Zeitgerüste, chronologische Abbildungen,chronologische Relatonen, (strikte)

Reduktionsformen, Benotungsmaßstäbe,Expertisefunktionen, Reduktionen &

Ereignistransformationen

I. Albrecht1

1Institut für AlgebraTU Dresden

28. April 2011

Vorwort

[13], Abbildung 5.8, Seite 115.

Vorwort

[13], Abbildung 8.33, Seite 205.

Abriss

Zur ZeitstrukturZeitgerüsteGliederungen

Zur MusikstrukturZu InterpretationenZu Reduktionen

Abriss

Zur ZeitstrukturZeitgerüsteGliederungen

Zur MusikstrukturZu InterpretationenZu Reduktionen

Zeitgerüst

DefinitionEin Zeitgerüst ist ein Paar (T ,χ), so dass

I T eine endliche Menge ist, deren Elemente Träger desZeitgerüsts heißen.

I χ ⊆ T ×T eine binäre Relation auf T ist, genannt dieChronologie des Zeitgerüsts.

I χ transitiv ist, d.h. ∀(x ,y),(y ,z) ∈ χ : (x ,z) ∈ χ

I χ asymmetrisch ist, d.h. ∀(x ,y) ∈ χ : (y ,x) /∈ χ

Zeitgerüst

DefinitionEin Zeitgerüst ist ein Paar (T ,χ), so dass

I T eine endliche Menge ist, deren Elemente Träger desZeitgerüsts heißen.

I χ ⊆ T ×T eine binäre Relation auf T ist, genannt dieChronologie des Zeitgerüsts.

I χ transitiv ist, d.h. ∀(x ,y),(y ,z) ∈ χ : (x ,z) ∈ χ

I χ asymmetrisch ist, d.h. ∀(x ,y) ∈ χ : (y ,x) /∈ χ

Zeitgerüst

DefinitionEin Zeitgerüst ist ein Paar (T ,χ), so dass

I T eine endliche Menge ist, deren Elemente Träger desZeitgerüsts heißen.

I χ ⊆ T ×T eine binäre Relation auf T ist, genannt dieChronologie des Zeitgerüsts.

I χ transitiv ist, d.h. ∀(x ,y),(y ,z) ∈ χ : (x ,z) ∈ χ

I χ asymmetrisch ist, d.h. ∀(x ,y) ∈ χ : (y ,x) /∈ χ

Zeitgerüst

DefinitionEin Zeitgerüst ist ein Paar (T ,χ), so dass

I T eine endliche Menge ist, deren Elemente Träger desZeitgerüsts heißen.

I χ ⊆ T ×T eine binäre Relation auf T ist, genannt dieChronologie des Zeitgerüsts.

I χ transitiv ist, d.h. ∀(x ,y),(y ,z) ∈ χ : (x ,z) ∈ χ

I χ asymmetrisch ist, d.h. ∀(x ,y) ∈ χ : (y ,x) /∈ χ

Zeitgerüst

DefinitionEin Zeitgerüst ist ein Paar (T ,χ), so dass

I T eine endliche Menge ist, deren Elemente Träger desZeitgerüsts heißen.

I χ ⊆ T ×T eine binäre Relation auf T ist, genannt dieChronologie des Zeitgerüsts.

I χ transitiv ist, d.h. ∀(x ,y),(y ,z) ∈ χ : (x ,z) ∈ χ

I χ asymmetrisch ist, d.h. ∀(x ,y) ∈ χ : (y ,x) /∈ χ

Beispiel

Chronologische Abbildung

DefinitionEine chronologische Abbildung zwischen Zeitgerüsten(T (1),χ(1)) und (T (2),χ(2)) ist eine Abbildung ϕ : T (1)→ T (2), sodass

I ϕ eine surjektive Abbildung ist

I ϕ ist schwach-monoton, d.h. ∀(x (1),y (1)) ∈χ(1) : (ϕ(x (1)),ϕ(y (1))) ∈ χ(2)∨ϕ(x (1)) = ϕ(y (1))

I ∀(x (2),y (2)) ∈ T (2)×T (2) : ϕ−1(x (2))×ϕ−1(y (2))⊆ χ(1)⇔(x (2),y (2)) ∈ χ(2)

Chronologische Abbildung

DefinitionEine chronologische Abbildung zwischen Zeitgerüsten(T (1),χ(1)) und (T (2),χ(2)) ist eine Abbildung ϕ : T (1)→ T (2), sodass

