15. Juli 2013

Rechenvorteile - wie ich mir das Rechnen erleichtere und Ergebnisse

sichere (zum Mitmachen für Jung und Alt;

mit Rechenhilfen- und Literaturausstellung)

Rechnen wie damals (VI)

Rudolf-Steiner-Schule, Gröbenzell 15.7.2013

In memoriam Peter Koppelstätter; verstorben 8/2012

Klaus Kühn 1

15. Juli 2013

Zur Geschichte des Rechnens

Klaus Kühn 2

„Der Gebrauch der Hände und Füße beim Zählen führte naturgemäß sehr früh zu einer für die weitere Entwicklung entscheidenden Erfindung: zur Gliederung der Zählreihe, zum Zahlensystem. Fast allgemein trat zuerst ein Fünfer - später das reine Zehnersystem auf…“ (gibt auch 6er; 12er; 20er) – aus Fritz Müller: Im Anfang war die Zahl, Zürich 1953

Abbildung aus K. Zepf: Grundzüge der Geschichte des Rechnens, Karlsruhe 1906 – gibt allerdings auch andere Darstellungen (Wikipedia)

1200 v.Chr.

500 n.Chr.

1000 n.Chr.

1200 n.Chr. Fibonacci, indische Ziffern

15. Juli 2013

Blitzrechnen • Multiplikation mit 11

22 x 11… 2+2=4, kommt zwischen 2und2 => 242

52 x 11 = 5(5+2)2 =>572

87 x 11= 8(8+7=15)7 => 957

137 x 11 = 1(1+3=4;3+7=10; 40+10=50)7 => 1507

• Quadrieren bei 5 als Einer

25²… 25 liegt zwischen 20 und 30 =>2x3= 6

Plus 5 x 5 = 25 => 625 (oder 600+25)

Klaus Kühn 3

15. Juli 2013

Der Bauer, seine 6 Söhne und 36 Kühe

• Jeder Sohn soll die gleiche Zahl an Kühen erben. Wie viele bekommt jeder Sohn ?

36 : 6 = 15 (Division)

6

30

Klaus Kühn 4

(Multiplikation) 15 x 6 = 5 x 6 = 30 plus 1 x 6 = 36

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

3 6

(Addition)

15. Juli 2013

Addieren (Zusammenzählen)

100 - 1 = 99

100 - 5 = 95

100 - 11 = 89

100 - 25 = 75

400 - 42 = 358

Klaus Kühn 5

43 + 3 + 40

38 - 2 + 40

39 - 1 + 40

45 + 5 + 40

41 + 1 + 40

39 - 1 + 40

42 + 2 + 40

287 + 7 + 280 (7 x 40)

43

38

39

45

41

37

42

285 + 5

67 + 28 (20+8) ---------------- 87 + 8 = 95

759 + 496 (500-4) ---------------- 1259 - 4 = 1255

15. Juli 2013

Gauss´sche Aufgabe

Klaus Kühn 6

Abbildung aus: Kristin Dahl, Sven Nordquist: Zahlen, Spiralen und magische Quadrate – Mathe für jeden; Verlag Friedrich Oetinger, Hamburg 1996

15. Juli 2013

Subtrahieren (Abziehen)

8965 Gewöhnungsbedürftige Frage:

- 3674 Wieviel plus 4 ist 5 ? = 1 ; Wieviel plus 7 ist 6 ? (= 9, eins im Sinn)

5291

Klaus Kühn 7

86 -25 (-20 -5) ----- 66 – 5 = 61

15. Juli 2013

Symbolrechnen – nicht so schwer (nur plus)

Klaus Kühn 8

15. Juli 2013

Johannes Widman 1489

„Lern wol mit vleiß daß eyn mol eyn

Szo wirt dir alle Rechnung gemeyn..“

Klaus Kühn 9

Das kleine Einmal Eins

nach: Napier´s Rechenstäbchen

von 1617

15. Juli 2013

Multiplizieren (Malnehmen)

Klaus Kühn 10

• Mit den Napier´schen Rechenstäbchen

John Napier, Lord of Merchiston (Schottland) 1550 – 1617 Erfinder der Logarithmen 1. Logarithmentafel 1614 (Nächstes Jahr 2014 => 400 Jahre Logarithmen 2. Rechenstäbchen (Rabdologia 1617)

