Schenk Halbleiterbauelemente

Halbleiterbauelemente -Physikalische Grundlagen und

Simulation

Privat-Dozent Dr. rer. nat. Andreas SchenkIntegrated Systems Laboratory, ETH Zurich

October 23, 2003

Contents

1 Quanten-Transport 21.1 Quanten-Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Quanten-Transportgleichungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Boltzmann-Gleichung 222.1 “Ableitung” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2 Methoden der direkten Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.1 Relaxationszeit-Naherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.2 Monte-Carlo-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Momenten-Methode 313.1 Hydrodynamische Transportgleichungen, Drift-Diffusions-Modell . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Thermodynamisches Modell

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Numerische Methoden 474.1 Skalierte Gleichungen und Losungsprozedur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.1 Die Physikalischen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1.2 Randwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.1.3 Die skalierten (stationaren) Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1.4 Wahl der Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1.5 Die Losungsprozedur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2 Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2.1 Allgemeine Diskretisierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2.2 Anforderung an Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.3 Diskretisierung der Poissongleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2.4 Diskretisierung der Kontinuitatsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2.5 Die Diskretisierten Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3 Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3.1 Anforderungen an Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3.2 Gitter Adaption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5 Silizium 615.1 Bandstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2 Zustandsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3 Fermi-Dirac-Verteilung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.3.1 System mit konstanter Teilchenzahl (“kanonische Verteilung”) . . . . . . . . . . . . 805.3.2 System mit variabler Teilchenzahl (“grosskanonische Verteilung”) . . . . . . . . . . 835.3.3 Fermi-Dirac-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.4 Ladungstragerdichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

i

Contents 1

6 Streuprozesse 926.1 Skk

am Beispiel der Streuung an ionisierten Storstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.2 Die wichtigsten Streumechanismen in Silizium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.3 Die Matthiessen-Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7 Beweglichkeit kalter und heisser Ladungstrager 1047.1 µimp und µac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.2 Modelle fur die Beweglichkeit kalter Ladungstrager im bulk . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.3 Beweglichkeit im MOSFET-Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.4 Beweglichkeit heisser Ladungstrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.4.1 Sattigung der Driftgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.4.2 Empirische Modelle fur Bauelemente-Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8 Strahlungslose Rekombination 1178.1 Tiefe Storstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.2 Generations-Rekombinationsraten fur Band-Band- und Band-Trap-Ubergange . . . . . . . . 1218.3 Raten-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.4 SRH-Lebensdauern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

9 Auger-Rekombination 127

10 Stossionisation 13110.1 Ionisations-Schwellenenergien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13110.2 Stossionisationsrate und -koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13410.3 Modelle fur die Stossionisationskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13610.4 Avalanche-Durchbruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

11 Metall-Halbleiter (MS)-Kontakt 14011.1 Energieniveau-Schema vor Einstellung des thermodynamischen Gleichgewichts . . . . . . . 14011.2 MS-Kontakt im Gleichgewicht, Schottky- und Bardeen-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . 14111.3 MS-Kontakt im Nichtgleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14611.4 Kontakt-Randbedingungen in der Bauelemente-Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

12 Metall-Isolator-Halbleiter (MIS) Struktur 15212.1 Isolator-Halbleiter (IS)-Ubergang im Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15212.2 MIS-Struktur bei angelegter Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15412.3 Ladungstransport durch dunne Oxide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

13 Hetero-Ubergange 16213.1 Banddiskontinuitaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16213.2 Potentialverlauf nach Einstellung des Gleichgewichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16313.3 Supergitter und Quantum Wells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

1 Quanten-Transport

1.1 Quanten-Bauelemente

Definition Transport:

Bewegung von Ladungstr agern ( Str ome) in einem Bauelementoder einer Halbleiterstruktur infolge ausserer Felder.

dissipativer Transport im bulk:

Energieverlust haupts achlich im Innern des Bauelements, mittlerefreie Wegl ange klein gegen Abmessungen des Bauelements.

ballistischer Transport:

Mittlere freie Wegl ange f ur dissipative und elastische Streuung istvon der Gr ossenordnung der Abmessungen des Bauelements.

quanten-ballistischer Transport:

Zus atzlich Quantisierungseffekte durch “confinement” undInterferenz-Effekte infolge verschiedener m oglicher Wege.

koharenter ballistischer Transport:

Koh arenzl ange von derselben Gr ossenordnung wie die Struktur,Phase der Elektronenwelle bleibt erhalten.

Quanten-Transport kann man auch nach m oglichen Anwendungen in der Na-noelektronik klassifizieren, wobei jeweils typische Quanten-Effekte ausgenutztwerden:

A) Interferenz-Effekte in niedrig-dimensionalen Strukturen, wie Resonant-Tunnel-Dioden (resonant tunnel diodes, RTDs) und Resonant-Tunnel-Transistoren (resonant tunnel transistors, RTTs)

2

1.1. QUANTEN-BAUELEMENTE 3

B) Coulomb-Blockade in Einzel-Elektron-Transistoren (single electron transis-tors, SETs) und Quanten-Punkten (quantum dots, QD)

C) Mesoskopischer Transport in Quanten-Wellenleitern (quantum waveguides)

A) Interferenz-Effekte

interferencedevices.ID.epsi99 72 mm

single barriers resonant double barrier

quantum well superlattice

chirp superlattice camel transistor

B) Quanten-Dr ahte und Quanten-Punkte

confinementdevices.ID.epsi107 60 mm

epitaxial wiremodulation-dopeddeep-etched wire

modulation-dopedshallow-etched wire

split-gate wire quantum dot

quantum wellGaAs

n-(Al,Ga)As

C) Quanten-Wellenleiter

4 CHAPTER 1. QUANTEN-TRANSPORT

waveguidedevices.ID.epsi110 26 mm

interferencering device

tapered quantumwaveguide

stub device cross-talkingwires

Quantenmechanik (QM): Ultra-Short Course I

In QM werden Observablen ( Messgr ossen) A durch OperatorenA beschrieben

E H Hamiltonoperator

p p Impulsoperator

x x Ortsoperator

und die Zust ande eines Systems (die in der klassischen Mechanik durch Angabeder Koordinaten und Impulse aller Teilchen eindeutig bestimmt sind) durchWellenfunktionen ψ

x (mathematisch: Vektoren im Hilbertraum).

1D : H

p2

2m

Vx p i ∂

∂x (1.1)

Vx ist der Operator der potentiellen Energie. Die fundamentale Gleichung zur

Bestimmung von ψx ist die Schr odinger-Gleichung:

station ar : H ψx E ψ

x (1.2)

zeitabh angig : i ∂∂t

Φx t H Φ

x t (1.3)

Beispiel: freies Elektron (V 0)

In der klassischen Physik ist wegen F p 0

v const E m2

v2

in der QM dagegen muss man die Schr odinger-GleichungH ψ E ψ l osen. Ein-setzen des Hamiltonoperators (es bleibt nur der Operator der kinetischen Energiein einer Dimension) ergibt die Eigenwertgleichung

2

2m∂2

∂x2 ψx Eψ

x (1.4)


oder, mit Einf uhrung der sogenannten Wellenzahl k 2mE ∂2

∂x2

k2 ψx 0 (1.5)

Die allgemeine (von Null verschiedene) L osung lautet

ψx Aeikx Be ikx (1.6)

und beschreibt eine ebene Welle. Der mathematische Formalismus der QM beschreibt die Wellennatur derTeilchen.

Beispiel: Potentialtopf mit unendlich hohen W anden

well1.ID.epsi45 40 mm

V(x)

x0 d

Vx ∞ f ur x 0 x d

Vx 0 f ur x im Innern

Mit diesem Potential erh alt man

ψx Aeikx Be ikx im Innern

ψ0 ψ

d 0

da das Elektron in die unendlich hohen Potentialw ande nicht eindringen kann.Das Verschwinden der Wellenfunktion an den R andern des Potentialtopfes f uhrtauf zwei Bestimmungsgleichungen f ur die unbekannten Koeffizienten A und B

A

B 0 Aeikd Be ikd 0

und damit zur Quantisierungsbedingung f ur die Wellenzahl k:

sin(kd) = 0

kn

nπd n 1 2 quantisierter Impuls

En

2k2n

2m

2π2

2md2 n2 quantisierte Energie


Wegen A B und k kn haben die Wellenfunktionen die Form ψnx

C sinnπx d . Die Konstante C wird so spezifiziert, dass die (gebundenen)

Zust ande auf Eins normiert sind, also d

0dx ψn

x 2 1

Die Gr osse ψnx 2 heisst Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Teilchens

im Zustand mit der Quantenzahl n. Die Normierungsbedingung bedeutet damitnichts weiter, als dass sich das Teilchen mit Sicherheit innerhalb des Poten-tialtopfes befindet. Die Auswertung der Normierungsbedingung ergibt f ur dieWellenfunktionen

ψnx 2

dsin nπ

dx stehende Wellen! (1.7)


E

x0 d

n = 1

n = 2

n = 3

diskretes Energiespektrum!

Wellenl ange λn

2dn

Was passiert im Falle a) endlich hoher und b) endlich hoher und endlich dickerPotentialw ande?

a) Es gibt nur noch eine endliche Anzahl von gebundenen Zust anden. Wird derPotentialtopf zu flach, kann u.U. uberhaupt kein Teilchen mehr gebundenwerden (im Falle asymmetrischer Potentialt opfe).

b) Das Teilchen kann mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit aus dem Poten-tialtopf heraustunneln, d.h. die Lebensdauer des gebundenen Zustandeswird endlich. Wegen der Heisenbergschen Unscharferelation

∆t ∆E 2werden die (f ur unendlich dicke Potentialw ande) diskreten EnergieniveausEn zu Resonanzen mit endlicher Linienbreite “verschmiert” (Lebensdauer-Verbreiterung). Die Maxima der Resonanzen verschieben sich gegen uberden En zu niedrigeren Energien.



a) b)

Bei den Resonanzenergien wird die Durchdringungswahrscheinlichkeit f ur dieDoppel-Barriere gross. Je asymmetrischer die Doppel-Barriere, um so mehr wirddie Resonanz ged ampft.Sind die station aren Zust ande ψn

x bekannt, kann man sofort die L osungen der

zeitabh angigen Schr odinger-Gleichung angeben:

Φnx t e i En tψn

x

Einsetzen Probe!

Die zeitabh angigen Wellenfunktionen oszillieren mit der Frequenz ωn En .

Damit sich eine stehende Welle (bzw. scharfe Resonanz) ausbilden kann, mussdie entsprechende Zeitkonstante tn

En klein gegen uber einer charakteristis-chen mittleren Streuzeit τn sein.Zahlenbeispiel:E1

66 meV, 6 6 10 16 eVs tn 10 14 sTypisches τn bei Raumtemperatur ist τn 2 10 14 s (f ur Streuung von Elektro-nen an Phononen, den Quanten der Gitterschwingungen).

Interferenz-Bauelemente funktionieren nur bei gen ugend tiefen Tempera-turen! (“gen ugend” ist dabei nat urlich relativ und h angt von der St arke der er-reichbaren Energie-Quantisierung ab)

Im folgenden werden die Bauelemente-Gruppen A) und B) an den wichtigstenBeispielen praktisch erl autert.


A) Resonant-Tunnel-Diode (RTD) and Resonant-Tunnel-Transistor (RTT)

RTDbandscheme.epsi124 103 mm∆U

Band-Schema einer RTD. Die Potentialbarrieren werden durch Spr unge der Leitungs-bandkante zwischen dem breitl uckigeren Halbleiter AlAs und dem schmall uckigerenHalbleiter GaAs erzeugt. Die Energie der Zust ande im Potentialtopf ist quanti-siert. Elektronen aus der hochdotierten Quelle, die alle Energieniveaus zwischender Leitungsbandkante und dem Fermi-Niveau besetzen, k onnen nur dann durchdie Doppel-Barriere tunneln, wenn ihre Energien mit der der Resonanzniveausubereinstimmen. Dazu muss an der Quelle eine Spannung angelegt werden. Die

notwendige Energie f ur das Hinzuf ugen eines (N+1)-ten Elektrons setzt sich aus zweiAnteilen zusammen: der Additionsenergie A und der Anregungsenergie ∆ε. A wirdgebraucht, um die elektrostatische Abstossung zwischen dem (N+1)-ten und den NElektronen zu uberwinden, die sich bereits im Quantentopf befinden. A ist propor-tional zum inversen mittleren Abstand 1

r der Elektronen im Quantentopf, wogegen

∆ε 1d2 (siehe Rechnung zum Potentialtopf). Senkrecht zur Quantisierungsrichtung

k onnen sich die Elektronen frei ausbreiten, was zu einem relativ grossenr und daher

zu einem kleinen A f uhrt. F ur eine RTD gilt also A ∆ε. (Im Bild ist A ubertriebengross dargestellt.)


RTDoperation.ps105 139 mm

a) Schematischer Querschnitt einer RTD.b) Bei zu kleiner Source-Drain-Spannung kann kein resonanter Tunnelstrom in der RTDfliessen (“off-state”). Es fliesst lediglich ein Leckstrom, verursacht von thermisch an-geregten Elektronen in der Quelle (um so gr osser, je h oher die Betriebstemperatur).c) Resonanz-Situation (“on-state”) . Es fliesst ein resonanter Tunnelstrom, dessen St arkevon der Durchdringungswahrscheinlichkeit der Doppelbarriere abh angt, d.h. von derLinienbreite der Resonanz.


RTDkennlinie.ps101 64 mm

A

a) Band-Schema einer RTD bei steigender Source-Drain-Spannung.b) Strom-Spannungs-Charakteristik. Der Abstand der Peaks entspricht grob der Anre-gungsenergie ∆ε. Allerdings ist ∆ε selbst eine Funktion der Source-Drain-Spannung, dasich die Form des Potentials der Struktur st andig andert. U.U. kann kein zweiter Peakauftreten, wenn der deformierte Potentialtopf keinen zweiten gebundenen Zustand mehrerzeugt.

B) Quanten-Punkt (QD) und Einzel-Elektron-Transistor (SET)

Quanten-Punkt: Dimensionalit at ist in allen drei Richtungen reduziert. Elek-tronen sind v ollig eingesperrt, d.h. sie haben keinen klassischen Freiheitsgradmehr. Die elektronischen Zust ande sind in allen drei Dimensionen quantisiert.Die Anregungsenergien ∆εx, ∆εy und ∆εz sind gross, ebenso die AdditionsenergieA, da der mittlere Elektronenabstand r im Dot durch das einsperrende Poten-tial klein gehalten wird. Die elektronische Struktur von Quanten-Punkten kannstarke Ahnlichkeiten mit der von Atomen aufweisen, daher spricht man auch vonkunstlichen Atomen. Insbesondere liefern die Austausch-Wechselwirkung unddie Elektron-Elektron-Korrelation starke Beitr age zur Gesamtenergie. Die An-regungsenergien representieren keine Einteilchen-Zust ande mehr, sondern Viel-teilchenzust ande der N Elektronen im Dot.

Einzel-Elektron-Transistor: 3-Terminal-Bauelement analog zum gew ohnlichenMOSFET. Dimensionalit at ist in keiner Richtung (wesentlich) reduziert. Diezentrale Insel des SETs enth alt typischerweise Millionen von Elektronen. Amweitesten verbreitet sind SETs mit metallischen Inseln. Da der Quantisierungsef-fekt schwach ist oder gar nicht existiert, gilt f ur den SET: A ∆ε. Diesen Gren-zfall nennt man Coulomb-Blockade, ein rein klassischer Effekt der elektrostatis-chen Abstossung der Elektronen untereinander, der verhindert, dass bei zu kleiner


RTToperation.ps101 141 mm

a) Schematischer Querschnitt eines Resonant-Tunnel-Transistors (lateraler Typ).b) Das Band-Schema ist ahnlich dem der RTD.c) Im Unterschied zur RTD existiert eine dritte Elektrode (Gate), mit der man die Lageder Energie-Niveaus relativ zum Fermi-Niveau in der Quelle ver andern kann. Insbeson-dere kann man bei fester Source-Drain-Spannung durch kontinuierliche Anderung derGate-Spannung die Energie-Niveaus des Quantentopfes in Resonanz mit den besetztenZust anden in der Quelle bringen. Allerdings werden auch die Potentialbarrieren von derGate-Spannung beeinflusst.


QDgate.epsi98 43 mm

GaAs AlGaAs 1

QD auf der Basis einer GaAs/AlGaAs Heterostruktur. Das einsperrende Potential wirddurch planare metallische Gates erzeugt (Stanford University).

QDox.epsi90 49 mm

QD auf der Basis einer Silicon-On-Insulator (SOI) Heterostruktur. Das einsperrendePotential wurde durch “pattern-dependent oxidation” eines Silizium-Quantendrahtserzeugt (Princeton University).

Source-Drain-Spannung ein zus atzliches Elektron auf die Insel tunneln kann (da-her der Begriff “Blockade”). Ein Strom kann erst einsetzen, wenn die Source-Drain-Spannung die Additionsenergie erreicht. Den Spannungsbereich, wo keinStrom fliessen kann, nennt man Coulomb gap. Die Tunnel-Barrieren verhindern,dass sich Elektronen gleichzeitig uber Source, Drain und Insel ausbreiten k onnen.Deshalb ist der Tunnelprozess immer sequentiell: Ein Elektron muss aus der In-sel ins Drain tunneln, bevor das n achste von der Source auf die Insel tunnelnkann. Man spricht von (r aumlich) korreliertem Tunneln. Dieser Vorgang wieder-holt sich millionenmal pro Sekunde, so dass ein messbarer Strom durch die Inselfliesst.Bleibt die Source-Drain-Spannung kleiner als die Additionsenergie, spricht manvom Coulomb-Blockade-Regime. Durch Anlegen einer Spannung am Gate kannman die Coulomb-Blockade aufheben und die Zahl der Elektronen auf der In-sel andern, z.B. von N-1 zu N. Dies geschieht bei bestimmten kritischen Werten


QDflash.epsi99 58 mm

Gate

Channel

Dot

OxideDrain

Source

QD flash memory: Das Speicher-Gate besteht aus einer poly-Si-Insel.

PSfrag replacements

(a)

(b)

V

Ve

2CΣ

e2CΣ

3e2CΣ

5e2CΣ

e2CΣ

I

I

a) “Coulomb gap” und I-V-Kennlinie eines SETs mit symmetrischen Tunnel-Barrieren.F ur Source-Drain-Spannungen betragsm assig kleiner als die halbe Additionsenergiee2 2CΣ kann kein Strom fliessen.b) Schematische “Coulomb staircase”, die I-V-Kennlinie eines SETs mit stark asym-metrischen Tunnel-Barrieren bei T=0 K. Der Abstand der Stufen ist gleich der Addi-tionsenergie e2 CΣ.

der Gate-Spannung, wo sich gleichzeitig N-1 oder N Elektronen auf der In-sel befinden d urfen (Entartungspunkte) und bewirkt einen pl otzlichen Strom


von Source nach Drain, der bei weiterer Erh ohung der Gate-Spannung abersofort wieder verschwindet (wegen der Coulomb-Blockade!). Die Elektronen-zahl hat sich dabei auf den Wert N stabilisiert. Der Source-Drain-Strom wirdalso durch kleinste Anderungen der Gate-Ladung ein- und ausgeschaltet. Diedazu n otigeAnderung der Gate-Ladung kann eine einzige, ja selbst nur einenBruchteil der Elementarladung ausmachen, worauf der Name “Einzel-Elektron-Transistor” zur uckgeht. Da der Strom auf einzelne Gate-Ladungen reagiert, kannder Verst arkungsfaktor (gain) des SETs extrem gross sein!

ivg.epsi96 48 mm

I-Vg-Kennlinie eines SETs im Coulomb-Blockade-Regime bei T 0 K. Bei den Gate-Spannungen Vg

N 1

2 e

Cg treten Strom-Peaks auf, da die Coulomb-Blockade

aufgehoben ist. Die Peaks sind umso sch arfer, je tiefer die Temperatur ist. Ihr Abstandist gleich e

Cg. Die H ohe h angt von der Source-Drain-Spannung und dem Widerstand

der Tunnel-Barrieren ab.

Physik des SETs: Ultra-Short Course

Um die Form der Kennlinien eines SETs besser zu verstehen, betrachten wir diecharakteristischen Energien im einfachsten physikalischen Modell (dem sogenan-nten orthodoxen Modell). In diesem Modell werden sowohl Quantisierungsef-fekte als auch die Vielteilcheneffekte der Austausch-Wechselwirkung und Korre-lation vernachl assigt.Ein System aus N Elektronen hat die Coulomb-Energie

UcoulN

eN

0dQΦ

Q (1.8)

wobei ΦQ das elektrostatische Potential der Insel mit der Ladung Q unter dem

Einfluss externer Gates ist:

ΦQ

QCΣ

Cg

CΣVg (1.9)


CΣ ist die Summe aus Gate-Kapazit at und Insel-Kapazit at CΣ Cisland

Cg. NachEinsetzen erh alt man

UcoulN

eN 22CΣ

eNCg

CΣVg (1.10)

Im thermodynamischen Sinne ist UcoulN gleich der freien (Gibbs) Energie F

N

(im hier betrachteten orthodoxen Modell); der erste Term ist die elektrostatischeEnergie der Insel, der zweite Term ist die Arbeit, die die Spannungsquelle amGate verrichtet. Die Differenz

FN F

N 1 µ

N (1.11)

heisst chemisches Potential und ist gleich der Energie, die aufgebracht werdenmuss, um dem (N-1)-Elektronen-System ein weiteres Elektron zuzuf uhren. Manerh alt

µN

e2

CΣ

N 1

2 e

Cg

CΣVg (1.12)

Die Anderung des chemischen Potentials mit der Elektronenzahl haben wir obenals Additionsenergie A bezeichnet

µN µ

N 1 A e2 CΣ (1.13)

Die Coulomb-Staircase der I-V-Kennlinie und die Strom-Peaks der I-Vg-Kennlinie kann man nun folgendermassen verstehen:I-V-Kennlinie eines SETs mit stark asymmetrischen Tunnel-Barrieren (Einzel-Elektron-Box):Generell kann es nur dann zum Strom kommen (Ladungstr ager-Austausch zwis-chen Insel und Source/Drain), wenn die Wahrscheinlichkeit, dass die Insel NElektronen enth alt, gleich der Wahrscheinlichkeit ist, dass sie N - 1 Elektronenenth alt. Die Elektronenzahl fluktuiert dann zwischen N und N - 1. Die Gleichheitdieser Wahrscheinlichkeiten f uhrt auf die Bedingung

µN EF (1.14)

wobei EF das Fermi-Niveau in Source/Drain ist. Sei EF drain 0, dann ist

EF source eV . Die Gate-Spannung sei Null. Aus Eq. (1.12) und Eq. (1.14) erh alt

man

VN

eCΣ

N 1

2 (1.15)


als diejenigen Spannungen, bei denen sich die Zahl der nicht-kompensiertenElektronen auf der Insel um 1 andert. N = 1 definiert das Coulomb gap. DieZeitkonstante des korrelierten Tunnelns wird mit steigender Spannung V V(1)kontinuierlich kleiner, was zu einem kontinuierlichen Anstieg des Stroms indiesem Spannungsbereich f uhrt. Der Anstieg wird vom Widerstand der dickenTunnel-Barriere bestimmt.I-Vg-Kennlinie eines SETs bei verschwindend kleiner Source-Drain-Spannung:In diesem Fall ist EF drain EF source

0 (wegen der Wahl des Energie-Nullpunkts) und Eq. (1.12), Eq. (1.14) ergeben

VgN

eCg

N 1

2 (1.16)

als diejenigen Spannungen, bei denen ein Strom-Peak auftritt.

Prinzipielle und praktische Hindernisse in der Nanoelektronik

- Prazision und Uniformitat der Strukturen (Tunnel-Barrieren, Inseln) aufeiner Skala von wenigen Nanometern f ur zuverl assiges und gleichartigesVerhalten einer riesigen Zahl von Bauelementen. Besonders kritisch istdie exponentielle Sensivit at des Tunnelstroms bzgl. Dickenvariationen derTunnel-Barrieren.

- Hintergrund-Ladungen akkumulieren sich bevorzugt in der N ahe von QDsund SETs und k onnen ihre Funktion v ollig ausschalten.

- Auswahl des Halbleiter-Materials: III-V-Heterostrukturen haben glatte undsaubere Grenzfl achen, aber schwache Potential-Barrieren. Die Oberfl achenlassen sich nicht passivieren und sind deshalb Tr ager von Ladungen hoherDichte, die die Stabilit at der Bauelemente stark beeintr achtigen. SiO2 alsnat urlicher Isolator auf Silizium ist eine hervorragende Barriere gegen Leck-str ome, ist jedoch amorph und hat deshalb eine hohe Defektdichte.

- Betriebstemperatur: F ur eine Anwendung von Si SETs bei Raumtemper-atur m ussen die Inseln Abmessungen von h ochstens 10 nm haben. HeutigeQuanten-Bauelemente funktionieren deshalb nur bei sehr tiefen Tempera-turen.

- Betriebsspannungs-Schwankungen k onnen leicht dazu f uhren, dass SETsaus der “Resonanz” geraten und so unbeabsichtigt vom “on-state” in den“off-state” umschalten.

1.2. QUANTEN-TRANSPORTGLEICHUNGEN 17

1.2 Quanten-Transportgleichungen

Beispiel: Wigner-Boltzmann-Gleichung

Die allgemeinste Beschreibung eines quantenmechanischen Systems erfolgt mitHilfe der sogenannten Dichtematrix

ρ ψ ψ ψ sei die Wellenfunktion eines abgeschlossenen Systems. (Zust ande eines Sys-tems, die durch Wellenfunktionen beschrieben werden k onnen, heissen reineZust ande. Die Formulierung mittels Dichtematrix erlaubt auch die Beschreibungvon gemischten Zust anden. Hier seien nur reine Zust ande betrachtet.) Die trivialeZeitabh angigkeit der Wellenfunktionen gem ass Eq. (1.3) wird der K urze halbernicht mitgeschrieben.

Wendet man die zeitabh angige Schr odinger-Gleichung auf die Dichtematrixan, erh alt man ihre Bewegungsgleichung

i ∂∂t

ρ H ρ Dabei ist a b ab ba der Kommutator. Zur sogenannten Ortsdarstellunggelangt man nach folgender Vorschrift:

r2 ρ r1 r2 ψ ψ r1 def ψ

r2 ψ r1

Durch Ubergang zu Schwerpunktskoordinaten

r1 R

r2 r2

R r2

und anschliessende Fouriertransformation bzgl. r entsteht die Wigner-Funktion(Wigner, 1932)

fWp R t

12π 3

d3rψ R r

2 ψ R r

2 exp

i p r (1.17)

Eigenschaften:

1) fW ist reellfW f W , aber nicht positiv (eine Konsequenz der Heisen-

bergschen Unsch arferelation, Wigner 1967).

2) d3p fWp R t ψ R t 2 ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Ort-

sraum (Dichte).


3) d3R fWp R t

12π 3 d3r d3Rψ R r

2 ψ R r2 exp i p r

12π 3 d3r1 d3r2 ψ r2 ψ

r1 exp i p r1 r2

ψp t ψ p t ψ p t 2 ist die Wahrscheinlichkeitsdichte im Im-

pulsraum.

Ableitung der Bewegungsgleichung:

Wir setzen abk urzend ψ ψR

r 2 und ψ ψ R r 2 . Die expliziteZeitableitung der Wigner-Funktion ergibt

∂∂t

fWp R t

12π 3

d3r

∂ψ

∂tψ ψ ∂ψ

∂t exp

i p r

Die Zeitableitungen auf der rechten Seite werden durch die jeweiligezeitabh angige Schr odinger-Gleichung ausgedr uckt, d.h.

∂ψ ∂t

1 i

2

2m∇2

R

VR r 2 ψ

∂ψ ∂t

1i

2

2m∇2

R

VR

r 2 ψ Nach dem Einsetzen wird die Ableitung bzgl. R auf eine Ableitung bzgl. rumgew alzt, z.B. ∇2

Rψ ψ 4 ∇2rψ ψ

und eine partielle Integration nach r durchgef uhrt. Dabei verschwinden die Termeim Unendlichen wegen der Annahme, dass die Wellenfunktionen dort Null sindund es bleibt

∂∂t

fWp R t

12π 3

d3r

2i m

∇rψ ∇r ψ e i p r 2i

m∇rψ ∇r ψ e i p r i

V V ψ ψ e i p r

Werden nun die Ableitungen bzgl. r ausgef uhrt und kehrt man danach wieder zurAbleitung nach R zur uck, folgt

∂∂t

fWp R t p

m ∇R fW

p R t

i

12π 3

d3r

V V ψ ψ e i p r


Um den letzten Term durch die Wigner-Funktion selbst ausdr ucken zu k onnen,wird das Potential V

R r 2 in eine Taylor-Reihe bzgl. r entwickelt:

VR r 2 ∑

λ

∂λ1 λ2 λ3VR

∂Rλ11 ∂Rλ2

2 ∂Rλ33

rλ11 rλ2

2 rλ33

λ1!λ2!λ3!

12 λ1 λ2 λ3

(1.18)

Wegen der Differenz V V in der Bewegungsgleichung bleiben nur Gliederubrig, f ur die λ1

λ2 λ3 ungerade ist. Beschr ankt man sich auf die ersten

beiden Terme, also auf λ1 λ2

λ3 1 und λ1

λ2 λ3

3, folgt

V V ∇RV

R r 1

4 ∑λ1 λ2 λ3 3

∂λ1 λ2 λ3VR

∂Rλ11 ∂Rλ2

2 ∂Rλ33

rλ11 rλ2

2 rλ33

λ1!λ2!λ3!

Nach Einsetzen in die Bewegungsgleichung und Generierung der Komponen-ten von r durch partielle Ableitung nach den Komponenten des Impulses pentsteht die endg ultige Form der Wigner-Boltzmann-Gleichung mit erstem nicht-verschwindenden Quanten-Korrekturterm:

∂∂t p

m ∇R ∇RV

R ∇p fW

p R t (1.19)

2

4 ∑λ1 λ2 λ3 3

∂3VR

∂Rλ11 ∂Rλ2

2 ∂Rλ33

1λ1!λ2!λ3!

∂3 fWp R t

∂pλ11 ∂pλ2

2 ∂pλ33

0

Die niedrigste Quantenkorrektur ist 2 und verschwindet f ur Potentiale, dieh ochstens quadratisch von den Koordinaten abh angen (harmonische Potentiale).In diesem Fall reproduziert sich die klassische, stossfreie Liouville-Gleichung.Symbolisch schreibt man daf ur

∂∂t

v ∂∂R

F ∂

∂p f 0 (1.20)

Der zweite Term beschreibt Diffusionsprozesse, der dritte Driftprozesse. Dierechte Seite ist Null wegen der Voraussetzung der Stossfreiheit (abgeschlossenesSystem).

Das Auftreten eines Terms mit dritter Ableitung nach den Koordinaten inder Wigner-Boltzmann-Gleichung ist Ausdruck der Nicht-Lokalit at der Quanten-mechanik.


PSfrag replacementsFree energy F

Charge QGate voltage VgVg N 1 e

Cg

Vg N 34

eCg

Vg N 12

eCg

Vg N 14

eCg

N 1 e

NeEF 0

EF

µ N

e

Freie Energie als Funktion der Ladung auf der Insel f ur vier verschiedene Gate-Spannungen (oben). Bei Vg

N 12 e

Cg existieren zum selben Wert der freien

Energie zwei Ladungszust ande (Entartung). Es kann ein Strom fliessen. In dieser Situ-ation ist das chemische Potential µ

N gleich dem ausseren Fermi-Niveau (unten).


vertdotall.epsi133 111 mm

(c)

(a)

a) Schematische Darstellung eines vertikalen QDs mit unterschiedlichen Barrieren.b) Energie-Quantisierung und Vielteilcheneffekte bestimmen wesentlich die Kennli-nien. Man erkennt an der I-Vg-Kennlinie die Schalenstruktur des Energiespektrums,die Ahnlichkeit mit der eines zweidimensionalen harmonischen Oszillators aufweist.Gef ullte Schalen gibt es zu den Elektronenzahlen N 2 6 12.c) Coulomb staircase (I-V-Kennlinie).

2 Boltzmann-Gleichung

2.1 “Ableitung”

streuung.epsi114 89 mm

dxdy

dz

x x + dx

inout

vxvy

vz v

v’

dvxdvy

dvz

Streuung

Ziel ist die Aufstellung einer Bilanzgleichung im Phasenraum (drei Ortskoordi-naten x, y und z, drei Geschwindigkeitskoordinaten vx, vy und vz) f ur die Zahl derElektronen (L ocher, allgemein: Teilchen), die sich zur Zeit t im Raumelement d3ram Ort r und im Geschwindigkeitselement d3v zur Geschwindigkeit v befinden.

22

2.1. “ABLEITUNG” 23

Diese Zahl bezeichnen wir mit

fr v t d3rd3v (2.1)

fr v t ist die klassische Verteilungsfunktion, d.h. Ort und Impuls sind gle-

ichzeitig scharf messbar. Die Teilchen bewegen sich auf klassischen Trajektorien.Bilanz im Ortsraum:Die Zahl der Elektronen, die in den infinitesimalen W urfel mit den Kantenl angendx, dy, dz in x-Richtung an der Stelle x im Zeitintervall dt hineinfliegen (“in”)und an der Stelle x

dx in diesem Zeitintervall wieder herausfliegen (“out”), ist

in : fr v t d3vvxdt dydz

out : fx

dx y z v t d3vvxdt dydz weil sie in dt die Strecke dx vxdt zur ucklegen. Der Netto-Zuwachs an Elektro-nen am Ort r ist dann gleich in out, d.h.

vx f x dx y z v t fr v t d3vdydzdt

vx∂ f∂x

d3vd3rdt

oder in 3D : v ∇r f d3vd3rdt (2.2)

In analoger Weise betrachtet man dieBilanz im Geschwindigkeitsraum:Man erh alt einen Netto-Zuwachs an Elektronen mit der Geschwindigkeit v

vx f r vx

dvx vy vz t fr v t d3rdvy dvz dt

vx∂ f∂vx

d3vd3rdt

oder in 3D : v ∇v f d3vd3rdt (2.3)

Die Elektronen werden im Zeitintervall dt unter dem Einfluss eines ausserenFeldes beschleunigt und andern ihre Geschwindigkeit von v nach v

dv. Nach

Newton gilt

v

F0

m

eEm

(2.4)

wobei F0 die einwirkende Kraft ist, die im Falle eines elektrischen Feldes E denWert eE hat.

