4-86) gilt:

V Ed = 108 kN < 0,5⋅V pl , z , Rd = 95,11 kN (4-99)

Die Interaktion ist also durchzuführen. Gleichung (4-88) liefert den Abminderungsbeiwert ρ :

ρ =( 2⋅108

190,22�1)

2

= 0,0184 (4-100)

Damit kann nach (4-87) die reduzierte Fließspannung ausgerechnet werden:

f y,red =(1 � 0,0184)⋅235 = 230,68N

mm2 (4-101)

Im Vergleich zu (4-96) fällt die Reduzierung erheblich geringer aus. Die Angabe in Tabelle 4-2 ist dahingehend zunächst also konservativ. In EN 1993-1-1 ist zur weiteren Verfah-rensweise an dieser Stelle lediglich gesagt, dass

"... die Momententragfähigkeit für auf Biegung und Normalkraft beanspruchte Querschnitte mit einer abgeminderten Streckgrenze ... für die wirksamen Schubflächen zu ermitteln ist."

Daher wird analog die Gleichung (4-97) ausgewertet, was dieser Forderung entspricht:

N pl , V = 2⋅8,5⋅100⋅235 + 5,6⋅(200�2⋅8,5)⋅230,68 = 635901 N = 635,9 kN

(4-102)

M pl ,V = 8,5⋅100⋅(200�8,5)⋅235 +5,6

4⋅183

2⋅230,68 = 49067465 Nmm = 49,07 kNm

Die Werte liegen erwartungsgemäß etwas höher. Mit den Ergebnissen aus (4-102) muss nun die Interaktion für die einachsige Biegung um die starke Achse nach EN 1993-1-1 durchgeführt werden. Das geschieht mit den Gleichungen (4-67) ff, allerdings unter Ver-wendung der Ergebnisse aus (4-102). Zunächst wird:

a =2850�2⋅100⋅8,5

2850= 0,403 , n =

270

635,9= 0,424 (4-103)

Damit kann (4-68) bereits ausgewertet werden:(4-104)

M N , y , Rd = M pl , y ,V⋅(1�0,424)

(1�0,5⋅0,403)= 49,07⋅

0,576

0,7985= 35,4 kNm ≪ 37 kNm = M y ,d


[email protected]


Obwohl die Abminderung der Fließspannung in (4-101) deutlich geringer ausfällt, als nach Tabelle 4-2, wird der zunächst konservativ erscheinende Nachweis nach Tabelle 4-2 güns-tiger, als der Nachweis über die Beiwerte nach EN 1993-1-1. Es ist stets möglich, Nach-weise zu führen, die NICHT in einer Norm stehen. Allerdings steht dem in aller Regel die Beweislast entgegen, dass der Ersatznachweis den anerkannten Regeln der Technik ent-spricht. Insofern sollte im vorliegenden Fall eher ein größeres Profil gewählt werden.

Hinweis: Die vereinfachte Gleichung (4-90) aus der Norm kann in diesem Fall nicht ange-wendet werden, da sie die Normalkraft nicht berücksichtigt.

b) Interaktion bei zweiachsiger Biegung mit Querkraft

Eine stählerne Rähmkonstruktion aus Profilen HEB-160 wurde zur Verstärkung in eine denkmalgeschützte Dachkonstruktion eingebaut. Das Rähm erhält horizontale Belastun-gen aus dem Wind (Biegung um die schwache Achse, p y ) sowie vertikale Belastungen aus Eigengewicht und Schnee (Biegung um die starke Achse, p z ). In Trägermitte wird eine größere Einzellast in z-Richtung (vertikal) durch einen Riegel eingeleitet ( Pz ). Da-mit wird die Trägermitte mit den folgenden Beanspruchungen zur maßgebenden Nach-weisstelle (Bild 4-20):

M y , d = 52 kNm , M y , d = 15 kNm , V z ,d = 80 kN (4-105)

Bild 4-20: Rähmkonstruktion, Systemausschnitt mit "s" als maßgebender Schnittstelle für die Nachweise

Lochabzug sei nicht zu berücksichtigen. Für das Profil gelten folgende Kennwerte:

A = 54,3 cm2

h = b = 160 mm t w = 8 mm t f = 13 mm r = 15 mm

AV , z = 5430 � 2⋅160⋅13 +(8+2⋅15)⋅13 = 1764 mm2 = 17,64 cm

2

(4-106)W pl , y = 354 cm

3W pl , z = 169,96 cm

3

f y (S235) = 235N

mm2

(z.B. aus Tabellenwerk oder Norm entnehmen bzw. nach Norm berechnen)

P z pz

p y

s


[email protected]


V pl , z , Rd =

1764⋅(235

√3 )1,0

= 239330 N = 239,33 kN

(4-107)

N pl , Rd =5430⋅235

1,0= 1276050 N = 1276,05 kN

M pl , y , Rd =354000⋅235

1,0= 83190000 Nmm = 83,19 kNm

M pl , z , Rd =169960⋅235

1,0= 39940600 Nmm = 39,94 kNm

(nach den Gleichungen der Norm bzw. dem Script berechnen)

Auch in diesem Fall kann offensichtlich jede Schnittgröße allein durch den Querschnitt auf-genommen werden:

M y , d

M pl , y , Rd

=52

83,19= 0,625 < 1 ,

M z , d

M pl , z , Rd

=15

39,94= 0,376 < 1

V z ,d

V pl , z , Rd

=80

239,33= 0,334 < 1 (4-108)

Aus dem Verhältnis der einwirkenden Querkraft zur aufnehmbaren vollplastischen Quer-kraft (s.a. Gleichung 4-86) kann die Querkraft zunächst bei der Interaktion vernachlässigt werden. Dabei wird unterstellt, dass Schubbeulen nicht auftreten kann. Die Einleitungsstel-le der Riegellast ist folglich konstruktiv durch entsprechende Aussteifungsbleche zu si-chern bzw. der Nachweis nach EN 1993-1-5 gesondert zu erbringen.

Der Interaktionsnachweis für zweiachsige Biegung gemäß EN 1993-1-1 erfolgt nach Glei-chung (4-73). Dabei ist zu beachten:

- Da keine Normalkraft angegeben ist, können statt der Werte M N , y , pl und M N , z , pl

die jeweiligen vollplastischen Schnittgrößen M pl , y und M pl , z verwendet werden.- Der Beiwert β ist wegen n = 0 in diesem Fall mit seinem Mindestwert ( β = 1 ) zu belegen.- Der Beiwert α ergibt sich aus (4-74) zu α = 2 .

Damit kann gerechnet werden:

[ 52

83,19]2

+[ 15

39,94 ]1

= 0,766 < 1 → NW ist erfüllt (4-109)

Durch Um- und Ausbaumaßnahmen erhöht sich die Last aus dem Riegel und damit auch die Schnittgrößen im Rähm an der Stelle "s". Der Nachweis ist für dieselben Profilwerte


[email protected]


nunmehr mit folgenden Auswirkungen der Einwirkungen zu berechnen:

M y , d = 62 kNm , M y , d = 22 kNm , V z ,d = 135 kN (4-110)

Die Aufnahme jeder einzelnen Schnittgröße ist auch dann noch gewährleistet:

M y , d

M pl , y , Rd

=62

83,19= 0,745 < 1 ,

M z , d

M pl , z , Rd

=22

39,94= 0,551 < 1

V z ,d

V pl , z , Rd

=135

239,33= 0,564 < 1 (4-111)

Nunmehr darf aber wegen Gleichung (4-86), das entspricht der dritten Rechnung in (4-111), die Querkraft nicht mehr vernachlässigt werden. Damit ändern sich gegenüber dem Nachweis (4-109) nicht nur die Zähler, sondern für die Nenner sind ggf. die infolge der Querkraft abgeminderten Werte anzusetzen. Dazu ist festzustellen:

- Es liegt eine Querkraft in z-Richtung vor. Diese wirkt im Steg des Profils- Das vollplastische Biegemoment M pl , y ist demzufolge abzumindern. Das erfolgt in zwei Schritten. Nach (4-87) und (4-88) wird die vermindert Fließspannung ermittelt und nach Tabelle 4-2 (Zeile 1) der abgeminderte Wert M pl ,V

- Das vollplastische Biegemoment M pl , z muss nicht abgemindert werden, da es durch die Flansche aktiviert wird.- Die Beiwerte α und β bleiben erhalten.

