Spectral and Evolution Problems Vol. 14

Spectral and Evolution ProblemsVol. 14Спектральные и эволюционные задачиТом. 14

Editors:N. D. Kopachevsky, I. V. Orlov

Taurida National V.Vernadsky UniversitySimferopol, Ukraine

Editorial Board:

N. D. Kopachevsky (editor-in-chief, Simferopol, Ukraine)A. B. Antonevich (Minsk, Belarus)T. Ya. Azizov (Voronezh, Russia)Yu. V. Bogdansky (Kiev, Ukraine)A. A. Chikrii (Kiev, Ukraine)M. L. Gorbachuk (Kiev, Ukraine)M. M. Malamud (Donetsk, Ukraine)I. V. Orlov (associate editor, Simferopol, Ukraine)Ya. A. Roitberg (Chernigov, Ukraine)A. G. Rutkas (Kharkov, Ukraine)Yu. S. Samoılenko (associate editor, Kiev, Ukraine)A. L. Skubachevskii (Moscow, Russia)

Advisory Editorial Board:

M. S. Agranovich (Moscow, Russia)K. I. Chernyshov (Voronezh, Russia)V. A. Derkach (Donetsk, Ukraine)Yoshinori Kametaka (Osaka, Japan)V. I. Ovchinnikov (Voronezh, Russia)S. N. Samborsky (Caen, France)L. R. Volevich (Moscow, Russia)V. I. Zhukovskiy (Moscow, Russia)

Editorial Group:

I. V. Orlov (Simferopol, Ukraine)P. A. Starkov (Simferopol, Ukraine)

Simferopol, Ukraine

Taurida National V.Vernadsky UniversityBlack Sea Branch of Moscow State UniversityCrimean Scientific Center of Ukrainian NAS

Crimean Academy of SciencesCrimean Mathematical Foundation

SPECTRAL AND EVOLUTION

PROBLEMS

Proceedings of the Fourteenth Crimean AutumnMathematical School-Symposium

(KROMSH-2003)

September 18 – 29, 2003, Sevastopol, Laspi

Volume 14

Simferopol, 2004

UDC 517.432+517.515+515.958

Spectral and Evolution problems: Proceedings of the Fourteenth Crimean AutumnMathematical School-Symposium. Vol. 14. /Group of authors. — Simferopol: TauridaNational V. Vernadsky University, Black Sea Branch of Moscow State University, CrimeanScientific Center of Ukrainian NAS, Crimean Academy of Sciences, Crimean MathematicalFoundation, 2004. — ??? pp. — in English and Russian.

This collection contains accounts of lectures and papers of the participants of theFourteenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium, which was held by the CrimeanMathematical Foundation. The materials of the Symposium are devoted to the actualmathematical investigations in the field of spectral and evolutionary problems, and to theclose questions.

It is addressed to teachers, scientists, senior and post-graduated students of mathematicaland physical specialities.

c©Taurida National V.Vernadsky UniversityBlack Sea Branch of Moscow State UniversityCrimean Scientific Center of Ukrainian NASCrimean Academy of SciencesCrimean Mathematical Foundation, 2004.

iii

Предисловие

Четырнадцатая Крымская Осенняя Математическая школа-Симпозиум КРОМШ-2003проходила с 18 по 29 сентября 2003г. в поселке Ласпи, в одном из лучших мест ЮжногоБерега Крыма – заливе Батилиман, на территории базы отдыха "Чайка".

Как и в предыдущие годы, Оргкомитет КРОМШ возглавлял заведующий кафедрой ма-тематического анализа Таврического Национального Университета им. В.И.Вернадского,профессор Н.Д.Копачевский. Организация и проведение Школы проходили при участиичленов локального Оргкомитета, сотрудников кафедры Б.Д.Марянина, М.А.Муратова,И.В.Орлова, Ю.С.Пашковой, С.И.Смирновой, П.А.Старкова.

В работе Симпозиума приняли участие около 150 математиков из Украины, России, Бе-лоруси, Армении, Польши, Израиля, Японии и Франции. Среди них было много известныхматематиков, много и молодых ученых, аспирантов, студентов.

На Школе были представлены четыре секции; две из них состояли из двух подсекций.

Секция 1. Спектральные задачи.

Подсекция 1.1. Несамосопряжённые операторы (Руководители: Антоне-вич А. Б. (Минск), Овчинников В. И. (Воронеж), Самойленко Ю. С. (Киев),Шульман В. С. (Вологда).Подсекция 1.2. Спектральная теория операторных пучков (Руководители: Шка-ликов А. А. (Москва), Копачевский Н. Д. (Симферополь), Хромов А. П. (Саратов),Рыхлов В. С. (Саратов), Хацкевич В. А. (Кармиэль).

Секция 2. Эволюционные и краевые задачи.

Подсекция 2.1. Дифференциально-операторные уравнения (Руководители: Во-левич Л. Р. (Москва), Якубов С. Я. (Хайфа), Власов В. В. (Москва), Черны-шов К. И. (Воронеж), Хапаев М. М. (Москва).Подсекция 2.2. Краевые задачи (Руководители: Агранович М. С. (Москва), Ску-бачевский А. Л. (Москва), Каметака Йошинори (Осака), Солонников В. А. (Санкт-Перербург).

Секция 3. Управление и экономическое поведение (Руководители: Коробов В. И. (Ще-цин), Зеликин М. И. (Москва), Жуковский В. И. (Москва), Курина Г. А. (Воронеж).

Секция 4. Информатика и дискретная математика (Руководители: Гу-ров С. И. (Москва), Донской В. И. (Симферополь), Сапоженко А. А. (Москва).

На КРОМШ-2003 было прочитано около 50 лекций. Ниже приводится список лекций.1. Агранович М. С. (Москва, Россия) 1) Спектральные граничные задачи для системы

Дирака 2) Суммирование ортогональных рядов2. Антоневич А. Б. (Минск, Белоруссия) Автоморфизмы алгебры матриц-функций3. Власенко М., Меллит А., Самойленко Ю. С. (Киев, Украина) О проблеме Г. Вейля и

диаграммах Дынкина4. Власов В. В. (Москва, Россия) Об асимптотическом поведении и оценках решений

функционально-дифференциальных уравнений5. Волевич Л. Р. (Москва, Россия) 1) Устойчивые пучки полиномов и цепочки Греда

кинетических уравнений 2) Задача Коши для гиперболических уравнений с малым пара-метром

6. Глушак А. В. (Воронеж, Россия) Абстрактные дифференциальные уравнения с дроб-ной производной

7. Дмитрук А. В. (Москва, Россия) Нелокальные люстерниковские оценки расстояниядо множества нулей нелинейного оператора

8. Дудов С. И. (Саратов, Россия) Наилучшее приближение выпуклого компакта шаромпроизвольной нормы

9. Жуковский В. И. (Москва, Россия) Достоинства и недостатки равновесия по Нэшу

iv

10. Зеликин М. И. (Москва, Россия) Геометрия двойного отношения и иерархияКадомцева-Петвиашвили

11. Kametaka Yoshinori (Osaka, Japan) Biharmonic operator in a sphere12. Коробов В. И. (Щецин, Польша) Решение задачи оптимального допустимого синтеза13. Куракин Л. Г., Юдович В. И. (Ростов-на-Дону, Россия) О нелинейной устойчивости

стационарных вращений Томсоновских вихревых многоугольников14. Курина Г. А. (Воронеж, Россия) 1) О приводимости одного класса оператор-функций

2) О разрешимости задач управления для дискретных дескриторных систем15. Левенштам В. Б. (Ростов-на-Дону, Россия) Усреднение квазилинейных параболиче-

ских уравнений, содержащих быстроосциллирующие слагаемые с большими амплитудами16. Лебедев А. В. (Минск, Белоруссия) Что такое математическая термодинамика17. Маламуд М. М., Маламуд С. М. (Донецк, Украина) Аналог теоремы Пуанкаре о

перемежаемости для нормальных матриц и теорема Гаусса-Лукаса18. Марченко В. М. (Минск, Белоруссия) Двойственность в задачах управления и на-

блюдения для гибридных систем с последействием19. Мельникова И. В. (Екатеринбург, Россия) Полугрупповые методы регуляризации

некорректных дифференциальных задач20. Моторный В. П. (Днепропетровск, Украина) О сходимости рядов Якоби в Lp.21. Мышкис А. Д. (Москва, Россия) Импульсные дифференциальные уравнения22. Новокшенов В. Ю. (Уфа, Россия) Специальные функции и метод задачи Римана23. Овчинников В. И. (Воронеж, Россия) О точности теорем вложения для обобщенных

пространств Лионса-Петре24. Петров В.Э. (С-Петербург, Россия) Интегральное преобразование на отрезке и мно-

гочлены Якоби25. Печенцов А. С., Попов А. Ю. (Москва, Россия) Асимптотическое поведение плотно-

сти спектральной меры оператора Штурма-Лиувилля26. Рабах Рабах (Нант, Франция) Неэкспоненциальная устойчивость систем нейтраль-

ного типа27. Рыхлов В. С. (Саратов, Россия) О полноте собственных функций простейшего диф-

ференциального оператора28. Рябенький В. С. (Москва, Россия) Неотражающие искусственные граничные усло-

вия, равносильно заменяющие систему Максвелла вне ограниченной расчетной подобласти29. Савин А. Ю. (Москва, Россия) Эллиптические операторы на многообразиях с осо-

бенностями и К-теория30. Самборский С. Н. (Кан, Франция) Лекции по дифференциальному исчислению,

или как дифференцировать разрывные функции, чтобы была верна теорема о конечномприращении (Цикл из трех лекций по заказу Оргкомитета)

31. Седлецкий А. М. (Москва, Россия) Негармонический анализ в весовых простран-ствах

32. Сильченко Ю. Т. (Воронеж, Россия) Абстрактная задача Коши с необратимым опе-ратором при производной

33. Скляр Г. М. (Щецин, Польша) Новые результаты об управляемости вращающейсябалки Тимошенко

34. Скубачевский А. Л. (Москва, Россия) Эллиптические задачи с нелокальными крае-выми условиями в двумерных и многомерных областях

35. Соболевский П. Е. (Иерусалим, Израиль) Well-posedness of difference elliptic equation36. Солонников В. А. (Санкт-Петербург, Россия) Об устойчивости неосесимметричных

фигур равновесия вращающейся жидкости37. Стебловская В. Р. (Boston, USA) Topics from mathematics of finance38. Хапаев М. М. (Москва, Россия) О некоторых сингулярно возмущенных задачах

v

39. Хацкевич В. А. (Кармиэль, Израиль) [3 лекции] Operator Fractional Relations: Theoryand Applications 1) Dichotomy of solutions to nonautonomous dynamic system and operatorlinear fractional relations 2) Phillips extension problem of pairs of dual subspaces and operatorlinear fractional relations 3) Koenigs embedding problem on iterates of holomorphic mappingand operator linear fractional relations

40. Хромов А. П. (Саратов, Россия) Интегральные операторы с переменным пределоминтегрирования

41. Чернышов К. И. (Воронеж, Россия) Об операторе Коши нестационарных линейныхдифференциальных уравнений с малым параметром при производной

42. Шкаликов А. А. (Москва, Россия) Спектральные портреты несамосопряженных за-дач с малым параметром

43. Шульман В. С. (Вологда, Россия) Топологические радикалы в банаховых алгебрах44. Якубов С. Я. (Израиль) Начально-краевая задача для дифференциально-

операторных уравнений гиперболического типаБольшинство участников Школы представили доклады на заседаниях секций и под-

секций. Как всегда, обмен научной информацией не укладывался в формальные рамки.Активное и плодотворное неформальное общение стало многолетней традицией КРОМШ.

В настоящем сборнике трудов КРОМШ-2003 представлены как материалы лекций идокладов, сделанных на Школе, так и некоторые работы участников, формально не доло-женные на Школе.

_

Светлой памяти Оксаны Андреевны Зиза

СУММИРОВАНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ

М. С. АграновичМосковский институт электроники и математики (МИЭМ)

Москва, Россия

Это краткий обзор некоторых направлений в теории суммирования ортогональ-ных рядов, написанный в основном по монографии О. А. Зиза (1999).

This is a short survey of some aspects in the theory of summability of orthogonalseries. It is mainly based on the monograph by O. A. Ziza (1999).

1. Введение

Пусть fn(x)∞0 — ортонормированная система функций, ОНС, из L2[0, 1]. Если cn∞0— числовая последовательность из l2, то по теореме Фишера–Рисса ряд

∞∑

0

cnfn(x) (1)

сходится в L2[0, 1] к некоторой функции f(x), при этом она имеет коэффициенты Фурьеcn по данной системе. Такой ряд называют ортогональным рядом. Все числа и функциисчитаем вещественными.

Согласно знаменитой теореме Карлесона (1966), если fn — тригонометрическая систе-ма на [0, 1], то ряд (??) сходится к f(x) почти всюду на [0, 1]. В случае общей ОНС fn дав-но возник следующий вопрос: при каких дополнительных условиях на коэффициенты cn

имеет место сходимость ряда (??) к f(x) почти всюду. Согласно теореме Д. Е. Меньшова–Радемахера (1923, 1922) (см. [?], [?] или [?]), таким условием является неравенство

∞∑

2

c2n ln2 n < ∞, (2)

причем это условие нельзя ослабить.Это примеры известных теорем в теории ортогональных рядов. Об их предыстории

мы скажем несколько слов в разд. ??. Д. Е. Меньшову принадлежит также более об-щая постановка вопроса: при каких условиях на коэффициенты ортогональный ряд (??)суммируется к f(x) почти всюду тем или иным регулярным методом суммирования.

Напомним для начала простейший метод суммирования — метод средних арифмети-ческих. Числовой ряд

∞∑

0

un (3)

c последовательностью частных сумм Sn, по определению, суммируется этим методом кчислу S, если арифметические средние

Sn =1

n + 1(S0 + · · · + Sn) (4)

сходятся к S. В этом случае говорят также, что метод средних арифметических суммируетпоследовательность Sn к S.

Кстати, напомним теорему Фейера (1900) из курса анализа: тригонометрический рядФурье непрерывной периодической функции равномерно суммируется к ней методом сред-них арифметических. Непрерывности и периодичности мало для поточечной сходимости(дю Буа-Реймон, Фейер, Лебег).

4

При рассмотрении суммируемости ортогональных рядов возникает ряд содержательныхвопросов; некоторые из них будут упомянуты в настоящем докладе. Не случайно они при-влекали классиков анализа (в особенности в начале ХХ века). Вслед за ними исследованияпродолжали другие математики.

Теория ортогональных рядов, включающая теорию их суммирования, — это увлека-тельная область математического анализа, в которой результаты часто представляют об-щематематический интерес. Упомянем, что некоторые факты этой теории сохраняются,если заменить отрезок пространством с мерой. (Но мы не будем в это углубляться.) И на-помним, что, как хорошо известно, самосопряженный дифференциальный или псевдо-дифференциальный оператор с дискретным спектром имеет полную ОНС из собственныхфункций.

Оксана Андреевна Зиза занималась главным образом построением теории суммирова-ния общих ортогональных рядов методами (ϕ, λ). Это обширный класс, содержащий трис половиной десятка классических методов суммирования, возникших в разных вопро-сах анализа. О. А. провела его исследование в нескольких направлениях. Отправляясь отклассических постановок и результатов, она обобщила результаты своих предшественни-ков и доказала ряд теорем общего характера о суммировании ортогональных рядов мето-дами (ϕ, λ). Из этих теорем следует много новых конкретных результатов для известныхклассических методов.

Настоящий доклад, прочитанный в 14-й Крымской осенней математической школе всентябре 2003 г., является обзором этой деятельности в основном на базе книги [?]1. Ис-пользованы также работы [?], [?] Оксаны Андреевны и тексты ее выступлений в 2001–02гг. (на семинаре в Гeтеборге и на конференциях в Таллинне, Дюрсо и Ханое). Доклад на-писан для математиков, не являющихся специалистами по теории ортогональных рядов,и его автор тоже не является таким специалистом. Доказательства и другие подробностиследует смотреть в первую очередь в цитируемой здесь литературе.

Мы останавливаемся в разд. ??–?? сравнительно подробно на трех вопросах: сравнениеи эквивалентность методов суммирования; множители Вейля; перестановки в ортогональ-ных рядах. Это соответственно материал глав II и IV книги [?] и последней работы [?]О. А. Зиза. Некоторые другие вопросы, обсуждаемые в книге, упоминаются в разд. ??.Разумеется, мы не затрагиваем многие детали. Это касается и ссылок. Литература в [?]содержит 31 название монографий и обзоров и 260 оригинальных статей более чем 140авторов. Сделать ссылки полными в настоящем докладе не было никакой возможности.

Оксана Андреевна погибла в результате несчастного случая 8 ноября 2002 года в горномпарке Кисловодска.

2. Методы суммирования числовых рядов

2.1. Основные определения. Матричный метод суммирования числовых рядов (??),или метод Теплица, задается матрицей

B = (bn,k)∞n,k=0, (5)

преобразующей последовательность частных сумм Sn в новую последовательность «сред-них»

Tn =∑

k

bn,kSk (6)

(здесь и дальше подразумевается, что все выписываемые ряды должны сходиться). Еслипоследовательность (??) сходится к числу S, то говорят, что этот метод суммирует ряд

1Желающие получить эту книгу могут обратиться к автору настоящего доклада по электронномуадресу [email protected]

5

(??) (и последовательность Sn) к S. Например, метод средних арифметических имеетнижнюю треугольную матрицу

1 0 0 0 . . .12

12

0 0 . . .13

13

13

0 . . .. . . . . . . . . . . . . . .

.

Метод суммирования называется регулярным, если он суммирует любой сходящийсяряд к его сумме. Три условия, необходимые и (вместе) достаточные для регулярности,хорошо известны (и легко проверяются), cм. [?] или [?]:

limn→∞

bn,k = 0 (k = 0, 1, . . . ),

limn→∞

∑

k

bn,k = 1,

∑

k

|bn,k| ≤ Const (n = 0, 1, . . . ).

(7)

Как легко видеть, метод средних арифметических регулярен. Он содержится в шкалеметодов Чезаро (C,α) (будем считать, что α > 0) со средними

Sαn =

(n + α

n

)−1 n∑

k=0

(n − k + α − 1

n − k

)Sk. (8)

Все методы Чезаро регулярны, см. [?] или [?]. Метод средних арифметических — это метод(C, 1).

Далее мы рассматриваем только регулярные методы.Если метод T2 суммирует все последовательности, суммируемые методом T1, и притом

к тем же суммам, то говорят, что метод T2 не слабее метода T1, и пишут T1 ⊂ T2. ЕслиT1 ⊂ T2 и T2 ⊂ T1, то эти методы называют эквивалентными и пишут T1 ∼ T2. ЕслиT1 ⊂ T2 и эквивалентности нет, говорят, что метод T2 сильнее метода T1. Например,метод (C,α′) сильнее метода (C,α) при α < α′, cм. [?] или [?].

Подставляя Sn = un−un−1, легко формально преобразовать B в матрицу, переводящуюпоследовательность членов ряда un в последовательность средних T ′

n. Получаемый приэтом метод T ′ эквивалентен исходному методу T , если строки в матрице B конечны. Этодостаточное условие для эквивалентности.

Кроме методов с дискретным параметром n, рассматривают методы с непрерывнымпараметром t, стремящимся, скажем, к 0, 1 или +∞. Например, метод Абеля определяетсяследующим образом: обобщенная сумма ряда (??) есть

S = limt↑1

∞∑

0

untn, (9)

если этот предел существует и конечен. Здесь вспоминается «вторая теорема Абеля» вкурсе анализа. Метод Абеля тоже регулярен и сильнее всех методов Чезаро, см. [?] или [?].

2.2. Методы (ϕ, λ). Каждый метод из этого класса задается функцией ϕ(t) на [0,∞)c пределом 1 в t = 0 и нулевым пределом на +∞ и последовательностью λ чисел λn:0 ≤ λ0 < λ1 < . . . , λn → ∞. Метод суммирует ряд (??) к числу S, если

σ(t) =∞∑

0

unϕ(λnt) → S (t → 0). (10)

6

По-видимому первое упоминание таких методов, с λn = n, встречается у Фейера (1904).Необходимое и достаточное условие регулярности имеет вид

∞∑

0

|ϕ(λnt) − ϕ(λn+1t)| ≤ Const (t > 0). (11)

Удобное достаточное условие состоит в том, что функция ϕ локально абсолютно непре-рывна и

∞∫

0

|ϕ′(t)| dt < ∞. (12)

Это условие не выполнено в случае обычной сходимости (ϕ(t) = 1 левее некоторой точкии 0 правее нее), но в дальнейшем мы всюду предполагаем, что оно выполняется.

Формальное преобразование Абеля в (??) приводит к средним

σT (t) =∞∑

0

[ϕ(λnt) − ϕ(λn+1t)]Sn. (13)

Соответствующий метод обозначается через (ϕ, λ)T . Методы (ϕ, λ) и (ϕ, λ)T заведомо эк-вивалентны, если ϕ(t) = 0 при больших t, в общем же случае это не так. Дело в том, чтоесли сходятся ряды, определяющие средние в одном из этих методов, то не обязательносходятся ряды, определяющие средние во втором методе. Если ϕ(t) ↓ 0 (монотонно) приt → ∞, то (ϕ, λ) ⊂ (ϕ, λ)T .

Есть еще дискретные варианты этих методов (t принимает дискретные значения), но наних мы нигде не будем останавливаться, кроме п. ??.

Приведем теперь примеры некоторых из 35 конкретных методов (ϕ, λ), сохраняя ихномера в [?].

1 Метод Рисса (R, λ, α) (α > 0):

ϕ(t) =

(1 − t)α при 0 ≤ t ≤ 1,

0 при t > 1.

При λ = n этот метод эквивалентен методу Чезаро (C,α), см. [?].3 Метод Абеля (A) (в другой форме записанный в (??)):

ϕ(t) = e−t, λ = n.5 Метод Линделефа (L):

ϕ(t) = e−t, λ = (n + 1) ln(n + 1).6 Метод Абеля–Дирихле (A, λ):

ϕ(t) = e−t, ∀λ.

7 Метод Гаусса (G):ϕ(t) = e−t2 , λ = n.

8 Метод Стильтьеса (S, λ, s) (s > 0):

ϕ(t) = (1 + t)−s.

10 Метод Римана (R, λ, κ) (κ = 2, 3, . . . ):

ϕ(t) = (t−1 sin t)κ.

12 Обобщенный метод Бернштейна–Рогозинского (B, λ, κ) (κ > 0):

ϕ(t) =

cosκ πt

2при 0 ≤ t ≤ 1,

0 при t > 1.

7

21 Обобщенный метод сумматорной функции (SF, ϕ): функция ϕ абсолютно непре-рывна, равна 1 при t = 0 и 0 при t ≥ 1.

Методы 1, 12 и несколько других — частные случаи этого метода.

22 Метод Ламберта (L):

ϕ(t) = te−t(1 − e−t)−1, λ = n.

25 Метод Лапласа (L, λ, α) (α > −1):

ϕ(t) =1

Γ(α + 1)

∞∫

t

ταe−τdτ.

30 Метод Харди (H):ϕ(t) = 2(et + 1)−1, λ = n.

Приведем теперь тауберову теорему О. А. Зиза для методов (ϕ, λ) (1979):

Пусть

λn+1 = O(λn),

∞∫

1

t−1|ϕ(t)| dt < ∞ и ϕ ∈ Lip [0, ε]

при некотором ε > 0, и пусть ряд (??) суммируется к числу S методом (ϕ, λ). Тогда онсходится к S, если

1

λn

n∑

0

ukλk → 0 или un = o((λn+1 − λn)λ−1

n+1

)(n → ∞).

2.3. Заканчивая этот параграф, упомянем некоторые методы, не являющиеся методами(ϕ, λ): методы Чезаро; методы Эйлера (E, q) (q > 0) со средними

Eqn =

1

(1 + q)n

n∑

k=0

(nk

)qn−kSk;

метод Бореля (B) со средними

B(t) = e−t

∞∑

0

tk

k!Sk (t → +∞).

3. Включения и эквивалентности

3.1. Определения. При рассмотрении суммируемости ортогональных рядов сравнениеи эквивалентность методов суммирования определяются заново следующим образом. Ме-тод T2 не слабее метода T1 в L2, если всякий ортогональный ряд, суммируемый методомT1 почти всюду, суммируется методом T2 тоже почти всюду. Обозначение: T1 ⋐ T2. Совпа-дение сумм почти всюду оговаривать здесь не нужно, так как всегда, если ортогональныйряд суммируется к некоторой функции почти всюду, то эта функция почти всюду сов-падает с суммой ряда в L2[0, 1]. Если T1 ⋐ T2 и T2 ⋐ T1, то методы T1 и T2 называютэквивалентными в L2 и пишут T1 ≈ T2. Если T1 ⋐ T2 и эквивалентности нет, то говорят,что метод T2 сильнее метода T1 в L2.

При переходе от числовых рядов к ортогональным некоторые соотношения включениясущественным образом меняются; например,

(C,α) ≈ (A),

8

так что, в частности, все методы Чезаро эквивалентны в L2. Это комбинация результатовА. Н. Колмогорова, Качмажа и Зигмунда (1924, 25, 27), формулировку которой мы чутьниже дополним, см. формулу (??). Доказательства cм. в [?] и [?].

3.2. Эквивалентность методам T [nm]. Пусть nm — возрастающая последователь-ность натуральных чисел. Метод суммирования T [nm], определенный в общем случаеД. Е. Меньшовым, состоит в переходе от последовательности Sn (частных сумм числово-го ряда) к подпоследовательности Snm. А. Н. Колмогоров, Качмаж и Зигмунд доказали,что

(C,α) ≈ (A) ≈ T [2m]. (14)

Конечно, эквивалентность такому прозрачному по структуре методу, как T [nm], в из-вестной мере выявляет «силу» рассматриваемого метода.

Зигмунд показал (1927), что(R, λ, α) ≈ T [nm], (15)

где nm — занумерованные в порядке возрастания числа νs, удовлетворяющие условию

λνs ≤ 2s < λνs+1 (s = s0, . . . ). (16)

Здесь величину 2s можно заменить на qs c любым q > 1; последовательность nm приэтом изменится, nm = nm(q), но эквивалентность сохранится; это мы поясним немногониже. Ср. [?].

О. А. Зиза в своей кандидатской диссертации (1962, ее руководителем был Д. Е. Мень-шов) показала, что

(E, q) ≈ T [m2] ≈ (B), (17)

см. [?]. Этот результат не доказывается в книге [?], так как методы Эйлера и Бореля неявляются методами (ϕ, λ). Эквивалентность (E, q) ≈ T [m2] одновременно и независимоустановил (но, видимо, не опубликовал) С. Б. Стечкин.

В литературе имеется еще несколько теорем, близких к сформулированным, в том числедля некоторых методов (ϕ, λ). Д. Е. Меньшов получил, однако, следующий результат(1960):

Существует такой матричный метод суммирования T , что эквивалентность T ≈T [nm] не имеет места ни для какой последовательности nm.

Приведем еще теорему Качмажа (1934), см. [?] и [?]:

Пусть ортогональный ряд (??) суммируется почти всюду регулярным матричнымметодом T . Тогда существует такая последовательность номеров nm, зависящаятолько от T , что частные суммы ряда (??) c номерами nm сходятся почти всюду.

3.3. Теоремы о методах T [nm] и (ϕ, λ). Приведем теперь две теоремы Оксаны Андре-евны, вошедшие в книгу [?].

Первая — это необходимое и достаточное условие эквивалентности T [nm] ≈ T [km] (1981).Оно состоит в том, что

lim pm < ∞ и lim qm < ∞, (18)

где pm — количество чисел kl, таких, что nm < kl ≤ nm+1, а qm — количество чисел nl,таких, что km < nl ≤ km+1. Независимо эту теорему доказал Швинн.

Вторая — это общий результат для методов (ϕ, λ).Для его формулировки введем два обозначения. Обозначим через I класс функций ϕ,

удовлетворяющих условию∞∫

0

(1 + t)β|ϕ′(t)|p dt < ∞ (19)

9

при некоторых p и β, β > p− 1 > 0. Заметим, что это условие выполнено для всех 35 кон-кретных методов, рассмотренных в [?], если только в методе 21 (и 20) дополнительнопредположить, что ϕ′ ∈ Lp[0, 1] c некоторым p > 1. Далее, через N (λ) обозначим класспоследовательностей nm(q), q > 1, которые уже введены выше при формулировке теоре-мы Зигмунда. При фиксированной последовательности λ все методы T [nm] c nm ∈ N (λ)эквивалентны в силу только что сформулированной теоремы О. А. Зиза о методах T [nm].

Теперь формулируем вторую ее теорему (1979).

1. Пусть функция ϕ принадлежит классу I, и пусть последовательность nm при-надлежит N (λ). Тогда

(ϕ, λ) ⋐ T [nm] ⋐ (ϕ, λ)T . (20)

Эквивалентностей здесь в общем случае нет. Для уточнения картины положим

ρn(t) = |ϕ(λnt)| ln n. (21)

2. Если

supn

ρn(t) = Ct < ∞ (22)

при всех t > 0, то

(ϕ, λ) ≈ T [nm] ≈ (ϕ, λ)T . (23)

Если же функция ϕ(t) не возрастает и существует такое t0 > 0, что

ln ln λn = o(|ϕ(λnt0)| ln n) (n → ∞), (24)

то метод (ϕ, λ) не эквивалентен никакому методу T [nm].

Условие (??), конечно, выполнено в случае, когда функция ϕ(t) равна нулю при большихt, в нашем списке это методы 1, 12 и 21 c ϕ′ ∈ Lp, p > 1. Далее, оно выполнено дляметодов 3, 5, 7, 22, 30. Значит, для всех этих методов получаются эквивалентности(??). В частности, здесь содержится теорема Зигмунда (??).

Теперь рассмотрим, например, метод (A, λ). Если λn = vn ln ln n, где vn → ∞, то (A, λ) ≈T [nm]. Если же λn ≤ C0 ln ln n, то метод (A, λ) не эквивалентен никакому методу T [nm].

В качестве следствий получаются также результат об эквивалентности

(ϕ, λ) ≈ (ϕ, λ)T (25)

для ϕ ∈ I при условии (??) и об эквивалентности двух методов с общей последовательно-стью λ:

(ϕ1, λ) ≈ (ϕ2, λ), (26)

если обе функции ϕ1 и ϕ2 принадлежат I и для них выполнено условие (??).

Добавим в заключение, что, как показано в [?], для функций ϕ ∈ I методы (ϕ, λ) и T [nm]эквивалентны всегда в следующем смысле: на тех ортогональных рядах, для которых(ϕ, λ)-средние σ(t) существуют при всех t > 0 почти всюду по x.

4. Множители Вейля

4.1. Определения и классические результаты. Пусть w(n)∞0 — неубывающая по-следовательность из неотрицательных функций. Она называется множителем Вейля длясходимости ортогональных рядов по данной ОНС fn, если из условия

∞∑

0

c2nw(n) < ∞ (27)

10

вытекает, что ряд (??) по системе fn сходится почти всюду. Множитель Вейля называ-ется точным, если здесь последовательность w(n) нельзя заменить никакой последова-тельностью v(n) co свойством

v(n) = o(w(n)) (n → ∞). (28)

Обозначения: соответственно МВ и ТМВ.Аналогично определяются множитель Вейля и точный множитель Вейля для ортого-

нальных рядов по общей ОНС (т.е. по всем ОНС сразу).Наконец, аналогично определяются множитель Вейля и точный множитель Вейля для

суммируемости некоторым методом (вместо сходимости) ортогональных рядов по даннойили по общей ОНС.

Упомянутые в разд. ?? теоремы Карлесона и Меньшова–Радемахера означают, что ТМВдля сходимости ортогональных рядов по тригонометрической системе — последователь-ность из единиц, а ТМВ для сходимости ортогональных рядов по общей ОНС — последо-вательность ln2 n.

Эти теоремы имеют впечатляющую предысторию. Вот последовательность продвиже-ний в отношении МВ для тригонометрической системы: n (Фату, 1906); n1/3 (Г. Вейль,1909); ln2 n (Харди, 1913). В 1915 г. Н. Н. Лузин высказал гипотезу, подтверждениемкоторой в дальнейшем явилась теорема Карлесона, и предложил название “признак сходи-мости типа Вейля”. Следующие продвижения: ln n (А. Н. Колмогоров–Г. А. Селиверстови А. И. Плесснер, 1925–26) и, наконец, 1 (Карлесон, ТМВ, 1966). От первого до оконча-тельного результата прошло 60 лет.

Далее продвижения происходили уже за пределами ортогональных рядов. Было извест-но (А. Н. Колмогоров, 1926), что существует суммируемая функция, тригонометрическийряд Фурье которой расходится всюду. Р. Хант показал (1968), что для сходимости триго-нометрического ряда Фурье функции f почти всюду достаточна ее принадлежность к Lp,p > 1. С. В. Конягин показал (2000), что достаточна принадлежность функции к L ln+Lи что этот результат уже по существу неулучшаем.

Несколько короче предыстория теоремы Меньшова–Радемахера: n1/2 (Г. Вейль, 1909);nε (∀ε > 0) (Гобсон, 1913); ln3 n (Планшерель, 1913); ln2 n (Меньшов–Радемахер,1922–23, ТМВ). Далее улучшались свойства системы в подпирающем эту теорему примере,см. указания в [?]. У Б. С. Кашина (1976) это ОНС из функций, равных по модулю единице.

Упомянем еще несколько известных результатов.

ТМВ для методов Чезаро нашли Д. Е. Меньшов, Качмаж и Борген (1925–28): это(ln ln n)2. См. [?] или [?].

Зигмунд показал, что последовательность (ln ln λn)2 есть МВ для методов Рисса(R, λ, α), причем это ТМВ, если выполнено условие

λn+1 = O(λn). (29)

См. [?]. Условие (??) здесь существенно.ТМВ для методов Эйлера и Бореля нашла О. А. Зиза [?] по предложению П. Л. Улья-

нова. Это та же последовательность ln2 n, что и в теореме Меньшова–Радемахера.Дальнейшие результаты следует смотреть в [?], [?].

4.2. Множители Вейля для методов T [km] и (ϕ, λ). Оксана Андреевна показала в[?], что ТМВ для методов T [km] — последовательность чисел

W (n) = ln2 m, где km ≤ n < km+1, m = 1, 2, . . . . (30)

Для методов (ϕ, λ) она получила следующиe результаты (1983).

11

Пусть ϕ ∈ I.1. Eсли

ϕ(λnt) ln n = Ot(ln ln λn) (t > 0, n → ∞), (31)

то (ln ln λn)2 есть МВ, притом ТМВ в случае выполнения условия (??).

Здесь Ot означает O при фиксированном t. Условие (??) существенно.

2. Пусть при некотором t = t0 > 0 выполнено условие (??). Тогда если

ϕ(αt)ϕ−1(t) = O(1) при некотором α ∈ (0, 1), (32)

то (ϕ(λnt0) ln n)2 есть ТМВ. Если же

ϕ(αt)ϕ−1(t) → ∞ (n → ∞) при некотором α ∈ (0, 1), (33)

то условие

(ϕ(λnt) ln n)2 = ot(w(n)) (t > 0, n → ∞) (34)

необходимо и достаточно для того, чтобы последовательность w(n) была МВ. В этомслучае ТМВ не существует.

Приведем следствия. Для методов 1, 12 и метода 21 с ϕ′ ∈ Lp, p > 1, последователь-ность (ln ln λn)2 есть МВ, и это ТМВ, если выполнено условие (??). В частности, здесьсодержится теорема Зигмунда для методов Рисса. Для методов 3, 5, 7, 22 последова-тельность (ln ln n)2 есть ТМВ.

Теперь рассмотрим, например, метод Абеля–Дирихле (A, λ) c λn = v(n) ln ln n. Eслиv(n) → ∞, то (ln ln λn)2 есть ТМВ. Если же v(n) = O(1), то ТМВ не существует.

5. Перестановки в ортогональных рядах

Ортонормированная система fn∞0 называется системой сходимости, если ряд (??)сходится почти всюду при любом наборе коэффициентов из l2. Например, тригонометри-ческая система является системой сходимости в силу теоремы Карлесона. Системами схо-димости являются также известные системы Радемахера, Уолша и Хаара (см. [?] или [?]).

А. Н. Колмогорову и Д. Е. Меньшову принадлежит следующая постановка вопроса:существует ли для каждой ортонормированной системы fn такая перестановка fknвходящих в нее функций, что получается система сходимости. Ответ неизвестен. Рассмат-ривались также близкие постановки.

Например, Д. Е. Меньшов, заменив требование сходимости почти всюду требовани-ем суммируемости почти всюду матричным методом c матрицей (??), удовлетворяющейдополнительному условию maxk |bn,k| → 0 (n → ∞), получил положительный резуль-тат (1937). Для методов Чезаро он установил наличие единой перестановки (1940). См. [?].

Отметим еще такой результат Д. Е. Меньшова (1936).

Для любой ОНС fn и любой последовательности w(n) с w(n) ↑ ∞ существуеттакая перестановка fkn, что w(n) есть МВ для сходимости ортогональных рядовпо этой системе.

Интересен также следующий результат Гарсиа (1964).

Для любого ортогонального ряда (??) существует перестановка∑

cnkfnk

, сходящаясяпочти всюду.

Результат О. А. Зиза [?] для методов (ϕ, λ) состоит в следующем.

Пусть функция ϕ(t) выпукла вниз на луче [h,∞) при некотором h > 0 и ϕ′(t) ∈Lp[0, h + 1) при некотором p > 1. Построим по данной последовательности λ после-довательность nm как в п. ?? с q = 2. Пусть nm+1 − nm → ∞. Тогда для каждой

12

ортонормированной системы fn существует такая перестановка fkn, что любойортогональный ряд

∞∑

n=0

cnfkn(x), cn ∈ l2,

будет (ϕ, λ)-суммируемым почти всюду на [0, 1].

В частности, отсюда положительные результаты получаются для методов 1, 6, 8,22, 25.

6. Другие вопросы

В книге [?] обсуждаются также следующие вопросы.

6.1. Сильная суммируемость. Последовательность Sk называется сильно суммиру-емой в степени r методом T с матрицей B = (bnk) к числу S, если

limn→∞

∞∑

k=0

|bnk||Sk − S|r = 0. (35)

В этом случае говорят о методе [T ]r. Если bnk ≥ 0, то это означает, что метод T суммиру-ет к 0 последовательность |Sk − S|r. Аналогично определяется сильная суммируемостьметодом с непрерывным параметром, например, методом (ϕ, λ)T . В последнем случае ис-пользуется обозначение [ϕ, λ]r. Для любого регулярного метода T

[T ]r ⊂ T (36)

при r ≥ 1.О. А. Зиза показала (1979), что соотношения (??) при тех же, что и в п. ??, условиях

для любого r ≥ 1 дополняются следующим образом:

(ϕ, λ) ⋐ T [nm] ⋐ [ϕ, λ]r ⋐ (ϕ, λ)T . (37)

Если при этом выполнено условие (??), то включения превращаются в эквивалентности:

(ϕ, λ) ≈ T [nm] ≈ [ϕ, λ]r ≈ (ϕ, λ)T . (38)

6.2. Абсолютная суммируемость. Пусть T — матричный метод суммирования со сред-ними Tn для ряда (??). Этот ряд называется абсолютно суммируемым методом T , или|T |-суммируемым, если

∞∑

1

|Tn − Tn−1| < ∞. (39)

Абсолютно сходящийся числовой ряд не всегда абсолютно суммируем регулярным ме-тодом. О. А. Зиза показала, что для дискретных методов (ϕ, λ) это не так: из абсолютнойсходимости следует абсолютная суммируемость.

Имеется обширная литература по абсолютной сходимости и абсолютной суммируемо-сти ортогональных рядов почти всюду. О. А. Зиза получила ряд результатов по абсолют-ной суммируемости ортогональных рядов дискретными методами 21 c t = λ−1

ν+1, ν → ∞(1991, 98). (Общность метода 21 мы отмечали в разд. ??.) В частности, она нашла усло-вия на коэффициенты ортогонального ряда, достаточные для абсолютной суммируемостипочти всюду. Например, если ϕ′(t) ∈ L2[0, 1], то таким условием является неравенство

∞∑

m=0

( nm+1∑

n=nm+1

c2n

)1/2

< ∞. (40)

При дополнительных предположениях (ϕ не возрастает и выпукла вниз, выполнено усло-вие (??)) это условие и необходимо.

13

6.3. Скорость суммируемости ортогональных рядов. Для метода T речь идет обоценке стремления к 0 отклонения T -средних данного ряда от его T -суммы. В случаеортогонального ряда это отклонения его T -средних от его L2-суммы f(x). Обычно оценкивыводятся в предположении, что

∞∑

0

c2nl

2(n) < ∞, (41)

где l(n) — некоторая монотонно стремящаяся к бесконечности последовательность по-ложительных чисел. При этом рассматриваются случаи медленного или быстрого ростаэтой последовательности. Здесь возникает обобщение задачи о множителях Вейля. В ря-де случаев удается найти неулучшаемые оценки. О. А. Зиза получила несколько общихрезультатов в этом направлении для методов (ϕ, λ) (1994–97).

