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Doctoral Thesis

Biegetragverhalten und Mindestbewehrung vonStahlbetonbauteilen

Author(s): Kenel Lüthold, Albin

Publication Date: 2002

Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-004470989

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ETH Library

Dissertation ETH Nr. 14874

Biegetragverhalten und Mindestbewehrungvon Stahlbetonbauteilen

vorgelegt vonAlbin Kenel Lüthold

dipl. Bauingenieur ETHgeboren am 26. Juni 1969

Bürger von Arth SZ

angenommen auf Antrag vonProf. Dr. Peter Marti, Referent

Prof. Dr. Aurelio Muttoni, Korreferent

Abhandlungzur Erlangung des Titels

Doktor der Technischen Wissenschaftender

EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZÜRICH

2002

ff

Vorwort

In Betonbauten sind Risse im allgemeinen nicht zu vermeiden. Aus Tragsicherheitsgrün-den muss ein Versagen ohne Vorankündigung bei Erstrissbildung vermieden werden.Über diese Forderung hinaus sollte mit einer ausreichend fein verteilten und gut veran-kerten Bewehrung ein den jeweiligen Umständen angepasstes Verformungsvermögenvon Betonbauteilen gewährleistet sein. Aus Gebrauchstauglichkeitsgründen sollten Risseverteilt auftreten und genügend klein bleiben.

Auf der Grundlage von bruchmechanischen Modellvorstellungen wird ein einfacherAnsatz zur Bestimmung der Mindestbewehrung zur Gewährleistung der Tragsicherheithergeleitet. Ausgehend von der Rissabstandsberechnung in Biegeträgern lassen sich dieVerformungen unter bestimmten Annahmen sowohl im Gebrauchszustand als auch imBereich von plastischen Stahl- und Betondehnungen mit analytischen Beziehungenermitteln.

Die vorliegende Promotionsarbeit entstand während meiner Zeit als wissenschaftli-cher Mitarbeiter von Prof. Dr. Peter Marti am Institut für Baustatik und Konstruktion derETH Zürich. Die Arbeit gliedert sich in das Forschungsprojekt “Verformungsvermögenvon Massivbautragwerken” ein, welches zum Ziel hat, eine widerspruchsfreie, auf klarenphysikalischen Grundlagen basierende und experimentell abgestützte Theorie des Verfor-mungsvermögens von Massivbautragwerken zu entwickeln. Die im Rahmen dieses Pro-jektes bereits durchgeführten und noch geplanten Arbeiten sollen zu einer Ergänzung derfrüheren, primär auf die Frage nach der Tragfähigkeit ausgerichteten plastizitätstheoreti-schen Untersuchungen beitragen und deren langfristige praktische Anwendung sicher-stellen.

Mein aufrichtiger Dank gilt Herrn Prof. Dr. Peter Marti, der mir die Durchführung desDoktorats ermöglichte und mir bei der Ausarbeitung der vorliegenden Arbeit grosse Frei-heit liess. Herrn Prof. Dr. Aurelio Muttoni danke ich herzlich für seinen Einsatz in derBegleitung dieser Arbeit, seine konstruktiven Denkanstösse und die Übernahme desKorreferats.

Allen Kolleginnen und Kollegen des Instituts danke ich für das angenehmeArbeitsumfeld. Besonderer Dank geht an Thomas Pfyl und Karel Thoma für die schöneZusammenarbeit und die anregenden fachlichen Diskussionen. Joost Meyboom, PierinoLestuzzi und Roberto Siccardi danke ich für die Übersetzungen der Kurzfassung.Schliesslich richtet sich mein innigster Dank an meine Frau Petra Lüthold und ihreFamilie, sowie an meine Eltern und Geschwister für ihre Zuneigung und ihren Rückhalt.

Zürich, im Dezember 2002 Albin Kenel Lüthold

ff

Kurzfassung

Mit der vorliegenden, in vier Teile gegliederten Arbeit soll ein Beitrag zum besseren Ver-ständnis des Trag- und Verformungsverhaltens von Massivbautragwerken, insbesonderevon biegebeanspruchten Tragwerkselementen, geleistet werden. Im Vordergrund steht dieeinheitliche Behandlung gerissener Biegeträger sowohl im Gebrauchszustand als auch imBereich von plastischen Stahl- und Betondehnungen unter Berücksichtigung derVerbundtragwirkung zwischen Stahl und Beton.

Im ersten Teil der Arbeit werden die wichtigsten bruchmechanischen Versagensmo-delle zur Beschreibung des Entfestigungsverhaltens von Beton dargelegt und Grundlagender linear elastischen und nicht linearen Bruchmechanik eingeführt. Im Zentrum desInteressens stehen dabei kohäsive Rissmodelle. Der Einfluss der Bauteilgrösse auf Versa-gen und Stabilität des Entfestigungsvorgangs wird erläutert. Unter Verwendung desModells fiktiver Risse wird anhand des Biegezugversuchs gezeigt, dass die Biegezug-und Zugfestigkeit von Beton mit einfachen analytischen Beziehungen in guter Näherungangegeben werden kann. Im weiteren wird aufgezeigt, dass die unter Voraussetzung derstarr-ideal plastischen Verbundschubspannungs-Schlupf-Beziehung des Zuggurtmodellsermittelten Dehnungs- und Spannungsverläufe eine mindestens gleichwertige Überein-stimmung mit faseroptisch ermittelten Messwerten aufweisen wie die mit viel Rechen-aufwand verbundenen Vergleichsrechnungen anderer Modelle.

Der zweite Teil der Arbeit befasst sich mit der Mindestbewehrung unter Verwendungbruchmechanischer Modellvorstellungen. Die erforderlichen Mindestbewehrungsgehaltewerden mit einer analytischen Funktion approximiert, welche die Grenzen für plastischesund ideal sprödes Materialverhalten beinhaltet. Der Verlauf zwischen diesen Grenzenwird in guter Näherung abgebildet. Diese Vereinfachung wird mit auf Bruchmechanik ba-sierenden Ansätzen und Normvorschriften verglichen. Zur Festlegung einer Bewehrungs-reduktion infolge Schwindeigenspannungen werden grobe Anhaltspunkte angegeben.

Nach einem Abriss der geschichtlichen Entwicklung verschiedener Berechnungsme-thoden für gerissene Stahlbetonquerschnitte befasst sich der dritte Teil der Arbeit mit demGebrauchsverhalten von Biegeträgern. Unter Berücksichtigung des Verbundverhaltensder Bewehrung wird der maximale Rissabstand für Biegeträger mit rechteckigem Quer-schnitt analytisch ermittelt. Für verschiedene Belastungsgeometrien und statischeSysteme werden einfache Gleichungen zur Verformungsberechnung bereitgestellt. DerMindestbewehrungsgehalt zur Begrenzung der Rissbreiten im Gebrauchszustand wirdangegeben.

Im vierten Teil der Arbeit werden vereinfachte Beziehungen zum Verformungsver-halten von Biegeträgern im plastischen Bereich hergeleitet. Unter Verwendung einer ver-einfachten Krümmungsberechnung lassen sich Verformungen analytisch berechnen. Fürverschiedene Belastungsgeometrien und statische Systeme werden einfache Gleichungenzur Verformungsberechnung entwickelt. Aufbauend auf der vereinfachten Berechnungder Mittendurchbiegung wird das Verformungsvermögen plastischer Gelenkbereicheermittelt. Im Rahmen einer Parameterstudie werden die wichtigsten Einflüsse, denen dasVerformungsvermögen von Stahlbetonträgern unterliegt, behandelt.

Abstract

This thesis is organized in four parts and is aimed at making a contribution to the betterunderstanding of the load-carrying and deformation behaviour of reinforced concretestructures, in particular those subjected to bending. Central to the approach taken in thiswork is the consistent treatment of cracked reinforced concrete bending elements regard-less of whether they are at service load levels or undergoing plastic deformations. Thisconsistent approach is afforded by the consideration of the behaviour of the bond betweensteel and concrete.

In the first part of the work, key fracture mechanics models that describe the softeningbehaviour of concrete are presented and the fundamentals of linearly-elastic and non-linear fracture mechanics are introduced. Of prime interest in this discussion are thecohesive crack models. The influence of scale on the failure caused by and stability ofsoftening effects are clarified. Using the Fictitious Crack Model and the results of ben-ding tests, it is shown that simple analytical models can be used to approximate the mo-dulus of rupture as well as the tensile strength of the concrete. It is further shown that de-formations calculated using the simple rigid-plastic bond-slip relationship of the TensionChord Model are as good as deformations calculated using much more complicated andcomputational intensive models when compared with fibre optic-measured deformations.

The second part of the work is concerned with minimum reinforcement requirementsas derived from fracture mechanics models. Minimum reinforcement requirements areapproximated using an analytical function that includes a definition for the limits of pla-stic and ideally brittle material behaviour. A good approximation is made of the transitionbetween these two boundaries. The results of this simplification are compared with frac-ture mechanics-based conclusions and building code requirements. The amount by whichreinforcement can be reduced as a result of shrinkage stresses is indicated using simplecriteria.

In the third part of the work the historical development of crack calculation methodsfor reinforced concrete cross-sections is outlined and the service level behaviour of rein-forced concrete beams is considered. The maximum crack spacing for a beam with a rec-tangular cross-section is determined by considering bond. For different load arrange-ments and static systems, simple equations are presented to estimate deflections. Theminimum reinforcement content required to control crack widths is given.

In the fourth part of the work, simplified relationships are derived to predict the deflec-tions of beams undergoing plastic deformation. Deformations are determined analyticallyusing a simplified curvature calculation. Simple equations are developed to calculatedeformations for various load arrangements and static systems. Based on a simplified cal-culation of the centre deflection, the deformation capacity of a plastic hinge is deter-mined. A parametric study is used to treat the most important influences on the deforma-tion capacity of a reinforced concrete beam.

Résumé

Ce travail de thèse, organisé en quatre parties, contribue à une meilleure compréhensionde la capacité portante et de la déformabilité des structures en béton armé, particulière-ment de celles soumises à la flexion. L’approche adoptée considère les éléments depoutres en béton armé fissurés de manière unifiée, tant au niveau des charges de serviceque des déformations plastiques, et tient compte de l’adhérence entre l’armature et lebéton.

La première partie de la thèse introduit les fondements linéaires et non-linéaires de lamécanique de la rupture et présente les modèles clés qui décrivent le radoucissement dubéton. Dans cette discussion, les modèles de fissuration sont d’un intérêt primordial. L’in-fluence de la dimension des éléments sur la rupture et sur la stabilité des effets de radou-cissement est exposée. Le fait que des modèles analytiques simples peuvent évaluer larésistance à la traction du béton est montré en utilisant le modèle des fissures fictives etles résultats d’essais en flexion. De plus, la comparaison avec des déformations mesuréespar fibres optiques montre que les déformations calculées en utilisant la relation idéaliséerigide-plastique des contraintes d’adhérence dans le modèle de membrure en traction sontau moins aussi bonnes que celles calculées avec des modèles plus complexes.

La deuxième partie de la thèse concerne l’armature minimale déduite de la mécaniquede la rupture. L’armature minimale requise est estimée analytiquement par une fonctionqui contient une définition des limites, plastique et idéalement fragile, du comportementmatériel. Une bonne approximation est proposée pour la transition entre ces deux limites.Les résultats de cette simplification sont ensuite comparés à ceux de la mécanique de larupture et aux prescriptions des normes. Des critères simples permettent de déterminer laréduction envisageable de l’armature due aux contraintes de retrait.

Après un aperçu du développement historique des différentes méthodes de calcul dessections fissurées en béton armé, la troisième partie de la thèse examine le comportementà l’état de service des poutres en béton armé. L’espacement maximum des fissures d’unepoutre de section rectangulaire est déterminé analytiquement en considérant l’adhérencedes barres d’armature. Des équations simples sont proposées pour l’estimation des défor-mations pour différents cas de charge et différents systèmes statiques. L’armature mini-male nécessaire au contrôle de l’ouverture des fissures est exprimée.

Dans la quatrième partie de la thèse, des relations simplifiées sont développées afin deprédire les déformations des poutres dans le domaine plastique. Les déformations sontdéterminées analytiquement en utilisant une expression simplifiée des courbures. Deséquations simples sont développées afin de calculer les déformations pour différents casde charge et différents systèmes statiques. La capacité de déformation d’une rotule plas-tique est déterminée sur la base du calcul simplifié de la flèche centrale. Les influencesles plus importantes sur la capacité de déformation d’une poutre en béton armé sontensuite mises en évidence dans le cadre d’une étude paramétrique.

Riassunto

Nel presente lavoro si analizza la capacità portante e la deformabilità delle strutture incalcestruzzo armato, in particolar modo di quelle sollecitate a flessione. L’interesse prin-cipale concerne la trattazione del comportamento di travi fessurate allo stato di servizio enella fase plastica, prendendo in considerazione gli effetti dell’aderenza tra le armature eil calcestruzzo.

Nella prima parte del lavoro sono presentati i fondamenti della meccanica della rotturalineare e non lineare, ed vengono esposti i modelli principali atti a descrivere il softeningdel calcestruzzo. Particolare attenzione è dedicata ai modelli di fessurazione che tengonoconto della coesione. L’influenza delle dimensioni dell’elemento strutturale sul compor-tamento a rottura e sulla stabilità della fase di softening del calcestruzzo sono esposti.Attraverso un modello di fessurazione fittizia sulla scorta delle prove di trazioflessione simostra che le resistenza a trazione e trazioflessione del calcestruzzo possono essere deter-minate in buona approssimazione con l’ausilio di semplici modelli analitici. Inoltre, letensioni e deformazioni calcolate sul modello di tirante in base ad un comportamentorigido-plastico per la relazione tra tensioni e scorrimento, ben corrispondono a quellemisurate con l’ausilio delle fibre ottiche al pari di risultati ottenuti con modelli d’aderenzaassai più complessi.

La seconda parte si occupa della determinazione dell’armatura minima utilizzando imodelli della meccanica della rottura. L’armatura minima necessaria è determinata impia-gando una funzione analitica, che permette di descrivere i casi limite di comportamento arottura, quello di tipo plastico e quello idealmente fragile, del materiale. Un comporta-mento compreso tra questi due limiti può essere descritto in buona approssimazione. Leconseguenze di questa semplificazione sono giudicate confrontandole con altri approccidella meccanica della rottura e con la normativa. Sono infine esposte considerazionigenerali sulle possibilità di ridurre il contenuto di armatura in conseguenza dello stato diautensione indotto dal ritiro della struttura del calcestruzzo.

Dopo una breve descrizione storica dello sviluppo dei metodi di calcolo delle sezionifessurate di strutture in calcestruzzo armato, la terza parte analizza il comportamento allostato di servizio delle travi sollecitate a flessione. La distanza massima tra le fessure inuna trave a sezione rettangolare è determinata tenendo conto dell'aderenza tra armatura ecalcestruzzo. Semplici equazioni per il calcolo delle deformazioni sono proposte per di-verse configurazioni di carico e differenti sistemi statici, di cui è determinato il contenutodi armatura minima necessaria per il controllo dell’apertura delle fessure.

Nella quarta parte sono esposte semplici relazioni che permettono di determinare ilcomportamento delle travi in calcestruzzo armato nella fase plastica. Le deformazionisono calcolate analiticamente utilizzando un calcolo semplificato della curvatura. Sonoproposte relazioni matematiche semplici per il calcolo delle deformazioni in differentisistemi statici e per diverse configurazioni di carico. La capacità di deformazione di unacerniera plastica è calcolata a partire dalla freccia della struttura. Le grandezze principaliche influenzano la capacità di deformazione di una trave in calcestruzzo armato, sonoinfine evidenziate mediante un’analisi parametrica.

i

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

1.1 Problemstellung 11.2 Zielsetzung 21.3 Übersicht 31.4 Abgrenzung 4

2 Grundlagen

2.1 Bruchmechanische Versagensmodelle 52.1.1 Allgemeines 52.1.2 Linear elastische Bruchmechanik 52.1.3 Nicht lineare Bruchmechanik 72.1.4 Fiktives Rissmodell nach Hillerborg 92.1.5 Rissbandmodell 11

2.2 Einfluss der Bauteilgrösse auf das Versagen 112.2.1 Statistische Modelle 112.2.2 Linear elastische Bruchmechanik 132.2.3 Massstabsgesetz von Bazant 13

2.3 Stabilität fiktiver Risse 152.4 Entfestigungsverhalten von Beton 17

2.4.1 Allgemeines 172.4.2 Biegezugversuch 192.4.3 Einfluss von Eigenspannungen 25

2.5 Zusammenwirken von Beton und Stahl 272.5.1 Allgemeines 272.5.2 Vergleich mit Versuchen 292.5.3 Entfestigungsstabilität schwach bewehrter Stahlbetonkörper 34

3 Mindestbewehrung von Biegeträgern

3.1 Allgemeines 373.2 Bruchmechanisches Modell für bewehrte Biegeträger 37

3.2.1 Modellannahmen 373.2.2 Gleichgewicht im Rissquerschnitt 383.2.3 Maximaler Biegewiderstand schwach bewehrter Biegeträger 39

3.3 Mindestbewehrung bei Biegebeanspruchung 413.3.1 Bestimmungsgleichung 413.3.2 Vereinfachte Berechnung der Mindestbewehrung 42

3.4 Vergleich mit auf Bruchmechanik basierenden Ansätzen 44

ii

3.5 Einfluss von Eigenspannungen 473.6 Mindestbewehrung bei Biegung und Normalkraft 49

3.6.1 Allgemeines 493.6.2 Vereinfachte Berechnung der Mindestbewehrung 503.6.3 Vergleich mit weiteren Modellen 51

4 Gebrauchsverhalten von Biegeträgern

4.1 Allgemeines 534.2 Ungerissenes Verhalten 534.3 Rissabstand in Biegeträgern 55

4.3.1 Einleitung 554.3.2 Gleichgewicht 574.3.3 Rissabstand in Biegeträgern 604.3.4 Vergleich der Biegerissabstandsberechnung mit anderen Ansätzen 64

4.4 Biegestefigkeit im gerissenen Zustand 674.4.1 Erweiterte Verformungsbedingung 674.4.2 Krümmung 704.4.3 Vereinfachte Berechnung der Krümmung 72

4.5 Verformungsberechnung 744.5.1 Allgemeines 744.5.2 Analogie von Mohr 744.5.3 Einfluss der verformungsreduzierenden Effekte 76

4.6 Versuchsergebnisse 794.7 Mindestbewehrung zur Rissbreitenbeschränkung 81

5 Verformungsvermögen von Biegeträgern

5.1 Allgemeines 845.2 Nichtlineares Werkstoffverhalten von Stahl und Beton 855.3 Vereinfachte Momenten-Krümmungs-Beziehung 875.4 Verformungsberechnung 905.5 Versuchsergebnisse 935.6 Verformungsvermögen von Biegeträgern 95

6 Zusammenfassung und Folgerungen

6.1 Zusammenfassung 1006.2 Folgerungen 1036.3 Ausblick 104

Literatur 105Bezeichnungen 113Lebenslauf 115

1

1 Einleitung

1.1 Problemstellung

Die Rissausbreitung in Betonkörpern kann mit Modellen der nicht linearen Bruchme-chanik beschrieben werden. Im Unterschied zur linear elastischen Bruchmechanik wirdbei den Modellen der nicht linearen Bruchmechanik nicht vorausgesetzt, dass beim Brucheines Körpers eine vollständige Umsetzung der von aussen zugeführten Energie in dieOberflächenenergie der Bruchflächen erfolgt. Damit wird der experimentell hinreichenduntersuchten Eigenschaft des Betons, dass es in sogenannten Bruchprozesszonen zurBildung von Mikrorissen und damit zu einer Energiedissipation in dem die endgültigeBruchfläche umgebenden Material kommt, Rechnung getragen. Die in der Bruchprozess-zone stattfindenden strukturellen Änderungen sind mit Änderungen der lokalen mechani-schen Eigenschaften verbunden. Mit zunehmender Schädigung werden sowohl dieSteifigkeit als auch die Zugfestigkeit kleiner.

Die für den Werkstoff Beton vorgeschlagenen Modelle der nicht linearen Bruchme-chanik können nach der Art der Schadenslokalisierung in fiktive Rissmodelle, Rissband-modelle und kontinuumsmechanische Schädigungsmodelle unterteilt werden. Beim fikti-ven Rissmodell wird angenommen, dass die Umsetzung der gesamten Bruchenergie inder Rissfläche erfolgt. Das Entfestigungsverhalten wird daher als Spannungs-Rissöff-nungs-Kurve formuliert, wobei diese Rissöffnung die Summe der Öffnungen aller in derBruchprozesszone vorhandenen Mikrorisse repräsentiert.

Die Freisetzung von Dehnungsenergie aufgrund des Risswachstums, welches örtlicheSchädigungen und Instabilitäten hervorruft, führt zu einer Grössenabhängigkeit imWiderstand eines Bauteils. Bei einem grösseren Bauteil wird die Dehnungsenergie auseinem grösseren Bereich freigesetzt. Dadurch ist die Gesamtenergie, die pro Einheit desRissfortschritts frei wird, grösser, obwohl die Nennspannung gleich bleibt. Da jedoch dieEnergie, die erforderlich ist, um eine einheitliche Bruchausdehnung hervorzurufen, nähe-rungsweise von der Grösse des Tragwerkes unabhängig ist, muss die Bruchspannungeines grösseren Bauteils niedriger sein als bei einem kleineren.

Zu Beginn der achtziger Jahre wurden systematisch experimentelle Studien an Beton-bauteilen verschiedener Art durchgeführt. Zu den ersten Studien, in denen vorgeschlagenwurde, dass die Grössenabhängigkeit des Bruchwiderstandes nicht nur für Probekörpermit Kerben, sondern auch für Betonbauteile mit Hilfe der Bruchmechanik erklärt werdensollte, gehört jene von Hillerborg, Modéer und Petersson [62]. Die experimentellen Datensind inzwischen sehr umfangreich. Versuchsdaten für grössere Bauteile diverser Anwen-

Einleitung

2

dungen fehlen jedoch, und eine Extrapolation aufgrund der Versuchsergebnisse, die füreinen begrenzten Grössenbereich erzielt wurden, ist mit Schwierigkeiten verbunden.

In Stahlbetonbauten sind Risse im allgemeinen nicht zu vermeiden. Bereits währenddes Erhärtens entstehen im jungen Beton meist feine Risse. Schwinden, Lasteinwirkung,aufgezwungene oder behinderte Verformungen können zu weiterer Rissbildung führen.Eine beschränkte Rissbildung ist für die Dauerhaftigkeit in der Regel nicht nachteilig. DieAnforderungen an Tragsicherheit, Gebrauchstauglichkeit und Erscheinungsbild könnenim Rahmen der vorgesehenen Nutzung und der vorhersehbaren Einwirkung ohne unvor-hergesehenen Aufwand für Instandhaltung und Instandsetzung erfüllt werden.

Aus Tragsicherheitsgründen muss ein Versagen ohne Vorankündigung bei Erstrissbil-dung vermieden werden. Diese Forderung wird in der Regel mit der Anordnung einerausreichend starken, fein verteilten und gut verankerten Bewehrung und einem den jewei-ligen Umständen angepassten Verformungsvermögen von Betonbauteilen gewährleistet.Aus Gebrauchstauglichkeitsgründen sollten Risse verteilt auftreten und genügend kleinbleiben. Je nach den zu berücksichtigenden Einwirkungen und Anforderungen kann dieseine Verstärkung der hinsichtlich Tragsicherheit und konstruktiver Durchbildung nötigenMindestbewehrung erfordern.

Die Verbundwirkung zwischen der Bewehrung und dem umgebenden Beton ermög-licht die Verankerung und den Aufbau der Bewehrungskräfte. Die Verbundeigenschaftenbestimmen die Grösse der Rissbreiten und -abstände sowie das Mass der Mitwirkung desBetons auf Zug zwischen den Rissen. Die Steifigkeiten im gerissenen Zustand und dieTragwerksverformungen werden somit von der Verbundwirkung massgeblich beein-flusst. Die Mitwirkung des Betons auf Zug herrscht bis im Bruchzustand vor. Die dadurchverursachte Reduktion der mittleren Stahldehnung hat zur Folge, dass im Verbund einge-legte Bewehrungen nicht in der Lage sind, ihr plastisches Dehnvermögen voll zu entfal-ten. Diese Tatsache wirkt sich auf wichtige Qualitätsmerkmale von Stahlbetontragwerkenaus, insbesondere auf das plastische Verformungsvermögen.

1.2 Zielsetzung

Mit der vorliegenden Arbeit soll versucht werden, einen Beitrag zum besseren Verständ-nis des Trag- und Verformungsverhaltens von Massivbautragwerken, insbesondere vonbiegebeanspruchten Tragwerkselementen, zu leisten. Ein Ziel ist, die bestehenden theore-tischen Grundlagen zur Bestimmung der Mindestbewehrung durch bruchmechanischeModellvorstellungen zu erweitern. Das Schwergewicht liegt bei einer mechanisch saube-ren Beschreibung des Rissbildungsprozesses.

Im weiteren sollen Schranken für Rissabstände in biegebeanspruchten Bauteilen erar-beitet werden. Anknüpfend an vorhergehende Arbeiten zum Verformungsvermögen wirddas Schwergewicht auf das Gebrauchsverhalten gelegt. Die Erkenntnis der Unter-

Übersicht

3

suchungen soll eine einfach zu handhabende Grundlage bilden, um Steifigkeiten und dasLast-Verformungsverhalten in biegebeanspruchten Bauteilen zutreffend vorherzusagen.

Schliesslich soll das Verformungverhalten von Biegeträgern im plastischen Bereichuntersucht werden, um daraus einfache Beziehungen zur Ermittlung des Verformungsver-mögens abzuleiten. Für die Bemessungspraxis sollen damit Hilfsmittel zur Beurteilungdes Verformungsvermögens von biegebeanspruchten Tragwerkselementen bereitgestelltwerden.

1.3 Übersicht

Im ersten Teil (Kapitel 2) werden die wichtigsten bruchmechanischen Versagensmodellezur Beschreibung des Entfestigungsverhaltens von Beton in Rissen dargelegt und Grund-lagen der linear elastischen und nicht linearen Bruchmechanik eingeführt. Es werden dieEinflüsse der Spannungs-Rissöffnungs-Kurve des Betons im Rissquerschnitt und derBelastungsgeometrie auf das Last-Durchbiegungsverhalten aufgezeigt und der Einflussder Bauteilgrösse auf Versagen und Stabilität des Entfestigungsvorgangs erläutert. DasZusammenwirken zwischen Beton und Bewehrungsstahl wird auf der Grundlage desZuggurtmodells erläutert.

Der zweite Teil (Kapitel 3) befasst sich mit der Mindestbewehrung zur Gewährlei-stung der Tragsicherheit. Unter Verwendung bruchmechanischer Modellvorstellungenund der starr-ideal plastischen Verbundschubspannungs-Schlupf-Beziehung wird ein Mo-dell zur Berechnung der Mindestbewehrung in Biegeträgern hergeleitet. Anhand einerAnalyse verschiedener Berechnungen der erforderlichen Bewehrungsgehalte wird eineeinfache Beziehung abgeleitet, welche ein Abschätzen der Mindestbewehrung ermög-licht. Zur Bewehrungsreduktion infolge Schwindeigenspannungen wird ein grössenab-hängiger Abminderungsfaktor vorgeschlagen. Der Einfluss einer Normalkraftbeanspru-chung wird erläutert.

Nach einem Abriss der geschichtlichen Entwicklung der Berechnungsmethoden fürgerissene Stahlbetonquerschnitte wird im dritten Teil (Kapitel 4) das Gebrauchsverhaltenvon Biegeträgern behandelt. Für reine Biegung wird eine Näherung zur Bestimmung desRissabstandes abgeleitet. Für verschiedene Belastungsgeometrien und statische Systemewerden einfache Gleichungen zur Verformungsberechnung unter Berücksichtigung vonungerissenen Trägerbereichen und Zugversteifung bereitgestellt. Die Resultate der ver-einfachten Verformungsberechnungen werden experimentell ermittelten Last-Verfor-mungs-Kurven gegenübergestellt.

Im vierten Teil (Kapitel 5) werden vereinfachte Beziehungen zum Last-Verformungs-verhalten von Biegeträgern im plastischen Bereich hergeleitet. Unter Verwendung dereingeführten Momenten-Krümmungs-Beziehung werden für verschiedene Belastungs-geometrien und statische Systeme einfache Gleichungen zur Verformungsberechnung an-gegeben. Das Verformungsvermögen plastischer Gelenkbereiche wird anhand eines

Einleitung

4

Rechenmodells diskutiert. In einer Parameterstudie werden verschiedene Einflüsse unter-sucht, und die Auswirkung einer Variation der Rechenannahmen auf die Ergebnisse wirdaufgezeigt.

1.4 Abgrenzung

Es ist nicht die Absicht dieser Arbeit, mit dem kohäsiven Rissmodell die Mikrostrukturdes Betons möglichst wirklichkeitsnah abzubilden. Ziel ist es vielmehr, die wesentlichenZugfestigkeitsgrössen, welche durch die Sprödigkeit bzw. die Balkengrösse, das Entfesti-gungsverhalten des Betons im Riss und die Belastungsgeometrie beeinflusst werden, miteinfachen Annahmen zu erfassen.

Im Rahmen dieser Arbeit werden in erster Linie schlaff bewehrte Biegeträger mitrechteckigem Querschnitt behandelt. Die Untersuchungen basieren auf dem Verbundver-halten von stabförmigen Bewehrungseinlagen; die Verbundwirkung von Klebebeweh-rungen sowie das Verbundverhalten zwischen Betonbauteilen und Stahlprofilträgernwerden nicht behandelt. Wo möglich werden aber Hinweise auf vorgespannte Bauteilegegeben. Die Ausführungen beziehen sich ausschliesslich auf Beanspruchungssituatio-nen mit monotoner Laststeigerung. Dynamische und zyklische Einwirkungen sowieLangzeiteffekte werden nicht berücksichtigt. Es wird zudem davon ausgegangen, dass dieGleichgewichtsbedingungen am unverformten System formuliert werden können; Effek-te 2. Ordnung werden vernachlässigt.

Die Berechnungen beziehen sich in der Regel auf angenommene mittlere Material-kennwerte. Verschiedene der verwendeten Kenngrössen basieren auf Versuchsergeb-nissen.

5

2 Grundlagen

2.1 Bruchmechanische Versagensmodelle

2.1.1 Allgemeines

Während der Herstellung und der Nutzung von Bauteilen ergeben sich im allgemeinenRisse. Diese können stationär sein oder sich langsam im Bauteil ausbreiten. Sie könnensich aber auch sehr schnell ausbreiten und zur schlagartigen Zerstörung des Bauteils füh-ren.

Die Aufgabe der Bruchmechanik liegt darin, das Entstehen von Rissen und die Art ih-rer Ausbreitung in festen Körpern zu untersuchen. Man spricht von Bruch, wenn ein Kon-tinuum durch einen Riss in zwei oder mehr Teile zertrennt wird. Bei der Rissausbreitungbzw. beim Bruchvorgang unterscheidet man zwischen dem Sprödbruch, der instabilenRissausbreitung und dem kontrollierten, stabilen Risswachstum. In dieser Arbeit soll un-ter stabilem Bruch ein kontinuierliches, quasi-statisches Risswachstum verstanden wer-den; der Bruchvorgang ist dabei stets durch energetische Gleichgewichtszustände charak-terisiert.

Der Bruch bzw. der Rissfortschritt kann von Fliesszonen, wie sie bei Stählen auftreten,oder von Bruchprozesszonen, die durch die Bildung von Mikrorissen gekennzeichnetsind, begleitet werden. Bruchprozesszonen treten z.B. bei zementgebundenen Werkstof-fen oder Keramiken auf.

2.1.2 Linear elastische Bruchmechanik

Die Begründung der linear elastischen Bruchmechanik wird im allgemeinen Griffith [51]zugeschrieben. Griffith versuchte, den Unterschied zwischen der theoretischen und der inExperimenten gemessenen Zugfestigkeit von Gläsern zu erklären.

Die theoretische Zugfestigkeit lässt sich auf die atomaren Bindungskräfte zurückfüh-ren. Die gemessene Festigkeit ist wegen Fehlstellen, die als kleine Risse aufgefasst wer-den können, geringer. Bei dieser Betrachtungsweise wird nicht auf die Entstehung derRisse eingegangen, sondern es wird ihr Stabilitäts- und Ausbreitungsverhalten unter-sucht.

An den Kerben der Risse kommt es zu Spannungskonzentrationen, welche von der Ge-stalt der Kerbe abhängen. Charakteristisch für die Grösse der Kerbspannung ist derRadius im Kerbgrund. Für den Grenzfall ergibt sich in unmittelbarer Umgebungρ ρ 0→

Grundlagen

6

der Rissspitze ein -singuläres Spannungsfeld, wobei den Abstand von der Riss-spitze bezeichnet. Wäre das Festigkeitskriterium alleiniges Versagenskriterium, so würdesich ein Riss wegen dieser Singularität bei der geringsten Belastung ausbreiten und zumsofortigen Versagen des Bauteils führen.

Griffith [51] löste das Problem unter Verwendung des Prinzips vom Minimum der po-tentiellen Energie [82]. Ausser dem Potential der äusseren Kräfte und der elastisch ge-speicherten Formänderungsenergie U berücksichtigte er auch die Oberflächenenergie S.Bei einer Rissvergrösserung wird elastische Energie U freigesetzt, und durch die Bildungneuer Oberflächen die Oberflächenenergie S erhöht. Zur beidseitigen Rissverlängerungda eines Risses der Länge 2a kommt es, sofern die Oberflächenenergie dS nicht grösserist, als die freigesetzte elastische Energie -dU, d.h. das Stabilitätskriterium für einen Risslautet

(2.1)

Griffith versuchte den Zusammenhang zwischen der spezifischen Oberflächenenergie ,der Zugfestigkeit und dem Radius an der Rissspitze herzuleiten. Dabei bestimmte er

einerseits durch interferometrische Messungen; andererseits ging er davon aus, dass in der Grössenordnung der Moleküle liegen muss. Durch Abschätzung der Festigkeiteiner Molekülkette, welche wesentlich über der Festigkeit eines grösseren Werkstoffvo-lumens liegt, gelang es ihm, die Grössenordnung der maximalen Spannung an der Riss-spitze korrekt zu erfassen.

Unter Verwendung des Energieansatzes (2.1) lässt sich gemäss Hahn [56] für einenGriffith-Riss der Länge 2a folgendes Bruchkriterium ableiten

(2.2)

mit

(2.3)

für den ebenen Spannungszustand und

(2.4)

für den ebenen Verzerrungszustand, wobei die Bruchspannung, die spezifischeOberflächenenergie und den Elastizitätsmodul bezeichnet. Die Querkontraktionszahlvon Beton beträgt . Daraus ergibt sich eine Differenz von lediglich 4 % zwischendem ebenen Spannungszustand und dem ebenen Verzerrungszustand. Für die vorliegendeArbeit genügt die Beschränkung auf den ebenen Spannungszustand.

