Specielle Probleme über die Bewegung geradliniger

Specielle Probleme über die Bewegung geradliniger paralleler Wirbelfäden.

Von

Dr. W. Gröbli.

§ 1.

Die Wirbeltheorie beschäftigt sich mit solchen .Flüs-sigkeitsbewegungen, bei denen die einzelnen Flüssigkeits-theilchen auch Rotationsbewegungen besitzen dürfen. Eine Linie, deren Richtung überall mit der Richtung der augen-blicklichen Drehungsaxe der dort befindlichen Wassertheil-chen zusammentrifft, nennt man nach Herrn H e l m h o l t z *) eine Wir b e l u n i e Sämmtliche Wirbellinien durch die Punkte einer unendlich kleinen geschlossenen Curve schneiden aus der Flüssigkeit einen Wirbelfaden heraus. Ein Wir-belfaden besteht fortwährend aus denselben Flüssigkeits-theilchen, läuft entweder in sich zurück oder endigt an der Oberfläche der Flüssigkeit; das Product aus der Drehungs-geschwindigkeit in den Querschnitt, ist für alle Querschnitte und zu allen Zeiten dasselbe.

In der vorliegenden Arbeit ist vorausgesetzt, dass die Flüssigkeit begrenzt sei durch zwei zur z-Axe senkrechte Ebenen, sich zwischen diesen in's Unendliche erstrecke und in der Unendlichkeit ruhe, dass die Bewegung parallel

*) lieber Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen. Borchardt's Journal, Band 55.

38 Gröbli, Bewegung geradliniger paralleler Wirbelfäden.

der x y-Ebene und unabhängig von der z-Ordinate sei. Die Wirbelfäden, deren Anzahl eine endliche sein soll, sind dann der z-Axe parallel. Es sei d f ein Element des Querschnittes eines der Wirbelfäden mit der x y-Ebene,

die Drehungsgeschwindigkeit dieses Elementes; wir de-finiren eine Grösse in durch die Gleichung

m =J^ df , 1)

wobei die Integration über den Querschnitt dieses Fadens auszudehnen ist. Da die Bewegung in jeder Ebene parallel der x 2j-Ebene dieselbe ist, so genügt es, wenn wir sie in dieser bestimmen. Die rechtwinkligen Coordinaten der Wirbelfäden seien

; x2 , J2 ; x3 , y3 ;

die Werthe der zugehörigen Constanten in

m,, m2, m3i

Die Differentialgleichungen, welche die Bewegung der

Wirbelfäden bestimmen, sind dann nach Herrn Kir c h h o f f*) dx, _ 8P dx2 _ aP

nz^

dt cüy, m2 dt 42

9)

dy1 ā p dy2 _ _ aP

ml dt xl n22 dt ō x2

wobei

p — — 1

ml nz2 log Nie 3) Pi2 bezeichnet die Entfernung der Fäden 1 und 2 von einander, die Summe ist zu nehmen in Bezug auf alle Combinationen je zweier verschiedener Indices.

Führt man Polarcoordinaten Q, ü ein vermittelst der Gleichungen

*) Vorlesungen aber mathematische Physik, 1. Auflage, p. 259.

Gröbli, Bewegung geradliniger paralleler Wirbelfäden. 39

xl = ei Ces 19'1 , x2 = P2 COS 14'2 , 4)

Yi = Pl sin 19 1 , J2 = P2 sin ,

so ergeben sich aus 2) die Gleichungen dPl __ aP dP2 0.13

9211 Pl dt l ^1 , nz2 P2 dt 19 2 '

S) dei 8P d&2

ml Pl dt ei 2Th P2 dt _ Ui;

Von den Gleichungen 2) oder 5) kennt man folgende vier Integrale

E 999, xl = const. , E ml Y1 = const. , G)

E zn, e1 2 = tonst. , P = tonst.

Denken wir uns die Drehungsgeschwindigkeit g als Dichtigkeit einer auf dem Elemente df ausgebreiteten Masse, so sprechen die beiden ersten dieser Integrale den

Satz aus, dass der Schwerpunkt dieser Massenvertheilung, den man, da zu ihr nur die Wirbelfäden beitragen, als Schwerpunkt der Wirbelfäden bezeichnen kann,, in Ruhe bleibt.

Ist nur ein Wirbelfaden vorhanden, so bleibt derselbe an seinem Orte; sind zwei Wirbelfäden vorhanden, so drehen sich dieselben mit der constanten Winkelgeschwin-digkeit

1 M1 M2M2

T TL M1 e1 2 7n2 e2 2

um den Schwerpunkt herum. Im Folgenden beschäftigen wir uns mit der Bewegung

von drei Wirbelfäden; von vier Wirbelfäden unter Vor-aussetzung einer Symmetrieebene; endlich von 2n Wir-belfäden unter Voraussetzung von n Symmetrieebenen.

Auf die Bestimmung der Bewegung , von Flüssigkeits-theilchen welche sich in endlicher Entfernung von den Wirbelfäden befinden, werden wir nicht eingehen.

dx1 yi — y2

= dt — m2 88 2

y3 — yi s 2 s

f 2223

—

7L

Ir dPi dt

d 92 dt

7L

=.

— — d P3 dt

40 Gröbli, Bewegung geradliniger paralleler Wirbelfaden.

Ueber die Bewegung von drei Wirbelfäden.

2.

Für die Entfernungen 1023' Q311 Q12 der drei Wirbel-fäden von einander werden wir die etwas bequemeren Zeichen 81 , 83 , 83 einführen. Die Differentialgleichungen, welche die Bewegung des Systems dreier Wirbelfäden bestimmen, sind in rechtwinkligen Coordinaten

7L dx2 dt 1223

Y2 — Y3 -f- 9221 yi — y2 1 ) 81 2 1

83 2 3

7c dx3 dt

2221 y3 —

S2 2 { 222 y2 — y3 .

2 Si 2

und

7r dyi dt

dy2 dt

7c dy3

dt

= 9n2 xi — x2

2223 x3 — x1

82 2

8, 2 3

1223 x2 — x3

%221 x1 — x2

2) 81 2

s 2 3

= n21 x3 — x1

2222 X2 — x3 s s

1

s 2 2

in Polarcoordinaten

222 2 92 sin (ei — 0'2) ^

^ t T

^

ms P3 sin (e3 — ei)

9 \ 31

7

2 83

^

9223 P3 sin ('S'2 — 'S'3 )

Sg 2

922 1 PS sin (ei — e2) Si 2

2221 ei sin (n%'3 — î)

g3 2

m2 P2 sin (e2 —'^3) s2 2 812 s1


d'9 '1 . Pl — P2cos(a9 '1 — '9'2) n PI d t

= mt2 8,2 3

TZ a de,

— m2 Eis — P3 cos (e2 —'0's )

P dt — 3 si

2

de, P3—PiCOS (a4'3—e1) nP3 dt = mi s22

2

m3 PI —Q3 cos (14'3 —'0'1) +

s2 2

+ m2 , P2—Ploos (

2

^'i—a4'2) 4) 1

3 2

^ m2 P3— P2cos (32- 0'3)

• 8,2

Hierbei ist

s1 2 =(x2— x3) 2 +(y2 —y3) 2 =P2 2 + P3 2- 2 (22 P3 COSea'2 — e3)

82 2 —(x3— x2) 2 TI (y3— yi) 2 = P3? +P1 2- 2 e2 Pl cos(n4's » 1) 5)

s3 2 = (x3 — x2) 2 + (y1 — Y2) 2 = P1 2 + Q2 2 — 2 Pi (32 cos (0)._. ü2) •

Wir setzen zunächst voraus, es sei m l ± m2 –E-- 9n3

von Null verschieden. Es kann dann der Schwerpunkt

der drei Wirbelfäden zum Anfangspunkt der Coordinaten gemacht werden und die beiden ersten Gleichungen 6) § 1, welche den Satz aussprechen, dass der Schwerpunkt in Ruhe bleibt, werden

9ni xi + 992 x2 -I- m3 x3 = 0 9921 y1 + 9n2 y2 + 9913 y3 — 0 ,

oder in Polarcoordinaten

9921 P1 cos 34'1 + 9n2 P2 cos 92/3 P3 COS 4'3 = 0

in1 P1 sin*, + 9922 Q2 sin 0 a + in3 P3 0 .

