Reihenentwicklungen vom SIEGERschen Typus ffir die Sph~roid-Funktionen

V o n ~OSEF ~EIXNER in A a c h e n

1. Einleiiung. Fiir die LSsungen der Differentialgleichnng der Sphiroid-Funktionen

L,]_~ (~2--1) d'f df ( ~ )

kennt man seit I~IVEN 1) Reihenentwicklungen naeh Kugelfunktionen und solche naeh Zylinder- funktionen; sie sind yon CHU und STRXTTON 2) auf behebige Werte der Parameter erweitert worden. Die Konvergenzbereiche dieser Reihen sind derart, dab fiir jedes $ =~ 4- t , oo eine konvergente Entwicklung angegeben werden kann, die grundsitzlich zur numerischen Berechnnng tier Spharoid- Funktionen geeignet ist. Doch ist die Konvergenz, auch in praktiseh wichtigen Fallen, gelegent- lieh so langsam, dab man entweder auf die direkte numerische Integration der Differentialglei- chung (1) zurfiekgreifen muB oder dab man versuchen muB, andere geeignete Darstellungen der Spharoid-Funktionen zu linden.

Im Falle/~ = 4- 1/2 geht die Differentialgleichung (1) naeh Ausfiihmng einer einfachen Trans- formation in die M_~THIEusche Differentialgleichnng fiber. Ffir ihre LSsungen hat SIEGE~ 3) in einer Arbeit fiber die Beugung elektromagnetischer Wellen am elliptisehen Zylinder Reihenent- wicklnngen hergeleitet, deren Glieder Produkte yon Zylinderiunktionen mit verschiedenen Argu- menten sind. Sie sind wegen ihrer raschen Konvergenz ffir die numerische Berechnung der M~THIEU- schen Funktionen in vielen Fallen besonders geeignet.

Es liegt daher nahe, diese Entwieklungen auf den allgemeinen Fall ~ 4= 4- 1/2 zu iibertragen, wie das sehon STRUTT 4) angedeutet hat und das Bildungsgesetz ihrer Koeffizienten zu ermitteln. Dies gelingt in dem fiir die Anwendungen wichtigen Fall, dab i ein Eigenwert der Differentialglei- chung (1) ist, d .h. fiir solche Wahl yon I , dab es eine in -- 1 <= ~ ~ + i besehdiakte L6sung yon (1) gibt, welche wir Eigenfunktion yon (1) nennen.

2. Einige Eigensehaften der Sph~roid-Funktionen. Die Differentialgleichung der Sph~roid- Funktionen ergibt sieh, wenn man die Wellengleiehung A u + k 2 u = 0 in rotationssymmetrisehen elliptischen Koordinaten, welche durch

x ---- c ]/(~2--1) (1-- @ cos~, y = c ] / ( ~ - - 1 ) (1-- V2) sin~, z = c ~ ~ (2)

1) C. N i w ~ , Philos. Trans. Roy. Soc. London, 171, 117 (1880). 2) L. CHu und J .A . STaATTON, Journ. Ylath. Physics, 20, 259 (1941). 3) B. SIEG~R, Ann. d. Physik (4) 27, 626 (1908). 4) i~. ,]'. O. STRUTT, LAM~sche, I~ATHIEusche und verwandte Funktionen in Physik und Tech-

nik, Ergebnisse der i~athematik und ihrer Grenzgebiete 1, 199 (1932) (vgl. insbesondere S. 280).

Reihenentwieklungen yore S~.~aschen Typus flit die Sph~roid-Fnaktionen 433

definiert sind, separiert. Zur Abkfirzung ist y ---- k c gesetzt. Fiir Wellenfunktionen mit der ~- Abh~ngigkeit e~ ~p l~J]t sich die Wellengleichung auch in der Gestalt

(L~ - 4 ) ~ -- o (3) schreiben, worin L~ bzw. -L v der in (1) definierte Differentialoperator ist.

