Signal- und Systemtheoriebps/content/cbt... · 2012. 9. 17. · 2 Signale und Systeme Signal- und Systemtheorie IE(F) • Ausblendeigenschaft des Diracstoßes • Führt man an Stelle

Fakultät ELEKTRO- und INFORMATIONSTECHNIK Ausgabe 2011

Signal- und Systemtheorie

Studiengang

Industrial Engineering

(Fernstudium)

1 Einführung in das Lehrgebiet 2 Signale und Systeme 3 Zeitkontinuierliche Systeme 4 Grundkurs Digitale Signalverarbeitung 5 Grundlagen der Simulation von Systemen

Prof. Dr.-Ing. habil. Reinhard Sporbert

1 Einführung in die Systemtheorie Signal- und Systemtheorie IE(F)

1 Einführung in die Systemtheorie 1.1 Informationen, Signale und Systeme

In der Informationsgesellschaft, zu der wir uns entwickelt haben, werden Informationen in vielfältiger Form ausgetauscht. Sie können als Sprachinformationen beim Telefonieren, als Bildinformationen einer Fernsehsendung als Daten einer E-Mail zwischen Menschen ausgetauscht werden, sie können als Flugradardaten auf dem Bildschirm des Fluglotsen erscheinen und als Prozessdaten eine Chemieanlage steuern. Ihnen gemeinsam sind zwei Dinge: Die Informationen werden zum Zwecke des Austausches einem „Informationsträger“ aufgeprägt. Diesen Informationsträger nennen wir Signal. Signale beinhalten nur dann Informationen oder Nachrichten, wenn sie sich zeitlich ändern und dieser Änderung vom Empfänger eine „Bedeutung“ zugewiesen werden kann. Strahlt z.B. ein Rundfunksender ständig einen Dauerton gleicher Frequenz aus, so wäre dies für die Hörer keine Information – sie würden zu einem anderen Sender wechseln. Shannon, der Begründer der Informationstheorie, sagte dazu: „Eine Information muss beim Empfänger eine vorhandene Unsicherheit beseitigen.“

Auf ihrem Weg vom „Sender“ zum „Empfänger“ einer Information durchlaufen die informationstragenden Signale technische Einrichtungen unterschiedlicher Komplexität, die wir allgemein Systeme nennen werden.

1.2 Systemtheorie - Gegenstand und Motivation

Die Systemtheorie stellt sich die Aufgabe, Systeme unterschiedlicher Komplexität im Kontext mit den Signalen so zu beschreiben, dass man ihr Verhalten analysieren kann. Dazu abstrahiert sie von den technischen Gegebenheiten und bedient sich insbesondere mathematischer Methoden zur Beschreibung von Signalen und Systemen. Auf der Grundlage einer geeigneten mathematischen Beschreibung bedient sich die moderne Systemtheorie auch der Methode der Systemsimulation mittels Computer.

Die Systemtheorie ist in der Lage die verschiedensten technischen Objekte mathematisch zu beschreiben und damit einer Berechnung zugänglich zu machen. Dabei behandelt die Systemtheorie technische Objekte prinzipiell nach dem gleichen Grundschema mit einer nur noch das Wesentliche berücksichtigenden Methode.

Der Anstoß zu dieser Herangehensweise kam etwa 1930 aus der Nachrichten- Übertragungstechnik nach einer Idee von K. Küpfmüller. Der Grundgedanke wird durch das Modell der Übertragung von Signalen von einer Signalquelle zu einer Signalsenke - Bild 1.1- deutlich.

1 © Prof. Dr.-Ing. habil. Sporbert 2011

1 Einführung in die Systemtheorie Signal- und Systemtheorie IE(F) Signal- Übertragungs -/ Signal- Verarbeitungs- quelle System senke Bild 1.1: Signalübertragungskette

Mit dieser Methode ist die Systemtheorie in der Lage, sowohl ein einfaches Frequenzfilter als auch einen Regelkreis einer komplizierten Prozessregelung zu beschreiben. Auf der Grundlage dieser Beschreibung können die Systeme analysiert werden.

Einige Beispiele sollen dies erläutern .

1 Prozessregelung einer Chemieanlage


1 Einführung in die Systemtheorie Signal- und Systemtheorie IE(F) Das Wesentliche: Störung Sollgröße Prozess/ Istgröße Regler Strecke Vergleicher Bild 1.2: Chemieanlage und ihre Darstellung als Regelkreis

2 Mobilfunkverbindung Laufzeit t x

Das Wesentliche: x(t) x(t - tx ) H(s)=e-stx Bild 1.3: Mobilkommunikation und Beschreibung als Laufzeitsystem



3 Stoßdämpfer Das Wesentliche: Masse M1 (PKW) i(t) R ∼ D L ∼ k D k C ∼ M2 u(t) M2 (Rad) Weg x(t) mit M2

2 Signale und Systeme Signal- und Systemtheorie IE(F)

2 Signale und Systeme 2.1 Sign al- und Systembegriff 2.1.1 Signale Signale sind: • zeitlich veränderliche Größen

• Träger der Informationen, die dazu dem Signal „aufgeprägt“ werden, s. z. B. Bild 2.1

uAM t( )

t Bild 2.1: Amplitudenmoduliertes Signal • im mathematischen Sinne: Ein- bzw. Ausgangsvariable von Systemen 2.1.2 Systeme Ein System • im Sinne der Systemtheorie ist ein Modell der technischen Realität • transformiert ein Eingangssignal x(t) in ein Ausgangssignal y(t) • verarbeitet ein Eingangssignal x(t) zu einem Ausgangssignal y(t) • Eine erste Systembeschreibung 1 grafisch: Blockschaltbild Eingangssignal Ausgangssignal (Ursache) (Wirkung) x(t) y(t)

o System o Informationsfluss Bild 2.2: Blockschaltbild


2 Signale und Systeme Signal- und Systemtheorie IE(F) 2 grafisch kurz: Zuordnung x(t) y(t) Das System ordnet dem Eingangssignal x(t) ein Ausgangssignal y(t) zu. 3 Mathematisch : Die durch das System vorgenommene Transformation ist die Anwendung des Operators T auf das Eingangssignal x(t): y(t) = T{ x(t) } • Zielstellung der Systemtheorie Entwicklung von Methoden zur fächerübergreifenden mathematischen Be- schreibung technischer Objekte, auf deren Basis sowohl eine Systemanalyse als auch eine Systemsynthese begründet werden kann. Hauptanwendungsgebiete sind Übertragungstechnik, Filterentwurf, digitale Signalverarbeitung, Funktechnik, Akustik, Regelungstechnik und Messtechnik. 2.2 System- und Signalklassifikation 2.2.1 System klassifikation Die Systembeschreibung erfolgt stets im Kontext mit der Signalbeschreibung. Grundtypen von Signalverarbeitungssystemen: - vgl. AB1 • zeit- und wertkontinuierliche Systeme (analoge Systeme ) • zeitdiskrete Systeme (Abtastsysteme ) • zeit- und wertdiskrete Systeme (digitale Systeme ) 2.2.2 Signalklassifikation 2.2.2.1 Signalklassifikation nach der Art der Signalverarbeitung Grundtypen von Signalen: -vgl. AB2 • zeit- und wertkontinuierliche Signale (analoge Signale ) • zeitdiskrete und wertkontinuierliche Signale (Abtastsignale ) • zeitdiskrete und wertdiskrete Signale (digitale Signale ) 2.2.2.2 Signalklassifikation nach der Beschreibbarkeit des Zeitverlaufs der Signale 1 Zufällige Signale Als Träger von Informationen haben Signale prinzipiell zufälligen Charakter: • Sie können nicht durch ihren Zeitverlauf beschrieben werden; • Der Zeitverlauf kann zwar für einen Beobachtungszeitraum (Vergangenheit) registriert, nicht aber für die Zukunft vorhergesagt werden – Bild 2.3.


2 Signale und Systeme Signal- und Systemtheorie IE(F) u(t)

?