Die abgeminderte Fließspannung wird berechnet:

ρ =( 2⋅135

239,33� 1)

2

= 0,0164

(4-112)

f y,red =(1 � 0,0164)⋅235 = 231,15N

mm2

Gemäß Tabelle 4-2, Zeile 1, Spalte 2 wird mit f y,red das Moment abgemindert:

M pl ,V = 13⋅160⋅147⋅235 +8

4⋅134

2⋅231,15 = 71853600 Nmm = 71,85 kNm (4-113)

Der Nachweis aus (4-109) ändert sich damit wie folgt:

[ 62

71,85 ]2

+[ 22

39,94 ]1

= 1,295 > 1 → NW ist NICHT erfüllt (4-114)

Der Nachweis ist damit deutlich nicht mehr erfüllt. Es gibt nur die Möglichkeit, das Profil zu verstärken oder die Lasten zu reduzieren. Das soll an dieser Stelle nicht diskutiert werden.


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c) Interaktion von Querkraft und St. Venantscher Torsion bei einachsiger Biegung

Bild 4-21: System für Beispiel c), Kragkonstruktion an einem Industriebau

An einer Industriehalle muss zum Datenmonitoring eine Kragkonstruktion angebaut wer-den. Am Ende des abgeknickten Kragarms treten aus technologischen Gründen zeitweise erhebliche horizontale Lasten auf. Die Angabe im Bild 4-21 enthält den Wert für die maß-gebliche Kombination bereits als Designwert. Das Eigengewicht des Kragarms ist demge-genüber klein und darf im Rahmen der Übung vernachlässigt werden.

Es ist ein geeignetes quadratisches Hohlprofil nach EN 10210-2 auszuwählen. Die Profil-werte können u.a. auf der kostenfrei zugänglichen Internetseite "http://profiles.dlubal.de" abgerufen werden. Es ist ferner offensichtlich, dass die maßgebliche Beanspruchungs-kombination an der Einspannstelle auftreten muss. Hier stimmen dann auch die Schnitt-größen mit den Stützkräften betragsmäßig überein. Es gilt:

V y , Ed = E Ed = 16 kN → aus ∑ H = 0

(4-115)M x , Ed = EEd⋅h = 16⋅2 = 32 kNm

M z , Ed = E Ed⋅l = 16⋅4,5 = 72 kNm

Für das quadratische Hohlprofil wird vereinfachend angenommen, dass nur Schubspan-nungen aus St. Venantscher Torsion entstehen. Anteile aus Wölbkrafttorsion werden ver-nachlässigt, denn das Profil ist gemäß Bild 3-36 quasi wölbfrei. Die Nachweise werden nach EN 1993-1-1 geführt. Da kein Profil vorgegeben wurde, ist zunächst ein Profil der vorgegebenen Profilreihe zu wählen. Anhaltspunkt für eine erste Wahl ist, dass jede ein-zelne Schnittgröße aufgenommen werden kann. Ausgehend von der größten auftretenden Beanspruchung wird dabei von M z , Ed ausgegangen und das dafür erforderliche plasti-sche Widerstandsmoment berechnet:

erf W pl =M z , Ed

f y

=72000000 Nmm

275N

mm2

= 261,8 cm3

(4-116)

für einen Stahl S275. Gewählt wird daher ein Profil QRO 160 x 8 mm (160 mm Kantenlän-ge und 8 mm Wandstärke. Die Profilwerte sind:

EEd = 16 kN

h = 2 m

l = 4,5 m

V y , Ed

M z , Ed

M x , Ed


[email protected]


A = 47,95 cm2

h = b = 160 mm t = 8 mm

AV , z = 2398 mm2 = 23,98 cm

2

(4-117)W pl , y = W pl , z = 271,8 cm

3

W t = 368,29 cm3

V pl , y , Rd =AV⋅ f y

√3=

2398 mm2⋅275

N

mm2

√3= 380,73 kN → γM0 = 1,0

Es ist nun der Einfluss der beiden anderen Schnittgrößen M x , Ed und V y , Ed zu untersu-chen. Nach Gleichung (3-73) wird zunächst die Torsionsschubspannung für St. Venant-sche Torsion nach der Elastizitätstheorie berechnet:

τ t , Ed =M x , Ed

W t

=32000000 Nmm

368290 mm3

= 86,89N

mm2 (4-118)

Gemäß Abschnitt 3.5.9 kann nun der Wert für die vollplastische Querkraft infolge der Torsi-onsschubspannungen abgemindert werden. Es gilt Gleichung 4-62) für das Hohlprofil:

V pl , T , Rd = √1�86,89

275

√3

⋅380730 N = 0,673⋅380730 N = 256,23 kN(4-119)

Die aufnehmbare Querkraft ist durch den Einfluss der Torsion also erheblich kleiner gewor-den. Die Interaktion mit dem Biegemoment wird nun also statt mit der vollplastischen Querkraft mit dem in Gleichung (4-119) berechneten Wert durchgeführt. Dazu ist zunächst abzuprüfen, ob die Interaktion überhaupt durchgeführt werden muss (4-86):

16 kN ≤ 0,5⋅V pl , T , Rd = 0,5⋅256,23 = 128,12 kN (4-120)

Offensichtlich muss eine Interaktion in diesem Fall nicht mehr durchgeführt werden (Schubbeulen sei ausgeschlossen). Damit sind vorliegend alle Nachweise erbracht.

Bei den Interaktiosnachweisen fällt auf, dass keine Untersuchung der auftretenden Durch-biegungen erfolgt. Auch bei den Beispielen im Abschnitt 3 wurde zu den Durchbiegungen keine Aussage getroffen. Die Ursache dafür liegt in der Tatsache, dass sowohl der elasti-sche Spannungsnachweis, als auch der Interaktionsnachweis auf der Basis plastisch auf-nehmbarer Schnittgrößen ausschließlich im Querschnitt geführt wird. Das statische Sys-tem mit Stützweiten, Kraglängen usw. spielt dabei keine Rolle. In den Berechnungen fan-den lediglich die "in der Statik ausgewiesenen maßgebenden Schnittgrößen" ihren Nieder-schlag. Durchbiegungen hängen dagegen stets mit dem Gesamtsystem zusammen.

Nachfolgend wird nochmals auf einige Beispiele aus Abschnitt 3 Bezug genommen.


[email protected]


Es sind das im Einzelnen:

a) Verkehrsinformationsanlage, Interaktion zweiachsige Biegung und Torsion- nach EN 1993-1-1

b) Vordachkonstruktion, Interaktion bei einachsiger Biegung und Querkraft- nach EN 1993-1-1

c) Fachwerkstab mit Querbelastung, Interaktion von Biegung, Quer- und Normalkraft- nach EN 1993-1-1

a) Verkehrsinformationsanlage, Interaktion zweiachsige Biegung und Torsion

Das Beispiel einer Verkehrsinformationsanlage mit einseitiger Aufstellung aus Abschnitt 3 (s.a. Bild 3-66) soll an dieser Stelle erneut untersucht werden. Im Abschnitt 3 wurden le-diglich die auftretenden Torsionsspannungen für 2 verschiedene Querschnitte berechnet. Alle anderen Schnittgrößen wurden dort zunächst vernachlässigt. Das Bild wird hier noch-mals als Bild 4-22 wiedergegeben.

Bild 4-22: System "Verkehrsinformationsanlage" aus Abschnitt 3

Als Einwirkungen und Systemmaße waren im Abschnitt 3 angegeben:

h = 5,4 m , a = 6,5 m , GEd = 8,1 kN , H w , Ed = 13,8 kN (4-121)

Nachfolgend werden nun zunächst sämtliche Schnittgrößen an der Einspannstelle berech-net. Es sind das:

M x , Ed =� H w , Ed⋅a =�13,68⋅6,5 =�89,70 kNm → Torsionsmoment

M y , Ed = H w , Ed⋅h = 13,8⋅5,4 = 74,52 kNm → Biegung starke Achse

M z , Ed = GEd⋅a = 8,1⋅6,5 = 52,65 kNm → Biegung schwache Achse

(4-122)

