304   Atome     Quantenzahlen, Periodensystem der Elemente

Quantenzahlen, Periodensystem der Elemente

Vertiefung

Weitere Quantenzahlen im AtomIm Atom ist nicht nur die Energie quantisiert, gekenn-zeichnet mit der Hauptquantenzahl n. Man braucht weitere Quantenzahlen, um auch Gestalt und Ausrichtung der Orbitale im Raum zu beschreiben. Dies ist wichtig für Chemie und Magnetismus.

a) Nebenquantenzahl lBei den sphärischen s-Orbitalen (z. B. 1 s-Orbital) ist noch keine Richtung ausgezeichnet, eine räumliche Ori-entierung fehlt; man gibt deshalb allen s-Orbitalen die Nebenquantenzahl l = 0.Die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung liefert auch Orbitale in Keulenform. Diese p-Orbitale kennzeichnet man mit der Nebenquantenzahl l = 1 ‹B 1 . Längs ihrer Keulen ist |Ψ | 2 groß, das dort häufig zu findende Elek-tron kann andere Atome binden. So liefert es die für die Chemie wichtigen gerichteten Bindungen. Bei 3 p-Orbita-len (n = 3, l = 1) ist jede Keule einmal unterteilt ‹B 2 , bei n = 4 zweimal usw. Die Orbitalbilder sind rotations-symmetrisch zur z-Achse (nach oben). Links ist die Zu-fallsverteilung des Elektrons durch Punkte dargestellt, die Mitte zeigt eine stark idealisierte Kontur des Orbitals. Rechts wird die exakte Ψ-Funktion farbcodiert in der x-z-Ebene gezeigt. Auf den Linien ist |Ψ | 2 konstant.

Bei n = 3 treten zu den s- und p-Orbitalen noch d-Orbi-tale mit l = 2 hinzu ‹B 3 ; l kann 0, 1 oder 2 sein. Bei n = 4 erstreckt sich l von 0 bis 3. Zur Hauptquanten-zahl n gibt es für l nämlich n − 1 Werte für die Neben-quantenzahl l. Für diese gilt somit allgemein

0 ≤ l ≤ n − 1. (1)

b) Die magnetische Quantenzahl mOrbitale mit Nebenquantenzahl l > 0 (p- und d-Orbitale usw.) bilden längs der z-Achse auch magnetische Dipole (wie Stabmagnete). Deren Stärke hängt von der magneti-schen Quantenzahl m ab.Dabei kann m alle ganzen Zahlen zwischen −l und +l einnehmen. Somit findet man z. B. bei der Nebenquan-tenzahl l = 1 die drei magnetischen Quantenzahlen

m =−1, m = 0 und m =+1. (2)

Bei l = 1 hat m also 2 l + 1 = 3 Möglichkeiten.m bestimmt auch die Orbitalform. Für n = 2, l = 1 und m = 1 zeigt ‹B 4 nicht die Keulenform der p-Orbitale, sondern einen Kreisring. Ihm schreibt man einen Kreis-strom um die z-Achse samt Magnetfeld zu.

Dies erinnert an die auf Kreisbahnen umlaufenden Elek-tronen des bohrschen Modells.

B 1 Orbital 2 p (n = 2; l = 1); a) Zufallsverteilung des Elektrons; b) Kontur; c) Ψ-Funktion, rotiert um z-Achse (rot: Ψ > 0; blau: Ψ < 0)

B 2 3 p-Orbitale (n = 3; l = 1, m = 0); a) Zufallsvertei-lung; b) Ψ-Funktion, rotiert um z-Achse (rot und gelb: Ψ > 0; blau: Ψ < 0)

B 3 3 d-Orbital (n = 3; l = 2; m = 0); a) Zufallsverteilung; b) Kontur; c) Ψ-Funktion, rotiert um die z-Achse (rot: Ψ > 0; blau: Ψ < 0)

B 4 2 p-Orbital mit n = 2; l = 1; m = 1. Bei den magneti-schen Quantenzahlen m = l = n − 1 bildet Ψ Kreisringe, in Annäherung an das bohrsche Modell. a) Kontur, b) Ψ in der x-z-Ebene steigt kontinuierlich zum Innern von Blau (Ψ ≈ 0) nach Rot (Ψ > 0) an.

a) c)b)

a) b)

a) b) c)

a) b)

305  Quantenzahlen, Periodensystem der Elemente     Atome 

Vertiefung

c) Alle drei Quantenzahlen n, l und m zusammenWenn man Gl. 1 und 2 zusammenfasst, findet man bei der Hauptquantenzahl n = 3 (in der M-Schale)

l = 0 (3 s), m = 0: 1 Möglichkeit,l = 1 (3 p), m =−1, 0, +1: 3 Möglichkeiten,l = 2 (3 d), m =−2, −1, 0, +1, +2: 5 Möglichkeiten.