0 t Vergangenheit Zukunft Bild 2.3: Zufälliges Signal Da zufällige Signale nicht durch ihren Zeitverlauf beschrieben werden können, verwendet die Systemtheorie an deren Stelle determinierte Signale als „Ersatz- signale“, sogenannte Modellsignale. 2 Determinierte Signale • Determinierte (vorherbestimmbare) Signale werden durch ihren Zeitverlauf für alle Zeiten eindeutig beschrieben – s. Bild 2.4. Bsp.: u(t) = Û·sinωt u(t) 0 t Vergangenheit Zukunft Bild 2.4: Sinussignal (determiniertes Signal) • Determinierte Signale dienen als „Modellsignale“ für die informationstragenden, zufälligen Signale. • Man verwendet dabei an die jeweilige Aufgabenstellung angepasste Signale - s. Abschnitt 2.3.


2 Signale und Systeme Signal- und Systemtheorie IE(F) 2.3 Determini erte Elementarsignale Determinierte Elementarsignale dienen als theoretische bzw. praktische ( messtechnische) Testsignale für die Untersuchung des Verhaltens von Systemen (Systemanalyse) und dem Vergleich der so ermittelten Systemreaktion des „Modell- systems“ mit dem des realen technischen Objektes. 2.3.1 Elementarsignale zur An alyse des Zeitverhaltens von Systemen

1 Einheitssprung s(t) 1, t ≥ 0 Def.: s(t)= 0, sonst

0 t Bild 2.5: Einheitssprung • Eigenschaften: o o o Multiplikationseigenschaft: • Bem.: Die Multiplikation mit s(t) erzwingt die Kausalität eines Signals, d. h.

x(t)• s(t)=0 für t


• Anwendung: Testsignal zur Analyse des Einschaltverhaltens von Systemen • Bem.: Physikalisch reale sprungförmige Signale erhält man durch Multiplikation mit einem dimensionsbehafteten Faktor. Bsp.: Spannungssprung u j(t) = u j(t) t Bild 2.7: Spannungssprung 2 Normierter Rechteckimpuls

rec(t) 1, 0 ≤ t ≤ ti • Def.: rec(t) = 0, sonst

0 t Bild 2.8: Normierter Rechteckimpuls • Damit gilt auch: • Anwendung: Testsignal zur Analyse des Ein- und Ausschaltverhaltens von Systemen • Bem: Einen dimensionsbehafteten Impuls erhält man durch Multiplikation 5 © Prof. Dr.-Ing. habil. Sporbert 2011

2 Signale und Systeme Signal- und Systemtheorie IE(F) mit einem entsprechenden Faktor. Bsp.: verzögerter Spannungsimpuls -s. Bild 2.9 u(t)

0 to t Bild 2.9: Verzögerter Spannungsimpuls u(t) =

3 Dirac – Impuls (Diracstoß) • Ansatz : Δ(t)

1/ ti A = 0 ti t 0 t Bild 2.10: a) Deltafunktion b) Dirac – Impuls

• Def.: (t) dt 1δ∞−∞

=∫ Bem. : Die Dirac – Funktion ist eine verallgemeinerte Funktion – eine sogenannte Distribution. Sie wird deshalb nicht durch ihren Zeitverlauf sondern durch das obige Integral definiert.


2 Signale und Systeme Signal- und Systemtheorie IE(F) • Eigenschaften

[ ]

t

theoretisches Signal mit einer "Impulsfläche" = Gewicht =1, existend nur bei t=0

Dimension: (t)

ds(t)

dt

Bem.:

( ) d=−∞

=

=

=∫

c

c

c

c

cτ

δ

δ τ τ

• Abtasteigenschaft: x(t) ·δ(t – t0) =

0 t 0 t Bild 2.11: Abtasteigenschaft des Diracstoßes Anwendung: idealer mathematischer Schalter (Schließzeit ts = 0)

s. „Digitale Signalverarbeitung“ - ideale Abtastung von Signalen.


2 Signale und Systeme Signal- und Systemtheorie IE(F) • Ausblendeigenschaft des Diracstoßes

• Führt man an Stelle der konstanten Verschiebungszeit t0 die Variable t ein, erhält man:

2.3.2 Elementarsignale zur Analyse des Frequenzverhaltens von Systemen – die Exponentialsignale • Zur Analyse des Frequenzverhaltens von Systemen verwendet man harmonische (sinus- bzw. cosinusförmige) Signale – vgl. Kapitel 3. • Da lineare Systeme im eingeschwungenen Zustand auf ein Exponentialsignal auch mit einem Exponentialsignal als Wirkung reagieren, verwendet man zur Be- schreibung von harmonischen Signalen eben Exponentialsignale .

ui(t)= Ûi·cos(ωt+φi) lineares ui(t)= Ûo·cos(ωt+φo) System ui(t)= Ûi·exp(jωt+φi) uo(t)= Ûo·exp(jωt+φo) u i(t)= Ûi·e

φi · e jωt uo(t)= Ûo·eφo · e jωt

Bild 2.12: Systemreaktion eines linearen Systems im stationären Zustand


2 Signale und Systeme Signal- und Systemtheorie IE(F) a) Darstellung harmonischer Signale durch ein Exponentialsignal x(t) = X⋅ ejωt mit der komplexen Amplitude X = X⋅e jφ Bild 2.13: Exponentialsignal • somit ist: 1 x(t) = X cos(ωt + φ) = Re{x (t)} 2 x(t) = X sin(ωt + φ) = Im{x (t)}



b) Darstellung harmonischer Funktionen durch zwei Exponentialfunktionen 1 ejωt + e-jωt =

somit: cosωt = jIm Re Bild 2.14: Cosinus – Signal als Summe zweier Exponentialsignale 2 ejωt - e-jωt =

somit: sinωt =

jIm Re Bild 2.15: Sinus – Signal als Summe zweier Exponentialsignale



Lösen Sie nunmehr zur Festigung und Vertief ung der Lehrinhalte die Aufgaben der Übung 1. Wenn Sie eine Aufgabe gelöst haben, können Sie Ihr Ergebnis mit der vorgegebenen Lösung vergleichen und Ih re Lösung gegebenenfalls korrigieren.

2.4 Signalbeschreibung im Frequenzbereich – das Signalspektrum 2.4.1 Das Spektrum eines Signals • Als Signalbeschreibung im Frequenzbereich definiert man in der Physik das Signalspektrum. • Signalspektrum: Intensitätsverteilung als Funktion der Frequenz – Bsp. s. Bild 2.16. Wellenlänge

Intensität Frequenz

Bild 2.16: Zerlegung von weißem Licht durch ein Prisma • Aus mathematischer Sicht entspricht die Zerlegung eines Signals in sein Spektrum der Fouriertransformation der Zeitfunktion. Def.: Das Spektrum eines Signals ist die Fouriertransformierte seiner Zeitfunktion • Ziel der spektralen Zerlegung von Signalen

- Ermittlung der für die Signalübertragung bzw. –verarbeitung erforderlichen Bandbreite – s. z. B. Bild 2.17.