Es gilt der Satz- Ist 2. ein Eigenwert und ~(~) eine Eigenfunktion yon (1), ist ferner K(~, 7) e ~'~ eine in -- 1 ~ ~ ~ -F i endliche LSsuag der Wellengleichung, d.h. gilt (L~ -- L~) K(~, 7) = 0, so is/;

1

S($) ---- f g($, ~7) Z(~) d ~7 (4) - - 1

eine LSsnag der Differentialgleichung (1) zum selben Weft yon 2. Zum Beweise wende man auf (4) den Operator L~ an, ersetze L# K($, ~]) dutch L~/K($, 7) nad

integriere zweimal partiell. Die BeitrSge yon den Grenzen -- I und + 1 bei der partietlen Inte- gration verschwinden; dean wenn man, was offenbar keine Einschrgnkung bedeutet, Rett ~ 0 voraussetzt, so hat S(~) die Gestalt ( 1 - ~?~)#/2 muttipliziert mit einer ganzen transzendenten Ftmktion in 7- Der Integrand lautet dana K($, 7) Ln S(V) und verschwindet ebenfalls wegen der Voraussetzung L , S(U) = 0 und daher ist auch L~ S(~) ---- 0.

3. Die Reihenentwicklungen. Seien $, ~7, T zuni~chst beliebig komplex, Re # ____ 0. Es ist durch Umschreiben in Kugelkoordinaten leicht zu zeigen, dab die Funktion

�9 ( ~ - - 1) ~ (1 - - ~),-~ (~ + ~ - - 1 ) - f ~-~ - v , ~ , :~ , (5)

wo ~,~ + ,/. eine Zylindeffunktion ist, der Wellengleichung gentigt und wenigstens fiir 181 > 1 in - - 1 _< V ----< + 1 endlich ist. K($, ~7) erfifllt also die flit die Gtiltigkeit yon (4) notwendigen Voraussetzungen.

Wir bemerken nun, dal3 in dem yon den GrSBen ] / ~ + ~72-1, �89 (~ + ~ / ~

�89 (~-- ]/~-1~1) gebildeten Dreieck der Cosinus des Winkels zwischen den beidea letzten Seiten gleich 1 - - 2 ~ ist. Daher liifit sich das bekannte Additionstheorem der Zylindeffunktionen in der Gestalt schreiben

(~ + v ~ - ~ ) -"~ -'~' 3.+,~, (r l / p + ~ - ~ ) = (6)

: 8'~+':' r-"-': ' 1'0, + �89 ~ (/~ +: + �89 :.+:+,:~ (v) 3,,~+~+,:~ :~) d"~'+~:~ [ 1 - - 2 v ~) ]=0

(arg r ]/'~ + v~ - - 1 ~ arg ~,~/8 v ~ arg w f l i t ~ ~ oo)

worin zur Abkiirzung gesetzt ist

= 9. w = + ( 7 )

und die C (.'~+ '/') die GE~B~U~schen Funktionen sin& Ftir die Giiltigkeit yon (6) ist noch vorauszusetzen, dal~

434 J. Y~x~g

Da wir dieses Additionstheerem nur f~ir reelle ~7 im Intervall - - 1 ~ 7 ~ § 1 an- wenden werden, kann die Bedingung (8) auch so geschrieben werden

I f + ] / ~ - 1 1> 1. (9) Wir setzen nun die Reihe (6) in (5) und dann K(~:, 7) in (4) ein und vertausehen

daraufhin Integration und Summation. Dies ist zul/~ssig, da die Reihe (6) wegen der Abschatzungen (41), (43), (44) flit Zylinder- und GEG]~NBAUEnsche Funktionen

durch eine Reihe r ~ [ j~,~-i[. [~: § ] / ~ __ 1 !--~], oder wenn 3,+,/.. ----- J,+~/~, sogar durch eine Reihe r (~). ~, J72il/(16 j! ] !) majorisiert werden kann, worin ~ (~) in jedem abgeschlossenen Bereich tier ~-Ebene, der den Punkt ~ co nicht enthalt, beschrankt ist. Daher ergibt sieh

s(~) = (~2_~),,,/2 ~ (~ + i + �89 & J~+++v~ (~) 3,.+++v, (~) (~o) j = 0

mit 1

A~= f (1--75)"/2"C?+'~)(Z--272) "~(,7)~7 (geff >__ 0). (11) - -1

Die Reihe in (10) ist absoint und gleichmaJ3ig konvergent in jedem abgesehlosse- nen Bereich, der das Intervall - - 1 ~ ~ ~ + 1 und den Punkt ~ ---- co nicht ent- halt, ffir ~.,+]+i/~ = J~+/+~/...sogar., wie man leicht fiberlegt, auch in den Punkten - - 1 _ ~ _ Jr- 1. Ftir die Koeffizienten A/fe lg t aus der Abschatzung (41)

Hm sup ~] A:. ] =< 1. (12) j ~ c o

Die Reihe (10) konvergiert fiir grel]e ] mindestens so gu t wie die geometrische Reihe mit dem Quotienten ]~ + l/~--m--f [ -2, fiir ~ = J so gut wie die Reihe ]hit dem allgemeinen Glied ]y2J[/(16/'! ]!).

