Schriftliche Übung Mathematik Mi 10€¦ · R. Brinkmann Seite 2 28.11.2013 Erstellt von R. Brinkmann sg27d_07_08_ka_03_e 16.03.2006 08:04 2 von 12 2. Gegeben ist die Funktionsgleichung

R. Brinkmann Seite 1 28.11.2013

Erstellt von R. Brinkmann sg27d_07_08_ka_03_e 16.03.2006 08:04 1 von 12

Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Di 01.04.08 SG27D Gruppe A NAME: Hilfsmittel: Taschenrechner. Alle Ergebnisse sind soweit möglich durch Rechnung zu begründen.

1. ( ) 3 21Gegeben ist die Funktionsgleichung f x x x 3x2

= − −

a) Berechnen Sie die Nullstellen. b) Machen Sie eine Symmetriebetrachtung mit Begründung c) Wie ist der Verlauf des Graphen? d) Machen Sie eine Aussage über die Funktionswerte für große und für

Kleine x – Werte. ( )d.h. für x und für x→∞ → −∞ Lösung: 6 Punkte a) Berechnen Sie die Nullstellen.

( )

( )

3 2

3 2

21

2

2

2

2 / 3

2

1 2 3

1f x x x 3x2

1f x 0 x x 3x 02

1 x x x 3 0 x 02

1 1x x 3 0 mit p und q 32 2

p 1 48 49 49 7wird D q D2 16 16 16 16 4

1 7x 2p 4 4x D1 7 32 x4 4 2

3Nullstellen: x 0 x 2 x2

= − −

= ⇔ − − =

⎛ ⎞⇔ − − = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

− − = = − = −

⎛ ⎞= − = + = ⇒ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

= + == − ±

= − = −

= = = −

2 Punkte b) Es liegt keine Symmetrie vor, da es weder nur gerade oder nur ungerade

Exponenten gibt. 2 Punkte c) Der Verlauf des Graphen ist von III I

2 Punkte d) ( )

( )für x wird f x

für x wird f x

→∞ → ∞

→ −∞ → −∞



2. ( ) 3 2Gegeben ist die Funktionsgleichung f x x x 5x 2= − − + a) Was wissen Sie über die Anzahl der Nullstellen dieser Funktion

und über den Verlauf des Graphen? b) Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte c) Übertragen Sie die Wertetabelle in ihr Heft

und ergänzen Sie die fehlenden Werte.

( )x 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

f x 7,38 3,88 4,13 0,63 4,38 1,13− − − − −− − − −

d) Zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem.

( )max min5 121Dabei sei P 1| 5 ein Hochpunkt und P | ein Tiefpunkt.3 27

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

Lösung: 2 Punkte a) Der Graph von f(x) hat mindestens eine Nullstelle, Verlauf von III I 8 Punkte b) Achsenschnittpunkte:

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

3 2

2

3 2 2

3 2

2

1 3 1

f x x x 5x 2

1 1 5 2x 1 1 0 5 x 3x 1 0

1 0 5 3 f 1 oder über Polynomdivision:1 1 5 2 x x 5x 2 : x 2 x 3x 1

x 2 2 2 6 x 2x1 1 3 4 f 2

1 1 5 2 3x 5xx 1 1 2 3

1 2 3 5 f 11 1 5 2

x 2 2 6 20 f 2

= − − +

− −= ↓ − − + =

− − =− − − − + + = − +

= ↓ −− +− − =

− − − −= − ↓ −

− − = −− −

= − ↓ − −= −−

( )

( )

2

2

2

2

2 / 3

2

3x 6x

x 2 x 2

Lösung der quadratischen Gleichung:

x 3x 1 0 mit p 3 und q 1 wird

p 9 4 5 5D q D2 4 4 4 4

3 5x 2,62p 2 4x D2 3 5x 0,

2 4

− − −

+

− +

− + = = − =

⎛ ⎞= − = − = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

= + ≈= − ±

= − ≈

( ) ( )y x1

x2

x2

Die Achsenschnittpunkte: P 0 | 2 P 2 | 0

3 5 P | 02 4

3 5 P | 02 4

38

−

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠



3 Punkte c) Die Wertetabelle:

( )

