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Universitätsstrasse 150, D-44780 Bochum
SS2011
SS 2011
1. Auflage
MASTERPraktikum
RUHR-UNIVERSITÄT BOCHUM
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Allgemeine Hinweise
Das Master-Praktikum Kommunikationstechnik gliedert sich in vier
Versuche, welche die
Inhalte der Vorlesungen „Schaltungstheorie“ und
„Nachrichtentechnik“ weiter vertiefen.
Die Praktikumsversuche sind jeweils drei Phasen
untergliedert:
1. Vorbereitung auf den theoretischen Teil des Versuchs anhand
der Unterlagen.
2. Praktische Durchführung des Versuchs und Erstellung eines
Messprotokolls.
3. Schriftliche Auswertung der Versuchsergebnisse.
Vor dem Praktikum ist der theoretische Teil zu erlernen und die
gestellten Vorbereitungs-
aufgaben sind vollständig zu bearbeiten. Werden zu Beginn der
Versuchsdurchführung bei
einem Studierenden grobe inhaltliche oder formale Mängel in der
schriftlichen Vorbereitung
festgestellt oder sind essentielle Verständnislücken vorhanden,
so kann der Versuch nicht
durchgeführt werden. Es wird dann ein Ersatztermin gegen Ende
des Semesters angeboten,
der beispielsweise auch im Falle einer Krankheit in Anspruch
genommen werden kann. Für
das gesamte Praktikum wird nur ein Ersatztermin angeboten.
Bei der Vorbereitung, Protokollierung und Auswertung sind
gewisse Grundregeln des
wissenschaftlichen und ingenieurgemäßen Arbeitens einzuhalten,
wie ein sauberes Schriftbild
in geordneten Zeilen und mit einem Lineal gezogene Linien. Wer
hierbei Schwierigkeiten hat,
kann die Unterlagen auch in Maschinenschrift anfertigen. Die
Vorbereitungsaufgaben sind
von jedem Teilnehmer einzeln anzufertigen, bei Protokollierung
und Auswertung genügt eine
Anfertigung je Gruppe. Die Schriftstücke sind geordnet und
strukturiert mit Datum und
Namen des Schreibers bzw. der Gruppe abzugeben. Insbesondere ist
die in den Praktikums-
unterlagen vorgegebene Nummerierung einzuhalten. Der Auswertung
ist das Messprotokoll
beizufügen und alle gemessenen Verläufe sind zu beurteilen und
zu kommentieren. Ein
schwer wiegender Verstoß gegen diese Regeln führt zur
Nichterteilung des Testates. Liegt die
schriftliche Auswertung nicht spätestens drei Wochen nach der
Durchführung des Versuchs
in einer bewertbaren Form vor, so wird das Testat ebenfalls
nicht erteilt. Sind Korrekturen
in der Ausarbeitung erforderlich, so müssen diese innerhalb von
zwei Wochen eingearbeitet
werden.
Sollten sich bei der Bearbeitung der Aufgaben Unklarheiten oder
Probleme ergeben, die
der Studierende nicht selbstständig lösen kann, helfen die
Betreuer des jeweiligen Prakti-
kums – innerhalb ihrer Sprechstunden – gerne weiter. Gleiches
gilt natürlich auch für die
Auswertung der Versuchsergebnisse.
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Versuchsverzeichnis
Fernmeldekabel NT-V1
Nichtlineare Verzerrungen NT-V2
Reaktanzeintore NT-V3
Reaktanzzweitore NT-V4
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Versuch NT-V1: Fernmeldekabel
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 2
2 Die Leitungsgleichungen 22.1 Leitungsarten . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2
Ersatzschaltbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 3
3 Verhalten der Leitung bei sinusförmiger Anregung 53.1
Entkopplung des DGL-Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 63.2 Die Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichungen
. . . . . . . . . . . . . 73.3 Fortpflanzungskonstante und
Wellenübertragungsmaß . . . . . . . . . . . . . 93.4
Reflexionsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 103.5 Näherungslösungen für verschiedene
Frequenzbereiche . . . . . . . . . . . . . 113.6 Kettenmatrix der
Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163.7 Eingangsimpedanz einer Leitung . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 173.8 Messung von Leitungskenngrößen . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Verhalten der elektrischen Leitung bei impulsförmiger Anregung
194.1 Bestimmung des Typs und der Entfernung einer Störstelle . . .
. . . . . . . 23
5 Nebensprechen 245.1 Kopplungsarten . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Berechnung der
kapazitiven Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
265.3 Berechnung der induktiven Kopplung . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 27
6 Messaufgaben 286.1 Messungen bei pulsförmigem Signal . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.2 Messungen im
eingeschwungenen Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Literaturverzeichnis 33
NT-V1 - 1
-
1 Einleitung
Mit dem Praktikumsversuch Fernmeldekabel soll veranschaulicht
werden, welchen Einflüssenein Signal bei der Übertragung auf einem
Fernmeldekabel ausgesetzt ist. Die Studierendensollen mit den
wichtigsten Kenngrößen einer Leitung vertraut gemacht werden und
die-se insbesondere im Hinblick auf ihre Frequenzabhängigkeit
untersuchen. Im ersten Teildieses Umdrucks wird ein
Ersatzschaltbild für ein kurzes Leitungsstück entwickelt, mitdessen
Hilfe die sogenannten Telegrafengleichungen hergeleitet werden
können. Für denwichtigen Spezialfall des eingeschwungenen Zustands
bei sinusförmiger Anregung wird eineLösung dieser
Leitungsgleichungen ermittelt. Zudem werden die wichtigsten
Kenngrößeneiner Leitung vorgestellt. Im zweiten Teil wird das
Verhalten der Leitung bei Anregungmit einem impulsförmigen Signal
betrachtet. Es handelt sich hierbei um die Grundlage
derReflektometrie, mit deren Hilfe man sich einen schnellen
Überblick über den Typ einer Stör-stelle (z. B. Kabelbruch oder
Kurzschluss) verschaffen kann. Weiterhin ist eine Abschätzungder
Entfernung einer Störstelle möglich. Im dritten Teil wird
schließlich auf das bekanntePhänomen des Nebensprechens, d. h. den
Einfluss benachbarter Leitungen auf die betrachteteLeitung,
eingegangen. Im Text sind insgesamt 8 Vorbereitungsaufgaben
enthalten, die vonallen Versuchsteilnehmern schriftlich zu
bearbeiten sind.
2 Die Leitungsgleichungen
2.1 Leitungsarten
Die drahtgebundene Nachrichtentechnik arbeitete anfänglich nur
mit Freileitungen. Diesesind kostengünstig, haben jedoch den
Nachteil, dass sie allen klimatischen Schwankungen(Temperatur,
Regen usw.) ausgesetzt sind. Im Laufe der Zeit haben sich daher die
betriebs-sicheren Kabel durchgesetzt. In einem Kabel befinden sich
mehrere mit einer Kunststoff-Isolation versehene Kupferdrähte, die
so genannten Adern, von denen jeweils zwei zu einemSprechkreis
gehören. Üblicherweise werden vier solcher Adern miteinander
verseilt. BeimSternvierer haben die vier Adern an jeder Stelle des
Viererseils die gleiche Lage zueinanderund sind so angeordnet, dass
sich die zu einem Paar gehörenden Adern gegenüberliegen(Bild 1a).
Wegen der größeren Kapazitäten hat der Sternvierer vorwiegend im
regionalenBereich Bedeutung. Für Fernleitungen wird dagegen fast
ausschließlich der Dieselhorst-Martin-Vierer verwendet, bei dem in
getrennten Arbeitsgängen zunächst je zwei Adern zueinem Paar
verseilt und anschließend die beiden Paare zu einem Vierer verseilt
werden. Diezwei Paare haben somit an jeder Stelle des Viererseils
eine andere Lage zueinander (Bild 1b).Im Normalfall enthält ein
Kabel nicht nur einen Vierer, sondern um den innersten Vierer,
dieso genannte Kabelseele, herum werden in mehreren Lagen weitere
Vierer angeordnet. In derersten Lage haben 6 Vierer Platz, in der
zweiten 12 und in jeder weiteren Lage jeweils 6 Vierermehr (Bild
2). Außer den Paralleldrahtleitungen werden in zunehmendem Maße
Kabelmit koaxialen Leitungen verwendet. Ihr Vorteil ist, dass sie
sich – insbesondere bei hohenFrequenzen – selbst abschirmen. Die
Paralleldrahtleitungen und die Koaxialleitungen habengemeinsam,
dass sie einen Leiter für die eine Stromrichtung und isoliert davon
einen Leiterfür die Gegenrichtung besitzen. Es ist daher möglich,
ein gemeinsames Ersatzschaltbild fürdie beiden Leitungstypen
anzugeben.
NT-V1 - 2
-
a)
b)
Bild 1: Anordnung der Adern im Sternvierer (a) und im
Dieselhorst-Martin-Vierer (b)
1
2
8 910
113
45
6
7Kabelseele
1. Lage
2. Lage
Bild 2: Anordnung der Vierer in einem Kabel
2.2 Ersatzschaltbild
Die elektromagnetische Energie breitet sich auf einer Leitung
wellenförmig aus. Zur Be-rechnung der Zeit- und Ortsabhängigkeit
von Strom und Spannung entlang der Leitungwird die Leitung nach
Bild 3a als Kaskade von vielen kurzen Leitungselementen der Län-ge
Δx betrachtet. Für ein solches Leitungselement kann dann mithilfe
der Kirchhoff-Gleichungen der Zusammenhang zwischen den Eingangs-
und Ausgangsgrößen ermitteltwerden. Dabei muss allerdings
vorausgesetzt werden, dass die Leitung homogen ist. Dasheißt, die
Ausbreitungsbedingungen des elektromagnetischen Feldes müssen längs
der Lei-tung konstant sein. Dazu gehören unter anderem der Abstand
der Leiter, die Leitfähigkeitder Leiter, die Dielektrizität und die
Permeabilität im Raum zwischen den Leitern. Infolgeder Ströme in
den Leitungsdrähten wird in diesen und um sie herum ein
magnetisches Feldaufgebaut, das einen magnetischen Fluss zur Folge
hat. Das Leitungsstück der Länge Δx hatdaher eine Induktivität, die
sich aus der Beziehung vom erzeugten Fluss zum erzeugendenStrom
berechnen lässt. Zwischen den einzelnen Leitern gibt es außerdem
eine Kapazität. DasBild 3b zeigt eine Ersatzschaltung des kurzen
Leitungsstücks, in dem neben der Induktivitätund der Kapazität auch
die Verluste der Doppelleitung berücksichtigt sind. Die Werte
R′,L′, G′ und C ′ werden Leitungsbeläge genannt. Es handelt sich
hierbei um längenbezogeneGrößen. Bezieht man R′ z. B. auf einen
Kilometer Kabellänge, so lautet die Einheit desWiderstandsbelags
Ω/km. Der Strom und die Spannung sind sowohl Funktionen der Zeit
t
NT-V1 - 3
-
als auch des Ortes x:
u = u(x,t) und i = i(x,t) .
Durch Anwendung der Kirchhoff-Maschenregel erhält man aus dem
Bild 3b die folgendeGleichung:
u(x,t) +Δu = u(x,t) − L′Δx∂i(x,t)∂t
−R′Δx i(x,t)
⇔ ΔuΔx
= −L′∂i(x,t)∂t
− R′i(x,t) . (1)
Führt man den Grenzübergang Δx → 0 durch, so folgt daraus die
partielle Differentialglei-
a)
b)
i1(t) = i(0,t) i2(t) = i(l,t)
u1(t) = u(0,t) u2(t) = u(l,t)
l
x
x
Δx
Δx
u(x,t)
u(x,t)
i(x,t)
i(x,t) i(x,t) +ΔiR′Δx L′Δx
G′Δx C ′Δx u(x,t) +Δu
x+Δx
Bild 3: Man betrachtet die Leitung der Länge l als Kaskade von
vielen kurzen Leitungselementender Länge Δx. Für jedes dieser
Leitungselemente lässt sich dann die darunter
abgebildeteErsatzschaltung mit den Leitungsbelägen R′, L′, G′ und C
′ angeben.
chung:
−∂u∂x
= L′∂i
∂t+R′i . (2)
Mit der Kirchhoff-Knotenregel erhält man die entsprechende
Beziehung für den Strom i:
i(x,t) +Δi = i(x,t) − C ′Δx∂ [u(x,t) +Δu]∂t
−G′Δx [u(x,t) +Δu] .
NT-V1 - 4
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Wird diese Gleichung durch Δx dividiert und Gleichung (1)
eingesetzt, so ergibt sich:
Δi
Δx= −C ′∂u(x,t)
∂t−G′u(x,t)
+Δx
{C ′L′
∂2i(x,t)
∂t2+ [C ′R′ +G′L′]
∂i(x,t)
∂t+G′R′i(x,t)
}.
