Prof. Dr. Holger Dette - Ruhr University Bochum€¦ ·

Methodenlehre II, SS2009

Prof. Dr. HolgerDette

1. GrundlegendePrinzipien derschließenden Statistikam Beispiel des t-Tests

2. Korrelation, LineareRegression undmultiple RegressionMethodenlehre II, SS 2009

Prof. Dr. Holger Dette

Ruhr-Universitat Bochum

23. Mai 2011

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2. Korrelation, LineareRegression undmultiple Regression

Methodenlehre II

I Prof. Dr. Holger DetteI NA 3/73I Telefon: 0234 322 8284I Email: [email protected] Internet: www.ruhr-uni-bochum.de/mathematik3/index.htmlI Vorlesung: Montag, 8.30–10.00 Uhr, HGA 10I Thema: Das allgemeine lineare Modell und seine Anwendungen

in der Psychologie

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Statistik-Team

I Ubung: Dienstag, 12.15–13.00 Uhr, HGA 30Tobias Kley: [email protected]

I Tutorium: SPSS

Lars Kuchinke: [email protected]

GAFO 04/615 Mo. 10.00–12.00 UhrGAFO 04/615 Mo. 12.00–14.00 UhrMarco Grabemann: [email protected] 1/128 Mo. 12.00–14.00 UhrGAFO 04/271 Fr. 12.00–14.00 UhrCacilia Werschmann: cilly [email protected] 04/615 Fr. 12.00–14.00 UhrIgor Ivanov: [email protected]

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Das allgemeine lineare Modell:

”Ein mathematisches Modell - viele statistischeVerfahren“

Inhaltsverzeichnis

1. Grundlegende Prinzipien der schließenden Statistik am Beispieldes t-Tests

2. Das lineare Regressionsmodell, multiple Regression undKorrelation

3. Das ”allgemeine“ lineare Modell

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Literatur

A. Aron, E.N. Aron, E.J. Coups, Statistics for Psychology,5th Edition, Pearson Prentice Hall

J. Bortz, Statistik, 6. Auflage, Springer

M. Rudolf, J. Muller, Multivariate Verfahren, Hogrefe

P. Zofel, Statistik fur Psychologen, Pearson Studium

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1. GrundlegendePrinzipien derschließenden Statistikam Beispiel des t-Tests1.1 Schatzer undKonfidenzintervalle

1.2 t-Test fur eineStichprobe

1.3 Zweistichproben-probleme

1.4 EinfaktorielleVarianzanalyse


1. Grundlegende Prinzipien der schließendenStatistik am Beispiel des t-Tests

1.1 Schatzer und Konfidenzintervalle

1.2 t-Test fur eine Stichprobe

1.3 Zweistichprobenprobleme

1.4 Einfaktorielle Varianzanalyse

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1.1 Schatzer und Konfidenzintervalle

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1.1 Beispiel: IntelligenzquotientFragestellung: Haben (15-jahrige) Kinder aus Bochum einenhoheren Intelligenzquotienten als 100?

I 10 Kinder (zufallig ausgewahlt) machen einen IQ-TestDaten: y1, . . . , y10 Stichprobe

i 1 2 3 4 5yi 104 98 106 99 110i 6 7 8 9 10yi 107 100 97 108 112

I Hypothese (IQ der Kinder ist niedriger als 100):

H0 : µ ≤ 100

Alternative (IQ ist hoher als 100):

H1 : µ > 100

Dabei ist µ der (unbekannte) Erwartungswert derGesamtpopulation der (15-jahrigen) Kinder aus Bochum

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Prinzip der schließenden Statistik

Auf Grund der Stichprobe y1, . . . , y10 sollen Aussagen uber dasMerkmal der Grundgesamtheit getroffen werden. Zum Beispiel

I Wie groß ist µ (Schatzung)?

I Kann man ein Intervall bestimmen, in dem µ liegt(Konfidenzintervall)?

I Gilt

H0 : µ ≤ 100 (IQ ist nicht hoher)

oder gilt

H1 : µ > 100 (IQ ist hoher)?

(statistischer Test)

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Grundlegende Schwierigkeit:

I µ ist der Erwartungswert der Population der 15-jahrigen KinderI Auf Basis der Stichprobe soll auf die Grundgesamtheit

geschlossen werden−→ Fehler, Unsicherheiten sind moglich!

I Beispiel: ”zufallig“ wahlen wir 5 hochbegabte Kinder (IQ ≥ 130)fur die Stichprobe aus. Vermutlich wird dadurch µ uberschatzt!

I Ziel der schließenden Statistik:Quantifizierung der Unsicherheit, z. B.mit welcher Wahrscheinlichkeit macht ein statistischer Testeinen Fehler, falls (aufgrund von Daten) fur H1 (IQ ist hoher als100) entschieden wird, obwohl in Wirklichkeit H0 gilt?

I Notwendig fur diese Quantifizierung:Mathematische Modellannahmen

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Zusatzliche Modellannahme: Normalverteilung

I Allgemein gangige Annahme: Intelligenz in einer bestimmtenAltersgruppe der Bevolkerung ist normalverteilt

ϕ(x) =1√

2πσ2exp

(−1

2 (x − µσ

)2)

µ : Erwartungswertσ2 : Varianz

I Deutung: Ist Y der IQ eines zufallig aus der Populationausgewahlten Individuums, so gilt

P(a ≤ Y ≤ b) =

∫ b

aϕ(x)dx

I Diese Modellannahme sollte man stets rechtfertigen (wie mandas machen kann, sehen wir spater)

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Interpretation der Wahrscheinlichkeiten:

a b

I Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Beobachtung zwischen denWerten a und b liegt, entspricht der Flache unter der Kurve imIntervall [a, b].

I In Formeln:P(a ≤ Y ≤ b) =

∫ b

aϕ(x)dx

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Verschiedene Normalverteilungen N(µ, σ2)

Dichten der Normalverteilung mit verschiedenen Parametern

-4 -2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

N(0,0.707)N(0,1)N(1,1.25)N(2,2)

I µ: ErwartungswertI σ2: VarianzI Beachte: unter jeder Kurve ist die Flache genau 1

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Motivation der Modellannahme derNormalverteilung

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Zusatzliche Modellannahme: NormalverteilungI Mathematisches Modell (hier n = 10): y1, . . . , yn sind

Realisierungen von Zufallsvariablen

Yi = µ+ εi , i = 1, . . . ,m

I yi : IQ-Messung fur i-tes Kind(Realisation der Zufallsvariablen Yi )

I µ: (unbekannter) Erwartungswert der Population(hier der 15-jahrigen Kinder aus Bochum)

I ε1, . . . , εn: unabhangige Zufallsvariable, normalverteilt mitErwartungswert 0 und Varianz σ2.Interpretation: Messfehler, genetische Variabilitat, Tagesform ...

I Mathematische Statistik z. B. Maximum Likelihood (in diesemBeispiel auch der gesunde Menschenverstand) liefert Schatzerfur µ:

µ = y · =1n

n∑i=1

yi = 104.1

I Wie genau ist diese Schatzung? Wie sehr streut dieseSchatzung?

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Zusatzliche Modellannahme: NormalverteilungI Maß fur die Genauigkeit: Varianz (je kleiner die Varianz, desto

”genauer“ die Schatzung)I Mathematische Statistik (Methodenlehre I): die Varianz des

Schatzers µ ist:

Var(µ) =σ2

nI Beachte:

I Je großer der Stichprobenumfang n, desto kleiner die Varianzvon µ. D.h. desto genauer ist die Schatzung.

I Fur die Beurteilung der Genauigkeit muss man die Varianz σ2

der Population kennen.

I Mathematische Statistik: Schatzung fur den Parameter σ2

σ2 =1

n − 1

n∑i=1

(yi − y ·)2 = 28.32

σ2µ =

σ2

n = 2.832

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Zusatzliche Modellannahme: NormalverteilungI Oft wird der Schatzer zusammen mit dem Standardfehler

angegeben

µ = 104.1µ+ σµ = 105.78µ− σµ = 102.42

I σµ = σ√n =

√σ2

n = 1.683 ist der Standardfehler des Schatzersµ (Schatzung fur Streuung des arithmetischen Mittels)

I σ = 5.322 ist die aus den Daten geschatzteStandardabweichung (Schatzung fur die Streuung einereinzelnen Beobachtung)

I Deutung: Vor der Datenerhebung ist µ zufallig. Falls dieNormalverteilungsannahme korrekt ist, ist auch µ normalverteiltmit:

- Erwartungswert µ- Varianz σ2

n

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40 60 80 100 120 140 160

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

x

Dic

hte

40 60 80 100 120 140 160

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

x

40 60 80 100 120 140 160

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

Verschiedene Normalverteilungen

x

Y1 ~ N (104.1, 28.32)

((Y1 ++ Y2)) 2 ~ N (104.1, 28.32/2)

((∑∑i==1

10Yi)) 10 ~ N (104.1, 2.832)

40 60 80 100 120 140 160

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

x

Dic

hte

40 60 80 100 120 140 160

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

x

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1.2 Schatzverfahren (Erwartungswert einer Populationunter Normalverteilungsannahme)

I Daten y1, . . . , yn (Stichprobe) mit Erwartungswert µ

I Rechtfertigung der Unabhangigkeits- undNormalverteilungsannahme

I µ = 1n∑n

i=1 yi Schatzung fur den Erwartungswert µ derPopulation

I σ2 = 1n−1

∑ni=1(yi − y ·)2 Schatzung fur die Varianz der

Population (σ Schatzung fur die Standardabweichung)

I σ2µ = σ2

n Schatzung fur die Varianz von µ

I Schatzung fur den Standardfehler von µ : σµ =√

σ2

n = σ√n

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SPSS-Output: die Schatzer fur die Daten ausBeispiel 1.1 (Intelligenzquotient)

Statistik StandardfehlerStatistik Statistik Statistik

VarianzStandardabweichungMittelwertN

Intelligenzquotient

Gültige Werte (Listenweise) 10

28,3225,3221,683104,1010

Deskriptive Statistik

µ = 104.1(Mittelwert)σµ = 1.683(Standardfehler)σ2 = 28.322(empirische Varianz)σ = 5.322(Standardabweichung)

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Beachte:I

µ =1n

n∑i=1

yi ; σ2 =1

n − 1

n∑i=1

(yi − y ·)2 ; σµ =

√σ2

n

hangen von den Daten y1, . . . , yn ab (sind also vorDatenerhebung zufallig)

I (µ− a σµ, µ+ a σµ

)ist (vor der Datenerhebung) ein zufalliges Intervall, das miteiner bestimmten Wahrscheinlichkeit den Erwartungswert µenthalt

a −→ 0 =⇒Wahrscheinlichkeit ≈ 0a −→∞ =⇒Wahrscheinlichkeit ≈ 1

I Gesucht: zufalliges Intervall, das den unbekanntenErwartungswert mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeitenthalt: Konfidenzintervall

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Das KonfidenzintervallI Gebe eine Wahrscheinlichkeit 1− α vor (z. B. 1− α = 95%)I Bestimme a so, dass das zufallige Intervall

(µ− a σµ, µ+ a σµ)

den Parameter µ mit Wahrscheinlichkeit 1− α enthalt.I Mathematische Statistik liefert

a = tn−1,1−α2

(1− α2 )-Quantil der t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden

I Diese Werte sind tabelliert oder durch Software verfugbar.I Das Intervall

I =(µ− tn−1,1−α2 σµ, µ+ tn−1,1−α2 σµ

)heißt (1− α) Konfidenzintervall fur µ.

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Verschiedene t-Verteilungen

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

t t t

Dichten der t– Verteilung mit verschiedenen Freiheitsgraden

100

4

1

Dichten der t– Verteilung mit verschiedenen Freiheitsgraden

fn(t) =1√πn

Γ((n + 1)/2)

Γ(n/2)

(1 +

t2

n

)−(n+1)/2

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Das Quantil der t-Verteilung mit nFreiheitsgraden

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Dichte der t4 -Verteilung

t 4, 0.95 = 2.132

0.95

P(T4 ≤ t4,0.95) =

∫ t4,0.95

−∞f4(t)dt = 0.95

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Beispiel 1.3 (Fortsetzung von Beispiel 1.1)

I Berechnung eines 90% Konfidenzintervalls fur µ

I n = 10, µ = 104.1, σ2 = 28.32I α = 10%

I (aus Tabelle bzw. Software) t9,0.95 = 1.833I 90% Konfidenzintervall fur µ = (101.02, 107.18)

I Beachte:I Ein (1− α)-Konfidenzintervall ist ein ”zufalliges“ Intervall, das

den (unbekannten) Erwartungswert mit Wahrscheinlichkeit1− α enthalt.

I Die Aussage ”das Intervall (101.02, 107.18) enthalt denunbekannten Erwartungswert der Population mitWahrscheinlichkeit 90%“ hat keinen Sinn!