Die Summe dieser Möglichkeiten in der M-Schale ist

1 + 3 + 5 = 9 = 3 2 = n 2 . (3)

In der K-Schale (n = 1) sind dies 1, in der L-Schale (n = 2) 4, in der N-Schale (n = 4) 16 Möglichkeiten.

d) Elektronenspin; SpinquantenzahlBeim H-Atom gehört zu jeder Hauptquantenzahl n die Energie W n ~ −1/ n 2 und eine Spektrallinie. Bei ge-nauem Hinsehen spalten aber auch Niveaus mit l = 0, deren Orbitale unmagnetisch sind, in starken B-Feldern in 2 Linien auf.Dies zeigt: Klassisch gesehen verhält sich jedes Elektron selbst wie ein rotierender Kreisel. Man spricht vom Elektronenspin. Da es geladen ist, wirkt er wie ein ma-gnetischer Dipol. Diese Dipole sind z. B. in den 3 d-Orbi-talen von Eisen ausgerichtet und bilden die Elementar-magnete. Diese machen Eisen ferromagnetisch.

Allerdings sind nur zwei Spinstellungen möglich, gekenn-zeichnet mit den Spinquantenzahlen  s =+  1 _ 2   („Spin auf“ ↑) und s =−  1 _ 2   („Spin ab“ ↓). Dies verdoppelt die n 2 Möglichkeiten von Gl. 3. Man findet so in der

K-Schale (n = 1) 2 · 1 2 = 2 Möglichkeiten,L-Schale (n = 2) 2 · 2 2 = 8 Möglichkeiten,M-Schale (n = 3) 2 · 3 2 = 18 Möglichkeiten.

e) Pauliverbot erzwingt PeriodensystemAuf die Zahl dieser Möglichkeiten greift das Pauliverbot zu. Es verbietet, dass jede Kombination von Quanten-zahlen (z. B. n = 2, l = 1, m =−1, s =− 1 _ 2 ) mit mehr als einem Elektron besetzt wird.

Im Wasserstoff-Atom (H) kann das Elektron der K-Schale (n = 1, l = 0 die Spinquantenzahl s =+ 1 _ 2 (↑) oder s =− 1 _ 2 (↓) annehmen ‹T 1 . Dies gibt die genannten zwei Möglichkeiten.Im Helium-Atom (He) tritt in der K-Schale ein zweites Elektron hinzu, wegen des Pauliverbots mit entgegen-gesetztem Spin (↑↓). Für ein drittes Elektron gibt es keine dritte Spinrichtung, sozusagen „keinen Platz“.Im Lithium-Atom (Li) besetzen zwei Elektronen die K-Schale mit 1 s-Orbitalen und antiparallelem Spin (↑↓).

•••

•••

Das Pauliverbot zwingt das dritte Elektron in die energe-tisch höhere L-Schale mit n = 2. Wegen des 4-fachen Kernabstands und der Abschirmung durch die beiden 1 s-Elektronen lässt sich dieses 2 s-Elektron leicht vom Li-Atom lösen, sodass ein Li + -Ion entsteht. Auch ist die Ablösearbeit W A beim ‹ Photoeffekt klein. Dieses dritte Elektron kann aber auch mit demselben Elektron eines zweiten Li-Atom seinen Spin antiparallel (↑↓) stellen und so ein Li 2 -Molekül bilden. Lithium ist als Alkalimetall wegen des einen Elektrons in einem s-Niveau reaktions-freudig. Dies gilt auch z. B. für Natrium (Na) in ‹T 1 .Im Beryllium (Be) füllt das vierte Elektron mit entge-gengesetztem Spin die sog. 2 s-Unterschale.In Bor (B) tritt das fünfte Elektron in die 2 p-Unterschale. Neon (Ne) hat die Ordnungszahl Z = 10, also 10 Elektro-nen. Diese besetzen nach ‹T 1 die K- und die L-Schale vollständig. Dies gibt dem Atom wieder eine Kugelsymme-trie, ohne Vorzugsrichtung. Ne geht keine Bindungen ein, es ist ein einatomiges Edelgas.

Was zeigen die Orbitalbilder?Die hier gezeigten Atom-Orbitale zeigen nicht etwas Körperliches, nicht verteilte Elektronen-Substanz, keine verschmierte Ladung, nichts Reales, das man messen, mit Händen greifen könnte. Sie zeigen Ψ-Funktionen, die als Rechengröße eingeführt wurden, z. B. um die Antreff-wahrscheinlichkeit |Ψ | 2 des stets punktförmig angetrof-fenen Elektrons anzugeben. Als rotierende Zeiger be-schreiben sie auch das Interferenzverhalten des Elektrons, die de Broglie-Wellen.

Element Z 1 s 2 s 2 p 3 s 3 pH 1 1He 2 2Li 3 2 1Be 4 2 2B 5 2 2 1C 6 2 2 2N 7 2 2 3O 8 2 2 4F 9 2 2 5

Ne 10 2 2 6Na 11 2 2 6 1Mg 12 2 2 6 2Al 13 2 2 6 2 1

T 1 Anfang des Periodensystems; Z: Ordnungszahl; Edel-gase fett gesetzt.