Ist S (7) eine in 7 ungerade Funktien, So verschwinden samtliche Koeffizienten Aj. In diesem Fall ist ftir K(~, 7) folgende Funktion zu wahlen

r (~ + .~) S,~+,:.~ (~ ]/~2 §

�9 (~2 + 7 5 _ 1) - . /2- ' / , (~2 _ 1),./2 (1 - - 7~) "/2. ~ 7 , (13)

die mi te ;,"~ multipliziert, ebenfalls eine LSsung der Wellengleiehung gibt. Auf die- selbe Weise wie oben erhalt man mit den gleichen Konvergenzeigenschaften

�9 ~ , s(~) = ( ~ - - 1) "/2. ~ (ff + i ~- ~) c~. �9 J,,+J+~/~ (v) S.,,+j+~/., (~) (14) Y=0

W0 1

c i = f (1 - 75) ,'/2. cJ .~+'/,) (1 - 2 75) . 7 3 ( 7 ) ~ 7 . (15) --1

Reihenentwicklungen yore SmG~aschea Typus fiir die Sphi~roid-Funktionen 435

Es ist zweckmi~Big, (14) mit Hilfe der Beziehung

(,,) ..§ s,,+;+.,: (w):

= 4(2 # + 2j + 3) [J , ,+]+V: (v) 3.~+.i+V... (w) + J~+]+,/= (v) 3.u+j+~t.~ (w) -~ (16)

+ J,,+.,-+,/: (~) 3,,~+.,+:/: (w) + J,,+,.+:/: (v) 2,,,,+,.+,/.,(w)] umzuschreiben in

S($) ---- (~:2_ 1).,~f~ ,~ B+. [J,,,+/+,/: (v) 3.,~+.,'+'/, (w) +J,+.++:, (v) 3.,~+++'/~ (w)] (17) .i=0

worin

(is) .Bj-~-.-~7 (Cj -}-Cj_l) fiir j => 1 und B o = ~ C o.

Auch fiir die Bj li~]t sich leicht zeigen, da]

lim sup ~ [Bj] <= 1. (19) .]~CO

4. Die Rekursionsformeln fiir die .4] and Bj. Wir behaupten, dal~ fiir die Koeffizienten Aj und B] die folgenden viergliedrigen Rekursionssysteme bestehen:

4 j + ~ - - ~ j+---z~+~ + ( 2 j + 3 # - - 1 ) ( 2 j + 3 f f ) - - ~ As_ t

[ ~ 3 j + 2 # - - 1 ] ,2 j+ l s 0 - - j + ~ _ ~ + ( 2 ] _ + f f + l ) ( 2 i - t - f f ) - - 2 Aj-~ 4 j + z +

(] 0,112, �9 A_ 2 A _ I = 0 ; R e # > 0 ; #~=�89 a . . . . . = = ~ , ~ . . . ) ; (~o)

Y2 J + 2 # B [ ~ 2 3 j + 4 t t - 1 ] ~ j + f f _ � 8 9 j -2-~ j+---2-s + ( 2 ] + 3 # + 1 ) ( 2 ] + 3 f f ) - - 2 Bj_~

[ '2 3j + 2 tt '}- 4 ] '2 Jq-1 4 j :~-ff+~ -{-(2j-}-ff -}-2)(2) '+#-}- l ) - -2 By+ 4j+ff+~B]+l---O

(] 0,1,2," �9 B_2=B_I - - - -0 ; R e # > 0 ; #=~_},3 . . . . ~:,~ . . . . ) . (21)

Ftir (20) fiihren wir den Beweis so: Wir setzen ffir die Aj die Darstellung (11) ein und betrachten zunachst die Glieder mit dem Koeffizienten ~2/4 fitr sich. ~(~+~/~) ~j+ 1 und C}~ +v'-) driicken wit unter Aflwendung der Rekursionsformel der GEGE~BXUV, a- schen Funktionen

(i + l ) C}~+'/~)(t) = ( 2 i + 2 f f + l ) t C}~+") (t) - - (j +2~)c}~_+'/:)(t) (22)

durch CJ -'~+'/:) und C(~ +'/') aus. Dann .lautet die zu beweisende Beziehung 1

f (1 - ,?)"/~ s (n ) {(,t - r ~ ~ ) rc<.,"+'/,! - - c <~'+,~,)] --1

n(.+'/,) ~9,~ C(,"+'/;)~ d~ ---- O. (23) + ( 2 i + 3 f f - - 1 ) (2i+3ff) w_l - - , - , +,u +1) (2/+,u) w ,