Irwin [65] zeigte, dass die spezifische Oberflächenenergie auch plastische, ther-mische, akustische, elektrische und andere Energieanteile beinhalten kann. Da beim

1 r⁄ r

dda------ U S+( ) 0≤

γft ρ

ρ ρ

σcr2E″γπa

------------=

E″ E=

E″ E 1 ν2–( )⁄=

σcr γE

ν 0.2≈

γ

Bruchmechanische Versagensmodelle

7

Bruchvorgang immer zwei Oberfächen gebildet werden, führte er die kritische Energie-freisetzungsrate

(2.5)

als Werkstoffkenngrösse ein. Somit lässt sich das Bruchkriterium (2.2) für den allgemei-nen Fall wie folgt ausdrücken:

(2.6)

In (2.6) gibt der Spannungsintensitätsfaktor

(2.7)

die kritische “Stärke” der Spannungssingularität an der Rissspitze an, bei der eine Riss-verlängerung erfolgt. Er ist ein Mass für die Energie, welche im Moment der Rissverlän-gerung in der Umgebung der Rissspitze gespeichert ist. In der experimentellen Bruchme-chanik werden die Spannungsintensitätsfaktoren anhand von Versuchen angenormten Proben bestimmt. Mit der Maximallast beim Bruch gilt

(2.8)

wobei die Probendicke, die charakteristische Probenabmessung, die Anfangsriss-länge und eine probentypabhängige Formfunktion bezeichnet. Wichtige Vertre-ter solcher bruchmechanischer Versuche sind der Dreipunkt- und Vierpunkt-Biegever-such sowie der Kompaktzugversuch [56].

2.1.3 Nicht lineare Bruchmechanik

Das Verhalten von Werkstoffen, welche nur sehr kleine Zonen irreversibler Deformatio-nen im Bereich der Rissspitze aufweisen, kann mit Hilfe der linear elastischen Bruchme-chanik mit hinreichender Genauigkeit beschrieben werden. Typische Beispiele dafür sindGlas und hochfeste Stähle. Die Modellierung inelastischer Deformationen im Bereich derRissspitze ist Gegenstand der nicht linearen Bruchmechanik.

Eine exakte Berechnung der Spannungen und Verschiebungen an Rissen bei unelasti-schem Verformungsverhalten gelingt im allgemeinen nicht und ist auch in Sonderfällen,unter idealisierten Annahmen, ausserordentlich schwierig. Lösungen für den unelasti-schen Fall liefert z.B. die Plastizitätstheorie [59], wobei dem wirklichen Materialverhal-ten näherungsweise durch verschiedene Formänderungsgesetze Rechnung getragen wird.

Bei der Annahme eines starr-plastischen Verhaltens werden die elastischen Formände-rungen völlig vernachlässigt; hierfür existieren zahlreiche Lösungen der klassischen Plas-tizitätstheorie (Fliesslinientheorie), welche für die Belange der Bruchmechanik jedochnur geringe Bedeutung haben.

Gcr 2γ=

σcrEGcrπa

------------Kcr

πa----------= =

Kcr EGcr=

KcrFmax

KcrFmax

t H----------- Y

a0H-----

=

t H a0Y a0 H⁄( )

Grundlagen

8

Elastisch-plastische Probleme, bei denen teils elastisches, teils plastisches Verhaltenauftritt, sind wesentlich schwieriger zu behandeln. Neben der Berechnung der Span-nungen und Verschiebungen kommt hier noch die Bestimmung der Grenzen zwischendem elastischen und plastischen Bereich hinzu. Sogenannte kohäsive Rissmodelle stehendabei im Zentrum des Interessens.

Eines der bekanntesten kohäsiven Rissmodelle geht auf Dugdale [34] zurück. Dasnach ihm benannte Modell berücksichtigt Fliessbereiche mit konstanter Fliessspannungan der Rissspitze. Die Fliessbereiche werden als plastische Risserweiterungen, die zurvorhandenen, realen Risslänge addiert werden, abgebildet. An diesen zusätzlichen plasti-schen Risserweiterungen greifen gleichförmige, rissschliessende Spannungen an. DieseSpannungen repräsentieren das Verhalten der plastischen Zone an der Rissspitze und stel-len ein ideal plastisches Werkstoffverhalten mit konstanter Fliessspannung dar. Dugdaleüberlagert die Lösung des Griffith-Problems unter einachsiger Zugbeanspruchung senk-recht zur Rissebene mit der Lösung mit symmetrischer Teilbelastung im Bereich der Riss-enden, siehe Bild 2.1 (a).

Auf einer ähnlichen physikalischen Grundidee basiert das Rissmodell von Barenblatt[11]. Die plastische Zone an der Rissspitze wird ebenfalls als zusätzliche Risslänge dar-gestellt. An den Rissufern des zusätzlichen plastischen Risses greifen kohäsive, riss-schliessende Spannungen an. Somit kommt es auch hier zu keiner Spannungssingularitätan der Rissspitze und es treten keine Spannungen auf, die grösser als die Zugfestigkeit sind. Unbekannt sind die Ausdehnung des plastischen Bereiches und der Verlauf der riss-schliessenden Spannungen. Es wird angenommen, dass die Ausdehnung und Verteilungder Kohäsivkräfte für einen gegebenen Werkstoff unter gleichen Belastungsbedingungenimmer gleich sind.

Treten im Vergleich zu den Rissabmessungen kleine, plastische bzw. inelastische Ver-formungszonen an der Rissspitze auf, so kann das elastische Spannungsfeld ausserhalb

ft

Bild 2.1 – Spannungsverteilung an der Rissspitze: (a) Dugdale- [34] und Barenblatt-Modell [11] im plastischen Deformationsbereich; (b) näherungsweise Erfas-sung der plastischen Zonen bei konstanter Fliessspannung.

(b)(a)

DugdaleBarenblatt

ft

σ

r

Risslänge 2a plastischerDeformationsbereich

Risslänge 2a ∆aeff plastische Zone

A1A2

σ r( )Kcr

2πr-------------=

Bruchmechanische Versagensmodelle

9

der plastischen Zone in einem Abstand zur Rissspitze, der im Vergleich zur Rissabmes-sung klein ist, durch die Gleichungen der linear-elastischen Bruchmechanik beschriebenwerden, siehe Bild 2.2 (b). Bei den hier auftretenden Spannungsintensitätsfaktorenspricht man von plastischen Spannungsintensitätsfaktoren. Ferner muss der reale Riss umeinen sogenannten plastischen Korrekturriss, auch effektive Rissverlängerung ge-nannt, erweitert werden. Die Länge der effektiven Rissverlängerung ist so zu wäh-len, dass sich im elastischen Bereich der gleiche Spannungsverlauf ergibt wie für den Rissmit plastischer Verformungszone. Die Länge des plastischen Korrekturrisses lässt sichaus der Gleichheit der Flächen unter den Spannungsverläufen für den plasti-schen und den linear elastischen Fall (korrigiert mit der effektiven Rissverlängerung

) ermitteln. Die Flächen unter den Spannungsverläufen sind ein Mass für die ent-sprechenden elastisch gespeicherten Energien. Sind der Spannungsverlauf im plastischenRiss und die Ausdehnung der plastischen Zone bekannt, so lassen sich die effektive Riss-verlängerung und die Spannungsverteilung im elastischen Bereich bestimmen.

2.1.4 Fiktives Rissmodell nach Hillerborg

Die Grundidee des fiktiven Rissmodells stammt von Hillerborg, Modéer und Petersson[62]. Es wird angenommen, dass sich der Werkstoff linear elastisch verhält, bis seineFestigkeit erreicht ist. Wird dann die Dehnung verformungsgesteuert weiter erhöht, sokommt es je nach Werkstoff zu einer bestimmten Entfestigung innerhalb der Bruchpro-zesszone bei gleichzeitiger elastischer Entlastung ausserhalb der Bruchprozesszone.

∆aeff∆aeff

A1 A2=

∆aeff

∆aeff

Bild 2.2 – Fiktives Rissmodell: (a) Zugprobe mit Bruchprozesszone; (b) Kraft-Verlän-gerungs-Diagramm; (c) elastisches Verhalten ausserhalb der Bruchprozess-zone; (d) Entfestigung in der Bruchprozesszone.

(c)

(b)

(d)

(a) σ

d

σ1

w1 wcr

ftft

E

1

Bruchprozess-zone

σ(w)Gf

u

w

u

σ

F

σ

ε

Grundlagen

10

Dieser Gedanke lässt sich anhand des in Bild 2.2 (a) dargestellten dehnungsgesteuer-ten Zugversuchs verdeutlichen. Belastet man die Probe derart, dass die Zugfestigkeit nicht erreicht wird, so verhält sich die Probe linear elastisch entsprechend Bild 2.2 (c).Wird an einer Stelle in der Probe, aufgrund statistisch verteilter Fehlstellen, die Festigkeit

überschritten, so kommt es unter Erhöhung der lokalen Dehnung zur Abnahme derSpannung gemäss Bild 2.2 (d), d.h. die Entfestigung setzt lokal ein. Der Rest der Probeverhält sich weiterhin linear elastisch und verkürzt sich dementsprechend. Insgesamt re-sultiert das in Bild 2.2 (b) dargestellte Kraft-Verlängerungsverhalten.

Bei den Vorgängen in der Bruchprozesszone kann es sich um plastische Fliessbereicheoder um Schädigungsprozesse, die durch Mikrorissbildung gekennzeichnet sind, han-deln. In beiden Fällen lässt sich das Entfestigungsverhalten als Spannungs-Rissöffnungs-Diagramm gemäss Bild 2.2 (d) darstellen. Dabei bezeichnet w die Öffnung einesfiktiven Risses. Ist die Spannungsübertragungsfähigkeit des Werkstoffes ab einer kriti-schen fiktiven Rissöffnung nicht mehr vorhanden, so handelt es sich um einen realenRiss. Das mechanische Verhalten eines Werkstoffs lässt sich somit durch folgende Kenn-grössen beschreiben: den Elastizitätsmodul E, die Festigkeit , und die Spannungs-Rissöffnungs-Funktion bzw. die spezifische Bruchenergie , welche zur Durch-trennung eines Bauteils benötigt wird.

Die Dissipationsarbeit entspricht der Fläche unter der Kraft-Verlängerungs-Kurvein Bild 2.2 (b). Die Bruchfläche bzw. Ligamentfläche ergibt sich in der Regel aus derLigamenthöhe multipliziert mit der Probendicke. Dieses Vorgehen, die Bruchenergie zubestimmen, geht auf Nakayama [99] zurück und unterscheidet sich von der Methode, diespezifische Bruchenergie bzw. die kritische Energiefreisetzungsrate aus derMaximallast (z.B. mit den Gleichungen (2.6) bis (2.8)) zu bestimmen. In derLiteratur geht man häufig davon aus, dass sich für sehr spröde Werkstoffe die kritischeEnergiefreisetzungsrate nur unwesentlich von der spezifischen Bruchenergie un-terscheidet. In der vorliegenden Arbeit wird die spezifische Bruchenergie verwendet.Diese entspricht der Fläche unter dem Spannungs-Rissöffnungs-Diagramm in Bild 2.2

ft

ft

σ w( )

wcr

ftσ w( ) Gf

Bild 2.3 – Spannungsverteilung am fiktiven Riss: (a) spröde und zähe Werkstoffe; (b)kohäsives Rissmodell.

(b)(a)zähe Werkstoffe

spröde Werkstoffe

d

Bruchpro-zesszone

σ0

ft

σ

x

Risslänge Länge desfiktiven Risses

Öffnung desfiktiven Risses

Spannungsverlaufim fiktiven Riss

DAL

Gf GcrFmax

Gcr GfGf

Einfluss der Bauteilgrösse auf das Versagen

11

(d). Das fiktive Rissmodell erfüllt gleichzeitig die Grundannahmen der Festigkeitslehreund den Energieansatz der linear elastischen Bruchmechanik.

In Bild 2.3 ist die Spannungsverteilung an einer Rissspitze gemäss der linear elasti-schen Bruchmechanik und dem fiktiven Rissmodell dargestellt. Man erkennt, dass sichfür das fiktive Rissmodell eine ähnliche Spannungsverteilung wie bei anderen kohäsivenRissmodellen einstellt.

2.1.5 Rissbandmodell

Statt in Form eines Spannungs-Rissöffnungs-Diagramms lässt sich das Entfestigungsver-halten auch als Spannungs-Dehnungs-Diagramm darstellen. Hierfür muss, um die fik-tiven Rissöffnungen auf eine Länge beziehen zu können, die Rissbandbreite d in Bild 2.3(a) (d.h. die Ausdehnung der Bruchprozesszone senkrecht zur Rissebene) bekannt sein.Diese Formulierung des fiktiven Rissmodells, das sogenannte Rissbandmodell, geht aufBazant und Oh [17] zurück. Das Rissbandmodell ist zwar physikalisch gesehen exakterals das fiktive Rissmodell, es ist aber sehr aufwendig und nur in wenigen Fällen möglich,die Rissbandbreite d zu bestimmen. Daher ist es wenig sinnvoll, das Rissbandmodell demfiktiven Rissmodell vorzuziehen.

2.2 Einfluss der Bauteilgrösse auf das Versagen

2.2.1 Statistische Modelle

Die Versagenswahrscheinlichkeit eines Bauteils unter konstanter Belastung nimmt mitzunehmender Bauteilgrösse zu. Dies ist in den statistisch verteilten Werkstoffeigenschaf-ten begründet. Weibull [144] entwickelte, von empirischen Überlegungen ausgehend,eine Theorie zur Beschreibung des spröden Werkstoffversagens in Abhängigkeit der Bau-teilgrösse. Als grundlegende Idee setzte Weibull voraus, dass der Sprödbruch von der lo-kalen Spannung an der grössten Fehlstelle bestimmt wird. Zur Modellierung dieses Sach-verhalts unterteilte er das Volumen eines Bauteils in n Einzelelemente mit statistischverteilten Festigkeiten.

Für eine auf Zug beanspruchte Probe betrachtete Weibull eine aus Volumenelementenzusammengesetzte Kette, siehe Bild 2.4 (a). Die Festigkeit der Kette wird durch dasschwächste Glied bestimmt. Wenn das schwächste Volumenelement versagt, dann ver-sagt die komplette Zugprobe. Man spricht daher auch vom Modell des schwächsten Ket-tengliedes. Aufgrund dieser Überlegungen leitete Weibull folgende Gleichung für dieVersagenswahrscheinlichkeit eines Bauteils in Abhängigkeit seines Volumens Vher

(2.9)

P σ V,( )

P σ V,( ) 1 eρV

σ σu–σ0

--------------

m–

–=

Grundlagen

12

wobei die angelegte Spannung, die Referenzfestigkeit, die kleinste auftretendeFestigkeit, die Fehlstellendichte und V das Bauteilvolumen bezeichnet. Betrachtet manden Mittelwert der Festigkeit, d.h. eine Versagenswahrscheinlichkeit zweier Probekörper mit unterschiedlichem Volumen und , so ergibt sich aus (2.9)die Beziehung

(2.10)

Geht man davon aus, dass sich die Fehlstellendichte nur unwesentlich mit dem Werk-stoffvolumen ändert und dass vernachlässigbar klein ist, so folgt

(2.11)

Aus (2.11) folgt für , dass sein muss, d.h. in Übereinstimmung mit ex-perimentellen Beobachtungen [140] muss die Festigkeit mit zunehmendem Bauteilvolu-men V abnehmen. Nach Auswertung verschiedener Biegeversuche an Betonproben er-zielten Bazant und Novak [16] an einer modifizierten Weibull’schen Gleichung mit demExponenten die beste Übereinstimmung mit den experimentellen Werten. UnterVerwendung des fiktiven Rissmodells nach Hillerborg [62] untersuchten Cotterell et al.[29] den Einfluss der statistisch verteilten Spannungs-Entfestigungs-Parameter auf dieBetonfestigkeit. Sie stellten nach analytischen Untersuchungen fest, dass der Exponentder modifizierten Weibull’schen Gleichung für Beton zwischen und liegen muss.

σ σ0 σuρ

P σ V,( ) 0.5=V1 V2

ρ1V1σ1 σu–

σ0-----------------

m

ρ2V2σ2 σu–

σ0-----------------

m

=

ρσu

σ1σ2------

V2V1------m=

σ1 σ2> V1 V< 2

Bild 2.4 – Statistisches Modell nach Weibull [144]: (a) Modell des schwächsten Glie-des einer Kette; (b) Einfluss der Bauteilgrösse bzw. des Probenvolumens aufdie Festigkeit.

(a) (b)σ

σσ

σ

1m

σ1σ2------

log

V1V2------

log

m 12=

m 10= m 20=

Einfluss der Bauteilgrösse auf das Versagen

13

Freudenthal [45] zeigte, dass sich die Theorie von Weibull mit dem Bruchkriteriumvon Griffith verbinden lässt. Mit statistischen Annahmen bewies er ausserdem, dass ineinem ideal spröden Material, in welchem voneinander unabhängige Mikrorisse vorhan-den sind, der Bruch von der schwächsten Stelle aus erfolgt.

Andere Aspekte ergeben sich, wenn man die Einzelvolumina nicht in Serie sondernparallel schaltet. Dieses Konzept geht auf Daniels [30] zurück. Hierbei ruft das Versageneines Gliedes nicht unbedingt das Versagen des kompletten Bauteils hervor. Vielmehrkommt es zu einer Lastumlagerung in die parallelgeschalteten Glieder, bis das Gesamt-system die Last nicht mehr aufnehmen kann.

2.2.2 Linear elastische Bruchmechanik

Während nach der linear elastischen Biegetheorie und der Kerbspannungslehre kein Ein-fluss der Bauteilgrösse auf die Nennfestigkeit vorliegt, nimmt diese bei geometrischähnlichen Proben gemäss der linear elastischen Bruchmechanik mit ab, wobei Hdie charakteristische Probenabmessung ist. Unter der Nennfestigkeit versteht man diemittels der linear elastischen Biegetheorie ermittelte Maximalbelastung in einem Bauteil.Zur Bestimmung der Maximalbelastung werden keine Spannungüberhöhungen im Sinneder Kerbspannungslehre berücksichtigt. Die Maximalbelastung liegt in der Regel bei an-gerissenen und gekerbten Proben an der Rissspitze bzw. im Kerbgrund vor. Gemäss derlinearen Biegetheorie berechnet sich die Nennfestigkeit für geometrisch ähnlicheProben wie folgt

(2.12)

wobei L ein von der Probengeometrie abhängiger, spezifischer Faktor ist, der mit Hilfeder linearen Biegetheorie bestimmt wird. Für übliche bruchmechanische Probekörperfolgt die Maximallast hingegen aus (2.8) unter Verwendung des Spannungsintensitätsfak-tors und der probentypabhängigen Formfunktion Y. Aus (2.8) und (2.12) ergibt sichsomit folgende Abhängigkeit der Nennfestigkeit von der charakteristischen Proben-grösse H:

(2.13)

2.2.3 Massstabsgesetz von Bazant

Da bei fast allen Werkstoffen nicht lineare Deformationen der Rissbildung und -ausbrei-tung vorausgehen und es somit zu einer Schädigung des Werkstoffes und damit zu Ab-weichungen von der linear elastischen Bruchmechanik kommt, leitete Bazant [14] einhalbempirisches Gesetz her, das den Übergang von einem Festigkeitskriterium für kleineProben zur linear elastischen Bruchmechanik für grosse Proben beschreibt.

σN1 H⁄

σN

σN LFmaxtH

-----------=

KcrσN

σNLKcr

H Y a0 H⁄( )⋅---------------------------------=

Grundlagen

14

Bei seiner Herleitung ging Bazant davon aus, dass sich in einem Werkstoffvolumeneine Schädigungszone der Bandbreite d senkrecht zur Rissfläche bildet. Diese Annahmeentspricht dem in Kapitel 2.1.5 erwähnten Rissbandmodell [17]. Kommt es in diesemRissband zu einer Rissverlängerung , wie in Bild 2.5 (a) dargestellt, so wird in denrissumgebenden Bereichen (hellgraue Flächen) elastische Energie freigesetzt. Die dun-kelgrauen Flächen stellen die bereits entlasteten Flächen dar. Die durch die Rissverlänge-rung freigesetzte Energie lässt sich wie folgt berechnen

(2.14)

Setzt man diese Energie gleich der zur Rissverlängerung benötigten Energie soergibt sich

(2.15)

wobei die Zugfestigkeit, die Bezugsprobengrösse und einen Festigkeitsfaktorbezeichnet:

, (2.16)

Die Bezugsprobengrösse kennzeichnet den Übergang vom Festigkeitskriterium zurlinear elastischen Bruchmechanik. Betrachtet man die Grenzwerte von Gleichung (2.15),so ergibt sich für die Nennfestigkeit , also ein konstanter Wert gemässFestigkeitslehre; für ergibt sich hingegen , d.h. die Nennfes-tigkeit nimmt mit analog der linear elastischen Bruchmechanik ab. Der Verlauf der

� � �� � � �

� �

�

�

�

� �

� �

�

Bild 2.5 – Massstabsgesetz nach Bazant [14]: (a) Gedankenmodell der Rissausbreitung;(b) Einfluss der Bauteilgrösse auf die Nennfestigkeit gemäss linear elas-tischer Bruchmechanik und dem Massstabsgesetz nach Bazant.

σN

(a) (b)

Hlog

σN Bft=

σNBft

H H0⁄-------------------=

σNBft

1 H+ H0⁄----------------------------=

H0

σlog N

∆a

∆a ∆U

∆U d∆a 2ka∆a+2E

--------------------------------σN2=

Gf ∆a

σNBft

1 H H0⁄+--------------------------=

ft H0 B

H0 dH 2ak⁄= B 2EGf dft2( )⁄=

H0

H 0→ σN Bft=H ∞→ σN Bft H H0⁄⁄=

1 H⁄

Stabilität fiktiver Risse

15

Nennfestigkeit in Abhängigkeit der charakteristischen Probenabmessung H mit denbeiden Asymptoten ist in Bild 2.5 (b) dargestellt.

Sowohl das Massstabsgesetz von Bazant als auch die linear elastische Bruchmechanikzeigen, dass der Grösseneinfluss auf der Energiefreisetzung in der Rissumgebung basiert.Gemäss Bazant et al. [15] lässt sich mit Hilfe des Massstabsgesetzes die spezifischeBruchenergie als Werkstoffkenngrösse bestimmen. Hierzu betrachtet man mit (2.15)den Fall , was zum gleichen Wert wie (2.13) führen muss. Setzt man diespezifische Bruchenergie der kritischen Energiefreisetzungsrate gleich, undersetzt man in Gleichung (2.13) die Bruchzähigkeit durch Gleichung (2.7), so ergibtsich

(2.17)

Die so bestimmte spezifische Bruchenergie wird als Werkstoffkonstante betrachtet,die für alle Probendimensionen gilt. Dies steht allerdings im Widerspruch zu einer ganzenReihe von experimentellen [139] und theoretischen [131] Untersuchungen.

2.3 Stabilität fiktiver Risse

Im folgenden wird auf das Stabilitätsverhalten fiktiver Risse eingegangen. Die Proble-matik beruht auf einer Energiebilanz zwischen der elastisch gespeicherten Energie Ubeim Überschreiten der Festigkeit und der für das Durchtrennen des Bauteilsbenötigten Energie S bzw. der Dissipationsarbeit . Das einfachste Beispiel stellt derzentrische Zugversuch an einem prismatischen Probekörper dar. Die elastisch ge-speicherte Energie U beim Erreichen der Zugfestigkeit beträgt

(2.18)

wobei E den Elastizitätsmodul, die Querschnittsfläche der Probe und l die Proben-länge bezeichnet. Die Dissipationsarbeit beträgt

(2.19)

Geht man davon aus, dass im grenzstabilen Fall die elastisch gespeicherte Energie Ugleich der Dissipationsarbeit ist, so erkennt man, dass für einen gegebenen Werkstoffdie Stabilität nur von der Probenlänge l abhängt. Die kritische Probenlänge ergibt sich zu

(2.20)

σN

GfH ∞→

Gf GcrKcr

GfB ft Y a0 H⁄( )

L-----------------------------

2 H0

E------=

Gf

ftD

ft

UAL ft

2

2E------------l=

ALD

D AL Gf=

D

lcr2 E Gf

ft2

--------------=

Grundlagen

16

Diese Betrachtung geht auf Petersson [107] und Hillerborg [61] zurück, welche die Hälfteder kritischen Länge als Werkstoffkenngrösse definieren und als charakteristischeLänge bezeichnen:

(2.21)

Die charakteristische Länge ist ein Mass zur Beschreibung der Duktilität eines Werk-stoffs. Sie erlaubt den Vergleich von Werkstoffen mit einem ähnlichen Entfestigungsver-halten.

Die bisher dargestellten Überlegungen stellen lediglich eine Grenzbetrachtung dar. Siegeben keine Auskunft darüber, ob bei einem bestimmten Entfestigungsverhalten schonbei kürzeren Probenlängen semistabiles Versagen auftreten kann. Um diese Frage zu be-antworten, wird anhand von Bild 2.6 der Einfluss der Form des Spannungs-Rissöffnungs-Diagramms untersucht.

Die drei in Bild 2.6 (b) dargestellten Zugproben unterscheiden sich lediglich in ihrerLänge. Aus Bild 2.6 (a) und (c) ist ersichtlich, dass die Stabilität von der minimalen Stei-gung der Spannungs-Rissöffnungs-Kurve und der auf die Querschnitts-fläche bezogenen Steifigkeit der unbeschädigten Probe abhängt. Stabiles Ver-sagen ergibt sich für

(2.22)

Bei Proben mit einer Länge l von tritt semistabiles Versagen auf.

lcrlch

lchE Gf

ft2

----------=

lch

Bild 2.6 – Instabilität beim direkten Zugversuch: (a) Spannungs-Verlängerungs-Dia-gramm; (b) Zugproben; (c) Spannungs-Rissöffnungs-Diagramm.

(a) (b)

(c)

ft

I II III

I II

dw

σ

σ

-dσ

w

u

III

El

lcr,k

σd dw⁄( )minAL E l⁄

l lcr k,< E–σd dw⁄( )min

----------------------------=

lcr k, l lcr≤ ≤

Entfestigungsverhalten von Beton

17

2.4 Entfestigungsverhalten von Beton

2.4.1 Allgemeines

Nachdem Kaplan [69] Bruchversuche an Betonträgern nach der Risstheorie von Griffith[51] untersuchte und deren Anwendung auf Beton bestätigte, wurden zahlreiche experi-mentelle und theoretische Arbeiten zur Grössenabhängigkeit der Bruchfestigkeit von Be-ton durchgeführt. Eine umfangreiche Literaturübersicht findet man in [105]. Zur analyti-schen Behandlung des Spannungs-Rissöffnungs-Verhaltens von Beton wurden dieunterschiedlichsten Funktionen angegeben. Diese reichen von einfachen linearen [61]und bilinearen [62] Beziehungen über Potenzgesetze [115] bis zu zusammengesetzten,mehrparametrigen Funktionen [116]. In der vorliegenden Arbeit wird das von Foote et al.[44] vorgeschlagene Potenzgesetz

(2.23)

verwendet. Dieser Potenzansatz enthält folgende Grenzfälle: führt zu konstanterFliessspannung analog dem Dugdale-Modell, entspricht einer linearen Entfesti-gungsfunktion, und modelliert ideal sprödes Verhalten, siehe Bild 2.7 (a). Aus

(2.24)

folgt

(2.25)

Die Steigung der Spannungs-Rissöffnungs-Kurve ergibt sich unter Verwendung von(2.23) und (2.25) zu

(2.26)

Das Minimum der Steigung, , ergibt sich für an der Stelle ,während es bei linearer Entfestigung spannungsunabhängig ist, siehe Bild 2.7 (d).Für folgt aus (2.22), (2.26) und (2.21)

(2.27)

Somit gilt bei linearer Entfestigung und bei ideal sprödem Verhalten . Bild 2.7 (c) zeigt das Verhalten von Proben mit unterschiedlicher

σc fct 1 wwcr--------–

k=

k 0=k 1=

k ∞→

σc wd0

wcr

∫ fct

0

wcr

∫ 1 wwcr--------–

kwd

fctwcr1 k+------------- Gf= = =

wcrGf 1 k+( )

fct-----------------------=

dσcdw---------

f– ct2k

Gf 1 k+( )-----------------------

σcfct-----

k 1–

k----------

=

σcd dw⁄( )min k 1> σc fct=k 1=( )

k 1≥

lcr k, lch1 k+

k-----------=

k 1=( ) lcr k, 2lch=k ∞→( ) lcr k, lch=

Grundlagen

18

Länge und identischem Spannungs-Rissöffnungs-Verhalten ( ), bei welchem ge-mäss (2.27) ist.

Wird zur Beschreibung der Lastübertragungsfähigkeit des Werkstoffes eine bilineareSpannungs-Rissöffnungs-Funktion gemäss Bild 2.2 (d) verwendet, so folgt aus (2.22)

(2.28)

Unter Verwendung der Parameter aus [62] ergibt sich . Mit den Parameternaus dem CEB-FIP Model Code [23] folgt für Grösstkorndurch-messer .

Muttoni [97] definierte mit energetischen Überlegungen einen spannungsabhängigenEntfestigungsstabilitätsfaktor

(2.29)

welcher mit dem Potenzgesetz (2.23) zu

(2.30)

k 2=lcr k, 1.5 lch⋅=

0-1.5 dσcdw---------

lchEc------ [–]

σcfct-----

0

1 k = 2 1 1/2

Bild 2.7 – Entfestigungsabhängige Instabilität beim direkten Zugversuch: (a) Span-nungs-Entfestigungs-Diagramm; (b) Dissipationsarbeit; (c) Spannungs-Ver-längerungs-Diagramm; (d) Steigung der Spannungs-Rissöffnungs-Funktion.

(c) (d)

0.120 u [mm]

Parameter:

lch = 496 mmEc = 31 GPaGf = 100 N/mfct = 2.5 MPa

= 1.0 1.5 2.0

k = 2

0.120 w [mm] 10 w / wcr [–]

σcfct-----

σcfct-----

0

1

0

1

DAL Gf-------------

k = 21

1/2k = 1/2

12

(a) (b) Parameter:

Ec = 31 GPaGf = 100 N/mfct = 2.5 MPa

Gf

k = 0

k = 0

k → ∞

k → ∞

llch------

lcr k,E w1⋅fct σ1–----------------=

lcr k, 1.2 lch=lcr k, 0.94…1.47( ) lch=

dmax 8…32( ) mm=

χ dU dσ⁄dD dσ⁄-----------------=

χ llch------ k

1 k+-----------

σcfct-----

k 1–

k----------

=

Entfestigungsverhalten von Beton

19

wird. Für zeigt die Probe ein stabiles Verhalten, bedeutet den grenzstabilenFall, und bei tritt im verformungsgesteuerten Versuch semi-, bzw. instabiles Versa-gen auf. Für gilt mit (2.27) , unabhängig von k. Der Entfestigungssta-bilitätsfaktor enthält alle Grössen, die die Sprödigkeit eines Systems beeinflussen.Grosse Längen l, kleine Steifigkeiten E, ausgeprägte Entfestigung (k>>1) sowie einekleine spezifische Bruchenergie sind gleicherweise für ein sprödes Verhalten verant-wortlich.

Der Einfluss der Prüfmaschinen-Nachgiebigkeit kann durch eine Feder mit der Kon-stanten berücksichtigt werden. Dies hat ein Verkippen der Spannungs-Verlängerungs-kurve, analog einer grossen Probenlänge zur Folge, vergleiche Bild 2.7 (c). Für folgt eine korrespondierende Probenlänge

(2.31)

Für direkte Zugversuche mit einem Nebenschluss der Nachgiebigkeit gemäss Evansund Marathe [38] gab Petersson [107] das Stabilitätskriterium bzw. die korrespon-dierende Probenlänge wie folgt an:

(2.32)

Der Formfaktor C ist vom Spannungs-Rissöffnungs-Verhalten abhängig, siehe auch(2.26) und (2.27). Die Reduktion der korrespondierenden Probenlänge wurde von Trunket al. [140] experimentell bestätigt.

2.4.2 Biegezugversuch

Die Berücksichtigung des entfestigenden Rissverhaltens bei der Behandlung von Bie-gung bietet einige Schwierigkeiten. Die Berechnungen müssen im allgemeinen mittelsnumerischer Verfahren vorgenommen werden. In der Regel wird die Methode der FinitenElemente verwendet. Zur Diskussion der Auswirkungen der Entfestigung im Riss auf dasLast-Verformungsverhalten ist es jedoch sinnvoll, analytische Näherungslösungen zuerarbeiten. Für den Biegezugversuch wird im folgenden, aufbauend auf dem Vorschlagvon Sigrist [137], eine solche Lösung entwickelt.

Bild 2.8 (a) zeigt einen Versuch, wie er zur Ermittlung der Biegezugfestigkeit übli-cherweise durchgeführt wird. Entsprechend den Diagrammen in Bild 2.2 (c) und Bild 2.7(a) wird davon ausgegangen, dass sich der Beton linear elastisch verhält, und dass dieEntfestigung mit dem Potenzgesetz (2.23) beschrieben werden kann. Der Querschnittwird als initial eigenspannungsfrei angenommen.

Nach dem Erreichen einer Randspannung von bildet sich unmittelbar unter derLast eine Risszone. In Anlehnung an die Balkentheorie kann angenommen werden,dass sowohl die Querschnitte oberhalb des fiktiven Risses, als auch, entsprechend einemVorschlag von Zhu [147], die Rissufer eben bleiben. Daraus ergibt sich entlang der Riss-

χ 1< χ 1=χ 1>σc fct= χ l lcr k,⁄=χ

Gf

cPk 1≥

lcr k, lch1 k+

k----------- Ec AL cP–=

cN

lcr k, lchCEc AL

1 cP⁄ 1 cN⁄+-----------------------------–=

fctF

Grundlagen

20

zone eine Entfestigungs-Spannung gemäss Bild 2.7 (a) bzw. Bild 2.8 (b). Gleich-gewicht im Rissquerschnitt ergibt

(2.33)

(2.34)

wobei

(2.35)

Führt man die Normierungen

, (2.36)

sowie die Abkürzungen

, (2.37)

ein, so kann (2.34) unter Verwertung von (2.33) wie folgt ausgedrückt werden:

as

N b2--- fct σsup–( ) h as–( ) bas fct

1 1 w wcr⁄–( )1 k+–1 k+( )w wcr⁄

--------------------------------------------+ 0= =

M b6--- 2 σsup⋅ fct–( ) h as–( )2 bas

2 fct 1 w wcr⁄–( )k

1 k+( ) 2 k+( )w wcr⁄-----------------------------------------------ck+ F l⋅

4--------= =

ck 1 k+( ) wwcr--------

wcrw

--------– 1 1 wwcr--------–

k––

k–=

Bild 2.8 – Biegezugversuch: (a) Versuchsaufbau und Abmessungen; (b) Gleichgewichtam Rissquerschnitt; (c) vereinfachte Kinematik der Rissöffnung.