I ϕ eine surjektive Abbildung ist

I ϕ ist schwach-monoton, d.h. ∀(x (1),y (1)) ∈χ(1) : (ϕ(x (1)),ϕ(y (1))) ∈ χ(2)∨ϕ(x (1)) = ϕ(y (1))

I ∀(x (2),y (2)) ∈ T (2)×T (2) : ϕ−1(x (2))×ϕ−1(y (2))⊆ χ(1)⇔(x (2),y (2)) ∈ χ(2)

Chronologische Abbildung

DefinitionEine chronologische Abbildung zwischen Zeitgerüsten(T (1),χ(1)) und (T (2),χ(2)) ist eine Abbildung ϕ : T (1)→ T (2), sodass

I ϕ eine surjektive Abbildung ist

I ϕ ist schwach-monoton, d.h. ∀(x (1),y (1)) ∈χ(1) : (ϕ(x (1)),ϕ(y (1))) ∈ χ(2)∨ϕ(x (1)) = ϕ(y (1))

I ∀(x (2),y (2)) ∈ T (2)×T (2) : ϕ−1(x (2))×ϕ−1(y (2))⊆ χ(1)⇔(x (2),y (2)) ∈ χ(2)

Chronologische Abbildung

DefinitionEine chronologische Abbildung zwischen Zeitgerüsten(T (1),χ(1)) und (T (2),χ(2)) ist eine Abbildung ϕ : T (1)→ T (2), sodass

I ϕ eine surjektive Abbildung ist

I ϕ ist schwach-monoton, d.h. ∀(x (1),y (1)) ∈χ(1) : (ϕ(x (1)),ϕ(y (1))) ∈ χ(2)∨ϕ(x (1)) = ϕ(y (1))

I ∀(x (2),y (2)) ∈ T (2)×T (2) : ϕ−1(x (2))×ϕ−1(y (2))⊆ χ(1)⇔(x (2),y (2)) ∈ χ(2)

Beispiel

Abriss

Zur ZeitstrukturZeitgerüsteGliederungen

Zur MusikstrukturZu InterpretationenZu Reduktionen

Gliederung

Definitionγ ⊆ 2T (1)

heißt γ Gliederung des Zeitgerüsts (T (1),χ(1)), falls es

I ein Zeitgerüst (T (2),χ(2))

I und eine chronologische Abbildung ϕ : T (1)→ T (2) gibt,

I mit γ = eq(kerϕ).

Gliederung

Definitionγ ⊆ 2T (1)

heißt γ Gliederung des Zeitgerüsts (T (1),χ(1)), falls es

I ein Zeitgerüst (T (2),χ(2))

I und eine chronologische Abbildung ϕ : T (1)→ T (2) gibt,

I mit γ = eq(kerϕ).

Gliederung

Definitionγ ⊆ 2T (1)

heißt γ Gliederung des Zeitgerüsts (T (1),χ(1)), falls es

I ein Zeitgerüst (T (2),χ(2))

I und eine chronologische Abbildung ϕ : T (1)→ T (2) gibt,

I mit γ = eq(kerϕ).

Gliederung

Definitionγ ⊆ 2T (1)

heißt γ Gliederung des Zeitgerüsts (T (1),χ(1)), falls es

I ein Zeitgerüst (T (2),χ(2))

I und eine chronologische Abbildung ϕ : T (1)→ T (2) gibt,

I mit γ = eq(kerϕ).

Untergliedertes Zeitgerüst

DefinitionEin Tripel (T ,χ,γ) heißt untergliedertes Zeitgerüst, falls

I (T ,χ) ein Zeitgerüst und

I γ eine Gliederung des Zeitgerüsts (T ,χ) ist

Untergliedertes Zeitgerüst

DefinitionEin Tripel (T ,χ,γ) heißt untergliedertes Zeitgerüst, falls

I (T ,χ) ein Zeitgerüst und

I γ eine Gliederung des Zeitgerüsts (T ,χ) ist

Untergliedertes Zeitgerüst

DefinitionEin Tripel (T ,χ,γ) heißt untergliedertes Zeitgerüst, falls

I (T ,χ) ein Zeitgerüst und

I γ eine Gliederung des Zeitgerüsts (T ,χ) ist

Chronologische Relation

DefinitionSeien (T (1),χ(1),γ(1)) und (T (2),χ(2),γ(2)) untergliederteZeitgerüste. Ein Paar (Φ,Ψ) heißt dann chronologische Relationzwischen untergliederten Zeitgerüsten, falls

I Φ: γ(1)→ γ(2) ist surjektiv.