Die Zahl der Elektronen mit der Geschwindigkeit v am Ort r kann aberauch auf andere Art ge andert werden. Die Elektronen werden gestreut und

24 CHAPTER 2. BOLTZMANN-GLEICHUNG

andern dadurch ihre Geschwindigkeit am Ort r von v nach v

(wenn sie aus demGeschwindigkeitsw urfel bei v herausgestreut werden), bzw. von v

nach v (wenn

sie hineingestreut werden). Man erh alt

in : ∑v S

v v f

r v t d3rd3vdt (2.5)

out : ∑v S

v v f

r v t d3rd3vdt (2.6)

f ur die Anderung der Elektronenzahl im Zeitintervall dt infolge von St ossen.Dabei ist S

v v die Streuwahrscheinlichkeit f ur die Streuung v

v (Dimen-sion: s 1). S ist also ein Mass f ur die H aufigkeit der Streuung.Alles zusammen, d.h. die Ausdr ucke (2.2), (2.3), (2.5) und (2.6), ergeben dieexplizite zeitliche Anderung der Elektronenzahl im Phasenraumelement d3rd3vw ahrend des Zeitintervalls dt, also ∂

∂t fr v t d3rd3vdt

∂∂t

v ∇r F0

m ∇v f

r v t

∑v S

v v f

r v t S

v v f

r v t (2.7)

(Ludwig Boltzmann, 1872).Die Boltzmann-Gleichung (BG) ist eine komplizierte Integro-Differentialglei-chung. Die “Ableitung” zeigt, dass man implizit r aumliche und zeitliche Lokalit atannimmt. Zeitliche Lokalit at bedeutet, dass die St osse instantan sind, r aumlicheLokalit at bedeutet, dass die St osse auf einer Ausdehnung der L ange Null stat-tfinden. In sehr grossen elektrischen Feldern ( 107V cm) sind diese Annahmennicht mehr gerechtfertigt (intra-collisional field effect).In der Bauelemente-Modellierung werden folgende Erweiterungen gemacht:

- Die Geschwindigkeit wird als Gruppengeschwindigkeit v ∇kEk ver-

standen.

- Ek ist durch die realistische Bandstruktur des Halbleiters gegeben.

- F ur die Streuwahrscheinlichkeiten Sv v der einzelnen Streuprozesse wer-

den die quantenmechanischen Ubergangswahrscheinlichkeiten pro Zeitein-heit verwendet.

- Im Stossterm der BG (rechte Seite) wird fr v t 1 f

r v t f r v t

und fr v t 1 f

r v t f r v t ersetzt. Damit wird das Pauli-

Prinzip ber ucksichtigt, d.h. die Endzust ande d urfen beim Stossprozess nichtbesetzt sein (Fermi-Statistik).

2.2. METHODEN DER DIREKTEN LOSUNG 25

2.2 Methoden der direkten Losung

2.2.1 Relaxationszeit-N aherung

- Die Streuwahrscheinlichkeit S sei gerade in allen Geschwindigkeits-komponenten: S

v v S

v v Sv v

S v v

. (Gilt nichtf ur alle Streuprozesse und f ur bestimmte nur n aherungsweise.)

- Man zerlegt die Verteilungsfunktion f in einen geraden Anteil f0und einen

ungeraden Anteil f1

f f0

f1 mit f

0

v f0 v

f1

v f1 v

- Einsetzen in den Stossterm der BG ergibt

∑v S v v f

0

r v t Sv v f

0

r v t Sv v f

1

r v t Der Term mit f

1

r v t verschwindet, weil f1

eine ungerade und S einegerade Funktion in der Geschwindigkeit v

ist.

- Im thermodynamischen Gleichgewicht ist f0

die Gleichgewichts-Verteilungsfunktion (Maxwell-Boltzmann-Verteilung). Die eckige Klam-mer verschwindet dann wegen des Prinzips der detaillierten Balance (Zahlder herausgestreuten gleich Zahl der hineingestreuten Teilchen).

- Definition totale (mikroskopische) Relaxationszeit:

τtotv

1

∑v S v v

- Damit wird der Stossterm symbolisch∂ f

0

∂t coll

f1

τtotv

Beispiel: Stationare, homogene BG, linearisiert im elektrischen Feld EIst das elektrische Feld E hinreichend schwach, kann man die BG in E lin-earisieren, d.h. f

0

ist dann identisch mit der Gleichgewichts-Verteilung und


f1

h angt nur linear von E ab. Beschr ankt man sich weiter auf den r aumlich undzeitlich homogenen Fall, reduziert sich die BG auf

eEm ∇v f

0

v f1

v τtot

v (2.8)

Zur weiteren Vereinfachung ersetzen wir τtotv durch eine Konstante τtot und

f uhren die Gr osse Beweglichkeit µ eτtot m ein. F ur die Stromdichte der Elek-tronen folgt

jn e v e∑

vfv v e∑

vf1

v v eµ∑v

vE ∇v f0

v Nach partieller Integration erh alt man

jn eµ∑

vf0

v E eµnE σn E (2.9)

also das Ohmsche Gesetz. Dazu wurde die Definition der Elektronendichte n

∑v f0

v und der Leitf ahigkeit σn eµn benutzt.

2.2.2 Monte-Carlo-Methode

- Man verfolgt Trajektorien der einzelnen Elektronen und l asst sie nach demZufallsprinzip streuen.

- Alle zu betrachtenden Streumechanismen (Phononen, St orstellen, ...) wer-den durchindiziert. Die Streurate des α-ten Mechanismus ist

∑v Sα

v v def

1ταv

- Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Elektron bis zur Zeit t + dt nicht gestreutwurde, ist

Pt

dt Pt P dt

Pt 1 dt ∑

v Sv v

(dt ∑v S v v dt ∑α τ 1αv ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Elektron

im Zeitintervall dt gestreut wurde.)


trajectory.ID.epsi111 78 mm

x

ytrajectory

c)

x(t)

t

⟨x⟩

a)

t

v(t)

⟨v⟩

b)

Schematische Darstellung der stochastischen Bewegung eines Elektrons im Falle reinerDiffusion (kein Feld). a) x

t -Diagramm. b) v

t -Diagramm: Nach jedem Stoss hat die

Geschwindigkeit einen neuen, konstanten Wert. c) Trajektorie in der x-y-Ebene.

- Daraus folgt die Differentialgleichung

dPdt

P ∑v S

v v

mit der L osung (man beachte, dass P(0) = 1)

Pt exp

t

0dt∑v S

v v im Intervall 0 t (2.10)

Die Zeit t ist also gleich der freien Flugzeit t f vom Anfangszeitpunkt t 0an gerechnet. P nimmt Werte zwischen 0 und 1 an, ist also eine echteWahrscheinlichkeit. Sie kann durch Zufallszahlen r f zwischen 0 und 1beschrieben werden.

- Auf diese Weise kann die zufallige freie Flugzeit t f eines Elektrons aus t f

0dt 1τtot

vt ln r f (2.11)


berechnet werden. Die numerische Aufl osung dieser Gleichung nach deroberen Integrationsgrenze t f verbietet sich jedoch geradezu wegen der kom-plizierten Gestalt von τtot

vt . Deshalb f uhrt man eine fiktive Selbst-

Streuung

S f ictv v

Γ ∑

v S v v δvv S f ict

v Γ 1

τtotv 0

ein, die wegen δvv offenbar den Zustand des Elektrons nicht ver andert (da-her der merkw urdige Name “Selbst-Streuung”). Das Hinzuf ugen von Sf ictzur BG hat keine Wirkung, da sich in-scattering- und out-scattering-Termkompensieren. Der Sinn der Einf uhrung von Sf ict wird sofort deutlich: DieGesamt-Streurate ist nun n amlich τ 1

totv S f ict

v Γ const und Gle-

ichung (2.11) f ur die freie Flugzeit vereinfacht sich zu

t f ln r f

Γ

d.h. der numerische Aufwand reduziert sich auf die Berechnung des Log-arithmus der Zufallszahl. In der Praxis nimmt man f ur Γ die obere Grenzeder Streurate aller realen Prozesse.

- Nach der Zeit t f wird das Elektron gestreut. Es muss ein bestimmterStreumechanismus ausgew urfelt werden. Der α-te Mechanismus (inclusiveder Selbst-Streuung) wird mit Hilfe der Zufallszahl rs uber die Ungleichung

α 1

∑j 1

1τ j rs Γ

α

∑j 1

1τ j

(2.12)

bestimmt. Veranschaulichung:

z B α 2iv wenn

1τac rs Γ

1

τac

1τiv

Um so st arker ein bestimmter Streumechanismus, um so gr osser 1 τα undum so gr osser die Wahrscheinlichkeit, dass er ausgew urfelt wird. Die ganzePhysik wird also in die Wichtung gesteckt.

- Der Endzustand nach der Streuung (v) muss unter den Restriktionen der

Energie- und Impulserhaltung f ur das Gesamtsystem der Stosspartner aus-gew ahlt werden. Wenn eine Hyperfl ache existiert, muss der konkrete v

-

Vektor ausgew urfelt werden, z.B. im Falle der elastischen Streuung ( v


streumech.ID.epsi100 33 mm

ac iv imp ee1 2 3 4

1τac

1τiv

1τimp

1τee

j =

Type =

Rate =

0 Γ

rs Γ

5self-scatt.

Sfict

v ) der Elektronen in Silizium ein bestimmtes Tal und ein bestimmterWinkel:

endzustand.ID.epsi61 58 mm

v

v’

- Die makroskopischen Gr ossen, wie mittlere Driftgeschwindigkeit,Stromdichte, Elektronentemperatur, ... werden nach gewissen(Beobachtungs-) Zeitintervallen ∆t durch Ensemble-Mittelung bestimmt.


mc-flow.epsi132 162 mm

Fluss-Diagramm einer Monte-Carlo-Simulation f ur den Fall eines homogenen Halblei-ters.

Momenten-Methode 33.1 Hydrodynamische Transportgleichungen, Drift-Diffusions-

Modell

Ziel ist die Ableitung von kinetischen Gleichungen f ur Mittelwerte einer FunktionΦv

Φ

d3vΦv f

r v t

d3v fr v t

1nr t

d3vΦ

v f

r v t (3.1)

aus der Boltzmann-Gleichung.1 Dabei geht ein betr achtlicher Teil an Informationverloren (n amlich der uber die Geschwindigkeiten der einzelnen Teilchen), aberdie Gleichungen werden einfacher und numerisch schneller l osbar. Φ bleibtnat urlich eine Funktion von r und t, was wir nicht explizit mitschreiben. Wirbetrachten jetzt das Produkt aus Dichte n

r t und dem Mittelwert Φ und leiten

dieses Produkt explizit nach der Zeit ab:

∂∂t

n Φ

∂∂t

d3vΦ

v f

r v t

d3vΦ

v ∂

∂tfr v t

F ur ∂ f ∂t setzen wir die Boltzmann-Gleichung (2.7) ein, wobei wir denl anglichen Stossterm mit der Bezeichnung

∂ f ∂t coll abk urzen:

∂∂t

n Φ

d3vΦ

v

v ∇r f F0

m ∇v f

∂ f∂t

coll

∇r

d3vΦv v f F0

m

d3vΦ

v ∇v f

∂∂t

d3vΦ f

coll

Um alle Terme auf der rechten Seite wieder durch Mittelwerte ausdr ucken zuk onnen, darf keine Ableitung von f unter dem Integral stehen. Im zweiten Term

1Diese Ableitung folgt der von K. Bløtekjær (IEEE TED 17, 38 (1970)) vorgeschlagenen Methode.

31

32 CHAPTER 3. MOMENTEN-METHODE

muss daher eine partielle Integration durchgef uhrt werdend3vΦ

v ∇v f

d3v

∇vΦ

v f

(man beachte, dass f f ur v ∞ verschwindet). Benutzt man jetzt die Definitiondes Mittelwerts (3.1), folgt

∂∂t

n Φ ∇r n vΦ n

F0

m ∇vΦ

∂∂t

n Φ coll

(3.2)

was man in verallgemeinerter Form als

∂∂t

n Φ ∇r j Φ nF Φ

∂∂t

n Φ coll

(3.3)

schreiben kann. Diese Gleichung ist eine Bilanzgleichung f ur die verallgemein-erte Dichte n Φ . Ihre explizite zeitliche Anderung ist mit der Divergenz einerverallgemeinerten Stromdichte j Φ n vΦ und dem Auftreten einer verallge-meinerten treibenden Kraft F Φ F0 ∇vΦ m verkn upft.

W ahlt man Φv speziell als Potenz der Geschwindigkeit, d.h. vm, erh alt

man eine Hierarchie von Erhaltungss atzen f ur Teilchendichte (m=0), Teilchen-Stromdichte (m=1), Energiedichte (m=2) und Energie-Stromdichte (m=3).Man nennt n vm das m-te Moment von v und die entsprechende Gleichung daf urdas m-te Moment der Boltzmann-Gleichung.Sprechen von jetzt ab wieder von Elektronen (Index n).

m = 0

Φ v0 1 j Φ n v jn e F Φ 0 Einsetzen in Gleichung (3.3) liefert den Erhaltungssatz f ur die Elektronendichten (Kontinuitats-Gleichung):

∂n∂t 1

e∇r jn

∂n∂t

coll (3.4)

(jn ist die elektrische Stromdichte).

3.1. HYDRODYNAMISCHE TRANSPORTGLEICHUNGEN,DRIFT-DIFFUSIONS-MODELL 33

m = 1Betrachten zun achst nur die x-Komponente von v.

Φ v1x vx j Φ n vvx F Φ

F0 x

mn Um ∇r j Φ zu berechnen, zerlegen wir die Geschwindigkeit in die Summe ausMittelwert und Abweichung vom Mittelwert:

v v δv Offenbar gilt δv 0. Der erste Term ist die mittlere Driftgeschwindig-keit, der zweite Term beschreibt die zuf alligen Fluktuationen der Elektronen-Geschwindigkeit um diesen Wert herum. Man k onnte auch sagen, δv ist ein Massf ur die chaotische Bewegung. Die Zerlegung f uhrt auf

j Φ n vvx n v δv vx δvx n v vx n δvδvx (3.5)

Bei der Anwendung der Divergenz muss man beachten, dass s amtliche Mittelw-erte Funktionen von r sind. Auf den ersten Term wird die Produktregel bzgl. derFaktoren n v und vx angewendet:

∇r j Φ vx ∇r n v n v ∇r vx ∇r n δvδvx Geht man jetzt zum Vektor v uber, erh alt man f ur das 1. Moment der BG

∂∂t

n v v ∇r n v n v ∇r v ∇r n δv δv

nF0

mn

∂∂t

n v coll

(3.6)

Wir definieren jetzt die mittlere Elektronen-Temperatur (am Ort r) uber die mit-tlere kinetische Energie der chaotischen Bewegung:

12

kBTn

mn

2 δv δv (3.7)

Tn ist der Temperatur-Tensor, kB die Boltzmann-Konstante. Multipliziert manGleichung (3.6) noch mit der Ladung des Elektrons (-e), folgt der Erhaltungssatzf ur die Elektronen-Stromdichte

∂∂t

jn v ∇r jn

jn ∇r v e

mn∇r nkBTn n

e2Emn

∂jn

∂t

coll (3.8)


m = 2Berechnen zuerst den Mittelwert Φ f ur diesen Fall.

Φ v2

v δv 2 v 2 2 v δv δv 2

Φ v 2 δv 2 Wegen kBTn

mn δv δv ist der letzte Term

δv 2 1

mnSp kBTn

wobei Sp die Spur des Tensors bedeutet (Summe der Diagonalelemente der “Ma-trix”). Die mittlere Energie der Elektronen wird als Summe aus einem Driftanteilund einem W armeanteil geschrieben:

wn

mn

2 v 2 1

2Sp kBTn (3.9)

Wir erhalten also f ur Φ im Falle m = 2:

Φ

2mn

wn F ur die verallgemeinerte Stromdichte ergibt sich

j Φ n vv2 n v δv v 2 2 v δv

δv 2 n v 3 v δv 2 2 v δv δv δv δv 2 n v 2

mn mn

2 v 2 mn

2 δv 2 mn δv δv n

δv δv 2 n v 2

mn

wn 1

2Sp kBTn 1

2Sp kBTn kBTn

n δv δv 2

n v 2mn

wn kBTn n δv δv 2 (3.10)

Der letzte Term ist ein Term dritter Ordnung in der Geschwindigkeit, dessenBerechnung nur mit Hilfe des 3. Moments der BG erfolgen kann. Wir wollendie Hierarchie jedoch bei m = 2 abbrechen. Dazu muss der Term dritter Ordnungdurch Gr ossen niedrigerer Ordnung ausgedr uckt werden. Physikalisch beschreibt


dieser Term offenbar den chaotischen (diffusiven) Transport von W arme. Manmacht deshalb den ph anomenologischen Ansatz

Qn mn

2n δv δv 2 !

κn∇rTn (3.11)

und nennt Qn die konduktive W arme-Stromdichte, sowie κn die thermischeLeitf ahigkeit der Elektronen. Dabei ist Tn Sp

Tn 3. Man darf die thermische

Leitf ahigkeit der Elektronen nicht mit der thermischen Leitf ahigkeit des Halbleit-ers verwechseln. Letztere tritt in der W armeleitungs-Gleichung f ur das Gitterauf und ist um Gr ossenordnungen gr osser als κn (d.h., das Elektronengas ist einschlechter W armeleiter). Anwendung der Divergenz auf j Φ ergibt dann

∇r j Φ 2

mn∇r v un

nkBTn v Qn

mit der Definition f ur die Energiedichte un n wn . Das 2. Moment der BGkann man nun hinschreiben. Es liefert den Erhaltungssatz f ur die Energiedichteder Elektronen.

∂∂t

un ∇r Sn jn E

∂un

∂t

coll (3.12)

mit der Energie-Stromdichte

Sn v un

nkBTn v Qn (3.13)

Sie setzt sich aus einem konduktiven Anteil (Qn) und einem konvektiven Anteilzusammen. Letzteren erkennt man daran, dass er proportional zu n v ist, also zurelektrischen Stromdichte jn. Die Elektronen tragen bei ihrer gerichteten Bewe-gung Energie mit sich, und zwar ihre mittlere Energie wn und W arme-EnergiekBTn. Der dritte Term auf der linken Seite von Gleichung (3.12) ist die bekannteJoulesche W arme.

Behandlung der Stossterme

Der Stossterm in seiner allgemeinen Form wird geschrieben als∂∂t

n Φ coll

n

∂ Φ ∂t

coll

Φ

∂n∂t

coll (3.14)

Der erste Anteil beschreibt St osse, bei denen die Elektronen in denLeitungsb andern verbleiben (Intra-Term), der zweite beschreibt St osse, diezu einer expliziten Anderung der Elektronenzahl in den Leitungsb andern f uhren


(Inter-Term oder Generations-Rekombinations-Term). Die explizite zeitlicheAnderung von n durch St osse ist gleich der Netto-Generationsrate G R:

∂n∂t

coll

G R F ur den Intra-Term machen wir die Relaxationszeit-N aherung:

n∂ Φ

∂t

coll

n Φ Φ eq

τ Φ Hier bezeichnet τ Φ eine makroskopische Relaxationszeit, die ein Mass daf urist, wie schnell das System der Elektronen in den Gleichgewichts-Zustand Φ eqzur uckkehrt, wenn es im Nichtgleichgewichts-Zustand Φ war.Das Ergebnis f ur die ersten drei Momente lautet:

m 0 :

∂∂t

n Φ coll

G R da Φ 1

m 1 :

∂∂t

n Φ coll

n v τp n

v G R da v eq 0

m 2 :mn

2

∂∂t

n Φ coll

n wn wn eq

τE n

wn G R

τp n heisst Impuls-Relaxationszeit (der Elektronen), τE n heisst Energie-Relaxationszeit (der Elektronen). Die mittlere Energie eines Elektrons imthermodynamischen Gleichgewicht ist nat urlich wn eq

3kBTL 2 mit derGittertemperatur TL. (Thermische Energie pro Freiheitsgrad kBTL 2.) ImGleichgewicht sind die Elektronen thermalisiert und haben die Temperatur desKristallgitters.

Hydrodynamisches Modell

Die endg ultige Form des hydrodynamischen Transport-Modells folgt unterBenutzung folgender Relationen.

µn

emn

τp n (3.15)

µn ist die Beweglichkeit der Elektronen.

Dn

kBTn

eµn (3.16)


heisst Einstein-Relation zwischen Diffusions-Koeffizient und Beweglichkeit.

Er ∇rϕ

r (3.17)

ist die Beziehung zwischen elektrischer Feldst arke und elektrostatischem Poten-tial ϕ

r . Alle Ladungen im Bauelement erzeugen ein D-Feld, das L osung der

makroskopischen Maxwell-Gleichung

∇r D r 1ε0

ρr (3.18)

ist. In dieser Gleichung ist ρr die lokale Dichte s amtlicher “Uberschuss”ladun-

gen, d.h.

ρr e n r p

r N

D

r N A r (3.19)

mit der L ocherdichte pr , der Dichte ionisierter Donatoren N

D

r , und der

Dichte ionisierter Akzeptoren N A r . Elektrisches Feld und D-Feld sind uberdie statische Dielektrizit atskonstante εs miteinander verkn upft:

Dr εsE

r (3.20)

wobei εs im allgemeinen Falle ein Tensor ist (wovon wir absehen wollen). Kom-bination der letzten drei Gleichungen f uhrt auf die Poisson-Gleichung, die zujedem Transport-Modell dazugeh ort:

∇r ε0εs∇rϕr e n r p

r N

D

r N A r (3.21)

Der Temperatur-Tensor Tn wird noch wie folgt vereinfacht:

Tn TnI

mit dem Einheits-Tensor I und der skalaren (ortsabh angigen) Elektronen-Temperatur Tn.Wir setzen das 1. Moment des Stossterms in das 1. Moment der BG ein, gehenzur skalaren Temperatur Tn uber und benutzen die Definition der Beweglichkeit.

∂∂t

jn v ∇r jn

jn ∇r v µn

τp n∇rnkBTn en

µnEτp n

jn

τp n e v G R (3.22)


Nun ist

∂∂t

jn e

∂∂t

n v e

n

∂ v ∂t

v ∂n∂t

en∂∂t

v v ∇r jn e v G R Im letzten Schritt wurde die Kontinuit ats-Gleichung (3.4) f ur ∂n ∂t eingesetzt.Man sieht, dass die beiden letzten Terme zwei identische Terme in (3.22) kom-pensieren. Es bleibt

en∂∂t

v jn ∇r v µn

τp n∇rnkBTn en

µnEτp n

jn

τp n Multipliziert man die letzte Gleichung mit τp n, wendet die Produktregel bzgl.∇rnkBTn an, benutzt die Einstein-Relation im ∇rn-Term, ersetzt die Feldst arke

durch den Gradienten des elektrostatischen Potentials und dr uckt v wiederdurch jn aus, folgt

jn

nτp n∂∂t

jn

n τp n

e

jn ∇r

jn

n eµnn∇r

ϕ kBTn

e eDn∇r n

(3.23)

Zusammenfassend seien alle Gleichungen des hydrodynamischen Transport-Modells noch einmal aufgef uhrt:

∇r ε0εs∇rϕ e n p ND

N A (3.24)

∂n∂t 1

e∇r jn

G R (3.25)

∂∂t

n wn ∇r Sn jn E n

wn 3kBTL 2τE n

wn G R (3.26)

jn

nτp n∂∂t

jn

n τp n

e

jn ∇r

jn

n eµnn∇r

ϕ kBTn

e eDn∇r n

(3.27)

Sn Qn

1e

wn kBTn jn (3.28)

Da wir nur die Elektronen behandelt haben, kommen jetzt noch die entsprechen-den Bilanz-Gleichungen f ur die L ocher hinzu. Man bekommt sie einfach durchdie Ersetzungen n p, e e und Vertauschung der Indizes n p. Der Term, der


beide Teilchensorten am st arksten koppelt, ist der Generations-Rekombinations-Term

G R , aber auch die Beweglichkeiten µn, µp sind von der Elektron-

Loch-Streuung beeinflusst. Dass man uberhaupt separate Momentengleichungenf ur Elektronen einerseits und L ocher andererseits betrachten darf, setzt voraus,dass beide Ladungstr agersorten nur hinreichend schwach gekoppelt sein d urfen.Dazu muss die Relaxation innerhalb der Subsysteme viel schneller ablaufen alsInterband-Prozesse. Unter “normalen” Betriebsbedingungen ist dies der Fall.Die Variablen des hydrodynamischen Transport-Modells sind ϕ, n, p, wn und wp.Alle sind Funktionen von r und t. Die Poisson-Gleichung ist stark nicht-linear,da die Dichten exponentiell vom elektrostatischen Potential ϕ abh angen. DieGleichungen f ur jn p und Sn p nennt man konstituierende Gleichungen. Alle Gle-ichungen sind untereinander stark gekoppelt. Besondere numerische Problemebereiten die Terme, die quadratisch in jn p sind.Die Gleichungen sind durch Randbedingungen zu komplettieren. Man unter-scheidet k unstliche und nat urliche Randbedingungen. Erstere sind erforderlich,weil das Simulationsgebiet immer nur einen Teil des gesamten Bauelements um-fasst. Sie m ussen so formuliert werden, dass sie keinen Einfluss auf die berech-neten Kennlinien haben. Nat urliche Randbedingungen braucht man an ausserenund inneren Grenzfl achen, an den Grenzen zu Metall-Kontakten und zu Gate-Oxiden. Diese Randbedingungen werden selbst oft als physikalische Modelleformuliert.In den Gleichungen treten eine Reihe von Transport-Koeffizienten auf. F urdiese braucht man physikalische Modelle als Funktion der Betriebsbedingungen(Temperatur, Dotierung, ...). Diese Modelle m ussen die Physik m oglichst gutbeschreiben, andererseits aber auch analytisch m oglichst einfach sein, um keinenumerischen Probleme zu erzeugen. Konkret ben otigt man Modelle f ur

die Abh angigkeit der Dichten n und p vom Potential ϕ (Poisson-Gleichung),weil in diese Beziehung (direkt oder indirekt) die Energiel ucke eingeht.Die Energiel ucke h angt von der Gittertemperatur, der Dotierung und denDichten selbst ab.

den Ionisationsgrad der Dotierung N A ND . Nicht alle elektrisch aktivier-

baren (d.h. substitutionell eingebauten) Dotieratome sind auch ionisiert. DerIonisationsgrad h angt von der Dotierungs-Konzentration und der Gittertem-peratur ab. Er kann sogar eine explizite Funktion der Zeit sein (dynamischeUmladungsprozesse).

die Generations-Rekombinations-Raten. Beispiele sind die Shockley-Read-Hall-Rekombination, Stossionisation, Interband-Tunneln, Auger-Rekombination und defekt-assistiertes Tunneln.

die Beweglichkeiten µn, µp als die entscheidenden Transport-Parameter


f ur MOSFET-Kennlinien. Sie sind Funktionen der Gittertemperatur, derDotierung, der Feldst arke in Stromrichtung und in MOSFETs auch Funk-tionen der Feldst arke senkrecht zur Si-SiO2-Grenzfl ache.

die Impuls- und Energie-Relaxationszeiten. die thermischen Leitf ahigkeiten der Elektronen und L ocher.

etemp-hyd.epsi103 66 mm

+2.971e+02

+1.597e+03

+2.897e+03

+4.196e+03

+5.496e+03KT-e

Verteilung der Elektronen-Temperatur in einem 0.25µm-MOSFET bei 2 V Source-Drain-Spannung und 1.5 V Gate-Spannung. Simulation im Energie-Balance-Modell.

Energie-Balance-Modell

F ur praktische Anwendungen wird das hydrodynamische Transport-Modellweiter vereinfacht. Man macht folgende N aherungen:

nτp n∂∂t jn

n 0

τp ne

jn ∇r jn

n 0

∂∂t

n wn 0

wn mn2 v 2 3

2kBTn 3

2 kBTn

Damit reduziert sich das Transport-Modell zum sogenannten Energie-Balance-Modell. Anstelle der Gleichungen (3.26), (3.27) und (3.28) erh alt man

∇r Sn jn E 3nkB

2τE n

Tn TL 3

2kBTn

G R (3.29)


jn eµnn∇r

ϕ kBTn

e eDn∇r n (3.30)

Sn κn∇rTn 5kB

2eTn jn (3.31)

Die System-Variablen sind ϕ, n, p, Tn und Tp. In allen F allen, in denen manEffekte heisser Ladungstr ager vernachl assigen kann, setzt man Tn Tp

TL, undGleichung (3.30) reduziert sich auf die sogenannte Drift-Diffusions-Gleichung

jn eµnn∇rϕ

eDn∇r n (3.32)

Zusammen mit Poisson- und Kontinuit ats-Gleichung ergibt (3.32) das Drift-Diffusions-Modell. Der Name weist nat urlich auf die beiden Bestandteile “Drift”und “Diffusion” in (3.32) hin.

Die N aherungen, die vom hydrodynamischen Transport-Modell zum Energie-Balance-Modell f uhren, bed urfen noch einer physikalischen Interpretation. Diebeiden vernachl assigten Terme in der Stromdichte-Gleichung muss man gegenjn selbst absch atzen (erster Term). Betrachtet man nur die Betr age und geht zuDifferenzen uber, folgt

∆ v ∆t

v τp n

und∆ v

∆r 1

τp n (3.33)

Die erste Bedingung bedeutet, dass von aussen induzierte zeitliche Anderungenvon v klein sein m ussen gegen die totale Streurate. (Die mittlere Drift-geschwindigkeit relaxiert sehr schnell auf einer Zeitskala, die z.B. durchSchaltvorg ange gegeben ist.) Ein typischer Wert von τp n ist 10 13 s. Damitw are eine Picosekunde etwa die untere Grenze f ur die Zeitkonstante aussererSt orungen.Die zweite Bedingung bedeutet, dass die ortliche Anderung von v kleinsein muss gegen die totale Streurate. Nimmt man f ur ∆ v die S attigungs-Driftgeschwindigkeit der Elektronen in Silizium bei Raumtemperatur vn sat

107 cm s, ergibt sich als Bedingung ∆r 10nm. Diese Bedingung ist in Kurz-Kanal-MOSFETs bereits verletzt.Die Vernachl assigung der expliziten Zeitableitung der Energiedichte ist danngerechtfertigt, wenn

∆un

∆t un

τE n(3.34)

angenommen werden kann, d.h. die Energie-Relaxationszeit muss immer nochklein gegen die Zeitkonstante ausserer St orungen bleiben. Ein typischer Wert f ur


τE n ist 0.3 Picosekunden.Die Vernachl assigung des Driftanteils der mittleren Energie gegen uberder mittleren thermischen Energie kann ebenfalls uber die S attigungs-Driftgeschwindigkeit begr undet werden. Mit mn

0 3m0 ergibt sich5 7meV

kBTn, d.h. selbst “kalte” Elektronen (bei 300 K Gittertemperatur)

erf ullen noch knapp die Voraussetzung. (Bei 77 K nicht mehr.)

3.2 Thermodynamisches Modell

Dieses Transport-Modell basiert auf den Prinzipien der irreversiblen Thermo-dynamik. Man sieht das Bauelement als thermodynamisches System aus Elek-tronen, L ochern und Gitter an. Die Subsysteme seien durch Gleichgewichts-Variablen

Tn µc

n Tp µcp TL

charakterisierbar. (µcn p sind die chemischen Potentiale.) Die Dichte der inneren

Energie utot des Gesamt-Systems ist eine Erhaltungsgr osse, folglich gilt die Kon-tinuit ats-Gleichung

∂utot

∂t ∇r ju tot

0 (3.35)

mit der totalen Energie-Stromdichte ju tot . (Wir benutzen hier nicht das SymbolS, um Verwechslungen mit der Entropie S zu vermeiden.) Zur inneren Energiegeh ort auch das elektrostatische Potential ϕ

r , das von der Ladungsdichte

ρr e n r p

r N

D

r N A r

erzeugt wird. Die Anderung der Energiedichte des elektrischen Feldes ergibt sichwegen

Ω

d3rE δD Ω

d3r∇rϕ δD !