(a) (b)

(c)

F

F

h

b h

as

NcMc

fct

σsup

Nc

M=F⋅l /4

as

h

wm2⋅ α

α=2⋅wm / lw

l2---l

2---

µ Mfct bh2 6⁄---------------------= η

ash----=

cw11 1 w wcr⁄–( )1 k+–

1 k+( )w wcr⁄--------------------------------------------= cw2

wcr1 k+( )w

--------------------=

Entfestigungsverhalten von Beton

21

(2.38)

Für gilt statt (2.38)

(2.39)

Die Krümmung im Rissquerschnitt kann gemäss [137] mit dem oberhalb des fiktivenRisses angreifenden Moment

(2.40)

bzw.

(2.41)

sowie der zugehörigen Biegesteifigkeit ermittelt werden. Die Mitten-durchbiegung ergibt sich dann näherungsweise zu

(2.42)

wobei der Momentenformbeiwert mit der Arbeitsgleichung zu bestimmen ist und füreine Belastung gemäss Bild 2.8 (a) beträgt.

Mit (2.42) wird vereinfachend angenommen, dass die zur Berechnung der Durchbie-gung relevante Krümmung affin zur Momentenlinie verläuft und zu den Auflagern hinabnimmt. Die Steifigkeit des Balkens wird damit etwas unterschätzt, was sich gemäss[137] auf die Rechenergebnisse aber nur wenig auswirkt. Die Rissöffnung am unterenBalkenrand kann näherungsweise mit der in Bild 2.8 (c) angedeuteten kinematischen Be-ziehung bestimmt werden:

(2.43)

Die angenommene Kinematik der Rissöffnung entspricht der Vorstellung, dass sich dieVerformungen des Balkens im Rissquerschnitt lokalisieren, was zumindest für Zuständemit grossen Risstiefen relativ gut zutrifft. Die Rissöffnung wird demnach mit Gleichung(2.43) überschätzt, wobei der dabei gemachte Fehler mit wachsender Risstiefe kleinerwird. Durch Einsetzen von (2.42) sowie den Beziehungen für findet man einen nurvom System und der Rissöffnung abhängigen Ausdruck, nämlich

µ 4 1 η–( ) 1 η–4

----------- ηcw1+ 6η2

2 k+----------- 1 w

wcr--------–

kcw2 ck+= w wcr≤( )

w wcr>

µ 4 1 η–( ) 1 η–4

----------- ηcw2+ 6η2

2 k+-----------

wcrw

--------cw2+= w wcr>( )

Mcfct bh2

12-------------- 1 η–( )2 2 2η

1 η–-----------cw1+

= w wcr≤( )

Mcfct bh2

12-------------- 1 η–( )2 2 2η

1 η–-----------cw2+

= w wcr>( )

Ecb h as–( )3 12⁄wm

wm12Mc l2cM

Ecb h as–( )3-----------------------------=

cM1 12⁄

w4wmas

l---------------

4wmη hl

------------------= =

Mcw

Grundlagen

22

(2.44)

bzw.

(2.45)

welcher die bezogene Risstiefe als Unbekannte enthält. Unter Verwendung der Ab-kürzung

(2.46)

folgt aus (2.44)

(2.47)

und aus (2.45)

Bild 2.9 – Biegezugfestigkeit: (a) Momenten-Durchbiegungs-Diagramm und (b) Maxi-malmomente für unterschiedliche Entfestigungs-Funktionen; (c) Momenten-Durchbiegungs-Diagramm und (d) Maximalmomente für unterschiedlicheBelastungskonfigurationen.

(a)

(c)

k = 1/4

3

0

µ[–]

0.30wm [mm]

100.01h / lch [–]

3

0

µ[–]

Parameter:

Gf = 100 N/mfct = 2.5 MPalch = 496 mm

(d)

(b)

14

k = 1/414

Fq

M

Fq

M

F

q

M

cM1

12------=

cM5

48------=

cM18---=

0.1 10.1 0.2

k = 1 k = 1

cM1

12------=cM

112------=

h = 120 mml/h = 2.5

h = 120 mml/h = 2.5

wmwl

4ηh----------

fct l2cδ

Ech 1 η–( )------------------------- 2 2η

1 η–-----------cw1+

= = w wcr≤( )

wmwl

4ηh----------

fct l2cδ

Ech 1 η–( )------------------------- 2 2η

1 η–-----------cw2+

= = w wcr>( )

η

clwEc

8cM fct l-------------------=

η1 2cl+( )2 4cl cw1 cl– 1–( )+ 1 2– cl–

2 cw1 cl– 1–( )----------------------------------------------------------------------------------------= w wcr≤( )

Entfestigungsverhalten von Beton

23

(2.48)

Mit den Beziehungen (2.38) und (2.47) für sowie (2.39) und (2.48) für lassen sich für Biegezugversuche mit gegebenen Prüfkörperabmessungen und Beton-eigenschaften die Last-Durchbiegungs-Kurven ermitteln. Die Resultate solcher Berech-nungen sind in Bild 2.9 dargestellt. Die Schlankheit der Balken, der Elastizitätsmodul ,die spezifische Bruchenergie und die Zugfestigkeit wurden für alle Berechnungengleich gewählt; lediglich die Balkenhöhe wurde variiert. In den Diagrammen ist dieBeanspruchung durch das normierte Moment angegeben, da damit direkt das Ver-hältnis der fiktiven Randspannung zur Zugfestigkeit ausgedrückt wird. Man erkennt, dassdie in einem Biegezugversuch ermittelte fiktive Festigkeit wesentlich grösser ausfällt, alsdie aus einem direkten Zugversuch gewonnene Zugfestigkeit. Daüber hinaus zeigen dieDiagramme in Bild 2.9 (a) und (b), dass durch die Form der Spannungs-Rissöffnungs-Funktion eine geringe Beeinflussung der maximalen Beanspruchung des Systems resul-tiert. Unter Verwendung bilinearer Spannungs-Rissöffnungs-Kurven haben Guinea et al.[52] den Einfluss des Entfestigungsverhaltens auf die Biegezugfestigkeit untersucht.Dabei stellten sie fest, dass die Maximalwerte für für verschieden bilineare Spannungs-Rissöffnungs-Kurven durch parallleles Verschieben der Kurven auf der Abszisse (z.B. inBild 2.9 (b)) erhalten werden können. Der Einfluss der Belastungsgeometrie ist deutlichgeringer, siehe Bild 2.9 (c) und (d).

Die Maximalwerte für und (somit die Biegezugfestigkeiten ) können bestimmtwerden, indem die Ableitung der Beziehung (2.38) gleich null gesetzt wird. Allerdingsfindet man dafür keine geschlossene Lösung. Für vorgegebene Systemwerte können dieBiegezugfestigkeiten jedoch auf numerischem Weg gefunden werden. Mit zunehmenderSprödigkeit des Systems, d.h. zunehmender Balkenhöhe , nähert sich die Biege-zugfestigkeit asymptotisch der aus einem direkten Zugversuch gewonnenen Zugfes-tigkeit .

Aus der Analyse von Finite-Element-Rechnungen und Grenzwertbetrachtungen dertheoretischen Zusammenhänge leitete Zhu [147] eine Formel zur näherungsweisen Be-rechnung der Maximalwerte für her

(2.49)

wobei

(2.50)

Durch Einführen einer plastischen Zone nach dem Überschreiten der Zugbruchdehnungdes Betons und anschliessender sukzessiver Entfestigung im Riss schlugen König et al.

η1 2cl+( )2 4cl cw2 cl– 1–( )+ 1 2– cl–

2 cw2 cl– 1–( )----------------------------------------------------------------------------------------= w wcr>( )

w wcr≤ w wcr>

EcGf fct

hµ

µ

µ fctb

h lch⁄( )fctb

fct

µ

µ1 ηcr 2ηcr

2– 2ηcr3 h lcr k,⁄–+

1 ηcr– 2ηcr2 h lcr k,⁄+

----------------------------------------------------------------=

ηcr1

2.6 8.6h lcr k,⁄+------------------------------------ 1

4 80h lcr k,⁄+----------------------------------+≈

Grundlagen

24

[74] ein mechanisches Modell zur Beschreibung des Betonverhaltens in Zug- und Biege-zugversuchen vor. Nach Auswertung von Parameterstudien zur Ermittlung der Bruch-schnittgrössen [128] leiteten sie für reine Biegung für die Maximalwerte von her:

(2.51)

Die von König et al. [74, 128] eingeführte plastische Zone bzw. die Spannungs-Rissöff-nungs-Kurve entspricht der von Cedolin et al. mit interferometrischen Messmethoden[24, 25] ermittelten irreversiblen Phase mit anschliessendem Entfestigungsverhalten [26].

In Bild 2.10 (a) sind die Ergebnisse von Finite-Element-Berechnungen dargestellt, beidenen eine lineare bzw. bilineare Entfestigungscharakteristik (Gustafsson und Hillerborg[54]) sowie eine plastische Zone gemäss dem Dugdale-Modell (Hawkins und Hjorteset[57]) zugrundegelegt wurden. Zum Vergleich sind die Maximalmomente der hierbeschriebenen Näherungslösung sowie die Näherung von König et al. [74] für konstanteMomentenbeanspruchung dargestellt. In Bild 2.10 (b) sind die Ergebnisse der Nähe-rungslösung denjenigen der analytischen Näherung gemäss Zhu [147] für Dreipunkt-Bie-gung gegenübergestellt. Der Vergleich mit den Versuchsresultaten von Gustafsson [53],Uchida [141] und Petersson [107] zeigt, dass mit der Näherungslösung der Einfluss derSprödigkeit bzw. der Balkengrösse qualitativ richtig erfasst wird. Iyengar und Saviraj[67] erweiterten das analytische Rissbandmodell für Dreipunktbiegung von Ulfkjaer et al.[142]. Die Resultate ihrer analytischen Parameterstudie sind den Kurven aus Bild 2.9 (b)und (d) sowie Bild 2.10 sehr ähnlich. Hillerborg [60] und Bazant [13] stellten in einem di-rekten Vergleich zwischen dem fiktiven Rissmodell [62] und dem Massstabsgesetz [14]bei Verwendung geeigneter Parameter eine gute Übereinstimmung fest.

Bild 2.10 – Vergleichsrechnungen zur Biegezugfestigkeit: (a) Finite-Element-Berech-nungen gemäss Gustafsson und Hillerborg [54] sowie Hawkins und Hjorteset[57] für konstantes Biegemoment, Näherung gemäss König et al.[74]; (b) Analytische Näherung für Dreipunkt-Biegung gemäss Zhu [147];Versuchsresultate von Gustafsson [53], Uchida [141] und Petersson [107].

k 0=( )

(a) 3

0

µ[–]

100.01h / lch [–]

(b)

cM1

12------=cM

18---=

0.1 1100.01h / lch [–]

0.1 1

Zhuk = 1

σ

σ

σ

w

w

w

Petersson

l/h = 4l/h = 4

k = 1

k = 1

König et al.

k = 0

µ

µ 1lch8h------

2 lch

2h------+

lch8h------–+=

GustafssonUchida

Entfestigungsverhalten von Beton

25

Somit kann aus einer experimentell ermittelten Biegezugfestigkeit ein Näherungswertfür die Zugfestigkeit des verwendeten Betons gefunden werden. Dabei ist allerdings zubeachten, dass Streuungen der Materialeigenschaften, Eigenspannungszustände,Querkrafteinflüsse und Einflüsse der Prüfeinrichtung mit dem hier besprochenen Modellnicht erfasst werden.

Die hier gezeigten Berechnungen belegen, dass die Biegezugfestigkeit von Betonunter Berücksichtigung der Sprödigkeit bzw. der Balkengrösse mit einfachen Bezie-hungen in guter Näherung angegeben werden kann. Das Entfestigungsverhalten desBetons im Riss kann mit der Variation des Exponenten des verwendeten Potenzgesetzes(2.23) berücksichtigt werden. Auf diese Weise wird der Vorschlag von Sigrist [137] er-weitert. Der Momentenformbeiwert erlaubt den Vergleich mit Resultaten unter-schiedlicher Belastungskonfigurationen. Die in den Diagrammen in Bild 2.10 dargestell-ten Ergebnisse der Näherungslösung gelten für lineare Betonentfestigung . EineVariation der Entfestigungsfunktion würde die numerischen Resultate zwar beeinflussen,die grundsätzlichen Folgerungen blieben aber die gleichen, siehe Bild 2.9 (a) und (b).

2.4.3 Einfluss von Eigenspannungen

Ist die Verformung einzelner Fasern innerhalb eines Querschnittes in einem Bauteil be-hindert, so spricht man von innerem Zwang. Die dabei entstehenden Spannungen werdenEigenspannungen genannt. Solche Spannungszustände treten z.B. bei jeder Erwärmungoder Abkühlung eines festen Körpers auf. Beim Wärmeaustausch zwischen unmittelbarbenachbarten Körperteilen kommt es zu unterschiedlicher Temperaturverteilung über denQuerschnitt und wegen der gegenseitigen Verformungsbehinderung zu innerem Zwang.

Unter Verwendung der Wärmeleitungsgleichung berechnete Falkner [39] dieEigenspannungszustände in Betonbauteilen unterschiedlicher Dicke und mit veränderli-chen Wärmeübergangszahlen für eine Abkühlung der Betonaussenfläche. Für Bauteilenormaler Festigkeit und Dicken bleiben die Eigenspannungen bei atmo-sphärischen Bedingungen praktisch immer unterhalb der Betonzugfestigkeit, siehe Bild2.11 (a). Die Maxima der Randzugspannungen treten bei dicken Bauteilen bald nach demAusschalen auf. Bei einer Beanspruchung infolge äusserer Last oder Zwang reisst dasBauteil im Randbereich. Wegen der geringen Rissbreite und -tiefe beeinflussen dieseRisse die Temperaturverteilung über den Querschnitt nicht. Im noch ungerissenen Be-reich entsteht eine neue Spannungsverteilung mit einer reduzierten Zugzone [118]. Puche[111] behandelte für ausgehärteten Beton die Eigenspannungsrissbildung mit Hilfe derBruchmechanik.

Infolge der nicht synchronen Entwicklung der Betonzugfestigkeit und des Elastizitäts-moduls für Zugbeanspruchungen ist die Bruchdehnung des jungen Betons eine zeitverän-derliche Grösse und stark von der Nachbehandlung abhängig. Beim Übergang vonFrischbeton zum Festbeton im Alter von 6 bis 12 Stunden tritt ein Minimum der Bruch-dehnung auf. Bild 2.11 (b) zeigt den Verlauf der Zugbruchdehnung nach Wierig [146].

cM

k 1=( )

t 1 m≤

Grundlagen

26

Das Bruchdehnungsminimum erfolgt bei Druckbeanspruchung später, d.h. 1 bis 3 Tagenach dem Betonieren. Danach wächst die Bruchdehnung langsam an. Zwangsbeanspru-chungen, d.h. Spannungen infolge ungleicher Temperaturverteilung innerhalb des Quer-schnittes aus dem Abfluss der Abbindewärme, treffen auf den ansteigenden Ast der Zug-bruch-Dehnungs-Kurve des jungen Betons.

Die in Bild 2.11 (c) dargestellte Spannungsverteilung zur rechnerischen Erfassung derBeeinflussung durch Eigenspannungen infolge Schwinden wurde von Petersson [107]verwendet. Mit Finite-Element-Berechnungen ermittelte Petersson die Biegezugfestig-keit von Betonbalken unterschiedlicher Höhe unter Schwindbeanspruchung (getrocknet)und im nassen Zustand. Die rechnerischen Ergebnisse sind den experimentellen Wertenin Bild 2.11 (d) gegenübergestellt. Mit zunehmender Trägerhöhe wird die Biegezugfes-tigkeit infolge von Schwindeigenspannungen massiv reduziert. Dabei gilt es allerdings zubeachten, dass die Schwindeigenspannungen auch von der Querschnittsform und nichtnur von der Querschnittshöhe abhängig sind.

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Bild 2.11 – Einfluss von Eigenspannungen: (a) Eigenspannungen bei verschiedenenPlattendicken für eine Abkühlung am Aussenrand von 20°C [39]; (b) Zeit-liche Entwicklung der Zugbruchdehnung von jungem Beton [146]; (c)Schwindspannungsverteilung [107] zur Berechnung der (d) Biegezugfestig-keit in Abhängigkeit der Schwindspannung.

t

(a) (b)

(c)

(d)

nassgetrocknet

Zusammenwirken von Beton und Stahl

27

2.5 Zusammenwirken von Beton und Stahl

2.5.1 Allgemeines

Für die Erfassung der Verbundwirkung bei der Berechnung des Trag- und Verformungs-verhaltens von Stahlbetonbauteilen werden verschiedenste Methoden angewendet, diesich in den ihnen zugrundegelegten Modellvereinfachungen und in dem mit ihnen ver-bundenen Rechenaufwand zum Teil sehr stark unterscheiden. Zur analytischen Behand-lung wird hier das Zuggurtmodell nach Alvarez [1] verwendet, welches auf der Grund-lage eines linear elastischen Verhaltens des Betons, allgemeiner Stoffgesetze für denBewehrungsstahl sowie eines starr-ideal plastischen Verbundgesetzes nach Sigrist [137]eine konsistente Beschreibung des Trag- und Verformungsverhaltens von Stahl- undSpannbetonzuggliedern gestattet.

Betrachtet man ein Element eines schlaff bewehrten Zuggliedes mit Bruttoquerschnitt, so erhält man aus Gleichgewichtsgründen in jedem Querschnitt eines Verbundstabes

(2.52)

wobei die Normalkraft und bzw. die Normalkräfte sowie bzw. die Span-nungen im Beton bzw. im Betonstahl bezeichnen. Am differentiellen Element der Länge

gemäss Bild 2.12 (a) gilt für N=konstant

(2.53)

wobei eine über den Umfang des Betonstahls gleichmässig verteilte Verbundschub-spannung betrachtet wird. Unter der Annahme, dass sowohl die Querschnitte desStahls als auch jene des Betons eben bleiben, gilt die kinematische Beziehung

(2.54)

Unter Voraussetzung eines linear elastischen Verhaltens beider Materialien gemäss Bild2.12 (c) erhält man durch Einsetzen von (2.53) und Ableiten von (2.54) die Differential-gleichung

(2.55)

des verschieblichen Verbundes [76]. Führt man

, (2.56)

ein, so kann (2.55) in die bekanntere Gleichung

Ac

N Nc Ns+ Ac As–( )σc Asσs+= =

N Nc Ns σc σs

dx

dNsdx

---------dNcdx

--------- τbπ∅=–=

π∅τb

dδdx------

dusdx--------

ducdx--------– εs εc–= =

d2δ

dx2-------- τbπ∅ 1

EsAs----------- 1

Ec Ac As–( )---------------------------+

=

ρAsAc----- ∅2π

4Ac----------= = n

EsEc-----=

Grundlagen

28

(2.57)

nach Rehm [113] überführt werden. Eine analytische Integration von (2.57) ist nur fürspezielle Funktionen möglich, beispielsweise bei stückweise linearen Funktionen[87].

Die von Sigrist [137] vorgeschlagene starr-ideal plastische Verbundschubspannungs-Schlupf-Beziehung trägt der verminderten Verbundwirkung nach dem Fliessbeginn derBewehrung durch eine Abtreppung Rechnung, siehe Bild 2.12 (d). Für gerippten Beweh-rungsstahl schlug Sigrist vor, die Verbundspannung vor dem Fliessen durch

(2.58)

und nach dem Fliessbeginn durch

(2.59)

in Rechnung zu stellen. Die Zugfestigkeit des Betons kann für die praktische Anwendungin Anlehnung an [23] in Abhängigkeit der Zylinderdruckfestigkeit abgeschätzt wer-den mit

d2δ

dx2--------

4τb 1 ρ n 1–( )+[ ]∅Es 1 ρ–( )

----------------------------------------=

τb δ( )

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Bild 2.12 – Zuggurtmodell: (a) Differentielles Element; (b) maximaler und minimalerRissabstand; (c) Spannungs-Dehnungs-Diagramme für Beton und Stahl; (d)Verbundschubspannungs-Schlupf-Beziehung.

(a) (b)

(c) (d)

τb0 2fct=

τb1τb02

------- fct= =

fcc

Zusammenwirken von Beton und Stahl

29

(2.60)

Dadurch ergeben sich besonders übersichtliche Verhältnisse. Bild 2.12 (b) zeigt links dieHälfte eines von zwei Rissen im maximalen Abstand begrenzten Risselements undrechts ein Risselement mit dem minimal möglichen Rissabstand

(2.61)

Der Rissabstand eines schlaff bewehrten Zuggurtelementes kann sich allgemein zwi-schen den Grenzen

(2.62)

einstellen.

2.5.2 Vergleich mit Versuchen

Im Rahmen des Forschungsprojekts “Verformungsvermögen von Massivbautragwerken”wurden am Institut für Baustatik und Konstruktion der Eidgenössischen TechnischenHochschule Zürich fünf Vierpunktbiegeversuche an Stahlbetonplattenstreifen mit iden-tischen Abmessungen durchgeführt [70]. Der Verlauf der Stahldehnungen der schlaffenBewehrung wurde mit auf Bragg-Gittern beruhenden, faseroptischen Dehnungssensorenerfasst. Damit wurde das Verbundverhalten zwischen Bewehrung und Beton so wenigwie möglich beeinträchtigt.

fct 0.3fcc 2 3⁄≈

2l0

l0∅fct 1 ρ–( )

4τb0ρ--------------------------=

sr

∅fct 1 ρ–( )4τb0ρ

-------------------------- sr∅fct 1 ρ–( )

2τb0ρ--------------------------≤ ≤

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Bild 2.13 – Konzept der Versuche von Kenel und Marti [70]: (a) Längsschnitt; (b) Quer-schnitt; (c) gehobelte Nuten im Bewehrungsstahl für den Einbau der elektri-schen (DMS) und faseroptischen (FBG) Sensoren; Abmessungen in mm.

(a)

(b) (c)

Grundlagen

30

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Bild 2.14 – Versuchskörper B4: (a) Last-Durchbiegungs-Diagramm mit Kennzeichnungder Laststufen; (b) gemessene und idealisierte Stahlkennlinie; (c) Bestim-mung der Mittendurchbiegung; (d) Faseroptisch gemessene Stahldehnungen.

(a)

1

60

0

F[kN]

Parameter:

Ec = 34 GPafct = 3.1 MPafcc = 38 MPaEs = 208 GPafy = 550 MPafu = 645 MPaτb0 = 2 fctτb1 = fct4·Ø 10 mmρ = 0.16 %

(b)

Idealisierung; εs=0

500 wm [mm]

5

7

1014

Es = 208 GPa1

Messung; εs=30 ‰/min750

0

σs[MPa]

300 εs [‰]

(c)

Fy ≈ 40 kNFmax = 48.8 kNwm,max = 128 mmwm,u = 143 mm

3

0

εs[‰]

30

0

εs[‰]

3.60 x [m]1.2 2.4

geklebte DMS

Laststufe 751

Laststufe 1410

(d)

Zusammenwirken von Beton und Stahl

31

Im folgenden wird gezeigt, dass mit den einfachen physikalischen Annahmen desZuggurtmodells die Stahlspannungen und -dehnungen der Bewehrung in Stahlbetonbau-teilen zutreffend berechnet werden können. Ein eingehender Vergleich von Rechenergeb-nissen und Versuchsresultaten erfolgt für den Versuchskörper B4, welcher mit einemminimalen Längsbewehrungsgehalt von ρ = 0.16 % gemäss der Norm [135] bewehrt war.Anschliessend wird kurz auf die Entlastung bzw. den entsprechenden Dehnungsverlaufbei Versuchskörper B3 eingegangen.

Bild 2.13 zeigt das Versuchskonzept sowie den Querschnitt eines sensorbestücktenBewehrungsstabes. Die Bragg-Gitter waren in einem Abstand von 10.4 mm in die Faserneingeprägt, d.h. es waren optische Sensoren im cm-Abstand angeordnet. Die Glasfasermit einem Querschnitt von 0.0123 mm2, als Träger der optischen Sensoren, wurde in einegehobelte Nute mit einem Querschnitt von 1.0·1.0 mm2 in Längsrichtung eines Beweh-rungsstabes eingelegt und mit Epoxidharz vergossen, siehe Bild 2.13 (c).

Die faseroptischen Messungen am Versuchskörper B4, welche zu Beginn jeder Last-stufe durchgeführt wurden, sind für einige ausgewählte Laststufen gemäss Bild 2.14 (a)in Bild 2.14 (d) dargestellt. Die Risslage sowie die Abfolge der Rissentstehung lässt sichanhand der faseroptischen Dehnungsmessungen verfolgen. Die zur Kontrolle der faserop-tischen Messungen angebrachten DMS beeinträchtigten den Verbund zwischen Beweh-rung und umgebendem Beton in massiver Weise.

Die faseroptisch gemessenen Stahldehnungen werden im folgenden den rechnerischenWerten gemäss dem Zuggurtmodell [1], der von Shima et al. [134] vorgeschlagenen Ver-bundschubspannungs-Schlupf-Dehnungs-Beziehung sowie der im CEB-Model Code[23] vorgeschlagenen, ortsabhängigen Verbundschubspannungs-Schlupf-Beziehunggegenübergestellt. Die Beziehung von Shima et al. berücksichtigt sowohl den Einflussdes auftretenden Schlupfes und die Betonfestigkeit als auch eine direkte Abhängig-keit der Verbundschubspannung vom Dehnungszustand des Bewehrungsstabes. Die imCEB-Model Code vorgeschlagene Beziehung richtet ein besonderes Augenmerk auf dieim rissnahen Bereich vorliegende Störung der Verbundtragwirkung. Bei der Festlegungder Parameterwerte, welche die Kurvenschar zahlenmässig definieren, werden gewisseBauteilrandbedingungen wie z.B. die Güte der Verbundbedingungen oder die Querbehin-derung der Verbundfuge implizit einbezogen. Die Beziehungen von Shima et al. undCEB-Model Code müssen numerisch behandelt werden. Rechenbeispiele und Diskussio-nen der unterschiedlichen Resultate sind in [1] ausführlich dargestellt.

Mit einem idealisierten Spannungs-Dehnungs-Diagramm [32] eines kaltverformtenBewehrungsstahles gemäss Bild 2.14 (b), d.h.

(2.63)

lassen sich die Stahldehnungen sowie die Stahl- und Verbundschubspannungen entlangvon Risselementen berechnen. Für die Untersuchungen am Versuchskörper B4 und B3

fcc

εsσsEs-----

σsks-----

λs

+=

Grundlagen

32

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Bild 2.15 – Versuchskörper B4 — Vergleich unterschiedlicher Verbundsschubpannungs-Schlupf-Beziehungen mit experimentellen Resultaten: (a) Stahldehnungen,Stahl- und Verbundschubspannungen entlang zwei Risselementen; (b) Ver-gleich der gemessenen und berechneten Stahl-Dehnungen.

ZuggurtmodellCEB - FIPShima et al.

Messungen

ZuggurtmodellCEB - FIPShima et al.

Zusammenwirken von Beton und Stahl

33

Bild 2.16 – Versuchskörper B3 — (a) Last-Durchbiegungs-Diagramm mit Kennzeich-nung der Laststufen; (b) Verbundschubspannungs-Schlupf-Beziehung; (c)faseroptisch gemessene Stahldehnungen bei Entlastung in kleinen Lastschrit-ten; (d) berechnete und gemessene Stahldehnungen (Laststufen 5 und 6); (e)aus Messwerten abgeleiteter und rechnerischer Verbundschubspannungsver-lauf bei Entlastung (Laststufe 6).

3

0

εs[‰]

3

0

εs[‰]

2.41.8 x [m]2.0 2.2

12

-12

τb[MPa]

Zuggurtmodell

Messungen

Laststufe 5

Laststufe 6

(c)

(d)

(e)

(a) 120

0

F[kN]

Parameter:

Ec = 40 GPafct = 4.75 MPafcc = 80 MPaEs = 208 GPafy = 550 MPafu = 645 MPaτb0 = 2fct8·Ø 10 mmρ = 0.31 %

(b)

1000 wm [mm]

5

6

τb0

τb

−τb0/2δ

Fy ≈ 90 kNFmax = 107.4 kNwm,max = 178 mmwm,u = 210 mm

4τb0

Ø2τb0

τb0

τb0/2

Grundlagen

34

wurden die Koeffizienten im Bereich gemäss [1] und gewählt. Die Resultate solcher Berechnungen sind in Bild 2.15 (a) für drei aus-

gewählte Laststufen dargestellt. Man erkennt, dass die faseroptisch gemessenen und be-rechneten Stahldehnungen sowohl im elastischen (Laststufe 7) als auch im plastischenBereich (Laststufen 10 und 14) sehr gut übereinstimmen, siehe auch Bild 2.15 (b). Dieunter Verwendung der Idealisierung (2.63) aus den gemessenen Stahldehnungen berech-neten Stahlspannungen sowie die aus (2.53) ermittelten Verbundschubspannungen stim-men sehr gut mit den Resultaten der Modellrechnungen überein.

Die unter Verwendung der Beziehungen aus [134] und [23] berechneten Verbund-schubspannungen folgen dem Verlauf der experimentelle Werten besser als die abge-treppte starr-ideal plastische Verbundschubspannungs-Schlupf-Beziehung gemäss [137].Allerdings ist der numerische Aufwand in Anbetracht der sehr guten Übereinstimmungder mit dem Zuggurtmodell berechneten Stahlspannungen und -dehnungen kaum zurechtfertigen. Die Rechenergebnisse zeigen deutlich, dass die Verläufe der Stahlspan-nungen und -dehnungen mit ausreichender Genauigkeit mit den analytischen Beziehun-gen des Zuggurtmodells [1] bestimmt werden können.

Die faseroptischen Messungen am Versuchskörper B3, welche zu Beginn jeder Last-stufe durchgeführt wurden, sind für die Laststufen 5 und 6 gemäss Bild 2.16 (a) (sowieden kleinen Entlastungsschritten dazwischen) in Bild 2.16 (c) dargestellt. Unter Verwen-dung der in Bild 2.16 (b) dargestellten, gegenüber dem Zuggurtmodell [1] modifiziertenVerbundschubspannungs-Schlupf-Beziehung können die Stahldehnungen bei einer Ent-lastung und der damit verbundenen Verbundspannungsumkehr in Teilbereichen analy-tisch bestimmt werden. Die Annahme einer um 50 % reduzierten Verbundschubspannungbei einer Schlupfumkehr führt zu einer guten Übereinstimmung mit den faseroptisch ge-messenen Stahldehnungen und den aus den Stahlspannungen abgeleiteten Verbundschub-spannungen, siehe Bild 2.16 (d) und (e).

2.5.3 Entfestigungsstabilität schwach bewehrter Stahlbetonkörper

Im folgenden wird auf die Stabilität des Entfestigungsverhaltens von schwach bewehrtenStahlbetonkörpern als Folge des Überschreitens der Zugfestigkeit und der anschlies-senden Entfestigung des Betons unter Mitwirkung einer eingelegten Bewehrung einge-gangen. Analog den drei in Bild 2.6 (b) dargestellten Zugproben unterscheiden sich diebewehrten Zugglieder lediglich in ihrer Länge .

Bild 2.17 (d) zeigt die Stahl- und Betonspannungen bei Erstrissbildung eines gerisse-nen Stahlbetonzugglieds. Aus der Bedingung konstanter Normalkraft entlang dem Zug-glied folgt die Gleichgewichtsbedingung

(2.64)

und daraus die Betonspannung

0 εs 30 ‰≤ ≤ ks 721.44=λs 22.9=

fct

l

ρσsr 1 ρ–( )σc+ 1 ρ n 1–( )+[ ]σc0=

Zusammenwirken von Beton und Stahl

35

(2.65)

im ungerissenen und schlupffreien Bereich. Die Eintragungslänge der Verbundspan-nung ergibt sich aus dem Verlauf der Stahlspannungen zu

(2.66)

Die Rissbreite berechnet sich aus der Integration der Spannungsverläufe entlang der Ein-tragungslänge zu

, (2.67)

woraus die Stahlspannung im Riss berechnet werden kann. Die Stabverlängerungergibt sich zu

(2.68)

� �

� � � �

� ��

� � � ��

� � � �

�

�

Bild 2.17 – Entfestigungsverhalten gerissener Stahlbetonzugglieder: (a) Spannungs-Rissbreiten-Kurven; (b) Spannungs-Verlängerungskurven; (c) korrespondie-rende Probenlänge; (d) Stahl- und Betonspannungen im Bereich der Eintra-gungslänge .le

(c) (d)

(a) (b)

0

1

σcfct-----

0

1

0.20 u [mm]0.120 w [mm]

1.00 ρ [%]

lcr k, ρ( )lcr k ρ=0, ,---------------------

4

1

Parameter:

Gf = 100 N/mlch = 496 mmk = 2fct = 2.5 MPaτb0 = 2 fctØ = 10 mmEs = 205 GPaρ = 0.5 %

σc0/fct

σc/fct

σsr/fy

k = 2k = 4

Ø = 5 mmØ = 10 mmØ = 20 mm

σcfct----- ,

σsrfy

-------

l 750 1270 2250 mm=

σc0ρσsr 1 ρ–( )σc+

1 ρ n 1–( )+--------------------------------------=

le

le∅

4τb0---------- σsr nσc0–( )=

le

w ∅4Esτb0---------------- σsr

2 n2σc02–( )

σsrEs-------w n∅

4Esτb0---------------- σsr nσc0–( ) σc σc0+( )–+≈

σsr

u ∅4Esτb0---------------- σsr

2 n2σc02–( )

σsrEs-------w l 2le– w–( )

nσc0Es

-----------+ +≈

Grundlagen

36

Wird das Potenzgesetz (2.23) nach w aufgelöst und in (2.68) eingesetzt, erhält man einevon der Entfestigungsspannung abhängige Beziehung für die Stabverlängerung .