15. Juli 2013

5 6

Klaus Kühn 11

15. Juli 2013

5 6

1 1

3 4

2 0 7 2

8

2

5

5

1 1

Klaus Kühn 12

15. Juli 2013

4 5 6

Klaus Kühn 13

15. Juli 2013

4 5 6

1 1 1

2 3 4

2 3 3

8

2

6

5

5

0

2

8

4

6 5 4 1 1 2

7 2

Klaus Kühn 14

15. Juli 2013

4 5 6

1 1 1

2 3 4

2 3 3

8

2

6

5

5

0

2

8

4

6 5 4

1

7

1

Klaus Kühn 15

15. Juli 2013

Multiplizieren (Malnehmen)

Klaus Kühn 16

FERROL

|x| 1 x 1

18

17

6 Einer: 8 x 7 = 56 Einer

0 Zehner: (1 x 8) plus (1 x 7) = 15 Zehner plus 5 Zehner aus 56 = 20 Zehner

3 Hunderter: 1 x 1 plus 2 aus 20 Zehnern = 3

306

8 x 25 = 4 x 50 = 2 x 100

24 x 60 = 12 x 120 = 1440

37 x 34 = 37 + 4 = 41 x 30 (aus 34) = 1230 plus 4 x 7 = 28 = 1258

15. Juli 2013

Multiplizieren (Malnehmen)

8 x 25 = 4 x 50 = 2 x 100 = 200

24 x 60 = 12 x 120 1440

37 x 34 = 37 + 4 = 41 x 30 (aus 34) = 1230 plus 4 x 7 = 28 = 1258

23 x 27 nach Quadieren (a+b) x (a-b) = a² - b²

Klaus Kühn 17

F. FERROL (1913)

|x| 1 x 1

18

17

6 Einer: 8 x 7 = 56 Einer

0 Zehner: (1 x 8) plus (1 x 7) = 15 Zehner plus 5 Zehner aus 56 = 20 Zehner

3 Hunderter: 1 x 1 plus 2 aus 20 Zehnern = 3 Hunderter

306

Zerlegen: 38 x 8 = (30 x 8) + (8 x 8) = 240 + 64 = 304

Pietro Cataneo (Architekt, Siena 16. Jh.) Maximos Planudes (Byzanti-nischer Mönch, um 1300) Nach Tropfke

15. Juli 2013

Multiplizieren von 2 – und 3- stelligen Faktoren gleicher Zehner (und Hunderter)

Aufgabe Faktor x Faktor

1. Zwischen-rechnung

2. Zwischen-rechnung

Plus Einer x Einer

= Produkt

17 x 18 = 170 + 80 = 250 Mal 1 = 250 Plus 7 x 8 = 56 = 306

Klaus Kühn 18

Aufgabe Faktor x Faktor

1. Zwischen-rechnung

2. Zwischen-rechnung

Plus Einer x Einer

= Produkt

17 x 18 = 170 + 80 = 250 Mal 1 = 250 Plus 7 x 8 = 56 = 306

27 x 28 = 270 + 80 = 350 Mal 2 = 700 Plus 7 x 8 = 56 = 756

Aufgabe Faktor x Faktor

1. Zwischen-rechnung

2. Zwischen-rechnung

Plus Einer x Einer

= Produkt

17 x 18 = 170 + 80 = 250 Mal 1 = 250 Plus 7 x 8 = 56 = 306

27 x 28 = 270 + 80 = 350 Mal 2 = 700 Plus 7 x 8 = 56 = 756

37 x 38 = 370 + 80 = 450 Mal 3 = 1350 Plus 7 x 8 = 56 = 1406

Aufgabe Faktor x Faktor

1. Zwischen-rechnung

2. Zwischen-rechnung

Plus Einer x Einer

= Produkt

17 x 18 = 170 + 80 = 250 Mal 1 = 250 Plus 7 x 8 = 56 = 306

27 x 28 = 270 + 80 = 350 Mal 2 = 700 Plus 7 x 8 = 56 = 756

37 x 38 = 370 + 80 = 450 Mal 3 = 1350 Plus 7 x 8 = 56 = 1406

137 x 138 = 1370 + 80 = 1450

Mal 13 = 18850 Plus 56 = 18906

13 x 1450 = 13 x 1400 = 18200

Plus 13 x 50 = 13 x (100 : 2) =

650 = 18850

Plus 56 = 18906

15. Juli 2013

Multiplizieren (Malnehmen)

Klaus Kühn 19

• „Russische Methode“

https://www.youtube.com/watch?v=rkvffivt2E0

15. Juli 2013

Quadrieren

Klaus Kühn 20

25² = 25 x 25 25 liegt zwischen 20 und 30

600 Zehner mal Zehner = 20 x 30 = 600

6 oder 6 Hunderter

25 Einer mal Einer = 5 x 5 = 25

625

35² ?