Ω

d3rϕ∇r δD

Ω

d3rδρr ϕ

zu

E δD ϕδρ e dn dp dND

dN A (3.36)

Der Beitrag der Donatoren und Akzeptoren wird im folgenden der Einfachheithalber weggelassen, womit lediglich das System auf die drei oben genannten

3.2. THERMODYNAMISCHES MODELL 43

Subsysteme beschr ankt bleibt. Die totaleAnderung der Entropiedichte aller dreiSubsysteme ist

dstot

dun

Tn

dup

Tp

duL

TL EF n

Tndn EF p

Tpdp (3.37)

Der Grund, warum hier anstelle der chemischen Potentiale die Gr ossen EF n undEF p auftreten, ist, dass wir wegen Gleichung (3.36) die elektrostatische Energie eϕ zu den chemischen Potentialen dazugeschlagen haben. Man nennt EF n p elektro-chemische Potentiale oder auch quasi-Fermi-Energien:

EF n p r µc

n pr eϕ

r (3.38)

Oft werden auch quasi-Fermi-Potentiale verwendet:

φn p EF n p e E

0

i e (3.39)

wobei das intrinsische Energieniveau E0

i uber die effektive intrinsische Dichteni eff des Halbleiters definiert ist:

E0

i E0

c kBTn ln

ni eff

Nc

(3.40)

Im totalen Differential der Entropiedichte (3.37) ist das letzte Vorzeichen “

”,weil “System plus Loch” aquivalent ist zu “System minus Elektron”. Aus (3.37)erh alt man sofort die totale Entropie-Stromdichte

js tot

1Tn

jnu 1

Tpjpu

1TL

jLu EF n

eTnjn EF p

eTpjp (3.41)

die der Kontinuit ats-Gleichung

Πs tot ∇r js tot

∂stot

∂t(3.42)


gen ugt. Hier bezeichnet Πs tot die Erzeugungsrate der totalen Entropiedichte.Einsetzen von js tot und ∂stot ergibt

Πs tot

∇r

1Tn

jnu

∇r1Tp

jpu

∇r1TL

jLu

∇r

EF n

eTn

jn

∇rEF p

eTp

jp

(3.43)

1Tn

∇r jnu

∂un

∂t 1

Tp

∇r jpu

∂up

∂t 1

TL

∇r jLu

∂uL

∂t

EF n

eTn∇r jn

EF p

eTp∇r jp

EF n

Tn

∂n∂t EF p

Tn

∂p∂t

Benutzt man den Erhaltungssatz der totalen Energie und die Kontinuit ats-Gleichungen f ur n und p, folgt

Πs tot

∇r

1Tn

jnu

∇r1Tp

jpu

∇r1TL

jLu

∇r

EF n

qTn

jn

∇rEF p

qTp

jp

1Tn 1

TL

Πnu

1Tp 1

TL

Πpu

EF p

Tp EF n

Tn

G R (3.44)

mit den Energie-Erzeugungsraten Π n p u der Subsysteme der Elektronen undL ocher. Die letzte Gleichung kann man formal als

Πs tot ∑

X∇FX jX (3.45)

schreiben, mit treibenden Kr aften, oder Affinitaten ∇FX , und Fl ussen jX . DieGrundannahme besteht nun darin, dass alle Fl usse jX von allen Affinit aten ∇FXgetrieben werden und dass dies mittels des linearen Ansatzes

jX ∑

Y

∂jX

∂∇FY ∇FY IX

∑Y

∂IX

∂∆FY ∆FY (3.46)

ausgedr uckt werden kann (linear response). Die Proportionalit atsfaktoren heissenkinetische Koeffizienten 1. Ordnung

LXY

∂jX

∂∇FY and ΛXY

∂IX

∂∆FY (3.47)

3.2. THERMODYNAMISCHES MODELL 45

Sie sind Tensor-Funktionen der lokalen intensiven Parameter. Das Onsager-Theorem (L. Onsager, 1931) besagt, dass LXY

LY X , wenn kein Magnetfeldexistiert. F ur die f unf Stromdichten ergibt sich das Gleichungssystem

jnjpjnujpujLu

L11 L12 L13 L14 L15L21 L22 L23 L24 L25L31 L32 L33 L34 L35L41 L42 L43 L44 L45L51 L52 L53 L54 L55

∇rEF n eTn

∇rEF p eTp

∇r1 Tn

∇r1 Tp

∇r1 TL

(3.48)

F ur praktische Zwecke ist es notwendig, die Matrix LXY zu reduzieren, in-dem bestimmte Elemente durch 0 ersetzt werden (“minimales Kopplungssche-ma”). Z.B. vernachl assigt man die KoeffizientenL12 (electron-hole drag) und L15(phonon drag). Um das Prinzip zu demonstrieren, betrachten wir jetzt nur das-jenige minimale Kopplungsschema f ur jn, bei dem die einzigen treibenden Kr aftedie Gradienten von elektro-chemischem Potential EF n und inverser Elektronen-Temperatur Tn sind.

jn L11 ∇r

EF n

eTn

L13 ∇r

1Tn (3.49)

Vom Tensor-Charakter sei ebenfalls abgesehen, d.h L IL. Mit den Definitionen

L11 σnTn (3.50)

L13 σnTn

EF n e PnTn (3.51)

worin σn die elektrische Leitf ahigkeit und Pn die absolute thermo-elektrischeKraft sind, ergibt sich f ur jn:

jn σn

∇rEF n e Pn∇rTn (3.52)

Das entsprechende minimale Kopplungsschema f ur jnu f uhrt auf die Gleichung

jnu L31∇r

EF n eTn L33∇r

1 Tn (3.53)

Nutzt man das Onsager-Theorem aus (L31 L13), kann man (3.53) auf die Form

jnu

PnTn EF n e jn

σn

Tn

PnTn EF n e 2 L33

T 2n ∇r Tn

bringen. Da die eckige Klammer gleich κn sein muss (κn thermische

Leitf ahigkeit der Elektronen), folgt

L33 κnT 2

n σnTn

EF n e PnTn 2 (3.54)


Somit ergibt sich f ur die Energie-Stromdichte der Elektronen

jnu κn∇rTn

EF n e PnTn jn (3.55)

bestehend aus einem konduktiven und einem konvektiven Term.Vergleich mit Drift-Diffusions-ModellWenn ein nichtentarteter Halbleiter mit parabolischer Bandstruktur vorausgesetztwird, sieht man durch direkte Berechnung von ∇rn

EF n Tn , dass jTD

n jDD

n

genau dann gilt, wenn

E0

i 0 sowie Pn

kB

e

ln

nNc 5 2 (3.56)

Die erste Bedingung entspricht einer speziellen Wahl des Energie-Nullpunkts, diezweite kann man als Modell der absoluten thermo-elektrischen Kraft auffassen.Vergleich mit Energie-Balance-Modell

Die Energie-Stromdichten werden gleich (jTDnu

Sn), wenn wn 32 kBTn

angenommen wird und im Energie-Balance-Modell die mittlere thermische En-ergie durch

w n wn Ecr E

0

c E0

i (3.57)

ersetzt wird. Neben der Verschiebung des Energie-Nullpunkts muss man imEnergie-Balance-Modell auch noch die potentielle Energie addieren. Die zu(3.57) aquivalente Ersetzung der Energie-Stromdichte lautet Sn Sn Ei

r jn e.

Numerische Methoden fur die Simulationvon Bauelementen

by Bernhard Schmithusen 44.1 Skalierte Gleichungen und Losungsprozedur

4.1.1 Die Physikalischen Gleichungen

Die grundlegenden van Roosbroeck’s Gleichungen des Ladungstr agertransportsin Halbleitern sind die Poisson-Gleichung und die beiden Kontinuit atsglei-chungen (im folgenden wird die Netto-Rekombinationsrate R G einfach mitR bezeichnet):

∇ ε∇ϕ ep n

C (4.1)

e∂n∂t ∇jn

eR (4.2)

e∂p∂t ∇jp

eR (4.3)

vervollst andigt durch die Stromgleichungen (unter Benutzung der Einstein Rela-tion D UT µ)

jn eµnn∇φn eµn

UT ∇n n∇ϕ (4.4)

jp eµp p∇φp eµp

UT ∇p

p∇ϕ (4.5)

F ur MOS-Bauelemente wird in Isolatoren (z.B. SiO2) die Poissongleichung(unter Vernachl assigung mobiler und fixer Ladungen) gel ost:

∇ ε∇ϕ 0 (4.6)

Die Metallregionen geh oren nicht zum (elektrischen) Simulationsgebiet, auchwenn einfache Modelle integriert werden k onnten. Die eigentliche Physik besteht

47

48 CHAPTER 4. NUMERISCHE METHODEN

in den Voraussetzungen der G ultigkeit der Gleichungen und steckt in den Param-etern Beweglichkeit µ und Rekombination R:

µ µx ∇ϕ 0

R Rx n p ∇ϕ

Mathematisch handelt es sich im station aren Fall um ein gekoppeltes System el-liptischer Gleichungen.

4.1.2 Randwerte

Versehen mit Anfangswerten und Randbedingungen ist das ein ”wohl gestelltes”Problem. Die Existenz und Eindeutigkeit der L osung ist mathematisch unter re-striktiven Anforderungen nachgewiesen.

A Artifizielle Randwerte

Diese treten an k unstlich eingef uhrten Begrenzungen des Simulationsgebi-etes auf, und sollten so gew ahlt werden, dass sie das Modell nicht signifikantst oren:

∇ϕ ν jn ν jp ν 0 B Physikalische Randwerte

Physikalische Randwerte treten an Materialgrenzen und Kontakten auf.

(a) Kontakte

(i) Ohmsche Kontakte: Normalerweise werden

np n2i thermodynamisches Gleichgewicht

p n

C 0 Ladungs-Neutralit at

f ur die Dichten, und verschwindender Strom im thermody-namischen Gleichgewicht gefordert, resultierend in Dirichlet-Randwerten f ur alle L osungsvariablen.

(ii) Schottky Kontakte

C Halbleiter-Isolator GrenzflachenIm allgemeinen fordert man

εsemi∇ϕsemi εins∇ϕins

jn ν jp ν 0

4.1. SKALIERTE GLEICHUNGEN UND LOSUNGSPROZEDUR 49

4.1.3 Die skalierten (station aren) Gleichungen

Um dimensionslose Gr ossen zu erhalten und die Werte in numerisch behan-delbare Gr ossenordnungen zu bringen skaliert man die Gleichungen (de MariSkalierung):

∇ ε∇ϕ

p n

C (4.7)

∇jn R (4.8)

∇jp R (4.9)

jn µnn∇φn µn

∇n n∇ϕ (4.10)

jp µp p∇φp µp

∇p

p∇ϕ (4.11)

4.1.4 Wahl der Variablen

Die Wahl der Variablen bestimmt die Gestalt der Gleichungen und damit dasnumerische Verhalten:

Potential und Dichten ϕ n p- n p 0 ist numerisch nicht zu erwarten w ahrend der Iteration

- Kontinuit atsgleichungen linear in n p (falls Beweglichkeit unabh angigvon den Dichten)

Potential und Quasi-Fermi Potentiale ϕ φn φp

- Dichten automatisch positiv (n expϕ φn ).

- Nichtlinear in n p (auch f ur konstante Dichten).

Potential und Slotboom-Variablen ϕ u v- Dichten n u exp

ϕ , p v exp

ϕ nicht automatisch positiv.

- Konvektiver Term verschwindet.

- Stark variierende Diffusivit at.

- Explizite Berechnung von exp

ϕ erforderlich.

- mathematisch interessant, da Kontinuit atsgleichungen selbstadjungiertwerden (ausgebaute Theorie).


4.1.5 Die L osungsprozedur

A. Diskretisierung

Das kontinuierliche Problem ist formuliert in (nicht-endlich-dimensionalen)Funktionenr aumen. Diskretisierung heisst, das Problem endlich dimensional zumachen. Wir erhalten eine (nichtlineare) Gleichung in IRn:

Fx

Fϕx

Fnx

Fpx 0

B. L osen der nichtlinearen diskreten Gleichung

Nichtlineare Gleichungen k onnen nur iterativ gel ost werden:

Gummel-IterationDies ist das klassische Verfahren (kleine Computer). Iterativ l ost man

Fϕ nk pk ϕk 1

Fnϕk 1 pk nk 1 (4.12)

Fpϕk 1 nk 1 pk 1

Es ist offensichtlich, dass ein solches Verfahren nur bei geringer Kopplungder Gleichungen konvergieren kann.

Newton-ahnliche VerfahrenDie bekannte Newton-Iteration:

F

xn xn 1 xn F

xn (4.13)

Man weiss, dass f ur hinreichend gute Anfangswerte x0 die Konvergenzquadratisch ist, falls F hinreichend glatt und die Nullstelle isoliert ist. Dieskann man in 1D leicht einsehen:

Fxn 1 F

xn F

xn

xn 1 xn

0

O xn 1 xn 2

und

xn 1 xn F

xn 1F

xn

also F xn 1 O xn 1 xn 2 O

F xn 2 xn 1 xn O F xn O

xn xn 1 2 In mehrerenen Dimensionen ist das nicht so einfach zu beweisen.

4.2. DISKRETISIERUNG 51

Multigrid-Verfahren

Basiert auf der Idee, niedrig-frequente Anteile der L osung auf groben Git-tern und die hoch-frequenten Anteile auf feinen Gittern zu bestimmen. Dieineinander geschachtelten Strukturen werden auf der geometrischen (Gitter)oder algebraischen Ebene (Matrix) benutzt.

C. L osen der auftretenden linearen Gleichungen

Ax b (4.14)

Es gibt eine riesige Literatur uber die Numerik der linearen Gleichungen:

Direkte Verfahren Basieren auf Gauss-Algorithmus.

Iterative Verfahren Approximieren gegebene Matrix A durch einfacher zu in-vertierende Matrizen:

A M N (splitting)

xn 1 M 1 Nxn

b

1 M 1A xn

M 1b

Jacobi-Verfahren ( M diagA )

Gauss-Seidel-Verfahren ( M diagA loweroffdiag

A )

Successive Overrelaxation (SOR)Krylow-Methoden (GMRES, CG, etc.)

Memory-Bedarf klein, schnell, wenig robust, Konvergenz h angt stark vonEigenschaften der Matrizen ab.

4.2 Diskretisierung

4.2.1 Allgemeine Diskretisierungsverfahren

Es gibt verschiedene allgemeine Verfahren. Die technisch relevanten erfordernein Gitter auf dem Definitionsgebiet.

- Finite Differenzen (FD): Substitution der Differentialoperatoren durch Dif-ferenzen:

Du ui 1 ui 1

h

Oh2

e Einfach zu implementieren, RW technisch, schwierig in der Analyse desKonvergenzverhaltens.


- Finite Elemente Methode (FEM): Basiert auf schwacher Formulierung desProblems: Sei ξ H1

0 D, dann ergibt Integration der Poissongleichung:Ω

ε∇ϕ ∇ξ

Ω

p n C ξ

∂ΩN

ε∇ϕξν

Vorteile: Ausgedehnte Theorie (Fehleranalyse, etc.)

- Box Methode (BM): Basiert auf Divergenz-Form der Gleichungen:

∇F g

4.2.2 Anforderung an Diskretisierung

Um vern unftige Approximationen der kontinuierlichen L osung zu erhalten, solltedas diskretisierte Problem wesentliche Eigenschaften des kontinuierlichen Prob-lems aufweisen:

Teilchen-ErhaltungLokale G ultigkeit des Gausschen Satzes. Die BM erf ullt diese Bedingungautomatisch.

Strom-ErhaltungDer diskrete Strom durch eine Fl ache sollte nur von der Fl ache abh angen.

Maximum-Eigenschaft der elliptischen OperatorenDas diskrete Maximumprinzip (genauer ”Comparison” Theoreme) elliptis-cher Operatoren ist die M-Matrix Eigenschaft:

Definition 1 Eine reelle n n Matrix A heisst M-Matrix, falls

(i) Ai j 0 fur alle i j(ii) A ist invertierbar

(iii) A 1 0 (d.h.A 1 i j 0 fur alle i, j )

Hinreichende (notwendige?) Bedingung f ur diskrete Comparison Theoremeund Stabilit at.

Positivitat der lokalen DissipationDas kontinuierliche System ist lokal dissipativ (z.B. f ur Auger und SRHRekombination); die zu diskutierende SG-BM erh alt diese Eigenschaft undzeichnet sich dadurch aus.

dϕ n p

Ω

µnn ∇φn 2 µp p ∇φp 2 R lognp dx


Weitere Anforderungen ergeben sich aus der Praxis:

KonvergenzAussagen uber Diskretisierungsfehler sind w unschenswert (p Ordnung derApproximation)

u uh

Ohp

Anzahl der Gitterpunkte sollte moglichst gering sein2d-Gitter 10000 Punkte, 3d-Gitter erheblich gr osser. Zwang zu iterativenTechniken. Verschlechterung der Kondition der Matrizen.

”dunn besetzte” Matrizen (sparse matrices)geringerer L osungsaufwand. Physikaliche Modelle: nur lokaleAbh angigkeiten erlaubt (typischerweise nur von n achsten Nachbarn imGitter). Andererseits ”dichte” Matrizen oder keinen exakten Newton.

4.2.3 Diskretisierung der Poissongleichung

Wir diskretisieren die Poissongleichung entsprechend der Box Methode auf demdualen Voronoi-Gitter (mid-perpendicular box method), welche auf der lokalenAnwendung des Gauss’schen Satzes beruht. Das Voronoi-Gitter entsteht durchdie Mittelsenkrechten (in 2D eine Linie, in 3D eine Ebene) jeder Kante (edge),deren Schnittpunkte die Voronoi-Zentren bilden; die Voronoi-Boxen Bi werdendurch die Mittelsenkrechten (Voronoi-Fl achen) begrenzt. Notwendig und hinre-ichend f ur eine uberlappungsfreie Konstruktion ist die sogenannte

Delaunay EigenschaftDer Umkreis eines jeden Gitter-Elementes enthalt im Inneren keinen Gitter-punkt.

In 2D kann man Delaunay-Gitter aus Dreiecken und Rechtecken konstruieren. In3D k onnen zum Beispiel Tetraeder, Quader, Prismen und Pyramiden verwendetwerden.

Die Poissongleichung ist vom Typ

∇ax ∇u

x g

x 0

Lokal auf jeder Box Bi integrieren wir und wenden den Gauss’schen Satz an:

Bi

∇ax ∇u

x dx

∂Bi

ax ∇u

x ν x dS

x ∑

ji ai j

u j ui x j xi si jBi

gx dx Bi gi


BiE si,j

Exi xj

EBi

ei,j

Figure 4.1: Gitter und duales Voronoi-Gitter

also erhalten wir f ur die Poissongleichung

Fϕ i ∑

ji εi j

si j x j xi ϕi ϕ j Bi pi ni

Ci 0 (4.15)

In 2D stimmen die Diskretisierungen der Standard-FE und Box-Methode f ur denLaplace-Operator uberein; in 3D sind sie (ausser auf gleichseitigen Tetraedern,die aber den Raum nicht ausf ullen) verschieden.

Stumpfe Winkel

Dreiecke mit stumpfen (obtuse) Winkeln (α π2 ) erfordern eine gewisse

Aufmerksamkeit, da das Voronoi Zentrum ausserhalb des entsprechenden Ele-ments liegt. Falls man, wie man das bei FEM tut, jedes Element einzeln betra-chtet, erh alt man

sE1i j

sE1i j 0 , sE2

i j sE1

i j sE2i j

Die Delaunay Eigenschaft garantiert eine positive Voronoifl ache f ur jede Kante,d.h.

si j 0


was auf jeden Fall gew unscht ist, da sich andererseits das Vorzeichen umkehrt.Um weiter elementweise assemblieren zu k onnen, setzt man

sE1i j

0 ,

sE2i j

sE2i j

Falls der stumpfe Winkel einer Interface-Kante gegen uberliegt, w urden sich dieVolumina der einzelnen Regionen ver andern, folglich verlangt man ”constrainedDelaunay” Gitter.

xi

xj

E1

E2

BiE2

B iE1

xk

BkE1

si,jE1

si,jE2

Figure 4.2: Box method

4.2.4 Diskretisierung der Kontinuit atsgleichungen

Die Kontinuit atsgleichungen sind Konvektions-Diffusions-Reaktions-Gleichungen. Man weiss, dass auf nicht hinreichend feinen Gittern die stan-dard FE Diskretisierung unstabil ist. Ausserdem k onnen stumpfe Winkel inDelaunay Gittern die Stabilit at bei nicht konstanter Diffusivit at st oren. VieleDiskretisierungen sind erfunden worden, um dieses Stabilit atsproblem zu re-duzieren (Stichworte: upwinding, numerical and artificial diffusivity, SUPG,streamline diffusion, etc.).Die Scharfetter-Gummel Box Methoden Diskretisierung ist auf allen Delaunay-Gittern stabil !


Die singulare Storungsanalyse besch aftigt sich mit dem Fall, dass der Diffusion-sterm g anzlich vernachl assigbar wird. Sie kann das Ph anomen von ”Layern”(starke Variationen der L osungen) erkl aren, indem sie das reduzierte Problembetrachtet, welches sich durch Streichen des Diffusionsterms ergibt.

Ein einfaches Modelproblem

Wir demonstrieren die Instabilit at der FD-Methode anhand eines Modellprob-lems, einer Vereinfachung der Kontinuit atsgleichung auf dem Interval 0 1 :

n ϕn 0

n0 0

n1 1

und nehmen an ϕ

β sei konstant. Die exakte L osung ist

nx

expβx 1

expβ 1

x 0 1

Einfache FD-Diskretisierung:Wir legen ein aquidistantes Gitter zugrunde (h xi 1 xi) und erhalten

ni 1 2ni

ni 1

h2 β

ni 1 ni 1

2h 0

Seien nun s ni ni 1h und s ni

1 nih die (approximierten) Dichtegradienten.

Dann erhalten wir

s s h

β2

s s 0

also

s s

1 hβ

2

1 hβ2

In Worten:

Die L osung oszilliert falls hβ 2 !

Die Gleichung stellt also Anforderungen an das Gitter oder die Diskretisierung!F ur die standard FEM erhalten wir die gleiche Diskretisierung. Die resultierendeMatrix ist keine M-Matrix. Die charakteristische Gr osse P 2 β heisst meshpeclet number.


1D Scharfetter-Gummel Diskretisierung

Wir betrachten nun ein Interval xi xi 1 mit der Stromdichte J. Wir k onnenschreiben

J µnφ

µ expϕ u

wobei u exp φ die Slotboom-Variable ist. Also ist

u

Jµ

exp ϕ

Unter der Annahme, dass µ, J konstant sind und ϕ linear ist folgt also

uxi 1 u

xi

xi

1

xi

Jµ

exp

ϕi

t xi ϕi 1 ϕi

xi 1 xi

dt

Jµ

exp ϕi

exp

t xi ϕi 1 ϕi

xi 1 xi

xi 1 xi

ϕi 1 ϕi

xi

1

t xi

Jµ

exp ϕi exp

ϕi ϕi 1 1

xi 1 xi

ϕi 1 ϕi

also haben wir f ur die konstante Stromdichte J auf dem Interval

J µui 1 ui ϕi ϕi 1

xi 1 xi

expϕi

expϕi ϕi 1 1

µ

xi 1 xi

ϕi ϕi 1 exp

ϕi 1 ni 1 exp ϕi ni

exp

ϕi

expϕi ϕi 1 1

µxi 1 xi

B ϕi 1 ϕi ni 1 Bϕi ϕi 1 ni

wobei wir die Bernoulli function Bx x

expx 1 benutzt haben.

F ur unser Modellproblem erhalten wir (mit B Bβh , B B

βh ) dieMatrix

tridiag B B B

B

und die L osung des resultierenden diskreten Systems stimmt mit der exaktenL osung in den Gitterpunkten uberein. Die Matrix ist eine M-Matrix, also einestabile Diskretisierung unseres Modellproblems. Der Gewinn an Stabilitat wirdmit einem Verlust an Konsistenz bezahlt, der sich in der Approximations-Ordnungauswirkt:


Theorem 1 (Miller-Wang, Roos-Stynes-Tobiska)

uh uI MW Ch12

wobei die diskrete Norm vom Gitter abhangt. Die Konstante C hangt von demsingularen Parameter ε ab, das heisst, die Konvergenz ist nicht gleichmassig.

Neue Diskretisierung von Xu und Zikatanov (1999): FE- ahnliche Diskretisierungmit garantierter Stabilit at, Delaunay-Eigenschaft wird durch andere Gittereigen-schaft ersetzt (praktisch meshbar?).

4.2.5 Die Diskretisierten Gleichungen

Zusammenfassend erhalten wir also die folgenden diskretisierten GleichungenFϕ i ∑

ji εi j

si j

di j

ϕ j ϕi Bi pi ni

Ci 0

Fn i ∑

ji µn

i jsi j

di j

Bϕi ϕ j ni B

ϕ j ϕi n j Bi Ri

0

Fp i ∑

ji µp

i jsi j

di j

Bϕ j ϕi pi B

ϕi ϕ j p j Bi Ri

0

Bemerkungen:

- Elementweise AssemblierungZur Optimierung des Codes (Parallelisierung, Cache-Memory) will man el-ementweise assemblieren. D.h. man muss z.B. schreiben:

Fn i ∑

Ei ∑

ji E µn

i j E

sEi j

di j

Bϕi ϕ j ni B

ϕ j ϕi n j

BEi RE

i 0

Um die sch onen Eigenschaften auch f ur Delaunay-Gitter zu behalten, istes zwingend erforderlich, dass die Beweglichkeit µn

i j E nicht wirklich vomElement abh angt, sondern vorher gemittelt wird. Eine andere M oglichkeitist die Voronoi-Kompensation vorher auszuf uhren (?).

- Integration der Ladungen: Die Integration der Ladungen scheint zu unge-nau (konstante Ladungsdichte per Box). F ur die nichtlineare Poissongle-ichung (d.h. Quasi-Fermi-Potentiale konstant und nicht die Ladugstr agerer-Dichten) hat dies allerdings den Vorteil, dass die resultierende Matrix weit-erhin M-Matrix bleibt.

4.3. GITTER 59

4.3 Gitter

H aufig wird in Praxis der Einfluss des Gitters auf das Simulationsergebnis un-tersch atzt. Die Gittereigenschaften werden nicht nur durch technische und ge-ometrische Anforderungen bestimmt, sondern vor allem durch die darauf zul osenden Gleichungen und die benutzte Diskretisierung.

4.3.1 Anforderungen an Gitter

Approximation des GebietesAkurate Beschreibung der Geometrie (R ander, Interfaces, etc.) leichterm oglich, wenn Elemente beliebige Formen annehmen k onnen.

Element-FormenTensorproduktgitter f ur FD, mixed-element meshes f ur FEM und BM

PunktdichteSollte m oglichst gering sein (bestimmt n amlich Gr osse der linearen Gle-ichungen), aber hinreichend in ”signifikanten” Teilen des Gebietes.

WinkelbedingungenMythos ”obtuse angle” in 2D. Aus der numerischen Analysis weiss man

Theorem 2 Fur eine regulare Familie von Simplex-GitternTh h is der

Diskretisierungsfehler (in der Energie-Norm) einer hinreichend regularenLosung von der Ordnung 1 u uh O

h

Daraus leitet man in 2D ein Winkel-Kriterium ab, da die Stabilit ats-Konstante sich verbessert.

Die technischen Anforderungen sagen noch nichts uber die Qualit at der Gitter.Erfahrungstatsachen:Langsame Variation der Punktdichte, gute Approximation der Ladungs-dichte ρ und Rekombination R, Edges parallel und orthogonal zurStromdichte.Gittergeneration ist eine schwierige Aufgabe, wenn man sowohl die technischen

als auch die qualitativen Anforderungen erf ullen will:

OCTREE 1D,2D und 3D.

PARALLEL OFFSETTING Variante von Advancing Front. 2D.


Figure 4.3: Octree und Normal-Offsetting Gitter mit Elektronen-Stromdichte

4.3.2 Gitter Adaption

Die Gitter sollten im Idealfall von der L osung des diskreten Problems abh angen.Gitter-Adaption ist daher generell w unschenswert, doch muss man sich klarmachen, wozu diese dienen soll und was sie leisten kann.

Final Mesh

Criteria

Strategy

Discretization

GoalEquations

GridAdaptation

Figure 4.4: Komponenten der Gitter-Adaption

Silizium 55.1 Bandstruktur

Entstehung von B andern qualitativDie Atomr umpfe eines Kristalls kann man sich in erster N aherung als Poten-tialt opfe vorstellen. Solange Potentialt opfe hinreichend isoliert voneinander sind,hat jeder von ihnen eine Serie von diskreten Energie-Niveaus (sh. a)). BeiAnn aherung w achst die Wahrscheinlichkeit, dass Elektronen von einem Topf indie benachbarten T opfe tunneln k onnen. Die diskreten Energie-Niveaus spaltenauf, bei N T opfen in N Niveaus (sh. b)). Bei sehr vielen T opfen und weiterer

bandentstehung.ID.epsi113 57 mm

a)

b)

c)

Ann aherung wird der Abstand zwischen den aufgespaltenen Niveaus sehr klein -es entstehen B ander. Diese k onnen zusammenwachsen (sh. c)), wie es bei Me-tallen der Fall ist. In Halbleitern, wie Silizium, entstehen jedoch Energiel ucken(“gaps”), weil es zwei Arten von Zust anden gibt - bindende und antibindende.Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit zwischen den Potentialt opfen ist bei binden-den Zust anden besonders gross, w ahrend sie bei antibindenden Zust anden dort

61

62 CHAPTER 5. SILIZIUM

gapentstehung.ID.epsi110 42 mm

a)

b)

Ψ Ψ

Schematische Darstellung der Wellenfunktion Ψ zweier gekoppelter Potentialt opfe.Links: antibindender Zustand, rechts: bindender Zustand.

sehr klein wird (Knoten der Wellenfunktion). Die Aufenthaltswahrscheinlichkeitinnerhalb der T opfe ist jedoch in beiden F allen ahnlich gross. Bindende Zust andesind f ur das Zusammenhalten der positiven Ionenr umpfe in Molek ulen verant-wortlich.

Quantenmechanik: Ultra-Short Course II

Quasiklassische N aherung

Wird die de-Broglie-Wellenl ange klein gegen uber den Abmessungen des Prob-lems, kann man die quasiklassische N aherung f ur die Wellenfunktion benutzen(WKB-Naherung, Wentzel-Kramers-Brillouin). Sie entspricht in der Optik demUbergang von der Wellenoptik zur geometrischen Optik. Sei ψ

x L osung der

(hier ein-dimensional betrachteten) Schr odinger-Gleichung

2

2mψ

x E Vx ψ x 0

(ψ

x bedeutet die zweite Ableitung nach x.) ψx wird in der Form

ψx e

i σ x mit σ σ0

iσ1

i 2

σ2 (5.1)

geschrieben. Die Reihenentwicklung der Phase nach Potenzen von liefert sepa-rate Gleichungen in jeder Ordnung von . Wegen ψ

ψσ

2 2 iψσ geht

die Schr odinger-Gleichung in

σ 2 i σ

2m E V

x (5.2)

5.1. BANDSTRUKTUR 63

uber. In der nullten Ordnung verbleibt nur

σ0

2 2m E V

x

mit der L osung

σ0x

xdx

2m E Vx

xdxpx

Dabei ist p der klassische Impuls, der mit dem

-Zeichen vor der Wurzel definiertwird. Diese N aherung ist dann gut, wenn man den zweiten Term auf der linkenSeite von Gleichung (5.2) gegen den ersten vernachl assigen kann, also wenn σ σ 2

1 gilt. Da in nullter Ordnung σ

σ0

px ist, bedeutet die Be-

dingung

p

p2

d λdx

1

wie man durch differenzieren von λ x λx 2π p

x sofort sieht. Die de-

Broglie-Wellenl ange darf sich also uber Abmessungen von der Gr ossenordnungder Wellenl ange selbst nur wenig andern. In der Ordnung 1 erh alt man

12m

i

2σ0σ

1

i 2m

σ 0

0

σ0σ

1 σ

0

2 0

Aufl osung nach σ1 ergibt σ

1

σ 0 2σ

0

p 2p, so dass bis auf eine Kon-

stante

σ1 12

ln p Setzt man σ0

σ1 i in den Ansatz (5.1) f ur die Wellenfunktion ein, folgt

ψx

C1 pe

i x px dx

C2 pe i x p

x dx

(5.3)

Das Auftreten von 1 p bedeutet, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeitψ x 2 des Teilchens im Intervall x x dx umgekehrt proportional zum Impulspx ist. Dies spiegelt das klassische Verhalten wieder, denn bei einer klassischen

Bewegung ist die Zeit, die ein Teilchen in dx verbringt, umgekehrt proportionalzu seiner Geschwindigkeit.


umkehrpunkt.ID.epsi63 56 mm

xx0

V(x)

Umkehrpunktklassischer

E

Die N aherungsl osung (5.3) kann man auch in Gebieten anwenden, die klas-sisch verboten sind, d.h. in denen der Impuls rein imagin ar wird. Der Punkt,der klassisch erlaubtes von klassisch verbotenem Gebiet trennt, heisst klassischerUmkehrpunkt. Im klassisch verbotenen Gebiet x x0 (gen ugend weit entferntvom Umkehrpunkt x0) hat die Wellenfunktion die Gestalt

ψx

C

2 p e 1 x

x0 p x dx

(5.4)

mit neuer Normierungskonstante C. Die quasiklassische L osung im klassischerlaubten Gebiet x x0 (gen ugend weit entfernt von x0) lautet (Kramers, 1926)

ψx

C2 p

cos

1 x0

xpx dx

π4 (5.5)

Kronig-Penney-Modell (1930)

Wir betrachten jetzt ein ein-dimensionales, periodisches Modellpotential, dasaus einer unendlichen Folge von Quantent opfen der Breite d besteht, die durchPotential-Barrieren der Dicke b und der “H ohe” V0 getrennt sind. Wenn bgen ugend gross ist, sind die Wellenfunktionen in einem solchen Topf praktischgleich denjenigen im Potentialtopf mit endlich hohen aber unendlich dickenW anden (sh. Kapitel 1). Wegen der Periodizit at des Potentials mit der Peri-ode b

d a k onnen wir die gesuchte Wellenfunktion f ur die Bewegung eines

Teilchens in diesem Potential als Fourier-Reihe

ψn

k

x A

∞

∑l ∞

eiklaψnx la (5.6)


darstellen. Der Index n kennzeichnet den n-ten Zustand des isolierten Quanten-topfs. Offenbar gilt ψ

n

k

x

a expika ψ

n

k

x , d.h. beim Durchgang durch

eine Periode “sammelt” die Welle eine Phase ka “auf”. Wir schreiben die beiden

periodpot.ID.epsi88 47 mm

x

V(x)

V0

-b 0 d d+b

Ψ(x)

Schr odinger-Gleichungen

ψn

k

2m 2 En

k V

x ψ

n

k 0

periodisches Potential

ψ n 2m 2 En V

x ψn

0isolierter Topf

auf, multiplizieren die erste mit ψn, die zweite mit ψn

k , subtrahieren gliedweiseund integrieren uber x in den Grenzen von b 2 bis d

b 2

d b 2 b 2

dx

ψn

k

ψn ψ

nψ

n

k 2m 2 En

k En ψ

n

k ψn 0

Nach partieller Integration erh alt man

Enk En

d b 2 b 2

dxψn

k ψn 2

2m ψ nψ

n

k ψn

k

ψn d b 2

b 2


F ur das Integral auf der linken Seite folgt nach Einsetzen von (5.6)

d b 2 b 2

dxψn

k ψn A

∞

∑l ∞

eiklad b 2 b 2

dxψnx ψn

x la

δl0

A (5.7)

da die Uberlappungsbeitr age von den n achsten Nachbarn verschwindend ger-ing sind und ψn

x normiert ist (die Beitr age zur Normierung ausserhalb des

Intervalls b 2 d b 2 k onnen ebenfalls vernachl assigt werden). Die En-ergieb ander En

k , zu denen die diskreten Niveaus En verbreitern, nehmen damit

die Form

Enk En

2

2mA ψ nψ

n

k ψn

k

ψn d b 2

b 2

an. Bei x d

b 2 tragen von der Summe (5.6) nur die Glieder mit l 0 und l

1 bei, d.h. ψnd

b 2 und ψn b 2 exp

ika , alle anderen sind verschwindend

klein. Somit

ψn

k

d

b 2 A ψnd

b 2 ψn b 2 eika

Aψnd

b 2 1 eika Das

-Zeichen steht, wenn ψn symmetrisch ist, das -Zeichen f ur antisym-

metrische Zust ande des isolierten Potentialtopfes. Bei x b 2 tragen von derSumme (5.6) nur die Glieder mit l 0 und l 1 bei, d.h. ψn

b 2 undψnd

b 2 exp ika ,

ψn

k

b 2 A ψn b 2 ψn

d

b 2 e ika

Aψn b 2 1 e ika

F ur die ersten Ableitungen erh alt man

ψn

k

d

b 2 Aψnd

b 2 1 eika ψn

k

b 2 Aψn b 2 1 e ika


(Statt steht jetzt , da bei Bildung der ersten Ableitung symmetrische Zust andein antisymmetrische Funktionen ubergehen und umgekehrt.) Nach Einsetzen undZusammenfassen aller Terme wird En

k

Enk En

2 2

mψnd

b 2 ψ nd

b 2 coska (5.8)

Um f ur ψn die oben eingef uhrten quasiklassischen N aherungen (5.4) benutzenzu d urfen, gelte b pn . Wir ben otigen noch einen expliziten Ausdruck f urdie Normierungskonstante C in (5.4). Da C auch in der quasiklassischen L osungim Innern des Potentialtopfes auftritt, kann man diese zur Bestimmung von Cverwenden:

1

d

0dx ψn

x 2 C2

d

0dx

1

pi

nx

cos2

1 d

xpi

nx dx

π4

Die Beitr age der exponentiell abklingenden Anteile in den Barrieren-Gebietensind nach Voraussetzung klein gegen 1 und wurden vernachl assigt. Ausserdem

muss f ur die quasiklassische N aherung im Innern pi

n d 1 gelten, d.h. die

Wellenfunktion hat dort viele Knoten. Wegen der Konstanz von pi

n 2mEn

folgt dann (cos2 kann durch den Mittelwert 1 2 ersetzt werden)

1

C2

pi

n

d

0dxcos2 p

i

nd x π

4 C2 d

2pi

n

also C

2p

i

n d. Wir k onnen nun die Werte von ψ und ψ

in der Mitte derBarriere berechnen:

ψnd

b 2 pi

n

2dpa

n

exp 1 d b 2d dx p

a

n pi

n

2dpa

n

exp bp a

n2

ψnd

b 2 pa

n

ψnd

b 2 mit p

a

n

2mV0 En . Einsetzen in (5.8) ergibt

Enk En

pi

n

d mexp

bp a n cos

ka

En 2

π E1En

Dn coska (5.9)


wobei E1 2π2 2md2 (sh. Kapitel 1) und der Durchgangskoeffizient f ur eine

Rechteck-Barriere

Dn e 2b 2m

V0 En

benutzt wurde. Die Bandweite ist in dem betrachteten Modell der starken Lokali-sation

Wn

4π E1En

Dn Da nach Voraussetzung Dn

1 sein muss, sind die B ander sehr schmal. In der

cos-baender.ID.epsi50 47 mm

π2a

π2a

0k

E (k)n

E n

E n-1

N ahe von k 0 kann man den cos entwickeln:

Enk En

12

Wn Wna2

4k2

Ersetzt man den Faktor vor k2 durch 2 2m , erh alt man eine Dispersionsrela-tion wie f ur freie Teilchen, mit dem Unterschied, dass die Masse m0 durch eineeffektive Masse m

m

2 2

Wna2

ersetzt ist. Dieser Relation kann man auch ablesen, dass die Bandweite umgekehrtproportional zum Quadrat der Periode des Potentials ist. In Halbleiter-Kristallenentspricht a der Gitterkonstanten, und das Intervall π

2a π2a ist die (eindimen-

sionale) Brillouin-Zone (BZ).Bandstruktur von SiliziumSilizium kristallisiert in der Diamantstruktur. Die Atome befinden sich auf den


Pl atzen zweier ineinander verschachtelter f.c.c.-Gitter (kubisch-fl achenzentriert,face-centered cubic). Fasst man das Zentralatom der schwarz hervorgehobenentetraedrischen Struktur (bestehend aus f unf Atomen) mit einem der anderen f unfAtome zusammen, erh alt man die sogenannte Basis des Kristalls. Die Basisist auf einem einfachen f.c.c.-Gitter periodisch fortgesetzt. In III-V-Halbleitern,die in derselben Struktur kristallisieren (“Zinkblende”), besteht die Basis aus

diamond.ID.epsi107 79 mm

a=5.43 Å

.

zwei verschiedenartigen Atomen, z.B. in GaAs aus Ga und As. Den W urfel,der die schwarz hervorgehobene tetraedrische Struktur enth alt, nennt man prim-itive Einheitszelle. Es gibt zwei Atome pro primitive Einheitszelle, da die vierausseren Atome jeweils von vier Nachbar-Zellen “geteilt” werden. Jedes Si-

Atom steuert vier Valenz-Elektronen bei, d.h. es gibt 8 Valenz-Elektronen proprimitive Einheitszelle. Unter Ber ucksichtigung der Spin-Entartung ergebensich also 4 Valenzb ander, die bei T 0K vollst andig besetzt sind und dieaus bindenden Zust anden aufgebaut sind. Die antibindenden Zust ande bildendie Leitungsb ander. Die untersten vier Leitungsb ander entstehen aus den sp3-Hybridorbitalen, die h oher liegenden Leitungsb ander aus h oheren Orbitalen.