( )

( )

x1 max y

min x2 x3

P P P

x 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1f x 7,38 0 3,88 5 4,13 2 0,63 3

P P P

x 1,5 2 2,5 3 1,6 2,62 0,38f x 4,38 4 1,13 5 4.48 0 0

1 1 5 2x 3 3 6 3

1 2 1 5 f 3

− − − − −− − −

− − − −

− −= ↓

=

5 Punkte

d)

4 3 2 1 0 1 2 3 4

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

66

5−

f x( )

44− x



3. ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4Gegeben sind die Punkte P 2 | 4 ; P 4 | 0 ; P 6 | 4 ; P 8 | 4− − a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. b) Tragen Sie die aus den gegebenen Punkten bekannten Werte in eine

Wertetabelle und bestimmen Sie die Funktionswerte für folgende x- Werte: { }x 0 ; 1 ; 3 ; 5 ; 7∈

c) Zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem. ( ) ( )1 3Tiefpunkt: P 2 | 4 Hochpunkt: P 6 | 4−

( ) 3 21Kontrollergebnis: f x x 3x 9x 44

= − + − +



12 Punkte a)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

3 23 2 1 0

1 3 2 1 0

2 3 2 1 0

3 3 2 1 0

4 3 2 1 0

0 1 2 3

f x a x a x a x a

P 2 | 4 f 2 8a 4a 2a 1a 4

P 4 | 0 f 4 64a 16a 4a 1a 0

P 6 | 4 f 6 216a 36a 6a 1a 4

P 8 | 4 f 8 512a 64a 8a 1a 4

a a a a1 2 4 8 41 4 16 64 0 II I1 6 36 216 4 III I1 8 64 512 4 IV I1 2 4

= + + +

− ⇒ = + + + = −

⇒ = + + + =

⇒ = + + + =

− ⇒ = + + + = −

−−−

− −

3

3

2 3

2

4a 1|: 4

1a4

8 40 2 12 56 4 |: 2

a 12a 00 4 32 208 8 |: 4

a 3 0| 30 6 60 504 0 |: 61 2 4 8 40 1 6 28 20 1 8 52 2 III II

0 1 10 84 0 IV II1 2 4 8 40 1 6 28 20 0 2 24 00 0 4 56 2 |: 21 2 4 8 40 1 6 28 20 0 2 24 00 0 2 28 1 IV III1 2 4 8 40 1 6 28 20 0 1 12 00 0 0 4 1

= −

⇔ = −−

+ =

⇔ − = +

⇔−

−−

−

−−

− −−

−

( )

2

1 2 3

1

1

0 1 2 3

0

0

3 2

a 3

a 6a 28a 2a 18 7 2| 11

a 9

a 2a 4a 8a 4a 18 12 2 4| 8

a 4

Die Funktionsgleichung:1f x x 3x 9x 44

=

+ + =

⇔ + − = −

⇔ = −

+ + + = −

⇔ − + − = − +

⇔ =

= − + − +



4 Punkte b)

( )

( )

( )

( )

1 2 3 4P TP P P HP Px 0 1 2 3 4 5 6 7 8

f x 4 2,25 4 2,75 0 2,75 4 2,25 4

1 4 3 9 4x 1 1 4 11 4 25 4

1 4 11 4 25 4 9 4 f 1 2,251 4 3 9 4

x 3 3 4 27 4 27 4

1 4 9 4 9 4 11 4 f 3 2,751 4 3 9 4

x 5 5 4 35 4 5 4

1 4 7 4 1 4 11 4 f 5 2,751 4 3 9 4

x 7 7 4 35 4 7 4

1 4 5 4 1

− − − −

− −= ↓ − −

− − − = = −− −

= ↓ − −

− − − = = −− −

= ↓ − −

− − = =− −

= ↓ − −

− − ( )4 9 4 f 7 2,25= =

4 Punkte

c)

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

55

7−

f x( )

Y

101− x X,



Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Di 01.04.08 SG27D Gruppe B NAME: Hilfsmittel: Taschenrechner. Alle Ergebnisse sind soweit möglich durch Rechnung zu begründen.