Das dritte und vierte der allgemeinen Integrale 6)

§ 1 wollen wir in folgender Form schreiben

9921 P1 2 + 503 e2 2 + m3 P3 2 = CI 8)

- log s1 -} 1 log s2 + 1 log s3 = C. 9) mi 992 9923

Die erste der Gleichungen 7) multipliciren wir mit sin ^ sin ^ , sin 0•3 , die zweite mit — cos S , — cos

— cos ^3 und addiren jedesmal. Auf diese Weise er-geben sich drei Gleichungen, welche am einfachsten ge-schrieben werden können

6)

7)


sin (0, — 0%) sin ('9's —'8'i ) sin (e1 — e,)

m, Pi m2 P2 2223 Ps 1 0)

2

1I

9922 Ins P2 Ps

cos (0, — 0,) = — 9921 2 Pi 2 T 99222 P2 2 — 9223 t

2 Ps 11) 2 ms 9221 P3 Pi

__ ---22/12 Q1 2. — 99L2 2 e2 2 - ^- 9123 2 8 2 cos

• (0:1 __ 0,2) 2 mi 2222 P1 P2

Diese Ausdrücke für cos ( 0.2 — 0. 3), cos (229. 3 - %,),

cos () --0•2 ) setzen wir unter gleichzeitiger Benutzung

von 8) in 5) ein und gelangen so zu folgenden Formeln

9)22 2123 Si 2 = (9122 + 9n,) C9. ' — 992, (9921 + 9922 T 9923 ) Pi 2

9923 m, s2 2 = (9923 -}- m,) 0' — m2 (9921 9722 m3 ) Q2 2 12)

222, m2 s3 2 = (9921 -4- 22 2 ) C' - m3 (m9. 4- m2 -i- m3) P3 2 •

Wir führen eine neue Constante C" ein, welche mit C' durch die Gleichung

221 n22 9223 C" _ (m, + 9222 -}- 2223) C ' 13)

verbunden ist. Aus den vorigen Gleichungen folgt dann 2 2 2

222 + 222 + 992 C . 14) 1 2 3

In den Gleichungen 9) und 14) besitzen wir zwei

Integrale der Differentialgleichungen unseres Problems, in

welche nur die Seiten des Dreiecks der drei Wirbelfäden

eintreten. Es liegt daher die Annahme nahe, es möchten

sich in ziemlich einfacher Weise drei Differentialgleichungen

aufstellen lassen, welche nur die Zeit und die Dreieck-

Bringt man ferner in den genannten Gleichungen das erste Glied auf die rechte Seite, erhebt dann in's Quadrat

und addirt, so erhält man die erste der unten folgenden Gleichungen, aus welcher die beiden andern durch cyclische

Vertauschung der Indices 1, 2, 3 hervorgehen, nämlich

992, 2 (Ji 2 — M22 P2 2 — 9m32 Q32

(0.2 — e3) = COS


seiten s1, 82 , 83 enthalten und aus denen sich die Gestalt des Dreiecks in jedem Augenblicke ermitteln liesse. Um diese Gleichungen herzustellen, subtrahire man in 1) und 2) je die dritte Gleichung von der zweiten, multiplicire die erste der so entstehenden Gleichungen mit x 2 — x3 , die zweite mit v2 —y3 und addire. Auf diese Weise er-gibt sich

2r rz (s12)

522-532 11

2 dt 1 5 2 5 2 {Y1 (x2 —x3)+y2 (x3 —x1)+ y3 (x1 —x2)}•

2 3 l

Wir setzen voraus, das Axensystem x, y sei so ge-wählt, dass die positive y-Axe durch eine Drehung um 90 ° in negativem Sinne, d. h. im Sinne der Drehung eines Uhr-zeigers, mit der positiven x-Axe zur Deckung gebracht wird. Der in der obigen Gleichung rechter Hand in Klam-mern stehende Ausdruck stellt dann den positiven oder nega-tiven doppelten Inhalt des Dreiecks dar, je nachdem man das Dreieck in negativem oder positivem Sinne umfahren muss, um der Reihe nach zu den Fäden 1, 2, 3 zu gelangen. Dieser Inhalt lässt sich in bekannter Weise durch die Seiten ausdrücken. Bezeichnen wir den obigen Ausdruck mit 2J, so ergibt sich die erste der Gleichungen 15) und aus dieser folgen durch cyclische Vertauschung der Indices 1, 2, 3 die beiden andern, nämlich

d(s12) - in1 4J 522

-332

dt 2L 62 2 32 2

cl(s22) in2 4J 632 -512

dt — 2V s3 2 S1 2 15)

Lt (s32) 'nn3 51 2 — S2 2

dt / 2V 4J 612622

J ist bestimmt durch die Gleichung

16 J2 = 232 2 s3 2 +2s3 's1 2 + 281 2 52 2— S1 4— s34 16)


Die beiden schon bekannten Integrale 9) und 14) ergeben sich, wenn man die Gleichungen 15) einmal durch 772 , 7722 , m3 , dann durch m1 s1 2, 7722 s2 2, 7723 s3 2 dividirt und jedesmal addirt.

Die vollständige Lösung der Aufgabe, in jedem Augen- blicke die Gestalt des Dreieckes zu bestimmen, verlangt nur die Ausführung von Eliminationen und einer Quadratur.

Die Bewegung ist vollkommen bestimmt , wenn man noch eine Gleichung besitzt, in der eine oder mehrere Coordinaten und die Zeit vorkommen. Mit Benutzung von 11) und 12) lassen sich die Gleichungen 4) so transfor-miren, dass sie ausser je einem der Differentialquotienten

dgl d ,e2 de, dt ' dt ' dt

nur noch die Seiten s 1 , s2 , s3 enthalten. Man erhält nämlich das folgende System von Gleichungen

2a(na + + d = 1 1 2 3 P1 2 s228S2 dt

= M2 M2 1(822 s3 2) 2 812(s22 1_ s32)1 +

2 (in, + in3 ) 2 832 832

2 7r (9n, T 9722

t

+ 9%) Q2 2 82 2 8, 2 d'9.2 —

clt

= in3 9721 ``5 (s3 2 — 81 2 2 — 3 2 (83 2 + s1 2)} + 2 (9n3 + 9%21 ) 2 83 2 81 2 17)

2 7t (m, + in, +m3) P32 8, 2 8,2 1

= n21 in2 {(s1 2 — s2 2) 2 -83 2 (s1 2 + 822)1 +2(9921 T in,) 281 282',

in welchem die Grössen N mit den s durch die Gleichungen 12) zusammenhängen und nur des einfachem Schreibens wegen geblieben sind. Diese Gruppe von Differentialglei-chungen gilt nur unter der Voraussetzung, dass der Schwer-punkt Anfangspunkt der Coordinaten sei.


Das vorliegende Problem lässt sich nun in allge-meinster Weise wie folgt erledigen. Aus den Gleichungen 8), 9), 11), 12) und 14) können die neun Grössen

81 , S2 , 83

Q1, P2 , Ps cos 0'2 — e3) , cos (e3 —o1) , cos 0,1 -02 )

sämmtlich als Functionen einer einzigen Variabelen v darge-stellt werden. Setzt man die so erhaltenen Ausdrücke in irgend eine der Gleichungen 3) oder 15) ein, so ergibt sich durch Quadratur t als Function von v und durch Um-kehrung r als Function von t. Mittelst der Gleichungen 4) oder 17) erhält man nun auch durch Quadraturen die Grössen '0's als Functionen der Zeit.

Die genannten Rechnungen lassen sich indessen all-gemein, d. h. bei willkürlichen Werthen der Constanten in, nicht durchführen, und man muss sich daher darauf be-schränken, die Differentialgleichungen des Problems nur für einige ganz specielle Werthsysteme der Grössen in zu integriren. Gleichung 9) ist im Allgemeinen transcendent und nur algebraisch, wenn die Verhältnisse der nn l , 7n2 , ms rationale Zahlen sind.

Die einfachsten Annahmen, die man über die na machen kann, sind folgende drei

m1 = m2 = — m3 2n, = m2 = m3 m1 =2m2 =-2m3

und mit diesen wollen wir uns weiter beschäftigen. Im Vorigen wurde vorausgesetzt, es falle der An-

fangspunkt des Coordinatensystems mit dem Schwerpunkte der Wirbelfäden zusammen. Diese Voraussetzung ist nicht mehr zulässig, wenn in 1 .-- in2 -f- ?n3 = 0 ist, in-dem der Schwerpunkt sich dann im Unendlichen befindet.


In diesem Fall wird man am besten in rechtwinkligen Coordinaten rechnen. Einer der Axen, z. B. der x-Axe, kann man die Richtung nach dem Schwerpunkte hin geben, so dass an Stelle der Gleichungen 6) die folgenden treten

m l xl -}- nz 2 x 2 -I- nz3 x 3 = tonst. 9n2 J2 T 9713 ?/a = 0 •

Durch passende Wahl des Coordinatenanfangs kann man noch bewirken, dass die Constante C' in 8) ver-schwindet. Indessen führt auch die denkbar einfachste Annahme über die Constanten m, nämlich

— in1 = 2 n7 2 = 2 m3 ,

zu sehr complicirten Gleichungen, die sich einer eingehen-den Discussion entziehen. Handelt es sich nur darum, die Gestalt des Dreiecks zu ermitteln, so wird man die Gleichungen 15) benutzen, welche für alle Werthe der Grössen m gelten, da sie von jedem Coordinatensystem unabhängig sind.

Wir gehen nun zur Behandlung der oben erwähnten Specialfälle über.

§ 3.

Erster Fall. 9721 = 9172 = — m3

Die Gleichungen 1I6) § 2 gehen über in

x T s — xl x2, Y3 = Y1 + ✓2 1) und sprechen den Satz aus, dass die Wirbelfäden und ihr Schwerpunkt stets die Ecken eines Parallelogrammes bil-den, in welchem 3 und der Schwerpunkt Gegenecken sind. An Stelle der willkürlichen Constanten C' in 8) § 2


führen wir eine andere Constante 2, ein, indem wir C' = 4 47x 1 ä setzen. Die genannte Gleichung wird so

P1 2 + P2 2 — 93 2 = 4 2.. 2) Aus 12) § 2 ergibt sich

s1 2 = P12, s2 2

= P2 2 , s3 2

= P2 2 + 8 1. 3) und nun aus 9)

e32+8^ =COIISt.

P1 2 Q2 2

Ohne die Allgemeinheit zu beeinträchtigen, darf man dieser Constanten einen speciellen Werth beilegen, es wird durch eine solche Annahme nur eine Verfügung über die Längeneinheit getroffen. Wir geben der Constanten den Werth 1, so dass man erhält

Pu l 92 2 — P3 2 = 8 Ā . 4)

Aus 2) und 4) ergibt sich durch Elimination von 3

(91 2-1)(92 2 —1)=1-1- 42. 5)

und hieraus folgt, wenn wir 1 -{- 4 Ä. von Ntill verschieden annehmen

P1 2 + 4 92 2 —

P1 ^-1

Ist 1 ± 4 = 0, so wird 5) (P1 2 — 1) (P2 2 — 1) = 0

und in dieser Gleichung kann man nun entweder beide Factoren oder bloss einen derselben verschwinden lassen.

Setzt man beide Factoren gleichzeitig gleich Null, so ergibt sich

P1 =1 , P2 = 1 , 9a = Y3 7)

51 =1, 82=1 , S3

Dreieck der drei Wirbelfäden ist beständig gleichsei-tig und ändert auch seine Grösse nicht. Aus den Gleich-ungen 17) § 2 folgt nun


d e1— â e2 a 3 ^zx . dt — dt =

dt — ' 8)

es rotirt also das Dreieck mit constanter Geschwindigkeit um den Schwerpunkt.

Will man nur einen der beiden Factoren gleich Null setzen, so ist es, da auf eine Vertauschung der Fäden 1 und 2 nichts ankommt, gleichgültig ob man P1 = 1 oder

P2 = 1 annimmt; wir wollen P2 = 1 voraussetzen, da-

mit Gleichung 6) auch für den Fall 2k = — ,T1

behält. Aus 4) und 6) ergibt sich für P3 2 die Gleichung

P3 2 —Px 4-41 Px2+ 87`

9) P1 2 - 1 Mit Benutzung des Bisherigen gehen die beiden letzten

Gleichungen 11) § 2 in die folgenden Tiber

COS (`^3— ^1)— P12-2 Ā , — P1 2-2 Z 4 P1 2- 2

Pl Pa Px Pl — 4a Qi + 8 2. 10)

cos— — — 2 z — 2 Px 2 -1

1 Pl P2 Px ei 2 + 4 a

Insofern nicht ausdrücklich etwas anderes bemerkt

wird sollen die Grössen P positiv sein. Es sind daher auch

die Quadratwurzeln in den vorigen Gleichungen positiv zu nehmen. Für sin (&3 — ^ ), sin (^1 —'2 ) ergeben sich die nachstehenden Ausdrücke

sin — e1) _ 1 '

/

P1 4-4 (A 2— 91 2 + 4 a 2

P1 (914- 4 P12+ 82,

1 VP1 4 - 4 (12-1)()1 2 + 4 a 2 sin (*x — 'ū2) — — / 2._.^. 4 ,l P1 Px

Das Vorzeichen des einen der beiden Sinus kann will-kürlich gewählt werden, das Zeichen des andern ist dann nach 10) § 2 bestimmt.

11)


Auch der Grösse ^)a die wir als positiv voraussetzen wollen, darf ein specieller Werth beigelegt werden; es wird durch eine solche Annahme die Einheit der Zeit be-stimmt. Wir wollen x)21 = v annehmen. Mit Benutzung der bisher entwickelten Formeln gehen nun die ersten Gleichungen der Systeme 3) und 4) § 2 in folgende über

dei _ (P12 _ 1) 3/2 (ei 4 -- 4 (A 2 — A) P i 2 + 4 A2) 1/2 cl t PI 3 (Pi 2 + 4 A)

de, (Q1 2 — 1) ((1 — 2 A) Pi 2 -I- 2 A)

dt Pi 4 (ei 2 + 4 A)

und

aus diesen ergibt sich durch Elimination der Zeit

dQ1 Pi (Q1 2 — 1 ) '2 (Pi 4 — 4 (2. 2 — A) ei 2 + 4 A2) 1/2 14)

( 1 - 2 A)Pi 2 ± 2 A

In diesen Gleichungen braucht man nur den Index 1 . durch den 'Index 2 zu ersetzen, um die Formeln für den Faden 2 zu erhalten.

Ehe wir die vorstehenden Gleichungen weiter behan-deln, wollen wir die Geschwindigkeiten bestimmen , mit denen sich die Fäden bewegen. Bedeutet w die Geschwin-digkeit eines bewegten Punktes, dessen Polarcoordinaten

N und ü sind, so ist

^d( 2 ,

( d i' 12

dt ^ + P ' 1 (lt ! • Für w1 ergibt sich nach 12) und 13) die Gleichung

_ 1 2Ui

P2 2

und aus dieser durch Vertauschung der Indices 1 und 2 1

2V2 = Pi2

• 16)

Die letzten Gleichungen der Systeme 3) und 4) § 2

gehen, mit Benutzung von 6), 9) u. s. f. in folgende über

xxn. i. 4

12)

13)

w 2 =

15)

17)

18)


d Pa P14-2 P1 2 —4 1 Pi4-402-2412T42,2

dt P1 2 (P1 2 -{- 4 a.) P0- 4 41 2 -I- 8 1

de, _ 2 (P1 2— 1) ((1 — Ā ) P 1 4 -l- 4 Ā P, 2 — 4 z 2 ) d t (:)1 2 (P1 2-i- 4 /) 4,1 4 — 4 R (3, 2 + 8X)

und es wird

W3 = Pa

a 19) Pi P2

Aus den Gleichungen 12), 13), 17) und 18) ergeben sich die Maxima und Minima der Grössen P und ^ .

Aus 12) und 14) erhält man t und 0.1 durch ellip-tische Integrale als Fnnctionen von P 1 2 und zwar ist, wenn wir

PL 2

setzen — ( ^ z (2+44 dz

t J 2(1— z) Y (z -1)(z2- 4 —R) z -}-41 2)

20)

21)

( (21- 1)z-2 1

^` =J

dz 22)

Y(z — 1) (2 2 — 4 (12 —A) z + 4 2.2)

Die Gleichung z2 - 4 (1.2- 1) z —}- 4I2 =0

hat die Wurzeln

zi = (1 — 2 1)72. 2 -- , 22 = (z + V 12 _2 t. ) 2 , 23)

welche einander gleich werden für l = 0 und für 1 = 2.

Die Integrale sind . dann nicht mehr elliptische, sondern

logarithmische. Fair ä = — 1 wird z 1 = 1 und es tritt

die nämliche Reduction ein. Diese drei Werthe von A

sind die einzigen, welche auf logarithmische Integrale

führen; die denselben entsprechenden Bewegungen werden wir ausführlicher behandeln.


Bei der Reduction der Integrale 21) und 22) hat man, dem Vorigen zufolge, vier Fälle zu unterscheiden, nämlich

1 1 1)— oo<z< — 4 , 2) — 4 <z.<0

3) 0 < b < 2 , 4) 2 < z < oo •

Die Wurzeln zi und z 2 liegen dabei innerhalb folgen-der Grenzen

1 1 ) 0o> z1 >1, 1 >z2> 4

2) 1 > z1 > 0, > z 2 > 0

3) zl und z2 complex

4) 4 > z, > 1 , 4<z2 <oo•

Es. möge genügen, die Reduction für einen dieser Fälle durchzuführen. Wir wählen dazu den zweiten Fall. Die Werthe, für welche die Function dritten Grades unter dem Wurzelzeichen verschwindet, sind in absteigender Reihen-folge 1, z1 , z2 , die ganze Function ist positiv, wenn entweder z zwischen z1 und z2 liegt, oder aber > 1 ist. Nur unter der ersten Annahme führen wir die Rechnung weiter. Setzt man

z = z2 (zl — z2 ) sing p , 24)

so wird dz 2 d ^N

Y (z - 1) (z2 - 4 (X 2 -2.) z + 4A2 ) Yl - z2 Y 1 - x2 sing ^

wobei

x2= zl-z2

1- z2

einen positiven echten Bruch bedeutet. Nach Ausfüh-


rung einiger leichter Rechnungen erhält man aus 21) und 22)

t Y1 _ 2 ( 1 + 2 z) I' (x,Û) 2

1± z ^ E(x, ') z2

+ sin cos

Î- ^

(z1 —z2) Y1 —x2 sin 2Rp

1 25) 2..

}(1 — 2 i) F (x, iV ) + z2 11 (x, ß, 1P)} 26)

2 - zl — z2 zl - z2 ,t 1- z2 z2

F (x, 4,), E (x, 4,) , II (x , µ, i,) bedeuten die Legendre'-schen Normalintegrale erster, zweiter und dritter Gattung

F'(x, 1P)= d

E (st ,9)=^ Y1—x 2 sin2 t^' d

Y1 -x2 sin 2,,p 0

n(x, P,10 — 0 sin' p) Yl — x2 sing `p

die Integrationsconstanten sind so bestimmt worden, dass die Grössen t, zb gleichzeitig verschwinden. Das ; ln-tegral dritter Gattung ist beständig endlich, da der Pa-rameter F4 positiv ist.