- Ermittlung der erforderlichen Abtastfrequenz bei der Digitalisierung von

Signalen. - Ermittlung des Oberschwingungsanteils in Signalen - Geräuschanalyse

- Signalidentifikation



Bild 2.17: Spektrum eines Audiosignals (aus: Bach, Toccata und Fuge D – Moll)

2.4.2 Das Spektrum ap eriodischer Zeitfunktionen 2.4.2.1 Die Fouriertransformation – Grundgleichungen (s. AB3 ) 1 Fouriertransformierte der Zeitfunktion x(t) das Spektrum X(jf) FT{ x(t) } = = X(jf) 2 Fourierrück transformierte des Spektrums X(jf) die Zeitfunktion x(t) FT -1{X(jf) } = = x(t) F.: Die Foriertransformation ist eine Funktionaltransformation . Sie ordnet einer Zeitfunktion eine Frequenzfunktion (ein Spektrum) zu x(t) X(jf) t f Bild 2.18: Zuordnung Zeitfunktion – Frequenzfunktion


2 Signale und Systeme Signal- und Systemtheorie IE(F) 2.4.2.2 Existenzbedingungen und Rechenregeln der Foriertransformation

a) Existenzbedingungen 1 Konvergenz von : 2 x(t) ist stückweise stetig und hat eine endliche Anzahl Sprünge b) Rechenregeln – s. AB4 Aufgabe: Wiederholen Sie an Hand des Vorlesungsmanuskriptes zur „Höheren Mathematik“ bzw. der Literatur die wichtigsten Rechenregeln (s. AB4) der Fouriertransformation . 2.4.2.3 Eigenschaften des Spektrums aperiodischer Zeitfunktionen

- diskutiert am Beispiel eines Rechteckimpulses x(t) A - ti/2 0 ti/2 t

Bild 2.19 : Rechteckimpuls a) Existenzprüfung

b) Spektrum



• Darstellung des Spektrums: iii

sinf tπ ⋅i i

( f t ) X(jf) = A t ( f t ) s t= Ai

π ⋅ ⋅⋅ π ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

X f( )

f

Bild 2.20: „Komplexes“ Amplitudendichtespektrum des Rechteckimpulses



• Eigenschaften des Spektrums nichtperiodischer Zeitfunktionen

1. Das Spektrum ist eine kontinuierliche Funktion der Frequenz. Die Signalform bestimmt den Verlauf des Spektrums

(i. Bsp.: Rechteck Spaltfunktion).

2. Im Spektrum existieren Anteile für positive und für negative Frequenzen.

3. Das Spektrum hat die Dimension Dim{X(jf)}= Dim{ A⋅ti }=Amplitude/Frequenz ,

4. Es wird deshalb als Amplitudendichtespektrum bezeichnet.

5. Die Signalbandbreite B BS des Rechteckimpulses reicht von SB−∞ ≤ ≤ +∞

und der Impuls benötigt zur Übertragung demzufolge eine sehr große Bandbreite des Übertragungskanals. Aus übertragungstechnischer Sicht ist deshalb ein Rechteckimpuls der ungünstigste Fall zur digitalen Signalübertragung.

6. X(jf) ist prinzipiell eine komplexe Funktion der Frequenz f, darstellbar in der

Form:

a) Betragsspektrum

b) Phasenspektrum Bild 2.21: Amplitudendichtespektrum in Betrags – Phasendarstellung


2 Signale und Systeme Signal- und Systemtheorie IE(F) 2.4.3 Das Spektrum periodischer Zeitfunktionen 2.4.3.1 Grundgleichungen Für periodische Zeitfunktionen ist die Konvergenzbedingung nicht erfüllt – es existiert deshalb keine Fouriertransformierte im klassischen Sinne. Wir wenden deshalb bei periodischen Zeitfunktionen die von Fourier 1822 begründete Fourierreihenentwicklung an. Für diese Reihenentwicklung lassen sich verschiedene Formen angeben – s. AB5 . 1 Komplexe Form der Fourierreihe

00 0

T jn t -jn t

n nn=- 0 0

Zeitfunktion Spektrum

1x(t)= X e X x(t) e

T

∞ ω ω∞

⋅ =∑ ∫ ⋅

mit: ω0 = 2π· f0, T0 = 1/f0, T0: Periodendauer, n: ganzzahlig

x(t)= (1)

jIm

Re Bild 2.22: Exponentialfunktionen mit positiver bzw. negativer Frequenz


2 Signale und Systeme Signal- und Systemtheorie IE(F) 2 Messtechnische Form der Fourierreihe Messtechnisch erfassbar sind nur Signale bei positiven Frequenzen (z. B. mit einem selektiven Voltmeter – s. Bild 2.23). • Aus (1) →

0 01 1

0 1 0 1

j t j tj j-1 0 1

j( t ) j( t )1 0

x(t)=... X e e X X e e ...

=... X (e e ) X ...

=

=

− ω ω− ϕ ϕ

ω +ϕ − ω +ϕ

+ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ +

+ + +

• mit C0 = C1 = C2 =

• n 0 n 0 0n=0n n

Zeitfunktion Spektrum

x(t)= C cos(n t ) C X ,

C 2 X , n > 0

∞ ⋅ ω + ϕ ==

∑n n argX+ϕ =

Selektives Voltmeter Ui UCn Bild 2.23: Messung des Amplitudenspektrums


2 Signale und Systeme Signal- und Systemtheorie IE(F) 2.4.3.2 Eigenschaften des Spektrums – diskutiert am Beispiel einer Rechteckimpulsfolge x(t) 0 t Bild 2.24: Rechteckimpulsfolge 1 Spektrum der komplexen Fourierreihe



• Darstellung des Spektrums: Xn=A⋅ vt⋅si(π⋅n⋅ fo⋅ ti) T0=1ms ti = 0,5ms A = 1V f Bild 2.25: „Komplexe Amplituden“ des Spektrums der komplexen Fourierreihe • Eigenschaften des Spektrums der komplexen Fourierreihe 1 Das Spektrum ist ein diskretes Amplitudenspektrum (auch als Linienspektrum bezeichnet) mit Spektrallinien bei n⋅f0 , f0 = 1/T0 und n=0, ±1, ±2, ...±∞. Es existieren demzufolge Spektrallinien bei positiven und bei negativen Frequenzen. 2 Die Signalform bestimmt den Verlauf des Spektrums.

3 Im Allgemeinen sind die Amplituden Xn komplex, darstellbar in der Form

njn n

-n n -n n

X X e ,

wobei X X und sind.

φ

+ +

= ⋅

= φ = φ


2 Signale und Systeme Signal- und Systemtheorie IE(F) 2 Spektrum der messtechnischen Form der Fourierreihe C0 = X0, Cn = 2/Xn /, Cn a) Amplitudenspektrum φn = arg {Xn} φn b) Phasenspektrum

Bild 2.26: Spektrum der messtechnischen Form der Fourierreihe • Eigenschaften des Spektrums der messtechn. Form der Fourierreihe s. Abschnitt 2.4.4.


2 Signale und Systeme Signal- und Systemtheorie IE(F) 2.4.4 Zusammenfassung

• Das Spektrum nicht periodischer Zeitfunktionen ist ein komplexes Amplituden-dichte spektrum mit Anteilen bei positiven und negativen Frequenzen.

• Das Spektrum periodischer Zeitfunktionen auf der Grundlage der komplexen Form der Fourierreihe ist ein komplexes Amplituden spektrum mit Spektrallinien bei

positiven und negativen Frequenzen n·fo , n=-∞,...-1,0, 1, 2...∞. Es kann aus der Fouriertransformierten des Einzelimpulses folgendermaßen abgeleitet werden: Einzelimpuls: Impulsfolge:

0

0

Tj tj t

n- 0

n

n0

0

0

j ) = f

1T

∫ ∫00

( x(t) e dt X ( ) x(t) e dt

somit X (n f

1n f

T

n f) [ j(f )]

X

X

∞ −−∞

ωω⋅ ⋅

⋅

= ⋅

→ ⋅ = = Bsp.: • Das Spektrum periodischer Zeitfunktionen auf der Grundlage der messtechnischen

Form der Fourierreihe besteht ebenfalls aus einem Amplituden spektrum und einem Phasen spektrum mit Spektrallinien bei nur positiven Frequenzen n·fo , n=0, 1, 2...∞.

Dabei gilt: C0 = X0, Cn = 2/Xn /, φcn= φn n>0. Es kann messtechnisch ermittelt werden. Lösen Sie nunmehr zur Festigung und Vertief ung der Lehrinhalte die Aufgaben der Übung 2. Vergleichen Ihre Ergebni sse mit den vorgegebenen Lösungen und korrigieren Sie gegebenenfalls Ihre Lösungen.