K сожалению, рамки этого доклада не позволяют остановиться на других интересныхрезультатах Оксаны Андреевны и других математиков.

Искренне благодарю Л. Р. Волевича, К. И. Паламарчука и особенно А. М. Седлецкогоза просмотр рукописи и полезные замечания.

Список литературы

[1] Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. Перевод с английского. М, ИЛ, 1963.[2] Зиза О. А. О суммировании ортогональных рядов методами Эйлера. Матем. сборник, 66 (1965),

354–377.[3] Зиза О.А. Суммирование ортогональных рядов. Издательство УРСС, М., 1999.[4] Ziza O. A. On rearrangements of orthogonal systems. Acta Sci. Math. 68 (2002), No. 1–2, 229–236.[5] Качмаж С., Штейгауз Г. Теория ортогональных рядов. Перевод с английского. М., Физматгиз, 1958.[6] Меньшов Д. Е. Избранные труды. Математика. М., Факториал, 1977.[7] Ульянов П. Л. Развитие результатов Д. Е. Меньшова по теории ортогональных рядов. Добавление

в [?], с. 425–451.[8] Харди Г. Расходящиеся ряды. Перевод с английского, М., ИЛ, 1951.

Агранович М. С.,Московский институт электроники и математики (МИЭМ),Москва, Россия

E-mail: [email protected]

_

Section 1

SPECTRAL PROBLEMS

Subsection 1.1

Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

_

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators 17

СУММИРУЕМОСТЬ ПО РИССУ В ПРОСТРАНСТВЕ Cα[0, 1]СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ

ОПЕРАТОРОВ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМИНТЕГРИРОВАНИЯ

А. П. Гуревич, А. П. Хромов 2

Саратовский государственный университетСаратов, Россия

Keywords: интегральный оператор, суммируемость по Риссу, резольвента оператора.

В статье дано полное описание класса функций f(x), для которых средние Риссаразложений по собственным и присоединенным функциям интегрального опера-

тора Af =1−x∫0

A(1 − x, t)f(t) dt сходятся к f(x) в пространстве Cα[0, 1], где α –

целое неотрицательное число.

Рассмотрим интегральный оператор

Af =

1−x∫

0

A(1 − x, t)f(t) dt, x ∈ [0, 1].

ядро A(x, t) которого n раз непрерывно дифференцируемо по x и один раз по t при0 ≤ t ≤ x ≤ 1, причем

∂jA(x, t)

∂xj

∣∣∣t=x

= δn−1,j (j = 0, . . . , n),

где δij – символ Кронекера. В [?] установлена равносходимость разложений по собствен-ным и присоединенным функциям (с.п.ф.) оператора A и тригонометрических рядов Фу-рье на произвольном отрезке [a, b] из (0, 1) для любой функции f(x) ∈ L[0, 1]. Вопроссуммируемости по Риссу спектральных разложений для некоторых классов интеграль-ных операторов изучался в [?], а для случая дифференциальных операторов в [?].

В данной статье исследуется сходимость в пространстве Cα[0, 1] обобщенных среднихРисса вида − 1

2πi

∫|λ|=r

g(λ, r)Rλf dλ, α – целое неотрицательное число, не превосходящее

n−1, Rλ = (E−λA)−1A – резольвента Фредгольма оператора A, E – единичный оператор,λ – спектральный параметр, а функция g(λ, r) удовлетворяет следующим условиям:

1) g(λ, r) непрерывна по λ в круге |λ| ≤ r и аналитична по λ в круге |λ| < r при любомr > 0,

2) при фиксированном λ limr→∞

g(λ, r) = 1,

3) существует такая константа C > 0, что |g(λ, r)| ≤ C при всех r > 0 и |λ| ≤ r,4) существует положительное β такое, что

G(r exp(iϕ), r) =

O(|ϕ|β), если n = 4n0,O(|ϕ − π|β), если n = 4n0 + 2,O(|ϕ ± π

2|β), если n – нечетное.

Обозначим через ‖ · ‖α норму в пространстве Cα[0, 1]. Основной результат статьи содер-жится в следующей теореме.

Теорема 1. Для того, чтобы limr→∞

‖f + 12πi

∫|λ|=r

g(λ, r)Rλf dλ‖α = 0 , необходимо и доста-

точно, чтобы f(x) ∈ Cα[0, 1] и удовлетворяла условиям f (k)(1) = 0, k = 0, . . . , α.

2Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на поддержку ведущих научныхшкол (проект НШ-1295.2003.1) и РФФИ (проект 00-01-00075).

18 Section 1. Spectral Problems

1. Рассмотрим оператор A0f =1−x∫0

(1−x−t)n−1

(n−1)!f(t) dt и обозначим через R0

λ = (E−λA0)−1A0

резольвенту Фредгольма этого оператора. Всюду в дальнейшем будем полагать, что n -четное (случай нечетного n исследуется аналогично). Обозначим λ = ρn, причем ρ при-

надлежит сектору S : 0 ≤ arg ρ ≤ 2πn

. Представим S =4⋃

k=1

Sk, где Sk = ρ| π2n

(k − 1) ≤arg ρ ≤ π

2nk. Остановимся лишь на случае ρ ∈ S1, так как рассуждения для остальных

секторов аналогичны.Обозначим через ω1, . . . , ω2n попарно различные корни 2n-ой степени из 1, занумерован-

ные таким образом, что для нечетных j выполняется ωnj = 1, а для четных: ωn

j = −1.Известно [?], что

R0λf = ϑ1(x, ρ) + ϑ2(x, ρ),

где ϑj(x, ρ) (j = 1, 2) – компоненты вектора ϑ(x, ρ), определяемого следующим образом:

ϑ(x, ρ) = −(V1(x, ρ), . . . , Vn(x, ρ))∆−1(ρ)

1∫

0

Ux(g)BF (t) dt +

1∫

0

g(x, t, ρ)BF (t) dt (1)

здесь Vj(x, ρ) =

(exp ρω2j−1x 0

0 exp ρω2jx

), j = 1, . . . , n, ∆(ρ) = (Uij(ρ))n

i,j=1,

Uij(ρ) = Ui(Vj), Ui(V ) = PV i−1(0) + QV (i−1)(1), P =

(0 01 −1

), Q =

(1 10 0

),

g(x, t, ρ) = (gij(x, t, ρ))2i,j=1 – диагональная матрица 2 × 2, причем

g11(x, t, ρ) =1

nρn−1

∑Re ρω2j−1≤0

ω2j−1 exp ρω2j−1(x − t), x ≥ t

− ∑Re ρω2j−1≥0

ω2j−1 exp ρω2j−1(x − t), x ≤ t,(2)

g22(x, t, ρ) =1

nρn−1

∑Re ρω2j≤0

ω2j exp ρω2j(x − t), x ≥ t

− ∑Re ρω2j≥0

ω2j exp ρω2j(x − t), x ≤ t,(3)

Ux(g) = (UT1 (g), . . . , UT

n (g))T (Ux означает, что Uj применяется к g(x, t, ρ) по переменнойx, T - знак транспонирования), F (x) = (F1(x), F2(x))T , F1(x) = f(x), F2(x) = f(1 − x),

B =

(1/2 1/2−1/2 1/2

).

Лемма 1. Справедливо следующее тождество

g(x, t, ρ) =1

λM0

∂n

∂tng(x, t, ρ), (4)

где M0 =

(−1 00 1

).

Доказательство. Из (??) следует, что ∂n

∂tng11(x, t, ρ) = ρng11(x, t, ρ), а из (??) –

∂n

∂tng22(x, t, ρ) = −ρng22(x, t, ρ). Отсюда ∂n

∂tng(x, t, ρ) = λ

(1 00 −1

)g(x, t, ρ). Умножая обе ча-

сти последнего равенства слева на M0 и деля на λ, получим требуемое. ¤

Обозначим через Cα0 [0, 1] множество функций из Cα[0, 1], удовлетворяющих условиям

f (m)(0) = f (m)(1) = 0, m = 0, . . . , α.Всюду в дальнейшем будут использоваться следующие обозначения:

g(m)x (ξ, t, ρ) =

∂m

∂xmg(x, t, ρ)

∣∣∣x=ξ

, g(m)t (x, τ, ρ) =

∂m

∂tmg(x, t, ρ)

∣∣∣t=τ

,


σm =

1∫

0

(Pg(m)

x (0, t, ρ) + Qg(m)x (1, t, ρ)

)BF (t) dt, m = 0, . . . , n − 1.

Лемма 2. Предположим, что f(x) ∈ Cα0 [0, 1]. Тогда при m < α

σm =1

λ

1∫

0

PM0g

(n+m−α)x (0, t, ρ) + QM0g

(n+m−α)x (1, t, ρ)

BF (α)(t) dt, (5)

при α ≤ m ≤ n − 1,

σm =

1∫

0

Pg(m−α)

x (0, t, ρ) + Qg(m−α)x (1, t, ρ)

BF (α)(t) dt. (6)

Доказательство. Получим формулы (??). Прежде всего заметим, что ∂m

∂xm g(x, t, ρ) =

(−1)m ∂m

∂tmg(x, t, ρ). Поэтому σm = (−1)m

1∫0

Pg

(m)t (0, t, ρ) + Qg

(m)t (1, t, ρ)

BF (t) dt. Проин-

тегрируем по частям m раз, учитывая условия F (k)(0) = F (k)(1) = 0, k = 0, . . . ,m − 1.

В результате получим σm =1∫0

Pg(0, t, ρ) + Qg(1, t, ρ)

BF (m)(t) dt. Воспользуемся (??):

σm = 1λ

1∫0

PM0g

(n)t (0, t, ρ) + QM0g

(n)t (1, t, ρ)

BF (m)(t) dt. Теперь проинтегрируем по ча-

стям α − m раз. При этом все подстановки обратятся в ноль. Поэтому

σm =1

λ(−1)α−m

1∫

0

PM0g

(n−α+m)t (0, t, ρ) + QM0g

(n−α+m)t (1, t, ρ)

BF (α)(t) dt.

Возвращаясь к дифференцированию по x, получим (??). Доказательство (??) сводится кинтегрированию σm по частям α раз. ¤

Лемма 3. Если f(x) ∈ Cα0 [0, 1], то справедлива формула

1∫

0

Ux(g)BF (t) dt =

1∫

0

S(t, ρ)Z(t) dt, (7)

где S(t, ρ) – блочно-диагональная матрица размерности 2n × 2n, у которой блоками яв-ляются матрицы σm (m = 0, . . . , n − 1),

Z(t) = ((BF (α)(t))T , . . . , (BF (α)(t))T )T .

Это утверждение является простым следствием леммы 2.Переобозначим числа ωk2n

k=1 на ωk2nk=1 таким образом, чтобы при ρ ∈ S1 выполня-

лись неравенства Reρω1 ≥ . . . ≥ Reρωn ≥ 0 ≥ Reρωn+1 ≥ . . . ≥ Reρω2n. В [?] полученоследующее асимптотическое представление

det ∆(ρ) = ρn(n−1) [a exp(−ρi) + b exp ρi + O(exp(−ρωn−1))] exp ρ

n−1∑

j=1

ωj,

где a, b - некоторые числа, отличные от нуля.Обозначим через Sδ,1 область, которая получится, если из сектора S1 удалить все нули

функции a+b exp(2ρi) вместе с их круговыми окрестностями одного и того же достаточномалого радиуса δ > 0. Пусть далее ‖ · ‖α – норма в пространстве Cα[0, 1].


Лемма 4. Для элементов ηmij (x, ρ) (i = 1, 2; j = 1, . . . , 2n, m = 0, . . . n − 1) матрицы(

V(m)1 (x, ρ), . . . , V

(m)n (x, ρ)

)∆−1(ρ) в области Sδ,1 справедливы оценки

ηmi,2j−1(x, ρ) = O(ρm−j+1), ηm

i,2j(x, ρ) = O(ρm−j+1) (8)

При m = 0 эти оценки получены в [?] (с. 65), для m = 1, . . . , n − 1 доказательствоаналогично.

Всюду в дальнейшем, если f(x) = (f1(x), f2(x))T , то ‖f‖0 = ‖f1‖0 + ‖f2‖0.Введем в рассмотрение функцию κ(t) = 1−e−t

t, t ≥ 0, и пусть ψ(ρ) = κ(Re ρωn).

Лемма 5. Если f(x) ∈ Cα0 [0, 1], то при m = 0, . . . , n − 1

σm = O(ρ1−n+m−αψ(ρ)‖f‖α). (9)

Доказательство. Рассмотрим случай m < α. Из (??) следует, что

σm = O

(1

ρn

) 1∫

0

(2∑

k=1

∣∣∣∣∂n+m−α

∂xn+m−αgkk(0, t, ρ)

∣∣∣∣ +2∑

k=1

∣∣∣∣∂n+m−α

∂xn+m−αgkk(1, t, ρ)

∣∣∣∣

)dt‖f‖α. (10)

Из формул (??), (??) заключаем, что1∫

0

∣∣∣∣∂m

∂xmgkk(0, t, ρ)

∣∣∣∣ dt = O(ρm−n+1ψ(ρ));

1∫

0

∣∣∣∣∂m

∂xmgkk(1, t, ρ)

∣∣∣∣ , dt = O(ρm−n+1ψ(ρ)).

Подставляя эти оценки в (??), приходим к (??). Для доказательства (??) при α ≤ m ≤ n−1следует воспользоваться формулами (??) и провести аналогичные рассуждения. ¤

Лемма 6. Если f(x) ∈ Cα0 [0, 1], то при m = 0, . . . , α

∥∥∥ dm

dxm

1∫

0

g(x, t, ρ)BF (t) dt∥∥∥

0= O(ρ1−nψ(ρ)‖f‖α),

а∥∥∥ dn−1

dxn−1

1∫

0

g(x, t, ρ)BF (t) dt∥∥∥

0= O(ρ−αψ(ρ)‖f‖α).

Доказательство. Имеем dm

dxm

1∫0

g(x, t, ρ)BF (t) dt =1∫0

∂m

∂xm g(x, t, ρ)BF (t) dt =

(−1)m1∫0

∂m

∂tmg(x, t, ρ)BF (t) dt =

1∫0

g(x, t, ρ)BF (m)(t) dt. Остается заметить, что при k = 1, 2

1∫0

|gkk(x, t, ρ)| dt = O(ρ1−nψ(ρ)). Для доказательства второй формулы следует выполнить

аналогичные преобразования, проинтегрировав по частям α раз. ¤

Лемма 7. Если f(x) ∈ Cα0 [0, 1], то при ρ ∈ Sδ,1 справедливы следующие формулы:

∥∥∥∥dm

dxmR0

λf

∥∥∥∥0

= O(ρ1−nψ(ρ)‖f‖α), m = 0, . . . , α, (11)

∥∥∥∥dn−1

dxn−1R0

λf

∥∥∥∥0

= O(ρ−αψ(ρ)‖f‖α). (12)

Указанные оценки следуют из формулы (??) с учетом (??), (??) и леммы 6.

2. Изучим теперь некоторые свойства области значений оператора A.


Лемма 8. Множеством значений оператора Af =1−x∫0

A(1 − x, t)f(t) dt, f(t) ∈ C[0, 1],

является множество Q = y(x) ∈ Cn[0, 1] : y(j)(1) = 0, i = 0, . . . , n − 1.Доказательство. Включение множества значений оператора A в Q очевидно. Поэто-

му докажем обратное включение. Пусть y0(x) ∈ Q. Убедимся, что уравнение y0(x) =1−x∫0

A(1 − x, t)f(t) dt, или, что равносильно, y0(1 − x) =x∫0

A(x, t)f(t) dt, имеет решение из

C[0, 1]. Докажем, что им является решение уравнения y(n)0 (1− x) = f(x) +

x∫0

∂nA(x,t)∂xn f(t) dt.

В самом деле, пусть f0(t) - решение последнего уравнения, и, следовательно,

y(n)0 (1 − x) = f0(x) +

x∫0

∂nA(x,t)∂xn f0(t) dt. Проинтегрируем это равенство n раз в пределах

от 0 до x. В результате получим

x∫

0

(x − t)n−1

(n − 1)!y

(n)0 (1− t) dt =

x∫

0

(x − t)n−1

(n − 1)!f0(t) dt+

x∫

0

(x − t)n−1

(n − 1)!

t∫

0

∂nA(t, τ)

∂xnf0(τ) dτ dt. (13)

Интегрируя по частям в левой части (??) n раз и учитывая при этом, что y(i)0 (1) = 0,

i = 0, . . . , n − 1 приходим к выводу, что интеграл, стоящий в (??) слева, равенy0(1 − x). Теперь в двойном интеграле в (??) поменяем порядок интегрирования, а за-тем во внутреннем интеграле выполним интегрирование по частям n раз. В результатеполучим требуемое. ¤

Лемма 9. Замыканием множества Q в пространстве Cα[0, 1] является множествоQα = f(x) ∈ Cα[0, 1] : f (i)(1) = 0, i = 0, . . . , α.

Это утверждение является частным случаем теоремы 4 ([?]).

Лемма 10. Для любой f(x) ∈ Qα существует последовательность fk(x)∞k=1, которая

удовлетворяет следующим условиям: 1) fk(x) ∈ Cn[0, 1], 2) f(m)k (1) = 0, m = 0, . . . , n − 1;

f(m)k (0) = f (m)(0), m = 0, . . . , α, 3) fk(x) → f(x) в пространстве Cα[0, 1].

Доказательство. Обозначим через gk(x)∞k=1 последовательность из Cn[0, 1], удовле-творяющую условиям: 1) g

(m)k (1) = 0, m = 0, . . . , n − 1, 2) gk(x) → f(x) в Cα[0, 1] [?].

Положим βkm = f (m)(0) − g(m)k (0), m = 0, . . . , α. Тогда βkm → 0 при k → ∞. Пусть

pk(x)∞k=1 - последовательность интерполяционных многочленов, определяемых услови-ями: p

(m)k (1) = 0, m = 0, . . . , n − 1, p

(m)k (0) = βkm, m = 0, . . . , α. Так как pk(x) являются

линейными функциями βkm, то pk(x) → 0 при k → ∞ в пространстве Cα[0, 1]. Поэтомупоследовательность fk(x) = gk(x) + pk(x), k = 1, 2, . . ., является искомой. ¤

Получим теперь оценку Rλf в области Sδ,1. Известна ([?]) следующая формула, связы-вающая Rλ и R0

λ:

Rλ = R0λ + R0

λT′t (E − Dn−1SR0

λT′t)

−1Dn−1SR0λ, (14)

где T ′tf =

x∫0

T ′t (x, t)f(t) dt, T (x, t) – ядро оператора T = (E + T1)

−1 − E,

T1f =x∫0

∂nA(x,t)∂xn f(t) dt, Df = f ′(x), Sf = f(1 − x).

Лемма 11. Если f(x) ∈ Cα0 [0, 1], то при ρ ∈ Sδ,1 и m = 0, . . . , α имеет место оценка

‖DmRλf‖0 = O(ρ1−nψ(ρ)‖f‖α). (15)


Доказательство. Из (??) следует, что

DmRλf = DmR0λf + DmR0

λT′t (E − Dn−1SR0

λT′t )

−1Dn−1SR0λf.

Но при ϕ(x) ∈ C[0, 1] справедлива оценка DmR0λϕ = O(ρ1−n+m‖ϕ‖0), поэтому с уче-

том формулы (??) ‖DmRλf‖0 = O(ρ1−nψ(ρ)‖f‖α) + O(ρ1−n+m)‖Dn−1SR0λf‖0. А так как,

очевидно, что Dn−1SR0λ = −SDn−1R0

λ, то, используя (??), получим требуемое. ¤

Лемма 12. Если f(x) ∈ C[0, 1], то при ρ ∈ Sδ,1 и m = 0, . . . , α справедлива формула

‖DmRλf‖0 = O(ρ1−n+mψ(ρ)‖f‖0). (16)

Доказательство повторяет рассуждения из леммы 11 с учетом оценки ([?])‖DmR0

λf‖0 = O(ρ1−n+mψ(ρ)‖f‖0).Замечание. Аналогичными рассуждениями оценки (??) и (??) могут быть получены в

соответствующих областях Sδ,k секторов Sk, k = 2, 3, 4. А следовательно, они имеют местои в объединении этих областей, которое обозначим через Sδ.

Лемма 13. ([?]) Если f(x) ∈ Qα, то справедливы формулы

f (m)(x) +1

2πi

∫

|λ|=r

g(λ, r)DmRλf dλ = f (m)(x)(1 − g(µ, r)) + g(µ, r)(f (m)(x)−

− f(m)0 (x)) +

1

2πi

∫

|λ|=r

g(λ, r)

λ − µDmRλg0 dλ +

1

2πi

∫

|λ|=r

g(λ, r)DmRλ(f − f0) dλ,

(17)

где m = 0, . . . , α, f0(x) ∈ Q, g0(x) = A−1f0−µf0, µ – произвольное число, лежащее внутриокружности |λ| = r и не являющееся собственным значением оператора A−1.

Доказательство теоремы. Убедимся, что правая часть в (??) есть o(1) при r → ∞.Прежде всего покажем, что при соответствующем выборе f0(x) и достаточно больших rинтеграл J =

∫|λ|=r

g(λ, r)DmRλ(f − f0) dλ как угодно мал по модулю. В самом деле, зада-

дим ε > 0 и, используя лемму 10, подберем f0(x) так, чтобы функция f1(x) = f(x)− f0(x)принадлежала Cα

0 [0, 1] и ‖f1(x)‖α < ε. Произведем в интеграле замену λ = ρn, тогдаJ = n

∫Γr1

g(ρn, r)DmRλf1ρn−1 dρ, где Γr1 – дуга окружности |ρ| = r1, 0 ≤ arg ρ ≤ 2π

n,

r1 = n√

r, ρ ∈ Sδ. Обозначим через Γr1,k часть дуги Γr1 , лежащую в секторе Sk,k = 1, 2, 3, 4. Получим оценку для J1 = n

∫Γr1,1

g(ρn, r)DmRλf1ρn−1 dρ. В силу леммы 11

J1 = O(∫

Γr1,1

|g(ρn, r)|ψ(ρ) d|ρ|‖f1‖α). Так как при ρ ∈ S1 ωn = exp(−π2i), то Re ρωn = r1 sin ϕ,

где ϕ = arg ρ. Следовательно,

ψ(ρ) =1 − e−r1 sin ϕ

r1 sin ψ≤ π(1 − e−r1ϕ)

2rϕ. (18)

В интеграле K1 =∫

Γr1,1

|g(ρn, r)||ψ(ρ) d|ρ| произведем следующую замену ρ = r1eiϕ,

а затем воспользуемся (??) и свойством 4) для g(λ, r). В результате получим

K1 = O

(π2n∫0

ϕβ−1(1 − e−r1ϕ) dϕ

). Полагая r1ϕ = τ , имеем

π2n∫

0

ϕβ−1(1−e−r1ϕ) dϕ =1

rβ1

π2n

r1∫

0

τβ−1(1−τ) dτ ≤ 1

rβ1

1∫

0

τβ−1(1 − e−τ ) dτ +

π2n

r1∫

0

τβ−1 dτ

= O(1).


Таким образом, J1 = O(‖f1‖α), а потому и J = O(‖f1‖α). Но тогда правая часть в (??)допускает оценку ‖f1‖α|1 − g(µ, r)| + ε|g(µ, r)| + C(ε)rα−n

1 + Cε, где C(ε) зависит толькоот µ и ε, а C не зависит от r1, µ, ε. Учитывая свойства 2) и 3) функции g(λ, r), получимтребуемое. ¤


[1] Корнев В.В., Хромов А.П. О равносходимости интегральных операторов с переменным пределом ин-тегрирования. Интегральные преобразования и специальные функции. Информационный бюллетень.2001, 2, 1, C. 60-72.

[2] Гуревич А.П., Хромов А.П., Суммируемость по Риссу разложений по собственным функциям инте-гральных операторов. Известия вузов. Математика.–2003.– 1(489)–C. 24-35.

[3] Kaufmann F.J. Derived Birkhoff-series associated with N(Y ) = λP (Y )//Results in Mathem. –1989.–V.15–P. 255-290.

A.P.Gurevich, A.P.Khromov The Riesz Summability in the Space Cα[0, 1] of the SpectralExpansions of Integral Operators with a Variable Upper Limit of Integration

Keywords: integral operator, Riesz summability, resolvent of operator.

In the paper it is obtained a complete description of a class functions f(x) such that theirRiesz means of the expansions in eigenfunctions and associated functions of the integral operator

Af =1−x∫0

A(1 − x, t)f(t)dt converge to f(x) in the space Cα[0, 1], where α is a nonnegative

integer.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на поддержкуведущих научных школ (проект НШ-1295.2003.1) и РФФИ (проект 00-01-00075).

А.П. Гуревич, А.П. Хромов, Механико–математический факультет, Саратов-ский государственный университет, ул. Астраханская, 83, Саратов, 410026,Россия



О ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ СТРУНЫ КРЕЙНА

А. С. КостенкоДонецкий национальный университет

Донецк

Keywords: струна Крейна, симметрический оператор, граничная тройка, характеристическая функция

С помощью подхода, основанного на применении техники граничных троек, полу-чено простое доказательство связи, установленной М. А. Нудельманом, междухарактеристической функцией струны Крейна и ее коэффициентом динамическойподатливости.

1. Пусть на промежутке [0, l〉 задана неубывающая функция m(x) и m(0) = 0. Знак”⟩” обoзначает закрывающую квадратную скобку, если L := l + m(l − 0) < ∞ (случай

регулярной стуны) и закрывающую круглую скобку, если L = ∞ (случай сингулярнойструны).

Равенство

g(x) = Dmf(x) := −idf(x)

dm(x), x ∈ [0, l〉 ,

обозначает производную Радона–Никодима по мере Лебега–Стилтьеса, то есть

f(x) = f(0) + i

x∫

0

g(t)dm(t), x ∈ [0, l〉 ;

где интеграл понимается в смысле Лебега–Стилтьеса (когда m(x) = x условимся писатьDm = D).

Гильбертово пространство W 12,m [0, l〉 состоит из функций f(x), абсолютно непрерывных

относительно меры m(x) и таких, что Dmf ∈ L2m [0, l〉.

Pассмотрим оператор струны

LS =

(0 −D

−Dm 0

), (1)

действующий в гильбертовом пространстве H = L2 [0, l〉 ⊕ L2m [0, l〉, область определения

которого состоит из вектор-функций

f(x) =

(f1(x)f2(x)

)∈ W 1

2,m [0, l〉 ⊕ W 12 [0, l〉 , f1(−0) = f2(0). (2)

Кроме того, в случае регулярной струны в правом конце будем различать два вида усло-вий: f1(l + 0) = 0, либо f2(l) = 0.

М. А. Нудельманом [?] показано, что оператор −BS := iLS является максимальнымаккретивным и исследованы свойства его характеристической функции. При этом иссле-дование свойств последней было сведено к исследованию свойств передаточной функцииконсервативной системы рассеяния с непрерывным временем, в которую оператор BS былвключен в качестве основного оператора системы.

В данной заметке реализован иной подход, основанный на применении техники гранич-ных троек( см., например, [?]). Именно, для нахождения характеристической функцииоператора LS используется формула для характеристической функции почти разрешимыхрасширений симметрических операторов, найденная В.А. Деркачем и М.М. Маламудом(см. [?]). Заметим, что оператор LS является собственным расширением простого сим-метрического оператора c инлексами дефекта (2, 2) в регулярном, и (1, 1) в сингулярномслучае, а потому является почти разрешимым.


2. i) Напомним некоторые определения и обозначения спектральной теории струныКрейна, следуя обзору [?].

Через ϕ(x, λ) обозначается решение уравнения

− d2u(x)

dx dm(x)− λu(x) = 0, (3)

удовлетворяющее начальным условиям

u(0) = 1, u−(0) = 0

(здесь и в дальнейшем знак “−” вверху означает производную слева по x, знак “+” вверхуозначает производную справа по x. Подробности см. в [?]).

Через ψ(x, λ) обозначается решение уравнения (??), удовлетворяющее начальным усло-виям

u(0) = 0, u−(0) = 1.

Для регулярной струны S с уравнением (??) и граничным условием u(l) = 0 на правомконце ассоциируется функция

Γ(λ) =ψ(l, λ)

ϕ(l, λ), λ /∈ [0,∞) , (4)

называемая коэффициентом динамической податливости струны.Если граничное условие на правом конце струны S имеет вид u+(l) = 0, то формула

(??) переписывается так:

Γ(λ) =ψ+(l, λ)

ϕ+(l, λ), λ /∈ [0, +∞) . (5)

В случае сингулярной струны S существует общий предел

limx→l−0

ψ(x, λ)

ϕ(x, λ)= lim

x→l−0

ψ+(x, λ)

ϕ+(x, λ), λ /∈ [0, +∞) , (6)

который и принимается равным коэффициенту динамической податливости Γ(λ).Во всех случаях имеет место интегральное представление

Γ(λ) = γ +

+∞∫

0

dτ(s)

s − λ, λ /∈ [0, +∞) , (7)

где γ – неотрицательное число, τ(s) – неубывающая функция, заданная на промежутке[0, +∞) и удовлетворяющая условию

+∞∫

0

dτ(s)

1 + s< +∞.

Функция τ(s) называется главной спектральной функцией струны S, а порождённая еймера Лебега-Стилтьеса dτ(s) – главной спектральной мерой струны S.

ii) Для изучения собственных расширений симметрических операторов мы будем поль-зоваться концепцией граничных троек и соответствующих им функций Вейля. Приведемнеобходимые определения и обозначения, следуя работе [?].

Пусть A – симметрический оператор с плотной областью определения dom(A) в гиль-бертовом пространстве H и равными индексами дефекта n+(A) = n−(A) (n±(A) =dim(H ⊖ ran(A ± iI))


Определение 1 ([?]). Совокупность Π = H, Γ0, Γ1, в которой H–сепарабельное гильбер-тово пространство, а Γ0, Γ1–линейные отображения из dom(A∗) в H, называется граничнойтройкой для A∗, если отображение Γ : f → Γ1f, Γ0f из dom(A∗) в H⊕H сюрьективно исправедлива формула Грина

(A∗f, g) − (f,A∗g) = (Γ1f, Γ0g)H − (Γ0f, Γ1g)H, f, g ∈ dom(A∗). (8)

Заметим, что граничная тройка оператора A∗ определяется не единственным образом.

Определение 2 ([?]). Собственное расширение A ⊃ A называется почти разрешимым,если существует граничная тройка Π = H, Γ0, Γ1 и оператор B ∈ [H] такие, чтоdom(A) = ker(Γ1 − BΓ0).

Определение 3 ([?]). Оператор–функция M(λ), определенная равенством

M(λ)Γ0fλ = Γ1fλ, (fλ ∈ Nλ, λ ∈ ρ(A0)), A0 = A∗|ker Γ0 , (9)

называется функцией Вейля, соответствующей граничной тройки Π = H, Γ0, Γ1. ЗдесьNλ := ker(A∗ − λI).

3. Рассмотрим в H = L2 [0, l〉 ⊕ L2m [0, l〉 замкнутый симметрический оператор

L0 =

(0 −D

−Dm 0

), (10)

с областью определения

dom(L0) = f ∈ W 12,m [0, l〉 ⊕ W 1

2 [0, l〉 : f(−0) = f(l + 0) = 0.в случае регулярной струны, а также

dom(L0) = f ∈ W 12,m [0, l〉 ⊕ W 1

2 [0, l〉 : f(−0) = 0.в сингулярном случае.

Справедливо следующее

Предложение 1. Оператор L0 является простым симметрическим оператором с индек-сами дефекта (2, 2) в регулярном случае и (1, 1) в сингулярном.

Доказательство. Так как система

L0

(f1(x)f2(x)

)= λ

(f1(x)f2(x)

), (11)

приводится к каноническому виду (см. [?] cтр. 369-370, а также [?], стр.456-458)

Jy′(t) = λH(t)y(t), t ∈ [0, L〉 ; y(0) = y(L − 0) = 0, (12)

где

y(t) =

(y1(t)y2(t)

), yi ∈ W 1

2 [0, L〉 , J =

(0 −i−i 0

), H(t) =

(h1(t) 0

0 h2(t)

),

причем почти всюду на [0, L〉 выполнены условия h1(t) ≥ 0, h2(t) ≥ 0 и h1(t) + h2(t) = 1.Согласно [?] в регулярном случае n±(L0) = 2. Так как trH(t) = 1, то согласно теореме де

Бранжа-Каца-Крейна (см. [?], а также [?], где содержится существенное обобщение этойтеоремы) уравнение (??), а следовательно и оператор L0, в сингулярном случае имеетиндексы дефекта (1, 1).

Докажем простоту оператора L0 cледуя схеме, предложенной в [?]. Предположим про-тивное, то есть имеет место разложение L0 = C1 ⊕ C2, в котором C1 = C∗

1 , а C2 – про-стой симметрический оператор. По теореме Гельфанда–Костюченко (см. [?], [?]) C1 имеетполную систему ϕλ(x)λ∈Λ обобщенных собственных функций. Следовательно, каждаяфункция ϕλ0(x) (λ0 ∈ Λ) будет обобщенной собственной функцией оператора L0. При


переходе к системе (??) получим некоторую функцию ϕλ0(t), которая, в свою очередь,будет обобщенной собственной функцией задачи (??), с сохранением граничных условий([?], стр. 106). Так как коэффициент J = −J−1–невырожден, то, согласно классическомурезультату [?], каждая обобщенная функция системы обыкновенных дифференциальныхуравнений является классическим решением этой системы. Из теоремы единственностидля систем обыкновенных дифференциальных уравнений получаем — ϕλ0 = 0.

Полученное противоречие доказывает простоту оператора L0.Заметим, что dom(L∗

0) = W 12,m [0, l〉 ⊕ W 1

2 [0, l〉.4. Следующая теорема доказана М. А. Нудельманом в [?]. Мы приведем простое ее

доказательство, основанное на формуле для характеристических функций из [?].

Теорема 1 ([?]). Пусть LS оператор струны вида (??) и Γ(λ) ее коэффициент дина-мической податливости. Тогда характеристическая функция оператора струны имеетвид

W (λ) =1 − iλΓ(λ2)

1 + iλΓ(λ2)(13)

Доказательство. i) Рассмотрим сингулярный случай, то есть L = l + m(l) = ∞. Тогда

(L∗0f, g) − (f, L∗

0g) = −i(f1(−0)g2(0) + f2(0)g1(−0)).

Следовательно, граничную тройку Π для этого оператора можно выбрать следующимобразом

H = C, Γ1f = f1(−0), Γ0f = if2(0). (14)

Положив B = −i получим

dom(LS) = dom(LB) = f ∈ dom(L∗) : Γ1f = BΓ2f. (15)

Нетрудно видеть, что решение уравнения L∗0f − λf = 0, удовлетворяющее условию f ∈

dom(L∗), имеет вид

f(x, λ) =

(ψ(x, λ2) − Γ(λ2)ϕ(x, λ2)

iλ(ψ′

m(x, λ2) − Γ(λ2)ϕ′m(x, λ2))

)(16)

Далее, Γ0f(x, λ) = − 1λ, и Γ1f(x, λ) = −Γ(λ2). Следовательно, функция Вейля, соответ-

ствующая граничной тройке (??) определяется равенством

M(λ) = λΓ(λ2). (17)

Так как оператор ℑB := (B − B∗)/2i = −1 невырожден, то одна из характеристическихфункций оператора LS имеет (cм. [?], замечание 6) вид

W (λ) =B − M(λ)

B∗ − M(λ)=

i + λΓ(λ2)

i − λΓ(λ2). (18)

ii) Рассмотрим регулярный случай. Так как

(L∗0f, g) − (f, L∗

0g) = −i(f1(−0)g2(0) + f2(0)g1(−0)) + i(f1(l + 0)g2(l) + f2(l)g1(l + 0)). (19)

то граничную тройку Π1 можно выбрать, например, так

H = C2, Γ1f = col(−f1(l + 0), f2(0)), Γ0f = col(if2(l), if1(−0)). (20)

Положим B1 =

(0 00 −i

).

Тогда для регулярной струны с условием в правом конце вида f1(l + 0) = 0 получим

dom(LS) = dom(LB1) = f ∈ dom(L∗) : Γ1f = B1Γ0f. (21)


Очевидно, что вектор–функция f(x, λ) является решением уравнения L∗0y − λy = 0 в том

и только том случае, когда она имеет вид

f(x, λ) =

(c1ψ(x, λ2) + c2ϕ(x, λ2)

iλ(c1ψ

′m(x, λ2) + c2ϕ

′m(x, λ2))

). (22)

Пусть функция Вейля, соответствующая граничной тройке Π1 имеет вид

M(λ) =

(M11(λ) M12(λ)M21(λ) M22(λ)

). Найдем ее коэффициенты, воспользовавшись равенства-

ми:

Γ1f(x, λ) =

(−c1ψ(l, λ2) − c2ϕ(l, λ2)

ic1λ

); Γ0f(x, λ) =

( −1λ

(c1ψ′m(l, λ2) + c2ϕ

′m(l, λ2))

ic2

).

Получим следующую систему

−c1ψ(l, λ2) − c2ϕ(l, λ2) = −M11(λ)λ

(c1ψ′m(l, λ2) + c2ϕ

′m(l, λ2)) + M12(λ)ic2 .

ic1λ

= −M21(λ)λ

(c1ψ′m(l, λ2) + c2ϕ

′m(l, λ2)) + M22(λ)ic2

(23)

После элементарных преобразований она примет вид

c1(−ψ(l, λ2) + 1λM11(λ)ψ′

m(l, λ2)) = c2(ϕ(l, λ2) − 1λM11(λ)ϕ′

m(l, λ2) + iM12(λ)) .c1(

iλ

+ 1λM21(λ)ψ′

m(l, λ2)) = c2(− 1λM21(λ)ϕ′

m(l, λ2) + iM22(λ))(24)

Так как c1 и c2 независимы, то из (??) получаем равенства

M11(λ) = λψ(l, λ2)

ψ′m(l, λ2)

; M21(λ) =−i

ψ′m(l, λ2)

; M22(λ) = −1

λ

ϕ′m(l, λ2)

ψ′m(l, λ2)

; (25)

M12(λ) = iϕ(l, λ2) − iψ(l, λ2)

ψ′m(l, λ2)

ϕ′m(l, λ2) =

i

ψ′m(l, λ2)

; (26)

Теперь включим оператор B1 в операторный узел Ψ = (B1,H; K, J, E) (см. [?]). Так как

мнимая часть ℑB1 =

(0 00 −1

)вырождена, то положим

H = C2; E = C; J = −1, K = col(0, 1) (K : C2 → C), K∗ = (0, 1). (27)

Согласно [?], Теорема 2 характеристическая функция почти разрешимого расширения LS

оператора L0 имеет вид

W (λ) = I + 2iK∗(B∗ − M(λ))−1KJ = 1 − 2i−M11(λ)

det(B∗ − M(λ))(28)

С учетом (??),(??) и несложных вычислений находим

W (λ) =ϕ(l, λ2) − iλψ(l, λ2)

ϕ(l, λ2) + iλψ(l, λ2)=

1 − iλΓ(λ2)

1 + iλΓ(λ2)

iii) Пусть теперь LS регулярная струна с краевым условием f2(l) = 0. Выбрав гранич-ную тройку Π2 как

H = C2, Γ0f = col(f1+(l), −f2(0)), Γ1f = col(if2(l), if1−(0)). (29)

и положив B2 =

(0 00 i

), получим

dom(LS) = dom(LB) = f ∈ dom(L∗) : Γ1f = B2Γ0f. (30)

Учитывая (??) и (??), находим

Γ0f(x, λ) =

(c1ψ(l, λ2) + c2ϕ(l, λ2)

−c1iλ

); Γ1f(x, λ) =

( −1λ

(c1ψ′m(l, λ2) + c2ϕ

′m(l, λ2))

ic2

).


Затем, аналогично пункту (ii) находим коэффициенты функции Вейля, соответствующейтройке Π2:

M11(λ) = −1

λ

ϕ′m(l, λ2)

ϕ(l, λ2); M12(λ) = − i

ϕ(l, λ2);

M21(λ) =i

ϕ(l, λ2); M22(λ) = λ

ψ(l, λ2)

ϕ(l, λ2); (31)

Далее, так как B2 = −B1, то характеристическая функция оператора струны LS прини-мает вид

W (λ) =−iϕ′

m(l, λ2) + λψ′m(l, λ2)

iϕ′m(l, λ2) + λψ′

m(l, λ2)=

1 − iλΓ(λ2)

1 + iλΓ(λ2)(32)

Автор выражает искреннюю благодарность М. М. Маламуду за руководство работой иполезные советы.