H w , Ed

a

h

x

yz

Querschnitt Q

Biegung : M y , Ed = H w , Ed⋅h

M z , Ed ≈ GEd⋅a

Torsion : M x , Ed =�H w , Ed⋅a

GEd


[email protected]


V z , Ed = H w , Ed = 13,8 kN → Querkraft z�Richtung

zu (4-122)N x , Ed = GEd = 8,1 kN → Normalkraft

Alle Schnittgrößen müssen nun gleichzeitig aufgenommen werden können. Dafür wird nachfolgend die Interaktion durchgeführt. Die Querschnittswerte werden gefunden:

A = 148,69 cm2

AV =2⋅Aπ = 94,66 cm

2W pl = 1867,19 cm

3 (4-123)

Damit werden neben dem mit (3-188) bereits bestimmten Torsionswiderstand bei St. Ven-antscher Torsion die weiteren plastischen Widerstandsgrößen berechnet:

T Rd = 600,17 kNm M pl , Rd = W pl⋅ f y = 662,85 kNm

(4-124)

N pl , Rd = A⋅ f y = 5278,5 kN V pl , Rd =AV⋅ f y

√3= 1940,14 kN

In (4-124) wurde γM0 = 1,0 nicht mehr mit aufgeführt. Das aufnehmbare Torsionsmoment trägt dabei nicht den Index pl , da es nach der Elastizitätstheorie berechnet wurde. Auf die Verwendung der Indizes der Koordinatenachsen kann zunächst wegen der Rotations-symmetrie des Querschnitts verzichtet werden. Nunmehr kann die Interaktion durchgeführt werden. Es erzeugen:

a) Schubspannungen T Ed und V Ed

b) Normalspannungen N Ed und M Ed = √ M y , Ed

2 + M z , Ed

2 (4-125)

Zuerst wird die aufnehmbare Querkraft durch das Torsionsmoment abgemindert. Dazu gilt Gleichung (4-62) und τ t , Ed wird vorab nach Abschnitt 3 berechnet (s. S. 120 u. 163):

τ t , Ed =M x , Ed

2⋅t⋅Am

=89700000

2⋅12⋅122169,75= 30,59

N

mm2 (4-126)

V pl , T , Rd = √1 �τt , Ed⋅√3

f y

⋅V pl , Rd = √1 �30,59⋅√3

355⋅1940,14 = 1789,5 kN (4-127)

Es zeigt sich auch an diesem geringen Einfluss des Torsionsmoments, dass rotationssym-metrische Profile günstig für Torsionsbeanspruchungen sind. Die Bedingung der Gleichung (4-86) ist damit ebenfalls sicher eingehalten, so dass eine Interaktion zwischen (Rest-) Querkraft und Biegemomenten entfallen kann.

Bleibt abschließend die gleichzeitige Wirkung von Biegemoment und Normalkraft zu be-trachten. Auch hier gibt es eine Bedingung, die dazu führen kann, dass die Interaktion nicht untersucht werden muss. Die entsprechenden Gleichungen (4-64) und (4-65) gelten allerdings nur für Gurt/Steg-Profile, da von Stegflächen sowie starken und schwachen


[email protected]


Achsen die Rede ist. Eine einfache Überlegung hilft hier. Die geringe Normalkraft von

N Ed = 8,1 kN beansprucht bei f y = 355N

mm2 mit

AN =8100 N

355N

mm2

= 22,81 mm2

gerade einmal 0,1 % der Querschnittsfläche. Damit ist der Einfluss extrem gering und kann vernachlässigt werden und das Biegemoment kann allein mit:

M Ed

M pl , Rd

= √74,522 + 52,65

2

662,85= 0,138 < 1 Nachweis ist erfüllt ! (4-128)

nachgewiesen werden. Der im Abschnitt 3 für dieses System alternativ untersuchte Quer-schnitt wird an dieser Stelle nicht untersucht.

b) Vordachkonstruktion, Interaktion bei einachsiger Biegung und Querkraft

Mit Bild 4-23 ist die Skizze für das Vordach aus Abschnitt 3 erneut angegeben. Aus den vorgegebenen Belastungen wurden dort die Schnittgrößen an der Einspannstelle berech-net und nach der Elastizitätstheorie überlagert. Zusammenfassend wurde berechnet (3-200):