Der Kristall besteht also ganz allgemein aus einer Basis und dem sogenanntenBravais-Gitter, das im Falle von Silizium ein f.c.c.-Gitter mit der Gitterkonstantena 5 43 A ist. Das Bravais-Gitter ist eine Menge von Punkten

Rl (Gitter-

Vektoren), die durch drei nicht-koplanare Translationen a1, a2 und a3 erzeugt


werden, welche Vektoren im drei-dimensionalen Raum sindRl l1 a1

l2 a2

l3 a3

mit ganzen Zahlen l j. Als a j kann man die primitiven Gittervektoren

a1

a2

0 1 1 a2

a2

1 0 1 a3

a2

1 1 0

w ahlen. Jede TranslationRl uberf uhrt den Kristall in sich selbst. Deshalb muss

basisvect.ID.epsi69 72 mm

x

y z

a1

a2

a3

jede physikalische Gr osse fr vor und nach der Translation dieselbe sein

fr

Rl fr (5.10)

d.h. fr ist eine auf dem Bravais-Gitter periodische Funktion. Wir k onnen sie

also in eine Fourier-Reihe entwickeln:

fr ∑

Kh

AKheiKh r mit AKh

1Ω0

Ω0

d3r fr e iKh r

Als Periodizit atsvolumen nehmen wir das Volumen der primitiven EinheitszelleΩ0

a1 a2 a3 . Man kann aber auch andere Zellen mit demselben Volumenverwenden. Als besonders g unstig erweist sich die sogenannte Wigner-Seitz-Zelle, die dadurch erhalten wird, dass man alle n achsten Nachbaratome durch


Linien (a1 a1 a2 a2 ) verbindet und diese mittels senkrecht dazu ste-hender Ebenen halbiert. Die geometrische Figur, die von allen diesen Ebenenbegrenzt wird, heisst Wigner-Seitz-Zelle. Unter Benutzung der Translations-Invarianz (5.10) folgt

fr

Rl ∑Kh

AKheiKh r Rl fr

und somit

eiKh Rl 1 Dies kann nur erf ullt werden, wenn Kh Rl

2π (ganze Zahl) gilt. Die VektorenKh, die diese Bedingung erf ullen, heissen reziproke Gittervektoren. Man kann siein einer Basis

b1 b2 b3 des reziproken Gitters darstellen:

Kh h1 b1

h2 b2

h3 b3

Z.B. kann man reziproke primitive Gittervektoren (ai b j 2πδi j) als eine solche

Basis nehmen

b1

2πa

1 1 1 b2

2πa

1 1 1 b3

2πa

1 1 1

wobei der Strich einfach “minus” bedeutet. Die Menge aller K h erzeugtdas sogenannte reziproke Kristall-Gitter, das zum Kristall-Gitter komplement arist. Kubische Gitter haben reziproke kubische Gitter. Aber, man beachte,dass das reziproke Gitter eines f.c.c.-Gitters ein kubisch raum-zentriertes Git-ter (b.c.c., body-centered cubic) ist. Auch im reziproken Gitter erweist es sichals g unstig, die primitive Zelle als Wigner-Seitz-Zelle zu w ahlen. Die Konstruk-tionsvorschrift bleibt die gleiche. Man konstruiert also die Wigner-Seitz-Zelle desb.c.c.-Gitters, d.h. des zum f.c.c.-Gitter komplement aren reziproken Gitters mitdem reziproken Gittervektor Kh

0 als Ursprung. Diese Zelle hat den Namen 1.Brillouin Zone (abgek urzt 1. BZ). Ihre geometrische Gestalt ist ein “gekappter”Oktaeder (sh. Abb.). Die praktische Bedeutung der 1. BZ folgt aus der Tat-sache, dass in ihr alle Energieb ander Eν

k stetige Funktionen sind. Nur an den

R andern k onnen Unstetigkeiten auftreten. Die R ander sind mit den sogenanntenBraggschen Reflexionsebenen identisch. Um das einzusehen, betrachten wir dasKristall-Potential V

r als St orung zur freien Bewegung der Elektronen. Da V

r

periodisch ist, kann man es in eine Fourier-Reihe entwickeln:

Vr ∑

h

BKheiKh r


brillzone.ID.epsi93 85 mm

X

U

Kx

Ky

K

W

UX

Kz

W

KW

Γ

L

1. BZ des f.c.c.-Gitters mit symmetrischen Punkten. Der hervorgehobene Bereich istder irreduzible Teil der BZ (1/48), der f ur die Berechnung der Bandstruktur relevant ist.

Das Ubergangs-Matrixelement muss man mit ebenen Wellen bilden (dieungest orten Zust ande, freie Elektronen!), so dass

k V r k ∑h

BKh δk k Kh

Es verschwindet, ausser f ur

k

k

Kh (5.11)

Die St osse der leichten Elektronen mit dem schweren Kristall-Gitter sindelastisch: k k . Quadriert man (5.11), erh alt man

2k Kh Kh 2 (5.12)

Das ist genau die Bedingung f ur Bragg-Reflexion. In den Lehrb uchern zurHalbleiter-Theorie wird ublicherweise die (entartete) St orungstheorie explizitdurchgef uhrt und damit das Aufreissen von Energiel ucken an den Bragg-Ebenendemonstriert (sh. z.B. Enderlein/Schenk Seite 81 ff.). Wir haben stattdessenan obigem Beispiel die Entstehung von Bandern plausibel gemacht. In diesem


Beispiel sind die Energiel ucken von vornherein vorhanden, und zwar durch denAbstand der diskreten Energie-Niveaus des isolierten Potentialtopfes.

Eine wichtige Folge der Translationssymmetrie des Kristalls ist die Peri-odizit at der Energie

Ek

Kh Ek (5.13)

und der Wellenfunktionen

ψν kr ψν k Kh

r (5.14)

Der Impuls der Elektronen ist im Kristall keine Erhaltungsgr osse, wie manaus (5.11) ersieht. Aber alle Impulse k

Kh und damit alle Wellenfunktio-

nen mit Wellenvektoren k

Kh sind aquivalent. Deshalb kann man sich beider Berechnung physikalischer Gr ossen auf die 1. BZ beschr anken. Liegt kausserhalb der 1. BZ, findet man immer einen reziproken Gittervektor Kh, der kin die 1. BZ verschiebt (“falten”). Man bezeichnet k auch als Quasiwellenvektor.

Die Translationssymmetrie ist jedoch nicht die einzige Symmetrie des f.c.c.-Gitters. Als Punktgruppe des Kristalls bezeichnet man die Menge aller ge-ometrischen Operationen (Drehungen, Spiegelungen), die das direkte Gitter (unddamit auch das reziproke Gitter) in sich selbst uberf uhren. 48 solcher Operatio-nen bilden einen W urfel in sich selbst ab. Die entsprechende Gruppe nennt manOh. Ohne Inversion verbleiben 24 Operationen, die die Gruppe Td bilden (dieBasis ist nur gegen diese Untergruppe invariant).

Die k-Vektoren der 1. BZ kann man in Punkte in symmetrischer Lage undPunkte in allgemeiner Lage einteilen. k ist in symmetrischer Lage, wenn esausser der Translation noch ein Element α der Punktgruppe Oh gibt, das k ineinen dazu aquivalenten Vektor uberf uhrt. (Aquivalenz bedeutet Gleichheit bisauf einen additiven reziproken Gittervektor Kh.) Andernfalls ist k in allgemeinerLage. Wendet man die Elemente der Punktgruppe auf einen Vektor k der 1. BZan, dann bilden alle αk, die nicht aquivalent zu k sind, den sogenannten Sternvon k. Ist k in allgemeiner Lage, hat der Stern soviel “Zacken”, wie die Punkt-gruppe Elemente hat. Ist k in symmetrischer Lage, so ist die Anzahl der Zackennur ein Bruchteil der Ordnung der Punktgruppe. (Z.B. hat der Mittelpunkt der1. BZ, der Punkt mit der h ochsten Symmetrie uberhaupt, nur noch eine Sternza-cke.) Alle k-Vektoren, die die gleiche Symmetrie haben, also von den gleichenα invariant gelassen werden, bilden ein Symmetrieelement in der 1. BZ. F ur dieDiamantstruktur gibt es 4 Symmetriepunkte (Γ; X; L; W), 5 Symmetriegeradenund 2 Symmetrieebenen.

Die Punktsymmetrie des Kristalls ubertr agt sich unmittelbar auf die Band-struktur:

Eνk Eν

αk (5.15)


Diese Form der Entartung nennt man Sternentartung. Wegen der Sternentartunggen ugt die Kenntnis der Energieband-Funktionen Eν

k in einem Ausschnitt der

1. BZ, der den Raum zwischen benachbarten Sternzacken ausf ullt (der in derAbb. hervorgehobene Bereich). Man bezeichnet einen solchen Ausschnitt alsirreduziblen Bestandteil der 1. BZ. Alle inneren Punkte und die meisten Rand-punkte sind k-Vektoren in allgemeiner Lage, also mit 48 Sternzacken. Deshalbist dieses Gebiet 1/48 der 1. BZ. Die Energie-Eigenwerte uber dem Rest der 1.BZ erh alt man durch symmetrische Fortsetzung der Werte uber dem irreduziblenBestandteil mit Hilfe der Gleichung (5.15).

Eine weitere Form der Entartung ist die symmetrie-bedingte Bandentartung.Gilt n amlich f ur bestimmte k-Vektoren, dass αk aquivalent ist und dass diezugeh origen Eigenfunktionen im Band ν, ψν k

r und ψν k

α 1r , linear un-

abhangig sind, so laufen an der Stelle k zwei B ander zusammen. F ur Punktein allgemeiner Lage kann eine solche symmetrie-bedingte Bandentartung nichtauftreten. Den Grad m oglicher Bandentartungen in Symmetriepunkten und aufSymmetriegeraden kann man mittels gruppentheoretischer Methoden bestimmen(was hier zu weit gehen w urde). Nachstehend sind f ur die Punkte Γ, X und L diem oglichen Entartungen aufgef uhrt.

Γ-Punkt: X-Punkt: L-Punkt:3-, 2-, 1-fache nur 2-fache 2-, 1-fache

Γ15 Γ25 3-fach L3 L3

2-fachΓ2 1-fach L1

1-fachEine nicht durch die Symmetrie bedingte, wie man sagt “zuf allige” Entartung,

ist die Banduberlappung. Ein Beispiel ist die Uberschneidung der obersten dreiLeitungsb ander auf der ∆-Geraden.

Wie man der dargestellten Bandstruktur entnimmt, ist Silizium ein indirek-ter Halbleiter. Das Minimum des untersten Leitungsbandes in 100 -Richtung(Γ X) liegt bei 0 85 ΓX . Das Maximum der obersten Valenzb ander liegtbei Γ. Der Wert der indirekten Energiel ucke (das “fundamentale gap”) betr agtbei Raumtemperatur Eg

1 12eV . Wegen der Spin-Bahn-Wechselwirkung wirddie zweifache Entartung der beiden obersten Valenzb ander bei Γ in Wirklichkeitaufgehoben. Ein Band, das sogenannte split-off band, spaltet nach unten ab. SeinExtremum hat den Wert Eso

Γ 0 044eV . Deshalb wird es oft vernachl assigt

und nur die beiden B ander der leichten und schweren Locher, die bei Γ zusam-menlaufen, werden bei Berechnungen mit einbezogen. F ur viele Anwendungen,bei denen nur kleine k in der N ahe der Bandextrema eine Rolle spielen, gen ugtes, Ec

k und Elh hh

k quadratisch zu entwickeln. Da der lineare Term an den

Extrema nat urlich verschwindet, erh alt man eine Dispersionsrelation wie f ur freieElektronen, mit dem Unterschied, dass man andere Massen, sogenannte effektiveMassen einf uhren muss, um die Kr ummung der B ander in der N ahe der Extremarichtig zu reproduzieren. Die Wirkung des komplizierten periodischen Kristall-


Sibandst.ID.epsi99 71 mm

||-4.0

|-2.0

|0.0

|2.0

|4.0

|6.0 |

||

||

||

L X K

Wave Vector k

En

erg

y (e

V)

Λ Γ ∆ Σ Γ

∆1

Γ25’

Γ15

L3’

L1

L3

X4

X1 Γ25’

Γ15

Γ2’ Γ2

Bandstruktur von Silizium berechnet mit empirischem nicht-lokalen Pseudopotential(Chelikowsky und Cohen, 1974).

effmass.ID.epsi121 63 mm

Kx

Ky

Kz

Kx

Ky

Kz

E lh,hh = - h k2 2

2m lh,hh

2(k -k )0

= =Ec = Eg + +2(k -k )0⊥ ⊥2m t

h2

2m l

h2

.

Potentials ist dann nur noch uber diese effektiven Massen parametrisiert.Die Bandstruktur Eν

k kann man auch dadurch graphisch darstellen, dass

man Fl achen Eνk const im k-Raum, bzw. deren Schnittkurven mit bes-

timmten Ebenen konstruiert. In der Abbildung sind die Isoenergie-Fl achenEck const (rechts) und Elh hh

k const (links) in Effektivmassen-N aherung


veranschaulicht. F ur die L ocher ergeben sich in Wahrheit keine Kugeln, son-dern (wegen der Spin-Bahn-Kopplung) “warped surfaces”. Die Kugeln sindalso Approximationen mit richtungsgemittelten effektiven Massen. Man findetmhh 0 5m0 und mlh 0 17m0. Die Isoenergie-Fl achen der Elektronen sindRotationsellipsoide. Man bezeichnet sie auch als Taler. Wegen der Sternentar-tung der Symmetriegeraden ∆ sind auf allen sechs Zacken dieses Sterns Mini-ma vorhanden, es gibt also sechs aquivalente T aler. Deshalb nennt man Siliz-ium auch einen Vieltal-Halbleiter. Die sogenannte longitudinale effektive Masse(parallel zu den Hauptachsen) hat den Wert ml 0 92m0, w ahrend die soge-nannte transversale effektive Masse (senkrecht zu den Hauptachsen) den Wertmt 0 19m0 hat. Dies erscheint verwunderlich, denn Silizium muss als kubis-cher Kristall eine isotrope (Ohmsche) Leitf ahigkeit haben. Die L osung ist, dassder Mittelwert uber alle sechs T aler eine isotrope Leitfahigkeitsmasse

1mσ

13

1

ml

2mt

ergibt.

5.2 Zustandsdichte

Die station aren Wellenfunktionen der Kristall-Elektronen haben folgende Form(Bloch-Theorem, Beweis in Lehrb uchern):

ψν kr

1 Ωeikruν k

r Bloch Funktionen (5.16)

Sie sind in einem Grundgebiet Ω normiert und stellen modulierte ebene Wellendar. Der Modulationsfaktor heisst Bloch-Faktor und ist eine gitterperiodischeFunktion: uν k

r uν k

r

Rl . Wir stellen jetzt periodische Randbedingungenmit Ω als Periodizit atsvolumen (Born-von Karmansche Randbedingungen). Dazuw ahlen wir Ω G3Ω0, wobei Ω0

a1 a2 a3 das Volumen der primitivenEinheitszelle und G eine grosse ganze Zahl ist. Periodische Randbedingung bzgl.des Grundgebietes Ω bedeutet nun, dass sich eine Gr osse nicht andert, wenn manvom Punkt r zum Punkt r

Ga j geht. Da ein Vektor im k-Raum mittels der

reziproken Gittervektoren bm dargestellt werden kann (k ∑m kmbm), wird dieperiodische Randbedingung von den Bloch-Funktionen genau dann erf ullt, wenn

km

1G

lm m 1 2 3 lm ganze Zahl (5.17)

Wegen der Gitterperiodizit at des Bloch-Faktors ist n amlich

ψν kr ψν k

r

Ga j genau dann wenn eikGa j 1

5.2. ZUSTANDSDICHTE 77

Dass der Phasenfaktor tats achlich 1 ist, kann man leicht uberpr ufen:

eikGa j ei∑m kmbmGa j ei∑m lmbma j

ei∑m lm2πδ jm ei2πl j 1 Die neuen Basisvektoren im k-Raum bm G, mit denen jeder k-Vektor als k

∑m lmbm G dargestellt wird (lm ganze Zahl), bilden ein feinmaschiges Gitter(sh. Abbildung). Durch die periodische Randbedingung wird der k-Raum alsodiskretisiert. Der Vorteil dieser Prozedur wird im folgenden klar werden.

feinmasch.ID.epsi69 51 mm

b1

b2

1G

b1

1G

b2

Die Abz ahlung der erlaubten elektronischen Zust ande kann nun dadurch er-folgen, dass man uber alle B ander ν und alle Maschen innerhalb der 1. Brillouin-Zone summiert. Hinzu kommt ein Faktor 2 von der Spin-Entartung (jeder Zus-tand kann zweifach besetzt werden, mit einem Elektron “spin-up” und einemElektron “spin-down” .) F ur die mittlere Elektronenzahl im Grundgebietergibt sich daher

N 2∑ν

∑k 1 BZ

fνk (5.18)

mit der Fermi-Dirac-Verteilung

fνk

1

eEνk EF

kBT 1

(5.19)

Die totale Elektronen-Dichte erh alt man durch Division mit dem Volumen Ω desGrundgebietes. Da das Volumen der 1. BZ gleich 8π3 Ω0 betr agt, ist das Volu-men einer feinmaschigen Zelle gleich 8π3 Ω. Die Zahl G ist sehr gross, also darf


man die Summation durch eine Integration ersetzen:d3k

8π3

Ω ∑k

(5.20)

(man vergleiche z.B. den Ubergang von der Riemann-Summe zum Riemann-Integral in 1D: dx f

x ∑l

∆x l f

xl ).

ntotal

NΩ

2Ω ∑

ν∑

k 1 BZ

fνk

14π3 ∑

ν

k 1 BZ

d3k fνk (5.21)

Schreibt man stattdessen

ntotal

∞

∞dE D

E f

E (5.22)

dann definiert der Vergleich der letzten beiden Formeln die energetische Zus-tandsdichte D

E :

DE

14π3 ∑

ν

k 1 BZ

d3kδE Eν

k (5.23)

Ein Summand der ν-Summe heisst partielle Zustandsdichte des ν-ten Bandes.Beispiel: parabolisches, isotropes Leitungsband

Die Dispersionsrelation f ur diesen einfachsten Fall lautet Eck 2k2 2mc

und ist bis auf die effektive Masse mc identisch wie f ur freie Elektronen. Einset-zen in (5.23) ergibt

DcE

14π3

k 1 BZ

d3kδ

E 2k2

2mc

Da das Bandmodell nur f ur kleine Energien sinnvoll ist (zu denen kleine maxi-male k geh oren), kann die δ-Funktion bereits f ur kleine k innerhalb der 1. BZerf ullt werden. Dc

E gilt am Ende nat urlich nur f ur kleine E. Man kann dann

die Integration ins Unendliche erstrecken und DcE sofort ausrechnen:

DcE

1π2

∞0

dk k2δ

E 2k2

2mc

1

2π2

2mc

2 3

2∞

0

dε εδE ε

DcE

12π2

2mc

2 3 2 E Θ

E (5.24)

5.2. ZUSTANDSDICHTE 79

Im Silizium ist folgende Modifikation zu machen:

m3 2c

m2t ml 1 2 def

m3 2dn f ur ein Tal

Nimmt man den Faktor 6 f ur die sechs aquivalenten T aler hinzu, dann

m3 2dn

62 3mdn 3 2 def m3 2

dn f ur sechs T aler Zahlenwerte: mdn 0 32m0 und mdn 1 06m0. Wie gut (bzw. schlecht) dasZustandsdichte-Modell (5.24) die realistische Zustandsdichte (engl.: DOS, den-sity of states) von Silizium beschreibt, kann der Abbildung entnommen werden.

DOSnew.eps91 71 mm

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0Electron Energy (eV)

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

DO

S (

1/(e

V*A

3 ))

parabolic

alpha=0.5

full band

Zustandsdichte von Silizium berechnet mit realistischer Bandstruktur (“full band”),in der parabolischen N aherung (5.24) mit mc mdn (“parabolic”) und in nicht-parabolischer N aherung Ec

k 1 αEc

k 2k2

2mdn mit α 0 5 eV.


5.3 Fermi-Dirac-Verteilung

5.3.1 System mit konstanter Teilchenzahl (“kanonische Verteilung”)

bath.ID.epsi85 53 mm

Körper

Medium

Gesamtsystem

EdΓ

E’dΓ’

E(0)

(0)dΓ dΓ’dΓ=

Wir betrachten ein abgeschlossenes System mit der Energie E0

(Gesamt-system). Das Gesamtsystem sei in zwei Teilsysteme aufgespalten: Korper undMedium (oder “Bad”). Der K orper muss im Vergleich zum Gesamtsystem sehrklein aber immer noch makroskopisch gross sein. Die gesamte innere EnergieE0

ist die Summe aus Energie des Mediums E

und Energie des K orpers E,da die Wechselwirkungs-Energie sehr klein gegen uber E ist. Letzteres folgt da-raus, dass nur Teilchen in der N ahe der Oberfl ache des K orpers mit dem Badwechselwirken und deren relative Zahl im Vergleich zur Zahl aller Teilchen desK orpers sehr klein ist (K orper ist makroskopisch gross!). Nat urlich ist anderer-seits die Wechselwirkung die Ursache und Bedingung daf ur, dass K orper und Badins statistische Gleichgewicht kommen k onnen.

dΓ0

sei die Zahl der Quantenzust ande des Gesamtsystems, die zu einem be-stimmten infinitesimalen Energie-Intervall dE

0

geh oren.

dw0

sei die Wahrscheinlichkeit, das Gesamtsystem in irgendeinem der dΓ0

Zust ande zu finden.

Diese Wahrscheinlichkeit ist proportional zur Zahl aller m oglichen Zust ande desGesamtsystems

dw0

const δ E E E

0 dΓ

0

const δ E E E

0 dΓ

dΓ

5.3. FERMI-DIRAC-VERTEILUNG 81

(dw0

heisst mikrokanonische Verteilung). Die δ-Funktion dr uckt dabei dieEnergieerhaltung aus (Summe der Energien von K orper und Medium muss gleichder Gesamtenergie sein). Die Zahl der m oglichen Zust ande des Gesamtsystemsist nat urlich gleich dem Produkt von Zahl der m oglichen Zust ande des K orpersund Zahl der m oglichen Zust ande des Bades. Diese statistische Unabh angigkeitfolgt wiederum aus der begr undeten Annahme der schwachen Wechselwirkungzwischen K orper und Bad.

Man fragt nun nach der Wahrscheinlichkeit dwn f ur denjenigen Zustand desGesamtsystems, bei dem sich der Korper in einem bestimmten (mikroskopis-chen) Quantenzustand mit der Energie En befindet (also muss dΓ 1 gesetztwerden):

dwn const δ En

E E

0 dΓ

Die totale Wahrscheinlichkeit f ur die Realisierung des Zustandes, in dem derK orper die Energie En hat, erh alt man durch Integration uber alle mikroskopis-chen Zust ande des Bades dΓ

, die die Energieerhaltung nicht verletzen:

wn const

δEn

E E

0 dΓ

const

δEn

E E

0 dΓ

dE

dE !

wnEn (5.25)

Der n achste Schritt ist die Berechnung von dΓ dE

. Dazu bezeichnen wir mit

Γ

E die Zahl der Quantenzust ande des Mediums, deren Energie kleiner oder

gleich E

ist. Dann kann man die Zahl der Zust ande des Mediums mit Energienzwischen E

und E

dE

in der Form

dΓ

dΓ

E

dE dE

schreiben. Um nun die Wahrscheinlichkeit W

E dE

daf ur zu erhalten, dass die

Energie des Mediums im Intervall E E dE

liegt, muss man die Wahrschein-lichkeit w

E f ur die Realisierung eines bestimmten Zustands des Mediums mit

der Energie Emit der Zahl der Quantenzust ande multiplizieren, deren Energie in

diesem Intervall liegt:

WE dE

w

E dΓ

w

E dΓ

E

dE dE

WE

dΓ

E

dE w

E (5.26)


WE hat ein extrem scharfes Maximum beim Mittelwert E

wegen der riesen-

grossen Teilchenzahl im Bad. (Ganz allgemein gilt

E E

2E

1 N

f ur die relative Fluktuation der Energie E. Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit f ur

eine relative Abweichung von 10 6 der Energie eines Hundertstel Mols irgen-deines Gases betr agt 10 3 1015

.)Die Verteilung W

E ist normiert. Die Normierungsbedingung lautet

WE dE

1

Man ersetzt die Kurve WE durch ein Rechteck mit der Breite ∆E

und der

H ohe W E . Wegen der Normierungsbedingung muss ∆E

1 W E gelten.Anwendung auf (5.26) ergibt

W E ∆E

dΓ

E

dE ∆E

wE ∆Γ

wE 1

∆Γ

ist die Zahl der Quantenzust ande des Bades, die dem Energie-Intervall ∆E

entspricht. Diese Gr osse charakterisiert den “Grad der Verschmierung” desmakroskopischen Zustandes des Mediums uber seine mikroskopischen Zust ande.Man sagt auch statistisches Gewicht des makroskopischen Zustandes dazu.Seinen Logarithmus nennt man Entropie

S

kB ln∆Γ (5.27)

Wegen der ungeheuren Sch arfe der Verteilung WE kann man

dΓ

dE

∆Γ

∆E

exp S E kB ∆E

ersetzen. Nach Einsetzen in Gleichung (5.25) erh alt man

wnEn const

δEn

E E

0 exp S E kB

∆E dE

const exp S E0 En kB

∆E E E0 En


Da der K orper nach Voraussetzung klein gegen das Medium ist (also auchEn

E0), kann man im Nenner En vernachl assigen und im Z ahler die Taylor-

Entwicklung

S

E0 En S

E0 dS

dE0 En

anwenden. Somit ergibt sich

wnEn Aexp

dS

dE

0 En

kB

(5.28)

An dieser Stelle wird die Thermodynamik ins Spiel gebracht. Aus ihr ist bekannt,dass

dE T dS PdV

µcdN (5.29)

gilt. Im hier vorliegenden Fall ist dV dN 0, also dS dE 1 T imK orper wie im Medium wegen der Voraussetzung des thermodynamischen Gle-ichgewichts. Damit erh alt man endg ultig die Gibbssche Verteilung (oder kanon-ische Verteilung) (Gibbs, 1901)

wnEn Aexp

En

kBT (5.30)

Die Normierungskonstante folgt aus ∑n wn 1. Gleichung (5.30) gibt die

Wahrscheinlichkeit daf ur an, dass ein K orper die Energie En hat, wenn er sichim thermodynamischen Gleichgewicht mit einem Medium befindet, das die Tem-peratur T hat.

5.3.2 System mit variabler Teilchenzahl (“grosskanonische Verteilung”)

N0

sei die Zahl der Teilchen im Gesamtsystem, N

die Zahl der Teilchen imMedium und N die Zahl der Teilchen im K orper. Zwischen K orper und Mediumk onnen Teilchen ausgetauscht werden. Die durch den Teilchen-Austausch be-dingten Fluktuationen von N

und N sind wegen der grossen Teilchenzahlen

(makroskopische Systeme!) im selben Sinne klein wie die Fluktuationen der En-ergie (sh. (5.3.1)). Was andert sich an der obigen Ableitung?

Die Wahrscheinlichkeits-Verteilung wn verallgemeinert sich zu

wn wnN

const exp S E 0 EnN N

0 N

wnN ist die Wahrscheinlichkeit, dass der K orper N Teilchen enth alt undsich im n-ten Zustand befindet. Die Energien EnN des K orpers h angen jetztnat urlich von der Teilchenzahl N im K orper ab.


Die Taylor-Entwicklung der Entropie bzgl. der kleinen Gr ossen EnN und Nergibt jetzt

S E

0 EnN N

0 N S

E 0 N

0 EnN

T µcN

T Dabei fallen die chemischen Potentiale (wie die Temperaturen) des K orpersund des Mediums wegen der Gleichgewichtsbedingungen zusammen.

Damit erh alt man die grosskanonische Verteilung

wnN Aexp

µcN En

kBT (5.31)

Die Normierungskonstante folgt aus ∑nN

wnN 1.

5.3.3 Fermi-Dirac-Verteilung

Teilchenzahl N und Energie EnN des K orpers werden in der sogenanntenBesetzungszahl-Darstellung aufgeschrieben:

N

∞

∑l 0

nnN

l EnN

∞

∑l 0

nnN

l εl

nnN

l gibt die Zahl der Teilchen an, die einen Einteilchen-Zustand ψl mit

der Energie εl besetzen. Der Wertevorrat der Besetzungszahlen unterscheidetFermionen von Bosonen

Bosonen : nnN

l

0 1 2 3 Fermionen : n

nN

l

0 1 Fermionen haben halbzahligen Spin, Bosonen ganzzahligen. Die Vielteilchen-Wellenfunktion der Fermionen andert ihr Vorzeichen, wenn zwei Teilchen ver-tauscht werden, die der Bosonen nicht. Unter Verwendung der grosskanonischenVerteilung (5.31) erh alt man f ur die mittlere Zahl von Teilchen im K orper

N ∑nN

wnN N

∞

∑l 0

∑nN

wnNnnN

l

∞

∑l 0

nl Der letzte Schritt, d.h. die Einf uhrung der mittleren Besetzungszahl nl, ist nicht-trivial, bedeutet er doch, dass jetzt u.U. ein einziges Teilchen die Rolle desK orpers ubernimmt. Bei der Ableitung der Gibbs-Verteilung wurde gefordert,


dass der K orper immer noch makroskopisch gross sein muss, um zu garantieren,dass die Wechselwirkung zwischen K orper und Bad vernachl assigbar ist (Quasi-Abgeschlossenheit des Korpers). Die Quasi-Abgeschlossenheit eines einzelnenTeilchens ergibt sich hier aus der Voraussetzung, dass die direkte dynamis-che Wechselwirkung zwischen den Teilchen vernachl assigbar klein gegen dieEinteilchen-Energien εl ist. Die Ausnahme ist die Austausch-Wechselwirkung,die bei h oheren Dichten zu einer anderen Statistik (Fermi-Statistik) f uhrt. Sieist jedoch nur f ur Teilchen in ein und demselben Zustand wichtig. Nur wenndie direkte dynamische Wechselwirkung vernachl assigbar bleibt, ist die EnergieEnN die einfache Summe der Einteilchen-Energien. Gase, bei denen die Wech-selwirkung zwischen den Molek ulen vernachl assigt werden kann, nennt manideale Gase. Wir betrachten also hier ideale (Quanten-) Gase. (Wie im Fallemakroskopischer K orper darf nat urlich die Wechselwirkung nicht v ollig fehlen,da sich sonst kein Gleichgewicht zwischen den Teilchen einstellen k onnte.)