3 Zeitkontinuierliche Systeme Signal- und Systemtheorie IE(F)


3 Zeitkontinuierliche Systeme 3.1 Grundeigenschaften 1 Linearität Wenn x1 (t) y1 (t) und x2 (t) y2 (t) zur Folge haben, dann heißt ein System linear , wenn die Linearkombination ( a1, a2 beliebige Konstanten) a1 ⋅ x1 (t) + a2 ⋅ x2 (t) a1 ⋅ y1 (t) + a2 ⋅ y2 (t) zur Folge hat. Für diese Systeme gilt der Überlagerungssatz, somit auch

n n

i i i ii 1 i=1

a x a y=

⋅ ⋅∑ ∑ oder mit y (t) = T {x (t)}

n n

i i i ii 1 i 1

y(t) T{ a x (t)} aT{x (t)}= =

= =∑ ∑ 2 Zeitinvarianz (time-invariant) Systeme, die auf ein verzögertes Eingangssignal mit dem entsprechenden, ebenfalls verzögerten Ausgangssignal reagieren, nennt man zeitinvariant . x (t –t0) y (t –t0)

Im weiteren werden lineare, zeit invariante Systeme betrachtet und kurz als LTI – Systeme bezeichnet.

3 Kausalität Ein System heißt kausal, wenn es auf ein Eingangssignal, dass für t < t1 Null ist, auch mit einem Ausgangssignal reagiert, welches ebenfalls für t < t1 Null ist. F.: 1 Alle realen Systeme sind kausal . 2 Idealisierte Systeme sind meist akausal (Bsp.: Idealer Tiefpass). 4 Stabilität Ein System heißt stabil, wenn es auf ein beschränktes Eingangsignal )t(x < M1 < ∞ ∀t mit )t(y < M2 < ∞ ∀t , d. h. einem beschränkten Ausgangssignal reagiert (bounded input bounded output) - genannt BIBO - Stabilität.



3.2 Beschreibung von LTI – Systemen

• Problemstellung: Der allgemeine Beschreibungsansatz

y (t) = T { x (t) }

soll im Folgenden so ausgefüllte werden, dass damit die Berechnung von Systemreaktionen möglich wird. 3.2.1 Beschreibung durch Differentialgleichung (DGL) R Bsp.: C Bild 3.1: RC – Glied • Masche M: Lösung: Siehe „Mathematik, Lösung von Differenzialgleichungen“ • Problem: Bei DGL höherer Ordnung wird die Lösung zunehmend schwierig • Lösung: Verfahren der Systemtheorie, die die DGL in algebraische Gleichungen überführen. Dazu wendet man auf die DGL eine sogenannte Funktionaltransformation an. Auf Grund der Konvergenzprobleme der FT wird für die Systemanalyse vorzugsweise die einseitige Laplace – Transformation (LT) angewendet.



3.2.2. Laplace – Transformation 3.2.2.1 Transformationsgesetze

t j t

00

LT{x(t)} x(t) e dt x(te )−σ∞∞ − ω= ∫ ⋅ ⋅ = ⋅∫ 1 Transformation

Def.:

st

0LT{x(t)} x(t) e dt X(s) mit s j

∞ −= ∫ ⋅ = = σ + ω Durch den Konvergenzfaktor e– σt, wird gesichert, dass x (t) . e– σt konvergiert – s. Bild 3.2.

Bild 3.2: Sprungfunktion s(t) . e– σt

2 Rücktransformation x (t) = LT –1 { X(s)}

Methoden: (1) Korrespondenztabelle (2) Partialbruchzerlegung von X(s) und (1) F.: Die Laplace – Transformation ist eine Funktionaltransformation. Sie ordnet einer Zeitfunktion eine Bildfunktion zu. Zeitbereich Bildbereich Bild 3.3: Funktionaltransformation



3 Übungsbeispiele – Korrespondenzen Bsp. (1) Ges.: LT {s (t)} Bsp. (2) Geg.:Kausale Exponentialfunktion x(t) = e-at⋅s(t), Ges.: LT{x(t)} 3.2.2.2 Rechenregeln – zur Wiederholung und Festigung

1 Linearität : Ges. : LT {a1 . x1(t) + a2

. x2 (t)} =

LT {a1 . x1(t) + a2 . x2(t)} =

2 Zeitverschiebung: Bekannt: X(s)=LT{x (t)} Ges.: LT {x (t -to)}

Substitution: t - to = τ → t = τ + to , 1=τddt

d.h. dt = dτ

{ } st0 00

x(t t x(t t ) e dt∞ −− = ∫ − ⋅LT

Grenzen : t1 = t0 , da x (t-t0) = 0 für t < t0 τ1 = t1 – t0 = 0 ∞⇒2t ∞⇒τ2 somit:

0s( t )0

0LT{x(t t )} x( ) e d

∞ − τ+− = ∫ τ ⋅ τ

0

0

sts

0

st s

0

x( ) e e d

e x( ) e d

∞ −− τ

∞− − τ

= τ ⋅ ⋅ τ

= τ ⋅ τ

∫∫

0stLT{x (t } e X(s)−= ⋅0t− Bsp. (3) Ges.: LT{ s(t-ti)}



st

0

d x (t) dLT{ } (x(t)) e dt

dt dt

∞ −= ⋅∫ 3 Differentation im Zeitbereich - ges.:

st t

00

ss x(te ) ex(t d) t∞ ∞ −− ⋅= + ⋅∫'*(*) mit partieller Integration →

0 x(t 0 s X s)) (− ⋅== +−

x(ddt

0t)

LT{ } LT{x(t)}s x( )= ⋅ − −

Bsp. 4): Ges.: LT{δ(t)}

t tst

0 0 0

LT{ x( )d } e x( )d dt∞ − ⎡ ⎤τ τ = τ τ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ 4 Integration im Zeitbereich – ges.:

mit partieller Integration → { }

{ }

tst st

00

t

0

0

1 1x(t) e dt

1x( )d e 0 LT x(t)

s s

somit : LT1

s

0s

x( )d LT x(t)

∞ −∞−= + ⋅ = + ⋅

⎧ ⎫τ τ = ⋅⎨ ⎬

⎛ ⎞τ τ

⎭

− −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎩

∫

∫

∫

t

0

LT{ s( )d }τ τ∫ Bsp. (5):



3.2.3 Übertragungsfunkti on von LTI – Systemen Die Anwendung der LT auf Gl. (1) in 3.2.1 ergibt mit Linearitäts- und Diff.-Satz:

00 i

duLT{CR u (t)} LT {u (t)}

dt⋅ + =

F.: Durch Anwendung der LT auf die DGL von LTI – Systemen erhält man stets eine algebraische Gleichung für den Zusammenhang zwischen Y(s) und X(s). • Def.: Übertragungsfunktion des Systems

Y(s) LT{y(t)}H(s)

X(s) LT{x(t)}= =

Die Übertragungsfunktion ist der Quotient aus Ausgangs- zu Eingangssignal im Bildbereich .

im Bsp.: X(s) = Ui(s) , Y(s) = U0(s)

o

i

U (s)H(s)

U (→ =

s)=



3.2.4 Systemtheoretische Grundaufgaben

Ausgehend von H(s) = Y(s)X(s)

lassen sich drei Grundaufgaben der Systemtheorie

lösen – s. Tafel 3.1. Tafel 3.1

Aufgabentyp Geg. Ges. 1 Systemanalyse 2 Systemsynthese (z. B. Filtersynthese oder Reglersynthese) 3 Messtechnische Aufgabe

X(s), H(s) X(s), Y(s) y(t) Y(s), H(s) ⇒

Y(s) ⇒ y (t) H(s) + Realisierung X(s) ⇒x(t)

3.2.5.1 Symbolische Rechenmethode bei R, L, C – Netzwerken Voraussetzung: Energiespeicher bei t = 0 leer DGL: u(t) = u (t) = i (t) =

LT Spannung ~ Stromänd. Strom~ Spannungsänd. AGL: U(s) = I(s) . R U(s) = s . L . I(s) I(s) = sC . U(s) Def.: Bildimpedanz: Z(s) = U(s) / I(s) Z R = Z L(s) = Z C(s) =