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Erklarung des Begriffs ”zufalliges“ Intervall durchein ”fiktives“ Experiment

I Annahme: das Experiment (Untersuchung des IQ von 10Kindern) kann N mal (unabhangig) wiederholt werden (z. B.1000 mal)

I jeweils 10 Daten liefern ein (1− α)-Konfidenzintervall(z. B. 95 % Konfidenzintervall)Datensatz 1 −→ Konfidenzintervall I1Datensatz 2 −→ Konfidenzintervall I2

...Datensatz N −→ Konfidenzintervall IN

I ca. (1− α) · N (z. B. 95% · 1000 = 950) Intervalle enthalten den(unbekannten) Erwartungswert µ der Population

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1.4 Konfidenzbereich fur den Erwartungswert einer Po-pulation unter Normalverteilungsannahme

I Daten y1, . . . , yn (Stichprobe) mit Erwartungswert µ

I Rechtfertigung der Unabhangigkeits- undNormalverteilungsannahme

I Bestimme das tn−1,1−α2 Quantil der t-Verteilung mit n − 1Freiheitsgraden (aus Tabelle oder Software)

I Das Intervall

(µ− tn−1,1−α2 σµ, µ+ tn−1,1−α2 σµ)

ist ein (1− α) Konfidenzintervall fur µ

I In vielen Softwarepaketen erhalt man direkt dasKonfidenzintervall als Ausgabe (z. B. in SPSS)

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SPSS-Output: Konfidenzintervall fur die Datenaus Beispiel 1.1 (Intelligenzquotient)

MittlereDifferenzSig. (2-seitig)dfT ObereUntere

90% Konfidenzintervall der Differenz

Testwert = 100

Intelligenzquotient 7,181,024,100,03892,436

Test bei einer Sichprobe

Beachte:

I SPSS liefert nur ein Konfidenzintervall fur die Differenz µ− 100=⇒ 90% Konfidenzintervall fur den Erwartungswert µ

(101.02, 107.18)

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1.2 t-Test fur eine Stichprobe

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Beispiel 1.5 (Fortsetzung von Beispiel 1.1)

Frage: Ist der IQ der Kinder aus Bochum hoher als 100?

H0 : µ ≤ 100 H1 : µ > 100

H0 nennt man Nullhypothese und H1 heißt Alternative.I Intuitiv wurde man fur H1 entscheiden, falls der Mittelwert der

Stichprobe

µ =1

10

10∑i=1

yi

”groß“ istI Beachte: µ andert sich, falls man die Daten anders skaliert!I Besser: entscheide fur H1, falls µ groß im Verhaltnis zu dem

Standardfehler σµ ist (Invarianz bzgl. unterschiedlicherSkalierungen)

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Die Nullhypothese H0 : µ ≤ 100 wird abgelehnt falls

T =µ− 100σµ

> c

Fragen:I Wie legt man den kritischen Wert c fest?

I Bei dem Verfahren konnen 2 Fehler auftreten

I Fehler erster Art: Die Nullhypothese H0 wird abgelehnt, obwohlH0 in Wirklichkeit stimmt (d. h. der IQ ist nicht hoher als 100)

I Fehler zweiter Art: Die Nullhypothese H0 wird nicht abgelehnt,obwohl in Wirklichkeit die Alternative H1 zutrifft (d. h. der IQ isthoher als 100)

Ziel: ”kleine“ Wahrscheinlichkeiten fur Fehler erster und zweiter Art

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Grundlegendes Prinzip der TesttheorieI Der kritische Wert c wird festgelegt, indem man eine maximal

tolerierbare Wahrscheinlichkeit α fur einen Fehler erster Artvorgibt (α-Fehler)!

I Diese Wahrscheinlichkeit heißt Niveau des Tests.I Damit hat man keine Kontrolle uber die Wahrscheinlichkeit eines

Fehlers zweiter Art (β-Fehler)I Z. B. soll die Wahrscheinlichkeit fur Fehler erster Art maximalα = 5% = 0.05 sein.

=⇒ (mathematische Statistik, Tabelle, Software)

n = 10, c = tn−1,1−α = t9,0.95 = 1.833

T =µ− 100σµ

=104.1− 100√

2.832= 2.436 > 1.833

D. h. die Nullhypothese H0 : µ ≤ 100 wird zum Niveau α = 5%zu Gunsten der Alternative H1 : µ > 100 verworfen(signifikantes Ergebnis zum Niveau 5 %)

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Erklarung des Begriffs Niveau durch ein ”fiktives“Experiment

I Annahme: Das Experiment (Untersuchung des IQ von 10Kindern) kann N mal (unabhangig) wiederholt werden (z. B.1000 mal)

I jeweils 10 Daten liefern ein Ergebnis fur den Test zum Niveau α(z.B. Niveau 5 %)Datensatz 1 −→ Testergebnis 1Datensatz 2 −→ Testergebnis 2

...Datensatz N −→ Testergebnis N

I Falls die Nullhypothese H0 : µ ≤ 100 ”wahr“ ist, so wirdmaximal in ca. αN (z. B. 5% 1000 = 50) Fallen fur dieAlternative

H1 : µ > 100

entschieden.

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Fehler erster und zweiter Art

in der Population giltH0 H1

Entscheidung auf- richtige β-Fehlergrund der Stich- H0 Entscheidungprobe zugunsten richtigevon: H1 α-Fehler Entscheidung

Beachte:

I Die Wahrscheinlichkeiten fur α-Fehler und β-Fehler verandernsich gegenlaufig.

I Bei festem Niveau (Wahrscheinlichkeit fur α-Fehler) kann dieWahrscheinlichkeit fur einen β-Fehler durch Vergroßerung desStichprobenumfangs verkleinert werden.

I Bei festem Stichprobenumfang wird ”nur“ der Fehler erster Artkontrolliert.

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Die Verteilung von T falls µ = 100 ist.

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4


α = 5 %

p– Wert

t 9, 0.95 = 1.833 T n = 2.436

I Kritischer Wert: tn−1,0.95 = 1.833 (H0 wird verworfen, falls Tgroßer als der kritische Wert ist)

I Blaue Flache: Niveau (α)I Rote Flache: p-Wert: Wahrscheinlichkeit einen Wert großer als

2.436 zu beobachten: P(T > 2.436) = 0.0188I Beachte: Ist der p-Wert < α (wie in diesem Beispiel) dann wird

H0 abgelehnt (signifikantes Ergebnis)35 / 178








Testverfahren fur den Erwartungswert einerStichprobe unter Normalverteilungsannahme

1.6 Einstichproben t-Test fur rechtsseitige Hypothesen

I Hypothesen: H0 : µ ≤ µ0 ; H1 : µ > µ0 (rechtsseitigeHypothese)

I Daten y1, . . . , yn (Stichprobe) mit Erwartungswert µI Rechtfertigung der Unabhangigkeits- und

NormalverteilungsannahmeI H0 wird zum Niveau α verworfen, falls

T =µ− µ0σµ

> tn−1,1−α

gilt, bzw. falls der p-Wert < α ist.I µ: Schatzer fur µ; σµ: Schatzer fur den Standardfehler vonµ

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Vertauschen der Hypothesen

1.7 Einstichproben t-Test fur linksseitige Hypothesen

I Hypothesen: H0 : µ ≥ µ0 ; H1 : µ < µ0 (linksseitigeHypothese)



T =µ− µ0σµ

< −tn−1,1−α = tn−1,α

gilt, bzw. falls der p-Wert < α ist.I µ: Schatzer fur µ; σµ: Schatzer fur den Standardfehler vonµ

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Tests fur zweiseitige Hypothesen

1.8 Einstichproben t-Test fur zweiseitige Hypothesen

I Hypothesen: H0 : µ = µ0 ; H1 : µ 6= µ0 (zweiseitigeHypothese)



|T | = | µ− µ0σµ

| > tn−1,1−α/2

gilt, bzw. falls der p-Wert kleiner als α ist.I µ: Schatzer fur µ; σµ: Schatzer fur den Standardfehler vonµ

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Die Verteilung von T , falls µ = 100 ist.

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

α = 2,5 % α = 2,5 %

p– Wert p– Wert


t 9, 0.975 = 2.262 T n = 2.436 t 9, 0.025 = -2.262 -T n = -2.436

I Blaue Flache: Niveau α; Rote Flache: p-Wert(Wahrscheinlichkeit einen Wert zu beobachten, dessen Betraggroßer als 2.436 ist P(|T | > 2.436) = 0.038

I Beachte: Ist der p-Wert < α (wie in diesem Beispiel), dann wirdH0 abgelehnt!

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SPSS-Output bei Anwendung des t-Tests auf dieDaten aus Beispiel 1.1 (Intelligenzquotient)

MittlereDifferenzSig. (2-seitig)dfT ObereUntere


Testwert = 100

Intelligenzquotient 7,181,024,100,03892,436

Test bei einer Sichprobe

Beachte:

I SPSS liefert nur den p-Wert fur den zweiseitigen t-Test ausBeispiel 1.8!

I Den p-Wert fur den einseitigen Test erhalt man als0.038/2 = 0.019.

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Beispiel: t-Test fur den Vergleich von zwei

”verbundenen“ Stichproben

I Eine der wichtigsten Anwendungen der in 1.6, 1.7 und 1.8vorgestellten Verfahren besteht in dem Vergleich von

”verbundenen“ Stichproben (vorher - nachher Untersuchungen)I Beispiel: Untersuchung der Einstellungen von 9 Jungen

gegenuber neutralen Personen vor und nach einemFrustrationserlebnis (Sundenbockfunktion).

VPn 1 2 3 4 5 6 7 8 9Einstell- vorher 38 32 33 28 29 37 35 35 34ung nachher 33 28 34 26 27 31 32 36 30

∆ -5 -4 1 -2 -2 -6 -3 1 -4

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Prinzip: ”Differenzenbildung“I Prinzip:

I Falls kein Unterschied zwischen den Einstellungen vor und nachdem Frustrationserlebnis besteht sollten die Differenzen (nachher- vorher) ”klein“ sein.

I Durch Differenzenbildung (nachher - vorher) erhalt man die

”Daten“ ∆1, . . . ,∆9I Rechtfertigung der Voraussetzungen fur den t-Test aus 1.8 fur

diese ”Daten“.I Wende den t-Test fur eine Stichprobe auf die ”Daten“

∆1, . . . ,∆9 an und teste die Hypothesen

H0 : µ = 0, H1 : µ 6= 0

I Wegen

|T | =

∣∣∣∣−2.6670.816

∣∣∣∣ = 3.27 > 2.31 = t8,0.975

besteht zum Niveau α = 0.05 ein signifikanter Unterschied.

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SPSS Output: t-Test fur gepaarte Stichproben

Standardfehlerdes Mittelwertes

Standard-abweichungNMittelwert

vorher

nachher

Paaren 1

1,1153,346930,78

1,1193,358933,44

Statistik bei gepaarten Stichproben

SignifikanzKorrelationN

vorher & nachherPaaren 1 ,025,7339

Korrelationen bei gepaarten Stichproben

Standardfehlerdes Mittelwertes

Standard-abweichungMittelwert ObereUntere

95%Konfidenzintervall

der Differenz

Gepaarte Differenzen

vorher - nachherPaaren 1 4,550,784,8162,4492,667

Test bei gepaarten Stichproben

Sig.(2-seitig)dfT

vorher - nachherPaaren 1 ,01183,266

Test bei gepaarten Stichproben

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1.9 Bemerkungen (zu den statistischen Verfahren1.2, 1.4, 1.6, 1.7, 1.8)

I Mathematische Statistik⇒ unter der Normalverteilungsannahmesind alle hier vorgestellten Verfahren optimal

I Die Normalverteilungsannahme kann (und sollte) manrechtfertigen. Mogliche Verfahren sind:

I statistische Tests fur die Hypothese

H0 : Y1, . . . ,Yn normalverteilt

In SPSS ublich sind- Kolmogorov-Smirnov-Test- Shapiro-Wilk Test

I Explorative Verfahren. In SPSS ublich: QQ-Plot

I Besteht die Normalverteilungsannahme diese Uberprufung nicht,so sind z. B. nichtparametrische Verfahren anzuwenden.

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SPSS Output: QQ-Plot fur die Daten ausBeispiel 1.1

Beobachteter Wert

11511010510095

Erw

arte

ter

Wer

t vo

n N

orm

al

115

110

105

100

95

Q-Q-Diagramm von Normal von Intelligenzquotient

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Der QQ-PlotI Unter der Modellannahme gilt: die Großen Yi sind normalverteilt

mit Erwartungswert µ und Varianz σ2

I Der QQ-Plot vergleicht grafisch die empirischen Quantile der”Daten“ y1, . . . , yn mit den Quantilen der Normalverteilung mitErwartungswert µ und Varianz σ2.(1) 1/n-Quantil der Stichprobe y1, . . . yn =⇒ kleinste der

Beobachtungen y(1) (in Beispiel 1.1 ist y(1) = 97)(1− 1/2)/n-Quantil der Normalverteilung mit Erwartungswert µund Varianz σ2 =⇒ (im Beispiel 1.1 istz(1) = 104.1− 1.64 · 5.32 = 95.37)

(2) 2/n-Quantil der Stichprobe y1, . . . , yn =⇒ zweitkleinste derBeobachtungen y(2) (in Beispiel 1.1 ist y(2) = 98)(2− 1/2)/n-Quantil der Normalverteilung mit Erwartungswert µund Varianz σ2 =⇒ (in Beispiel 1.1 istz(2) = 104.1− 1.04 · 5.32 = 98.57)

(3) usw.I Der QQ-Plot ist das Streudiagramm der Daten

(y(1), z(1)), . . . , (y(n), z(n))I In in vielen Fallen enthalt dieses Diagramm noch die

Winkelhalbierende des entsprechenden Quadranten.46 / 178








1.3 Zweistichprobenprobleme

47 / 178








1.10 Beispiel: Erkennen von Zahlenreihen

I Studierende der Fachrichtungen Mathematik (M) undPsychologie (P) machen einen Zahlengedachtnistest

I Wie viele Ziffern konnen sich maximal gemerkt werdenI Wiedergabe in Original und umgekehrter Reihenfolge

I Daten (P. Zofel: Statistik fur Psychologen)

M 14 14 15 12 13 19 17 13P 13 14 13 12 16 16 10 16M 14 17 15 13 16 13P

I Frage: Haben Studierende der Mathematik ein besseresZahlengedachtnis als Studierende der Psychologie?

48 / 178








Mathematisches Modell (n1 = 14, n2 = 8)

I Yij := µi + εij ; j = 1, . . . , ni ; i = 1, 2

Yij : Ergebnis der j-ten Versuchsperson in Gruppe i(Mathematik: i = 1, Psychologie i = 2)

µi : unbekannter Erwartungswert in der Population i(Mathematik: i = 1, Psychologie: i = 2)

εij : Messfehler, Tagesform ...

ni : Stichprobenumfang in Gruppe i

I Normalverteilungs- und UnabhangigkeitsannahmeI in jeder Gruppe (i = 1, 2) liegt eine Normalverteilung mit

Erwartungswert µi und Varianz σ2i vor

I in jeder Gruppe sind die Beobachtungen unabhangigI unabhangige Stichproben

49 / 178








SchatzerI Schatzer werden wie in 1.2 fur jede Gruppe durchgefuhrt

Mathematiker (i = 1): µ1 = y 1· = 1n1

∑n1j=1 y1j = 14.64

σ21 =

1n1 − 1

n1∑j=1

(y1j − y 1·)2 = 3.94⇒ σµ1 =

√σ2

1n1

= 0.53

Psychologen (i = 2): µ2 = y 2· = 1n2

n2∑j=1

y2j = 13.75

σ22 =

1n2 − 1

n2∑j=1

(y2j − y 2·)2 = 4.79⇒ σµ2 =

√σ2

2n2

= 0.77

I Auch Konfidenzbereiche werden gruppenweise bestimmtz. B. ist unter Normalverteilungsannahme(

µ1 − tn1−1,1−α2 σµ1 , µ1 + tn1−1,1−α2 σµ1

)ein 90% Konfidenzintervall fur µ1. Fur das spezielleDatenbeispiel ergibt sich [n1 = 14, α = 10%, t13,0.95 = 1.77 (ausTabelle)](13.70, 15.58) als 90% Konfidenzintervall fur µ1

50 / 178








SPSS-Output fur die Daten aus Beispiel 1.10

Schatzer fur die Parameter in den einzelnen Gruppen

VarianzMittelwertMathematik

Psychologie

Insgesamt 4,22714,32

4,78613,75

3,94014,64StudienfachStudienfach

Gemerkte Zahlen

Beachte:I SPSS liefert hier die Schatzer fur Erwartungswert und Varianz

der einzelnen GruppenI SPSS liefert außerdem Schatzer fur Erwartungswert und Varianz

der gesamten Stichprobe

51 / 178








Tests zum Vergleich der Erwartungswerte

I Nullhypothese: Zahlengedachtnis der Psychologiestudenten istnicht schlechter als das der Mathematikstudenten

H0 : µ1 ≤ µ2

I Alternative: Zahlengedachtnis der Mathematikstudenten istbesser als das der Psychologiestudenten

H1 : µ1 > µ2

I Rezept: Verwerfe die Nullhypothese H0 zu Gunsten derAlternative H1, falls die Differenz

y 1· − y 2·

der Schatzer fur die Erwartungswerte ”groß“ ist.

52 / 178








Rezept im Fall von Varianzhomogenitat, d. h.(σ2

1 = σ22)

I Verwerfe H0 zu Gunsten von H1, falls y 1· − y 2· ”groß“ ist.I Normiere diese Große mit einem Schatzer fur die Standardfehler

der Mittelwertdifferenz:I σµ1−µ2 =

√( 1

n1+ 1

n2)σ2

I σ2 = 1n1+n2−2{(n1 − 1)σ2

1 + (n2 − 1)σ22}: Schatzer fur Varianz

(die in beiden Gruppen dieselbe ist)I Entscheide fur die Alternative H1 : µ1 > µ2, falls

Tn1,n2 =y 1· − y 2·σµ1−µ2

> tn1+n2−2,1−α

gilt. Dabei ist tn1+n2−2,1−α das (1− α)-Quantil der t-Verteilungmit n1 + n2 − 2 Freiheitsgraden

I Im Beispiel ergibt sich fur einen Test zum Niveau α = 5%

σ2 = 4.24, t20,0.95 = 1.725 =⇒ T14,8 = 0.979

d. h. die Hypothese H0 kann nicht verworfen werden.53 / 178








Testverfahren fur die Erwartungswerte von zweiStichproben unter Normalverteilungsannahme

1.11(a) Einseitiger t-Test fur zwei unabhangige Stich-proben (rechtsseitige Hypothese)

I Dateny11, . . . , y1n1 (Gruppe 1; Erwartungswert µ1; Varianz σ2

1)y21, . . . , y2n2 (Gruppe 2; Erwartungswert µ2; Varianz σ2

2)I Rechtfertigung der Voraussetzungen

I Unabhangigkeit in und zwischen den GruppenI Normalverteilungsannahme (in beiden Gruppen)I Varianzhomogenitat, d. h. σ2

1 = σ22

I Die Hypothese H0 : µ1 ≤ µ2 wird zu Gunsten derAlternative H1 : µ1 > µ2 verworfen, falls

Tn1,n2 =y 1· − y 2·σµ1−µ2

> tn1+n2−2,1−α

gilt, bzw. der p-Wert < α ist. σµ1−µ2 =√

( 1n1

+ 1n2

)σ2 istder Schatzer fur den Standardfehler der Mittelwertdifferenz.

54 / 178








1.11(b) Einseitiger t-Test fur zwei unabhangige Stich-proben (linksseitige Hypothese)





1 = σ22

I Die Hypothese H0 : µ1 ≥ µ2 wird zu Gunsten derAlternative H1 : µ1 < µ2 verworfen, falls

Tn1,n2 =y 1· − y 2·σµ1−µ2

< −tn1+n2−2,1−α = tn1+n2−2,α


( 1n1

+ 1n2


55 / 178








1.11(c) t-Test fur zwei unabhangige Stichproben (zwei-seitige Hypothesen)





1 = σ22

I Die Nullhypothese H0 : µ1 = µ2 (kein Unterschied derErwartungswerte in beiden Gruppen) wird zu Gunsten derAlternative H1 : µ1 6= µ2 verworfen, falls

|Tn1,n2 | =|y 1· − y 2·|σµ1−µ2

> tn1+n2−2,1−α2


( 1n1

+ 1n2


56 / 178








Bemerkung zur Varianzhomogenitat

Ist die Annahme der Varianzhomogenitat

σ21 = σ2

2

nicht erfullt, so

I wird die vorgegebene Wahrscheinlichkeit fur einen α-Fehler nichteingehalten (der Test halt sein Niveau nicht)

I ist die Wahrscheinlichkeit fur einen β-Fehler großer

I von Interesse ist daher auch ein Test fur die Hypothesen

H0 : σ21 = σ2

2 H1 : σ21 6= σ2

2

und ein Verfahren, das ohne die Annahme derVarianzhomogenitat auskommt.

57 / 178








Rezept (fur Test auf Varianzhomogenitat)I Die Nullhypothese H0 : σ2

1 = σ22 gilt genau dann, wenn

F =σ2

1σ2

2= 1

I Schatze den Quotienten der beiden Varianzen, durch

Fn1−1,n2−1 =σ2

1σ2

2=

1n1−1

∑n1j=1(y1j − y 1·)

2

1n2−1

∑n2j=1(y2j − y 2·)

2

I Die Nullhypothese H0 wird zu Gunsten der AlternativeH1 : σ2

1 6= σ22 verworfen, falls

Fn1−1,n2−1 > c2 oder Fn1−1,n2−1 < c1

giltI Die kritischen Werte c1 und c2 werden so festgelegt, dass die

Wahrscheinlichkeit fur einen Fehler erster Art maximal α ist!

58 / 178








1.12 F -Max-Test fur den Vergleich von zwei Stichpro-benvarianzen

I TeststatistikFn1−1,n2−1 =

σ21σ2

I Die NullhypotheseH0 : σ2

1 = σ22

(die Varianzen sind gleich) wird zu Gunsten der Alternative

H1 : σ21 6= σ2

2

verworfen, falls mindestens eine der Ungleichungen

Fn1−1,n2−1 < Fn1−1,n2−1,α2

Fn1−1,n2−1 > Fn1−1,n2−1,1−α2

erfullt istI Fn1−1,n2−1,β bezeichnet das β-Quantil der F -Verteilung mit

(n1 − 1, n2 − 1) Freiheitsgraden

59 / 178








Verschiedene F -Verteilungen

0 1 2 3 4 5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

F F F F

Dichten der F– Verteilung mit verschiedenen Freiheitsgraden

2, 10

4, 4

10, 1

20, 20

fm,n(x) =Γ( m+n

2 )

Γ( m2 )Γ( n

2 )

(m2

)m2 x m

2 −1

(1 + mn x)

m+n2

(x ≥ 0)

60 / 178








Das Quantil der F -Verteilung mit (n1, n2)Freiheitsgraden

0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Dichte der F4, 4 -Verteilung

F 4, 4; 0.9 = 4.107

0.9

P(F4,4,≤ F4,4,0.9) =

∫ F4,4,0.9

−∞fm,n(x) dx = 0.90

61 / 178








Der F -Test auf Varianzhomogenitat fur dieDaten aus Beispiel 1.10 (n1 = 14, n2 = 8)

I σ21 = 3.94 σ2

2 = 4.79 ⇒ F13,7 = 0.823

I Fur das Niveau α = 10% erhalt man

F13,7,0.05 = 0.3531 F13,7,0.95 = 3.5503

und damit kann die Nullhypothese zum Niveau 10% nichtverworfen werden

I Beachte: Oft wird der Test 1.12 verwendet, um dieVoraussetzungen fur den t-Test zu uberprufen

I In diesem Fall wahlt man oft ein großeres Niveau (→ kleinereWahrscheinlichkeit fur β-Fehler)

I Der Gesamttest (erst F -Test, falls H0 nicht verworfen wird, dannt-Test) hat nicht das Niveau α.

I Was macht man, falls F -Test H0 verwirft?

62 / 178








1.13(a) t-Test fur zwei unabhangige Stichproben mitnicht notwendig gleichen Varianzen (Welch-Test)




I Unabhangigkeit in und zwischen den GruppenI Normalverteilungsannahme (in beiden Gruppen)

I Varianzen in den Gruppen sind nicht notwendig gleichI Teststatistik

T Wn1,n2

=y 1· − y 2·

τ

I Dabei ist

τ =√τ 2 =

√σ2

1n1

+σ2

2n2

die Schatzung fur den Standardfehler von y 1· − y 2·

63 / 178








1.13(b) t-Test fur zwei unabhangige Stichproben mitnicht notwendig gleichen Varianzen (Welch-Test)

I Die NullhypotheseH0 : µ1 ≤ µ2

(Erwartungswert der ersten Population nicht großer als derder Zweiten) wird zu Gunsten der Alternative

H1 : µ1 > µ2

fallsT W

n1,n2> tf ,1−α

gilt, bzw. der p-Wert < α ist. Dabei bezeichnet

f =(σ2µ1

+ σ2µ2

)2

σ4µ1

n1−1 +σ4µ2

n2−1

die geschatzten Freiheitsgrade der t-Verteilung.

64 / 178








1.13(c) t-Test fur zwei unabhangige Stichproben mitnicht notwendig gleichen Varianzen (Welch-Test)

I Die NullhypotheseH0 : µ1 ≥ µ2

(Erwartungswert der ersten Population nicht kleiner als derder Zweiten) wird zu Gunsten der Alternative

H1 : µ1 < µ2

verworfen, falls

T Wn1,n2

< tf ,α = −tf ,1−α


f =(σ2µ1

+ σ2µ2

)2

σ4µ1

n1−1 +σ4µ2

n2−1


65 / 178








1.13(d) t-Test fur zwei unabhangige Stichproben mitnicht notwendig gleichen Varianzen (Welch-Test)

I Die NullhypotheseH0 : µ1 = µ2

(kein Unterschied der Erwartungswerte in beiden Gruppen)wird zu Gunsten der Alternative

H1 : µ1 6= µ2

(es besteht ein Unterschied) verworfen, falls

|T Wn1,n2| > tf ,1−α2


f =(σ2µ1

+ σ2µ2

)2

σ4µ1

n1−1 +σ4µ2

n2−1


66 / 178








Bemerkung: t-Test oder Welch-Test?

I Sind die Voraussetzungen fur den t-Test erfullt(Normalverteilung, Unabhangigkeit, Varianzhomogenitat),so ist dieses Verfahren optimal, d. h. dieser Test minimiert unterallen Tests zum Niveau α die Wahrscheinlichkeit fur einenβ-Fehler.

I Ist die Voraussetzungen der Varianzhomogenitat beim t-Testnicht erfullt, so wird die vorgegebene Wahrscheinlichkeit fureinen α-Fehler nicht eingehalten.

I Der Welch-Test ist eine ”Naherungslosung“, d. h. dieWahrscheinlichkeit fur einen α-Fehler ist ”nur“naherungsweise α.

I Der Welch-Test hat im Fall der Varianzhomogenitat eine großereWahrscheinlichkeit fur einen β-Fehler als der t-Test.

67 / 178








SPSS-Output fur die Daten aus Beispiel 1.10

SignifikanzF Sig. (2-seitig)dfT

T-Test für die MittelwertgleichheitLevene-Test der Varianzgleichheit

Varianzen sind gleich

Varianzen sind nicht gleich

Gemerkte Zahlen

,35813,523,952

,33920,979,752,103

Test bei unabhängigen Stichproben

Standardfehlerder Differenz

MittlereDifferenz ObereUntere


T-Test für die Mittelwertgleichheit

Varianzen sind gleich

Varianzen sind nicht gleich

Gemerkte Zahlen

2,911-1,125,938,893

2,796-1,010,912,893

Test bei unabhängigen Stichproben

Beachte:I SPSS liefert nicht den in 1.12 dargestellten F -Max Test auf

Varianzhomogenitat sondern ein ”robustes“ Verfahren (Levene-Test)I SPSS liefert nur einen p-Wert fur den zweiseitigen t-Test aus Beispiel

1.11(c) bzw. zweiseitigen Welch-Test aus Beispiel 1.13(d)I SPSS liefert ein Konfidenzintervall fur die Differenz µ1 − µ2 =⇒ 95%

Konfidenzintervall fur die Differenz der Erwartungswerte (unter derAnnahme gleicher Varianzen)

(−1.01, 2.796)68 / 178








1.4 Einfaktorielle Varianzanalyse

69 / 178








1.14 Beispiel: Fortsetzung von Beispiel 1.10

I An dem Zahlengedachtnistest (vgl. Beispiel 1.10) nehmen auchnoch 7 Studierende der Geisteswissenschaften (G) teil.

M 14 14 15 12 13 19 17 13P 13 14 13 12 16 16 10 16G 11 13 13 10 13 12 13 -M 14 17 15 13 16 13 - -P - - - - - - - -G - - - - - - - -

I Frage: Existieren Unterschiede hinsichtlich desZahlengedachtnisses zwischen dem Studierenden derPsychologie, Mathematik und Geisteswissenschaften?

70 / 178








Mathematisches Modell (n1 = 14, n2 = 8, n3 = 7)I Yij := µi + εij ; j = 1, . . . , ni ; i = 1, 2, 3

Yij : Ergebnis der j-ten Versuchsperson in Gruppe i(Mathematik: i = 1, Psychologie: i = 2,Geisteswissenschaften: i = 3)

µi : unbekannter Erwartungswert in der Population i(Mathematik: i = 1, Psychologie: i = 2,Geisteswissenschaften: i = 3)

εij : Storgroßen (Erwartungswert 0 und Varianz σ2)

I Normalverteilungs und UnabhangigkeitsannahmeI in jeder Gruppe (i = 1, 2, 3) liegt eine Normalverteilung mit

Erwartungswert µi vorI in jeder Gruppe sind die Beobachtungen unabhangigI unabhangige Stichproben

I NullhypotheseH0 : µ1 = µ2 = µ3

71 / 178








Schatzer und KonfidenzbereicheI Schatzer fur Erwartungswert und Varianz werden in den

einzelnen Gruppen durchgefuhrt

I Beispiel:y i· σ2

i σµi niMathematik (i = 1) 14.64 3.94 0.53 14Psychologie (i = 2) 13.75 4.79 0.60 8Geisteswissenschaften (i = 3) 12.14 1.48 0.46 7

I µ1 = 14.64 ist Schatzer fur den ”Erwartungswert derMathematiker“

I Beachte: t6,0.95 = 1.943, µ3 + σµ3 t6,0.95 = 13.03µ3 − σµ3 t6,0.95 = 11.25, also ist das Intervall

[11.25, 13.03]

ein 90% Konfidenzintervall fur den ”Erwartungswert derGeisteswissenschaftler“

72 / 178








SPSS Output

NStandardfehler

des MittelwertesVarianzMittelwertMathematik

Psychologie

Geisteswissenschaften

Insgesamt 29,3894,38413,79

7,4591,47612,14

8,7734,78613,75

14,5303,94014,64StudienfachStudienfach

Gemerkte Zahlen

73 / 178








Prinzip der VarianzanalyseI Ziel: Test fur die Hypothese ”es bestehen keine Unterschiede

zwischen den Gruppen“

H0 : µ1 = µ2 = µ3

I Idee: Bestimme die Streuung der Daten:I Mittelwert aus allen Daten:

y ·· =1n

3∑i=1

ni∑j=1

yij

wobei n = n1 + n2 + n3 = 29 die Gesamtzahl der Beobachtungenbezeichnet.

I Varianz (n = n1 + n2 + n3)

1n − 1

3∑i=1

ni∑j=1

(yij − y ··)2

und versuche Unterschiede in der Merkfahigkeit aufgrund derGruppenzugehorigkeit durch eine Zerlegung der Streuung bzgl.der Gruppen zu erklaren!

74 / 178








Prinzip der VarianzanalyseI Zerlegung der Summe der QuadrateI Haufig verwendete Abkurzungen: SS ≡ Sum of squares;

SAQ ≡ Summe der AbweichungsquadrateI Summe der Quadrate innerhalb der Gruppen (within groups)

SSR =

3∑i=1

ni∑j=1

(yij − y i·)2

und

y i· =1ni

ni∑j=1

yij

den Mittelwert aus den Beobachtungen der Grupe i bezeichnet.I Summe der Quadrate zwischen den Gruppen (between groups)

SSM =

3∑i=1

ni (y i· − y ··)2

75 / 178








Prinzip der Varianzanalyse

I Zerlege die Summe der Quadrate in eine durch das Modellerklarte Summe (Varianz zwischen den Gruppen) und eineSumme von Quadraten der nicht erklarten Varianz (Varianzinnerhalb der Gruppen)

SST =3∑

i=1

ni∑j=1

(yij − y ··)2

︸︷︷︸Gesamtvarianz (Total)

=3∑

i=1

ni∑j=1

(yij − y i·)2

︸︷︷︸Gesamtvarianz innerhalb der Gruppen

+k∑

i=1ni (y i· − y ··)2

︸︷︷︸Varianz zwischen den Gruppen

76 / 178








F -Test fur die Hypothese H0 : µ1 = µ2 = µ3(gleiche Erwartungswerte in den drei Gruppen)

I Vergleiche die Varianz zwischen den Gruppen mit der Varianzinnerhalb der Gruppen

F =1

3−1∑3

i=1 ni (y i· − y ··)2

129−3

∑3i=1∑ni

j=1(yij − y i·)2

Falls F ”groß“ ist, wird die Nullhypothese H0 abgelehnt.I Mathematische Statistik ⇒ Test zum Niveau α verwirft die

Nullhypothese H0, falls

F > F2,26,1−α

gilt (Vergleich mit dem (1− α)-Quantil der F -Verteilung mit (2,26) Freiheitsgraden), bzw. falls der zugehorige p-Wert des Testskleiner als α ist.

77 / 178








Beispiel 1.15 (Fortsetzung von Beispiel 1.14)I Frage: ”besteht ein Unterschied zwischen den Studierenden der

Facher Psychologie, Mathematik und Geisteswissenschaftenbzgl. des Zahlengedachtnisses“Genauer: Besteht ein Unterschied zwischen denErwartungswerten der drei Gruppen: H0 : µ1 = µ2 = µ3

I n1 = 14, n2 = 8, n3 = 7; α = 5% F2,26,0.95 = 3.37

F =SSM/2SSR/26 =

14.63.6 = 4.06 > 3.37

I D. h. die Hypothese: H0 : µ1 = µ2 = µ3 wird zum Niveau 5%abgelehnt.

I In anderen Worten: zwischen den Studierenden derverschiedenen Facher besteht ein Unterschied

I Beachte: In vielen Fallen ist man an der Frage interessiert,zwischen welchen Gruppen ein Unterschied besteht. Diese Fragebeantwortet der F -Test nicht!

78 / 178








F -Verteilung

0 1 2 3 4 5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Dic

hte

F == 4.06

0 1 2 3 4 5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Dic

hte

Dichte der F2,26 −− Verteilung

F2,26,0.95 == 3.37

0 1 2 3 4 5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Dic

hte

79 / 178








F -Verteilung

2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

0.00

0.05

0.10

0.15

x

Dic

hte

F2,26,0.95 == 3.37 F == 4.06

Dichte der F2,26 −− Verteilung ((Zoom))

αα == 5%

p−Wert

2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

0.00

0.05

0.10

0.15

x

Dic

hte

I Blaue Flache: Niveau des TestsI Rote Flache: p-Wert (Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert großer

als F = 4.06 beobachtet wird)

80 / 178








Varianzanalysetabelle (k bezeichnet die Anzahlder Gruppen)

Variabilitat Sum of Squares df SS/df F

zwischen SSM k − 1 SSM/(k − 1) SSMk−1 /

SSRn−k

innerhalb SSR n − k SSR/(n − k)gesamt SST n − 1 SST/(n − 1)

Beispiel (Zahlengedachtnis)

Variabilitat Sum of Squares df SS/df Fzwischen 29.2 2 14.6 4.06innerhalb 93.6 26 3.6gesamt 122.8 28

81 / 178








SPSS Output

SignifikanzFMittel der QuadratedfQuadratsumme

Zwischen den Gruppen

Innerhalb der Gruppen

Gesamt 28122,759

3,5992693,571

,0294,05514,594229,187

Gemerkte Zahlen

82 / 178








Beispiel 1.16 (Fortsetzung von Beispiel 1.15)I Bei signifikantem Ergebnis der Varianzanalyse (d. h. die

Hypothese gleicher Erwartungswerte wird abgelehnt) stellt sichdie Frage:

”Welche Gruppe ist maßgeblich fur die Signifikanzverantwortlich?“

I Losungsvorschlag: paarweise Vergleiche!Gruppe 1 - Gruppe 2; H12 : µ1 = µ2Gruppe 1 - Gruppe 3; H13 : µ1 = µ3Gruppe 2 - Gruppe 3; H23 : µ2 = µ3

I Jeder Vergleich wird mit dem Zwei-Stichproben-t-Test (vgl.1.11(b)) durchgefuhrt.

I Dabei ist zu beachten, dass das Gesamtverfahren: Verwerfe dieHypothese H0 : µ1 = µ2 = µ3, falls mindestens ein Paarvergleichsignifikant ist das Niveau α einhalt.

I Die t-Tests fur die paarweisen Vergleiche sind mit Niveau α/3durchzufuhren. Man dividiert durch 3, da 3 paarweise Vergleichedurchgefuhrt werden (Bonferroni-Methode)

83 / 178








Paarweise Vergleiche mit Zwei-Stichprobent-Tests (α = 5%):

I Test-Statistik fur den Vergleich von Gruppe i mit Gruppe j :

Ti,j =|Yi· − Yj·|

σij

σ2ij =

( 1ni

+1nj

)( 1ni + nj − 2{(ni − 1)σ2

i + (nj − 1)σ2j })

i j Ti,j ni nj tni+nj−2,1−α′/2 p-Wert signifikant1 2 0.98 14 8 2.61 0.339 nein1 3 3.04 14 7 2.62 0.007 ja2 3 1.72 8 7 2.74 0.109 nein

Beachte: Die paarweisen Vergleiche werden zum Niveau α/3 =

5%/3 = 0.0167 durchgefuhrt ( 3 Vergleiche).I Mit dieser Methode kann man zum Niveau 5% einen

signifikanten Unterschied zwischen den Gruppen feststellen.I Bonferroni-Methode ist konservativ (d. h. das wirkliche Niveau

des Verfahrens wird unterschatzt).I Ist die Anzahl der Paarvergleiche groß, so ist dieses Verfahren

nicht zu empfehlen.84 / 178








Post-Hoc-Test ”Bonferroni“ in SPSSI Verwendet andere Schatzung fur den Standardfehler der

Differenz der Mittelwerte aus Gruppe i und j :

σ2ij =

(1ni

+1nj

)(1

n − 3

3∑k=1

(nk − 1)σ2k

)

I An Stelle der Quantile der t-Verteilung mit ni + nj − 2Freiheitsgraden mussen dann die Quantile der t-Verteilung mitn − 3 Freiheitsgraden verwendet werden (n = n1 + n2 + n3)

I Das Niveau fur die Paarvergleiche muss dann wieder durch dieAnzahl der Vergleiche dividiert werden (im Beispiel α/3)

I Adjustierung der p-Werte erfolgt durch Multiplikation derp-Werte aus den Paarvergleichen mit der Anzahl der Vergleiche.Z. B.

0.894 = 3 · P(|T12| > 0.893/0.841)

Dabei berechnet sich die Wahrscheinlichkeit mit einert-Verteilung mit 26 = 29− 3 Freiheitsgraden.

85 / 178








SPSS Output paarweise Vergleiche mit derBonferroni-Methode

SignifikanzStandardfehlerMittlere

Differenz (I-J) ObergrenzeUntergrenze

95%-Konfidenzintervall

Psychologie


Mathematik


Mathematik

Psychologie

Mathematik

Psychologie


,91-4,12,341,982-1,607

-,25-4,75,026,878-2,500*

4,12-,91,341,9821,607

1,26-3,04,894,841-,893

4,75,25,026,8782,500*

3,04-1,26,894,841,893(I) Studienfach (J) Studienfach(I) Studienfach (J) Studienfach

Mehrfachvergleiche

Gemerkte ZahlenBonferroni

*. Die Differenz der Mittelwerte ist auf dem Niveau 0.05 signifikant.

86 / 178








Scheffe-Methode (α = 5%)

I Fur den Vergleich der Gruppe i mit j betrachte:

ds(i , j) =

√3− 1

29− 3 SSR · F2,26,0.95(1ni

+1nj

)

=

√2

26 · 93.6 · 3.37(1ni

+1nj

) = 4.93√

1ni

+1nj

und vergleiche diese Große mit Mittelwertdifferenz y i· − y j·I Ergebnis

i j y i· − y j· ds(i , j) Ergebnis1 2 0.89 2.18 kein sign. Unterschied1 3 2.5 2.28 y 1· sign. großer als y ·32 3 1.61 2.55 kein sign. Unterschied

87 / 178








Einige Bemerkungen zur Scheffe-Methode:

I Die Scheffe-Methode garantiert, dass die Wahrscheinlichkeiteines α-Fehlers fur jeden beliebigen a-posteriori durchgefuhrtenEinzelvergleichstests nicht großer ist als der α-Fehler desF -Tests

I Kurz: Die Signifikanzaussagen gelten simultan fur ALLEPaarvergleiche mit dem Gesamtniveau α

I Die Scheffe-Methode ist ein konservatives Verfahren

I Die Wahrscheinlichkeit eines α-Fehlers ist eher kleiner als dasvorgegebene Niveau

I Man entscheidet tendenziell eher zu oft fur H0

88 / 178








SPSS Output paarweise Vergleiche mit derScheffe-Methode

SignifikanzStandardfehlerMittlere

Differenz (I-J) ObergrenzeUntergrenze

95%-Konfidenzintervall

Psychologie


Mathematik


Mathematik

Psychologie

Mathematik

Psychologie


,94-4,16,279,982-1,607

-,22-4,78,029,878-2,500*

4,16-,94,279,9821,607

1,29-3,08,576,841-,893

4,78,22,029,8782,500*

3,08-1,29,576,841,893(I) Studienfach (J) Studienfach(I) Studienfach (J) Studienfach

Mehrfachvergleiche

Gemerkte ZahlenScheffé-Prozedur

*. Die Differenz der Mittelwerte ist auf dem Niveau 0.05 signifikant.