Die mittlere Besetzungszahl wird explizit

nl ∑

nNwnNn

nN

l

∑nN

nnN

l exp µcN EnkBT

∑nN

exp µcN EnkBT

∑nN

nnN

l exp

∞∑

l 0nnN

l

µc εl

kBT

∑nN

exp

∞∑

l 0nnN

l

µc εl

kBT

∑nN

nnN

l ∏k

e

µc εk

kBT n nN k

∑nN

∏k

e

µc εkkBT n nN

k

Den Nenner nennt man grosse Zustandssumme Z, aus der man nl generierenkann:

nl Z 1 ∑nN

nnN

l

e

µc εl

kBT n nN l

∏k

l

e

µc εk

kBT n nN k

Z 1 kBT ∂∂εl

∑nN

∏k

e

µc εk

kBT n nN k

Z 1 kBT ∂∂εl

Z kBT∂

∂εlln Z (5.32)


F ur Elektronen und L ocher ist

∑nN

1

∑n nN

1 n nN 2 0

wegen des Pauli-Prinzips. Die grosse Zustandssumme wird dann

Z ∑nN

∏k

e

µc εk

kBT n nN k

∑nN

∏k

Bn nN k

1

∑n nN

1 n nN 2 0

∏k

Bn nN k

1

B1 1

B2 1 Bl

∞

∏k

1

Bk

∞

∏k

1

eµc

εkkBT

lnZ

∞

∑k 0

ln

1

eµc

εkkBT (5.33)

und schliesslich mit (5.32) (Fermi, Dirac, 1926)

nl

1

1

eεl µc

kBT (5.34)

nl kann nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen, wie es wegen des Pauli-Prinzipssein muss.Im Falle der Nichtentartung, nl

1, geht die Fermi-Dirac-Verteilung in die

Boltzmann-Verteilung uber. Dazu muss offenbar εl µc und εl µc kBT

gelten.

nl e

µc εl

kBT wenn nl

1 (5.35)

In der Bauelemente-Physik benutzt man folgende Bezeichnungen: εl E, nl

fE , µc EF und nennt EF Fermi-Niveau.

fE

1

1

eE EF

kBT (5.36)

5.4. LADUNGSTRAGERDICHTEN 87

fermifunc.eps86 72 mm

−0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2energy E − EF (eV)

0.0

0.5

1.0

1.5

dist

ribut

ion

func

tion

T=1KT=77KT=300KT=700KBoltzmann 300K

Die linierten Kurven zeigen die Fermi-Dirac-Verteilung f ur vier verschiedene Tempera-turen als Funktion von E EF . Zum Vergleich ist die Boltzmann-Verteilung bei 300 Kdargestellt. Der Unterschied zur Fermi-Verteilung verschwindet mit wachsender Ener-gie und ist bei E EF 2kBT bereits vernachl assigbar.

5.4 Ladungstragerdichten

A) Intrinsisches Silizium

Wir definieren Evk 0 als Energie-Nullpunkt. Eg ist die Energie des indirekten

gaps. Nach den Vorbereitungen der vorangegangenen Abschnitte k onnen wir jetztdie Gleichgewichts-Dichten der Elektronen und L ocher hinschreiben:

n

12π2

2mdn

2 3 2 ∞

Eg

dE

E Eg

1

eE EF

kBT

Elektronendichte (5.37)

p

12π2

2md p

2 3 2 0

∞

dE E

1

eEF E

kBT

L ocherdichte (5.38)

mit m3 2d p

m3 2d lh

m3 2

d hh. Beide Ausdr ucke enthalten ein Fermi-Integral F1 2

F1 2η

2 π

∞0

dxx1 2

ex η 1 (5.39)


Deshalb kann man die Dichten auch in der Form

n NcF1 2

EF Eg

kBT p NvF1 2

EF

kBT (5.40)

schreiben. Die Vorfaktoren nennt man effektive Zustandsdichten des Leitungs-und Valenzbandes:

Nc v 2

mdn pkBT

2π 2 3 2

2 541 1019

mdn p

m0

3 2 T300

3 2

cm 3

Im Falle der “Nichtentartung”, d.h. wenn E g EF kBT f ur Elektronen undEF kBT f ur L ocher gilt, wird

F1 2η eη

Boltzmann N aherung und die Dichten nehmen die Form

n Nc exp

EF Eg

kBT p Nv exp

EF

kBT

an. Im intrinsischen Silizium lautet die Neutralit atsbedingung n p (keineDotierung). Andererseits ist

n pdef

n2i

Nc Nv e EgkBT

Diese Beziehung kann man als Massenwirkungsgesetz einer “chemischen Reak-tion”

n p CT Nc Nv

auffassen. n und p spielen dabei die Rolle der Endprodukte (freie Ladungstr ager),w ahrend Nc v die Rolle der Ausgangsprodukte spielen (gebundene Elektronen undL ocher). C

T ist die Massenwirkungskonstante (thermodynamisch betrachtet ist

Eg die Summe der freien Enthalpien von Elektron und Loch). Man erh alt alsoals Eigenleitungsdichte n p ni. Aufl osung nach dem entsprechenden Fermi-Niveau ergibt, da

n Nc exp

EF Eg

kBT ni

NcNve

Eg2kBT

EF EF i

Eg

kBT ln

ni

Nc

12

Eg kBT

2ln

Nv

Nc

12

Eg 3

4kBT ln

md p

mdn

(5.41)


Die Zustandsdichte-Massen sind allerdings selbst temperaturabh angig(mdn

300K 1 090m0 md p

300K 1 152m0). Wegen des geringen Massen-

Unterschieds ist EF i300K Eg 2 1meV ! Bei Raumtemperatur liegt das

Eigenleitungs-Niveau also praktisch in der Mitte der Energiel ucke (“midgap”).Die intrinsische Dichte ni ist schwierig zu messen. Der momentan beste Wert istni300K 9 97 109 cm 3.

B) Dotiertes SiliziumWir betrachten n-dotiertes Silizium und setzen voraus, dass die Donatoren genaueinen gebundenen Zustand mit dem Energieniveau ED erzeugen und das diesesNiveau auch nur einfach besetzbar ist. Das Einbringen von Elementen der 5.Hauptgruppe des PSE, wie Phosphor oder Arsen, auf regul are Pl atze des Silizium-Kristallgitters f uhrt dazu, dass das “ ubersch ussige” f unfte Valenzelektron nurnoch schwach an den Donator gebunden ist und leicht thermisch ins Leitungsbandaktiviert werden kann. Die Bindungsenergie im Grundzustand, d.h. Eg ED,ist nur von der Gr ossenordnung 50meV . Die Statistik f ur solche an sogenan-nten flachen Storstellen gebundene Elektronen unterscheidet sich etwas von derStatistik der freien Ladungstr ager.

Das gebundene Elektron kann sich in zwei Zust anden befinden: “spin-up”oder “spin-down”, wir bezeichnen diese Zust ande mit D

, D

. Der einfachbesetzte Zustand hat also zwei Realisierungsm oglichkeiten, der unbesetzte nureine! nD bezeichne die Besetzungszahl (also hier 0 oder 1). Man f uhrt Gewichts-faktoren gnD ein (also hier g0

1, g1 2), so dass die verallgemeinerte Beset-

zungswahrscheinlichkeit des Niveaus ED:

fD

∑nD 0 1

gnDnD exp µc EDnD

kBT ∑

nD 0 1gnD exp µc ED

nD

kBT fD

1

g0g1

exp ED µc

kBT 1 (5.42)

Der Unterschied zu den freien Ladungstr agern besteht also im Auftreten einesFaktors g0 g1 vor der e-Funktion. Dieser Faktor ist 1 2 f ur Donatoren und2 f ur Akzeptoren. Die physikalische Ursache liegt in der vorausgesetztenBeschr ankung der nur einfachen Besetzbarkeit von ED. Ein zweites Elektronkann nicht gebunden werden, da die starke Coulomb-Wechselwirkung in derUmgebung des Donators (Bohr-Radius!) dies verhindert. Im Gegensatz dazu sinddie Elektronen in den B andern relativ weit voneinander entfernt, jedes Energie-Niveau kann dort zweifach besetzt werden (Spin-Entartung).


Die Neutralit atsbedingung f ur (homogen) dotiertes Silizium lautet

n ND

p ND n2

i

n Man beachte, dass N

D die Dichte der ionisierten Donatoren, also der unbesetzten

Niveaus ist.

ND

ND1 fD

ND

1

2exp EF EDkBT def

NDn1

n

n1(5.43)

mit

n1

12

Nc exp

Eg ED

kBT

Setzt man dies in die Neutralit atsbedingung ein, folgt

n n2i

n NDn1

n

n1

0 n2 n n1

n

n1 n2i nn1ND

0 (5.44)

Man hat also bereits eine kubische Gleichung in n erhalten. Die kann man zwarnoch l osen, wir betrachten hier aber nur den wichtigen Fall ND ni . Unterdieser Voraussetzung ist auch n ni und der mittlere Term in (5.44) kann ver-nachl assigt werden. Dann

n2 nn1 n1ND 0

n

12

n1

4ND

n1

1 1 (5.45)

ND

n1

(nicht zu hohe Dotierung, ausreichend hohe Temperaturen, das Fermi-Niveau liegt noch einige kBT unterhalb von ED) n ND , vollstandige Ionisation EF

Eg

kBT ln NDNc

ND n1

(sehr hohe Dotierung, tiefe Temperaturen) n n1ND

ND , Ausfrieren der freien Ladungstr ager an den


St orstellen EF Eg

kBT2 ln ND

2Nc 1

2

Eg ED

EFT 0 1

2

Eg

ED , d.h. das Fermi-Niveau kommt genau in der Mittezwischen Donator-Niveau und Bandkante zu liegen.

Alle diese Betrachtungen sind stark vereinfacht. Mit steigender Dichte wird dasCoulomb-Potential der ionisierten St orstellen abgeschirmt. Die Bindungsenergiewird eine Funktion der Dichte: ED

EDn . Bei etwa n 2 1018 cm 3 k onnen

in Si uberhaupt keine Elektronen mehr an den Donatoren gebunden werden undder Ionisationsgrad wird 1. Diese Situation nennt man Mott-Ubergang. EineFolge der immer h oheren Dotierung ist, dass die diskreten St orstellen-NiveausED zu einem schmalen St orstellen-Band verbreitern, das schliesslich mit demLeitungsband verschmilzt.

Ein weiterer wichtiger Effekt h angt mit der Vielteilchen-Wechselwirkungzusammen. Werden die B ander stark besetzt, wie das bei hohen Dotierungender Fall ist, ver andert sich die Bandstruktur: Die Energiel ucke schrumpft (bandgap narrowing) und Eg

EgND n . Der Grund sind Energie-Beitr age der

Austausch- und Korrelations-Wechselwirkung. Die St arke des Effektes kann mander Abbildung entnehmen.

CompElKlaassNEW.eps72 70 mm

16 17 18 19 20 21Log( Density [cm

−3] )

0.00

0.05

0.10

0.15

Ban

d G

ap N

arro

win

g ∆E

g [e

V]

del Alamo et al.GhannamMertens et al. Neugroschel et al. Possin et al.Slotboom et al.Swirhun et al.Wieder Schenk model (n−type)Schenk model (p−type)Klaassen (unified)

6 Streuprozesse

6.1 Ubergangswahrscheinlichkeit am Beispiel der Streuung anionisierten Storstellen

Vorbetrachtung

Uberlagert man dem Potential des idealen Kristalls ein konstantes elektrischesFeld E, w achst der Elektronen-Impuls linear an:

kt k0 e

E t (6.1)

Dabei wurde die Anfangsbedingung kt 0 k0 angenommen und die New-

tonsche Bewegungsgleichung gel ost. F ur symmetrische Feldrichtungen gibt eseinen Zeitpunkt t T

E , an dem der Vektor kT K

T mit dem Vektor kt 0

zum Zeitpunkt 0 erstmalig wieder zusammenf allt. Das bedeutet, dass der Bloch-Zustand zum Zeitpunkt T in den Bloch-Zustand zum Zeitpunkt 0 zur uckkehrt.F ur ganzzahlige Vielfache von T gilt das gleiche. Die Bewegung von Bloch-Zust anden im elektrischen Feld ist also periodisch. Man nennt diese BewegungBloch-Zener-Oszillationen. Die Periode T dieser Oszillationen ergibt sich ausGleichung (6.1):

T

eK E

F ur E 104V cm und primitive reziproke Gittervektoren K b j ist T etwa10 10 s. Kehren wir zu den B andern zur uck, wie wir sie im letzten Kapitel f urdas 1D-Modellpotential erhalten hatten: E

k E0 cos

ka . Berechnet man da-

raus die Gruppengeschwindigkeit

vg

1

dEdk

aE0

sinka

92

6.1. SKK AM BEISPIEL DER STREUUNG AN IONISIERTEN STORSTELLEN 93

und setzt f ur k die Beziehung (6.1) ein, so ergibt sich

vg aE0

sink0a aeEt

Die Gruppengeschwindigkeit oszilliert also in den Grenzen aE0 mit der Fre-quenz f aeE h, die genau dem Kehrwert von T im eindimensionalen Fallentspricht. Da die Stromdichte j envg ist, sieht man also, dass ein Gleichfeld Eeinen Wechselstrom j generiert. Das zeitliche Mittel ist Null, d.h. es fliesst keinGleichstrom. Dass man trotzdem einen Gleichstrom misst, liegt an der Streu-ung. Nach Zeiten von etwa 10 13 s werden die Bloch-Elektronen durch St ossemit Phononen und St orstellen aus der Bahn geworfen, so dass sie niemals einenImpulszuwachs von K w ahrend der periode T schaffen k onnen. Die Streuungsorgt also bei Bloch-Elektronen nicht wie bei v ollig freien Elektronen daf ur, dassein sonst unendlich grosser station arer Strom endlich bleibt, sondern daf ur, dassein sonst verschwindender Strom nicht Null wird! Bloch-Zener-Oszillationenwurden vor einigen Jahren erstmals an Supergittern, die eine viel gr ossere Gitter-periode als a haben, anhand der emittierten Terra-Hertz-Strahlung nachgewiesen.

Quantenmechanik: Ultra-Short Course IIIGoldene Fermi-Regel der QM

Wir betrachten einen zeitabh angigen St oroperator der Form Vt

Wt 0 t τ

0 sonst

Wt.ID.epsi53 13 mm

0 tτwobei die Ortsabh angigkeit von W

t nicht

explizit mitgeschrieben wird. Die zeitabh angige Schr odinger-Gleichung

i ∂∂t

Ψt H0

Vt Ψ t

hat keine station aren L osungen im Zeitintervall 0 τ . Wir entwickeln Ψt nach

den station aren Zust anden φn von H0. Die zugeh origen Eigenenergien sind En.(Eine solche Entwicklung ist m oglich, da die φn eine orthonormierte Basis imHilbert-Raum bilden.)

Ψt ∑

nant φn exp

i Ent (6.2)

94 CHAPTER 6. STREUPROZESSE

Zu Zeitpunkten t 0 hat sich das System in einem Eigenzustand von H0 befun-den, z.B. φi (“i” steht f ur “initial”). Daher muss

Ψa φi exp

i Ei t

f ur t 0

sein. Daraus folgt ant δni f ur t 0. Nachdem die St orung vorbei ist, d.h. f ur

t τ, haben die Koeffizienten wieder konstante Werte aniτ . Sie h angen vom

Anfangszustand (deshalb der Index i) und von der Dauer der St orung τ ab. F urZeiten t τ lautet also die Wellenfunktion

Ψe ∑

naniτ φn exp

i En t

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System nun in einem bestimmten Zustandf (“ f ” steht f ur “final”) befindet, wird durch das Betragsquadrat

a f iτ

2 Bez M f i

τ (6.3)

gegeben. M f i heisst Ubergangswahrscheinlichkeit (von i nach f ). Ziel ist dieBerechnung von M f i. Dazu setzt man die Entwicklung (6.2) in die Schr odinger-Gleichung ein und erh alt im Zeitintervall 0 τ

i ∑n

∂ant

∂tφn exp

i En t W

t ∑

nant φn exp

i En t

Um eine Gleichung f ur die Entwicklungskoeffizienten ant zu erhalten, multi-

pliziert man diese Gleichung mit φ f und integriert uber den IR3:

i ∑n

∂ant

∂t φ f φn

δ f n

exp

i En t ∑

nant φ f W

t φn exp

i En t

a ft

1i ∑

n f W

t n ant eiω f nt (6.4)

mit

φ f W t φn def

f W t n

d3rφn

r φ f r W

t ω f n

E f En nennt man Ubergangsfrequenz. Gleichung (6.4) ist eine Dif-

ferentialgleichung 1. Ordnung in der Zeit mit der Anfangsbedingung a f0 δ f i,


wie man durch Einsetzen in (6.2) sofort sieht. Wir nehmen nun an, dass Wt nur

eine “kleine St orung” ist, bzw. dass die Dauer τ der St orung nicht zu lang ist.Dann kann man (6.4) iterativ l osen und im ersten Schritt die Anfangsbedingung

in die rechte Seite anstelle von ant einsetzen, also a

0

nt δni:

a1

f i

t

1i f W

t i eiω f i t

Integration im Intervall 0 τ unter Beachtung, dass die Zust ande f und i ver-schieden sein sollen, liefert

a1

f i

τ

1i τ

0dt f W

t i eiω f i t

Damit erh alt man f ur die Ubergangswahrscheinlichkeit in 1. OrdnungStorungstheorie

M1

f i

τ

a1

f i

τ

2

1 2

τ

0dt f W

t i eiω f i t

2

(6.5)

Wir betrachten jetzt zwei wichtige F alle f ur die Zeitabh angigkeit desSt oroperators W

t :

1.)

Wt W0

W0r keine Zeitabh angigkeit

M1

f i

τ

f W0 i 2 2ω2

f ieiω f iτ 1

2

f W0 i 2 2ω2

f i

4 sin2 ω f iτ2

π 2 f W0 i 2 τ

sin2 ω f i2 τ

π ω f i2 2

τ

τ ∞ δ ω f i2

(6.6)

Der letzte Schritt folgt aus einer der m oglichen Darstellungen der δ-Funktion:

limε 0

1πε

sin2 xε

x ε 2 δx


Wir definieren dieUbergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit als

S f i lim

τ ∞

M1

f i

τ

τ

2π f W0 i 2 δ

E f Ei (6.7)

Man nennt sie oft “Fermi’s Goldene Regel der Quantenmechanik”. Sie istdie wohl wichtigste Formel f ur Anwendungen der QM. Man bedenke, dassmit ihr die Berechnung von (mikroskopischen) Streuraten auf die Berech-nung eines einzigen Ubergangs-Matrixelements, gebildet mit Zust anden desungest orten Systems, reduziert wird.

2.)

Wt W0 eiω0t e iω0t periodische St orung

z.B. Phonon, Photon, ...

Die Rechnung ist analog. Es treten lediglich Frequenzverschiebungenω f i ω0 auf und man erh alt

S f i

2π f W0 i 2 δ E f Ei

ω0 δE f Ei ω0

Die erste δ-Funktion beschreibt die Emission eines Quants der Energie ω0,die zweite die Absorption eines solchen Quants.

Wir betrachten jetzt zwei wichtige F alle f ur die Ortsabh angigkeit desSt oroperators W0. Anfangs- und Endzust ande seien Bloch-Funktionen derKristall-Elektronen.

i

1 Ωeik

rukν r f

1 Ωe ik ru kν

r

Wir fragen also nach der Wahrscheinlichkeit f ur die Streuung aus einem Zustandmit dem Wellenzahlvektor k

aus der 1. BZ in einen Zustand mit dem Wellen-

zahlvektor k aus der 1. BZ. Da in der QM der Zusammenhang p k zwischenImpuls und Wellenzahlvektor gilt, ist die Frage gleichbedeutend mit der Fragenach den zu erwartenden Impuls anderungen p p

.

1.)

W0r const

f W0 i

W0

Ω

Ω

d3re ir k k uk

ν r u kν

r

W0δνν δkk


wegen der Orthonormierung der Bloch-Funktionen. Das Matrixelementliefert also nur von Null verschiedene Beitr age, wenn k

k gilt, d.h. eine

r aumlich konstante St orung andert den Impuls eines Elektrons nicht.

2.)

W0r beliebig. Fourierzerlegung: W0

r ∑

qW0q eiq r

f W0 i

1Ω ∑

qW0q

Ωd3re ir k k

q ukν r u kν

r

Wenn q klein ist, dann gilt die Orthonormiertheit wenigstens nochn aherungsweise. Im Rahmen der Effektivmassen-N aherung werden dieBloch-Faktoren von vornherein durch 1 ersetzt. Dann erh alt man

f W0 i ∑q

W0q δk k

qδνν

! δνν

W0k k

Die Fouriertransformation des Potentials W0

r f uhrt also direkt auf das Ma-

trixelement.

Bemerkung:

Die Goldene Regel zeichnet sich durch eine grosse Allgemeing ultigkeit aus.Dies obwohl ein offensichtlicher Widerspruch besteht. Um die δ-Funktion zuerhalten, musste man den Limes τ ∞ nehmen. Bei bestimmten Wechsel-wirkungsprozessen wirkt jedoch die St orung nur w ahrend sehr kurzer Zeiten. F urStosszeiten von der Gr ossenordnung 10 14 s und kleiner kann der Ausdruck (6.6)typischerweise nicht mehr in eine δ-Funktion ubergehen, die Energie-Erhaltungwird verletzt. Dies ist eine Konsequenz der Heisenbergschen Unsch arferelation.Zu kurze Wechselwirkungen, d.h. mit zu grosser Zeitsch arfe, sind unweigerlichmit einer gewissen Energie-Unsch arfe verbunden. Die im folgenden betrachtetenStreuprozesse der Elektronen in Silizium-Bauelementen sind jedoch derart, dassdie Goldene Regel mit grosser Genauigkeit gilt.

A) Anwendung auf Streuung an ionisierten St orstellen

Die ionisierten Dotieratome erzeugen ein Coulomb-Potential, das dem eines Pro-tons sehr ahnlich ist. Die Einbettung der Ionen-R umpfe im Silizium hat jedochzwei Konsequenzen: 1.) Wegen des relativ grossen Bohrschen Radius “sp urt”das gebundene Elektron ein Gebiet des Kristalls vom Volumen mehrerer hundertWigner-Seitz-Zellen. Die Polarisierbarkeit der Silizium-Atomr umpfe f uhrt dazu,


dass das Orbital nur den εs-ten Teil des “nackten” Coulomb-Potentials sp urt. εsist die statische Dielektrizit atskonstante (εs 11 7 in Silizium). 2.) Die frei be-weglichen Ladungstr ager reagieren auf die zus atzliche Ionen-Ladung durch einegewisse Umordnung. Resultat dieser Umordnung ist ein zus atzliches Potential,das jedes Elektron im System sp urt, also auch das an der St orstelle gebundene. Ineinfachster N aherung kann man diesen Effekt mittels einer q-abh angigen dielek-trischen Funktion der Gestalt

εq 1

q2s

q2

beschreiben (der Index “s” steht f ur “screening”). Die Wellenzahl q s istumgekehrt proportional zur sogenannten Abschirmlange Ls: Ls

2π qs. Manfindet in 1. Ordnung St orungstheorie

lambda.eps63 55 mm

1014

1015

1016

1017

1018

1019

1020

Density (cm−3

)

1

10

100

1000

Scr

eeni

ng L

engt

h (n

m)

yukawa.eps62 57 mm

0 5 10 15Distance (nm)

−0.2

−0.1

0.0P

oten

tial (

eV)

1014

1016

1018

1020

Realistisch berechnete Abschirml ange als Funktion der Elektronendichte in n-Siliziumbei 300 K (links). Yukawa-Potential bei verschiedenen Elektronendichten (rechts).

q2s

4πe2

εskBT

n

p

d.h. die Abschirml ange ist 1 n

p. Je gr osser die Dichten der freibeweglichen Ladungstr ager, um so st arker wird das Coulomb-Potentialabgeschirmt. Dies geht soweit, dass ab einer bestimmten Dichte uberhauptkein Elektron mehr an der St orstelle gebunden werden kann. Dies ist der bereitsim vorangegangenen Kapitel erw ahnte Mott-Ubergang. Er findet in Silizium beiDichten von etwa 2 1018 cm 3 statt. Dar uber sind alle Dotieratome ionisiert.

Das effektive Potential, das von den ionisierten Dotieratomen erzeugt wird,nimmt nach dem oben Diskutierten die Form des sogenannten Yukawa-Potentials


an

W0r e2

εs re r Ls (6.8)

an. Um die Ubergangswahrscheinlichkeit f ur Streuungen an diesem Potential zufinden, m ussen wir also nur die Fourier-Transformierte berechnen:

W0q

1Ω

Ω

d3re iq rW0r

Dies sollte man als Ubung tun (Kugelkoordinaten!), das Ergebnis ist

W0q 4πe2

Ωεsq2 L 2

s Damit erh alt man alsUbergangswahrscheinlichkeit Skk

f ur die Streuung an einerionisierten St orstelle

Skk

2π

4πe2

Ωεs k k 2 L 2

s 2

δEk Ek

(6.9)

Wir betrachten ionisierte Donatoren mit einer mittleren Dichte ND . Nach

Prozess-Schritten wie Implantation, Eindiffusion und Ausheilung sind die Do-natoren regellos auf dem Kristall-Gitter verteilt. Ist der Abschirmradius kleinerals der halbe mittlere Abstand zwischen den Donatoren, kann man die Streu-ung an verschiedenen Donatoren als unabh angig voneinander ansehen. Dies istf ur Dotierungskonzentrationen (und damit Dichten), die die Beweglichkeit derLadungstr ager tats achlich beeinflussen, gut erf ullt. Da wir alle Berechnungen aufdas Grundgebiet Ω beziehen wollen, ist der letzte Ausdruck noch mit der Zahlder Donatoren im Grundgebiet ΩN

D zu multiplizieren, um zur totalen Streurate

zu kommen (wegen der vorausgesetzten Unabh angigkeit der Donatoren)

Skk

2π Ω

4πe2 2

ε2s

ND k k

2 L 2s 2 δ

Ek Ek

(6.10)

(Brooks, Herring, 1951). Der Fall geringer Dotierungskonzentrationen, bei demder Abschirmradius gr osser als der halbe mittlere Abstand zwischen den Dona-toren werden kann, erfordert eine gesonderte Behandlung der dabei auftretendenMehrfach-Streuung (Conwell, Weisskopf).


B) Impuls-Streurate

Gem ass Gleichung (3.15) ist die Beweglichkeit direkt proportional zurmakroskopischen Impuls-Relaxationszeit: µn

eτp n mn. Das 1. Momentder Boltzmann-Gleichung liefert den Zusammenhang zwischen τp n und demStossterm der BG

n∂ v ∂t

coll

n v τp n

(6.11)

(sh. Kap.3). Wir schreiben beide Seiten explizit aus, wobei nach (5.20) k-Summation durch k-Integration ersetzt wird.

n∂ v ∂t

coll

d3k∑

k Sk

k1 fk fk

Skk 1 fk

fk v

Ω8π3

d3k

d3kSkk

fk fk k

mn

Ω8π3

d3k fk

d3k

Skk

k k mn

n v τp n

1τp n

d3k fk k mn

Dabei wurde ein einfaches, parabolisches Leitungsband Eck 2k2 2mn

angenommen, was ausreicht, weil nur kleine k in der Umgebung des Band-minimums zur Ubergangswahrscheinlichkeit beitragen. Um (6.11) nach1 τp n aufl osen zu k onnen, betrachten wir o.B.d.A. die z-Komponente derGeschwindigkeit und erhalten

1τp n

Ω8π3 d3k fk d3k

Skk

kz kz

d3k fk kz F ur die k

-Integration wird kz als Polarachse benutzt. Da die St osse elastisch

sind, haben die Vektoren k und k

die gleiche L ange, so das kz

kz cosΘ mitdem Streuwinkel Θ. Dies f uhrt auf

1τp n

d3k fk kz τ 1p nk

d3k fk kz

mit der Impuls-Streurate

τ 1p nk

Ω8π3

d3k

Skk

1 cosΘ (6.12)

6.2. DIE WICHTIGSTEN STREUMECHANISMEN IN SILIZIUM 101

Vergleicht man den letzten Ausdruck mit der totalen (mikroskopis-chen) Streurate aus Kap.2, die dort f ur symmetrische (“randomizing”)Ubergangswahrscheinlichkeiten Skk

S k k Sk k

S k k definiert wurde,

so tritt hier ein Faktor 1 cosΘ auf, der Streuungen mit Θ 0, die zu keinerleiImpuls anderung f uhren, herausfiltert. DieUbergangswahrscheinlichkeit Skk

wird f ur Θ 0 maximal, da

k k 2 k2 k 2 2kk

cosΘ 2k2 1 cosΘ 4k2 sin2 Θ

2

in dem Fall verschwindet. Die Streuung an ionisierten St orstellen ist also nicht“randomizing”, sondern f uhrt bevorzugt zur Vorw arts-Streuung. Setzt man denAusdruck (6.10) f ur Skk

in die Impuls-Streurate ein und nutzt die δ-Funktionaus, ergibt sich 1 τp n als Funktion nur der Energie:

τ 1p nEk

πe4ND Φ

η 2mnε2

s E3 2k

mit

Φη ln

1 η η

1 η

und η 8mnEk

2L 2s

(Brooks, Herring, 1951). Mit wachsender Energie nimmt die Impuls-Streuratesehr schnell ab, was nachtr aglich nochmal die Verwendung der Effektivmassen-Approximation rechtfertigt.

6.2 Die wichtigsten Streumechanismen in Silizium

Der wichtigste Streumechanismus ist die Streuung an Phononen, den Quanten derGitterschwingungen. W ahrend die Streuung an ionisierten St orstellen elastischist, liefert die Phononstreuung einen Energieverlust-Mechanismus (Emissionvon optischen Phononen). Die Beweglichkeit der Ladungstr ager in Silizium(und damit auch die Temperaturabh angigkeit der Beweglichkeit) ist f ur Ndop 1016 cm 3 v ollig von der Phononstreuung dominiert. Der St oroperator ist dassogenannte Deformationspotential. Man erh alt es, wenn man die Energie-Anderung infolge der Gitterdeformation (Anderung der Gitterkonstanten a)st orungstheoretisch berechnet. Eine relativ einfache Darstellung findet sich imBuch von Hess (S. 89 ff.). Wir geben hier nur die Impuls-Streuraten der wichtig-sten Prozesse als Funktion der Energie an, wobei wieder eine parabolische Dis-persion der B ander vorausgesetzt wurde.


INNERTAL-STREUUNG AN AKUSTISCHEN PHONONEN (ELASTISCHE NAHERUNG)

1τac

p nE

D2ac 2

m2

t ml kBT

π 4c2l ρ

E

(Dac - Deformationspotential-Konstante, ρ - Massen-Dichte, cl - longitudi-nale Schall-Geschwindigkeit). Der Ausdruck f ur die L ocher ist ahnlich,Deformationspotential-Konstante und effektive Massen sind anders.

ZWISCHENTAL-STREUUNG AN AKUSTISCHEN UND NICHT-POLAR OPTISCHEN PHONONEN

(ELEKTRONEN)

1τiv

p nE

∑α Taler

ΘE ωα 1 f

E ωα

1 fE

Zα

m2t mlD2

iv α 2π 3ωαρ

fB α

12

12

E ωα

(ωα - effektive Phonon-Frequenz, Div α - effektive Deformationspotential-Konstante, f

E - Fermi-Dirac-Verteilung, fB α - Bose-Einstein-Verteilung

fB α exp

ωα kBT 1 1 , Θ - Stufenfunktion).

STREUUNG AN NICHT-POLAR OPTISCHEN PHONONEN (LOCHER)

1

τnopp pE

D2nopm3 2

d p 2ρω0π 3 fE f E ω0 fB 0

E ω0 Θ

E ω0

fE ω0

fB 0

1 E

ω0 (Dnop - nicht-polar optische Deformationspotential-Konstante, ω0 - effektivePhonon-Frequenz, fB 0 - Bose-Einstein-Verteilung

fB 0

exp ω0 kBT

1 1 ).

STREUUNG AN IONISIERTEN STORSTELLEN (BEISPIEL EINFACHE DONATOREN)

1

τimpp nE

πe4ND Φ

η 2mnε2

s E3 2

Mit ge anderter effektiver Masse gilt dieser Ausdruck auch f ur L ocher. Allerdingsversagt die 1. Ordnung St orungstheorie bei diesem Streumechanismus relativschnell.

6.3. DIE MATTHIESSEN-REGEL 103

Man entnimmt diesen Formeln folgende allgemeine Charakteristika: DiePhonon-Streuraten sind proportional zur Zustandsdichte

E und zu denPhonon-Besetzungswahrscheinlichkeiten fB. Sie sind ausserdem monoton wach-sende Funktionen der Temperatur T , denn im Fall ω

kBT geht

fB

1

e ωkBT 1

kBT ω

6.3 Die Matthiessen-Regel

Wenn man voraussetzt, dass die einzelnen Streuprozesse unabh angig voneinandersind, dann ist die totale Streurate die Summe der partiellen Streuraten

∑α

1ταk

1τtot

k

wegen der Additivit at der quantenmechanischenUbergangswahrscheinlichkeiten.Die partiellen Beweglichkeiten ergeben sich durch gewisse Mittelwerte uber diemikroskopischen Relaxationszeiten (sh. n achstes Kap.)

µα τα

N aherungsweise gilt

1µtot

∑α

1µα

Matthiessen-Regel (6.13)

(Additivit at der Teilwiderst ande). Diese Regel ist deshalb eine N aherung, weil

1µtot

1

τtot

1

∑α

1τα 1 ∑

α

1 τα ∑

α

1µα

Nur wenn alle τ 1α dieselbe Energieabh angigkeit haben, gilt die Matthiessen-

Regel exakt, wie man leicht uberpr ufen kann. Andersherum, je unterschiedlicherdie Energieabh angigkeit τ 1

α Es der einzelnen Impuls-Streuraten, desto gr osserder Fehler. In der Bauelemente-Simulation verwendet man oft empirische Mod-elle f ur die einzelnen partiellen Beweglichkeiten µα. Dann ist die Matthiessen-Regel die einzige M oglichkeit, daraus eine totale Beweglichkeit zu konstruieren.

