Profke, AK Geometrie, 08. - 10.10.2004, Marktbreit1 Lehrerkompetenzen für den Geometrieunterricht erörtert an einer großen Unterrichtsvorbereitung zum

Profke, AK Geometrie, 08. - 10.10.2004, Marktbreit 1

Lehrerkompetenzen für den Geometrieunterricht

erörtert an einer „großen Unterrichtsvorbereitung“ zum Thema Kreismessung

Lehrerkompetenzen für den Geometrieunterricht

erörtert an einer „großen Unterrichtsvorbereitung“ zum Thema Kreismessung

Lothar Profke

Institut für Didaktik der Mathematik

Justus-Liebig-Universität Gießen

Lothar Profke



Vortrag zum Einsehen und Herunterladen unter

http://www.uni-giessen.de/math-didaktik/






Aufgaben der Geometriedidaktik in der Lehrerausbildung

Aufgaben der Geometriedidaktik in der Lehrerausbildung

Lothar Profke



Lothar Profke







Vortrag bei der Herbsttagung 04.- 06.10.1996 des

Arbeitskreises Geometrie in Rummelsberg

Vortrag bei der Herbsttagung 04.- 06.10.1996 des

Arbeitskreises Geometrie in Rummelsberg




0 Einleitung0 Einleitung


0 Einleitung 0 Einleitung

Aufgabe des Referats• Erörtern der folgenden Fragen am Beispiel Kreismessung:

– Welche Qualifikationen (Kompetenzen) braucht ein Lehrer,… um allgemeinbildenden Mathematikunterricht zu erteilen… und um die Forderungen der Bildungsstandards

Mathematik zu erfüllen?– Wo und wie erwirbt ein Lehrer solche Qualifikationen?– Was darf man einem angehenden Mathematiklehrer in der

Ausbildung zumuten?

Aufgabe des Referats• Erörtern der folgenden Fragen am Beispiel Kreismessung:

– Welche Qualifikationen (Kompetenzen) braucht ein Lehrer,… um allgemeinbildenden Mathematikunterricht zu erteilen… und um die Forderungen der Bildungsstandards

Mathematik zu erfüllen?– Wo und wie erwirbt ein Lehrer solche Qualifikationen?– Was darf man einem angehenden Mathematiklehrer in der

Ausbildung zumuten?

Tagungsthema„Lehrerkompetenzen für den Geometrieunterricht“

... wurde schon mehrfach erörtert

... und ist eine der Hauptaufgaben des Arbeitskreises Geometrie seit seiner Gründung.

– Vgl. Schlussbemerkungen

Tagungsthema„Lehrerkompetenzen für den Geometrieunterricht“

... wurde schon mehrfach erörtert

... und ist eine der Hauptaufgaben des Arbeitskreises Geometrie seit seiner Gründung.

– Vgl. Schlussbemerkungen



Durchführung• Wie bei einer großen Unterrichtsvorbereitung mit

– Sachanalyse– didaktische Analyse– methodische Analyse– ...

• Diese Einteilung erfolgt nachträglich.– Wegen der Interdependenz aller Aspekte springt das

Denken zwischen ihnen hin und her.• Vieles nur andeutungsweise, da bekannt.• Zustimmung oder Ablehnung zu Einzelheiten der Unterrichts-

vorbereitung berührt nicht die Folgerungen für die Ausbildung von Mathematiklehrern.

Durchführung• Wie bei einer großen Unterrichtsvorbereitung mit

– Sachanalyse– didaktische Analyse– methodische Analyse– ...

• Diese Einteilung erfolgt nachträglich.– Wegen der Interdependenz aller Aspekte springt das

Denken zwischen ihnen hin und her.• Vieles nur andeutungsweise, da bekannt.• Zustimmung oder Ablehnung zu Einzelheiten der Unterrichts-

vorbereitung berührt nicht die Folgerungen für die Ausbildung von Mathematiklehrern.



Hinweise• Manche Aussagen, die wie Feststellungen klingen, sind fragend

gemeint.• Etliche Fragen lassen meine Antworten erkennen.• Gelegentlich übertreibe ich.

• Einige Folien werden hier übersprungen.

Hinweise• Manche Aussagen, die wie Feststellungen klingen, sind fragend

gemeint.• Etliche Fragen lassen meine Antworten erkennen.• Gelegentlich übertreibe ich.

• Einige Folien werden hier übersprungen.



Gliederung

0 Einleitung

1 Sachanalyse zur Kreismessung

und Überlegungen zur Mathematiklehrerausbildung

2 Didaktische Analyse zur Kreismessung


3 Methodische Analyse

4 Mathematikunterricht aus dem Schulbuch

5 Schlussbemerkungen

Gliederung

0 Einleitung

1 Sachanalyse zur Kreismessung


2 Didaktische Analyse zur Kreismessung


3 Methodische Analyse

4 Mathematikunterricht aus dem Schulbuch

5 Schlussbemerkungen



Quellen• Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathe-

matik für den Mittleren Schulabschluss. Beschluss der Kultus-ministerkonferenz vom 04.12.2003

• Hessisches Kultusministerium: Lehrplan Mathematik, Bildungsgang Realschule, Jahrgangsstufen 5 bis 10.

• Hessisches Kultusministerium: Abschlussarbeit Mathematik Bildungsgang Realschule, Versionen A und B,Haupttermin 24.05.2004

• Führer, L.: Über einige Fragen künftiger Geometriedidaktik. math.did. 25(2002), Band 1, 55 - 78

• Kirsch, A.: Zur Mathematikausbildung der zukünftigen Lehrer - im Hinblick auf die Praxis des Geometrieunterrichts.

JMD 1(1980), 229 - 256

Quellen• Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathe-

matik für den Mittleren Schulabschluss. Beschluss der Kultus-ministerkonferenz vom 04.12.2003


• Hessisches Kultusministerium: Abschlussarbeit Mathematik Bildungsgang Realschule, Versionen A und B,Haupttermin 24.05.2004

• Führer, L.: Über einige Fragen künftiger Geometriedidaktik. math.did. 25(2002), Band 1, 55 - 78

• Kirsch, A.: Zur Mathematikausbildung der zukünftigen Lehrer - im Hinblick auf die Praxis des Geometrieunterrichts.

JMD 1(1980), 229 - 256



• Profke, L.: Brauchen wir einen Mathematikunterricht? Mathematik in der Schule 33(1995), 129 - 136

frei nach: Brauchen wir einen Geometrieunterricht? Vortrag 1994 AK Geometrie in Heidelberg

– Festhalten an alten Gewohnheiten - Stillstand als Trend? (?) In: Parisot, K. J.; Vasarhely, E. (Hrsg.): Trends im Geometrieunterricht. Salzburg: Abakus 1996, S. 40 - 44

• Profke, L.: Didaktik der Mathematik I, II. Vorlesung mit Übungen– Aufgaben der Geometriedidaktik in der Lehrerausbildung

Vortrag 1996 AK Geometrie in Rummelsberg– Grundlagen der Schulgeometrie - Inhalte und Qualifika-

tionen. Vortrag 1999 AK Geometrie in Ottmaring– Geometrieunterricht in der Grundschule - was sollte der

Lehrer können. Vortrag 2003 AK Geometrie in Soest

Einsehen und herunterladen unterhttp://www.uni-giessen.de/math-didaktik/

• Profke, L.: Brauchen wir einen Mathematikunterricht? Mathematik in der Schule 33(1995), 129 - 136

frei nach: Brauchen wir einen Geometrieunterricht? Vortrag 1994 AK Geometrie in Heidelberg

– Festhalten an alten Gewohnheiten - Stillstand als Trend? (?) In: Parisot, K. J.; Vasarhely, E. (Hrsg.): Trends im Geometrieunterricht. Salzburg: Abakus 1996, S. 40 - 44

• Profke, L.: Didaktik der Mathematik I, II. Vorlesung mit Übungen– Aufgaben der Geometriedidaktik in der Lehrerausbildung

Vortrag 1996 AK Geometrie in Rummelsberg– Grundlagen der Schulgeometrie - Inhalte und Qualifika-

tionen. Vortrag 1999 AK Geometrie in Ottmaring– Geometrieunterricht in der Grundschule - was sollte der

Lehrer können. Vortrag 2003 AK Geometrie in Soest

Einsehen und herunterladen unterhttp://www.uni-giessen.de/math-didaktik/




1 Sachanalyse zur Kreismessung1 Sachanalyse zur Kreismessung

Was soll eine Sachanalyse leisten? Über Mathematik nachdenken Überlegungen zur Mathematiklehrerausbildung

Was soll eine Sachanalyse leisten? Über Mathematik nachdenken Überlegungen zur Mathematiklehrerausbildung


1 Sachanalyse: Warum eine Sachanalyse? 1 Sachanalyse: Warum eine Sachanalyse?

Was soll eine Sachanalyse leisten?• Eine Hintergrundstheorie des Lehrers reaktivieren

– Soll, darf er die Sachanalyse von Anfang an auf die Lerngruppe ausrichten?

… „Das können meine (Haupt-, Real-) Schüler nicht.“… Ehrliches Argument oder Ausrede für eigene Schwierig-

keiten mit der Mathematik?• Wie ausführlich muss diese Hintergrundstheorie des Lehrers

entwickelt sein (und dargestellt werden)?– Welche Begriffe, Sätze und Verfahren?

… In welcher Jahrgangsstufe?– Verschiedene Entwicklungen des Gebietes?

… Zuerst Formel U = ·d „herleiten“, dann A = ·r2 oder umgekehrte Reihenfolge

– Mehrere Herleitungen von Sätzen und Verfahren?

Was soll eine Sachanalyse leisten?• Eine Hintergrundstheorie des Lehrers reaktivieren

– Soll, darf er die Sachanalyse von Anfang an auf die Lerngruppe ausrichten?

… „Das können meine (Haupt-, Real-) Schüler nicht.“… Ehrliches Argument oder Ausrede für eigene Schwierig-

keiten mit der Mathematik?• Wie ausführlich muss diese Hintergrundstheorie des Lehrers

entwickelt sein (und dargestellt werden)?– Welche Begriffe, Sätze und Verfahren?