436 J. ~ x n ~ a

Hierin ersetzen wir (~--72 V2)S(~7) mit Hilfe der in ~ geschriebenen Differential- gleichung (1), integrieren zweimal partiell, wobei die Beitriige yon den Grenzen des Integrals wegen der Voraussetzung Re # ~ 0 wegfallen und kommen dann auf

e (1--~)?-~ + (24)

+ (1 - -~? ~ [(2j +3ff--1) (2j +3if) cJ:t +'~-~- (2] +ff +z) (2] +if)cj,+",)]} = o.

]~it Hilfe der Differentialgleichung und der Rekursionsformel der GEeE~BXUERschen Funktionen lair sich schliel31ich zeigen, dal3 der Integrand in (24) verschwindet.

Auf entsprechende Weise ist der Beweis ftir (21) zu ftihren.

5. ~-Asymptotik und Normierung der ReVert (10) und (17). Es lage nahe, das asymptotische Verhalten yon S(~) in (10) f~tir gro~e ]$[ herzuleiten, indem man in den einzelnen Reihengliedern die ~iiherungen fiir gro~e [ ~:[ einsetzt. Dann wiirde sich ergeben, da6 fiir das asymptotische Verhalten in erster Niiherung das erste Reihengtied allein ma~gebend ist. Doch hat dieses Veffahren, obwohl es auf richtige Ergebnisse ftihrt, nut formalen Charakter.

Am einfachsten gewinnt man das asymptotische Verhalten, indem man aus (5) schlie~t

worin ~:. 0(1/~) f t i r alle ~ des IntervMls ~ 1 < ~7 =< + 1 und alle ~ yon hinreichend groBem Betrag unterhalb einer yon ~ unabhiingigen Schranke liegt. Einsetzen in (4) liefert daher wegen (11)

+ o . (26)

Bezeichnen wit die Eigenwerte yon (!) mit ~+~(~), wo p ---- 0, 2, 4 . . . . fiir die geraden, p --~ 1, 3, 5 . . . . fiir die ungeraden Eigenwerte ist, und definieren wir vier LSsungen yon (1) durch das asymptotische Verhalten

~+~(~;7) '~ cos 7 ~ ~ + ~ + ~ 2 ,

+~(~; sin 7 ~:- 2 z~ ,

S~,(~ ) (~:. 1 ; (r~- "~ +~ + ~ .~) (27) ,,,+~ ,.~, 7 ) ~ " V-~- e ~- '

(-- = < arg (~ ~) < =)

Reihenentwicklungen yore S~r Typus flit die Sph~roid-Funktionen 437

so werden die FunktionenS(~) aus (26) mit den dutch (27) definierten Sph~roid- Funktionen identisch, wenn 2 = 2:~+~(y), wenn man sie mit

multipliziert und wenn $,~+,I. der Reihe nach die BESSELsche, NEUMXN~sche, I-L~K~.Lsche Funktion erster und zweiter Art ist.

Ftihren wir start der Zylindeffunktionen die Funktionen

---- J,+,/. (w), (w) = (29)

~ ) (~) = V.~-~ ~+, / . (~), (~) = ~ ~ H( ~)~+,/.~,

ein, so wird mit lc : 1, 2, 3, 4 und q --~ 0, 1, 2 . . . .

~,(~) (~;~) = (30) ,u+2~

�9 ,,(" (~) ~ + ; (w). = ( - 1)~ 2 ~,~+~ r -,~' r ( , + ~) ( ~ _ ~),,/~ @ + . + �89 ~AJ ~-+J j=0

Ebenso leitet man ab, da/~ mit k = 1; 2, 3, 4 und q = 0, 1, 2 , . . .

S,,(k). r : . Z-'~ /'(~ + ~) ( ~ - - 1)'/2 " (31) .+.2q+1 ~ , Y) = ( - - 1) ~' 2 ~" r ( ] )

j=o

In (30) und (31) ist I~rg~l < ~ , argv=argy~ /w , I arg:, [ < ~ , arg(~ 2 - 1 ) = 0 ftir reelle ~ > 1.