I Ψ: γ(1)→ 2T (1)×T (2)

I ∀T (1)G ∈ γ(1) : Ψ(T (1)

G )⊆ T (1)G ×Φ(T (1)

G ) ist binäre Relation.

I ∀T (1)G1 ,T

(1)G2 ∈ γ(1) : T (1)

G1 ×T (1)G2 ⊆ χ(1) ⇒ Φ(T (1)

G1 ) =

Φ(T (1)G2 ) ∨ Φ(T (1)

G1 )×Φ(T (1)G2 )⊆ χ(2)

I ∀T (2)G1 ,T

(2)G2 ∈ γ(2) :⋃

Φ−1(T (2)G1 ) ×

⋃Φ−1(T (2)

G2 ) ⊆ χ(1) ⇔ T (2)G1 ×T (2)

G2 ⊆ χ(2)

Chronologische Relation

DefinitionSeien (T (1),χ(1),γ(1)) und (T (2),χ(2),γ(2)) untergliederteZeitgerüste. Ein Paar (Φ,Ψ) heißt dann chronologische Relationzwischen untergliederten Zeitgerüsten, falls

I Φ: γ(1)→ γ(2) ist surjektiv.

I Ψ: γ(1)→ 2T (1)×T (2)

I ∀T (1)G ∈ γ(1) : Ψ(T (1)

G )⊆ T (1)G ×Φ(T (1)

G ) ist binäre Relation.

I ∀T (1)G1 ,T

(1)G2 ∈ γ(1) : T (1)

G1 ×T (1)G2 ⊆ χ(1) ⇒ Φ(T (1)

G1 ) =

Φ(T (1)G2 ) ∨ Φ(T (1)

G1 )×Φ(T (1)G2 )⊆ χ(2)

I ∀T (2)G1 ,T

(2)G2 ∈ γ(2) :⋃

Φ−1(T (2)G1 ) ×

⋃Φ−1(T (2)

G2 ) ⊆ χ(1) ⇔ T (2)G1 ×T (2)

G2 ⊆ χ(2)

Chronologische Relation

DefinitionSeien (T (1),χ(1),γ(1)) und (T (2),χ(2),γ(2)) untergliederteZeitgerüste. Ein Paar (Φ,Ψ) heißt dann chronologische Relationzwischen untergliederten Zeitgerüsten, falls

I Φ: γ(1)→ γ(2) ist surjektiv.

I Ψ: γ(1)→ 2T (1)×T (2)

I ∀T (1)G ∈ γ(1) : Ψ(T (1)

G )⊆ T (1)G ×Φ(T (1)

G ) ist binäre Relation.

I ∀T (1)G1 ,T

(1)G2 ∈ γ(1) : T (1)

G1 ×T (1)G2 ⊆ χ(1) ⇒ Φ(T (1)

G1 ) =

Φ(T (1)G2 ) ∨ Φ(T (1)

G1 )×Φ(T (1)G2 )⊆ χ(2)

I ∀T (2)G1 ,T

(2)G2 ∈ γ(2) :⋃

Φ−1(T (2)G1 ) ×

⋃Φ−1(T (2)

G2 ) ⊆ χ(1) ⇔ T (2)G1 ×T (2)

G2 ⊆ χ(2)

Chronologische Relation

DefinitionSeien (T (1),χ(1),γ(1)) und (T (2),χ(2),γ(2)) untergliederteZeitgerüste. Ein Paar (Φ,Ψ) heißt dann chronologische Relationzwischen untergliederten Zeitgerüsten, falls

I Φ: γ(1)→ γ(2) ist surjektiv.

I Ψ: γ(1)→ 2T (1)×T (2)

I ∀T (1)G ∈ γ(1) : Ψ(T (1)

G )⊆ T (1)G ×Φ(T (1)

G ) ist binäre Relation.

I ∀T (1)G1 ,T

(1)G2 ∈ γ(1) : T (1)

G1 ×T (1)G2 ⊆ χ(1) ⇒ Φ(T (1)

G1 ) =

Φ(T (1)G2 ) ∨ Φ(T (1)

G1 )×Φ(T (1)G2 )⊆ χ(2)

I ∀T (2)G1 ,T

(2)G2 ∈ γ(2) :⋃

Φ−1(T (2)G1 ) ×

⋃Φ−1(T (2)

G2 ) ⊆ χ(1) ⇔ T (2)G1 ×T (2)

G2 ⊆ χ(2)

Chronologische Relation

DefinitionSeien (T (1),χ(1),γ(1)) und (T (2),χ(2),γ(2)) untergliederteZeitgerüste. Ein Paar (Φ,Ψ) heißt dann chronologische Relationzwischen untergliederten Zeitgerüsten, falls

I Φ: γ(1)→ γ(2) ist surjektiv.

