Siitze und Probleme i iber ~ - .

Von P. ERDOS und K. PRACHAR

Wenn mit Pk die k-re Pr imzahl bezoichnet wird, so gilt nach dem Primzahlsatz

P-~ ~ log k (k ~ or k

log k ist eine monoton zunehmende Funk t ion yon k und es gilt

{log (k + 1) - - log k} ~ log x. p k ~

Wir wollen folgendes beweisen:

S a t z 1: Es gilt

(1) CllOg 2 x < ~ k + l p k ~

bei passenden cl, c 2 > O.

P~ < c2 log 2 X

Hieraus folgt insbesondere, dal~ die Folge p~/k nicht yon einer Stelle an monoton sein kann. F e m e r beweisen wir

S a t z 2: Sei p~, i = 1, 2, . . . , eine Teil/olge der Folge aUer Primzahlen, /~r die

(2) P~ P~+~ k-:. < (i = l , 2 , . . . ) .

Dann ist die Anzahl solcher Pk,, Pk~ <~ x stets 0(x/log x).

B e w e i s y o n S a t z 1: Sei A = A(x ) die Anzahl der p~, fiir die

-~ < Pk ~< x gilt und

(3) Pk+l - - P~ --< (1 - - 6) log x.

Wi t wollen beweisen, dab bei passend gew~hltem ~ > 0 diese Anzahl > cax/log x ist. Sei B = B(x) die Anzahl der p~ mit �89 < p ~ ~ x, ffir die

(4) (1 - - ~) log x < Pk+l - - Pk ~< (1 -~- ~) log x

252 P. ErdSs und K. Prachar

Nach einer mit der B r u n s e h e n 3Iethode gewonnenen Absch/~tzung yon S c h n i r e l m a n ist die Anzahl solcher p~, ffir die P ~ + I - P~ einen festen Wert n hat , kleiner als

x 1

din

Dami t folgt

(5) ( 1 - - ~ ) l o g x < n g ( l + ~ ) l o g x

iog 2----X d < (1 +~ ) log z -d- ~- <C 5 1ogx

bei festem ~ > 0. Nun ha t m a n

(~) Z (p~+~--p~) < (�89 + ~)x (~ > ~0(~))

bei beliebig kleinem e > 0, da naeh dem Primzahlsatz ffir Pk --~ x stets Pk+~ <: (1 ~- e) x ist. Aus (6) folgt insbesondere

B ( 1 - - 0 ) l o g x + { ~ ( x ) - - ~ ( 4 x ) - - A - - B } (1 ~- 5 ) l o g x < (4 -$- e) x,

wobei g(x) die Anzahl der Pr imzahlen _~ x bedeutet . Unter Benutzung yon (5) ergibt sieh daraus wegen ~(x) - - g(4 x) > (4 - - e) x/log x

A(1 -t- 5) l o g x > { ( 4 - - e ) ( 1 + 6 ) - - ( 4 + e ) - - 2 c 5 ~ *} x.

Wahl t m a n 8 so klein, daft 4(1 + (~) > 4 + 2c66. wird, so ist der Aus- druek in dor gesehlungenen Klammer bei genfigend kleinem ~ posigiv und also, wie behaupte t , A > ca x/log x. f~berdies ist such die Anzahl der p, mi t 4 x < p , _ ~ x , p~+t - - p , ~ ( 1 - - 6) l o g k noch > c ~ x / l o g x , da log k ~ log x ffir 4 x ~ p, ~ x und man ~ such durch jeden kleineren Wert ersetzen kann.

] )amit erh/~lt m a n nun

<~k pk (7) ~ ~ I L Pk - - k (P~+I - - PkJ Pk+l ~-~,

wobei 2:' Summat ion fiber die p, mit Pk+l - - Pk ~ (1 - - 6) log x bedeutet . Nun ist ffir x > xl(e ) s tets Pk > (1 - - ~ ) k log k und also die linke Seite yon (7) mindestens

] r

wenn ~ < 5 gow~hlt wird und dies ist nach dem oben Bewiesenon (r < 1)

log b (6 - - e) ~ k +---i > c7 log x ,

~ (~) - -c ,~ < k ~ ~(x)