… In welcher Jahrgangsstufe?– Verschiedene Entwicklungen des Gebietes?

… Zuerst Formel U = ·d „herleiten“, dann A = ·r2 oder umgekehrte Reihenfolge

– Mehrere Herleitungen von Sätzen und Verfahren?


1 Sachanalyse: Warum eine Sachanalyse?1 Sachanalyse: Warum eine Sachanalyse?

• Welche Probleme treten bei der Kreismessung auf?– Existenz von Formeln für Umfang und Flächeninhalt

… jedem unvoreingenommenem Menschen klar– Art der Maßfunktionen bei Kreisen:

… Proportionalität d U(d) evident: U(d) = 1·d

… r2 A(r) sicherlich sehr einfach, Proportionalität A(r) = 2·r2 auch evident?

– Zusammenhang zwischen 1 und 2:

1 = 2 =

– Numerisch effektive Verfahren zur Berechnung von – Bogenlänge und Flächeninhalt muss für Gekrümmtes (in

Ebene und Raum) erst definiert werden,… aber nur im Rahmen einer axiomatisch-deduktiven

Theorie der (Raum-) Geometrie.

• Welche Probleme treten bei der Kreismessung auf?– Existenz von Formeln für Umfang und Flächeninhalt

… jedem unvoreingenommenem Menschen klar– Art der Maßfunktionen bei Kreisen:

… Proportionalität d U(d) evident: U(d) = 1·d

… r2 A(r) sicherlich sehr einfach, Proportionalität A(r) = 2·r2 auch evident?

– Zusammenhang zwischen 1 und 2:

1 = 2 =

– Numerisch effektive Verfahren zur Berechnung von – Bogenlänge und Flächeninhalt muss für Gekrümmtes (in

Ebene und Raum) erst definiert werden,… aber nur im Rahmen einer axiomatisch-deduktiven

Theorie der (Raum-) Geometrie.


1 Sachanalyse: Metamathematisches1 Sachanalyse: Metamathematisches

Über Mathematik nachdenken• Verallgemeinern eines Konzepts

– Länge von Kurvestücken, Flächeninhalt krummlinig berandeter und gekrümmter Flächenstücke

… Handlungsvorstellungen ausformen und mathematisch modellieren

• Reale Sachverhalte und ihre mathematischen Modelle von-einander unterscheiden

– Geometrische Objekte sind Gedankengebilde:… ihre Eigenschaften fordert man oder sichert sie durch

Nachdenken;… nur für sie treten die mathematischen Probleme auf:

als transzendente Zahl– In der Praxis genügen Näherungen.

Über Mathematik nachdenken• Verallgemeinern eines Konzepts

– Länge von Kurvestücken, Flächeninhalt krummlinig berandeter und gekrümmter Flächenstücke

… Handlungsvorstellungen ausformen und mathematisch modellieren

• Reale Sachverhalte und ihre mathematischen Modelle von-einander unterscheiden

– Geometrische Objekte sind Gedankengebilde:… ihre Eigenschaften fordert man oder sichert sie durch

Nachdenken;… nur für sie treten die mathematischen Probleme auf:

als transzendente Zahl– In der Praxis genügen Näherungen.



• Was braucht man zum Bearbeiten realer Sachverhalte?– Hineinsehen verfügbarer mathematischer Konzepte

… Dabei erforderliche Vereinfachungen vornehmen und kontrollieren

– Effektive Verfahren… Berechnungsformeln für Kreisförmiges

– Wie verändert sich eine Größe, wenn ...?… Umfang und Flächeninhalt von Kreisen bei Verviel-

fachen ihrer Durchmesser• Verwenden von Informationsquellen

– Informationen auf Glaubwürdigkeit prüfen– Wichtige Aufgabe der Mathematik:

… bereit stellen von Rezepten• Grundsätze numerischen Rechnens

• Was braucht man zum Bearbeiten realer Sachverhalte?– Hineinsehen verfügbarer mathematischer Konzepte

… Dabei erforderliche Vereinfachungen vornehmen und kontrollieren

– Effektive Verfahren… Berechnungsformeln für Kreisförmiges

– Wie verändert sich eine Größe, wenn ...?… Umfang und Flächeninhalt von Kreisen bei Verviel-

fachen ihrer Durchmesser• Verwenden von Informationsquellen

– Informationen auf Glaubwürdigkeit prüfen– Wichtige Aufgabe der Mathematik:

… bereit stellen von Rezepten• Grundsätze numerischen Rechnens

Folie 32


1 Sachanalyse: Wesentliches1 Sachanalyse: Wesentliches

Was sollte eine Sachanalyse „unbedingt“ klären?• Motiv: Warum

beschäftigt man sich mit dem betreffenden Sachverhalt?– Weshalb sind Parallelogramme bemerkenswert?– Wieso soll man ein Konstruktionsproblem lösen?– Was ist das Besondere an Dreieckskongruenzsätzen?

• Kern:Welches sind die eigentlichen Probleme?

– Metamathematisches zum betreffenden Sachverhalt• Weg:

Wie kommt man (der Schüler) auf das Motiv, den Kern und auf Antworten?

Was sollte eine Sachanalyse „unbedingt“ klären?• Motiv: Warum

beschäftigt man sich mit dem betreffenden Sachverhalt?– Weshalb sind Parallelogramme bemerkenswert?– Wieso soll man ein Konstruktionsproblem lösen?– Was ist das Besondere an Dreieckskongruenzsätzen?

• Kern:Welches sind die eigentlichen Probleme?

– Metamathematisches zum betreffenden Sachverhalt• Weg:

Wie kommt man (der Schüler) auf das Motiv, den Kern und auf Antworten?


1 Sachanalyse: Mathematiklehrerausbildung1 Sachanalyse: Mathematiklehrerausbildung

Überlegungen zur Mathematiklehrerausbildung• Wo sollte der angehende Lehrer die Fähigkeiten für Sach-

analysen erwerben?– Auf der Universität in Veranstaltungen zur Mathematik

… dabei mathematisches Denken vermitteln zu Lasten schnell vergessenen Wissens

• Darf man jedem (auch dem mittelmäßigen) Lehrer eine solche Sachanalyse zumuten?

– Wirkt sich die Sachanalyse auf den realen Mathematik-unterricht aus

… oder stellt sie nur ein Ritual dar in der Referendars-ausbildung?

– Viele Lehrer halten sich eng an das eingeführte Schulbuch oder sonstige verfügbare Unterrichtsmaterialien.

… Warum nicht?

Überlegungen zur Mathematiklehrerausbildung• Wo sollte der angehende Lehrer die Fähigkeiten für Sach-

analysen erwerben?– Auf der Universität in Veranstaltungen zur Mathematik

… dabei mathematisches Denken vermitteln zu Lasten schnell vergessenen Wissens

• Darf man jedem (auch dem mittelmäßigen) Lehrer eine solche Sachanalyse zumuten?

– Wirkt sich die Sachanalyse auf den realen Mathematik-unterricht aus

… oder stellt sie nur ein Ritual dar in der Referendars-ausbildung?

– Viele Lehrer halten sich eng an das eingeführte Schulbuch oder sonstige verfügbare Unterrichtsmaterialien.

… Warum nicht?



• Wer muss eine Sachanalyse durchführen (können)?– Einzelne Expertenlehrer an jeder Schule, in einem

Schulverbund, ...– Schulbuchautoren,– Lehrplankonstrukteure?

• Wie soll eine Sachanalyse zu einem Thema entstehen?– Jedes Schuljahr ganz neu,– oder nur bei geplanten Änderungen und dann weitgehend

Vorlagen nachvollziehend?

• Didaktische Funktionen von Sachanalysen in der ersten und der zweiten Phase der Mathematiklehrerausbildung:

– Auslegung und Bewertung von Lehrgängen, Lehrplänen, Bildungsstandards

• Wer muss eine Sachanalyse durchführen (können)?– Einzelne Expertenlehrer an jeder Schule, in einem

Schulverbund, ...– Schulbuchautoren,– Lehrplankonstrukteure?

• Wie soll eine Sachanalyse zu einem Thema entstehen?– Jedes Schuljahr ganz neu,– oder nur bei geplanten Änderungen und dann weitgehend


• Didaktische Funktionen von Sachanalysen in der ersten und der zweiten Phase der Mathematiklehrerausbildung:

– Auslegung und Bewertung von Lehrgängen, Lehrplänen, Bildungsstandards



• Die Fragen reizen zur Differenzierung.– Die Antworten werden dadurch nicht leichter:

… Wo sollen Grenzen verlaufen?

• Die Fragen reizen zur Differenzierung.– Die Antworten werden dadurch nicht leichter:

… Wo sollen Grenzen verlaufen?


2 Didaktische Analyse zur Kreismessung2 Didaktische Analyse zur Kreismessung

Auswahl von Lehrzielen Didaktische Prinzipien Entscheidungen Überlegungen zur Mathematiklehrerausbildung

Auswahl von Lehrzielen Didaktische Prinzipien Entscheidungen Überlegungen zur Mathematiklehrerausbildung


2 Didaktische Analyse: Auswahl von Lehrzielen2 Didaktische Analyse: Auswahl von Lehrzielen

Was soll man erreichen wollen?• Vgl. Checkliste zur Unterrichtsvorbereitung (Folie 21)• Mögliche Entscheidungshilfen:

– Schulbuch, sonstiges Unterrichtsmaterial– Lehrplan– Abschlussprüfungen– Bildungsstandards (Folie 24)

• Beobachtungen:– Auf Handlungsvorstellungen zu geometrischen Größen

greift man frühestens bei bestimmtem Integralen zurück.… Man benutzt später nur noch die Formeln.

– Berechnungsverfahren von bleiben isoliert.– Ein Nachdenken über Mathematik findet in Schulbüchern

nicht statt. (Folie 13)

Was soll man erreichen wollen?• Vgl. Checkliste zur Unterrichtsvorbereitung (Folie 21)• Mögliche Entscheidungshilfen:

– Schulbuch, sonstiges Unterrichtsmaterial– Lehrplan– Abschlussprüfungen– Bildungsstandards (Folie 24)

• Beobachtungen:– Auf Handlungsvorstellungen zu geometrischen Größen

greift man frühestens bei bestimmtem Integralen zurück.… Man benutzt später nur noch die Formeln.