Hieraus folgt mit dem Übergang Δx→ 0
− ∂i∂x
= C ′∂u
∂t+G′u. (3)
Die Gleichungen (2) und (3) stellen zusammen ein System
partieller Differentialgleichungen1.Ordnung dar. Leitet man nun in
(2) auf beiden Seiten nach x und in (3) nach t ab, soergeben sich
die Beziehungen
−∂2u
∂x2= L′
∂2i
∂t∂x+R′
∂i
∂x(4)
und − ∂2i
∂t∂x= C ′
∂2u
∂t2+G′
∂u
∂t. (5)
Setzt man nun Gleichung (5) in (4) ein, so erhält man:
⇒ ∂2u
∂x2= L′C ′
∂2u
∂t2+ L′G′
∂u
∂t− R′ ∂i
∂x
In diese Gleichung wird anschließend Gleichung (3) eingesetzt,
so dass folgende partielleDifferentialgleichung 2.Ordnung
entsteht:
∂2u
∂x2= L′C ′
∂2u
∂t2+ [L′G′ +R′C ′]
∂u
∂t+R′G′u . (6)
Diese Differentialgleichung stellt eine der beiden
Telegrafengleichungen dar. Die andere Te-legrafengleichung ist die
entsprechende Differentialgleichung 2.Ordnung, welche man
erhält,wenn man die Beziehungen (2) und (3) in Abhängigkeit vom
Strom i(x,t) zusammenfasst.
3 Verhalten der Leitung bei sinusförmiger Anregung
Im vergangenen Abschnitt konnte man sehen, dass das Verhalten
der Spannung auf einer Lei-tung durch eine lineare partielle
Differentialgleichung zweiter Ordnung beschrieben werdenkann. Wie
man im vorherigen Abschnitt sehen konnte, lässt sich für die
homogene Leitungeine lineare Ersatzschaltung angeben. Da ferner die
Leitung bei sinusförmiger Anregungim eingeschwungenen Zustand
betrachtet werden soll, kann die komplexe Wechselstrom-rechnung
verwendet werden. Die Gleichungen (2) und (3) lassen sich in
komplexer Formdurch
−∂U∂x
= jωL′I +R′I (7)
und
−∂I∂x
= jωC ′U +G′U (8)
darstellen.
NT-V1 - 5
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3.1 Entkopplung des DGL-Systems
Zur Lösung des Systems gekoppelter Differentialgleichungen (7)
und (8) werden die Glei-chungen entkoppelt. Hierzu werden zwei neue
komplexwertige und ortsabhängige VariablenA(x) und B(x) mit der
Dimension einer Spannung eingeführt
A : = U + ZI (9)B : = U − ZI . (10)
In Matrizenschreibweise lauten die Gleichungen (9) und
(10)[AB
]=
[1 Z1 −Z
] [UI
]. (11)
Die inverse Darstellung dieser Transformation ist[UI
]=
1
2
[1 11Z
− 1Z
] [AB
]. (12)
Das DGL-System in den Gleichungen (7) und (8) mit p = jω
− ∂∂x
[UI
]=
[0 R′ + pL′
G′ + pC ′ 0
] [UI
](13)
geht mit Gleichung (12) über in
− ∂∂x
[UI
]= −1
2
[1 11Z
− 1Z
]∂
∂x
[AB
]
=1
2
[0 R′ + pL′
G′ + pC ′ 0
] [1 11Z
− 1Z
] [AB
].
Hierbei haben wir die komplexe Größe Z, die auch als
Wellenwiderstand bezeichnet wird,als vom Ort x unabhängig
angenommen. Die letzte Gleichung führt unmittelbar auf
dieBeziehung
− ∂∂x
[AB
]=
1
2
[1 Z1 −Z
] [0 R′ + pL′
G′ + pC ′ 0
] [1 11Z
− 1Z
] [AB
].
Die Auswertung des dreifachen Matrizenproduktes bringt
zunächst[R′+pL′Z
−R′+pL′Z
G′ + pC ′ G′ + pC ′
]
und dann
1
2
⎡⎣ R
′+pL′Z
+ (G′ + pC ′)Z (G′ + pC ′)Z − R′+pL′Z
R′+pL′Z
− (G′ + pC ′)Z −(R′+pL′Z
+ (G′ + pC ′)Z)
⎤⎦ . (14)
NT-V1 - 6
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Die Bedingung für die gewünschte Entkopplung beider Gleichungen
ist
(G′ + pC ′)Z − R′ + pL′
Z= 0 (15)
oder Z2 =R′ + pL′
G′ + pC ′. (16)
Wird für Z die positive Wurzel gewählt, so ergibt sich:
Z =
√R′ + pL′
G′ + pC ′. (17)
Die Festlegung der Größe Z in dieser Weise leistet mit den
Transformationsgleichungen dieerwünschte Entkopplung des
DGL-Systems. Als Quotient von Impedanz- zu Admittanzbelagist Z2 bei
einer homogenen Leitung eine örtlich konstante Größe, die freilich
von der Frequenzabhängig ist. Übrig bleibt dann der Ausdruck
γ :=1
2
((G′ + pC ′)Z +
R′ + pL′
Z
)= (G′ + pC ′)Z =
√(R′ + pL′)(G′ + pC ′) . (18)
Die Größe γ wird auch als Fortpflanzungskonstante bezeichnet.
Als Produkt aus Admittanz-und Impedanzbelag ist γ bei einer
homogenen Leitung ebenfalls eine örtlich konstante,jedoch
frequenzabhängige Größe.Damit lauten die entkoppelten
Differentialgleichungen
− ∂∂x
[AB
]=
[γ 00 −γ
] [AB
]. (19)
3.2 Die Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichungen
Beide Differentialgleichungen (DGLn) sind gewöhnlich, linear,
homogen und besitzen längsder Leitung den konstanten Koeffizienten
γ. Somit kann man die Lösung einer DGL auf dieandere übertragen.Bei
Trennung der Variablen ergibt sich aus der ersten
Differentialgleichung
A(x)∫A(0)
dA
A= − γ
∫ x0
d ζ
lnA(x)
A(0)= − γ(x)
A(x) = A(0)e−γx . (20)
Entsprechend wird die zweite DGL durch Gleichung (21) gelöst
B(x) = B(0)e+γx . (21)
NT-V1 - 7
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In der übersichtlichen Matrixschreibweise gewinnen
wir[A(x)B(x)
]=
[e−γx 00 eγx
] [A(0)B(0)
]. (22)
Im stationären Zustand erhalten wir den Zeitverlauf a(x,t) aus
der Gleichung
a(x,t) = Re A(x) ept . (23)
Für sinusförmige Schwingungen an jedem Ort x der Leitung setzen
wir p = jω und benutzenaus Gleichung (22)
A(x) = e−γxA(0) . (24)
Wir erhalten nun
a(x,t) = Re A(0) e−γx ejωt . (25)
Für die rücklaufende Welle b(x,t) gehen wir ähnlich vor, und
erhalten zunächst
b(x,t) = Re B(x) ept . (26)
Setzen wir nun Gleichung (21) ein, so ergibt sich
b(x,t) = Re B(0) eγx ejωt . (27)
Die Spannung u(x,t) längs der Leitung ergibt sich zu
2u(x,t) = a(x,t) + b(x,t) . (28)
In diese Beziehung werden die Gleichungen (25) und (27)
eingesetzt und man erhält
u(x,t) =1
2Re{A(0) e−γx ejωt +B(0) eγx ejωt
}. (29)
Diese Spannung u(x,t) setzt sich aus dem Spannungsanteil der
hinlaufenden Welle uh(x,t)und dem Spannungsanteil aus der
rücklaufenden Welle ur(x,t) zusammen. Es ist also:
u(x,t) = uh(x,t) + ur(x,t) , (30)
wobei
uh(x,t) =1
2a(x,t) =
1
2Re A(0) e−γx ejωt = Re
{Uhe
−γx ejωt}
(31)
und
ur(x,t) =1
2b(x,t) =
1
2Re B(0) eγx ejωt = Re
{Ure
γx ejωt}. (32)
NT-V1 - 8
-
Hierbei ist Uh die komplexe Amplitude des Spannungsanteils der
hinlaufenden und Ur diekomplexe Amplitude des Spannungsanteils der
rücklaufenden Welle. Zwischen den komple-xen Amplituden der
Spannungsanteile und den komplexen Amplituden der
Wellengrößenbestehen also folgende Zusammenhänge:
Uh =1
2A(0) , (33)
Ur =1
2B(0) . (34)
Die komplexe Amplitude der Spannung kann man auch als
U(x) = Uhe−γx + Ureγx (35)
schreiben. Bildet man die Differenz aus (9) und (10), so ergibt
sich
2ZI(x) = A(x) − B(x) .
Eine Division durch 2Z führt auf
I(x) =1
2Z(A(x) − B(x)) .
In diese Gleichung wird nun (22) eingesetzt und man erhält
I(x) =1
2Z
(e−γxA(0) − eγxB(0)) . (36)
Unter Ausnutzung der Gleichungen (33) und (34) ergibt sich
I(x) =1
Z
(e−γxUh − eγxUr
). (37)
Dies kann durch
I(x) = e−γxIh − eγxIr (38)
mit
Ih =UhZ, Ir =
UrZ
(39)
ausgedrückt werden.
3.3 Fortpflanzungskonstante und Wellenübertragungsmaß
Wie stark die Welle gedämpft wird, lässt sich anhand des
Eigenwertes γ aus Gleichung (18)ermitteln, welcher auch
Fortpflanzungskonstante1 heißt:
γ =√
[jωL′ +R′][jωC ′ +G′] = α + jβ .
1Tatsächlich ist γ eine Funktion von jω, die aber bezüglich des
Ortes x konstant ist. Zur Entlastung derSchreibweise wird im
Folgenden auf die korrektere Schreibweise γ(jω) verzichtet und
lediglich γ verwendet.Entsprechend wird auch beim Real- und
Imaginärteil von γ verfahren.
NT-V1 - 9
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Der Realteil von γ wird Dämpfungskonstante α und der
Imaginärteil Phasenkonstante βgenannt. Wie man durch Einsetzen in
die hinlaufende Welle uh(x,t) erkennt, entsprichtnämlich das
Produkt aus α und der Länge x der Dämpfung a(x) und das Produkt aus
βund x der Phasendrehung b(x):
uh(x,t) = Re{Uh e−γxejωt} = Re{Uh e−[α+jβ]xejωt}= Re{Uh
e−[a(x)+jb(x)]ejωt} = Re{Uh e−a(x)ej[ωt+b(x)]} .
(40)
Das Produkt der Fortpflanzungskonstante γ mit der Länge x heißt
Wellenübertragungsmaßund wird mit g(x) bezeichnet. Es gilt
g(x) = γx = aNp(x) + jbph(x) . (41)
Da γ von ω abhängt, sind sowohl die Dämpfung als auch die
Phasendrehung frequenz-abhängig. Aus (40) folgt, dass die Dämpfung
aNp(x) dem logarithmierten Verhältnis ausder Amplitude der Spannung
uh(0,t) am Leitungsanfang und der Amplitude der Spannunguh(x,t) an
der Stelle x entspricht:
aNp(x) = αx = lnmax |uh(0,t)|max |uh(x,t)| in Np .
Die Einheit dieser Dämpfung heißt Neper. Heutzutage wird die
Dämpfung häufiger in Dezibelangegeben, welche man erhält, wenn
anstelle des natürlichen Logarithmus der dekadischeLogarithmus lg
verwendet wird:
adB(x) = 20 lgmax |uh(0,t)|max |uh(x,t)| in dB .
Vorbereitungsaufgabe 3.1:
Laut CCI (Comité Consultatif International) ist für eine
Fernsprechleitung eine Dämpfungvon aNp(x) = 4.6 Neper noch zulässig
[Artu57].
a) Auf wie viel Prozent ihres Sendewertes max |uh(0,t)| ist die
Spannung max |uh(x,t)|abgesunken, wenn sie um 4.6 Neper gedämpft
worden ist?
b) Wie groß ist diese Dämpfung in dB?
3.4 Reflexionsfaktor
Der Reflexionsfaktor (l) gibt das Verhältnis der komplexen
Amplitude des Strom- bzw.Spannungsanteils der reflektierten Welle
zur entsprechenden komplexen Amplitude der ein-fallenden Welle am
Leitungsende x = l an:
(l) =Ure
γl
Uhe−γl=
Ireγl
Ihe−γl.
Durch Einsetzen in die Gleichungen (35) bzw. (38) erhält man
daraus die Beziehungen:
U(l) = Uhe−γl + Ureγl = Uhe−γl[1 + (l)]
bzw. I(l) = Ihe−γl − Ireγl = Ihe−γl [1 − (l)] .
NT-V1 - 10
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Wenn die Leitung am Ende mit dem Widerstand ZA abgeschlossen
ist, gilt
ZA =U(l)
I(l)=Uhe
−γl[1 + (l)]Ihe−γl[1 − (l)] = Z
1 + (l)
1 − (l) ,
wobei Z der Wellenwiderstand aus (17) ist. Diese Beziehung lässt
sich in eine Bestimmungs-gleichung für den Reflexionsfaktor (l)
umformen:
(l) =ZA − ZZA + Z
.
Vorbereitungsaufgabe 3.2:
Welchen Wert nimmt der Reflexionsfaktor (l) bei
a) Leerlauf (ZA → ∞),b) Anpassung (ZA = Z) und
c) Kurzschluss (ZA → 0)an?
