Mathematische Probleme am Personalcomputer lösenEin Beitrag über neue Facetten der Mathematik im Zeitalter von dynamischer Geometrie und Computer-Algebra-Systemen von Ingmar Rubin

2008 – Jahr der Mathematik

Seite 2 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Agenda

Mathematik im Zeitalter von Computer und Internet

Übersicht wichtiger MathematikprogrammeDynamische Geometriesoftware (DGS) Computer Algebra Systeme (CAS)

Aufgaben Leitertransport – eine ExtremwertaufgabeKurvenkonstruktion: Versiera der AgnesiAlbrecht Dürer und die MuschellinieLose Rolle auf dem Seil

MathematikzeitschriftenLesenswerte BücherLinks

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Mathematik im Zeitalter von Computer und Internet Teil I

Der Einsatz von Personalcomputer und Internet eröffnen der Wissen-schaft Mathematik eine neue Dimension. Zahlreiche Aufgaben-stellungen, die bisher als quasi "nicht lösbar" galten, sind heute dank moderner Computersoftware zu bewältigen. Im Internet findet man zu fast jedem Teilgebiet der Mathematik passende Beiträge, Beispiel-aufgaben und Software. Neben den bekannten Suchmaschinen gibt es zahlreiche WEB Seiten von Mathematiklehrern und Freizeit-mathematikern die eine schnelle Übersicht bieten wie z.B. www.matheraetsel.deBeim Lösen der Aufgabenstellungen steht natürlich der Mensch nach wie vor im Mittelpunkt. Ohne mathematisches Grundlagenwissen undeiner Intuition zum Lösungsweg kann auch der schnellste Computer und die beste Software nicht zum Ziel führen. Der PC kann aber die Aufgabenstellung dynamisch visualisieren (Animation), die Berechnung beschleunigen und Ergebnisse graphisch darstellen.

Seite 4 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Mathematik im Zeitalter von Computer und Internet – Teil II

Der Computer befreit uns von Routineaufgaben wie:Bestimmung der Nullstellen von Polynomen, Auflösung, Vereinfachung von Gleichungen und Gleichungssystemen, Nährungslösungen von transzendenten Gleichungen,Primzahltest, Primfaktorzerlegung, GGT Bestimmung, Funktionenplotts in 2D und 3D-Darstellung,Differentiation und Integration von Funktionen,Grenzwertbestimmung,Simulation dynamischer Systeme usw.

Fragestellung: Wie kann ich mein Problem konkret lösen, wenn Taschenrechner und Exceltabelle nicht mehr genügen?

Wo finde ich eine Übersicht zu Programmen, die für das entsprechende Teilgebiet in Frage kommen?

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Mathematik im Zeitalter von Computer und Internet Teil III

In den vergangenen 15 Jahren sind von Studenten und Mathematik-lehrern eine Reihe interessanter und leistungsfähiger Mathematik-programme entstanden. Diese Programme können in der Regel kostenlos über das Internet geladen werden oder gegen eine geringe Gebühr (Shareware) bezogen werden.

Gegenüber kommerzieller Software ist der Einarbeitungsaufwand kleiner. Die Bedienbarkeit ist auf Schüler zugeschnitten, d.h. es werden keine teuren Spezialkurse benötigt, um mit diesen Programmen arbeiten zu können.

Auf meiner Homepage www.matheraetsel.de habe ich unter „Software“gegliedert nach Themengebieten eine Reihe wichtiger Programme aus den Bereichen Geometrie, Algebra/Zahlentheorie, Funktionenplotter, Computeralgebra und numerischer Simulation aufgezählt.