Aus den Last-Verformungs-Diagrammen in Bild 2.17 (b) kann man erkennen, dass dieProbe I ein stabiles Versagen zeigt. Bei der Probe II handelt es sich um den grenzstabilenFall, und bei der Probe III tritt im verformungsgesteuerten Versuch semi-, bzw. instabilesVersagen auf. Es ist ersichtlich, dass sich für den Grenzfall der Stabilität eine vertikaleTangente im Wendepunkt der Spannungs-Verlängerungskurve ergibt. Aufgrund desnichtlinearen Last-Verformungs-Verhaltens des Zuggliedes wird die korrespondierendeProbenlänge nicht über die Rissöffnung sondern über die zugehörige Betonspannung imRissquerschnitt bestimmt. Der grenzstabile Fall ergibt sich, falls die Bedingungen

, (2.69)

erfüllt sind. Falls nur die erste Bedingung erfüllt wird, tritt semistabiles Versagen ein.Dies würde sich experimentell mit einem ‘snap-back’ zeigen. Allerdings findet man dafürkeine geschlossene Lösung. Für vorgegebene Systemwerte können die korrespondieren-den Probenlängen auf numerischem Weg gefunden werden. Die Resultate solcherBerechnungen sind in Bild 2.17 dargestellt. Die Abmessungen der Proben, der Elastizi-tätsmodul , die spezifische Bruchenergie und die Zugfestigkeit wurden für alleBerechnungen gleich gewählt; lediglich die Probenlänge wurde variiert. In Bild 2.17 (c)sind die korrespondierenden Probenlängen der bewehrten Probe normiert bezüglich derkorrespondierenden Probenlänge der unbewehrten Probe angegeben. Damit kann direktdie Zunahme der korrespondierenden Probenlänge in Abhängigkeit des Bewehrungsge-haltes und der Betonentfestigung im Riss ausgedrückt werden. Man erkennt die starkeZunahme der korrespondierenden Probenlänge mit zunehmendem Bewehrungsge-halt . Die verbundversteifende Wirkung kleiner Bewehrungsdurchmesser beein-flusst das Stabilitätsverhalten deutlich stärker als das Entfestigungsverhalten des Betonsim Riss.

Infolge der Nachgiebigkeit der Prüfmaschinen können korrespondierende Proben-längen gemäss Bild 2.17 (c) bei direkten Zugversuchen nicht stabil entfestigt werden.Aufgrund gleicher Überlegungen wie bei (2.31) und (2.32) hat die Nachgiebigkeit derPrüfmaschinen ein Verkippen der Spannungs-Verlängerungskurve nach rechts zur Folge.Diese Feststellung wurde bei direkten Zugversuchen an Stahlbetonscheiben experimen-tell bestätigt [2, 42].

σc u

σc

dudσc--------- 0= d2u

dσc2

--------- 0=

Ec Gf fctl

lcr k,ρ ∅

37

3 Mindestbewehrung von Biegeträgern

3.1 Allgemeines

Die Mindestbewehrung von Stahlbetonbauten dient in erster Linie der Vermeidung einesVersagens ohne Vorankündigung bei Erstrissbildung. Sie muss die während des Rissbil-dungsprozesses auftretenden Zugkräfte in den Rissquerschnitten übertragen. In vielenFällen wird eine Erhöhung der aus Tragsicherheitsgründen unabdingbaren Mindestbe-wehrung verlangt, um im Gebrauchszustand eine den gestellten Anforderungen genügen-de Begrenzung der Rissbreiten zu gewährleisten. Eine Übersicht zum Themenkreis derMindestbewehrung einschliesslich entsprechender Normvorschriften findet man in [88].

Im folgenden werden auf der Grundlage von Kapitel 2 Beziehungen entwickelt,welche der Bestimmung einer Mindestbewehrung zur Begrenzung der Stahlspannung aufzulässige Werte bei Biegung und Normalkraftbeanspruchung dienen.

3.2 Bruchmechanisches Modell für bewehrte Biegeträger

3.2.1 Modellannahmen

Die Berücksichtigung des entfestigenden Rissverhaltens von Beton in Kombination mitBewehrung bei der Behandlung von Problemen der Mindestbewehrung bietet einigeSchwierigkeiten. Die Berechnungen zu den in der Literatur vorgeschlagenen Modellenmüssen meist mittels numerischer Verfahren vorgenommen werden. Zur Diskussion derAuswirkungen der Spannungs-Entfestigung im Riss auf das Last-Verformungs-Verhaltenist es jedoch sinnvoll, analytische Näherungslösungen zu erarbeiten. Unter den selbenvereinfachenden Annahmen wie für die Ermittlung der Biegezugfestigkeit wird im fol-genden, aufbauend auf dem Zuggurtmodell, eine solche Lösung entwickelt.

Entsprechend den Diagrammen in Bild 2.2 (c) und Bild 2.7 (c) wird davon ausgegan-gen, dass sich der Beton linear elastisch verhält und dass die Spannungs-Entfestigung mitdem Potenzgesetz (2.23) beschrieben werden kann. Der Querschnitt wird als initial eigen-spannungsfrei angenommen. Weiter wird vorausgesetzt, dass sich nur ein Riss öffnet unddass sich die Verformungen des Balkens im Rissquerschnitt lokalisieren. Diese Vorstel-lung der Rissöffnungs-Kinematik trifft zumindest für grosse Risstiefen relativ gut zu. ZurVereinfachung der Beziehungen wird die Bewehrung modellhaft an der Trägerunterseiteeingelegt, d.h. der Querschnitt wird ohne Überdeckung modelliert.

Mindestbewehrung von Biegeträgern

38

Analog zum bewehrungsfreien Träger bildet sich nach dem Erreichen einer Randspan-nung unmittelbar unter der Last eine Risszone. In Anlehnung an die Balkentheoriekann angenommen werden, dass sowohl die Querschnitte oberhalb des fiktiven Risses,als auch die Rissufer eben bleiben. Daraus ergibt sich entlang der Risszone eine Ent-festigungs-Spannung gemäss Bild 3.1 (c) sowie eine bestimmte Stahlspannung in derBewehrung. Für die Formulierung der Stahlspannungs-Rissbreiten-Beziehung werdenzur Vereinfachung gegenüber (2.67) die Betonverformung sowie die Stahldehnung imRiss vernachlässigt. Weiter wird vorausgesetzt, dass die Stahlspannungen durch die Ver-bundwirkung auf statt abgebaut werden. Der damit verbundene Fehler wird fürStahlspannungen im Bereich der Fliessgrenze verschwindend klein, nämlich im Maxi-mum

(3.1)

Die Rissbreite berechnet sich unter den getroffenen Annahmen zu

(3.2)

und somit gilt für die Stahlspannung im Riss

(3.3)

siehe Bild 3.1 (a).

3.2.2 Gleichgewicht im Rissquerschnitt

Führt man die Normierungen

, (3.4)

Bild 3.1 – Rissquerschnitt: (a) Stahlspannungs-Rissbreiten-Funktion; (b) Querschnitt;(c) Gleichgewicht am Rissquerschnitt.

(a) (c)

h

as

NcMc

fct

σsup

Nc

M=F⋅l/4Asσsr

Asσsrwwy wu

σsr

fy

fu

As

Ac

(b)

N

fct F

asσsr

nfct nσc0

∆ww

-------nfctfy

--------

2≈

w∅ σsr

2 n2fct2–( )

4Esτb0---------------------------------≈

σsr

σsr 4τb0Esw ∅⁄ n2fct2+=

κσsrfct-------= ν N

Ac fct------------=

Bruchmechanisches Modell für bewehrte Biegeträger

39

ein und formuliert man die Gleichgewichtsbedingungen im Rissquerschnitt unter Berück-sichtigung der Stahlspannung und der Normalkraft

(3.5)

so können die Beziehungen (2.38) und (2.47) für wie folgt erweitert werden:

(3.6)

Analog erhält man statt (2.39) und (2.48) für die Beziehungen

(3.7)

In (3.6) und (3.7) bezeichnet den auf die Trägerhöhe bezogenen Bewehrungsgehalt,und es gilt

(3.8)

(3.9)

Mit den Beziehungen (3.6) und (3.8) für sowie (3.7) und (3.9) für lassensich für Biegeträger mit gegebener Geometrie, Betoneigenschaften und Bewehrung dieLast-Durchbiegungs-Kurven ermitteln. Die Resultate solcher Berechnungen sind in Bild3.2 (reine Biegung) und in Bild 3.3 (Biegung mit Normalkraft) dargestellt. Die Schlank-heit der Balken wurde für alle Berechnungen gleich gewählt; nur die Balkenhöhe wur-de variiert. In den Diagrammen ist die Beanspruchung durch das normierte Moment angegeben.

3.2.3 Maximaler Biegewiderstand schwach bewehrter Biegeträger

Die Maximalwerte für können bestimmt werden, indem die Ableitung der Beziehung(3.6) gleich null gesetzt wird. Allerdings findet man dafür keine geschlossene Lösung.Für vorgegebene Systemwerte und Bewehrungseigenschaften können die Maximalwertefür jedoch auf numerischem Weg gefunden werden.

Die Diagramme in Bild 3.2 und Bild 3.3 zeigen den Einfluss des Bewehrungsgehaltes, des Bewehrungsdurchmessers , der Betonzugfestigkeit und der spezifischen

Bruchenergie auf das Maximalmoment schwach bewehrter Stahlbetonbalken. Ent-sprechend den in Kapitel 2.4.2 entwickelten Beziehungen nimmt mit zunehmender Sprö-

σsr

N b2--- fct σsup–( ) h as–( ) bas fct

1 1 w wcr⁄–( )1 k+–1 k+( )w wcr⁄

-------------------------------------------- σsr As+ + νfct Ac= =

w wcr≤

µ 4 1 η–( ) 1 η–4

---------- ηcw1 κρ ν–++ 6η2

2 k+----------- 1 w

wcr--------–

kcw2ck 6η κρ ν– ν

2η------+

++=

w wcr>

µ 4 1 η–( ) 1 η–4

----------- ηcw2 κρ ν–+ + 6η2

2 k+-----------

wcrw

--------cw2 6η κρ ν– ν2η------+

++=

ρ h

η1 κρ ν– 2cl+ +( )2 4cl cw1 cl– 1–( )+ 1 κρ ν+ 2–– cl–

2 cw1 cl– 1–( )--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------= w wcr≤( )

η1 κρ ν– 2cl+ +( )2 4cl cw2 cl– 1–( )+ 1 κρ ν+ 2–– cl–

2 cw2 cl– 1–( )--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------= w wcr>( )

w wcr≤ w wcr>

hµ

µ

µ

ρ ∅ fctGf

Mindestbewehrung von Biegeträgern

40

Bild 3.2 – Verhalten schwach bewehrter Biegeträger: (a) normierte Momenten-Durch-biegungs-Kurven für h = 0.25 m und l/h = 4; (b) Maximalmomente bei Vari-ation verschiedener Parameter.

(a) (b)

ρ = 0.12 %ρ = 0.09 %ρ = 0.06 %ρ = 0.03 %

ρ = 0.12 %ρ = 0.09 %ρ = 0.06 %ρ = 0.03 %

Ø = 5 mmØ = 10 mmØ = 20 mm

Ø = 5 mmØ = 10 mmØ = 20 mm

fct = 1.5 MPafct = 2.5 MPafct = 5.0 MPa

fct = 1.5 MPa

fct = 5.0 MPa

Gf = 200 N/mGf = 100 N/mGf = 50 N/m

Gf = 200 N/mGf = 100 N/mGf = 50 N/m

3

0

µ[–]

10wm [mm]

10h / lch [–]

Grundarameter:

Gf = 100 N/mfct = 2.5 MPalch = 496 mmτb0 = 2 fctØ = 10 mmEs = 205 GPak = 1ν = 0

3

0

µ[–]

3

0

µ[–]

3

0

µ[–]

ρ = 0.12 %

ρ = 0.12 %

ρ = 0.12 %

0.1 10.5

ρ = 0

ρ = 0

σsr = fy

fct = 2.5 MPa

Mindestbewehrung bei Biegebeanspruchung

41

digkeit des Systems, d.h. zunehmender Balkenhöhe der Maximalwert für ab,siehe die strichlierten Linien für bewehrungslose Betonquerschnitte in Bild 3.2 (b).

Die Druckkraft hat einen versteifenden Einfluss auf das Verformungsverhalten derBiegeträger. Einerseits wird das Rissmoment proportional zur Druckkraftzunahmeerhöht, und andererseits ist das Nachrissverhalten weniger stark entfestigend, siehe Bild3.3 (a). Die Maximalwerte von , dargestellt in Bild 3.3 (b), erfahren durch die Druck-kraft eine erhebliche Steigerung.

3.3 Mindestbewehrung bei Biegebeanspruchung

3.3.1 Bestimmungsgleichung

Bei Stahlbetonträgern mit Bewehrung (einheitlicher Stabdurchmesser ) werden die beiLasteinwirkung oder bei Beanspruchung aus äusserem Zwang [88] während des Rissbil-dungsprozesses im Rissquerschnitt auftretenden grösstmöglichen Stahlspannungen

auf ein zulässiges Mass begrenzt. Die zulässige Stahlspannungkönnte theoretisch, unter Vernachlässigung jeglicher Sicherheitsmarge, gleich der Bruch-

Bild 3.3 – Verhalten schwach bewehrter Biegeträger unter Normalkraftbeanspruchung:(a) normierte Momenten-Durchbiegungs-Kurven für h = 0.25 m und l/h = 4;(b) Maximalmomente bei Variation verschiedener Parameter.

(a) (b)ν = -0.4ν = -0.3ν = -0.2ν = -0.1

10wm [mm]

100.1h / lch [–]

Grundarameter:

Gf = 100 N/mfct = 2.5 MPalch = 496 mmk = 1

3

0

µ[–]

3

0

µ[–]

ρ = 0.12 %Ø = 10 mmEs = 205 GPaτb0 = 2 fct

10.5

ρ = 0; ν = 0

ρ = 0; ν = 0

σsr = fy

ρ = 0.12 %; ν = 0

ν = -0.4ν = -0.3ν = -0.2ν = -0.1

ρ = 0.12 %; ν = 0

ν = -0.4ν = -0.3ν = -0.2ν = -0.1

ν = -0.4ν = -0.3ν = -0.2ν = -0.1

h lch⁄( ) µ

µ

∅

σs max, σ= sr σs adm,

Mindestbewehrung von Biegeträgern

42

festigkeit des Bewehrungsstahles gewählt werden. In der Regel wird jedoch angesetzt.

Das Diagramm in Bild 3.4 (a) zeigt für einen Biegeträger mit Bewehrung am unterenQuerschnittsrand und Rechteckquerschnitt gemäss Bild 3.1 (b) normierte Last-Durchbie-gungskurven mit unterschiedlichen Bewehrungsgehalten. Es wirkt keine äussere Normal-kraft. Mit der Begrenzung der Stahlspannung im Riss auf

(3.10)

sowie der Bedingung, dass das Biegemoment beim Erreichen der Fliessspannung gleichdem ersten Maximum der Last-Durchbiegungskurve ist, lässt sich die Mindestbewehrungbestimmen.

Allerdings findet man dafür keine geschlossene Lösung. Für vorgegebene System-werte und Bewehrungseigenschaften können die Mindestbewehrungsgehalte jedoch auf numerischem Weg gefunden werden. Die Resultate solcher Berechnungensind in Bild 3.4 (b) bis (d) dargestellt. Die Schlankheit der Balken wurde für alle Berech-nungen gleich gewählt, und nur die Balkenhöhe wurde variiert. Es ist ersichtlich, dassdie Betonzugfestigkeit und die Fliessgrenze , nicht aber die spezifische Bruchener-gie einen signifikanten Einfluss auf den Mindestbewehrungsgehalt haben. Entspre-chend (3.6) und (3.7) nimmt mit zunehmender Sprödigkeit des Systems, d.h. mit zuneh-mender Balkenhöhe die erforderliche Mindestbewehrung ab.

3.3.2 Vereinfachte Berechnung der Mindestbewehrung

Werden die Mindestbewehrungsgehalte auf das Verhältnis der Festigkeiten bezogen, sind die berechneten Kurven beinahe deckungsgleich und können in guterNäherung wie folgt vereinfacht werden

(3.11)

Der Klammerausdruck in Gleichung (3.11) ist aus bruchmechanischen Überlegungen ab-geleitet; er erreicht für den Wert drei und für den Wert eins. Dies entsprichtim wesentlichen den Grenzwerten der grössenabhängigen Biegezugfestigkeit für plasti-sches und ideal sprödes Materialverhalten, wie in Kapitel 2.4.2 dargestellt und in [54] dis-kutiert. Der der Klammer vorangestellte Faktor ergibt sich aus der klassischen Stahlbe-tontheorie [96, 114] für den Fall, dass die Stahlspannung im Rissquerschnitt gerade dieFliessgrenze erreicht , die Bewehrung an der Trägerunterseite eingelegt wirdund das Entfestigungsverhalten des Betons im Rissquerschnitt als ideal spröd modelliertwird. Wird der Hebelarm der inneren Kräfte zu 0.95d angenommen, ergibt sich der Faktorzu

fuσs adm, f≤ y

σsr f= y

ρmin

hfct fy

Gf

h lch⁄( ) ρmin

ρmin fy fct⁄

ρminfyfct----- 0.175 3 2

1 lch h⁄+4-------------------------–

=

h 0→ h ∞→

σsr fy=( )

Mindestbewehrung bei Biegebeanspruchung

43

(3.12)

Führt man die Normierung

(3.13)

Bild 3.4 – Mindestbewehrung von Rechteckquerschnitten: (a) Bestimmungbedingunggemäss Gleichung (3.10); (b), (c) und (d) Mindestbewehrungsgehalte fürvariable spezifische Bruchenergie , Betonzugfestigkeit und Fliess-grenze ; (e) und (f) auf und bezogene Mindestbewehrungsgehalte.

Gf fctfy fct fy

(a)

0wm [mm]

10h / lch [–]

0.1 1

0.5 1

10h / lch [–]

0.1 1

10h / lch [–]

0.1 1

3

0

µ[–]

0.4

0

ρmin[%]

0.4

0

ρmin[%]

0.4

0

ρmin[%]

Grundparameter:

Gf = 100 N/mfct = 2.5 MPalch = 496 mmτb0 = 2fctfy = 500 MPaØ = 10 mmEs = 205 GPak = 1

(d)(c)

(b)ρ > ρminρ = ρminρ < ρmin

fct = 5.0 MPafct = 2.5 MPafct = 1.5 MPa

Gf = 200 N/mGf = 100 N/mGf = 50 N/m

fy = 400 MPafy = 500 MPafy = 600 MPa

σsr = fy

(e)

10h / lch [–]

0.1 1

0.4

0

[–]

(f)

ρminfyfct-----

0.4

0

[–]

ρminfyfct-----

10h / lch [–]

0.1 1

fct variabel fy variabelVereinfachung

fy = 400 MPafy = 500 MPafy = 600 MPa

16 0.95⋅----------------- 0.175≈

ψ d h⁄=

Mindestbewehrung von Biegeträgern

44

für die Bewehrungsanordnung bzw. die statische Höhe ein, so kann (3.11) unter Verwen-dung von (3.13) und (2.21) wie folgt ausgedrückt werden

(3.14)

Der Ausdruck (3.14) enthält die signifikanten Grössen, welche die Mindestbewehrungs-gehalte beeinflussen. Kleine Balkenhöhen , kleine bezogene statische Höhen der Bewehrung, grosse charakteristische Längen sowie ein grosses Festigkeitsver-hältnis sind für eine erhöhte Mindestbewehrung verantwortlich.

Die Vereinfachung (3.14) bildet den Verlauf der Mindestbewehrung für kleine undmittlere Trägerhöhen befriedigend gut ab. Bei grossen Trägerhöhen nähert sich die Ver-einfachung asymptotisch dem Grenzwert der klassischen Stahlbetontheorie, während dieResultate der numerischen Berechnung stets kleinere Mindestbewehrungsgehalte erge-ben. Bei grossen Abmessungen fallen Unsicherheiten der Modelle aus Kapitel 2.4.2sowie Gleichung (3.2) bzw. (3.3) stärker ins Gewicht, da die Entfestigungszone des Riss-querschnittes gegenüber der Trägergrösse immer kleiner wird.

3.4 Vergleich mit auf Bruchmechanik basierenden Ansätzen

Basierend auf experimentellen Untersuchungen, schlugen Bosco und Carpinteri [22] eineFormel vor, welche die Systemsprödigkeit bzw. die Spannungsintensität beinhaltetund mit der Betonzylinderdruckfestigkeit korreliert

, MPa (3.15)

wobei bzw. in MPa bzw. MPa und in m einzusetzen sind. Allerding ist die-se Beziehung empirisch entstanden, und es kann damit keine adäquate Aussage über dasMaximalmoment des Rissbildungsprozesses gemacht werden.

Baluch, Azad und Ashmawi [10] verglichen die experimentellen Daten von Bosco undCarpinteri [22] mit ihrem linear elastischen bruchmechanischen Modell und leiteten fol-gende Beziehung her

(3.16)

wobei für die Bewehrungsüberdeckung in m, bzw. in MPa bzw. MPa einzu-setzen sind.

ρmin0.175

ψ------------- 3 2

1 EcGf hfct2( )⁄+4

------------------------------------------– fct

fy-----=

ρmin h ψlch

fct fy⁄ ρmin

Kcrfcc

ρminKcr

fy h----------- 0.1 0.23

fccσ1------+

= σ1 100=

Kcr fy m h

ρmin1.9134 Kcr

0.82

fy0.9922 2.6 d h⁄ 0.9–( )

-------------------------------------------------=

Kcr fy m

Vergleich mit auf Bruchmechanik basierenden Ansätzen

45

Gerstle et al. [47] leiteten unter der Voraussetzung einer monoton steigenden Last-Durchbiegungs-Kurve, wie in Bild 3.5 (a) dargestellt, eine von der Bewehrungsfestigkeitunabhängige Beziehung her

(3.17)

Diese Beziehung liefert viel grössere Mindestbewehrungsgehalte als die anderenModelle sowie die aktuellen Normen, siehe Bild 3.5.

Auf der Grundlage eines kohäsiven Rissmodells und der Beziehung von Bosco undCarpinteri [22] sehr ähnlich, gelangten Hawkins und Hjorteset [57] zur Näherung

(3.18)

wobei der Biegezugfestigkeit eines nichtbewehrten Balkens mit identischen Abmes-sungen des bewehrten Balkens entspricht:

, (3.19)

Hierbei ist bei Dreipunkt-Biegung bzw. bei Vierpunkt-Biegung.

Ruiz, Planas und Elices [121] berücksichtigten im Gegensatz zu den vorhin erläutertenModellen die Verbundschubspannung der Bewehrung. Durch Analyse der Rissuferver-formungen infolge der kohäsiven Spannungen am Riss und den Verbundschubspannun-gen im Innern einer Halbscheibe [92] berechneten sie auf numerischem Weg Last-Durch-biegungs-Kurven. Ausgehend vom ersten Maximum der Last-Durchbiegungs-Kurveleiteten sie aus dem Momenten-Gleichgewicht im Kollapszustand und unter Verwendungder Biegezugfestigkeit gemäss Gleichung (3.19) und einem Verbundparameter folgende Beziehung her

(3.20)

Ein direkter Vergleich der verschiedenen Modelle ist nicht ohne weiteres möglich, da sieauf unterschiedlichen Annahmen und Modellparametern basieren. Bild 3.5 zeigt denerforderlichen Mindestbewehrungsgehalt in Abhängigkeit der Trägerhöhe für diebeschriebenen Modelle und folgende Annahmen:

• Der Beton wird charakterisiert durch , , und; für die Modelle von Bosco und Carpinteri [22] sowie Baluch et al.

[10] wird angenommen, dass Irwins [65] Relation (2.7) zu wird. Für die Formel von Gerstle et al. [47] wird eine

lineare Entfestigung mit angenommen. Dem Modell

ρminEcEs----- 0.0081 0.0148

h fctEcwcr--------------+ 0.09–=

ρmin

ρmin0.175

ψ-------------

fctbfy

-------=

fctb

fctb cζ fct 1 0.85 2.3 hl1----⋅+

1–+= l1

Ecw12 fct

------------=

cζ 1.046= cζ 1=

fctb ϑ

ρmin1

6ψ-------

fctb fct⁄

fy fct⁄ ϑ h l1⁄4 3.61 cs l1⁄–( )–--------------------------------------------------------------------=

ρmin h

fct 4 MPa= fcc 40 MPa= Ec 30 GPa=Gf 160 N/m=

Kcr EcGf 2.19 MPa m= =wcr w1 2Gf fct⁄ 80 µm== =

Mindestbewehrung von Biegeträgern

46

von Hawkins und Hjorteset [57] wird Peterssons [107] bilineare Entfestigung mit zugrunde gelegt. Für das Modell von Ruiz et al. [121] wird

eine bilineare Entfestigung mit verwendet.

• Der Stahl wird charakterisiert durch und .

• Die Bewehrungsüberdeckung ist konstant, .

• Für das Modell von Ruiz et al. [121] wird ein konstanter Verbundparameter vor-ausgesetzt. Dies wird durch Verwendung von konstanten Bewehrungsdurchmessern

für alle Trägerhöhen erreicht. Zwei Werte werden betrachtet: entsprichteinem schwachen Verbund mit und ; entspricht einemstarken Verbund mit und .

• Zum Vergleich mit der Norm SIA 162 – Betonbauten [135] werden zwei Werte fürdie Stababstände der Bewehrung betrachtet. Dabei werden gemäss [135] für grosse

Bild 3.5 – Vergleich unterschiedlicher Ansätze zur Berechnung der Mindestbewehrung:(a) Modellannahme von Gerstle et al. [47]; (b) Übersicht (im logarith-mischen Massstab); (c) Vereinfachung (3.14) und Normbestimmungen; (d)auf Bruchmechanik basierende Ansätze.

0 h [m]

0.4

0

0.1

1.0

(a) (b)

SIA 162,

SIA 162,

VereinfachungHawkins &Hjorteset

Ruiz et al., ϑ = 40ϑ = 10

Bosco & Carpinteri

Baluch et al.

Gerstle et al.

grosse Stababstände

kleine Stababstände

4

0

µ[–]

η [–]0 1

ρmin[%]

ρmin[%]

1.2

0 h [m] 1.20 h [m] 1.2

(c) (d)

ρ = ρmin, Gerstle

ρ < ρmin, Gerstle

Bosco & Carpinteri

Ruiz et al., ϑ = 40ϑ = 10

Hawkins &Hjorteset

Vereinfachung

CEB-FIP Model Code

w1 Gf fct⁄ 48 µm==w1 Gf fct⁄ 40 µm==

fy 480 MPa= Es 205 GPa=

h d– 25 mm=

ϑ

∅ ϑ 10=∅ 16 mm= τb 0.4fct≈ ϑ 40=

∅ 8 mm= τb 3fct≈

Einfluss von Eigenspannungen

47

Stababstände gegenüber kleinen Stababständen im Maximum 40 % mehr Bewehrungerforderlich.

Bild 3.5 (b) zeigt, dass die Formeln von Baluch et al. [10] sowie Gerstle et al. [47] vielzu grosse Werte liefern. Im Ausschnitt von Bild 3.5 (c) und (d) mit linearer Skalierungsind die Resultate der Modellrechnungen mit der Norm SIA 162 [135], dem CEB-FIPModel Code [23] sowie die Vereinfachung (3.14) dargestellt. Für kleine Trägerhöhenergeben die Modellrechnungen von Bosco und Carpinteri [22], Hawkins und Hjorteset[57], Ruiz et al. [121] sowie die Vereinfachung (3.14) sehr ähnliche Resultate; die Werteliegen etwas höher als nach der Norm [135]. Für mittlere und grosse Trägerhöhen liefertdas Modell von Bosco und Carpinteri [22] deutlich kleinere Bewehrungsgehalte als dieübrigen Modelle und die Norm, während die Modelle von Hawkins und Hjorteset [57]sowie von Ruiz et al. [121] im Falle des schwachen Verbundes den Werten der Verein-fachung (3.14) sehr ähnlich sind. Bei starkem Verbund liefert das Modell von Ruiz et al.[121] bei kleinen Trägerhöhen und wachsendem h zunächst abnehmende und ab ca.

wieder leicht zunehmende Mindestbewehrungsgehalte. Mit zunehmenderTrägerhöhe nimmt die erforderliche Bewehrung gemäss der Vereinfachung(3.14) ab, siehe Bild 3.5 (b) und (c).

3.5 Einfluss von Eigenspannungen

Eigenspannungen in Betonquerschnitten infolge unterschiedlicher Temperaturverteilungüber den Querschnitt oder behinderter Schwindverkürzung durch den Kernbeton führenim Randbereich zu einer Abnahme der möglichen Rissbeanspruchung, da sich die ent-standenen Randzugspannungen der äusseren Beanspruchung überlagern. Die Reduktionnimmt mit zunehmnder Querschnittsgösse zu, vergleiche Bild 2.11 (a). Der CEB-FIPModel Code [23] berücksichtigt den Einfluss von Eigenspannungen durch eine Reduk-tion für Trägerhöhen , wie in Bild 3.5 (c) dargestellt.

Neben dem Kernbeton stellt auch die Bewehrung eine Schwindbehinderung dar undruft Eigenspannungen hervor. Dieser Einfluss wurde theoretisch vereinfacht untersucht[39] und kann auch in Versuchen beobachtet werden. In Anlehnung an [117] kann dieSchwindspannung für Rechteckquerschnitte unter Berücksichtigung des Bewehrungsge-haltes und des Schwinddehnmasses abgeschätzt werden zu

(3.21)

Zur Berücksichtigung des Schwindeinflusses schlug Mayer [90] einen Abminderungs-faktor der Biegezugfestigkeit in Abhängigkeit des Schwinddehnmasses und derUmgebungsfeuchte vor:

(3.22)

ρminh 0.5 m=

h lch⁄( )

h 0.3 m≥

ρ εcs

σcs 20ρEcεcs≈

αcs εcsRH

αcsfctb εcs RH,( )

fctb------------------------------ 1 1250εcs 1 RH––≈=

Mindestbewehrung von Biegeträgern

48

In Anlehnung an (3.11) bzw. (3.14) und unter Verwendung von (3.22) kann ein Abmin-derungsfaktor für die Mindestbewehrung eingeführt werden

(3.23)

Gleichung (3.23) ist aus bruchmechanischen Überlegungen abgeleitet; der Abmin-derungsfaktor erreicht für den Wert eins und für den Wert von . Diesentspricht im wesentlichen den Beobachtungen von Petersson [107], dargestellt in Bild2.11 (d).

Die Resultate solcher Berechnungen sind in Bild 3.6 dargestellt. Die Kurven für dieunterschiedlichen Schwinddehnmasse berücksichtigen indirekt die Austrocknungs-geschwindigkeit durch die Abhängigkeit von der Umgebungsfeuchte , siehe Bild 3.6(a). Der Abminderungsfaktor gemäss (3.23) infolge der Überlagerung derSchwindspannung mit der äusseren Beanspruchung ist in Bild 3.6 (b) für eine trockeneUmgebung dargestellt und entspricht tendenziell der abgetreppten Reduktiongemäss CEB-FIP Model Code [23].

Die Mindestbewehrung gemäss (3.14) kann infolge Schwindeigenspannungen mitdem Abminderungsfaktor reduziert werden. Ausreichende Versuche zur Bestä-tigung dieser Methode liegen nicht vor, und es ist bei Wechsel der klimatischen Verhält-nissen mit grossen Unsicherheiten zu rechnen. Weiter gilt es zu beachten, dass dieSchwindeigenspannungen nicht nur von der Querschnittshöhe, sondern vor allem von derkleinsten Querschnittsabmessung abhängig sind. Die angegebenen Beziehungen zumEigenspannungseinfluss geben nur einen groben Anhaltspunkt. Dies ist bei der Festle-gung einer Bewehrungsreduktion zu berücksichtigen.

αρ red, 11 αcs–

1 lch h⁄+4-------------------------– 1

1250εcs 1 RH–

1 EcGf hfct2( )⁄+4

------------------------------------------–= =

h 0→ h ∞→ αcs

εcsRH

αρ red,

RH 0.6=( )

αρ red,

Bild 3.6 – Abminderungsfaktor infolge Schwindeinfluss: (a) In Abhängigkeit derUmgebungsfeuchte ; (b) In Abhängigkeit der Querschnittshöhe bei einer Umgebungsfeuchte .

RH h lch⁄( )RH 0.6=

(a)

0RH [–]

1 10h / lch [–]

0.1 1

1

0

αcs[–]

Grundparameter:

Gf = 100 N/mfct = 2.5 MPalch = 496 mmk = 1

(b) 1

0.6

αρ,red[–]εcs = 0.1 ‰

εcs = 0.2 ‰εcs = 0.3 ‰εcs = 0.4 ‰ εcs = 0.1 ‰

εcs = 0.2 ‰εcs = 0.3 ‰εcs = 0.4 ‰

Mindestbewehrung bei Biegung und Normalkraft

49

3.6 Mindestbewehrung bei Biegung und Normalkraft

3.6.1 Allgemeines

Im folgenden werden auf der Grundlage von Kapitel 3.2 die Beziehungen von Kapitel3.3, welche der Bestimmung einer Mindestbewehrung zur Begrenzung der Stahlspan-nung auf zulässige Werte dienen, zur Berücksichtigung der Normalkraft erweitert.Zwecks übersichtlicher Darstellung wird die auf die Betonzugfestigkeit und die Beton-querschnittsfläche normierte Normalkraft verwendet.

Mit der Begrenzung der Stahlspannung im Riss auf (3.10) sowie der Bedin-gung, dass das Biegemoment beim Erreichen der Fliessspannung gleich dem erstenMaximum der Last-Durchbiegungskurve ist, lässt sich die Mindestbewehrung aufnumerischem Weg bestimmen. Die Resultate solcher Berechnungen sind in Bild 3.7 dar-gestellt. Die Schlankheit der Balken wurde für alle Berechnungen gleich gewählt; nur dieBalkenhöhe wurde variiert. Es ist ersichtlich, dass die Betonzugfestigkeit und dieFliessgrenze einen signifikanten Einfluss auf den Mindestbewehrungsgehalt haben.Entsprechend (3.6) und (3.7) nimmt mit zunehmender Sprödigkeit des Systems, d.h.zunehmender Balkenhöhe die erforderliche Mindestbewehrung ab. Mitzunehmender äusserer Druckkraft wird dieser Effekt zusätzlich verstärkt.