3.5 Näherungslösungen für verschiedene Frequenzbereiche
Wenn die Frequenz ω nahezu null ist, gilt R′ � ωL′ und G′ � ωC
′, so dass sich dieErsatzschaltung aus dem Bild 3b zu der
Ersatzschaltung im Bild 4a vereinfachen lässt. Aufdiesen Fall wird
hier allerdings nicht eingegangen, da schon bei Frequenzen von
wenigenHertz der Leitungsbelag G′ gegenüber ωC ′ vernachlässigbar
ist. Die zu diesem Fall gehörigeErsatzschaltung zeigt Bild 4b. Bis
zum mittleren Sprachfrequenzbereich2 gilt somit nähe-
a) ω ≈ 0 b) bis mittlere Sprachfrequenzen c) höhere
Frequenzen
R′ΔxR′Δx
G′Δx C ′ΔxC ′Δx
L′Δx
Bild 4: Vereinfachte Ersatzschaltungen des Leitungselements für
verschiedene Frequenzbereiche
rungsweise
γ ≈√R′jωC ′ =
√ωR′C ′ ejπ/4 = [1 + j]
√1
2ωR′C ′ . (42)
2Kommerzielle Sprachübertragung, bei der es nur auf
Verständlichkeit ankommt, erfordert gemäßCCITT-Empfehlung einen
Frequenzbereich von 300 Hz bis 3.4 kHz [Flei73].
NT-V1 - 11
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Daraus folgt für die Dämpfungskonstante α und die
Phasenkonstante β
α ≈ β ≈√
1
2ωR′C ′ . (43)
Der Wellenwiderstand Z vereinfacht sich mit den Annahmen R′ �
ωL′ und ωC ′ � G′ zu
Z ≈√
R′
jωC ′=
√R′
ωC ′e−jπ/4 . (44)
Wird ein Kabel bei höheren Frequenzen genutzt, so macht sich der
induktive Widerstandzunehmend bemerkbar, und es gilt das
Ersatzschaltbild im Bild 4c. Die Bestimmung derNäherungslösung für
die Konstanten γ, α und β erfordert einige Zwischenschritte.
Zunächststellt man das Quadrat der Fortpflanzungskonstante γ mit
Betrag und Phase dar:
γ2 = [R′ + jωL′][G′ + jωC ′] =√
[R′2 + ω2L′2][G′2 + ω2C ′2] ej[ϕL+ϕC ]
mit ϕL = arctan(ωL′
R′
)und ϕC = arctan
(ωC ′
G′
).
Für die Fortpflanzungskonstante γ gilt somit
γ = 4√
[R′2 + ω2L′2][G′2 + ω2C ′2] ej[ϕL+ϕC ]/2
= 4√
[R′2 + ω2L′2][G′2 + ω2C ′2][cos
(ϕL + ϕC
2
)+ j sin
(ϕL + ϕC
2
)]= α + jβ .
Wegen ωL′ � R′ und ωC ′ � G′ ist es sinnvoll, die Winkel ϕL und
ϕC in der folgendenWeise auszudrücken:
ϕL =π
2− arctan
(R′
ωL′
)bzw. ϕC =
π
2− arctan
(G′
ωC ′
).
Für kleine Argumente gelten die Näherungen
arctan
(R′
ωL′
)≈ R
′
ωL′und arctan
(G′
ωC ′
)≈ G
′
ωC ′.
Mit
cos
(ϕL + ϕC
2
)≈ cos
(π
2−[R′
2ωL′+
G′
2ωC ′
])= sin
(R′
2ωL′+
G′
2ωC ′
)≈ R
′
2ωL′+
G′
2ωC ′
erhält man somit für den Realteil von γ, d. h. für die
Dämpfungskonstante α, die Approxi-mation
α =4√ω2L′2ω2C ′2 cos
(ϕL + ϕC
2
)≈ 2
√ω2L′C ′
[R′
2ωL′+
G′
2ωC ′
]=R′
2
√C ′
L′+G′
2
√L′
C ′,
die sich wegen der bei Kabeln gültigen Beziehung R′ � G′ weiter
zu
α ≈ R′
2
√C ′
L′(45)
vereinfachen lässt.
NT-V1 - 12
-
Vorbereitungsaufgabe 3.3:
Erläutern Sie anhand der Beziehung (45), weshalb es durch den
Einsatz konzentrierterInduktivitäten möglich ist, die Reichweite
von Kabelverbindungen zu erhöhen. WelchenNachteil hat dieses
Verfahren, das auch als Pupinisierung bezeichnet wird?
Der Imaginärteil von γ, d. h. die Phasenkonstante β, ergibt sich
bei hohen Frequenzenwegen
sin
(ϕL + ϕC
2
)≈ cos
(R′
2ωL′+
G′
2ωC ′
)≈ 1 (46)
näherungsweise zu
β =4√ω2L′2ω2C ′2 sin
(ϕL + ϕC
2
)≈ 2
√ω2L′C ′ = ω
√L′C ′ . (47)
Die Näherungslösung der Fortpflanzungskonstante γ lautet somit
für hohe Frequenzen
γ ≈ R′
2
√C ′
L′+ jω
√L′C ′ . (48)
Der Wellenwiderstand Z nimmt mit ωL′ � R′ und ωC ′ � G′ den
Wert
Z ≈√
jωL′
jωC ′=
√L′
C ′. (49)
an. Bei hohen Frequenzen ist der Wellenwiderstand Z folglich
näherungsweise reell undkonstant. Die angegebene Näherung ist im
Fall R′ = 0 und G′ = 0 sogar exakt, derWellenwiderstand einer
verlustfreien Leitung folglich stets reell.
Vorbereitungsaufgabe 3.4:
Im Bild 5 sind die Ortskurven des Wellenwiderstands Z und der
Fortpflanzungskonstante γeiner Leitung mit den Leitungsbelägen
R′ = 74 Ω/km , L′ = 600μH/km , C ′ = 37 nF/km und G′ =
1μS/km
abgebildet. In den Bildern 6 und 7 sind die zugehörige
Dämpfungskonstante α und diePhasenkonstante β in Abhängigkeit von
der Frequenz f doppelt logarithmisch dargestellt.
1. Zeichnen Sie in die obere Teilgrafik des Bildes 5 die
Näherungslösung (44) für denmittleren Frequenzbereich. Berechnen
und markieren Sie außerdem den Wert
√L′/C ′,
gegen den die Ortskurve bei hohen Frequenzen strebt.
2. Zeichnen Sie die Näherungslösungen (42) und (48) der
Ortskurve der Fortpflanzungs-konstante γ in die untere Teilgrafik
des Bildes 5 .
3. Zeichnen Sie die Näherungslösungen (43) und (45) bzw. (43)
und (47) in die Bilder 6und 7.
4. Stellen die berechneten Näherungslösungen gute
Approximationen der Kurven dar?
NT-V1 - 13
-
Im(Z) in Ω
f bzw. ω
Re(Z) in Ω
−500
−1000
−1500
−2000
−2500
1000 2000 3000 4000
0 0,5 1 1,5 20
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4Im(γ) in km−1
Re(γ) in km−1
f bzw. ω
Bild 5: Ortskurven des Wellenwiderstands Z und der
Fortpflanzungskonstante γ
NT-V1 - 14
-
α(f) in km−1
f in Hz
10−1
10−2
101 102 103 104 105
Bild 6: Doppelt logarithmische Darstellung der
Dämpfungskonstanten α
β(f) in km−1
f in Hz
100
10−1
10−2
101 102 103 104 105
Bild 7: Doppelt logarithmische Darstellung der Phasenkonstanten
β
NT-V1 - 15
-
3.6 Kettenmatrix der Leitung
Betrachtet man die Leitung der Länge l als Zweitor (Bild 8), so
entspricht die Spannung u1der Spannung u(0,t) am Leitungsanfang und
der Strom i1 dem Strom i(0,t) bei x = 0. Inkomplexer Darstellung
ergibt sich für den eingeschwungenen Zustand:
U1 = [Uh + Ur] ,
I1 =1
Z[Uh − Ur] .
Die Größen U2 und I2 sind gleich der Spannung bzw. dem Strom bei
x = l:
U2 = Uhe−γl + Ureγl ,
I2 =1
Z[Uhe
−γl − Ureγl] .
r
E
ZE 1 2
1′ 2′
U1 U2
I1 I2
ZAW1
Leitung
Bild 8: Interpretation einer Leitung als Zweitor
Man kann folgende Matrixbeziehungen aufstellen:[U1Z I1
]=
[1 11 −1
] [UhUr
](50)
bzw. [U2Z I2
]=
[e−γl eγl
e−γl −eγl] [
UhUr
]. (51)
Löst man die letzte Beziehung nach Uh und Ur auf, so ergibt
sich:[UhUr
]=
1
2
[eγl eγl
e−γl −e−γl] [
U2Z I2
].
Einsetzen in (51) führt zu der Darstellung[U1Z I1
]=
1
2
[1 11 −1
] [eγl eγl
e−γl −e−γl] [
U2Z I2
].
Daraus ergibt sich die Kettenmatrix des Zweitors zu[U1I1
]=
[cosh(γl) Z sinh(γl)sinh(γl)/Z cosh(γl)
] [U2I2
]. (52)
NT-V1 - 16
-
3.7 Eingangsimpedanz einer Leitung
Die Eingangsimpedanz der Leitung im Bild 8 ist
W1 =U1I1. (53)
Aus (52) erhält man die Beziehungen
U1 = U2 cosh(γl) + I2Z sinh(γl)
I1 = I2 cosh(γl) +U2Z
sinh(γl) .
Daraus folgt mit ZA = U2/I2 die Eingangsimpedanz
W1 =U2 cosh(γl) + I2Z sinh(γl)
I2 cosh(γl) +U2Z
sinh(γl)
= Z
U2I2
+ Zsinh(γl)
cosh(γl)
Z +U2I2
sinh(γl)
cosh(γl)
= ZZA + Z tanh(γl)
Z + ZA tanh(γl). (54)
Wie bei der Reflexion sind auch bei der Eingangsimpedanz die
folgenden Sonderfälle vonbesonderem Interesse:
• Leerlauf: ZA → ∞ W1L = Z coth(γl)• Anpassung: ZA = Z W1 = Z•
Kurzschluss: ZA → 0 W1K = Z tanh(γl)
.
Vorbereitungsaufgabe 3.5:
Der Wellenwiderstand Z und die Dämpfung a(l) = α l einer Leitung
sind bekannt. Bestim-men Sie die Kurzschluss-Eingangsimpedanz W1K
in Abhängigkeit von Z und a(l), wenn dieLänge der Leitung
a) l = λ/2 bzw.
b) l = λ/4
beträgt.
Hinweis:Nutzen Sie die Zusammenhänge
λ =2π
βund tanh(γl) =
tanh(αl) + j tan(βl)
1 + tanh(αl)j tan(βl).
3.8 Messung von Leitungskenngrößen
Der Betrag und die Phase der Leerlauf-Eingangsimpedanz und der
Kurzschluss-Eingangs-impedanz sind leicht messbar. Die
Beziehungen
W1L = |W1L|ejϕL = Z coth(γl)und W1K = |W1K|ejϕK = Z tanh(γl)
NT-V1 - 17
-
werden deswegen häufig zur Bestimmung des Wellenwiderstandes Z
verwendet. Dieser ent-spricht dem geometrischen Mittel aus W1L und
W1K:
Z =√
|W1L||W1K| ej[ϕL+ϕK]/2 = |Z|ejϕz . (55)
Die Dämpfung a(l) und die Phase b(l) können ebenfalls aus den
gemessenen Eingangsimpe-danzen bei Leerlauf und Kurzschluss
ermittelt werden. Dazu werden die Beziehungen
tanh(g(l)) = tanh(γl) =
√|W1K||W1L| e
j[ϕK−ϕL]/2 = Mg ejψg (56)
und
g(l) = aNp(l) + jbph(l)
verwendet. Führt man die Leerlauf- und Kurzschlussmessungen für
mehrere Frequenzendurch, so kann man Z und g(l) bzw. aNp(l) und
bph(l) in Abhängigkeit von den interessie-renden Frequenzen
bestimmen.
Bisher wurden die Leitungsbeläge wie konstante Größen behandelt.
Tatsächlich hängenR′, L′, G′ und C ′ jedoch von der Frequenz ab. R′
steigt – bedingt durch den Skineffekt –mit zunehmender Frequenz an.
Dasselbe gilt für G′, da bei höheren Frequenzen auch
diedielektrischen Verluste ansteigen. Der Induktivitätsbelag L′
nimmt bei steigender Frequenzleicht ab. Der Grund hierfür ist die
Stromverdrängung durch den Skin-Effekt, vgl. [ZB86].In Bild 9
erkennt man, dass der Induktivitätsbelag und der Widerstandsbelag
eines kurzenLeitungsstücks der Länge Δx aus der
Kurzschluss-Eingangsimpedanz W1K ermittelt werdenkönnen. Im
Kurzschlussfall fällt nämlich an den Elementen G′ und C ′ keine
Spannung ab.Die daraus resultierende Beziehung
R′Δx L′Δx
G′Δx C ′ΔxW1K
Bild 9: Liegt am Ende des kurzen Leitungsstücks ein Kurzschluss
vor, so fällt an den Leitungsbe-lägen G′ und C ′ keine Spannung ab.
