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R e e l l - a n a l y t i s c h e S t r u k t u r e n

d e r A l e x a n d r o t t - H a l b g e r a d e n u n d d e r A l e x a n d r o t f - G e r a d e n

Von HELLMUTH KI~E$~R in Tiibingen und ~ I ~ K~v.sv.~ in Miinchen

Die Gesamthe i t A + tier Paa re (g, ~ ) , (0,0) aus einer Ordnungszahl # < ~ol und einer reel len Zahl ~ m i t 0 < ~ < 1, l ex ikograph i sch geordne t und mi t der Ordnungs- topologie versehen, heiSe die Alexandrof f -Halbgerade . W i r stel len ihr ein zweites E x e m p l a r A - m i t tier en tgegengese tz ten Ordnung zur Seite und bf lden mi t e inem weiteren E l emen t 0 die geordne te Menge A = A - + {0} + A+. Diese, ebenfal ls mi t der Ordnungstopologie versehen, heige Alexandrof f -Gerade (s. [1] des L i t e ra tu rve r - zeichnisses). Sowohl A+ und A - wie A sind zusammenh~ngende e indimensionale Mannigfa l t igke i ten l ) . Der )~Itere yon uns ha~ vor einiger Zei t gezeigt [2], dab m a n sowohl A+ wie A m i t e iner ree l l -ana ly t i schen S t r u k t u r versehen kann, und w a f t dabei die F r a g e auf, ob e twa alle solehe S t r u k t u r e n yon A bzw. yon A+ i somorph seien. Diese F r a g e wird bier m i t nein bean twor te t . Einige andere Aussagen aus demselben Fragenkre i s ergeben sieh a u f dem Wege zu dieser A n t w o r t oder schlieBen sieh an.

Wir be t r ach t en a u f A eine feste ree l l -analy t i sehe S t r u k t u r und bezeiehnen ffir z e A m i t A z bzw. Az den Absehn i t t der x e A m i t x > z, bzw. x < z, versehen m i t de r yon A induz ie r ten ana ly t i sehen S t ruk tu r . D a alle Absehn i t t e A z zu A+ homSomorph sind 2)~ f01gt die B e h a u p t u n g fiber A + aus dem

8atz 1. Zwei verschiedene Ab~chnitte A ~ und A z sind nicht reeU-analytisch hom6o- morph.

Von zwei Abschn i t t en Au und A z i s t e iner ein Abschn i t t des anderen u n d beide homSomorph zu A +; es geni igt daher , zu zeigen, dab eine ree l l -analy t i sche Alexandroff- Ha lbge rade A + zu ke inem ihrer Abschn i t t e A z i somorph ist , daI~ es also keine biholo- morphe A b b i l d u n g yon A + au f A z gibt . Das folgt aus dem sch~rferen

Satz 2: Jede holomqrphe Abbildung / v o n A + in sich ist entweder ]constant oder die Identitgt.

1) Der einfache Beweis seheint noeh nicht ver6ffentlicht zu sein. Man beweist gleich, dab jeder Ausschnitt Bx~ = {(/~, ~) I ~ ~ / ~ < ~t) yon A + mit 0 -~ ~ < ~ < wl der Halbgeraden ~ ~ 0 und damit jeder Strecke ~ ~ T < ~ ordnungsisomorph ist. Das stimmt fiir 2 = ~ -b 1. Istaber ~ + 1

2 '< wl und ist der Satz richtig fiir alle 2 mit ~ < 2 ~ ~', so setzt sich im l~alle 2" = 2" ~- 1 der Ausschnitt B=~, zusammen aus B~,, und Bz'~" ~- ((/~, ~)l~ ~ 2"). Ist aber 2' Limeszshl, so sei ~r = 2~< 22 < "" eine gegen ~' strebende 1%lge; dann besteht B ~ aus den naeh der Induktions- annahme den Strecken v ~ ~ < v + 1 ordnungsisomorphen Aussehnitten B~x~+~.