Seite 6 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Dynamische Geometrie – Was ist das?

die klassische Konstruktion mit Zirkel und Lineal wird mit Hilfe eines Computerprogramms ausgeführt,geometrische Objekte können beliebig gedehnt, gestaucht werden (Vorteil gegenüber der statischen Konstruktion auf dem Papier)Punkte können entlang von Linien, Kreisen geführt werden,Schnittpunkte von Objekten können verfolgt werden (Ortskurven)nicht zur verwechseln mit CAD Programmen!es handelt sich zumeist um Sharewareprogramme die von Mathematiklehrern für Schüler erschaffen wurden Entwicklung seit ca. 15 Jahren, wichtige Vertreter:Euklid: Roland Mechling www.dynageo.de (Shareware, 29 €)Z.u.L: Rene Grothmann (kostenfrei, Java Applet)GeoGebra: Markus Hohmeier (kostenfrei)Cynderella (49 €)

Seite 7 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

CAS – Computer – Algebra - Systeme

neue Qualität in der Bearbeitung und Berechnung mathematischer Probleme, an Stelle der numerischen Berechnung werden Gleichungen in algebraischer Form notiert, umgeformt und vereinfacht,Die Lösung des Problems repräsentiert sich nicht mehr für einen konkreten (numerischen) Fall, sondernd tritt in Form einer allgemeingültigen Gleichung auf,Integrale und Differentialgleichungen können symbolisch gelöst werdenBestimmung der Schnittmengen zwischen Körpern bzw. Kurvenunbegrenzte Arithmetik,Was ein CAS wie Mathematica zu leisten vermag, zeigt Eric Weisstein eindrucksvoll im Internet unter www.mathworld.comwichtige Vertreter sind unter www.matheraetsel.de/software aufgezählt

Seite 8 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Aufgabe: Leitertransport

Eine Leiter der Länge L soll von einer Gasse der Breite a in eine Gasse der Breite b transportiert werden.

Wie breit muss die Gasse b mindestens sein, damit der Leiteransportreibungslos funktioniert?

Anmerkung: die Leiter wird stets waagerecht transportiert.

a

b

L

Seite 9 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Leitertransport mit dem Programm Euklid

A CB

E

D

Seite 10 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Lösungsansatz zum Leitertransport

Die Dreiecke DBC, EFD und EAC sindeinander ähnlich. Weiterhin gilt im rechtwinkligen Dreieck EAC der Satz des Pythagoras.

Die Auflösung der Gleichungen nach b ergibt:

222, yxLyx

abx

+==−

ab

x=AC, y=AE

L² = x² + y²

(x-b)/a = x/y

A x-b

y-a

B C

D

E

F

22)(

xLxaxxb−

⋅−=

Seite 11 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Leitertransport mit CAS Mathematica, Teil 1

In[1]:= gleichung1 = Hx − bL ê a x ê yOut[1]=

−b + xa

xy

In[2]:= gleichung2 = L Sqrt@x^2 + y^2DOut[2]= L è!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2

In[3]:= loesung1 = Solve@8gleichung1, gleichung2<, 8b, y<DOut[3]= 99b → x −

a xè!!!!!!!!!!!!!!!L2 − x2, y →

è!!!!!!!!!!!!!!!L2 − x2 =, 9b → x +a xè!!!!!!!!!!!!!!!L2 − x2

, y → −è!!!!!!!!!!!!!!!L2 − x2 ==

In[4]:= b = b ê. loesung1@@1DDOut[4]= x −

a xè!!!!!!!!!!!!!!!L2 − x2

Seite 12 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Leitertransport mit CAS Mathematica, Teil 2

In[5]:= b1 = Simplify@D@b, xDDOut[5]= 1 −

a L2HL2 − x2L3ê2

In[6]:= loesung2 = Simplify@Solve@b1 0, xD, 8 L > 0, a > 0<DOut[6]= 99x → −$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 − I a

L M2ê3 L=, 9x → $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 − I aL M2ê3 L==

In[7]:= x = x ê. loesung2@@2DDOut[7]= $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 − I a

L M2ê3 L

In[8]:= bmax = FullSimplify@b, 8L > 0, a > 0<DOut[8]= $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 − I a

L M2ê3 H−a2ê3 + L2ê3L L1ê3

In[9]:= L = 10; a = 3;

Seite 13 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Leitertransport mit CAS Mathematica, Teil 3

In[10]:= graph1 = Plot@8b<, 8x, 0, L − 0.5<, AxesLabel → 8"x", "b"<,PlotPoints → 200, TextStyle → 8FontSize → 20<,GridLines → AutomaticD