1. ( ) 3 21Gegeben ist die Funktionsgleichung f x x x 3x2

= + −

a) Berechnen Sie die Nullstellen. b) Machen Sie eine Symmetriebetrachtung mit Begründung c) Wie ist der Verlauf des Graphen? d) Machen Sie eine Aussage über die Funktionswerte für große und für

Kleine x – Werte. ( )d.h. für x und für x→ ∞ → −∞ 6 Punkte a) Berechnen Sie die Nullstellen.

( )

( )

3 2

3 2

21

2

2

2

2 / 3

2

1 2 3

1f x x x 3x2

1f x 0 x x 3x 02

1 x x x 3 0 x 02

1 1x x 3 0 mit p und q 32 2

p 1 48 49 49 7wird D q D2 16 16 16 16 4

1 7 3xp 4 4 2x D1 72 x 24 43Nullstellen: x 0 x x 22

= + −

= ⇔ + − =

⎛ ⎞⇔ + − = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

+ − = = = −

⎛ ⎞= − = + = ⇒ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

= − + == − ±

= − − = −

= = = −

2 Punkte b) Es liegt keine Symmetrie vor, da es weder nur gerade oder nur ungerade

Exponenten gibt. 2 Punkte c) Der Verlauf des Graphen ist von III I

2 Punkte d) ( )

( )für x wird f x

für x wird f x

→∞ → ∞

→ −∞ → −∞



2. ( ) 3 2Gegeben ist die Funktionsgleichung f x x x 5x 2= + − − a) Was wissen Sie über die Anzahl der Nullstellen dieser Funktion

und über den Verlauf des Graphen? b) Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte c) Übertragen Sie die Wertetabelle in ihr Heft

und ergänzen Sie die fehlenden Werte.

( )x 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

f x 1,13 4,38 0,63 4,13 3,88 7,38− − − − − −

− −

d) Zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem.

( )min max5 121Dabei sei P 1| 5 ein Tiefpunkt und P | ein Hochpunkt.3 27

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

2 Punkte a) Der Graph von f(x) hat mindestens eine Nullstelle, Verlauf von III I 8 Punkte b) Achsenschnittpunkte:

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

3 2

2

3 2 2

3 2

2

2

f x x x 5x 2

x 3x 1 0oder über Polynomdivision:

1 1 5 2 x x 5x 2 : x 2 x 3x 1x 1 1 2 3

x 2x1 2 3 5 f 11 2 5 2 3x 5x

x 2 2 6 2 3x 6x0 f 2

1 3 1

x 2

= + − −

+ + =

− − + − − − = + += ↓ −

− −− − =− − −

= ↓ − −=

−

( )

( )2y

2

2

2 / 3

2

x 2

Lösung der quadratischen Gleichung: Die Achsenschnittpunkte:

P 0 | 2 x 3x 1 0 mit p 3 und q 1 wird

p 9 4 5 5D q D2 4 4 4 4

3 5x 0,38p 2 4x D2 3 5x 2,62

2 4

− −

−+ + = = =

⎛ ⎞= − = − = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

= − + ≈ −= − ±

= − − ≈ −

( )x1

x2

x2

P 2 | 0

3 5 P | 02 4

3 5 P | 02 4

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠



3 Punkte c) Die Wertetabelle:

( )

( )

( )

( )

y

min x1 max x2 x3

P

x 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0,5f x 5 1,13 4 4,38 3 0,63 2 4,13