2) Ist y < z <~ w, so kann man {x}y < x < w) nach 1) ordnungstreu auf {x] z < x < w)abbilden.

Vol. XI, 1960 Alexandroff-Halbgerade und Alexandroff-Gerade 105

D a f e s nur so wenige holomorphe Selbstabbfldungen yon A + gibt, liegt daran, dab schon die stetigen Abbildungen starken Einschr~nkungen unterliegen. Wir be- trachten allgemeiner Abbfldungen yon A + in A und bezelchnen mit x --> ~ ~ den Grenziibergang wachsender x in A oder A+, mit x--> - - ~ den fallender x in A. Dann gilt

Satz 3. .Fl i t ]ede stetige Abbildung / yon A + in A gilt eine der /olgenden Aussagen:

a) / i s t au/ einem Abschnitt A z konstant,

b) lira ] (x) = + r

c) r tml(x)= - ~ .

Zwei Abbildungen ] und g der Klasse b) (ebenso nati~rlich der Klasse c)) haben in jedem Abschnitt AY Koinzidenzpunkte, also Punkte z , / i~r d i e / ( z ) = g(z) ist.

Hieraus folgt sofort der Satz 2. Da A + in A nach unten beschrs ist, scheidet fiir eine Selbstabbildung f yon A + d e r Fall c) aus. I s t / holomorph und gil t a), so ist / auf ganz A + konstant, da A + zusammenh~ngend ist. IAegt aber der Fall b) vor, so besitzt / in jedem Abschnitt AY Koinzidenzpunkte mit der Identi t~t g(x) = x, d. h. Fixpunkte. Sei zl ein Fixpunkt y o n / , z~ ein Fixpunkt in A z, usw., allgemein zn+l ein Fixpunkt yon ] in Azn. Dann ist die Folge zl, z~ . . . . monoton wachsend und konvergiert daher gegen einen Punkt z s). Dieser ist H~ufungspunkt yon Fix- punkten yon ]. Daher ist / in einer Umgebung yon z, also in ganz A +, die Identit~t.

B e w e i s y o n S a t z 3. Liegt ffir die Abbildung ] keiner der F~lle b) oder c) vor, so gibt es Punkte u und v aus A 4erart, d a f / in jedem Abschnitt AY yon A + Werte zwischen u und V annimmt. Da das Intervall u _~ x ~ v einem abgeschlossenen Intervall reeller Zahlen homSomorph ist2), besitzt ](x) ffir x --> ~ r einen H~u- fungspunkt a. Wit zeigen, d a f sogar lira ](x) ~- a ist. Andernfalls g~be es n~mlich

x-~§ co eine monoton wachsende Folge xl, x2 . . . . aus A + derart, d a f die Folge /(xun-1) gegen a konvergiert, die Folge/(x2n) abet nicht, und das widerspricht der Stetigkeit yon f i m Punkte x = lira xn. I s t nun U1, Us . . . . eine Umgebungsbasis yon a, so

liegt / (x) in Un ffir x > zn und daher in Un = {a} fiir x > z = lira zn ; / ist also i n A z konstant, wie behauptet war. n=l n-.~

Sind nun / und g zwei Abbildungen der Klasse b) und ist ein Abschnitt AY yon A + gegeben, so w~hlen wir xl beliebig in AY, und dann x2n > x2n-1 so, da f ](x2n) > > g(x2n-1) ist und x2n+l > x~n so, daft g(x~n+l) > / ( x 2 n ) wird. Wegen der Stetig- keit yon / und g im Punkte x = ~ n xn ist dann

lim g(x~+l) >= lira ](x2~) >= lira g(x2n-1),

a l s o / ( x ) = g (x).

3) Jede abz~hlbare Menge yon Ordnungszahlen unter eo~ ha t eine obere Schranke un te r eo~; daher ha t jeder abz~hlbare Tell yon A + eine obere Schranke in A + und l ieg t mi t samt dieser in e inem der Zahlengeraden ordnungsisomorphen Ausschnit t yon A+. In diesem Ausschni t t gil t der Satz yon der oberen Grenze.