13²

16

10 13 - 3

160 + 3² = 160 + 9 = 169 13 +3

X

15. Juli 2013

Dividieren (Teilen)

Klaus Kühn 21

Divisor 5 = Dividend mal 2 durch 10

einfach 10 : 5 = 10 mal 2 durch 10 = 20 : 10 = 2

mittel 56 : 5 = 56 mal 2 durch 10 = 112 : 10 = 11,2

schwer 8555 : 5 = 8555 mal 2 durch 10 = 17110 : 10 = 1711

andere Divisoren ähnlich: Faktor für 100 oder 1000 bestimmen

8555

2

17110

15. Juli 2013

Radizieren (Wurzelziehen)

Klaus Kühn 22

Aus MatheMagie: A. Benjamin + M. Shermer

15. Juli 2013

Radizieren (Wurzelziehen)

Klaus Kühn 23

Wichtige Voraussetzung: Wurzeln müssen immer aufgehen

Hilfstabelle für Endziffern

generell ungerade Wurzelexponenten schwerer zu berechnen

1. Potenz 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1. Beispiel 2. Wurzel aus 1444 = 2√14´44 2. Potenz 1 4 9 6 5 6 9 4 1

Ergebnis = 2-stellig 3. Potenz 1 8 7 4 5 6 3 2 9

3² = 9 4. Potenz 1 6 1 6 5 6 1 6 1

4² = 16 4 zu groß,daher 1. Ziffer = 3 5. Potenz 1 2 3 4 5 6 7 8 9

√14 ist näher bei der 4, daher 2. Ziffer = 8

Ergebnis = 38

2. Beispiel 3. Wurzel aus 54872 = 3√54´872

Ergebnis = 2-stellig, da [5 : 3] = 2 (aufgerundet)

Endziffer des Radikanden = 2, daher letzte Ergebnisziffer = 8

3. Wurzel aus 54 liegt zwischen 3 und 4

4 zu groß,daher 1. Ziffer = 3

Ergebnis = 38

15. Juli 2013

Neunerprobe

Klaus Kühn 24

Multiplikation25 x 40 = 1000

Quersumme von 25 = 7 (Faktor) 1

von 40 = 4 x (Faktor) 7 X 4 7 x 4 = 28; Neunerrest = 1

von 1000 = 1 = (Produkt) 1 Neunerrest von 28

Division999559 : 979 = 1021

Quersumme von 999559 = 1 (Dividend) 1

von 979 = 7 : (Divisor) 4 x 7 4 x 7 = 28; Neunerrest des Dividenden = 1

von 1021 = 4 = (Quotient) 1 Neunerrest von 28

15. Juli 2013

Symbolrechnen – schwer (alle 4 Rechenarten)

Klaus Kühn 25

15. Juli 2013

Zahlenbäume

Klaus Kühn 26

1² = 1

11² = 121

111² = 12321

1111² = 1234321

……….. ………….

12² = 144

102² = 10404

1002² = 1004004

………. …………….

211² = 44521

20101² = 404050201

2001001² = 4004005002001

………….…. …………………….…….

(1 x 8) + 1 = 9

(12 x 8) + 2 = 98

(123 x 8) + 3 = 987

(1234 x 8) + 4 = 9876

(12345 x 8) + 5 = 98765

……………………………….. ………………….

101 + 1 = 11

102 + 1 = 101

103 + 1 = 1001

104 + 1 = 10001

………… ………….

1 = 1²

1 + 2 + 1 = 2²

1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 3²

1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 4²

……………………..…………….. ..

15. Juli 2013

Pascal´sches Dreieck

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

Klaus Kühn 27

Zeilen-Summe Zeile

1 0

2 1

4 2

8 3

16 4

32 5

64 6

128 7

256 8 womit

wir wieder bei den Logarith

men wären….

.