2 4 6 8x

1

2

3

4b

Seite 14 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Leitertransport mit CAS Mathematica, Teil 4

x

10 $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 − J 310 N2ê3

N@xD7.42872

bmax

10 1ê3 $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 − J 310 N2ê3 H−32ê3 + 102ê3L

N@bmaxD4.09961

Seite 15 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Kurvenkonstruktion Versiera der Agnesi

Maria Gaetana Agnesi (1718 - 1799) war die erste

Mathematikprofessorin der Neuzeit. Sie wurde 1750

auf den Lehrstuhl für Mathematik der Universität

Bologna berufen und entdeckte die nach ihr

benannte Wendekurve Versiera der Agnesi. Ein

Punkt der gesuchten Kurve wird wie folgt

konstruiert:

- zeichne den Kreis k um M(0, r) mit dem Radius r,

- zeichne die Parallele p zur x-Achse durch den

Punkt P(0, 2 r),

- zeichne eine Gerade g durch den Punkt A(0,0) mit

positiven Anstieg,

- g schneidet den Kreis in B,

- g schneidet die Parallele in C,

- der Punkt D(cx,by) ist ein Punkt der gesuchten

Kurve

y

xA(0,0)

D(cx,by)

g

p

B

C

kM(0,r)

P(0,2 r)

Seite 16 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Konstruktion Versiera der Agnesi mit Euklid

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

P

A

B

C

D

g

p

M

Seite 17 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Kurvengleichung Versiera der Agnesi

Kreisgleichung mit Mittelpunkt in M(0, r):

Geradengleichung durch A(0,0) mit Anstieg m:

Parallele durch P(0, 2 r):

Schnittpunkt B zwischen Kreis und Gerade:

Schnittpunkt C zwischen Gerade und Parallele:

( ) 222 rryx =−+

xmyg ⋅=:

ryp ⋅= 2:

2

2

2 12,

12

mrmy

mrmx BB

+⋅⋅

=+

⋅⋅=

rym

rx CC ⋅=⋅

= 2,2

y

xA(0,0)

D(cx,by)

g

p

B

C

kM(0,r)

P(0,2 r)

m

Seite 18 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Kurvengleichung Versiera der Agnesi mit CAS, I

In[1]:= Kreis = x^2 + Hy − rL ^2 r^2

Out[1]= x2 + H−r + yL2 r2

In[2]:= Gerade = y m x

Out[2]= y m x

In[3]:= Parallele = y 2 r

Out[3]= y 2 r

In[4]:= Solve@8Kreis, Gerade<, 8x, y<DOut[4]= 98x → 0, y → 0<, 9x →

2 m r1 + m2 , y →

2 m2 r1 + m2 ==

In[5]:= yk = y ==2 m2 r

1 + m2;

Seite 19 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Kurvengleichung Versiera der Agnesi mit CAS, II

In[6]:= Solve@8Gerade, Parallele<, 8x, y<DOut[6]= 99x →

2 rm , y → 2 r==

In[7]:= xk = x ==2 r

m;

In[8]:= kurve = Eliminate@8xk, yk<, mDOut[8]= x2 y r2 H8 r − 4 yL

In[9]:= Solve@kurve, yDOut[9]= 99y →

8 r34 r2 + x2 ==

In[10]:= y =8 r3

4 r2 + x2;

Seite 20 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Kurvengleichung Versiera der Agnesi mit CAS, III

In[15]:= Plot@y, 8x, −5, 5<, AspectRatio → 0.3, AxesLabel → 8"x", "y"<,PlotPoints → 200, TextStyle → 8FontSize → 15<D

−4 −2 2 4x

0.5

1

1.5

2y

Out[15]= Graphics

Seite 21 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Albrecht Dürer (1471 - 1528)Die Konstruktion der Muschellinie

Zu den bedeutendsten Mathematikern der Renaissance zählen Leonardo da Vinci und Albrecht Dürer. Der Öffentlichkeit sind beide vorrangig als Künstler bekannt. Am interessantesten aus mathematischer wie auch aus kunsttheoretischer Sicht ist der Kupferstich Melancholie (1514). Das Werk ist Reich an mathematischen Bezügen. Neben der Abbildung eines magischen Quadrates, Instrumenten zur Konstruktion und der perspektivischen Darstellung kann man in die gedanken-versunkene Engelsgestalt durchaus das resignierende Nachsinnen über schwierige mathematische Probleme hineininter-pretieren.

Seite 22 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Konstruktionsanweisung zur Muschellinie

In Dürers grundlegenden Werk Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt in Linien ebnen unnd gantzen corporen finden wir eine Konstruktionszeichnung der Muschellinie (Konchoide):- zeichne eine waagerechte Gerade g- markiere auf g zwei Punkte A, B im Abstand von AB = 13cm- errichte in B die Senkrechte zu g und bezeichne sie mit s- skaliere die Gerade g von A beginnend in Abständen zu 1 cm,- skaliere die Gerade s von B beginnend in Abständen zu 1 cm,- zeichne Hilfsgeraden von g beginnend über s hinaus in dem 1 auf g mit 1 auf s, 2 auf g mit 2 auf s, usw. verbunden werden- trage mit dem Zirkel von g aus, auf den Hilfsgeraden den festen Abstand r=18cm ab- bezeichne die Endpunkte auf den Hilfsgeraden mit P1, P2, P3 ... P16

- trage von A aus die Strecke r=18cm auf g ab und bezeichne den Punkt mit P0

- verbinde die Punkte P0 ... P16 zur gedachten Muschellinie

Seite 23 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Konstruktion der Muschellinie mit zirckel und richtscheyt

Seite 24 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Punktweise Konstruktion der Muschellinie mit Zirkel und Lineal

Seite 25 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Konstruktion der Muschellinie mit Euklid

Seite 26 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Muschellinie mit Mathematicaü Geradengleichung durch den Punkt C(t,0) und S(a,t) als Zweipunkteform

In[1]:= gerade = Hy − 0L ê Hx − tL Ht − 0L ê Ha − tLOut[1]=

y−t + x

ta − t

ü Kreisgleichung mit Radius r und Mittelpunkt in C(t,0)

In[2]:= kreis = Hx − tL^2 + y^2 r^2

Out[2]= H−t + xL2 + y2 r2

ü Bestimmung der Schnittmenge ziwschen Kreis und Gerade durch Elimination des Paramters tals Ergebnis folgt eine algebraische Kurve 4.Ordnung in impliziter Form

In[3]:= kurve = Simplify@Eliminate@8gerade, kreis<, tDDOut[3]= r4 + y2 Ia2 − 2 a Hx + yL + 2 Ix2 + y2MM r2 Ix2 + y H−2 a + 3 yLM

ü Graphikpaket laden für die Darstellung von impliziten Kurvengleichungen

In[4]:= << Graphics`ImplicitPlot`

ü numerisches Beispiel für a=13 und r=18

In[5]:= a = 13; r = 18;

In[6]:= graph1 = ImplicitPlot@kurve, 8x, −30, 30<, PlotPoints → 200,AxesLabel → 8"x", "y"<D

Seite 27 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Plot der Muschellinie mit Mathematica

−30 −20 −10 10 20 30 x

−15

−10

−5

5

10

15

y

Seite 28 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Vollständige Konstruktion der Muschellinie (Konchoide) mit Euklid

Seite 29 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Aufgabe: Bahnkurve der losen Rolle

Ein Seil der Länge L=18 m ist an zwei Pfosten A, B unterschiedlicher Höhe befestigt. Der Abstand der beiden Pfosten beträgt a=10 m und ihre Höhendifferenz beträgt b=2m. Auf dem Seil gleitet eine lose Rolle R mit einem Gewicht. 1.) Auf welcher Bahnkurve bewegt sich die Rolle, bei stets straff gespannten Seil?2.) Wie verläuft die Bahn wenn das Seil zwischen B und R doppelt liegt für L=20m?