[1] Аров Д.З. Реализация канонической системы с диссипативным краевым условием на одном концесегмента по коэффициенту динамической податливости. —Сиб. мат. журн.—Т. 16, 3.—с. 440–463.

[2] Березанский Ю.М.Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов.—Киев:Наук. думка, 1965.—798 С.

[3] Бродский М.С. Треугольные и жордановы представления линейных операторов.—М.:"Наука", 1969.[4] Горбачук В.И., Горбачук М.Л.Граничные задачи для дифференциально–операторных уравнений.—

Киев: Наук. думка, 1984.—284 C.[5] Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции, Вып. 3, Некоторые вопросы теории дифференци-

альных уравнений.—М.:Физматгиз, 1958.—276 С.[6] Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее при-

ложения.—М.:"Наука", 1967. —508 С.[7] Деркач В.А., Маламуд М.М. Характеристические функции почти разрешимых расширений эрми-

товых операторов // Укр. мат. журн.—1992.—Т. 44, no. 4.—C.435–459.[8] Кац И.С., Крейн М.Г.Оспектральных функциях струны. Дополнение II к книге Ф. Аткинсона "Дис-

кретные и непрерывные задачи" —М.: "Мир",— 1968.[9] Нудельман М.А. Струна Крейна и характеристические функции максимальных диссипативных

операторов.—Зап. науч. сем. ПОМИ.—2002.—Т.290.—с.138—167.[10] Brasche J.F., Malamud M., Neidhardt H. Weyl function and spectral properties of self–adjoint extensions.—

Integr. equ. oper.theory, — 43(2002)—p.264—289.[11] Lesch M., Malamud M.On the deficiency indices and self–adjontness of symmetric Hamiltonian systems

L2(R). // J. Differential Equations 189 (2003) p.556—615.

Kostenko A.S., Department of Mathematics, Donetsk National University,Universitetskaja 24, 83055 Donetsk, Ukraine

E-mail: aleksey−[email protected]


О РАВНОСХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

С РАЗРЫВНЫМИ ЯДРАМИ3

Е. В. НазароваСаратовский государственный университет

Саратов, Россия

Настоящая работа посвящена получению теорем равносходимости разложений по соб-ственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) для одного класса интегральных опера-торов и в тригонометрический ряд Фурье.

Для интегральных операторов общего вида:

Af(x) =

1∫

0

A(x, t)f(t)dt (1)

вопрос о равносходимости исследовался впервые А.П. Хромовым, причем на ядро A(x, t)им были наложены условия гладкости, а также существенное условие скачка (n − 1)-ой производной по x ядра на линии t = x. В работе [?] А.П. Хромов показал, что этоусловие задает некий канонический вид интегральных операторов, для которых имеетместо равносходимость. В связи с отсутствием конструктивного перехода к каноническомувиду, встал вопрос о нахождении классов интегральных операторов, для которых будетиметь место равносходимость. В связи с этим, с 1998 года исследуются интегральныеоператоры следующего вида:

Af(x) = α1

x∫

0

A1(x, t)f(t)dt + α2

1∫

x

A2(x, t)f(t)dt+

+α3

1−x∫

0

A3(1 − x, t)f(t)dt + α4

1∫

1−x

A4(1 − x, t)f(t)dt,

(2)

где αi (i = 1, . . . , 4) – комплексные константы, причем δ = (α1 − α2)2 − (α3 − α4)

2 6= 0.Предполагается, что ядро каждого интегрального слагаемого в (??) непрерывно диффе-ренцируемо n раз по x и один раз по t на области своего задания, и выполняются соотно-шения:

∂j

∂xjAi(x, t)

∣∣∣∣t=x

= δj,n−1, (j = 0, . . . , n), (3)

δi,k – символ Кронекера.Оператор (??)-(??) можно записать в виде (??), если продолжить ядро каждого ин-

тегрального слагаемого нулем на весь единичный квадрат, полученные функции домно-жить на соответствующие коэффициенты и сложить, обозначив сумму через A(x, t). Тогдаусловия (??) означают, что (n− 1)-ая производная ядра по переменной x имеет конечныеразрывы на линиях t = x и t = 1 − x.

Для двух частных случаев оператора (??)-(??) теоремы равносходимости были получе-ны А.П. Хромовым и В.В. Корневым [?]. Целью данной работы было получение теоремравносходимости в наиболее общем случае оператора (??)-(??) с произвольными комплекс-ными константами и произвольными комплекснозначными ядрами для n = 1.

3Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на поддержку ведущих научныхшкол (проект НШ-1295.2003.1)


Получение теорем равносходимости основывается на методе контурного интегрированиярезольвенты Фредгольма оператора (??)-(??) по расширяющимся контурам в комплекс-ной плоскости спектрального параметра λ. Для изучения поведения резольвенты Фред-гольма при больших значениях модуля спектрального параметра привлекается обратныйоператор [?]. Он имеет вид:

A−1y = −1

δ(E + N1)

−1P−1(y′(x) + ay(x)), (4)

y(0) =

1∫

0

A(0, t)(E + N1)−1P−1(y′(t) + ay(t))dt, (5)

где Pf(x) = (α1−α2)f(x)+(α3−α4)f(1−x), N1 – интегральный оператор, a – комплекснаяконстанта. Рассматриваются резольвенты следующих операторов:

L0 : P−1y′, U(y) = γ1y(0) + γ2y(1) = 0,L1 : P−1y′, U(y) = (y, ϕ),L : (E + N)P−1y′, U(y) = (y, ϕ),

где γ1 и γ2 получены после преобразования граничного условия (??) к виду:

γ1y(0) + γ2y(1) = (y, ϕ),

(y, ϕ) – скалярное произведение, ϕ – непрерывная функция, N – такой оператор, чтоE + N = (E + N1)

−1, E – единичный оператор.Построение резольвенты R0,λ сводится к исследованию краевой задачи для дифферен-

циальной системы первого порядка в пространстве вектор-функций размерности 2. Этакраевая задача имеет следующий вид:

z′(x) + λB1z(x) = B1F (x);P1z(0) + Q1z(1) = 0,

где B1 – неособая постоянная матрица, размерности 2 × 2, составленная из линейныхкомбинаций αi, F (x) = f(x), f(1 − x), P1 и Q1 – квадратные матрицы, содержащие поодной нулевой строке и коэффициенты γ1 и γ2 из краевого условия оператора L0. Последиагонализации матрицы B1 и приведения краевой задачи к виду:

ν ′(x) − λDν(x) = BF (x);

P ν(0) + Qν(1) = 0,

где D – диагональная матрица такая, что B1 = ΓDΓ−1, P = P1Γ, Q = Q1Γ, B = DΓ−1,получена формула для резольвенты R0,λ оператора L0.

Теорема 1. Если λ таково, что ∆−1(λ) существует, то R0,λ существует и имеет ме-сто формула:

R0,λf(x) = (α3 − α4)(ν1(x, λ) + ν2(x, λ)), (6)

где ν(x, λ) = ν1(x, λ), ν2(x, λ)T определяется формулой:

ν(x, λ) = −V (x, λ)∆−1(λ)

1∫

0

U(g(x, t, λ))BF (t)dt +

1∫

0

g(x, t, λ)BF (t)dt;

∆(λ) = U(ν(x, λ)) = P ν(0, λ) + Qν(1, λ).


V (x, λ) – матрица размерности 2 × 2, являющаяся фундаментальным решением одно-родного матричного уравнения V ′(x) − λDV (x) = 0,

D =

( √δ 0

0 −√

δ

), g(x, t, λ) =

(−eλ

√δ(x−t) 00 0

), t ≥ x

(0 0

0 eλ√

δ(t−x)

), t < x.

После получения оценок каждого из слагаемых формулы (??) при |λ| → ∞ полученынужные оценки для R0,λf .

Теорема 2. В области Sδ0 для резольвенты R0,λ при |λ| → ∞ верна оценка:

‖R0,λf‖∞ = O(1)‖f‖L1 . (7)

Теорема 3. В области Sδ0 для резольвенты R0,λ при |λ| → ∞ верны оценки:

‖R0,λf‖L1 = O(æ(Re λ√

δ))‖f‖L1 , (8)

‖R0,λf‖∞ = O(æ(Re λ√

δ))‖f‖∞, (9)

где æ(y) =1 − e−y

y, при y > 0.

Для случая, когда f(x) = χ(x) – характеристическая функция отрезка [η0, η1] ⊂ (0, 1),справедлива следующая теорема:

Теорема 4. В области Sδ0 для R0,λχ при |λ| → ∞ верна оценка:

‖R0,λχ‖∞ = O

(1

λ

). (10)

Область Sδ0 получается из комплексной λ-плоскости удалением собственных значенийоператора L0 вместе с круговыми окрестностями одного и того же достаточно малогорадиуса δ0.

Все оценки верны для Re λ√

δ ≥ 0. В случае, когда Re λ√

δ ≤ 0, оценки (??) и (??)остаются верными, если заменить λ

√δ на −λ

√δ.

После изучения резольвенты простейшего оператора L0 можно переходить к изучениюрезольвент операторов L1 и L. Получена формула, связывающая R1,λf с R0,λf .

Теорема 5. Если ∆−1(λ) существует, то верна следующая формула:

R1,λf = R0,λf + (S11 + S12)(R0,λf, ϕ),

где S11 и S12 – компоненты матрицы S = −W (x, λ)∆−1;

∆(λ) = PW (0, λ) + QW (1, λ) − T (λ),

T (λ) = (α3 − α4)

((eλ

√δx, ϕ) (e−λ

√δx, ϕ)

(eλ√

δx, ϕ) (e−λ√

δx, ϕ)

),

W (x, λ) =

((α3 − α4)e

λ√

δx (α3 − α4)e−λ

√δx

(α1 − α2 −√

δ)eλ√

δx (α1 − α2 +√

δ)e−λ√

δx

).

Далее получено уравнение, связывающее Rλf с R1,λf .

Теорема 6. Если Rλf(x) существует, то для y(x) = Rλf(x) справедливо соотношение:

y(x) = R1,λf(x) + y(0)R1,λ[β1N(x, 0) + β2N(x, 1)]+

+y(1)R1,λ[−β1N(x, 1) − β2N(x, 0)]+


+R1,λ

1∫

0

[β1N′t(x, t) − β2N

′t(x, 1 − t)]y(t)dt,

β1 =1

δ(α1 − α2); β2 =

1

δ(α3 − α4).

Также получены оценки резольвент, аналогичные (??), (??), (??), (??).Приведенные теоремы позволяют получить основные результаты работы:

Теорема 7. Пусть r таково, что

λ/|λ√

δ| = r,−π2≤ arg λ

√δ ≤ π

2

⊂ Sδ0. Тогда для

любой функции f(x) ∈ L[0, 1] имеет место соотношение:

limr→∞

maxδ1≤x≤1−δ1

∣∣∣∣∣∣∣

∫

|λ√

δ|=r

(Rλ − R0,λ)f(x)dλ

∣∣∣∣∣∣∣= 0,

где δ1 ∈(0, 1

2

).

Известно, что Sr(f, x) = − 1

2πi

∫

|λ|=r

Rλfdλ есть частичная сумма ряда Фурье по с.п.ф.

оператора, имеющего резольвенту Rλ, причем число членов суммы Sr(f, x) равно числувсех с.п.ф., соответствующих собственным значениям λ, попавшим в контур |λ| = r вобласти Sδ0 . Таким образом, теорема ?? устанавливает равносходимость разложений про-извольной интегрируемой функции f(x) по с.п.ф. исходного оператора A и простейшегооператора L0.

Теорема 8. Пусть:а) ядро оператора A непрерывно дифференцируемо по x и по t, за исключением диаго-

налей t = x и t = 1 − x;б) выполняется условие:

∂j

∂xjAi(x, t)

∣∣∣∣t=x

= δj,0 (j = 0, 1);

в) (α1 − α2)2 − (α3 − α4)

2 6= 0;г) Var1

0 x A′x(x, t) ограничена по t.

Тогда для любой функции f(x) ∈ L[0, 1] и любого δ1 ∈(0, 1

2

):

limr→∞

maxδ1≤x≤1−δ1

|Sr(f, x) − σr|√

δ|(f, x)| = 0,

где Sr(f, x) – частичная сумма ряда Фурье функции f(x) по с.п.ф. оператора A для теххарактеристических чисел λk, для которых |λk| < r, σr|

√δ|(f, x) – частичная сумма три-

гонометрического ряда Фурье функции f(x) для тех номеров k, для которых 1|√

δ|2kπ < r,

r таково, что λ/|λ| = r, 0 ≤ arg λ ≤ 2π ⊂ Sδ0.


[1] Хромов А.П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных операто-ров// Матем. сб., 1981, 114(156), 3, С. 158-450. (Русский)

[2] Хромов А.П. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях// Матем.заметки., 1998, 64, вып. 6, С. 932-942. (Русский)

[3] Корнев В.В., Хромов А.П. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральныхоператоров с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях// Матем. сб., 2001, 192, 10,С. 33-50.

[4] Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.:Наука, 1968.


[5] Назарова Е.В. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторовс ядрами, разрывными на диагоналях// Математика. Механика. Сб. научных трудов, вып. 4, Саратов,изд. Сарат. Ун-та, 2002, С. 102-105.

Назарова Е. В., механико-математический факультет, Саратовский государ-ственный университет, ул. Астраханская, 83, Саратов, 410026, Россия



ИНДЕКС ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА НЕЛОКАЛЬНЫХЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

А. Ю. Савин, Б. Ю. СтернинНезависимый Московский Университет


В работе получена локальная формула индекса для класса нелокальных эллипти-ческих операторов, возникающих на многообразиях, часть которых представленав виде тотального пространства конечного накрытия.

We obtain a local index formula for a class of nonlocal elliptic operators. Theseoperators arise on a manifold, some part of which is represented as a finite covering.

Введение

В работе рассматривается один класс нелокальных операторов, естественно возникаю-щий на многообразии, часть которого представлена в виде тотального пространства ко-нечного накрытия. Нелокальные операторы получаются как расширение алгебры диффе-ренциальных операторов при помощи операторов, переставляющих значения функций налистах накрытия (см., напр., [?]). Такие операторы возникают (см. [?]), например, привычислении индекса краевых задач с нелокальными краевыми условиями, отвечающимиконечной группе сдвигов, действующей свободно на крае многообразия.

Целью настоящей работы является получение локальной формулы индекса для эллип-тических операторов из этого класса.

Работа частично поддержана Российским фондом фундаментальных исследований(проекты NN 02-01-00118, 02-01-00928, 03-02-16336).

1. Нелокальные операторы

1.1. Многообразия с накрытием. (см. [?]). Пусть в некотором замкнутом многообра-зии M задано подмногообразие U ⊂ M коразмерности нуль с краем, которое есть тоталь-ное пространство конечного накрытия π : U → Y над базой Y . Внутренности соответству-ющих множеств будем обозначать через U, Y . Через π! : Vect (U) → Vect (Y ) обозначимотображение прямого образа на векторных расслоениях, а естественный изоморфизм про-странств сечений

C∞ (U,E) ≃ C∞ (Y, π!E) , для E ∈ Vect(U)

будем обозначать через βE. Это позволяет определить обратный образ оператора D :C∞ (Y, π!E) → C∞ (Y, π!F ) как композицию

π!D = β−1F DβE : C∞ (U,E) → C∞ (U, F ) .

1.2. Нелокальные операторы. Линейный оператор

D : C∞ (M) −→ C∞ (M)

называется допустимым, если он представим (по модулю операторов с гладким ядром) ввиде суммы

D = D1 + π!D2,

для дифференциального оператора D1 на M и обратного образа дифференциального опе-ратора D2 (действующего в сечениях расслоения π!1, где через 1 обозначено одномерноетривиальное расслоение) на Y .


Нелокальные операторы рассматриваются в более общих пространствах, чем простран-ства сечений расслоений на M . А именно, рассмотрим векторное пространство

C∞ (M, E) =

(u, v)

u ∈ C∞ (V,E) , v ∈ C∞ (Y,E0)

∣∣∣∣ αβE (u|U∩V ) = v|π(U∩V )

,

определяемое тройкой E = (E,E0, α) с компонентами

E ∈ Vect (V ) , E0 ∈ Vect (Y ) , π! (E|U∩V )α≃ E0|π(U∩V ) ,

где расслоение E задано над такой окрестностью V множества M\U, которая на пересе-чении U ∩ V содержит только целые слои накрытия π (т.е. π−1(π(U ∩ V )) = U ∩ V ), а α —изоморфизм расслоений над окрестностью π (U ∩ V ). Нетрудно видеть, что пространствоC∞(M, E) линейно порождается своими подпространствами

C∞0 (V,E) , C∞

0 (Y,E0) ⊂ C∞ (M, E)

обычных сечений с компактными носителями.Множество троек E обозначим через Vect (M,π) .Отметим, что в случае тождественного накрытия тройка (E,E0, α) определяет вектор-

ное расслоение на M, получающееся из расслоений E и E0 при помощи изоморфизмаα, рассматриваемого как функция сцепления, а пространство C∞ (M, E) естественно изо-морфно пространству сечений этого векторного расслоения.

Линейный оператор D : C∞ (M, E) → C∞ (M,F) будем называть допустимым, если онпредставим в виде суммы

D = D1 + D2, (1)дифференциальных операторов

D1 : C∞0 (V,E) → C∞

0 (V, F ) , D2 : C∞0 (Y,E0) → C∞

0 (Y, F0) .

1.3. Символ. Эллиптичность. Символом допустимого оператора D называется пара(σM , σY ) обычных символов (т.е. символов дифференциальных операторов)

σM : p∗M

(E|M\U

)−→ p∗M

(F |M\U

), σY : p∗Y (E0|Y ) −→ p∗Y (F0|Y )

(здесь pM : S∗M → M, pY : S∗Y → Y — естественные проекции косферических расслое-ний). В терминах разложения (??) компоненты символа определяются выражениями

σM = σ (D1) , σY = π! (σ (D1)|U∩V ) + σ (D2) .

Отметим, что компоненты символа согласованы:

γπ! (σM |∂U) α−1 = σY .

Оператор D называется эллиптическим, если обе компоненты его символа (σM , σY ) об-ратимы. Нетрудно показать, что эллиптические операторы определяют фредгольмовыоператоры в пространствах Соболева (см. [?]).

2. Индекс оператора сигнатуры с коэффициентами в расслоении

В этом пункте многообразие M будем считать четномерным, а пару (M,π) — ориен-тированной, т.е. потребуем, чтобы многообразие M и проекция π были ориентированы(последнее означает, что ориентации в слоях проекции совпадают). При сделанных пред-положениях на M определен оператор сигнатуры (см., напр., [?]):

DM : C∞ (M, Λ+ (M)

)→ C∞ (

M, Λ− (M)).

Зафиксируем на M метрику, которая над U поднимается с базы накрытия.Определим оператор сигнатуры с коэффициентами в тройке E = (E,E0, α) ∈

Vect (M,π) :DM ⊗ 1E : C∞ (

M, Λ+ (M) ⊗ E)−→ C∞ (

M, Λ− (M) ⊗ E),


полагая его в области M\U равным DM ⊗ 1E, а в области U как нелокальный операторπ! (DY ⊗ 1E0). Если в расслоениях E,E0 выбрать связности, которые на пересечении U ∩Vпереходят одна в другую под действием изоморфизма α, то указанные два выражения со-гласованы, оператор DM⊗1E корректно определен и является допустимым эллиптическимоператором.

Theorem 1.

indDM ⊗ 1E =

∫

M\U

L (TM) ∧ chE +

∫

Y

L (TY ) ∧ chE0, (2)

где L (TX) — модицицированная форма Хирцебруха, c компонентами степеней крат-

ных 4 : L (TX)k = 2k−dim X

2 Lk (X) , где Lk обозначает однородную компоненту степени kполинома Хирцебруха (см., напр., [?]).

Доказательство. Обе части равенства не зависят от выбора метрик и связностей, поэтомувыберем их такими, чтобы эти структуры были структурами прямого произведения вворотниковой окрестности края ∂U.

Разрежем многообразие M на две части M \ U и U , на каждой из которых поставимдля оператора DM ⊗ 1E краевые условия Атьи–Патоди–Зингера (см. [?]). Краевые задачиобозначим через

(DM\U ⊗ 1E, Π+

)и

(π! (DY ⊗ 1E0) , 1 − Π+

), где через Π+ обозначен неот-

рицательный спектральный проектор касательного оператора сигнатуры на ∂U. Индексисходного оператора есть сумма индексов задач Атьи–Патоди–Зингера

indDM ⊗ 1E = ind(DM\U ⊗ 1E, Π+

)+ ind

(π! (DY ⊗ 1E0) , 1 − Π+

). (3)

Эту формулу можно получить, если сначала заметить, что индекс оператора на M равениндексу соответствующей задачи сопряжения на M\U ⊔ U с граничным условием непре-рывности:

(DM\U ⊗ 1E)u = f, π! (DY ⊗ 1E0) v = g,

u|∂U − v|∂U = h,(4)

а граничное условие задачи сопряжения гомотопно (с сохранением эллиптичности) прямойсумме условий Атьи–Патоди–Зингера, если интерпретировать краевое условие в (??) какдва условия в дополнительных подпространствах:

Π+ (u − v)|∂U = h+ ∈ Im Π+, (1 − Π+) (u − v)|∂U = h− ∈ Im (1 − Π+) .

Краевая задача(π! (DY ⊗ 1E0) , 1 − Π+

)эквивалентна обычной задаче Атьи–Патоди–

Зингера для оператора DY ⊗ 1E0 на базе Y накрытия. Поэтому, расписывая индексыкраевых задач в (??) по формуле Атьи–Патоди–Зингера, получаем искомое равенство(??)

indDM ⊗ 1E =

∫

M\U

L(TM) ∧ chE +

∫

Y

L (TY ) ∧ chE0. (5)

Здесь η-инварианты Атьи–Патоди–Зингера сократились, так как они входят в индексыкраевых задач на M \ U и Y с разными знаками. ¤

3. Общая формула индекса

Топологическим индексом эллиптического допустимого оператора D с символом(σM , σY ) будем называть выражение

indtD =

∫

Σ(T ∗(M\U))

ToddM ∧ chΠ+ (ΣσM) +

∫

Σ(T ∗Y )

ToddY ∧ chΠ+ (ΣσY ) . (6)


Напомним обозначения (см., напр., [?]). Во-первых, ΣV = S (V ⊕ 1) — сферическая ком-пактификация вещественного векторного расслоения V с метрикой (S — расслоение еди-ничных сфер, а 1 — одномерное тривиальное расслоение). В расслоении вида Σ (T ∗X)мы выбираем ориентацию индуцированную ориентацией T ∗X, в которой положительнойсистемой координат является (ξ1, x1, ξ2, x2 . . .). Во-вторых, через Todd и ch обозначеныдифференциальные формы, представляющие, соответственно, класс Тодда комплексифи-кации кокасательного расслоения и характер Черна комплексного расслоения. Наконец,по эллиптическому символу σ = σ(x, ξ) : Ex → Fx на многообразии X определяется обра-тимый эрмитов эндоморфизм

Σσ(x, ξ, θ) =

(IdE sin θ σ∗ (x, ξ) cos θ

σ (x, ξ) cos θ −IdF sin θ

): Σ(T ∗X) −→ End (Ex ⊕ Fx) ,

где на Σ(T ∗X) выбрана параметризация (x, ξ cos θ, sin θ), где |ξ| = 1,−π/2 ≤ θ ≤ π/2.Наконец, через Π+ (Σσ) обозначается положительное спектральное подрасслоение символаΣσ.

Следующая теорема является основным результатом работы.

Theorem 2. Для допустимого эллиптического оператора D аналитический индекс indaDравен топологическому:

indaD = indtD. (7)

Эту теорему мы будем доказывать в более широких рамках допустимых псевдодиффе-ренциальных операторов, которые отвечают произвольным (а не обязательно полиноми-нальным, как в случае дифференциальных операторов) гладким функциям на косфери-ческом расслоении многообразий. Все определения, включая формулировку теоремы ??,практически без изменений переносятся на эту ситуацию.

4. Доказательство теоремы об индексе

В этом параграфе мы докажем теорему ??.Сначала показывается, что произвольный оператор можно свести, пользуясь стабильны-

ми гомотопиями, к оператору сигнатуры с коэффициентами. Такая редукция используетK-теорию C∗-алгебр и состоит в установлении изоморфизма типа изоморфизма Тома длянекоторой некоммутативной C∗-алгебры. Так как при стабильных гомотопиях индекс неменяется, то для доказательства формулы индекса остается только проверить ее спра-ведливость для оператора сигнатуры с коэффициентами. Отметим, что идея редукции коператору сигнатуры восходит к первому доказательству теоремы Атьи–Зингера (см. [?]).

4.1. Редукция к оператору сигнатуры. Будем пока считать, что M — четномерно,а пара (M,π) ориентирована. Покажем, что в этом случае произвольный допустимыйэллиптический оператор можно свести (с сохранением аналитического и топологическогоиндексов) к оператору сигнатуры с коэффициентами в некоторой тройке.

Напомним, что два эллиптических оператора D1 и D2 называются стабильно гомотоп-ными, если после прибавления к каждому некоторых тривиальных операторов D1,triv иD2,triv (тривиальными называют операторы, индуцированные изоморфизмами расслое-ний) их можно соединить непрерывной гомотопией эллиптических операторов:

D1 ⊕ D1,triv ∼ D2 ⊕ D2,triv.

В [?] показано, что группа, образованная допустимыми эллиптическими операторами помодулю стабильных гомотопий изоморфна группе K0 (AT ∗M,π) следующей C∗-алгебры (ср.[?])

AT ∗M,π =

(u, v)

u ∈ C0 (T ∗ (M\U)) , v ∈ C0

(T ∗Y , Endπ!1

)∣∣∣∣ β u|∂U β−1 = v|∂Y

(8)


(этот результат обобщает разностную конструкцию Атьи–Зингера [?], так как при Y = ∅соответствующая K-группа есть K0

c (T ∗M)) и определена точная последовательность

K1c (T ∗ (M\U)) → K0

c (T ∗Y ) → K0 (AT ∗M,π) → K0c (T ∗ (M\U)) → K1

c (T ∗Y ) .(9)

— последовательность пары, отвечающая идеалу (0, v) |v ∈ C0 (T ∗Y, Endπ!1). Третьеслева отображение отвечает сужению эллиптического символа на M\U, а при второмотображении, наоборот, символ тривиальный в окрестности края ∂Y поднимается на Uи затем продолжается на M как изоморфизм. Наконец, первое и последнее отображенияпредставляют собой композиции сужения на край, прямого образа и кограничного отоб-ражения:

K∗c (T ∗ (M\U)) → K∗

c (T ∗ (M\U)|∂U) = K∗+1c

(T ∗∂U

) π!−→ K∗+1c

(T ∗∂Y

)→ K∗+1

c (T ∗Y ) .

Lemma 1. Топологический и аналитический индексы инвариантны относительно ста-бильных гомотопий оператора D и, следовательно, продолжаются до гомоморфизмовгрупп

inda, indt : K0 (AT ∗M,π) −→ R.

Доказательство. Гомотопическая инвариантность аналитического индекса известна.Инвариантность топологического индекса относительно гладких гомотопий символов вы-текает из того, что подынтегральные выражения в его определении гладко согласованыдруг с другом в окрестности края области U. А продолжение до гомоморфизма следуетиз совпадения K-группы алгебры AT ∗M,π c K-группой ее плотной локальной подалгебры(см. [?]) гладких согласованных символов. ¤

Аналогично (??), определим алгебру, отвечающую самому многообразию

AM,π =(u, v)

∣∣β u|∂U β−1 = v|∂Y

⊂ C (M\U) ⊕ C

(Y , Endπ!1

).

K-группа этой алгебры изоморфна группе Гротендика стабильных гомотопических клас-сов троек (E,E0, α) отвечающих (M,π) (см. [?]).

Theorem 3. Для четномерной ориентированной пары (M,π) имеем

K0 (AM,π) ⊗ Q ≃ K0 (AT ∗M,π) ⊗ Q.

Изоморфизм определяется сопоставлением элементу E ∈ Vect(M,π) разностного эле-мента оператора сигнатуры с коэффициентами в E.

Доказательство. 1. Дополним сначала последовательность (??) до диаграммы

→ K1 (M\U) → K0c (Y ) → K0 (AM,π) → K0 (M\U) → K1

c (Y )↓ ↓ ↓ ↓ ↓

→ K1c (T ∗M\U) → K0

c (T ∗Y ) → K0 (AT ∗M,π) → K0c (T ∗M\U) → K1

c (T ∗Y ) ,

где верхняя последовательность отвечает вложению идеала (0, v) |v ∈ C0 (Y, Endπ!1) ⊂AM,π.

Третье и четвертое слева отображения, действующие сверху вниз, определяются сопо-ставлением векторному расслоению символа оператора сигнатуры с коэффициентами вэтом векторном расслоении. При втором отображении расслоению E ∈ Vect (Y ) размер-ности n тривиализованному в окрестности края сопоставляется символ оператора

DM\U ⊗ 1E ⊕ D∗M\U ⊗ 1Cn ,

который в окрестности края стандартным образом гомотопируется при помощи тривиа-лизации к единичному символу (имеется в виду стандартная гомотопия σ ⊕ σ−1 ∼ 1 ⊕ 1).Наконец, первое и последнее вертикальные отображения получаются из уже описанных сиспользованием изоморфизмов K1

c (X) ≃ Kc (X × R) .


2. Проверим коммутативность построенной диаграммы. Коммутативность двух квадра-тов посередине непосредственно следует из определений (для второго квадрата исполь-зуется гомотопия 1 ⊕ 1 ∼ σ ⊕ σ−1). Коммутативность первого и последнего квадратовустанавлевается прямой выкладкой.

3. Известно, что все вертикальные отображения в диаграмме — изоморфизмы, по мо-дулю кручения, кроме, возможно, отображения K0(AM,π) → K0(AT ∗M,π). Поэтому в силулеммы о пяти гомоморфизмах получаем, что и это отображение также изоморфизм помодулю кручения. ¤

4.2. Проверка формулы индекса для оператора сигнатуры. В силу доказанногоутверждения подгруппа в K0 (AT ∗M,π) , порожденная оператором сигнатуры с коэффици-ентами, имеет конечный индекс. Поэтому в силу леммы ?? формулу для доказательстваформулы индекса произвольного оператора, достаточно проверить справедливость этойформулы для оператора сигнатуры.

Lemma 2. Для оператора сигнатуры с коэффициентами в расслоении правые части фор-мул (??) и (??) совпадают.

Доказательство. Оказывается, что имеет место почленное совпадение интегралов вэтих выражениях. Доказательство можно найти в [?], параграф 3.9. Для удобства читате-ля напомним соответствующее рассуждение. Рассмотрим, например, интегралы, отвеча-ющие многообразию Y. Для оператора сигнатуры, символ которого обозначим через p, скоэффициентами в расслоении F показывается равенство∫

Σ(T ∗Y )

Todd ∧ chΠ+ (Σp) ∧ chF =

∫

Y

L (TY ) ∧ chF, (10)

где через Todd ∈ Λev (Y ) обозначена замкнутая дифференциальная форма, однозначноопределяющаяся из соотношения

T (chΠ+ (Σp)) ∧ Todd = L (TY ) ,

где через T : C∞ (Λ (Σ (T ∗Y ))) → C∞ (Λ (Y )) обозначен оператор послойного интегриро-вания форм, являющийся гомоморфизмом C∞ (Λ (Y ))-модулей и коммутирующий с инте-грированием по всем переменным. Форма Todd определяется метрикой на M и являетсявещественной характеристической формой, см. [?]. В силу теории Гилки о локальных ин-вариантах эта форма определяется некоторым универсальным инвариантным полиномом.Такой полином известен — это полином Тодда, поэтому форма Todd совпадает с диффе-ренциальной формой, определяющей класс Тодда на римановом многообразии и равенство(??) преобразуется в искомое равенство

∫

Σ(T ∗Y )

Todd (TY ) ∧ chΠ+ (Σp) ∧ chF =

∫

Y

L (TY ) ∧ chF.

¤

4.3. Индекс на нечетномерных или неориентируемых многообразиях. Как и вклассическом случае, формула индекса переносится на общие многообразия.

Lemma 3. a) Если равенство (??) выполнено на ориентируемых многообразиях, то оноверно и на неориентируемых. b) Если формула индекса верна на четномерных многооб-разиях, то она остается справедливой и на нечетномерных.

Доказательство. a) Пусть (M,π) – некоторая, вообще говоря, неориентируемая пара и D— допустимый эллиптический оператор на M . Тогда от (M,π) можно перейти к ориенти-рующей двулистной накрывающей (M, π) с ориентированной проекцией π : U −→ Y .


Через D обозначим поднятие оператора D на пару(M, π

). В силу локальности инте-

грала имеем2indtD = indtD.

Аналогичным образом, аналитический индекс также мультипликативен относительно под-нятия оператора на накрытие (ср. [?]). Поэтому индексы операторов D и D связаны ра-венством

2indaD = indaD.

Последние два равенства доказывают первую часть леммы.b) Пусть D — эллиптический оператор на нечетномерном многообразии M. Через D0

обозначим псевдодифференциальный оператор индекса один на окружности S1. На чет-номерном произведении M × S1 рассматривается скрещенное произведение операторовD#D0 (для корректности определения потребуем, чтобы операторы имели равные и по-ложительные порядки). С одной стороны, его аналитический индекс есть произведениеиндексов и совпадает с индексом оператора D. С другой стороны, в [?], лемма 3.9.3, по-казано, что интегралы в выражениях для топологического индекса indt операторов D иD#D0 попарно совпадают. В силу предположения леммы, для оператора D#D0 на четно-мерном многообразии топологический и аналитический индексы равны. Отсюда вытекает,что индексы равны и для исходного оператора D на нечетномерном многообразии. ¤

Теорема ?? доказана.


[1] А.Б. Антоневич. Линейные функциональные уравнения. Операторный подход. Университетское,Минск, 1988.

[2] A. Savin and B. Sternin. Index Defects in the Theory of Nonlocal Boundary Value Problems and the η-Invariant. Univ. Potsdam, Institut fur Mathematik, Potsdam, 2001. Preprint 01/31, arXiv: math/0108107.

[3] R. S. Palais. Seminar on the Atiyah–Singer index theorem. Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1965.[4] P. B. Gilkey. Invariance theory, the heat equation, and the Atiyah-Singer index theorem. Studies in Advanced

Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, second edition, 1995.[5] M. Atiyah, V. Patodi, and I. Singer. Spectral asymmetry and Riemannian geometry I. Math. Proc. Cambridge

Philos. Soc., 77, 1975, 43–69.[6] J. Rosenberg. Groupoid C∗-algebras and index theory on manifolds with singularities. Geometriae Dedicata

(to appear), 2002.[7] M. F. Atiyah and I. M. Singer. The index of elliptic operators I. Ann. of Math., 87, 1968, 484–530.[8] B. Blackadar. K-Theory for Operator Algebras. Number 5 in Mathematical Sciences Research Institute

Publications. Cambridge University Press, 1998. Second edition.

Савин А. Ю., к.ф.-м.н., Независимый Московский Университет, Москва,121002, Россия


Стернин Б. Ю., д.ф.-м.н., Независимый Московский Университет, Москва,121002, Россия



BASES OF EXPONENTIAL IN WEIGHTED Lp SPACES

A. BoivinDepartment of Mathematics, University of Western Ontario

London (Ontario), Canada

A. M. SedletskiiDepartment of Mathematical Analysis

Mechanics and Mathematics Faculty, Moscow State UniversityMoscow, Russia

We give some conditions on the exponents (λn) and the generating function of thesystem of exponentials (eiλnt) that guarantee that the system forms a basis in the spacesLp((−a, a), ω(t)dt), 1 < p < ∞, where ω(t) is a weight of a special kind. Previouslythese theorems were known only for the case ω(t) = 1.

Non-harmonic analysis (i. e. study of the approximation properties of systems of exponen-tials on some finite interval I) began with the classical works of R. Paley and N. Wiener [?]and N. Levinson [?]. The question of when does a system of exponentials form a Riesz basisin L2(I) has now received a very satisfactory answer. Complete and (essentially) final solutionsof this problem are to be found in the works of S. Hruscev, N. Nikol’skii and B. Pavlov [?] andA. Minkin [?], where references to important earlier works are also given. When considering thisquestion in Lp(I) for p 6= 2, additional difficulties arise and the answer is not as complete yet.Nevertheless, a number of sufficient conditions have been obtained, and some of them (on theregularity of the exponents) have also been shown to be necessary (see [?, ?]). In the presentpaper, this question will be considered in Lp spaces with weights.

Basis properties of systems of exponentials in weighted spaces have not been consideredpreviously with the notable exception of the trigonometric system eint, n ∈ Z, which hasbeen shown to form a basis in Lp((−π, π), Φ(t) dt) if and only if the weight Φ is a non-negative2π-periodic measurable function satisfying the (Ap) condition (see [?, Theorem 8]). Recall that aweight Φ(x) on R satisfies the Muckenhoupt’s condition (Ap) (we write Φ ∈ (Ap)) if

supI⊂R

1

|I|

∫

I

Φ(x)dx

1

|I|

∫

I

Φ(x)−1/(p−1)dx

p−1

< +∞ (Ap)

where I is an interval in R and 1 < p < ∞.We now introduce the basic notation and definitions use throughout this paper.Let ÃL = (λn; mn)∞n=0 be a sequence where λn ∈ C, |ln+1| ≥ |λn| and mn ∈ N = 1, 2, 3, . . . .

Associated with this sequence, we introduce the corresponding system of exponentials

e(ÃL) =(eiλnt, (it) eiλnt, . . . , (it)mn−1eiλnt

)∞n=0

. (1)

Fix an arbitrary number a > 0. An entire function L(z) of exponential type is called agenerating function for the system e(ÃL) if the set of zeroes of the function L(z) coincideswith ÃL (with corresponding multiplicities mn) and if the indicator hL(θ) of L(z) ishL(θ) = a| sin θ|.

Let B = B(−a, a) be some Banach space of functions defined on the interval (−a, a) andsuppose that the system e(ÃL) is a basis in B. To every function f ∈ B, there then correspondsa unique (non-harmonic Fourier) series

f(t) ∼∞∑

n=0

eiλnt

mn−1∑

k=0

cnk(it)k =

∞∑

n=0

Pmn−1(t) eiλnt (2)


which converges to f in B; here Ps(t) is a polynomial of degree s. We say that the basis e(ÃL)has the Riesz property if for all f ∈ B the series

∑

Reλn>0

Pmn−1(t) eiλnt (3)

converges in B. This notion is inspired by a theorem of M. Riesz which asserts the following:for any function f ∈ Lp(−π, π), 1 < p < ∞, the series

∑n>0

cneint converges, where the cn,

−∞ < n < ∞, are the Fourier coefficients of the function f . This serves as a substitution tothe notion of a Riesz basis (i.e. a basis which is equivalent to an orthonormal basis) when wepass from the Hilbert space L2 to the Banach space B.

A sequence is called separable if |λn − lm| ≥ δ > 0, n 6= m. It is well-known (see [?] forinstance) that the separability of ÃL is necessary in order for the system (??) to be a basis inLp(−a, a). This simple assertion will remain true for the spaces we shall considered.

Under the condition of separability of the sequence ÃL, the system (??) is a basis in Lp(−a, a)with the Riesz property when either A) or B) below holds (see [?], [?, Chapter 6]):

A) 1 < p < ∞ and the generating function of the system (??) is of the form

L(z) =

a∫

−a

eiztdσ(t), varσ(t) < +∞ (4a)

where σ satisfies the jump conditions

σ(a) 6= σ(a − 0), and σ(−a) 6= σ(−a + 0). (4b)

B) 1 < p < 2, all points λn lie in an horizontal strip |Imz| ≤ h < +∞, the condition

supn

mn = m < +∞ (5)

holds, and for some H ∈ R, |H| > |h|, we have |L(x + iH)|p ∈ (Ap).

In the present paper, we extend both these results to the weighted spaces LpΦα(t),a which we

now define. Let I be an interval in R and let Φ(x) be a weight on I. We denote by Lp(I, Φ(t)dt)the space of measurable functions (relative to the measure which is defined by the weight Φ(t))with finite norm

‖f‖p,Φ =

∫

I

|f(t)|pΦ(t)dt

1/p

, 1 ≤ p < ∞. (6)

We let LpΦ(t),a = Lp((−a, a), Φ(t)dt). We will also exclusively denote by Φα the weight

Φα(t) =s∏

j=1

|t − bj|α, −a ≤ b1 < · · · < bs ≤ a, s ∈ N. (7)

and use accordingly the notation LpΦα(t),a and ‖ · ‖p,Φα We also write Lp

α instead of Lp(R, |t|αdt).We now formulate our main results.