I Ψ: γ(1)→ 2T (1)×T (2)

I ∀T (1)G ∈ γ(1) : Ψ(T (1)

G )⊆ T (1)G ×Φ(T (1)

G ) ist binäre Relation.

I ∀T (1)G1 ,T

(1)G2 ∈ γ(1) : T (1)

G1 ×T (1)G2 ⊆ χ(1) ⇒ Φ(T (1)

G1 ) =

Φ(T (1)G2 ) ∨ Φ(T (1)

G1 )×Φ(T (1)G2 )⊆ χ(2)

I ∀T (2)G1 ,T

(2)G2 ∈ γ(2) :⋃

Φ−1(T (2)G1 ) ×

⋃Φ−1(T (2)

G2 ) ⊆ χ(1) ⇔ T (2)G1 ×T (2)

G2 ⊆ χ(2)

Chronologische Relation

DefinitionSeien (T (1),χ(1),γ(1)) und (T (2),χ(2),γ(2)) untergliederteZeitgerüste. Ein Paar (Φ,Ψ) heißt dann chronologische Relationzwischen untergliederten Zeitgerüsten, falls

I Φ: γ(1)→ γ(2) ist surjektiv.

I Ψ: γ(1)→ 2T (1)×T (2)

I ∀T (1)G ∈ γ(1) : Ψ(T (1)

G )⊆ T (1)G ×Φ(T (1)

G ) ist binäre Relation.

I ∀T (1)G1 ,T

(1)G2 ∈ γ(1) : T (1)

G1 ×T (1)G2 ⊆ χ(1) ⇒ Φ(T (1)

G1 ) =

Φ(T (1)G2 ) ∨ Φ(T (1)

G1 )×Φ(T (1)G2 )⊆ χ(2)

I ∀T (2)G1 ,T

(2)G2 ∈ γ(2) :⋃

Φ−1(T (2)G1 ) ×

⋃Φ−1(T (2)

G2 ) ⊆ χ(1) ⇔ T (2)G1 ×T (2)

G2 ⊆ χ(2)

Beispiel

Abriss

Zur ZeitstrukturZeitgerüsteGliederungen

Zur MusikstrukturZu InterpretationenZu Reduktionen

Interpretationsform

DefinitionSei M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischerEreignisse. Ein Tripel (S ,G , i) heißt dann Interpretationsform,falls

I S ∈ Ob(M ) eine Theorie musikalischer Ereignisse

I G ∈ Ob(Z ) ein Zeitgerüst

I i : Z (G )→M(S) eine Abbildung von Mengen – genanntBeschriftung – ist.

Interpretationsform

DefinitionSei M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischerEreignisse. Ein Tripel (S ,G , i) heißt dann Interpretationsform,falls

I S ∈ Ob(M ) eine Theorie musikalischer Ereignisse

I G ∈ Ob(Z ) ein Zeitgerüst

I i : Z (G )→M(S) eine Abbildung von Mengen – genanntBeschriftung – ist.

Interpretationsform

DefinitionSei M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischerEreignisse. Ein Tripel (S ,G , i) heißt dann Interpretationsform,falls

I S ∈ Ob(M ) eine Theorie musikalischer Ereignisse

I G ∈ Ob(Z ) ein Zeitgerüst

I i : Z (G )→M(S) eine Abbildung von Mengen – genanntBeschriftung – ist.

Interpretationsform

DefinitionSei M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischerEreignisse. Ein Tripel (S ,G , i) heißt dann Interpretationsform,falls

I S ∈ Ob(M ) eine Theorie musikalischer Ereignisse

I G ∈ Ob(Z ) ein Zeitgerüst

I i : Z (G )→M(S) eine Abbildung von Mengen – genanntBeschriftung – ist.