– Berechnungsverfahren von bleiben isoliert.– Ein Nachdenken über Mathematik findet in Schulbüchern

nicht statt. (Folie 13)Folie 32

Folie 47


Checkliste zur Unterrichtsvorbereitung: Seite 1Checkliste zur Unterrichtsvorbereitung: Seite 1

• Was will ich erreichen mit der Behandlung dieses Inhalts? “Ich”: Der Lehrer als Repräsentant und Beauftragter der

Gesellschaft sowie als Anwalt seiner Schüler. Frage meint allgemeine und spezielle Lehrziele.

• Mit welchen Schülern? Problem der Differenzierung nach Leistungsvermögen und

nach Interesse Lerngruppe nicht als Kollektiv fiktiver mittlerer Schüler

behandeln, sondern jeden Schüler als Individuum.• Was kann ich erreichen?

Keine unerfüllbaren Forderungen stellen. Nicht zu wenig verlangen.

• Was will ich erreichen mit der Behandlung dieses Inhalts? “Ich”: Der Lehrer als Repräsentant und Beauftragter der

Gesellschaft sowie als Anwalt seiner Schüler. Frage meint allgemeine und spezielle Lehrziele.

• Mit welchen Schülern? Problem der Differenzierung nach Leistungsvermögen und

nach Interesse Lerngruppe nicht als Kollektiv fiktiver mittlerer Schüler

behandeln, sondern jeden Schüler als Individuum.• Was kann ich erreichen?

Keine unerfüllbaren Forderungen stellen. Nicht zu wenig verlangen.



• Weshalb setze ich gerade diese Ziele? Abwägen zwischen allgemeiner Bildung und speziellen

Wünschen Konzentrieren auf Wesentliches

• Wie gehe ich vor, um die gewählten Ziele zu erreichen? Mit welcher “Wolle stricken”? Frage nach der methodischen Entwicklung des Stoffs Frage nach den Aktivitäten von Schülern und des Lehrer,

nach der Gestaltung der Unterrichtskultur Frage nach dem Einsatz von Medien

• Weshalb setze ich gerade diese Ziele? Abwägen zwischen allgemeiner Bildung und speziellen

Wünschen Konzentrieren auf Wesentliches

• Wie gehe ich vor, um die gewählten Ziele zu erreichen? Mit welcher “Wolle stricken”? Frage nach der methodischen Entwicklung des Stoffs Frage nach den Aktivitäten von Schülern und des Lehrer,

nach der Gestaltung der Unterrichtskultur Frage nach dem Einsatz von Medien



• Habe ich Erfolg? Welchen Erfolg verspricht der Plan? Frage nach Lernerfolgskontrollen: Woran erkenne ich,

welche Ziele wie gut oder schlecht im Unterricht erreicht werden?

Kritische Nachbereitung von Planung und Unterricht• Gibt es andere, vielleicht bessere Gelegenheiten, meine

Ziele zu erreichen? “Konkurrenz belebt das Geschäft.” Zum Wettbewerb zugelassen sind andere Themen des-

selben Fachs und andere Fächer. Weg vom Egoismus des eigenen Fachs. Das “Ganze von

Schule” über die Interessen eines Faches stellen.

• Habe ich Erfolg? Welchen Erfolg verspricht der Plan? Frage nach Lernerfolgskontrollen: Woran erkenne ich,

welche Ziele wie gut oder schlecht im Unterricht erreicht werden?

Kritische Nachbereitung von Planung und Unterricht• Gibt es andere, vielleicht bessere Gelegenheiten, meine

Ziele zu erreichen? “Konkurrenz belebt das Geschäft.” Zum Wettbewerb zugelassen sind andere Themen des-

selben Fachs und andere Fächer. Weg vom Egoismus des eigenen Fachs. Das “Ganze von

Schule” über die Interessen eines Faches stellen.Folie 20




– Teil A Grundlegung für das Unterrichtsfach Mathematik… Zeitgemäße Allgemeinbildung:

In erster Linie die Befähigung zur Bewältigung von Anforderungen aus der Lebenswelt

Entwicklung inhaltlicher, anwendungsbezogener Vorstellungen zu mathematischen Begriffen

– Teil B Unterrichtspraktischer Teil… 9.4 Berechnung von Kreisen

Verbindlich: Herleitung und Berechnung der Länge eines Kreisbogens sowie des Flächeninhalts eines Kreisausschnitts, Sachaufgaben hierzu

Fakultativ: als irrationale Zahl Arbeitsmethoden: Computerberechnung der Zahl ,

Messen von Größen am Fahrrad


– Teil A Grundlegung für das Unterrichtsfach Mathematik… Zeitgemäße Allgemeinbildung:

In erster Linie die Befähigung zur Bewältigung von Anforderungen aus der Lebenswelt

Entwicklung inhaltlicher, anwendungsbezogener Vorstellungen zu mathematischen Begriffen

– Teil B Unterrichtspraktischer Teil… 9.4 Berechnung von Kreisen

Verbindlich: Herleitung und Berechnung der Länge eines Kreisbogens sowie des Flächeninhalts eines Kreisausschnitts, Sachaufgaben hierzu

Fakultativ: als irrationale Zahl Arbeitsmethoden: Computerberechnung der Zahl ,

Messen von Größen am Fahrrad



– Abschlussprofil der Jahrgangsstufe 10… Fähigkeiten, Fertigkeiten, Qualifikationen:

Überschaubare Größen abschätzen Umfangs- und Flächenberechnungen am Rechteck,

…, Kreis einschließlich der Umkehraufgaben Informationen beschaffen

… Kenntnisse: Wesentliche Formeln der Flächenberech-nung (auch der Längenberechnung?)

… Methoden: Schätzen, Messen und sinnvolles Runden, Sachaufgaben mit Hilfe der Mathematik beschreiben und lösen

– Abschlussprofil der Jahrgangsstufe 10… Fähigkeiten, Fertigkeiten, Qualifikationen:

Überschaubare Größen abschätzen Umfangs- und Flächenberechnungen am Rechteck,

…, Kreis einschließlich der Umkehraufgaben Informationen beschaffen

… Kenntnisse: Wesentliche Formeln der Flächenberech-nung (auch der Längenberechnung?)

… Methoden: Schätzen, Messen und sinnvolles Runden, Sachaufgaben mit Hilfe der Mathematik beschreiben und lösen



• Hessisches Kultusministerium: Abschlussarbeit Mathematik Bildungsgang Realschule, Versionen A und B, 24.05.2004

– Keine Berechnung von Kreisteilen

• Hessisches Kultusministerium: Abschlussarbeit Mathematik Bildungsgang Hauptschule, Version B, 24.05.2004

– Teil2 (Taschenrechner erlaubt) Aufgabe 7

• Hessisches Kultusministerium: Abschlussarbeit Mathematik Bildungsgang Realschule, Versionen A und B, 24.05.2004

– Keine Berechnung von Kreisteilen

• Hessisches Kultusministerium: Abschlussarbeit Mathematik Bildungsgang Hauptschule, Version B, 24.05.2004

– Teil2 (Taschenrechner erlaubt) Aufgabe 7



• Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss

– 1 Der Beitrag des Faches Mathematik zur Bildung… Grunderfahrungen ermöglichen

Mathematik ... in der Bedeutung für die Beschrei-bung und Bearbeitung von Aufgaben und Proble-men inner- und außerhalb der Mathematik kennen und begreifen

– 2 Allgemeine mathematische Kompetenzen im Fach Mathematik

… (K 1) Mathematisch argumentieren Fragen stellen, die für die Mathematik charakteris-

tisch sind ( ... ) und Vermutungen begründet äußern

• Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss

– 1 Der Beitrag des Faches Mathematik zur Bildung… Grunderfahrungen ermöglichen

Mathematik ... in der Bedeutung für die Beschrei-bung und Bearbeitung von Aufgaben und Proble-men inner- und außerhalb der Mathematik kennen und begreifen

– 2 Allgemeine mathematische Kompetenzen im Fach Mathematik

… (K 1) Mathematisch argumentieren Fragen stellen, die für die Mathematik charakteris-

tisch sind ( ... ) und Vermutungen begründet äußern



… (K 2) Probleme mathematisch lösen vorgegebene und selbst formulierte Probleme

bearbeiten, dabei geeignete heuristische Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien auswählen und anwenden

die Plausibilität von Ergebnissen überprüfen Lösungswege und das Finden von Lösungsideen

reflektieren.… (K 3) Mathematisch modellieren… (K 4) Mathematische Darstellungen verwenden

unterschiedliche Darstellungsformen je nach Situation und Zweck auswählen und zwischen ihnen wechseln

… (K 6) Kommunizieren Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse

dokumentieren

… (K 2) Probleme mathematisch lösen vorgegebene und selbst formulierte Probleme

bearbeiten, dabei geeignete heuristische Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien auswählen und anwenden

die Plausibilität von Ergebnissen überprüfen Lösungswege und das Finden von Lösungsideen

reflektieren.… (K 3) Mathematisch modellieren… (K 4) Mathematische Darstellungen verwenden

unterschiedliche Darstellungsformen je nach Situation und Zweck auswählen und zwischen ihnen wechseln

… (K 6) Kommunizieren Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse

dokumentieren



– 3.2 Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen… (L 1) Leitidee Zahl

runden Rechenergebnisse entsprechend dem Sachverhalt sinnvoll

Ergebnisse in Sachsituationen prüfen und interpretieren

… (L 4) Leitidee Messen Grundprinzip des Messens nutzen, auch in

Naturwissenschaften und in anderen Bereichen Flächeninhalt und Umfang von einfachen Figuren

berechnen in der Umwelt gezielt Messungen vornehmen, mit

Maßangaben rechnen, die Ergebnisse sowie den Rechenweg in der Sachsituation bewerten

