Reihenentwicklung der e-Funktion

Es ist bereits nachgewiesen, dass Formelist.

Aufgrund des Allgemeinen Binomischen Lehrsatzes gilt folgende Abschtzung:

Formel

Wir zeigen, dass der Grenzwert Formel existiert und gleich einer von x abhngigen Zahl s(x) ist, indem wir eine eine konvergente Majorante nach dem Quotientenkriterium angeben:

Es gibt eine Zahl q < 1 , so dass fr alle hinreichend groen Formelgilt:

Formel.

Es folgt dann:

Formel

usw., allgemein also:Formel.

Damit gilt fr hinreichend groe i :

Formel

und die rechte Seite ist eine konvergente Majorante in Form einer Geometrischen Reihe .

Deshalb konvergiert auch Formel,

und es sei

Formel.

Wir haben also:

Formel

FormelAls nchstes zeigen wir, dass auch Formelist:

Formel

Wenn man nun fr alle n > k nur bis zu k aufsummiert, ergibt sich:

Formel

Lsst man fr festes k jetzt Formelgehen, so gilt:

Formel.

Lsst man jetzt Formelgehen, so gilt:

Formel

Formel

Daraus erhlt man nun Formelund die Reihendarstellung fr Formel:

Formel

Formel

q.e.d.