89 / 178








1.17 Einfaktorielle Varianzanalyse (zum Vergleichvon k unabhangigen Stichproben)

Modellannahmen und HypotheseI Daten (n =

∑ki=1 ni )

y11, . . . , y1n1 (Gruppe 1, Erwartungswert µ1; Varianz σ21)

......

...yk1, . . . , yknk (Gruppe k, Erwartungswert µk ; Varianz σ2

k)

I Nullhypothese: es besteht kein Unterschied zwischen denErwartungswerten der einzelnen Gruppen:

H0 : µ1 = µ2 = . . . = µk

I Rechtfertigung der VoraussetzungenI Unabhangigkeit zwischen den GruppenI Unabhangigkeit innerhalb der GruppenI NormalverteilungsannahmeI Varianzhomogenitat: σ2

1 = σ22 = . . . = σ2

k 90 / 178








F-Test fur die einfaktorielle Varianzanalyse (zum Ver-gleich von k unabhangigen Stichproben)

I Die Hypothese H0 : µ1 = µ2 = . . . = µk gleicherErwartungswert in allen Gruppen wird verworfen, falls

F =1

k−1 SSM1

n−k SSR> Fk−1,n−k,1−α

Dabei ist:

SSM =k∑

i=1ni (y i· − y ··)2

(sum of squares between groups)

SSR =k∑

i=1

ni∑j=1

(yij − y i·)2

(sum of squares within groups) und Fk−1,n−k,1−α das(1− α)-Quantil der F -Verteilung mit (k − 1, n − k)Freiheitsgraden

91 / 178








1.18 Paarweise Vergleich mit der Scheffe-Methode (No-tation wie in 1.15)

I Wird die Nullhypothese H0 : µ1 = µ2 = . . . = µk abgelehnt,so kann mit der Scheffe-Methode festgestellt werden

”welche Gruppen fur die Signifikanz verantwortlich sind“!I dazu bestimmt man die Großen (n =

∑ki=1 ni )

ds(i , j) =

√k − 1n − k SSR · Fk−1,n−k,1−α(

1ni

+1nj

)

Ist y i· − y j· großer (bzw. kleiner) als ds(i , j) (bzw. als−ds(i , j)) so ist y i· signifikant großer (bzw. kleiner) als y j·

I Beachte:I insgesamt k(k−1)

2 VergleicheI die Scheffe-Methode halt simultan das Niveau αI es ist moglich, das F -Test H0 ablehnt, aber keiner der

paarweisen Vergleiche signifikant ist!

I Andere Verfahren (z. B. in SPSS implementiert):Tukey-Methode, Duncan Test

92 / 178








1.19 Levene-Test auf Varianzhomogenitat von kunabhangigen Stichproben

Modellannahmen und HypotheseI Daten (n =

∑ki=1 ni )

y11, . . . , y1n1 (Gruppe 1, Erwartungswert µ1; Varianz σ21)

......

...yk1, . . . , yknk (Gruppe k, Erwartungswert µk ; Varianz σ2

k)

I Nullhypothese: es liegt Varianzhomogenitat vor, d. h.

H0 : σ21 = σ2

2 = . . . = σ2k

I Rechtfertigung der VoraussetzungenI Unabhangigkeit zwischen den GruppenI Unabhangigkeit innerhalb der GruppenI Normalverteilungsannahme

93 / 178








Levene-Test auf Varianzhomogenitat von k un-abhangigen Stichproben

I Die Hypothese der Varianzhomogenitat

H0 : σ21 = σ2

2 = . . . = σ2k

wird verworfen, falls

F =1

k−1∑k

i=1 ni (x i· − x ··)2

1n−k

∑ki=1∑ni

j=1(xij − x i·)2> Fk−1,n−k,1−α

Dabei ist:I n = n1 + . . .+ nk der GesamtstichprobenumfangI x i· = 1

ni

∑nij=1 xij , x ·· = 1

n∑k

i=1

∑nij=1 xij

I xij = |yij − y i·|I Fk−1,n−k,1−α das (1− α)-Quantil der F -Verteilung mit

(k − 1, n − k) Freiheitsgraden.I Beachte:

I Der Test ist robust bzgl. der Normalverteilungsannahme.I Der Test halt ”nur“ naherungsweise das Niveau α.I Alternativer Test: Bartlett Test

94 / 178








SPSS Output

Signifikanzdf2df1Levene-Statistik

,3132621,214

Test der Homogenität der Varianzen

Gemerkte Zahlen


Zwischen den Gruppen

Innerhalb der Gruppen

Gesamt 28122,759

3,5992693,571

,0294,05514,594229,187

ONEWAY ANOVA

Gemerkte Zahlen

95 / 178




2. Korrelation, LineareRegression undmultiple Regression2.1 Korrelation

2.2 Lineare Regression

2.3 Multiple lineareRegression

2. Korrelation, Lineare Regression und multipleRegression

2.1 Korrelation


2.3 Multiple Regression

2.4 Multikollinearitat und Suppressionseffekte

2.5 Variablenselektion

2.6 Nichtlineare Zusammenhange

2.7 Partielle und Semipartielle Korrelation

96 / 178






2.3 Multiple lineareRegression2.1 Korrelation

97 / 178







2.1 Beispiel: Arbeitsmotivation

I Untersuchung zur Motivation am Arbeitsplatz in einemChemie-Konzern

I 25 Personen werden zufallig ausgewahlt und verschiedeneVariablen gemessen.

I y : Motivation (Einschatzung durch Experten)x : Leistungsstreben (Fragebogen)

I Frage: Besteht ein Zusammenhang zwischen der Variablen

”Motivation“ und der Variablen ”Leistungsstreben“

I Beachte: Es werden auch noch weitere Variablen gemessen(Ehrgeiz, Kreativitat, Hierarchie, Lohn, Arbeitsbedingungen,Lernpotential, Vielfalt, Anspruch)

98 / 178







Daten

x 20 30 15 39 5 6 12 0 35y 32 14 12 27 20 13 17 8 22x 8 34 26 32 26 12 36 27 26y 19 25 23 17 22 19 27 26 20x 13 19 25 30 18 21 11y 11 24 19 19 22 24 17

99 / 178







2.2 Der Korrelationskoeffizient von PearsonI Daten (x1, y1), . . . , (xn, yn)

I Maß fur die (lineare) Abhangigkeit zwischen x und y :Korrelationskoeffizient von Pearson

r = rX ,Y =s2x ,y

sx ,x sy ,y=

∑ni=1(xi − x ·)(yi − y ·)√∑n

i=1(xi − x ·)2∑ni=1(yi − y ·)2

I Dabei ist:I x · = 1

n∑n

i=1 xi : Mittelwert der Daten xi

I y · = 1n∑n

i=1 yi : Mittelwert der Daten yi

I s2x,x = 1

n∑n

i=1(xi − x ·)2 : Varianz der Daten xi

I s2y,y = 1

n∑n

i=1(yi − y ·)2 : Varianz der Daten yi

I s2x,y = 1

n∑n

i=1(xi − x ·)(yi − y ·) : Kovarianz zwischen denDaten xi , yi

100 / 178







2.3 Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten(1) −1 ≤ r ≤ 1

(2) r = 1 genau dann, wenn ein exakter linearer Zusammenhang

yi = b0 + b1xi

mit b1 > 0 besteht (ohne Storgroßen).

(3) r = −1 genau dann, wenn ein exakter linearer Zusammenhang

yi = b0 + b1xi

mit b1 < 0 besteht (ohne Storgroßen).

(4) Der Korrelationskoeffizient ist invariant bzgl. linearerTransformationen, d. h.

xi = a0 + a1xi i = 1, . . . , nyi = c0 + c1yi i = 1, . . . , n

}⇒ rX ,Y = rX ,Y

(5) Der Korrelationskoeffizient von Pearson ist ein deskriptives Maßfur den linearen Zusammenhang in der Stichprobe(x1, y1), . . . , (xn, yn)

101 / 178







2.4 Beispiel: Korrelationskoeffizient fur die Datenaus Beispiel 2.1

I Variablenx : Leistungsstrebeny : Motivation

I Korrelationskoeffizient von Pearson

r = 0.5592

I Fragen:I Wie genau ist diese Schatzung?I Ist die Korrelation von 0 verschieden (Unkorreliertheit zwischen

den Merkmalen Leistungsstreben und Motivation)?

102 / 178







2.5 Signifikanztest fur KorrelationI (x1, y1), . . . , (xn, yn) ist eine Stichprobe (unabhangige

Beobachtungen) aus einer (bivariat) normalverteiltenGrundgesamtheit

I ρ bezeichne die Korrelation des Merkmals X mit demMerkmal Y einer Population; funfter Modellparameterneben µx , µy , σ

2x und σ2

y .I Ein Test zum Niveau α fur die Hypothese ”die Merkmale

sind unkorreliert“H0 : ρ = 0

lehnt die Nullhypothese zu Gunsten der AlternativeH1 : ρ 6= 0 ab, falls∣∣∣∣√n − 2r√

1− r 2

∣∣∣∣ > tn−2,1−α2

gilt.

103 / 178







2.6(a) Beispiel: Arbeitsmotivation (Fortsetzungvon Beispiel 2.1)

I n = 25; r = 0.5592; t23,0.975 = 2.0687

I ∣∣∣∣√n − 2 r√1− r 2

∣∣∣∣ = 3.2355 > 2.0687

I Die Nullhypothese H0 : ρ = 0 (keine Korrelation zwischen denMerkmalen) wird zum Niveau 5% verworfen.

I p-Wert: 0.0037

104 / 178







SPSS Output fur Korrelationskoeffizient

LeistungsstrebenMotivationKorrelation nach Pearson

Signifikanz (2-seitig)

N

Korrelation nach Pearson

Signifikanz (2-seitig)

N

Motivation

Leistungsstreben

2525

,004

1,000,559**

2525

,004

,559**

1,000

Korrelationen

**. Die Korrelation ist auf dem Niveau von 0,01 (2-seitig) signifikant.

105 / 178







2.7 Konfidenzintervall fur KorrelationI ρ: Korrelation zwischen Merkmal x und Merkmal y einer

PopulationI (x1, y1), . . . , (xn, yn): Stichprobe (unabhangige

Beobachtungen) aus einer (bivariat) normalverteiltenGrundgesamtheit

I Mathematische Statistik: r ist ”naherungsweise“ (d. h. beigroßem Stichprobenumfang) normalverteilt mitErwartungswert ρ und Varianz

γ2 = Var(r) ≈ (1− ρ2)2

nI (1− α)-Konfidenzintervall fur den Korrelationskoeffizienten(

r − γz1−α2 , r + γz1−α2)

Hier bezeichnet γ = (1−r2)√n einen Schatzer fur die

Standardabweichung von r und z1−α2 das (1− α2 ) Quantil

der Standardnormalverteilung (Tabelle, Software)106 / 178







2.6(b) Beispiel: Arbeitsmotivation (Fortsetzungvon Beispiel 2.1)

I n = 25; r = 0.5592

I z0.95 = 1.6449, γ = 0.1328I ⇒ 90% Konfidenzintervall fur den Korrelationskoeffizient

[0.2739, 0.7541]

107 / 178







2.8 Hinweise zur Interpretation von KorrelationenI Annahme: Man hat eine signifikante Korrelation zwischen

den Variablen x und y gefundenI Folgende Interpretationen sind moglich

(1) x beeinflusst y kausal(2) y beeinflusst x kausal(3) x und y werden von weiteren Variablen kausal beeinflusst(4) x und y beeinflussen sich wechselseitig kausal

I Die Korrelation zwischen zwei Variablen ist einenotwendige aber keine hinreichende Voraussetzung fureinen kausalen Zusammenhang

I Der Korrelationskoeffizient gibt keine Information, welcheder vier Interpretationen zutrifft (in ”vielen“ Fallen wird dasder Typ (3) sein)

I Korrelationen sollten ohne Zusatzinformation nichtinterpretiert werden!

108 / 178







Beispiel

I Annahme: Man hat eine signifikante Korrelation zwischenden Merkmalen ”Ehrlichkeit“ und ”Haufigkeit“ desKirchgangs gefunden

I Folgende Interpretationen sind moglichI Die in der Kirche vermittelten Werte haben einen positiven

Einfluss auf das Merkmal ”Ehrlichkeit“.I

”Ehrliche“ Menschen fuhlen sich durch die in der Kirchevermittelten Inhalte eher angesprochen und gehen ausdiesem Grund haufiger zur Kirche.

I Die allgemeine familiare und außerfamiliare Sozialisationbeeinflusst beide Merkmale.

109 / 178






2.3 Multiple lineareRegression2.2 Lineare Regression

110 / 178







2.9 Beispiel: Fortsetzung von Beispiel 2.1

I Untersuchung zur Motivation am Arbeitsplatz in einemChemie-Konzern

I 25 Personen werden zufallig ausgewahlt und verschiedeneVariablen gemessen.

I y : Motivation (Einschatzung durch Experten) x :Leistungsstreben (Fragebogen)

I Kann man y aus x ”vorhersagen“?