– 3.2 Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen… (L 1) Leitidee Zahl

runden Rechenergebnisse entsprechend dem Sachverhalt sinnvoll

Ergebnisse in Sachsituationen prüfen und interpretieren

… (L 4) Leitidee Messen Grundprinzip des Messens nutzen, auch in

Naturwissenschaften und in anderen Bereichen Flächeninhalt und Umfang von einfachen Figuren

berechnen in der Umwelt gezielt Messungen vornehmen, mit

Maßangaben rechnen, die Ergebnisse sowie den Rechenweg in der Sachsituation bewerten



… (L 3) Leitidee Raum und Form geometrische Figuren im Koordinatensystem

darstellen Sätze der ebenen Geometrie bei Konstruktionen,

Berechnungen und Beweisen anwenden… (L 4) Leitidee Funktionaler Zusammenhang

Funktionen nutzen zum Beschreiben quantitativer Zusammenhänge,

funktionale Zusammenhänge sprachlich, graphisch tabellarisch, sowie gegebenenfalls durch einen Term darstellen

– 4 Aufgabenbeispiele (keine)

… (L 3) Leitidee Raum und Form geometrische Figuren im Koordinatensystem

darstellen Sätze der ebenen Geometrie bei Konstruktionen,

Berechnungen und Beweisen anwenden… (L 4) Leitidee Funktionaler Zusammenhang

Funktionen nutzen zum Beschreiben quantitativer Zusammenhänge,

funktionale Zusammenhänge sprachlich, graphisch tabellarisch, sowie gegebenenfalls durch einen Term darstellen

– 4 Aufgabenbeispiele (keine)



• „Nachdenken über Mathematik“ findet man nur versteckt in den

– Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss:

2 Allgemeine mathematische Kompetenzen im Fach Mathematik

(K 1) Mathematisch argumentieren

(K 2) Probleme mathematisch lösen

3.1 Mathematische Leitideen

Standards für inhaltsbezogene mathematische Kompe- tenzen ... sind jeweils ausgewählten mathematischen Leitideen zugeordnet, um Verständnis von grundlegen- den mathematischen Konzepten zu erreichen, Besond- erheiten mathematischen Denkens zu verdeutlichen sowie Bedeutung und Funktion der Mathematik für die Gestaltung und Erkenntnis der Welt erfahren zu lassen.

• „Nachdenken über Mathematik“ findet man nur versteckt in den

– Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss:

2 Allgemeine mathematische Kompetenzen im Fach Mathematik

(K 1) Mathematisch argumentieren

(K 2) Probleme mathematisch lösen

3.1 Mathematische Leitideen

Standards für inhaltsbezogene mathematische Kompe- tenzen ... sind jeweils ausgewählten mathematischen Leitideen zugeordnet, um Verständnis von grundlegen- den mathematischen Konzepten zu erreichen, Besond- erheiten mathematischen Denkens zu verdeutlichen sowie Bedeutung und Funktion der Mathematik für die Gestaltung und Erkenntnis der Welt erfahren zu lassen. Folie 20



• Was geht verloren, verzichtet man hier auf gewisse Lehrziele?– Gibt es andere bessere Möglichkeiten für diese Lehrziele?

… Mathematische Kompetenzen: Herleiten von Formeln: Vielecke Messen: Sachaufgaben Wie verändert sich eine Größe, wenn ...? ... Effektive Algorithmen konstruieren: schriftliche

Rechenverfahren, Gleichungslehre, ... Numerische Fähigkeiten: Sachaufgaben

… Nachdenken über Mathematik: Verallgemeinern von Begriffen: Zahl, Rechen-

operation, Funktion, Figur, Größe, ... Reale Sachverhalte von ihren mathematischen

Modelle unterscheiden: Sachaufgaben, Zufall… usw.

• Was geht verloren, verzichtet man hier auf gewisse Lehrziele?– Gibt es andere bessere Möglichkeiten für diese Lehrziele?

… Mathematische Kompetenzen: Herleiten von Formeln: Vielecke Messen: Sachaufgaben Wie verändert sich eine Größe, wenn ...? ... Effektive Algorithmen konstruieren: schriftliche

Rechenverfahren, Gleichungslehre, ... Numerische Fähigkeiten: Sachaufgaben

… Nachdenken über Mathematik: Verallgemeinern von Begriffen: Zahl, Rechen-

operation, Funktion, Figur, Größe, ... Reale Sachverhalte von ihren mathematischen

Modelle unterscheiden: Sachaufgaben, Zufall… usw.

Folie 13



– Allgemeinere Lehrziele erreicht man nur langfristig… bei besonders typischen Gelegenheiten… und mit geeigneten Unterrichtsmethoden,

vor allem mit Muße.… Bei einem Thema nicht alles wollen.

• Lehrziele und Lehrgang– Lehrziele zu setzen genügt nicht, um sie auch zu erreichen.

… Konstruiere zu gewünschten (speziellen und allge-meineren) Lehrzielen einen verträglichen Lehrgang.

… Analysiere vorliegenden Lehrgang auf Lehrziele, die sich mit ihm verknüpfen lassen.

Dies auch beim eigenen Unterrichtsentwurf… Kombiniere Beides miteinander.

– Allgemeinere Lehrziele erreicht man nur langfristig… bei besonders typischen Gelegenheiten… und mit geeigneten Unterrichtsmethoden,

vor allem mit Muße.… Bei einem Thema nicht alles wollen.

• Lehrziele und Lehrgang– Lehrziele zu setzen genügt nicht, um sie auch zu erreichen.

… Konstruiere zu gewünschten (speziellen und allge-meineren) Lehrzielen einen verträglichen Lehrgang.

… Analysiere vorliegenden Lehrgang auf Lehrziele, die sich mit ihm verknüpfen lassen.

Dies auch beim eigenen Unterrichtsentwurf… Kombiniere Beides miteinander. Folie 44


2 Didaktische Analyse: Mögliche Lehrziele2 Didaktische Analyse: Mögliche Lehrziele

Auszug aus• Profke, L.: Didaktik der Mathematik I. Vorlesung mit Übungen

SS 2004– 1 Aufgaben und Ziele des Mathematikunterrichts

… 1.3 Beispiel Kreismessung


Auszug aus• Profke, L.: Didaktik der Mathematik I. Vorlesung mit Übungen

SS 2004– 1 Aufgaben und Ziele des Mathematikunterrichts

… 1.3 Beispiel Kreismessung





2 Didaktische Analyse: Mögliche Lehrziele2 Didaktische Analyse: Mögliche Lehrziele

Mögliche Lehrziele durch Analyse von Lehrgängen

• Formeln U(d) = d und A(r) = r² kennen und sicher anwenden.

• Mit den Formeln anschauliche Vorstellungen verbinden.• Änderung von Umfang und Flächeninhalt bei ähnlicher Transfor-

mation einer Figur kennen.• Einsehen, dass gilt:

(1) U(d) : d = 1 und A(r) : r2 = 2

(2) 1 = 2

• Zahlenwert für näherungsweise bestimmen.

• Herleitungen der Formeln verstehen.

• Erkenntnisse in der Mathematik experimentell gewinnen.• Mathematische Konzepte Länge und Flächeninhalt erweitern.

Mögliche Lehrziele durch Analyse von Lehrgängen

• Formeln U(d) = d und A(r) = r² kennen und sicher anwenden.

• Mit den Formeln anschauliche Vorstellungen verbinden.• Änderung von Umfang und Flächeninhalt bei ähnlicher Transfor-

mation einer Figur kennen.• Einsehen, dass gilt:

(1) U(d) : d = 1 und A(r) : r2 = 2

(2) 1 = 2

• Zahlenwert für näherungsweise bestimmen.

• Herleitungen der Formeln verstehen.

• Erkenntnisse in der Mathematik experimentell gewinnen.• Mathematische Konzepte Länge und Flächeninhalt erweitern.


2 Didaktische Analyse: Geometrische Größen berechnen (1)2 Didaktische Analyse: Geometrische Größen berechnen (1)

Spezielle Lehrziele als Beitrag zu allgemeineren Lehrzielen• Formeln kennen und sicher anwenden.

– Formeln vernünftig gebrauchen können:…Formeln syntaktisch und semantisch verstehen.

…Formeln auf Plausibilität prüfen.

…Angemessenheit von Formeln beurteilen.

– Informationen beschaffen und verwerten können.

Spezielle Lehrziele als Beitrag zu allgemeineren Lehrzielen• Formeln kennen und sicher anwenden.

– Formeln vernünftig gebrauchen können:…Formeln syntaktisch und semantisch verstehen.

…Formeln auf Plausibilität prüfen.

…Angemessenheit von Formeln beurteilen.

– Informationen beschaffen und verwerten können.


2 Didaktische Analyse: Geometrische Größen berechnen (2)2 Didaktische Analyse: Geometrische Größen berechnen (2)

– Veranschaulichung und Plausibilitätsprüfung

… Umfang(Sechseck) < Kreisumfang < Umfang(Quadrat)

… 6·r = 3·d < U(d) < 4·d

… „<“ -Zeichen: Ränder der Figuren als gespannte

Gummibänder



… 6·r = 3·d < U(d) < 4·d


Gummibänder


2 Didaktische Analyse: Transformation von Größen (1)2 Didaktische Analyse: Transformation von Größen (1)

• Änderungen von Umfang und Flächeninhalt bei ähnlicher Transformation einer Figur kennen,

– zunächst für Kreise,– dann für beliebige ebene Figuren:

…durch Nachrechnen anhand von Formeln…durch Mittransformieren des Messverfahrens

…anschaulich durch Konstanz von Anteilen– Änderung von Oberflächeninhalten und Rauminhalten bei

ähnlicher Transformation

– Änderung physikalischer Größen bei Transformationen

• Änderungen von Umfang und Flächeninhalt bei ähnlicher Transformation einer Figur kennen,

– zunächst für Kreise,– dann für beliebige ebene Figuren:

…durch Nachrechnen anhand von Formeln…durch Mittransformieren des Messverfahrens

…anschaulich durch Konstanz von Anteilen– Änderung von Oberflächeninhalten und Rauminhalten bei

ähnlicher Transformation

– Änderung physikalischer Größen bei Transformationen


2 Didaktische Analyse: Transformation von Größen (2)2 Didaktische Analyse: Transformation von Größen (2)


2 Didaktische Analyse: U(d):d = A(r):r2 = (1)2 Didaktische Analyse: U(d):d = A(r):r2 = (1)

• Einsehen, dass gilt:

(1) U(d) : d = 1 und A(r) : r2 = 2

(2) 1 = 2

– Vermutungen sind zu bestätigen oder zu widerlegen:…für der Praxis genügt 1 3,14 2 ,…in der Geometrie ist entweder 1 = 2 oder 1 2.