Bsp.: C R a) Netzwerk b) Bildnetzwerk Bild 3.4: CR – Glied Ges.: Übertragungsfunktion H(s)=



1. Zeitverhalten von LTI – Systemen 3.3.1 Systemreaktionen auf Elementarsignale

2. Sprungantwort = Übergangsfunktion ü(t) Kurz: x(t) = s(t) y (t) = ü(t) Berechnung: s(t) ü(t) Bild 3.5: Ermittlung der Übergangsfunktion

1 1ü(t) LT { H(s)}s

−= ⋅

2 Gewichtsfunktion bzw. Stoßantwort h(t) Def.: δ(t) h(t) Bild 3.6: Ermittlung der Gewichtsfunktion F.: Die Gewichtsfunktion ist die LT-1 der Übertragungsfunktion. Die Bezeichnung rührt daher, dass die LT {δ(t)} =1 durch die Übertragungsfunktion „gewichtet“ als Ausgangssignal erscheint. Die Gewichtsfunktion hat doppelte Bedeutung, sie ist:

3. Systemreaktion auf einen Diracstoß 4. Systembeschreibung im Zeitbereich, da h(t)=LT-1{H(s)}



5. Zusammenhänge

s(t)

δ(t)

dsdt

Bild 3.7: Zusammenhänge zwischen Übergangs- und Gewichtsfunktion

6. Allgemeine Systemanalyse 3.3.2.1 Indirekte Lösung über den Bildbereich x(t) y(t) Bild 3.8 : Allgemeine Systemanalyse 1 3.3.2.2 Direkte Lösung im Zeitbereich – das Faltungsintegral

7. Allgemein gilt: y(t) = T {x(t)} 2 Speziell gilt: h(t) = T{δ(t)} 3 4 • Somit:

t

0

( )dδ τ τ∫ dü(t)dtü(t)

h(t)

t

0

h( ) dτ τ∫



• Das Faltungsintegral ist kommutativ vgl. : Y(s) = X(s) ⋅ H(s) = H(s) ⋅ X(s)

y(t) = x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t) • Bsp.1 : Geg. : Ges.: ü(t) Bild 3.9: Ermittlung der Übergangsfunktion mittels Faltungssatz

Rechnerisch: 1. Variable t→τ bzw t→t-τ austauschen 2. Integration ausführen

8. Grenzen: obere τ = t, untere τ = 0 einsetzen

Lösung 1.: y(t) = ü(t) = 1 1t t

T T

1 10 0

1 1e s(t ) d e

T T

τ τ− −⋅ ⋅ − τ τ = ⋅∫ ∫

2.: =

3.: =

LT-1

R

1

tT

11

1h(t) e , T CR

T

−= ⋅ = C



• grafische Lösung s(t) s(t - τ) t τ τ t Bild 3.10: Faltung s(t) ∗ h(t) Bsp.2: Ges.: y(t) = δ(t)∗ x(t) Y(s)= Bsp. 3: Ges.: y(t)= δ(t –t0)∗ x(t) Y(s)= 3.3.2.3 Zusammenfassung - Methoden der Systemanalyse x(t) h(t) y(t) = x(t) ∗ h(t) = LT-1{Y(s)} X(s) H(s) Y(s) = X(s)⋅H(s) Bild 3.11: Methoden der Systemanalyse

Lösen Sie nunmehr zur Festigung und Vertiefung der Lehrinhalte zum Zeitverhalten von LTI-Systemen die Aufgaben der Übung 3. Wenn Sie eine Aufgabe gelöst habe n, können Sie Ihr Ergebnis mit der vorgegebenen Lösung vergleichen und Ihre Lösung gegebenenfalls korrigieren.

h(τ)⋅s( h(t-τ) ü(t) τ)⋅s(t-τ)



3.4. Frequenzverhalten von LTI – Systemen 3.4.1. Darstellungsformen der Übertragungsfunktion 3.4.1.1 Rationale Übertragungsfunktionen

Für viele technische Anwendungsfälle (Netzwerke mit R, L, C; lineare Regler, Feder – Masse – Dämpfungssysteme u.ä.) erhält man DGL n-ter Ordnung als Beschreibung und damit für die Übertragungsfunktion gebrochen rationale Übertragungsfunktionen der Variablen s – s. Gl. (1).

m m 1 1

m m 1 1 0n n 1 1

n n 1 1 0

a s a s ... a s a Z(s)H(s)

b s b s ... b s b N(s)

−− −−⋅ + ⋅ + + += =⋅ + ⋅ + + + (1)

wobei das Nennerpolynom und damit die Übertragungsfunktion n-ter Ordnung ist. NB.: Ist in (1) n > m , so ist H(s) echt gebrochen Ist in (1) n = m , so ist H(s) unecht gebrochen

und lässt sich durch Division überführen in m 1n

aH(s) H (s) ,

b= + wobei H1 (s)

nunmehr echt gebrochen ist. Da sowohl Z(s) als auch N(s) Polynome von s sind, lässt sich H(s) auch in die Produktform (2) überführen – s. Gl. (2).

01 02 0m m

x1 x2 xn n

(s s )(s s )...(s s ) aH(s) K , K

(s s )(s s )...(s s ) b− − −= ⋅ =− − − (2)

Hierbei sind die: soj : Nullstellen von H(s) = Nullstellen von Z(s) sxi : Polstellen von H(s) = Nullstellen von N(s). 3.4.1.2 Reliefdarstellung und Pol-Nulls tellen-Plan der Übertragungsfunktion Als komplexe Funktion der komplexen Variablen s = σ + jω lässt sich H(s) in der Form : darstellen.

j (s)

H( ) = ⋅s H(s) e ϕ

0 x

1

sH(s) , s ,s

1s

T

= → =+ Bsp.: =



Der Betragsverlauf zeigt deutlich die Pole und Nullstellen von H(s).

H

Φ

Bild 3.12: Betrags- und Phasenrelief – Hochpass 1. Ordnung Eine zweidimensionale Darstellung der Übertragungsfunktion erhält man mit der

Darstellung der Pole und Nullstellen (Eigenwerte) von H(s) in der komplexen s-Ebene. Das ist der Pol - Nullstellen – Plan (kurz PN-Plan) von H(s) - s. Bild 3.13.



Bsp.: X : Polstellen : Nullstellen Bem.: die Eigenwerte sind entweder: • reell,ein- oder mehrfach • oder konjugiert komplex Bild 3.13: PN – Plan 3.4.1.3 Pol – Nullstellen – Plan und Stabilität eines Systems Am Beispiel der Übergangsfunktion wollen wir nunmehr den Einfluss der Polstellenlage auf die Stabilität untersuchen. Wir betrachten dazu das DT1-Glied mit der Übertragungsfunktion Die Übergangsfunktion erhält man zu: Fall 1: Zeitkonstante positiv T1 >0 → Pol in der linken s-Halbebene – Bild 3.14. Bild 3.14: PN-Plan und Übergangsfunktion – BIBO-stabiles System

X

jω

σ

s-Ebene

0 x

1

s(s) , s , s

1s

T

= → = =+H

1

sH(s) .

1s

T

= +

1

tTü(t) s(t) e−

= ⋅ ⋅

0 2 40

0.5

1

ü t( )

t

jω σ PN - Plan

X



Fall 2: Zeitkonstante Pol auf der jω-Achse - Bild 3.15. 1T → ∞ ⇒ jω ü(t)

1

Bild 3.15: PN-Plan und Übergangsfunktion – bedingt stabiles System Fall 3: Zeitkonstante negativ T1



3.4.2 Der Übertragungsfaktor 3.4.2.1 Allgemeine Definition Aus der Übertragungsfunktion H(s) erhält man für s → jω (σ = 0) den Übertragungsfaktor H(jω). Der Übergang s → jω stellt für Systeme mit energiefreiem Anfangszustand den Übergang von der Laplace – zur Fouriertransformation dar. Somit erhält man auch:

Def.: Übertragungsfaktor FT{y(t)} Y( j )

H( j )FT{x(t)} X( j )

ωω = = ω Der Übertragungsfaktor spiegelt demzufolge die Veränderung des Spektrums des Eingangssignals durch das System mit dem Übertragungsfaktor H(jω) und damit das Übertragungsverhalten im Frequenzbereich wider:

3.4.2.2 Amplituden- und Phasengang Sind x(t) und y(t) harmonische Signale, die durch ihre komplexen Amplituden

beschrieben werden, so beschreibt der Übertragungsfaktor das Verhältnis der komplexen Amplituden

Damit lässt sich der Betragsverlauf Ŷ( )

H( j )X̂( )

ωω = ω als Amplitudengang und als Phasengang interpretieren und auch messen. Y( ) = ϕϕ − ϕω X

yx jjˆ ˆX( j ) X( ) e , Y( j ) Y( ) e ϕϕω = ω ⋅ ω = ω ⋅

Yy x

X

jj( )

j

ˆ ˆY( j ) Y e Y( )H( j ) e (1)ˆ ˆX( j ) X e X( )

ϕ ϕ −ϕϕ

ω ⋅ ωω = = = ⋅ω ⋅ ω

= ⋅Y( j ) X( j ) H( j )ω ω ω



3.4.2.3 Messung des Übertragungsfaktors Aus (1) erhält man folgende Messanordnung: Mess- objekt

O

i

Û ( )H(j ) =

Û ( )

ωω ω Bild 3.17: Messung von Amplituden- und Phasengang 3.4.2.4 Bodediagramm (Frequenzkennlinie) Insbesondere in der Regelungstechnik ist die Darstellung von

dB

H 20lg H( j ) dB= ω ⋅ ( ) f(log )ϕ ω = ω Magnitude (Betragskennlinie) Phasenkennlinie B o d e d i a g r a m m (Frequenzkennlinie)

bei logarithmisch geteilter Frequenzachse üblich. Diese Darstellung wird insgesamt als Bodediagramm oder Frequenzkennlinie bezeichnet.



0.01 0.1 1 10 100

40

20

0

HdB f( )

f

fg

0.01 0.1 1 10 1000

0.5

1

1.5

2

arg H f( )( )

f

fg

Bild 3.18: Betragskennlinie und Phasenkennlinie des Bodediagramms (Hochpass 1.O.) Für reelle Pol – bzw. Nullstellen erhält man Verläufe, die durch Knickgeraden angenähert werden können (vgl. Ü4 des Tutoriums).

• Signalpegel Def.: Spannungspegel

uBez

Up 20lg dB (dB: Dezibel

U= ⋅ )

mit UBez: Bezugsspannung: Tontechnik:

BezU 775mV (Effektivwert)=#

BezU 1 V (Effektivwert)=# μ HF- Technik:



Aus : OdB

i

UH 20lg dB

U= ⋅ =

erhält man den Ausgangspegel zu: puo

Lösen Sie nunmehr zur Festigung und Vertiefung der Lehrinhalte zum Frequenzverhalten von Systemen die Aufgaben der Übung 4. Wenn Sie eine Aufgabe gelöst habe n, können Sie Ihr Ergebnis mit der vorgegebenen Lösung vergleichen und Ihre Lösung gegebenenfalls korrigieren.

3.5 Zusammenschaltung von Systemen 3.5.1 Berechnungsmethode 1. Zerlegung des Systems in geeignete Teilsysteme

2. Aufstellen von Gleichungen im Bildbereich der Form

Ausgangsgröße i = Eingangsgröße i

. Hi(s)

beginnend mit dem Ausgangssignal des Gesamtsystems (evtl. Hilfssignale einführen).

3. Auflösen nach gesY(s)

H (s)X(s)

= 3.5.2 Grundstrukturen 3.5.2.1 Kettenschaltung H1(s) H2(s) Bild 3.19: Kettenschaltung



3.5.2.2 Parallelschaltung H1(s) H2(s) Bild 3.20: Parallelschaltung 3.5.2.3 System mit Rückführung HV(s) HR(s) Bild 3.21: System mit Rückführung

Lösen Sie nunmehr zur Festigung und Vertiefung der Lehrinhalte zur Zusammenschaltung von Systemen die Aufgaben der Übung 5. Wenn Sie eine Aufgabe gelöst habe n, können Sie Ihr Ergebnis mit der vorgegebenen Lösung vergleichen und Ihre Lösung gegebenenfalls korrigieren.

4 Digitale Signalverarbeitung Signal- und Systemtheorie IE(F)


4 Grundkurs Digitale Signalverarbeitung 4.1 Einführung 4.1.1 Zur historischen Entwicklung Claude Elwood Shannon formulierte 1949 eines der grundlegendsten Theoreme der modernen Nachrichtentechnik – das Abtasttheorem 1). Er stützte sich dabei insbesondere auf Arbeiten von Harry Nyquist 2). Bis dahin außerhalb der Sowjetunion völlig unbekannt, kam Wladimir Alexander Kotelnikov 3) bereits 1933 zu dem gleichen Ergebnis. Die Aussage des Abtasttheorems lautet kurzgefasst: • Ist x(t) ein Signal mit der unteren Grenzfrequenz fmin=0 und der oberen

Grenzfrequenz fmax = fg , so muss das Signal mit der Abtastfrequenz fA >2⋅fg

abgetastet werden, um aus dem so erhaltenen zeitdiskreten Signal das ursprüngliche zeitkontinuierliche Signal ohne Informationsverlust wiedergewinnen zu können. Damit war die Grundlage der digitalen Signalverarbeitung (DSV) geschaffen. Die erste Etappe der Anwendung der DSV könnte man als „Phase der Realisierung von Problemen der analogen Signalverarbeitung mit digitalen Mitteln“ bezeichnen. Mit der Entwicklung der Signalprozessoren mit ihrem Rechenwerk, bestehend aus Parallelmultiplizierer und Akkumulator, konnten Filterung, Spektralanalyse u. a. Probleme bis weit in den Megahertzbereich digital realisiert werden. Zeitgeteilte Übertragungs- bzw. Vemittlungsverfahren revolutionierten Übertragungs- und Vermittlungstechnik durch Einsatz von Verfahren der Signalformcodierung (Waveform Coding). In der zweiten Etappe der Anwendung, die durch das Schlagwort „Parametrische Codierungsverfahren“ beschrieben werden kann, ist man dazu übergegangen, an Stelle der Abtastwerte Signalparameter für einen bestimmten Signalabschnitt zu übertragen und das Signal auf der Gegenseite auf der Grundlage der Parameter zu rekonstruieren. So werden z.B. bei der Sprachübertragung mit der „Linear Predictive Coding“ nur R=2,4 kbit/s an Stelle von 64 kbit/s bei der PCM-Codierung benötigt. Mobiltelefonie nach GSM-Standard ist nur ein Beispiel für die Anwendung komplexer Verfahren der digitalen Signalverarbeitung, ein Beispiel dessen analoge Realisierung überhaupt nicht denkbar wäre.

1) Shannon, C. E.: Communication in the Presence of Noise. Proc. IRE, Vol. 37, No. 1 1949, pp. 10-21. 2) Nyquist, H.:Certain Topics in Telegraph Transmission Theory. Trans.Amer.Inst Electr. Eng., Vol. 47, 1928, pp. 617-644. (Quelle: Wikipedia) 3) Kotelnikov, V. A.: On the transmission capacity of ether and wire in electrocom- munications. Izd. Red. Upr. Svjazi RKKA, 1933. (Quelle: Wikipedia)



4.1.2 Grundlegende Probleme der analogen Signalverarbeitung und DSV

Grundlegende Probleme und Nachteile der analogen Signalverarbeitung • Störanfälligkeit der Systeme, keine Möglichkeit der Erkennung bzw. Korrektur

störungsbedingter Fehler; so lassen sich Knacken und Knistern bei der Wiedergabe analoger Tonträger nicht oder nur zu Lasten der Signalqualität vermindern – nicht aber korrigieren. • Temperatur- und Altersabhängigkeit der Systeme • Reproduzierbarkeit eingeschränkt – in der Fertigung meist Abgleich notwendig • Analoge Schaltungen sind nur beschränkt mikroelektronisch realisierbar.

Vorteile der digitalen Signalverarbeitung • Realisierung „beliebiger“ Algorithmen zur Signalverarbeitung • Erhöhung der Störfestigkeit,

Fehlererkennung und Fehlerkorrektur durch geeignete Codierungen • Reproduzierbarkeit bei beliebiger Genauigkeit (bei allerdings steigendem Aufwand) • kostengünstige mikroelektronische Realisierbarkeit gesamter Systeme • keine Temperatur- und Altersabhängigkeit der Systeme • kein Filterabgleich in der Fertigung notwendig

4.1.3 Hinweise zum Studium Der nachfolgende Teil des Vorlesungsmanuskriptes ist eine Einführung in die digitale Signalverarbeitung. Für tiefere Kenntnisse wird Ihnen die Literatur – z. B. /5/ - empfohlen. 4.2 Abtastung (Zeitdiskretisierung) analoger Signale 4.2.1 Ideale Abtastung

1 Grundstruktur der digitalen Signalverarbeitung - s. AB 11a.

•

2 Abtastvorgang - s. AB 11b.

Die Realisierung eines idealen Abtasters erfolgt durch die Multiplikation des Signals mit einem Dirac – Kamm:

δ =

Im Ergebnis erhält man ein Abtastsignal uA(t) in Form einer gewichteten Folge von Diracstößen:

A A A A

n

u (t) T u(t n T ) (t nT ). (4.2)∞

=−∞= = ⋅ δ −∑

⋅ δ −c A An

(t) T (t nT ). (4.1)∞

=−∞∑



3 Spektrum des Abtastsignals Ausgangspunkt sei ein tiefpassbegrenztes Analogsignal mit einem Spektrum FT{u (t)} = U (jf) – s. AB 11b.

Die Multiplikation des Analogsignals mit dem Diracstoßkamm ergibt:

{ d.h. die Faltung mit dem Spektrum des Dirac-Kammes.

}c cF ( ) ( (= ΔT u(t) t) U( jf f ), 4.3)⋅ δ ∗ NB.1: Spektrum des Dirackammes }{ c c A

n

FT (t) (f ) (f n f ), (4.4)∞

=−∞δ = Δ = δ − ⋅∑

d. h. man erhält eine Folge von Diracfunktionen im Frequenzbereich im Abstand

A

A

1f (4.5)

T=

NB. 2: Faltung mit einer Diracfunktion Für die Faltung des Spektrums U(f) mit δ(f - fA) erhält man Bild 4.1. U(f) δ(f) δ(f-fA) UA(f)

∗ = 0 f 0 fA f 0 fA f Bild 4.1: Faltung eines Spektrums mit einer Diracfunktion Somit ergibt Gleichung (3)

A An

U ( jf ) U( j(f n f )), (4.6)∞

=−∞= − ⋅∑

d.h. die periodische Wiederholung des Spektrums des Analogsignals im Abstand f A - s. AB 11b.



4.2.2 Das Abtasttheorem 1 Die Wirkung der Abtastfrequenz auf das Spektrum des Abtastsignals zeigt AB 11c. Das Spektrum des Abtastsignals ist periodisch mit der Abtastfrequenz. 2 Die Diskussion der möglichen Fälle - s. AB 11c – ergibt die Forderungen:

2f T≥ ≤ d.h. die Abtastfrequenz muss mindestens doppelt so groß sein, wie die höchste Frequenz im Signalspektrum. Bei kleinerer Abtastfrequenz tritt Aliasing und damit eine Verfälschung des Spektrums auf (Fall 3, AB 11c). 4.2.3 Rekonstruktion des Analogsignals Die Rekonstruktion des Analogsignals erhält man im Frequenzbereich – vgl. AB 11d - durch Herausfiltern des Spektrums des Analogsignals mittels Tiefpass mit einer Grenzfrequenz fTP = fA/2 . d.h. U(jf) = HRK(f) · UA (jf) (4.8) Im Zeitbereich betrachtet erhält man aus (7) u(t) = hRK(t) ∗ uA(t) . (4.9) Der Tiefpass führt demzufolge eine Interpolation mittels seiner Gewichtsfunktion aus – vgl. AB 11d. 4.2.4 Reale Abtastung mittels Abtast – und – Halte – Glied (Sample & Hold) Für die praktische Realisierung des Abtastvorganges verwendet man i. d. R. ein Sample-&-Hold-Glied – s. Bild 4.2. Bild 4.2: Abtastung mittels Sample-&-Hold-Glied (Prinzipdarstellung)

A g Af

(4.7) Abtasttheorem

A

A

1

T=f

n⋅TA

u(t) uH(t) ADU xd(n⋅ TA) S&H



Aus systemtheoretischer Sicht lässt sich das Sample-&-Hold-Glied als idealer Abtaster mit nachfolgenden Halteglied mit der Gewichtsfunktion hH(t) darstellen – s. Bild 4.3.

u(t) uA(t) uH(t) δ C(t) h H(t)

H

hH(t) 1/ TA

0 TA t

Bild 4.3: Sample-&-Hold-Glied als idealer Abtaster mit Halteglied Das Ausgangssignal des Sample-&-Hold-Gliedes erhält man entsprechend Bild 4.4 zu:

( )

H A H A A A AAi

A A Ai=-

A A H A

1u (t) u (t) h (t) [ u (nT ) T (t-nT )] [ rec(t)]

T

u (nT ) rec(t nT ) (4.10)

z. B.: u (0) T (t) h (t) u (0) rec(t)

∞=−∞

∞∞

= ∗ = ⋅ δ ∗

= ⋅ −

⋅ δ ∗ = ⋅

∑∑

Bild 4.4: Signale des S&H-Gliedes Fazit: Ein S&H-Glied ist die praktische Realisierung der idealen Abtastung mit

einem nachfolgenden Halteglied, welches für die Übernahme des Signals durch den A/D-Wandler erforderlich ist.

Bei Beachtung des Abtasttheorems – in der praktischen Anwendung in der Form fA >fmax/2 – tritt durch die Abtastung kein Informationsverlust auf.

hH(t) 1/ TA

= 0 TA t

uH(t)

uA(t) uA(0)⋅ TA δ(t)

0 TA t

∗ 0 TA t



4.3 Analog – Digital – und Digital – Analog – Wandlung 4.3.1 Analog – Digital – Wandlung, Quantisierung der Amplituden Im Analog-Digital-Wandler erfolgt zunächst eine Zuordnung der Abtastwerte zu

einer Amplitudenstufe der Quantisiererkennlinie – s. AB 11e – und danach eine Kodierung – z. B. im Zweierkompliment. Durch die Quantisierung der Amplituden tritt nunmehr ein Quantisierungsfehler der Größe – vgl. AB 11e -

Aq Ae(n) u (n) u (n) (4.11)= − auf. Dieser Quantisierungsfehler bewirkt bei z. B. digitalen Messvorrichtungen einen

entsprechenden Messfehler interpretierbar auch als Quantisierungsrauschen (Noise). Die Amplitudenquantisierung lässt sich damit auch durch ein Modell entspr. Bild 4.5

ausdrücken. wertkontinuierliches ∼ wertdiskretes Abtastsignal uA(n) uAq(n) + e(n) Quantisierungsfehler Bild 4.5: Modell der Ampitudenquantisierung Einen quantitativen Ausdruck für die Wirkung der Quantisierung der Amplituden

erhält man mit Hilfe des Signal-Quantisierungsgeräusch-Abstandes (SQNR).

2

10 S SN

N

S eff

N

PDef. : SQNR lg (4.12) mit: P : Signalleistung des Analogsignals

P

P : Rauschleistung

dabei sind: P U /R

P u

= ⋅

== Δ 2 12/ R (Amplitudenfehler im Intervall - u/2, + u/2 gleichverteilt)⋅ Δ Δ

Eingesetzt in Gleichung (4.12) erhält man:

2

2

2 22 2

2

10 2 2 212

1210 12 2 10 2 20 10 3 20 2

44

20 4 77 6 02 6 02 4 77 20

Ieffmax max

I Ieff eff eff

max maxmax

eff max

max

USQNR lg mit u u / s u

u /

U U USQNR lg ( ) lg ( ) lg lg I lg

u uu

U usomit: SQNR lg , I , I , , lg

u U

−= Δ = = ⋅ ⇒Δ= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

= + + ⋅ = ⋅ + −eff

(4.13)



• Jedes Binärzeichen erhöht das SQNR um ca. 6 dB; • Je kleiner die Aussteuerung des A/D-Wandlers ist, umso mehr verringert sich das SQNR.

4.3.2 Digital – Analog – Wandlung und Si-Verzerrung Im Digital-Analog-Wandler wird aus dem Digitalsignal xd(n) ein treppenförmiges Analogsignal uH(t) gebildet – s. Bild 4.6. Aus systemtheoretischer Sicht kann man diesen Vorgang in zwei Schritte zerlegen. Im ersten Schritt erfolgt in einem Decoder die Decodierung der Digitalworte xd(n) in Abtastproben uAq(nTA). Im zweiten Schritt

erfolgt in einem Halteglied mit der Gewichtsfunktion hH(t) die Umformung der Abtastproben uAq(nTA) in bewertete Rechteckimpulse – s. Bild 4.7.

DAU Bild 4.6: Zerlegung eines Digital-Analog-Wandlers in Decoder und Halteglied Bild 4.7: Umformen der decodierten Abtastproben in eine Treppenfunktion Die im Bild 4.7 dargestellte Umwandlung der decodierten Abtastproben in eine Treppenfunktion lässt sich folgendermaßen darstellen:

1

1

H Aq A H HA

H Aq AA

u (t) u (nT ) h (t), mit h (t) rec(t)T

u (t) u (nT ) rec(t) (4.14) T

= ∗ = ⋅ ⇒= ∗ ⋅

xd(n) u Aq(nTA) u

H t) ( hH(t)

H DEC

hH(t) uH(t) 1/ TA

=

uAq(nTA)

∗

0 TA … t 0 TA … t 0 TA … t

uH(t)

... 0 TA ... t



Transformiert man Gleichung (13) in den Frequenzbereich erhält man:

{ } 1H Aq

H A AA A

H AqA

U (jf ) U ( jf ) H( jf ).

fmit : H( jf ) FT h (t) T si( f T ) si( )

T f

f U ( jf ) U ( jf ) si( ) (4.15)

f

= ⋅= = ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ = π ⋅

= ⋅ π ⋅

⇒

Gleichung (14) sagt aus, dass das Halteglied wie ein Tiefpass mit einer Spaltfunktion

als Freqenzgang wirkt – s. Bild 4.8.

1 0.5 0 0.5 10.5

0.63

0.75

0.88

1

H1 f( )

H2 f( )

f

fg

H1 fg( ) 0.984=H2 fg( ) 0.757=

Bild 4.8: Si-Verzerrung durch das Halteglied des D/A-Wandlers a) fA=2,5⋅fg ( ), fA=10⋅fg ( ), Wie groß dabei der Höhenabfall ist, hängt von der gewählten Abtastfrequenz ab. Bild 4.8 zeigt dazu zwei Beispiele mit Abtastfrequenzen von fA=2,5⋅fg bzw. fA=10⋅fg. Hochwertige Akustiksysteme erhalten zur Vermeidung der Si-Verzerrungen ein

Vorfilter mit einem Amplitudengang 1vor AH (f ) / si( f / f )= π ⋅ .



4.4 Beschreibung zeitdiskreter Systeme im Zeitbereich 4.4 Beschreibung zeitdiskreter Systeme im Zeitbereich

4.4.1 Grundstruktur zeitdiskreter Systeme 4.4.1 Grundstruktur zeitdiskreter Systeme

Im Zeitbereich können zeitdiskrete System durch eine Differenzengleichung (ΔGL) Im Zeitbereich können zeitdiskrete System durch eine Differenzengleichung (ΔGL) der Form: der Form:

y(n) = b0⋅x(n) + b1⋅x(n-1) + b2⋅x(n-2) +⋅⋅⋅+ bM⋅x(n-M) (4.16) y(n) = b – a1⋅y(n-1) – a2⋅y(n-2) -⋅⋅⋅ – a2⋅y(n-N-1) - aN⋅y(0) ; M≤N – a0

⋅x(n) + b1⋅x(n-1) + b2⋅x(n-2) +⋅⋅⋅+ bM⋅x(n-M) (4.16) 1⋅y(n-1) – a2⋅y(n-2) -⋅⋅⋅ – a2⋅y(n-N-1) - aN⋅y(0) ; M≤N

mit: x(n) = x(nTA): Element der Eingangsfolge {x(n)} mit: x(n) = x(nT und y(n) = y(nTA): Element der Ausgangsfolge {y(n)} und y(n) = y(nT

A): Element der Eingangsfolge {x(n)} A): Element der Ausgangsfolge {y(n)}

beschrieben werden. beschrieben werden. Mit den Grundelementen entspr. Bild 4.9 lässt sich aus Gleichung (4.16) die Mit den Grundelementen entspr. Bild 4.9 lässt sich aus Gleichung (4.16) die Struktur nach Bild 4.10 entwickeln. Struktur nach Bild 4.10 entwickeln.

x1(n) x • Summierglied x1(n) + x2(n) • Summierglied x1

(n)

1(n) + x2(n)

TA TA TA y(n)

x(n)

x2(n) x2(n) x(n) x(n) • Konstantenmultiplizierer a a⋅x(n) • Konstantenmultiplizierer a a⋅x(n)

x(n) x(n-1) x(n) x(n-1) • Speicher • Speicher TA Bild 4.9: Grundelemente zeitdiskreter Systeme Bild 4.9: Grundelemente zeitdiskreter Systeme

Abtasttakt: TA bM b1 b0 b Abtasttakt: TA

M b1 b0 -aN -a1 -aN -a1

Bild 4.10: Grundstruktur 1 zeitdiskreter Systeme – Darstellung im Zeitbereich Bild 4.10: Grundstruktur 1 zeitdiskreter Systeme – Darstellung im Zeitbereich



4.4.2 Systembeschreibung durch Differenzengleichungen 4.4.2 Systembeschreibung durch Differenzengleichungen x(n) x(n) b1 b0 b1 b0

T y(n) y(n)

A -a1 -a1

Bild 4.11: Zeitdiskretes System Bild 4.11: Zeitdiskretes System • Methode zur Ermittlung der ΔGL: • Methode zur Ermittlung der ΔGL:

Beobachten des Systems vom Ausgang aus und Addition der beiden Signal- Beobachten des Systems vom Ausgang aus und Addition der beiden Signal- ströme am letzten Summierglied. im Bsp: y(n) =

ströme am letzten Summierglied. im Bsp: y(n) =

Die Lösung der Gleichung erhält man durch schrittweise Auswertung für eine bestimmte Eingangsfolge. Die Lösung der Gleichung erhält man durch schrittweise Auswertung für eine bestimmte Eingangsfolge. 4.4.3 Elementarfolgen und ihre Systemreaktionen 4.4.3 Elementarfolgen und ihre Systemreaktionen 1 Stoßfolge Gewichtsfolge 1 Stoßfolge Gewichtsfolge {δ(n)} {h(n)} {δ(n)} {h(n)} ZDS ZDS Bild 4.12.: Zur Definition der Gewichtsfolge Bild 4.12.: Zur Definition der Gewichtsfolge Def.:

Def.: { } }{(n) 1, 0, 0, ... , n 0, 1, 2, ...δ = =



{δ(n)} 1 -1 0 1 2 3

Documents

Signal- und Systemtheoriebps/content/cbt... · 2012. 9. 17. · 2 Signale und Systeme Signal- und Systemtheorie IE(F) • Ausblendeigenschaft des Diracstoßes • Führt man an Stelle