Beispiel

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let ring

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¤

Morphismen zw. Interpretationsformen

DefinitionSeien (S (1),G (1), i (1)) und (S (2),G (2), i (2)) Interpretationsformenmit G (1) = (T (1),χ(1)) und G (2) = (T (2),χ(2)). Ein Paar (σ ,ϕ)heißt Morphismus zwischen Interpretationsformen, falls

I ϕ ∈Z (G (1),G (2))

I σ ∈M (S (1),S (2))

I im(i (1))⊆ def(M(σ))

Morphismen zw. Interpretationsformen

DefinitionSeien (S (1),G (1), i (1)) und (S (2),G (2), i (2)) Interpretationsformenmit G (1) = (T (1),χ(1)) und G (2) = (T (2),χ(2)). Ein Paar (σ ,ϕ)heißt Morphismus zwischen Interpretationsformen, falls

I ϕ ∈Z (G (1),G (2))

I σ ∈M (S (1),S (2))

I im(i (1))⊆ def(M(σ))

Morphismen zw. Interpretationsformen

DefinitionSeien (S (1),G (1), i (1)) und (S (2),G (2), i (2)) Interpretationsformenmit G (1) = (T (1),χ(1)) und G (2) = (T (2),χ(2)). Ein Paar (σ ,ϕ)heißt Morphismus zwischen Interpretationsformen, falls

I ϕ ∈Z (G (1),G (2))

I σ ∈M (S (1),S (2))

I im(i (1))⊆ def(M(σ))

Morphismen zw. Interpretationsformen

DefinitionSeien (S (1),G (1), i (1)) und (S (2),G (2), i (2)) Interpretationsformenmit G (1) = (T (1),χ(1)) und G (2) = (T (2),χ(2)). Ein Paar (σ ,ϕ)heißt Morphismus zwischen Interpretationsformen, falls

I ϕ ∈Z (G (1),G (2))

I σ ∈M (S (1),S (2))

I im(i (1))⊆ def(M(σ))

Untergliederte Interpretationsform

DefinitionEin Tupel (S ,G , i ,γ) heißt untergliederte Interpretationsform,falls

I (S ,G , i) eine Interpretationsform ist

I γ eine Gliederung des Zeitgerüsts G ist

Untergliederte Interpretationsform

DefinitionEin Tupel (S ,G , i ,γ) heißt untergliederte Interpretationsform,falls

I (S ,G , i) eine Interpretationsform ist

I γ eine Gliederung des Zeitgerüsts G ist

Untergliederte Interpretationsform

DefinitionEin Tupel (S ,G , i ,γ) heißt untergliederte Interpretationsform,falls

I (S ,G , i) eine Interpretationsform ist

I γ eine Gliederung des Zeitgerüsts G ist

Beispiel

Relation zw. untergliederten Interpretationsformen

DefinitionDas Paar (Φ,P) heißt Relation zwischen den untergliedertenInterpretationsformen (S (1),G (1), i (1),γ(1)) und(S (2),G (2), i (2),γ(2)), falls

I (Φ,P) eine chronologische Relation zwischen (T (1),χ(1),γ(1))und (T (2),χ(2),γ(2)) ist

I (Φ,P) ist total, d.h.

∀T (1)G ∈ γ

(1) ∀t(1) ∈ T (1)G ∃t

(2) ∈ Φ(T (1)G ) : (t(1), t(2)) ∈Ψ(T (1)

G )

∀t(2) ∈ T (2) ∃T (1)G ∈ γ(1), t(1) ∈ T (1)

G : (t(1), t(2)) ∈Ψ(T (1)G )

Relation zw. untergliederten Interpretationsformen

DefinitionDas Paar (Φ,P) heißt Relation zwischen den untergliedertenInterpretationsformen (S (1),G (1), i (1),γ(1)) und(S (2),G (2), i (2),γ(2)), falls

I (Φ,P) eine chronologische Relation zwischen (T (1),χ(1),γ(1))und (T (2),χ(2),γ(2)) ist

I (Φ,P) ist total, d.h.

∀T (1)G ∈ γ

(1) ∀t(1) ∈ T (1)G ∃t

(2) ∈ Φ(T (1)G ) : (t(1), t(2)) ∈Ψ(T (1)

G )

∀t(2) ∈ T (2) ∃T (1)G ∈ γ(1), t(1) ∈ T (1)

G : (t(1), t(2)) ∈Ψ(T (1)G )

Relation zw. untergliederten Interpretationsformen

DefinitionDas Paar (Φ,P) heißt Relation zwischen den untergliedertenInterpretationsformen (S (1),G (1), i (1),γ(1)) und(S (2),G (2), i (2),γ(2)), falls

I (Φ,P) eine chronologische Relation zwischen (T (1),χ(1),γ(1))und (T (2),χ(2),γ(2)) ist

I (Φ,P) ist total, d.h.