10

2

A

B

R

Seite 30 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Konstruktion der losen Rolle mit Euklid

Seite 31 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Bestimmung der Bahnkurve mit Mathematica

In[1]:= kreis1=x^2 + y^2 == r^2

Out[1]= x2 + y2 r2

In[2]:= kreis2=(x-10)^2 + (y+2)^2 ==(L-r)^2

Out[2]= H−10 + xL2 + H2 + yL2 HL − rL2

In[3]:= kurve = Simplify[Eliminate[{kreis1,kreis2},r]]

Out[3]= L4 + 16 H26 − 5 x + yL2 4 L2 H52 − 10 x + x2 + 2 y + y2L

Seite 32 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Plot der Bahnkurve im CAS

−2 2 4 6 8 10 12 x

−6

−4

−2

2

4

y

Seite 33 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Konstruktion mit Euklid bei doppelter Seilführung

Seite 34 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Bahnkurve bei doppelter Seilführung

In[1]:= kreis1=x^2 + y^2 == r^2

Out[1]= x2 + y2 r2

Der Radius für den zweiten Kreis muss halbiert werden, da das Seil jetzt doppelt liegt!

In[2]:= kreis2=(x-10)^2 + (y+2)^2 ==((L-r)/2)^2

Out[2]= H−10 + xL2 + H2 + yL2 14 HL − rL2

Die Kurve ergibt sich als Schnittmenge aus denbeiden Kreisen.

In[3]:= kurve = Simplify[Eliminate[{kreis1,kreis2},r]]

Out[3]= L4 + H416 − 80 x + 3 x2 + 16 y + 3 y2L2

2 L2 H416 − 80 x + 5 x2 + 16 y + 5 y2LIn[4]:= << Graphics`ImplicitPlot`; L = 20;

Seite 35 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Plot der Bahnkurve mit Mathematica

2 4 6 8 10 12 14 x

−6

−4

−2

2

4

y

Seite 36 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Mathematische Zeitschriften

Die Wurzel – mathematische Zeitschrift der Friedrich Schiller Universität Jenawww.wurzel.org

MONOID - Mathematikblatt für Mitdenker http://wwwalt.mathematik.uni-mainz.de/monoid/

Seite 37 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Fünf Minuten Mathematik – lesenswerte Mathematikbücher

Im Zeitalter von PC und Internet sollte man das Lesen von Büchern nicht vernachlässigen. Im folgenden möchte ich auf einige, lesenwerte Mathematikbücher hinweisen: (siehe auch „Rezessionen“ auf www.mathematik.de )

Ehrhard Behrends: „Fünf Minuten Mathematik – 100 Beiträge der Mathematik- Kolumne der Zeitung Die Zeit“, www.vieweg.de

Gero von Randow: „Das Ziegenproblem – Denken in Wahrscheinlichkeiten“ Rowohlt Taschenbuch

Marcus du Sautoy: „Die Musik der Primzahlen – auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik“, C.H. Beck Verlag

A.G. Konforowitsch: „ Guten Tag Herr Archimedes“, Verlag Harri Deutsch Frankfurt a.M.Monika Noack: „Mathe mit dem Känguru – Die schönsten Aufgaben von 1995-2005“,

Hanser VerlagN.Hermann: „Mathematik ist überall“, Oldenbourg Verlag München - Wien

Seite 38 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

Links zur dynamischen Geometrie und CAS

www.matheraetsel.dewww.dynamische-geometrie.de/index1.htm

Kegelschnitte als Ortskurven: www.informatik.uni-bremen.de/~shahn/mathematik/kegelschnitte/index.htmlRezension von Dynamische Geometrie-Software (DGS):www.r-krell.de/m-bespr-d.htmKonstruktionen mit DGS Programm EUKLID: www.juergen-roth.de/dynageo_roth.htmlComputeralgebra in Baden-Württemberg:www.lehrer.uni-karlsruhe.de/~za242/CAS/Computer-Algebra-Systeme (CAS) an der Schulewww.ikg.rt.bw.schule.de/leucas/Übersicht verfügbarer CAS Programmewww.fs-physik.uni-bonn.de/cip/cip_cas.shtml

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