– Logische Abhängigkeit von Aussagen untersuchen.…Aus U(d) = ·d folgt A(r) = ·r2 und umgekehrt.

– Zwischen realen Objekten und idealen geometrischen Figuren unterscheiden.

• Einsehen, dass gilt:

(1) U(d) : d = 1 und A(r) : r2 = 2

(2) 1 = 2

– Vermutungen sind zu bestätigen oder zu widerlegen:…für der Praxis genügt 1 3,14 2 ,…in der Geometrie ist entweder 1 = 2 oder 1 2.

– Logische Abhängigkeit von Aussagen untersuchen.…Aus U(d) = ·d folgt A(r) = ·r2 und umgekehrt.

– Zwischen realen Objekten und idealen geometrischen Figuren unterscheiden.


2 Didaktische Analyse: U(d):d = A(r):r2 = (2)2 Didaktische Analyse: U(d):d = A(r):r2 = (2)


2 Didaktische Analyse: Geometrische Größen messen2 Didaktische Analyse: Geometrische Größen messen

• Erkenntnisse in der Mathematik experimentell gewinnen.– Bogenlängen und Flächeninhalte einzelner Objekte

empirisch bestimmen können.– Durch Experimente Gesetzmäßigkeiten suchen– Naturwissenschaftliche Arbeitsweise kennen:

…Welche und wie viele Daten sammeln?…Vernünftige Messgenauigkeit anstreben und

berücksichtigen…Daten übersichtlich darstellen.…Plausible Vermutungen aufstellen.…Vermutungen testen, Extremfälle untersuchen.…Vermutungen theoretisch verstehen wollen,

Zusammenhänge mit anderen Erkenntnissen herstellen.

• Erkenntnisse in der Mathematik experimentell gewinnen.– Bogenlängen und Flächeninhalte einzelner Objekte

empirisch bestimmen können.– Durch Experimente Gesetzmäßigkeiten suchen– Naturwissenschaftliche Arbeitsweise kennen:

…Welche und wie viele Daten sammeln?…Vernünftige Messgenauigkeit anstreben und

berücksichtigen…Daten übersichtlich darstellen.…Plausible Vermutungen aufstellen.…Vermutungen testen, Extremfälle untersuchen.…Vermutungen theoretisch verstehen wollen,

Zusammenhänge mit anderen Erkenntnissen herstellen.


2 Didaktische Analyse: Zahlenwert für bestimmen2 Didaktische Analyse: Zahlenwert für bestimmen

• Zahlenwert für näherungsweise bestimmen.– Punktschätzung aus einer Messung gewinnen: 3,14– Intervallschätzungen angeben: 3 < < 4– Beliebig genaue Eingrenzungen durch Angabe von

Bildungsgesetzen– Näherungswerte von Zahlen bestimmen.– Mit Näherungswerten umgehen.– Funktion von Zahlensymbol und (dezimalem) Zahlenwert

einschätzen.

…Symbole wie , 3, sin(10°) erleichtern das Wieder-erkennen von Zahlen.

…Bedeutung „exakter“ Ergebnisse…Aus c 3,14 folgt noch nicht c = .

• Zahlenwert für näherungsweise bestimmen.– Punktschätzung aus einer Messung gewinnen: 3,14– Intervallschätzungen angeben: 3 < < 4– Beliebig genaue Eingrenzungen durch Angabe von

Bildungsgesetzen– Näherungswerte von Zahlen bestimmen.– Mit Näherungswerten umgehen.– Funktion von Zahlensymbol und (dezimalem) Zahlenwert

einschätzen.

…Symbole wie , 3, sin(10°) erleichtern das Wieder-erkennen von Zahlen.

…Bedeutung „exakter“ Ergebnisse…Aus c 3,14 folgt noch nicht c = .


2 Didaktische Analyse: Didaktische Prinzipien2 Didaktische Analyse: Didaktische Prinzipien

Didaktische Prinzipien berücksichtigen• Lehrziele festigen und überprüfen:

– Schüler lernen allenfalls, was gefestigt und abgeprüft wird.… Meistens hat eine Einführung andere Lehrziele als die

Festigung und die Lernerfolgskontrolle.… Dies gilt bereits für fachliche Ziele, erst recht für

übergreifende (methodische, soziale, ... ) Ziele.… Wozu also Herleitungen, Experimente, ... ?

Verfahren zum Berechnen von Durchführen von Messreihen

Didaktische Prinzipien berücksichtigen• Lehrziele festigen und überprüfen:

– Schüler lernen allenfalls, was gefestigt und abgeprüft wird.… Meistens hat eine Einführung andere Lehrziele als die

Festigung und die Lernerfolgskontrolle.… Dies gilt bereits für fachliche Ziele, erst recht für

übergreifende (methodische, soziale, ... ) Ziele.… Wozu also Herleitungen, Experimente, ... ?

Verfahren zum Berechnen von Durchführen von Messreihen



• Veranschaulichen, Handlungsorientierung, ...– Was soll und kann man wie für wen veranschaulichen?

… d U(d), Proportionalitätskonstante 1

… r2 A(d), Proportionalitätskonstante 2

1 = 2

– Handlungsorientierung ist mehr als Geschäftigsein.… Was leisten experimentelle Zugänge?

Umfang durch Abrollen messen» formt Begriff der Bogenlänge aus,» veranschaulicht auch d U(d)???

Flächeninhalt durch Auswiegen bestimmen» Gewicht Flächeninhalt ???

• Veranschaulichen, Handlungsorientierung, ...– Was soll und kann man wie für wen veranschaulichen?

… d U(d), Proportionalitätskonstante 1

… r2 A(d), Proportionalitätskonstante 2

1 = 2

– Handlungsorientierung ist mehr als Geschäftigsein.… Was leisten experimentelle Zugänge?

Umfang durch Abrollen messen» formt Begriff der Bogenlänge aus,» veranschaulicht auch d U(d)???

Flächeninhalt durch Auswiegen bestimmen» Gewicht Flächeninhalt ???



• Einstieg und Motivation– Überlegungen und Entscheidungen stützen durch

pädagogisch-psychologische Theorien… Leitendes Problem suchen

Umfang und Flächeninhalt einer gegebenen Kreisfläche vs. Formeln für alle Kreisflächen

… Vorinformation geben Inhalt und Ziele

– Aufmerksamkeit gezielt auf den Unterrichtsgegenstand richten

… Animation genügt nicht.• Verbindlichkeit von Tipps kritisch prüfen

– Viele sogenannte „didaktische Prinzipien“… beruhen auf unreflektierten Erfahrungen Einzelner,… drücken Wünsche und Hoffnungen aus.

• Einstieg und Motivation– Überlegungen und Entscheidungen stützen durch

pädagogisch-psychologische Theorien… Leitendes Problem suchen

Umfang und Flächeninhalt einer gegebenen Kreisfläche vs. Formeln für alle Kreisflächen

… Vorinformation geben Inhalt und Ziele

– Aufmerksamkeit gezielt auf den Unterrichtsgegenstand richten

… Animation genügt nicht.• Verbindlichkeit von Tipps kritisch prüfen

– Viele sogenannte „didaktische Prinzipien“… beruhen auf unreflektierten Erfahrungen Einzelner,… drücken Wünsche und Hoffnungen aus.


2 Didaktische Analyse: Entscheidungen2 Didaktische Analyse: Entscheidungen

Mögliche Entscheidungen

Entweder

(1) Hauptlehrziel: Formeln U(d) = d und A(r) = r² kennen und sicher anwenden.

– dabei Formeln nachschlagen (Folie 20)– als Beispiel für das Beschaffen von Informationen

Ergänzendes Lehrziel: Formeln veranschaulichen

oder

(2) Hauptlehrziel: Bogenlängen und Flächeninhalte empirisch bestimmen können

Ergänzendes Lehrziel: Durch Experimente Gesetzmäßigkeiten suchen

– als Beispiel für empirisches Vorgehen

Mögliche Entscheidungen

Entweder

(1) Hauptlehrziel: Formeln U(d) = d und A(r) = r² kennen und sicher anwenden.

– dabei Formeln nachschlagen (Folie 20)– als Beispiel für das Beschaffen von Informationen

Ergänzendes Lehrziel: Formeln veranschaulichen

oder

(2) Hauptlehrziel: Bogenlängen und Flächeninhalte empirisch bestimmen können

Ergänzendes Lehrziel: Durch Experimente Gesetzmäßigkeiten suchen

– als Beispiel für empirisches Vorgehen


2 Didaktische Analyse: Mathematiklehrerausbildung2 Didaktische Analyse: Mathematiklehrerausbildung

Überlegungen zur Mathematiklehrerausbildung• Wo sollte der angehende Lehrer die Fähigkeiten für didaktische

Analysen erwerben?– In mathematikdidaktischen Veranstaltungen (erste Phase)

… didaktische Analysen vormachen und trainieren,… zuerst in Teilen bei „jeder“ Gelegenheit,… dann an wenigen Beispielen komplett:

Abzeichnen mit Hilfe von Rastern (ab Klasse 3) Wurzelrechnung Kreismessung ...

… einzelne Themen in einem Schulbuch, im Lehrplan, in Abschlussprüfungen, in den Bildungsstandards didaktisch analysieren.

Positive und negative Beispiele

Überlegungen zur Mathematiklehrerausbildung• Wo sollte der angehende Lehrer die Fähigkeiten für didaktische

Analysen erwerben?– In mathematikdidaktischen Veranstaltungen (erste Phase)

… didaktische Analysen vormachen und trainieren,… zuerst in Teilen bei „jeder“ Gelegenheit,… dann an wenigen Beispielen komplett:

Abzeichnen mit Hilfe von Rastern (ab Klasse 3) Wurzelrechnung Kreismessung ...