P P P P P

x 1 1,5 2 2,5 1,6 0,38 2,62f x 5 3,88 0 7,38 4,48 0 0

1 1 5 2x 3 3 6 3

1 2 1 5 f 31 1 5 2

x 2 2 2 61 1 3 4 f 21 1 5 2

x 1 1 0 51 0 5 3 f( 1)

− − − − − −− − −

− − −− −

− −= − ↓ − −

− − = −− −

= − ↓ −− − = −

− −= − ↓ −

− = − 5 Punkte

d)

4 3 2 1 0 1 2 3 4

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

55

6−

f x( )

44− x



3. ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4Gegeben sind die Punkte P 2 | 4 ; P 4 | 0 ; P 6 | 4 ; P 8 | 4− a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. b) Tragen Sie die aus den gegebenen Punkten bekannten Werte in eine Wertetabelle und bestimmen Sie die Funktionswerte für folgende x- Werte:

{ }x 0 ; 1 ; 3 ; 5 ; 7∈ c) Zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem. ( ) ( )1 3Hochpunkt: P 2 | 4 Tiefpunkt: P 6 | 4−

( ) 3 21Kontrollergebnis: f x x 3x 9x 44

= − + −



12 Punkte a)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

3 23 2 1 0

1 3 2 1 0

2 3 2 1 0

3 3 2 1 0

4 3 2 1 0

0 1 2 3

f x a x a x a x a

P 2 | 4 f 2 8a 4a 2a 1a 4

P 4 | 0 f 4 64a 16a 4a 1a 0

P 6 | 4 f 6 216a 36a 6a 1a 4

P 8 | 4 f 8 512a 64a 8a 1a 4

a a a a1 2 4 8 41 4 16 64 0 II I1 6 36 216 4 III I1 8 64 512 4 IV I1

= + + +

⇒ = + + + =

⇒ = + + + =

− ⇒ = + + + = −

⇒ = + + + =

−− −

−

3

3

2 3

2

2

2

1 2

8a 2|: 8

1a4

2a 24a 02a 6 0| 62 4 8 42a 6|:20 2 12 56 4 |: 2

0 4 32 208 8 |: 4 a 30 6 60 504 0 |: 61 2 4 8 4 a 6a 28

0 1 6 28 20 1 8 52 2 III II0 1 10 84 0 IV II1 2 4 8 40 1 6 28 20 0 2 24 00 0 4 56 2 IV 2 III1 2 4 8 40 1 6 28 20 0 2 24 00 0 0 8 2

=

⇔ =

+ =

⇔ + = −

⇔ = −−− ⇔ = −

+ +−− −

−

−

− ⋅

−

( )

3

1

1

0 1 2 3

0

0

3 2

a 2a 18 7 2| 11

a 9

a 2a 4a 8a 4a 18 12 2 4| 8

a 4

Die Funktionsgleichung:1f x x 3x 9x 44

= −

⇔ − + = − +

⇔ =

+ + + =

⇔ + − + = −

⇔ = −

= − + −



4 Punkte b)

( )

( )

( )

( )

( )

1 2 3 4P HP P P TP Px 0 1 2 3 4 5 6 7 8

f x 4 2,25 4 2,75 0 2,75 4 2,25 4

1 4 3 9 4x 1 1 4 11 4 25 4

1 4 11 4 25 4 9 4 f 1 2,251 4 3 9 4

x 3 3 4 27 4 27 4

1 4 9 4 9 4 11 4 f 3 2,751 4 3 9 4

x 5 5 4 35 4 5 4

1 4 7 4 1 4 11 4 f 5 2,751 4 3 9 4

x 7 7 4 35 4 7 4

1 4 5 4 1 4 9 4 f 7 2

− − − −

− −= ↓ −

− = =− −

= ↓ −

− = =− −

= ↓ −

− − = = −− −

= ↓ −

− − = = − ,25

4 Punkte

c)

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

55

7−

f x( )

Y

101− x X,

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