6. Berechnung der Koeffizienten A), B/. Die numerische Berechnung der Koeffizienten Aj, .Bj kann mit Hilfe tier Rekursionsformeln (20), (21) erfolgen. Ftir die dazu benStigten Eigenwerte 2 gibt es Tabellen 5) 6); soweit sie nicht ausreichen, ist auf die direkten numerischen Veffahren zur Berechnung der Eigenwerte [vgl. 3) 5)], auf Potenzreihenentwicldungen 7) oder auch auf asymptotische Entwicklungen 7) s) der Eigenwerte zurtickzugreifen.

Wegen des betri~chtl~chen Stellenverlustes, der bei der Berechnung der LSsung eines solchen Rekursionssystems auftritt, mul~ man jedoch im allgemeinen die

5) CH. J. Bovwxx•P, Theoretische en unmerieke behandeling van de bulging door en ronde opening. Diss. (Groningen), Groningen-Batavia 1941.

6) J .A. STRATTON, P. M. ~][ORSE, L. J. CHLf und R. A. HUTNER, Elliptic cylinder and spheroidal wave functions, including tables of separation constants and coefficients. New York 1941.

~) J. MEIXNEa, Die LAM~schen Wellenfunktionen des Drehellipsoids. Bericht der ZWB. Nr. 1952, 1944.

s) j. MEIXNER, Zschr. angew. Math. Mech., 28, 304 (1948).

438 J. ~ x n ~

Rechnung wit einer sehr gro~en Zahl yon Stellen beginnen; mit einer entsprechen- den Genauigkeit miil]te 2 bekannt sein.

Diesen Nachteil kann man vermeiden, wenn man die A] und Bj dutch die Koeffi- zienten ausdrtickt, welche bei der Entwicklung der Sph~roid-Funktionen nach Kugelfunktionen auftreten.

Wir beschriinken uns auf den Fall ganzer nicht negativer # und schreiben, um dies zum Ausdruck zu bringen~ m s~att/~. Sei n ebe~falls nicht negativ ganz und n ~ m __> 0. Dann li~{~t sich eine LSsung der Differentialgleichung (1), welche wir mit Sp,~(~; ~) bezeichnen, in der Gestalt schreiben

co sp : (v ; 7) = 2~ (--1)s"=.-~ (y) p m+~s (V). (32)

2s~ra--n

Die Summation tiber s beginnt bei s = (m--n)/2, wenn m - - n gerade, bei s = = (m- -n +1)/2, wenn m - - n ungerade ist. Diese Reihe konvergiert absolut und gleichmaBig in jedem im Endlichen liegenden, abgeschlossenen Bereich der ~7-Ebene. Setzt man (32) in (11) ftir ~t(~7) ein, so erkennt man, da~ es auf die Berechnung der yon ~ unabh•ngigen InCegrale

1

~j~ = f (1-- ~ ) m/~. cJ m+l~:) (1 - - 2 v~). P=+~(v) dv (33) - - 1

ankommt. Sie verschwinden wegen der OrChogonalitiitseigenschaften der Kugel- funktionen ftir ] < p, weil dann C(m+'/') ein Polynom in ~7 yon kleinerem Grad als - y

2 p ist. Ferner rechnet man leicht aus, da~

F(p + m + {) (m + 2 p)l (m + 2 p)l a~ ~ ( - - 1) ~+~' 24~+m+x p! r(m + 3) (2 m + 4 p + 1)I (34)

Dazu brauchr man, was wegen der Orthogonaliti~tseigenschaften der Kugelfunktionen mSglich ist, nut (1 __~2),,:/2. C(,,+~l,)(1--2 ~7 ~) durch ein solches Vielfaches yon P,~+~(~7) zu ersetzen, dai~ der Koeffizient der hSchs*en Potenz in ~7 ungeiindert bleibt und dann die 5Tormierungsbedingungen der Kugelfunk*ionen anzuwenden.

ka Ftir 7 = 0 wird S p ~ + ~ (~7; 0) = P~ ~+2~ (7) und daher, wie ein Vergleich

wit (11) zeigt, %-~ ----Aj. Aus dem Rekursionssystem (20) folgt ftir ~ ----0 wegen = (~ +2p) (.~ + 2 p +1)

Aj _ ~xj.b _ 2 j + 4 m + 2 p 2 j + 2 m - - 2 p - - 1 (35) Aj-1 ~y-l,~o 2 j + 2 m + 2 p + l 2 j - - 2 p

Daher wird schliei31ich nach einfachen Umformungen

aj~ = ( ~ 1)~+,, 2_~, T ' ( m + p + � 8 9 1 8 9 ( 2 m + j + p ) ! (36) F(m+X) F ( m + � 8 9 ( j - -p) lp l

Reihenentwicklungen vom SIEr Typus ffir die Sph/iroid-Ftmktionen 439

Es wird also

2 - 1 '=-~ (37)

= ( - 1)

Derselbe Satz yon K0effizienten %.t kann somit fiir alle Sphiiroid-Funktionen mit gleichem m, unabhiingig vom Weft des Parameters 7, Verwendung finden. Das ist fiir die numerische Berechnung der A/ yon Vorteil.