… einzelne Themen in einem Schulbuch, im Lehrplan, in Abschlussprüfungen, in den Bildungsstandards didaktisch analysieren.

Positive und negative Beispiele



• Darf man jedem (auch dem mittelmäßigen) Lehrer eine solche didaktische Analyse zumuten?

– Vielen Lehrerstudenten fallen didaktische Analysen schwer.– Wie wirkt sich eine didaktische Analyse auf den realen

Mathematikunterricht aus?… Viele Lehrer halten sich eng an das eingeführte Schul-

buch oder sonstige verfügbare Unterrichtsmaterialien.– Darf ein Lehrer sich didaktische Entscheidungen abnehmen

lassen vom eingeführten Schulbuch, vom Lehrplan, ...?… Warum nicht?

Aber didaktische Entscheidungen können pädagogische Auswirkungen haben.

… Muss jeder Lehrer das Weglassen von Stoff können oder reichen kollegiale Abmachungen?

• Darf man jedem (auch dem mittelmäßigen) Lehrer eine solche didaktische Analyse zumuten?

– Vielen Lehrerstudenten fallen didaktische Analysen schwer.– Wie wirkt sich eine didaktische Analyse auf den realen

Mathematikunterricht aus?… Viele Lehrer halten sich eng an das eingeführte Schul-

buch oder sonstige verfügbare Unterrichtsmaterialien.– Darf ein Lehrer sich didaktische Entscheidungen abnehmen

lassen vom eingeführten Schulbuch, vom Lehrplan, ...?… Warum nicht?

Aber didaktische Entscheidungen können pädagogische Auswirkungen haben.

… Muss jeder Lehrer das Weglassen von Stoff können oder reichen kollegiale Abmachungen?



• Wer muss eine didaktische Analyse durchführen (können)?– Einzelne Expertenlehrer an jeder Schule, in einem

Schulverbund, ... ?– Schulbuchautoren?– Lehrplankonstrukteure?

• Wie soll eine didaktische Analyse zu einem Thema entstehen?– Jedes Schuljahr ganz neu– oder nur bei geplanten Änderungen und dann weitgehend


• Wer muss eine didaktische Analyse durchführen (können)?– Einzelne Expertenlehrer an jeder Schule, in einem

Schulverbund, ... ?– Schulbuchautoren?– Lehrplankonstrukteure?

• Wie soll eine didaktische Analyse zu einem Thema entstehen?– Jedes Schuljahr ganz neu– oder nur bei geplanten Änderungen und dann weitgehend



3 Methodische Analyse3 Methodische Analyse

Lehrziele und Unterrichtsmethoden Entdeckenlassend vs. darbietend Lehrziele festigen Arbeitsblätter Unterrichtsentwurf

Lehrziele und Unterrichtsmethoden Entdeckenlassend vs. darbietend Lehrziele festigen Arbeitsblätter Unterrichtsentwurf


3 Methodische Analyse: Lehrziele und Methoden3 Methodische Analyse: Lehrziele und Methoden

Lehrziele und Unterrichtsmethoden• Irgendeine Behandlung von Stoff sichert nicht das Erreichen von

Lehrzielen.• Entscheidend ist die Unterrichtskultur:

– Wie gehen Lehrer und Schüler miteinander und mit dem Stoff um?

– Schüler müssen ausreichend Gelegenheiten bekommen, wünschenswerte Aktivitäten auszuüben, zu lernen, zu festigen, anzuwenden.

– Beobachtung:… Schüler lernen in jedem Unterricht etwas, aber oft

Dinge, die wir nicht wünschen.… Heimliche Lehrpläne beschreiben solche nicht

beabsichtigten Auswirkungen.

Lehrziele und Unterrichtsmethoden• Irgendeine Behandlung von Stoff sichert nicht das Erreichen von

Lehrzielen.• Entscheidend ist die Unterrichtskultur:

– Wie gehen Lehrer und Schüler miteinander und mit dem Stoff um?

– Schüler müssen ausreichend Gelegenheiten bekommen, wünschenswerte Aktivitäten auszuüben, zu lernen, zu festigen, anzuwenden.

– Beobachtung:… Schüler lernen in jedem Unterricht etwas, aber oft

Dinge, die wir nicht wünschen.… Heimliche Lehrpläne beschreiben solche nicht

beabsichtigten Auswirkungen.



• Negativbeispiele– Lehrziel: Aufgaben selbstständig planen, ausführen,

kontrollieren… Tatsächlicher Mathematikunterricht:

Kleinschrittiges enges Führen durch den Lehrer Über Richtig/Falsch entscheidet alleine der Lehrer.

– Lehrziel: Genau, zuverlässig, ausdauernd arbeiten;… Tatsächlicher Mathematikunterricht:

nachlässige Tafelbilder, schlampige Heftführung unpräzise Formulierungen bei Merksätzen Lehrer nimmt Schülern viele Mühen ab.

– Lehrziel: Argumentieren lernen

… Herleitungen wirkungslos, wenn der Lehrer fast alles nur vormacht, dann nur mechanische Übungen folgen.

• Negativbeispiele– Lehrziel: Aufgaben selbstständig planen, ausführen,

kontrollieren… Tatsächlicher Mathematikunterricht:

Kleinschrittiges enges Führen durch den Lehrer Über Richtig/Falsch entscheidet alleine der Lehrer.

– Lehrziel: Genau, zuverlässig, ausdauernd arbeiten;… Tatsächlicher Mathematikunterricht:

nachlässige Tafelbilder, schlampige Heftführung unpräzise Formulierungen bei Merksätzen Lehrer nimmt Schülern viele Mühen ab.

– Lehrziel: Argumentieren lernen

… Herleitungen wirkungslos, wenn der Lehrer fast alles nur vormacht, dann nur mechanische Übungen folgen.



– Lehrziel: Verstehen… „Das habe ich verstanden“

meint oft nur die Abfolge von Handlungsschritten.• Analysiere daher fertige Unterrichtsvorbereitung auf (nicht)

beabsichtigte Auswirkungen,– ebenso den gehaltenen Unterricht.

• Einheitliches Gestalten des Mathematikunterrichts in typischen Situationen?

– Einführen… Begriff, Satz, Verfahren

– Festigen– Anwenden

Erleichterung für das Planen und methodische Starrheit?

– Lehrziel: Verstehen… „Das habe ich verstanden“

meint oft nur die Abfolge von Handlungsschritten.• Analysiere daher fertige Unterrichtsvorbereitung auf (nicht)

beabsichtigte Auswirkungen,– ebenso den gehaltenen Unterricht.

• Einheitliches Gestalten des Mathematikunterrichts in typischen Situationen?

– Einführen… Begriff, Satz, Verfahren

– Festigen– Anwenden

Erleichterung für das Planen und methodische Starrheit?


3 Methodische Analyse: Selbsttätigkeit3 Methodische Analyse: Selbsttätigkeit

Entdeckenlassend vs. darbietend• Entdeckenlassendes Lehren

– Selbstständiges Entdecken durch Schüler kommt nur selten im Mathematikunterricht vor.

– Entdecken als Tätigkeit muss zuvor unter Anleitung gelernt werden:

… Entdeckenlassendes Lehren unter Führung– Schüler sollen den Eindruck gewinnen:

… „Darauf hätte ich auch selbst kommen können.“… „Das habe ich selbst gefunden.“

Entdeckenlassend vs. darbietend• Entdeckenlassendes Lehren

– Selbstständiges Entdecken durch Schüler kommt nur selten im Mathematikunterricht vor.

– Entdecken als Tätigkeit muss zuvor unter Anleitung gelernt werden:

… Entdeckenlassendes Lehren unter Führung– Schüler sollen den Eindruck gewinnen:

… „Darauf hätte ich auch selbst kommen können.“… „Das habe ich selbst gefunden.“



• Darbietendes Lehren– Der Lehrer bereitet den Stoff inhaltlich und methodisch bis

ins Einzelne auf und lehrt ihn plangemäß:… Erarbeitend mit den Schülern oder ihnen darbietend

– Lernschwierigkeiten voraussehen und Wege zum Überwinden solcher Probleme planen.

… Sorgfältige methodische Stufung des Lehrstoffs… Bereitstellen von Hilfen:

Impulse, Hinweise, ... Vereinfachungen, didaktische Modelle Veranschaulichungen

• Darbietendes Lehren– Der Lehrer bereitet den Stoff inhaltlich und methodisch bis

ins Einzelne auf und lehrt ihn plangemäß:… Erarbeitend mit den Schülern oder ihnen darbietend

– Lernschwierigkeiten voraussehen und Wege zum Überwinden solcher Probleme planen.

… Sorgfältige methodische Stufung des Lehrstoffs… Bereitstellen von Hilfen:

Impulse, Hinweise, ... Vereinfachungen, didaktische Modelle Veranschaulichungen



• Entdeckenlassendes vs. darbietendes Lehren?– Darbietender Unterricht möchte dieselben Ziele erreichen,

welche beim entdeckenlassenden Lehren genannt sind.– Häufig wird der Schüler auch im angeblich entdecken-

lassenden Unterricht gegängelt:… Sehr kleinschrittiges Vorgehen, damit möglichst alle

Schüler ohne viel Nachdenken zu Erfolgen kommen (besonders bei Arbeitsblättern).

… Hilfen sind sehr direkt (verraten zu viel).… Über die Brauchbarkeit von Schülerbeiträgen

entscheidet meistens nur der Lehrer.… Kein Vergleich verschiedener Bearbeitungswege. Nur

selten wird die Wahl eines Weges begründet.

• Entdeckenlassendes vs. darbietendes Lehren?– Darbietender Unterricht möchte dieselben Ziele erreichen,

welche beim entdeckenlassenden Lehren genannt sind.– Häufig wird der Schüler auch im angeblich entdecken-

lassenden Unterricht gegängelt:… Sehr kleinschrittiges Vorgehen, damit möglichst alle

Schüler ohne viel Nachdenken zu Erfolgen kommen (besonders bei Arbeitsblättern).