S~tze und Probleme fiber p~l]r 253

:(x> _ ,,n<, ' i : ='o x + o + 0(--') .or o - wenn man n~x

sichtigt. Teilt man den Summationsbereich (Vx, x) in der Sl]mme allls (1) nun in die Intorval le (�89 x) ( ix , � 8 9 so finder man die untere Schranke

§ § �9 �9 �9 , m > c l o g x

und daraus folgt sehon die Rieht igkei t der un teren Sehranke in (1). U m die Summe aus (1) nach obon abzusch~tzen bemerken wir, dal~ s te ts P~+I > P~ gilt, also

P~+I P~ P~ log k ( 8 ) k + 1 k > k ( k + i ) > - - cs

ffir genfigend grebes k. Nu n gilt

~k<z

wobei ~ ' fiber diejenigen Pk --~ x zu erstreeken ist, ffir die die Differenz unter dem Betragzeichen nieht negat iv ist und ~ " fiber die fibrig blei- benden p~. Die erste Summe ist ~_ pzl l , wenn pz die ]etzte in ihr vor- kommende Primzahl let, d.h. ~ ' ~ (1 ~- e) log I = 0( log x). Weiter gilt naeh (8)

log k 0 (log ~ x). Z " < % Z k , =

k<x(x)

Dami t ist (1) vollstiindig bewiesen.

B e w e i s y o n S a t z 2:

Sei e > 0 beliebig und A = --.2 Die Anzahl dor ki, ffir die ki+t - - k i > A x

ist, ist < 2A1 ~ < e~g x"

Seien B~, C~,, D~ die Anzahlen der Pk, ~ x mit k,+l - - k, -= m ~ A, ftir welehe jeweils eine der drei folgenden Ungleiehungen gilt

(8)

(9)

(10)

(m - - e ~) log k~ ~_ P~,+I - - P~,, ~ ( m Jr- e ~) log ]r

Pk~+l - - Pk, ~ (m - - e z) log kl

Pk~+l - - Pk, > (m ~ e 2) log k,.

Wir sehiitzen zuni~chst Bm ab. Die Anzahl der i0k~ _< x/log x ist 0 (x/log 2 x )

und ffir x / l o g x < Pk~ <-- x gilt log ki ~ Iog x, so dab aus (8) jodonfalls

(m - - 2e 2) log x _~ Pk,+l - - Pk, --~ (m ~- 2e l) log x

254 P. Erd6s und K. Prachar

folgr wie beim Beweis yon Satz 1 ergibt sich

und

(11) B m < 610e log x" m < A

Sei nun (9) erffillt und k~ = k, also k~+~ = k + m. Es folg~

und hieraus

0 < -P~+~- lo~ pk -{- (m - - e l) log k p~ k - 4 - m k < k - 4 - m k

1 p~ < ( 1 - - ~ - ) k l o g k < ( 1 - - ~ - e S ) k log k ,

d a m _~ 2/e. ])iese Ungleichung ist ffir k > ko(e) nach dem Primzahlsatz unmSglich.

Sei schlieBlich (10) erffillt und setzen wit ffir die folgende Rechnung wiedor k, = k; es folgt

P~+~ p, > p~ -b (m -b e 2) log k k q - m k k + m

�89 log k 2 log k

Pk > k

k(m + e 2) I o g k - - m ( 1 + �89 k log k k (m + k)

ffir k > kl(e),

da nach dem Primzahlsatz ftir geniigend groBos k sicherlich p, (1 d- �89 k logk gilt und d a m < 2/e. Ffir Pk --~ x ist k ---- O(x/logx) und daher sicherlich such

P~-m p~ cl2e 2 log 2 x ( 1 2 ) k + m k > x "

Sei nun y irgendeine Zahl mit x/log x < y ~ x. Wit wollen

Z (p.,+l

absch/itzen. Wenn p~/j bzw. pz/l der ldeinste bzw. gr6Bte Wert yon p~/k~ bzw. p~+l/k~+l in diesem Intervall ist, so is~ die obige Summe

_ pl p~ (I + e4) Iogl--(l--~)logj_~2~41og x+ O(I) Z i

ffir x > x0(~). Daher die Anzahl der k~ = k, ffir die (12) gilt, bei feBtem m h6chstens

c12e 21og*x 3e z x 36 log x/ x - - c12 logx"

Si~tze und Probleme tiber p~/k 255

Dies sind ftir m ~ 2/e hSchstens (6e/c12) x/log x ---- ecla x/log x Wer te k~. Teilen wir nun das In terval l (x/log x, x) in die Teil intervalle (x/2, x), (x/4, x / 2 ) . . . (die Anzahl solcher Teilintervalle ist O(loglog x)), so folgt

x x x/2

m<A

Dami t ist Satz 2 vollst/~ndig bewiesen.