111 / 178







Streudiagramm fur die Daten aus Beispiel 2.9

Leistungsstreben

403020100

Mo

tiva

tio

n

35

30

25

20

15

10

5

112 / 178







2.9 Beispiel: Fortsetzung von Beispiel 2.1I Untersuchung zur Motivation am Arbeitsplatz in einem

Chemie-KonzernI 25 Personen werden zufallig ausgewahlt und verschiedene

Variablen gemessen.I y : Motivation (Einschatzung durch Experten)

x : Leistungsstreben (Fragebogen)

I Frage: Besteht ein funktionaler Zusammenhang zwischen derVariablen ”Motivation“ und der Pradiktorvariablen

”Leistungsstreben“ (Kann man y aus x ”vorhersagen“?)Genauer: Gesucht ist Funktion f , die aus der Pradiktorvariablen

Leistungsstreben (x) eine Vorhersage fur die abhangige Variable(y) Motivation liefert:Motivation = f(Leistungsbereitschaft)

I Beachte: Es werden auch noch weitere Variablen gemessen(Ehrgeiz, Kreativitat, Hierarchie, Lohn, Arbeitsbedingungen,Lernpotential, Vielfalt, Anspruch)

113 / 178







RegressionI Ausgangslage: Von Interesse ist der Zusammenhang zwischen

verschiedenen Variablen. Im einfachsten Fall betrachtet man,wie im Beispiel der Arbeitsmotivation, den Zusammenhangzwischen zwei Variablen.

I Daten: (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)I Annahme: Es existiert ein kausaler Zusammenhang der Form

y = f (x) zwischen der abhangigen Variablen y und derPradiktorvariablen x .Weitere Annahme: Die Funktion f hat eine bestimmte Form.Beispiele:

I Lineare Regression (der Zusammenhang ist also durch eineGerade beschreibbar): y = b0 + b1x

I Quadratische Regression (der Zusammenhang ist also durcheine Parabel beschreibbar): y = b0 + b1x + b2x2

I usw.I Beachte: Der Zusammenhang ist in der Regel nicht exakt zu

beobachten. Mathematisches ModellY = b0 + b1x + ε

Dabei bezeichnet ε eine zufallige Storgroße. Diese Modellbezeichnet man als Lineare Regression. 114 / 178







2.10 Das Modell der linearen RegressionI Daten (x1, y1), . . . , (xn, yn)

I yi ist Realisation einer Zufallsvariablen Yi (unter derBedingung xi ). Fur den Zusammenhang zwischen denVariablen Yi und xi gilt:

Yi = b0 + b1xi + εi i = 1, . . . , n

I εi bezeichnet hier eine zufallige ”Storung“ und es wirdangenommen, dass die Storungen unabhangig undnormalverteilt sind mit Erwartungswert 0 und Varianzσ2 > 0

I Deutung: Es wird ein linearer Zusammenhang zwischen xund y postuliert, der noch zufalligen Storungen unterliegt.

115 / 178







Idee der Schatzung bei (linearer) Regression

I Daten (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)

I Annahme: Es existiert ein linearer Zusammenhang

Y = b0 + b1x + ε

I Gesucht: Diejenige Gerade, die den Zusammenhang zwischen Yund x am besten beschreibt.

I Idee: Bestimme die Gerade so, dass die Summe derquadratischen (vertikalen) Abstande zwischen deny -Koordinaten der Datenpunkte und den entsprechendenPunkten auf der geschatzten Geraden minimal wird Methode der kleinsten Quadrate

116 / 178







Beispiel: Verschiedene Geraden mit senkrechtenAbstanden zu den Daten

0 10 20 30 40

510

1520

2530

35

x

y

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●

●

●

y=0.2x+5

0 10 20 30 40

510

1520

2530

35

x

y

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●

●

●

y=0.5x+10

117 / 178







Beispiel: Verschiedene Geraden mit senkrechtenAbstanden zu den Daten: die Losung durch dieMethode der kleinsten Quadrate

0 10 20 30 40

510

1520

2530

35

x

y

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●

●

● y=0.292x+13.816

118 / 178







2.11 Die Methode der kleinsten QuadrateI Bestimme die Gerade so, dass die Summe der quadrierten

senkrechten Abstande zwischen Gerade und Daten minimalwird

I Datum an der Stelle xi : yiI Wert der Geraden an der Stelle xi : b0 + b1xiI Differenz: yi − (b0 + b1xi )

I Minimiereh(b0, b1) =

∑ni=1(yi − (b0 + b1xi )

)2

bzgl. der Wahl der Parameter b0 und b1.I Losung dieses Extremwertproblems liefert Schatzer fur

Achsenabschnitt und Steigung der Geraden:

b1 =

∑ni=1(xi − x ·)(yi − y ·)∑n

i=1(xi − x ·)2 , b0 = y · − b1x ·

I x · = 1n∑n

i=1 xi : Mittelwert der PradiktorvariablenI y · = 1

n∑n

i=1 yi : Mittelwert der abhangigen Variablen

119 / 178







Beispiel Arbeitsmotivation: Streudiagramm undRegressionsgerade fur die Daten aus Beispiel 2.1

Leistungsstreben

403020100

Mo

tiva

tio

n

35

30

25

20

15

10

5

R-Quadrat linear = 0,313

I Schatzer: b0 = 13.82, b1 = 0.29I Fragen:

I Wie genau sind diese Schatzungen?I Besteht ein (signifikanter) Einfluss des Leistungsstrebens auf die

MotivationH0 : b1 = 0

I Wie gut beschreibt das lineare Regressionsmodell die Situation?120 / 178







Die Genauigkeit der Schatzer fur die ParameterI Beachte: Vor der Datenerhebung sind b0 und b1 zufallig.I Mathematische Statistik (allgemeines lineares Modell) liefert

Schatzer fur die Varianzen von b0 und b1

Schatzer fur die Varianz von b0 : s2b0

=S2

y |x

n

∑ni=1 x2

i∑ni=1(xi − x ·)2

Schatzer fur die Varianz von b1 : s2b1

=S2

y |x

n1

1n∑n

i=1(xi − x ·)2

Dabei bezeichnet

S2y |x =

1n − 2

n∑i=1

(yi − (b0 + b1xi ))2.

die Residualvarianz (Schatzer fur die Varianz der Storgroßen)

I Je großer der Stichprobenumfang n, desto genauer sind dieSchatzungen!

121 / 178







Fortsetzung von Beispiel 2.1: Schatzer fur die Daten derArbeitsmotivation

I Schatzer fur die Parameter

b0 = 13.82b1 = 0.292

S2y |x = 22.737

I Schatzer fur die Varianz von b0 und b1

s2b0

= 4.5158s2b1

= 0.0081

I Standardfehler von b0 und b1

sb0 =√

4.5158 = 2.125sb1 =

√0.0081 = 0.09

122 / 178







SPSS Output: Schatzer undStandardabweichungen bei linearer Regression inBeispiel 2.1

StandardfehlerB Beta SignifikanzT

StandardisierteKoeffizientenNicht standardisierte Koeffizienten

(Konstante)

Leistungsstreben

1

,0043,235,559,090,292

,0006,5012,12513,816ModellModell

Koeffizientena

a. Abhängige Variable: Motivation

123 / 178







2.12 Konfidenzintervalle bei linearer RegressionI Modellannahme: lineare Regression

Yi = b0 + b1xi + εi (i = 1, . . . , n)

I Rechtfertigung der Normalverteilungs- undUnabhangigkeitsannahme fur ε1, . . . , εn

I Bestimmung der Schatzer s2b0

und s2b1

fur die Varianzen vonb0 und b1. Damit ist dann

=⇒ (b0 − tn−2,1−α2 sb0 , b0 + tn−2,1−α2 sb0 )

ein (1− α)-Konfidenzintervall fur b0 und

=⇒ (b1 − tn−2,1−α2 sb1 , b1 + tn−2,1−α2 sb1 )

ein (1− α)-Konfidenzintervall fur b1.I Hier ist tn−2,1−α2 das (1− α

2 )-Quantil der t-Verteilung mitn − 2 Freiheitsgraden (tabelliert oder mit Softwareverfugbar)

124 / 178







2.13 Beispiel: Konfidenzbereiche im Beispiel 2.1(Arbeitsmotivation)

I n = 25, t23,0.975 = 2.0687I Fur das Beispiel der Arbeitsmotivation (vgl. Beispiel 2.1) ergibt

sich als 95% Konfidenzintervall fur

b0 :[9.420, 18.212]

b1 :[0.105, 0.479]

I Frage: Besteht ein (signifikanter) Einfluss der Pradiktorvariablenx auf die abhangige Variable Y ?Mathematische Formulierung: H0 : b1 = 0

125 / 178







SPSS Output: Konfidenzintervalle bei linearerRegression in Beispiel 2.1

StandardfehlerB Beta SignifikanzT ObergrenzeUntergrenze

95%-Konfidenzintervall für BStandardisierte

KoeffizientenNicht standardisierte Koeffizienten

(Konstante)

Leistungsstreben

1

,479,105,0043,235,559,090,292

18,2129,420,0006,5012,12513,816ModellModell

Koeffizientena

a. Abhängige Variable: Motivation

126 / 178







2.14 F -Test fur die Hypothese H0 : b1 = 0I Modellannahme: lineare Regression

Yi = b0 + b1xi + εi (i = 1, . . . , n)

I Rechtfertigung der Normalverteilungs- undUnabhangigkeitsannahme fur ε1, . . . , εn

I HypothesenH0 : b1 = 0, H1 : b1 6== 0

I Die Nullhypothese H0 : b1 = 0 wird zu Gunsten derAlternative H1 : b1 6= 0 verworfen, falls

Fn =S2

reg

S2y |x

=11∑n

i=1(y · − (b0 + b1xi ))2

1n−2

∑ni=1(yi − (b0 + b1xi ))2

> F1;n−2,1−α

giltI F1;n−2,1−α bezeichnet das (1− α)-Quantil der F -Verteilung

mit (1, n − 2) Freiheitsgraden

127 / 178







Motivation des F -Tests: Zerlegung der Varianz

n∑i=1

(yi − y ·)2

︸︷︷︸Gesamtvarianz

=n∑

i=1(yi − (b0 + bxi ))2

︸︷︷︸Residualvarianz

+n∑

i=1(y · − (b0 + b1xi ))2

︸︷︷︸Varianz der Regression

I Bezeichnungen:

S2reg =

11

n∑i=1

(y · − (b0 + b1xi ))2

heißt Varianz der Regression (diese hat 1 Freiheitsgrad) und

S2y |x =

1n − 2

n∑i=1

(yi − (b0 + b1xi ))2.

ist die Residualvarianz (diese hat n − 2 Freiheitsgrade).I Andere Interpretationen:- Schatzung fur die Varianz der Großen εi- durch das lineare Regressionsmodell nicht erklarbare Varianz

128 / 178







Motivation des F -Tests: Zerlegung der Varianz

n∑i=1

(yi − y ·)2

︸︷︷︸Gesamtvarianz

=n∑

i=1(yi − (b0 + bxi ))2

︸︷︷︸Residualvarianz

+n∑

i=1(y · − (b0 + b1xi ))2

︸︷︷︸Varianz der Regression

= (n − 2) · S2y |x + ·S2

reg

Beachte:

I Bei dem F -Test fur die Hypothese H0 : b1 = 0 bildet man denQuotienten aus der Varianz der Regression und derResidualvarianz

I Man untersucht also das Verhaltnis zwischen erklarbarer undnicht erklarbarer Varianz.

129 / 178







2.15 Varianzanalyse (ANOVA; analysis of variance)

Art der Freiheits- Quadrat- F -QuotientAbweichung grade (df ) summe schatzer

Regression 1∑n

i=1(y · − yi )2 Fn = S2

reg/S2y |x

Fehler n − 2∑n

i=1(yi − yi )2 —

Total n − 1∑n

i=1(yi − y ·)2 —

Bezeichnung:

yi = b0 + b1xi Vorhersage an der Stelle xi

130 / 178







SPSS Output: F -Test bei linearer Regression inBeispiel 2.1


Regression

Residuen

Gesamt

1

24760,960

22,73723522,945

,004a

10,468238,0151238,015ModellModell

ANOVAb

a. Einflußvariablen : (Konstante), Leistungsstreben

b. Abhängige Variable: Motivation

Beachte:I F25 = 10.468, F1,23,0.95 = 4.2793I Da F25 = 10.468 > 4.2793 wird die Nullhypothese H0 : b1 = 0

zu Gunsten der Alternative H1 : b1 6= 0 zum Niveau 5%verworfen (p-Wert: 0.004)

131 / 178







Modellgute: ”wie geeignet“ ist das Modell fur dieBeschreibung der Daten

I Maß fur Modellanpassung: Residualvarianz (Summe derquadrierte Abstande von der Regressionsgerade):

S2y |x =

1n − 2

n∑i=1

(yi − (b0 + b1xi )

)2

I Beachte: S2y |x ist ein Schatzer fur die Varianz der Messfehler

I Je kleiner S2y |x , desto ”besser“ ist das (lineare)

RegressionsmodellI Streuung der Daten ohne die ”Information“, dass ein lineares

Modell vorliegt:n∑

i=1(yi − y·)2

I Man untersucht welchen Anteil der Streuung∑n

i=1(yi − y·)2

man durch das lineare Modell erklaren kann.