… Hilfen sind sehr direkt (verraten zu viel).… Über die Brauchbarkeit von Schülerbeiträgen

entscheidet meistens nur der Lehrer.… Kein Vergleich verschiedener Bearbeitungswege. Nur

selten wird die Wahl eines Weges begründet.



• Darbietender Unterricht kann auch produktive Leistungen von Schülern anregen.

– Dem Schüler Gelegenheit zur Eigentätigkeit und zu kleinen „Entdeckungen“ geben.

… Verschiedene Bearbeitungswege zulassen, anregen, ... … Heuristische Hilfen thematisieren (vor, während,

darnach).… So wenig Hilfe geben wie möglich.

– Lehren nach der genetischen Methode… „Genetisches Dozieren“

• Darbietender Unterricht kann auch produktive Leistungen von Schülern anregen.

– Dem Schüler Gelegenheit zur Eigentätigkeit und zu kleinen „Entdeckungen“ geben.

… Verschiedene Bearbeitungswege zulassen, anregen, ... … Heuristische Hilfen thematisieren (vor, während,

darnach).… So wenig Hilfe geben wie möglich.

– Lehren nach der genetischen Methode… „Genetisches Dozieren“


3 Methodische Analyse: Lehrziele festigen3 Methodische Analyse: Lehrziele festigen

Allgemeinere Lehrziele festigen• Zugehörige Aktivitäten muss jeder Schüler selbst (aus-) üben

– und der Lehrer kontrollieren und korrigieren.… Einsichtiges Üben vs. rezeptartigem Nachvollziehen… Verstehen vs. „Verstehen“… Durcharbeiten, Vertiefen

• Anfangs im Klassenunterricht fragend-entwickelnd festigen– mit Hilfe des Lehrers:

… Nachfragen, wiederholen lassen, Wichtiges hervor-heben, an der Tafel festhalten, ...

… Musterlösung(en)… vorbildliche Aufschriebe… nicht zu schnell automatisieren (wenn überhaupt)

• Unterrichtsmaterialien enthalten nur selten Aufgaben zum Festigen allgemeinerer Lehrziele.

Allgemeinere Lehrziele festigen• Zugehörige Aktivitäten muss jeder Schüler selbst (aus-) üben

– und der Lehrer kontrollieren und korrigieren.… Einsichtiges Üben vs. rezeptartigem Nachvollziehen… Verstehen vs. „Verstehen“… Durcharbeiten, Vertiefen

• Anfangs im Klassenunterricht fragend-entwickelnd festigen– mit Hilfe des Lehrers:

… Nachfragen, wiederholen lassen, Wichtiges hervor-heben, an der Tafel festhalten, ...

… Musterlösung(en)… vorbildliche Aufschriebe… nicht zu schnell automatisieren (wenn überhaupt)

• Unterrichtsmaterialien enthalten nur selten Aufgaben zum Festigen allgemeinerer Lehrziele.


3 Methodische Analyse: Arbeitsblätter3 Methodische Analyse: Arbeitsblätter

Arbeitsblätter• sollen Schüler zur Eigentätigkeit veranlassen, entdecken-

lassendes Lehren unterstützen und dem Lehrer Zeit geben, einzelnen Schülern zu helfen.

– Viele Arbeitsblätter erfüllen diese Zwecke nicht: s.o.• sind festgelegt und können sich nicht spontan dem Unter-

richtsgeschehen anpassen, wie man es vom Lehrer im Unter-richtsgespräch erwartet.

• erlauben dem Schüler, sein Arbeitstempo selbst zu wählen.– Dieser Vorteil verwandelt sich oft in einen Nachteil:

… Wenn der Lehrer die Arbeit unterbricht, um für die Stunde ein ordentliches Ende zu finden.

… „Der Rest ist Hausaufgabe.“• erleichtern nach Leistungsvermögen differenzierten Unterricht.

Arbeitsblätter• sollen Schüler zur Eigentätigkeit veranlassen, entdecken-

lassendes Lehren unterstützen und dem Lehrer Zeit geben, einzelnen Schülern zu helfen.

– Viele Arbeitsblätter erfüllen diese Zwecke nicht: s.o.• sind festgelegt und können sich nicht spontan dem Unter-

richtsgeschehen anpassen, wie man es vom Lehrer im Unter-richtsgespräch erwartet.

• erlauben dem Schüler, sein Arbeitstempo selbst zu wählen.– Dieser Vorteil verwandelt sich oft in einen Nachteil:

… Wenn der Lehrer die Arbeit unterbricht, um für die Stunde ein ordentliches Ende zu finden.

… „Der Rest ist Hausaufgabe.“• erleichtern nach Leistungsvermögen differenzierten Unterricht.

Folie 71


3 Methodische Analyse: Unterrichtsentwurf (1)3 Methodische Analyse: Unterrichtsentwurf (1)

Skizze eines Unterrichtsentwurfs (für alle Schularten)– mit Texten für Tafel und Heft– mit didaktisch-methodischen Kommentaren

• Hauptlehrziel: Formeln U(d) = d und A(r) = r² kennen und sicher anwenden.

• Ergänzendes Lehrziel: Formeln veranschaulichen

Skizze eines Unterrichtsentwurfs (für alle Schularten)– mit Texten für Tafel und Heft– mit didaktisch-methodischen Kommentaren

• Hauptlehrziel: Formeln U(d) = d und A(r) = r² kennen und sicher anwenden.

• Ergänzendes Lehrziel: Formeln veranschaulichen



Erste Stunde• Einstieg

– Überschrift: Umfang und Flächeninhalt von Kreisen– Aufgabe:

… Aus der Abschlussprüfung vom ...

Erste Stunde• Einstieg

– Überschrift: Umfang und Flächeninhalt von Kreisen– Aufgabe:

… Aus der Abschlussprüfung vom ...

Wie groß ist der Umfang der gesamten Figur?



• Einführung– Aufträge

… Übertrage die Figur ins Heft… Überlege einen Berechnungsplan

Figur als Tafelbild, OHP-Folie oder Arbeitsblatt Wiederholung zum geometrischen Konstruieren Impliziter Hinweis auf Zerlegen der Figur Impliziter Hinweis auf Formeln zum Berechnen

geometrischer Größen bei einfachen Figuren– Zusammenfassen (im Klassengespräch)

… Berechnungsplan:(1) Zerlege die Figur in ein Rechteck, ..., ihren Rand

in ...(2) Berechne die Flächeninhalte und die Längen der

Teile.(3) Die Summen ergeben die gesuchten Größen.

• Einführung– Aufträge

… Übertrage die Figur ins Heft… Überlege einen Berechnungsplan

Figur als Tafelbild, OHP-Folie oder Arbeitsblatt Wiederholung zum geometrischen Konstruieren Impliziter Hinweis auf Zerlegen der Figur Impliziter Hinweis auf Formeln zum Berechnen

geometrischer Größen bei einfachen Figuren– Zusammenfassen (im Klassengespräch)

… Berechnungsplan:(1) Zerlege die Figur in ein Rechteck, ..., ihren Rand

in ...(2) Berechne die Flächeninhalte und die Längen der

Teile.(3) Die Summen ergeben die gesuchten Größen.



– Auftrag…Durchführung

!! ???– Problem (im Klassengespräch und in Einzelarbeit)

Wie berechnet man den Flächeninhalt und die Länge eines Halbkreises?

…Wo findet man Informationen? Schulbuch, Formelsammlung, Internet Welche Größe lässt sich bei einem Halbkreis leicht

messen? Welche Größen sollten in den Formeln vorkommen? ...

…Wie gehen wir mit den Informationen um? Was bedeuten die Buchstaben in den Formeln?

Wie geht man mit anderen Bezeichnungen um? ... Wie muss man rechnen? ...

– Hausaufgabe: Löse die PrüfungsaufgabeEnde der Stunde

– Auftrag…Durchführung

!! ???– Problem (im Klassengespräch und in Einzelarbeit)

Wie berechnet man den Flächeninhalt und die Länge eines Halbkreises?

…Wo findet man Informationen? Schulbuch, Formelsammlung, Internet Welche Größe lässt sich bei einem Halbkreis leicht

messen? Welche Größen sollten in den Formeln vorkommen? ...

…Wie gehen wir mit den Informationen um? Was bedeuten die Buchstaben in den Formeln?

Wie geht man mit anderen Bezeichnungen um? ... Wie muss man rechnen? ...

– Hausaufgabe: Löse die PrüfungsaufgabeEnde der Stunde



Nächste Stunde• Rückblick als Einstieg• Hausaufgabenkontrolle

als Lernerfolgskontrolle• Einführung und Wiederholung

– Frage…Wie kann man die berechneten Ergebnisse durch

Überschlag prüfen?(1) Abschätzen von Flächeninhalten mit Hilfe annähernder

Vielecke(2) Abschätzen von Kurvenlängen mit Hilfe

einbeschriebener Streckenzüge– Durchführung an Beispielen

• Information über Standardveranschaulichungen bei Kreisen– Folien 66 - 69

teilweise als Hausaufgabe

Ende der Stunde

Nächste Stunde• Rückblick als Einstieg• Hausaufgabenkontrolle

als Lernerfolgskontrolle• Einführung und Wiederholung

– Frage…Wie kann man die berechneten Ergebnisse durch

Überschlag prüfen?(1) Abschätzen von Flächeninhalten mit Hilfe annähernder

Vielecke(2) Abschätzen von Kurvenlängen mit Hilfe

einbeschriebener Streckenzüge– Durchführung an Beispielen

• Information über Standardveranschaulichungen bei Kreisen– Folien 66 - 69

teilweise als Hausaufgabe

Ende der Stunde Folie 70


3 Methodische Analyse: Unterrichtsentwurf (5.1)3 Methodische Analyse: Unterrichtsentwurf (5.1)



… 6·r = 3·d < U < 4·d


Gummibänder



… 6·r = 3·d < U < 4·d


Gummibänder



– Veranschaulichung und Plausibilitätsprüfung– Veranschaulichung und Plausibilitätsprüfung



– Veranschaulichung und Plausibilitätsprüfung– Veranschaulichung und Plausibilitätsprüfung




… Fläche(12-eck) < Kreisfläche < Fläche(Quadrat)

… Flächeninhalt(12-eck) =

… 3·r2 < Kreisflächeninhalt < 4·r2


… Fläche(12-eck) < Kreisfläche < Fläche(Quadrat)

… Flächeninhalt(12-eck) =

… 3·r2 < Kreisflächeninhalt < 4·r2

2r32

rr

2

112

halber_Radius

Folie 65



Nächste Stunde• Rückblick als Einstieg• Hausaufgabenkontrolle• Festigung planen

– Was muss man üben?… Abschlussprüfungen, Bildungsstandards Mathematik

heranziehen– Wie sehen Übungsaufgaben aus?