∀T (1)G ∈ γ

(1) ∀t(1) ∈ T (1)G ∃t

(2) ∈ Φ(T (1)G ) : (t(1), t(2)) ∈Ψ(T (1)

G )

∀t(2) ∈ T (2) ∃T (1)G ∈ γ(1), t(1) ∈ T (1)

G : (t(1), t(2)) ∈Ψ(T (1)G )

Beispiel

Abriss

Zur ZeitstrukturZeitgerüsteGliederungen

Zur MusikstrukturZu InterpretationenZu Reduktionen

Strikte Reduktionsform

DefinitionSei (S ,G , i) eine Interpretationsform mit G = (T ,χ) und n ∈ N.Eine strikte Reduktionsform von (S ,G , i) ist ein n-Tupel(ρ(j))1≤j≤n mit

I ρ(j) = (ϕ(j),σ)Morphismus zw. (S ,G (j), i (j)) und (S ,G (j+1), i (j+1))(S ,G (1), i (1)) = (S ,G , i), G (j+1) = (T (j+1),χ(j+1)), σ = M (S)

I ρj wählt dominierendes Ereignis aus,∀t(j+1) ∈ T (j+1) : ∃t(j) ∈ ϕ(j)−1

(t(j+1)) :i (j+1)(t(j+1)) = i (j)(t(j))

Strikte Reduktionsform

DefinitionSei (S ,G , i) eine Interpretationsform mit G = (T ,χ) und n ∈ N.Eine strikte Reduktionsform von (S ,G , i) ist ein n-Tupel(ρ(j))1≤j≤n mit

I ρ(j) = (ϕ(j),σ)Morphismus zw. (S ,G (j), i (j)) und (S ,G (j+1), i (j+1))(S ,G (1), i (1)) = (S ,G , i), G (j+1) = (T (j+1),χ(j+1)), σ = M (S)

I ρj wählt dominierendes Ereignis aus,∀t(j+1) ∈ T (j+1) : ∃t(j) ∈ ϕ(j)−1

(t(j+1)) :i (j+1)(t(j+1)) = i (j)(t(j))

Strikte Reduktionsform

DefinitionSei (S ,G , i) eine Interpretationsform mit G = (T ,χ) und n ∈ N.Eine strikte Reduktionsform von (S ,G , i) ist ein n-Tupel(ρ(j))1≤j≤n mit

I ρ(j) = (ϕ(j),σ)Morphismus zw. (S ,G (j), i (j)) und (S ,G (j+1), i (j+1))(S ,G (1), i (1)) = (S ,G , i), G (j+1) = (T (j+1),χ(j+1)), σ = M (S)

I ρj wählt dominierendes Ereignis aus,∀t(j+1) ∈ T (j+1) : ∃t(j) ∈ ϕ(j)−1

(t(j+1)) :i (j+1)(t(j+1)) = i (j)(t(j))

Relative Reduktionsform

DefinitionSei (S ,G , i) eine Interpretationsform mit G = (T ,χ),γ eine Gliederung von G und n ∈ N.Eine relative Reduktionsform von (S ,G , i) ist ein Tupel(R(j))1≤j≤n mit

I (R(j)) = (Φ(j),P(j)) ist eine Relation zwischen denuntergliederten Interpretationsformen (S ,G (j), i (j),γ(j)) und(S ,G (j+1), i (j+1),γ(j+1)), mit (S ,G (1), i (1),γ(1)) = (S ,G , i ,γ).

I #T (j+1) ≤#T (j) mit T (1) = T .

Relative Reduktionsform

DefinitionSei (S ,G , i) eine Interpretationsform mit G = (T ,χ),γ eine Gliederung von G und n ∈ N.Eine relative Reduktionsform von (S ,G , i) ist ein Tupel(R(j))1≤j≤n mit

I (R(j)) = (Φ(j),P(j)) ist eine Relation zwischen denuntergliederten Interpretationsformen (S ,G (j), i (j),γ(j)) und(S ,G (j+1), i (j+1),γ(j+1)), mit (S ,G (1), i (1),γ(1)) = (S ,G , i ,γ).

I #T (j+1) ≤#T (j) mit T (1) = T .

Relative Reduktionsform

DefinitionSei (S ,G , i) eine Interpretationsform mit G = (T ,χ),γ eine Gliederung von G und n ∈ N.Eine relative Reduktionsform von (S ,G , i) ist ein Tupel(R(j))1≤j≤n mit

I (R(j)) = (Φ(j),P(j)) ist eine Relation zwischen denuntergliederten Interpretationsformen (S ,G (j), i (j),γ(j)) und(S ,G (j+1), i (j+1),γ(j+1)), mit (S ,G (1), i (1),γ(1)) = (S ,G , i ,γ).

I #T (j+1) ≤#T (j) mit T (1) = T .