132 / 178







Varianzzerlegung: ein extremes Beispiel

0 5 10 15 20

10

20

30

40

Unabhängige Variable

Abh

ängi

ge V

aria

ble

0 5 10 15 20

10

20

30

40

xy

Beachte:I Die Grafik zeigt eine extreme Situation.I Die Streuung der Daten ist durch das lineare Regressionsmodell

zu 100% erklarbar!∑n

i=1(yi − y ·)2 =∑n

i=1(y · − (b0 + b1xi ))2

I Residualvarianz (durch das lineare Regressionsmodell nichterklarbare Varianz) = 0

133 / 178







2.16 Beispiel: Arbeitsmotivation (Fortsetzungvon Beispiel 2.1):

25∑i=1

(yi − y ·)2 = 760.96

25∑i=1

(y · − (b0 + b1xi ))2 = 238.04

R2 =

∑25i=1(y · − (b0 + b1xi ))2∑25

i=1(yi − y ·)2= 0.313

d. h. 31.3% der Varianz der Variablen Motivation konnen durch die

Pradiktorvariable Leistungsstreben erklart werden.

134 / 178







2.17 Modellgute: das Bestimmtheitsmaß

I Die Große

R2 = 1−∑n

i=1(yi − (b0 + b1xi ))2∑ni=1(yi − y ·)2 =

∑ni=1(y · − (b0 + b1xi ))2∑n

i=1(y · − yi )2

ist ein Maß fur die Gute der Regression und heißtBestimmtheitsmaß.

I Beachte: Man kann zeigen, dass R2 genau das Quadrat derKorrelation ist.

I Je ”besser“ das Modell ist, desto kleiner ist dieResidualvarianz, bzw. desto großer R2!

I Das Bestimmtheitsmaß R2 liegt immer zwischen 0 und 1

135 / 178







Zusammenhang zwischen Bestimmtheitsmaß undF -Test

I Ist Fn die Statistik fur den F -Test aus 2.14 und R2 dasBestimmtheitsmaß, dann gilt:

R2 =1

n−2 Fn

1 + 1n−2 Fn

I In anderen Worten: die Statistik Fn des F -Test aus 2.5 kann ausdem Bestimmtheitsmaß berechnet werden (und umgekehrt)

I Im Beispiel des Zusammenhangs zwischen Motivation undLeistungsstreben ist

Fn = 10.468 =⇒ R2 =10.468

231 + 10.468

23= 0.313

Ca. 31.3% der Variation der Variablen Motivation konnen durchdie Variable Leistungsstreben erklart werden.

136 / 178







Vorhersagen: es gibt zwei unterschiedliche

2.18 Vorhersage fur den Wert der Geraden an einerStelle x

I Schatzung fur den Wert der Geraden y(x) = b0 + b1x ander Stelle x :

y(x) = b0 + b1xI (1− α)-Konfidenzintervall fur y(x)

(y(x)− tn−2;α2 · sy(x), y(x) + tn−2;α2 · sy(x))

wobeis2y(x) = S2

y |x

(1n +

(x − x ·)2∑ni=1(xi − x ·)2

)den Schatzer fur die Varianz von Y (x) bezeichnet

137 / 178







Vorhersagen: es gibt zwei unterschiedliche

2.19 Vorhersage fur eine neue Beobachtung an einerStelle x

I Schatzer fur eine neue Beobachtung Y (x) = b0 + b1x + εan der Stelle x :

y(x) = b0 + b1xI (1− α)-Konfidenzintervall fur y(x)

(y(x)− tn−2;α2 · sy(x), y(x) + tn−2;α2 · sy(x))

wobei

s2y(x) = S2

y |x

(1 +

1n +

(x − x ·)2∑ni=1(xi − x ·)2

)den Schatzer fur die Varianz von y(x) + ε bezeichnet.

I Beachte: Diese Varianz wird bei wachsendemStichprobenumfang nicht beliebig klein!

138 / 178







2.20 Beispiel: Fortsetzung von Beispiel 2.1(1) Gesucht ist ein 90% Konfidenzintervall fur den Wert der

Geraden an der Stelle x = 16I t23,0.95 = 1.714, S2

y|x = 22.737, s2y(x) = 1.116, y(16) =

b0 + 16b1 = 18.49I Das 90% Konfidenzintervall fur den Wert der Geraden an der

Stelle 16 ist gegeben durch

[16.677, 20.299]

(2) Gesucht ist ein 90% Konfidenzintervall fur eine neueBeobachtung der Stelle x = 16

I t23,0.95 = 1.714, S2y|x = 22.737, s2

y(x) = 23.85, y(16) =

b0 + 16b1 = 18.49I Das 90% Konfidenzintervall fur eine neue Beobachtung an der

Stelle 16 ist gegeben durch

[10.118, 26.859]

139 / 178







SPSS Output: Vorhersagen bei linearerRegression in Beispiel 2.1 (schwierig)

140 / 178







SPSS Output: Konfidenzintervalle furVorhersagen bei linearer Regression in Beispiel2.1

Leistungsstreben

403020100

Mo

tiva

tio

n

35

30

25

20

15

10

5

16.0

141 / 178







2.21 ResiduenanalyseI Unter der Modellannahme des linearen Regressionsmodells

gilt: die Großenεi = Yi − b0 − b1xi

sind unabhangig und normalverteilt mit Erwartungswert 0und Varianz σ2 > 0.

I Das bedeutet, dass diese Eigenschaften auch

”naherungsweise“ fur die Residuenεi = yi − b0 − b1xi

erfullt sein sollte, falls die Modellannahme zutrifft.I Residuenanalyse ist ein deskriptives Verfahren fur die

Uberprufung der Annahmen an ε1, . . . , εn mit 4Teilschritten (oft werden auch nicht alle gemacht):

A: Das Streudiagramm der Daten mit der RegressionslinieB: Ein Streudiagramm der Residuen gegen die vorhergesagten

WerteC: Normalverteilungs-QQ-Plot der ResiduenD: Histogramm der Residuen mit angepasster

Normalverteilungsdichte142 / 178







Residuenanalyse bei ”erfullten“ Voraussetzungen

−2 −1 0 1 2

−2

0

2

4

6

8 A


Abh

ängi

ge V

aria

ble

0 2 4 6−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0B

Vorhergesagter Wert

Res

iduu

m

−2 −1 0 1 2−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0C

Theoretische Quantile der Standardnormalvert.

Em

piris

che

Qua

ntile

D

Residuum

f(R

esid

uum

)

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

143 / 178







Residuenanalyse bei ”Abweichungen“ von derNormalverteilung (Ausreißer)

−2 −1 0 1 2

−10

0

10

20

A


Abh

ängi

ge V

aria

ble

0 2 4 6 8

−10

−5

0

5

10

15

20B

Vorhergesagter Wert

Res

iduu

m

−2 −1 0 1 2

−10

−5

0

5

10

15

20C


Em

piris

che

Qua

ntile

D

Residuum

f(R

esid

uum

)

−15 −10 −5 0 5 10 15 20

0.00

0.05

0.10

0.15

144 / 178







Residuenanalyse bei StratifizierungBeachte: verschiedene Untergruppen (Strata) konnen ebenfalls zuAbweichungen von den Modellannahmen fuhren. Fur die Stratakonnen dann unterschiedliche Regressionsgleichungen gelten.

−2 −1 0 1 2

−10

−5

0

5

10

15A


Abh

ängi

ge V

aria

ble

−2 0 2 4 6

−10

−5

0

5

10B

Vorhergesagter WertR

esid

uum

−2 −1 0 1 2

−10

−5

0

5

10C


Em

piris

che

Qua

ntile

D

Residuum

f(R

esid

uum

)

−10 −5 0 5 10

0.00

0.05

0.10

0.15

145 / 178







Residuenanalyse bei falscher Modellannahme

−2 −1 0 1 2−60

−40

−20

0

20

40

A


Abh

ängi

ge V

aria

ble

−30 −20 −10 0 10 20 30 40

−20

−10

0

10

B

Vorhergesagter Wert

Res

iduu

m

−2 −1 0 1 2

−20

−10

0

10

C


Em

piris

che

Qua

ntile

D

Residuum

f(R

esid

uum

)

−30 −20 −10 0 10 20

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Statt des linearen Modells ware ein Polynom 3. Grades die bessereAnnahme fur die Beschreibung des funktionalen Zusammenhangs!

146 / 178







Residuenanalyse bei ungleichen Varianzen(Heteroskedastizitat)

−2 −1 0 1 2

−40

−30

−20

−10

0

10

20

A


Abh

ängi

ge V

aria

ble

−2 0 2 4 6

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30B

Vorhergesagter Wert

Res

iduu

m

−2 −1 0 1 2

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30C


Em

piris

che

Qua

ntile

D

Residuum

f(R

esid

uum

)

−40 −20 0 20

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

147 / 178







SPSS Output: Residuenanalyse in Beispiel 2.1

Leistungsstreben

403020100

Mo

tiva

tio

n35

30

25

20

15

10

5

R-Quadrat linear = 0,313

Streudiagramm und geschatzte Regressionsgerade im Beispiel derArbeitsmotivation

148 / 178







SPSS Output: Residuenanalyse in Beispiel 2.1

Standardized Predicted Value

2,000001,00000,00000-1,00000-2,00000

Sta

nd

ard

ized

Res

idu

al3,00000

2,00000

1,00000

,00000

-1,00000

-2,00000

Streudiagramm der Residuen gegen die vorhergesagten Werte imBeispiel der Arbeitsmotivation

149 / 178







SPSS Output fur Residuenanalyse

Beobachteter Wert

3210-1-2

Erw

arte

ter

Wer

t vo

n N

orm

al

2

1

0

-1

-2

Q-Q-Diagramm von Normal von Standardized Residual

QQ-Plot im Beispiel der Arbeitsmotivation

150 / 178







Korrelation und lineare Regression

Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen linearer Regressionund Korrelation

I Ist b1 die Schatzung im linearen Regressionsmodell und r derKorrelationskoeffizient von Pearson, dann gilt:

r =

√∑ni=1(xi − x ·)2∑ni=1(yi − y ·)2 · b1

I Ist R2 das Bestimmtheitsmaß und r der Korrelationskoeffizientvon Pearson, dann gilt:

r 2 = R2

151 / 178






2.3 Multiple lineareRegression2.3 Multiple lineare Regression

152 / 178







2.22 Beispiel: ”Arbeitsmotivation mit mehrerenPradiktoren”y : Motivation (Einschatzung der Arbeitsmotivation durch Experten)

Pradiktoren: EigenschaftenI x1: Ehrgeiz (Fragebogen)I x2: Kreativitat (Fragebogen)I x3: Leistungsstreben (Fragebogen)

Pradiktoren: RahmenbedingungenI x4: Hierarchie (Position in der Hierarchie des Unternehmens)I x5: Lohn (Bruttolohn pro Monat)I x6: Arbeitsbedingungen (Zeitsouveranitat,

Kommunikationsstruktur usw.)

Pradiktoren: Inhalte der TatigkeitI x7: Lernpotential (Lernpotential der Tatigkeit)I x8: Vielfalt (Vielfalt an Teiltatigkeiten)I x9: Anspruch (Komplexitat der Tatigkeit)

153 / 178







Daten

i y x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x91 32 36 30 20 20 3100 34 29 69 662 14 30 11 30 7 2600 39 16 47 363 12 19 15 15 8 3200 42 13 32 174 27 42 16 39 13 2500 43 15 63 495 20 14 22 5 22 3700 42 29 38 626 13 12 16 6 11 2600 36 17 39 517 17 17 20 12 11 2500 41 18 44 558 8 4 5 0 16 3800 23 9 31 339 22 32 20 35 20 3500 25 21 40 55

10 19 15 13 8 13 3100 29 21 57 5611 25 38 5 34 21 3600 59 27 53 6712 23 24 6 26 9 2600 45 31 54 62

154 / 178







Daten

i y x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x913 17 28 11 32 10 2600 30 7 45 2614 22 36 4 26 16 2500 52 23 56 6415 19 18 26 12 6 2500 40 17 54 5516 27 40 27 36 12 2500 42 29 44 6217 26 30 28 27 18 3000 38 34 43 6418 20 27 11 26 10 2600 35 19 46 5519 11 18 23 13 11 2800 42 18 31 4320 24 32 18 19 15 2700 48 23 51 5321 19 33 9 25 6 2400 38 23 37 6522 19 33 22 30 5 2600 36 30 39 3923 22 27 28 18 17 4000 45 23 52 5424 24 30 32 21 11 2700 44 20 41 4725 17 37 8 11 2 2300 32 20 44 41

155 / 178







2.23 Das Modell der multiplen linearen RegressionI Daten (x1, y1), . . . , (xn, yn)

I Es gibt k unabhangige Variablen: x i = (x1i , . . . , xki )

I yi ist Realisation einer Zufallsvariablen Yi (unter derBedingung x i ). Fur den Zusammenhang zwischen derVariablen Yi und dem Vektor x i gilt (im Beispiel ist k = 9):

Yi = b0 + b1x1i + b2x2i + . . .+ bkxki + εi

= b0 +k∑

j=1bjxji + εi .

I εi bezeichnet hier eine zufallige ”Storung” und es wirdangenommen, dass die Storungen ε1, . . . , εn unabhangigund normalverteilt sind mit Erwartungswert 0 und Varianzσ2 > 0.

I Deutung: Es wird ein linearer Zusammenhang zwischen xund Y postuliert, der noch zufalligen Storungen unterliegt.

156 / 178







2.24 Schatzung bei multipler linearer RegressionI Methode der kleinsten Quadrate: Minimiere

n∑i=1

(yi − b0 − b1x1i − . . .− bkxki )2

bzgl. der Wahl von b0, . . . , bk

I Mathematische Statistik (allgemeines lineares Modell)liefert Schatzer

b0, b1, . . . , bk

fur die Parameter b0, . . . , bk (Formeln sind kompliziert)I Schatzer fur die Varianz der Messfehler

S2y |x =

1n − k − 1

n∑i=1

(yi − b0 − b1x1i − . . .− bkxki )2

157 / 178







Streudiagramm bei multipler linearer Regression(k = 2)Regressionsflache: y(x) = 3.24 + 4.5x1 + 5.27x2.