In entsprechender Weise ergibt sieh

s B J-~ a ~ = (38)

worin ,, s ioA-~)F(m+j--p+�89 (2m-~j-}-p+ l)l (39)

flit -- ( - 1)t+m 2- F(m+�89 I ' (m+})F(m+j+p+g) (j--p)Ip!

Die numerische Berechnung der A). und B 2 ist dam_it praktisch geleistet, weil es fiir die Koeffizienten %~,2~ (7) Tabellen gibt ~) 6); und soweit letztere nicht aus- reichen, kSnnen diese Koeffizienten verhiiltnismiil~ig einfach berechnet werden, wenn einmal die Eigenwerte bekannt sin&

7. l~inige A1)sehiitzungen. Wir leiten hier die im 3. Abschnitt erw/ihnteu Absch/itzungen her. Aus der Integraldarstellung fiir die GECX,~BAUEaschen Funktionen

1 r ( 2 ~ + j + l ) r b ~ + l ) f f C('U+%')(t)----- V~ j ! F ( 2 # ~ - I ) Y ' ( # - 4 - � 8 9 j(t+]/t2--1e~ (40)

0

folgt fiir reelle t i m Intervall -- 1 <_ t <_ -}- 1 unmittelbar

[ C(] a+~/') (t) [ ~ [ F(2 # 3+..t j + 1)1 C(#) (j = 0, 1, 2 . . . . ) (41)

wo C(tt) eine yon j unabh/ingige positive Konstante ist.

Die benStigte Absch/itzung der Zylinderfunktionen leitet sieh aus der Reihenentwicklung der BE ss~z-Funktionen

l=0

her. Sei e die dem Betrag naeh kleinste aller Zahlen, die sieh yon ~ -1- ~ um eine gauze Zahl tmter- scheiden. Sie ist unter der Voraussetzung # 4= -~- (mod 1) yon Null versehieden. Dann gilt

[ F ( ~ + j + Z + ~ ) l _ > _ _ I f ' ( ~ § z ( l 0 ,1 ,2 . . . . )

und daher ergibt sieh aus (42) die Abseh~tzung

= - - I" I F ( # + J + ~ ) ] " (43)

4 4 0 J. ME~XNEa: Reihenentwicklungen vom SiEc~.Rschen Typus ffir die Sph~iroid-Funktionen

Sie l~l~t sich unmittelbar auf J_~_j_l/.. (w) umschreiben. Da sich jede Zylinderfunktion ~,~v+]+l/~, wenn # 4= �89 (rood 1), aus J~+j+l/. und J_L~_j_I/2 linear zusammensetzen ]~l~t mit Koeffizienteu p(a), q(a), deren Betrag nicht von j und w, sondera nut yon :~ abh/ingt, so ist damit fiir jede Zy- linderfunktion eine Absch~ttzung. gewonnen

]( W ~.~z+J+l/2 ] . e 1~214a] [ 3,~+j'+'/~ (w) I < I P(~) [ "1 ~ T ) I F(/~ + j + ~)

Es ist nur dana q(e) ---- O, were1 3,~+j+i/, (w) = J~+]+l/~ (w). Ft~r gentigend grol~e, ganze posi- tive j ist daher

+ Q(r162 w) 2 Jj! I j , ~_v . " I- E1 + 0 ( J -0 i , i w l

worin P(a, w) und Q(a, w) ffir endliche w 4= 0 beschr~inkt, positiv und yon j unabh/~ngig sind. Ist ~+J+~h (w) 4= J~+J+~l.. (w), somit Q(:r w) 4= 0, so kann man in der Absch~tzung (44) den Term mit P(a, w) in das Glied O(j- 0 des zweiten Terms hineinnehmen.

Aachen, Institut ffir theoretische Physik der Technischen Hochschule.

(Eingegangen am 4. 9. 1948)