Theorem 1. Let

1 < p < ∞ and 0 ≤ α < p − 1. (8)

Suppose that the sequence ÃL is separable, and that the generating function L of the system (??)can be represented as an integral of the form (??) with with the function of bounded variation σsatisfying the jump conditions (??). Then the system (??) is a basis in Lp

Φα(t),a, where s ≥ 2,

bs = −b1 = a, having the Riesz property.


Theorem 2. Let1 < p < ∞ and max (0, p − 2) ≤ α < p − 1. (9)

Suppose that the sequence ÃL is separable, that all points λn lie in the horizontal strip|Imz| < h < +∞, that condition (??) holds and that for some H ∈ R, |H| > |h|, we have

|L(x + iH)|p/(1+α) ∈ (Ap/(1+α)). (10)

Then the system (??) is a basis in LpΦα(t),a, where s ≥ 2, bs = −b1 = a, having the Riesz

property.

We note that the condition α < p−1 ensures the topological embedding LpΦα(t),a → L1(−a, a).

Under the hypotheses of Theorem 1, it also follows that all points λn lie in an horizontal strip,that condition (??) holds and that |L(x+ iH)| ≍ 1, x ∈ R, for sufficiently large |H| (see [?, ?]).

Therefore condition (??) is satisfied. On the other hand, Theorem 1 comprises a larger setof parameters (p, α).

When p = 2 and α = 0, condition (??) is also known to be necessary under the hypothesesof Theorem 2 in order for e(l) to be a Riesz basis (see [?, ?, ?]).

Theorem 3. Suppose that all conditions of Theorem 2 are satisfied. Then for any functionf ∈ Lp

Φα(t),a, where s ≥ 2, bs = −b1 = a, the sequence (cnk) of the coefficients of its biorthogonal

series (??) belongs to ℓq, with q = p/(p − 1 − α), and

‖((cnk)

mn−1k=0

)∞n=0

‖q ≤ M‖f‖p,Φα ,

where the constant M does not depend on f .

References

[1] R. Paley and N. Wiener. Fourier transform in the complex domain. Publ. Amer. Math. Soc., New York,1934.

[2] N. Levinson. Gap and density theorems. Publ. Amer. Math. Soc., New York, 1940.[3] S.V. Hruscev, N.K. Nikol’skii and B.S. Pavlov. Unconditional bases of exponentials and reproducing kernels.

Lect. Notes Math. 864 (1981), 214–335.[4] A.M. Minkin. The reflection of indices and unconditional bases of exponentials. (Russian) Algebra i Analiz

3, (1991) no. 5, 109–134. (English translation) St. Petersburg Math. J. 3 (1992), no. 5, 1043–1068.[5] A.M. Sedletskii, Biorthogonal expansions of functions in series of exponents on interval of the real axis,

Russian Math. Surv. 37, No.5 (1982), 57–108.[6] A.M. Sedletskii, Fourier transforms and approximations. Gordon and Breach Science Publ., Amsterdam,

2000.[7] R. Hunt, B. Muckenhoupt and R. Wheeden. Weighted norm inequalities for the conjugate function and

Hilbert transform. Trans. Amer. Math. Soc. 176 (1973), 227–251.[8] B.S. Pavlov. The basis property of a system of exponentials and the condition of Muckenhoupt. (Russian)

Dokl. Akad. Nauk SSSR 247 (1979), no. 1, 37–40. (English translation) Soviet Math. Dokl. 20 (1979),no. 4, 655–659.

Boivin A., Professor, University of Western Ontario, London (Ontario), N6A5B7, Canada


Sedletskii A. M., Moscow State (Lomonosov) University, Moscow, 119899,Russia



SIMILARITY OF J-SELFADJOINT STURM-LIOUVILLEOPERATORS

WITH AN OPERATOR POTENTIAL TO SELFADJOINT ONES

S. HassiUniversity of Vaasa, Vaasa, Finland

I. KarabashDonetsk National University, Donetsk, Ukraine 4

Keywords: Similarity problem, J-selfadjoint operator, nonselfadjoint operator, differential operator, operator

potential, partial differential operator.

Operators of the form (sgn t)(− d2

dt2+ Q) with an operator potential Q are studied. A

criterion of similarity to a selfadjoint operator is obtained for operators from this class.An application to J-selfadjoint partial differential operators is given.

Recall that two closed operators A1 and A2 in a Banach space X are called similar if thereexists an automorphism T of X such that TD(A1) = D(A2) and A2 = TA1T

−1.Let Q be a lower semibounded selfadjoint operator acting on a separable Hilbert space H,

Q = Q∗ ≥ µ0. Consider a selfadjoint Sturm-Liouville operator

(Ly)(t) = −y′′(t) + Qy(t), −∞ < t < +∞,

in L2(R,H), see [?]. Let J be the multiplication operator by sgn t on L2(R,H),

J : y(t) → (sgn t) y(t).

Then the operator

A = JL = (sgn t)

(− d2

dt2+ Q

), (1)

being a product of two selfadjoint noncommuting operators, is nonselfadjoint, i.e., A∗ = LJ 6=A. In fact, the operator A∗ is defined by the same differential expression, but it has anotherdomain given by

D(A∗) = y ∈ L2(R,H) : Jy ∈ D(L) 6= D(A) = D(L).

The question is the similarity of A to a selfadjoint operator.Note, that spectral problems

(Ly)(t) = λr(t)y(t), (2)

with a selfadjoint differential operator L and the function r(t) which changes its sign, occur incertain physical models, see [?], and the references therein. The question whether the systemof eigenfunctions of the problem (??) forms a Riesz basis was studied in [?], [?], [?], [?].

If L has a continuous spectrum, the corresponding problem is the similarity of A to aselfadjoint or normal operator. This problem was studied for L > δ > 0 in [?], [?], and forordinary differential operators L such that σc(L) ∩ (−∞, 0] 6= ∅ in [?], [?], [?], [?], [?].

In the case where L is a nonnegative partial differential operator with constant coefficientscertain sufficient conditions for the similarity were obtained in [?].

The main result in this paper gives a criterion of similarity for operators of the form (??).

Theorem 1. Let A be an operator of the form (??). Then the spectrum of A is real, σ(A) ⊂ R.The operator A is similar to a selfadjoint operator if and only if the operator Q is nonnegative.

4The second author was supported by the Academy of Finland (project 203226).


Corollary 1. Let q be a bounded nonnegative function on Rn+1 which does not depend on tand which satisfies 0 ≤ q = q(x1, x2, . . . , xn) ∈ L∞(Rn+1). Then the J-selfadjoint Schrodingeroperator

(sgn t)

(− ∂2

∂t2− ∂2

∂x21

− ∂2

∂x22

− · · · − ∂2

∂x2n

+ q(x1, x2, . . . , xn)

)

in L2(Rn+1) is similar to a selfadjoint operator.

Corollary 2. Let p be a lower semibounded polynomial in n variables, p(x1, x2, . . . , xn) ≥ µ0.Then the operator

(sgn t)

(− ∂2

∂t2+ p

(−i

∂

∂x1

,−i∂

∂x2

, . . . ,−i∂

∂xn

))

in L2(Rn+1) is similar to a selfadjoint operator if and only if the polynomial p is nonnegative.

Remark. The results in [?] imply only the sufficient condition of Corollary ??.

Example 1. Let p(x1, x2, . . . , xn) = x21 +x2

2 + · · ·+x2n +a, where a is a real constant. It follows

from Corollary ?? that the operator

(sgn t)

(− ∂2

∂t2− ∂2

∂x21

− ∂2

∂x22

− · · · − ∂2

∂x2n

+ a

)

is similar to a selfadjoint operator if and only if a ≥ 0.

Theorem ?? can be used to study the similarity of partial differential operators in a strip, ina halfspace etc.

Example 2. Let Q be a selfadjoint operator in H = L2(−1, 1) which is generated by thedifferential expression − d2

dx2 and the boundary conditions

u′(−1) − hu(−1) = 0, u(1) = 0.

The operator L = −y′′(t)+Qy(t) in L2(R,H) gives rise to a selfadjoint extension of the Laplaceoperator ∆ = − ∂2

∂t2− ∂2

∂x2 in L2(Ω), where Ω is a strip in R2 of the form Ω = (t, x) : −1 ≤x ≤ 1. The boundary conditions corresponding to D(L) are given by

∂y(t,−1)

∂x− hy(t,−1) = 0, y(t, 1) = 0. (3)

The operator Q is nonnegative precisely when h ≥ 0. Consequently, the operator generated

by the differential expression (sgn t)(− ∂2

∂t2− ∂2

∂x2

)and the boundary conditions (??) is similar

to a selfadjoint operator if and only if h ≥ 0.

The proof of Theorem ?? is based on the resolvent criterion for similarity, see [?], [?], [?],and the theory of boundary problems for operator differential equations, cf. [?]. Some resultson boundary triplets and Weyl functions from [?], [?] are used to calculate the resolvent andthe spectrum of A.

The authors express their gratitude to M. M. Malamud for numerous useful discussions.

References

[1] R. Beals, An abstract treatment of some forward-backward problems of transport and scattering // J. Funct.Anal.—1979.—V. 34, —P.1–20.

[2] R. Beals, Indefinite Sturm-Liouville problems and half range completeness // J. Differential Equations—1985.—V. 56, no. 3.— P.391–407.

[3] J.A. van Casteren, Operators similar to unitary or selfadjoint ones // Pacific J. Math.—1983.—V. 104,no. 1.—P.241–255.


[4] B Curgus, H. Langer, A Krein space approach to symmetric ordinary differential operators with an indefiniteweight function // J. Differential Equations—1989.—V. 79.—P.31–61.

[5] B. Curgus, B. Najman, A Krein space approach to elliptic eigenvalue problems with indefinite weights //Differential Integral Equations.—1994. —V. 7.—P.1241–1252.

[6] B. Curgus, B. Najman, Positive differential operator in Krein space L2(R). // Oper. Theory Adv. Appl.,Birkhauser, Basel.—1996.—V. 87.—P.95–104.

[7] B. Curgus, B. Najman, Positive differential operator in the Krein space L2(Rn). // Oper. Theory Adv.Appl., Birkhauser, Basel.—1998.—V. 106.—P.113–130.

[8] V.A. Derkach, M.M. Malamud, Generalized resolvents and the boundary value problems for hermitianoperators with gaps // J. Funct. Anal.—1991.—V. 95.—P.1–95.

[9] V.A. Derkach, S. Hassi, M.M. Malamud, H.S.V. de Snoo, Generalized resolvents of symmetric operatorsand admissibility // Methods Funct. Anal. Topology. —2000. —V. 6.—P.24–55.

[10] M.M. Faddeev, R.G. Shterenberg, On the similarity of some singular differential operators to selfadjointoperators // Issled. po lin. oper. i teor. fun. 28, Zapiski nauch. sem. POMI.—2000.—’. 270.— ‘.336–349.(Russian)

[11] V.I. Gorbachuk and M.L. Gorbachuk, Boundary value problems for operator differential equations, NaukovaDumka, Kiev, 1984 (Russian) (English translation: Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston,London, 1990).

[12] I.M. Karabash, J-selfadjoint ordinary differential operators similar to selfadjoint operators // MethodsFunct. Anal. Topology.—2000.—V. 6, no. 2. —P.22–49.

[13] I.M. Karabash, A.S. Kostenko, On the similarity of operators (sgnx)(− d2

dx2 + cδ) to normal or selfadjointoperators // Mat. Zametki.—2003.—V. 74, no. 1.—P.134–139. (Russian)

[14] I.M. Karabash, M.M. Malamud, On similarity of J-selfadjoint Sturm-Liouville operators with finite-gappotential to selfadjoint ones // Dokl. RAN.—2004.—V. 394, no. 4.—P.17–21. (Russian)

[15] M.M. Malamud, A criterion of the similarity of a closed operator to a selfadjoint operator // Ukrain. mat.zurnal.—1985.—V. 37, no. 1.—P.49–56. (Russian)

[16] S.N. Naboko, Conditions for similarity to unitary and selfadjoint operators // Funkcionalnii Analiz i egoprilozeniya. —1984.—V. 18, no. 1.—P.16–27. (Russian)

[17] S.G. Pyatkov, Properties of eigenfunctions of certain spectral problem with some applications // Nekotorieprilozenia funkcionalnogo analiza k zadacham matematicheskoi fiziki. —Novosibirsk: IM SO AN SSSR,1986.—P.65–84. (Russian)

[18] S.G. Pyatkov, Some properties of eigenfunctions of linear pencils // Sibirskii mat. zurnal.—1989.—V. 30,no. 4.—P.111–124. (Russian) (English translation: Siberian Math. J.—1989.—V. 30,— P.587–597).

S. Hassi, Department of Mathematics and Statistics, University of Vaasa, P.O.Box 700, 65101 Vaasa, Finland


I. Karabash, Department of Mathematics, Donetsk State University,Universitetskaya str. 24, 83055 Donetsk, Ukraine



A GENERALIZED MALLIAVIN DERIVATIVE IN A COLOUREDNOISE ANALYSIS

N. A. KachanovskyInstitute of Mathematics

Kiev, Ukraine

We introduce a generalized Malliavin derivative on the spaces of square integrable withrespect to so-called coloured noise measures functions and on corresponding Kondratiev-type generalized functions spaces (in infinite-dimensional case). Then we study mainproperties of this derivative.

Мы вводим обобщенную производную Маллявена на пространствах квадратич-но интегрируемых относительно так называемых мер цветного шума функций ина соответствующих пространствах обобщенных функций, подобных простран-ствам Кондратьева (в бесконечномерном случае). Затем мы изучаем основныесвойства этой производной.

Ми вводимо узагальнену похiдну Маллявена на просторах квадратично iнте-гровних вiдносно так званих мiр кольорового шуму функцiй та на вiдповiднихпросторах узагальнених функцiй, що є подiбними до просторiв Кондратьєва (унескiнченновимiрному випадку). Далi ми вивчаємо властивостi цiєї похiдної.

Introduction

The ’classical’ Malliavin derivative was introduced by P. Malliavin in [?]. It was a very specificoperator connected with hypoelliptic operators and a Wiener process. In a modern treatmentone usually understand by the term ’the Malliavin derivative’ one type of a stochastic derivativein Gaussian analysis (see, e.g., [?, ?]).

In the paper [?] Fred E. Benth studied a generalization of the Malliavin derivative on aKondratiev generalized functions space in Gaussian infinite-dimensional analysis. His paperwas a motivation for a study of a more general question: ’How to construct a generalizedMalliavin derivative on generalized functions spaces for a more wide class of measures?’ In thepaper [?] the author tried to give a partial answer on this question for so-called Poisson andGamma measures. In this paper we construct and study a generalized Malliavin derivative byanalogy with [?, ?] on spaces connected with so-called coloured noise measures (c.n.m.) (see [?]).Note that the Gaussian and Poisson measures are c.n.m.; but the class of c.n.m. is very wide,these measures are connected with stochastic processes with, generally speaking, dependentincrements; so the ’coloured noise analysis’ can not be trivial. Nevertheless, it is possible toobtain some general results in this area.

1. Preliminaries

Let (Ω,F , P,F) be a filtered probability space. (Here F is a P -complete σ-algebra andF := Ft : t ∈ R+ is a filtration of σ-algebras, i.e. Fs ⊆ Ft if s ≤ t. We also assume that F0

is P -complete and F is right continuous, i.e. Ft = Ft+ := ∩τ>tFτ .) Let M := Mt : t ≥ 0 besquare integrable Ft-martingale. It means that ∀t ≥ 0 Mt ∈ L2(Ω,F , P ) is an Ft-measurablerandom variable and

∀t > s ≥ 0 Ms = E(Mt|Fs) (mod P ),

where E(ξ|B) denotes a conditional expectation of a random variable ξ with respect to (w.r.t.)σ-algebra B. Below we assume that Mt vanish at zero and the collection Mt : t ≥ 0 generatesa σ-algebra FM which coincides with F . Let us denote L2(M) := L2(Ω,FM, P ) = L2(Ω,F , P ).


Definition. A square integrable martingale M satisfying conditions above is called a normalone if the stochastic process

M2t − t, t ≥ 0 ⊂ L1(Ω,FM, P )

is Ft-martingale.

The equivalent definition is the following: the quadratic variance of M (angle bracket)〈M,M〉t = t at any point t ≥ 0 (see [?, ?]). It is well known that a Brownian motion anda compensated standard Poisson process are normal martingales (w.r.t. filtrations generated bythese processes correspondingly).

Let L2 = L2(R) be the space of square integrable w.r.t. the Lebesgue measure functions on

R; Γ(L2) := ⊕∞n=0Γn (where Γn := L2⊗n

Cn!, L2⊗0

C:= C) be a ’weighted’ Fock space generated

by L2: f ∈ Γ(L2) mean f = (f (n) ∈ L2⊗nC

)∞n=0 and ‖f‖2Γ(L2) =

∑∞n=0 n!|f (n)|2

L2⊗nC

< ∞. Here and

below ⊗ denote a symmetric tensor product, the subindex C denotes a complexification.It proved in [?] that for a normal martingale M it is possible to construct n-multiple stochastic

integrals w.r.t. MΓn ∋ f (n) 7→ In(f (n);M) ∈ L2(M)

and the isometric mapping between the Fock space Γ(L2) and L2(M)

Γ(L2) ∋ f = (f (n))∞n=0 7→ IMf =∞∑

n=0

In(f (n);M) ∈ L2(M) (1)

holds. But, generally speaking, the image IMΓ(L2) is a subspace of L2(M) and can be not equalto L2(M). So, by analogy with a ’classical’ terminology we say that a normal martingale Mhas the chaos representation property (CRP), if IMΓ(L2) = L2(M). Examples of ’nonclassical’normal martingales having CRP given in, e.g., [?, ?, ?].

Now let us recall definitions of a coloured noise and a coloured noise measure.

Theorem. ([?]) Let M be a normal martingale. Its distributional derivative M′ = M ′t , t ≥ 0

is a generalized stochastic process on D having extension to a measure µM on (D′,B(D′)). HereD is the space of infinite-differentiable compactly supported functions, D′ is the dual space toD, B denotes a Borel σ-algebra.

Corollary. ([?]) Let H− be a Hilbert space such that D′ ⊃ H− ⊃ L2 and the embedding operatorL2 → H− has a finite trace. Then µM(H−) = 1.

In particular, it follows from here that one can understand µM as a measure on (S ′,B(S ′)),where S ′ is the dual space to the Schwartz space S of infinite-differentiable rapidly decreasingfunctions.

Definition. Let M be a normal martingale having CRP. Its distributional derivative M′ iscalled a coloured noise, the corresponding measure µ := µM on (S ′,B(S ′))—a coloured noisemeasure.

One can find examples of coloured noises in [?]. Here we note only that the Gaussian andPoisson white noise measures are coloured noise measures; but there are no more coloured noisemeasures among the white noise ones (see, e.g., [?]).

Now we will consider the spaces of square integrable functions and Kondratiev-type spaces,connected with coloured noise measures. In order to do it we need some preparation. At first,let us consider a rigging

S ′ ⊃ H−p ⊃ L2 =: H0 ≡ H ⊃ Hp ⊃ S, p ∈ N,

where Hp are some Hilbert spaces such that S = pr limp∈N Hp; H−p, S ′ = ind limp∈N H−p arethe spaces dual to Hp, S w.r.t. H correspondingly.


We denote the norms in Hp, p ∈ Z, by | · |p; the (real) dual pairing between elements of S ′

and S, which is generated by the scalar product in H, by 〈·, ·〉; and preserve these notations fortensor powers and complexifications of spaces. Further, let Γp,q, p, q ∈ N be a ’weighted’ Fockspace such that f ∈ Γp,q mean f = (f (n) ∈ SC

⊗n)∞n=0 and ‖f‖2p,q :=

∑∞n=0(n!)22qn|f (n)|2p < ∞;

Γ(S) := pr limp,q∈N Γp,q. For p, q ∈ N sufficiently large one can consider a rigging

Γ(S ′) ⊃ Γ−p,−q ⊃ Γ(L2) ⊃ Γp,q ⊃ Γ(S), (2)

where Γ(L2) defined above; Γ−p,−q, Γ(S ′) = ind limp,q∈N Γ−p,−q are the spaces dual to Γp,q, Γ(S)

w.r.t. Γ(L2) correspondingly. It is easy to see that F ∈ Γ−p,−q mean F = (F (n) ∈ SC′⊗n

)∞n=0

and ‖F‖2−p,−q =

∑∞n=0 2−qn|F (n)|2−p < ∞.

Let now M be a normal martingale having CRP and µ be a corresponding coloured noisemeasure on (S ′,B(S ′)) (we fix these objects until the end of this paper). Putting (Ω,F , P ) =(S ′,B(S ′), µ) one can consider the space L2(M) = L2(S ′,B(S ′), µ) =: (L2) of square integrablew.r.t. the coloured noise measure µ functions on S ′ as an image of Γ(L2) under the isomorphismIM (see (??)). So, ϕ ∈ (L2) if and only if (iff) it can be presented in a form

ϕ =∞∑

n=0

In(f (n);M), (3)

f (n) ∈ H⊗nC

and

‖ϕ‖2(L2) =

∞∑

n=0

n!|f (n)|20 < ∞.

It will be convenient to accept the following notation. By analogy with ’classical’ Gaussianand Poisson analysis we introduce Wick monomials

〈: ¦⊗n :, f (n)〉 := In(f (n);M), f (n) ∈ H⊗nC

.

It is easy to understand that for f (n) ∈ SC⊗n the Wick monomial 〈: x⊗n :, f (n)〉 is a continuous

polynomial of the power n w.r.t. x ∈ S ′; for f (n) ∈ H⊗nC

one can understand 〈: ¦⊗n :, f (n)〉 as alimit in (L2) of a sequence of continuous polynomials 〈: ¦⊗n :, f

(n)k 〉, where SC

⊗n ∋ f(n)k → f (n)

as k → ∞ in H⊗nC

(see [?] for more details).Because the space Γ(S) is a subspace of Γ(L2), one can accept the following definition.

Definition. We define a Kondratiev-type test functions space (S) as an image of the spaceΓ(S) under the isomorphism IM (see (??)). It means that ϕ ∈ (S) iff it can be presented inform (??) with f (n) ∈ SC

⊗n and for all p, q ∈ N

‖ϕ‖2p,q :=

∞∑

n=0

(n!)22qn|f (n)|2p < ∞.

Now one can consider a rigging

(S ′)′ ⊃ (L2) ⊃ (S), (4)

where the space (S ′)′ is the dual one to (S) w.r.t. (L2).

Definition. We call the space (S ′)′ from rigging (??) the Kondratiev-type generalized functionsspace.

It is obvious that the spaces Γ(S ′) from rigging (??) and (S ′)′ from rigging (??) are isomorphicby construction. Let us denote this isomorphism by IM and to accept the notation (S ′)′ ∋ 〈:


¦⊗n :, F (n)〉 := IMF (n) for F (n) ∈ SC′⊗n. Now it is easy to see that Φ ∈ (S ′)′ iff it can be

presented in a form

Φ =∞∑

n=0

〈: ¦⊗n :, F (n)〉, (5)

where the formal series converges in (S ′)′, i.e. there exist p, q ∈ N such that

‖Φ‖2−p,−q :=

∞∑

n=0

2−qn|F (n)|2−p < ∞.

Note that the generalized function 〈: ¦⊗n :, F (n)〉, F (n) ∈ SC′⊗n can be constructed as a limit

in (S ′)′ of a sequence of continuous polynomials 〈: ¦⊗n :, F(n)k 〉, where SC

⊗n ∋ F(n)k → F (n) as

k → ∞ in SC′⊗n.

Let us denote the (real) dual pairing between elements of (S ′)′ and (S), which is generatedby the scalar product in (L2), by 〈〈·, ·〉〉. Then for Φ ∈ (S ′)′ and ϕ ∈ (S)

〈〈Φ, ϕ〉〉 =∞∑

n=0

n!〈F (n), f (n)〉,

where F (n) ∈ SC′⊗n, f (n) ∈ SC

⊗n are coefficients from decompositions (??) for Φ and (??) forϕ.

Following [?] (see also [?, ?]), we recall a definition of an extended stochastic integral in thecoloured noise analysis. Let, at first, ϕ ∈ (L2) ⊗H+

C, where H+

C:= L2(R+)C ⊂ HC. Then (see

(??))

ϕ· =∞∑

n=0

In(f (n)(·);M), f (n)(·) ∈ H⊗nC

⊗H+C.

We denote by f(n)[0,t) ∈ H⊗(n+1)

C, t ∈ [0,∞] the symmetrization of f (n)(·)1[0,t)(·) by n+1 variables

(here 1[0,t)(s) denotes the indicator of s ∈ [0, t)).

Definition. Let ϕ ∈ (L2) ⊗H+C

be such that

∞∑

n=0

(n + 1)!|f (n)[0,∞)|20 < ∞. (6)

For any t ∈ [0,∞] we define an extended stochastic integral∫ t

0ϕsdMs ∈ (L2) putting

t∫

0

ϕsdMs :=∞∑

n=0

In+1(f(n)[0,t);M). (7)

It is not difficult to prove that∫ t

0ϕsdMs is a generalization of the Ito stochastic integral

w.r.t. the martingale M, i.e. if ϕ ∈ (L2)⊗H+C

is integrable in the Ito sense and (??) hold then∫ t

0ϕsdMs coincide with the Ito integral. The reader can find an analogous proof in, e.g., [?, ?],

see also [?].Let now Φ ∈ (S ′)′ ⊗H+

C. It follows from (??) that

Φ· =∞∑

n=0

〈: ¦⊗n :, F (n)(·)〉, F (n)(·) ∈ SC′⊗n ⊗H+

C. (8)


Definition. Let Φ ∈ (S ′)′ ⊗ H+C. For any t ∈ [0,∞] we define an analog of the extended

stochastic integral∫ t

0ΦsdMs ∈ (S ′)′ putting

t∫

0

ΦsdMs :=∞∑

n=0

〈: ¦⊗(n+1) :, F(n)[0,t)〉, (9)

where SC′⊗(n+1) ∋ F

(n)[0,t) := P(F (n)(·)1[0,t)(·)), P denote the symmetrization operator, F (n)(·)

are from decomposition (??) for Φ.

Further, we recall elements of a so-called Wick calculus (see, e.g., [?, ?, ?, ?]).

Definition. For Φ ∈ (S ′)′ we define an S-transform (SΦ)(λ), λ ∈ U0 ⊂ SC, U0 is someneighborhood of 0 ∈ SC, putting

(SΦ)(λ) :=∞∑

n=0

〈F (n), λ⊗n〉, (10)

where F (n) ∈ SC′⊗n are the kernels from decomposition (??) for Φ.

The series in the right hand side of (??) converges in the algebra of germs of holomorphic at0 ∈ SC functions Hol0(SC) (see, e.g., [?] for details). Moreover, by analogy with [?, ?, ?] onecan prove the following characterization theorem.

Theorem. The S-transform is a topological isomorphism between the spaces (S ′)′ andHol0(SC).

Definition. For Φ, Ψ ∈ (S ′)′ and a function G : C → C holomorphic at (SΦ)(0) we define aWick product Φ♦Ψ ∈ (S ′)′ and a Wick version G♦(Φ) ∈ (S ′)′ putting

Φ♦Ψ := S−1(SΦSΨ); G♦(Φ) := S−1G(SΦ).

Note that for F (n) ∈ SC′⊗n, H(m) ∈ SC

′⊗m

〈: ¦⊗n :, F (n)〉♦〈: ¦⊗m :, H(m)〉 = 〈: ¦⊗(n+m) :, F (n)⊗H(m)〉. (11)

Finally, let us recall briefly an interconnection between the Wick product and the analogof the extended stochastic integral (see, e.g., [?, ?, ?]). At first we recall that the normalmartingale M can be presented in a form Mt = 〈: ¦ :, 1[0,t)〉 ∈ (L2), its distributional derivativeM ′

t = 〈: ¦ :, δt〉 ∈ (S ′)′, where δt ∈ S ′ is a Dirac δ-function (see [?] for more details).

Theorem. For any t ∈ [0,∞] and Φ ∈ (S ′)′ ⊗H+C

the following relation holds:

t∫

0

ΦsdMs =

t∫

0

Φs♦M ′sds ≡

t∫

0

Φs♦〈: ¦ :, δs〉ds, (12)

where the last integral in the right hand side is understanding in the Pettis sense, i.e. as aunique element from (S ′)′ such that

〈〈t∫

0

Φs♦〈: ¦ :, δs〉ds, ϕ〉〉 =

t∫

0

〈〈Φs♦〈: ¦ :, δs〉, ϕ〉〉ds, ∀ϕ ∈ (S).


2. A generalized Malliavin derivative on the square integrable functionsspace

Let n ∈ N, f (n) ∈ H⊗nC

, g ∈ HC. We define a kernel f (n)(g) ≡ 〈f (n), g〉 ∈ H⊗(n−1)C

by theformula

〈〈f (n), g〉, φ(n−1)〉 ≡ 〈f (n), φ(n−1)⊗g〉, ∀φ(n−1) ∈ H⊗(n−1)C

.

Proposition 1. ([?]) Let f (n) ∈ H⊗nC

, n ≥ 1. Then there exists a unique f (n)(·) ∈ H⊗(n−1)C

⊗HC

such that ∫

R

f (n)(s)g(s)ds = 〈f (n), g〉 ∀g ∈ HC (13)

and|f (n)(·)|H⊗(n−1)

C⊗HC

= |f (n)|0.

Here the integral in the left hand side of (??) is understanding in the sense that for any

φ(n−1) ∈ H⊗(n−1)C

〈∫

R

f (n)(s)g(s)ds, φ(n−1)〉 ≡∫

R

〈f (n)(s), φ(n−1)〉g(s)ds.

Definition. Let ϕ ∈ (L2) and for the kernels f (n) ∈ H⊗nC

from decomposition (??) the estimate∞∑

n=1

nn!|f (n)|20 < ∞ (14)

holds. We define a generalized Malliavin derivative ∂·ϕ ∈ (L2) ⊗HC by the formula

∂·ϕ :=∞∑

n=1

nIn−1(f(n)(·);M),

where f (n)(·) ∈ H⊗(n−1)C

⊗HC constructed as in the Proposition starting from f (n).

The correctness of this definition can be proved by a direct calculation of ‖∂·ϕ‖(L2)⊗HC.

Theorem 1. Let ϕ ∈ (L2), ψ ∈ (L2) ⊗ H+C

be such that either estimate (??) for ϕ holds orestimate (??) for ψ holds. Then we have the following duality relation between the generalizedMalliavin derivative and the extended stochastic integration:

E[ϕ

t∫

0

ψsdMs] =

t∫

0

E[∂sϕ · ψs]ds, ∀t ∈ [0,∞], (15)

where Eϕ := 〈〈ϕ, 1〉〉 denotes the expectation.

The proof consists in a direct calculation (one can find a similar proof in [?]).Now let us introduce an alternative (and equivalent in a sense) definition of the generalized

Malliavin derivative, which will be convenient for forthcoming generalizations.

Definition. (cf. [?]) Let ϕ ∈ (L2) be such that for the kernels f (n) ∈ H⊗nC

from decomposition(??) estimate (??) holds. We define a generalized Malliavin derivative (Dϕ)() ∈ (L2)⊗HC bythe formula

(Dϕ)() :=∞∑

n=1

nIn−1(f(n)();M).


Hence, for φ =∑∞

n=0 In(φ(n);M) ∈ (L2) and g ∈ HC we have

〈〈(Dϕ)(g), φ〉〉 =∞∑

n=1

n!〈f (n), φ(n−1)⊗g〉.

One can prove the correctness of this definition by analogy with the corresponding proof fora ’Poisson case’ in [?].

Note that as it follows from (??)∫

R

∂sϕ · g(s)ds = (Dϕ)(g) ∈ (L2) ∀g ∈ HC. (16)

In this sense D is equivalent to ∂·, so the same title for these two operators is natural (cf. [?]).The statement of Theorem ?? can be reformulated ’in terms of D’.

Theorem 2. Let ϕ, φ ∈ (L2), g ∈ H+C

be such that either estimate (??) for ϕ holds or estimate(??) for φ ⊗ g(·) holds. Then

〈〈ϕ,

∞∫

0

φ ⊗ g(s)dMs〉〉 = 〈〈ϕ, φ♦〈: ¦ :, g〉〉〉 = 〈〈(Dϕ)(g), φ〉〉. (17)

Доказательство. It follows from (??), (??) that∫ ∞0

φ ⊗ g(s)dMs = φ♦〈: ¦ :, g〉, whence thefirst equality in (??) follows. In order to obtain the second equality, one has to substituteψ· = φ ⊗ g(·) in (??) and take into account (??). ¤

The following statement gives an explicit formula for coefficients of decomposition (??) interms of D.

Theorem 3. For any ϕ ∈ (L2) the coefficients ϕ(n) ∈ H⊗nC

from decomposition (??) can bewritten in the form

f (n) =1

n!EDnϕ. (18)

Доказательство. Formula (??) follows by induction from (??), if we put φ ≡ 1. ¤

3. An extended generalized Malliavin derivative on the Kondratiev-typegeneralized functions space

Let n ∈ N, F (n) ∈ SC′⊗n, g ∈ SC. We define a kernel F (n)(g) ≡ 〈F (n), g〉 ∈ SC

′⊗(n−1) by theformula

〈〈F (n), g〉, φ(n−1)〉 ≡ 〈F (n), φ(n−1)⊗g〉, ∀φ(n−1) ∈ SC⊗(n−1).

Definition. Let Φ ∈ (S ′)′. We define an (extended) generalized Malliavin derivative (DΦ)() ∈(S ′)′ ⊗ SC

′ by the formula

(DΦ)() :=∞∑

n=1

n〈: ¦⊗(n−1) :, F (n)()〉,

where F (n)() ∈ SC′⊗(n−1) ⊗ SC

′ constructed as above with using F (n) ∈ SC′⊗n from

decomposition (??) for Φ. Hence, for φ =∑∞

n=0 In(φ(n);M) ∈ (S) and g ∈ SC we have

〈〈(DΦ)(g), φ〉〉 =∞∑

n=1

n!〈F (n), φ(n−1)⊗g〉.


It is not difficult to calculate (see similar calculation in [?]) that for p, q ∈ N sufficiently large|〈〈(DΦ)(g), φ〉〉| ≤ |g|p‖φ‖p,q‖Φ‖−p,−(q−1)

3√22q/2−1. So, this definition is correct and, moreover,

as distinguished from the ’regular’ case considered in Section ?? now D is a linear continuousoperator acting from (S ′)′ to (S ′)′ ⊗ SC

′.Now there is no direct analog of Theorem ??, but we have the following statement (an analog

of Theorem ??).

Theorem. Let Φ ∈ (S ′)′, φ ∈ (S), g ∈ SC, g(s) = 0 if s < 0. There is the following dualityrelation between the generalized Malliavin derivative and the extended stochastic integration:

〈〈Φ,

∞∫

0

φ ⊗ g(s)dMs〉〉 = 〈〈Φ, φ♦〈: ¦ :, g〉〉〉 = 〈〈(DΦ)(g), φ〉〉. (19)

Доказательство. The second equality from the representation

〈〈(DΦ)(g), φ〉〉 =∞∑

n=1

n!〈F (n), φ(n−1)⊗g〉 = 〈〈Φ, φ♦〈: ¦ :, g〉〉〉

follows; and because∫ ∞0

φ ⊗ g(s)dMs = φ♦〈: ¦ :, g〉 (see (??), (??)), the first pairing in (??) iswell-defined and the first equality holds. ¤

The forthcoming statement is an analog of Theorem ??.

Theorem. For any Φ ∈ (S ′)′ the coefficients F (n) ∈ SC′⊗n

from decomposition (??) can bewritten in the form

F (n) =1

n!EDnΦ.

For the proof it is sufficient to apply an induction to (??) putting φ ≡ 1.Now let us consider properties of D connected with a nature of (S ′)′. Let Dg be the operator

of differentiation in a direction g ∈ SC on Hol0(SC).

Theorem. The (extended) generalized Malliavin derivative of a generalized function Φ ∈ (S ′)′

is a pre-image of the directional derivative of SΦ under the S-transform, i.e.

(DΦ)(g) = S−1Dg(SΦ). (20)

The proof consists in a direct calculation of the right hand side of (??).Using (??) it is not difficult to obtain the following statement.

Theorem. The operator D is a differentiation w.r.t. the Wick product, i.e. for any Φ, Ψ ∈ (S ′)′

we haveD(Φ♦Ψ) = (DΦ)♦Ψ + Φ♦(DΨ). (21)

Доказательство. It follows from (??) that

D(Φ♦Ψ)(g) = S−1(Dg(SΦ · SΨ)) = S−1[(Dg(SΦ) · SΨ + SΦ · (Dg(SΨ)]

= (DΦ)(g)♦Ψ + Φ♦(DΨ)(g).

¤

Corollary. For any n ∈ N, Φ ∈ (S ′)′, a function G : C → C holomorphic at (SΦ)(0) we have

D(Φ♦n) = nΦ♦(n−1)♦DΦ, DG♦(Φ) = G′♦(Φ)♦DΦ, (22)

where Φ♦n := Φ♦ . . . ♦Φ︸︷︷︸n times

, G′ denotes the derivative of G.

The forthcoming statement is convenient for some applications.


Theorem. Let Φ ∈ (S ′)′⊗H+C

and for any g ∈ SC the element Φ·g(·) is integrable on R+∪+∞in the Pettis sense. Then for any t ∈ [0,∞]

(Dt∫

0

ΦsdMs)() =

t∫

0

(DΦs)()dMs +

t∫

0

Φs (s)ds. (23)

The proof consists in a direct calculation with using (??) and (??).By analogy with [?, ?], as an application of our results we will calculate the generalized

Malliavin derivative of the solution of a stochastic equation

(S ′)′ ∋ Φt = Φ0 +

t∫

0

G♦(Φs)dMs, (24)

where G : C → C is some entire function, Φ0 ∈ C. Under certain conditions on G a uniquesolution of (??) Φt ∈ (S ′)′ exists. Applying D to (??) and taking into account (??), (??) weobtain (cf. [?, ?])

(DΦt)(g) =(D

t∫

0

G♦(Φs)dMs

)(g)

=

t∫

0

G′♦(Φs)♦(DΦs)(g)dMs +

t∫

0

G♦(Φs)g(s)ds.

(25)

Let φgs(λ) := S

((DΦs)(g)

)(λ). Applying S to (??) and taking into account (??) we obtain

φgt (λ) =

t∫

0

G′((SΦs)(λ))φg

s(λ)λ(s)ds +

t∫

0

G((SΦs)(λ)

)g(s)ds.

The solution of this equation is

φgt (λ) =

t∫

0

G((SΦs)(λ)

)g(s) · exp

t∫

s

G′((SΦu)(λ))λ(u)du

ds.

By the inverse S-transform we obtain

(DΦt)(g) =

t∫

0

G♦(Φs)g(s)♦ exp♦

t∫

s

G′♦(Φu)dMu

ds. (26)

By analogy with [?, ?] it is not difficult to show that the right hand side of (??) is well-definedin (S ′)′.

References

[1] Malliavin, P., Stochastic calculus of variations and hypoelliptic operators, In: International Symposium SDE,Kyoto, kinokumiya, Tokio, 1976, pp. 195–253.

[2] Malliavin, P., Stochastic Analysis, Springer, 1997.[3] Nualart, D., Malliavin Calculus and Related Topics, Springer, Paris, 1995.[4] Benth, F. E., The Gross derivative of generalized random variables, Infinite Dimensional Analysis, Quantum

Probability and Related Topics, 1999, v. 2, Nr. 3 pp. 381–396.[5] Kachanovsky, N. A., A generalized Malliavin derivative connected with the Poisson- and Gamma-measures,

Methods Funct. Anal. Topol. v. 9, Nr. 3, 2003, in print.[6] Us, G. F., Towards a coloured noise analysis, Methods Funct. Anal. Topol. v. 3, Nr. 2, 1997, pp. 83–99.[7] Meyer, P. A., Quantum Probability for Probabilists, Lect. Notes in Math., v. bf 1538, Springer–Verlag, 1993.


[8] Meyer, P. A., Un cours sur les integrales stochastiques, Seminaire des Probabilites X, Lect. Notes in Math.,v. 511, Springer–Verlag, 1976, pp. 245–400.

[9] Azema, J., Yor, M., Etude d’une martingale remarquable, Seminaire des Probabilites XXIII, Lect. Notes inMath., v. 1372, Springer–Verlag, 1989, pp. 88–130.

[10] Emery, M., On the Azema martingale, Seminaire des Probabilites XXIII, Lect. Notes in Math., v. 1372,Springer–Verlag, 1989, pp. 66–87.

[11] Kabanov, Yu. M., Skorokhod, A. V., Extended stochastic integrals, In: Proc. of the school–seminar on thetheory of stoch. proc., Vilnus, Inst. of Physic and Mathematics, part I, 1975, pp. 123–167 (Russian).