Setzt man in den obigen Gleichungen II, —2r an Stelle von 4,, so vermehren sich die Grössen t und ^ respec-tive um

T— Y1 4 z2 {(1+2X) K 1

{ 4 ^ E} 27)

2 O = 2

Y1 z2 ^(1— 21) K }

z2 1T } 28)

wenn E, E, II die vollständigen elliptischen Integrale aller drei Gattungen bedeuten ; die Grössen N und s blei-ben sämmtlich ungeändert. Es ist daher die Bewegung eine periodische in dem Sinne, dass zur Zeit t -I- T die


Fäden zwar nicht mehr an demselben Orte sind wie zur

Zeit t, wohl aber in derselben gegenseitigen Lage und in demselben Bewegungszustande. Die Bahnen der Fäden sind transcendente Curven , welche aus unendlich vielen congruenten Stücken bestehen und zwar ist die Bahn

von 2 dieselbe Curve, wie die Bahn von 1, nur um den

Winkel 2 o gedreht.

Für t = 0 ist

ei + Y12- 2 A, e2= — R -i- Ya 2 - 2a, e3 = 2 Ya2- 2 a 14'2 = 'Ū '3 — 0

und für t = 2 T

el = — 1 + Ya2 — 2 , e2 = 1 + Y, a 2 — 2 , ea = 2 r12— 2 1

e2 — e3 — o • •

Die Bewegung für das Intervall t = 0 bis t = T ist

folgende. Im Augenblicke t = 0 befinden sich die drei Fäden in gerader Linie; Pi, P3, ebenso die Geschwindig-keit Uh sind Minima, 22 wie auch 2v 2 und w3 Maxima. 2, und w1 wachsen nun beständig, ü. i nimmt erst ab,

bis Q, = 2 geworden ist, dann auch zu, zur Zeit 2z-1

t = 2 T haben und evi ihre grössten Werthe erlangt,

ist = 2 o geworden. 22 und 2v2 nehmen fortwährend

ab, ü2 nimmt erst zu, dann ab, für t = 2 T sind P2 und

w 2 Minima, 2 ist = 0. Q3 endlich nimmt zu, w 3 ab,

zur Zeit t = 4 T ist 23 ein Maximum, = (2 — 4 Ä — 2

r1+42.) 1/2, ^3 = 4 0, w3 ein Minimum. Das Dreieck der


drei Wirbelfäden ist in diesem Augenblicke gleichschenk-

lig. Von nun au nimmt P3 ab, w3 zu, für t = 2 Thaben P3 und w3 die ursprünglichen Werthe erlangt. Die drei Wirbelfäden sind jetzt wieder in der anfänglichen gegen-seitigen Lage, wenn man nur 1 und 2 mit einander ver-tauscht und unter demselben Vorbehalte ist die Bewegung für das Intervall t = 2 T bis t = T dieselbe, wie für das

eben beschriebene von t = 0 bis t = 2 T. Figur 1, , welcher die Annahme ) _ — 12 zu Grunde liegt, soll ein ungefähres Bilde von dem Verlaufe der Bewegung geben.. Die zugehörigen Werthe von T und o sind

T = 0,1068 , e= 0,6086 ; für t = 0 ist

Die Fälle 1), 3) und 4) pag. 19 las-sen sich in ähnlicher

Weise behandeln. Die Bewegung ist aber nicht mehr peri-odisch ; die Zeit, die nöthig ist, damit z

3 von einem extremen r Werthe in den an-

dern extremen Werth .

1 1 5 Pi = 3- Pa =

1 1 1 sl = 3 , 8a= ,53=

w^= 4,wa = 9,w3= 5.

Fig. 1.


übergehen kann, ist unendlich gross. Denn entweder ist

eine der Grenzen des Integrals gleich 1 und für diesen

Werth wird die Function unter dem Integralzeichen in

21) unendlich gross von der Ordnung 2 , also das Integral

selbst von der Ordnung 2 , oder aber es ist z = oo eine.

der Grenzen; für diesen Werth von z wird dz Null von der

• Ordnung 2 und t selbst unendlich von dieser Ordnung.

ü1_ ändert sich nur um eine endliche Grösse , wenn z

sämmtliche Werthe durchläuft, die es annehmen kann. Wir gehen zur Behandlung der oben erwähnten Grenz-

fälle über.

§ 4.

Erster Grenzfall. 2 = 0.

Aus 14) § 2 ergibt sich n 83 2 = s1 2 + s22; 29)

das Dreieck der drei Wirbelfäden ist beständig rechtwink-lig. Die in 21) und 22) angedeuteten Integrationen lassen sich sehr leicht ausführen ; verfügt man in passender Weise über die Integrationsconstanten und setzt an Stelle von z wieder Qi 2 , so erhält man

t 2 —eil r,1 2-1

'^1 = - arctg Y p1 2 —1. 31) Die Function arcustangens wollen wir im ersten Quad-

ranten annehmen. e ist fortwährend negativ ' po-

30)

56 Gröbli, Bewegung geradliniger paralleler Wirbeleden.

sitiv, es nimmt daher el l. ab, % zu. Aus 31) ergibt sich

xi = 1 ; 32)

der Faden 1 bewegt sich in einer der y-Axe parallelen Geraden. Nach 6) ist

ei

22 ° Y2 (Jl ._i-I-'

führt man in dieser Gleichung rechtwinklige Coordinaten ein und beachtet, dass nach 10) und 11)

so ergibt sich x2 = 1; 33)

der Faden 2 durchläuft dieselbe Gerade wie der Faden 1.

Endlich folgt aus, 1) mit 'Benutzung des Vorigen

x3= 2 ; 34) die Bahn des Fadens 3 ist ebenfalls eine der y-Axe pa-rallele Gerade. Da die Bewegung parallel der y-Axe vor

sich geht, führen wir rechtwinklige Coordinaten ein. Es ist

Qi 2 = 1 + y, 2 ;

setzt man diesen Ausdruck in 30) ein und berücksichtigt, dass zu positiven Wertheu von t negative Werthe von yi gehören, so ergibt sich

t — y, 2 — 1

y1

und hieraus t -Yt2+4

y^ = 2 35 )

Für y2 und y3 erhält man die Gleichungen

y2 — t + ir't2 + 4 36)

2

y3 = t . 37)


Differentiirt man diese Gleichungen nach t , so er-geben sich die Geschwindigkeiten, mit denen sich die Fäden bewegen.

Fassen wir die gewonnenen Ergebnisse zusammen, so können wir, ausgehend von dem Augenblicke t = 0, die Bewegung wie folgt beschreiben. Der Faden 1 bewegt sich in der Geraden x 1 = 1, befindet sich zur Zeit t = 0 im Punkte y1 = — 1, seine Geschwindigkeit ist in diesem

• Augenblicke gleich 2 . Von dieser Lage aus bewegt er sich in der Richtung der positiven y-Axe mit beständig ab-nehmender Geschwindigkeit und nähert sich mehr und mehr der x-Axe, ohne sie je zu erreichen. Der Faden 2 durch-läuft dieselbe Gerade wie 1 und geht von der Anfangs-lage y2 = 1 im Sinne der positiven 2j weiter. Seine Ge-schwindigkeit wächst beständig und convergirt gegen die Grenze 1. Der Faden 3 endlich bewegt sich in der Ge-raden x3 = 2, von der Anfangslage y3 = 0 aus, mit der

constanten Geschwindigkeit 1, in derselben Richtung wie

die beiden andern Fäden.•

§ 5. • Zweiter Grenzfall. ä = — 4 •

Durch Ausführung der in 21) und 22) angedeuteten

Integrationen ergeben sich die Gleichungen

1 1 (r4

z Y4z-1 +Y3 t = — Y4

/ + z —1 + — log tonst.

1 (rt z — 1 + Y3 ^3 = — arctg Y4 z —1 + — 10g const.

Y3 Y4 z — 1 — Y3


Man hat die beiden Fälle

1 < z < < z < 1

zu unterscheiden; führt man an Stelle von z wieder p i2 ein und bestimmt die Integrationsconstanten in passender

Weise, so erhält man folgende Gleichungen

t=- 2 Y4 ei` —1 -1- 3 1°g (Y4 Px 2 1 + Y3) P x —

1 Y4 Px2 -1 -}- arctg Y4 P1 2 -1 + Y3

log P i z ( Y3

Y4 ) 1<Px < oo;

t=—

z-

1 Y4 x 2-1 + Y3 1 r4

log (Y3 ± Y4Px2

-1> 40)

Px

1 /

Y3 +Y4 P x2-1\

9 x =—arctg Y4 Px 2-1 i Y3 lo g( Y3 - — Y4 1 41)

Pxz 1

<e <1•

Aus den Gleichungen 3), 6), 9) und 15) ergibt sich

P2 =1 , S2 =1 , 201 = 1 , S , = S3 • 42)

Der Faden 2 bewegt sich demnach in einein Kreise; dessen Mittelpunkt der Schwerpunkt der drei Wirbelfäden ist; der Faden 1 durchläuft seine Bahn mit constanter Ge-schwindigkeit; die drei Wirbelfäden bilden die Ecken eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Basis constant ist. Für ft2 und O's ergeben sich aus 9), 10), 11), 39) und 41) folgende Gleichungen

e2 --1 log (? Y4 P1 2 - 1 + Y31 Y3 Y4 Px 2 — 1 — Y 3 J

38)

39)

43)


= - arctg 1 Y4,2 2 - 9 + 1_ log (± r47-932 - 9 ± Y3

) 44)

Y3 \ Y4 P9 2 — 9 — Y3

in denen unter dem Zeichen des Logarithmus das posi-tive oder negative Zeichen zu nehmen ist, jenachdem

Pi j 1 ist. Für die Discussion der aufgestellten Glei-chungen müssen noch die Fälle Pi > 1 und eh. < 1 von einander getrennt werden.