106 H. KNES~R und M. K~s~a A~Cm ~arn.

Die bisher konstruierten reell-analytischen Alexandroff-Halbgeraden waren Ab- sehnitte einer festen Alexandroff-Geraden. Greift man davon zwei heraus, so ist also eine einem Absehnitt der andersen isomorph. Das ist nicht allgemein so:

Satz 4. Es gibt zwei reell-analytische Alexandroff-Halbgeraden, yon denen sich keine nicht ]constant und holomorph in die andere abbilden lii[3t.

Zum B e w e i s sei A+ wieder mi t einer analytischen Struktur versehen, y ein Punkt yon A+ und r eine biholomorphe Abbildung einer Umgebung U yon y auf ein Inter- vall I der Zahlengeraden; der Einfaehheit halber nehmen ~Sr an, dal3 q0 (y) = 0 und monoton wachsend ist. Wit erld~ren nun auf A + eine neue analytische Struktur, indem wir auf dem Komplement yon y die urspriingliche Struktur beibehalten, in U aber die Abbildung ~ dureh Z = ~v o ~ ersetzen, mit einer in I erkl~rten monoton waehsenden und stetigen Funktion ~v(t), die ffir t =~ 0 holomorph ist und b e i t : 0 den Wert 0 annimmt. Machen wir das mit zwei verschiedenen Funktionen ~vl und ~v2, so erhalten wir zwei reell-analytische Manrdgfaltigkeiten A~ und A~, die als topo- logische Rs fibereinstimmen, sieh aber in ihrer analytischen Struktur unter- seheiden kSnnen. I s t nun / eine niehtkonstante, holomorphe Abbildung von A~ in A~, so folgt - - da die beiden Strukturen auf Au fibereinstimmen -=- wieder nach Satz 3, dal3 / auf Ay die Identi t~t ist. Die Funktion Z2 o ] o g~l s t immt also ff i r t > 0 mit Z.o o Z~ 1 = ~0s o ~v~ 1 fiberein und setzt diese fiber t = 0 hinaus analytiseh fort. Das ist aber unmSglich, wenn man z. B.

setzt, mi t positiven Konstanten ~1, ~e, yon denen keine ein ganzes Vielfaehes der anderen ist.

Satz 5. Auch au/ der AlexandrorJ-Geraden A gibt es nichtisomorphe reeU-analgtische Strul~turen.

Bewe i s . Ni t einer reell-analytisehen _~lexandroff-Geraden A, einem Punkt y yon A und einer biholomorphen Abbfldung q0 einer Umgebung yon y maehen wir dieselbe Konstruktion wie oben mit A +, nur dab wit diesmal drei Konstanten ~1, ~s, e3, nehmen und demgem~B drei analytisehe Strukturen .A~, A2, A3, auf A erhalten. Dasselbe Argument Me oben zei~, dab es keine die Anordnung erhaltende Iso- morphie zwisehen zweien yon diesen geben kann.. W/iren sie also alle drei isomorph, so g/~be es Isomorphien /~ yon At und As soMe [s yon As auf A~, welehe die An- ordnung umkehren ; / s o/~ w~re 4ann aber eine ordnungserhaltende Isomorphie yon A~ auf As, und das kann nicht sein.

Literaturverzeichnis

[I] P. ALEXA_~I)RO~, Uber die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen R~ume. Math. Ann. 92, 295--301 (1924). Vorl~ufer sind: G. CANTOR, Math. Ann. 21 (1883) S.552, Ges. Abh. (1932) S. 171, und L. VIETORIS, Monatsh. fi Math. u. Phys. 31, 183--184 (1921).

[2] H. KI~ESER, Analytische Struktur und _~bz~hlbarkeit. Ann. Acad. Sci. Fennicae A/I. 251/5 (1958).

Eingegangen" am 1.8. 1959