[12] Kachanovsky, N. A., On analog of stochastic integral and Wick calculus in non-Gaussian infinite-dimensional analysis, Methods Funct. Anal. Topol. v. 3, Nr. 3, 1997, pp. 1–12.

[13] Kondratiev, Yu. G., Leukert, P., Streit, L., Wick calculus in Gaussian analysis, Acta Appl. Math., vol. 44,1996, pp. 269–294.

[14] Kondratiev, Yu. G., Streit, L., Westerkamp, W., Yan, J., Generalized functions in infinite-dimensionalanalysis, Hiroshima Math. J. vol. 28, 1998, pp. 213–260.

[15] Hida, T., Kuo, H.-H., Potthoff, J., Streit, L., White Noise: an Infinite Dimensional Calculus, KluwerAcademic Publishers, 1993.

N. A. Kachanovsky, Ph.D., Institute of Mathematics, Kiev, 3Tereschenkovskaja street, 01601, GSP, Kiev, UKRAINE


Keywords: Malliavin derivative, stochastic integral, coloured noise, normal martingale, Kondratiev space, Wick

calculus


WEAK COERCIVITY OF SYSTEMS OF DIFFERENTIALOPERATORS IN L1 AND L∞

D. V. Limansky, M. M. MalamudDonetsk National University

Donetsk, Ukraine

Keywords: System of differential operators, Sobolev space, weak coercivity, quasiellipticity

Weak coercivity criteria for systems of differential operators in the spaces L1(Ω) andL∞(Ω) are obtained. Also, we cite wide classes of weakly coercive nonelliptic systems ofoperators.

1. Introduction

It is well known [?, ?, ?, ?] that the coercivity criterion for a system of differential operators

Pj(x,D)N1 of order l in the Sovolev spaces

o

W lp(Ω) for p ∈ (1,∞) is that the system Pj(x,D)N

1

is elliptic. In the case of anisotropic Sobolev spaceso

W lp(Ω) and W l

p(Ω), coercivity criteria havebeen obtained by O. V. Besov [?, ?] for p ∈ (1,∞) and by one of the authors [?, ?] for p = ∞.

Moreover the coercivity criterion in the isotropic (anisotropic) spaceo

W l∞(Ω) turns to be not

connected with the ellipticity (l - quasiellipticity) of the system Pj(x,D)N1 .

On the other hand, K. de Leeuw and H. Mirkil [?] have proved that ellipticity of an operatorP1(D) of order l is equivalent to its weak coercivity (see Definition ??) in W l

∞(Rn) whenevern ≥ 3.

In this paper we show that under certain additional hypothesis weak coercivity of a systemPj(D)N

1 in the isotropic (anisotropic) space W l∞(Rn) is equivalent to its ellipticity (l -

quasiellipticity). Besides, we show that coercivity conditions ino

W lp(Ω) and W l

p(Ω), 1 < p < ∞,

are also sufficient conditions for a weak coercivity ino

W l1(Ω) and W l

1(Ω) respectively. We alsoindicate wide classes of nonelliptic but weakly coercive systems in W l

∞(Ω).Notation. Let R be the real numbers field, N be the set of natural numbers, Z+ := N ∪

0, Zn+ := Z+ × . . . × Z+ (n cofactors). Further, put Dk := −i∂/∂xk, D = (D1, D2, . . . , Dn);

and, finally, put Dα := Dα11 Dα2

2 . . . Dαnn for each multiindex α = (α1, . . . , αn) ∈ Zn

+.

2. Estimates for a quasielliptic system in∏ o

W l(k)

1 (Ω)

Let l = (l1, . . . , ln) (∈ Nn) be a vector with natural components, α ∈ Zn+ and |α : l| =

α1/l1 + . . . + αn/ln. Let also mk ∈ N, l(k) = (mkl1, . . . ,mkln), k ∈ 1, . . . ,M, and Ω be anarbitrary domain in Rn.

Denote∏

W l(k)

p (Ω) :=∏M

k=1 W l(k)

p (Ω) the anisotropic Sobolev space of vector-functions f =

(f1, . . . , fM) with the norm ‖f‖∏W l(k)

p:=

∑Mk=1 ‖fk‖W l(k)

p(Ω). Consider the following system of

differential operators Pj(x,D)N1 in

∏Lp (Ω) :=

∏Mk=1 Lp (Ω):

Pj(x,D)f =∑

1≤k≤M

P kj (x,D)fk :=

∑

1≤k≤M

∑

|α:l(k)|≤1

ajkα(x)Dαfk. (1)

Further, let Pjk(x,D) :=∑

|α:l(k)|=1 ajkα(x)Dα be a principal part of the operator P kj (x,D) and

Pjk(x, ξ) :=∑

|α:l(k)|=1 ajkα(x)ξα be its principal l(k) - homogeneous symbol.


We recall that a system of differential operators Pj(x,D)N1 of the form (??) is said to be

l - quasielliptic if

rank

P11(x, ξ) P12(x, ξ) . . . P1M(x, ξ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .PN1(x, ξ) PN2(x, ξ) . . . PNM(x, ξ)

= M, (x, ξ) ∈ Ω × (Rn \ 0) . (2)

Definition 1. [?] A system of differential operators Pj(x,D)N1 of the form (??) is called

(strongly) coercive in the space∏ o

W l(k)

p (Ω)(∏

W l(k)

p (Ω))

if the estimate

M∑

k=1

∑

|α:l(k)|≤1

‖Dαfk‖Lp ≤ C1

N∑

j=1

‖Pj(x,D)f‖Lp + C2‖f‖Lp (3)

is valid for all f ∈ ∏ o

W l(k)

p (Ω)(f ∈ ∏

W l(k)

p (Ω)), where constants C1 and C2 do not depend

on f .

It is well known [?, ?, ?, ?] that l - quasielliptic system of differential operators Pj(x,D)N1

of the form (??) with continuous coefficients is coercive in the anisotropic space∏ o

W l(k)

p (Ω)whenever p ∈ (1,∞).

Definition 2. We call a system of differential operators Pj(x,D)N1 of the form (??) weakly

coercive in the space∏ o

W l(k)

p (Ω)(∏

W l(k)

p (Ω))

if the estimate

M∑

k=1

∑

|α:l(k)|<1

‖Dαfk‖Lp ≤ C1

N∑

j=1

‖Pj(x,D)f‖Lp + C2‖f‖Lp

holds true in place of stronger estimate (??). Here constants C1 and C2 are independent of

f ∈ ∏ o

W l(k)

p (Ω)(∏

W l(k)

p (Ω)).

In the case of Sobolev spaces∏ o

W l(k)

1 (Ω) and∏ o

W l(k)

∞ (Ω), the following more weaker resultis true.

Theorem 1. Let Pj(x,D)N1 be a l - quasielliptic system of operators of the form (??). If

ajkα(x) ∈ L∞(Ω) and ajkα ∈ C(Ω) for |α : l| = 1, j ∈ 1, . . . , N then for every ε > 0 thereexists a constant C(ε) not depending on p ∈ [1,∞] such that the estimate

M∑

k=1

∑

|α:l|<1

‖Dαf‖Lp ≤ εN∑

j=1

‖Pj(x,D)f‖Lp + C(ε)‖f‖Lp , f ∈∏ o

W l(k)

p (Ω) (4)

holds true. In particular, l - quasielliptic system Pj(x,D)N1 of the form (??) is weakly coercive

in the spaces∏ o

W l(k)

1 (Ω) and∏ o

W l(k)

∞ (Ω).

Remark 1. a) Estimate (??) is well known for p ∈ (1,∞) (see, for example, [?]). It has beenproved for p = ∞ by means of other techniques in [?]. Our proof (in the case of constant-coefficient operators) is based on a theorem on multipliers in L1 being an analogue of theknown Mikhlin — Lizorkin theorem on multipliers in Lp for 1 < p < ∞ (see [?, ?, ?]).

b) Note also that a l - quasielliptic system Pj(x,D)N1 is, in general, not coercive in

o

W l(k)

1 (Ω)

ando

W lk

∞(Ω). Indeed, the system D21, D

22 is elliptic but not coercive in

o

W 21 (Ω) (see [?, ?]).


3. Weak coercivity conditions in the space∏

W l(k)

1 (Ω)

The coercivity criterion for a system Pj(x,D)N1 in the spaces

∏W l(k)

p (Ω) for p ∈ (1,∞)

has been found by O. V. Besov [?, ?], and in the case of spaces∏ o

W l(k)

∞ (Ω) and∏

W l(k)

∞ (Ω) ithas been found by one of the authors [?, ?]. It seems to us that the same (as in [?, ?]) criteria

are valid for the spaces∏ o

W l(k)

1 (Ω) and∏

W l(k)

1 (Ω) but we haven’t proved this yet.In this section we demonstrate that coercivity conditions in the spaces ΠW l(k)

p (Ω) for p ∈(1,∞) are also sufficient (but not necessary) ones for weak coercivity in ΠW l(k)

1 (Ω).

Theorem 2. Let Ω be a bounded domain in Rn satisfying a 1/l - horn condition (see [?]), and∂Ω be its boundary. Let also Pj(x,D)N

1 be a system of differential operators of the form (??)with coefficients ajkα ∈ L∞(Ω), and ajkα ∈ C(Ω) for |α : l| = 1, j ∈ 1, . . . , N, k ∈1, . . . ,M. Then the validity of both condition (??) and the condition

rank

P11(x, z) P12(x, z) . . . P1M(x, z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .PN1(x, z) PN2(x, z) . . . PNM(x, z)

= M, (x, z) ∈ ∂Ω × (Cn \ 0) (5)

is sufficient for the system Pj(x,D)N1 to be weakly coercive in the space

∏W l(k)

p (Ω) wheneverp ∈ [1,∞].

In particular, the system Pj(x,D)N1 is weakly coercive in

∏W l(k)

p (Ω) for p ∈ [1,∞] if

condition (??) holds true with Ω instead of ∂Ω.

4. Weak coercivity criterion in W l∞(Rn). Isotropic case

In this section we consider a system Pj(x,D)N1 of constant-coefficient differential operators

of the formPj(D) =

∑

|α|≤l

ajαDα, j ∈ 1, . . . , N, (6)

i. e., system (??) for M = 1 and l1 = . . . = ln = l.It is well known (see, for instance, [?]) that a system of operators Pj(D)N

1 of the form (??)

is coercive ino

W lp(Ω) for some p ∈ (1,∞) iff it is elliptic, i. e.,

(P l1(ξ), . . . , P

lN(ξ)) 6= 0, ξ ∈ Rn \ 0, (7)

with P lj(ξ) =

∑|α|=l ajαξα be (principal) symbol of the operator Pj(D).

De Leeuw and Mirkil [?] have obtained the following characterization of elliptic operators.

Theorem 3. [?] For n ≥ 3, the ellipticity of a differential operator P (D) is equivalent to itsweak coercivity in W l

∞(Rn).

The condition n ≥ 3 is essential for validity of Theorem ??. Namely, Malgrange (see [?]) hasshown that the operator (D1 + i)(D2 + i) is weakly coercive in W 2

∞(R2) but is not elliptic.In [?, ?], it has been shown that an elliptic system Pj(x,D)N

1 of the form (??)-(??) is weaklycoercive in W l

∞(Rn) (see also Theorem ?? for M = 1). Under some restrictions, the followingtheorem converts this statement and hence yields a weak coercivity criterion in W l

∞(Rn).

Theorem 4. Let Pj(D)N1 be a system of operators of the form (??) satisfying the next

conditions:1) n ≥ 2N + 1;2) polynomials P l

j(ξ)N1 being restricted to an arbitrary two-dimensional subspace of Rn are

linearly independent.Then the system Pj(D)N

1 is weakly coercive in the isotropic Sobolev space W l∞(Rn) iff it is

elliptic.


The following theorem describes a wide class of weakly coercive in W l∞(Rn) but nonelliptic

systems.

Theorem 5. Let Ω be an arbitrary domain in Rn, and let Pj(D)N1 be elliptic system of order

l. Let also Rkm(D) := (Dk + i)(Dm + i).Then the system Pj(D)Rkm(D) : j ∈ 1, . . . , N; k, m ∈ 1, . . . , n is weakly coercive ino

W l+2∞ (Ω) but is nonelliptic.

Corollary 1. Consider an elliptic operator P (D1, D2). Then the operator P (D1, D2)(D1 +i)(D2 + i) is weakly coercive in W l+2

∞ (R2) but is nonelliptic.

Remark 2. a) Theorem ?? generalizes the result of de Leeuw and Mirkil [?] mentioned aboveand coincides with it for N = 1. Indeed, it is easy to show that for N = 1 condition 2) ofTheorem ?? is fulfilled if P is weakly coercive in W l

∞(Rn).b) Condition 2) is essential for Theorem ?? to be true. Say, systems R12(D), R34(D) and

R12(D), D23 + D2

4 are weakly coercive in W 2∞(R4) but are not elliptic.

At the same time both conditions 1) and 2) are not necessary. In fact, the system D21 +

D22, D

23 + D2

4 is elliptic in W 2∞(R4) but both conditions 1) and 2) are violated. We do not

know any examples of weakly coercive nonelliptic systems for which condition 2) holds true butcondition 1) does not.

c) Conditions of Theorem ?? are exact. More precisely, we can prove that the system

Pj(D)Rkm(D) : j ∈ 1, . . . , N; k, m ∈ 1, . . . , n is no longer to be coercive ino

W l+2∞ (Ω)

whenever any operator is eliminated from this system.

5. Weak coercivity criteria in W l∞(Rn). Anisotropic case

As above, let l = (l1, . . . , ln) ∈ Nn. In this section we consider a system of differentialpolynomials Pj(D)N

1 of the form

Pj(D) =∑

|α:l|≤1

ajαDα, j ∈ 1, . . . , N, (8)

i. e., a constant-coefficient system of operators of the form (??) with M = 1. A system of

operators Pj(D)N1 of the form (??) is coercive in

o

W lp(Ω) for some p ∈ (1,∞) iff it is l -

quasielliptic [?], i. e., if

(P l1(ξ), . . . , P

lN(ξ)) 6= 0, ξ ∈ Rn \ 0, (9)

with P lj(ξ) =

∑|α:l|=1 ajαξα be (principal) l - homogeneous symbol of the operator Pj(D).

Note that the system Pj(D)N1 is certainly l- quasielliptic if the polynomial

∑j λjPj is l-

quasielliptic for some vector λjN1 (∈ CN). But such cases are exceptional. For instance, the

system P1(D), P2(D) := (D1 + iD2)3, (D3 + iD4)

2 is l - quasielliptic for l = (3, 3, 2, 2)though a polynomial λ1P1 + λ2P2 is not l - quasielliptic for any vector λj2

1 ∈ C2.Now we present necessary conditions (as well as criteria) of weak coercivity of system (??)

in the anisotropic Sobolev space W l∞(Rn).

Without loss of generality it can be assumed that l1 ≥ l2 ≥ . . . ≥ ln. Let us split numbersljn

1 into m groups, with equal numbers within each group. Let a k - th group contains nk

numbers, n1 + . . . + nm = n. We introduce the additional notation: u0 := 0, uk :=∑k

i=1 ni;k ∈ 1, . . . ,m such that a k - th group contains numbers luk−1+1, . . . , luk

.According to this splitting, the space Rn can be expanded in the direct sum of subspaces

Rn = ⊕mk=1Ek, Ek := (xuk−1+1, . . . , xuk

) ∈ Rnk ∼= Rnk . (10)

In the isotropic case, m = 1 and E1 = Rn.


Note that the definition of l - quasielliptic system, in contrast to the elliptic system definition,essentially depends on the choice of coordinate system and is not invariant under the actionof divisible linear group GL(n, R). However it is certainly invariant under the action of thesubgroup GL(n1, R) × . . . × GL(nm, R) of the group GL(n, R).

Definition 3. A linear subspace E (⊂ Rn) is called coordinate if it has the form E = x =(x1, . . . , xn) : xi1 = . . . = xik = 0 for some i1, . . . , ik ∈ 1, . . . , n.

Let P (ξ)⌈E be a restriction of a polynomial P (ξ) to a coordinate subspace E, and let P (D)⌈Ebe the corresponding operator.

Theorem 6. Let l1 ≥ l2 ≥ . . . ≥ ln. If a system of operators Pj(D)N1 of the form (??) is

l - quasielliptic then

the polynomial system Pj(ξ)⌈EkN1 is lnk

− elliptic, k ∈ 1, . . . ,m. (11)

Here lnk:=

(luk−1+1, . . . , luk

)is the "restriction"of the vector l to Ek.

Inversely, if the system Pj(D)N1 is weakly l - coercive in the anisotropic Sobolev space

W l∞(Rn) and condition (??) holds true then it is l - quasielliptic.

Corollary 2. Let l1 > l2 > . . . > ln, and let for every k ∈ 1, . . . , n we have

rank(P l

1(0, . . . , 0, ξk, 0, . . . , 0), . . . , P lN(0, . . . , 0, ξk, 0, . . . , 0)

)= 1, ξk 6= 0.

Then the system (??) is weakly coercive in W l∞(Rn) iff it is l - quasielliptic.

Next lemmas sometimes simplify the verification of condition (??).

Lemma 1. Let E be a coordinate subspace in Rn. If a system Pj(D)N1 is weakly coercive

in W l∞(Rn) then the system Pj(D)⌈EN

1 remains weakly coercive in W l′

∞(Rn), where l′ is thecorresponding "restriction"of the vector l.

Lemma 2. Let l = (l1, l2), l1 > l2, and let the operator P (D) =∑

|α:l|≤1 aαDα be weakly

coercive in W l∞(R2). Then:

a) al10 6= 0, i. e., P l(1, 0) 6= 0;b) if, in addition, l2 does not divide l1 then a0l2 6= 0, i. e., P l(0, 1) 6= 0.

The proof of Lemma ?? is based on Theorem 3 from [?].

Proposition 1. Let l1 ≥ l2 ≥ . . . ≥ ln, and let either in the decomposition (??) nm ≥ 3, orlm does not divide at least one of the numbers lj, with j ∈ 1, . . . ,m − 1. Then an operatorP (D) of the form (??) is weakly coercive in W l

∞(Rn) iff it is l - quasielliptic.

Proof. i) Let us show that in the case N = 1 condition (??) holds true for all k ∈ 1, . . . ,m−1. Let, for example, it is violated for some k = r ∈ 1, . . . ,m − 1.

Then making (if necessary) change of variables in the polynomial Pr(ξur−1+1, . . . , ξur) :=P (ξ)⌈Er we can assume that the polynomial Pr(ξ) (and hence P (ξ)) does not contain themonomial ξ

lurur . Let, further, Q(ξur , ξur+1) be the restriction of the polynomial P (ξ) to two-

dimensional subspace E = spanξur , ξur+1. By Lemma ??, the operator Q(Dur , Dur+1) isweakly coercive in W l′

∞(R2), with l′ = (lur , lur+1). According to Lemma ??, it follows that themonomial ξ

lurur comes in the polynomial Q(ξur , ξur+1) with nonzero coefficient. Contradiction.

ii) If nm ≥ 3 then P (ξ)⌈Em is elliptic by Lemma ?? and Theorem ??. Then condition (??)is fulfilled for k = m too. It remains to apply Theorem ??.

iii) Let now nm = 2 but the polynomial P (ξn−1, ξn) = P (ξ)⌈Em is nonelliptic. As above, wecan suppose that it does not contain the monomial ξln

n . If, for instance, lm does not divide lr thenwe consider a polynomial Q(ξur , ξn) being the restriction of P (ξ) to two-dimensional subspaceE = spanξur , ξn. By Lemma ??, the operator Q(Dur , Dn) is weakly coercive in W l′

∞(R2), withl′ := (lur , ln). But this contradicts Lemma ??. It follows that P (ξn−1, ξn) is elliptic.


Proposition is proved. ¤

The other proof of Proposition ?? has recently been obtained by one of the authors [?].We clarify Proposition ?? by consideration the case n = 2.

Corollary 3. Let n = 2, l := (l1, l2), l1 > l2 and P (D) := P1(D) be an operator of theform (??). If l2 does not divide l1 then weak l - coercivity of the operator P (D) is equivalent toits l - quasiellipticity.

The following proposition shows that the condition of Corollary ?? cannot be strengthened.

Proposition 2. Let l = (km, k), m ≥ 1, and let an operator P (D) =∑

|α:l|≤1 aαDα be

l - quasielliptic. Then the operator Dm1 P (D) is weakly l′ - coercive in W l′

∞(R2), with l′ :=((k + 1)m, k + 1).

Remark 3. For N > 1, unlike the case N = 1, condition (??) does not follow from weakl - coercivity of a system Pj(D)N

1 even in the homogeneous case. For example, if l = (3, 3)then the system D3

1, D22 is weakly coercive in W l

∞(R2) but is nonelliptic. Less trivial exampleof this type is given by the system D5

1 + iD32, D2

3, D31D3 that is not l - quasielliptic for

l = (5, 3, 3) but is weakly l - coercive in W l∞(R3).

"Explicit"conditions for N > 1 that provide condition (??) with weak l - coercivity andhence yield l - quasiellipticity of the system Pj(D)N

1 , are of interest.

References

[1] Berezanskii Yu. M., Expansion in eigenfunctions of selfadjoint operators. "Naukova Dumka", Kiev, 1965;English transl., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1968.

[2] Besov O. V., On coercivity in nonisotropic Sobolev spaces // Math. Sb. 73 (115) (1967), 585-599, Englishtransl. in Math. USSR Sb. 2 (1967).

[3] Besov O. V., Il’in V. P., and Nikol’skii S. M., Integral Representations of Functions and EmbeddingTheorems. M., Nauka, 1996. (Russian)

[4] Volevich L. R., Local properties of solutions of quasielliptic systems // Math. Sb. Vol. 59 (101), 1962. 3-52(Russian)

[5] De Leeuw K., Mirkil H., A priori estimates for differential operators in L∞ norm // Illinois J. Math., 1964.8, 112-124.

[6] Limansky D. V., On subordinated conditions for systems of minimal differential operators in the spaceL∞(Rn) // Matem. Zametki. 75, 6 (2004).

[7] Lizorkin P. I., Generalized Liouville differentiation and the function spaces Lp(En). Imbedding theorems //Mat. Sbornik. Vol. 60 (1963), pp. 325-353. (Russian)

[8] Malamud M. M., An estimate for differential operators in the uniform norm, and coercitivity in Sobolevspace // Soviet. Math. Dokl. 37, 1 (1988), 25–29. (Russian)

[9] Malamud M. M., Estimates for systems of minimal and maximal differential operators in Lp(Ω) // Trans.Moscow Math. Soc. 56 (1995), 206-261.

[10] Mikhlin S. G., On multipliers of Fourier integrals // Soviet. Math. Dokl. 109, 4 (1956), 701-703. (Russian)[11] Ornstein D., A non-equality for differential operators in the L1 norm // Arch. Rational Mech. Anal. 11

(1962), 40–49.

Limansky D. V., Assistant Professor; Malamud M. M., Associate Professor;Universitetskaya 24, Math. Dept., Donetsk National University, Donetsk,83055, Ukraine

E-mail: [email protected]; [email protected]

Д. В. Лиманский, М. М. Маламуд О слабой коэрцитивности систем дифференциальныхоператоров в L1 и L∞

В статье получены критерии слабой коэрцитивности для систем дифференциальныхоператоров в пространствах L1(Ω) и L∞(Ω). Мы также указываем широкие классы слабокоэрцитивных неэллиптических систем операторов.


ON SIMILARITY OF CONVOLUTION VOLTERRAOPERATORS IN SOBOLEV SPACES

G. S. RomashchenkoDonetsk National University

Donetsk, Ukraine

Keywords: Similarity, Volterra operator, Convolution operator, Integration operator, Sobolev space

We present some necessary and sufficient conditions for Volterra operators to be similarto the fractional integration operator in Sobolev spaces. Some criteria of similarity arealso obtained.

В работе получены необходимые и достаточные условия подобия вольтерро-вых операторов степеням оператора интегрирования в пространстве Соболева.Также получен критерий подобия.

1. Introduction.

Recall that two bounded linear operators A and B acting in a Banach space X are calledsimilar if there exists a bounded operator T with bounded inverse such that TAT−1 = B.

Here we consider the similarity of a Volterra operator K

K : f →x∫

0

K(x − t)f(t) dt (1)

to the operator of fractional integration Jα

Jα : f →x∫

0

(x − t)α−1

Γ(α)f(t) dt, α ∈ R+ (2)

in the Sobolev spaces W sp [0, 1], 1 ≤ p ≤ +∞, s > 0.

Similarity of a Volterra operator to the integration operator J and its positive integer powersJn in the spaces Lp[0, 1] has been investigated in numerous papers [?] - [?], [?] - [?] startingfrom works of G. K. Kalish [?] and L. A. Sakhnovich [?]. First results on similarity in Lp[0, 1] ofa convolution Volterra operator K to the operator (??) with arbitrary positive (noninteger) αhave been obtained by R. Frankfurt and J. Rovnyak [?], [?]. M. M. Malamud [?] has improvedtheir (sufficient) results and obtained criteria of similarity between the operators K and Jα

in Lp[0, 1]. He has also obtained (see [?]) sufficient conditions for a nonconvolution Volterraoperator K to be similar in Lp[0, 1] to the operator (??).

In the present paper, we obtain necessary and sufficient conditions for a Volterra operator tobe similar to Jα (α ∈ R+) in W s

p [0, 1] (s > 0) using the method from [?].Here W n

p [0, 1] stands for the Sobolev space, and f ∈ W np [0, 1] if f has n − 1 absolutely

continuous derivatives and f (n) ∈ Lp[0, 1].Let s ∈ R+, s = [s] + ε, and also W s

p [0, 1] (1 ≤ p ≤ +∞) stand for the Sobolev space,

namely: f ∈ W sp [0, 1] whenever f ∈ W

[s]p [0, 1] and

〈f ([s])〉p,ε =

1∫

0

dx

1∫

0

|f ([s])(x) − f ([s])(y)|p|x − y|1+pε

dy

1/p

< +∞ 1 ≤ p < +∞

〈f ([s])〉∞,ε = ess supx,y∈[0,1],x 6=y

|f ([s])(x) − f ([s])(y)||x − y|ε p = +∞

is fulfilled for the derivative f ([s]) of order [s].


Let C∞0 [0, 1] = f ∈ C∞[0, 1] : f (j)(0) = 0, j ∈ Z+. We denote by W s

p,0[0, 1] the closure ofthe lineal C∞

0 [0, 1] in W sp [0, 1].

2. Preliminaries.

Lemma 1. Let K(·), Km(·) ∈ W n−1p [0, 1]∩W 2

1 [0, 1], and let them generate in W np [0, 1] operators

K and Km by (??), and K(0) = Km(0) = 1. Let also ‖Km − K‖W n−1p [0,1] → 0 as m → ∞.

Then there exists a sequence Vm of the transformation operators (V −1m KmVm = J) such that

limm→∞ ‖Vm−V ‖W np [0,1] = 0, where V is the transformation operator for K, i. e., V −1KV = J .

Lemma 2. Let f(x) ∈ W np [0, 1], and let αm = pm/qm be a sequence of real numbers such that

αm → α > 0 as m → ∞. Then for all m the equation

pm∑

l=2

C lpm

x∫

0

s1∫

0

· · ·sl−2∫

0

u(x − s1)u(s1 − s2) · · ·u(sl−1)dsl−1 · · · ds1 + pmum(x) =

=

qm∑

j=2

Cjqm

x∫

0

s1∫

0

· · ·sj−2∫

0

f(x − s1)f(s1 − s2) · · · f(sj−1)dsj−1 · · · ds1 + qmf(x) (3)

has a unique solution um(x) ∈ W np [0, 1], while

limm,n→∞

‖un − um‖W np [0,1] = 0. (4)

3. Similarity of K and J .

First we consider the case of the Sobolev space W np [0, 1] with n ≥ 3.

Theorem 1. Let K be an operator of the form (??) with the kernel K(·) satisfying the followingconditions:

1. K(0) = 1;2. K(·) ∈ W n−1

p [0, 1] (if n ≥ 3).Then the operator K is similar to the integration operator J in the spaces W n

p [0, 1], p ∈ [1, +∞].

Following proposition gives us necessary condition for similarity.

Proposition 1. Let the convolution operator K is bounded in W np [0, 1]. Then K(·) ∈

W n−1p [0, 1].

Combining Theorem ?? with Proposition ?? one obtains the similarity criteria.

Theorem 2. Let K be an operator of the form (??) with the kernel K(x − t), and K(0) = 1.Then the operator K is similar to the integration operator J in the spaces W n

p [0, 1] (n ≥ 3) iff

K(·) ∈ W n−1p [0, 1].

Theorem ?? immediately yields

Corollary 1. The operator

(J + Jα) : f →x∫

0

[1 +

(x − t)α−1

Γ(α)

]f(t) dt (5)

is similar to the operator J in W np [0, 1] (n ≥ 3) if and only if α > n − 1

p.

Now we consider the case of the Sobolev space W np [0, 1] with n ∈ 1, 2.


Theorem 3. Let K be an operator of the form (??) with the kernel K(·) satisfying the followingconditions:

1. K(0) = 1;2. K(·) ∈ W 2

1 [0, 1].Then the operator K is similar to the integration operator J in the spaces W n

p [0, 1], p ∈ [1, +∞],n ∈ 1, 2.Proposition 2. Let the kernel K(·) ∈ W 1

p [0, 1] satisfy the following conditions: K(0) = 0;K ′(·) ≥ 0 for almost all x ∈ [0, 1]; K ′(·) is not bounded in a neighbourhood of zero and doesnot increase on [0, 1]. Then the operator

(J + K) : f →x∫

0

[1 + K(x − t)]f(t) dt (6)

is not similar to the operator J in the spaces W np [0, 1] for each p ∈ [1, +∞], n ∈ 1, 2.

The proof of proposition is presented in [?].Both Proposition ?? and Theorem ?? imply

Corollary 2. The operator J + Jα is similar to the operator J in W np [0, 1] (n ∈ 1, 2) iff

α ≥ 2.

Corollary 3. For an operator

Fα : f →x∫

0

[1 + (x − t) lnα a

x − t

]f(t) dt (a > 1), (7)

to be similar to the integration operator J in W np [0, 1] (n ∈ 1, 2) it is necessary and sufficient

that α ≤ 0.

Remark 4. (i) Note that in the case n ≥ 3 the boundary value of α for similarity J + Jα andJ in the Sobolev spaces W n

p [0, 1] coincides with the embedding index of the space W np [0, 1] in

Ck[0, 1].(ii) In the case n = 0, i. e., for the space Lp[0, 1] Theorem ?? and Proposition ?? have been

obtained by M. M. Malamud [?] earlier. Note that the conditions on K(·) for similarity in thespaces Lp[0, 1], W 1

p [0, 1] and W 2p [0, 1] are the same.

4. Similarity of K and Jα.

At first we consider sufficient conditions. The proof of the following theorem is based onLemma ?? with pm = m and qm = 1.

Theorem 4. Let the function K(·) ∈ W n+m−2p [0, 1] and K(0) = K ′(0) = · · · = K(m−2)(0) = 0,

while K(m−1)(0) = 1. Then there exists a function H(t) ∈ W n−1p [0, 1] such that the operator

H : f →x∫

0

H(x − t)f(t) dt (8)

acting in W np [0, 1], p ∈ [1, +∞] satisfies the condition Hm = K, where H(0) = 1.

Following theorem easily follows from Theorems ?? and ??.

Theorem 5. Let K be an operator of the form (??) with the kernel K(·) ∈ W n+m−2p [0, 1]

satisfying K(0) = · · · = K(m−2)(0) = 0, K(m−1)(0) = 1. Then the operator K is similar to theoperator Jm in the spaces W n

p [0, 1] for p ∈ [1, +∞], m + n ≥ 4.


Theorem 6. Let K(·) ∈ W α+n−2p [0, 1] ∩ W α

p,0[0, 1], either α > n − 1p

or α ∈ N. Then theoperator

Jα + K : f → 1

Γ(α)

x∫

0

(x − t)α−1f(t) dt +

x∫

0

K(x − t)f(t) dt (9)

is similar to the operator Jα in the Sobolev spaces W np [0, 1], p ∈ [1, +∞], α + n ≥ 4.

The proof is similar to that of Theorem 2 in [?]. At first we use Lemma ?? and Theorem ??for rational α. Then we choose a sequence of rational αl → α for irrational α and constructa sequence of operators Jαl + Pl converging to the operator Jα + K as l → ∞. Afterward weapply Lemma ?? for the sequence Jαl + Pl.

We consider the case α + s ≥ 4 separately.

Theorem 7. Let K(·) ∈ W α+s−2p [0, 1]∩W α

p,0[0, 1], either α > s− 1p

or α ∈ N. Then the operator

Jα + K : f → 1

Γ(α)

x∫

0

(x − t)α−1f(t) dt +

x∫

0

K(x − t)f(t) dt (10)

is similar to the operator Jα in the Sobolev spaces W sp [0, 1], p ∈ [1, +∞], α + s ≥ 4.

In the following theorem we consider the case 0 < α + s < 4.

Theorem 8. Let K(·) ∈ W 21 [0, 1] ∩ W α

p,0[0, 1], either α > s − 1p

or α ∈ N. Then the operator

Jα + K : f → 1

Γ(α)

x∫

0

(x − t)α−1f(t) dt +

x∫

0

K(x − t)f(t) dt (11)

is similar to the operator Jα in the Sobolev spaces W sp [0, 1], p ∈ [1, +∞], 0 < α + s < 4.

To prove this, we use dense embeddings

W[s]+1p,0 [0, 1] ⊂ W s

p,0[0, 1] ⊂ W[s]p,0[0, 1]. (12)

Then we reduce the proof to the case of space W np,0[0, 1] with n ∈ N.

Example 1. Let p ∈ [1, +∞] and α > s − 1p

or α ∈ N. For an operator

(Jα + Jβ) : f →x∫

0

[(x − t)α−1

Γ(α)+

(x − t)β−1

Γ(β)

]f(t) dt (13)

to be similar to the operator Jα in W sp [0, 1] it is sufficient that β > maxα+1− 1

p, α+s−1− 1

p, 2.

5. Necessary conditions for similarity of K and Jα.

Proposition 3. Let the convolution operator K is bounded in W sp [0, 1]. Then the kernel K(·)

belongs to the space W s−1p [0, 1].

Example 2. Let p ∈ [1, +∞] and α > s − 1p

or α ∈ N. Then the operator Jα (??) is boundedin W s

p [0, 1].

Theorem 9. Let K1(x) ≥ 0, x ∈ [0, 1] not increase and be not bounded on some segment [0, ε],and K2(x, t) ≥ 0. Then the operator

(Jα + K) : f → 1

Γ(α)

x∫

0

[(x − t)α−1 + (x − t)αK1(x − t) + K2(x, t)]f(t)dt α > 0 (14)

is not similar to the operator Jα in the space W sp [0, 1], s > 0.


Example 3. Let p ∈ [1, +∞] and α > s− 1p

or α ∈ N. Then the operator Jα + Jβ of the form(??) is not similar to the operator Jα in W s

p [0, 1] if β < α + 1.

Theorems ?? and ?? together imply

Corollary 4. Let the following conditions hold true.1. K(·) ∈ W α

p,0[0, 1] and K(α)(·) ∈ W 1p [ε, 1] for all ε > 0.

2. K(x) ≥ 0, x ∈ [0, 1] does not increase on some segment [0, ε] and is not bounded on it.Then for similarity of the operator Jα + K of the form (??) and the operator Jα in W s

p [0, 1]

(s ≤ 3) it is necessary and sufficient that K(·) ∈ W α+1p [0, 1].

Remark 5. Similar operators have equivalent geometrical structure. So as a corollary ofsimilarity of the operators K and Jα we obtain a description (see [?]) the lattices Lat Kand Hyplat K of invariant and hyperinvariant subspaces of the operator K in W s

p [0, 1],(1 ≤ p < +∞). We also investigate the operator algebras Alg K, commutant K′ and doublecommutant K′′ of the operator K being similar to Jα in W s

p [0, 1], (1 ≤ p < +∞).

Remark 6. I. Domanov and M. Malamud [?] have described the lattices Lat Jαn and Hyplat Jα

n

of invariant and hyperinvariant subspaces of the operator Jαn defined on W n

p [0, 1] andinvestigated the operator algebras Alg Jα

n , commutant Jαn ′ and double commutant Jα

n ′′.

References

[1] Domanov I. Yu., Malamud M. M. Invariant and hyperinvariant subspaces of an operator Jα and relatedoperator algebras in Sobolev spaces. // Lin. Alg. App., - 2002. - v. 348, 1-3. - P. 209–230.

[2] Dud’eva G. S. On Similarity of Volterra Operators in Sobolev Spaces. // MFAT, - 1999. - v. 5, 2. - P.1–11.

[3] Spectral analysis of finite convolution operators. // Trans. Amer. Math. Soc. - 1975. - v. 214. - P. 279–301.[4] Frankfurt R. and Rovnyak J. Finite convolution operators. // J. Math. Anal. Appl. - 1975. - v. 49. - P.

347–374.[5] Freeman J. M. Volterra operators similar to J : f →

∫ x

0f(t)dt. // Trans. Amer. Math. Soc. - 1965. - v.

116, 4. - P. 181–192.[6] Gubreev G. M. On a class of unconditional bases in Hilbert spaces and the problem of similarity of dissipative

Volterra operators. // Mat. Sb. - 1992. - v. 183, 9. - P. 105–146.[7] Hill L. T. Spectral analysis of finite convolution operators with matrix kernels. // Integral Equations and

Operator Theory. - 1980. - v. 3/1, P. 62–96.[8] Kalisch G. K. On similarity, reducing manifolds and unitary equivalence of certain Volterra operators. //

Ann. of Math. - 1957. - v. 66, 3. - P. 481–494.[9] Kalisch G. K. On similarity invariants of certain operators in Lp. // Pacific J. Math. - 1961. - v. 11. - P.

247–252.[10] Kalmushevskii I. I. On linear equivalence of Volterra operators. // Uspechi Mat. Nauk - 1965. - v. 6, 20. -

P. 181–192.[11] Malamud M. M. Spectral analysis of Volterra operators with kernel, depending on the difference of the

arguments. // Ukrain. Mat. Zh. - 1980. - v. 32, 5. - P. 601–609.[12] Malamud M. M. Spectral Analysis of Volterra Operators and Related Questions of the Theory of differential

equation of fractional order. // Trans. Moscow Math. Soc. - 1994. - v. 55. - P. 57–122.[13] Malamud M. M. Questions of Uniqueness in Inverse Problems for Systems of Ordinary Differential

Equations on a Finite Interval. // Trans. Moscow Math. Soc. - 1999. - v. 60. - P. 199–258.[14] Malamud M. M., Tsekanovskii E. R. The criterion of linear equivalence Volterra operators in scale Lp[0, 1].

// Izv. Acad. Nauk USSR, ser. math. - 1977. - v. 41, 4. - P. 768–793.[15] Romashchenko G. S. Spectral analysis of positive powers of the integration operator in Sobolev spaces. //

MFAT - 2004. - 1.[16] Sakhnovich L. A. Spectral analysis of operators of the form Kf =

∫ x

0k(x − t)f(t)dt. // Izv. Akad. Nauk

USSR, ser. mat. - 1958. - v. 22, 2. - P. 299–308.[17] Sakhnovich L. A. On the reduction of nonselfadjoint operators to simplest form. // Uspekhi Mat. Nauk -

1958. - v. 13, 5 (83). - P. 204–206.[18] Sakhnovich L. A. On the reduction of a Volterra operators to simplest form in the spaces of vector function.

// Ukrain. Mat. Zurn. - 1962. - v. 14. - P. 114–126.


Romashchenko G. S., Mathematical department, Donetsk National University,Universitetskaya str. 24, Donetsk, 83055, Ukraine E-mail: [email protected],

[email protected]

Section 1

SPECTRAL PROBLEMS

Subsection 1.2

Spectral Theory of Operator Pencils

_


О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ СЦИКЛИЧЕСКИ СДВИНУТЫМИ СТОЛБЦАМИ И ИХ

ПРИМЕНЕНИИ В КЛАССИФИКАЦИИДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

В. С. Рыхлов5

Саратовский государственный университетСаратов, Россия

Keywords: обыкновенный дифференциальный оператор, двухточечные двучленные граничные условия,

классификация дифференциальных операторов, нерегулярность дифференциальных операторов, опреде-

лители с циклически сдвинутыми столбцами.

Решается задача аналитического описания некоторых условий, наложенных наопределители с циклически сдвинутыми столбцами. Полученные результатыиспользуются в классификации обыкновенных дифференциальных операторов постепени их нерегулярности.

1. Введение

В пространстве L2[0, 1] для n = 2m + 1, где m ∈ N, рассмотрим обыкновенный диффе-ренциальный оператор L, порожденный дифференциальным выражением

l(y) := y(n)(x), x ∈ [0, 1],

и двухточечными двучленными граничными условиями

Uν(y) := ανy(ν−1)(0) + y(ν−1)(1) = 0, ν = 1, n, (1)

где αν ∈ C, ν = 1, n.В [?] была дана классификация операторов L по степени их нерегулярности. В этой

классификации использовались определители вида

∆12...k :=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1 an · · · ak+3 ak+2

a2 a1 · · · ak+4 ak+3...