1). 1 < P < oo P3 liegt zwischen Y3 und co, Pi . und P3 nehmen fortwährend ab , dagegen ^ , 0.2 , 0.3 , w5 , w3 zu; die Fäden bewegen sich in positivem Sinne um den Schwerpunkt herum. Gleichung 39) kann ge-schrieben werden

Pi 2 aretg 1 + 1 log Y4 —-I 1 (3

Y4 P1 2 -1 Y3 (Y4ei 2 _1 — Y3 )

Entwickelt man, unter der Voraussetzung es sei Pi sehr

gross, die rechte Seite nach Potenzen von 1 und behält Pi

nur die Glieder erster Ordnung bei, so ergibt sich

3 + 2 = 2

Pi

oder 3

x, = 2 •

Die Gerade x 1 = 2 ist eine Asymptote der Bahn des

Fadens 1. Ebenso folgt aus 44), dass die Gerade 5 x3 =

eine Asymptote der Curve, welche vom Faden 3 durch-laufen wird, ist.

Die Bahn des Fadens 1 ist eine Spirale, welche die 3

Gerade x1 = 2 und den Kreis vom Radius 1 zu Asymp-

Fig. 2.

60 Gröbli, Bewegung geradliniger paralleler Wirbelfäden,

toten hat; die Bahn des Fadens 3 ist eine Spirale, für 5 welche die Gerade x 3 = und der Kreis vom Radius

Y3 Asymptoten sind. Beide Spiralen nähern sich unge-mein rasch ihren asymptotischen Kreisen.

Für t = — m ergibt sich

P1 — C/D, =

ja — u P3 —

und für t = cc

1Z

Pl = 1 , = — 3 -I- u'2 , e2 = oo, 03 = Y3 = — 6 -}- .

Wir wollen annehmen, es seien die Fäden 1 und 3 beim Beginne der Bewegung noch sehr weit vom Schwer- punkte entfernt. Es befindet sich dann 2 sehr nahe beim Punkte x2 = 1, f2 = 0, die Geschwindigkeit w 2 ist sehr klein, w3 ist nahezu gleich 1. Beide Geschwindigkeiten

wachsen nun rasch und convergiren gegen die Werthe 1 und Y3, ohne dieselben je zu erreichen. Nachdem der Faden 2 einmal seinen Kreis durchlaufen hat, ist die

X Bewegung sehr ange-nähert die, dass sich die Fäden. 1 und 2 auf dem Kreise vom Radius 1 mit der Geschwindigkeit 1 bewegen, während 3 den Kreis vom Radius Y3 mit, der Geschwin-

digkeit Y3 durchläuft. Das Dreieck der drei Fäden ist gleichseitig und rotirt mit constanter Geschwindigkeit um den Schwerpunkt.

Fig. 3.


2). 2 < Pl < 1. P3 liegt zwischen 2 und Y3.

Die Curve in der sich 1 bewegt, ist eine Spirale , deren

kleinster Radiusvector gleich 2 ist, für welche der Kreis

vom Radius 1 asymptotischer Kreis und die x-Axe Sym-metrieaxe ist. Der Faden 2 bewegt sich auf dem Kreise vom Radius 1, der Faden 3 beschreibt eine Spirale, welche die x-Axe zur Symmetrieaxe und den Kreis vom Radius Y3 zum asymptotischen Kreise hat. Der kleinste Radius-

vector ist • Beide Spiralen schliessen sich sehr rasch

an ihre asymptotischen Kreise an. Im Augenblicke t = 0, von welchem wir aus-gehen wollen, befinden sich alle drei Fäden in der x-Axe, in den

Entfernungen 2 , 1, 8

vom Schwerpunkte. Die Geschwindigkeiten sind respective 1, 4, 3. 0'1 nimmt erst ab, er-reicht das Minimum

für 91 = s Y3 und

nimmt dann beständig zu. P8, '0'i, 0. 8 nehmen ebenfalls zu. Der Faden 1 bewegt sich mit der Geschwindigkeit 1, die •Fäden 2 und 3 durchlaufen ihre Bahnen mit abneh-mender, gegen die Grenzen 1 und Y3 convergirender Geschwindigkeit. Wenn 2 einmal seinen Kreis durchlaufen hat, was nach einer bestimmten endlichen Zeit geschehen ist, so findet die Bewegung sehr nahe so statt, als ob das Dreieck der drei Fäden gleichseitig wäre und mit der Ge-schwindigkeit 1 um den Schwerpunkt rotirte.


Die Figuren 2 und . 3 sollen eine ungefähre Vorstellung von dem Verlaufe der Bewegung geben.

Zu ganz ähnlichen Bewegungen wie die eben behan-delten führt die Annahme ä = 2; wir wellen hierauf nicht näher eingehen.

§ 6.

Zweiter Fall. m1 = m2 — m3 .

Die Gleichungen 8) und 9) § 2 können geschrieben 'werden

Pi 2-f- P2 2 4- Ps 2 =1 sl s2 .

1) 2)

Die Einheit der Länge ist passend gewählt, A be-deutet eine positive, im Uebrigen vorläufig willkürliche Constante.

Die Gleichungen 12) § 2, welche den Zusammenhang zwischen den Grössen P und s vermitteln , gehen über in

s1 2 = 2 -3P, 2 , s2 2 =2-3P2 2 , 832= 2-3P32. 3) Addirt man diese drei Gleichungen, so ergibt sich

mit Rücksicht auf 1) s, 2 -{-s2 2 + s8 2 = 3. 4)

Mit Hülfe der Gleichungen 2) und 4) lässt sich bereits ein Ueberblick über die Bewegung gewinnen, soweit nur die Gestalt des Dreiecks in Betracht kommt, und eine Einthei-lung der verschiedenen möglichen Fälle aufstellen: Denken wir uns etwa s17 82 , s3 als rechtwinklige Cordinaten eines Punktes im Raume aufgefasst, so stellt Gleichung 4) eine Kugel vom Radius Y3 dar und Gleichung 2) eine Fläche dritter Ordnung, welche die Coordinatenebenen zu Asymp-


totenebenen hat und von Ebenen parallel denselben in gleichseitigen Hyperbeln geschnitten wird. Da die Grössen

s1, s2 , s3 positiv sind, können wir uns auf den ersten Oc-tanten beschränken. Die Ebenen

82=S3, S3 = S1, S1 - S2

sind Symmetrieebenen für die Kugel sowohl, als für die Fläche dritter Ordnung, und daher auch für die Schnitt-curve beider, eine ovalartige Figur. Jedem Punkte dieser Curve entspricht eine bestimmte Gestalt des Dreiecks der drei Fäden. Das Oval besitzt einen höchsten und einen tiefsten Punkt, entsprechend den beiden extremen Werthen zwischen denen s 3 liegen muss. Innerhalb der-selben Grenzen befinden sich selbstverständlich auch s 1

und s2 . Da die Ebene s1 = 82 eine Symmetrieebene ist, so ist sicher s3 ein Maximum und ein Minimum für s1 = s2 . Andere Maxima und Minima sind nicht vorhanden. Setzen wir s1 = 82 , so erhalten wir für s3 die Gleichung dritten Grades

s3 3-3 s3 +2A=0. 5) Eine Wurzel dieser Gleichung ist stets reell, aber nicht zu gebrauchen, weil sie negativ ist. Die beiden andern Wurzeln geben das Maximum, respective Minimum von s 3

und können reell und verschieden, oder reell und gleich, oder imaginär sein, je nachdem sich die beiden Flächen schneiden, berühren, oder nicht schneiden. Die Berührung tritt ein für A. = 1, die Schnittcurve reducirt sich auf den Punkt

S1 = S2 = S3 =1 ;

die drei Fäden bilden ein gleichseitiges Dreieck, Seiten constant sind. Nach 3) ist

1 P1 2 = Q2 2 = P3 2

= 3 •

6) dessen


Bezeichnen wir den gemeinschaftlichen Werth der Grössen m 1 , m2 , m3 mit m, so ergibt sich aus den Glei-chungen 17) § 2

de, dpa d43 3 m dt — dt — dt —

Das Dreieck der drei Fäden dreht sich daher mit constanter Geschwindigkeit um seinen Mittelpunkt.

Fassen wir das Bisherige zusammen, so besteht es in Folgendem. Die Seiten s 1 , s2 , s3 des Dreiecks der drei Wirbelfäden haben den Gleichungen 2) und 4) zu ge- nügen, in deren ersterer eine positive, von Null ver-schiedene, zwischen 0 und 1 liegende Constante bedeutet. In Folge dieser Bedingungen kann jede Seite nur zwischen zwei bestimmten endlichen Grenzen schwanken, die für alle drei Seiten dieselben sind und bestimmt als die po-sitiven Wurzeln der Gleichung

s 3 -3s+2X=0.

Hat eine der Seiten ihren extremen Werth erlangt, so ist das Dreieck gleichschenklig.