Beispiel

Benotungsmaßstab

DefinitionEin Tripel (N,4,B) heißt Benotungsmaßstab, falls

I N eine Menge ist,

I 4 eine Ordnungsrelation über N ist

I und B ⊆ N mit∀b ∈ B : ↑4 b ⊆ B

Die Elemente von B heißen gute Benotungen bezüglich(N,4,B).

Benotungsmaßstab

DefinitionEin Tripel (N,4,B) heißt Benotungsmaßstab, falls

I N eine Menge ist,

I 4 eine Ordnungsrelation über N ist

I und B ⊆ N mit∀b ∈ B : ↑4 b ⊆ B

Die Elemente von B heißen gute Benotungen bezüglich(N,4,B).

Benotungsmaßstab

DefinitionEin Tripel (N,4,B) heißt Benotungsmaßstab, falls

I N eine Menge ist,

I 4 eine Ordnungsrelation über N ist

I und B ⊆ N mit∀b ∈ B : ↑4 b ⊆ B

Die Elemente von B heißen gute Benotungen bezüglich(N,4,B).

Benotungsmaßstab

DefinitionEin Tripel (N,4,B) heißt Benotungsmaßstab, falls

I N eine Menge ist,

I 4 eine Ordnungsrelation über N ist

I und B ⊆ N mit∀b ∈ B : ↑4 b ⊆ B

Die Elemente von B heißen gute Benotungen bezüglich(N,4,B).

Benotungsmaßstab

DefinitionEin Tripel (N,4,B) heißt Benotungsmaßstab, falls

I N eine Menge ist,

I 4 eine Ordnungsrelation über N ist

I und B ⊆ N mit∀b ∈ B : ↑4 b ⊆ B

Die Elemente von B heißen gute Benotungen bezüglich(N,4,B).

Expertisefunktion

DefinitionSei

I M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischerEreignisse,

I S ∈ Ob(M ) und

I (N,4,B) ein Benotungsmaßstab.

I RS die Menge aller relativen Reduktionsformen bezüglich S

Jede partielle Abbildung ξ ∈ PMSets(RS ,N) heißt dannExpertisefunktion zu S bezüglich (N,4,B).

Expertisefunktion

DefinitionSei

I M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischerEreignisse,

I S ∈ Ob(M ) und

I (N,4,B) ein Benotungsmaßstab.

I RS die Menge aller relativen Reduktionsformen bezüglich S

Jede partielle Abbildung ξ ∈ PMSets(RS ,N) heißt dannExpertisefunktion zu S bezüglich (N,4,B).

Expertisefunktion

DefinitionSei

I M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischerEreignisse,

I S ∈ Ob(M ) und

I (N,4,B) ein Benotungsmaßstab.

I RS die Menge aller relativen Reduktionsformen bezüglich S

Jede partielle Abbildung ξ ∈ PMSets(RS ,N) heißt dannExpertisefunktion zu S bezüglich (N,4,B).

Expertisefunktion

DefinitionSei

I M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischerEreignisse,

I S ∈ Ob(M ) und

I (N,4,B) ein Benotungsmaßstab.

I RS die Menge aller relativen Reduktionsformen bezüglich S

Jede partielle Abbildung ξ ∈ PMSets(RS ,N) heißt dannExpertisefunktion zu S bezüglich (N,4,B).

Expertisefunktion

DefinitionSei

I M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischerEreignisse,

I S ∈ Ob(M ) und

I (N,4,B) ein Benotungsmaßstab.

I RS die Menge aller relativen Reduktionsformen bezüglich S

Jede partielle Abbildung ξ ∈ PMSets(RS ,N) heißt dannExpertisefunktion zu S bezüglich (N,4,B).

Reduktion

DefinitionSei

I ξ : RS ⊆RS → N eine Expertisefunktion bezüglich (N,4,B).s

I Eine Reduktion bezüglich ξ ist dann eine Reduktionsform(R(j))1≤j≤n ∈ RS , mit

I ξ ((R(j))1≤j≤n) ∈ B

Reduktion

DefinitionSei

I ξ : RS ⊆RS → N eine Expertisefunktion bezüglich (N,4,B).s

I Eine Reduktion bezüglich ξ ist dann eine Reduktionsform(R(j))1≤j≤n ∈ RS , mit

I ξ ((R(j))1≤j≤n) ∈ B

Reduktion

DefinitionSei

I ξ : RS ⊆RS → N eine Expertisefunktion bezüglich (N,4,B).s

I Eine Reduktion bezüglich ξ ist dann eine Reduktionsform(R(j))1≤j≤n ∈ RS , mit

I ξ ((R(j))1≤j≤n) ∈ B

Reduktion

DefinitionSei

I ξ : RS ⊆RS → N eine Expertisefunktion bezüglich (N,4,B).s

I Eine Reduktion bezüglich ξ ist dann eine Reduktionsform(R(j))1≤j≤n ∈ RS , mit

I ξ ((R(j))1≤j≤n) ∈ B

Ereignistransformation

DefinitionSei

I M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischerEreignisse

I S ∈ Ob(M ).