… Schulbuchaufgaben einschätzen und lösen alles im Klassengespräch

• Übungen, Anwendungen erst gemeinsam, dann einzeln oder in Partnerarbeit

Ende der Stunde

Nächste Stunde• Rückblick als Einstieg• Hausaufgabenkontrolle• Festigung planen

– Was muss man üben?… Abschlussprüfungen, Bildungsstandards Mathematik

heranziehen– Wie sehen Übungsaufgaben aus?

… Schulbuchaufgaben einschätzen und lösen alles im Klassengespräch

• Übungen, Anwendungen erst gemeinsam, dann einzeln oder in Partnerarbeit

Ende der Stunde


4 Mathematikunterricht aus dem Schulbuch4 Mathematikunterricht aus dem Schulbuch



Lehrer unterrichtet eng nach einem Schulbuch.• Dies ist der Regelfall.

– Heutige Schulbuchwerke für den Mathematikunterricht sind hierfür geschrieben.

– Lehrerhandbücher mit ausführlichen didaktischen und methodischen Hinweisen haben sich nur für die Primarstufe durchgesetzt.

• Die Mathematiklehrerausbildung muss dies berücksichtigen.– Sachanalysen und didaktische Analysen (wie hier gezeigt)

fallen vielen mittelmäßigen Lehrern (zu) schwer.– Solche sind im Schulalltag auch viel zu zeitaufwändig.– Ziel: mit einem Schulbuch Mathematikunterricht halten ohne

großen Vorbereitungsaufwand

Lehrer unterrichtet eng nach einem Schulbuch.• Dies ist der Regelfall.

– Heutige Schulbuchwerke für den Mathematikunterricht sind hierfür geschrieben.

– Lehrerhandbücher mit ausführlichen didaktischen und methodischen Hinweisen haben sich nur für die Primarstufe durchgesetzt.

• Die Mathematiklehrerausbildung muss dies berücksichtigen.– Sachanalysen und didaktische Analysen (wie hier gezeigt)

fallen vielen mittelmäßigen Lehrern (zu) schwer.– Solche sind im Schulalltag auch viel zu zeitaufwändig.– Ziel: mit einem Schulbuch Mathematikunterricht halten ohne

großen Vorbereitungsaufwand



Ideale Planung einer Unterrichtseinheit mit dem Schulbuch• Materialien

– Schulbuch, Checkliste zur Unterrichtsvorbereitung– Schulcurriculum, Lehrplan, Abschlussprüfungen,

Bildungsstandards Mathematik• Kerninhalte der Unterrichtseinheit festlegen

– „Weniger ist mehr!“• Analysen der Vorschläge im Schulbuch

– Lehrzielanalysen von Einführung und Festigungen… Lassen sich mit den gefundenen Lehrziele allgemeinere

Ziele verknüpfen?– Kritik von Motivation, Veranschaulichungen, didaktischen

Modellen … Sind sie dem Schüler zugänglich?… Leisten sie, was sie sollen?

Ideale Planung einer Unterrichtseinheit mit dem Schulbuch• Materialien

– Schulbuch, Checkliste zur Unterrichtsvorbereitung– Schulcurriculum, Lehrplan, Abschlussprüfungen,

Bildungsstandards Mathematik• Kerninhalte der Unterrichtseinheit festlegen

– „Weniger ist mehr!“• Analysen der Vorschläge im Schulbuch

– Lehrzielanalysen von Einführung und Festigungen… Lassen sich mit den gefundenen Lehrziele allgemeinere

Ziele verknüpfen?– Kritik von Motivation, Veranschaulichungen, didaktischen

Modellen … Sind sie dem Schüler zugänglich?… Leisten sie, was sie sollen?



• Auswahl von Lehrzielen– „Weniger ist mehr!“– Allgemeinere Lehrziele nicht vergessen

… Lehrplan, Abschlussprüfungen, Bildungsstandards Mathematik berücksichtigen

– Rechtfertigen der Auswahl für sich selbst• Stoffanordnung festlegen

– anhand des Buches oder anderer Materialien• Wahl von Unterrichtsmethoden

– verträglich mit den gesetzten Lehrzielen• Rückblick auf den Plan

– Kritik, Korrektur… besonders nach gehaltenem Unterricht

• Auswahl von Lehrzielen– „Weniger ist mehr!“– Allgemeinere Lehrziele nicht vergessen

… Lehrplan, Abschlussprüfungen, Bildungsstandards Mathematik berücksichtigen

– Rechtfertigen der Auswahl für sich selbst• Stoffanordnung festlegen

– anhand des Buches oder anderer Materialien• Wahl von Unterrichtsmethoden

– verträglich mit den gesetzten Lehrzielen• Rückblick auf den Plan

– Kritik, Korrektur… besonders nach gehaltenem Unterricht



• Planungen für einen Mathematikunterricht aus dem Schulbuch– in allen drei Phasen der Lehrerausbildung

… zeigen und durchführen lassen,… darüber reden,… Planungsentscheidungen begründen,… gelegentlich zu einer großen Unterrichtsvorbereitung

ausweiten.

• Planungen für einen Mathematikunterricht aus dem Schulbuch– in allen drei Phasen der Lehrerausbildung

… zeigen und durchführen lassen,… darüber reden,… Planungsentscheidungen begründen,… gelegentlich zu einer großen Unterrichtsvorbereitung

ausweiten.


4 Schlussbemerkungen4 Schlussbemerkungen



Was soll eine große Unterrichtsvorbereitung?• Man verlangt sie nur im Referendariat und bei Bewerbungen.

– Nicht einmal beim Schreiben von Schulbüchern und Konstruieren von Lehrplänen werden solche erstellt.

• Die Ausbildung von Mathematiklehrern muss– ein Repertoire von Unterrichtsmethoden,– ein Archiv mit erprobten Vorlagen zu Standardthemen des

Mathematikunterrichts,– akzeptable „Weltbilder“ zur Mathematik und zum Unterricht.

aufbauen auch beim mittelmäßigen Absolventen durch– das bewusste Arbeiten mit fertigen und gut dokumentierten

Unterrichtsmaterialien.

Was soll eine große Unterrichtsvorbereitung?• Man verlangt sie nur im Referendariat und bei Bewerbungen.

– Nicht einmal beim Schreiben von Schulbüchern und Konstruieren von Lehrplänen werden solche erstellt.

• Die Ausbildung von Mathematiklehrern muss– ein Repertoire von Unterrichtsmethoden,– ein Archiv mit erprobten Vorlagen zu Standardthemen des

Mathematikunterrichts,– akzeptable „Weltbilder“ zur Mathematik und zum Unterricht.

aufbauen auch beim mittelmäßigen Absolventen durch– das bewusste Arbeiten mit fertigen und gut dokumentierten

Unterrichtsmaterialien.



Ausbildung am Mittelmaß ausrichten• Anstrengungen zur Verbesserung des Mathematikunterrichts

bauen zu sehr auf gute Lehrer,– die man erfahrungsgemäß nicht in ausreichender Zahl hat

und auch nicht bekommen wird.• Die Ausbildung von Mathematiklehrern muss in allen Phasen

berücksichtigen, dass Mittelmaß sowohl bei den (angehenden) Lehrern als auch bei den Ausbildern überwiegt.

– Keine Forderungen stellen, die nur wenige erfüllen können.– Aber auch nicht „weiter wie bisher“.

• Wenig hilfreich für die meisten sind– ausgefallene neue Themen („Orchideen“),– seltene Unterrichtsformen (Projekt, Gruppenpuzzle, ...)

• Wichtig sind Vorschläge zum Behandeln von Standardstoffen– mit bescheidenen Ausbildungszielen

Ausbildung am Mittelmaß ausrichten• Anstrengungen zur Verbesserung des Mathematikunterrichts

bauen zu sehr auf gute Lehrer,– die man erfahrungsgemäß nicht in ausreichender Zahl hat

und auch nicht bekommen wird.• Die Ausbildung von Mathematiklehrern muss in allen Phasen

berücksichtigen, dass Mittelmaß sowohl bei den (angehenden) Lehrern als auch bei den Ausbildern überwiegt.

– Keine Forderungen stellen, die nur wenige erfüllen können.– Aber auch nicht „weiter wie bisher“.

• Wenig hilfreich für die meisten sind– ausgefallene neue Themen („Orchideen“),– seltene Unterrichtsformen (Projekt, Gruppenpuzzle, ...)

• Wichtig sind Vorschläge zum Behandeln von Standardstoffen– mit bescheidenen Ausbildungszielen



„Mittelmaß“• ist kein Vorwurf an betroffene Lehrer, Studenten, Ausbilder,• sondern eine Tatsachenbeschreibung

– (wie für jede Tätigkeit in Alltag und Beruf),• ist ein Vorwurf an Pädagogik, Fachdidaktik, Politik, ..., diese

Tatsache nicht zu berücksichtigen.

„Mittelmaß“• ist kein Vorwurf an betroffene Lehrer, Studenten, Ausbilder,• sondern eine Tatsachenbeschreibung

– (wie für jede Tätigkeit in Alltag und Beruf),• ist ein Vorwurf an Pädagogik, Fachdidaktik, Politik, ..., diese

Tatsache nicht zu berücksichtigen.

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Profke, AK Geometrie, 08. - 10.10.2004, Marktbreit1 Lehrerkompetenzen für den Geometrieunterricht erörtert an einer großen Unterrichtsvorbereitung zum