ν

Bild 3.7 – Mindestbewehrung von Rechteckquerschnitten unter Normalkraftbeanspru-chung: (a) und (b) Mindestbewehrungsgehalte für variable Betonzugfes-tigkeit und Fliessgrenze ; (c) und (d) auf und bezogeneMindestbewehrungsgehalte für eine bezogene Normalkraft von bzw. .

fct fy fct fyν 0.2–=

ν 0.4–=

(a) 0.4

0

ρmin[%]

Grundparameter:

Gf = 100 N/mfct = 2.5 MPalch = 496 mmτb0 = 2fctfy = 500 MPaØ = 10 mmEs = 205 GPak = 1ψ = 1

(d)(c)

(b)

fct = 5.0 MPa

fct = 2.5 MPa

fct = 1.5 MPa

10h / lch [–]0.110h / lch [–]0.1

Vereinfachung

ν = 0ν = -0.2ν = -0.4

fy = 400 MPa

fy = 600 MPa

0.4

0

[–]

ρminfyfct-----

ν = -0.2 ν = -0.4

σsr f= y

ρmin

h fctfy

h lch⁄( ) ρmin

Mindestbewehrung von Biegeträgern

50

3.6.2 Vereinfachte Berechnung der Mindestbewehrung

Werden die Mindestbewehrungsgehalte auf das Verhältnis der Festigkeiten bezogen, sind die berechneten Kurven beinahe deckungsgleich und können in guterNäherung, analog der Gleichung (3.14), vereinfacht werden:

(3.24)

Der Klammerausdruck in (3.24) erreicht für den Wert drei. Bei grossen Träger-höhen nähert sich die Vereinfachung asymptotisch dem Grenzwert der klassi-schen Stahlbetontheorie

(3.25)

Die Vereinfachung (3.24) bildet den Verlauf der Mindestbewehrung für kleine undmittlere Trägerhöhen befriedigend gut ab, siehe Bild 3.8 (a). Bei grossen Trägerhöhenergeben die numerischen Berechnungen etwas grössere Mindestbewehrungsgehalte. Beigrossen Abmessungen fallen Unsicherheiten der Modelle aus Kapitel 2.4.2 sowie Glei-chung (3.2) bzw. (3.3) stärker ins Gewicht, da die Entfestigungszone des Rissquerschnit-tes gegenüber der Trägergrösse immer kleiner wird.

Aus (3.24) bzw. (3.25) und Bild 3.8 (b) ist ersichtlich, dass für eine bezogene Druck-kraft von und grosse Trägerhöhen keine Mindestbewehrung erforderlich ist.

ρmin fy fct⁄

ρmin0.175

ψ------------- 3 2 1 ν–( )

1 EcGf hfct2( )⁄+4

------------------------------------------– fct

fy-----=

h 0→h ∞→( )

ρmin1 2ν+6 0.95⋅-----------------

fctfy----- 0.175 1 2ν+( )

fctfy-----≈=

ν 0.5–≤

Bild 3.8 – Erforderliche Mindestbewehrung von Rechteckquerschnitten unter Biegungund Normalkraft: (a) Vergleich der numerischen Resultate mit der Verein-fachung (3.24); (b) in Abhängigkeit der bezogenen Normalkraft; Grundpara-meter gemäss Bild 3.7.

0.5

0

[–]

ρminfyfct-----

10h / lch [–]

0.1 1

Vereinfachung

0.01 100

ν = 0ν = -0.2ν = -0.4ν = -0.6ν = -0.8ν = -1.0

ν [–]0 -1

h = 0.05 m0.1 m0.2 m0.5 m1.0 m5.0 m

(a) (b)

Mindestbewehrung bei Biegung und Normalkraft

51

3.6.3 Vergleich mit weiteren Modellen

Mit Hilfe von Gleichgewichtsbedingungen bestimmte Ritz [120] einen für eine Riss-verteilung notwendigen schlaffen Bewehrungsgehalt für Platten mit Vorspannung ohneVerbund. Die Betonspannungen am unteren Rand, welche durch die schlaffe Bewehrungbeeinflusst werden, erreichen die Zugfestigkeit bei einem Bewehrungsgehalt

(3.26)

wobei einen Formfaktor der Betondruckzone, den Spannstahlgehalt, diestatische Höhe und die Spannung im Spannstahl bezeichnen.

Den zur Vermeidung einer Verformungslokalisierung bei Rissbildung notwendigenminimalen Bewehrungsgehalt ermittelte Muttoni [97] aus der Gleichsetzung der Wider-stände im ungerissenen und gerissenen Zustand. Mit der Normierungsgrösse

(3.27)

ergibt sich

(3.28)

(3.29)

Die Norm SIA 162 – Betonbauten [135] verlangt für vorgespannte Platten ohne Verbund

(3.30)

Bild 3.9 zeigt in Abhängigkeit der Trägerhöhe für die beschriebenen Modelle undfolgende Annahmen:

• Der Beton wird charakterisiert durch , , und .

• Der Stahl wird charakterisiert durch und .

• Der Spannstahl wird zentrisch und mit einer Spannung von eingelegt.

• Die Bewehrungsüberdeckung ist konstant, .

• Für das Modell von Ritz [120] wird ein Formfaktor der Betondruckzone vor-ausgesetzt. Der Spannstahlgehalt von bzw. entspricht bei

ρerfcf fcc

σs adm,--------------- 1 ρp

dpd-----

σpcf fcc-----------– 1 1

3ψ2---------

fctcf fcc-----------– 2 1 1

3ψ-------–

– ρpdpd-----

σpcf fcc-----------–=

cf ρp dpσp

cNN

bdfcc------------ ν

ψ----

fccfct------= =

ρmin 1 cN 1 2cN 1 13ψ-------–

fctfcc------ 1

3ψ2---------–+–+

ψfcc

fy----------= cN

ρψ----

fyfcc------≤

ρmin

fctfy----- 1

6ψ------- cN ψ 2

3---–

fccfy------+

2 1 ψ⁄–---------------------------------------------------= cN

ρψ----

fyfcc------>

ρmin 0.0015 12---– ρp 0.0005≥=

ρmin h

fct 2.5 MPa= fcc 30 MPa= Ec 31 GPa=Gf 100 N/m=

σs adm, fy 500 MPa= = Es 205 GPa=

dp h 2⁄=( )σp 1000 MPa=

h d– 25 mm=

cf 1=ρp 0.05 %= ρp 0.1 %=

Mindestbewehrung von Biegeträgern

52

der vorausgesetzten Spannstahlspannung sowie der Betonzugfestigkeit einerbezogenen Normalkraft von bzw. .

Für kleine Trägerhöhen ergeben die Modellrechnungen von Ritz [120] und die Verein-fachung (3.24) sehr ähnliche Resultate; die entsprechenden Werte liegen etwas höher alsjene der Norm [135]. Für mittlere und grosse Trägerhöhen liefern die Modelle Beweh-rungsgehalte, die nur unwesentlich über der Minimalforderung der Norm [135] liegen.Die Resultate nach dem Modell von Muttoni [97] liegen im Fall der kleineren Druckraft

im Bereich der Minimalforderung der Norm und bei grösserer Druckkraft deutlich darunter. Eine weitere Druckkraftzunahme würde zur Vermeidung

der Verformungslokalisierung nach Muttoni keine Bewehrung mehr erfordern. Dies be-stätigt die Annahme in Gleichung (3.24) bzw. (3.25).

Die hier gezeigten Berechnungen belegen, dass die zur Vermeidung eines Versagensohne Vorankündigung bei Erstrissbildung erforderliche Mindestbewehrung mit ein-fachen Beziehungen in guter Näherung sowohl für reine Biegung als auch für Biegungmit Normalkraft angegeben werden kann. Die in Bild 3.9 dargestellten Ergebnisse geltenfür Bewehrungsstäbe mit einem Durchmesser von 10 mm und basieren auf (3.14) bzw.(3.24). Eine Variation der Entfestigungsfunktion, der spezifischen Bruchenergie , desStabdurchmessers oder der Belastungskonfiguration beeinflusst zwar die numerischenResultate, die grundsätzlichen Folgerungen bleiben aber die gleichen. Der Einfluss derDruckkaft zeigt sich in der deutlichen Reduktion der erforderlichen Bewehrung.

σp fctν 0.2–= ν 0.4–=

ν 0.2–=( )ν 0.4–=( )

Bild 3.9 – Vergleich der Vereinfachung (3.24) mit der zur Rissverteilung notwendigenBewehrung nach Ritz [120] sowie den Bestimmungen der Norm [135] fürvorgespannte Platten ohne Verbund und der zur Vermeidung der Ver-formungslokalisierung erforderlichen Mindestbewehrung nach Muttoni [97]:(a) bezogene Normalkraft ; (b) bezogene Normalkraft .ν 0.2–= ν 0.4–=

0.2

0

SIA 162, ρp = 0.05 %

Vereinfachung

Ritz, ρp = 0.05 %

ρmin[%]

0 h [m] 1.20 h [m] 1.2

(a) (b)

SIA 162, ρmin

ν = -0.2 ν = -0.4

SIA 162, ρp = 0.1 %

MuttoniMuttoni

Vereinfachung

Ritz, ρp = 0.1 %

SIA 162, ρmin

ρmin

Gf∅

53

4 Gebrauchsverhalten von Biegeträgern

4.1 Allgemeines

In der Bemessungspraxis muss nachgewiesen werden, dass sich ein Bauteil im Ge-brauchszustand, d.h. unter Nutzlast und anderen Einflüssen, einwandfrei verhält. Unteranderem muss kontrolliert werden, dass nicht zu breite Risse entstehen und dass die Ver-formungen nicht zu gross werden. Man verwendet dazu Berechnungsformeln, mit denenRissabstand und Rissbreite sowie die Steifigkeit eines Balkenabschnitts angenähertermittelt werden können.

Verschiedene halbempirische Formeln wurden aufgrund von Beobachtungen an Ver-suchsbalken hergeleitet [23, 40, 93]. Andererseits ermöglichte Rehms Arbeit über denverschieblichen Verbund [113] die Herleitung von Berechnungsformeln aufgrund klarerBerechnungsmodelle. Aufbauend auf [113] entstand eine Reihe von Arbeiten, die sichmit der genaueren Berechnung von Stahlbeton-Balkenabschnitten befassten, wobei Riss-bildung, Verbundverhalten, Betonverformung usw. zutreffend berücksichtigt wurden[100].

Im folgenden wird für Nachweise im Gebrauchszustand ein einfaches Berechnungs-modell vorgestellt, bei dem das Verbundverhalten der Bewehrung gemäss Kapitel 2.5berücksichtigt wird.

4.2 Ungerissenes Verhalten

Im vorliegenden Abschnitt wird das Verhalten eines im Querschnitt rechteckigen Biege-trägers mit der Bruttoquerschnittsfläche idealisiert. Die Bewehrung ist durchden geometrischen Bewehrungsgehalt und die Lage festgelegt.Ebenbleiben des Querschnittes wird angenommen. Die äussere Beanspruchung soll imSchwerpunkt des ideellen Querschnittes angreifen, dessen Lage sich zu

(4.1)

ergibt. Die ideelle Querschnittsfläche beträgt

(4.2)

Das ideelle Trägheitsmoment des bewehrten Querschnittes berechnet sich zu

Ac bh=ρ As Ac⁄= ψ d h⁄=

hsuph2--- 1 2ψρ n 1–( )+

1 ρ n 1–( )+----------------------------------- ηsuph= =

Aid bh 1 ρ n 1–( )+[ ]=

Gebrauchsverhalten von Biegeträgern

54

(4.3)

oder in guter Näherung zu

(4.4)

Das Widerstandsmoment des ideellen Querschnittes ergibt sich mit (4.1) und (4.3) zu

(4.5)

oder in guter Näherung zu

(4.6)

Die Spannungen im Querschnitt berechnen sich nach der bekannten Formel

(4.7)

und die Biegesteifigkeit des Trägers ergibt sich zu

(4.8)

Angesichts der Unsicherheit bei der Bestimmung des Elastizitätsmoduls und dessenStreuung rechtfertigt es sich allerdings oft nicht, das ideelle Trägheitsmoment zu berech-nen, und es kann mit genügender Genauigkeit gesetzt werden. Im folgendenwird das ideelle Trägheitsmoment gemäss (4.3) verwendet.

Aus (4.7), (4.5) und (4.1) sowie der Annahme, dass am unteren Querschnittsrand dieBetonzugfestigkeit erreicht wird, berechnet sich das Rissmoment zu

(4.9)

oder in guter Näherung zu

(4.10)

Iidbhsup

3

3------------- +

b h hsup–( )3

3---------------------------- As n 1–( ) d hsup–( )2+=

Iidbh3

12-------- 1 3ρ n 1–( ) 2ψ 1–( )2+[ ]≈

WinfIid

h hsup–-----------------=

Winfbh2

6-------- 1 4ρ n 1–( ) 2ψ 1–( )2+[ ]≈

σ z( ) NAid------- M

Iid-----z+=

EII EcIid=

Ec

EII EcIc=

fct

Mr Winf fct 1 νAcAid-------–

=

Mrbh2

6-------- fct 1 ν–( ) 1 4ρ n 1–( ) 2ψ 1–( )2+[ ]≈

Rissabstand in Biegeträgern

55

4.3 Rissabstand in Biegeträgern

4.3.1 Einleitung

Nach dem Überschreiten der Betonzugfestigkeit stellt sich im Querschnitt des Biege-trägers ein Zustand ein, der am Ende des 19. und zu Beginn des 20. Jahrhunderts mit vielexperimentellem und theoretischem Aufwand untersucht wurde, vergleiche z.B. Consi-dère [27].

Bei Beanspruchung durch ein äusseres Moment im gerissenen Zustand spielt die Auf-nahme der Zugkraft die entscheidende Rolle. Ansätze und Rechenverfahren unterschei-den sich untereinander – soweit sie überhaupt einer wissenschaftlichen Wertung standhal-ten – nur durch die Rolle, die dem Beton hinsichtlich der Aufnahme von Zugspannungenzugewiesen wird, sowie durch die Annahme der Spannungsverteilung über den Quer-schnitt, siehe Bild 4.1. Nach Koenens [72, 143] Bemessungsregel wurden noch weitere,zum Teil sehr komplizierte Spannungsverteilungen vorgeschlagen. Fast alle dieser Vor-schläge demonstrierten ihren Genauigkeitsanspruch durch Einbezug der Betonzugspan-nungen. Neben den in [106] beschriebenen Bemessungsregeln existierten verschiedeneBerechnungsvorschriften, welche meist auf rein empirischer Basis oder aber auf falschenRechnungsansätzen aufbauten.

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Bild 4.1 – Spannungsverteilungen über die Querschnittshöhe – Zusammenstellung aus[37, 55, 126].

Gebrauchsverhalten von Biegeträgern

56

Infolge der Kritik durch Ritter [119] wurden die Berechnungsvorschriften verbessert.Mit der Festlegung auf fortschreitende Bruchstadien [133] gab es eine Reihe von Vor-schlägen, die bei einer unterschiedlich angenommenen Verteilung der Betondruckspan-nungen die Zugspannungen als unwirksam annahmen, namentlich jene von Ritter [119]und Mörsch [96] (Bild 4.1). Das einfache Bemessungskonzept von Mörsch [96], welchessich, unter Berücksichtigung zwischenzeitlicher Erkenntnis, jenem von Koenen [72, 143]anlehnte und den Übergang vom Potenzgesetz nach Bach [3] bzw. Latowsky [78] zumlinear elastischen Betongesetz beinhaltete, setzte sich durch. Pauser [106] stellte dieunterschiedlichen Ansätze und deren geschichtliche Entwicklung dar und erschloss denThemenkreis mit einem umfangreichen Literaturverzeichnis.

Koch [71] untersuchte mit Finite-Element-Berechnungen den Spannungszustand einerStahlbetonscheibe bei reiner Biegung. Im Rissquerschnitt II in Bild 4.2 (a) greifen dienormierten Druck- und Zugkräfte an, welche mit der Betonspannung im Symmetriequerschnitt I im Gleichgewicht sind. Der veränderliche Stahlspannungsver-lauf wird mittels einer idealisierten Verbundwirkung berücksichtigt. In Bild 4.2 (a) sindeinerseits die Linien gleicher Spannungen innerhalb der Scheibe und andererseits derVerlauf der Biegespannungen entlang der Scheibenränder aufgezeichnet. Bild 4.2 (b)zeigt den Verlauf der Dehnungen im Beton am Rand einer ohne Verbund vorgespanntenPlatte nach Untersuchungen von Iványi und Buschmeyer [66]. Zahlreiche Finite-Ele-ment-Berechnungen sowie Versuche ergaben geometrie- und beanspruchungsabhängigeVerläufe der Randdehnung . Diese Finite-Element-Analysen machen deutlich, dassdie Betonrandspannungen sowie die Betonspannung im Symmetriequerschnitt I inguter Näherung mit einem linearen Verlauf approximiert werden dürfen.

D Z 1= = σc z( )

εc sup,σc z( )

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Bild 4.2 – Spannungszustand in Stahl- und Spannbeton-Scheiben: (a) Finite-Element-Berechnung einer Stahlbetonscheibe mit schlaffer Bewehrung [71]; (b) Ver-lauf der Dehnungen im Beton am Rand einer ohne Verbund vorgespanntenPlatte [66].

(a) (b)

Rissabstand in Biegeträgern

57

4.3.2 Gleichgewicht

In Bild 4.3 (a) ist, in Anlehnung an eine Arbeit von Birkenmaier [19], ein unter konstanterMomentenbeanspruchung sowie unter Normalkraftbeanspruchung stehender Bal-kenabschnitt dargestellt, der Risse im Abstand aufweist. Im gerissenen Querschnitt

treten am oberen Rand Betondruckspannungen und in der Bewehrung Zugspan-nungen auf. Da der Balken im Gebrauchszustand betrachtet wird, kann zwischenSpannungen und Verformungen sowohl für den Beton als auch für den Stahl ein linearer,elastischer Zusammenhang angenommen werden.

Der ungerissene Querschnitt liegt in der Mitte zwischen zwei Rissen. Die äussereBeanspruchung bewirkt in diesem Schnitt am oberen Rand Betondruckspannungen ,am unteren Rand Betonzugspannungen und in der Bewehrung Zugspannungen ,siehe Bild 4.3 (c). Es wird angenommen, dass die Betonspannungen linear über die Bal-kenhöhe verteilt sind. Obwohl besonders bei engerem Rissabstand eine nichtlineare Ver-teilung der Betonspannung (Scheiben-Spannungszustand) möglich ist, wird für das nach-folgend entwickelte Modell der lineare Verlauf beibehalten.

M N2l0

II σc IIσsr

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Bild 4.3 – Spannungen und Verformungen im Balkenabschnitt: (a) Balkenabschnitt; (b)Querschnitt; (c) Spannungen; (d) Verformungen; (e) Verlauf der Betondruck-spannungen am oberen Rand und Verlauf der Stahlspannungen.

(a)

(c)

(b)

(d)

(e)

Iσc I

σ'c I σs I

Gebrauchsverhalten von Biegeträgern

58

Das Entfestigungsverhalten von Beton im Riss infolge Zugbeanspruchung wird alsideal spröd, wie in Kapitel 2.4 beschrieben, idealisiert. Zur analytischen Behandlung wirddie maximal erreichbare Betonzugspannung mit definiert. Die Höhe der Zugzone ergibt sich aus der Druckzonenhöhe und der Betondruckspannung aus Bild 4.3(c).

Normalkraft-Gleichgewicht im Rissquerschnitt ergibt

(4.11)

und Momenten-Gleichgewicht, bezogen auf die Resultierende der Druckspannungen,verlangt

(4.12)

Die Rissbreite im Schnitt II zeigt an, dass zwischen der Bewehrung und dem umgeben-den Beton eine relative Verschiebung von der Grösse stattgefunden hat. Der durch dieVerbundspannung bewirkte Abbau der Stahlspannung von im Schnitt auf im Schnitt ergibt sich aus Gleichgewicht zu

(4.13)

Die Druckzonenhöhe muss aus einer Verformungsbedingung abgeleitet werden,welche für den Balkenabschnitt - zu formulieren ist. Aus Bild 4.3 (d) folgt

(4.14)

Die Betonrandverformung folgt aus

(4.15)

Ohne grossen Fehler auf das Endergebnis kann vereinfachend, wie in Bild 4.3 (e) darge-stellt, ein linearer Verlauf der Betonrandspannung angenommen werden, somit

(4.16)

Für die Stahlverformung wird der lineare Abbau infolge der Verbundspannung berück-sichtigt. Somit ist

(4.17)

αfct ztzc σc II

N b2--- α2fct

2 σc II2–( )

zcσc II--------- σsr As ν fct Ac=+=

M N hsupzc3----–

+ b3---zcα2fct

2 αfct σc II+( )zc

σc II2

--------- σsr As dzc3----–

+=

wδII

τb0 σsr II σs II

σs I σsr4τb0∅

---------- l0–=

zcI II

∆czc-----

∆sd z– c------------=

∆c

∆cσcEc----- xd

0

l0

∫=

∆cσc I σc II+

2Ec----------------------- l0=

∆sσs I σsr+

2Es-------------------- l0=

Rissabstand in Biegeträgern

59

(4.16) und (4.17) liefern zusammen mit (4.14)

(4.18)

Die Gleichungen (4.11), (4.12), (4.13) und (4.18) für die Unbekannten , , und können numerisch gelöst werden. Die Resultate solcher Berechnungen für reine Bie-

gung sind in Bild 4.4 (a) dargestellt. Der Einfluss der Betonzugspannungen auf wirdüber einem Bewehrungsgehalt von % beträchtlich.

Wird die Betonzugspannung im Rissquerschnitt II vernachlässigt, d.h. , verein-fachen sich die Gleichgewichtsbedingungen (4.11) und (4.12) unter Verwendung derNormierungen

, (4.19)

sowie , , und gemäss (3.4), (3.13), (2.56) und (2.36) wie folgt:

(4.20)

(4.21)

(4.14) führt mit zu

(4.22)

wobei

, (4.23)

für die normierten Spannungen am ideellen Querschnitt bei Rissbeanspruchung stehen.

Aus den Gleichgewichtsbedingungen (4.20) und (4.21) sowie der Verformungsbedin-gung (4.22) ergibt sich folgende kubische Gleichung für die bezogene Druckzonenhöhe

:

(4.24)

wobei

(4.25)

(4.26)

σc I σc II+ σs I σsr+( )Eczc

Es d z– c( )-----------------------=

σc II σsr zcl0

zcρ 0.5=

α 0=

ξzcd----= cc II

σc IIfct

---------=

κ ψ ρ µ

κρξψcc II

2----------------– ν=

µ6--- ν ηsup

ξψ3

-------– + κρψ 1 ξ

3---–

=

n Es Ec⁄=

n cc I cc II+( ) 1 ξ–( ) κ ncs I+( )ξ=

cc Iσc Ifct--------

ηsup1 ηsup–------------------= = cs I

σs Ifct-------

ψ η– sup1 ηsup–-------------------= =

M Mr=( )

ξ

c3ξ3 c2ξ2 c1ξ c0+ + + 0=

c0 6nρ µ6--- ν ψ ηsup–( )–=

c1 6nρ ν ψ ηsup–( ) µ6---

ψ2cc I2

-------------+–=

Gebrauchsverhalten von Biegeträgern

60

(4.27)

(4.28)

Wird die Zugversteifung vernachlässigt, so wird (4.14) auf

(4.29)

reduziert, und mit den Gleichgewichtsbedingungen (4.11) und (4.12) resultiert die be-kannte kubische Gleichung für die Druckzonenhöhe [96].

Neben der analytischen Lösung der Gleichung existieren verschiedene Tabellenwerkewie z.B. [64] zur Berechnung von Konstruktionselementen mit Rechteck-, Kreis- undPlattenbalkenquerschnitt.

Für den Fall reiner Biegung resultiert eine quadratische Gleichung für , derenLösung mit den normierten Grössen wie folgt angegeben werden kann:

(4.30)

Für die Stahlspannung im Riss erhält man aus (4.21)

(4.31)

4.3.3 Rissabstand in Biegeträgern

Durch Einsetzen des Rissmomentes in (4.24) sowie (4.13) lässt sich der Rissabstandbestimmen. Der Rissabstand eines schlaff bewehrten Biegeträgers kann sich allgemeinzwischen den Grenzen

(4.32)

einstellen oder gleichbedeutend , wobei

(4.33)

Gemäss Meier [91] beträgt der wahrscheinlichste bezogene Rissabsand . DieEintragungslänge kann in guter Näherung (siehe Bild 4.4 (b3) und (c3)) angegebenwerden durch

c2 6– nρψ2 2cc I3

----------ncs I

2----------+

3ψ µ6--- νηsup+

–=

c3 ψ2 ν nρ cc I cs I+( )+[ ]=

σc II σsrEczc

Es d z– c( )-----------------------=

ξ

ξ0nρψ------ 1 2ψ

nρ-------+ 1–

=

σsr fctµ

6ρψ 1ξ03-----–

------------------------------=

sr

l0 sr 2l0≤ ≤

0.5 λ 1.0≤ ≤

λsr

2l0-------=

λ 0.67≈l0

Rissabstand in Biegeträgern

61

(4.34)

Die Näherung (4.34) ergibt sich aus dem Zuggurtmodell für zentrischen Zug [Gleichung(2.61)] durch Ergänzung der für reine Biegung relevanten Parameter. Dabei werden dieBewehrungsanordnung, die Wertigkeit der Baustoffe (Annahme homogener Verhältnisseim ungerissenen Querschnitt I) sowie ein Skalierungsfaktor für den Biegeeinfluss

berücksichtigt.

Die Diagramme in Bild 4.4 zeigen den Einfluss des Bewehrungsgehaltes , der Be-tonzugfestigkeit und der Bewehrungslage auf Druckzonenhöhe, Stahlspannung

Bild 4.4 – Druckzonenhöhe, Stahlspannung im Riss bei maximalem Rissabstand undRissabstand von Rechteckquerschnitten: (a) Einfluss der Betonzugspannung

; (b) Einfluss der Bewehrungslage; (c) auf den Bewehrungsgehaltbezogene Werte.ψ 0.9=( )

0.6

0

[–]ξ

50

0

[–]

l0∅----

200

0

[–]κ

5

0

[–]

ξρ

-------

0.03

0

[–]

ρl0∅----

0.3

0

[–]ρκ

1.50ρ [%]

0.5 1 1.50ρ [%]

0.5 1 1.50ρ [%]

0.5 1

α = 1

α = 0

ξ0

ψ = 0.8ψ = 0.9ψ = 1.0

ψ = 0.8ψ = 0.9ψ = 1.0

ψ = 0.8ψ = 0.9ψ = 1.0

ψ = 0.8ψ = 0.9ψ = 1.0

ψ = 0.8ψ = 0.9ψ = 1.0

ψ = 0.8ψ = 0.9ψ = 1.0

ψ = 0.8ψ = 0.9ψ = 1.0

(a) (c)(b)

Grundparameter:

Ec = 31 GPafct = 2.5 MPaτb0 = 2 fctØ = 10 mmEs = 205 GPaψ = 0.9

Näherung

mit Zugversteifungohne Zugversteifung

l0∅fct 1 nρψ–( )

22τb0ρψ----------------------------------≈

5.5 0.9 6⋅≈( )

ραfct ψ

Gebrauchsverhalten von Biegeträgern

62

im Riss und Rissabstand. Zur übersichtlicheren Darstellung der Beeinflussung durch dieBewehrungslage werden die verschiedenen Werte in Bild 4.4 (c) auf den Bewehrungsge-halt bezogen. Es zeigt sich, dass sich der Einfluss der Zugversteifung in einer grösserenDruckzonenhöhe ausdrückt. Die Stahlspannung im Riss wird durch die Zugversteifungnur unwesentlich beeinflusst.

Birkenmaier [19] vereinfachte in seinem ‘erweiterten Berechnungsmodell’ den Ver-lauf der Betonrandverformung und nahm eine konstante Betondruckspannung

an. Unter Verwendung der Gleichgewichtsbedingung (4.20) vereinfachtsich (4.22) damit zu

(4.35)

woraus eine quadratische Gleichung für die Druckzonenhöhe resultiert

(4.36)

Substituiert man unter Verwendung von (4.13), (4.32) und (4.33) einen Zugversteifungs-faktor

(4.37)

kann die Lösung von (4.36) wie folgt angegeben werden

(4.38)

Bei sehr kleinem Rissabstand oder verschwindender Verbundspannung ist ;Gleichung (4.38) stimmt in diesem Falle mit der Gleichung (4.30) der klassischen Stahl-

σc sup, x( ) σc II=

Bild 4.5 – Reine Biegung von Rechteckquerschnitten: (a) Druckzonenhöhe ;(b) Zugversteifungsfaktor.

λ 1=( )

(a) (b) Grundarameter:

Ec = 31 GPafct = 2.5 MPaτb0 = 2 fctØ = 10 mmEs = 205 GPa

0.6

0

[–]ξ

2

1

[–]β

1.50ρ [%]

0.5 1 1.50ρ [%]

0.5 1

β 2l0( ), ψ = 0.8 / 0.9 / 1.0ψ = 0.8 / 0.9 / 1.0

β l0( ), ψ = 0.8 / 0.9 / 1.0

mit Zugversteifungohne Zugversteifung

4nρκψ

------------- 1 ξ–( ) κ ncs I+( )ξ2=

ξ2 2nρψ

--------- 2κκ ncs I+------------------ 1 ξ–( )– 0=

β2σsr

σsr σs I+--------------------

ncs I4τb0fct

----------l0∅----+

ncs I4τb0fct

----------l0∅---- 1 λ

2---–

+----------------------------------------------------= =

ξ nρβψ

---------- 1 2ψnρβ----------+ 1–

=

τb0 β 1=

Rissabstand in Biegeträgern

63

betontheorie [96] überein. Der Zugversteifungsfaktor entspricht dem Kehrwert desVerbundkoeffizienten nach Bachmann [4]. Die von Sigrist [137] vorgeschlagene starr-ideal plastische Verbundschubspannungs-Schlupf-Beziehung erlaubt eine direkte Be-stimmung des Zugversteifungsfaktors statt einer iterativen Berechnung z.B. gemäss[19]. Dies ermöglicht die Berechnung der Druckzonenhöhe unter Berücksichtigung derZugversteifung bei reiner Biegung und damit die Spannungsberechnung in einfacher,analytischer Weise oder mit den existierenden verschiedenen Tabellenwerken, wie z.B.[64].

Die Diagramme in Bild 4.5 zeigen den Einfluss des Bewehrungsgehaltes und derBewehrungslage auf die Druckzonenhöhe und den Zugversteifungsfaktor . Infolge

Grundarameter:

Ec = 31 GPafct = 2.5 MPaτb0 = 2 fctØ = 10 mmEs = 205 GPaψ = 0.9

Bild 4.6 – Druckzonenhöhe, Stahlspannung im Riss bei maximalem Rissabstand undRissabstand von Rechteckquerschnitten unter Biege- und Normalkraftbean-spruchung: (a) normierte Werte; (b) auf den Bewehrungsgehalt bezogeneWerte.

0.8

0

[–]ξ

50

0

[–]

l0∅----

200

0

[–]κ

16

0

[–]

ξρ

-------

0.04

0

[–]

ρl0∅----

0.4

0

[–]ρκ

1.50ρ [%]

0.5 1 1.50ρ [%]

0.5 1

(a) (b)ν = -0.6ν = -0.4ν = -0.2ν = 0ν = 0.2

ν = 0.2ν = 0ν = -0.2ν = -0.4ν = -0.6

ν = 0.2ν = 0ν = -0.2ν = -0.4ν = -0.6

β

β

ρµ ξ β

Gebrauchsverhalten von Biegeträgern

64

der vereinfachten Verformungsbedingung, mit der die Betonverformung überschätztwird, resultiert eine etwas grössere Druckzonenhöhe als gemäss (4.24). Die Stahlspan-nungen im Riss weichen aber nur unwesentlich von einer genaueren Berechnung ab,siehe auch Bild 4.4. Der Zugversteifungsfaktor wird mit zunehmendem Bewehrungs-gehalt kleiner. Durch die kleineren zu erwartenden Rissabstände gemäss Bild 4.4 bzw.(4.34) nähert sich das Mittel der Stahlspannung im Riss und der Spannung im Schnitt Ider Rissspannung und somit der Lösung nach der klassischen Stahlbetontheorie. ImFall minimaler Rissabstände tendiert der Zugversteifungsfaktor mit zunehmendemBewehrungsgehalt schneller gegen eins.

Wird der Träger durch Biegung und Normalkraft beansprucht, können die Gleichge-wichtsbeziehungen und Verformungsbedingungen auch bei Vernachlässigung der Zug-versteifung (4.30) oder vereinfachter Berücksichtigung mit einem Zugversteifungsfaktor(4.38) nicht auf eine quadratische Gleichung für die Druckzonenhöhe reduziert werden.

Lösungen der kubischen Gleichung (4.24) sind für verschiedene Normalkraftbean-spruchungen in den Diagrammen in Bild 4.6 dargestellt. Die Druckzonenhöhe nimmterwartungsgemäss mit zunehmender Druckkraft zu. In der auf den Bewehrungsgehaltnormierten Darstellung in Bild 4.6 (b) wird die Veränderung im Vergleich zur reinen Bie-gung besonders deutlich. Die Stahlspannung im Riss sowie die Rissabstände nehmen mitzunehmender Druckkraft ab.

4.3.4 Vergleich der Biegerissabstandsberechnung mit anderen Ansätzen

Als einer der ersten leitete Bächtold [7] analytisch den Rissabstand

(4.39)

in Stahlbetonbiegeträgern her, indem er eine konstante Verbundschubspannung entlangder Bewehrung annahm. Als zu berücksichtigende Betonfläche wählte er die halbeBetonzugfläche.

Unter Verwendung eines sinusförmigen Verbundschubspannungsverlaufes zwischenzwei Biegerissen bestimmte Saliger [127] den Rissabstand zu

(4.40)

während Johnson [68] unabhängig vom Verbundspannungsverlauf mit einer mittlerenVerbundspannung zu folgendem Rissabstand gelangte:

(4.41)

β

σsrβ

sr2λAc eff,

∅π∑-------------------

fctτb-----

λ 1 ψξ0–( )ρ

------------------------- ∅4----

fctτb-----= =

Ac eff,

sr0.157ψ

ρ----------------- ∅

4----

fccτb------=

sr0.16ψ∅

ρ--------------------

fctτb-----=

Rissabstand in Biegeträgern

65

Maldague [85] untersuchte den gerissenen bzw. ungerissenen Querschnitt II bzw. I unterAnnahme von elastischem Materialverhalten und bestimmte die Stahlspannungen indiesen Schnitten. Durch die Integration der untersuchten, ortsabhängigen Verbundschub-spannungen und Gleichgewicht der Kräfte gelangte er zum Ausdruck

(4.42)

wobei bei konstantem, linearem bzw. sinusförmigen Verlauf der Verbundschubspannun-gen die Völligkeitskonstanten , bzw. einzusetzen sind. Inguter Näherung kann für die Formfunktion

(4.43)

angenommen werden.