Bemerkungen und Folgerungen:

Sei pk]k ~-uk. Es folgt aus dem Primzahlsatz, dab ffir jedes e und k >/c0(e)

(13) U/k(1 q-e)] > Uk

gilt. In umgekehr te r Rieh tung gilt: Zu j edem 1 gibt es unendlieh viele k mit

(14) pk p~+z k - > k §

Dies folgt leieht daraus, dab ftir genfigend kleines festes 5

Pk+, - - P~ < (1 - - 5) log k

ftir unendlieh viele k gilt, was man i~hnlieh wie beim Beweis yon Satz 1 einsehen kann. Zwisehen (13) und (14) bes teh t noeh eine groBe Liieke.

Es ist noch folgendes zu ve rmuten : Zu jedem e gibt es ein l ---- l(e) x

so, dab ffir alle p~ ~ x mit Ausnahme yon e l ~ x Wer ten yon k

(15) P~ P~+' T < m a x . l:~,fSlk § i

gilt. (15) wiirde natfirlieh folgen, wenn man zeigen kSnnte, dab fiir alle k mit Ausnahme yon e x/Iog x Wer ten yon k es ein i, 1 ~ i ~ 1 gibt, so dab

(16) Pk+i--P~ > (i + ~7) log k

(7 > 0 lest) gilt. Aus Satz 2 folgt, dab mit Ausnahme yon h6chstens 0 1 o ~ Prim-

zahlen Pk < x

(17) P~ P~-~ T < max k------i l ~ i < k

gilt. Es folgt much, dab mit Ausnahme yon 0 ~ solchen Pr imzahlen gilt:

(18) P~ > rain P~"- k l < ~ < ~ k -t- i"

256 P. Erd6s und K. Prachar, S~tze und Probleme fiber p~/k

Es ist zu vermuten, dab folgendes gilt: Es gibt kein k oder nur endlich viele k mit

P~-~ P~ P~-~ max ~ < ~ - < min k + i " l < i < k I <:~,< oo

Eine weitere Frage ist die, ob die untere Diohte der k-Werte, fiir die P~ . I P~+I bzw. p~ - P~+I -k " k + 1 k- ) ~ gilt, posi t iv is t . Im letzteren Fall ist dies

P~+~ gleichbedeutend mit k (P~+i Pk) < P~. so einzusehen: Es ist _~ > ~

Wie beim Beweis yon Satz 1 stellt man fest, dab die p~ mit P ~ + I - P~ < ( 1 - 8)log k positive Dichte haben, wenn ~ geniigend klein (yon k unabhingig) gewihlt wird. Da fiir alle gontigond groBen k stets p, > ( 1 - 8)k log k gilt, ergibt sich flit diose k sichorlioh k (p ,+ l - p,)

< p~. Es scheint schwierig zu sein, zu beweisen, dag die k mit < k + 1 posit ' re untere Dichte haben.

Eine &ndere Frage ware, ob es unendlich oft vorkommen kann, dab

P~ P~i pk+~ -~ > y ~ - i > k + 2 �9

SchlioBlich bemerken wit, dab man in Satz 2 die GrSBonordnung o(x[logx) mit derselben Beweismothode dutch O(x/logi+Sx), bei go- niigond kleinem 8, ersotzen kann (z.B. kann jedes 8 < �88 gonommen werden). Man hat in dem Beweis nur e durch (log x) -~ zu ersotzen und

stat t des Primzahlsatzes die gen~uere Beziehung k P~ -{-O( p* ) - - l o g p ~ ~ /

ZU v e r w e n d e n .

Eingegangen am 9.1. 1961