.... . .

......

an−k−1 an−k−2 · · · a1 an

an−k an−k−1 · · · a2 a1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

, k = 1, n − 1. (2)

где aν := ανων−11 (ν = 1, n), αν есть компоненты вектора α :=

(ΩT

)−1α, α :=

(α1, α2, . . . , αn), Ω :=(ων−1

j

)n

ν,j=1, ωj = exp (2j−1)πi

n, j = 1, n. Если индекс у элемента aν

в (??) выходит за диапазон 1, n, то предполагается, что aν = amodn(ν). Классы операторовL описывались следующим образом для j = 0,m − 1:j) L ∈ NRj ⇔ 0 6= ∆12...m−j, ∆12...m−j+1 = · · · = ∆12...m+j = 0, ∆12...m+j+1 6= 0;j0) L ∈ NR0

j ⇔ 0 6= ∆12...m−j, ∆12...m−j+1 = · · · = ∆12...m+j = ∆12...m+j+1 = 0;j1) L ∈ NR1

j ⇔ 0 = ∆12...m−j = ∆12...m−j+1 = · · · = ∆12...m+j = 0, ∆12...m+j+1 6= 0.Ввиду специальной структуры определителей (??), удалось получить аналитическое

описание каждого из указанных классов. Во втором пункте данной статьи формулируютсяи доказываются результаты, относящиеся к описанию некоторых свойств определителей,с циклически сдвинутыми столбцами. В третьем пункте дается приложение полученныхрезультатов к класификации дифференциальных операторов.

5Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на поддержку ведущих научныхшкол (проект НШ-1295.2003.1) и РФФИ (проект 00-01-00075).

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils 73

2. Некоторые свойства определителей с циклически сдвинутымистолбцами

Чтобы сформулировать соответствующие результаты, обозначим для краткости:

θ1,r := θ1(s1, s2, . . . , sr) := a1 − s1an − s2an−1 − · · · − sran−r+1,θ2,r := θ2(s1, s2, . . . , sr) := a2 − s1a1 − s2an − · · · − sran−r+2,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .θn,r := θn(s1, s2, . . . , sr) := an − s1an−1 − s2an−2 − · · · − sran−r,

где r ≥ 1, sj ∈ C – параметры. При r = 0 считаем θj,0 := θj := aj.

Теорема 1. Если 1 ≤ k ≤ m, m + 1 ≤ l ≤ n (k < l − 1) и ∆12...l 6= 0 (в случае l = n этотребование отсутствует), то для того, чтобы выполнялось условие

∆12...k 6= 0, ∆12...k+1 = ∆12...k+2 = · · · = ∆12...l−1 = 0, (3)

необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа s1, s2, . . . , sn−l, что sn−l 6= 0(в случае l = n это требование отсутствует) и выполнялось какое-либо одно из следу-ющих условий:1) θ1,n−l = θ2,n−l = · · · = θn−k−1,n−l = 0, θn−k,n−l 6= 0, θn,n−l 6= 0;2) θn,n−l = θ1,n−l = · · · = θn−k−2,n−l = 0, θn−k−1,n−l 6= 0, θn−1,n−l 6= 0;...................................................................................................l-k-1) θn+k−l+3,n−l = θn+k−l+4,n−l = · · · = θn−l+1,n−l = 0, θn−l+2,n−l 6= 0, θn+k−l+2,n−l 6= 0.(Если индекс ν у θν,r выходит за диапазон 1, n, то предполагается, что θν,r = θmodn(ν),r).

Доказательство. Рассмотрим вначале случай l ≤ n − 1. Предположим, что ∆12...l 6= 0 ивыполняется (??). Так как ∆12...l−1 = 0, то существуют числа γj ∈ C, j = 1, n − l + 1, невсе равные нулю и такие, что

γ1

a1

a2...

an−l+1

+ γ2

an

a1...

an−l

+ · · · + γn−l

al+2

al+3...a2

+ γn−l+1

al+1

al+2...a1

= 0,

при этом γ1 6= 0 и γn−l+1 6= 0, так как иначе ∆12...l = 0, что противоречит предполо-жению, сделанному в начале доказательства. Следовательно, существуют числа sj ∈ C,j = 1, n − l, такие, что sn−l 6= 0 и

a1

a2...

an−l+1

= s1

an

a1...

an−l

+ s2

an−1

an...

an−l−1

+ · · · + sn−l

al+1

al+2...a1

. (4)

Используя введенные в начале данного пункта обозначения, свойство (??) запишем в виде:

1.1) θ1,n−l = θ2,n−l = · · · = θn−l+1,n−l = 0, sn−l 6= 0.

Так как

0 = ∆12...l−2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1 an an−1 . . . al+1 al

a2 a1 an . . . al+2 al+1...

......

. . ....

...an−l+1 an−l an−l−1 . . . a1 an

an−l+2 an−l+1 an−l . . . a2 a1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

,

то вычитая из 1-го столбца 2-й, умноженный на s1, 3-й, умноженный на s2, и т. д., пред-последний, умноженный на sn−l, а из 2-го столбца вычитая 3-й, умноженный на s1, 4-й,


умноженный на s2, и т. д., последний, умноженный на sn−l, затем, учитывая условие 1.1)и раскладывая полученный определитель по минорам первых 2-х столбцов, найдем

0 = θn−l+2,n−lθn,n−l∆112...l, (5)

где используется обозначение

∆r12...l =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

an−r+1 an−r . . . al−r+3 al−r+2

an−r+2 an−r+1 . . . al−r+4 al−r+3...

.... . .

......

an−r−l−1 an−r−l−2 . . . an−r+1 an−r

an−r−l an−r−l−1 . . . an−r+2 an−r+1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

, r = 1, l − k.

Покажем, что ∆112...l 6= 0. Заменяя в определителе

∆12...l =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1 an . . . al+3 al+2

a2 a1 . . . al+4 al+3...

.... . .

......

an−l−1 an−l−2 . . . a1 an

an−l an−l−1 . . . a2 a1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1-й столбец его линейной комбинацией в соответствии с (??), получим сумму (n−l) опреде-лителей, из которых только последний будет отличен от нуля (а остальные будут иметь подва одинаковых столбца). Передвигая 1-й столбец оставшегося определителя на последнееместо путем последовательной перестановки соседних столбцов, получим

0 6= ∆12...l.= sn−l∆

112...l,

где .= означает равенство с точночтью до знака. Так как sn−l 6= 0, то получим ∆1

12...l 6= 0.Тогда из (??) и 1.1) вытекает, что имеют место только две возможности:

2.1) θ1,n−l = θ2,n−l = · · · = θn−l+1,n−l = θn−l+2,n−l = 0, sn−l 6= 0;2.2) θn,n−l = θ1,n−l = · · · = θn−l,n−l = θn−l+1,n−l = 0, sn−l 6= 0.

Рассмотрим каждую из этих возможностей.Пусть выполняется условие 2.1). Так как ∆12...l−3 = 0 в силу (??), то из этого условия

аналогично тому, как была получена формула (??), найдем

0 = θn−l+3,n−lθ2n,n−l∆

112...l. (6)

Так как было установлено, что ∆112...l 6= 0, то из (??) и условия 2.1) следует, что имеют

место только две возможности:

2.11) θ1,n−l = θ2,n−l = · · · = θn−l+2,n−l = θn−l+3,n−l = 0, sn−l 6= 0;2.12) θn,n−l = θ1,n−l = · · · = θn−l+1,n−l = θn−l+2,n−l = 0, sn−l 6= 0.

В случае выполнения условия 2.2) аналогично предыдущему случаю из равенства∆12...l−3 = 0 найдем

0 = θ2n−l+2,n−lθn−1,n−l∆

212...l. (7)

Покажем, что ∆212...l 6= 0. Заменяя в определителе

∆112...l =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

an an−1 · · · al+2 al+1

a1 an · · · al+3 al+2...

.... . .

......

an−l−2 an−l−3 · · · an an−1

an−l−1 an−l−2 · · · a1 an

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


1-й столбец его линейной комбинацией в соответствии с 2.2) и проводя рассуждения, ана-логичные тем, которые проводились при доказательстве отличия от нуля определителя∆1

12...l, получим

0 6= ∆112...l

.= sn−l∆

212...l,

откуда в силу того, что sn−l 6= 0, следует, что ∆212...l 6= 0. С учетом этого из (??) и 2.2)

получим, что имеют место только две возможности:

2.21) θn,n−l = θ1,n−l = · · · = θn−l+1,n−l = θn−l+2,n−l = 0, sn−l 6= 0;2.22) θn−1,n−l = θn,n−l = · · · = θn−l,n−l = θn−l+1,n−l = 0, sn−l 6= 0.

Таким образом, из того факта, что

∆212...l 6= 0, ∆12...l−1 = ∆12...l−2 = ∆12...l−3 = 0,

следует, что имеют место только следующие возможности:

3.1) θ1,n−l = θ2,n−l = · · · = θn−l+2,n−l = θn−l+3,n−l = 0, sn−l 6= 0;3.2) θn,n−l = θ1,n−l = · · · = θn−l+1,n−l = θn−l+2,n−l = 0, sn−l 6= 0;3.3) θn−1,n−l = θn,n−l = · · · = θn−l,n−l = θn−l+1,n−l = 0, sn−l 6= 0.

Продолжая аналогичные рассуждения, в конце концов из условия

∆212...l 6= 0, ∆12...l−1 = ∆12...l−2 = · · · = ∆12...k+2 = ∆12...k+1 = 0,

получим, что имеют место только следующие возможности

l-k-1.1) θ1,n−l = θ2,n−l = · · · = θn−k−2,n−l = θn−k−1,n−l = 0, sn−l 6= 0;l-k-1.2) θn,n−l = θ1,n−l = · · · = θn−k−3,n−l = θn−k−2,n−l = 0, sn−l 6= 0;.........................................................................................................l-k-1.l-k-1) θn+k−l+3,n−l = θn+k−l+4,n−l = · · · = θn−l,n−l = θn−l+1,n−l = 0, sn−l 6= 0.

Рассмотрим каждую из этих возможностей.Пусть выполняется условие l-k-1.1). Так как ∆12...k 6= 0, то вычитая в этом определителе

из первых l− k столбцов соответствующие линейные комбинации n− l столбцов, стоящихправее, в соответствии с условием l-k-1.1), а затем раскладывая полученный определительпо минорам первых l − k столбцов, получим

0 6= θn−k,n−lθl−k−1n,n−l ∆1

12...l,

что эквивалентно отличию от нуля чисел θn−k,n−l и θn,n−l, так как ∆112...l 6= 0.

Следовательно, если выполняется условие l-k-1.1), то выполняется условие 1) доказы-ваемой теоремы.

Пусть выполняется условие l-k-1.2). Рассуждая аналогично предыдущему случаю, най-дем, что из условия ∆12...k 6= 0 вытекает неравенство

0 6= θ2n−k−1,n−lθ

l−k−2n−1,n−l∆

212...l,

что эквивалентно отличию от нуля чисел θn−k−1,n−l и θn−1,n−l, так как ∆212...l 6= 0.

И так далее. В общем случае пусть для 2 < r ≤ l − k − 1 выполняется условие

l-k-1.r) θn−r+2,n−l = θn−r+3,n−l = · · · = θn−r−k−1,n−l = θn−r−k,n−l = 0, sn−l 6= 0.

Так как ∆12...k 6= 0, то вычитая в этом определителе из первых l − k столбцов соответ-ствующие линейные комбинации n−l столбцов, стоящих правее, в соответствии с условием


l-k-1.r), а затем раскладывая полученный определитель по минорам первых l−k столбцов,получим

0 6= ∆12...k =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1 · · · an+k−l+2 an+k−l+1 · · · ak+2...

. . ....

.... . .

...an+l−k−r · · · an−r+1 an−r · · · al−r+1

an+l−k−r+1 · · · an−r+2 an−r+1 · · · al−r+2...

. . ....

.... . .

...al−k · · · a1 an · · · al+1...

. . ....

.... . .

...an−k−r · · · a2n−l−r+1 a2n−l−r · · · an−r+1

an−k−r+1 · · · a2n−l−r+2 a2n−l−r+1 · · · an−r+2...

. . ....

.... . .

...an−k · · · an−l+1 an−l · · · a1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.=

.= θr

n−k−r+1,n−lθl−k−rn−r+1,n−l = ∆r

12...l. (8)

Покажем, что ∆r12...k 6= 0. Для этого распишем подробнее условие l-k-1.r):

an−r+2

an−r+3...

a2n−r−k

= s1

an−r+1

an−r+2...

a2n−r−k−l

+ s2

an−r

an−r+1...

a2n−r−k−2

+ · · · + sn−l

al−r+2

al−r+3...

an+l−r−k

.

Отсюда в силу того, что sn−l 6= 0, следует

al−r+2

al−r+3...

an+l−r−k

=

1

sn−l

an−r+2

an−r+3...

a2n−r−k

+

s1

sn−l

an−r+1

an−r+2...

a2n−r−k−1

+· · ·+sn−l−1

sn−l

al−r+3

al−r+4...

an+l−r−k+1

. (9)

Так как l− k ≥ r + 1 > 3 > 1, то n− r + 1 ≤ n + l− k − r. Поэтому, последний столбец вопределителе ∆r

12...l можно целиком заменить его выражением из (??). Используя свойстваопределителей, аналогично предыдущему найдем

∆r12...l

.=

1

sn−l

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

an−r+2 an−r+1 · · · al−r+4 al−r+3

an−r+3 an−r+2 · · · al−r+5 al−r+4...

.... . .

......

a2n−l−r a2n−l−r−1 · · · an−r+2 an−r+1

a2n−l−r+1 a2n−l−r · · · an−r+3 an−r+2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=1

sn−l

∆r−112...l.

Так как l− k ≥ r + 1 > 3 > 2, то n− r + 2 ≤ n + l− k − r. Поэтому, последний столбец вопределителе ∆r−1

12...l также можно целиком заменить его выражением из (??). Используясвойства определителей, аналогично предыдущему найдем

∆r12...l

.=

1

s2n−l

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

an−r+3 an−r+2 · · · al−r+5 al−r+4

an−r+4 an−r+3 · · · al−r+6 al−r+5...

.... . .

......

a2n−l−r+1 a2n−l−r · · · an−r+3 an−r+2

a2n−l−r+2 a2n−l−r+1 · · · an−r+4 an−r+3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=1

s2n−l

∆r−212...l.


И так далее. На r − 3 шаге получим

∆r12...l

.=

1

sr−3n−l

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

an−2 an−3 · · · al al−1

an−1 an−2 · · · al+1 al...

.... . .

......

a2n−l−4 a2n−l−5 · · · an−2 an−3

a2n−l−3 a2n−l−4 · · · an−1 an−2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=1

sr−3n−l

∆312...l.

Так как l−1 ≥ l−r+2 и n−2 ≤ n+ l−k−r, то последний столбец в определителе ∆312...l

можно целиком заменить его выражением из (??). Используя свойства определителей,аналогично предыдущему найдем

∆r12...l

.=

1

sr−2n−l

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

an−1 an−2 · · · al+1 al

an an−1 · · · al+2 al+1...

.... . .

......

a2n−l−3 a2n−l−4 · · · an−1 an−2

a2n−l−2 a2n−l−3 · · · an an−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=1

sr−2n−l

∆212...l.

А так как было показано, что ∆212...l 6= 0, то отсюда получим ∆r

12...l 6= 0. С учетом этогоиз (??) следует, что отличны от нуля числа θn−k−r+1,n−l и θn−r+1,n−l. Таким образом, есливыполняется условие l-k-1.r), то выполняется условие r

) доказываемой теоремы. А таккак r = 3, l − k − 1, то тем самым необходимость условия (??) в предположении, что∆12...l 6= 0, доказана.

Обратно, если ∆12...l 6= 0 и существуют такие числа s1, s2, . . . , sn−l, что sn−l 6= 0 и выпол-няется одно из условий 1), 2), . . . ,l-k-1), то можно без труда установить, что выполняетсяи условие (??).

Рассмотрим теперь случай l = n и пусть выполняется условие

∆12...k 6= 0, ∆12...k+1 = ∆12...k+2 = · · · = ∆12...n−1 = 0. (10)

В этом случае предыдущие рассуждения сильно упрощаются. Очевидно, здесь 0 =∆12...n−1 = a1 = θ1,0. Таким образом, выполняется условие 1.1), если его записать приl = n (в этом случае никаких параметров sj не возникает).

Так как

0 = ∆12...n−1 =

∣∣∣∣a1 an

a2 a1

∣∣∣∣.= a2an,

то отсюда получаем, что имеют место только две возможности 2.1) и 2.2), если их записатьпри l = n.

Продолжая аналогичные рассуждения, точно так же, как и в случае l ≤ n − 1, в концеконцов установим, что если выполняется условие (??), то выполняется какое-либо одно изусловий 1), 2), . . . ,l-k-1) при l = n, фигурирующих в формулировке теоремы, и никакихусловий, связанных с числами sj не возникает.

Обратно, если выполняется какое-либо одно из условий 1), 2), . . . ,l-k-1) теоремы приl = n, то можно без труда установить, что выполняется и условие (??).

Тем самым теорема полностью доказана. ¤

Теорема 2. Если 1 ≤ k ≤ m, m + 1 ≤ l ≤ n (k < l − 1) и ∆12...l 6= 0 (в случае l = n этотребование отсутствует), то для того, чтобы выполнялось условие

∆12...k = ∆12...k+1 = · · · = ∆12...l−1 = 0, (11)

необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа s1, s2, . . . , sn−l, что sn−l 6= 0(в случае l = n это требование отсутствует) и выполнялось хотя бы одно из следующихусловий:1 θ1,n−l = θ2,n−l = · · · = θn−k−1,n−l = θn−k,n−l = 0;


2 θn,n−l = θ1,n−l = · · · = θn−k−2,n−l = θn−k−1,n−l = 0;.......................................................................................l-k θn+k−l+2,n−l = θn+k−l+3,n−l = · · · = θn−l,n−l = θn−l+1,n−l = 0.

Доказательство. Дословно повторяя доказательство предыдущей теоремы, из условия

∆212...l 6= 0, ∆12...l−1 = ∆12...l−2 = · · · = ∆12...k+2 = ∆12...k+1 = 0,

аналогично получим, что имеют место только следующие возможности (в случае, когдаl = n параметры sj отсутствуют)

l-k.1) θ1,n−l = θ2,n−l = · · · = θn−k−2,n−l = θn−k−1,n−l = 0, sn−l 6= 0;l-k-1.2) θn,n−l = θ1,n−l = · · · = θn−k−3,n−l = θn−k−2,n−l = 0, sn−l 6= 0;.........................................................................................................l-k-1.l-k-1) θn+k−l+3,n−l = θn+k−l+4,n−l = · · · = θn−l,n−l = θn−l+1,n−l = 0, sn−l 6= 0.

Но так как в доказываемой теореме ∆12...k = 0 (в предыдущей теореме было ∆12...k 6= 0),то, рассматривая каждую из этих возможностей и используя это дополнительное условие,получим, что если имеет место (??), то выполняется по крайней мере одно из условий1, 2, . . . ,l-k.


3. Аналитическое описание классов дифференциальных операторов

Доказанная в предыдущем пункте теорема ?? позволяет аналитически описать введен-ные в первом пункте классы NRj, NR0

j , NR1j , j = 0,m − 1.

Теорема 3. L ∈ NRj (j = 1,m − 1) тогда и только тогда, когда ∆12...m+j+1 6= 0 и су-ществуют такие числа s1, s2, . . . , sm−j, что sm−j 6= 0 и выполняется какое-либо одно изследующих условий:1) θ1,m−j = θ2,m−j = · · · = θm+j,m−j = 0, θm+j+1,m−j 6= 0, θn,m−j 6= 0;2) θn,m−j = θ1,m−j = · · · = θm+j−1,m−j = 0, θm+j,m−j 6= 0, θn−1,m−j 6= 0;.......................................................................................................2j) θn−2j+2,m−j = θn−2j+3,m−j = · · · = θm−j+1,m−j = 0, θm−j+2,m−j 6= 0, θn−2j+1,m−j 6= 0.

Доказательство. По определению L ∈ NRj (j = 1,m − 1) тогда и только тогда, когдавыполняется условие

0 6= ∆12...m−j, ∆12...m−j+1 = · · · = ∆12...m+j = 0, ∆12...m+j+1 6= 0.

Применив к этому условию теорему ??, считая в ней k = m − j, а l = m + j + 1, получимутверждение доказываемой теоремы. ¤

Теорема 4. L ∈ NR0j (j = 1,m − 1) тогда и только тогда, когда при некотором

r = 0,m − j − 1 выполняется неравенство ∆12...m+j+r+2 6= 0 и существуют такие числаs1, s2, . . . , sm−j−r−1, что sm−j−r−1 6= 0 (в случае r = m − j − 1 это условие отсутствует)и выполняется какое-либо одно из следующих условий:r.1) θ1,m−j−r−1 = θ2,m−j−r−1 = · · · = θm+j,m−j−r−1 = 0, θm+j+1,m−j−r−1 6= 0, θn,m−j−r−1 6= 0;r.2) θn,m−j−r−1 = θ1,m−j−r−1 = · · · = θm+j−1,m−j−r−1 = 0, θm+j,m−j−r−1 6= 0, θn−1,m−j−r−1 6= 0;...................................................................................................................................r.2j+r+1) θn−2j−r+1,m−j−r−1 = θn−2j−r+2,m−j−r−1 = · · · = θm−j−r,m−j−r−1 = 0,θm−j−r+1,m−j−r−1 6= 0, θn−2j−r,m−j−r−1 6= 0.

Доказательство. По определению L ∈ NR0j (j = 0,m − 1) тогда и только тогда, когда

выполняется условие

0 6= ∆12...m−j, ∆12...m−j+1 = · · · = ∆12...m+j = ∆12...m+j+1 = 0.


Это может быть лишь тогда, когда выполняется какое-либо одно из следующих условийпри r = 0,m − j − 2r) 0 6= ∆12...m−j, ∆12...m−j+1 = · · · = ∆12...m+j+r+1 = 0, ∆12...m+j+r+2 6= 0;или условиеm-j-1) 0 6= ∆12...m−j, ∆12...m−j+1 = · · · = ∆12...m+j+r+1 = 0, ∆12...m+j+r+2 6= 0.

Применим к этим условиям теорему ??, считая в ней k = m − j, а l = m + j + r + 2.Получим, что условие r) при r = 0,m − j − 2 выполняется в том и только том случае,когда ∆12...m+j+r+2 6= 0 и существуют такие числа s1, s2, . . . , sm−j−r−1, что sm−j−r−1 6= 0и выполняется какое-либо одно из условий r.1, r.2, . . . , r.2j+r+1). Условие же m-j-1)выполняется в том и только том случае, когда выполняется какое-либо одно из условийm-j-1.1), m-j-1.1), . . . , m-j-1.m+j).


Теорема 5. L ∈ NR1j (j = 0,m − 1) тогда и только тогда, когда ∆12...m+j+1 6= 0 и су-

ществуют такие числа s1, s2, . . . , sm−j, что sm−j 6= 0 и выполняется хотя бы одно изследующих условий:1 θ1,m−j = θ2,m−j = · · · = θm+j,m−j = θm+j+1,m−j = 0;2 θn,m−j = θ1,m−j = · · · = θm+j−1,m−j = θm+j,m−j = 0;.................................................................................................2j+1 θn−2j+1,m−j = θn−2j+2,m−j = · · · = θm−j,m−j = θm−j+1,m−j = 0.

Доказательство. По определению L ∈ NR1j (j = 0,m − 1) тогда и только тогда, когда

выполняется условие

0 = ∆12...m−j = ∆12...m−j+1 = · · · = ∆12...m+j = 0, ∆12...m+j+1 6= 0.

Применив к этому условию теорему ??, считая в ней k = m − j, а l = m + j + 1, получимутверждение доказываемой теоремы. ¤


[1] Рыхлов В. С. Полнота собственных функций некоторых классов нерегулярных дифференциаль-ных операторов // Spectral and evolution problems: Proceedings of the Thirteenth Crimean AutumnMathematical School-Symposium (KROMSH-2002), Sept. 18-29, 2002, Sevastopol, Laspi. Vol.13. –Simferopol: Taurida National V.Vernadsky University, Black Sea Branch of Moscow State University,Crimean Scientific Center of Ukrainian NAS, Crimean Academy of Sciences, Crimean MathematicalFoundation, 2003, с. 165–169.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на поддержкуведущих научных школ (проект НШ-1295.2003.1) и РФФИ (проект 00-01-00075).

В.С. Рыхлов, Механико–математический факультет, Саратовский государ-ственный университет, ул. Астраханская, 83, Саратов, 410026, Россия


V. S. Rykhlov On some properties of determinants with cyclically shifted columns and theirapplications in classification of differential operators

Keywords: ordinary differential operator, two-point binomial boundary conditions,classification of differential operators, nonregularity of differential operators, determinants withcyclically shifted columns.

It is solved the problem of an analytic description of conditions imposed on determinants withcyclically shifted columns. The obtained results are used in classification of ordinary differentialoperators in according to their nonregularity.


ОБ ОПЕРАТОРЕ КОШИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ЛИНЕЙНОГОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ

ПАРАМЕТРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ

К. И. Чернышов6

Воронежская государственная лесотехническая академияВоронеж, Россия

Предложен алгоритм диагонализации матричного пучка, зависящего от пере-менной и от параметра, в случаях, когда предельная матрица при всех значе-ниях переменной имеет простой спектр или кратное собственное значение. Валгоритме используется исчерпывающая суперпозиция специальных преобразова-ний подобия. Получены формулы для оператора Коши линейного нестационарногоуравнения с малым параметром при производной и матричным пучком при раз-личных степенях вырождения структурной матрицы.

Keywords: матричный пучок, собственное значение, малый параметр, преобразование по-

добия, диагонализация.

1. Введение. Постановка задачи.

Пусть E – линейное конечномерное пространство размерности m, N – линейное про-странство матриц порядка m×m, действующих в E и непрерывно зависящих от перемен-ной t, изменяющейся на конечном отрезке [0, T ], и ε > 0 – малый параметр. Рассмотрим

матричный пучок D(t, ε) = D0(t) −r∑

i=1

εiDi(t) из N и задачу Коши для нестационарного

линейного дифференциального уравнения (ЛДУ) вида

εp dy

dt= D(t, ε) y, y(0, ε) = y0 ∈ E, 0 6 t 6 T. (1.1)

Введем, как в [?, гл. III, § 1, п. 5], обозначение W (t, τ, ε) = W (t, ε)W−1(τ, ε) длясемейства матриц W (t, τ, ε) и назовем его эволюционным (разрешающим) операторомЛДУ (1.1). Этот оператор удовлетворяет системе

εp dW

dt= D(t, ε) W, W (τ, τ, ε) = I, 0 6 t 6 T (1.2)

и не зависит от выбора значения τ. Будем называть оператором Коши уравнения (1.2)матрицу W (t, ε) = W (t, 0, ε). Поскольку решение задачи (1.1) записывается в формеy(t, ε) = W (t, ε) y0, то поведение решения при ε → +0 непосредственным образом свя-зано с представлением оператора Коши W (t, ε). В данной работе предложен алгоритмдиагонализации матричного пучка D(t, ε), на основе которого ведется построение опера-тора Коши уравнения (1.1) и его асимптотики. С единой точки зрения здесь изучаютсядва случая, когда предельная матрица D0(t) пучка имеет при всех 0 6 t 6 T– различные собственные значения (простой спектр);– m-кратное собственное значение (кратный спектр).

Для упрощения изложения далее будем считать, что r = 1, p = 1 в (1.2). Тогда операторКоши является решением задачи

ε W = (D0(t) − εD1(t)) W, W (0, ε) = I, 0 6 t 6 T, 0 < ε 6 ε0. (1.3)

6Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ


Определение 1.1. Решением задачи (1.3) называется непрерывно дифференцируемая

функция W : [0, T ] × (0, ε0] → N такая, чтоdW

dt∈ N при всех 0 6 t 6 T, 0 < ε 6 ε0,

и, кроме того, справедливы равенства W (0, ε) = I при всех 0 < ε 6 ε0 и εdW

dt=

(D0(t) − εD1(t)) W при всех 0 6 t 6 T, 0 < ε 6 ε0, где ε0 достаточно мало.

Алгоритм диагонализации пучка D0(t)− εD1(t) содержит серию различных преобразо-ваний подобия: Φ(t), I+ενZ(t, ε), I+εΩ−n(t), Λ(ε), Φ(1)(t), I+ενY (t, ε), ν > 0, вводимыхниже в §§ 2, 6, 8, 10, 11, 14. Некоторые из них иногда могут оказаться невостребованными,и тогда их заменяют тождественным преобразованием I.

Случай простого, или стабильного спектра изложен в § 7. Он допускает обобщение сматричного пучка из N на линейный непрерывно обратимый замкнутый симметрическийоператор A(t), действующий при каждом t ∈ [0, T ] в сепарабельном гильбертовом про-странстве E (см. п. 7.3).

Более сложным представляется случай, когда матрица D0(t) имеет m-кратное собствен-ное значение λ(t), т. е. когда D0(t) подобна матрице J + λ(t)I, где J – жорданова клеткаm×m, отвечающая нулевому собственному значению. Этим вопросам посвящены §§8−19,причем параграфы с 8-го по 14-й носят вспомогательный характер, а § 15 содержит алго-ритм исследования случая кратного спектра. В работе приводятся различные достаточ-ные условия в форме ограничений на младшие члены пучка, при которых пучок D(t, ε)диагонализуем, что позволяет получить формулы для оператора Коши. При этом будемразличать канонические случаи, когда так называемая структурная матрица пучка яв-ляется невырожденной в определенном смысле (случай I) или имеет слабое вырождение(случай II), а также случаи ее сильного вырождения. В случаях I, II оператор Коши уда-ется представить в виде

W (t, ε) = S(t, ε) diag (eµ1(t, ε), ..., eµm(t, ε)) S−1(0, ε), (1.4)

где S(t, ε) – исчерпывающая суперпозиция указанных преобразований подобия, скалярныефункции εµj(t, ε) зависят от ε регулярно, причем µi(t, ε) 6= µj(t, ε), i 6= j при всех0 6 t 6 T и всех 0 < ε 6 ε0, ε0 достаточно мало, 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 m (см. §§ 16, 17).

Формула (1.4) применима также в случае простого спектра, однако набор преобразо-ваний подобия, составляющих S(t, ε), будет другим. При этом в случае простого спектра

µj(t, ε) = ε−1

t∫

0

(λj(τ)− µj(τ, ε)) dτ, в случае кратного спектра µj(t, ε) = ε−1

t∫

0

(λ(τ) −

µj(τ, ε)) dτ. Исследование завершается, когда все возмущения µj(t, ε), 1 6 j 6 m стано-вятся попарно различными.

При сильном вырождении структурной матрицы уравнение (1.3) с помощью суперпози-ции названных преобразований подобия удается расщепить на два уравнения в дизъюнкт-ных подпространствах. Оператор Коши преобразованного уравнения оказывается пред-ставимым в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых действует в своем подпро-странстве. Одно из них по форме не отличается от (1.4). Второе окончательно формирует-ся, когда в соответствующем подпространстве имеет место один из канонических случаев(см. § 19), иначе за первой редукцией задачи должна последовать вторая и т. д.

Ранее изучался эволюционный аналог поставленной здесь задачи, т. е. велось построениеасимптотики решения задачи (1.1). Случай простого спектра при r = 1, p = 1 исследо-вался в [?] (в координатной форме), в [?, ?], а также в [?, ?] методом регуляризации. Чтокасается случая кратного спектра, то в [?, ?, ?, ?, ?, ?] асимптотика решения задачи Кошистроилась только в случаях I или II. В частности, случай II исследовался в [?, ?] методомрегуляризации, который не позволил выделить и отщепить возникающее скалярное ЛДУ.


В [?, ?] был анонсирован простейший случай сильного вырождения. Асимптотика реше-ния задачи (1.1) при сильном вырождении структурной матрицы строилась в [?, ?, ?] безиспользования преобразования подобия I + ενZ(t, ε), ν > 0 из § 6. В [?] велось построе-ние экспоненты матричного пучка, зависящего только от параметра ε, в случае кратногоспектра предельной матрицы. Упомянем о других способах расщепления линейных си-стем, приведенных в [?, ?].

Предложенный в данной работе метод построения оператора Коши и его асимптотикиприменим к различным типам уравнений с малым параметром при производной, с боль-шим параметром в правой части, с медленно меняющимися коэффициентами.

2. Матрица подобия Φ(t)

2.1. Случай простого спектра.

Определение 2.1. Будем говорить, что матрица порядка m × m имеет простой спектрна отрезке [0, T ], если ее собственные значения при всех 0 6 t 6 T удовлетворяют соот-ношениям

λi(t) 6= λj(t), i 6= j; λi(t) 6= 0, 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 m.

Замечание 2.1. В [?, гл. 5, § 2, п. 1.3] эти соотношения названы условием отсутствияточек поворота при t ∈ [0, T ].

Пусть матрица D0(t) порядка m×m имеет простой спектр на отрезке [0, T ]. Обозначимчерез ϕr(t) ее собственный вектор, отвечающий собственному значению λr(t), 1 6 r 6

m. Индукцией по числу собственных векторов устанавливается линейная независимостьсистемы ϕr(t), 1 6 r 6 m, что позволяет выбрать ее в качестве базиса пространстваE. Обозначим через Φ(t) обратимую матрицу, столбцами которой служат координатывекторов ϕ1(t), ..., ϕm(t) в ортонормированном базисе er, где er – вектор, единственнымненулевым элементом которого является единица, стоящая на r - м месте, 1 6 r 6 m.Применение преобразования Φ(t) позволяет снабдить пространство E базисом er, 1 6

r 6 m и рассматривать матрицы из N при каждом t, 0 6 t 6 T в алгебре End E. Здесьи ниже через End E обозначается банахова алгебра линейных ограниченных операторов(эндоморфизмов), действующих в пространстве E.

Теперь от матрицы D0(t), являющейся диагональной в базисе ϕr(t), можно перейти кматрице Q(t) = diag (λ1(t), ..., λm(t)). Через H(t) обозначим матрицу, столбцами которойявляются координаты разложений векторов ϕ1(t), ..., ϕm(t) в базисе ϕr(t). Тогда

H(t) = Φ−1(t) Φ(t). (2.1)

Равенства ϕr(t) = Φ(t) er, (D0(t) − λr(t) I) ϕr(t) = 0, 1 6 r 6 m влекут соотношение

Φ−1(t) D0(t) Φ(t) = Q(t). (2.2)

В дальнейшем важную роль играет матрица

A(t) = H(t) + Φ−1(t) D1(t) Φ(t), (2.3)

которую, следуя [?, ?], назовем структурной.

2.2. Случай кратного спектра.

Определение 2.2. Будем говорить, что матрица порядка m × m имеет m - кратное соб-ственное значение λ(t) (кратный спектр) на отрезке [0, T ], если при всех 0 6 t 6 T

(D0(t) − λ(t)I) ϕ1(t) = 0, (D0(t) − λ(t)I) ϕr(t) = ϕr−1(t), 2 6 r 6 m,

причем ϕm(t) /∈ Im (D0(t) − λ(t)I).


Пусть матрица D0(t) имеет m - кратное собственное значение λ(t) на отрезке [0, T ].

Применяя m раз оператор D0(t) − λ(t)I к равенствуm∑

i=1

ci ϕi(t) = 0, получаем cm = 0, а

значит, и cm−1 = 0, ..., c1 = 0. Линейно независимую систему векторов ϕr(t), 1 6 r 6 mвыберем в качестве базиса пространства E. Составим обратимую матрицу Φ(t), столбцамикоторой служат координаты векторов ϕ1(t), ..., ϕm(t) в базисе er, 1 6 r 6 m, а такжематрицу H(t), столбцами которой являются координаты векторов ϕ1(t), ..., ϕm(t) в базисеϕr(t). Как и в п. 2.1, имеем H(t) = Φ−1(t) Φ(t), причем справедливо равенство (2.3).Кроме того, поскольку Φ−1(t)(D0(t) − λ(t)I) Φ(t) = J, то

Φ−1(t)(D(t, ε) − λ(t)I) Φ(t) − εΦ(t) = J − εA(t). (2.4)

3. Структура пространства N. Однодиагональные матрицы

3.1. Базис в пространстве N. Обозначим через N пространство вещественных матрицпорядка m × m, непрерывно зависящих от переменной t, 0 6 t 6 T и действующих впространстве E.

Замечание 3.1. В оставшейся части § 3 и в § 4 содержатся результаты, непосредственнообобщающие соответствующие результаты работы [?].

В m2-мерном пространстве N введем базис с помощью m2 матриц V r,i−1−ri−m , V r,i−1−r

m−i , укоторых единственный ненулевой элемент равен 1 и расположен в (m− i+r+1) -й строке,(r+1) -м столбце или в (r+1) -й строке, (m− i+ r+1) -м столбце соответственно, 0 6 r 6

i−1, 1 6 i 6 m. Единица расположена на линии параллельной диагонали и состоящей из iэлементов, причем на этой линии выше единицы находятся r нулей, а ниже i−1−r нулей.В [?] установлено, что при умножении базисных элементов нижний индекс произведенияравен сумме нижних индексов сомножителей, т. е. имеет место логарифмический закон.Этот закон справедлив также и для их коммутатора. Здесь и далее коммутатор матрицF, G равный FG − GF обозначается через [F, G].

3.2. Однодиагональные матрицы. Обозначим элемент матрицы X(t) из N, стоящий вr -й строке, l -м столбце, через xr, l(t) и представим X(t) в виде суммы однодиагональныхматриц Xi(t), 1−m 6 i 6 m−1. Элементами Xi(t) являются xr, l(t), для которых l−r = i.При 1−m 6 i 6 0 это x1−i, 1(t), ..., xm, m+i(t), а при 0 6 i 6 m−1 это x1, i+1(t), ..., xm−i, m(t).Ненулевые элементы каждой из матриц Xi(t) занимают линию параллельную диагоналис номером, отсчитываемым снизу вверх от 1 − m до m − 1.

С помощью базисных элементов в N находим, что

Xi(t) =m+i∑

r=1

xr−i, r(t) V r−1, m+i−ri , 1−m 6 i 6 0, Xi(t) =

m−i∑

r=1

xr, i+r(t) V r−1, m−i−ri , 0 6 i 6 m−1.

(3.1)Теперь действия с матрицами Xi(t) сводятся к действиям с базисными элементами. Со-

гласно логарифмическому закону нижний индекс произведения двух однодиагональныхматриц или их коммутатора равен сумме нижних индексов сомножителей, причем сум-марный нижний индекс ненулевой матрицы принимает значения от 1 − m до m − 1.

Условимся обозначать сумму элементов однодиагональной матрицы Xi(t) через γXi (t)

при всех1 − m 6 i 6 m − 1.

3.3. Прямые разложения пространства N. Согласно [?, ?] введем в N при каждомt, 0 6 t 6 T скалярное произведение

(A(t), B(t)) = Tr (B′(t)A(t)),


где знак ” ′ ” означает транспонирование. Норму в N при каждом t, 0 6 t 6 T зададимформулой

‖A(t)‖ =

√√√√m∑

r=1

m∑

j=1

a2j, r(t), 0 6 t 6 T.

Всюду в дальнейшем будем использовать обозначение A(ε) = O(εα), если матрица A(ε)из алгебры End E подчиняется оценке ‖A(ε)‖ 6 Mεα для всех 0 < ε 6 ε0, где число M независит от ε и ε0 достаточно мало.

Введем в N три подпространства N, N ′, M.

Определение 3.1. Матрица B(t) ∈ N ′, если ее ненулевые элементы занимают линиипараллельные диагонали с номерами от 1 − m до 0, причем на каждой линии элементыодинаковы.

Определение 3.2. Матрица C(t) ∈ N, если ее ненулевые элементы занимают линиипараллельные диагонали с номерами от 0 до m − 1, причем на каждой линии элементыодинаковы.

Определение 3.3. Матрица Π(t) ∈ M, если ее ненулевые элементы занимают только m−ю строку.

Замечание 3.2. Все матрицы из N ′, N, M содержат m независимых параметров.

Далее введем еще два подпространства F, U в N.

Определение 3.4. Матрица Γ(t) ∈ F, если (Γ(t), B(t)) = 0 для любой матрицы B(t) ∈ N ′

и всех 0 6 t 6 T.

Определение 3.5. Матрица U(t) ∈ U , если (U(t), C(t)) = 0 для любой матрицы C(t) ∈ Nи всех 0 6 t 6 T.

Справедливы следующие утверждения:

Лемма 3.1. Матрица Γ(t) ∈ F ⇐⇒ γΓi (t) ≡ 0, 1 − m 6 i 6 0, 0 6 t 6 T.