Nun ist noch Folgendes zu beachten. Damit das Dreieck .reell sei, muss die Summe zweier Seiten grösser sein als die dritte Seite. Diese Bedingung ist sicher er-füllt, wenn eine der Seiten, z. B. s 3 , ein Minimum ist, denn die kleinere Wurzel der obigen Gleichung ist kleiner als 1, die zugehörigen Werthe von s 1 und s2 sind nach 4) grösser als 1, also ist 8 1. ± s2 > 83 . Ist dagegen 83 ein Maximum, so ist es grösser als 1, daher sind s1 und s3 kleiner als 1 und es kommt ganz auf den Werth von ,l an, ob s1 -+-- s 2 s3 sei. Der Grenzfall s1 s2 = 83

tritt ein für s3 = Y2; die Gleichung dritten Grades gibt

1/ 2 als zugehörigen Werth von 2. In der einen Grenzlage

7)

Gröbli, Bewegung geradliniger paralleler Wirbelfäden. G5

befinden sich dann die drei Fäden in gerader Linie, der eine in der Mitte zwischen den beiden andern. Die drei Gleichungen

s2 + S3 — 83 + S1 — S2 , S1 r 82 — 83

repräsentiren die Ebenen durch je zwei der Winkelhalbiren- den der positiven Coordinatenaxen. Diese Ebenen schneiden die Kugel in einem gleichseitigen sphärischen Drei-

ecke und die drei Fälle 2,2 2 sind dadurch unterschie-

den, dass das Oval ganz im Innern des Dreiecks liegt, oder es berührt, oder schneidet. Im letzten Falle ist nur

noch eine gleichschenklige Dreiecksform möglich; eine

andere ausgezeichnete Lage ist dann die, bei welcher die

drei Fäden sich in gerader Linie befinden, aber nicht der

eine in der Mitte zwischen den beiden ändern.

Wir gehen nun zur Bestimmung der Bewegung über,

und wollen dazu die Differentialgleichungen 15) und 17)

§ 2 verwenden. Aus den Gleichungen 2) und 4) ergibt sich zunächst

+2=

J/ -_ s'3+3s' s 1

1/-81 8 + 3 ei -2

s

822_ 83 2=__ Ysl 3- 68,4 ± 9s2 -4 ^ 2

Mit Benutzung dieser Formeln erhält man aus 16) § 2

4 J — Y- 4s1 6 + 12 S1 4 - 981 2 + 4 2.2

sl

s2 — s3 =

und nun aus den ersten Gleichungen 15) und 17) § 2 bei

passender Wahl der Zeiteinheit xxH. i. 5

1 8)

9)


d(s1 2) 1 d — g2 Y(s1 6- 6.91 4 +9M-4V) (-4 s1 3-+-12s1 4 -9 s1 2 -+-422) 10)

• de, 2.0— 9 s, 4 + 9 s1 2+ 4 12

dt 222(2— s12) •

Durch Elimination von t aus 10) und 11) folgt

cl (s1 2) 2(2—s, 2 ) Y(Si 6- 6 s1 4+9s1 2-42' 2) (-4s1 6 +12 81 4 -9 61 2 -+-42, 2)

d4i'1 281 6 -9s, 4 +98, 2 +412.12)

Aus 10) und 12) ergeben sich durch Quadratur t und ü1 durch hyperelliptische Integrale als Functionen von s 1 2 , nämlich, wenn wir

81 2 = z 13) setzen,

X' dz t—f ) Y(z 3 - 6 z 2 { 9z -42 2)(-4 z 3 1 12 z 2 - 9z { 42 2) 1 4

_ (2z 3 -9z2 +9z -1-412 ) dz

f 2(2 —z) Y(z 3-6z 2 +-9z-42, 2) (-4z3+12z2-9z+412) . 15)

In der zweiten dieser Gleichungen braucht man nur z

mit Hülfe von 3) durch P 1 2 auszudrücken, um die Gleichung der Bahn des Fadens 1 zu erhalten.

Die obigen Gleichungen gelten auch für die Fäden

2 und 3, wenn man nur die Zeichen , s1 , ^1 durch s2,

respective s3 , 0.3 ersetzt. Für die Geschwindigkeiten, mit denen sich die Fäden

bewegen, erhält man folgende Gleichungen

32v 1 =

e1 s1 , W2 =

3 82 , W3 =

83 • 16)

In den Gleichungen 14) und 15) steht unter dem Wurzelzeichen die Function sechsten Grades

f(z)=(z 3 -6z2.-}- 9 z -422) (-4z 3 +12z2 -9 z +412 ). 17) Die Gleichung f (z) = 0 besitzt nur dann Doppelwurzeln,

wenn A 2 einen der Werthe 0, 1 oder 1 besitzt. Vom

11)


Falle A = 0 dürfen wir absehen, da er auf zwei Wirbel- fäden zurückführt, den Fall ,I = -1 haben wir schon er-

ledigt, den Fall ,I2 = 2 endlich werden wir nachher be-

handeln. Ist nun ä von einer der Zahlen 0, V 2 , 1 , ver-

schieden, so sind keine zwei der sechs Linearfactoren, in die sich f (z) . zerlegen lässt, einander gleich und die Integrale in 14) und 15) sind wirklich hyperelliptische. Das Integral in 14) bleibt daher beständig endlich. In 15) steht neben der Wurzel aus der Function sechsten Grades noch eine rationale Function von z, welche un-endlich gross wird für z = 2. Da aber z niemals gleich 2 werden kann, so ist auch dieses Integral stets endlich. Die Bewegung ist daher eine periodische, in der Art, dass nach Verfluss einer bestimmten endlichen Zeit die Fäden sich zwar nicht mehr am ursprünglichen Orte befinden, aber in derselben gegenseitigen. Lage und im selben Be-wegun szustande. 0' 1 wächst beständig. Wir haben nun

noch die Fälle A2 2 zu unterscheiden.

1). A 2 > 2 • Die Gleichung

z 3 —6z2 +9 z - 42,2 =0

besitzt drei reelle positive Wurzeln z1 , z2 , z3 innerhalb folgender Grenzen

2— Y3 <z1 <1, 1<z2 < 2, 2± Y3 <z3< 4 .18)

Die Gleichung —.4z 3 +12z'-9z+4d2 =0

hat nur eine reelle Wurzel, welche zwischen 2 und 3 liegt. Den Werthen

z1, und z2 entsprechen das Minimum

und Maximum von s1 , es kann daher z. nur zwischen z 1 und z2 liegen.


Die Zeit die nothwendig ist, damit die drei Fäden aus einer gewissen Lage wieder in dieselbe gegenseitige Lage und in denselben Bewegungszustand gelangen, ist nach 14)

z1

d^

Yf (z)

Die Winkel 'î, ^'2, 2'3 haben sich während dieser Zeit um

9= z2 (2z 3 -9z2 -1-9z+422) dz 20 )

zi (2 — z) Y f (z)

vermehrt. Wir wollen uns die Bewegung in dem Augenblicke begonnen denken, in welchem das Dreieck der drei Fäden gleichschenklig ist, 1 an der Spitze, s 1 ein Minimum. Das Dreieck dreht sich nun in positivem Sinne um den Schwer- punkt herum, dabei zugleich seine Gestalt verändernd.

s1 und s3 nehmen zu, s 2 nimmt ab , zur Zeit t —^ s T ist das Dreieck wieder gleichschenklig und zwar ist jetzt 3 an der Spitze, s3 ist ein Maximum, das Dreieck also stumpfer als vorhin. Das Dreieck dreht sich weiter, s 1

niinmt zu, s5 und s3 nehmen ab, zur Zeit t = 3 T hat das Dreieck wieder die anfängliche gleichschenklige Gestalt, nur ist jetzt 2 an der Spitze. So geht es weiter. Einem Maximum oder Minimum einer der Seiten entspricht nach 3) allemal ein Minimum oder Maximum der Ent- fernung des der betreffenden Seite gegenüberliegenden Fa- dens vom Schwerpunkte. Die Fäden beschreiben gewisse aus unendlich vielen congruenten Stücken bestehende Cur- ven. Dreht man die Bahn eines der Fäden um den Winkel

19)

2zz—© vorwärts und rückwärts, so erhält man die

3


Bahnen der beiden andern Fäden. Für ,t = 1 ist ®= 0,

für A = 2 ist ®= oo. Es gibt daher unzählig viele

Werthe von A, für welche 2 n3 ein Vielfaches von 2 ar

ist. In einem solchen Falle bewegen sich die drei Fäden auf derselben Curve vorwärts,. bald sich einander nähernd, bald sich wieder von einander entfernend. — Die Ge-schwindigkeit w1 als Function der Zeit betrachtet, ist ein Minimum für t= 0, nimmt dann zu und erreicht nach

einer gewissen Zeit ein Maximum, 3 ; in diesem Augen-

blicke ist sl = 1; nimmt dann ab, ist ein Minimum für

t =

1 T, wächst wieder' bis zu ā3 und nimmt schliess-

lich ab, um für t = T den anfänglichen Werth zu er-reichen.

Figur 4 entspricht der Annahme A 2 = 243 343 Für

diesen Werth von ,t2 erhält man

24 9

T -212 1h dz

= G^2 14 dz = 2,1078

3 Yf(z) Js Yf(z) 14 14

24

O

14 (2z 3 -9z2 -} 9z ^ --4A2)dz

3

(2—z) Yf (z) 14

9

=3f 14

(2z3-9z2 ^-9z-+-4b2)dz +3 arccos 19 — n=3,5355

3 (2—z) Yf (z) 14

und berechnet sich leicht die folgenden Daten, nach denen die Zeichnung ausgeführt ist.