7 Beweglichkeit kalter und heisserLadungstrager

7.1 Partielle Beweglichkeiten fur Streuung an ionisiertenStorstellen und an akustischen Phononen

Mit den Impuls-Streuraten aus dem letzten Kapitel kann man die partiellen Be-weglichkeiten leicht berechnen:

µn

emn

d3k fk kz

d3k fk kz τ 1p nEk

W urde man hier die Gleichgewichtsverteilung f0k einsetzen, so w urde ein Aus-

druck Null/Null entstehen. Deshalb benutzen wir f1

k von Gleichung (2.8) alsAbweichung vom Gleichgewicht in niedrigster Ordnung

f1

k τp nEk eE

∇k f0Ek

und erhalten unter Auszeichnung der z-Richtung

µn

emn

d3kkzτp nEk ∂

∂kzf0Ek

d3kkz∂

∂kzf0Ek

23

emn

dE ∂ f0∂E E3 2τp n

E

dE E f0E

Partielle Beweglichkeit f ur Streuung an ionisierten St orstellen

Setzt man die Impuls-Relaxationszeit aus dem letzten Kapitel

τimpp nE

2mnε2s E3 2

πe4ND Φ

η

104

7.2. MODELLE FUR DIE BEWEGLICHKEIT KALTER LADUNGSTRAGER IM BULK 105

hier ein, beschr ankt sich auf Maxwell-Boltzmann-Statistik, benutzt ∞

0dxe x xxn Γ

n 3

2

und zieht ηE am Maximum des restlichen Integranden (Emax

3kBT ) aus demIntegral, folgt

µimpn

8 2ε2skBT 3 2

e3π3 2 mnND Φ

η mit η

24mn kBT

2L 2s (7.1)

Partielle Beweglichkeit f ur Streuung an akustischen Phononen

Setzt man die Impuls-Relaxationszeit in elastischer N aherung aus dem letztenKapitel

τacp nE

π 4c2l ρ

D2ac 2

m2

t ml kBT E

ein, so folgt mit Maxwell-Boltzmann-Statistik

µacn

23

e 2π 4c2l ρ

D2acm5 2

nkBT 3 2 (7.2)

F ur die effektive Masse mn hat man in (7.1) und (7.2) jeweils die Zustandsdichte-Masse mdn

m2

t ml 1 3 zu benutzen.

7.2 Modelle fur die Beweglichkeit kalter Ladungstrager im bulk

Dotierung bis 1019 cm 3

Empirisches Grundmodell (Caughey, Thomas, 1967):

µNimp T µmin

µLT µmin

1 Nimp

Nre f α (7.3)

µLT ist “lattice mobility” mit empirischer Temperaturabh angigkeit, z.B.

f ur Elektronen µL nT 1417

T 300 2 5 cm2 Vs

Nimp 0 µ

Nimp T µL

T

106 CHAPTER 7. BEWEGLICHKEIT KALTER UND HEISSER LADUNGSTRAGER

munTfull.eps72 72 mm

20 30 50 100 200 500 1000Temperature (K)

102

103

104

105

Mob

ility

(cm

2 /Vs)

Norton et al.LongRauch et al.Logan et al.power law (Dessis)Schenk model

ac

inter−valley

Temperaturabh angigkeit der bulk-Beweglichkeit thermalisierter (kalter) Elektronen inSilizium. Die relativen Anteile von Zwischental-Streuung an nicht-polar optischen undakustischen Phononen (inter-valley) und Innertal-Streuung an akustischen Phononen(ac) sind als gestrichelte Kurven dargestellt.

impn.eps63 59 mm

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22Log(Nimp (cm

−3))

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

Mob

ility

(10

3 cm2 /V

s)

theory (Fermi)theory (Boltzmann)data Masetti et al.

impp.eps64 64 mm

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22Log(Nimp (cm

−3))

0

100

200

300

400

500

Mob

ility

(cm

2 /Vs)

Abh angigkeit der bulk-Beweglichkeit thermalisierter (kalter) Elektronen (links) undL ocher (rechts) von der Dotierungskonzentration. Experimentelle Kurven sind mitoffenen Kreisen dargestellt, die theoretischen Ergebnisse in Bornscher N aherung mitdurchgezogenen Kurven (Fermi-Dirac-Statistik) und gepunkteten Kurven (Maxwell-Boltzmann-Statistik).

7.2. MODELLE FUR DIE BEWEGLICHKEIT KALTER LADUNGSTRAGER IM BULK 107

Nimp Nre f µ

Nimp T µmin

const, z.B. f ur Elektronenµmin

50 70cm2 Vs zwei empirische Parameter, mit denen die Position und die Steilheit der

Flanke eingestellt wird, z.B. f ur Elektronen Nre f 9 7 1016 cm 3 und

α 0 7

Starke Dotierung 1019 cm 3 bis 1021 cm 3

Modifiziertes Caughey-Thomas-Modell (Masetti, 1983):

µNimp T µmin

µLT µmin

1 Nimp

Nre f 1 α1

µ1

1 Nre f 2

Nimp α2

(7.4)

Anpassung des “second drop” mit drei zus atzlichen Parametern

Unterschied zwischen Minorit ats- und Majorit atsladungstr ager-Beweglichkeit

nminority.eps63 67 mm

17 18 19 20Log(NA [cm

−3])

0

100

200

300

400

500

600

700

Ele

ctro

n M

inor

ity M

obili

ty [c

m2 /V

s]

Dziewior and SilberTang et al.Swirhun et al. 1986Swirhun et al. 1988Leu and Neugroschelmajority carrier mob.

pminority.eps63 67 mm

17 18 19 20Log(ND [cm

−3])

0

100

200

300

400

500

Hol

e M

inor

ity M

obili

ty [c

m2 /V

s]

Dziewior and SilberBurk et al.Mertens et al. del Alamo et al. Wang et al.Wang and Neugroschelmajority carrier mob.

Symbole zeigen gemessene Minorit atsladungstr ager-Beweglichkeiten, Elektronen in p-Si (links) und L ocher in n-Si (rechts). Zum Vergleich sind mit den durchgezogenenKurven die Majorit atsladungstr ager-Beweglichkeiten dargestellt.

Messungen deuten darauf hin, dass Minorit atsladungstr ager-Beweglichkeitgr osser als Majorit atsladungstr ager-Beweglichkeit ab Dotierung von etwa1017 cm 3


Erkl arung uber Versagen der St orungstheorie 1. Ordnung (BornscheN aherung) repulsive Streuung schw acher als attraktive

7.3 Beweglichkeit im MOSFET-Kanal

Was andert sich physikalisch f ur die Ladungstr ager im Kanal eines MOSFETs?

Streuung an den Mikro-Rauhigkeiten der Si-SiO2-Grenzfl ache (“surfaceroughness scattering”)

roughness.ID.epsi83 39 mm

SiO2

silicon

L

∆

Mikro-Rauhigkeiten der Si-SiO2-Grenzfl ache f uhren zu lateralen Fluktuationen desOberfl achenpotentials, an denen die Ladungstr ager gestreut werden. Zwei empirischeParameter dienen zur Modellierung: eine Korrelationsl ange L und eine mittlereRauhigkeit ∆.

Streuung an geladenen Grenzfl achen-Zust anden und festen Oxid-Ladungen(“fixed oxide charges”) zus atzlich zur Streuung an den ionisiertenSt orstellen im Silizium. Im Inversionsfall ist jedoch jede Coulomb-Streuungwegen der grossen Ladungstr agerdichte im Kanal so stark abgeschirmt, dassdie Oberfl achenstreuung uberwiegt.

Modifikation der Phonon-Streuung durch Oberfl achen-Phononen

2D-Quantisierungseffekte Zustandsdichte und Streuraten andern sich.

Welche Mechanismen dominieren, h angt vor allem von der Feldst arke E

senkrecht zur Grenzfl ache ab.

7.3. BEWEGLICHKEIT IM MOSFET-KANAL 109

oxidecharges.ID.epsi84 63 mm

nahe Gleichgewicht

starke Inversion

NA

besetzteGrenzflächen-zustände

positiveOxidladungen

Coulomb-Streuung undPhonon-Streuung

surface roughness undPhonon-Streuung

Im subthreshold-Bereich des MOSFETs dominiert neben der Phonon-Streuung dieCoulomb-Streuung an geladenen Grenzfl achen-Zust anden, an festen Oxid-Ladungenund an den ionisierten St orstellen im Silizium. Bei starker Inversion sind die Coulomb-Streuzentren abgeschirmt, und es uberwiegt neben der Phonon-Streuung die Streuungan den Mikro-Rauhigkeiten der Si-SiO2-Grenzfl ache.

mosfigures.ID.epsi129 51 mm

0

0.1

0.002 0.003 0.004distance (µm)

EF,Si

E0

E1

E0’

E1’

ener

gy (

eV)

EF,Si

EF,g

5 nm

ϕ0

ϕ1

ϕ0’

ϕ1’

Quantisierung im MOSFET-Kanal senkrecht zur Si-SiO2-Grenzfl ache. Links: Band-verbiegung in einer nMOS-Struktur mit 2 nm Oxiddicke (Vg 0 4V ). Die Leitungs-bandkante rutscht unter das Si-Ferminiveau. Mitte: Die untersten vier Energieniveausin Relation zum Si-Ferminiveau. Ungestrichene Energien beziehen sich auf die quan-tisierten Zust ande mit longitudinaler effektiver Masse (2-fach entartet), die gestrichenenauf Zust ande mit transversaler effektiver Masse (4-fach entartet). Numerische Rech-nungen zeigen, dass das Ferminiveau unabh angig von der Gate-Spannung zwischenden untersten beiden Niveaus liegt. Deshalb ist die thermische Besetzung der h oherenSubb ander schwach und die Verwendung der Effektivmassen-Approximation gerecht-fertigt. Rechts: z-Komponente der Wellenfunktionen der untersten vier Zust ande.


Beispiel eines physikalisch motivierten empirischen Modells(Schwarz, Russek, 1983)

1µtot

1µLT

bulk

3 2 10 9pz

T

300 1 2

Kanal Effekte

(7.5)

Dies ist ein Beispiel f ur die Verwendung der Matthiessen-Regel: 1 µtot

1 µbulk

1 µsur f . Im Kanal-Term bedeutet z die Ausdehnung des Kanals inRichtung senkrecht zur Si-SiO2-Grenzfl ache. Der Faktor p ist der sogenannteFuchs-Streufaktor. Die Herkunft des Kanal-Terms kann folgendermassen mo-tiviert werden:

µsur f

em τp sur f

em

lvth

Hier ist die Impuls-Relaxationszeit τp sur f durch das Verh altnis einer Streul ange lund der mittleren thermischen Geschwindigkeit vth

3kBT m ausgedr uckt

worden. Die Streul ange wird mit der Ausdehnung des Kanals in Richtungsenkrecht zur Si-SiO2-Grenzfl ache identifiziert. Damit erh alt man 1 µsur f T z. Der Ausdruck f ur z lautet in diesem Modell

z

0 039E

av

T

300 1 24 10 5

E1 3

av (7.6)

E av ist die mittlere Feldst arke senkrecht zur Si-SiO2-Grenzfl ache gebildet mit

der Ladungsdichte nz :

E av

1ninv

zp

0dzE

z n z

ninv ist die 2D Inversionsladungsdichte und zp der Rand des neutralen Gebietes.Die Form (7.6) f ur z erkl art sich wie folgt. z wird als Summe aus klassischer undquantenmechanischer Kanalweite angesetzt.Klassischer Term:Nach dem Virialtheorem gilt f ur eine beschr ankte Bewegung T V , d.h. derMittelwert der kinetischen Energie ist gleich dem Mittelwert der potentiellen En-ergie. Deshalb ist

m 2

v2th

32

kBT!

eE av zkl

zkl

3kBT2eE

av

7.3. BEWEGLICHKEIT IM MOSFET-KANAL 111

Quantenmechanischer Term:Nach der Heisenbergschen Unsch arferelation ist p z und nach dem Viri-altheorem

12m p

2 eE

av zqm

zqm

3 2

2em 1 3E1 3

av

In Abh angigkeit von der Feldst arke E av, d.h. von der angelegten Gate-

Spannung, dominiert entweder der klassische Term (subthreshold-Bereich) oderder quantenmechanische Term (starke Inversion). Der Fuchs-Streufaktor pbeschreibt den Anteil an diffuser Streuung, denn der reflexive Anteil tr agt nichtzur Impuls-Streurate bei.Oberfl achenstreuung:

Das Potential wird linear in der mittleren Fluktuation ∆ entwickelt: Vx y z

Vx y z0 ∆∂V ∂z z z0 und der letzte Term als St oroperator genommen. Das

Quadrat des Ubergangsmatrixelements (Goldene Regel!) wird dann ∆2E2 .

Bemerkungen:

Zur Anpassung der einzelner Parameter muss MOSFET unter solchen Be-dingungen betrieben werden, bei denen ein bestimmter Streumechanismusdominiert.

Modell als Funktion der mittleren Feldst arke E av zu aufwendig f ur BE-

Simulation.

In Simulatoren oft Modelle als Funktion der lokalen Feldst arke E , z.B.

1µtot

1

µLT

T

BTE C

Nimp N0

λE1 3

E2

δ

(Lombardi et al., 1988)


ohne300K.eps80 68 mm

105

106

Effective field [V/cm]

102

103

Effe

ctiv

e M

obili

ty [c

m2 /V

s]

theoreticalexperimental

~ Eav

−0.96

Effektive Beweglichkeit als Funktion der mittleren Feldst arke im Dotierungsbereich1015 cm

3 bis 1019 cm 3 und f ur verschiedene Oxiddicken zwischen 3 nm und 13 nm.

Man erh alt eine “universelle” Kurve, solange Streuung an geladenen St orstellen ver-nachl assigbar ist.

7.4 Beweglichkeit heisser Ladungstrager

7.4.1 S attigung der Driftgeschwindigkeit

Betrachten homogenes n-Si. Vom hydrodynamischen Transportmodell (3.26)erh alt man, wenn man die r aumlichen Gradienten wegl asst

∂∂t

wn 1n

jn E wn 3kBTL 2τE n

Setzt man wn 3kBTn 2 wie im Energie-Balance-Modell, folgt

∂∂t

Tn

23kB n

jn E Tn TL

τE n Im station aren Zustand ist demnach

Tn TL

τE n2

3kB njn E (7.7)

Die Elektronentemperatur steigt unter dem Einfluss des elektrischen Feldes Ean, man spricht von heissen Elektronen. Effekte heisser Elektronen werden

7.4. BEWEGLICHKEIT HEISSER LADUNGSTRAGER 113

bei h oheren Feldern merklich, wo man die Diffusion gegen uber der Drift ver-nachl assigen kann. Deshalb setzen wir jn

eµn nE in Gleichung (7.7) ein:

Tn TL

2e3kB

τE nµnE E2

(7.8)

A) “Warme” Elektronen

F ur nicht zu grosse Feldst arken kann man zeigen, dass die Energie-Relaxationszeit und die Beweglichkeit in folgender Form von der Temperatur derElektronen abh angen:

τE n 4 10 12 Tn

TLs const Tn

TL

µn µ0 TL

Tn Einsetzen in (7.8) ergibt

Tn TL

const

2e3kB

µ0 E2 d.h. Tn E2

Die Elektronentemperatur steigt mit dem Quadrat der Feldst arke an. Setzt manandererseits Tn in den Ausdruck f ur die Beweglichkeit ein, so folgt

µn

µ01

const 2e3kBTL

µ0 E2

B) “Sehr heisse” Elektronen

F ur sehr grosse Feldst arken kann man annehmen, dass

τE n const µn vsat n

E

d.h die Driftgeschwindigkeit der Elektronen vD µn E s attigt beim Wert der

S attigungs-Driftgeschwindigkeit vsat n. Einsetzen in (7.8) ergibt dann

Tn TL

const

2e3kB

vsat n E d.h. Tn E


TnofF1.eps59 62 mm

3.0 3.5 4.0 4.5 5.0Log(E [V/cm])

2.4

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0Lo

g(T

n [K

])

Monte Carloanalytical

TpofF.eps61 62 mm

3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5Log(E [V/cm])

2.4

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

Log(

Tp

[K])

Monte Carloanalytical

Abh angigkeit der Ladungstr ager-Temperatur von der Feldst arke, Elektronen (links) undL ocher (rechts).

Die Elektronentemperatur steigt linear mit der Feldst arke an. F ur die Drift-geschwindigkeit der Elektronen ergibt sich

A) vD

µ0 E1

const 2e3kBTL

µ0 E2

B) vD vsat n

7.4.2 Empirische Modelle f ur Bauelemente-Simulation

Mit A) und Ersetzen der Konstanten durch const 3kBTLµ0 2ev2sat n erh alt man

eine feldabh angige Beweglichkeit der Form

µE

µlow1 µlow E

vsat 2 1 2

Diese wird zum Fit-Modell verallgemeinert (Caughey, Thomas, 1967)

µE

µlow1 µlow E

vsat β 1 β (7.9)

7.4. BEWEGLICHKEIT HEISSER LADUNGSTRAGER 115

vsat.eps62 59 mm

3 4 5 6Log( Field Strength [V/cm] )

5.6

5.8

6.0

6.2

6.4

6.6

6.8

7.0

7.2

7.4

7.6

Log(

Ele

ctr.

Drif

t Vel

ocity

[cm

/s] )

T=100KT=200KT=300KT=400KT=450K

vsatpdop.eps62 60 mm

3 4 5Log( Field Strength [V/cm] )

5.4

5.6

5.8

6.0

6.2

6.4

6.6

6.8

7.0

Log(

Hol

e D

rift V

eloc

ity [c

m/s

] )

pure10

16 cm

−3

1017

cm−3

1018

cm−3

1019

cm−3

S attigung der Driftgeschwindigkeit bei verschiedenen Gitter-Temperaturen (Elektronen,links) und bei verschiedenen Dotierungskonzentrationen (L ocher, rechts).

Im Energie-Balance-Modell verwendet man auch Modelle als Funktion derLadungstr ager-Temperatur. Aus (7.9) erh alt man sofort ein temperaturabh angigesModell, wenn man die Feldst arke durch Tn TL ausdr uckt, z.B. f ur “sehr heisse”Elektronen:

E

3kB

2eTn TL

τE n vsat n


Veranschaulichung “velocity overshoot”

overshoot.ID.epsi85 61 mm

time (arb. units)

drif

t vel

ocity

(ar

b. u

nits

)

Veranschaulichung “velocity overshoot”. Die zuf alligen Geschwindigkeiten der Elek-tronen sind durch die Pfeile symbolisiert. Zur Zeit t 0 wird ein starkes elektrischesFeld eingeschaltet. Die Elektronen werden beschleunigt und f ur eine kurze Zeit so gutwie nicht gestreut (Tn TL). Deshalb bleiben die zuf alligen Geschwindigkeiten klein.Da alle Elektronen in dieselbe Richtung fliegen, kann jedoch eine grosse mittlere Drift-geschwindigkeit erreicht werden. Nachdem die Streuung einsetzt, werden Impulse undEnergien immer mehr zuf allig verteilt und die mittlere Driftgeschwindigkeit nimmt ab.Gleichzeitig wachsen die zuf alligen Geschwindigkeiten immer weiter an, d.h. Tn

TL.

Die Zeitskala ist typischerweise in Picosekunden, die maximale Driftgeschwindigkeitbetr agt einige 107 cm

s bis 108 cm

s.

Strahlungslose Rekombination 8

8.1 Tiefe Storstellen

Quantenmechanik: Ultra-Short Course IVEnergieniveau einer tiefen St orstelle

Punktf ormige Defekte wie Vakanzen, Si-Atome auf Zwischengitterplatzoder Metallatome auf Gitterplatz bezeichnet man als tiefe Storstellen. DasSt orpotential solcher Zentren ist stark lokalisiert (“δ-f ormig”) und f uhrt zugebundenen Zust anden, die ebenfalls in einem Gebiet weniger Elementarzellenlokalisiert sind. Wir bezeichnen den Operator des St orpotentials mit U

r . Die

L osung der Schr odinger-Gleichung

H0

Ur Φ

r E Φ

r

wobei H0 der Kristall-Hamiltonoperator ist, liefert die Eigenenergien, d.h.die Bindungsenergien der an solchen St orstellen gebundenen Elektronen oderL ocher. Wir stellen die gesuchten Wellenfunktionen in der Basis der Bloch-Zust ande dar (den Eigenfunktionen vonH0):

Φr ∑

kν k ν Φ ψν

k r mit k ν Φ

d3r

ψ ν k

r Φ r (8.1)

Einsetzen in die Schr odinger-Gleichung ergibt zun achst

∑kν k ν Φ Eν

k E ψν

k r U

r ∑

kν k ν Φ ψν

k r 0

117

118 CHAPTER 8. STRAHLUNGSLOSE REKOMBINATION

Nach Multiplikation mit ψ ν kr und r aumlicher Integration folgt

∑kν k ν Φ Eν

k E kν k ν

δkk δνν

∑kν k ν Φ kν U

r k ν 0

Eνk E kν Φ ∑

kν k ν Φ kν U

r k ν 0

Zur Vereinfachung beschr anken wir uns auf ein Band (ν ν

ν0, Einband-N aherung) und approximieren das Matrixelement mit U

r durch eine Konstante

U0:

kν0 U r k ν0 U0

Dies ist f ur sehr stark lokalisierte St orpotentiale gerechtfertigt, weil in dem Fallalle k-Vektoren aus der 1. BZ gleichermassen beitragen. Die Eigenwertgleichungvereinfacht sich damit zu

kν0 Φ

U0

E Eν0

k ∑

k k ν0 Φ

∑k

kν0 Φ ∑k

U0

E Eν0

k ∑

k k ν0 Φ

In der letzten Zeile wurde uber alle k summiert. Wenn Φ ein Eigenzustand zurEigenenergie E ist, dann ist Φ 0 und man darf durch die linke Seite divi-dieren. Das Ergebnis ist eine S akulargleichung f ur das Energieniveau E der tiefenSt orstelle:

1U0

∑k

1E Eν0

k (8.2)

Sei ν0 v (Valenzband) und der Energie-Nullpunkt E

0

v 0. Die graphische

L osung der Gleichung (8.2) f ur E E0

v liefert einen Schnittpunkt bei E Et .Das “tiefe Niveau” liegt um so tiefer im Gap, je gr osser U0 ist (siehe Abb.).Allerdings ist die Einband-N aherung meist nicht gerechtfertigt, da das Potentialtiefer St orstellen die B ander koppelt.

8.1. TIEFE STORSTELLEN 119

deeplev.ID.epsi65 47 mm

0 EE t Eg

inve

rse

ener

gy Σk

1E E ( )v k

1U0

Graphische L osung der S akulargleichung (8.2).

vakanz.ID.epsi117 82 mm

bindende Zustände

anti-bindende Zustände

Dehybridisierung

sp3

A1

T2

V

V

2++

V+0

0-

Gitterrelaxation + Elektron-Elektron-WW

Vakanz in Silizium

(bindende Linear-kombinationen von sp -Hybridorbitalen)

3(Aufhebung derLinearkombination)

V+0 vor der Ionisation

nach der Ionisation

Tiefe St orstellen spielen entscheidende Rolle f ur die Rekombination in Hal-bleitern.

Einfang eines Elek-trons und einesLochs = Rekombina-tion

genrecschema.ID.epsi40 22 mm

Erzeugung einesElektrons und einesLochs = Generation


Wo bleibt die bei der Rekombination freiwerdende Energie?

- Strahlung: Emission eines Photons (im indirekten Halbleiter Siliziumjedoch geringe Wahrscheinlichkeit)

- Anregung eines zweiten Elektrons oder Lochs (Auger-Rekombination,nur bei grossen Ladungstr agerdichten)

- Phononen (W arme)- andere (z.B. Defekt-Reaktionen)

Bei Umwandlung in W arme ergibt sich folgendes Problem: Et Eg 2 0 56eV aber (!!) ωph 0 06eV . Die Rekombination eines Elektron-Loch-Paares kann nur unter gleichzeitiger Emission vieler Phononen erfol-gen. Man spricht von Multiphonon-Rekombination.

confcoord.ID.epsi109 72 mm

configuration coordinate

tota

l ene

rgy

|| |

0 Qc,nQc,p Qt

hωph

Ec

Ev

E t

Multiphonon-Rekombination im Konfigurations-Koordinaten-Diagramm. Im linkenTeil ist der elektronische Anteil der Gesamtenergie dargestellt, rechts die totale Ener-gie (elektronischer Anteil plus potentielle Energie des harmonischen Oszillators). DieGitterschwingungen sind durch eine representative Auslenkung Q des Oszillators undeine effektive Phononenergie ωph beschrieben. Ein Elektron rekombiniert mit einemLoch durch den Ubergang c t v. Dabei relaxiert das Gitter, was mit einer Ver-schiebung der Gleichgewichtslage des Oszillators einhergeht: 0 Qt 0. Infolge derstarken Elektron-Phonon-Kopplung sind Uberg ange an den Schnittpunkten Qc n undQc p der Potentialparabeln m oglich. In der N ahe der Schnittpunkte befindet sich dasSystem in einem vibronisch hochangeregten Zustand und relaxiert unter Emission vielerPhononen.

8.2. GENERATIONS-REKOMBINATIONSRATEN FUR BAND-BAND- UNDBAND-TRAP-UBERGANGE 121

8.2 Generations-Rekombinationsraten fur Band-Band- und Band-Trap-Ubergange

Die Rate kann mit dem 0. Moment des Stossterms der Boltzmann-Gleichungberechnet werden. Das Nichtgleichgewicht wird durch ortsabh angige Quasi-Fermi-Niveaus f ur Elektronen und L ocher beschrieben. Dahinter steckt die An-nahme, dass sich die Ladungstr ager in ihren jeweiligen B andern untereinander(lokal) im thermodynamischen Gleichgewicht befinden. Solange die Impuls-Relaxationszeiten der Intra-Prozesse klein gegen die Zeitkonstanten der Genera-tion/Rekombination bleiben, ist diese Annahme gerechtfertigt. Sie ist im ubrigendie Voraussetzung daf ur, dass man separate Transportgleichungen f ur Elektronenund L ocher aufschreiben darf.

Band-Band-Uberg ange

Da die Anfangs- und Endzust ande in den B andern liegen, lautet der Stossterm∂n∂t

coll

d3k∑

k Sk

k fv

k 1 fc

k Skk

fck 1 fv

k

Unter Benutzung parabolischer B ander kann man von der k-Integration zurEnergie-Integration ubergehen. Dabei entstehen Zustandsdichte-Faktoren (vgl.(5.24)), allerdings ohne den Faktor 2 vom Spin, da der Spin erhalten bleibt. Manerh alt

∂n∂t

coll

∞E 0

c

dEc

E 0 v

∞

dEv SEc Ev Dc

Ec Dv

Ev

fvEv 1 fc

Ec fc

Ec 1 fv

Ev G R

Rekombinationsterm: R n p S mit

S

dEcdEv SDcDv fc1 fv

dEcdEv DcDv fc1 fv

Wir betrachten im folgenden Maxwell-Boltzmann-Statistik, d.h. fcEc

1und 1 fv

Ev

1. Dann k urzen sich im Ausdruck f ur S alle Exponential-Funktionen, die von den Quasi-Fermienergien EF n und EF p abh angen, heraus.

S ist deshalb eine dichte-unabh angige Konstante.

Generationsterm: G const , denn fvEv 1 fc

Ec 1.


Im Gleichgewicht gilt G R. Daraus kann man die Konstante bestimmen:

G Req n2

i e f f S da n p n2i e f f im thermodyn. Gleichgewicht.

Die Netto-Rate f ur Band-Band-Rekombination wird damit

R G n p n2i e f f S (8.3)

Die konkrete Form von S h angt vom jeweiligen Rekombinations-Mechanismusab (strahlende Rekombination, Band-Band-Auger-Rekombination, ...).

Band-Trap-Uberg ange

Betrachten identische, nicht wechselwirkende tiefe St orstellen mit einem En-ergieniveau Et . Die Dichte der besetzten Traps ist nt

Nt ft , wobei Nt die Trap-Dichte und ft die Besetzungswahrscheinlichkeit ist. Die Zustandsdichte der Trapshat die Form Dt

E Nt δ

E Et . (Es existiert nur ein diskretes Energieniveau,

das besetzt werden kann.) Wegen der δ-Funktion kann ein Energie-Integral aus-gewertet werden. F urUberg ange zwischen Leitungsband und Trapniveau erh altmanRekombinationsterm:

R Nt

∞E 0

c

dEc SEc Et Dc

Ec fc

Ec

1 ft bzw.

R Nt1 ft n S mit

S cndef

∞E 0

cdEc S

Ec Et Dc

Ec fc

Ec

∞E 0

cdEc Dc

Ec fc

Ec

cn heisst Einfang-Koeffizient (f ur Elektronen), Masseinheit ist cm3 s.Generationsterm:

G Nt

∞E 0

c

dEc SEt Ec Dc

Ec 1 fc

Ec ft

Nt ft constEt f ur Maxwell-Boltzmann-Statistik

G Nt ft en (8.4)

8.3. RATEN-GLEICHUNGEN 123

en heisst Emissionsrate (f ur Elektronen), Masseinheit ist 1 s. Im Gleichgewichtgilt G R. Daraus kann man en bestimmen:

R G eq Nt 1 f 0

t n0 cn Nt f 0t en

0

en cn n1 mit n1

def n0

1 f 0t

f 0t

Die Netto-Rate f ur Trapping (von Elektronen) wird damit

R G

Nt nt ncn nt n1 cn (8.5)

Der Ausdruck f ur das Trapping von L ochern ist analog.

8.3 Raten-Gleichungen fur Trapping und Shockley-Read-Hall(SRH)-Rekombination

Die totale zeitliche Anderung der Dichte besetzter Traps ist

∂∂t

nt R

n G

n R

p G

p (8.6)

Die ersten beiden Terme beschreiben den Einfang und die Emission von Elektro-nen (Trapping-Rate f ur Elektronen), die letzten beiden Terme den Einfang unddie Emission von L ochern (Trapping-Rate f ur L ocher).

Trapping

Sind die Traps Elektronen-Traps, d.h. cn cp, en ep, reduziert sich Gleichung(8.6) auf

∂∂t

nt

Nt nt ncn nt en

Diese Gleichung ist zus atzlich zu und selbstkonsistent mit den Transport-Gleichungen des benutzten Transport-Modells zu l osen. Die neue (zus atzliche)Variable ist nt (oder aquivalent dazu ft). Solange die von aussen induziertenzeitlichen Anderungen viel langsamer sind als

ncn 1 bzw. e 1

n , kann man∂nt ∂t vernachl assigen (station arer Fall) und ft explizit angeben:

ft 1

1 en

ncn


Die Rekombinationsrate wird damit im station aren Fall

Rn Nt

1 ft ncn

Nt en

1 en

ncn

nn1

τnn

n1 mit der Lebensdauer

τn

1Nt cn

Shockley-Read-Hall-Rekombination

Handelt es sich bei den tiefen St orstellen um sogenannte Rekombinationszentren,d.h. gilt cn cp und en ep, erh alt man im station aren Fall aus Gleichung (8.6)

ft 1

1 en cp p

ep cn n

Da im Gleichgewicht auch die Netto-Rate f ur L ocher Null sein muss, hat manzus atzlich eine Beziehung zwischen ep und cp

ep cp p0

f 0t

1 f 0t

cp p1 mit p1def

p0f 0t

1 f 0t

Die Elektronen-Netto-Rekombinationsrate im station aren Fall wird

Rn G

n stat

Nt cn cp

cnn

n1 cpp

p1 n p n1 p1

Wegen n1 p1 n0 p0

n2i e f f und mit Einf uhrung von Minorit atsladungstr ager-

Lebensdauern τn p

Nt cn p 1 wird daraus

Rn G

n stat

n p n2i e f f

τpn

n1 τnp

p1 (8.7)

(Shockley, Read, Hall, 1952).

8.4. SRH-LEBENSDAUERN 125

Spezialf alle:

A) schwaches Nichtgleichgewicht: n n0 δn, p p0

δp. F ur p-dotiertesSilizium (n0

p0) wird dann (R G R)

R

n0 δn p0

δp n0 p0

τpn0

n1 τnp0

p1

n0δp

p0δnτpn0

n1 τnp0

p1

p0δn

τnp0

p1 δnτn

Die Lebensdauern der Minorit aten bestimmen die Rekombination-srate!

B) gesperrter pn-Ubergang: n p

n2i in Raumladungszone. Sei τn τp τ,

dann (R G G)

G

n2i

τn1

p1 ni

2τfalls Et

Eg

2

C) Elektron-Loch-Plasma: n p n2 n2i

R

nτp τn

δn

τp τn

f ur δn n0 (Hoch-Injektion.)

8.4 SRH-Lebensdauern

Dotierungsabh angigkeit

Die SRH-Lebensdauern τn p sind technologie-abh angige Parameter. Sie h angeninsbesondere von der Defektdichte Nt ab, die r aumlich variiert. Dies folgt ausder Definition τn p

Nt cn p 1. F ur die Bauelemente-Simulation bedeutet dies,

dass es eigentlich keine “default-Werte” der Lebensdauern gibt. Man findet je-doch empirisch eine Korrelation zwischen Dotierung (flache St orstellen!) undSRH-Lebensdauern (tiefe St orstellen). Grund ist, dass Technologie-Schritte wieImplantation oder Eindiffusion immer auch zu einer Erh ohung der Dichte vonPunktdefekten f uhren. Eine einfache empirische Beziehung, die diesen Effektwiedergibt, lautet

τnNA

τn0

1 NA

NA re f

mit z.B. τn0 3 10 5 s und NA re f

1017 cm 3.


Feldabh angigkeit: “trap-assisted tunneling”

Die SRH-Rekombination ist besonders effektiv in Raumladungszonen, in de-nen die elektrische Feldst arke gross werden kann. Dann f uhrt der Tunnel-effekt zu einer Erh ohung der Ubergangswahrscheinlichkeit. Die Rekombina-tion/Generation ist nicht mehr lokal, sondern kann im Limes sehr hoher Feldersogar zum resonanten Tunneln uber das tiefe Niveau “entarten” (sh. Abb.).Solange der thermische Einfang (bzw. die thermische Emission) gegen uber dem

tat.ID.epsi82 38 mm

electric field

E = 0 trap-assisted tunneling resonant tunneling

Tunneleffekt dominiert, ist das Konzept von field-enhancement-Faktoren sin-nvoll, d.h.

τ 1νE τ 1

ν0 γνE ν n p

wobei E die lokale Feldst arke ist.

lifetimevsfield.epsi62 50 mm

| | | | | | | |||

||

||

| | | | | | | | |

||

||

||

|

Electric Field [MV/cm]

Si:Au

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

<100> <110>

<111>

Ele

ctro

n L

ifet

ime

τ n [

s]

10-4

10-5

10-6

10-7

10-8

10-9

10-10

break.epsi65 50 mm

defect-assistedtunneling

Links: Abh angigkeit der Lebensdauer von der Feldst arke am Beispiel der Gold-St orstelle in Silizium. Rechts: Simulierte Dioden-Kennlinien. Der Avalanche-Durch-bruch bei etwa 9 V setzt nicht abrupt ein, sondern der Sperrstrom steigt wegen des trap-assistierten Tunnelns stetig an.