In diesem Fall können die Leitungsbeläge R′ und L′
direkt aus der Kurzschluss-Eingangsimpedanz W1K bestimmt
werden.
W1K = R′Δx+ jωL′Δx
kann näherungsweise auch für längere Leitungsstücke verwendet
werden. Die Leitungslängedarf allerdings nicht größer als λ/20
sein, da sonst der Einfluss der Wellenausbreitung dieErgebnisse
verfälscht [Flei73]. Für kurze Leitungen der Länge l gilt somit
[R′ + jωL′]l ≈W1K . (57)
NT-V1 - 18
-
Vorbereitungsaufgabe 3.6:
Eine 2-mm-Kabelleitung der Länge l = 5 km hat bei einer Frequenz
von f = 1,4 kHz eineKurzschlussimpedanz von W1K = [58,5 + j26,4]
Ω.
a) Wie groß ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit v der
elektromagnetischen Welle auf derLeitung, wenn εr = 1,95 und μr = 1
gilt?
b) Bestimmen Sie die Wellenlänge λ.
c) Bis zu welcher Leitungslänge lmax gilt die Näherung (57)?
d) Ermitteln Sie die Leitungsbeläge R′ und L′.
4 Verhalten der elektrischen Leitung bei
impulsförmigerAnregung
In den folgenden Abschnitten wird nicht mehr der eingeschwungene
Zustand betrachtet,sondern es wird untersucht, was geschieht, wenn
die Leitung mit einem Spannungsimpulsangeregt wird. Hierzu
betrachten wir zunächst noch einmal die Gleichungen (2) und (3),
diesich umgestellt zu
∂u
∂x+ L′
∂i
∂t+R′i = 0 , (58)
∂i
∂x+ C ′
∂u
∂t+G′u = 0 (59)
ergeben. Stellt man die Spannung und den Strom durch
u(x,t) =1
2(a+ b)
und
i(x,t) =1
2Z(a− b)
dar, so ergibt sich für Gleichung (59):
∂a
∂x− ∂b∂x
+ C ′Z(∂a
∂t+∂b
∂t
)+ ZG′(a+ b) = 0 , (60)
Auf ähnliche Weise erhält man für Gleichung (58):
∂a
∂x+∂b
∂x+L′
Z
(∂a
∂t− ∂b∂t
)+R′
Z(a− b) = 0 . (61)
Die Addition der beiden Gleichungen (60) und (61) ergibt
2∂a
∂x+
(C ′Z+
L′
Z
)∂a
∂t+
(ZG′+
R′
Z
)a+
(C ′Z−L
′
Z
)∂b
∂t+
(ZG′−R
′
Z
)b = 0. (62)
NT-V1 - 19
-
Subtrahiert man hingegen diese beiden Gleichungen, so erhält
man
2∂b
∂x−(C ′Z+
L′
Z
)∂b
∂t−(ZG′+
R′
Z
)b−
(C ′Z−L
′
Z
)∂a
∂t−(ZG′−R
′
Z
)a = 0. (63)
Eine Entkopplung der Gleichungen erhält man, wenn man den Fall
einer verlustfreienLeitung (R′ = 0 = G′) betrachtet. Die Gleichung
(17) vereinfacht sich hierbei zu
Z =
√L′
C ′. (64)
Ferner wird
v : =1√L′C ′
(65)
gewählt. Es ergibt sich somit:
C ′Z =√L′C ′ =
1
v=
√L′C ′ =
L′
Z.
Die Gleichungen (62) und (63) vereinfachen sich damit zu:
∂a
∂x+
1
v
∂a
∂t= 0 , (66)
∂b
∂x− 1v
∂b
∂t= 0 . (67)
Diese partiellen Differentialgleichungen können wir in
gewöhnliche Differentialgleichungenumwandeln, indem wir zunächst
die neuen Variablen
ξ = x+ vt und η = x− vt
sowie deren Ableitung nach x und t einführen.
∂ξ
∂x=∂η
∂x= 1 und
∂ξ
∂t= −∂η
∂t= v.
Für die Größe a ergibt sich hierbei zunächst
da
dx=∂a
∂ξ
dξ
dx︸︷︷︸=1
+∂a
∂η
dη
dx︸︷︷︸=1
(68)
und
da
dt=∂a
∂ξ
dξ
dt︸︷︷︸=v
+∂a
∂η
dη
dt︸︷︷︸=−v
. (69)
NT-V1 - 20
-
Dividiert man die Gleichung (69) durch v und addiert diese zu
Gleichung (68), so ergibtsich unter Verwendung von Gleichung (66)
folgende gewöhnliche DGL:
2∂a
∂ξ=
da
dx+
1
v
da
dt= 0 . (70)
Auf ähnliche Weise verfährt man, um eine gewöhnliche DGL nach b
zu erhalten. Hierbei giltwieder:
db
dx=∂b
∂ξ+∂b
∂η(71)
und
db
dt= v
(∂b
∂ξ− ∂b∂η
). (72)
Nun dividiert man die Gleichung (72) durch v und subtrahiert
diese von Gleichung (71).Mit Hilfe der Gleichung (67) führt dies
auf folgende gewöhnliche DGL:
2∂b
∂η=
db
dx− 1v
db
dt= 0 . (73)
Integriert man die Gleichungen (70) und (73) so erhält man:
a(ξ,η) = 2f(η) = 2f(x− vt) ,b(ξ,η) = 2h(η) = 2h(x+ vt) .
Die Spannung und den Strom kann man nun sehr leicht durch
u(x,t) =1
2(a+ b) = f(x− vt) + h(x+ vt) = uh(x− vt) + ur(x+ vt) ,
i(x,t) =1
2Z(a− b) = 1
Z[f(x− vt) − h(x+ vt)] = 1
Z[uh(x− vt) − ur(x+ vt)]
bestimmen, wobei
uh(x− vt) = f(x− vt)
der Spannungsanteil der hinlaufenden und
ur(x+ vt) = h(x+ vt)
der Spannungsanteil der rücklaufenden Welle ist. Schließt man
die verlustfreie Leitung miteinem ohmschen Widerstand RA ab, so
folgt aus den obigen Beziehungen
u(l,t) = RAi(l,t) ⇐⇒ RA [uh(l − vt) − ur(l + vt)] = Z [uh(l −
vt) + ur(l + vt)]
NT-V1 - 21
-
bzw.
ur(l + vt) =RA − ZRA + Z
uh(l − vt) = (l) uh(l − vt) ,
wobei (l) der schon bekannte Reflexionsfaktor ist. Gibt man nun
einen Spannungsimpulsauf die Leitung, so läuft dieser zunächst zum
Ende der Leitung und entspricht in dieser Zeitder hinlaufenden
Welle uh(x − vt). Am Leitungsende wird er – mit dem
Reflexionsfaktorgewichtet – reflektiert und läuft danach wieder
zurück zum Anfang der Leitung. Ist derAbschlusswiderstand RA
kleiner als der Wellenwiderstand Z, so gilt für den
Reflexionsfaktor
(l) =RA − ZRA + Z
= −|(l)| .
Da beide Widerstände RA und Z positiv sind, gilt hierbei
|(l)| < 1 .In diesem Fall hat die reflektierte Welle ur(x+
vt) somit die entgegengesetzte Polarität vonuh(x−vt) und eine
kleinere Amplitude. Ist der Spannungsimpuls wieder am
Leitungsanfangangekommen, wird er dort erneut reflektiert und läuft
anschließend wieder in entgegenge-setzter Richtung auf das
Leitungsende zu.
u(x,t)
u(x,t)
u(x,t)
x = 0
x = 0
x = 0
uh(x− vt)
ur(x+ vt)l
l
l
x
x
x
RA < Z
Bild 10: Ist der Abschlusswiderstand RA kleiner als der
Wellenwiderstand Z, so hat die reflektierteWelle ur(x + vt) eine
kleinere Amplitude als die hinlaufende Welle uh(x − vt) sowie
dieentgegengesetzte Polarität.
NT-V1 - 22
-
In den drei Sonderfällen Leerlauf, Anpassung und Kurzschluss
gilt:
• Leerlauf: (l) → 1 ur(l + vt) = uh(l − vt) ⇒ gleiche
Polarität,gleiche Amplitude
• Anpassung: (l) = 0 ur(l + vt) = 0 ⇒ es wird kein
Spannungs-impuls reflektiert
• Kurzschluss: (l) → −1 ur(l + vt) = −uh(l − vt) ⇒
entgegengesetzte Polarität,gleiche Amplitude.
Die theoretischen Betrachtungen im verlustlosen Fall sind
Grundlage für die Reflek-tometrie, die besonders bei der fast
verlustfreien Koaxialleitung detaillierten Aufschlussüber den Typ
des Abschlusswiderstands und eventuell vorhandener Störstellen
gibt. Beimverlustbehafteten Fernmeldekabel ist diese Methode
eingeschränkt, weil der Impuls bei derÜbertragung sowohl in der
Amplitude als auch in der Phase durch die Verluste beeinflusstwird.
Man beobachtet z. B. ein Abnehmen in der Höhe und ein
Auseinanderfließen desImpulses. Trotzdem bietet auch hier die
Reflektometrie den Vorteil eines schnellen Über-blicks über das
Verhalten einer Kabelverbindung gegenüber der Methode der Messung
miteinzelnen Frequenzen.
u(x)
x = 0
u(0)
l x
Bild 11: Bei der Übertragung auf einem verlustbehafteten
Fernmeldekabel wird der Impuls sowohlin der Amplitude als auch in
der Phase durch die Verluste beeinflusst.
Vorbereitungsaufgabe 4.1:
Ein Spannungsimpuls wird auf eine verlustfreie Leitung gegeben,
die
a) mit dem Widerstand RA = 2Z bzw.
b) mit dem Widerstand RA = Z/2
abgeschlossen ist, wobei Z der (reelle) Wellenwiderstand ist.
Zeichnen Sie den Impuls ent-sprechend zum Bild 10 jeweils vor und
nach der Reflexion.
4.1 Bestimmung des Typs und der Entfernung einer Störstelle
Ob eine Störstelle einen Kabelbruch oder einen Kurzschluss
darstellt, lässt sich direkt ausder Polarität des reflektierten
Impulses erkennen: Bei einem Leerlauf liegt gleiche Polaritätvor.
Bei einem Kurzschluss erhält man dagegen entgegengesetzte
Polarität.
NT-V1 - 23
-
Zur Bestimmung der Entfernung einer Störstelle misst man mit
einem Oszilloskop dieZeit t0 zwischen dem Eingangsimpuls und dem
reflektierten Impuls. Wegen des Auseinander-fließens des Impulses
sollte man die Zeit an den Vorderflanken der beiden Impulse
messen.Die Entfernung s bis zum Reflexionspunkt ergibt sich aus den
Beziehungen
s =vt02
und v =1√με
,
wobei v die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Grundwelle des
Impulses auf der Leitungbezeichnet.
5 Nebensprechen
Nebensprechen ist eine ungewollte Energieübertragung von einem
Adernpaar auf ein be-nachbartes Adernpaar. Dabei leidet nicht nur
die Übertragungsgüte im gestörten Adernpaar,sondern auch die Güte
im störenden Adernpaar, da das Nebensprechen für dieses
Adernpaareinen Energieverlust darstellt. Je nachdem, ob sich der
störende Sender und der gestörteEmpfänger am gleichen oder am
entgegengesetzten Ende des Übertragungssystems befinden,spricht man
von Nahnebensprechen oder Fernnebensprechen.
Die Nebensprechdämpfung entspricht dem logarithmierten
Verhältnis aus der vom stö-renden Adernpaar gesendeten Leistung P1
und der vom gestörten Adernpaar am MesspunktUn,Nah bzw. Un,Fern
empfangenen Leistung Pn:
aNp =1
2ln
(P1Pn
)bzw. adB = 10 lg
(P1Pn
). (74)
Um die Nebensprechdämpfung weiter umformen zu können, wird im
Folgenden von derAnnahme ausgegangen, dass die Wellenwiderstände
der Leitungen reell sind.3 Das heißt, eswerden verzerrungsfreie
Leitungen vorausgesetzt, welche die Beziehung R′C ′ = G′L′
erfüllen.Diese Annahme gilt für den gesamten Abschnitt 5.
Sind die Abschlusswiderstände, wie im Bild 12 dargestellt,
gleich den Wellenwiderständender Leitungen4, so entspricht die
gesendete Leistung P1 der Maximalleistung
Pmax =|E|24Z1
,
und die empfangene Leistung ergibt sich zu
Pn =|Un|2Zn
.