Fig. 4.

r

^ ^

I 1

^ 6 '9'1 1451 2 1452 2 1483 2 44, 2 442 2 443 1

0 0 6 18 18 22 10 10

1 0 -{- z — 3 an cos1, 9 9 24 19 19 4

2 20+2n-3arccos io 18 6 1S 10 22 10

3 3 0 24 9 9 4 19 19

4 4 0- 27c-{-3arccos ū 18 18 6 10 10 22

5 5 0 - 7c -i- 3arccos„ 9 24 9 19 4 19

6 6 0 6 18 18 22 10 10

Gröbli, Bewegung geradliniger paralleler Wirbelfaden. 71

2). 12 < 2 . Die Gleichung

z 3 -6z2 -}- 9z-41 2 = 0

besitzt drei reelle Wurzeln innerhalb folgender Grenzen

0< z l < 2—Y3, 2<z2 <3, 3< zg <2+Y3. 21)

Die Wurzel zl entspricht dem Minimum von s i , die Werthe z, und 23 sind mit einem reellen Dreiecke nicht verträg-lich. Die Gleichung

—4z'1- 12z'-9 2 +412 =0

besitzt ebenfalls drei reelle positive Wurzeln innerhalb der Grenzen

0< z' <2, 2< z" < 2, 2 < z"' <2, 22)

welche alle drei mit einem reellen Dreiecke verträglich sind. Die sechs Wurzeln der Gleichung f(z) = 0 sind, ihrer Grösse nach geordnet,

zl < z' < z" < z"' < z2 < 02 und es ist

f(z)=- 4 (z — zl)(z — z') (z — z")(z — z"')(z —z2 )(z—z3),

also positiv wenn z zwischen zl und z', oder zwischen z" und z 1 ", oder endlich zwischen z a und 23 liegt. z = z"' ist der grösste Werth, den z überhaupt annehmen kann, es muss daher entweder z l < z < z' sein, oder aber z" < z < z"'. Der Unterschied zwischen beiden Fällen besteht einfach in einer Vertauschung des Fadens 1 mit einem der Fäden 2 und 3. Wir wollen voraussetzen es befinde sich z zwischen z l und z'. Die Zeit, die verfliessen muss, damit die drei Fäden wieder in die anfängliche gegenseitige Lage und denselben Bewegungszustand ge-langen, ist


T=42. 2 ( z d z 71 Y f(u)

und während dieser Zeit haben sich die Grössen ü um

z (2 —z)Yf(z)

vermehrt. s1 2 liegt zwischen den Grenzen z1 und z', s2 2 und s3 2 befinden sich innerhalb der Grenzen z" und z' . Wir wollen ausgehen von dein Augenblicke, in welchem das Dreieck gleichschenklig ist, 1 an der Spitze, s l ein Mi-nimum. sr und s3 nehmen zu, s 2 nimmt ab, zur Zeit

t = 4 T sind die drei Fäden in gerader Linie, 3 zwischen

1 und 2 und zwar näher an 2 als an 1. Das Dreieck

ändert sich weiter, hat zur Zeit t = 2 T wieder die an-

fängliche Gestalt, zur Zeit t = 4 T sind die drei Fäden

wieder in gerader Linie und zwar in der vorigen gegen-seitigen Lage, nur 2 mit 3 vertauscht, u. s. f. Die Curven, welche von den Fäden 2 und 3 durchlaufen werden, kön-nen durch Drehung um den Schwerpunkt zur Deckung gebracht werden. •

Es bleibt noch übrig, den Fall 2 2 = 2 zu behan-

deln. Die Integrale in 14) und 15) lassen sich leicht ausführen, man findet

1 g (r3 -I- Y—s1 4 2 4s1 2 -11 t

6 Y3 le 2— s1 J

23)

2 ('z' (2z 3 - 9 z 2 -I-9 z -I-42. 2 )cbz 24)

— 1 log -{- Y— s1 4 -f-4s 1 2- 1 25)

31(3 (Ys 1-2s12


arc cos 2 2—s 2_ 1 g (Y3 + Y—s1 4 24s1 2-1)

1 lo tt Y3 2 Y3 2 — sl

1 log (Y3s1 2 -{- 2 -1) ) + Y3 g 1- 2 s1 2

Y—s,4+ 1 26

s5 2 muss zwischen 2 — Y3 und 2 liegen; sowohl t als

verschwinden für s1 2 = 2 — Y3. Im Augenblicke t = 0 ist das Dreieck gleichschenklig und''zwar ist

s1 1 _2—Y3, 812—s22—

1 } Y3

2 Mit der Zeit nehmen s1 und s2 zu, s3 nimmt ab;

erst nach unendlich langer Zeit liegen die drei Fäden

in gerader Linie, und zwar ist dann s1 2 = s3 2 = 2 , 82 2 =--

2, der Faden 2 ist in der Mitte zwischen den Fäden 1 und 3. Die Bahnen aller drei Fäden sind Spiralen,

welche den Kreis vom Radius J^ 2 zum asymptotischen

Kreise haben; für die Bahnen von 1 und 3 ist überdiess der Anfangspunkt ein asymptotischer Punkt. Wenn t

einigermassen gross ist, so ist die Bewegung sehr ange-nähert die, dass sich die Fäden 1 und 3 auf dem Kreise

vom Radius2 , einander diametral gegenüberliegend,

mit der Geschwindigkeit 2 Y2 bewegen, während 2 sich

im Anfangspunkt befindet.

§ 7.

Dritter Fall. m1 = 2 m 2 = — 2 m3 .

Die Gleichungen 8) und 9) § 2 können geschrieben werden


2 PI' T P2 2 — Ps t = 2 2, 1)

• SI s2 2 = 53 2 . 2)

bedeutet eine willkürliche Constante; über die Einheit der Länge wurde in passender Weise verfügt. Aus 12) § 2 ergibt sich

31 2 = 4 PI 2 , 32 2 —P2 2 -1, s3 2 —(18 2 +3 1. 3)

Mit Benutzung dieser Gleichungen geht 2) in

PI (P2 2— Z)= es' + 3 A 4)

über. Aus 1) und 4) folgt durch Elimination von Pa

(P1- 1 )(Q, 1 - 2 P, — a -2)= 22, + 2 . 5 ) Unter der Voraussetzung, es sei R -7-- 1 von Null

verschieden, ergibt sich aus dieser Gleichung

P22= 2 e1 2 -I-1PI +x

und nun aus 1)

2PI3-2,P I +32. 7) P32 —

PI -1

Hat A den Werth — 1, so verschwindet die rechte Seite in 5) und die Gleichung kann befriedigt werden, indem man von den beiden linker Hand stehenden Fac-toren irgend einen, oder beide zugleich, gleich Null setzt. Die Formeln, die sich ergeben, wenn man den zweiten Factor verschwinden lässt, sind in den allgemeinen Glei-chungen 6) und 7) enthalten: Setzen wir den ersten Factor der Null gleich, so erhalten wir

ei = 1 , P2 2— Ps 2 = 4

31 = 2 , s2 = 88

Das Dreieck der drei Wirbelfäden ist diesen Glei-chungen zufolge beständig gleichschenklig. Wir wollen auf diesen Fall nicht näher eingehen, da wir später, § 11, allgemein die Differentialgleichungen für die Bewegung

PI -1

Gröbli, Bewegurig geradliniger paralleler Wirbelfäden. 75

dreier Wirbelfäden, unter der Voraussetzung, dass das

Dreieck der drei Fäden fortwährend gleichschenklig sei,

integriren werden. Nehmen wir an, es verschwinden beide Factoren zu-

gleich, so bekommen wir

Px 2-1 f e2 2 = 3 , e3 2 = 7

sx= 2 , s,= 2 , s3= 2 ;

das Dreieck der drei Wirbelfäden ist beständig gleich-seitig und ändert auch seine Grösse nicht. Die Bewegung

besteht in einer Rotation des Dreieckes mit constanter

Geschwindigkeit um den Schwerpunkt. Bei willkürlichem Werthe von ä erhalten wir aus

11) § 2, mit Hülfe der Gleichungen 6) und 7)

3Px 2 — P,-1 cos (es — ei ) = 2 e

V 2 Q1 3-1 Px+ 31

cos (ex — ^2) —

^ Px 2 + ^ 1/ ei — 1 ^ l

2 Px ei' +1Px+

und hieraus

8)

1

V—Px 5+9 Px 4+21 (Jx 3+61 P1 2-12 PI+12

sin ('3'3— ,9'x)= 2 Px 2Px °-1Px+ 31 9)

1

V---Q15+ P x Px 2 4+21ex 3+6 —1, 2 e x +1 2 x sin (ei —e2 )= - --„ ^/ Eil 2 Nx 2 + 1 Px+

Das Vorzeichen des einen der beiden Sinus kann nach

Belieben gewählt werden, das Vorzeichen des andern ist

dann nach 10) § 2 bestimmt. Mit Benutzung des Bis-herigen ergeben sich aus den ersten der Differentialglei-chungen 3) und 4) § 2 folgende Gleichungen

(Px -1)3i2 (—Px 5 +9ei 4 + 21 Px 3 + 61 Px 2-12 e1+ 12)' I2 10)

dt 4 Px 2 (ei' +4


d'0 1 __ (P1 — 1) (P1 3 + 3P1 2 — P1 + a)

dt 4 P1 3 (P1 2 + a) Die Elimination von t aus 10) und 11) gibt dP 1 __ — Pi (Pi -1)112 (—e1 5+9 P1 4+22 P14+2 41 3+6 2, P1 2-24d- Z 2 ) 112 d^1 P13+3P12 —AP1 +x

12)

Durch Quadratur erhält man aus 10) und 12) t und n9'i durch hyperelliptische Integrale als Functionen von

Für einige Werthe von A treten Reductionen ein. Ist A = — 1 oder genügt es der Gleichung

— 35 2,-243=0 so sind die Integrale elliptische. Am einfachsten gestal-ten sich die Rechnungen für ä = 0; nur für diesen Werth von ä wollen wir dieselben weiter führen. Aus 10) und 12) erhalten wir für A = 0

—4(J1 2 c1P 1 dt —. 13) (Q1- 1) Y(P1 — 1)(9—P1)

d ^ 1 — — (e1 + 3 ) (IPI

P1 r (P1—l) (9— P1)

und durch Integration dieser Gleichungen folgt

t=,/ 9

— P1 + 4 Y(P1 — 1) (9 — P1) + 24 arc cos P1 - 1 .