15. Juli 2013

Links und Literatur

Klaus Kühn 28

Wichtige Links: www.rechnerlexikon.de www.janko.at

15. Juli 2013 Klaus Kühn 29

Jahr Autor, Nachname -

Vorname Coautoren Titel Auflage Verlag Ort

2007 Benjamin, Arthur Shermer, Michael MatheMagie 7 Heyne München

1920 Bojko, J. Lehrbuch der Rechenvorteile; Schnellrechnen und Rechenkunst B.G. Teubner Leipzig, Berlin

1996 Dahl, Kristin Nordquist, Sven Zahlen, Spiralen und magische Quadrate – Mathe für jeden; Verlag Friedrich Oetinger, Hamburg

1990 Deschauer, Stefan Ein Beitrag zur Geschichte des Kopfrechnens

Mathematische Semesterberichte; Band XXXVII/ Heft 1

Vandenhoeck&Ruprecht Göttingen

1913 Ferrol, F. Das Ferrol´sche neue Rechnungsverfahren 5 Franz Josef Huthmacher Bonn

1934 Ferrol, F. Das Original-Dr.Ferrol´sche Neue Rechnungsverfahren 13-27 Verlag Dr. Weiler&Co Köln

1932 Fischer, P.B. Müller-Kutnewsky: Aufgabensammlung zur Arithmetik, Algebra und Analysis

18 B.G. Teubner Leipzig Berlin

1937 Hogben, Lancelot Mathematics for the Million 2 (8. Druck) George Allen & Unwin Ltd. London

Hogben, Lancelot Mathematik für Alle Büchergilde Gutenberg Frankfurt am Main

1884 Kleyer, A. Kleyers Enzyklopädie

Lehrbuch der der Potenzen und Wurzeln Logarithmen nebst einer Sammlung von 3296 gelösten & ungelösten Beispielen zum Gebrauch an niederen und höheren Schulen, sowie zum rationellen Selbststudium

Julius Maier Stuttgart

1893 Kleyer, A. Dr. Richard Olbricht; Kleyers Enzyklopädie

Lehrbuch der Prozent- und Zinsrechnung nebst ihren Anwendungen, mit EInschluss der Diskontrechnung, der Terminrechnung, der Klakulationen und Kontokorrente mit 130 Fragen, 444 Erklärungen, 27 Anmerkungen, 1520 Aufgaben, zahlreichen schematischen Figuren, einer Fristen- und Zinsberechnungs-tabelle, sowie den Ergebnissen der nicht gelösten Aufgaben

Lehrbuch des bürgerlichen und kauf-männischen Rechnens; 2. Teil

Julius Maier Stuttgart

1941 Kruckenberg, A. Rechenbuch für Volksschulen - Erstes und Zweites Schuljahr Heft 1 Deutscher Schulbuch Verlag Berlin

1870 Lamberger, Alexander Der Österreichische Rechenmeister Buchholz und Diebel Troppau

1918 Maennchen, Philipp Geheimnisse der Rechenkünstler 2 B.G. Teubner Leipzig, Berlin

1910? Miniaturbibliothek Vorteile beim Schnellrechnen - die 4 Spezies Band 61 Albert Otto Paul Leipzig

1910? Miniaturbibliothek Cato, Otto Vorteile beim Schnellrechnen - - Dezimalbrüche, Kettensatz, Zerfällungsmethode

Band 62 Albert Otto Paul Leipzig

1923 Pietzker, F. Presler, O.; Mohrmann G.

Dr. E. Bardeys Aufgabensammlung methodisch geordnet, mehr als 9000 Aufgaben enthaltend

11 Teubner Leipzig Berlin

1835 Vega, Georg Freiherr von Vorlesungen über die Mathematik - Zweiter BandTheoretische und praktische Geometrie -Durchgesehen von Wilhelm Matzka

7 F. Tendler Buchhändler Wien

1850 Vega, Georg Freiherr von Vorlesungen über die Mathematik - Erster Band Rechenkunst und Algebra - Überarbeitet von Wilhelm Matzka

7 Beck´s Universitätsbuchhandlung

Wien

1922 Witting, Alexander Abgekürzte Rechnung nebst einer Einführung in die Rechnung mit Logarithmen

B.G. Teubner Leipzig, Berlin

15. Juli 2013

Rechnen wie damals (VII)

Klaus Kühn 30

Rudolf-Steiner-Schule, Gröbenzell am 21. Oktober 2013

Rechnen mit Tönen – wie Pythagoras vor 2500 Jahren

die Tonleiter errechnete und was später (bis heute) daraus

wurde