Schidurchbiegung im Schidurchbiegung im SchneeSchnee

von Dieter Heinrich, Andreas von Dieter Heinrich, Andreas Rudigier, Anita WibmerRudigier, Anita Wibmer

ProblemstellungProblemstellung

Wie biegt sich der Schi im Schnee durch?Wie biegt sich der Schi im Schnee durch?

UNDUND

Wie verteilt sich der Druck unter dem Schi Wie verteilt sich der Druck unter dem Schi auf dem Schnee?auf dem Schnee?

ModellierungModellierung

Modell Schi:Modell Schi:Modelliere den Schi als einen homogenenModelliere den Schi als einen homogenenBalken mit variabler Biegesteifheit EI(x) Balken mit variabler Biegesteifheit EI(x)

Modell Schnee:Modell Schnee:Modelliere den Schnee als elastische Modelliere den Schnee als elastische FedernFedern

Differentialgleichung - BiegungDifferentialgleichung - BiegungDifferentialgleichung 4. Ordnung für die Durchbiegung des Differentialgleichung 4. Ordnung für die Durchbiegung des Balken:Balken:

Diese Randbedingungen bedeuten, dass das rechte und linke Ende vom Balken frei sind.

mit den 4 Randbedingungen:mit den 4 Randbedingungen:

Differentialgleichung – rechte SeiteDifferentialgleichung – rechte Seitef(x) … Linienlast bestehend aus 2 Teilenf(x) … Linienlast bestehend aus 2 Teilenff11(x) … Kraft, die der Schifahrer auf den Schi ausübt(x) … Kraft, die der Schifahrer auf den Schi ausübt

ff22(x) … Reaktionskraft des Schnees infolge der (x) … Reaktionskraft des Schnees infolge der

DurchbiegungDurchbiegung

Reaktionskraft des Schnees: Reaktionskraft des Schnees: Modell 1Modell 1

Modell 1:Modell 1:

ff22 == k * e * b mit b = 2*w k * e * b mit b = 2*wk … Federkonstante vom Schneek … Federkonstante vom Schneee … Eindringtiefe in den Schneee … Eindringtiefe in den Schneeb … Breite des Schisb … Breite des Schis

Reaktionskraft des Schnees: Reaktionskraft des Schnees: Modell 2Modell 2

Modell 2:Modell 2:

k * e * b für e k * e * b für e ≥ 0≥ 00 sonst0 sonst

Reaktionskraft des Schnees nur bei positiver Eindringtiefe,Reaktionskraft des Schnees nur bei positiver Eindringtiefe,ist der Schi in der Luft, so wirkt keine Reaktionskraft.ist der Schi in der Luft, so wirkt keine Reaktionskraft.

ff22(e) (e) ==

UmschreibenUmschreiben

Umschreiben in ein System 1. Ordnung liefert:

Methode zur LösungMethode zur LösungWir lösten das Problem mit dem Wir lösten das Problem mit dem

MehrzielverfahrenMehrzielverfahren

Dazu : Zwei LösungsansätzeDazu : Zwei Lösungsansätze

1.1. Jacobimatrix durch externe, simultane Differentiation mit Jacobimatrix durch externe, simultane Differentiation mit Einfrieren der SchrittweiteEinfrieren der Schrittweite

Dies funktioniert nur bei Modell 1, bei Modell 2 treten Dies funktioniert nur bei Modell 1, bei Modell 2 treten Konvergenzschwierigkeiten auf.Konvergenzschwierigkeiten auf.

2.2. Jacobimatrix durch interne Differentiation (=Variationsgleichung)Jacobimatrix durch interne Differentiation (=Variationsgleichung)

Matching ConditionsMatching Conditions

y(xy(x11,x,x00,y,y00) – y) – y11 = 0 = 0

y(xy(x22,x,x11,y,y11) – y) – y22 = 0 = 0

……… ………..y(xy(xNN,x,xN-1N-1,y,yN-1N-1) – y) – yNN = 0 = 0

matchingconditions r(y0,yN) = 0

Bei unserem Problem treten je Unterteilung vier Matching Conditions auf.

ausgewählte Ergebnisse Modell 1ausgewählte Ergebnisse Modell 1

140 Unterteilungen

ausgewählte Ergebnisse Modell 2ausgewählte Ergebnisse Modell 2

140 Unterteilungen

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit.Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit.