Etwas Signal- und Systemtheorie „for Dummies“ tlange/pdf/Etwas Signal- und SystemtheoriFB Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“ 2 Fachhochschule Merseburg analoge Signale stochastisch

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    1Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie for Dummies

    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    Oh No !!!!

    Etwas Signal- und Systemtheorie

    for Dummies

    Etwas Signal- und Systemtheorie

    for Dummies

    Version 01 - Juli 2002

    Prof. Dr.-Ing. Tatjana LangeFachhochschule MerseburgFB Elektrotechnik

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    2Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie for Dummies

    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    analogeSignale

    stochastisch

    Gegenstand der Betrachtung sind analoge Signale:Gegenstand der Betrachtung sind analoge Signale:

    periodisch

    u(t)

    t

    u(t)

    t

    aperiodisch- einzelner Impuls

    u(t)

    t

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    3Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie for Dummies

    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    ( ) ( )( )( )( )( )

    ............

    72cos08,0

    52cos11,0

    42cos14,0

    22cos28,0

    12cos55,033,0

    0

    0

    0

    0

    0

    +++

    +=

    f

    f

    f

    f

    ftup

    ( )012cos55,0 f+

    Hzt

    fp

    3331

    0 ==

    ( )022cos28,0 f+

    ( )052cos11,0 f

    ( )072cos08,0 f+

    ( )042cos14,0 f

    Spektrum

    1kH

    z

    2kH

    z

    3kH

    z f

    Ak

    mst p 3=

    ( ) ( )tkfAtuk

    kp 00

    2cos =+

    =

    Jede periodische Zeitfunktion kann durch die Summe unendlichvieler Cosinus-Schwingungen unterschiedlicher Amplitude undunter Frequenz ( und Phase) dargestellt werden.

    Die Amplituden der Cosinus-Schwingungen stellt man alsLinien ber der Frequenzachsedar.

    ! diskretes (Linien-)Spektrum

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    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    1kH

    z

    2kH

    z

    3kH

    z f

    Ak

    1kH

    z

    2kH

    z

    3kH

    z

    1kH

    z

    2kH

    z

    3kH

    z f

    1kH

    z

    2kH

    z

    3kH

    z f

    -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

    -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

    -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

    -0,2

    0-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

    T=1mstp=2ms

    T=1mstp=3ms

    T=1mstp=4ms

    T=1mstp=5ms

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    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

    1kH

    z

    2kH

    z

    3kH

    z f

    1/T

    1/tp

    ~ U0T/tp

    T tp

    Erkenntnisse:1. Die Nulldurchgnge der Hllkurve ber den Fourier-Koeffizienten hngen nur von der

    Impulsbreite T, aber nicht von der Periode tp ab.2. Die Frequenz der Grundwelle f0 hngt nur von der Periode tp ab.3. Je grer die Periode tp, um so geringer der Abstand zwischen den Frequenzen der

    Grundwelle und der Oberwellen. Der Abstand zwischen den Linien im Spektrum wirdimmer kleiner.

    4. Mit grer werdender Periode werden die Werte der Fourier-Koeffizienten bzw. dieAmplitude der Hllkurve immer kleiner. Die Form der Hllkurve bleibt jedoch erhalten.

    U0

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    6Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie for Dummies

    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    1kH

    z

    2kH

    z

    3kH

    z f

    1/T

    1/tp

    ~ T/tp

    T tp

    Grenzwertbetrachtung:Strebt die Periode gegen Unendlich (tp ),

    so strebt der Abstand zwischen den Spektrallinien gegen Null (f=(k+1)f0-kf0 0) strebt die Amplitude der Hllkurve gegen Null; die Form der Hllkurve bleib jedoch erhalten !!!

    Damit verwandelt sich das diskrete Linienspektrum in eine kontinuierliche spektrale Dichtefunktion(kurz: spektrale Dichte, Spektrum).Eine gegen Unendlich strebende Periode bedeutet, da nur noch ein einzelner Impuls (oder aperiodischeFunktion) betrachtet wird (die anderen Impulse verschwinden im Unendlichen), der imFrequenzbereich durch die spektrale Dichte beschrieben ist.

    f

    1kH

    z

    2kH

    z

    3kH

    z f

    1/T

    T

    tp tp

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    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    Der Verlauf der spektralen Dichtefunktion gibt Auskunft ber die Verteilung der(unendlich kleinen aber differentiell unterschiedlichen ) Amplituden der unendlichvielen Cosinus-Schwingungen ber die Frequenz. Die Maeinheit ist [V/Hz].Man spricht in diesem Zusammenhang auch von der Amplitudendichte U(f).

    Merke: Die Maeinheit der Fourier-Koeffizienten Ak (fr periodische Signale) ist [V].

    u(t)

    t f

    U0T

    T

    aperiodischeFunktion

    U(f)

    tppu (t)

    t ff0

    U0 Ttp

    T

    [V] [V]

    [V] [V/Hz]

    1. Ein periodischesZeitsignal besitzt eindiskretes Spektrum.

    2. Ein aperiodische Signalbesitzt einkontinuierlichesSpektrum.

    Zusammenfassende Erkenntnis:

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    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    Fouriertransformation - Warum tun wir uns das an ?

    ZLRu1(t) u2(t)

    Induktion verursachtPhasendrehung um 90 !!!

    ( ) ( )tfUtu 001 2cos =( ) ( )

    LfjR

    RtfUtu

    0002 2

    2cos+

    =

    u1(t)

    Das Systemverhalten ist frequenzabhngig.

    Darstellung des komplexenWiderstands in derkomplexen Zahlenebene:

    j

    R

    ZL

    LfLZL == 2

    u2(t)

    u2(t)

    u1(t)

    ( ) ?2 =tu ( ) ( )LjZR

    Rtutu

    += 12

    frequenzabhngiger bertragungsfaktor G(f0)

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    9Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie for Dummies

    Fachhochschule MerseburgFachhochschule MerseburgAllgemein:

    SystemG(f0)

    ( ) ( )tfUtu 001 2cos = ( ) ( ) ( )tffGUtu 0002 2cos =

    periodische nicht-harmonische Signale

    ( ) ( )

    =

    =0

    01 2cosk

    k tkfUtu ( ) ( ) ( ) = tkfkfGUtu k 002 2cosSystemG(kf0)

    periodische harmonische Signale

    aperiodische Signale

    SystemG(f)

    ( ) ( ) dfefUtu ftj+

    = 211 ( ) ( ) ( ) dfefGfUtu ftj+

    = 212

    ( ) ( ) dfefUtu ftj+

    = 222( ) ( ) ( )fGfUfU 12 =

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    10Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie for Dummies

    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    Rechenweg:

    ( ) ( ) ( )fGfUfU 12 =

    u1(t) u2(t)

    U1(f) U2(f)

    G(f)System

    Fouriertransformation Fouriertransformation

    1G(f)

    U1(f)

    U2(f)

    ( ) ( ) ( )fGfUfU 12 =

    Graphische Multiplikation

    !

    1

    2

    3 !!

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    11Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie for Dummies

    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    MeanordnungMeanordnung

    ~ MeobjektMegert, z.B.

    Oszillograph Vektorvoltmeter

    u1(t)=U10cos(2fkt) u2(t)=U20(fk)cos(2fk(t- tk))= U20(fk)cos(2fkt- 2fktk)Cosinus-Generator

    durchstimmbareFrequenz

    U10=const., z.B. 1Vk

    ZLRu1(t) u2(t)

    ( ) ( )fjZRR

    fGL+

    =

    System

    G(f) ? Rechnen

    Messen

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    12Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie for Dummies

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    Merke: Die Beziehung U2(f)=U1(f)G(f) gilt nur fr lineare, zeitinvariante Systeme(Beispiel. elektronischer Verstrker im linearen Arbeitsbereich).

    linearesSystem

    nichtlinearesSystem

    u1(t) u2(t)System

    zeitinvariantesSystem

    nichtzeitinvariantesSystem

    u1(t) u2(t)System

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    13Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie for Dummies

    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    Jetzt etwas Mathematik:Jetzt etwas Mathematik:

    ( ) ( )kk

    kp tkfAtu +=+

    =0

    0

    2cos

    ptf

    10 =

    Fourier-Reihe fr periodische Signale (Funktionen):

    t

    tpu(t)F-01

    ( ) ( ) ( )[ ]+

    =

    +=0

    00 2sin2cosk

    kkp tkfbtkfatu

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    14Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie for Dummies

    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    Komplexe Form der Fourier-Reihe:

    ( )( ) ( )

    tkfj

    C

    jktkfj

    C

    jk

    tkfjtkfj

    kkk

    eeA

    eeA

    eeAtkfA

    k

    k

    k

    k

    kk

    00

    00

    22

    22

    0

    22

    22cos

    ++

    +=

    +=+

    434 21321

    ( ) ( ) +

    =

    +

    =

    =+=k

    tkfjkk

    kkp eCtkfAtu

    020

    0

    2cos

    kjkk e

    AC =

    2

    kjkk e

    AC = 2

    0k

    ( ) ( )00

    0000 coscos

    == CAAC

    ( ) dtetut

    C tkfjt

    t

    pp

    k

    p

    p

    02

    2/

    2/

    1 +

    =F-03

    Berechnung der Koeffizienten:kk CA = 2

    F-02

    { } { } kjkkkk eCCjCC =+= ImRe

    Fr reale { }kk CC Re=gilt:

    0;2 0 == kk CA

    Eulersche Formel

    2cos

    jxjx eex

    + +=

    !

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    15Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie for Dummies

    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    u(t)

    t f

    U0 T

    T

    aperiodischeFunktion

    U(f)

    1/T

    Mit tp erhlt man schlielich eine aperiodische Funktion imZeitbereich und ein kontinuierliches Spektrum im Bildbereich:

    ( ) ( ) dfefUtu ftj+

    = 2

    Das Fourier-Integral ersetzt die Fourier-Reihe:

    ( ) ( ) dtetufU ftj+

    = 2F-04 F-05!

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    16Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie for Dummies

    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    Beispiel frSymmetrie:

    u(t)

    t

    U0

    T

    U(f)

    f

    U T0

    1T

    2T

    3T

    u(t)

    U0

    T1

    T

    f

    Zeitbereich Frequenz- bzw. Bildbereich

    u(t)U0

    tT

    Beachte Symmetrie:

    ( ) ( ) dfefUtu ftj+

    = 2 ( ) ( ) dtetufU ftj+

    = 2

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    17Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie for Dummies

    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    Standardsignale und ihre Spektren (1)Standardsignale und ihre Spektren (1)

    u(t)

    t

    U0

    U0/2

    TH

    U(f)

    fBH

    U0TH

    U0TH/2

    Zeitbereich Spektrum

    HH B

    T1

    U(f)

    f

    U0 .(f-f )2 0

    U0 .(f+f )2 0

    +f0-f0

    u(t)

    t

    tp

    U0

    ( ) ( )tfUtu 00 2cos =

    0

    1

    ft p =

    !

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    18Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie for Dummies

    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    Standardsignale und ihre Spektren (2)Standardsignale und ihre Spektren (2)

    Zeitbereich Spektrum

    u(t)

    t

    U0

    TH

    U(f)

    f

    U T0 H

    1

    HT2

    HT3

    HT

    U(f)

    ff0

    Flche der Ste = f A0 0

    u(t)

    t

    Flche der Ste = A0

    tp

    0

    1

    ft p =

    In der Realitt werden die Dirac-Ste durchschmale Impulse ersetzt.

    ( ) ( )HH fTsiTUfU = 0

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    19Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie for Dummies

    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    Einige wichtige Eigenschaften der FouriertransformationEinige wichtige Eigenschaften der Fouriertransformation

    (a) Wenn und eine zeit- und frequenzunabhngigeKonstante ist, dann gilt:

    ( ) ( )fUtu 11 k

    ( ) ( )fUktuk 11 (b) Wenn und , dann gilt:( ) ( )fUtu 11 ( ) ( )fUtu 22

    ( ) ( ) ( ) ( )fUfUtutu 2121 ++

    (c) Die Flche unter der Frequenzfunktion ist gleich dem Wert derZeitfunktion bei :

    ( )fU( )tu 0=t

    ( ) ( ) ( )dffUutu +

    === 00

    (d) Die Flche unter der Zeitfunktion ist gleich dem Wert derFrequenzfunktion bei :( )fU

    ( )tu0=f

    ( ) ( ) ( )dttuUfU +

    === 00

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    20Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie for Dummies

    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    u(t)

    t

    U0

    U0/2

    TH

    U(f)

    fBH

    U0TH

    U0TH/2

    HH B

    T1

    !

    Wichtige Nherungsbeziehung:

    ( ) ( )( ) ( ) HH

    H

    TUTtufU

    BfUtuU

    ======

    0

    0

    00

    00

    Zur Not kann jedes Signal nherungsweise als ein glockenfrmigerImpuls betrachtet werden.

  • FB Elektrotechnik

    21Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie for Dummies

    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    G(f)

    fBH=50 kHz

    2

    u1(t)

    tTH=1s

    1V

    u1(t)

    tTH=1ms

    2V

    u1(t)

    t

    40 s

    1V

    Beispielaufgabe:Gegeben ist die in der Abbildung dargestelltebertragungsfunktion G(f) eines Tiefpa.

    Skizzieren Sie nherungsweise das Signal am Ausgang desTiefpa fr folgende drei Flle:

    (A) Am Eingang des Tiefpasses wirkt ein dreieckfrmigerImpuls mit der Halbwertsbreite TH=1s und einer

    Amplitude von U0=1 V - siehe Abbildung A.(B) Am Eingang des Tiefpasses wirkt ein glockenfrmiger

    Impuls mit der Halbwertsbreite TH=1ms und einerAmplitude von U0=2 V - siehe Abbildung B.

    (C) Am Eingang des Tiefpasses wirkt eine cosinusformigeSpannung - siehe Abb. C

    Fall (A) Fall (B) Fall (C)

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    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    LsungFall A u1(t)

    tTH=1s

    1V

    1. Schritt: Ermittlung des Spektrums des Eingangssignals (nherungsweise !!!):

    fBH1 MHz

    U1(f=0)1V/MHz

    2. Schritt: (graphische) Multiplikation mit derbertragungsfunktion des Tiefpasses: G(f)

    fBH=50 kHz

    2

    Beachte: Unterschiedliche Mastbe auf denFrequenzachsen.Im Durchlabereich des Tiefpasses ist die spektraleAmplitudendichte des Eingangssignals U(f) 1V/MHz=const.

    U1(f)

    fBH=50 kHz

    U2(f) U2(f=0)2V/MHz3. Schritt: Rcktransformation (nherunsweise):

    1

    3

    u2(t) u2(t=0)0,1V

    TH20s

    Ergebnis:

    2

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    23Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie for Dummies

    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    1. Schritt: Ermittlung des Spektrums des Eingangssignals (nherungsweise !!!):

    2. Schritt: (graphische) Multiplikation mit derbertragungsfunktion des Tiefpasses:

    2Beachte: Unterschiedliche Mastbe der Frequenzachsen.Im Frequenzband des Eingangssignals ist der Verlauf derbertragungsfunktion nahezu konstant.(fr -1kHz

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    24Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie for Dummies

    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    2. Schritt: (graphische) Multiplikation mit derbertragungsfunktion des Tiefpasses: G(f)

    fBH=50 kHz

    2

    3. Schritt: Rcktransformation (nherunsweise):

    1

    3Ergebnis:

    2

    u(t)

    t

    tp

    U0 U(f)

    f

    U0 .(f-f )2 0

    U0 .(f+f )2 0

    +f0-f0tp=40s f0=1/tp=25kHzf0=25kHz

    G(f=25kHz)=1

    U(f)

    f

    U0 .(f-f )2 0

    U0 .(f+f )2 0

    +f0-f0f0=25kHz

    u(t)

    t

    tp

    U0

    tp=40s

    LsungFall C

    Lsungsvariante 1 - regulrer Weg

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    25Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie for Dummies

    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    u1(t)

    t

    tp

    U0

    Zur Erinnerung:Der Wert der bertragungsfunktion G(f) an der Stelle f=fi gibt (definitionsgem) das Verhltniszwischen den Amplituden des cosinusfrmigen Ausgangssignals u2(t)= U20cos(2fit) und descosinusfrmigen Eingangssignals u1(t)= U10cos(2fit) an (=bertragungsfaktor).

    Es gilt also:

    G(f)

    fBH=50 kHz

    2

    G(f=25kHz)=1u1(t)= U10cos(2fit) u2(t)= U20cos(2fit)

    ( )iff

    i U

    UffG

    ===

    10

    20

    In der Aufgabe wirkt auf den Eingang des Systems ein cosinusfrmiges Signal. Am Ausgang mualso wieder ein cosinusfrmiges Signal gleicher Frequenz erscheinen.Dessen Amplitude hngt von der Frquenz ab. In der Aufgabe ergibt sich die Frequenz derCosinus-Schwingung aus der Periode, also f0=1/tp=25kHz.Der Wert der bertragungsfunktion bei f=25kHz ist lt. Skizze gleich G(f=25kHz)=1.Folglich erscheint am Ausgang des Systems das gleiche Signal wie am Eingang !!!

    u2(t)

    t

    tp

    U0

    Lsungsvariante 1 - AbkrzungLsungFall C

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    26Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie for Dummies

    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    Multiplikation eines Signals mit einer Cosinus-FolgeMultiplikation eines Signals mit einer Cosinus-Folge

    zeitlicher Signalverlauf

    uN(t)

    uT(t)

    uM(t)

    UT(f)

    UM(f)

    UN(f)

    f

    f

    f

    t

    t

    t

    Modulation

    Frequenzmultiplex

    Multiplikationim Zeitbereich

    Verschiebungdes Spektrums

    Spektrum

    uN(t) uT(t)

    uM(t)

    Nutzsignal

    Trgersignal

    moduliertesSignal

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    27Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie for Dummies

    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    Multiplikation eines Signals mit einer Abtastfolge - AbtastungMultiplikation eines Signals mit einer Abtastfolge - Abtastung

    uN(t)

    uA(t)

    uD(t)

    UA(f)

    UD(f)

    UN(f)

    f

    f

    f

    t

    t

    t

    Periodifizierung

    Digitalisierung

    periodische Folge

    Multiplikationim Zeitbereich

    Verschiebungdes Spektrums

    Abtasttheorem

    zeitlicher Signalverlauf Spektrum

    uN(t) uA(t)

    uD(t)

    Nutzsignal

    Abtastfolge

    bzw. abgetastetesSignal

    DiskretesSignal

  • FB Elektrotechnik

    28Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie for Dummies

    Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

    u(t) U(f)

    P{u(t)}=up(t) A{U(f)}=Ua(f)

    A{u(t)}=ua(t) P{U(f)}=Up(f)

    Periodifizierung:Periode tp=1/f0

    Periodifizierung:Periode fp=1/t0

    Abtastung:Abtastintervallt0=1/fp

    Abtastung:Abtastintervall f0=1/tp

    Merke: Periodifizierung im Zeitbereich bedeutet Abtastung im Frequenzbereich Abtastung im Zeitbereich bedeutet Periodifizierung im Frequenzbereich

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    tTH=50 s

    U0=2 V

    u (t)

    f

    U(f)

    BH20kHz

    U(f=0)100V/MHz

    2. Schritt:Periodifizierung im Zeitbereich bedeutet Abtastung im Frequenzbereich.Dabei berechnet sich der Abstand zwischen den Abtastnadeln aus der Periode wie folgt:

    kHzst

    fp

    5200

    110 =

    ==

    f

    U(f)

    BH20kHz

    U(f=0)100V/MHz

    5kHz 15kHz

    1. Schritt: Ermittlung des Spektrums der Originalfunktion u(t)

    Ergebnis:

    Beispielaufgabe:Gegeben ist das in der Skizze dargestellte Signal im Zeitbereich.Dieses Signal wird periodifiziert mit einer Periode tp=200s.

    Skizzieren Sie nherungsweise das Spektrum des periodifizierten Signals.

    tTH=50 s

    U0=2 V

    u (t)

    Lsung:

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