Aus Vergleichen mit Versuchsresultaten [6] und unter Verwendung der Beziehungen in[113] leitete Bachmann die folgende Formel zur Rissabstandsberechnung her

(4.44)

Basierend auf der Auswertung sehr vieler Platten-, Rechteck- und Plattenbalkenversucheschlugen Rehm und Martin [114] in Anlehnung an [43] eine Formel zur Berechnung desRissabstandes vor, welche den Einfluss der Bewehrungsüberdeckung , der Oberflä-chenprofilierung der Bewehrung und den Einfluss der mitwirkenden Betonfläche

beinhaltet

(4.45)

wobei die bezogene Rippenfläche gemäss [113] bedeutet.

In Anlehnung an [114] leitete Leonhardt [80] eine Formel unter Berücksichtigung derrissnahen Störung der Verbundtragwirkung her

(4.46)

wobei und in MPa einzusetzen sind. Der Einfluss der Bewehrungsüberdeckungund des Stababstandes wird mit dem Korrekturglied erfasst:

für (4.47)

für (4.48)

srλn∅fct

24ψ2τb max, kτ

-------------------------------- Y n ρ ξ0 ψ, , ,( )=

kτ 1 2⁄= kτ 1 4⁄= kτ 1 π⁄=

Y n ρ ξ0 ψ, , ,( ) 0.09ψρ

--------------≈

sr 0.18 ∅ψρ

--------- 5…9.4( )fcc

---------------------=

k1( )k2( )

k3( )

sr k1 h d–( ) k2k3∅ψρ

---------+ 4 h d–( ) 0.009

0.2 fR23+

---------------------- ∅ψρ

---------+= =

fR

v0( )

srlv02

------ k1 ke+ k2k3∅

ρeff--------+

σsr σs I–90

-------------------- 1.5ke+ 0.4 0.125∅ 1 ηsup–( )

ρ----------------------------⋅+= =

σsr σs Ie ke

ke h d–= e 2 h d–( )≤

kee 2 h d–( )+

4---------------------------= e 2 h d–( )>

Gebrauchsverhalten von Biegeträgern

66

Fellmann und Menn [41] leiteten durch verschiedene Umformungen von (4.45) und(4.46) folgende Beziehung her:

(4.49)

Mit ergibt sich gemäss [41] ein vorsichtiger und relativ zuverlässiger Richtwertzur Ermittlung des Rissabstandes. Unter Verwendung von (4.49) und verschiedenenKoeffizienten publizierte Leonhardt [79] eine aus (4.46) abgeänderte Beziehung.

Ausgehend vom Zuggurtmodell (2.62) leiteten Marti et al. [88] eine Formel zur Riss-abstandsberechnung mit einem effektiven Bewehrungsgehalt der Zugzone eines Biege-trägers her

(4.50)

wobei der effektive Bewehrungsgehalt

(4.51)

nach einem Vorschlag von Schiessl [129] in Anlehnung an [114, 130] bestimmt und diemitwirkende Zugzone zu

(4.52)

Bild 4.7 – Vergleich unterschiedlicher Ansätze zur Rissabstandsberechnung in Biege-trägern: Näherung (4.34), Bächtold [7], Saliger [127], Maldague [68],Maldague [85], Bachmann [4], Rehm und Martin [114], Leonhardt [80],Fellmann und Menn [41] sowie Marti et al. [88].

60

0

Bachmann

Fellmann & Menn

Näherung

0 ρ [%] 1.5

Marti et al.

Bächtold[–]

sr∅----

30

0

[–]

sr∅----Saliger

Rehm & Martin

Näherung

Maldague

0 ρ [%] 1.5

LeonhardtJohnson

(a) (b)Ø = 10 mmψ = 0.9λ = 1

sr 2 h d– e10------+

k1k2∅

ρeff--------+ 2 h d–( ) λsr e+≈=

λsr 1.5=

ki( )

srλ∅fct 1 ρeff–( )

2τb0ρeff-----------------------------------=

ρeffAs

bheff-----------=

heff 2.5 h d–( )h zc–

3------------≤=

Biegestefigkeit im gerissenen Zustand

67

angenommen wird. Für stahlfaserverstärkten Stahlbeton erweiterte Pfyl [108] die Bezie-hung (4.50) mit der Faserwirksamkeit , welche eine Funktion des Fasergehaltes und der Faserschlankheit ist, wie folgt

(4.53)

Bild 4.7 zeigt die berechneten Rissabstände in Abhängigkeit des Bewehrungsgehaltes fürdie beschriebenen Ansätze. Der Beton wird charakterisiert durch ,

, und . Man erkennt in Bild 4.7 (a), dass die vor1970 entwickelten Ansätze von Bächtold [7], Saliger [127], Johnson [68], Bachmann [4]sowie (für Bewehrungsgehalte ) Rehm und Martin [114] deutlich grössereRissabstände ergeben als nach der Näherung (4.34) berechnet. Demgegenüber liefern dieFormeln von Maldague [85] und Leonhardt [80] wesentlich kleinere Rissabstände, sieheBild 4.7 (b). Die Resultate der Formel von Marti et al. [88] sind den Werten der Näherung(4.34) am nächsten.

Generell ist, bedingt durch die unterschiedlichen Modellannhmen und die Auswertungverschiedener Versuchsresultate, eine grosse Bandbreite der Ergebnisse zu beobachten. InAnbetracht der grossen Unsicherheiten der Randbedinungen sowie der Tatasache, dassdas Vorhandensein einer querschnittsmindernden Querbewehrung in der Regel die Lageder Rissquerschnitte vorgibt, kann die Abschätzung der Rissabstände in guter Näherungmit (4.34) vorgenommen werden.

4.4 Biegestefigkeit im gerissenen Zustand

4.4.1 Erweiterte Verformungsbedingung

Krümmung und Biegesteifigkeit werden nach dem Überschreiten des Rissmomentes wesentlich vom Dehnungsverlauf im Bewehrungsstahl bestimmt. Der Bestimmung desVerlaufs der Stahldehnungen bzw. der Stahlspannungen geht eine Berechnung der Stahl-spannung im Rissquerschnitt voraus. Dazu wird die Verformungsbedingung für denBalkenabschnitt I - II aus Kapitel 4.3.2 für Beanspruchungszustände erweitert.

Die Beziehungen aus Kapitel 4.3.2 setzen Ebenbleiben des Querschnittes I voraus.Wird nach der Rissbildung die Beanspruchung gesteigert, so nimmt die Stahlspannungzu, während die Betonzugspannung am unteren Rand konstant angenommen wird. DieStahlspannungszunahme im Schnitt I ist mit (4.13) gleich der Spannungszunahme imRissquerschnitt. Die Spannungen im Schnitt I (Symmetrieebene zwischen zwei Rissen)werden aus einer Superposition der Spannungsverteilung infolge des Rissmomentes sowie der Normalkraft und der Momentendifferenz berechnet. Die Stahlspan-nung im Schnitt I wird infolge des Schlupfes entlang der Bewehrung um grösser alsbei der Rissentstehung:

σcf0 ρflf ∅f⁄

srλ∅fct 1 ρeff–( )

2τb0ρeff----------------------------------- 1

σcf0fct

---------– =

fct 2.5 MPa=fcc 25 MPa= Ec 31 GPa= τb 2fct=

ρ 0.5 %>

Mr

M Mr≥

MrN M M– r

∆σs

Gebrauchsverhalten von Biegeträgern

68

(4.54)

Diese Stahlspannungsdifferenz kann mit der in Bild 4.6 dargestellten Zusatzspannung im Beton mit der Momentendifferenz ins Gleichgewicht gebracht werden:

(4.55)

(4.56)

Aus diesen Gleichgewichtsbedingungen kann die Zusatzspannung

(4.57)

berechnet und die Verformungsbedingung (4.22) erweitert werden:

(4.58)

Die Gleichungen (4.20) und (4.21) für das Gleichgewicht im Rissquerschnitt II sowie dieerweiterte Verformungsbedingung (4.58) für die Unbekannten , und können

∆σs σsr4τb0∅

---------- l0– ncs I fct–=

∆σc M M– r

∆σs Asb2---∆h∆σc 0=–

∆σs As d ∆h3

------– M Mr–=

∆σc2∆σs As

3bM Mr–∆σs As-----------------

----------------------------=

n cc I cc II∆σcfct

---------+ + 1 ξ–( ) 2κ

4τb0∅fct---------- l0–

ξ=

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Bild 4.8 – Spannungen im Stahlbeton-Balkenabschnitt nach Überschreiten des Rissmo-mentes: (a) Spannungen; (b) Superposition der Spannungen; (c) Betondruck-spannungen am oberen Rand, Stahlspannungen.

(a) (b)

(c)

σc II σsr zc

Biegestefigkeit im gerissenen Zustand

69

nicht geschlossen gelöst werden. Die Resultate entsprechender numerischer Berech-nungen für reine Biegung sind in Bild 4.10 (a) dargestellt.

Die Stahlspannungsdifferenz im Schnitt I kann mit der Erkenntnis, dass sich die Stahl-spannung im Riss infolge einer geringfügigen Veränderung der Druckzonenhöhe nursehr wenig verändert (Bild 4.4), in guter Näherung angegeben werden zu

(4.59)

Der Zugversteifungsfaktor kann mit der vorangegangenen Annahme für Beanspru-chungszustände erweitert werden,

(4.60)

siehe auch Bild 4.10 (b). Mit zunehmender Beanspruchung vermindert sich der Zugver-steifungsfaktor, und als Folge davon nähert sich die Druckzonenhöhe dem Wert nachder klassischen Stahlbetontheorie, siehe Bild 4.10 (a). Die numerische Auswertung derGleichungen (4.20), (4.21) und (4.58) zeigt, dass die Druckzonenhöhe bei der Riss-beanspruchung etwas kleiner ist als nach der vereinfachten Berechnung mit dem Zugver-steifungsfaktor, siehe auch Bild 4.5 (a). Die Differenz wird mit zunehmender Beanspru-chung kleiner.

Zur Beschreibung der Variation der Betonrandstauchung entlang eines Risselementesführte Bachmann [4] den Stauchungskoeffizienten

für (4.61)

für (4.62)

σsr

σs I σs I Mr( ) MMr------

4τb0∅

---------- l0MMr------ λ–

+⋅=

M Mr≥

βncs I

4τb0fct

----------l0∅----+

ncs I4τb0fct

----------l0∅---- 1 λ

2---

MrM------–

+-----------------------------------------------------------=

ξ0

ξ

Bild 4.9 – Verhältnis der mittleren zur maximalen Betonrandstauchung: (a) Einfluss desBewehrungsgehaltes ; (b) Einfluss der Beanspruchungshöhe

.M Mr=( )

κc 2 3⁄=( )

(a) (b) Grundarameter:

Ec = 31 GPafct = 2.5 MPaτb0 = 2 fctØ = 10 mmEs = 205 GPaψ = 0.9λ = 1

1.50ρ [%]

0.5 1 41 2 3M Mr⁄ [–]

1

0

[–]

εcmεc max,---------------

1

0

[–]

εcmεc max,---------------

κc 0=

κc 1=

κc 2 3⁄=

σc II σc I+2σc II

-------------------------

σsr = fy

ρ 1.0 %=

ρ 0.4 %=

ρ 0.16 %=

ρ 0.16 %=

kcεcm

εc max,--------------

zcsr----

κc

= = zc sr≤

kc 1.0= zc sr>

Gebrauchsverhalten von Biegeträgern

70

ein, wobei der Exponent zwischen den Grenzen null und eins variieren kann. Wird gesetzt, so verschwindet die Variation der Betonrandstauchung entlang eines

Risselementes. Diese Annahme entspricht der Hypothese vom Ebenbleiben der Quer-schnitte, bzw. der Vereinfachung von Birkenmaier [19] in seinem ‘erweiterten Berech-nungsmodell’. bedeutet, dass sich die maximale Betonrandstauchung zu

(4.63)

ergibt, was einer Konzentration der Stauchungen über dem Riss auf einer Breite gleichkommt. Aufgrund seiner Beobachtungen an Versuchen [5, 6] schlug Bachmannvor, anzusetzen.

In den Diagrammen in Bild 4.9 sind die Stauchungskoeffizienten dem Verhältnisder mittleren zur maximalen Betonrandstauchung gemäss der Verformungsbedingung(4.58) gegenübergestellt. Man erkennt in Bild 4.9 (a), dass der Stauchungskoeffizient mit zunehmendem Bewehrungsgehalt im Bereich zwischen den Grenzen nullund eins variiert, während das Verhältnis der mittleren zur maximalen Betonrandstau-chung im Bereich liegt. Bild 4.9 (b) zeigt den Einfluss des Bewehrungsgehaltes

auf den Stauchungskoeffizienten bei zunehmender Momentenbeanspruchung.

4.4.2 Krümmung

Der Balkenabschnitt aus Bild 4.3 (a) verformt sich unter der Momentenbeanspruchung auf der halben Risslänge um den Winkel

(4.64)

Die mittlere Krümmung im betrachteten Abschnitt beträgt mit (4.17) und (4.13)

(4.65)

und wird im Falle einfacher Biegung

(4.66)

bzw. unter Verwendung des Zugversteifungsfaktors nach Gleichung (4.60) näherungs-weise zu

(4.67)

κcκc 0=

κc 1=

εc max,wzc----=

zc

κc 2 3⁄=

kc

kcρ zc sr≤

0.6…0.9ρ kc

M sr 2⁄

∆sd zc–------------

χσsr

τb0∅------- sr–

Es d zc–( )--------------------------=

χ

Mbh2ρψ 1 ξ 3⁄–( )--------------------------------------

τb0∅------- sr–

dEs 1 ξ–( )---------------------------------------------------------=

β

χ MβEsbh3ρψ2 1 ξ 3⁄–( ) 1 ξ–( )------------------------------------------------------------------=

Biegestefigkeit im gerissenen Zustand

71

Wird die Zugversteifung vernachlässigt, vereinfacht sich die Krümmungsberechnungnach der klassischen Stahlbetontheorie zu

(4.68)

Bild 4.10 (c) zeigt den Einfluss des Bewehrungsgehaltes auf die mittlere Krümmung bei zunehmender Momentenbeanspruchung. Mit zunehmendem Bewehrungsgehalt kann die Beanspruchung um ein Vielfaches über das Rissmoment gesteigert werden, bisim Rissquerschnitt II die Fliessspannung in der Bewehrung erreicht wird. Die Krüm-mungsdifferenz zur Berechnung ohne Zugversteifung, welche im betrachteten Beanspru-chungsbereich beinahe konstant ist, wird kleiner, und die gerissene Steifigkeit wirdgrösser, siehe auch [80]. Die Übereinstimmung der Näherung unter Verwendung des Zug-versteifungsfaktors mit Resultaten der Gleichungen (4.20), (4.21) und (4.58) ist sehr gut.Die kleinen Differenzen lassen sich in dem auf den Risszustand normierten Momenten-Krümmungs-Diagramm ausmachen, siehe Bild 4.10 (d).

Der Einfluss einer Druckbewehrung in der Druckzone auf die anfängliche Krümmungbzw. Durchbiegung ist gering und beträgt nach [80] etwa 5 bis 15 %. Bei Verwendungvon Beton mit hohen Festigkeiten wird der Einfluss geringer. Eine Druckbewehrung kann

Grundarameter:

Ec = 31 GPafct = 2.5 MPaτb0 = 2 fctØ = 10 mmEs = 205 GPaψ = 0.9ν = 0λ = 1

Bild 4.10 – Steifigkeit von Rechteckquerschnitten mit unterschiedlichem Bewehrungs-gehalt: (a) Druckzonenhöhe; (b) Zugversteifungsfaktor; (c) Momenten-Krümmungs-Diagramm; (d) auf Risszustand normiertes Momenten-Krüm-mungs-Diagramm.

0.5

0

[–]ξ

2

1

[–]β

(a) (b)σsr = fy

41 2 3M Mr⁄ [–]

41 2 3M Mr⁄ [–]

ρ 1.0 %=

ρ 0.4 %=

ρ 0.16 %=

ρ 0.16 / 0.4 / 1.0 %=

7.50 2.5 5χ d⋅ [‰]

4

0

[–]

MMr-------

4

1

[–]

MMr-------

61 2 3χ χ0 r,⁄ [–]

4 5

ρ 0.16 %=

ρ 0.4 %=

ρ 1.0 %=

(c) (d)ρ 1.0 %=

ρ 0.4 %=

ρ 0.16 %=

mit Zugversteifungohne Zugversteifung

mit Zugversteifungsfaktor β

χ0M

Esbh3ρψ2 1 ξ0 3⁄–( ) 1 ξ0–( )------------------------------------------------------------------- M

EIII---------= =

ρ χρ

fy

Gebrauchsverhalten von Biegeträgern

72

dagegen die nachträgliche Durchbiegung infolge Schwinden und Kriechen gemäss [33,46] wesentlich reduzieren.

4.4.3 Vereinfachte Berechnung der Krümmung

Die Krümmung mit Berücksichtigung der Zugversteifung kann mit einer Korrektur ausder Krümmung nach der klassischen Stahlbetontheorie näherungsweise erfasst werdendurch

(4.69)

wobei mit (4.68)

(4.70)

und unter Verwendung von (4.33) und (4.37)

(4.71)

Ausgehend vom Zuggurtmodell [1] leitete Marti [86] eine Krümmungsdifferenz zurBerücksichtigung der Zugversteifung ab. Die Dehnung eines zentrisch beanspruchtenStahlbetonzuggliedes wird gegenüber der Dehnung ohne Berücksichtigung der Zugver-steifung um

(4.72)

reduziert, siehe Bild 4.11 (a). Der effektive Bewehrungsgehalt der Zugzone eines Biege-trägers kann mit (4.51) und (4.52) bestimmt werden. Unter Verwendung der oberenSchranke der Gleichung (4.52) sowie der Näherung folgt mit (4.65), wie inBild 4.11 (b) dargestellt,

∆χ χ0 χ χ0 r, 1 1βr-----–

≈–≈

χ0 r,MrEIII---------=

βr11nρψ 2ψ 1–( ) 2+

11nρψ 2ψ 1–( ) 2 λ–+------------------------------------------------------≈

∆ελfct 1 ρeff–( )

2ρeff Es------------------------------=

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��

Bild 4.11 – Kraft-Verformungs-Diagramme: (a) Zuggurtmodell [1]; (b) Biegung unterBerücksichtigung der Zugversteifung [86].

(a) (b)

1 ρeff– 1≈

Biegestefigkeit im gerissenen Zustand

73

(4.73)

Muttoni und Burdet [98] legten die mitwirkende Zugzone zu

(4.74)

fest und leiteten damit die Krümmungsdifferenz ab:

(4.75)

Als ‘Mitwirkungsmass des Betons auf Zug’ bezeichnet, leiteten Noakowski und Schäfer[103] in Anlehnung an [101, 102] eine lastunabhängige Krümmungsdifferenz her:

(4.76)

Basierend auf experimentellen Untersuchungen [50] schlug Giuriani ein Modell zurBerechnung des Last-Verformungs-Verhaltens unter Verwendung einer lastunabhängigenKrümmungsdifferenz [48] vor und verwendete dieses zur Berechnung von Durchlauf-trägern [49].

Die Diagramme in Bild 4.12 zeigen den Einfluss des Bewehrungsgehaltes auf dieKrümmungsdifferenz zur Berücksichtigung der Zugversteifung. Zur übersichtliche-ren Darstellung werden die Werte in Bild 4.12 (b) auf den Bewehrungsgehalt bezogen. Eszeigt sich, dass die Krümmungsdifferenz mit zunehmendem Bewehrungsgehalt abnimmt,bzw. das Produkt nahezu konstant bleibt und für alle Ansätze dieselbe Grössenord-nung aufweist. Die leichte Zunahme beim Modell von Muttoni und Burdet folgt aus demVerhältnis von Widerstandsmoment und Flächenträgheitsmoment, wie aus den Gleichun-gen (4.4) und (4.6) ersichtlich ist, bzw. der Verschiebung der ideellen Schwerpunktslagegemäss Gleichung (4.1).

∆χλfct

6hρEs---------------=

heffh5---≈

∆χ 340nρ------------

MrEII-------=

Bild 4.12 – Krümmungsdifferenz zur Berücksichtigung der Zugversteifung: (a) Ver-gleich der vereinfachten Ansätze; (b) auf den Bewehrungsgehalt bezogeneWerte.

(a) (b) Grundarameter:

Ec = 31 GPafct = 2.5 MPaτb0 = 2 fctØ = 10 mmh = 200 mmEs = 205 GPaψ = 0.9λ = 1

0.002

0

[–]∆χ d⋅

1.50ρ [%]

0.5 1 1.50ρ [%]

0.5 1

0.012

0

ρ∆χ

MartiMuttoni & Burdet

Vereinfachung

MartiMuttoni & BurdetVereinfachungNoakowski

Noakowski

mradm

------------

∆χ 0.4MrEIII--------- 1

EIIIEII---------–

=

ρ∆χ

ρ ∆χ⋅

Gebrauchsverhalten von Biegeträgern

74

4.5 Verformungsberechnung

4.5.1 Allgemeines

Kennt man die Krümmung jeden Elementes eines auf Biegung beanspruchten Balkens, sokann die Durchbiegung durch doppelte Integration ermittelt werden. Bei Stahlbeton-trägern liegt die Schwierigkeit darin, dass die Biegesteifigkeit im gerissenen Zustand vomBeanspruchungsgrad und von der Bewehrungsführung abhängig ist. In Balken und Plat-ten gibt es stets Teillängen, in denen ist, also die Biegezugzone nicht reisst. Dortgelangt die ungerissene Biegesteifigkeit zur Anwendung. Die Grösse dieser Teillängenhängt von der Belastungsgeometrie, dem statischen System und somit vom Momenten-verlauf ab.

Die Berücksichtigung der unterschiedlichen Biegesteifigkeiten, der Belastungsge-schichte sowie von Langzeiteffekten bietet einige Schwierigkeiten. Die Berechnungennach den in der Literatur vorgeschlagenen Modellen müssen meist numerisch vorgenom-men werden. Zur Diskussion der Auswirkung der unterschiedlichen Biegesteifigkeitenund der Berücksichtigung der Zugversteifung ist es jedoch sinnvoll, analytische Nähe-rungslösungen zu erarbeiten. Im folgenden werden für einfache Balken unter Gleichlast,Vier- und Dreipunktbiegung sowie einen beidseitig eingespannten Balken unter mittigerEinzellast solche Lösungen entwickelt.

4.5.2 Analogie von Mohr

Entsprechend Bild 4.11 (b) wird davon ausgegangen, dass die Biegesteifigkeit bzw. dieKrümmung in den gerissenen Teillängen mit einer belastungsunabhängigen Krümmungs-differenz gemäss Gleichung (4.69) berechnet werden kann. Weiter wird vorausge-setzt, dass die Belastung monoton gesteigert wird und keine gerissenen Teillängen entlas-tet werden. Langzeiteinflüsse wie Kriechen und Relaxation werden nicht berücksichtigt.

Die Mittendurchbiegung für die Systeme gemäss Bild 4.13 (a) wird unter Verwendungder Analogie von Mohr [95] wie folgt berechnet:

(4.77)

wobei unter Annahme eines vollständig gerissenen Trägers mit der Biegesteifigkeit nach der klassischen Stahlbetontheorie aus (4.68) berechnet wird. berück-

sichtigt den Einfluss ungerissener Zonen der Länge , und beinhaltet die Re-duktion infolge der Zugversteifung (grau hinterlegt), siehe Bild 4.13 (b). Für die Behand-lung des beidseitig eingespannten Trägers unter mittiger Einzellast wird einesymmetrische Bewehrung vorausgesetzt, d.h. im Einspannquerschnitt und in Feldmitte

M Mr<

∆χ

wm wm1 ∆wm0 ∆wm1––=

wm1EIII ∆wm0

ζ l⋅ ∆wm1

Verformungsberechnung

75

(

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@ � � � A # � � �

- 6

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�@�A���*��+

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Bild 4.13 – Verformungsberechnung von Stahlbetonbalken unter verteilter Last, Vier-und Dreipunktbiegung sowie bei beidseitiger Einspannung: (a) Belastung,Moment, Krümmung und Durchbiegung; (b) Last-Durchbiegungskurven.

(a) (b)

Gebrauchsverhalten von Biegeträgern

76

sind die Querschnittswerte identisch. Die einzelnen Komponenten der Gleichung (4.77)sind in Tabelle 4.1 zusammengestellt.

Die Diagramme in Bild 4.13 (b) zeigen den Einfluss der ungerissenen Zonen sowie derZugversteifung bei der Berechnung von Mittendurchbiegungen. Nach dem Überschreitender Risslast nimmt die Mittendurchbiegung bei Vierpunktbiegung infolge des konstantenMomentes zwischen den Lasten schlagartig, bei den übrigen Belastungsgeometrien suk-zessive zu. Die Verformungskurve unter Berücksichtigung der ungerissenen Teillängennähert sich asymptotisch der Berechnung mit ganz gerissenem Querschnitt. Der Einflussder Zugversteifung wird mit zunehmendem Beanspruchungsgrad grösser, da der geris-sene Bereich des Trägers wächst. Sowohl der Einfluss der Zugversteifung als auch jenerder ungerissenen Teillängen sind von der Belastungsgeometrie, dem Beanspruchungs-grad, dem Bewehrungsgehalt und dem statischen System abhängig. Durch die Annahmeeiner belastungsunabhängigen Krümmungsdifferenz wird die analytische Berechnungder Verformungsreduktion durch die Zugversteifung besonders einfach, siehe Bild 4.13(b) und Tabelle 4.1.

4.5.3 Einfluss der verformungsreduzierenden Effekte

Mit den Gleichungen in Tabelle 4.1 lassen sich die Last-Durchbiegungs-Kurven für dieausgewählten Belastungsgeometrien und statischen Systeme ermitteln. Um die Grössen-ordnung der verformungsreduzierenden Einflüsse bei unterschiedlichen Bewehrungsge-halten zu untersuchen, wird die Annahme getroffen, dass das Maximalmoment bzw. dieBeanspruchung gerade die Fliessgrenze erreicht. Vereinfachend wird von einem linearelastischen Materialverhalten der Betondruckzone zur Berechnung des Fliessmomentes

(4.78)

Belastung und System

Gleichlast

Vierpunkt

Dreipunkt

Eingespannt

Tabelle 4.1 – Zusammenstellung der Gleichungen zur Berechnung der Mittendurch-biegung von Stahlbetonträgern.

ζ = wm1 = ∆wm0 = ∆wm1 =

1 18Mr

ql2----------–– 5ql4

384EIII------------------- wm1

ζ3 8 3ζ–( )5

-------------------------- 1EIIIEII---------–

∆χ 1 ζ2–( )l2

8----

4MrFl

----------Fl2a

48EIII---------------- 3 4a2

l2--------–

wm1ζ3l a⁄

3 4 a l⁄( )2–---------------------------- 1

EIIIEII---------–

∆χ 1 ζ2–( )l2

8----

4MrFl

---------- Fl3

48EIII---------------- wm1ζ3 1

EIIIEII---------–

∆χ 1 ζ2–( )l2

8----

8MrFl

---------- Fl3

192EIII------------------- wm1ζ3 1

EIIIEII---------–

∆χ 1 ζ2–( ) l2

16------

My As fyd 1ξ03-----–

=

Verformungsberechnung

77

ausgegangen. Die Resultate solcher Berechnungen sind in Bild 4.14 dargestellt. Die Ab-messungen der Balken, die Zugfestigkeiten und sowie die Bewehrungslage wur-den für alle Berechnungen gleich gewählt; lediglich der auf die Trägerhöhe bezogeneBewehrungsgehalt wurde variiert.

Die ungerissenen Teillängen, dargestellt in Bild 4.14 (a), werden mit zunehmendemBewehrungsgehalt kleiner, da das Fliessmoment beinahe linear zum Bewehrungsge-halt anwächst und das Rissmoment nur marginal zunimmt. Infolge der Völligkeit derMomentenlinie bei Gleichlast ist die bezogene ungerissene Teillänge kleiner als beiden übrigen Belastungsgeometrien. Im Fall der Dreipunktbiegung mit und ohne Einspan-nung fallen die Grössen der Teillängen zusammen. Die Mittendurchbiegung ist beim ein-

Grundarameter:

h = 0.25 ml/h = 25a = l/3fct = 2.5 MPaτb0 = 2fctØ = 10 mmfy = 500 MPaEs = 205 GPaψ = 0.9λ = 1

Bild 4.14 – Verformungsberechnung von Stahlbetonbalken bei Fliessbeginn der Beweh-rung: (a) Ungerissene Teillängen; (b) Mittendurchbiegung; (c) Einfluss derungerissenen Teillängen; (d) Einfluss der Zugversteifung; (e) und (f) Ein-fluss beider Effekte.

0.5

0

[–]ζ

12.5

0

[‰]

wml

-------

1.50ρ [%]

0.5 1 1.50ρ [%]

0.5 1

(a) (b)

0.5

0

[–]

∆wm0wm

--------------

0.5

0

[–]

∆wm1wm

--------------

0.5

0

[–]

wm1 wm–wm

-----------------------

1

0

[‰]

ρwm1 wm–

wm-----------------------

GleichlastVierpunktDreipunktEingespannt

(c) (d)

(e) (f)

0.12 fct fy⁄

0.15 fct fy⁄

fy fcth

ρ

MyMr

ζ

Gebrauchsverhalten von Biegeträgern

78

gespannten Träger erwartungsgemäss am kleinsten, während die Werte bei Gleichlast amgrössten sind und, bedingt durch die Ähnlichkeit der Momentenlinien, denjenigen derVierpunktbiegung am nächsten liegen, siehe Bild 4.14 (b).

Während die Berücksichtigung der ungerissenen Teillängen auf die Mittendurchbie-gung in Bild 4.14 (c) nur einen geringen Einfluss zeigt, ist die Verformungsreduktioninfolge der Zugversteifung beträchtlich, siehe Bild 4.14 (d). Ab einem Bewehrungsgehaltvon 0.5 % beträgt der Anteil beider Effekte an der Mittendurchbiegung weniger als 10 %,mit abnehmender Tendenz, wie in Bild 4.14 (e) ersichtlich ist. Vereinfachend kann ange-nommen werden, dass die Verformungsreduktion unter Berücksichtigung der Zug-festigkeiten und etwa

(4.79)

für Gleichlast und Vierpunktbiegung und

(4.80)

für Dreipunktbiegung und beidseitige Einspannung beträgt, siehe Bild 4.14 (f).

Die Diagramme in Bild 4.15 zeigen den Einfluss des Bewehrungsgehaltes auf dasLast-Verformungsverhalten eines Biegeträgers unter Gleichlast bis zum Fliessbeginn.Die Fliesslast nimmt beinahe proportional zum Bewehrungsgehalt zu, da der Hebelarmder inneren Kräfte unter den verwendeten Annahmen nur um ca. 10 % abnimmt, sieheBild 4.4 und (4.78). Die erreichte bezogene Mittendurchbiegung beim Fliessbeginnnimmt bei Berücksichtigung der ungerissenen Teillängen und der Zugversteifung, darge-stellt in Bild 4.15 (a), wesentlich stärker zu, als die mit durchgehend gerissener Steifigkeit(4.68) berechnete Verformung, siehe Bild 4.15 (b). Die Differenz ist vor allem bei kleinenBewehrungsgehalten beträchtlich, siehe auch Bild 4.14 (e).

Grundarameter:

h = 0.25 ml/h = 25fct = 2.5 MPaτb0 = 2 fctØ = 10 mmfy = 500 MPaEs = 205 GPaψ = 0.9λ = 1

Bild 4.15 – Auf die Risslast und die Mittendurchbiegung bei der Risslast bezogene Last-Verformungs-Kurven bei Gleichlast: (a) Zugversteifung und ungerisseneTeillängen berücksichtigt; (b) Berechnung mit durchgehend gerissenerBiegesteifigkeit.

(a) (b)12

0

[–]

qqr-----

12

0

[–]

qqr-----

0 [–]wm

wm r,----------- 25 0 [–]

wm1wm r,----------- 25

1

1

1

1

σsr = fy

ρ = 1.5 %1.0 %0.5 %0.2 %0.1 %

∆wfy fct

∆wwm------- 0.12

ρ----------

fctfy-----≈

∆wwm------- 0.15

ρ----------

fctfy-----≈

ρ 0.5 %<( )

Versuchsergebnisse

79

4.6 Versuchsergebnisse

Mit dem in Kapitel 4.4 beschriebenen Rechenmodell zur Krümmungsberechnung undden in Kapitel 4.5 angegebenen Beziehungen zur Berechnung der Mittendurchbiegungsteht ein Verfahren zur Verfügung, mit dem die Verformungen von Biegeträgern imGebrauchszustand untersucht werden können. Die Resultate entsprechender Nachrech-nungen verschiedener schwach bewehrter Biegeträger sind in Bild 4.16 gemessenenMomenten-Krümmungs-Werten und in Bild 4.17 gemessenen Last-Durchbiegungs-Kur-ven gegenübergestellt. Die aufgetragenen Messresultate in Bild 4.16 entsprechenmittleren Krümmungen von Vierpunkt-Biegeversuchen. In den Berechnungen wurdendie in entsprechenden Materialversuchen festgestellten Festigkeitswerte ver-wendet.

Versuch (a): B1

b×h; d [m]: 1×0.2; 0.167l; a [m]: 3.6; 1.2As; ρ [%]: 8Ø10mm; 0.31fy; fcc; fct [MPa]: 575; 43; 3.2

Versuch (b): B3

b×h; d [m]: 1×0.2; 0.167l; a [m]: 3.6; 1.2As; ρ [%]: 8Ø10mm; 0.31fy; fcc; fct [MPa]: 575; 80; 4.75

Bild 4.16 – Momenten-Krümmungs-Diagramme schwach bewehrter Biegeträger – Ver-gleich mit Versuchen: (a), (b) und (c) Kenel und Marti [70]; (d) Pfyl undMarti [109]; (e) Giuriani und Sforza [50]; (f) Polak und Killen [110].