Лемма 3.2. Матрица U(t) ∈ U ⇐⇒ γUi (t) ≡ 0, 0 6 i 6 m − 1, 0 6 t 6 T.

С помощью этих лемм устанавливается, что

N = N ′ ⊥⊕ F, N = N

⊥⊕ U , N = M ⊕ F.

Обозначим через J жорданову клетку m×m, отвечающую нулевому собственному зна-чению, а через J ′ сопряженную к J матрицу.

Лемма 3.3. С матрицами J, J ′ коммутируют матрицы из N, N ′ соответственно итолько они.

4. Уравнения с трансформатором

4.1. Уравнения TQ, J1X = Y, TJ1, QX = Y . Пусть даны матрицы L(t), M(t), Y (t) такие,что L(t) ∈ End Rl, M(t) ∈ End Rk, Y ∈ Hom (Rk, Rl) при каждом 0 6 t 6 T.

Как и в [?, гл. I, § 3, п.1], введем в пространстве Hom (Rk, Rl) линейные операторыLl(t) и Mr(t), порождаемые умножением оператора X(t) ∈ Hom (Rk, Rl) на оператор L(t)слева и оператор M(t) справа:

Ll(t)X(t) = L(t)X(t), Mr(t)X(t) = X(t)M(t), X(t) ∈ Hom (Rk, Rl).

Следуя [?], назовем оператор

TL, M(t) = Ll(t) − Mr(t), TL, M(t)X(t) = L(t)X(t) − X(t)M(t),


действующий при каждом t ∈ [0, T ] в Hom (Rk, Rl), трансформатором. Известно, чтоусловия разрешимости и формула решения уравнения TL, M(t)X(t) = Y (t) существеннозависят от взаимного расположения спектров матриц L(t), M(t). Если их спектры непересекаются, то трансформатор TL, M(t) обратим,т. е. уравнение TL, M(t)X(t) = Y (t) имеет единственное решение X(t) при любом Y (t) ∈Hom (Rk, Rl).

Пусть J1 – жорданова клетка m1 × m1, отвечающая нулевому собственному значению,типа J, а Q(t) = diag (q1(t), ..., qn(t)) – матрица с ненулевыми попарно различными соб-ственными значениями при всех 0 6 t 6 T.

Поскольку матрица Q(t) обратима при всех 0 6 t 6 T и, кроме того, Jm11 = 0, то

равенство QX − XJ1 = Y можно представить в форме X = Q−1 (Y + XJ1). После m1 -кратного применения последнего равенства приходим к соотношению

X = Q−1 (Y + XJ1) = Q−1 Y + Q−1(Q−1 (Y + XJ1)) J1 = ... =

m1−1∑

i=0

(Q−1)i+1 Y J i1.

Проводя аналогичные рассуждения, запишем равенство J1X − XQ = Y в форме X =(−Y + J1X) Q−1, откуда

X = (−Y + J1X) Q−1 = −Y Q−1 + J1(−Y + J1X) (Q−1)2 = ... = −m1−1∑

i=0

J i1 Y (Q−1)i+1.

Таким образом, получены формулы обратных операторов к трансформаторамTQ(t), J1 , TJ1, Q(t) :

T−1Q(t), J1

Y (t) =

m1−1∑

i=0

(Q−1(t))i+1 Y (t)J i1, T−1

J1, Q(t)Y (t) = −m1−1∑

i=0

J i1 Y (t) (Q−1(t))i+1. (4.1)

Равенства (4.1) влекут следующие утверждения:

Лемма 4.1. Уравнение TQ(t), J1X = Q(t)X − XJ1 = Y (t) разрешимо для любой матрицыY (t) ∈ Hom (Rm1 , Rn). Элементы xr, j(t) матрицы X(t) ∈ Hom (Rm1 , Rn) находятсяединственным образом и характеризуются равенствами

xj, r(t) =r∑

i=1

qr−1−ij (t) yj, i(t), 1 6 j 6 n, 1 6 r 6 m1, 0 6 t 6 T.

Лемма 4.2. Уравнение TJ1, Q(t)X = J1X − XQ(t) = Y (t) разрешимо для любой матрицыY (t) ∈ Hom (Rn, Rm1). Элементы xr, j(t) матрицы X(t) ∈ Hom (Rn, Rm1) находятсяединственным образом и характеризуются равенствами

xr, j(t) = −m1∑

i=r

qr−1−ij (t) yi, j(t), 1 6 r 6 m1, 1 6 j 6 n, 0 6 t 6 T.

4.2. Уравнение с трансформатором K0. Введем трансформатор K0(t) = TQ(t), Q(t) =[Q(t), . ], действующий при каждом 0 6 t 6 T в End Rn, где Q(t) = diag (q1(t), ..., qn(t))– матрица с ненулевыми попарно различными собственными значениями при всех 0 6

t 6 T. Так как Ker K0(t) – это множество всех диагональных матриц, то уравнениеQ(t)X − XQ(t) = Y (t) не является разрешимым для любой матрицы Y (t) ∈ End Rn.Проверяется, что Im K0(t) состоит из всевозможных матриц с нулевой диагональю.

Пусть A(t) = (ak, l(t)), k, l = 1, 2, ...,m – произвольная матрица из N. Здесь и в даль-нейшем будем обозначать

A0(t) = diag (a1, 1(t), ..., am, m(t)), A∗(t) = A(t) − A0(t). (4.2)


В соответствии с представлением A(t) = A0(t) + A∗(t) имеем разбиение единицы I =I0 + I∗, где A0(t) = I0 A(t), A∗(t) = I∗ A(t). Очевидно, что I2

0 = I0, т. е. I0, I∗ – проекторы.

Лемма 4.3. Уравнение K0(t)X(t) = Y (t) эквивалентно системе

I0Y (t) ≡ 0,

X(t) = I0X(t) + K−10 (t)I∗Y (t),

где K0(t) = K0(t) Im K0(t).

Проверяется, что если Y (t) = (yij(t)), то K−10 (t)I∗Y (t) = (yij(t)/(qi(t) − qj(t))), i 6= j.

Лемма 4.4. Уравнение Q(t)X − XQ(t) = Y (t) разрешимо точно тогда, когда yi, i(t) ≡0, 1 6 i 6 n. При выполнении этих условий существует единственная матрица X(t) =X∗(t), элементы xr, j(t) которой при всех 0 6 t 6 T характеризуются равенствами

xr, r(t) ≡ 0, xr, j(t) = yr, j(t)/(qr(t) − qj(t)), r 6= j, 1 6 r 6 n, 1 6 j 6 n. (4.3)

4.3. Уравнение с трансформатором K1. Введем трансформатор K1 = TJ, J = [J, . ],действующий в N. Из леммы 3.7 вытекает, что K1C(t) = 0 для любой матрицы C(t) ∈ N,т. е. Ker K1 = N. Далее непосредственным образом проверяется, что Im K1 = F. Итак,справедливы прямые разложения

N = Ker K1

⊥⊕ U , N = N ′ ⊥

⊕ Im K1, N = M ⊕ Im K1,

причем оба подпространства N ′, M могут претендовать на роль Coker K1.Из двух разложений, содержащих Im K1, для наших целей предпочтительнее послед-

нее, поскольку в матрицах из M имеется наименьшее число ненулевых элементов. Такимобразом, ниже будут использоваться прямые разложения

N = Ker K1

⊥⊕ U , N = M ⊕ Im K1 (M = Coker K1) (4.4)

и соответствующие разбиения единиц

I = (I − Q) + Q, I = (I − P ) + P. (4.5)

Лемма 4.5. Уравнение K1X(t) = Y (t) эквивалентно системе

(I − P )Y (t) = 0,

X(t) = (I − Q)X(t) + K−11 PY (t),

где K1 = K1 U .

Поскольку (I −P )Y (t) – матрица m×m, ненулевые элементы которой занимают m - юстроку и равны γY

1−m(t), γY2−m(t), ..., γY

−1(t), γY0 (t), то лемму 4.5 теперь можно переформу-

лировать таким образом:

Лемма 4.6. Уравнение K1X(t) = Y (t) разрешимо точно тогда, когда γYi (t) ≡ 0, 1 −

m 6 i 6 0. При выполнении этих условий существует единственное решение X(t) из U ,

обладающее свойством γXi (t) ≡

≡ 0, 0 6 i 6 m − 1.

Пример 4.1. Пусть Y (t) = U(0)1−n(t), 2 6 n 6 m − 1, причем γ

(0)1−n(t) ≡ 0. Так как условие

разрешимости из леммы 4.6 выполнено, то, обозначив элементы матрицы U(0)1−n(t) через

σ(0)r+n−1, r(t), 1 6 r 6 m1 + 1 и заметив, что σ

(0)m, m1+1(t) ≡ −

m1∑

r=1

σ(0)n−1+r, r(t), найдем решение

X(t) из U . Проверяется, что X(t) = Ω−n(t) = (ωn+r, r(t)), где

ωn+r, r(t) =r∑

l=1

σ(0)n−1+l, l(t), 1 6 r 6 m1. (4.6)


5. Операторы Коши некоторых вспомогательныхуравнений в случае простого спектра предельной матрицы

5.1. Дифференциальные уравнения с диагональным пучком. Введем матрицы

Q(t) = diag (λ1(t), ..., λm(t)), (5.1)

Qr(t) = diag (qr, 1(t), ..., qr, m(t)), r ∈ N, F (t, ε) =∞∑

r=1

εr−1Qr(t). (5.2)

Предположение 5.1. Матрица Q(t) имеет простой спектр на отрезке [0, T ].

Рассмотрим уравнение

ε W = (Q(t) − εF (t, ε)) W, 0 6 t 6 T. (5.3)

Лемма 5.1. Пусть выполнено предположение 5.1. Тогда решением уравнения (5.3) c диа-гональным матричным пучком Q(t)−εQ1(t)−ε2Q2(t)−ε3... является матричная функция

W (t, ε) = diag (eµ1(t, ε), ..., eµm(t, ε)) C(ε), (5.4)

где матрица C(ε) произвольна и

µi(t, ε) = ε−1

t∫

0

(λi(τ) −∞∑

r=1

εrqr, i(τ)) dτ, 1 6 i 6 m. (5.5)

Следствие 5.1. Если выполнено предположение 5.1 и в уравнении (5.3) диагональныематрицы Q(t), Qr(t), r ∈ N постоянные, то скалярные функции µi(t, ε) определяютсяравенствами

µi(t, ε) = (t/ε) (λi −∞∑

r=1

εrqr, i), 1 6 i 6 m. (5.6)

Рассмотрим задачу Коши W (0, ε) = I для уравнения (5.3), тогда ее решение являетсяоператором Коши. Справедлива

Лемма 5.2. Если выполнено предположение 5.1, то оператор Коши уравнения (5.3) име-ет вид

W0(t, ε) = diag (eµ1(t, ε), ..., eµm(t, ε)), (5.7)

где скалярные функции µi(t, ε) определяются соотношениями (5.5).

Следствие 5.2. Если выполнено предположение 5.1, то оператором Коши укороченногоуравнения

εW = (Q(t) − εQ1(t))W

является матричная функция (5.7) со скалярными функциями µi(t, ε) вида (5.5) приqr, i(τ) ≡ 0, r > 2,1 6 i 6 m.

Рассмотрим задачу Коши W(0, ε) = I для уравнения

ε W = −W (Q(t) − εF (t, ε)), 0 6 t 6 T (5.8)

союзного по отношению к (5.3).

Лемма 5.3. Если выполнено предположение 5.1, то оператор Коши уравнения (5.8) име-ет вид

W0(t, ε) = diag (e−µ1(t, ε), ..., e−µm(t, ε)), (5.9)

где скалярные функции µi(t, ε) определяются соотношениями (5.5).


5.2. Дифференциальное уравнение с линейным пучком. Пусть выполнено пред-положение 5.1. Обратимся к уравнению

εW = (Q(t) − εA(t)) W, 0 6 t 6 T (5.10)

с матрицей Q(t) из (5.1), полной матрицей A(t) и построим оператор Коши для него.Представим A(t) = (σi, j(t)) по формуле (4.3) в виде суммы ее диагонали Q1(t) = A0(t) иматрицы A∗(t) с нулевой диагональю. Запишем уравнение (5.10) в форме

εW = (Q(t) − εQ1(t)) W − εA∗(t) W, 0 6 t 6 T

и воспользуемся методом вариации. Тогда решение уравнения (5.10) согласно следствию5.2 представимо в виде

W (t, ε) = W0(t, ε) C(t, ε), (5.11)

где

µi(t, ε) = ε−1

t∫

0

(λi(τ) − εσi, i(τ)) dτ, 1 6 i 6 m, (5.12)

и матричная функция C(t, ε) с условием C(0, ε) = I подлежит определению. Подставляя(5.10) в (5.11) и замечая, что диагональные матрицы Q(t)−εA0(t) и W0(t, ε) коммутируют,получаем задачу Коши

C = −W−10 (t, ε) A∗(t) W0(t, ε) C(t, ε), C(0, ε) = I. (5.13)

Представим решение задачи (5.13) в виде

C(t, ε) = I −t∫

0

W−10 (τ, ε) A∗(τ) W0(τ, ε) C(τ, ε) dτ. (5.14)

Подставив (5.14) в (5.11), находим, что оператор Коши W (t, ε) уравнения (5.10) явля-ется решением интегрального уравнения

W (t, ε) = W0(t, ε) −t∫

0

W0(t − τ, ε) A∗(τ) W (τ, ε) dτ. (5.15)

Покажем, что уравнение (5.15) имеет единственное ограниченное решение W (t, ε) привсех 0 6 t 6 T. С этой целью произведем замену W (t, ε) = W0(t, ε) + K(t, ε), гдеK(0, ε) = 0. Тогда (5.15) примет вид интегрального уравнения

K(t, ε) = −t∫

0

W0(t − τ, ε) A∗(τ) (K(τ, ε) + W0(τ, ε)) dτ (5.16)

относительно матричной функции K(t, ε).Введем банахово пространство C(N) = C(N, [0, T ]) непрерывных на [0, T ] матричных

функций K(t) со значениями из N и нормой

|||K||| = maxt∈[0, T ]

‖K(t)‖. (5.17)

Рассмотрим оператор ∆ε, 0 < ε 6 ε0, ставящий в соответствие матрице K ∈ C(N)матрицу ∆εK ∈ C(N), и определим его равенством

∆εK = −t∫

0

W0(t − τ, ε) A∗(τ) (K(τ, ε) + W0(τ, ε)) dτ. (5.18)


Обозначим

µi(t, τ, ε) = µi(t, ε) − µi(τ, ε) = ε−1

t∫

τ

(λi(s) − εσi, i(s)) ds, 1 6 i 6 m (5.19)

и заметим, что элементами матрицы W0(t − τ, ε) A∗(τ) c нулевой диагональю являютсяскалярные функции exp(µi(t, τ, ε)) σi, j(τ), i 6= j, 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 m.

Определение 5.1. Матрица Q(t) называется устойчивой на отрезке [0, T ], если при всех0 6 t 6 T выполняется неравенство

max16 i6 m

Re λi(t) 6 −α < 0. (5.20)

Предположение 5.2. Матрица Q(t) является устойчивой на отрезке [0, T ].

Пусть 0 < ε 6 ε0, тогда при выполнении условия (5.20) имеем

|eµi(t, τ, ε)| 6 e1ε

t∫τ

Re (λi(s)−εσi, i(s))ds6 Me−(α/ε0) (t−τ). (5.21)

Оценим разность значений оператора ∆ε :

||| ∆εK1 − ∆εK1||| = maxt∈[0, T ]

‖t∫

0

W0(t − τ, ε) A∗(τ) (K1(τ, ε)−

−K2(τ, ε))dτ‖ 6 |||A∗||| ||| K1 −K2|||M maxt∈[0, T ]

t∫

0

e−(α/ε0) (t−τ)dτ.

Поскольку maxt∈[0, T ]

t∫

0

e−(α/ε0) (t−τ) dτ 6 ε0/α и ||| A∗||| 6 N∗, то

||| ∆εK1 − ∆εK1||| 6 ε0 (MN∗/α) ||| K1 −K2||| < ||| K1 −K2||| (5.22)

при всех 0 < ε 6 ε0. Элементами матрицы W0(t−τ, ε) A∗(τ) W0(τ, ε) c нулевой диагональюявляются скалярные функции exp(µi(t, τ, ε)) exp(µj(τ, 0, ε))σi, j(τ), i 6= j, 1 6 i 6 m, 1 6

j 6 m. Согласно предположению 5.2 имеем | exp(µj(τ, 0, ε))| 6 1, 1 6 j 6 m, значит,

||| ∆ε0||| = maxt∈[0, T ]

‖t∫

0

W0(t − τ, ε) A∗(τ) W0(τ, ε) dτ‖ 6 ε0 (MN∗/α). (5.23)

Из неравенств (5.22), (5.23) находим, что

||| ∆εK||| 6 ||| ∆ε0||| + ||| ∆εK − ∆ε0||| 6 ε0 (MN∗/α) (||| K||| + 1). (5.24)

Если ε0 достаточно мало, то, взяв |||K||| 6 η, приходим к |||∆εK||| 6 η при всех 0 <ε 6 ε0. С учетом (5.22) здесь оказывается применимым принцип сжатых отображений,согласно которому существует единственное решение K(t, ε) в шаре достаточно малогорадиуса η. В свою очередь, это означает, что на отрезке [0, T ] существует единственноеограниченное решение W (t, ε) интегрального уравнения (5.15). При этом

‖W (t, ε)‖ 6 ‖W0(t, ε)‖ + ‖K(t, ε)‖ 6 N0e−(α/ε0)t + k ε0, 0 6 t 6 T, (5.25)

где положительные постоянные N0, k не зависят от ε.Нами получена

Теорема 5.1. Пусть для матрицы Q(t) выполнены предположения 5.1, 5.2. Тогда опера-тор Коши W (t, ε) уравнения (5.10) существует на всем отрезке [0, T ], удовлетворяетинтегральному уравнению (5.15) и подчиняется оценке (5.25).


Замечание 5.1. Предположение 5.1 в теореме 5.1 является основным. В то же время, неограничивая общности, можно всегда считать выполненным предположение 5.2, посколькузамена

W (t, ε) = e− 1

ε

t∫0

λ0(τ) dτX(t, ε), 0 6 t 6 T

с Re λ0(t) 6 − max16 i6 m

Re λi(t) − α < 0 приводит (5.10) к уравнению

εX = (Q(t) + λ0(t)I − εA(t)) X, 0 6 t 6 T,

для которого предположение 5.2 выполнено.

5.3. Дифференциальное уравнение с трансформатором. Пусть для матрицы Q(t)выполнены предположения 5.1, 5.2. Рассмотрим уравнение

εW = (Q(t) − εA(t))W − W (Q(t) − εF (t, ε)) = (K0(t) − εTA(t), F (t, ε))W. (5.26)

Как и в [?, гл. III, §1, п.6], показывается, что оператором Коши для него служит транс-форматор

U(t, ε) W = UI(t, ε) W UII(t, ε), U(0, ε) W = W, (5.27)

где UI(t, ε) – оператор Коши уравнения (5.10), о котором шла речь в теореме 5.1, а UII(t, ε)– оператор Коши вида (5.9) уравнения (5.8). Действительно, продифференцируем (5.27)по t и умножим на ε, получим

εdUdt

W = εdUI

dtW UII + UI W ε

dUII

dt= (Q − εA) UI(t, ε) WUII(t, ε) −

−UI(t, ε) W UII(t, ε) (Q − εF ) = (Q − εA) U(t, ε) W − U(t, ε) W (Q − εF ).

Отсюда следует, что любое решение неоднородного уравнения

ε W = (K0(t) − εTA(t), F (t, ε)) W + εR(t, ε) (5.28)

можно записать в виде

W (t, ε) = U(t, ε) W (0, ε) +

t∫

0

U(t − s, ε) R(s, ε) ds =

= UI(t, ε) W (0, ε) UII(t, ε) +

t∫

0

UI(t − s, ε) R(s, ε) UII(t − s, ε) ds. (5.29)

6. Матрица подобия I + ξZ(t, ξ)

Пусть матрица Q(t) = diag (q1(t), ..., qm(t)), имеющая простой спектр на отрезке [0, T ],возмущена некоторым малым слагаемым, являющимся полной матрицей. В соответствиис п. 4.2 возьмем матрицу Z(t, ξ) = Z∗(t, ξ) с нулевой диагональю и рассмотрим преобра-зование подобия I + ξZ(t, ξ), в котором ξ – малый параметр.

6.1. Преобразование линейного пучка. В § 7 речь пойдет о диагонализации с помо-щью матрицы I + ξZ(t, ξ) линейного матричного пучка Q(t)− ξA(t) при qj(t) = λj(t), 1 6

j 6 m, ξ = ε. Для корректности этой процедуры потребуем, чтобы при всех 0 6 t 6 Tвыполнялось равенство

(I + ξZ)−1 [(Q − ξA) (I + ξZ) − ξ2Z] = Q − ξG, (6.1)

где Q(t) − ξG(t, ξ) – некоторая диагональная матрица. Равенство (6.1) выполнено, еслисуществует единственное ограниченное решение дифференциального уравнения

ξZ = (K0(t) − ξTA(t), G(t, ξ)) Z − A(t) + G(t, ξ) (6.2)

относительно Z(t, ξ) = Z∗(t, ξ) при всех 0 6 t 6 T и всех достаточно малых ξ.


Замечание 6.1. Если матрица A(t) оказывается диагональной в базисе er, то считаемZ∗(t, ξ) ≡ 0.

Примем ξ = 0 в (6.2), получим матричное уравнение

K0(t) Z∗(t, 0) = A(t) − G(t, 0), (6.2)0

из которого согласно лемме 4.6 находим

Q1(t) = G(t, 0) = A0(t), Z(1)∗ (t) = Z∗(t, 0) = K−1

0 (t) A∗(t). (6.3)

Следовательно, в неизвестной доселе матрице G(t, ξ) можно взять Q1(t) = A0(t) == diag (σ1, 1(t), ...σm, m(t)). Положим

G(t, ξ) = A0(t) + G0(t, ξ), Z∗(t, ξ) = Z(1)∗ (t) + Ψ(t, ξ), (6.4)

заметим, что G0(t, 0) ≡ 0, Ψ(t, 0) ≡ 0 и подставим (6.4) в (6.1). После преобразований от(6.1) перейдем к уравнению

εΨ = (K0(t) − εTA(t), G(t, ε))Ψ − ε(Z(1)

∗ + TA(t), G(t, ε))Z(1)∗

)+ G0(t, ε) (6.5)

с G0(t, 0) ≡ 0. Если выполнено дополнительное предположение об устойчивости матри-цы Q(t) на [0, T ], то оператор Коши соответствующего однородного уравнения построенв п. 5.3. Тогда решение уравнения (6.5) существует на [0, T ], единственно и представи-мо по формуле (5.29). Значит, на [0, T ] существует единственное ограниченное решениедифференциального уравнения (6.2). Имеет место

Теорема 6.1. Пусть матрица Q(t) удовлетворяет предположениям 5.1, 5.2. Тогда су-ществует единственное ограниченное на [0, T ] решение уравнения (6.1) при некоторойдиагональной матрице G(t, ξ).

6.2. Преобразование полиномиального пучка. В § 16 предстоит осуществить переходот уравнения

ξn−1Ψ = (Q(t) − ξG(t, ξ)) Ψ =

(Q(t) −

m+n−2∑

i=1

ξiG(i)(t)

)Ψ, ξ = ε1/n (6.6)

с полными матрицами G(i)(t) к уравнению ξn−1 W = (Q(t) − ξG(t, ξ)) W с диагональ-ным пучком. Отметим, что оператор Коши уравнения (6.6) строится по схеме п. 5.2, ипотребуем, чтобы при всех 0 6 t 6 T выполнялось равенство

(I + ξZ)−1 ((Q − ξG) (I + ξZ) − ξnZ) = Q − ξG, (6.7)

где G(t, ξ) – некоторая диагональная матрица. В свою очередь, равенство (6.7) будетвыполняться, если существует единственное ограниченное решение дифференциальногоуравнения

ξn−1Z = (K0(t) − ξTG(t, ξ), G(t, ξ)) Z − G(t, ξ) + G(t, ξ) (6.8)

относительно Z(t, ξ) = Z∗(t, ξ) при всех 0 6 t 6 T и всех достаточно малых ξ.Действуя далее, как в п. 6.1, получаем следующее утверждение:

Теорема 6.2. Пусть матрица Q(t) удовлетворяет предположениям 5.1, 5.2. Тогда су-ществует единственное ограниченное на [0, T ] решение уравнения (6.7) при некоторойдиагональной матрице G(t, ξ).


7. Об операторе Коши уравнения с малым параметромпри производной. Случай простого спектра

7.1. Уравнение в конечномерном пространстве. Обратимся к задаче Коши

ε W = (D0(t) − εD1(t)) W, W (0, ε) = I, 0 6 t 6 T (7.1)

с матрицей D0(t), имеющей простой спектр. Уравнение (7.1) служит непосредственнымобобщением уравнения (5.10). Как в п. 2.1, введем матрицы Φ(t), H(t). Тогда спектрыподобных матриц D0(t) и Q(t) совпадают и

Q(t) = Φ−1(t)D0(t)Φ(t), H(t) = Φ−1(t)Φ(t). (7.2)

Будем искать решение задачи (7.1) в форме

W (t, ε) = S(t, ε) W0(t, ε) S−1(0, ε), W0(0, ε) = I, (7.3)

где W0(t, ε) – оператор Коши уравнения (5.3), а оператор-функция S(t, ε) подлежитопределению в дальнейшем. Подставив (7.3) в (7.1), приходим к равенству

εW0 = S−1(t, ε) [(D0(t) − εD1(t)) S(t, ε) − εS(t, ε)] W0. (7.4)

На первом шаге алгоритма полагаем S(t, ε) = Φ(t) SI(t, ε). Тогда

Φ−1(t) εS(t, ε) = εH(t) SI(t, ε) + εSI(t, ε),

откуда в согласии с (2.4) получаем

εW0 = S−1I (t, ε) [(Q(t) − εA(t)) SI(t, ε) − εSI(t, ε)] W0. (7.5)

Привлечение матрицы Φ(t) позволило заменить главную матрицу D0(t) пучка, являю-щуюся диагональной в базисе ϕr, диагональной матрицей Q(t) в базисе er.

На втором шаге алгоритма примем SI(t, ε) = I + εZ∗(t, ε), где Z∗(t, ε) – матрица снулевой диагональю (см. п. 4.3). Поскольку εSI(t, ε) = ε2Z∗(t, ε), то (7.5) записываетсяв форме

εW0 = (I + εZ∗)−1[(Q − εA) (I + εZ∗) − ε2Z∗] W0. (7.6)

Далее с помощью матрицы I + εZ∗(t, ε) диагонализуем в базисе er младшие чле-ны матричного пучка. С этой целью потребуем, чтобы выполнялось равенство (6.1) сξ = ε, G ≡ F при всех 0 6 t 6 T и всех достаточно малых ε, 0 < ε 6 ε0. Тогда уравне-ние (7.6) примет вид рассмотренной выше задачи (5.3). Это произойдет, если существуетединственное ограниченное решение дифференциального уравнения (6.2). Таким образом,мы оказались в условиях п. 6.1, согласно которому справедлива

Теорема 7.1. Пусть матрица D0(t) удовлетворяет предположениям 5.1, 5.2. Тогда ре-шением задачи (7.1) является матричный пучок (7.3), в котором

S(t, ε) = Φ(t) (I + εZ∗(t, ε)), (7.7)

а матрица W0(t, ε) определяется из следствия 5.2.

В частном случае, когда в (7.1) матрица D0(t) является диагональной в базисе er, т.е. когда D0(t) = Q(t), вместо матрицы Φ(t) следует взять тождественное преобразованиеI и положить A(t) = D1(t). Тогда

W (t, ε) = (I + εZ∗(t, ε)) W0(t, ε) (I + εZ∗(0, ε))−1. (7.8)

Следствие 7.1. Если матрица D0(t) имеет простой спектр и к тому же являетсядиагональной, то A(t) = D1(t), и решение задачи (7.1) имеет вид (7.8).


7.2. Асимптотика оператора Коши. Пусть для матрицы D0(t) выполнено предполо-жение 5.1. Получим явный вид решения уравнения

εZ = (K0(t) − εTA(t), F (t, ε)) Z − A(t) + F (t, ε), (7.9)

положив

Z∗(t, ε) =∞∑

i=0

εiZ(i+1)∗ (t). (7.10)

Для нахождения неизвестных матриц Z(i)∗ (t), Qi(t), i ∈ N запишем (7.9) в виде

εZ∗ = (K0 − εTA, Q1) Z∗ + ε2 Z∗ (Q2 + εQ3 + ε2...) + (Q1 − A) + εQ2 + ε2Q3 + ε3... (7.11)

и приравняем коэффициенты при εi, i ∈ N. В результате придем к системе уравнений

K0 Z(1)∗ = A−Q1, K0 Z(2)

∗ = Z(1)∗ +TA, Q1 Z(1)

∗ −Q2, K0 Z(3)∗ = Z(2)

∗ +TA, Q1 Z(2)∗ −Z(1)

∗ Q2−Q3, ... ,(7.12)

решаемых последовательно с помощью леммы 4.6. Напомним, что Q(t) =diag (λ1(t), ..., λm(t)), и если A(t) = (σij(t)), то, как указано в п. 4.3,

K−10 A∗(t) = ((λi(t) − λj(t))

−1 σij(t)), i 6= j, 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 m.

В итерационной процедуре одновременно находятся матрицы Qi(t) из условий разреши-мости уравнений (7.12), а также матрицы Z

(i)∗ (t), служащие решениями этих уравнений:

Q1 = I0A, Z(1)∗ = K−1

0 I∗A,

Q2 = I0(TA, Q1 Z(1)∗ ), Z(2)

∗ = K−10 I∗(Z

(1)∗ + TA, Q1 Z(1)

∗ ),

Q3 = I0(TA, Q1 Z(2)∗ − Z(1)

∗ Q2), Z(3)∗ = K−1

0 I∗(Z(2)∗ + TA, Q1 Z(2)

∗ − Z(1)∗ Q2) (7.13)

и т. д. Таким образом, решение W (t, ε) задачи (7.1), заданное формулами (7.3), (7.7),может быть определено с любой наперед заданной точностью. На основании леммы 5.1получаем следующее утверждение:

Теорема 7.2. Пусть матрица D0(t) удовлетворяет предположению 5.1. Тогда фор-мальным решением задачи (7.1) является матричный пучок (7.3), в котором матрицы

Qi, Z(i)∗ находятся из соотношений (7.13).

В прикладных задачах широкое применение находят формулы асимптотических разло-жений решений векторных дифференциальных уравнений, в которых используется асимп-тотическое разложение оператора Коши. Преобразуем W (t, ε), получив вначале представ-ление для (I + εZ∗(0, ε))−1. С этой целью положим

(I + εZ∗(ε))−1 = I + εK1 + ε2K2 + ε2K2 + ... (7.14)

и найдем постоянные матрицы Ki, i ∈ N из равенства

(I + εZ(1)∗ + ε2Z(2)

∗ + ...) (I + εK1 + ε2K2 + ε3K3 + ...) = I.

Приравняем коэффициенты при εi, i ∈ N, придем к системе

K1 + Z(1)∗ = 0, K2 + Z(1)

∗ K1 + Z(2)∗ = 0, K3 + Z(1)

∗ K2 + Z(2)∗ K1 + Z(3)

∗ = 0, ... .

Отсюда

K1 = −Z(1)∗ , K2 = −Z(2)

∗ + (Z(1)∗ )2, K3 = −Z(3)

∗ + Z(2)∗ Z(1)

∗ + Z(1)∗ Z(2)

∗ − (Z(1)∗ )3, ... , (7.15)

и, значит,(I + εZ∗(0, ε))−1 = I − εZ(1)

∗ (0) − ε2(Z(2)∗ (0) − (Z(1)

∗ (0))2)−−ε3(Z(3)

∗ (0) − Z(2)∗ (0)Z(1)

∗ (0) − Z(1)∗ (0)Z(2)

∗ (0) + (Z(1)∗ (0))3) − ε4... .

Подставляя (7.7), (7.14) в (7.3), получаем, что

W (t, ε) = Φ(t) W0 − ε(W0Z(1)∗ (0) − Z(1)

∗ (t)W0) − ε2(W0Z(2)∗ (0) − Z(2)

∗ (t)W0−


−(W0Z(1)∗ (0) − Z(1)

∗ (t)W0) Z(1)∗ (0)) − ε3... Φ−1(0). (7.16)

Поскольку W0(0, ε) = I и [I, A] = 0 для любой матрицы A, то W (0, ε) = I.

Теорема 7.3. Если матрица D0(t) имеет простой спектр, то решение задачи (7.1) пред-ставимо в форме асимптотического разложения (7.16) по целым степеням ε с матри-

цами Qi, Z(i)∗ , определяемыми соотношениями (7.13).

В частном случае, когда матрицы D0, D1 постоянные, матрицы Φ, A также являютсяпостоянными, и W (t, ε) = exp(ε−1(D0 − εD1) t).

Следствие 7.2. Если матрицы D0, D1 постоянные и D0 имеет простой спектр, тоформула (7.16) с учетом (5.6) принимает вид

exp(ε−1(D0−εD1) t) = Φ W0−ε[W0, Z(1)∗ ]−ε2([W0, Z(2)

∗ ]−[W0, Z(1)∗ ] Z(1)

∗ )−ε3... Φ−1. (7.17)

Замечание 7.1. Если матрица I0A(t) зависит от t, а разности λi(t) − λj(t), i 6= j вме-сте с матрицей I∗A(t) не зависят от t, то Z

(1)∗ – постоянная матрица. При этом матрицы

Z(i)∗ (t), i = 2, 3, ... , вообще говоря, не являются постоянными.

7.3. Уравнение в сепарабельном гильбертовом пространстве. Случай стабиль-ного спектра. Пусть E – сепарабельное гильбертово пространство и пусть A(t) – ли-нейный замкнутый симметрический оператор, действующий при каждом t ∈ [0, T ] в E итакой, что

10 область определения D(A) оператора A(t) не зависит от t и плотна в E;20 оператор A(t) сильно непрерывен на D(A) (см. [?, гл. II, § 1]);30 задача Коши

ε x = A(t) x, x(0, ε) = x0 ∈ E, 0 6 t 6 T (7.18)

равномерно корректна [?, гл. II, § 3] при любом ε ∈ (0, ε0];40 спектр оператора A(t) при всех 0 6 t 6 T стабилен, т. е. удовлетворяет соотноше-

ниямλi(t) 6= λj(t), i 6= j; i, j ∈ N;

50 при каждом t ∈ [0, T ] существует ограниченный оператор A−1(t).Как известно [?, гл. IV, п. 53], A(t) допускает матричное представление в некотором

ортонормированном базисе, принадлежащем плотному в E множеству D(A).Рассмотрим задачу Коши

ε u = A(t) u + f(t), u(0, ε) = u0 ∈ E, 0 6 t 6 T. (7.19)

Общее решение уравнения (7.19) будем, как обычно, искать в виде суммы общего реше-ния u(t, ε) уравнения (7.18) и частного решения u∗(t, ε) уравнения (7.19). Непосредственнопроверяется, что если потребовать от A−1(t) и функции f(t) непрерывной дифференци-руемости бесконечного порядка, то

u∗(t, ε) = −∞∑

r=0

εr

(A−1(t)

d

dt

)r

A−1(t) f(t). (7.20)

Решение u(t, ε) ищем в форме

u(t, ε) = W (t, ε) c(ε),

где c(ε) – произвольный вектор, а оператор Коши W (t, ε) является решением задачи

ε W = A(t) W, W (0, ε) = I, 0 6 t 6 T. (7.21)

Схема построения оператора Коши W (t, ε) и его асимптотики совпадает с соответству-ющими результатами из п.п. 7.1, 7.2 с учетом естественных обобщений и поправок. Так,


оператор W (t, ε) определен на D(A) и ограничен при каждом фиксированном t. Следова-тельно, по непрерывности его можно расширить на все пространство E, сохранив прежнееобозначение [?, гл. II, § 3]. Поскольку оператор A(t) обратим при всех 0 6 t 6 T, то онпреобразует любой ортонормированный базис пространства E в другой базис (Рисса) изE. Выбирая собственные векторы ϕk(t), отвечающие собственным значениям λk(t), в каче-стве базиса Рисса в E, построим из векторов ϕk(t), записанных в столбцы, матрицу Φ(t),а также матрицы A(t) = Φ−1(t)Φ(t), Q(t) = Φ−1(t) A(t) Φ(t). В формуле (7.3) примем

W0(t, ε) = diag (eµ1(t, ε), eµ2(t, ε), ..., eµm(t, ε), ...), (7.22)

µi(t, ε) = ε−1

t∫

0

(λi(τ) −∞∑

r=1

εrqr, i(τ)) dτ, i ∈ N. (7.23)

Теорема 7.4. Формальным решением задачи (7.19) в пространстве E c оператор-функцией A(t), подчиняющейся условиям 10 − 50, является оператор-функция W (t, ε)вида (7.3), где W0(t, ε) определяется из (7.22), а µi(t, ε) – из (7.23).

7.4. Уравнение Шредингера. В качестве примера рассмотрим уравнение Шредингерадля гармонического осциллятора с положением равновесия, изменяющимся с течениемвремени, вида

iε∂u

∂t− ∂2u

∂x2+ (x2 + 2tx + 2t2) u = h(x, t) (7.24)

в тех же предположениях, как в монографии [?, гл. 8, §3, п.2]. В начальный момент времениt = 0 волновая функция известна:

u(x, 0) = ρ(x). (7.25)

Уравнение (7.24) примет вид (7.18), если ввести обозначения

B =∂2

∂x2− ((x + t)2 + t2), D(B) = L2(R, E), A = −iB, f = −ih. (7.26)

Ниже (см. замечание 7.4) указывается, что спектр оператора A(t) расположен на мнимойоси. Чтобы остаться в рамках схемы из п.п. 7.1, 7.2, обозначим ε = iε и взамен (7.18)рассмотрим уравнение

ε u = B(t) u + h(t). (7.27)

Согласно (7.20) частное решение u∗(t, ε) имеет вид

u∗(t, ε) = −∞∑

r=0

ε r

(B−1(t)

d

dt

)r

B−1(t) h(t). (7.28)

Как показано в п.п. 7.1, 7.2, основную роль в построении общего решения u(t, ε) =W (t, ε) c(ε) играет структурная матрица A(t). Поэтому вначале следует найти собствен-ные значения λk(t) и соответствующие собственные векторы ϕk(t) оператора B. Устанав-ливается, что

λk(t) = −(t2 + 2k − 1), ϕk(z) = exp(−z2/2)Hk−1(z), z = x + t, k ∈ N, (7.29)

т. е. ϕk(z) – функции Эрмита с многочленами Hk−1(z) Чебышева-Эрмита, являющимисярешениями дифференциальных уравнений

d2Hk−1

dz2− 2z

dHk−1

dz+ 2(k − 1)Hk−1 = 0, k ∈ N,

для которых справедливы соотношения

Hk+1 = 2(zHk − kHk−1),dHk

dz= 2kHk−1, k ∈ N. (7.30)

Замечание 7.2. Оператор B(t) является устойчивым при 0 6 t 6 T.


Замечание 7.3. В качестве собственных функций можно выбрать

ϕk(x, t) = exp((−xt − x2)/2) Hk−1(x + t), k ∈ N

с теми же многочленами Hk−1(x + t) Чебышева-Эрмита.

Замечание 7.4. Собственными значениями оператора A(t) служат скалярные функции−iλk(t) == i(t2 + 2k − 1), k ∈ N.

Составим матрицу Φ(t) из столбцов ϕ1(t), ϕ2(t), ... , тогда

Φ−1(t) B(t) Φ(t) = Q(t) = diag (λ1(t), λ2(t), ..., λm(t), ...).

Для построения матрицы A(t) = Φ−1(t)Φ(t) нужно знать координаты разложений век-

торов∂ϕr

∂tпо базису ϕr. В силу (7.30) имеем

∂ϕ1

∂t= tϕ1 −

1

2ϕ2,

∂ϕk

∂t= (k − 1)ϕk−1 + tϕk −

1

2ϕk+1, k > 2, (7.31)

поэтому матрица A(t) = (σrj(t)) является трехдиагональной. При этом σr, r(t) =t, σr+1, r(t) ≡ −1/2, σr, r+1(t) = r, r ∈ N, т. е. I0A(t) = U0 = tI, U−1 ≡ −(1/2)J ′,где J – однодиагональная бесконечномерная матрица, все ненулевые элементы которойрасполагаются над диагональю и равны 1, J ′ – сопряженная к J матрица. Поскольку(λr(t) − λj(t))

−1 = −2/(r − j), r 6= j, то

K−10 I∗A(t) =

(− σrj(t)

2(r − j)

), r 6= j, r, j ∈ N. (7.32)

Непосредственно проверяется, что Q1 = tI, а постоянная матрица Z(1)∗ = (z

(1)r, j) является

двухдиагональной: z(1)r+1, r ≡ 1/4, z

(1)r, r+1 = r/2, r ∈ N. Далее вычисляется TA, Q1 Z

(1)∗ ,

откуда находится Q2 = I0(TA, Q1 Z(1)∗ ) ≡ (1/4) I. Постоянная матрица Z

(2)∗ = (z

(2)r, j) является

двухдиагональной: z(2)r+2, r ≡ 1/32, z

(2)r, r+2 = r(r + 1)/8, r ∈ N.