Dann heißt jede binäre Relation über M(S)Ereignistransformation bezüglich S .

Ereignistransformation

DefinitionSei

I M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischerEreignisse

I S ∈ Ob(M ).

Dann heißt jede binäre Relation über M(S)Ereignistransformation bezüglich S .

Ereignistransformation

DefinitionSei

I M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischerEreignisse

I S ∈ Ob(M ).

Dann heißt jede binäre Relation über M(S)Ereignistransformation bezüglich S .

Ereignistransformation

DefinitionSei

I M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischerEreignisse

I S ∈ Ob(M ).

Dann heißt jede binäre Relation über M(S)Ereignistransformation bezüglich S .

Literaturverzeichnis I

Adámek, Jiří ; Herrlich, Horst ; Strecker, Georg E.:Abstract and Concrete Categories - The Joy of Cats.John Wiley and Sons, Inc, 1990. –PDF verfügbar unter:http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/

Adorno, Theodor W.:Über einige Relationen zwischen Musik und Malerei.In: Anmerkungen zur Zeit.Akademie der Künste, 1967

In: Bense, Elisabeth (Hrsg.) ; Eisenberg, Peter (Hrsg.) ;Haberland, Hartmut (Hrsg.):Beschreibungsmethoden des amerikanischen Strukturalismus.München: Hueber, 1976, S. 211–260

Literaturverzeichnis II

Bogart, Kenneth P.:An obvious proof of Fishburn’s interval order theorem.In: Discrete Mathematics 118 (1993), S. 239–242

Burmeister, Peter:Lecture Notes on Universal Algebra: Many-Sorted PartialAlgebras (Fragment).Summer 2002. –Prof. Dr. rer.nat. Peter BurmeisterTel.: (x49-6151) 16-4686 (Sekretariat), Fax 16-3317E-mail: burmeister@mathematik.tu-darmstadt.dePostadresse: Arbeitsgruppe 1, Fachbereich Mathematik,Technische Universität Darmstadt, Schloßgartenstraße 7,D-64289 Darmstadt.

Literaturverzeichnis III

Bußmann, Hadumod:Lexikon der Sprachwissenschaft.2., völlig neu bearbeitete Auflage.Stuttgart: Kröner, 1990

Fishburn, Peter C.:Intransitive Indifference with Unequal Indifference Intervals.In: Journal of Mathematical Psychology 7 (1970), S. 144–149

Gadamer, Hans-Georg:Die Aktualität des Schönen.Stuttgart : Phillip Reclam jun. GmbH & Co., 1977

Ganter, Bernhard ; Wille, Rudolf:Formale Begriffsanalyse.Springer, 1996. –ISBN 3-540-60868-0

Literaturverzeichnis IV

Harris, Zellig S.:Discourse analysis.In: Language 28 (1952), S. 1–30

Kania, Andrew:The Philosophy of Music.In: Zalta, Edward N. (Hrsg.): The Stanford Encyclopedia ofPhilosophy.Fall 2010.2010

Le Poidevin, Robin:The Experience and Perception of Time.In: Zalta, Edward N. (Hrsg.): The Stanford Encyclopedia ofPhilosophy.Winter 2009.2009

Literaturverzeichnis V

Lehrdahl, Fred ; Jackendoff, Ray:A Generative Theory of Tonal Music.The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1983

Mazzola, Guerino ; Göller, Stefan ; Müller, Stefan:The topos of music: geometric logic of concepts, theory, andperformance.Basel; Boston : Birkhauser Verlag, 2002. –– S.

Pöppel, Ernst:Time Perception.In: al., Richard H. (Hrsg.): Handbook of Sensory Physiology,Vol. VIII: Perception.Berlin: Springer-Verlag, 1978

Literaturverzeichnis VI

Winkler, Jan T.:Algebraische Modellierung von Tonsystemen, Musiktheorie mitmathematischen Mitteln.Mühltal : Verl. Allgemeine Wissenschaft, 2009