P1 — 5 4 15)

^1 = arc cos P1 2 — 8 P1 + `9 16)

2 P1

Die Integrationsconstanten sind so bestimmt worden, dass für Px = 9 sowohl t als ü1 verschwinden.

Vom Augenblicke t = 0 an nimmt 9 1 fortwährend ab von 9 bis 1, 91 zu von 0 bis 2 gr. Gleichung 16) stellt die Bahn des Fadens 1 dar. Diese Bahn ist eine Curve vierter Ordnung, deren Gleichung sich in recht-winkligen Coordinaten wie folgt schreiben lässt

y14+ 2 (x1 2 -{- 2x1 — 23) J12+(x.1 +3) 2 (x1 -- 1) (x1 —9) = 0. 17)

11)

14)


Die x-Axe ist Symmetrieaxe, der Punkt x i = — 3, Y. = 0 Doppelpunkt. Setzen wir

x1 + 3 = p cosfr, y = psin9,

d. h. machen wir den Doppelpunkt zum Anfangspunkte von Polarcoordinaten, so ergibt sich aus 17)

= 4+8cos 18) Die Bahn des Fadens 1 ist dieser Gleichung zufolge die Fusspunktcurve eines Kreises vom Radius 4 in Bezug auf einen Punkt, der vom Mittelpunkte die Entfernung 8 hat.

Aus 16) ergibt sich

cos ^ 1 = e, 2- 8 ei4 9 2 ei

sin e, = 912

ei 3 YIN, -- 1 ) (9 —ei) ,

ferner aus 8) und 9)

COS (a9'y — '^'2) = —

1 (J1 —1

2 2

sin —*2)=— 1 9- 1 2 2

Setzt man diese Ausdrücke in die Gleichung aus e2 = cos 9.1 cos (fit — X9'2 ) + sin O1 sin (e, —

ein, so erhält man

cos ^2 = 2 P1`— `^ VQ, -1 2 P, 2

oder 2p1 - 9

x2 = 2

Aus 6) folgt für = 0

e2 2 — YP24- 8Q2 2

Pl = 4


Führt man diesen Ausdruck für Qi in die vorige Glei-chung ein und geht . zu rechtwinkligen Coordinaten über, so ergibt sich die Gleichung der Bahn des Fadens 2, welche in folgender Form geschrieben werden kann

(2x2 -7)y2 2 +(x2 -3) 2 (2x2 + 9)= 0 . 19)

Diese Gleichung stellt eine Curve dritter Ordnung dar, für welche die x-Axe eine Symmetrieaxe, der Punkt x 2 = 3, y2 = 0 ein Doppelpunkt, die Gerade 2 x 2 — 7 = 0 eine Asymptote ist. Die Curve besitzt nur eine reelle Asymptote. Reelle Werthe ergeben sich für y 2 nur, wenn

x2 zwischen -- 2 und 2 liegt.

In derselben Weise wie wir die Bahn von 2 bestimm-ten, ergibt sich die Bahn von 3. Man findet zunächst

27 xa=P1 2-9 Pi -}-

und hieraus 9 Y27 + 4 x3

Pi = 2 •

Substituirt man diesen Ausdruck für Pi in 7) und führt dann rechtwinklige Coordinaten ein, so ergibt sich folgende Gleichung

(2 x3 -11)ya 4 + 2 (x3 -9)(2 x 3- J -3 x3 -81 ) y3 2

+(2 x8 —27)(x3 2 +2 x3 -27) 2 =0. 20)

Die Bahn des Fadens 3) ist eine Curve fünfter Ord- nung, für welche die x-Axe Symmetrieaxe , die Gerade 2 x3 -- 11 = 0 die einzige reelle Asymptote, die Punkte

x3= --1± 2 Y9 , ya= 0 Doppelpunkte sind. Reelle Werthe erhält y3 nur, so lange

x3 zwischen — —27 und 27 liegt und zwar sind vier


•Werthe reell, falls x 3 zwischen - 4 und 2 ist, da-

gegen nur zwei, wenn x 3 sich zwischen 9 und 27 be-

findet. Die Curve fünfter Ordnung besitzt noch zwei reelle Doppelpunkte. Um dieselben zu finden, löse man Glei-chung 20) auf nach y 3 2 . Es ergibt sich

9)(2x„ 3 -4--3 x, —81) 4(5 x3 -27)174 x3 -}-27, 21)

2 x 3 - 11

Die beiden Werthe von y 3 2 welche jedem x 3 entsprechen fallen zusammen, wenn entweder 5 x 3 — 27 oder 4 x 3 -1- 27 gleich Null ist. Dem Verschwinden der ersten Grösse ent-sprechen zwei Doppelpunkte; die Coorclinaten derselben sind

27____ 4_ 54 x3 , ./3 _

a;3 = — ist eine der oben angegebenen Grenzen für

x 3 , 4 x 3 ± 27 0 ist die Gleichung einer Doppeltangente. Wir wollen noch die Geschwindigkeiten bestimmen,

mit denen sich die Fäden bewegen. Aus 10) und 12) er-gibt sich für A = 0

ci Pi - 1 ^^ (Pi — 1 ) (9 — e1) dt — 4 P1 2 22) (ei —l)(-- 3)

4 ei 3

Pi — 1 70, — •

Pi 17 Pi 23)

Aus den Differentialgleichungen 3) und 4) § 2 erhält man

ferner

d P2 ei — 2 9 — PL de, • — 1 ) (ei + 6 ) 24) dt 4P1 2 f 2 ' dt 2 P13

cW1

dt — und hieraus folgt


(1 Pa __ 2 Pi —3 cl^s lPi -- 1) (2 Pi -}- 3) _ 25)

26)

27)

9 — Pl dt 4P,

und min aus 24)

2P1

und 25)

1

dt 2 Pi 3

/3(1, 1 - 2 202 =

2 91 Pi

Y10 P1 - 9 2v3

2 PI

Für Pi = 3 ist wi = 9 Y3 e in Maximum,. für Pi =

5 203 = 6 ebenfalls ein Maximum. w5 wächst von t = 0 an beständig. Wir sind nun im Stande, die Bewe-gung vollständig zu beschreiben.

Zur Zeit t = 0 befinden sich alle drei Fäden in der x-Axe, und zwar ist

9 27 x, = 9 , x2= - 2 , x3= 2 •

Die Geschwindigkeiten sind in diesem Augenblicke

8 5 1 202 = 54 , 203 =

. ..

Der Faden 1 bewegt sich in positivem Sinne um den Schwerpunkt herum, nähert sich demselben mehr und mehr, zuerst mit wachsender Geschwindigkeit. Nach einem halben Umlaufe , wenn x l = — 3, yi = 0 geworden ist, hat die Geschwindigkeit das Maximum erreicht und nimmt von jetzt an beständig ab, so dass erst nach unendlich

langer Zeit der Faden in die Lage xi = 1, yi = 0 ge-langt. — Der Faden 2 geht ebenfalls in positivem Sinne .um den Schwerpunkt herum, mit beständig zunehmender Geschwindigkeit, nähert sich demselben erst bis auf die Entfernung 2 Y2 ; in diesem Augenblicke ist das Dreieck

5. Fig.

x3


der drei Fäden gleichschenklig, s l = 83 = 4, 82 .= 2 Y2 ; entfernt sich dann aber mehr und mehr und bewegt sich

schliesslich sehr angenähert mit der Geschwindigkeit 2

auf der Geraden x 2 = 2 im Sinne der wachsenden y.

Auch der Faden 3 geht in positivem Sinne um den An-fangspunkt herum und nähert sich demselben anfänglich mit zuneh-mender Geschwindigkeit.

Für Q3 = o Y2 erreicht

die Geschwindigkeit den

Maximalwerth 6 und

nimmt von nun an ab,

um gegen die Grenze 2

zu convergiren. Die Ent- fernung vom Schwer-

punkte wird noch kleiner,

Minimum, 23

welchem das Dreieck gleichschenklig ist, s i = s2 = 3,

s3 = 3 Ye ; nimmt dann ins Unbegrenzte zu und bald ist

die Bewegung angenähert die, dass der Faden die Gerade

= 2 mit der Geschwindigkeit 2 durchläuft. J3 ist

dann gleich J2. (Schluss folgt.)

erreicht das Y6 , in einem Augenblicke, in

s

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Specielle Probleme über die Bewegung geradliniger