3Diese Vorgehensweise ist auch in der Literatur üblich, siehe
z.B. [Schm76].4Wenn die Wellenwiderstände der Leitungen nicht reell
sind, müssen die Innenwiderstände der Span-
nungsquellen gleich den Wellenwiderständen und die
Abschlusswiderstände konjugiert komplex zu denWellenwiderständen
sein, damit Leistungsanpassung vorliegt. Die Maximalleistung
entspricht in diesemFall dem Ausdruck
Pmax =|E|2
4 Re Z1.
NT-V1 - 24
-
a) b)
EE U1U1 Z1Z1 Z1Z1
Z1Z1
ZnZn ZnZn ZnZn UnUn
Leitung 1Leitung 1
Leitung nLeitung n
Nahnebensprechen Fernnebensprechen
Bild 12: Nebensprechen ist eine ungewollte Energieübertragung
von einem Adernpaar (Leitung 1)auf ein benachbartes Adernpaar
(Leitung n). Befinden sich der störende Sender undder gestörte
Empfänger am gleichen Ende des Übertragungssystems, so spricht
manvon Nahnebensprechen (links). Befinden sich der störende Sender
und der gestörteEmpfänger an unterschiedlichen Enden des
Übertragungssystems, so handelt es sich umFernnebensprechen
(rechts).
Daraus resultieren die Darstellungen
aNp =1
2ln
( |E|24|Un|2
ZnZ1
)= ln
( |E|2|Un|
)+
1
2ln
(ZnZ1
)(75)
bzw.
adB = 10 lg
( |E|24|Un|2
ZnZ1
)= 20 lg
( |E|2|Un|
)+ 10 lg
(ZnZ1
). (76)
Diese Darstellungen sind für die Messung der Nebensprechdämpfung
günstiger als die in(74), weil sich Spannungen leichter messen
lassen als Leistungen.
5.1 Kopplungsarten
Zur elektrischen Energieübertragung sind drei Kopplungsarten
geeignet:
• die galvanische Kopplung,• die kapazitive Kopplung und• die
induktive Kopplung.
Alle drei Kopplungsarten können allerdings auch zur ungewollten
Energieübertragung, d. h.zum Nebensprechen, beitragen. Während die
galvanische Kopplung nur bei defekter Isolationin der Leitung
auftritt, ist eine kapazitive oder induktive Kopplung – je nach
Leitungsaufbau– immer mehr oder weniger stark vorhanden.
NT-V1 - 25
-
5.2 Berechnung der kapazitiven Kopplung
Zur Berechnung der Nebensprechdämpfung bei kapazitiver Kopplung
stellt man die kapa-zitive Kopplung vereinfacht durch zwei
Kondensatoren dar, siehe Bild 13. Diese Schaltungentspricht
näherungsweise der im Bild 14 dargestellten Ersatzschaltung.
U1
U1
U2
Z1
Zn Zn
C1 C2
Leitung 1
Leitung n (gestört)
Bild 13: Vereinfachte Darstellung der kapazitiven Kopplung durch
zwei Kondensatoren.
U1
CK =C1C2C1 + C2 I2
U2Zn2
Leitung 1 Leitung n (gestört)
Bild 14: Ersatzschaltbild zur Berechnung der kapazitiven
Kopplung
Da CK sehr klein ist, gilt im allgemeinen Zn 1/[ωCK], woraus
|U2| =
∣∣∣∣∣∣∣∣Zn2
1
jωCK+Zn2
∣∣∣∣∣∣∣∣ |U1| ≈ωCKZn
2|U1|
folgt. Sind die Wellenwiderstände der benachbarten Leitungen
gleich, Z1 = Zn = Z, soerhält man die folgende einfache Beziehung
zur Berechnung der Nebensprechdämpfung bei
NT-V1 - 26
-
kapazitiver Kopplung:
aC,Np =1
2ln
(P1Pn
)=
1
2ln
( |U1|2|U2|2
ZnZ1
)= ln
( |U1||U2|
)≈ ln
(2
ωCKZ
).
Sind die Wellenwiderstände Z1 und Zn dagegen nicht gleich, so
wird als Näherung derWellenwiderstand Z =
√Z1Zn verwendet.
5.3 Berechnung der induktiven Kopplung
Die induktive Kopplung wird im Bild 15 durch eine verteilte
Koppelinduktivität LK darge-stellt.
U1
I1
Z1
Zn ZnU2
LKΦ
Leitung 1
Leitung n (gestört)
Bild 15: Vereinfachte Darstellung der induktiven Kopplung
In diesem Praktikumsversuch betrachten wir diese verteilte
Koppelinduktivität als ortsun-abhängig, d. h. als ein
konzentriertes Bauelement. Die in die gestörte Leitung
induzierteSpannung Uind lautet somit
Uind = jωLK I1 .
Mit
|U2| =∣∣∣∣ ZnZn + Zn
∣∣∣∣ |Uind| = 12 ωLK |I1| und |I1| = |U1|Z1ergibt sich die
Nebensprechdämpfung für Z1 = Zn = Z zu
aL,Np = ln
( |U1||U2|
)≈ ln
(2Z
ωLK
).
Sind die Wellenwiderstände Z1 und Zn nicht gleich, so wird zur
Berechnung der induktivenKopplung als Näherung – wie im
vorangegangenen Fall – der Wellenwiderstand Z =
√Z1Zn
verwendet.
NT-V1 - 27
-
Φ
ΦI
IIA
B
C
D
Z2 = 10 kΩ
Z2 = 10 kΩ
Z1 = 350 ΩZ1
Z2
E
U
Z2
350 Ω
Bild 16: Schaltung zur Vorbereitungsaufgabe 1: Die gestrichelten
Linien auf der linken Seite deutendie nicht gekreuzten Leitungen an
(Verbindungen A-B, C-D) und die durchgezogenenLinien die gekreuzten
Leitungen (Verbindungen A-D, C-B). Die Übertrager I und IImit dem
Übersetzungsverhältnis 1/1 sind notwendig, um eine galvanische
Trennung derLeitungen vom Quellspannungsgenerator und von dem
Messgerät herzustellen.
Vorbereitungsaufgabe 5.1:
Bei einer sinusförmigen Quellenspannung mit der Frequenz f = 1
kHz und der AmplitudeE = 10 V werden mit dem Messgerät in der
Leitung 2 folgende Spannungen gemessen, sieheBild 16:
a) U = 126 mV bei nicht gekreuzten Leitungen und
b) U = 11 mV bei gekreuzten Leitungen.
Berechnen Sie in beiden Fällen die Dämpfung adB des
Nebensprechens mit Hilfe der Glei-chung (74), und erläutern Sie
kurz das Ergebnis.
6 Messaufgaben
6.1 Messungen bei pulsförmigem Signal
Mithilfe der Reflektometrie kann man sich einen schnellen
Überblick über den Typ und dieEntfernung von Störstellen machen. Im
Folgenden werden Kabelbrüche und Kurzschlüsse
NT-V1 - 28
-
im Fernmeldekabel simuliert, indem das vorhandene Kabel gezielt
an verschiedenen Stellenmit einem Leerlauf oder Kurzschluss
versehen wird. Verwenden Sie für die Messungen einePulsfrequenz von
1 kHz, eine Pulsbreite von 2μs und eine Pulsamplitude von 1 V.
1. Zeichnen Sie schematisch den Messaufbau zur Messung des
reflektierten Impulses.
2. Skizzieren Sie die Schirmbilder des Oszilloskops, wenn sich
der Funktionsgeneratorund das Oszilloskop
a) am Leitungsanfang befinden und ein Leerlauf am Leitungsende
ist,b) am Leitungsanfang befinden und ein Kurzschluss am
Leitungsende ist,c) am Leitungsanfang befinden und ein Kurzschluss
an der gelben Buchse ist,d) an der gelben Buchse befinden, ein
Leerlauf am Leitungsanfang und ein Kurz-
schluss am Leitungsende ist,e) an der gelben Buchse befinden,
ein Kurzschluss am Leitungsanfang und ein
Leerlauf am Leitungsende ist.
Erläutern Sie Ihre Beobachtungen. Welche Erscheinungen sind auf
das Nebensprechenbenachbarter Leitungen zurückzuführen?
3. Bestimmen Sie die Gesamtlänge lges des Kabels, sowie die
Kabellänge lgelb vom Lei-tungsanfang bis zur gelben Buchse (εr =
1,95, μr = 1).
6.2 Messungen im eingeschwungenen Zustand
Im Folgenden sollen einige Kenngrößen des Fernmeldekabels im
Hinblick auf ihre Frequenz-abhängigkeit untersucht werden. Zunächst
werden Messdaten aufgenommen, mit denen dieOrtskurven des
Wellenwiderstands Z und des Wellenübertragungsmaßes g sowie die
Dämp-fung aNp und das Phasenmaß bph als Funktionen der Frequenz f
skizziert werden können.Anschließend wird die Frequenzabhängigkeit
der Leitungsbeläge R′ und L′ untersucht.
Wellenwiderstand, Wellenübertragungsmaß, Dämpfung und
Phasenmaß
1. Messen Sie den Betrag und die Phase der
Leerlauf-Eingangsimpedanz WL und derKurzschluss-Eingangsimpedanz WK
für die Frequenzen in Tabelle 1.
2. Berechnen Sie aus den gemessenen Werten alle noch fehlenden
Werte in der Tabelle 1.
Hinweis:Nutzen Sie dazu die Gleichungen (55) und (56).
3. Zeichnen Sie die Ortskurve des Wellenwiderstands Z(f) für den
unter 1. gemessenenFrequenzbereich, und tragen Sie in das Diagramm
eine Gerade mit dem Winkel −45◦ein. Vergleichen Sie die gemessene
Kurve mit der Näherungslösung.
4. Zeichnen Sie die Ortskurve des Wellenübertragungsmaßes g(f)
für den unter 1. ge-messenen Frequenzbereich und tragen Sie in das
Diagramm eine Gerade mit demWinkel +45◦ ein. In welchem
Frequenzbereich stimmt die gemessene Kurve mit derNäherungslösung
überein?
NT-V1 - 29
-
f|W
L|in
Ωϕ
Lin
◦|W
K|in
Ωϕ
Kin
◦|Z
|inΩ
ϕZ
in◦
Mg
ψgin
◦ψgin
rad
aN
pin
Np
b ph
inra
d
250
Hz
500
Hz
750
Hz
1kH
z
5kH
z
10kH
z
15kH
z
20kH
z
25kH
z
Tabelle 1: Wellenwiderstand Z, Dämpfung aNp und Phasenmaß
bph
5. Zeichnen Sie die Dämpfung aNp(f) und das Phasenmaß bph(f) in
doppelt logarithmi-schem Maßstab. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse
mit den Darstellungen in den Bildern6 und 7.
NT-V1 - 30
-
Leitungsbeläge
1. Erzeugen Sie einen Kurzschluss an der gelben Buchse, und
messen Sie die Kurzschluss-Eingangsimpedanz WK dieser verkürzten
Leitung für die Frequenzen in Tabelle 2.
2. Bestimmen Sie die Leitungsbeläge R′(f) und L′(f) und tragen
Sie die Werte in dieTabelle 2 ein.
Hinweis:Wegen der relativ kurzen Leitungslänge kann die Näherung
[R′ + jωL′]lgelb ≈ WKverwendet werden.
3. Zeichnen Sie die Funktionen R′(f) und L′(f) in einfach
logarithmischem Maßstab.Erläutern Sie Ihr Ergebnis.
NT-V1 - 31
-
f |WK| in Ω ϕK in ◦ R′ in Ω/km L′ inμH/km
250 Hz
500 Hz
1 kHz
5 kHz
10 kHz
15 kHz
25 kHz
50 kHz
75 kHz
90 kHz
100 kHz
Tabelle 2: Leitungsbeläge
NT-V1 - 32
-
Literatur
[Artu57] W. Artus: Einführung in die elektrische
Nachrichtentechnik. Oldenbourg, Mün-chen, 1957.
[Flei73] H. Fleischer: Lehrbuch der Fernmeldetechnik. Schiele
& Schön, Berlin, 1973.
[FLS71] H. Fricke, K. Lamberts, W. Schuchardt: Elektrische
Nachrichtentechnik, Teil 1.Teubner, Stuttgart, 1971.
[Küpf73] K. Küpfmüller: Einführung in die Theoretische
Elektrotechnik. Springer, Berlin,1973.
[MG86] M. Meinke, F. W. Gundlach: Taschenbuch der
Hochfrequenztechnik. Springer,Berlin, 1986.
[Schm76] H. Schmid: Theorie und Technik der Nachrichtenkabel.
Hüthig, Heidelberg, 1976.
[ZB86] O. Zinke, H. Brunswick: Lehrbuch der Hochfrequenztechnik.
Springer, 1986.
NT-V1 - 33
-
Versuch NT-V2: Nichtlineare Verzerrungen
Inhaltsverzeichnis
1 Übersicht 2
2 Arten nichtlinearer Verzerrungen 22.1 Reguläre nichtlineare
Verzerrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2
Unregelmäßige nichtlineare Verzerrungen . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 22.3 Sonstige nichtlineare Verzerrungen . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Quasilineare Systeme mit aussteuerungsunabhängiger Kennlinie
53.1 Beschreibung durch Taylor-Reihe . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 53.2 Erregung durch eine sinusförmige Schwingung .