Auger-Rekombination 9 Elektron-Elektron-St osse (bzw. Loch-Loch-St osse) induzieren Rekombina-

tion von Elektron-Loch-Paaren. Die bei der Rekombination freiwerdendeEnergie wird nicht direkt, wie im Fall der SRH-Rekombination, in W armeumgewandelt, sondern zur Anregung eines Elektrons oder Lochs in einenZustand hoher Energie verbraucht.

Auger-Rekombination ist ein Drei-Teilchen-Prozess, entweder “eeh” oder“hhe”.

Die Rate wird vom Produkt aus allen drei Besetzungswahrscheinlichkeitenbestimmt.

Die Zahl der m oglichen Uberg ange wird durch die Restriktionen derEnergie- und Impulserhaltung stark eingeschr ankt. F ur eine direkte,parabolische Bandstruktur k onnen die Ladungstr ager wegen der Impulser-haltung nicht aus der energetisch tiefsten Lage an der Bandkante herausrekombinieren. Es ist eine zus atzliche Aktivierungsenergie erforderlich, dief ur den eeh-Prozess Ea

mc mc

mv Eg betr agt.

In indirekten Halbleitern, wie Silizium, erh oht sich die Zahl der m oglichenUberg ange. Infolge des hohen Impulsaustausches sind jedoch die quanten-mechanischen Ubergangswahrscheinlichkeiten um ca. 5 Gr ossenordnungenkleiner als in direkten Halbleitern. In Silizium verschwindet die Ak-tivierungsenergie f ur den eeh-Prozess wegen der besonderen Leitungsband-struktur.

Auger-Rekombination kann ein reiner Band-Band-Prozess sein, unterBeteiligung von Phononen ablaufen, oder auch uber Zwischenzust ande, diean tiefen St orstellen lokalisiert sind (trap-assisted Auger recombination).

127

128 CHAPTER 9. AUGER-REKOMBINATION

augertransitions.ID.epsi121 56 mm

E E E

k k k

eeh (n-type) hhe (n-type) hhe (p-type)

1 2

1’

2’

2’

2

1

1’2

2’

1’

1

Auger-Uberg ange bei direkter, parabolischer Bandstruktur. Links: Stoss zweier Lei-tungsband-Elektronen (1 und 2), Anregung von 2 nach 2’ und gleichzeitige Rekombi-nation von 1 mit dem Loch 1’. Mitte: Stoss eines Leitungsband-Elektrons 2 mit einemenergetisch tiefliegenden Valenzelektron 1, das angeregt wird. Rechts: Loch-Loch-Stoss mit Anregung eines heissen Lochs.

In n-dotiertem Material sind die Rekombinationsraten proportional zum Produktder Dichten der drei beteiligten Teilchensorten, also

Reeh n Cn pn2 Rhhe n

Cp p2 n mit Auger-Koeffizienten Cn p. Die Gesamtrate wird damit

RAugern type

Cn pn2 Cp p2 n (9.1)

Bei phonon-assistierter Auger-Rekombination starke Aufhebung derBeschr ankungen bzgl. Energie- und Impulserhaltung, aber daf ur Vier-Teilchen-Prozess (Ubergangswahrscheinlichkeit 2. Ordnung).

phonassauger.ID.epsi74 38 mm

Bei ausreichender Dichte von Rekombinationszentren konkurriert die trap-assistierte Auger-Rekombination mit der SRH-Rekombination.

129

Die Auger-Koeffizienten Cn p sind nur solange als unabh angig von denLadungstr agerdichten anzusehen, wie die Coulomb-Wechselwirkung zwis-chen Elektronen und L ochern vernachl assigt werden kann. In Elektron-Loch-Plasmen, wie z.B. bei starker Injektion in Bipolar-Transistoren,beobachtet man ein excitonic enhancement der Auger-Rekombination. Diephysikalische Ursache ist eine durch die Anziehung von Elektron und Lochbedingte Lokalisation der Wellenfunktionen, die zu einer Erh ohung derquantenmechanischen Ubergangswahrscheinlichkeiten f uhrt.

Auger-Lebensdauern

Minorit atsladungstr ager-Lebensdauern:

τn type

δpRAu

δpCn pn2 1

Cn n2 bei Hoch-Injektion

τp type

δnRAu

δnCp p2 n

1Cp p2 bei Hoch-Injektion

Ambipolare Lebensdauern:

n p im Plasma RAu

Cn

Cp n3 Ca n3

τa

1Ca n2

da im Plasma nat urlich die Hoch-Injektions-Bedingung gilt. Gemessene Wertef ur die Auger-Koeffizienten Cn p kann man der Tabelle entnehmen. Die Ab-

Table 9.1: Auger-Koeffizienten bei verschiedenen Temperaturen (Dziewior und Schmid, 1977).

T 77K 300K 400KCn

cm6s

1 2 3 10 31 2 8 10

31 2 8 10 31

Cp

cm6s 1 7 8 10

32 9 9 10 32 1 2 10

31

bildung zeigt gemessene ambipolare Auger-Koeffizienten Ca als Funktion derDichte der freien Ladungstr ager. Die Kurve deutet das erwartete Verhalten auf-grund des excitonic enhancement an.

130 CHAPTER 9. AUGER-REKOMBINATION

auger-mess.epsi89 79 mm

1015 16

1017

1018

1019

10 1020

-3Injection density [ cm ]

1x10-31

1x10-30

1x10-29

Am

bipo

lar

Aug

er c

oeffi

cien

t [

cm6

s-1

]

room temperature

1

2

3

8

7

6

5

4

13

12

1110

9

16

14

1517

19

18

Messungen des ambipolaren Auger-Koeffizienten als Funktion der Plasma-Dichte.

Stossionisation 1010.1 Ionisations-Schwellenenergien

impact.ID.epsi102 53 mm

E

k

E (k )i i

E

k

E (k )c 3 E (k )c 2

E (k )v 1

vor dem Stoss nach dem Stoss

Stossionisation initiiert durch ein “heisses” Elektron der Energie E iki . Beim Stoss

wird ein Valenzelektron herausgeschlagen und ins Leitungsband gehoben, wodurchein Loch im Valenzband zur uckbleibt. Das initiierende Elektron verliert dabei dieIonisations-Schwellenenergie. Nach dem Stoss verbleiben zwei “kalte” Elektronen undein “kaltes” Loch.

Energie-Bilanz:

Eiki Ec

k3 Ec

k2 Ev

k1 ∑

ja j ωph

q j

Impuls-Bilanz:

ki k3 k2 k1

∑j

a j q j a j ganze Zahlen, auch Null

Die Ionisations-Schwellenenergie ergibt sich durch Minimierung von Eiki .

Dabei gen ugt es, Phonon-Absorption zu betrachten, d.h. aj 0 f ur alle j.

131

132 CHAPTER 10. STOSSIONISATION

dki 0 dk1

dk3

dk2 ∑

ja j dq j (10.1)

dEi 0 dk1 ∇k1Ev

k1 dk3 ∇k3Ec

k3 dk2 ∇k2Ec

k2 ∑

ja j dq j ∇q j ωph

q j (10.2)

Benutzt man die Definition der Gruppengeschwindigkeit vg 1∇kE

k und

w j ∇qωph

q j , wird aus der letzten Gleichung

0 dk1 v1

dk3 v3

dk2 v2 ∑

ja j dq j w j

Setzt man hier f ur dk1 die Gleichung (10.1) ein, so erh alt man

0 dk3 v3 v1 dk2 v2 v1 ∑j

a j dq j w j v1 Wegen der linearen Unabh angigkeit von dk2, dk3 und dq j folgt

v1 v2

v3 w j f ur alle j. (10.3)

Alle resultierenden Teilchen m ussen dieselbe Gruppengeschwindigkeit haben!Prozesse mit Phononen-Beteiligung sind stark erschwert, da die w j klein sindund die Elektronen bzw. L ocher daher auf eine kleine Umgebung der Bandex-trema eingeschr ankt werden. Wir betrachten im folgenden nur Stossionisationohne Phononen-Beteiligung.

Die Bedingung (10.3), die dann v1 v2

v3 lautet, ist jedoch noch nichthinreichend. Sie sichert die Existenz einer minimalen Energie Emin

ki , die aber

nicht automatisch eine erlaubte Energie in irgendeinem Leitungsband zu seinbraucht!Beispiel:

Zwei direkte, parabolische B ander mit effektiven Massen mc und mv

kv

mv

kc2

mc

kc3

mc

Bez

kc

mcda v1

1∇kEvk kv

mv

oder

kv γkc mit γ

mv

mc

10.1. IONISATIONS-SCHWELLENENERGIEN 133

An der Ionisationsschwelle ist dann wegen des Energie- und Impulserhal-tungssatzes (mit dem Energie-Nullpunkt Ec

k 0 0)

ki 2kc kv

kc2 γ

Eminki Eg

2k2c

2mc

2 γ

Eminki muss ein erlaubter Energiewert im Leitungsband sein

Ecki

2k2i

2mc

2k2c

2mc

2 γ 2 (10.4)

Aus der Bedingung Eminki Ec

ki erh alt man kc:

2k2c

2mc

Eg2 γ 1 γ

Einsetzen in (10.4) ergibt die Schwellenenergie Eth n f ur den elektronen-induzierten Prozess:

Eth n Eg

2 γ

1 γ (10.5)

Bei gleichen Massen (γ 1) ergibt sich Eth n 3Eg 2. F ur den l ocher-induzierten

Prozess hat man γ durch 1 γ zu ersetzen und erh alt Eth p Eg

1

2γ 1 γ .Unabh angig von γ ist Eth n

Eth p

3Eg.

Table 10.1: Schwellenenergien (in eV) in Silizium f ur Stossionisation ohne Phononen-Beteiligung, berechnet f ur verschiedene kristallographische Richtungen auf der Basis einer re-alistischen Bandstruktur (Anderson, Crowell, 1972). N - Normal-Prozess, U - Umklapp-Prozess, - initialisierendes Teilchen kommt aus einem h oheren Band.

100

111 110

electrons 1 1 U 3 1 U 2 1 U1 5 N 3 3 U 4 0 N 1 6 U 3 5 U 4 2 U

holes 1 8 N 2 9 N 1 8 N2 1 N 4 4 N 4 0 N

4 7 N 4 1 N


10.2 Stossionisationsrate und -koeffizienten F ur die Stossionisationsrate macht man folgenden heuristischen Ansatz:

GII αn nvn

αp pvp (10.6)

(“II” steht dabei f ur “Impact Ionization”.) Die Koeffizienten α n p heis-sen Stossionisations-Koeffizienten (Masseinheit: 1 cm). Anschaulich in-terpretiert man sie als reziproke mittlere freie Wegl angen zwischen zweiSt ossen, die zur Generation eines Elektron-Loch-Paars f uhren.

Die mikroskopische Definition der Streurate (1 s) lautet f ur den elektronen-induzierten Prozess

1τII n

1n

∞Eth n

dE1

τII nE Dc

E fc

E

womit man αn gem ass αn 1 τII nvn berechnen kann. Dazu braucht man

neben der Schwellenenergie Eth n die Energie-Abh angigkeit der Streurate1 τII n

E und die korrekte Nichtgleichgewichts-Verteilungsfunktion fc

E .

Dabei ist die “Vorgeschichte” der Elektronen, bevor sie die Schwellenen-ergie Eth n erreichen, entscheidend, denn diese bestimmt den hochenergeti-schen Ausl aufer der Verteilungsfunktion.

Modelle f ur die Energie-Abh angigkeit von τ 1II

E :

τ 1II

E τ 1

II

Eth Θ

E Eth Stufenfunktion

τ 1II

E Bτ 1

II

Eth

E Eth

Eth

p

(Keldysh, 1960)

τ 1II

E

3

∑i 1

ΘE E

i

th Pi

E Ei

th

Ei

th 2

(Cartier et al., 1993)

mit folgenden Parametern f ur Silizium: Ei

th 1 2eV 1 8eV 3 45eV ; P

i

6 25 1010 s 1 3 0 1012 s 1 6 8 1014 s 1.

10.2. STOSSIONISATIONSRATE UND -KOEFFIZIENTEN 135

rate.ID.epsi///PS53 51 mm

1 2 3 4 5

1015

1014

1013

1012

1011

1010

109

KINETIC ENERGY (eV)

ION

IZA

TIO

N R

AT

E (

s )-1

quyield.epsi65 71 mm

Links: Stossionisationsrate nach dem Modell von Cartier. Rechts: Mit der Technikder Ladungstr ager-Separation gemessener quantum yield f ur Elektronen ( = Zahl dergenerierten Elektronen pro Zahl der Initial-Elektronen).

Ans atze f ur die Verteilungsfunktion fcE :

αi exp

constE 2

(Wolff, 1954) Heated Maxwellian f ur fcE , aber

Annahme, dass Energie-Relaxation nur durchStossionisation erfolgt (τII τph).

αi exp

constE

(Shockley, 1961) “Lucky Electron”-Modell. Ge-genteilige Annahme, d.h. zu fc

E tragen nur

solche Elektronen wesentlich bei, die nicht mitPhononen gestossen haben (“lucky”), die also E thballistisch erreichen.

Physikalische Erl auterung des “Lucky Electron”-Modells

Die Beschleunigungsstrecke LI , die gebraucht wird, um Eth ballistisch zuerreichen, ergibt sich aus

Eth

LI

0dxF

x

Fx ist die auf das Elektron einwirkende elektrische Kraft. Im konstan-

ten elektrischen Feld ist dann LI Eth F . Die tats achliche freie Wegl ange

L I ist gr osser, da Elektron-Phonon-St osse die Ladungstr ager st andig wiederzur uckwerfen: LI LI P, wobei P die Wahrscheinlichkeit ist, dass auf der


Strecke LI kein Stoss passiert. P ist in Gleichung (2.10) (Monte-Carlo-Methode) schon einmal angegeben worden:

Pt exp

t

0dt 1

τphtotk

Mit der Transformation

dt dt

dE

dE ;dEdt

dEdk

k vgF

vgF

da nach Newtonschem Grundgesetz k F und ausserdem dE dk vggilt, folgt

P exp

Eth

E0

dE1F

1

vg τphtotE

Shockley benutzte E0 0 und eine konstante mittlere freie Wegl ange f ur

St osse mit optischen Phononen lop vg τph

tot , so dass

P exp

Eth

F lop

Zur Startzeit des ballistischen Fluges t 0 ist jedoch k k0, da kt

k0

F t . Daher nimmt man besser an, dass die Teilchen mit einermittleren thermischen Energie E0

3kBTc 2 starten. Setzt man weiter-hin das elektrische Feld als r aumlich konstant voraus, erh alt man f ur denStossionisations-Koeffizienten

α

1L I

PLI

FEth

exp

Eth 3kBTc 2

F lop

(10.7)

10.3 Modelle fur die Stossionisationskoeffizienten

Lokal-Feld-Modell

Das am meisten benutzte Modell (Chynoweth-Modell) ist die aus Gleichung(10.7) abgeleitete Fitformel

α α∞ e bE (10.8)

(Chynoweth, 1958). Parameter f ur den elektronen-induzierten Prozess: α∞ n

7 105 cm 1, bn 1 23 106V cm.

10.4. AVALANCHE-DURCHBRUCH 137

Lokal-Temperatur-Modell

Ersetzt man das lokale elektrische Feld durch die lokale Temperatur derLadungstr ager, erh alt man mit (7.8) f ur “sehr heisse” Elektronen

αn α∞ n e

TcritTn TL

Die Modellierung der Stossionisationsrate mit der ph anomenologischen Relation(10.6) und lokalen Modellen f ur α ist nur bedingt tauglich. Literatur-Parameterstammen meist von Dioden mit weiten Raumladungszonen. In Kurzkanal-MOSFETs sind die Feldst arke-Peaks beim Drain so scharf, dass trotz des grossenWertes der Feldst arke die Beschleunigungsstrecke zu kurz sein kann (der soge-nannte “dark space”-Effekt). Dann wird die Rate in der Simulation ubersch atztund der Substratstrom kann u.U. um Gr ossenordnungen zu gross herauskommen.

10.4 Avalanche-Durchbruch

Betrachten 1D Kontinuit atsgleichungen f ur Elektronen und L ocher mit Stossion-isationsrate als einziger Generationsrate:

dJn

dx

αn αp Jn

αp J ;dJp

dx

αn αp Jp

αn J J Jn

Jp

const Die formale L osung lautet (Beweis durch Differentiation)

Jnx Jn0e x

0 dx

αn αp J x

0dxαp e x

x dx

αn αp

Jpx Jp0e x

W dx

αn αp J W

xdxαn e x

x dx

αn αp

mit den Randbedingungen Jn0 Jn0 und Jp

W Jp0. An den R andern der

Raumladungszone wird der Gesamtstrom

J0 Jn0

Jp0 e 0

W dx

αn αp J W

0dxαn e 0

x dx

αn αp

JW Jp0

Jn0 e W0 dx

αn αp J

W

0dxαp e W

x dx

αn αp

In der N ahe des Durchbruchs kann man in der 1. Gleichung den (thermisch gener-ierten) Sperrstrom Jp0 gegen den (stark vervielfachten) Elektronenstrom Jn0 ver-nachl assigen, in der 2. Gleichung den (thermisch generierten) Sperrstrom Jn0


avalanche.ID.epsi91 52 mm

p

n

RLZ

x0 W

gegen uber dem (stark vervielfachten) L ocherstrom Jp0. Man definiert Multip-likationsfaktoren

Mn

JJn0

Mp

JJp0

so dass

1 1Mn

W

0dxαn e x

0 dx

αn αp (10.9)

1 1Mp

W

0dxαp e Wx dx

αn αp

(10.10)

Der Avalanche-Durchbruch ist durch den Limes Mn p ∞ definiert. Aus den

Gleichungen (10.9) und (10.10) folgt die Durchbruch-Bedingung

1

1lnαn αp

W

0dxαn αp

Falls αn γαp mit γ const, wird daraus

γ 1lnγ

W

0dxαp

1 Diese Bedingung bedeutet im wesentlichen, dass α 1 W , d.h. die mittlere freieWegl ange zwischen zwei ionisierenden St ossen muss kleiner sein als die Weiteder Raumladungszone.

10.4. AVALANCHE-DURCHBRUCH 139

durchbr.eps74 67 mm

−20 −15 −10 −5 0voltage (V)

1e−20

1e−18

1e−16

1e−14

1e−12

1e−10

1e−08

1e−06

1e−04

1e−02

curr

ent (

A)

x

x

xx

1

2

34

Strom-Spannungs-Kennlinie einer pn-Diode mit Avalanche-Durchbruch.

densities.eps62 56 mm

0.1 0.2 0.3position (µm)

1e−05

1e+00

1e+05

1e+10

1e+15

1e+20

dens

ity (

cm−

3 )

electronsholes

1

2

3

4

bandedges.eps57 57 mm

0.1 0.2 0.3position (µm)

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

12

band

edg

e en

ergy

(eV

)

1

2

3

4

Links: Elektronen- und L ocherverteilung f ur die in obigem Bild markierten Spannun-gen. Rechts: Verlauf der Bandkanten bei diesen Spannungen.

11 Metall-Halbleiter (MS)-Kontakt

11.1 Energieniveau-Schema vor Einstellung des thermodynamis-chen Gleichgewichts

MSequ.ID.epsi124 88 mm

0 x

EFM

FSE

Ec

Ev

E0

ΦB

M HL

0 x

EFM

FSEEc

Ev

E0

ΦΦB

M HL

χ

0 x

EFM

FSEEc

Ev

E0

M HL

0 x

EFM

FSE

Ec

Ev

E0

M HL

a) b)

c) d)

R aumlicher Verlauf der Fermi-Niveaus von Metall und Halbleiter sowie der Bandkantendes Halbleiters in einem Metall-Halbleiter-Ubergang unmittelbar nach seiner Herstel-lung, also vor der Einstellung des Gleichgewichts. Fall a): n-Halbleiter mit EFS EFM,Fall b): n-Halbleiter mit EFS

EFM , Fall c): p-Halbleiter mit EFS

EFM , Fall d):

p-Halbleiter mit EFS EFM. χ ist die Elektronen-Affinit at, Φ die Austrittsarbeit derElektronen im Metall.

140

11.2. MS-KONTAKT IM GLEICHGEWICHT, SCHOTTKY- UND BARDEEN-MODELL 141

EFM EFS ist der typische Fall f ur Metall-n-HL-Ubergang (Fall a)) EFM

EFS ist der typische Fall f ur Metall-p-HL-Ubergang (Fall c)) ΦB

Φ χ heisst Schottky-Barriere

11.2 MS-Kontakt im Gleichgewicht, Schottky- und Bardeen-Modell

Energieniveau-Schema (Potentialverlauf) Zur Einstellung des thermodynamischen Gleichgewichts m ussen Elektronen

(L ocher) aus dem Halbleiter ins Metall (und umgekehrt) diffundieren. An der Grenzfl ache entsteht eine Raumladung und damit ein ver anderliches

elektrostatisches Potential ϕx .

rhox.ID.epsi79 50 mm

M HL

x

ρ(x)

Wie gross ist die Ausdehnung der Raumladungsschicht im Metall? EineAbsch atzung liefert die Abschirml ange Ls, die in Kap. 6 im Zusammenhangmit der Abschirmung des Coulomb-Potentials flacher St orstellen diskutiertwurde. Man erh alt

Ls

π2 aB e f f

kF 0 5 A

mit dem effektiven Bohrradius aB e f f und dem Fermi-Impuls kF im Metall.(Dazu muss man den Thomas-Fermi-Ausdruck

L 2s

4πe2

εs

d nd EFM

142 CHAPTER 11. METALL-HALBLEITER (MS)-KONTAKT

f ur die Abschirmung und die Dichteformel im Grenzfall vollst andiger En-tartung der Elektronen

n 1

3π2

2m 2 EFM

3 2

benutzen.) Die Eindringtiefe der Raumladung ins Metall ist also extremklein, so dass man das Potential ϕ

x im Metall praktisch als konstant anse-

hen kann. Wenn sich an der Grenzfl ache eine Dipolschicht ausbildet, dann erleidet das

Potential dort einen Sprung ϕ

0 ϕ 0 . Wir nehmen zun achst an, dass

keine Dipolschicht existiert. In diesem Fall bleibt die H ohe der Schottky-Barriere ΦB

Φ χ unver andert, weil EFM und Ec um denselben Energiebe-trag eϕ

0 angehoben werden.

Die Konsequenz daraus, dass bei x 0 der energetische Abstand EFM Ec“festgepinnt” bleibt, ist die Ausbildung einer Potentialbarriere im Halbleiter.Es entsteht eine Kontaktspannung UK

EFS EFM e.

Wie gross ist die Ausdehnung der Raumladungsschicht im Halbleiter? DerPotentialverlauf kann leicht berechnet werden, wenn die Schottky-N aherung eUK kBT (depletion approximation) gilt, was wir hier annehmenwollen. F ur einen n-Halbleiter lautet die zu l osende Poisson-Gleichung(n p 0 in der Verarmungsschicht, d.h. im Intervall x 0 xB mit xBals Rand der Barriere)

ε0εsd2ϕdx2

eND

mit der L osung

ϕx e

2ε0εsND x2 C1 x

C2

Die Randbedingungen im Unendlichen lauten ϕ∞ 0 und

dϕx dx x ∞

0. Weil UK ϕ

∞ ϕ

0 ist, folgt ϕ

0 C2

UK .Das Verschwinden der ersten Ableitung von ϕ am Rand der Barriere ergibtdie zweite Integrationskonstante: C1

eND xB ε0εs . F uhrt man noch

eine quadratische Erg anzung durch, folgt f ur das Potential im Intervallx 0 xB :

ϕx UK e

2ε0εsND

x xB 2 e

2ε0εsND x2

B


MSnonequ.ID.epsi115 98 mm

0 x

FE

ΦΦB

M HLa)

E0 - e ϕ(x)

Ec - e ϕ(x)

Ev - e ϕ(x)

0 x

E F

ΦB

M

HL

c)

E0 - e ϕ(x)

Ec - e ϕ(x)

Ev - e ϕ(x)

0 x

EF

M

HL

b)

E0 - e ϕ(x)

Ec - e ϕ(x)

Ev - e ϕ(x)

0 x

M HLd)

E0 - e ϕ(x)

Ec - e ϕ(x)

Ev - e ϕ(x)EF

R aumlicher Verlauf der Bandkanten des Halbleiters und des Vakuum-Niveaus in einemMetall-Halbleiter-Ubergang nach Einstellung des thermodynamischen Gleichgewichts.Die F alle a) und c) bezeichnet man als Schottky-Kontakt, die F alle b) und d) als Ohm-schen Kontakt.

Das Verschwinden des Potentials am Rand der Barriere ergibt den Zusam-menhang zwischen Kontaktpotential und Barrierenweite:

UK

e2ε0εs

ND x2

B Die charakteristische L angenskale des Problems ist die sogenannte Debye-Lange

LD

ε0εsUT

eND

Mit ihrer Hilfe kann man den Ausdruck f ur das elektrostatische Potential


kompakt in der Form

ϕx UT

2L2D

x xB 2 xB

2LD UK

UT(11.1)

schreiben. Weil die Schottky-Approximation

UK UT 1 gelten muss,muss auch xB LD sein.

Schottky- und Bardeen-Modell des MS-Kontakts

phiBvsPhi.eps69 68 mm

3 4 5 6metal work function (eV)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

barr

ier

heig

ht (

eV)

Mg

Pb

W

Cu

AlAg

Mo

Ni

AuPd

PtPt

Barrierenh ohe als Funktion der Austrittsarbeit f ur verschiedene Metall-n-Si-Kontakte.Die Gerade entspricht der Mott’schen Beziehung ΦB Φ χ mit dem Wert derElektronen-Affinit at in Si (χ 4 05eV ).

In der Abbildung ist die Barrierenh ohe ΦB als Funktion der Austrittsarbeit imMetall f ur verschiedene Metall-n-Si-Kontakte dargestellt. Die Gerade entsprichtder Mott’schen Beziehung ΦB

Φ χ mit dem Wert der Elektronen-Affinit atin Si (χ 4 05eV ). Das Schottky-Modell des MS-Kontaktes ist also so gut wienicht erf ullt, eher ist ΦB noch unabh angig von Φ (etwa gleich 0.6 - 0.8 eV f ur diemeisten Metalle).

Um dieses Verhalten zu verstehen, lassen wir jetzt einen Potentialsprungand der Grenzfl ache zu, dann andert sich die Barrierenh ohe um diesen Sprung,d.h. ΦB

Φ χ e ϕ 0 ϕ 0 . Ursache daf ur ist eine Dipolschicht,

die von geladenen Grenzfl achen-Zust anden herr uhrt. Wir nehmen an, dass dieDichte dieser Grenzfl achen-Zust anden so gross ist, dass praktisch alle Elektronen


aufgenommen werden k onnen. Als Modell benutzen wir eine δ-Funktion, wie sieauch schon bei den tiefen St orstellen verwendet wurde,

DitE D0

it δE Es

die Zust ande sind also bei der Energie E Es in der Energiel ucke des Halbleiterskonzentriert. F ur die Elektronendichte in diesen Zust anden folgt dann

n

0

∞

∞dE Dit

E f

E D0

it fEs

In Wirklichkeit ist die δ-Funktion zu einer Glockenkurve verbreitert. Die Ein-stellung des thermodynamischen Gleichgewichts im MS-Kontakt zerlegen wir inGedanken in zwei Teilschritte, erstens die Einstellung des Gleichgewichts im Hal-bleiter, nachdem die glockenf ormige Grenzfl achen-Zustandsdichte “eingeschal-tet” wurde, zweitens die Einstellung des Gleichgewichts uber die Grenzfl ache

bardeen.ID.epsi72 57 mm

M HL

x

E ≈ ES FS∆ES

EFM

hinweg zwischen Metall und Halbleiter, nachdem beide in Kontakt gebracht wur-den. Im ersten Teilschritt gehen Elektronen aus dem Innern des Halbleiters indie Grenzfl achen-Niveaus uber, wobei diese von unten her bis zu einer gewis-sen Energiegrenze aufgef ullt werden. Diese Grenze ist per definitionem gleichdem Fermi-Niveau im Halbleiter (bei T 0). Nach obiger Voraussetzung (weilpraktisch alle Elektronen aufgenommen werden k onnen), f allt diese Grenze letz-tendlich mit dem Niveau Es zusammen. Eine Vergr osserung oder Verkleinerungder Elektronenkonzentration im Halbleiter durch Anderung der Dotierung erh ohtoder verkleinert zwar die Zahl der Elektronen in den Grenzfl achen-Niveaus, we-gen der grossen Zustandsdichte bleibt aber die Lage des Fermi-Niveaus praktischunver andert (pinning des Fermi-Niveaus).

Im zweiten Teilschritt werden Elektronen uber die Grenzfl ache hinweg,zwischen den Grenzfl achen-Zust anden des Halbleiters und einer d unnen Rand-schicht des Metalls, ausgetauscht. Dadurch entsteht an der Grenzfl ache eine


Dipolschicht, die einen Potentialsprung ϕ

0 ϕ 0 zwischen Metall und

Halbleiter erzeugt, der im Gleichgewicht gerade so gross ist, dass das Fermi-Niveau des Metalls auf das des Halbleiters angehoben oder abgesenkt wird. Esgilt also

EFM Es e ϕ 0 ϕ

0 Damit wird die Barrierenh ohe

ΦB Φ χ EFM Es (11.2)

Wir beziehen jetzt alle Energien auf die Valenzbandkante des Halbleiters. WegenE0 χ Eg

Ev und Es Ev

∆Es (sh. Abb.) ist (man eliminiere Ev)

χ Es Eg E0 ∆Es

was nach Einsetzen in Gl. (11.2) auf den Zusammenhang

ΦB Φ

EFM

Eg E0 ∆Es!

Eg ∆Es

f uhrt, weil ja Φ EFM

E0 ist. Also

ΦB Eg ∆Es (11.3)

(Bardeen’sches Modell). ΦB ist im Bardeen’schen Modell unabh angig von derAustrittsarbeit im Metall! Dieses Modell trifft f ur Silizium besser zu als dasSchottky-Modell.

Man kann nun beide Modelle zu einem verallgemeinerten Modell kom-binieren. Mit zwei Parametern, S und Φ0, schreibt man

ΦB S

Φ

EFS E0 Φ0 Der Grenzfall des Schottky-Modells ergibt sich mit S 1 und Φ0

0, da E0

Ec χ EFS

χ f ur einen n-Halbleiter. Der Grenzfall des Bardeen-Modellsergibt sich mit S 0 und Φ0

Eg ∆Es. Der Abbildung kann man entnehmen,dass S mit steigender Elektronegativit atsdifferenz des Halbleiters w achst. Beiden kovalenten Halbleitern dominieren die Grenzfl achen-Eigenschaften (S sehrklein).

11.3 MS-Kontakt im Nichtgleichgewicht

Betrachten Schottky-Ubergang im n-Halbleiter. Legt man eine Spannung U an,so ver andert sich das Kontaktpotential gem ass UK

UK U , und damit z.B. die

11.3. MS-KONTAKT IM NICHTGLEICHGEWICHT 147

SvsAff.ID.epsi77 67 mm

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5electronegativity difference (eV)

0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.1

S

Si

Ge

InSb

GaAsInP

CdTe GaP

GaTe CdSeSiC

ZnSeGaSeCdS

GaS

ZnSAlN

SiO2

ZnO

Al2O3

SrTiO3

KTaO3

Weite der Barriere: xB 2LD

UK U UT . Der Strom im Bahngebiet des

Halbleiters wird durch die Majorit atsladungstr ager getragen (hier Elektronen).Die Netto-Stromdichte uber die Schottky-Barriere hinweg ist

jnU jMS

U jSM

U

mit der Konvention “MS” = Metall HL, “SM” = HL Metall. Es giltjMS

U jMS

0 , weil f ur alle Spannungen U die Schottky-Barriere thermisch

uberwunden werden muss. Also

jnU jMS

0 jSM

U

Berechnen zuerst jMS0 . Nach der Definition des 1. Moments der Boltzmann-

Gleichung kann man schreiben:

jMS0 2e

2π 3

1 BZd3kΘ

kx 1

∂

∂kxEck fM

Eck (11.4)

In dieser Gleichung ber ucksichtigt der Faktor 2 die Spin-Entartung und dieTheta-Funktion den Umstand, dass nur Elektronen, die vom Metall in den Hal-bleiter fliessen, gez ahlt werden d urfen. Die restlichen Faktoren sind die Grup-pengeschwindigkeit und die Fermi-Dirac-Verteilung der Elektronen im Metall.Letztere bestimmt die Zahl der vorhandenen Elektronen, die uber die Barrierehinweg in den Halbleiter ubertreten k onnen. Die Integrationsgrenzen kann manins Unendliche verschieben. Als Energie-Nullpunkt w ahlen wir die Energie desVakuum-Niveaus: E0

0. Dann ist EFM Φ. Wegen Ec

k Φ kBT kann


MSvsU.ID.epsi123 93 mm

0 x

FME

ΦB

M n-HL

a)

Ec

FSE

xB

U = 0

0 x

FME

ΦB

M n-HL

b)

Ec

FSE

xB

U > 0

x

xxx

x

x

0 x

FME

ΦB

M n-HL

c)

Ec

FSE

xB

U < 0

x

xx

x

x

x

x x x

Veranschaulichung des Stromflusses in einem Schottky-Ubergang. a) ohne Spannung,b) Durchlassrichtung, c) Sperrrichtung. Die Kreuze in b) und c) deuten an, dass dasFermi-Niveau im Raumladungsgebiet nicht definiert ist.

man Boltzmann-Statistik benutzen,

fMEck e

ΦkBT e

Ec k

kBT

In Effektivmassen-N aherung f ur Eck erh alt man dann

jMS0 e

4π3 e Φ E 0

ckBT

∞

∞dky

∞

∞dkz

∞

0dkx

kx

mce 2k2

2mc kBT

Aufgrund der Wahl des Energie-Nullpunkts ist E0

c χ, also ist Φ

E0

c

Φ χ ΦB gleich der Schottky-Barriere. Die Berechnung der Integrale ist trivial,man erh alt endg ultig

jMS0 e

4vth n Nc e

ΦBkBT (11.5)

11.4. KONTAKT-RANDBEDINGUNGEN IN DER BAUELEMENTE-SIMULATION 149

mit der mittleren thermischen Geschwindigkeit vth n

8kBT πmc der

Elektronen und der Leitungsbandkanten-Zustandsdichte Nc. Die berechneteStromdichte jMS

0 kann benutzt werden, um auf jSM

U zu schliessen. Im Gle-

ichgewicht gilt jMS0 jSM

0 . Legt man eine Spannung U an, geht E

0

c in die

neue Lage E0

c eU uber, also jSMU jSM

0 exp

U UT . Damit ergibt sich

f ur die Netto-Stromdichte

jnU jMS

0

1 eUUT

Der Schottky-Kontakt wirkt demnach, genau wie die Diode, als Gleichrichter.Wegen des Faktors exp

ΦB kBT kann die Sperrwirkung jedoch gr osser sein,n amlich dann, wenn die Barrierenh ohe ΦB gr osser ist als die built-in-Spannungder Diode.