M y , Ed = 51,82 kNm V z , Ed = 27,86 kN (4-129)

Mit Gleichung (3-202) wurde für reine Biegung eine volle Auslastung des Querschnitts be-rechnet:

M y , Ed

M y , Rd

= 0,9998 ≈ 1 (4-130)

Bild 4-23: Beispiel aus Bild 3-70, Systemgrößen und Grundlagen

Nunmehr soll die Untersuchung über den Interaktionsnachweis erfolgen. Es wird erwartet, dass die Auslastung geringer ist, als nach der Elastizitätstheorie. Für den S355 mit

f y = 355N

mm2 können die aufnehmbaren vollplastischen Schnittgrößen unter Verwen-

dung der Querschnittswerte berechnet werden:

l k = 3,72 m

1IPE�180

sk = 0,68kN

m2

g k = 0,40kN

m2


[email protected]


M pl , y , Rd = W pl , y⋅f y = 166400 mm3⋅355

N

mm2= 59,07 kNm (4-131)

AV = A � 2⋅b⋅t f + (tw + 2⋅r)⋅t f = 2390 � 2⋅91⋅8 + (5,3 + 2⋅9)⋅8 = 1120,4 mm2 (4-132)

V pl , z , Rd =AV⋅ f y

√3=

1120,4⋅355

√3N = 229,64 kN (4-133)

Der Sicherheitsbeiwert γM0 = 1 wurde in den Gleichungen nicht mehr explizit aufgeführt. Nach Gleichung (4-86) ist zu prüfen, ob der Einfluss der Querkraft vernachlässigt werden kann:

V Ed = 27,86 kN ≤ 0,5⋅V c , Rd = 0,5⋅229,64 kN = 114,82 kN (4-134)

Das Biegemoment muss aufgrund der kleinen Querkraft nicht mehr abgemindert werden. Für einachsige Biegung ist folglich nur noch der Nachweis nach Gleichung (4-72) zu füh-ren. Das ergibt:

M y , Ed

M pl , y , Rd

=51,82 kNm

59,07 kNm= 0,8773 < 1 → NW erfüllt !! ! (4-135)

Im Vergleich zum Ergebnis in Gleichung (4-130) werden die plastischen Reserven des Querschnitts deutlich.

c) Fachwerkstab mit Querlast, Interaktion von Biegung, Quer- und Normalkraft

Für das im Bild 4-24 erneut angegebene Bild aus Abschnitt 3 wurden dort zur Demonstrati-on der elastischen Nachweise einige Schnittgrößen vernachlässigt. Es sind das insbeson-dere die Querkräfte V Ed am Knotenanschluss.

Bild 4-24: Beispiel aus Bild 3-72,

Gemäß Bild 4-24 sind die Schnittgrößen N t , Ed = 210 kN und M c , Ed =�38,53 kNm an den Knoten um eine Querkraft V Ed ≈ 0,5⋅P Ed = 12 kN zu ergänzen. Alle Werte seien De-signwerte aus einer statischen Berechnung. Das im Abschnitt 3 untersuchte Quadrathohl-profil QRO 120x4 aus einem Stahl S355 konnte nach der Elastizitätstheorie nicht nachge-wiesen werden (Gleichung 3-212, Auslastung 1,919). Für den Interaktionsnachweis wer-den folgende Kenngrößen ermittelt:

A = 18,3 cm2 AV = 9,15 cm2 W pl = 79,31 cm3 (4-136)

N t , Ed N t , Ed

M c , EdM c , Ed

PEd


[email protected]


Aus dem plastischen Widerstandsmoment wird das aufnehmbare vollplastische Moment berechnet:

M pl , y , Rd = W pl⋅ f y = 79310⋅355 = 28155050 Nmm = 28,16 kNm (4-137)

und damit ist bereits an dieser Stelle klar, dass wegen:

M Ed

M pl , y , Rd

=38,53

28,16= 1,368 > 1 (4-138)

die plastischen Reserven nicht ausreichen, die Schnittgrößen aufzunehmen. Es ist folglich ein anderes Profil zu wählen. Aus gestalterischen Gründen wird lediglich die Blechdicke erhöht und ein Querschnitt QRO 120x6,3 gewählt. Die Berechnung ist wie folgt anzupas-sen (Achtung, auch hier ist γM0 = 1,0 nicht explizit ausgeführt.):

A = 28,0 cm2

AV = 14,0 cm2

W pl = 118,72 cm3 (4-139)

M pl , y , Rd = W pl⋅ f y = 118720⋅355 = 42145600 Nmm = 42,14 kNm (4-140)

und weiter gilt:

V pl , z , Rd =AV⋅ f y

√3=

1400⋅355

√3= 286943 N = 286,94 kN

(4-141)N pl , Rd = A⋅ f y = 2800⋅355 = 994000 N = 994 kN

Es ist offensichtlich, dass (4-86) eingehalten ist. Die Querkraft muss bei der Interaktion nicht berücksichtigt werden:

V Ed = 12 kN ≤ 0,5⋅V c , Rd = 0,5⋅286,94 kN = 143,47 kN (4-142)

Die Bedingung (4-64) gilt für Doppel-T Profile und andere Querschnitte mit Gurten und Gleichung (4-65) nur für Doppel-T Profile. Prinzipiell kann das Hohlprofil auch als Quer-schnitt mit Gurten angesehen werden. Die beiden Seiten sind dann zu einem Steg zusam-menzufassen. Die Auswertung der Gleichung (4-64) für diesen Fall ergibt:

N Ed = 210 kN ≤ 0,25⋅N pl , Rd = 0,25⋅994 = 248,5 kN

(4-143)

N Ed ≤0,5⋅hw⋅t w⋅ f y

γM0

= 0,5⋅(120�2⋅6,3)⋅(2⋅6,3)⋅355 = 240200 N = 240,2 kN

Damit müsste streng genommen auch die Normalkraft nicht mit dem Biegemoment überla-gert werden. Zur Demonstration der Vorgehensweise soll das in diesem Fall dennoch ge-schehen.


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Nach (4-70) gilt für Hohlquerschnitte:

aw =(A � 2⋅b⋅t f )

A=

(2800�2⋅120⋅6,3)2800

= 0,46 < 0,5 (4-144)

und nach (4-67)

n =N Ed

N pl , Rd

=210

994= 0,211 (4-145)

Für den Nachweis ist das Biegemoment nach (4-71) abzumindern:

M N , y , Rd = M pl , y , Rd⋅(1�n)

(1�0,5⋅aw)= 42,14⋅

(1�0,211)(1�0,5⋅0,46)

= 42,14⋅1,025 (4-146)

Es wird deutlich, dass aufgrund der hier vorherrschenden Beanspruchungen keine Abmin-derung, sondern eine Erhöhung von M pl , yRd stattfinden würde. In diesem Fall ist natürlich der Ursprungswert beizubehalten. Der Nachweis erfolgt also auch hier wieder wie für die einzelne Schnittgröße nach (4-72):

M y , Ed

M pl , y , Rd

= 38,53kNm

42,14kNm = 0,914 < 1 → Nachweis erfüllt (4-147)

Für alle Beispiele dieses Abschnittes wurde keine Klassifizierung des Querschnitts ange-geben. Voraussetzung für die Nachweise ist, dass der Querschnitt mindestens in die Klas-se 2 einzuordnen ist. Das ist hier der Fall.

4.9 Zusammenfassung

Bei der Erschließung plastischer Querschnittsreserven können keine Spannungs-nachweise wie in der Elastizitätstheorie geführt werden. Es muss die Querschnitts-tragfähigkeit bestimmt werden. Ausgehend von den vollplastischen Schnittgößen, die bei alleiniger Wirkung der Einzelgrößen aufgenommen werden können, wurden Interaktionsbeziehungen für Schnittgrößenkombinationen aufgestellt. Die Beziehun-gen sind stark querschnittsabhängig. Die EN 1993-1-1 enthält viele Bezüge zu den in diesem Abschnitt dargelegten Grundlagen. Einige Beispiele wurden vorgerechnet. Eine Übersicht über die Vorgehensweise bei der Interaktion von Schnittgrößen in stabförmigen Querschnitten gibt die folgende Tabelle 4-3.