. . . . . . . . . . . . . . . . 53.3 Erregung durch mehrere
sinusförmige Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Definition von Klirrfaktoren und Intermodulationsfaktoren
9
5 Messung von nichtlinearen Verzerrungen 11
6 Nichtlineare Verzerrungen in Zweitoren und Verstärkern 126.1
Allgemeine Berechnungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 126.2 Herabsetzung der nichtlinearen Verzerrungen durch
Gegenkopplung . . . . . 12
7 Wirkungen nichtlinearer Verzerrungen 14
8 Vorbereitung 15
9 Aufgaben 16
10 Hinweise und Protokolle 1810.1 Kennlinien . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1810.2
Klirrdämpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 2210.3 Intermodulationsdämpfungen . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 23
Literaturverzeichnis 26
NT-V2 - 1
-
1 Übersicht
Neben den stets auftretenden linearen Verzerrungen beeinflussen
die prinzipiell ebensounvermeidlichen nichtlinearen Verzerrungen
die Übertragungsgüte eines Nachrichtensys-tems. Nichtlineare
Verzerrungen entstehen, wenn zwei Übertragungsgrößen einander
nichtproportional sind. Sie treten z. B. dadurch auf, dass einige
Bauelemente, wie Spulen undÜbertrager, stets eine gewisse
Nichtlinearität aufweisen. Auch Widerstände und Kondensa-toren sind
nie exakt linear. Besonders auffällig ist das Auftreten von
Nichtlinearitäten inaktiven Bauelementen, wie Röhren und
Transistoren. Durch Einstellen eines geeigneten Ar-beitspunktes ist
jedoch bei Übertragungsschaltungen (z. B. Verstärkern) eine
Linearisierungmöglich. Eine nach dieser statischen Linearisierung
verbleibende Nichtlinearität lässt sichz. B. durch Gegenkopplung
noch weiter herabsetzen. Wird der Arbeitspunkt im Rhythmuseiner
vorgegebenen Spannung gesteuert, so kann die Schaltung vom
Standpunkt des Signalsaus als linear betrachtet werden, falls das
Signal so klein ist, dass es praktisch keinenEinfluss auf die
Arbeitspunktverschiebung hat. Bei dieser dynamischen Linearisierung
istdie Schaltung nicht mehr zeitlich konstant, sondern sie verhält
sich zeitvariabel. ZeitvarianteSysteme werden in diesem Versuch
nicht behandelt.
Das besondere Kennzeichen der nichtlinearen Verzerrung ist das
Auftreten von Fre-quenzkomponenten am Ausgang des Systems, die im
Eingangsspektrum nicht enthaltensind und die sich nicht durch
Zeitvarianz ergeben. Das Überlagerungsgesetz ist nicht
mehranwendbar.
2 Arten nichtlinearer Verzerrungen
Falls ein Übertragungssystem sich durch eine eindeutige
zeitunabhängige und nicht von derAussteuerung abhängige Kennlinie
beschreiben lässt, kann man die Abhängigkeit zwischenEingangs- und
Ausgangsgröße des Systems durch eine Taylor-Reihe darstellen.
2.1 Reguläre nichtlineare Verzerrungen
Enthält das Ausgangssignal nur Glieder niederer Ordnung, so
spricht man von regulärennichtlinearen Verzerrungen, wie z. B.
quadratische oder kubische Verzerrungen. Vom Stand-punkt der
Übertragung interessieren häufig nur Systeme mit geringen regulären
nichtlinearenVerzerrungen, auch quasilineare Systeme genannt. Im
Bild 1 sind Beispiele für Kennlinien beiregulären nichtlinearen
Verzerrungen angegeben. Reguläre nichtlineare Verzerrungen tretenz.
B. auf bei Kohlemikrofonen, elektromagnetischen und
elektrodynamischen Lautsprechern,Übertragern, Verstärkern und
Mischern.
2.2 Unregelmäßige nichtlineare Verzerrungen
Bildet die Kennlinie keine glatte Kurve, sondern weist sie
innerhalb des BetriebsbereichsSchwankungen oder Unregelmäßigkeiten
auf, d. h. enthält das Ausgangssignal auch Gliederhöherer Ordnung
von nennenswerter Größe, so spricht man von unregelmäßigen
nichtli-nearen Verzerrungen, siehe Bild 2. Sie treten weniger
häufig auf als reguläre nichtlineareVerzerrungen.
NT-V2 - 2
-
y
x
Bild 1: Beispiele für Kennlinien bei regulären nichtlinearen
Verzerrungen
y
x
Bild 2: Beispiele für Kennlinien bei unregelmäßigen
nichtlinearen Verzerrungen
NT-V2 - 3
-
Unregelmäßige nichtlineare Verzerrungen können neben regulären
nichtlinearen Verzer-rungen ebenfalls in Verstärkern entstehen, sie
werden z. B. durch "Lose" oder "Sättigung"der Kennlinie
hervorgerufen. Bemerkenswert ist auch das Auftreten von
unregelmäßigennichtlinearen Verzerrungen bei der linearen
Überlagerung eines FM-Signals mit seinemeigenen zeitverzögerten
Signal (z. B. Mehrfachwegausbreitung bei UKW), dass in diesemFall
durch die nichtlineare Modulationsart in Verbindung mit linearen
Verzerrungen bei derÜbertragung hervorgerufen wird.
2.3 Sonstige nichtlineare Verzerrungen
Reguläre und unregelmäßige Verzerrungen sind die wichtigsten
Arten der nichtlinearenVerzerrungen. Daneben unterscheidet man noch
die aussteuerungsabhängigen Verzerrungenund die dazu gehörenden
Hystereseverzerrungen, die eine Eigentümlichkeit der
ferromagne-tischen Stoffe sind. Ein Beispiel für
Hystereseverzerrung ist im Bild 3 angegeben.
y
x
1
2
Bild 3: Hystereseverzerrungen
Der allgemeine Fall nichtlinearer Verzerrungen mit zeit- und
aussteuerungsabhängigerKennlinie, die durch starke
Nichtlinearitäten gekennzeichnet ist, soll nicht weiter
untersuchtwerden, da er für die Nachrichtenübertragung nur von sehr
geringer Bedeutung ist.
NT-V2 - 4
-
3 Quasilineare Systeme mit
aussteuerungsunabhängigerKennlinie
3.1 Beschreibung durch Taylor-Reihe
Ein zeitinvariantes System mit aussteuerungsunabhängiger
Kennlinie lässt sich durch eineTaylor-Reihe darstellen
y = a0 + a1x+ a2x2 + a3x
3 + a4x4 + a5x
5 + · · · (1)
Hierbei entspricht x dem Eingangs- und y dem Ausgangssignal. Das
konstante Glied a0 trägtnicht zur Nichtlinearität bei und kann
fortgelassen werden, weil man bereits im linearen Fallmit einer
einfachen Proportionalität zwischen x und y rechnet. Da das System
als quasilinearvorausgesetzt wurde, sind die Koeffizienten höherer
Ordnung sehr klein, so dass man häufigmit folgendem Ansatz
auskommt
y = a1x+ a2x2 + a3x
3 . (2)
3.2 Erregung durch eine sinusförmige Schwingung
Wir betrachten das Signal
x = A cos(ω0t) , ω0 = konst.
Dann ergibt sich mit Gleichung (2) das Ausgangssignal zu
y = a1A cos(ω0t) + a2A2 cos2(ω0t) + a3A
3 cos3(ω0t) . (3)
Mit
cos2(α) =1
2[1 + cos(2α)] (4a)
cos3(α) =1
4[3 cos(α) + cos(3α)] (4b)
folgt
y = a1A cos(ω0t) + a2A2
2[1 + cos(2ω0t)] + a3
A3
4[3 cos(ω0t) + cos(3ω0t)]
=1
2a2A
2 + [a1A+3
4a3A
3] cos(ω0t) +1
2a2A
2 cos(2ω0t) +1
4a3A
3 cos(3ω0t) .
(5)
Durch die Nichtlinearität treten außer einem konstanten Anteil
auch Komponenten imAusgangssignal auf, deren Frequenzen ein
Vielfaches der ursprünglichen Frequenz ω0 sind,die also
Oberschwingungen darstellen. Diese stören besonders, wenn sie in
den Übertra-gungsbereich fallen, da dann eine Elimination durch
Filterung unmöglich ist. Es fällt auf,dass das Glied a2x2 weder
Einfluss auf die Stärke der Grundschwingung noch auf die
derOberschwingung 3.Ordnung hat. Andererseits hat das Glied a3x3
weder Einfluss auf den
NT-V2 - 5
-
y = x2
1
−1 1 x t
t
Bild 4: Entstehung der quadratischen Verzerrungen
konstanten Anteil noch auf die Oberschwingung 2.Ordnung. Die
Einflüsse beider Gliederlassen sich daher leicht mit Hilfe einer
Sinusschwingung getrennt feststellen.
Die Amplitude der Oberschwingung 2.Ordnung hängt quadratisch und
die der Ober-schwingung 3.Ordnung kubisch von der
Eingangssignalamplitude ab.
Bei rein quadratischen Verzerrungen ist die Amplitude der
Grundschwingung nur von a1abhängig. D. h., aus der Konstanz des
Übertragungsfaktors für die Grundschwingung kannnicht auf das
Fehlen nichtlinearer Verzerrungen geschlossen werden.
3.3 Erregung durch mehrere sinusförmige Schwingungen
unterschied-licher Frequenz und Amplitude
Das Signal sei zunächst
x(t) = A1 cos(ω1t) + A2 cos(ω2t) .
Mit (2) folgt das Ausgangssignal
y(t) = a1 [A1 cos(ω1 t) + A2 cos(ω2t)] + a2[A21 cos
2(ω1 t) + 2A1A2 cos(ω1 t) cos(ω2t)
+ A22 cos2(ω2 t)] + a3 [A
31 cos
3(ω1 t) + 3A21A2 cos
2(ω1t) cos(ω2 t)
+ 3A1A22 cos(ω1t) cos
2(ω2t) + A32 cos
3(ω2t)] .
(6)
NT-V2 - 6
-
y = x3
−1
1
−1 1 x t
t
Bild 5: Entstehung der kubischen Verzerrungen
Es treten außer den Oberschwingungen mit den Frequenzen 2ω1,
2ω2, 3ω1 und 3ω2 nochweitere Glieder auf, die aus den Produkten mit
unterschiedlichen Frequenzen entstehen.
Mit
cos(α) cos(β) =1
2[cos(α+ β) + cos(α− β)]
folgt
2a2A1A2 cos(ω1t) cos(ω2t) = a2A1A2cos[(ω1 + ω2)t] + cos[(ω1 −
ω2)t] ,
3a3A21A2 cos
2(ω1t) cos(ω2t) =3
2a3A
21A2
{cos(ω2t) +
cos[(2ω1 + ω2)t]
2+
cos[(2ω1 − ω2)t]2
}und analog
3a3A1A22 cos(2ω1t) cos
2(ω2t) =3
2a3A1A
22
{cos(ω1t) +
cos[(2ω2 + ω1)t]
2+
cos[(2ω2 − ω1)t]2
}.
Aufgrund des Gliedes a2x2 treten Kombinationsschwingungen mit
den Frequenzen ω1 ± ω2auf und zwar mit einer für A1 = A2 doppelt so
großen Amplitude wie bei den einfachen
NT-V2 - 7
-
Oberschwingungen 2.Ordnung. Ebenso treten aufgrund des Gliedes
a3x3 Kombinations-schwingungen mit den Frequenzen 2ω1±ω2 und 2ω2 ±
ω1 auf und zwar mit einer für A1 = A2dreimal so großen Amplitude
wie die einfachen Oberschwingungen 3.Ordnung. Die Schäd-lichkeit
dieser Kombinationsschwingungen liegt aber nicht nur an der
erhöhten Amplitude,sondern vor allem an der Tatsache, dass
Differenzfrequenzen wie z. B. 2ω1 − ω2 von dergleichen
Größenordnung wie ω1 und ω2 sein können und nicht durch Filterung
eliminierbarsind. Das Auftreten solcher Kombinationsschwingungen
kennzeichnet man auch durch denBegriff Intermodulation. Nimmt man
an, dass in A1 und A2 auch die Information einereventuellen
Amplitudenmodulation der Signale enthalten sein kann, so erkennt
man, dass,durch das Glied a3x3 verursacht, eine gegenseitige
Modulationsübernahme erfolgt. DieseTatsache wird als
Kreuzmodulation bezeichnet.
• Intermodulationsanteile:3
4a3A
21A2 cos[(2ω1 ± ω2)t], (7)
3
4a3A1A
22 cos[(2ω2 ± ω1)t] (8)
• Kreuzmodulationsanteile:3
2a3A
21A2 cos(ω2t), (9)
3
2a3A1A
22 cos(ω1t) . (10)
Intermodulation und Kreuzmodulation sind proportional zu a3, d.
h., falls die Taylor-Reihe nur aus einem linearen Glied und aus
einem quadratischen Glied besteht, tretenbeide Effekte nicht auf.