Noch zwei abschliessende Bemerkungen: Da in der Raumladungszone prak-tisch keine Elektronen vorhanden sind, m ussen sie aus dem Bahngebiet (bulk)kommen. Ungehinderte Emission kann nur stattfinden, wenn sie beim Durch-fliegen der Raumladungszone keine St osse erleiden. Deshalb muss die mittlerefreie Wegl ange l gr osser als die Barrierenweite xB sein. l xB bedeutet aber, dassich in der Raumladungszone kein auch nur angen ahertes thermodynamischesGleichgewicht ausbilden kann. Deshalb ist ein Fermi-Niveau auch nicht mehr imlokalen Sinne definiert. Der Fall l

xB kann mit der sogenannten Diffusionsthe-

orie behandelt werden (sh. Ubungen zu den Bipolar-Bauelementen) und liefertqualitativ dasselbe.

Wird die Potential-Barriere sehr schmal, kann sie durchtunnelt werden. Dannhat man einen Ohmschen Kontakt. In der Mikroelektronik werden Ohmsche Kon-takte durch eine hohe Dotierung des Siliziums im Kontaktgebiet erreicht.

11.4 Kontakt-Randbedingungen in der Bauelemente-Simulation

Idealer Ohmscher Kontakt

Zwei Annahmen:

thermodynamisches Gleichgewicht: n p n2i e f f

Ladungsneutralit at: n p NA ND

C .

Die erste Bedingung entspricht einer unendlich grossen Oberfl achen-Rekombinationsgeschwindigkeit. Setzt man beide Bedingungen ineinander


ein, ergeben sich Dirichlet-Randbedingungen f ur die Dichten:

n

12

C2 4n2i e f f

C

p

12

C2 4n2i e f f C

Schottky-Kontakt

Die Formel (11.5) f ur die Netto-Stromdichte wird umgeschrieben. Es ist

Nc exp

ΦB

kBT U

UT

nxB !

nx 0

Nc exp

ΦB

kBT neq

xB !

neqx 0

wegen der Voraussetzung der Emissionstheorie (keine St osse in der RLZ). AlsStrom-Randbedingung bei x 0 erh alt man also

jnU e

4vth n n neq x 0

Das Auftreten der mittleren thermischen Geschwindigkeit ist das Ergebnis derEmissionstheorie. In der Diffusionstheorie erh alt man stattdessen

jnU evrec n n neq x 0

oder allgemein in der Bauelemente-Simulation

jn en evrec n

n 1

2

C2 4n2i e f f

C

wobei vrec n die Oberfl achen-Rekombinationsgeschwindigkeit ist.

Nicht-idealer MS-Kontakt Das Argument, dass d unne Potentialbarrieren durchtunnelt werden und

Ohmsche Kontakte liefern, kann benutzt werden, um ein Modell des nicht-idealen MS-Kontakts aufzustellen.

Bei xT gilt: jDD jtunnel

Der Bereich 0 xT wird in der BE-Simualtion zu Null “geschrumpft”.

11.4. KONTAKT-RANDBEDINGUNGEN IN DER BAUELEMENTE-SIMULATION 151

Die Wahl von xT erfolgt nach einem Tunnel-Kriterium. Die Gleichung jDD

jtunnel x xTwird iteriert und liefert den Wert f ur das

quasi-Fermi-Niveau bei xT . Die Grenzf alle des Ohmschen und Schottky-Kontakts werden uber die

dotierungsabh angige Barrierenweite reproduziert. Hohe Dotierung

1018 cm 3 schmale Barriere = Ohmscher Kontakt. SchwacheDotierung

1016 cm 3 breite Barriere = Schottky-Kontakt.

xT.ID.epsi97 46 mmE F,M

xB

qUappl

xT

ϕ-qn xT( )

Ec

Anschluss-Punkt zwischendiffusivem und ballistischemTransport

12 Metall-Isolator-Halbleiter (MIS) Struktur

12.1 Isolator-Halbleiter (IS)-Ubergang im Gleichgewicht

ISequ.ID.epsi120 65 mm

a) b)

EFI

FSEEcS

EvS

Isolator HL

EcI

EvI

EcS

EvS

Isolator HL

EF

R aumlicher Verlauf der Bandkanten und der Fermi-Niveaus an einem Isolator-Halbleiter-Ubergang vor (a) und nach (b) Einstellung des Gleichgewichts.

Der in der Abbildung dargestellte IS-Ubergang entspricht einem pn-Ubergangaus zwei unterschiedlichen Materialien mit einer sehr kleinen Akzeptor-Konzentration NAI im Isolator. Da EFS

EFI ist, gehen Elektronen vomHalbleiter in den Isolator uber, der sich dadurch negativ aufl adt. Wegen desgrossen Dotierungsunterschieds reichen bereits wenige Elektronen aus, um dieFermi-Niveaus anzugleichen. Die Raumladungszonenweite im Isolator wird sehrgross, w ahrend im Halbleiter die Raumladung vernachl assigbar bleibt.

Ist der Isolator nicht dick genug, kann der Sprung des chemischen Potentialsnicht vollst andig elektrisch abgeschirmt werden (man erh alt andere Randbedin-

152

12.1. ISOLATOR-HALBLEITER (IS)-UBERGANG IM GLEICHGEWICHT 153

gungen). Aufgrund der geringen Raumladung im Halbleiter ist die Feldst arkedort praktisch Null und EF EFS. Dies bedeutet, dass der Halbleiter vom Iso-lator praktisch uberhaupt nicht beeinflusst wird. Auch das Feld im (hinreichenddicken) Isolator ist klein und kann vernachl assigt werden. Somit erh alt man imSchottky-Modell des IS-Ubergangs einen horizontalen Bandkanten-Verlauf.

In Wirklichkeit existieren jedoch Grenzfl achenzust ande. Ist die Grenzfl achen-Ladungsdichte negativ (eingefangene Elektronen), entsteht im Halbleiter unterder Grenzfl ache ein Verarmungsgebiet (positive Raumladung). In Schottky-N aherung ist wegen der Erhaltung der Elektronenzahl

ns NDS xB

(ns Grenzfl achen-Zustandsdichte cm 2 , xB Barrierendicke). Die Gren-

zfl achen-Zustandsdichte ns ist mit einem Sprung der Feldst arke verbunden:

εs E

0 εI E 0 e

ε0ns

Da man E

0 vernachl assigen kann, ergibt sich auf der Halbleiterseite derGrenzfl ache

Es eε0εs

ns

Der Wert des Potentials an der Grenzfl ache ist ϕ

0 Us. In v olliger Analo-

gie zum MS-Kontakt erh alt man als L osung der Poisson-Gleichung in Schottky-

ISinterface.ID.epsi58 64 mm

EcI

EvI

EcS

EvS

Isolator HL

EF

R aumlicher Verlauf der Bandkanten an einem Isolator-Halbleiter-Ubergang im Gleich-gewicht bei Vorhandensein von Grenzfl achen-Zust anden.

154 CHAPTER 12. METALL-ISOLATOR-HALBLEITER (MIS) STRUKTUR

N aherung

ϕx UT

2L2D

x xB 2 in 0 xB

0 sonst

mit

xB 2LD

U s UT

LD

ε0εsUT

eNDS

Setzt man xB ns N

DS ein, folgt f ur die Grenzfl achen-Zustandsdichte

ns 2ε0εs

eNDS U s (12.1)

und die Grenzfl achen-Feldst arke Es wird

Es eε0εs

NDSxB

2eε0εs

NDS U s

F ur eine Absch atzung der Gr ossen betrachten wir folgendes Zahlenbeispiel:e U s 1eV , N

DS

1016 cm 3, εs 10. Dann wird

ns 3 1011 cm 2

Es 6 104V cmxB

0 3µm (12.2)

Damit es zum Fermi level pinning kommen kann, muss die Grenzfl achen-Zustandsdichte gr osser sein als das berechnete ns (etwa 1012 cm 2), was an derSi-SiO2-Grenzfl ache aber gerade nicht der Fall ist! Dies macht die Funktion-sweise von MOSFETs m oglich, denn w are dem nicht so, k onnte man durch Vari-ation der Gate-Spannung die Lage des Fermi-Niveaus unter der Grenzfl ache nichtandern und damit auch nicht die Leitf ahigkeit im Kanal. Die heutige Mikroelek-

tronik basiert also im wesentlichen auf den guten Eigenschaften der Si-SiO2-Grenzfl ache.

12.2 MIS-Struktur bei angelegter Spannung

Der Isolator sei bei x d kontaktiert, der Halbleiter bei x ∞.

ϕ∞ ϕ

d U U = angelegte Spannung.

12.2. MIS-STRUKTUR BEI ANGELEGTER SPANNUNG 155

ISnonequ.ID.epsi75 88 mm

U < 0n p

U > 0n p

Bildung von Verarmungs- bzw. Anreicherungsschichten an einem Isolator-Halbleiter-Ubergang bei angelegter Spannung.

Die Randbedingungen lauten: ϕ∞ 0 und dϕ dx x ∞

0. Im Halbleiterwird Ladung influenziert. Diesen Effekt nennt man Feldeffekt, der dem Tran-sistor seinen Namen gibt (FET). Die influenzierte Ladungsmenge ist der εI εs-teTeil der Ladungsmenge, die auf den Isolator aufgebracht werden muss (εI istdie Dielektrizit atskonstante des Isolators). Voraussetzung f ur das Funktionierendes Feldeffekt-Transistors ist die Kleinheit der Grenzfl achen-Zustandsdichte. Wirvernachl assigen sie im folgenden v ollig und betrachten einen p-Halbleiter bei

U 0. Die Leitungsbandkante an der Grenzfl ache zum Isolator E0

c eϕ0 wird

heruntergezogen, bis sie bei einer bestimmten Spannung U0 das Fermi-Niveautrifft

U0 1eE0

c EF Erh oht man die Spannung U weiter (U U0), so ergibt sich ein Punkt xi, an demgilt

E0

c eϕxi EF

(xi ist die Breite der Inversionsschicht). Die Elektronenkonzentration ist hier von


inversion.ID.epsi105 71 mm

x0-d x i xp

E

EFeUs

eU0

der Gr ossenordnung der effektiven Zustandsdichte Nc (1019 cm 3). Wir wollenannehmen, dass die Dotierung des p-Halbleiters nicht zu gross ist, so dass nochN AS

Nc gilt. Im Inversionsgebiet wird die Verteilungsfunktion der Elektronen

als Stufenfunktion gen ahert:

fE Θ

EF E 0 x xi

F ur das Gebiet zwischen xi und der Raumladungszonen-Grenze xp nehmen wiran, dass die Schottky-N aherung m oglich ist, also eUs kBT gilt. Damit erh altman ein einfaches Modell f ur die Elektronendichte im Halbleiter.

nx

∞E 0

cdE Dc

E Θ EF

eϕx E 0 x xi

0 xi x ∞

Die L ocher werden in Schottky-N aherung behandelt:

px

0 0 x xpNAS xp x ∞ (vollst andige Ionisation) .

Eine analytische L osung der Poisson-Gleichung wird nur dann m oglich, wennman den Ausdruck f ur n

x noch weiter vereinfacht. Dazu wird die Zus-

tandsdichte DcE durch einen Mittelwert Dc ersetzt, der im Energie-Intervall

E0

c eU s EF gebildet wird:

Dc

12π2

2mc

2 3 2 γ

EF E0

c

eU s

EF

E 0 c eU s

dE E E 0

c eU s

12.2. MIS-STRUKTUR BEI ANGELEGTER SPANNUNG 157

(Mittlung bei x 0). Da eU0de f

E0

c EF ist, erh alt man

Dc

γ3π2

2mc

2 3 2

eU s eU0 (12.3)

Der Korrekturfaktor γ 1 ber ucksichtigt, dass das bei x 0 berechnete Dc zueiner Ubersch atzung der mittleren Elektronenkonzentration in der gesamten In-versionsschicht f uhrt. Benutzt man Gleichung (12.3) in n

x , so folgt

nx

Nc

U s U0 ϕ x U0 mit Nc

γ3π2

2mc

2

eU s eU0 3 2

Die Elektronenkonzentration nimmt also im Inversionsgebiet vom Wert Nc aufden Wert 0 ab (da ϕ

xi U0). Das Modell (12.3) f uhrt zur Untersch atzung von n

im linken Teil und zur Ubersch atzung von n im rechten Teil der Inversionsschicht.Die Poisson-Gleichung vereinfacht sich zu

d2ϕdx2

eε0εs

0 d x 0NcU s U0 1 ϕ x U0 0 x xi

NAS xi x xp0 xp x ∞ .

Die Randbedingungen lauten ϕ∞ ϕ

d U und ϕ

∞ 0. Wegen derWahl des Energie-Nullpunkts in der Form ϕ

∞ 0 folgt auch ϕ

xp 0 und

ϕ

xp 0. Im Isolator ist die Feldst arke konstant EI ϕ

d . Also hat manfolgende Randbedingungen:

ϕ d U ϕ

xp 0

ϕ d EI ϕ

xp 0

Man erh alt als L osung der Poisson-Gleichung

ϕx

U EIx

d d x 0

U0 LuEs sinh xLu U s U0 cosh x

Lu 0 x xi

UT2L2

D

x xp 2 xi x xp

mit

L2u

ε0εs

U s U0 eNc

L2D

ε0εsUT

eNAS


Wegen ϕ0 U s folgt U s U EId. Weil Es εI EI εs ist, wird U s folgende

Funktion von Es:

U s U εs

εIEs d

Es bleiben drei Gr ossen zu bestimmen: xi, xp und Es.

1.) Aus der Stetigkeit von ϕ

x bei x xi folgt

U s U0

Lusinh

xi

Lu

Es cosh

xi

Lu

UT

L2D

xi xp

2.) Aus dem Wert von ϕx bei x x i (ϕ

xi U0!) folgt

U s U0

LuEs tanh

xi

Lu

3.) Aus dem Wert von ϕx bei x x

i folgt

U0

UT

2L2D

xi xp 2 xp

xi

LD 2U0

UT

1) und 2) sind implizite Gleichungen zur Bestimmung von xi und Es. Setzt man2) in 1) ein, so folgt

cosh

xi

Lu

U s U0 2 LuEs 2 UT Es

Lu

LD

2 xi xp

Unter der Voraussetzung L2u

L2

D, d.h. NAS

Nc kann man die rechte Seite derletzten Gleichung n aherungsweise Null setzen und erh alt mit

Es

U s U0

Lueine implizite Gleichung f ur Es

(12.4)

Die in der Inversionsschicht gespeicherte Ladung wird wegen

nx

Nc

U s U0ϕ x U0 Nc

cosh

x

Lu

LuEs

U s U0sinh

x

Lu

12.3. LADUNGSTRANSPORT DURCH DUNNE OXIDE 159

gleich

ns

xi

0dxn

x NcLu

sinh

x

Lu

tanh 1

xi

Lu

cosh

x

Lu

xi

0

NcLu

1

cosh xiLu

sinh xiLu

NcLu

Einsetzen der expliziten Ausdr ucke ergibt

ns

γ

3π2

2mc

2

eU s eU0 3 2 1 2 ε0εs

e

U s U0

also

ns αU s U0 5 4

(12.5)

Setzt man Gleichung (12.4) in U s Es U εsEsd εI ein, so folgt

U s U0 Lu

εI

εs

U U s

d

U U0

1 εsd

εILu

Damit wird die gespeicherte Ladung als Funktion der ausseren Spannung U :

ns U α

U U0

1 εsd

εILu 5 4

Um die gespeicherte Ladung uber U m oglichst wirksam steuern zu k onnen, mussd

Lu sein. Lu ist von der Gr ossenordnung 500A (f ur Us U0 1V ), also muss

gelten: d

50nm!

12.3 Ladungstransport durch dunne Oxide

Die Stromdichte f ur den Mechanismus des direkten Tunnelns durch d unne Oxidewird auf ahnliche Weise berechnet wie beim Metall-Halbleiter-Ubergang. Beid unnen Oxiden (d 3nm), die durchtunnelt werden, kann kein lokales quasi-Fermi-Niveau innerhalb der Oxidbarriere definiert werden. Im Falle extrem


tunnelmech.ID.epsi121 94 mm

Tunneling mechanisms

direct resonant

Et

x( )

Fowler-Nordheim (multi)phonon-assisted

"cavity"

defects

Typical characteristics

0 2 4 6 8 10gate voltage (V)

–10

–5

0

Lo

g [

J (A

cm–2

)]

directFowler-Nordheim

single oxide, t = 2.5 nmox

0 1 2 3 4E (MV/cm)

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

Lo

g [

J (A

cm-2)]

multiphonon-assistedresonantdirect

single oxide, t = 10 nmox

dirtun.ID.epsi74 48 mm

xx

xx

xx

xx

EFM

EFS

x = -d x = 0

d unner Oxide (d 1nm, “native oxides”) stellt sich zwischen Metall und Hal-bleiter ein n aherungsweises thermodynamisches Gleichgewicht ein. Der MIS-Ubergang wird dann quasi-Ohmsch.

Die Elektronen-Stromdichte kann nach der Formel

jn

emckBT2π2 3

∞

0dE T

E ln exp EFS

0 Ec

0 E

kBT 1

exp EFM0 Ec

0 E

kBT 1

12.3. LADUNGSTRANSPORT DURCH DUNNE OXIDE 161

berechnet werden. Dabei ist TE die Transmissionswahrscheinlichkeit (auch

Durchgangskoeffizient genannt, sh. Kap.5) f ur die Oxidbarriere. Die Abbildungzeigt gemessene und simulierte Tunnelstrom-Kennlinien von MOS-Kapazit atenmit SiO2-Dicken von 15 A bzw. 30 A.

iv15-30-comp.ID.epsi80 77 mm

Gate Currents of MOS capacitor

Vol tage (V)- 4 - 2 0 2 4

Cu

rre

nt

(A)

1E-20

1E-15

1E-10

1E-5

1E0

exp 15A

exp 30A

sim 30A

sim 15A

13 Hetero-Ubergange

13.1 Banddiskontinuitaten

hetero1.ID.epsi81 55 mm

0 x

EF1

F2E

Ec2

Ev2

Material 1 Material 2

Eg2

Ec1

Ev1

Eg1

∆Ec

∆Ev

Die Abbildung zeigt die Situation vor Einstellung des Gleichgewichts. Auchwenn keine freien Ladungstr ager vorhanden sind, fliesst Valenzladung aus demMaterial 1 mit der h oher liegenden Valenzbandkante ins Material 2. Es bildet sicheine Dipolschicht aus. Wegen des damit verbundenen Potentialsprungs ergibt sichf ur die tats achliche Lage der Valenzbandkanten am Hetero-Ubergang:

Ev1 E

0

v1 eϕ ; Ev2 E

0

v2 eϕ Damit folgt f ur die Valenzband-Diskontinuit at:

∆Ev Ev1 Ev2

E0

v1 E0

v2

Volumenbeitrag

eϕ ϕ

Dipolbeitrag

162

13.2. POTENTIALVERLAUF NACH EINSTELLUNG DES GLEICHGEWICHTS 163

Der Dipolbeitrag h angt allerdings auch von den Eigenschaften der Grenzfl acheab. F ur die Leitungsband-Diskontinuit at erh alt man:

∆Ec Ec2 Ec1

Ev2

Eg2 Ev1 Eg1 ∆Ev

∆Eg ∆Eg kann experimentell leicht bestimmt werden, ∆Ev ist dagegen schwierig zumessen.

13.2 Potentialverlauf nach Einstellung des Gleichgewichts

hetero2.ID.epsi84 72 mm

0 x

F2EEc2

EF1

Ec1

a)

b)

c)

FE

-e ϕ(x)

E -e ϕ(x)c

Verlauf der Leitungsbandkante an einem Hetero-Ubergang vom n-Typ vor Einstellungdes Gleichgewichts a) und danach c). Der Verlauf des Potentials ist in b) dargestellt.

Wir beziehen jetzt auch die freien Ladungstr ager mit in die Betrachtung ein.Durch Umverteilung an der Hetero-Grenze bildet sich eine Raumladungszoneaus. Zum Zwecke einer vereinfachten Analyse beschr anken wir uns auf dasSystem GaAs-AlAs, f ur das Ec2

Ec1 gilt, und machen folgende Annahmen:Nc1

Nc2, n-Dotierung mit p NA 0, gleiche Dielektrizit atskonstanten ε1 ε2.

Dann lautet die Poisson-Gleichung

d2ϕdx2

eε0εsND

x n

x

Nimmt man noch an, dass die n-Dotierung in beiden Materialien identisch ist,so gilt EF2 EF1

Ec2 Ec1. Aufgrund der Voraussetzung Ec2 Ec1 muss

164 CHAPTER 13. HETERO-UBERGANGE

auch EF2 EF1 sein. Deshalb diffundieren Elektronen aus dem Material 2 in

das Material 1. Es entsteht eine Anreicherungsschicht in Material 1 und eineVerarmungsschicht in Material 2. In Material 2 kann man die Schottky-N aherunganwenden, in Material 1 dagegen nicht.

Nach dem Schottky-Modell des Kontakts muss die Differenz der Fermi-Niveaus gerade durch die Bandverbiegung kompensiert werden, d.h.

1e

EF2 EF1 ϕ

∞ ϕ ∞

In Material 1 kann man folgendermassen vorgehen: Die Elektronendichte ist

nx Nc exp EF E

0

c

eϕx

kBT

wenn man Boltzmann-Statistik voraussetzt. F uhrt man die Gleichgewichts-Konzentration n01 im unendlichen Volumen des Materials 1 ein, folgt

nx n01 exp

ϕx ϕ

∞ UT

Die Poisson-Gleichung im Gebiet von Material 1 lautet dann

d2ϕdx2

eε0εs

NDx n01 exp

ϕx ϕ

∞ UT

Das erste Integral kann mit der Randbedingung dϕ dx x ∞

0 und f ur kon-stante Dotierung ND

x ND

const exakt angegeben werden:dϕdx 2

2eε0εs

ND ϕ x ϕ ∞ UT n01 eϕ

x ϕ

∞

UT 1 Im Sinne einer qualitativen Diskussion setzen wir ND

0 (bzw. machen dieAnnahme ND

n in der Anreicherungsschicht). Der Potentialsprung ist von

der Gr ossenordnung der Banddiskontinuit at und wird durch ∆Ec ersetzt. Mitedϕ dx ∆Ec wA, wobei wA die Dicke der Anreicherungsschicht bezeichnet,erh alt man

wA LD 2

∆Ec

kBTe 1

2∆EckBT

LD ist die Debye-L ange in Material 1: LD

ε0εsUT en01 . Hier ist also

wA

LD ! Mit ∆Ec 0 4eV ist wA 0 14LD. Die Debye-L ange betr agt f ur

n01 1018 cm 3 und εs

12 etwa 0.2 µm, somit wird wA etwa 20 nm. DieserWert wird durch numerische Rechnungen best atigt. Im Potentialtrichter bildetsich ein 2D-Elektronengas aus.

13.3. SUPERGITTER UND QUANTUM WELLS 165

13.3 Supergitter und Quantum Wells

In Kap. 5 hatten wir zur Veranschaulichung der Entstehung von B andern eineindimensionales Modell aus einer unendlichen Abfolge von Quantent opfen undBarrieren betrachtet (Kronig-Penney-Modell). In der Realit at werden solcheSysteme als Supergitter realisiert. Auf ein Substrat werden dazu epitaktischHalbleiterschichten aus abwechselndem Material aufgewachsen. Mittels MBEoder MOCVD gelingt die Herstellung von nahezu idealen Hetero-Grenzfl achen.Liegen die Schichtdicken im Nanometer-Bereich, ergeben sich neuartige elektro-nische Eigenschaften, die denen ahnlich sind, die durch die nat urliche Kristall-struktur verursacht werden (Energie-L ucken, negative effektive Massen, etc.).Im folgenden wird die elektronische Struktur von Supergittern noch einmal

superlatt1.ID.epsi92 64 mm

x

y

zSubstrat Supergitter

d

d2d1

a)

b)

z

E (z)c

Halbleiter-Supergitter (a) und zugeh origer Verlauf der Leitungsbandkante (b).

genauer betrachtet, wobei eine etwas andere Methode als in Kap. 5 benutztwird (hier jetzt das eigentliche “Kronig-Penney-Modell” ohne WKB-N aherung).Wir beschr anken uns wieder auf die Elektronen im Leitungsband, die L ocherk onnen analog behandelt werden. Die Schichtdicke von Material 1 (z.B. GaAs)sei d1, die von Material 2 (z.B. Ga1 xAlxAs sei d2 und die Gitterkonstante desSupergitters in z-Richtung (Wachstumsrichtung) sei d d1

d2. Parallel zu den

Schichten in x- und y-Richtung liegt die nat urliche Gitterperiodizit at vor. Dieelektronische Struktur von Supergittern kann bereits mittels der Effektivmassen-Methode recht gut beschrieben werden. Voraussetzung daf ur ist insbesondere,dass die Leitungsband-Minima der beiden Materialien im selben Punkt desk-Raumes liegen. Bei der Kombination GaAs/Ga1 xAlxAs ist das im direk-ten Bereich der Legierung (x 0 42) der Fall, beide Bandkanten liegen imPunkt Γ. Die Gesamt-Wellenfunktion eines Elektrons im Supergitter wird in


der Effektivmassen-N aherung als Produkt aus einem Blochfaktor uc0r und

einer Enveloppen-Funktion Fcr dargestellt. Wir schreiben die Effektivmassen-

Gleichung f ur Fcr in den beiden Materialien einzeln auf:

2

2mc1∆ Ec1 Fc

r E Fc

r r in Material 1

2

2mc2∆ Ec2 Fc

r E Fc

r r in Material 2

Der Einfachheit halber seien die effektiven Massen gleich (mc1 mc2

mc), wasf ur das System GaAs/Ga1 xAlxAs n aherungsweise erf ullt ist. Durch Einf uhrungeiner ortsabh angigen Leitungsbandkante Ec

z lassen sich beide Gleichungen zu

einer zusammenfassen: 2

2mc∆ Ec

z Fc

r

E Ec1 Fc

r (13.1)

mit

Ecz

0 f ur nd z nd

d1

∆Ec Ec2 Ec1 f ur nd

d1 z n

1 dund n als Nummer der Supergitter-Einheitszelle ( ∞ n ∞). Die FunktionEcz l asst sich als ausseres Potential interpretieren und Gleichung (13.1) als

Schr odinger-Gleichung in diesem Potential. Ecz besitzt die Periodizit at des Su-

pergitters, d.h.

Ecz

d Ecz

Da das Potential Ecz nur von z, aber nicht von x y abh angt, kann die L osung

der Schr odinger-Gleichung als Produkt aus einer parallel zu den Schichtenlaufenden ebenen Welle mit einem gewissen Wellenvektor k , und einer nur vonz abh angigen Funktion χc

z geschrieben werden:

Fcr Fck

r

1

Ω1 3eik x χc

z

F ur χcz ergibt sich die Schr odinger-Gleichung

2

2mc

d2

dz2

Ecz χc

z E

χcz mit E

E Ec1 2

2mck2 (13.2)

Diese Gleichung gilt f ur alle z mit Ausnahme der Sprungstellen nd und nd

d1 zwischen den beiden Materialien. Um die Grenzfl achen zu uberbr ucken,


ben otigt man Anschlussbedingungen f ur χcz und dχc

z dz. Normalerweise

sind Wellenfunktionen und deren erste Ableitung uberall im Raum stetig. Beiχcz handelt es sich aber nicht um eine vollst andige Wellenfunktion, sondern

nur um deren langsam ver anderliche Enveloppe, die noch mit dem Blochfaktoruc0r multipliziert werden muss. Der Blochfaktor h angt vom Material ab und

hat i.a. links und rechts von der Grenzfl ache unterschiedliche Werte. Das gleichegilt f ur die Ableitungen. Wir nehmen diese Gr ossen im Sinne einer N aherung alsgleich an (gilt f ur GaAs/AlAs-Supergitter tats achlich n aherungsweise). Dann istalso

χcz 0 χc

z

0 χcz 0 χ

cz

0 f ur z nd und z nd

d1 (13.3)

Als weitere Bedingung fordern wir die Periodizit at und Normierung von χcz

bez uglich des 1-dimensionalen Grundgebietes Ω1 3 M d (M bezeichnet die An-zahl der Supergitter-Einheitszellen pro Grundgebiet). Gem ass Bloch-Theoremkann dann χc

z als gitterperiodische modulierte ebene Welle

χcz χck

z

1

Ω1 6eikzUck

z

geschrieben werden mit k als Komponente des Gesamtwellenvektors desBloch-Zustandes Fck

r Fck k

r in z-Richtung und Uck

z als Supergitter-

Blochfaktor. Letzterer ist von den Blochfaktoren uc0r der beiden Volu-

menkristalle zu unterscheiden. Das Auftreten von zwei verschiedenen Bloch-Faktoren spiegelt den Umstand wieder, dass bei einem Supergitter zwei ver-schiedene periodische Potentiale vorliegen, n amlich das der nat urlichen Kristall-struktur und das der k unstlichen Uberstruktur. Die Gesamtwellenfunktionψcr ψck

r enth alt das Produkt der beiden Bloch-Faktoren. Sie lautet

ψckr

1 Ωuc0r Uck

z eik r

Die z-Komponente k des Wellenvektors k muss von der Form

2π M d

0 1 2 sein, damit die geforderte Grundgebietsperiodizit at vorliegt. DerVariationsbereich von k ist die (1-dimensionale) erste BZ des Supergitters zwis-chen π d und π d. Zur L osung der Schr odinger-Gleichung (13.2) beschr ankenwir uns auf Energien 0 E

∆Ec, d.h. auf Energien, die unterhalb der niedrig-

sten erlaubten Energie eines Elektrons in Material 2 liegen. Der BlochfaktorUck

z der Wellenfunktion χck

z wird in den beiden Materialschichten durch

unterschiedliche Ausdr ucke beschrieben. F ur die Quantum Wells folgt aus der


Schr odinger-Gleichung

Uckz a1 ei

K k z b1 e i

K

k z 0 z d1

mit K als reeller Zahl, die mit der Energie Edurch die Beziehung

E

2

2mcK2 (13.4)

verkn upft ist, und a1, b1 als noch zu bestimmenden Koeffizienten. In den Barri-eren gilt dagegen

Uckz a2 e

κ ik z b2 e

κ ik z d1 z d

wobei

κ2

2mc

2 ∆Ec E (13.5)

gesetzt wurde. F ur die vier Koeffizienten a1, b1, a2, b2 ergibt sich aus den vierAnschlussbedingungen (13.3) das homogene Gleichungssystem

eiKd1 e iKd1 eκd1 e κd1

eikd e ikd eκd e κd

iK eiKd1 iK e iKd1 κeκd1 κe κd1

iK eikd iK e ikd κeκd κe κd

a1

b1a2b2

0

000

Damit dieses Gleichungssystem eine nichttriviale L osung besitzt, muss seine De-terminante verschwinden. Die Bedingung daf ur lautet

cosKd1 cosh

κd2 κ2 K2

2κKsin

Kd1 sinh

κd2 cos

kd (13.6)

Nur solche K und κ sind erlaubt, die dieser Beziehung gen ugen. Dabei sind Kund κ aber nicht unabh angig voneinander, sondern durch die Energie E

uber Gle-

ichungen (13.4) und (13.5) miteinander verkn upft. Die Gleichung (13.6) stelltalso letztlich eine Bedingung f ur die Energie E

dar. Sie ist identisch mit der

des Kronig-Penney-Problems. Man erh alt eine bestimmte Anzahl diskreter En-ergieeigenwerte E

n, die, wenn k variiert, zu B andern E

nk auff achern, die durch

Energiel ucken voneinander getrennt sind. Um die Energieeigenwerte E des Su-pergitters zu erhalten, muss gem ass (13.2) zu E

nk noch Ec1

2 2mc k2 ad-diert werden:

Enk E

nk Ec1

2

2mck2


Im Unterschied zum Kronig-Penney-Problem besitzen die Energieb ander des Su-pergitters also eine zus atzliche Dispersion bzgl. der Wellenvektor-Komponentek parallel zu den Schichten. Die B ander und L ucken, die sich bei festem k undVariation von k ergeben, bezeichnet man als Minibander und Minilucken. Die beifestem k und variablem k entstehenden B ander bezeichnet man als Subbander.Die Subband-Dispersion resultiert aus der nat urlichen Kristallstruktur, w ahrenddie Miniband-Dispersion die Folge der k unstlichen periodischenUberstruktur ist.

In der Abbildung sind auch die Grenzf alle sehr dicker Barrieren (links) undsehr d unner Barrieren (rechts) dargestellt. Im ersten Fall dominieren die hyper-bolischen Terme in (13.6) und der die Dispersion verursachende Term cos

kd

auf der rechten Seite kann vernachl assigt werden. Die Minib ander entarten zuden diskreten Niveaus des isolierten Quantentopfes. Das Supergitter zerf alltin einzelne Quantum Wells, die untereinander nicht gekoppelt sind (Multi-Quantum-Well-Struktur). Im zweiten Fall liefert die S akulargleichung (13.6) innullter N aherung k K. Damit verschwinden die Minil ucken uberhaupt, und dieUberstruktur ist unwirksam.

superlatt2.ID.epsi95 82 mmk||

πa

πd

πd

k

z

Mini- und Subb ander eines Supergitters. Dargestellt sind auch die beiden Grenzf allesehr d unner und sehr dicker Barrieren. Der untere Bildteil veranschaulicht die Wellen-funktionen.

Die bisherigen Betrachtungen gelten mit gewissen Modifikationen auch f urL ocher. Die L ocher-Wells k onnen sich im selben Material befinden wie dieElektronen-Wells, aber auch im andern Material. Im ersten Fall spricht man


von Typ-I-Supergittern, im zweiten Fall von Typ-II-Supergittern. In Typ-II-Supergittern halten sich Elektronen und L ocher in verschiedenen Materi-alschichten auf, sind also r aumlich separiert, was zu ungew ohnlichen Eigen-schaften f uhrt. Es kommt sogar vor, dass die L ocher-Niveaus in dem einen Ma-terial h oher liegen als die Elektronen-Niveaus in dem andern. Sie sind dann nichtmehr durch eine Energiel ucke voneinander getrennt, und das Supergitter ist einMetall.

superlattTyp.ID.epsi123 41 mm

Typ IITyp I

Ev

Ec

∆Ec

∆Ev

Eg1 Eg2

Supergitter vom Typ I und Typ II.

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