In weiteren Abschnitten werden u. a. die bisher nicht beschriebene Stabilitätsproble-me, Vorgehensweisen nach Elastzitätstheorie II. Ordnung sowie Schraub- und Schweißverbindungen behandelt.


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Zur Interaktion von Schnittgrößen in Stabquerschnitten nach EN 1993-1-1

Art Schubspannungen Normalspannungen

Name Querkräfte Torsion Biegung Normalkraft

Zeichen V z ,d V y ,d T t , d T ω , d M y , d M z , d N x , d

RichtungKraft

starke Achse

schwache Achse

um die Stabachse

um dieStabachse

um starke Achse

um schwache A.

in der Stabachse

Richtung Spanng.

starke Achse

schwache Achse

Schubfluss parallel zur Stabachse

parallel zur Stabachse



Berechn. plastisch plastisch elastisch elastisch plastisch plastisch plastisch

1. Schritt Klassifizierung des Querschnitts und Festlegen, ob die Spannungen elastisch berechnet werden müssen oder ob plastische Interaktion erfolgen darf

Klasse 3, 4: elastische Berechnung nach Abschnitt 3 (Tabelle verlassen)Klasse 1, 2: plastische Berechnung nach Abschnitt 4 (weiter mit Schritt 2)

2. Schritt Prüfen der Tragfähigkeit des Querschnitts gegenüber jeder einzelnen Schnittgröße bzw. Vorbemessung des Querschnitts, Berechnung der aufnehmbaren vollplastischen Schnittgrößen unter Verwendung der entsprechenden Querschnitts- und Materialwerte, wie z.B. W pl , AV , f y

E d

Rpl ,d

≤ 1 , z.B.M y , Ed

M pl , y , Rd

≤ 1 z.B. erf.W pl , y =M y , Ed

f y

3. Schritt Prüfen, ob an Verbindungen Lochabzug vorgenommen werden muss. Besonders zu betrachten sind Zugquerschnitte bzw. Zugflansche

(3-139) bis (3-141) und (3-163) auswerten, Querschnittswerte anpassen und ggf. die vollplastischen Schnittgrößen anpassen ( M pl , y , Rd wird zu M c , Rd usw.)

4. Schritt Prüfen, ob St. Venantsche Torsion vorliegt und ggf. Abminderung der aufnehmbaren plastischen Querkraft

(4-60) bis (4-62), V pl , Rd wird zu V pl , T , Rd als neuer Rechenwert

5. Schritt Prüfen, ob der Einfluss der Querkraft auf die Normalspannungen berücksichtigt werden muss, Grundlage ist das Ergebnis aus Schritt 4, ggf. Abminderung der vollplastischen Momente, ohne Torsion und Querkraft wird Schritt 4 weggelassen

(4-86), Schubbeulen ist auszuschließen oder nach EN 1993-1-5 nachzuweisen, (4-87) bis (4-91) ODER nach Tabelle 4-2, M pl , y , Rd wird zu M y , V , Rd als

neuer Rechenwert, nach Tabelle 4-2 auch N pl , V oder M pl ,V

6. Schritt Prüfen, ob der Einfluss der Normalkraft bei der Interaktion zu berücksichtigen ist und ggf. Abminderung der aufnehmbaren plastischen Momente, Grundlage ist das Ergebnis aus Schritt 5

(4-64), (4-65) (Doppel-T Profile) zur Prüfung und (4-66) bis (4-71) für die Abminderung, das Ergebnis aus Schritt 5 wird zu M N , Rd (ggf. für zwei Achsen)

7. Schritt Auswerten der Interaktion zwischen N und M je nachdem, ob einachsige oder zweiachsige Biegung vorliegt, ohne Normalkraft wird Schritt 6 weggelassen

(4-72) bis (4-76), wenn der Nachweis nicht erfüllt ist, neue Querschnittswahl

Hinweis: Im Falle vorhandener Wölbkrafttorsion wird eine elastische Berechnung empfohlen.

Tabelle 4-3: Übersicht zur Vorgehensweise bei der Interaktion von Schnittgrößen

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