Man erkennt, dass für A1 = A2 = A die Intermodulation kubischmit
der Eingangssignalamplitude steigt und dass die Kreuzmodulation
quadratisch mit derAmplitude des zweiten Eingangssignal wächst.
Bei Erregung mit mehr als zwei Sinusschwingungen entstehen noch
weitere Kombinati-onsschwingungen mit den Frequenzen
ωk = n1ω1 ± n2ω2 ± n3ω3 ± · · · . (11)Hierbei sind die ni ganze
positive Zahlen. Das Spektrum wird umso komplizierter, je höherdie
Ordnungszahl der Verzerrung und je mehr Sinusschwingungen im
Eingangsspektrumenthalten sind.
Bei einem allgemeinen, d. h. durch ein Fourier-Integral
darstellbaren Eingangssignal,lässt sich der Einfluss der
Nichtlinearitäten ebenfalls berechnen, da sich beispielsweise diezu
x2 und x3 gehörigen Spektralfunktionen durch Faltung im
Frequenzbereich ausdrückenlassen.
Liegt das Eingangsspektrum im Bereich zwischen f1 und f2, so
gibt Bild 6 einen Überblicküber die von den Spektren 2. und
3.Ordnung belegten Frequenzbänder.
Das erste Frequenzband des Spektrums 3.Ordnung fällt zum Teil
immer mit dem Ein-gangsspektrum zusammen, unabhängig von der Größe
von f1 bzw. f2. Im Bild 6 wird
NT-V2 - 8
-
Δf
Δf
2Δf
3Δf3Δf
f
f
f
f1 f2
2f1 2f2
3f1 3f2
f2 − f1
2f1 − f2 2f2 − f1
Eingangsspektrum
Spektr. 2. Ordnung
Spektr. 3. Ordnung
Bild 6: Die von den Spektren 2. und 3.Ordnung belegten
Frequenzbänder
keine Angabe über den Amplitudenverlauf der Spektren gemacht, es
wird lediglich dieFrequenzlage angegeben. Bei quadratischen
Verzerrungen verdichten sich die Amplitudenin der Umgebung von ω =
0 und ω = ω1 +ω2, bei kubischen Verzerrungen in der Umgebung
von1
2(ω1 + ω2) und
3
2(ω1 + ω2).
4 Definition von Klirrfaktoren undIntermodulationsfaktoren
Das Ausgangssignal eines Systems mit regulären oder
unregelmäßigen nichtlinearen Verzer-rungen lässt sich bei
sinusförmiger Erregung durch eine endliche Fourier-Reihe in
folgenderForm darstellen (wenn man von einem eventuellen
Gleichanteil absieht)
y =
I∑i=1
√2Yi cos(iωt+ ϕi) , ω = konst. (12)
Als Klirrfaktor oder Oberschwingungsgehalt wird das Verhältnis
des Effektivwertes derOberschwingungen zum Effektivwert der
gesamten Schwingung y definiert.
k =
√Y 22 + Y
23 + · · ·
Y 21 + Y22 + Y
23 + · · ·
. (13)
Der Klirrfaktor liegt nach (4.2) immer zwischen Null und Eins
bzw. 0% und 100%. DerKlirrfaktor ν-ter Ordnung wird definiert
als
kν =Yν√
Y 21 + Y22 + Y
23 + · · ·
. (14)
NT-V2 - 9
-
Da man bei geringen Verzerrungen den Ausdruck im Nenner
näherungsweise durch Y1ersetzen kann, erhält man unter dieser
Voraussetzung mit Gleichung (1)
kν ≈ YνY1
≈ 12ν−1
aνa1Aν−1 . (15)
Setzt man bei geringen regulären nichtlinearen Verzerrungen die
Eingangssignalamplitudeauf die Hälfte herab, dann nimmt der
Klirrfaktor mindestens um die Hälfte ab. Die Klirr-dämpfung wird
definiert durch
Akν = 20 lg
(1
kν
)in dB (16)
bzw.
Ak = 20 lg
(1
k
)in dB . (17)
Wird ein System mit regulären oder unregelmäßigen nichtlinearen
Verzerrungen durch zweisinusförmige Schwingungen mit gleichen
Amplituden A und unterschiedlichen Frequenzenω1, ω2 erregt, so
enthält das Ausgangssignal neben Oberschwingungen und einfachen
Diffe-renzschwingungen unter anderem auch spezielle
Kombinationsschwingungen der Form
√2Yn,n−1 cos {[nω1 − (n− 1)ω2]t} und
√2Yn,n−1 cos {[nω2 − (n− 1)ω1]t} (18)
mit n = 2, 3, . . ., deren Frequenzen in der Nähe der
Eingangsfrequenzen ω1, ω2 liegen. Diesewerden durch die ungeraden
Koeffizienten a3, a5, a7,· · · der Taylor-Reihe hervorgerufen.Der
Intermodulationsfaktor ν-terOrdnung wird definiert als
iν=2n−1 =Yn,n−1Y1
mit n = 2, 3, . . . (19)
AA
ω1ω1
ω2ω2 ωω
y(t) =∞∑k=1
akx(t)k
x(t) y(t)
4ω1−
3ω2
3ω1−
2ω2
2ω1−ω
2
4ω2−
3ω1
3ω2−
2ω1
2ω2−ω
1
Y1Y1
Y21Y21
Y32Y32Y43Y43
Bild 7: Beispiel eines Intermodulationsspektrums
Als Intermodulationsdämpfung bezeichnet man das logarithmische
Maß
Aiν = 20 log
(1
iν
)in dB . (20)
NT-V2 - 10
-
In der Literatur findet man stellenweise geringfügig von (19),
(20) abweichende Definitionen.Die Intermodulationschwingungen
werden dabei auf 2Y1 bezogen. Bei quasilinearen Syste-men
entspricht dies der Erregung des Systems mit nur einer
sinusförmigen Schwingung aufden gleichen Spitzenwert wie bei der
Erregung durch zwei sinusförmige Signale gleicherAmplitude. Die
Intermodulationsfaktoren sind dann nur halb so groß; die
Intermodulati-onsabstände vergrößern sich um 6 dB.
5 Messung von nichtlinearen Verzerrungen
Zur Bestimmung des Klirrfaktors nach Gleichung (13) kann man
direktanzeigende Klirr-faktormeßbrücken benutzen. In ihnen wird die
Grundschwingung des Ausgangssignals einesnichtlinearen Systems
unterdrückt und nach zweimaliger Effektivwertbildung der
Klirrfaktorermittelt und angezeigt. Zur genaueren Analyse der
Klirr- und Intermodulationsspektrenverwendet man
Spektralanalysatoren, d. h. geeignete selektive Spannungsmesser mit
geringerBandbreite. Sie arbeiten ähnlich wie ein
Überlagerungsempfänger, nur dass sie kein NF-Signal am Ausgang
liefern, sondern eine Gleichspannung in Abhängigkeit von der
Amplitudeder Spektrallinien des Spektrums an einem Spannungsmesser
anzeigen, siehe Bild 8.
TP
0−70 kHzMischer
ZF 100 kHz
Quarzfilter
Δf = 30 HzDemodulator
Oszillator
100−160 kHz
y Yi
Bild 8: Blockschaltbild eines Spektralanalysators
Die Berechnung von Klirrfaktoren, Klirrdämpfungen sowie
Intermodulationsfaktoren,Intermodulationsdämpfungen erfolgt dann
nach (13)-(20).
Durch Anwendung der Wobbeltechnik lässt sich ein
Spektralanalysator zur Darstellungdes Spektrums auf einem
Bildschirm benutzen. Ebenso lassen sich Verfahren mit Hilfeder
Wobbeltechnik entwickeln, die die Intermodulationsfaktoren in
Abhängigkeit von derFrequenz bei konstanter Aussteuerung auf einem
Bildschirm abbilden.
NT-V2 - 11
-
6 Nichtlineare Verzerrungen in Zweitoren undVerstärkern
6.1 Allgemeine Berechnungsverfahren
Die nichtlinearen Erscheinungen in Zweitoren sind infolge der
Anwesenheit von Impedanzenstark frequenzabhängig. Man kann also im
Allgemeinen keine einfachen Kennlinien zurBeschreibung der
Nichtlinearitäten benutzen. Bei geringen Nichtlinearitäten, wie sie
in derNachrichtentechnik häufig auftreten, kann man die
Betrachtungen dadurch vereinfachen,dass man die nichtlinearen
Wirkungen durch von der Grundschwingung gesteuerte Quellenersetzt,
so dass das Netzwerk selbst als linear angesehen werden kann
[Küpf68, Phil71].Im Bild 9 wird die Anwendung dieses Prinzips bei
Röhren- bzw. Feldeffekttransistoren-Ersatzschaltbildern gezeigt.
Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind nur die quadratischenGlieder
eingetragen.
u1
i10 i11 i12 i22
Zi u2 Za
S10 S11 S12 S22
Bild 9: Ersatzschaltung für nichtlineare Verzerrungen mit den
Strömen i10 = −S10u1,i11 = −S11u21, i12 = −S12u1u2 und i22 =
−S22u22.
Die Steilheiten S10 bis S22 gelten für einen festen Arbeitspunkt
und geringe Aussteuerungals konstant. Es ist dann z.B. möglich, die
Abhängigkeit des Klirrfaktors von der Anpassungam Ausgang zu
bestimmen.
6.2 Herabsetzung der nichtlinearen Verzerrungen durch
Gegen-kopplung
Nichtlineare Verzerrungen lassen sich z. B. durch Kompensation,
Verringerung der Aussteue-rung oder Gegenkopplung herabsetzen. Die
Kompensation kann z.B. durch die Kettenschal-tung eines zweiten
nichtlinearen Systems mit genau entgegengesetzter Kennlinie
erfolgen,siehe Bild 10.
x y1 y2
Bild 10: Kompensation von Nichtlinearitäten
Dieses Verfahren hat keine große Bedeutung, da es nur bei
Freiheit von Dämpfungs- undPhasenverzerrung (linearen Verzerrungen)
zwischen beiden Systemen anwendbar ist. Außer-
NT-V2 - 12
-
dem ist es schwierig, Systeme mit vorgegebener nichtlinearer
Kennlinie herzustellen. EineHerabsetzung der Aussteuerung führt zu
einer starken Verringerung der Ausgangsleistungund ist deshalb
nicht immer anwendbar. Daneben führt eine Verringerung der
Aussteue-rung bei unregelmäßigen nichtlinearen Verzerrungen nicht
unbedingt zur Herabsetzung derVerzerrungen.
Das wichtigste Verfahren, mit dem sich sehr hohe Anforderungen
an die Linearitäterfüllen lassen, ist das Verfahren der
Gegenkopplung, welches im Bild 11 dargestellt ist.
N
x
y
y
w
w
z
NichtlinearerVerstärker
Bild 11: Gegenkopplungsschaltung
Über das Gegenkopplungsnetzwerk N wird ein Teil der
Ausgangsspannung auf denEingang zurückgeführt. Es sei
z = ky, (21)
dann gilt
w = x− z = x− ky (22)und es folgt für kleine Amplituden von
w
y = f(w) ≈ A0w , y ≈ A0x1 + kA0
. (23)
Der neue Übertragungsfaktor für kleine Amplituden ist daher
A =A0
1 + kA0. (24)
Den Ausdruck 1 + kA0 bezeichnet man als Gegenkopplungsfaktor, da
durch ihn die Ver-stärkung herabgesetzt wird. Die volle
Ausgangsspannung kann daher nur durch eine ent-sprechend
vergrößerte Eingangsspannung wieder erreicht werden. Entscheidend
ist jedoch,
NT-V2 - 13
-
dass dabei trotzdem die nichtlinearen Verzerrungen erheblich
herabgesetzt werden können,da durch die Gegenkopplung die Kennlinie
linearisiert wird, siehe Bild 12.
Durch die Linearisierung der Kennline verringert sich der
Klirrfaktor näherungsweise imgleichen Maße, wie der
Übertragungsfaktor herabgesetzt wird. Der Verstärkungsverlust
kanndurch Kettenschaltung mehrerer gegengekoppelter Verstärker
wieder ausgeglichen werden,ohne dass dadurch die nichtlinearen
Verzerrungen nennenswert ansteigen.
x
y
w
x,w
K
Bild 12: Linearisierung durch Gegenkopplung
Die im Bild 11 gezeigte Gegenkopplungsschaltung stellt ein
Übertragungssystem mitRückkopplung dar. Bei realen Systemen mit
linearen Verzerrungen im Verstärker und imGegenkopplungsnetzwerk
muss daher die Stabilität des geschlossenen Systems
sichergestelltwerden [Küpf68, Phil71]. Die Gegenkopplung über eine
Kettenschaltung mehrerer einstufigerVerstärker führt, z. B. infolge
der starken Phasendrehungen an den Grenzfrequenzen, sehrleicht zur
Instabilität.
7 Wirkungen nichtlinearer Verzerrungen
Die Beeinträchtigung von Sprachübertragungen durch nichtlineare
Verzerrungen ist sehrgering, so dass man in diesem Fall eine für
den Rauschabstand und die Senderaussteuerunggünstige
Amplitudeneinschränkung durchführen kann (Begrenzung,
Dynamikkompression).