−5

0

5−3 −2 −1 0 1 2 3 4

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

X2

X1

Y

158 / 178







Fortsetzung von Beispiel 2.22: Schatzer immultiplen linearen Regressionsmodell

I Ergebnisse fur die Schatzer im multiplen linearenRegressionsmodell

b0 = −3.842 b1 = 0.193b2 = 0.153 b3 = 0.049b4 = 0.246 b5 = 0.000b6 = −0.031 b7 = 0.165b8 = 0.206 b9 = −0.053

I Fragen:I Wie genau sind diese Schatzungen?I Besteht ein (signifikanter) Einfluss der unabhangigen Merkmale

auf die MotivationH0 : b1 = 0H0 : b2 = 0

...I Wie gut beschreibt das multiple lineare Regressionsmodell die

Situation?159 / 178







Genauigkeit der Schatzung bei multipler linearerRegression

I Schatzer sb0 , . . . , sbk fur die Standardfehler von b0, . . . , bk sindverfugbar (Allgemeines lineares Modell → Formeln kompliziert)

I Anmerkung: Fur wachsenden Stichprobenumfang konvergierendie Schatzer sbj gegen 0 ”je großer der Stichprobenumfang,desto genauer die Schatzungen”

I Damit erhalt man Konfidenzintervalle fur b0, . . . , bk , z. B.

(b0 − tn−k−1,1−α2 sb0 , b0 + tn−k−1,1−α2 sb0 )

ist (1− α)-Konfidenzintervall fur b0.

160 / 178







Fortsetzung von Beispiel 2.22: Schatzer fur denStandardfehler der Schatzer im multiplen linearenRegressionsmodell

I Ergebnisse fur den Standardfehler der Schatzer im multiplenlinearen Regressionsmodell

sb0 = 5.052 sb1 = 0.081sb2 = 0.049 sb3 = 0.065sb4 = 0.148 sb5 = 0.001sb6 = 0.054 sb7 = 0.098sb8 = 0.052 sb9 = 0.058

I Wegen t15,0.975 = 2.1314 ist

[−0.089, 0.188]

ein 95%-Konfidenzintervall fur den Parameter b3. Man beachte:I 0.049 + 2.1314 · 0.065 ≈ 0.188)I n = 25; k = 9 ⇒ n − k − 1 = 15

161 / 178







2.25 Konfidenzintervalle fur multiple lineare RegressionI Modellannahme: multiple lineare Regression

Yi = b0 +k∑

j=1bjxji + εi (i = 1, . . . , n)

I Rechtfertigung der Normalverteilungs- undUnabhangigkeitsannahme

I Schatzer sbj fur den Standardfehler von bj

=⇒ (bj − tn−k−1,1−α2 sbj , bj + tn−k−1,1−α2 sbj )

ist ein (1− α)-Konfidenzintervall fur bj (j = 0, . . . , k)

I tn−k−1,1−α2 ; (1− α2 )-Quantil der t-Verteilung mit n− k − 1

Freiheitsgraden (Tabelle oder Software)I Anmerkung: Fur wachsenden Stichprobenumfang

konvergieren die Schatzer sbj gegen 0 ”je großer derStichprobenumfang, desto kleiner die Konfidenzintervalle”

162 / 178







2.26 Beispiel: Konfidenzintervalle fur dieParameter in Beispiel 2.22 (Arbeitsmotivation)

bj Merkmal Schatzung sbj Konfidenzintervallb0 — -3.842 5.052 [-14.609, 6.926]b1 Ehrgeiz 0.193 0.081 [0.020, 0.365]b2 Kreativitat 0.153 0.049 [0.049, 0.258]b3 Leistungsstreben 0.049 0.065 [-0.089, 0.188]b4 Hierarchie 0.246 0.148 [-0.069, 0.561]b5 Lohn 0.000 0.001 [-0.004, 0.002]b6 Arbeitsbdg. -0.031 0.054 [-0.147, 0.085]b7 Lernpotential 0.165 0.098 [-0.044, 0.373]b8 Vielfalt 0.206 0.052 [0.095, 0.316]b9 Anspruch 0.053 0.058 [-0.070, 0.177]

163 / 178







SPSS Output: Schatzer, Standardabweichungund Konfidenzintervalle im Beispiel 2.22(Arbeitsmotivation mit mehreren Pradiktoren)

StandardfehlerB Beta

SignifikanzT ObergrenzeUntergrenze


Koeffizienten

NichtstandardisierteKoeffizienten

(Konstante)

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

1

,177-,070,372,920,124,058,053

,316,095,0013,973,354,052,206

,373-,044,1131,683,199,098,165

,085-,147,573-,576-,045,054-,031

,002-,004,564-,589-,077,001,000

,561-,069,1171,664,235,148,246

,188-,089,458,761,095,065,049

,258,049,0073,127,234,049,153

,365,020,0312,381,337,081,193

6,926-14,609,459-,7605,052-3,842ModellModell

Koeffizientena

a. Abhängige Variable: Y

164 / 178







2.27 Vorhersage der multiplen linearen RegressionI Modellannahme: multiple lineare Regression

Yi = b0 +k∑

j=1bjxji + εi (i = 1, . . . , n)

I Rechtfertigung der Normalverteilungs- undUnabhangigkeitsannahme

I Vorhersage fur den Wert der multiplen Regression an derStelle x = (x1, . . . , xk) (im Beispiel ist k = 9)y(x) = b0 +

∑kj=1 bjxj

I In Beispiel 2.22 ergibt sich z. B. als Vorhersage dermultiplen linearen Regression an der Stelle

x1 = 21, x2 = 30, x3 = 15, x4 = 11, x5 = 2900,x6 = 41, x7 = 25, x8 = 55, x9 = 54

der Wert y(x) = 22.717

165 / 178







Vorhersage der multiplen linearen RegressionBeachte: Wie in Abschnitt 2.18 und 2.19 gibt es zwei Vorhersa-

gen:

I Vorhersage fur den Wert der multiplen Regression an derStelle x = (x1, . . . , xk) (im Beispiel ist k = 9)

I Vorhersage fur den Wert einer neuen Beobachtung an derStelle x = (x1, . . . , xk) (im Beispiel ist k = 9)

I Fur beide Vorhersagen kann man den Standardfehlerbestimmen (Formeln kompliziert) und Konfidenzbereicheangeben (vgl. Abschnitt 2.18 und 2.19 fur den Fall k = 1 )

166 / 178







SPSS Output: Vorhersage bei der multiplenlinearen Regression (schwierig)

Beispiel:I Schatzung fur den Wert der ”Ebene” an der Stelle

x = (18, 23, 13, 11, 2800, 42, 18, 31, 43) : 14.348I Schatzung fur eine weitere Beobachtung an der Stelle

x = (18, 23, 13, 11, 2800, 42, 18, 31, 43) : 14.348167 / 178







SPSS Output: Konfidenzintervalle furVorhersagen bei multipler linearer Regression

I Konfidenzintervall fur den Wert der ”Ebene” an der Stellex = (18, 23, 13, 11, 2800, 42, 18, 31, 43) : [12.399, 16.297]

I Konfidenzintervall fur eine weitere Beobachtung an der Stellex = (18, 23, 13, 11, 2800, 42, 18, 31, 43) : [9.870, 18.826]

168 / 178







2.28 Bestimmtheitsmaß bei multipler linearer Regression

I Modellvorhersage:

yi = b0 + b1x1i + . . . bkxki = b0 +k∑

j=1bjxji

I Residuum εi = yi − yi = yi − (b0 +∑k

j=1 bjxji )

I Beachte: Die Werte der abhangigen Variable zerfallen inModellvorhersage (y) und Residuum (ε), d. h.

yi = yi + εi i = 1, . . . , n

I Die Gute der Modellanpassung wird (wieder) durch dasBestimmtheitsmaß R2 beschrieben (Anteil erklarterVarianz)

R2 = 1−∑n

i=1(yi − yi )2∑n

i=1(yi − y ·)2 =

∑ni=1(y · − yi )

2∑ni=1(yi − y ·)2 .

169 / 178







Beispiel: Das Bestimmtheitsmaß fur das Beispiel2.22 (Arbeitsmotivation)

In Beispiel 2.22 ist

I n = 25; k = 9I∑n

i=1(yi − yi )2 = 53.651

I∑n

i=1(yi − y ·)2 = 790.96I

R2 = 1− 53.651790.96 = 92.95

D. h. 92.95% der Varianz der Variablen Motivation werden durch dasmultiple lineare Regressionsmodell erklart.

170 / 178







2.29 Statistische Tests bei der multiplen linearen Regres-sion. Zwei ”wichtige” Fragestellungen:

I Frage A: Hat mindestens eine der Pradiktorvariablenx1, . . . , xk einen Einfluss auf die abhangige Variable y(Gesamttest auf Signifikanz).

I Mathematische Formulierung der Hypothese:Nullhypothese:

H0 : bj = 0 fur alle j ∈ {1, 2, . . . , k}

Alternative:

H1 : bj 6= 0 fur mindestens ein j ∈ {1, 2, . . . , k}

I Frage B: Hat die Pradiktorvariable xj (z. B. Ehrgeiz) einenEinfluss auf die abhangige Variable y .

I Mathematische Formulierung der Hypothese:

Nullhypothese: H0 : bj = 0Alternative: H1 : bj 6= 0

171 / 178







2.29(A) Gesamttest auf SignifikanzI Nullhypothese: H0 : bj = 0 fur alle j ∈ {1, 2, . . . , k}

Alternative: H1 : bj 6= 0 fur mindestens einj ∈ {1, 2, . . . , k}

(1) Bestimme

S2reg =

1k

n∑i=1

(y · − yi )2

die Varianz der Regression, und

S2y|x =

1n − k − 1

n∑i=1

(yi − yi )2

die ResidualvarianzI Beachte: Man geht genau wie im linearen

Regressionsmodell vor!

172 / 178







2.29(A) Gesamttest auf Signifikanz(2) H0 wird zu Gunsten der Alternative H1 verworfen, falls

Fn =S2

reg

S2y|x

> Fk;n−k−1;1−α

gilt (oder der entsprechende p-Wert kleiner als α ist).Dabei bezeichnet Fk;n−k−1;1−α das (1− α)-Quantil derF -Verteilung mit (k, n − k − 1) Freiheitsgraden.

I Beachte: Wird H0 durch diesen Test verworfen, dann bleibtaber noch unklar, ”welches der Merkmale signifikant ist”.

173 / 178







2.29(B) Tests fur die Signifikanz einzelner Merkmale

Nullhypothese:H0 : bj = 0

Alternative:H1 : bj 6= 0

I Die Nullhypothese H0 wird zu Gunsten der Alternative H1verworfen, falls

Tn =

∣∣∣∣∣ bjsbj

∣∣∣∣∣ > tn−k−1;1−α2

gilt (oder der entsprechende p-Wert kleiner als α ist).Dabei ist

I tn−k−1;1−α2 das (1− α2 )-Quantil der t-Verteilung mit

n − k − 1 FreiheitsgradenI sbj der Standardfehler von bj

I Beachte: Werden mehrere Hypothesen getestet, ist dasNiveau entsprechend anzupassen (vgl. Abschnitt 2.18).

174 / 178







2.30(A) Test auf Signifikanz im multiplen Regressions-modell in Beispiel 2.22

I Frage: ”Hat eine der 9 Pradiktorvariablen einen Einfluss aufdie abhangige Variable?”

I Mathematische Hypothesen:

H0 : bj = 0 fur alle j = 1, . . . , 9

H1 : bj 6= 0 fur mindestens ein j ∈ {1, . . . , 9}

I Fn = 21.972, F9,15,0.95 = 2.5876

I Da Fn > 21.972 > 2.5876 ist, wird die Nullhypothese zumNiveau 5% verworfen.

175 / 178







2.30(B) Beispiel: Test auf Signifikanz einesMerkmals im multiplen linearenRegressionsmodell in Beispiel 2.22

I Frage: ”Hat die Pradiktorvariable Ehrgeiz (x1) einen Einfluss aufdie abhangige Variable Motivation Signifikanz desRegressionskoeffizienten b1)?”

I Mathematische Hypothesen:

H0 : b1 = 0; H1 : b1 6= 0

I b1 = 0.193, sb1 = 0.081, t25−10,0.975 = 2.13

⇒ T25 = 2.381I Da

T25 = 2.381 > 2.13

wird die Nullhypothese H0 zu Gunsten der AlternativeH1 : b1 6= 0 verworfen (zum Niveau 5%)

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SPSS Output: Der Test 2.29(A) fur das Beispiel2.22 (Arbeitsmotivation)


Regression

Residuen

Gesamt

1

24760,960

3,5771553,651

,000a

21,97278,5909707,309ModellModell

ANOVAb

a. Einflußvariablen : (Konstante), x9, x5, x2, x3, x6, x8, x7, x4, x1

b. Abhängige Variable: Y

177 / 178







SPSS Output: Der Test 2.29(B) fur das Beispiel2.22 (Arbeitsmotivation)

StandardfehlerB Beta

SignifikanzT ObergrenzeUntergrenze


Koeffizienten

NichtstandardisierteKoeffizienten

(Konstante)

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

1

,177-,070,372,920,124,058,053

,316,095,0013,973,354,052,206

,373-,044,1131,683,199,098,165

,085-,147,573-,576-,045,054-,031

,002-,004,564-,589-,077,001,000

,561-,069,1171,664,235,148,246

,188-,089,458,761,095,065,049

,258,049,0073,127,234,049,153

,365,020,0312,381,337,081,193

6,926-14,609,459-,7605,052-3,842ModellModell

Koeffizientena

a. Abhängige Variable: Y

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Prof. Dr. Holger Dette - Ruhr University Bochum€¦ ·