60

0

[kNm]

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

M

60

0

[kNm]M

300 χ [mrad/m] 300 χ [mrad/m]60

0

[kNm]M

300 χ [mrad/m] 300 χ [mrad/m]

30

0

[kNm]M

3

0

[kNm]M

150 χ [mrad/m] 150 χ [mrad/m]

75

0

[kNm]M

Versuch (c): B4

b×h; d [m]: 1×0.2; 0.167l; a [m]: 3.6; 1.2As; ρ [%]: 4Ø10mm; 0.15fy; fcc; fct [MPa]: 575; 38; 3.1

Versuch (d): B100.0

b×h; d [m]: 0.6×0.22; 0.19l; a [m]: 3.6; 1.02As; ρ [%]: 4Ø8mm; 0.15fy; fcc; fct [MPa]: 547; 48; 3.5

Versuch (e):

b×h; d [m]: 0.1×0.15; 0.12l; a [m]: 2.18; 0.59As; ρ [%]: 1Ø12mm; 0.75fy; fcc; fct [MPa]: 500; 40; 3.5

Versuch (f): DB1; DB2

b×h; d [m]: 0.5×0.3; 0.27l; a [m]: 2.5; 0.6As; ρ [%]: 6Ø11.3mm; 0.4As; ρ [%]: 2Ø19.5mm; 0.4fy; fcc; fct [MPa]: 488; 49; 4.0

2Ø19.5mm

6Ø11.3mm

EIIId

---------

1d---

∆χ

λ 1; 12---=

τb0 2fct=( )

Gebrauchsverhalten von Biegeträgern

80

Unter Verwendung der Beziehungen (4.68) und (4.69) können die Krümmungenberechnet werden. In den Diagrammen in Bild 4.16 sind die Krümmungen nach der klas-sischen Stahlbetontheorie sowie unter Berücksichtigung der Zugversteifung für maxi-male und minimale Rissabstände bis zum Erreichen der Fliessspan-nung der Bewehrung eingezeichnet. Man erkennt, dass die Krümmungen nach dem Über-schreiten der Risslast den Berechnungen mit maximalem Rissabstand entspre-chen. Bei zunehmender Beanspruchung nähern sich die Versuchsresultate den Wertenentsprechend dem minimalen Rissabstand . Bei Verwendung kaltverformterBewehrung (Versuche B1, B3 und B4; Kenel und Marti [70]) nimmt die Biegesteifigkeitim Bereich der Fliessspannung der Bewehrung überproportional ab. Die beiden Versuchevon Polak und Killen [110] zeigen, dass die Biegesteifigkeit nach der Rissbildungsphaseunabhängig vom Bewehrungsdurchmesser ist und bestätigen die theoretischen Über-legungen.

Der Einfluss der Belastungseinrichtung und des Eigengewichts der Biegeträger wurdein den Last-Durchbiegungs-Diagrammen in Bild 4.17 durch eine Verschiebung desUrsprungs der berechneten Kurven berücksichtigt. Analog den Feststellungen zumMomenten-Krümmungs-Verhalten weichen die experimentellen Verformungskurvenvom anfänglich verbundsteifen Verhalten bei zunehmender Beanspruchung suk-zessive ab und nähern sich den mit minimalem Rissabstand berechneten Kur-ven.

Bild 4.17 – Last-Mittendurchbiegungs-Diagramme schwach bewehrter Biegeträger –Vergleich mit Versuchen: (a) B1, (b) B3 und (c) B4, Kenel und Marti [70]; (d)B100.0, Pfyl und Marti [109].

90

0

[kN]

(a)

(c) (d)

F

90

0

[kN]F

300 wm [mm] 300 wm [mm]90

0

[kN]F

300 wm [mm] 300 wm [mm]

60

0

[kN]F

λ 1; 12---=

(b)

σsr = fy

wm1

λ 1=( ) λ 1 2⁄=( )

λ 1=( )

λ 1 2⁄=( )

∅

λ 1=( )λ 1 2⁄=( )

Mindestbewehrung zur Rissbreitenbeschränkung

81

Der Vergleich der experimentellen und theoretischen Kurven unter Verwendung starkvereinfachender Annahmen zeigt eine befriedigende Übereinstimmung. In Anbetrachtder geringen Unterschiede lohnen sich Berechnungen mit genaueren Modellen kaum. Diein den Kapiteln 4.3 bis 4.5 hergeleiteteten Beziehungen erlauben eine einfache analyti-sche Beschreibung des Last-Verformungsverhalten mit hinreichender Genauigkeit.

4.7 Mindestbewehrung zur Rissbreitenbeschränkung

Die Mindestbewehrung von Stahlbetonbauten dient in erster Linie der Vermeidung einesVersagens ohne Vorankündigung bei Erstrissbildung. Sie muss die während des Rissbil-dungsprozesses auftretenden Zugkräfte in den Rissquerschnitten übertragen. In vielenFällen wird eine Erhöhung der aus Tragsicherheitsgründen unabdingbaren Mindestbe-wehrung verlangt, um im Gebrauchszustand eine den gestellten Anforderungen genü-gende Begrenzung der Rissbreiten zu gewährleisten.

Im folgenden werden auf der Grundlage von Kapitel 4.3 und 4.4 Beziehungen ent-wickelt, welche der Bestimmung einer Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbrei-ten auf zulässige Werte bei Biegebeanspruchung dienen. Die Begrenzung der Rissbreitenerfolgt für die bei maximal möglichem Rissabstand sich einstellenden Verhältnisse. FürBiegeträger mit Rechteckquerschnitt werden die im Rissquerschnitt auftretenden grösst-möglichen Stahlspannungen gemäss (3.14), unter Vernachlässigung der bruchmechani-schen Einflüsse, mit der Bedingung (3.10) auf ein zulässiges Mass begrenzt. Mindestbe-wehrungsgehalte zur Begrenzung der Rissbreiten können mit (4.13), (4.17) und (4.34)und unter Vernachlässigung der Betonverformungen in der Zugzone aus der Bedingung

(4.81)

abgeleitet werden zu

(4.82)

wobei dem gewählten Beanspruchungsniveau entspricht. Resultate von Berech-nungen der Mindestbewehrung nach (4.82) sowie unter Verwendung von (2.56)berechnete Stababstände sind in Bild 4.18 dargestellt. Der erforderliche Bewehrungs-gehalt nimmt mit zunehmendem Stabdurchmesser und abnehmender zulässiger Riss-breite zu. Dementsprechend nimmt der maximale Stababstand mit zunehmen-dem Stabdurchmesser zu.

Der Rissnachweis bei Lastbeanspruchung infolge Eigenlasten und ständigen Einwir-kungen (Zwängungen sind nur in speziellen Fällen einzubeziehen) gemäss der Norm SIA

wadm 2∆s2l0Es------- σs adm, 2τb0

l0∅----–

=≈

ρmin

σs adm,nfct5.5-------- σs adm,

2 4Esτb0wadm

∅------------–+ +

22ψEsτb0fct-------

wadm∅

------------ 2nψ σs adm, ψn2fct5.5

----------+ +

-----------------------------------------------------------------------------------------------=

σs adm,ρmin

e∅

wadm emax∅

Gebrauchsverhalten von Biegeträgern

82

162 [135] stützt sich auf die Begrenzung der Stahlspannung im Rissquerschnitt. Diezulässigen Spannungen ergeben sich gemäss [104] zu

(4.83)

Der Faktor 0.8 [104] entspricht einem Zugversteifungsfaktor und trägt dem Be-anspruchungsniveau Rechnung. Unter Annahme eines mittleren Rissab-standes

Bild 4.18 – Mindestbewehrung in Rechteckquerschnitten: (a) Mindestbewehrung;(b) maximale Stababstände der Bewehrung.emax

(a) (b) Grundarameter:

Ec = 31 GPafct = 2.9 MPaτb0 = 2 fctEs = 205 GPafy = 500 MPaψ = 0.9λ = 1

σs,adm = 500 MPa

2

0

[%]ρmin

0.40.1wadm [mm]

0.2 0.3

600

0

emaxh

∅2-------

[–]

0.40.1wadm [mm]

0.2 0.3

∅ 20 mm=16 mm12 mm10 mm8 mm

∅ 8 mm=10 mm12 mm16 mm20 mm

ρmin fy( )

Bild 4.19 – Rissnachweis bei Lastbeanspruchung gemäss (4.81) und SIA 162 [135] (zu-lässige Rissbreite wadm = 0.15 mm).

30050 e [mm] 30050 e [mm] 30050 e [mm]

500

0

[MPa]σsr

500

0

[MPa]σsr

h = 200 mm240 mm300 mm400 mm700 mm

SIA 162

reiner Zug

Ø = 8 mm Ø = 10 mm

Ø = 12 mm Ø = 16 mm Ø = 20 mm

Grundarameter:

Ec = 31 GPafct = 2.9 MPaτb0 = 2 fctEs = 205 GPah-d = 40 mmλ = 1

σs adm,Eswadm0.8 srm------------------=

β 1.25=M 1.5 Mr≥( )

Mindestbewehrung zur Rissbreitenbeschränkung

83

mit (4.84)

sowie (entspricht einer charakteristischen Rissbreite von 0.25 mm)wurden die Kurven zulässiger Spannungen in der Figur 20 der Norm SIA 162[135] in Abhängigkeit der Querschnittshöhe und des Stababstandes bestimmt. BeiBiegung mit Druckkraft darf die Querschnittshöhe reduziert werden, und bei der Fest-legung des Stababstandes dürfen Spannglieder im Verbund berücksichtigt werden.

Setzt man den Ausdruck linkerhand in (4.81) gleich einer bestimmten, maximal zuläs-sigen Rissbreite , so erhält man mit gegebenen Querschnittswerten einen nur vomStabdurchmesser und dem Stababstand abhängigen Ausdruck für und damiteine vergleichbare Darstellung mit der in der Norm SIA 162 [135] enthaltenen Figur 20zum Rissnachweis. Der Vergleich der Figuren zeigt, dass ein Rissnachweis gemäss (4.81)je nach Stabdurchmesser und Querschnittshöhe höhere oder tiefere Stahlspannungenzulassen würde als nach SIA 162.

Allerdings ist zu bemerken, dass im Rahmen der Festlegung eines Mindestbeweh-rungsgehaltes einer angemessenen Abschätzung der während des Rissbildungsprozessesvorliegenden Betonzugfestigkeit sehr grosse Bedeutung zukommt. Die Grösse der Beton-zugfestigkeit beeinflusst den erforderlichen Bewehrungsgehalt sehr stark. Die Abschät-zung des Zeitpunktes der Rissbildung und der zu diesem Zeitpunkt erreichten Betonzug-festigkeit ist in der Regel mit beträchtlichen Unsicherheiten verbunden.

srm 1.3e 1heffh

--------– 60 mm+= heff 100 mm=

wadm 0.15 mm=σs adm,h e

he

wadm∅ e σsr

84

5 Verformungsvermögen von Biegeträgern

5.1 Allgemeines

Parallel zur Entwicklung plastischer Berechnungsmethoden anfangs der sechziger Jahresetzte eine rege Forschungstätigkeit zur Klärung der Fragen bezüglich des Verformungs-vermögens plastischer Gelenkbereiche von Stahlbetonträgern ein. In den theoretischenArbeiten orientierte man sich mehrheitlich an der klassischen Biegelehre und erarbeiteteMethoden zur Berechnung der Momenten-Krümmungs-Beziehung sowie der fiktivenLänge der palstischen Gelenke [9, 28, 89]. Macchi [83] schlug unter Verwendung experi-menteller Untersuchungen [84] ein vereinfachtes Rechenverfahren für den Verformungs-nachweis bei Durchlaufträgern vor. Für einen vorgängig gewählten Grad der Schnitt-kraftumlagerung ermittelte er den Verformungsbedarf des Systems und verglich diesenmit zulässigen Werten für den plastischen Gelenkwinkel gemäss [138].

Die bisher durchgeführten experimentellen und theoretischen Untersuchungen zeigen,dass bei Biegeversagen die Verformungsfähigkeit des Zuggurts von ausschlaggebenderBedeutung für das Verformungsvermögen eines Stahlbetonbauteils ist [137]. Der Zugbe-wehrungsgehalt bestimmt, ob der Querschnitt durch Reissen der Bewehrung oder durchBruch der Betondruckzone versagt. Der Grenzbewehrungsgehalt, bei dem der Wechselder Versagensart auftritt, wird von der Form der Stahlkennlinie und von der Beton-bruchstauchung bestimmt. Die Verformungsfähigkeit des Zuggurtes hängt hauptsächlichvon der Form der Stahlkennlinie ab [32, 36, 125]. So ergibt ein grösseres Verfestigungs-verhältnis des Bewehrungsstahles einen Anstieg des Verformungsvermögens. Einwichtiger Einflussfaktor ist auch die zugversteifende Wirkung des Betons zwischen denRissen, die sich vor allem bei kleineren Bewehrungsgehalten auswirkt [112, 58].

Mit steigendem Bewehrungsgehalt nehmen die auftretenden Stahldehnungen unddamit die maximalen Querschnittskrümmungen ab. Höhere Betonfestigkeiten und einduktileres Verhalten der Betondruckzone [8] führen bei höheren Bewehrungsgehalten zueinem Anstieg der Verformungsfähigkeit. Der Einfluss der Querkraftbeanspruchung aufdas Verformungsvermögen hängt bei Biegeversagen von dem sich einstellenden Schub-rissbild [4] ab, das den Zugkraftverlauf im Zuggurt und damit dessen Verformungsfähig-keit beeinflusst [32, 73]. Tritt Schubversagen auf, so kann dies mit einer erheblichenReduktion der Verformungsfähigkeit verbunden sein, da die Biegetrag- und Verfor-mungsfähigkeit nicht voll genutzt wird.

Das Verformungsvermögen wird auch von der Trägerschlankheit, der Belastungsgeo-metrie und dem statischen System beeinflusst [12, 58, 75, 137]. In neueren Arbeiten ver-suchte man, insbesondere durch die Berücksichtigung wirklichkeitsnaher Stoffgesetze,

fu fy⁄( )

Nichtlineares Werkstoffverhalten von Stahl und Beton

85

die komplexen Verformungsvorgänge rechnerisch nachzuvollziehen [20, 21, 35, 81] undMassstabseffekte einzubeziehen [18, 31, 94].

Die für den Gebrauchszustand abgeleiteten linearen Beziehungen zwischen Momentund Krümmung gelten nach dem Überschreiten der Stahlfliessspannung nicht mehr. Dierechnerische Erfassung der Biegesteifigkeit im plastischen Bereich ist mit einem erhebli-chen Aufwand verbunden. Im folgenden wird für die Verformungsberechnungen im plas-tischen Bereich ein einfaches Modell vorgestellt, bei dem das Verbundverhalten der Be-wehrung gemäss Kapitel 2.5 berücksichtigt wird. Das nichtlineare Verhalten von Stahlund Beton wird in Anlehnung an [1] und [32] in Rechnung gestellt.

5.2 Nichtlineares Werkstoffverhalten von Stahl und Beton

Um im plastischen Bereich den Zusammenhang zwischen Moment und Krümmung erfas-sen zu können, müssen die nichtlinearen Spannungs-Dehnungs-Funktionen von Betonund Stahl herangezogen werden.

Viele experimentelle und theoretische Untersuchungen wurden zur Völligkeit [122,132] und Festigkeit [63, 145] der Biegedruckzone und zur zulässigenBetonrandstauchung angestellt [5, 123, 124]. Zur analytischen Vereinfachung derBerechnungen wird eine Spannungs-Dehnungs-Beziehung bevorzugt, die mit einer kon-tinuierlichen Beschreibung ohne Fallunterscheidungen auskommt. Dabei wird die Span-nungsverteilung in der Betondruckzone in Anlehnung an [32] durch die Potenzfunktion

(5.1)

ausgedrückt. Durch die Wahl des Exponenten kann der Verlauf der Spannungs-Deh-nungs-Kurve so gewählt werden, dass neben den experimentell ermittelten Spannungs-Dehnungs-Linien auch die Völligkeitswerte und die Schwerpunktswerte nach [135, 136]

Bild 5.1 – Vergleich verschiedener Spannungs-Dehnungs-Funktionen :(a) Spannungs-Dehnungs-Kurven; (b) Völligkeitsbeiwert ; (c) Schwer-punktsbeiwert .

fcc 30 MPa=( )ϕc

ϕz

1

0

σcfcc------

3.50εc [‰]

(a)1

.5

ϕc

.5

.3

ϕz

2 3.50εc [‰]

2 3.50εc [‰]

2

(b) (c)

PotenzfunktionSIA 262SIA 162

σc fcc 1εcu εc–

εcu-----------------

λc

–=

λc

Verformungsvermögen von Biegeträgern

86

zutreffend erfasst werden, siehe Bild 5.1. Eine gute Übereinstimmung ergibt sich, wie inBild 5.2 (b) und (c) ersichtlich, mit der in Bild 5.2 (a) dargestellten Beziehung

( in MPa) (5.2)

Die Völligkeit der Druckzone ergibt sich durch Integration der Spannung über die Druck-zonenhöhe bzw. Dehnung zu

(5.3)

und für den Schwerpunktsbeiwert gilt

(5.4)

Beim Erreichen der Betonbruchdehnung vereinfachen sich (5.3) und (5.4) zu

(5.5)

(5.6)

λc1

0.1 fcc 400⁄+-------------------------------= fcc

ϕc1

σcεc---------- σc εcd

0

εc

∫1

εcuλc 1+( )εc

----------------------- 1εcu εc–

εcu-----------------

λc 1+

––

1εcu εc–

εcu-----------------

λc

–------------------------------------------------------------------------------= =

ϕz

Bild 5.2 – Vergleich verschiedener Spannungs-Dehnungs-Funktionen beim Erreichender Betonbruchdehnung : (a) Exponent ; (b) Völligkeitsbei-wert ; (c) Schwerpunktsbeiwert .

εcu 3.5 ‰=( ) λcϕcu ϕzu

7

4

λc

6020fcc [MPa]

(a).9

.8

ϕcu

.5

.4

ϕzu

(b) (c) PotenzfunktionSIA 262SIA 162

6020fcc [MPa]

6020fcc [MPa]

ϕz 1

σcεc εcd0

εc

∫

εc σc εcd0

εc

∫

----------------------– 1

12---

εcuεc-------

2 1

εcu εc–εcu

-----------------

λc 2+–

λc 2+-----------------------------------------

1εcu εc–

εcu-----------------

λc 1+

–

λc 1+-----------------------------------------–+

1εcu

λc 1+( )εc----------------------- 1

εcu εc–εcu

-----------------

λc 1+––

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------–= =

εcu

ϕcuλc

λc 1+-------------=

ϕzu12---

λc 1+λc 2+-------------=

Vereinfachte Momenten-Krümmungs-Beziehung

87

In [1] sind für verschiedene Verfestigungscharakteristiken des Bewehrungsstahls(bilinear, trilinear, kaltverformt und naturhart) die Spannungs-Dehnungs-Beziehungengemäss dem Zuggurtmodell formuliert. Für einen kaltverformten Bewehrungsstahl miteinem Spannungs-Dehnungs-Diagramm gemäss (2.63) gilt gemäss [1] beispielsweise

... (5.7)

... (5.8)

... (5.9)

Die Beziehungen für bilineare und kaltverformte Verfestigungscharakteristiken des Be-wehrungsstahls werden hier nicht wiedergegeben (siehe [1]).

5.3 Vereinfachte Momenten-Krümmungs-Beziehung

Zur Diskussion der Auswirkungen der Verfestigungseigenschaften der Bewehrung unddes Bruchverhaltens des Betons auf das Last-Verformungsverhalten wird im folgendeneine analytische Näherungslösung erarbeitet. Für schwach bewehrte Biegeträger wird,aufbauend auf einem Potenzgesetz nach [3], eine solche Lösung entwickelt.

Normalkraft-Gleichgewicht im Rissquerschnitt ergibt

(5.10)

und Momenten-Gleichgewicht, bezogen auf die Resultierende der Druckspannungen,verlangt

(5.11)

Die Druckzonenhöhe muss aus einer Verformungsbedingung abgeleitet werden,welche für den Balkenabschnitt - zu formulieren ist. Vereinfachend wird die Beton-randstauchung am oberen Rand zwischen den Rissen konstant angenommen. Aus Bild5.3 (a) folgt

εsmσsrEs-------

τb0srEs∅-----------– ∅

2τb0sr--------------- 1

λs 1+( )ksλs

------------------------- σsrλs 1+

σsr2τb0sr

∅---------------–

λs 1+

–+=

σsr fy≤

εsm∅

4Esτb1sr--------------------- σsr fy–( )2 1

τb0τb1-------–

2Es

λs 1+( )ksλs

------------------------- σsrλs 1+

fyλs 1+

1τb1τb0-------–

–

τb1τb0------- fy

τb0τb1------- σsr fy–( )

2τb0sr∅

---------------–+

λs 1+–

+

τb0τb1-------

σsrEs-------

fyEs----- 1

τb1τb0-------–

–τb0srEs∅-----------–+

=

fy σ≤ sr fy2τb1sr

∅---------------+≤

εsmσsrEs-------

τb1srEs∅-----------– ∅

2τb1sr--------------- 1

λs 1+( )ksλs

------------------------- σsrλs 1+

σsr2τb1sr

∅---------------–

λs 1+

–+=

fy2τb1sr

∅---------------+ σsr≤ fu≤

N σsr As bzcϕcσc– ν fct Ac==

M N hsup zcϕz–( )+ σsr As d zcϕz–( )=

zcI II

Verformungsvermögen von Biegeträgern

88

(5.12)

Die Gleichungen (5.10) und (5.12) für die Unbekannten und können numerischgelöst werden. Damit können das Moment aus (5.11) und die zugehörige Krümmung

aus (5.12) ermittelt werden. Die Resultate solcher Berechnungen sind in Bild 5.3 (b)und Bild 5.4 dargestellt.

In guter Näherung kann die Momenten-Krümmungs-Beziehung angegebenwerden durch

(5.13)

wobei und durch Erreichen der Zugfestigkeit der Bewehrung oder der Beton-bruchstauchung begrenzt werden. Falls die nominelle Randstauchung des Betons denMaximalwert erreicht, lautet das Bruchkriterium

(5.14)

Der Exponent ergibt sich zu

(5.15)

wobei bzw. mit (4.12) bzw. (4.67) ermittelt werden.

� � � �

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� & " �

� �

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$ $$ � � � �

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" � � " '

�

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Bild 5.3 – Plastische Dehnungen und Verformungen für einen Balkenabschnitt:(a) Spannungen, Dehnungen und Verformungen; (b) Momenten-Krüm-mungs-Diagramm für kaltverformte Bewehrung (Grundparameter gemässBild 5.4).

100

0

[kNm]M

0.10 χ·d [–]

λ 1; 12---=

ohne Verbund

Mu

My

Mr

(a) (b)

εc sup,

zc-------------

εsmd z– c------------ χ= =

zc εc sup,M

χ

M χ( )

M Muχχu-----

K=

Mu χu fuεcu

εsm max, εcud zc–

zc------------=

K

KMy Mu⁄( )lnχy χu⁄( )ln

---------------------------=

My χy

Vereinfachte Momenten-Krümmungs-Beziehung

89

Bild 5.4 – Vergleich der Momenten-Krümmungs-Diagramme im Verfestigungsbereich:(a) bis (d) Einfluss des Stabdurchmessers, des Rissabstands, der Betonfestig-keit und des Bewehrungsgehalts.

100

0

[kNm]M

100

0

[kNm]M

100

0

[kNm]M

200

0

[kNm]M

0.10 χ·d [–] 0.10 χ·d [–] 0.10 χ·d [–]

600

500

[MPa]σs

0.10 εs [–] 0.10 εs [–] 0.10 εs [–]

(a)

(b)

(c)

(d)

mit Zuggurtmodellmit Potenzfunktion σsr = fu

εc = εcu,b

Ø = 5 mmØ = 10 mmØ = 20 mm

sr = 100 mm

λ = 1λ = 3/4λ = 1/2

fcc = 60 MPafcc = 30 MPafcc = 15 MPa

ρ 1.0 %=

ρ 0.4 %=

ρ 0.16 %=

Grundparameter:

Ec = 31 GPafcc = 30 MPafct = 2.5 MPaτb0 = 2 fctτb1 = fctεcu,b = 5.0 ‰

Ø = 10 mmEs = 205 GPaρ = 0.4 %ψ = 0.9λ = 3/4h = 200 mm

bilinear naturhart kaltverformt

Verformungsvermögen von Biegeträgern

90

Bild 5.4 zeigt einen Vergleich der gemäss (5.11) und (5.12) numerisch ermitteltenKrümmungen und der mit der Potenzfunktion gemäss (5.13) berechneten Krümmungenfür unterschiedliche Verfestigungscharakteristiken (bilinear, naturhart und kaltverformt)aber gleiche Duktilitätskennwerte und . Die numerisch ermittelten Krüm-mungen wurden unter Berücksichtigung des nichtlinearen Werkstoffverhaltens berech-net. Die Diagramme zeigen den Einfluss des Bewehrungsdurchmessers , des Rissab-standes , der Betonfestigkeit , des Bewehrungsgehalts und der Verfestigungscha-rakteristik der Bewehrung auf die Momenten-Krümmungs-Beziehung . Es zeigtsich, dass die numerisch ermittelten Krümmungen bei naturharter bzw. kaltverformterBewehrung mit der Potenzfunktion gemäss (5.13) leicht unter- bzw. überschätzt werden.Die beste Übereinstimmung ergibt sich bei einer bilinearen Verfestigungscharakteristikder Bewehrung.

5.4 Verformungsberechnung

Entsprechend den Diagrammen in Bild 5.4 wird davon ausgegangen, dass die Krümmungin den plastifizierten Teillängen aus (5.13) berechnet werden kann. Weiter wird vorausge-setzt, dass die Belastung monoton gesteigert wird und keine gerissenen oder plastifizier-ten Teillängen entlastet werden. Langzeiteinflüsse wie Kriechen und Relaxation werdennicht berücksichtigt. Gemäss der Analogie von Mohr [95] kann die Mittendurchbiegungdurch Multiplikation der Fläche unter der Krümmungslinie mit deren Schwerpunktsab-stand zum Auflager berechnet werden. Für den in Bild 5.5 (a) dargestellten Fall beträgtder Verformungsanteil zwischen den Grenzen

(5.16)

Werden die Betonzugspannungen infolge Querkraft ausreichend hoch, bilden sich, vonBiegeanrissen ausgehend, Risse aus, die schräg zur Lasteinleitungsstelle hin verlaufen.Durch diese Schubrisse ändert sich das innere Tragverhalten des Trägers, das mit einemFachwerkmodell oder Spannungsfeldern beschrieben werden kann. Den schräg laufendenDruckstreben entspricht ein Kraftverlauf im Zuggurt, der gegenüber der -Linie umdas Versatzmass verschoben ist. Durch die Verschiebung der Zugkraftlinie in Richtungdes Momenten-Nullpunktes ergibt sich eine erhebliche Vergrösserung der plastischenZone des Zuggurtes. Im Falle von Dreipunktbiegung erhält man für die Krümmungsdif-ferenz infolge Versatzmass

(5.17)

Die “verschobene” Krümmung kann durch Potenzreihenentwicklung angenähert werden:

εsu fu fy⁄

∅λ fcc ρ

M χ( )

ζyl 2⁄ x l 2⁄≤ ≤

wpl χx xd

ζyl2---

l2---

∫ χuMmaxMu

-------------

1K----

2xl

-----

1K----

x xd

ζyl2---

l2---

∫ χy ζyl2---

2 K2K 1+--------------- 1

ζy-----

2K 1+

K---------------

1–== =

M z⁄lv

lv

∆χv χ M ∆M+( ) χ M( )–=

Verformungsberechnung

91

(5.18)

Mit der Momentendifferenz

(5.19)

ergibt sich somit die Krümmungsdifferenz

(5.20)

und daraus der Verformungsanteil infolge Versatzmass

(5.21)

Die Mittendurchbiegung für die Systeme gemäss Bild 4.13 (a) wird wie folgt berechnet:

(5.22)

' �

�

)

� �

' � ' � � �

� # � � �

� � # � � �

� -

- 6

)

) �

� �

) �

� � �

� � � � � � � �

� - . �

� - � � �

� $ $ $

'

) ��

Bild 5.5 – Verformungsberechnung von Stahlbetonbalken: (a) Belastung und Krüm-mung; (b) Last-Durchbiegungskurve.

(a) (b)

σsr = fuσsr = fy

χ M ∆M+( ) χ M 1 ∆MM

--------+

χu

M 1 ∆MM

--------+

Mu----------------------------

1K----

χ M( ) 1 1K---- ∆M

M--------+

≈==

∆M2lvl

-------Mmax=

∆χvlvxK------ χ M( )=

lv

wv ∆χvx xd

ζyl2---

l2---

∫ χyζyl2---

lvK 1+------------ 1

ζy-----

K 1+

K------------

1–= =

wm wm1 ∆wm0 ∆wm1– wpl wv+ +–=

Verformungsvermögen von Biegeträgern

92

wobei unter Annahme eines vollständig gerissenen Trägers mit der Biegesteifigkeitnach der klassischen Stahlbetontheorie (Zusammenstellung in Tabelle 4.1) berechnetwird. Die aus (5.16) berechneten Verformungsanteile, welche bereits in enthaltensind, werden in den Verformungsdifferenzen und gemäss Tabelle 5.1berücksichtigt.

Qualitative Überlegungen [137] zeigen, dass Schiebungen erst dann substantiell zuden Tragwerksverformungen beitragen, wenn sich grosse vertikale Dehnungen der Bügeleinstellen, d.h. wenn die Bügel plastifiziert werden. Dies ist insbesondere in Situationen,in denen sich schliesslich Schubbrüche ergeben, der Fall; die Durchbiegungen bleibendann in der Regel relativ klein, und ein wesentlicher Teil der Durchbiegungen ist auf dieVerformungen der Bügel zurückzuführen. Falls hingegen in den Stegen keine Plastifizie-rungen auftreten, bleibt der Einfluss der Schiebungen im Vergleich zu den Biegeverfor-mungen verhältnismässig klein; der Anteil aus den Schiebungen beträgt dann kaum mehrals 5 %. Dies liegt innerhalb der Genauigkeit, mit der Verformungen vorhergesagt werdenkönnen. In der Folge wird deshalb darauf verzichtet, diesen Anteil zu berücksichtigen.

Im Falle einer Gleichlast lassen sich die Integrale in (5.16) und (5.21) nicht elementarlösen; sie können aber durch Reihenentwicklung oder numerisch gelöst werden. Bei Vier-punktbiegung berechnen sich die plastischen Verformungsanteile nach analogem Vorge-hen wie folgt:

(5.23)

und

(5.24)

Belastung und System

Vierpunkt

Dreipunkt

Eingespannt

Tabelle 5.1 – Zusammenstellung der Gleichungen zur Berechnung der Mittendurchbie-gung von Stahlbetonträgern im plastischen Bereich.

wm1

wm1∆wm0 ∆wm1

ζy = ∆wm0 = ∆wm1 =

4MyFl

---------- wm1l a⁄

3 4 a l⁄( )2–---------------------------- ζ3 1

EIIIEII---------–

ζy3–

1+ ∆χ ζy2 ζ2–( )l2

8----

4MyFl

---------- wm1 ζ3 1EIIIEII---------–

ζy3 1+– ∆χ ζy

2 ζ2–( )l2

8----

8MyFl

---------- wm1 ζ3 1EIIIEII---------–

ζy3 1+– ∆χ ζy

2 ζ2–( ) l2

16------

wpl χy ζyl2---

2 K2K 1+--------------- 2a

ζyl-------

2K 1+

K---------------

1– χy2aζyl-------

1K----

a2

2----- l

2a------

21–+=

wv χyζyl2---

lvK 1+------------ 2a

ζyl-------

K 1+

K------------

1–=

Versuchsergebnisse

93

Falls eine symmetrische Bewehrungsführung gemäss Bild 4.13 vorliegt, gilt bei beidsei-tiger Einspannung

(5.25)

und

(5.26)

Untersuchungen an Stegscheiben von profilierten Trägern [137] zeigen, dass, falls sichim Trägersteg geneigte Risse bilden, in der Regel von Druckfeldneigungen aus-gegangen werden kann. Bei Fliessbeginn der Bügelbewehrung liegen entsprechendeWerte etwa zwischen 30 und 40°. In der Bemessung empfiehlt es sich allerdings, für dieAbschätzung des Verformungsvermögens einen eher hohen Wert für (z.B. 45°) zuwählen. Dadurch wird die plastische Verformung unterschätzt.

5.5 Versuchsergebnisse

Mit der in Kapitel 5.3 beschriebenen Näherung (5.13) zur Krümmungsberechnung undden in Kapitel 5.4 angegebenen Beziehungen zur Berechnung der Mittendurchbiegungsteht ein Verfahren zur Verfügung, mit dem die Verformungen von Biegeträgern im plas-tischen Bereich untersucht werden können. Die Resultate entsprechender Nachrechnun-gen verschiedener, schwach bewehrter Biegeträger sind in Bild 5.6 gemessenen Last-Durchbiegungs-Kurven gegenübergestellt. In den Berechnungen wurden die in entspre-chenden Materialversuchen festgestellten Festigkeitswerte verwendet. Für die Untersu-chungen an den Versuchskörpern B1, B3 und B4 wurden die Koeffizienten der idealisier-ten Spannungs-Dehnungs-Beziehung (2.63) im Bereich gemäss [1]gewählt: und . Die Stahlkennlinie des Versuches B100.0 wurdebilinear approximiert.

Der Einfluss der Belastungseinrichtung und des Eigengewichts der Biegeträger wurdein den Last-Durchbiegungs-Diagrammen in Bild 5.6 durch eine Verschiebung desUrsprungs der berechneten Kurven berücksichtigt. Analog den Feststellungen beim Ver-gleich der Momenten-Krümmungs-Diagramme in Bild 5.4 werden die Krümmungen unddamit die Verformungen nach dem Überschreiten der Fliessspannung der Bewehrungetwas überschätzt. Die gemessenen Bruchverformungen liegen allerdings zwischen denrechnerischen Werten für maximalen und minimalen Rissabstand . DieVerformungen des Versuches B100.0 lokalisierten sich in einem Riss [109]. Somit konntedie rechnerische Bruchverformung nicht erreicht werden. Die rechnerischen Bruchlastenstimmen erwartungsgemäss gut mit den Rechenwerten überein. Der Vergleich der expe-

wpl χy ζyl4---

2 2K2K 1+--------------- 1

ζy-----

2K 1+

K---------------

1–=

wv χyζyl2---

lvK 1+------------ 1

ζy-----

K 1+

K------------

1–=

ϑ 45°<

ϑ

0 εs εsu 80 ‰=≤ ≤ks 784.54= λs 20.0=

λ 1=( ) λ 1 2⁄=( )

Verformungsvermögen von Biegeträgern

94

rimentellen und theoretischen Kurven unter Verwendung stark vereinfachender Annah-men zeigt eine befriedigende Übereinstimmung. In Anbetracht der geringen Unterschiedelohnen sich Berechnungen mit genaueren Modellen kaum.

Zur Untersuchung der Verformungsfähigkeit im Bereich des plastischen Gelenkes undder Abhängigkeit von der Form der Momentenlinie führte Rao [112] fünf Biegeversuchean Stahlbetonbalken mit rechteckigem Querschnitt durch. Die Längsbewehrung mitnaturhartem Stahl entspricht etwa dem zehnfachen Wert einer Mindestbewehrung. ImQuerkraftbereich wurden die Balken mit Bügeln bewehrt. In den Berechnungen wurdendie in entsprechenden Materialversuchen festgestellten Festigkeitswerte verwendet, sieheBild 5.7. Der Einfluss der Belastungseinrichtung und des Eigengewichts der Biegeträgerwurde in den Last-Durchbiegungs-Diagrammen durch eine Verschiebung des Ursprungsder berechneten Kurven berücksichtigt.