Unangenehme Erscheinungen bei Musikübertragungen werden nicht so
sehr durch einengewissen Klirrfaktor sondern durch Intermodulation
hervorgerufen. Die hierbei auftretendenKombinationsschwingungen
zwischen Harmonischen nahe beieinander liegender Frequenzenführen
zu Schwebungen der Klangkomponenten, so dass raue und schrille Töne
entstehen.Außerdem können weit unterhalb der Grundfrequenz
Schwingungen mit völlig unharmo-nischen Frequenzverhältnissen
auftreten. In einem gewissen Ausmaß sind Kombinations-schwingungen
schon in den natürlichen Klängen enthalten. Die Wirkung der
nichtlinearenVerzerrungen bei der Übertragung besteht darin, dass
diese Kombinationsschwingungen mitunnatürlich hohen Amplituden
auftreten.
Die Intermodulation ist von besonderer Wichtigkeit bei der
Trägerfrequenztechnik undbei der drahtlosen Nachrichtenübertragung.
Sie führt bei Trägerfrequenztechnik zu mehr
NT-V2 - 14
-
oder weniger verständlichem Nebensprechen. Bedenkt man die große
Zahl der in Kettegeschalteten Verstärker und Modulatoren, so wird
deutlich, dass sehr hohe Linearitätsan-forderungen an diese Geräte
gestellt werden müssen.
Bei der drahtlosen Nachrichtenübertragung unterscheidet man
zweckmäßigerweise zwi-schen Sende- und Empfangsseite. Auf der
Sendeseite sollte zur Vermeidung von Störungen inden benachbarten
Kanälen die Intermodulationdämpfung mindestens 35 dB betragen.
DieseDämpfung kann bei hohem Aufwand in den Endstufen gerade noch
erreicht werden. Da dieStärken der Empfangsignale in einem
Frequenzband Unterschiede bis zu ca. 80 dB aufweisen,sind besonders
hohe Anforderungen an die Intermodulationsdämpfung der Eingangs-
undMischstufen vor der eigentlichen Filterung zu stellen, siehe
Bild 13. Es sollte eine Intermo-dulationsdämpfung von mindestens 80
dB angestrebt werden. Diese Forderung lässt sich nurmit großem
Aufwand erfüllen (Gegentaktmischstufen, keine HF-Vorstufen, JFETs).
Geringe
�
�
�
ue
HF-VerstärkerMischer Filter
ZF-Verstärker
hohe Intermodulationsdämpfung
Oszillator
Bild 13: Linearitätsanforderungen an Eingangs- und
Mischstufen
Intermodulationsdämpfung an diesen Stellen führt bei geringem
Nutzsignal und starkenNachbarsignalen zu vollständigem Verlust der
Information, siehe Bild 14.
8 Vorbereitung
Vorbereitungsaufgabe 8.1:
Gegeben ist ein System mit quadratischen Verzerrungen. Die
Kennlinie dieses Systems wirddurch y = x+ 0.01 x2 beschrieben.
1. Berechnen Sie die Fourier-Reihe des Ausgangssignals einer
Kettenschaltung zweiersolcher Systeme, wenn das Eingangssignal
sin(ω1t) ist. Berechnen Sie näherungsweiseden Gesamtklirrfaktor der
Kettenschaltung und vergleichen Sie ihn mit dem Gesamt-klirrfaktor
eines Systems.
NT-V2 - 15
-
ue/dB
Nutzsignal ω
10
80
Bild 14: Verlust der Information des Nutzsignals durch starke
Intermodulation benachbartermodulierter Signale mit hohen
Amplituden sowie Rauschen
2. Berechnen Sie nun die Frequenzen des Spektrums am Ausgang
einer Kettenschaltungnach 1., wenn das Eingangssignal sin(ω1t) +
cos(ω2t) ist. Skizzieren Sie die Lage derSpektrallinien (ω > 0)
für ω2 = 1.3ω1.
Vorbereitungsaufgabe 8.2:
Gegeben ist ein System mit quadratischen und kubischen
Verzerrungen, gekennzeichnetdurch die Taylor-Reihe
y = x+1
2x2 +
1
4x3.
Das Eingangssignal wird durch folgendes Spektrum
beschrieben:
X(jω)
ω/Ω
1
−5 −3 3 5
Zeichnen Sie die Spektren X(jω) ∗X(jω) und X(jω) ∗X(jω)
∗X(jω).Zeichnen Sie das Spektrum Y (jω).
9 Aufgaben
Verstärker 1: Verstärker mit annähernd quadratischer
KennlinieVerstärker 2: Verstärker mit stark nichtlinearer
Kennlinie. Benutzen Sie den kompensiertenseitlichen Eingang.
Max. Aussteuerung der Verstärker am Ausgang: ±12 V.Max.
Aussteuerung der Verstärker am Eingang: ±4 V.
NT-V2 - 16
-
Kennlinien
1. Bestimmen Sie die Kennlinien y = f(x) von Verstärker 1 und
Verstärker 2 bei denGegenkopplungseinstellungen "0" und "4". Tragen
Sie Ihre Messergebnisse in Tabelle1 und 2 ein.
2. Tragen Sie die Kennlinien in ein Diagramm ein. Kennzeichnen
Sie die Kennlinien desVerstärkers 2 durch die
Gegenkopplungseinstellungen.
3. Stellen Sie die Kennlinien auf dem Oszillographen dar.
Entwerfen Sie hierzu zunächsteine zweckmäßige Schaltung.Wie
verändert sich die Kennlinie des Verstärkers 2 bei einer
Veränderung der Gegen-kopplung?
Klirrdämpfungen
1. Bestimmen Sie bei dem Verstärker 1 die Klirrdämpfungen
ν-terOrdnung bei einerGrundfrequenz von 1 kHz. Die Aussteuerung
soll dabei so gewählt werden, dass dieSpitzenspannung Us am Ausgang
10 V beträgt. Tragen Sie Ihre Messergebnisse inTabelle 3 ein.
Hinweis:Der Klirranalysator ist hierbei nicht genau auf die
Frequenzen 1 kHz, 2 kHz usw.einzustellen, sondern es ist der
maximale Zeigerausschlag des Messgerätes in derNähe der
betrachteten Frequenz zu suchen. Dies wird dadurch gerechtfertigt,
dass dasSpektrum nur bei Harmonischen überhaupt Energieanteile
besitzen kann. EventuelleSkalenungenauigkeiten bei der
Frequenzeinstellung werden somit ausgeglichen.
Intermodulationsdämpfungen
1. Der Verstärker 2 (Gegenkopplungseinstellungen "0" und "4")
soll jetzt durch zweisinusförmige Spannungen mit den Frequenzen 3
kHz und 7 kHz von gleicher Ampli-tude so angesteuert werden, dass
die Spitzenspannung Us am Ausgang 10 V beträgt.Die
Zusammenschaltung der zwei Generatoren soll dabei über ein aus zwei
auf dieFrequenzen 3 kHz und 7 kHz abgestimmten Serienschwingkreisen
bestehendes Ankopp-lungsnetzwerk erfolgen. (Weshalb?)Messen Sie das
Ausgangsspektrum im Frequenzbereich 1 . . . 20 kHz. Tragen Sie
IhreMessergebnisse in Tabelle 4 und 5 ein.
2. Tragen Sie das Spektrum in logarithmischem Maßstab in ein
Diagramm ein. NormierenSie, damit die stärksten Anteile 0 dB
entsprechen.
Diskussion der Messergebnisse
NT-V2 - 17
-
10 Hinweise und Protokolle
10.1 Kennlinien
1. Aufnahme der Kennlinie des Verstärkers 1
Verwendete Geräte:
• 1 Vielfachmessinstrument HM8012• 1 Konstanter HM8040-3• 1
Verstärker mit quadratischer Kennlinie• 1 Stromversorgung für
Verstärker
V V
Ua in V Ue in V1211109876543210.500.250.10
Ua in V Ue in V12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -0.50 -0.25
-0.10 -
Tabelle 1: Aufnahme der Messwerte des Verstärkers 1
NT-V2 - 18
-
2. Aufnahme der Kennlinien des Verstärkers 2
Verwendete Geräte:
• 1 Vielfachmessinstrument HM8012
• 1 Konstanter HM8040-3
• 1 Verstärker mit stark nichtlinearer Kennlinie
• 1 Stromversorgung für Verstärker
V V
ohne ("0") mit ("4")Gegenkopplung
Ua in V Ue in V Ue in V121110 2 29876543210.500.250.10
ohne ("0") mit ("4")Gegenkopplung
Ua in V Ue in V Ue in V-12-11-10 -2
-2-9-8-7-6-5-4-3-2-1-0.50-0.25-0.10
Tabelle 2: Aufnahme der Messwerte des Verstärkers 2
NT-V2 - 19
-
3. Darstellung der Kennlinien
Ua/V
Ue/V
2
2
4
4
6
8
10
12
−2−4
NT-V2 - 20
-
Ua/V
Ue/V
Einstellung "0"
Einstellung "4"
2
2
4
6
8
10
12
−2−2
−4
−6
−8
−10
−12
1−1
4. Darstellung der Kennlinien auf dem OszillographenVerwendete
Geräte:
• 1 Signalgenerator HM8030-6• 1 Oszillograph HM504-2• 2
Verstärker• 1 Stromversorgung für Verstärker
Generator Oszillographx y
NT-V2 - 21
-
10.2 Klirrdämpfungen
1. Messung des Ausgangsspektrums
Verwendete Geräte:
• 1 Signalgenerator HM8030-6• 1 Klirranalysator KLA-48• 1
Verstärker mit quadratischer Kennlinie• 1 Stromversorgung für
Verstärker• 1 Oszillograph HM504-2
Generator Analysator
fe = 1kHz , Ûa = 10Vs = 10Vss
f in kHz Ua in mV Ua in dB Ak in dB12
034567891011121314151617181920
Tabelle 3: Klirrdämpfungen Verstärker 1
NT-V2 - 22
-
10.3 Intermodulationsdämpfungen
1. Messung der Ausgangsspektren
Verwendete Geräte:
• 2 Signalgeneratoren HM8030-6• 1 Klirranalysator KLA48• 1
Ankopplungsnetzwerk• 1 Verstärker mit stark nichtlinearer
Kennlinie• 1 Stromversorgung für Verstärker• 1 Oszillograph
HM504-2
Ankopplungs-netzwerk
AnalysatorGener.
Gener.
fe1 = 3kHz , fe2 = 7kHz , Ûa = 10Vs = 20Vss
f in kHz Ua in mV Ua in dB Ai in dB123 ≈ 04567 ≈
0891011121314151617181920
Tabelle 4: Intermodulationsdämpfung mit Gegenkopplung ("4")
NT-V2 - 23
-
f in kHz Ua in mV Ua in dB Ai in dB123 ≈ 04567 ≈
0891011121314151617181920
Tabelle 5: Intermodulationsdämpfung ohne Gegenkopplung ("0")
2. Darstellung der Intermodulationsdämpfungen
Verstärker mit stark nichtlinearer Kennlinie und einstellbarer
Gegenkopplung, aufge-tragen: Dämpfung der Harmonischen und der
Intermodulationsprodukte Ai in dB.
NT-V2 - 24
-
100
50 0
02
46
810
12
14
16
18
20
Ai/
dB
f/k
Hz
NT-V2 - 25
-
Literatur
[Küpf68] K. Küpfmüller: Die Systemtheorie der elektrischen
Nachrichtenübertragung. Hir-zel, Stuttgart, 1968.
[Phil71] E. Philippow: Nichtlineare Elektrotechnik. Geest &
Portig, Leipzig, 1971.
NT-V2 - 26
-
Versuch NT-V3: Reaktanzeintore
Inhaltsverzeichnis
1 Passive Eintore 2
1.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 2
1.2 Rationale positive Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 3
2 Verlustfreie Eintore 4
2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 4
2.2 Foster-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 5
2.3 Synthese verlustfreier Eintore . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 6
3 Beispiele 10
3.1 Widerstandspartialbruchschaltung erster Art . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 10
3.2 Berechnung der Kettenbruchschaltung zweiter Art . . . . . .
. . . . . . . . . 12
4 Vorbereitung 14
4.1 Versuchseinarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 14
4.2 Versuchsvorbereitungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 17
5 Versuchsdurchführung 19
Literaturverzeichnis 21
NT-V3 - 1
-
1 Passive Eintore
1.1 Einführung
Vor der Erörterung von Reaktanz-(LC-)Eintoren sollen zunächst
passive (RLC)-Eintore
betrachtet werden. Um deren Eigenschaften kennen zu lernen, wird
von einem einfachen
Beispiel ausgegangen. Die Impedanz Z(jω) des im Bild 1 gezeigten
Eintores ist
1
jωCjωL
RI
UZ(jω)
Bild 1: Passives Eintor
Z(jω) = R +1
jωC +1
jωL
=[jω]2RLC + [jω]L + R
[jω]2LC + 1. (1)
In der Netzwerktheorie empfiehlt sich die Verallgemeinerung auf
komplexe Frequenzen
p = σ + jω. (2)
Hie