Infolge des hohen Bewehrungsgehaltes und der Dehnfähigkeit der naturharten Beweh-rung waren die maximale Krümmung und der Biegewiderstand durch die Randstauchungder Biegedruckzone begrenzt. Die maximale Stahlspannung betrug beim Biegedruck-bruch . Entsprechend dem rapportierten Schubrissbild wurde dasVersatzmass zu festgelegt; dies entspricht einer Druckfeldneigung von 45°.Der Einfluss der Zugversteifung ist vor dem Erreichen der Fliessspannung der Beweh-rung vernachlässigbar klein. Bei den Balken 1 und 4 ist der Einfluss von Schiebungen

Bild 5.6 – Last-Mittendurchbiegungs-Diagramme schwach bewehrter Biegeträger –Vergleich mit Versuchen: (a), (b) und (c) Kenel und Marti [70]; (d) Pfyl undMarti [109]; .τb1 fct=( )

120

0

[kN]

(a)

(c) (d)

F

120

0

[kN]F

3000 wm [mm] 3000 wm [mm]120

0

[kN]F

3000 wm [mm] 1500 wm [mm]

60

0

[kN]F

λ 1; 1 2⁄= (b)

wm1

Versuch (a): B1

εsu; εcu [‰]: 80; 3.5fu [MPa]: 690

Versuch (b): B3

εsu; εcu [‰]: 80; 3.5fu [MPa]: 690

Versuch (c): B4

εsu; εcu [‰]: 80; 3.5fu [MPa]: 690

Versuch (d): B100.0

εsu; εcu [‰]: 70; 3.5fu [MPa]: 625

Bruch

σsu 425…490 MPa=lv 300 mm=

Verformungsvermögen von Biegeträgern

95

oberhalb einer Last von infolge der geringen Bügelbewehrung beträchtlich.Die Berücksichtigung des Versatzmasses zeigt vor allem bei Dreipunktbiegung einegrosse Zunahme der erreichbaren Mittendurchbiegung und damit die Empfindlichkeit derAnnahme der Druckfeldneigung auf das Verformungsvermögen bei kurzen Spannweiten.

5.6 Verformungsvermögen von Biegeträgern

Die im folgenden beschriebenen Berechnungen basieren auf den in Kapitel 4.5 und Kapi-tel 5.4 zusammengestellten Grundlagen. Plastische Verformungen ergeben sich haupt-sächlich aus der Verlängerung der Längsbewehrung, weshalb dem Verformungsverhaltendes Zuggurtes besondere Beachtung geschenkt wird. Die Schubverformungen und dieVerformungen des Druckgurtes haben demgegenüber eine eher untergeordnete Bedeu-tung. Zur Berechnung des Verformungsvermögens von Biegeträgern werden die Kenn-grössen der plastischen Verformungsbereiche – Biegemomente und Krümmungen beiFliessbeginn und beim Eintreten des Versagens – auf idealisierte plastische Gelenke über-tragen. Die Verformungen der plastischen Verformungsbereiche werden deshalb verein-fachend zu Gelenkwinkeln (Rotationswinkel) zusammengefasst.

Plastische Verformungen treten primär in Bereichen maximaler Momentenbeanspru-chung auf, die in der Regel bei konzentrierten Krafteinleitungsstellen liegen. Bild 5.8 (a)zeigt einfache Balken unter Vier- und Dreipunktbiegung sowie einen beidseitig einge-spannten Balken unter Dreipunktbiegung. Geht man vereinfachend davon aus, dass sich

Bild 5.7 – Last-Mittendurchbiegungs-Diagramme schubbewehrter Biegeträger – Ver-gleich mit Versuchen von Rao [112].

500

0

[kN]F

500

0

[kN]F

1000 wm [mm] 1000 wm [mm] 1000 wm [mm]

wm1

λ 1 2⁄ ;= lv

λ 1=

b×h; d [m]: 0.2×0.4; 0.372As; ρ [%]: 4Ø18mm; 1.23fy; fu; [MPa]: 416; 607εsh; εsu; εcu [‰]: 17.1; 245; 3.5Es; Ec [GPa]: 207; 33

lv [m]: 0.3

Balken 1

l; a [m]: 3.6; 0.8fcw; [MPa]: 33

Balken 2

l; a [m]: 3.6; 0.8fcw; [MPa]: 34

Balken 3

l; [m]: 3.6fcw; [MPa]: 40

Balken 4

l; [m]: 1.8fcw; [MPa]: 39

Balken 5

l; [m]: 1.4fcw; [MPa]: 37

Bruch

F 200 kN≈lv

Verformungsvermögen von Biegeträgern

96

die Krümmung entlang der Stabachse aus dem Biegemoment und (bei vorhandenerBügelbewehrung) dem Versatzmass bestimmen lässt, so kann die Mittendurchbiegungbei der Bruchlast sowie beim Erreichen der Fliessspannung der Bewehrung mit (5.22)berechnet werden. Für den Fall eines einfachen Balkens unter Einzellast mit und ohnebeidseitiger Einspannung findet man mit der Beziehung

(5.27)

einen Näherungswert für den plastischen Gelenkwinkel. Die Näherung basiert auf derVorstellung, dass die plastischen Verformungen des Gelenks als Starrkörperrotation derbeiden Trägerhälften idealisiert werden können. Zur Vereinfachung wird auch bei Vier-punktbiegung eine Starrkörperrotation vorausgesetzt. Der plastische Gelenkwinkel ergibtsich damit zu

(5.28)

In Bild 5.8 (b) sind Berechnungen von plastischen Gelenkwinkeln mit Grundparameterngemäss Bild 5.8 (c) in Abhängigkeit des mechanischen Bewehrungsgehalts

(5.29)

für verschiedene Rissabstände aufgetragen. Man erkennt den Einfluss der Zugversteifungauf den plastischen Gelenkwinkel. Die mögliche Verdrehung nimmt mit zunehmendemRissabstand ab. Im folgenden werden die Gelenkwinkel für maximale Rissabstände ange-geben; damit wird das Rotationsvermögen unterschätzt, die Werte liegen aber auf dersicheren Seite.

Bild 5.8 – Berechnung plastischer Gelenkwinkel: (a) Kinematische Modelle; (b) Ein-fluss des Rissabstandes bzw. der Zugversteifung (kaltverformter Beweh-rungsstahl, Duktilitätsklasse B gemäss der Norm [136]); (c) Grundlagen fürdie Berechnungen.

0.1

0

[rad]Θpl

Θ

Θa

Θl 0.30

ω [–]0.1 0.2

Ec = 33 GPafcc = 30 MPafct = 2.9 MPaτb0 = 2 fctτb1 = fctεcu = 3.5 ‰

= 45°ψ = 0.9h = 0.5 ml/h = 25b/h = 0.5

ϑ

Es = 205 GPafy = 500 MPaØ = 14 mm

Duktilitätsklasse A:fu /fy = 1.05; εsu = 25 ‰

Duktilitätsklasse B:fu /fy = 1.08; εsu = 50 ‰

Duktilitätsklasse C:fu /fy = 1.15; εsu = 75 ‰

λ 1 2⁄=λ 3 4⁄=

λ 1=

(a) (b) (c)

Θpl 4wm Mu, wm My,–

l----------------------------------=

Θplwm Mu, wm My,–

a----------------------------------=

ωAs fybd fcc-------------=

Verformungsvermögen von Biegeträgern

97

In Bild 5.9 sind zwei die Bewehrung und zwei den Beton betreffende Parameter be-handelt. Die plastischen Gelenkwinkel wurden für drei Belastungsgeometrien bzw. stati-sche Systeme berechnet. Obwohl der Stabdurchmesser der Bewehrung kein Material-kennwert ist, wird er in dieser Zusammenstellung mit einbezogen, da er dasVerbundverhalten, bzw. die Verformungen im Risselement beeinflusst. Die Diagrammezeigen, dass eine Vergrösserung des Stabdurchmessers von 10 auf 20 mm beinahe eineVerdoppelung der erreichbaren plastischen Gelenkwinkel bewirkt, falls nicht die Beton-bruchstauchung das limitierende Bruchkriterium darstellt. Bei beidseitiger Einspannungsind die erreichbaren plastischen Gelenkwinkel stets etwas kleiner als bei Dreipunktbie-gung. Bei Vierpunktbiegung betragen die erreichbaren Gelenkwinkel infolgedes grossen plastischen Bereiches mehr als den zweifachen Wert der Gelenkwinkel beiDreipunktbiegung.

Eine starke Beeinflussung des Verhaltens der plastischen Gelenkbereiche geht von derVerfestigung der Bewehrung aus. Eine Erhöhung der Werte von 1.08 auf 1.15sowie von von 50 auf 75 ‰ bewirkt (im Bereich in dem das Zerreissen der Beweh-rung das Versagen bestimmt) eine Zunahme der erreichbaren plastischen Gelenkwinkelum mehr als den Faktor zwei. Die Verwendung von Stählen mit schlechteren Verfesti-gungseigenschaften führt hingegen zu deutlich geringeren plastischen Verformungen.

Eine Erhöhung der Betondruckstauchung von 3.5 auf 5.0 bzw. 8.0 ‰ führt beisehr grossen Bewehrungsgehalten nahezu zu einer Verdoppelung der erreichbaren plasti-schen Gelenkwinkel. Damit zeigt sich, dass durch das Einlegen einer Umschnürungsbe-wehrung in die Biegedruckzone das Verhalten der plastischen Gelenkbereiche entschei-dend verbessert werden kann [5, 97, 137]. Eine Zunahme der Druckfestigkeit von 30auf 60 MPa hat bei geringen Bewehrungsgehalten eine kleine Erhöhung der erreichbarenplastischen Gelenkwinkel zur Folge.

Bild 5.10 zeigt den Einfluss einer Variation der Druckfeldneigung und der Träger-schlankheit auf den erreichbaren plastischen Gelenkwinkel. Die dargestellten Rechener-gebnisse gelten für Stahl der Duktilitätsklasse B und die bereits in Bild 5.8 (a) dargestell-ten und in Bild 5.9 behandelten Belastungsgeometrien bzw. statischen Systeme. Die inden Diagrammen aufgetragenen Kurven illustrieren, dass sich durch die Berücksichti-gung einer flacheren Druckfeldneigung wesentlich grössere plastische Gelenkwinkelergeben. Bei Vierpunktbiegung ist die Zunahme der Gelenkwinkel infolge kleinererHebelarme der zusätzlichen Krümmungen aus dem Versatzmass allerdings geringer.

In den bisherigen Betrachtungen wurde davon ausgegengen, dass das Verformungs-vermögen der plastischen Bereiche entweder durch den Bruch der Biegedruckzone oderdas Zerreissen der Längsbewehrung begrenzt ist. Als weitere mögliche Versagensursachekommen Schubbrüche in Frage. Dabei ist wiederum zwischen Stahl- und Betonbrüchenzu unterscheiden. Das Zerreissen der Bügelbewehrung stellt bei sehr kleinen Bügelbe-wehrungsgehalten und insbesondere bei der Verwendung von Stahl mit geringer Dehnfä-higkeit eine Gefährdung dar. Schubbrüche sind bei der Darstellung von Versuchsergeb-

∅

a l 3⁄=( )

fu fy⁄εsu

εcu

fcc

lv

Verformungsvermögen von Biegeträgern

98

Bild 5.9 – Einfluss der Eigenschaften der Bewehrung (kaltverformter Bewehrungs-stahl) und des Betons auf den plastischen Gelenkwinkel; Grundparametergemäss Bild 5.8 (c), Duktilitätsklasse B.

0.1

0

[rad]Θpl

0.2

0

0.2

0

0.2

0

0.30ω [–]

0.1 0.2 0.30ω [–]

0.1 0.2 0.30ω [–]

0.1 0.2

(a) (c)(b)

0.2

0

0.1

0

[rad]Θpl

0.1

0

[rad]Θpl

0.1

0

[rad]Θpl

∅ 20 mm=14 mm10 mm

Klasse CKlasse BKlasse A

εcu 8.0 ‰=5.0 ‰3.5 ‰

a l 3⁄=

fcc 60 MPa=30 MPa15 MPa

sr 100 mm=

Verformungsvermögen von Biegeträgern

99

nissen klar zu bezeichnen. Eine Interpretation der Versuchsergebnisse erfordert, dasszwischen den verschiedenen Brucharten unterschieden wird.

Die Schlankheit der Träger beeinflusst das Verformungsvermögen indirekt. Eine Vari-ation der Schlankheit wirkt sich in erster Linie auf den Verlauf der Zugkraft der Längsbe-wehrung aus; eine grössere Schlankheit hat einen flacheren Verlauf der Zugkraftlinie zurFolge. Da sich dementsprechend die plastischen Verformungsbereiche über längereTrägerabschnitte erstrecken, resultieren daraus für schlankere Träger grössere plastischeGelenkwinkel. Untersuchungen zum Einfluss der Grösse und Gliederung des Quer-schnittes sowie der statischen Höhe wurden in [137] und [77] angestellt. Der Einfluss derTrägerschlankheit verdeutlicht, dass die Beurteilung der Verformungsfähigkeit von Trag-werken sich nicht allein auf das Verformungsvermögen der Gelenkbereiche stützen kann,sondern unter Berücksichtigung des Verhaltens des gesamten Tragsystems vorgenommenwerden muss. Die hier gezeigten Berechnungen belegen, dass sowohl die Mittendurch-biegung im plastischen Bereich der Stahl- und Betondehnungen als auch die erreichbarenplastischen Gelenkwinkel mit einfachen Beziehungen angegeben werden können. DieVerfestigungscharakteristik der Bewehrung kann mit dem Exponenten der verwen-deten Potenzfunktion (5.13) berücksichtigt werden. Auf diese Weise können die Verfor-mungen analytisch berechnet werden.

Bild 5.10 – Einfluss der Druckfeldneigung und der Schlankheit des Trägers auf denplastischen Gelenkwinkel; Grundparameter gemäss Bild 5.8 (c), Duktilitäts-klasse B.

l h⁄

0.1

0

[rad]Θpl

0.2

0

0.2

00.30

ω [–]0.1 0.2 0.30

ω [–]0.1 0.2

(a) (c)(b)

0.1

0

[rad]Θpl

ϑ 25°=45°65°

0.30ω [–]

0.1 0.2

l h⁄ 30=2010

a l 3⁄=

K

100

6 Zusammenfassung und Folgerungen

6.1 Zusammenfassung

Mit der vorliegenden Arbeit wird versucht, zu einem besseren Verständnis des Trag- undVerformungsverhaltens von Massivbautragwerken, insbesondere von biegebeanspruch-ten Bauteilen, beizutragen. Es werden Methoden und Modelle vorgestellt, die es ermög-lichen, die Mindestbewehrung zur Vermeidung des Versagens ohne Vorankündigung beiErstrissbildung oder zur Begrenzung der Rissbreiten im Gebrauchszustand abzuschätzen.Sowohl im Gebrauchszustand als auch im Bereich von plastischen Stahl- und Betondeh-nungen werden zur Verformungsberechnung, ausgehend von der Rissabstandsberech-nung in Biegeträgern, analytische Beziehungen entwickelt. Der Einfluss der Mitwirkungdes Betons zwischen den Rissen wird bis zum Erreichen der plastischen Maximalverfor-mung von Stahlbetonquerschnitten berücksichtigt.

Im ersten Teil der Arbeit (Kapitel 2) werden die wichtigsten bruchmechanischen Ver-sagensmodelle zur Beschreibung des Entfestigungsverhaltens von Beton dargelegt undGrundlagen der linear elastischen Bruchmechanik eingeführt. In einer Übersicht der nichtlinearen Bruchmechanik sind vor allem die kohäsiven Rissmodelle von Interesse. DerEinfluss der Bauteilgrösse auf die Art des Versagens und die Stabilität des Entfestigungs-vorgangs wird erläutert. Unter Verwendung des fiktiven Rissmodells [62] wird anhanddes Biegezugversuchs gezeigt, dass die Biegezug- und Zugfestigkeiten von Beton miteinfachen analytischen Beziehungen in guter Näherung angegeben werden können. MitHilfe einer geeigneten Formulierung des Entfestigungsverhaltens von Beton unter Be-rücksichtigung der Belastungskonfiguration werden vorhandene Vorschläge erweitert.Die Einflüsse der Spannungs-Rissöffnungs-Kurve des Betons im Rissquerschnitt und derBelastungsgeometrie auf das Last-Durchbiegungsverhalten werden aufgezeigt und dieResultate der Berechnungen mit weiteren Ansätzen und experimentell ermittelten Wertenverglichen. Die Modellrechnungen verdeutlichen, dass die Sprödigkeit nicht eine reineMaterialeigenschaft, sondern vielmehr eine Eigenschaft des Systems, d.h. des Prüfkör-pers im Zusammenwirken mit der Prüfeinrichtung ist. Der Einfluss von Eigenspannungenauf die Biegezugfestigkeit wird qualitativ diskutiert.

Das Zusammenwirken zwischen Beton und Bewehrungsstahl wird auf der Grundlagedes Zuggurtmodells [1, 137] erläutert. Der Vergleich zwischen faseroptisch ermitteltenStahldehnungen und nach dem Zuggurtmodell analytisch bestimmten sowie mit weiterenVerbundschubspannungs-Schlupf-Beziehungen numerisch berechneten Stahldehnungenzeigt sowohl im elastischen als auch im plastischen Bereich eine sehr gute Übereinstim-mung. Im weiteren wird aufgezeigt, dass die unter Voraussetzung der starr-ideal plasti-

Zusammenfassung

101

schen Verbundschubspannungs-Schlupf-Beziehung ermittelten Dehnungs- und Span-nungsverläufe eine mindestens gleichwertige Übereinstimmung mit den Messwertenaufweisen, wie die mit viel Rechenaufwand verbundenen Vergleichsrechnungen derübrigen Modelle. Der Einfluss einer Bewehrung auf die Entfestigungsstabilität von direk-ten Zugversuchen wird aufgezeigt.

Der zweite Teil der Arbeit (Kapitel 3) befasst sich mit der Mindestbewehrung zur Ver-meidung des Versagens ohne Vorankündigung bei Erstrissbildung. Zunächst werden dieanalytischen Beziehungen des Biegezugversuchs mit einer vereinfachten Stahlspan-nungs-Rissöffnungs-Funktion auf der Grundlage der starr-ideal plastischen Verbund-schubspannungs-Schlupf-Beziehung sowie der Normalkraftbeanspruchung erweitert.Anschliessend wird der Einfluss der Bewehrung sowie jener der Normalkraftbeanspru-chung auf das Momenten-Durchbiegungs-Verhalten bzw. die maximalen Biegewider-stände untersucht. Dabei wird sowohl das Entfestigungsverhalten des Betons im Riss-querschnitt als auch die versteifende Wirkung einer Druckkraft berücksichtigt. Mit derBegrenzung der Stahlspannung im Riss sowie der Bedingung, dass das Biegemomentbeim Erreichen der Fliessspannung gleich dem ersten Maximum der Last-Durchbie-gungskurve ist, wird die Mindestbewehrung bestimmt. Die numerischen Resultate sol-cher Berechnungen werden mit einer analytischen Funktion approximiert, welche dieGrenzen für plastisches sowie ideal sprödes Materialverhalten beinhaltet und den Verlaufzwischen diesen Grenzen in guter Näherung abbildet. Diese Vereinfachung wird mit aufbruchmechanischen Ansätzen und Normvorschriften verglichen. Der Normalkraftein-fluss auf den Mindestbewehrungsgehalt wird untersucht und in der Vereinfachung be-rücksichtigt. Der Einfluss von Eigenspannungen auf den erforderlichen Mindestbeweh-rungsgehalt wird diskutiert. Zur Festlegung einer Bewehrungsreduktion infolgeSchwindeigenspannungen werden grobe Anhaltspunkte angegeben.

Nach einem Abriss der geschichtlichen Entwicklung verschiedener Berechnungsme-thoden gerissener Stahlbetonquerschnitte befasst sich der dritte Teil der Arbeit (Kapitel 4)mit dem Gebrauchsverhalten von Biegeträgern. Unter Verwendung von Gleichgewichts-und Verträglichkeitsbedingungen an einem Trägerabschnitt zwischen zwei Rissen wirdder maximale Rissabstand analytisch ermittelt. Dabei wird sowohl das Verbundverhaltender Bewehrung bzw. der entsprechende Stahlspannungsverlauf als auch ein linearisierterVerlauf der Betonrandstauchung berücksichtigt. Der Einfluss einer ideal spröden Zug-spannungsverteilung im Rissquerschnitt zeigt sich erst bei einem Bewehrungsgehalt von

in einer grösseren Druckzonenhöhe, kleineren Stahlspannungen im Rissquer-schnitt und kleineren Rissabständen. Aus der Rissabstandsbeziehung für zentrischen Zugwird durch Ergänzung der für reine Biegung relevanten Parameter eine Näherung zur Be-stimmung des Rissabstandes in Biegeträgern mit rechteckigem Querschnitt angegeben.Diese Näherungsbeziehung wird mit weiteren Ansätzen zur Rissabstandsberechnung ver-glichen. Eine Normalkraftbeanspruchung führt zu aufwändigeren Berechnungen undlässt sich nicht im gleichen Mass vereinfachen.

Mit Hilfe eines Zugversteifungsfaktors lassen sich die Spannungen und Krümmungenam gerissenen Querschnitt mit bekannten analytischen Gleichungen angeben. Ähnlich

ρ 0.5 %>

Zusammenfassung und Folgerungen

102

einer lastunabhängigen Differenz der Stahldehnungen infolge Zugversteifung beim Zug-gurtmodell lässt sich eine Krümmungsdifferenz zur Berücksichtigung der Verbundwir-kung zwischen den Rissen formulieren. Unter Verwendung einer vereinfachtenKrümmungsberechnung lassen sich Verformungen von Biegeträgern mit Hilfe derAnalogie von Mohr [95] einfach berechnen. Für verschiedene Belastungsgeometrien undstatische Systeme werden einfache Gleichungen zur Verformungsberechnung bereitge-stellt. Dabei wird der Einfluss ungerissener Trägerbereiche sowie die Zugversteifungberücksichtigt und den Berechnungen unter Voraussetzung komplett gerissener Quer-schnitte gegenübergestellt. Der Vergleich der vereinfachten Berechnung mit experi-mentell ermittelten Momenten-Krümmungs-Werten sowie gemessenen Last-Mitten-durchbiegungs-Kurven zeigt eine befriedigende Übereinstimmung. Auf der Grundlageder vereinfachten Rissabstandsberechnung und der zugversteifenden Wirkung des Ver-bundes wird der Mindestbewehrungsgehalt zur Begrenzung der Rissbreiten angegebenund mit den Forderungen der gültigen Norm [135] verglichen.

Im vierten Teil der Arbeit (Kapitel 5) werden vereinfachte Beziehungen zum Verfor-mungsverhalten von Biegeträgern im plastischen Bereich hergeleitet. Mit Hilfe einer ge-eigneten Formulierung des nichtlinearen Spannungs-Dehnungs-Verhaltens in der Beton-druckzone ist eine analytische Behandlung ohne Fallunterscheidungen bis zur nominellenBruchstauchung möglich. Zur Bestimmung der mittleren Stahldehnung im Risselementstehen in der Literatur [1] analytische Beziehungen für unterschiedliche Verfestigungs-charakteristiken zur Verfügung. In Anlehnung an das Potenzgesetz von Bach [3] wirdeine vereinfachte Momenten-Krümmungs-Beziehung angegeben. Vergleichsrechnungenmit den nichtlinearen Materialgesetzen unter Variation der massgebenden Parameter zei-gen, dass der Krümmungsverlauf zwischen der Fliess- und Bruchlast in guter Näherungerfasst wird. Unter Verwendung der vereinfachten Krümmungsberechnung lassen sichVerformungen analytisch berechnen. Für verschiedene Belastungsgeometrien und stati-sche Systeme werden einfache Gleichungen zur Verformungsberechnung entwickelt.Dabei werden der Einfluss ungerissener Trägerbereiche, die Zugversteifung sowie dieVerschiebung der Zugkraftlinie infolge Querkraftbeanspruchung (bei vorhandenerSchubbewehrung) berücksichtigt. Der Vergleich von vereinfachter Berechnung mit expe-rimentell ermittelten Last-Mittendurchbiegungs-Kurven (mit und ohne Schubbeweh-rung) zeigt eine befriedigende Übereinstimmung.

Aufbauend auf der vereinfachten Berechnung der Mittendurchbiegung wird das Ver-formungsvermögen plastischer Gelenkbereiche ermittelt. Unter Verwendung eines ein-fachen kinematischen Modells werden erreichbare plastische Gelenkwinkel berechnetund in Funktion des mechanischen Bewehrungsgehalts dargestellt. Für den Fall desVersagens der Biegedruckzone stellt die nominelle Bruchstauchung des Betons denwesentlichen Parameter dar. Bestimmt hingegen das Zerreissen der Längsbewehrung denBruch, was bespielsweise bei Verwendung von Stahl der Duktilitätsklasse B (Bild 5.8 (c))und mechanischen Bewehrungsgehalten bis etwa der Fall ist, so nehmen dieplastischen Gelenkwinkel mit zunehmendem Bewehrungsgehalt massiv zu. Im Rahmeneiner Parameterstudie werden die wichtigsten Einflüsse, denen das Verformungsvermö-gen von Stahlbetonträgern unterliegt, behandelt. Diese betreffen einerseits die Eigen-

ω

ω 0.15=

Folgerungen

103

schaften der verwendeten Materialien und andererseits das statische System und die Artder Belastung.

6.2 Folgerungen

Aus den Ergebnissen der vorliegenden Arbeit lassen sich einige Folgerungen zur Be-schreibung des Biegetragverhaltens und Empfehlungen zur Mindestbewehrung vonStahlbetonbauteilen angeben:

• Die Biegezugfestigkeit wird sowohl von der Form der Spannungs-Rissöffnungs-Kurve des Betons im Riss als auch von der Belastungsgeometrie nur wenig beein-flusst. Mit zunehmender Balkenhöhe wird die Biegezugfestigkeit als Folge vonSchwindeigenspannungen massiv reduziert.

• Der Vergleich von faseroptisch ermittelten Stahldehungen mit Resultaten von Berech-nungen bestätigt insbesondere das Zuggurtmodell.

• Die Mindestbewehrung zur Vermeidung eines Versagens ohne Vorankündigung beiErstrissbildung kann bei Biegebeanspruchung sowie bei Biege- und Normalkraft-beanspruchung mit einfachen, aus bruchmechanischen Modellvorstellungen abgelei-teten Beziehungen in guter Näherung angegeben werden. Eine Druckkraft reduziertdie erforderliche Bewehrung deutlich.

• Die auf der Rissabstandsberechnung aufbauenden Gleichungen zur Verformungsbe-rechnung erlauben eine experimentell bestätigte Abschätzung der Mittendurchbie-gung.

• Der analytisch berechnete Mindestbewehrungsgehalt zur Beschränkung der Riss-breiten in rechteckigen Querschnitten unter Biegebeanspruchung wird im Vergleichmit der gültigen Norm bestätigt.

• Die aus der vereinfachten Momenten-Krümmungs-Beziehung abgeleiteten Glei-chungen zur Verformungsberechnung im plastischen Stahldehnungsbereich erlaubeneine experimentell bestätigte Abschätzung der Mittendurchbiegung.

• Auf der Grundlage der im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten Untersuchungen undden angegebenen Beziehungen lassen sich die erreichbaren plastischen Gelenkwinkelabschätzen.

• Auf der Grundlage der starr-ideal plastischen Verbundschubspannungs-Schlupf-Beziehung lässt sich das Last-Verformungs-Verhalten von gerissenen Biegezugzonenunter Verwendung wirklichkeitsgetreuer Stahlstoffgesetze im gesamten Beanspru-chungsbereich zutreffend und mit geringem Rechenaufwand beschreiben.

Zusammenfassung und Folgerungen

104

6.3 Ausblick

Zum Schluss einige Anregungen für weiterführende Untersuchungen zu den Themendieser Arbeit:

• Der Ansatz zur Bestimmung der Mindestbewehrung in Biegeträgern könnte auf wei-tere Querschnittsformen ausgedehnt werden. Dabei sollte der Einfluss von Eigenspan-nungen mit geeigneten Vereinfachungen angegeben werden.

• Die quantitativen Aussagen über das Verformungsverhalten gerissener Biegezugzo-nen sollten für Verbundentfestigung infolge zyklischer Beanspruchung erweitert wer-den. Für die genauere Untersuchung der Mindestbewehrung zur Begrenzung der Riss-breiten muss abgeklärt werden, wie stark der Verbund durch zyklischeBeanspruchung zerstört wird.

• Die für Biegeträger mit rechteckigem Querschnitt hergeleiteten Beziehungen zur Be-stimmung des Rissabstandes und der Biegesteifigkeit sollten auf weitere Quer-schnittsformen übertragen und für gemischte Bewehrung verallgemeinert werden.

• Bei statisch unbestimmten Systemen könnten mögliche und notwendige Schnitt-grössenumlagerungen unter Berücksichtigung allfälliger Zwängungen mit den ange-gebenen einfachen Beziehungen untersucht werden.

105

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[145] Weigler, H., Becker, G., “Untersuchungen über das Bruch- und Verformungsverhalten vonBeton bei zweiachsiger Beanspruchung”, Deutscher Ausschuss für Stahlbeton, Heft 157,1963, 66 pp.

[146] Wierig, H.J., “Frischbeton und Bauwerksqualität”, Beton, Vol. 33, Heft 5, 1983, pp. 175-179.

[147] Zhu, Y., “The Flexural Strength Function for Concrete Beams: A Closed Form SolutionBased on the Fictitious Crack Model”, Departement of Structural Mechanics and Enginee-ring, Bulletin No. 157, The Royal Institut of Technology, Stockholm, 1991, pp. B1-B23.

113

Bezeichnungen

Lateinische Grossbuchstaben

A Querschnittsfläche; Fläche

B Festigkeitsfaktor

C Formfaktor

D Dissipationsenergie; Druckkraft

E Elastizitätsmodul

F Kraft

G spezifische Bruchenergie

H charakteristische Probengrösse

I Flächenträgheitsmoment

K Spannungsintensitätsfaktor; Koeffi-zient

L Probengeometriefaktor

M Moment

N Normalkraft

P Vorspannkraft; Versagenswahr-scheinlichkeit

U Formänderungsenergie

RH relative Luftfeuchtigkeit

S Oberflächenenergie

V Volumen

W Widerstandsmoment

Y Formfunktion

Z Zugkraft

Lateinische Kleinbuchstaben

a Risstiefe; Abstand

b Breite

c Konstante

d Abstand; Bruchprozesszonendicke; Grösstkorndurchmesser

e Stababstand

f Baustoff - Festigkeit; bezogene Fläche

h Höhe

k Koeffizient

l Länge

m Koeffizient

n Wertigkeit; Anzahl

q verteilte Belastung

r Abstand zur Rissspitze

s Abstand

t Probendicke

u Verlängerung

w Durchbiegung; Rissbreite; Riss-öffnung

x, y, z Koordinaten

z Druckzonenhöhe

Griechische Buchstaben

α Winkel; Koeffizient; Abminde-rungsfaktor

β Zugversteifungsfaktor

γ spezifische Oberflächenenrgie

δ Schlupf

∆ Differenz; Verformung

ε Dehnung

ζ bezogene Länge; Formbeiwert

η bezogene Risstiefe; bezogene Höhe

Druckfeldneigung; Verbundpara-meter

Gelenkwinkel

κ Verhältnis; Exponent

λ Faktor

µ normiertes Moment

ν Querkontraktionszahl;normierte Normalkraft

ξ bezogene Druckzonenhöhe

ρ geometrischer Bewehrungsgehalt; Fehlstellendichte; Kerbgrundradius

ϑ

Θ

µ 6Mfct bh2--------------=

ν Nfct bh------------=

114

σ Normalspannung; Standardabwei-chung

τ Schubspannung

ϕ Beiwert

χ Krümmung; Entfestigungsstabili-tätsfaktor

ψ Bewehrungslage

ω mechanischer Bewehrungsgehalt

Weitere Zeichen

Ø Durchmesser

∞ Unendlich

Fusszeiger

I ungerissen

II gerissen

L Ligament

M Moment

N Nennfestigkeit; Nebenschluss; Normalkraft

P Prüfmaschine

R Rippe

T Temperatur

adm zulässig

b Biegung; Verbund

c Beton; Zylinder

cal rechnerisch

ch charakteristisch

cr kritisch

e Eintragung

eff effektiv

erf erforderlich

exp experimentell

f Faser; Form

h Verfestigungsbeginn

id ideellinf untenm Mittelwert; Mittemax Maximummin Minimump Vorspannungpl plastischr Rissred reduzierts Entfestigung; Störung; Stahl;

Schwindensup obent Zugu Bruch; Versagenszustandv Verfestigung; Versatzw Würfely Fliessen; Fliessgrenzez Druckzone0 Anfang; initial; klassisch1..4 Numerierung

Kopfzeiger· Inkrement

ψ d h⁄=( )

115

Lebenslauf

Albin Kenel Lüthold

geboren in Zug am 26. Juni 1969

von Arth, SZ

Ausbildung

1976 – 1982 Primarschule in Arth

1982 – 1985 Sekundarschule in Oberarth

1985 – 1989 Lehre als Metallbauschlosser bei A. Kaufmann AG in Goldau

1985 – 1988 Berufsmittelschule in Emmen

1989 – 1992 Ausbildung zum Bauingenieur HTL am Interkantonalen TechnikumRapperswil; Diplomarbeit “Stahlbau” bei K. Schellenberg;Auszeichnung für die beste praktische Diplomarbeit.

1993 – 1994 Übertrittskurs HTL-ETHZ am Technikum in Winterthur und Auf-nahmeprüfung an die ETH Zürich.

1994 – 1997 Bauingenieurstudium an der ETH Zürich; Diplomarbeit “Verhaltenvon Holz/Beton-Verbundkonstruktionen unter langfristiger Bean-spruchung” bei Prof. Dr. F.H. Wittmann; Auszeichnung der Diplom-arbeit aus dem Culmann-Fond.

Berufliche Tätigkeit

1992 – 1993 Projektstatiker im Ingenieurbüro Birchler, Pfyl + Partner AG inSchwyz

1995 Maurerpraktikum bei Brusa J.L. Bauunternehmung AG in Steinen;(4 Monate)

ab März 1997 Assistent und wissenschaftlicher Mitarbeiter von Prof. Dr. P. Martiam Institut für Baustatik und Konstruktion der ETH Zürich.