Продолжив рассуждения, можно найти матрицы Qr(t), Z(r)∗ (t) при любом r > 3.

Так как ε = iε, то в силу (7.23), (7.29), имеем

ε −1µk(t, ε) =i

ε

(t3

3+ (2k − 1) t

)− t2

2− iε

t

4+ ε2... , k ∈ N. (7.33)

Следовательно,

u(t, ε) = Φ(t) W0 − ε [W0, Z(1)∗ ] − ε 2... Φ−1(0) c(ε), (7.34)

где

W0 = exp

(i

ε(t3

3− t) − t2

2− iε

t

4+ ε2...

)diag

(e

2iε

t, e4iε

t, ..., e2mi

εt, ...

). (7.35)

Таким образом,

u(t, ε) = Φ(t) W0 Φ−1(0) c −B−1(t) h(t)−ε Φ(t) [W0, Z(1)∗ ] Φ−1(0) c+B−1(t)

d

dtB−1(t) h(t)−ε 2... .

(7.36)Если волновая функция ρ(x) не зависит от ε, то, полагая t = 0 в (7.36), получаем

c = ρ(x) + B−1(0) h(0). (7.37)

Значит, нулевое приближение записывается в виде

uε, 0(x, t) = Φ(t) W0 Φ−1(0) (ρ(x) + B−1(0) h(0)) − B−1(t) h(t), (7.38)


где

W0 = exp

(i

ε

(t3

3− t

)− t2

2

)diag

(e

2iε

t, e4iε

t, ..., e2mi

εt, ...

), (7.39)

и совпадает с формулой (8.44) из [?], записанной там в координатной форме. Действи-тельно, оператор B(t) в базисе ϕk(t) представляется в виде диагональной матрицы сэлементами λk(t), k ∈ N из (7.29). Значит, оператор B−1(t) в базисе ϕk(t) являетсядиагональной матрицей с элементами λ−1

k (t), k ∈ N. Обозначив координаты разложениявектора h в базисе ϕk через hk и воспользовавшись равенством

∂ϕk

∂t=

∞∑

r=1

σr, k ϕr, k ∈ N,

находим, что

B−1 h =∞∑

k=1

hk

λk

ϕk, B−1 d

dtB−1 h =

∞∑

k=1

λ−1k

(∂

∂t(λ−1

k hk) +∞∑

r=1

λ−1r hrσk, r

)ϕk

и т. д. Первое приближение uε, 1(x, t) (его нет в [?]) с учетом замечания 7.2 имеет вид

uε, 1(x, t) = Φ(t)W0Φ−1(0)(ρ(x) + B−1(0)h(0)) − B−1(t)h(t)−

−ε

(Φ(t)[W0, Z(1)

∗ ]Φ−1(0)(ρ(x) + B−1(0)h(0)) + B−1(t)d

dtB−1(t)h(t)

), (7.40)

где ε = iε и

W0 = exp

(i

ε

(t3

3− t

)− t2

2− iε

t

4

)diag

(e

2iε

t, e4iε

t, ..., e2mi

εt, ...

). (7.41)

Замечание 7.5. Используемый здесь алгоритм в отличие от [?] не содержит этапов, со-держащих процедуру решения дифференциальных уравнений. Это связано с предложен-ным способом выбора скалярных функций qr, j(t), составляющих матрицы Qr(t), r ∈ N.

8. Матрица подобия I + Ω−n(t)

Замечание 8.1. Всюду в дальнейшем исследуется случай кратного спектра. Приводимыениже результаты непосредственно обобщают соответствующие результаты работы [?], по-лученные для уравнения (1.3) с постоянными матрицами D0, D1.

Обозначим через Ui(t) однодиагональные матрицы из п. 3.2, дающие в сумме струк-турную матрицу A(t) из N, и предположим, что U1−m(t) ≡ ... ≡ U−n(t) ≡ 0, т. е. матрицаU1−n(t) является в определенном смысле главной. Преобразование подобия I+ε Ω−n(t) поз-воляет выделить в представлении U1−n(t) = D1−n(t) + U

(0)1−n(t), где D1−n(t) ∈ M, U

(0)1−n(t) ∈

Im K1, главную часть D1−n(t) и избавиться от компонента U(0)1−n(t) 6= 0 с γ

(0)1−n(t) ≡ 0 (см.

формулу (8.6)). С учетом логарифмического закона введем обозначения

Ui, 0(t) = [Ui+n(t), Ω−n(t)], 1−m 6 i 6 m1−1, i 6= −n, U−n, 0(t) = Ω−n(t)+[U0(t), Ω−n(t)],

Ui, 1(t) = (−Ω−n(t)) Ui+2n(t) Ω−n(t), 1 − m 6 i 6 −s − 1. (8.1)

Обозначим такжеs = n − m1 = 2n − m = m − 2m1, (8.2)

отметив, что числа s,m имеют одинаковую четность.Пусть далее всюду выполнено

Предположение 8.1. Справедливо неравенство 1 6 s 6 m.

Замечание 8.2. Предположение 8.1 принимает форму неравенств

0 6 m1 6 (m − 1)/2, (m + 1)/2 6 n 6 m. (8.3)


Из условия s > 1, записанного в форме 2(1 − n) 6 1 − m, вытекают тождества

U1−2n, 0(t) ≡ U1−n(t)Ω−n(t) ≡ 0, Ω2−n(t) ≡ 0. (8.4)

Значит, при достаточно малых ε

(I + εΩ−n(t))−1 = I − εΩ−n(t), (8.5)

и, следовательно,

(I + εΩ−n(t))−1 (J − εA(t)) (I + εΩ−n(t)) − ε2Ω−n(t) =

= J − ε

(D1−n(t) +

m−1∑

i=2−n

Ui(t)

)− ε2

m1−1∑

i=1−m

Ui, 0(t) − ε3

−s−1∑

i=1−m

Ui, 1(t). (8.6)

Замечание 8.3. Если m1 = 0, то n = m, Ω−m(t) ≡ 0. Таким образом, U(0)1−m(t) ≡

0, D1−m(t) ≡ U1−m(t), и преобразование I + εΩ−m(t) превращается в тождественное.

9. Случай общего положения

Обозначим через σr, l(t) элемент из r - й строки, l - го столбца структурной матрицыA(t), а через γi(t) (без указания A в качестве верхнего индекса) сумму элементов одноди-агональной матрицы Ui(t), или ее "след", 1 − m 6 i 6 m − 1.

Случай общего положения (СОП) будем характеризовать соотношениями

γ1−m(t) ≡ ... ≡ γ−n(t) ≡ 0, γ1−n(t) 6= 0, 0 6 t 6 T, 0 6 m1 6 (m − 1)/2. (9.1)

Ситуацию, когда m1 = 0, n = m, т. е. γ1−m(t) = σm,1(t) 6= 0, назовем невырожденнымслучаем, или случаем I. Ситуацию, когда m1 = 1, n = m − 1, m > 3, т. е. σ1,m(t) ≡0, γ2−m(t) = σm−1,1(t) + σm,2(t) 6= 0, назовем случаем слабого вырождения, или случаемII. Вместе случаи I, II будем называть каноническими.

В § 8 было показано, что преобразование подобия I + εΩ−n(t) с матрицей Ω−n(t) из (4.3)приводит матрицу A(t), у которой однодиагональная матрица Ui(t) 6= 0 c наименьшимномером i (наибольшим "весом") имеет нулевой "след" γi(t) ≡ 0, к матрице с Ui(t) ≡ 0.Вследствие такой возможности будем всюду в дальнейшем характеризовать СОП несколь-ко более жесткими по сравнению с (9.1) ограничениями

U1−m(t) ≡ ... ≡ U−n(t) ≡ 0, γ1−n(t) 6= 0, 0 6 m1 6 (m − 1)/2. (9.2)

Замечание 9.1. Для канонических случаев соотношения (9.1) и (9.2) совпадают.

Вместе все СОП при 2 6 m1 6 (m−1)/2 будем называть случаями сильного вырожденияструктурной матрицы A(t).

10. Матрица подобия Λ(ε)

Введем матрицу [?]

Λ(ε) = diag (1, εν , ε2ν , ..., ε(m−1)ν), ν > 0 (10.1)

срезания, дающую возможность отщепить ("срезать") от структурной матрицы A(t) од-нодиагональную матрицу D1−n(t) с наименьшим индексом и возмутить ею матрицу J так,чтобы у новой предельной матрицы пучка имелись различные собственные значения. Та-кого рода процедура в различных ситуациях использовалась, например, в [?, ?]; в [?] онаназвана присоединением к J матрицы наибольшего веса, или перестройкой. Матрица Λ(ε)при действии на однодиагональные матрицы Xi(t) обладает свойством

Λ−1(ε)Xi(t)Λ(ε) = εiν Xi(t), 1 − m 6 i 6 m − 1, (10.2)

в частности, Λ−1JΛ = εν J. Формула (10.2) дает возможность ввести иерархию средиоднодиагональных матриц, присваивая различные "веса" в зависимости от их номеров.


Наряду с Λ(ε) далее используется матрица срезания

Λ1(ε) = diag (1, εν , ε2ν , ..., ε(m1−1)ν), ν > 0, (10.3)

действующая в подпространстве End PE, а также матрицы

Λ1(ε) = diag (Λ1(ε); 0n), Λ−11 (ε) = diag (Λ−1

1 (ε); 0n),

действующие в пространстве N.Положим ν = 1/n. Тогда

Λ−1(ε)

(J − εD1−n(t) +

m−1∑

i=2−n

Ui(t) − ε2

m1−1∑

i=1−m

Ui, 0(t) − ε3

−s−1∑

i=1−m

Ui, 1(t)

)Λ(ε) =

= ε1/n

(Γ(t) −

m+n−2∑

i=1

εi/nHi+1−n(t)

), (10.4)

где для краткости использованы обозначения

Γ(t) = J −D1−n(t); Hi+1−n(t) = Ui+1−n(t), 1 6 i 6 s − 1;

Hi+1−n(t) = Ui+1−n(t) + Ui+1−2n, 0(t), s 6 i 6 s + n − 1;

Hi+1−n(t) = Ui+1−n(t) + Ui+1−2n, 0(t) + Ui+1−3n, 1(t), s + n 6 i 6 m + n − 2. (10.5)

Замечание 10.1. Матрицы Ω−n(t) и Λ(ε) не коммутируют.

11. Матрица подобия Φ(1)(t)

11.1. Корни степени n из 1. Свойства решений уравнения qn + γ(t) = 0, n > 2.Известно, что если n > 2, то n

√1 = exp(2πj

√−1/n), 1 6 j 6 n, причем одним из первооб-

разных корней из единицы является число e = exp(2π√−1/n) = cos(2π/n)+

√−1 sin(2π/n),

а все остальные корни равны ej и различны при разных j.

Лемма 11.1. Разности ej − ek при некотором k и всех j, 1 6 j 6 n, j 6= k попарноразличны и не обращаются в нуль.

Лемма 11.2. При всех n > 2 справедливо равенствоn∑

j=1

ej = 0.

Лемма 11.3. Если p – целое число, 1 6 |p| 6 n − 1, то при всех n > 2 справедливы

равенстваn∑

j=1

(ej)p =n−1∑j=1

(ej)p = 0.

Далее предположим, что γ(t) 6= 0 при всех t ∈ [0, T ], и рассмотрим алгебраическоеуравнение qn + γ(t) == 0, n > 2. Его корнями служат n различных функций

qj(t) = n√

−γ(t) ej, 1 6 j 6 n.

Следствиями леммы 11.3 являются такие утверждения:

Лемма 11.4. Справедливы равенстваn∑

j=1

(qk(t)/qr(t))j ≡ 0, 1 6 |k − r| 6 n − 1.

Лемма 11.5. Справедливы равенстваn∑

j=1

(qj(t))p ≡ 0, 1 6 |p| 6 n − 1.

Лемма 11.6. Отношение qj(t)/qj(t) не зависит от j и qj(t)/qj(t) = γ(t)/(nγ(t)), 1 6 j 6

n.


11.2. Матрица Γ(t). Предельной матрицей перестроенного пучка (см. (7.4)) являетсяΓ(t) = J −D1−n(t).

Замечание 11.1. Если m1 = 0, то det Γ(t) = (−1)mσm,1(t) 6= 0. В то же время det Γ(t) ≡ 0при1 6 m1 6 (m − 1)/2.

Найдем все собственные значения q1(t) матрицы Γ(t). Проверяется, что уравнениеdet (Γ(t) − q1(t)I) ≡ 0 эквивалентно тождеству

qm11 (qn

1 + γ1−n(t)) ≡ 0, m1 + n = m. (11.1)


q1, j(t) = n√−γ1−n(t) exp(2πj

√−1/n), 1 6 j 6 n; q1, j(t) ≡ 0, n+1 6 j 6 m. (11.2)

Замечание 11.2. При m1 = 0 и при m1 = 1 все собственные значения матрицы Γ(t)попарно различны. Отличие состоит в том, что при m1 = 0 они все ненулевые, а приm1 = 1 среди собственных значений имеется один простой нуль. При 2 6 m1 6 (m − 1)/2у матрицы Γ(t) имеются n попарно различных ненулевых собственных значений и однонулевое m1 – кратное собственное значение.

11.3. Матрица Вандермонда и ее обобщение. Введем в рассмотрение обратимуюматрицу Φ(1)(t), играющую роль преобразования подобия, с помощью которой удаетсяперейти от матрицы Γ(t) к подобной ей матрице Γ(1)(t), записанной в ортонормирован-ном базисе er, 1 6 r 6 m. Предположим, что qn

j (t) = −γ1−n(t) 6= 0 при всех 0 6 t 6

T, 1 6 j 6 n, и введем в рассмотрение n – мерные вектор-строки χi(t) = (qi1(t), ..., q

in(t))

и вектор-столбцы θi(t) = col (qi1(t), ..., q

in(t)), i ∈ Z, где Z – множество всех целых чисел.

Составим матрицу Вандермонда V(t) порядка n × n, n > 2, строками которой служатχi(t), 0 6 i 6 n − 1. Проверяется, что столбцами обратной матрицы V−1(t) являютсявекторы (1/n) θ−i(t), 0 6 i 6 n − 1.

В дальнейшем будут использоваться матрицы блочной структуры. В пространстве N

введем проекторы

P = diag (Im1 ; 0n), I − P = diag (0m1 ; In) (11.3)

и станем обозначать блоки любой матрицы A(t), 0 6 t 6 T следующим образом:

A11 = PAP, A12 = PA(I − P ), A21 = (I − P )AP, A22 = (I − P )A(I − P ). (11.4)

Далее рассмотрим матрицу Φ(1)(t) порядка m × m, m > n, столбцами которой служаторты e1, ..., em1 , а также векторы ω1(t), ..., ωn(t), где ωj(t) = col (1, qj(t), ...q

m−1j (t)), 1 6

j 6 n. Последние n векторов образуют блок размеров m × n, строками которого служатχi(t), 0 6 i 6 m − 1. При n = m, m1 = 0 получаем Φ(1)(t) = V(t), поэтому Φ(1)(t) –обобщение матрицы Вандермонда. Разложением по элементам первых m1 столбцов уста-

навливается, что det Φ(1)(t) = (n∏

j=1

qm1j (t)) det V(t) 6= 0. Поскольку

0 6 m1 6 (m − 1)/2, то

(Φ(1)(t))−1 =

Im1 0m1×s (1/γ1−n(t)) Im1

0n×m1 (Φ(1)(t))−122

,

где (Φ(1)(t))−122 = (1/n)(θ−m1(t), ..., θ1−m(t)) – матрица порядка n × n.


11.4. Матрица Γ(1)(t). Обозначим

Γ(1) = (Φ(1))−1Γ Φ(1), H(0) = (Φ(1))−1H0 Φ(1) + A(1),

H(i+1−n) = (Φ(1))−1Hi+1−n Φ(1), i 6= n − 1, 1 6 i 6 m + n − 2, (11.5)

где все матрицы зависят от t. Тогда согласно (10.4), (11.5) имеем

(Φ(1)(t))−1[Γ(t)−m+n−2∑

i=1

εi/nHi+1−n(t)] Φ(1)(t)−ε(n−1)/nΦ(1)(t) = Γ(1)(t)−m+n−2∑

i=1

εi/nH(i+1−n)(t).

(11.6)Устанавливается, что если 2 6 m1 6 (m − 1)/2, то Γ(1)(t) = diag (J1; Q(t)), где J1 –

матрица порядка m1 × m1 типа J, а Q(t) = diag (q1, 1(t), ..., q1, n(t)). При m1 = 1 имеемΓ(1)(t) = diag (0; Q(t)), Q(t) = diag (q1, 1(t), ..., q1, m−1(t)). Таким образом, при 1 6 m1 6

(m−1)/2 предельная матрица Γ(1)(t) оказывается блочно-диагональной в базисе er, 1 6

r 6 m. При m1 = 0 имеется всего один блок и Γ(1)(t) = Q(t) = diag (q1, 1(t), ..., q1, m(t)).

12. Формулы для элементов блочных матриц

В дальнейшем нам потребуются представления блочных матриц H(i+1−n)kl (t), −m1 6 i 6

m + n − 2,k, l = 1, 2. В связи с этим обозначим через Xi+1−n(t) матрицы, определяемые соотноше-ниями

Xi+1−n(t) =

m1+1+i∑

r=1

xn−1+r−i, r(t) V r−1, m1+1+i−ri+1−n , −m1 6 i 6 n − 1, (12.1)

Xi+1−n(t) =m−1+n−i∑

r=1

xr, i+1+r−n(t) V r−1, m+n−1−i−ri+1−n , n − 1 6 i 6 m + n − 2, (12.2)

а через X(i+1−n)(t) подобные им матрицы (Φ(1))−1(t) Xi+1−n(t) Φ(1)(t), −m1 6 i 6 m +n − 2, где в роли матрицы подобия будут выступать матрица Вандермонда V(t) или ееобобщение Φ(1)(t) из п. 11.3. Приведем соответствующие формулы для элементов матрицX

(i+1−n)kl (t), k, l = 1, 2, −m1 6 i 6 m + n − 2 (условимся впредь опускать аргумент t).

12.1. Случай m1 = 0. Обозначим через ηi+1−ml, j элемент матрицы X(i+1−m) = V−1Xi+1−mV ,

стоящий вl - й строке, j - м столбце, l, j = 1, ...,m, 0 6 i 6 2(m − 1).

Лемма 12.1. Справедливы равенства

ηi+1−ml, j =

i+1∑

r=1

xr+m−1−i, r(qj/ql)r−1/(m qm−1−i

l ), 0 6 i 6 m − 1,

ηi+1−ml, j = qi+1−m

j

2m−1−i∑

r=1

xr, r+i+1−m(qj/ql)r−1/m, m − 1 6 i 6 2(m − 1).

Следствие 12.1. При l = j имеем

ηi+1−mj, j = γX

i+1−m/(m qm−1−ij ), 0 6 i 6 m−1, ηi+1−m

j, j = qi+1−mj γX

i+1−m/m, m−1 6 i 6 2(m−1),

в частности,

η0j, j = γX

0 /m = (1/m) Tr X. (12.3)


12.2. Случай m1 = 1. Здесь n = m − 1, s = m − 2, P = P1.

Лемма 12.2. Справедливы соотношения

X(1−m)11 = (1/γ1−n) xm,1 V 0,0

0,1 , X(0)11 = x1,1 V 0,0

0,1 ,

X(i+2−m)11 ≡ 0, 0 6 i 6 2m − 3, i 6= m − 2.

Через V 0,00,1 обозначена матрица порядка 1× 1 с элементом равным 1, т. е. X

(0)11 – скаляр

равный x1,1.


X(i+2−m)12 = (1/γ1−n) xm, i+2 χi+1, −1 6 i 6 m − 3,

X(0)12 = (x1, 1 − xm, m) χ0,

X(i+2−m)12 = x1, i+3−m χi+2−m, m − 1 6 i 6 2m − 3.


X(i+2−m)21 = (1/(m − 1)) xm−1−i, 1 θi+2−m, −1 6 i 6 m − 3,

X(i+2−m)21 ≡ 0, m − 2 6 i 6 2m − 3.

Далее через ηi+2−ml, j обозначим элемент матрицы X

(i+2−m)22 из l - й строки, j - го столбца,

l, j = 1, ...,m − 1, −1 6 i 6 m − 3.


ηi+2−ml, j =

i+2∑

r=1

xr+m−2−i, r (qj/ql)r−1/(nqm−2−i

l ), −1 6 i 6 m − 3,

ηi+2−ml, j = qi+2−m

j

2(m−1)−i∑

r=2

xr, r+i+2−m (qj/ql)r−1/n, m − 2 6 i 6 2(m − 2),

ηm−1l, j ≡ 0.

Следствие 12.2. Если l = j, то

ηi+2−mj, j = γX

i+2−m/(nqn−1−ij ), −1 6 i 6 m − 3,

ηi+2−mj, j = (1/n) qi+2−m

j (γXi+2−m − xi+3−m, 1), m − 2 6 i 6 2(m − 2),


η0j, j = (1/(m − 1))qi+2−m

j (Tr X − x1, 1). (12.4)

12.3. Случай 2 6 m1 6 (m − 1)/2. Блок X(i+1−n)11 является однодиагональной (или, как

ниже в (12.12), двухдиагональной) матрицей, поэтому он представляется с помощью ба-зиса из m2

1 матриц V r, i−1−ri−m1, 1 , V r, i−1−r

m1−i, 1 , 0 6 r 6 i − 1, 1 6 i 6 m1 порядка m1 × m1. Приэтом приходится различать следующие возможные соотношения между числами s и m1 :

а) s > m1 > 2, или 2 6 m1 6 m/3;б) s = m1 − 1 > 1, или m1 = (m + 1)/3 (m = 3l + 2, l ∈ N);в) 1 6 s 6 m1 − 2, или (m + 2)/3 6 m1 6 (m − 1)/2, m1 > 3.


Лемма 12.6. Если s > m1 > 2, то верны соотношения

X(i+1−n)11 = (1/γ1−n)

m1+1+i∑

r=1

xn−1+r−i, r V r−1, m1+1+i−ri+1, 1 , −m1 6 i 6 −1, (12.5)

X(i+1−n)11 = (1/γ1−n)

m1−1−i∑

r=1

xr+n, r+i+1 V r−1, m1−1−i−ri+1, 1 , 0 6 i 6 m1 − 2, (12.6)

X(i+1−n)11 ≡ 0, m1 − 1 6 i 6 s − 1, (12.7)

X(i+1−n)11 =

i+1−s∑

r=1

xn−1+r−i, r V r−1, i+1−s−ri+1−n, 1 , s 6 i 6 n − 2, (12.8)

X(i+1−n)11 =

m−1−i∑

r=1

xr, r+i+1−n V r−1, m−1−i−ri+1−n, 1 , n − 1 6 i 6 m − 2, (12.9)

X(i+1−n)11 ≡ 0, m − 1 6 i 6 m + n − 2. (12.10)

Лемма 12.7. Если 1 6 s 6 m1 − 2, то наряду с (12.5), (12.9), (12.10) справедливы соот-ношения

X(i+1−n)11 = (1/γ1−n)

m1−1−i∑

r=1

xr+n, r+i+1 V r−1, m1−1−i−ri+1, 1 , 0 6 i 6 s − 1, (12.11)

X(i+1−n)11 = (1/γ1−n)

m1−1−i∑

r=1

xr+n, r+i+1 V r−1, m1−1−i−ri+1, 1 +

+i+1−s∑

r=1

xr+n−1−i, r V r−1, i+1−r−si+1−n, 1 , 1 6 s 6 i 6 m1 − 2, (12.12)

X(i+1−n)11 =

i+1−s∑

r=1

xr+n−1−i, r V r−1, i+1−r−si+1−n, 1 , m1 6 i 6 n − 2. (12.13)

Лемма 12.8. Если s = m1 − 1, то матрицы X(i+1−n)11 определяются равенствами (12.5),

(12.6), (12.8) – (12.10).

Отметим, что структура остальных блоков не зависит от соотношений между s и m1,

и обозначим, как в лемме 12.5, через ηi+1−nl, j элемент матрицы X

(i+1−n)22 , стоящий в l - й

строке, j - м столбце, l, j = 1, ..., n.


ηi+1−nl, j =

m1+1+i∑

r=1

xr+n−1−i, r (qj/ql)r−1/(n qn−1−i

l ), −m1 6 i 6 s − 1,

ηi+1−nl, j =

m1+1+i∑

r=i+2−s

xr+n−1−i, r (qj/ql)r−1/(n qn−1−i

l ), s 6 i 6 n − 1,

ηi+1−nl, j = qi+1−n

j

m+n−1−i∑

r=m1+1

xr, r+i+1−n (qj/ql)r−1/n, n − 1 6 i 6 2(n − 1),

ηi+1−nl, j ≡ 0, 2n − 1 6 i 6 m + n − 2.


Следствие 12.3. При l = j имеем

ηi+1−nj, j = γX

i+1−n/(n qn−1−ij ), −m1 6 i 6 s − 1,

ηi+1−nj, j = (γX

i+1−n −i+1−s∑

r=1

xr+n−1−i, r)/(nqn−1−ij ), s 6 i 6 n − 1,

ηi+1−nj, j = (qi+1−n

j /n)(γXi+1−n −

m1∑

r=1

xr, r+i+1−n), n − 1 6 i 6 2(n − 1),


η−nj, j = γX

−n/(n qnj ) = −γX

−n/(nγ1−n); η0j, j = (1/n) (Tr X −

m1∑

r=1

xr, r).

Блок X(i+1−n)12 размеров m1 × n описывается с помощью вектор-строк χi, блок X

(i+1−n)21

размеров n × m1 – с помощью вектор-столбцов θi.

Лемма 12.10. При −m1 6 i 6 −2 первые −i−1 строк блока X(i+1−n)12 нулевые, остальные

m1 + 1 + i строк равны соответственно (1/γ1−n) xn−i, 1 χ0, ..., (1/γ1−n) xm, i+m1+1 χi+m1 .

При −1 6 i 6 s − 1 все m1 строк блока X(i+1−n)12 равны соответственно

(1/γ1−n) xn+1, i+2 χi+1, ..., (1/γ1−n) xm, i+m1+1 χi+m1 . При s 6 i 6 n − 1 первые n − 1 − i

строк блока X(i+1−n)12 равны (1/γ1−n) xn+1, i+2 χi+1, ...,

(1/γ1−n)x2n−1−i, nχn−1, остальные i + 1 − s строк равны соответственно (xn−i, 1 −x2n−i, n+1)χ0, ...,

(xm1, i+1−s − xm, i+m1+1)χi−s. При n− 1 6 i 6 m− 2 первые m− 1− i строк блока X(i+1−n)12

равны (x1, i+2−n − xn+1, i+2)χi+1−n, ..., (xm−1−i, m1 − xm+n−1−i, m)χm1−1, остальные i + 1 − nстрок равны соответственно xm−i, m1+1χm1 , ..., xm1, i+1−sχi−s. При m− 1 6 i 6 2n− 1 все

m1 строк блока X(i+1−n)12 равны соответственно x1, i+2−nχi+1−n, ..., xm1, i+1−sχi−s. Наконец,

при 2n 6 i 6 m + n− 2 первые m + n− i− 1 строк блока X(i+1−n)12 равны соответственно

x1, i+2−nχi+1−n, ..., xm+n−1−i, mχm−1, а остальные i + 1 − 2n строк состоят из нулей.

Лемма 12.11. При −m1 6 i 6 −2 первые m1 + 1 + i столбцов блока X(i+1−n)21 равны

соответственно (1/n) xn−i, 1 θi+1−n, ..., (1/n) xm, m1+1+i θ1−m, остальные −i − 1 столб-

цов нулевые. При −1 6 i 6 s − 1 все m1 столбцов блока X(i+1−n)21 равны соответствен-

но (1/n) xn−i, 1 θi+1−n, ..., (1/n) xm−1−i, m1 θi+2−m. При s 6 i 6 n − 2 первые i + 1 − s

столбцов блока X(i+1−n)21 нулевые, а остальные n− 1− i столбцов равны соответственно

(1/n) xm1+1, i+2−sθ−m1 , ..., (1/n) xm−1−i, m1θi+2−m. Наконец, при n − 1 6 i 6 m + n − 2 блок

X(i+1−n)21 является нулевой матрицей.

13. Блочная структура матрицы A(1)(t)

Обозначим через A(1)(t) матрицу (Φ(1)(t))−1 Φ(1)(t) и изучим ее блочную структуру, взявв качестве Φ(1) поочередно матрицу Вандермонда V и ее обобщение (см. п. 11.3).

13.1. Случай m1 = 0. Матрица (V(t))−1 V(t) состоит из одного блока размеров m × m.Проверяется, что ее элемент из l - й строки, j - го столбца равен

(γ1−n(t)/(m2 γ1−n(t)))m∑

r=1

(r − 1)(qj(t)/ql(t))r−1, l, j = 1, ...,m. (13.1)

В частности, при l = j имеемm − 1

2m(γ1−n(t)/γ1−n(t)). (13.2)


13.2. Случай 1 6 m1 6 (m − 1)/2. Выделим блоки A(1)(t) в соответствиис (11.4). Поскольку первые m1 столбцов матрицы Φ(1)(t) состоят из нулей, тоA

(1)11 (t) ≡ A

(1)21 (t) ≡ 0. Строки блока A

(1)12 (t) размеров m1 × n имеет вид

(−γ1−n(t)/γ1−n(t)) χ0(t), ..., (−γ1−n(t)/γ1−n(t)) χm1−1(t) (векторы χi(t) определены в п. 8.3).Элемент, стоящий в l - й строке, j - м столбце блока A

(1)22 (t), равен

(γ1−n(t)/(n2 γ1−n(t)))m∑

r=m1+1

(r − 1)(qj(t)/ql(t))r−1, l, j = 1, ..., n. (13.3)

При l = j найдем диагональные элементы

m + m1 − 1

2n(γ1−n(t)/γ1−n(t)) (13.4)

и отметим, что они не зависят от j, 1 6 j 6 n.

14. Матрица подобия I + ξY(t, ξ)

В этом параграфе будем предполагать, что 1 6 m1 6 (m − 1)/2. Обозначим для крат-кости

ξ = ε1/n, ε = ξn, (m + 1)/2 6 n 6 m (14.1)

и условимся сохранять за матричнозначными функциями прежние обозначения при за-мене аргумента ε на ξ и обратно.

14.1. Расщепление уравнения (14.7). Правая часть равенства (11.5) в новых обозна-чениях принимает вид

Γ(1)(t) −m+n−2∑

i=1

ξiH(i+1−n)(t). (14.2)

Матрицы H(i+1−n)(t), 1 6 i 6 m + n − 2 в (14.2) не являются диагональными, поэтомупредставим их согласно обозначениям (11.4) в виде блочных матриц и введем в рассмот-рение преобразование подобия I + ξY (t, ξ), которое приведет младшие члены пучка кблочно-диагональному виду. Согласно (11.3) введем блочно-диагональную матрицу

B(t, ξ) = diag (F (t, ξ), G(t, ξ)) =m+n−2∑

i=1

ξi−1 B(i)(t), (14.3)

гдеB(i)(t) = diag (F (i)(t), G(i)(t)), 1 6 i 6 m + n − 2. (14.4)

Потребуем, чтобы при всех 0 6 t 6 T выполнялось равенство

(I + ξY )−1

(Γ(1)(t) −

m+n−2∑

i=1

ξiH(i+1−n)(t)(I + ξY ) − ξnY

)= Γ(1)(t) − ξB(t, ξ), (14.5)

в котором

Γ(1) − ξB = diag (J1 − ξF, Q − ξG), ξ = ε1/n, 2 6 m1 6 (m − 1)/2,

Γ(1) − ξB = diag (−ξf, Q − ξG), ξ = ε1/(m−1), m1 = 1, (14.6)

причем ξf(t, ξ) =m+n−2∑

i=1

ξi f (i)(t) – скалярная функция. Равенство (14.5) представляет

собой дифференциальное уравнение

ξn−1 Y = [Γ(1)(t), Y ] − ξ TH(t, ξ), B(t, ξ)Y − H(t, ξ) + B(t, ξ) (14.7)


относительно матричнозначной функции

Y (t, ξ) =m+n−2∑

i=1

ξi−1Y (i)(t). (14.8)

Найденный в § 12 вид блоков матриц H(i+1−n)(t) обусловливает структуру сплетающихматриц Y (i)(t), 1 6 i 6 m + n − 2. Положим Y11(t, ξ) ≡ Y22(t, ξ) ≡ 0 и перепишем (14.7) вблочном виде. Воспользуемся легко проверяемыми соотношениями

[Γ(1)(t), Y ]11 ≡ 0, [Γ(1)(t), Y ]22 ≡ 0, [Γ(1)(t), Y ]12 = TJ1, Q Y12, [Γ(1)(t), Y ]21 = TQ, J1 Y21;

(TH, BY )11 = H12 Y21, (TH, BY )21 = TH22, F Y21, (TH, BY )22 = H21 Y12, (TH, BY )12 = TH11, GY12.(14.9)

Тогда дифференциальное уравнение (14.7) распадается на два алгебраических и двадифференциальных уравнения вида

ξn−1Y21 = TQ, J1 Y21 − ξTH22, F Y21 − H21, F = H11 + ξH12 Y21; (14.10)

ξn−1Y12 = TJ1, Q Y12 − ξTH11, G Y12 − H12, G = H22 + ξH21 Y12. (14.11)

Теорема 14.1. Пусть 1 6 m1 6 (m − 1)/2 в (9.2). Тогда уравнение (14.7) имеет един-ственное ограниченное на отрезке [0, T ] решение Y (t, ξ) при любой матрице H(t, ξ) ипри некоторой матрице B(t, ξ).

14.2. Асимптотика решения уравнения (14.7). Соотношения (14.10), (14.11) позво-ляют найти одновременно внедиагональные блоки Y12, Y21, а также матрицы F, G, явля-ющиеся диагональными блоками в (14.7). Получим явный вид решений уравнений (14.10),(14.11), взяв Y (t, ξ) из (14.8).

Вернемся к вопросу о структуре матриц Y (i)(t), 1 6 i 6 m + n − 2. В ка-честве строк матрицы Y

(i)12 (t) порядка m1 × n выберем n - мерные вектор-строки

bi, 1(t) χi+1(t), bi, 2(t) χi+2(t), ..., bi, m1(t) χi+m1(t), а в качестве столбцов матрицы Y(i)21 (t)

порядка n × m1 примем n - мерные вектор-столбцы ai, 1(t) θi+1(t),ai, 2(t) θi(t), ..., ai, m1(t) θi+2−m1(t), введенные в п. 11.3 в предположении, что qn

1, j ≡−γ1−n(t) 6= 0 при всех 0 6 t 6 T, 1 6 j 6 n. Здесь ai, r(t), bi, r(t), 1 6 i 6 m + n − 2, 1 6

r 6 m1 – некоторые скалярные функции, поиск которых проводился в [?].

14.2.1. Случай 2 6 m1 6 (m − 1)/2. Для нахождения неизвестных матрицY

(i)12 (t), Y

(i)21 (t), F (i)(t), G(i)(t) представим компоненты F, G матрицы B виде (14.3)–(14.4)

и приравняем коэффициенты при ξi,1 6 i 6 m + n − 2 в (14.10), (14.11). В результате придем к рекуррентным соотношениям

F (i) = H(i+1−n)11 +

i−1∑

l=1

H(i+1−n−l)12 Y

(l)21 , 1 6 i 6 m + n − 2, (14.12)

TQ, J1 Y(i)21 = H

(i+1−n)21 +

i−1∑

l=1

TH

(i+1−n−l)22 , F (i−l) Y

(l)21 , 1 6 i 6 n − 1,

TQ, J1 Y(i)21 = Y

(i+1−n)21 + H

(i+1−n)21 +

i−1∑

l=1

TH

(i+1−n−l)22 , F (i−l) Y

(l)21 , n 6 i 6 m + n − 2; (14.13)

G(i) = H(i+1−n)22 +

i−1∑

l=1

H(i+1−n−l)21 Y

(l)12 , 1 6 i 6 m + n − 2, (14.14)

TJ1, Q Y(i)12 = H

(i+1−n)12 +

i−1∑

l=1

TH

(i+1−n−l)11 , G(i−l) Y

(l)12 , 1 6 i 6 n − 1,


TJ1, Q Y(i)12 = Y

(i+1−n)12 + H

(i+1−n)12 +

i−1∑

l=1

TH

(i+1−n−l)11 , G(i−l) Y

(l)12 , n 6 i 6 m + n − 2. (14.15)

С помощью лемм 4.1, 4.2 (см. формулы (4.1), (4.2)) можно отыскать любое напе-ред заданное число коэффициентов разложений по степеням ξ матричных функцийY21(t, ξ), Y12(t, ξ), F (t, ξ), G(t, ξ).

14.2.2. Случай m1 = 1. Если m1 = 1, или n = m − 1, то

Y(i)12 = bi, 1 (qi+1

1, 1, . . . , qi+11, m−1), Y

(i)21 = ai, 1 col (qi+1

1, 1, . . . , qi+11, m−1). (14.16)

Вместо соотношений (14.13), (14.15), (14.12) получим соответственно

Y(i)21 = Q−1

(H

(i+2−m)21 +

i−1∑

l=1

TH

(i+2−m−l)22 , F (i−l) Y

(l)21

), 1 6 i 6 m − 2,

Y(i)21 = Q−1

(Y

(i+2−m)21 + H

(i+2−m)21 +

i−1∑

l=1

TH

(i+2−m−l)22 , F (i−l) Y

(l)21

), m−1 6 i 6 2m−3; (14.17)

Y(i)12 = −

(H

(i+2−m)12 +

i−1∑

l=1

TH

(i+2−m−l)11 , G(i−l) Y

(l)12

)Q−1, 1 6 i 6 m − 2,

Y(i)12 = −

(Y

(i+1−n)12 + H

(i+1−n)12 +

i−1∑

l=1

TH

(i+1−n−l)11 , G(i−l) Y

(l)12

)Q−1, m − 1 6 i 6 2m − 3;

(14.18)

f (i)(t) = H(i+2−m)11 (t) +

i−1∑

l=1

H(i+2−m−l)12 (t) Y

(l)21 (t), 1 6 i 6 2m − 3. (14.19)

Согласно леммам 12.2, 12.3, а также (14.16) имеем

H(i)11 (t) 6= 0 ⇐⇒ i > 3 − m, i = k(m − 1), k = 0, 1, 2, ... ,

H(r)12 (t)Y

(i)21 (t) 6= 0 ⇐⇒ r + i + 1 = k(m − 1), k = 0, 1, 2, ... .

Это означает, что при m1 = 1 имеем скалярное уравнение

ψ = −2m−3∑

i=0

εi f (i+1)(t) ψ. (14.20)

B [?] показано, что H(0)11 = (1/γ2−m)(σm−1, 1+σ1, 1 σm, 2+σm−1, 1 σm, m), откуда находится

главный член −f (1)(t) асимптотики решения, где

f (1) = H(0)11 +

m−3∑

l=1

H(−l)12 Y

(l)21 = (1/γ2−m)σm−1, 1 +

m−1∑

k=1

σk, 1σm, k+1. (14.21)

15. Об операторе Коши уравнения с малым параметромпри производной. Случай кратного спектра

15.1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу Коши

ε W = (D0(t) − εD1(t)) W, W (0, ε) = I, 0 6 t 6 T (15.1)

с предельной матрицей D0(t), которая при всех 0 6 t 6 T подобна матрице λ(t)I + J, гдеJ – жорданова клетка m × m, отвечающая нулевому собственному значению.


Определение 15.1. Матрица D0(t) называется устойчивой на отрезке [0, T ], если привсех 0 6 t 6 T выполняется неравенство

Re λ(t) 6 −α < 0.

Предположение 15.1. Матрица D0(t) является устойчивой на отрезке [0, T ].

Пусть выполнены соотношения (9.2). Будем искать решение задачи (15.1) в форме

W (t, ε) = e1ε

t∫0

λ(s)dsM(t, ε)Ψ(t, ε)M−1(0, ε), Ψ(0, ε) = I, (15.2)

где матрица M(t, ε) подлежит определению в дальнейшем. Матрица Ψ(t, ε) в итоге будетблочно-диагональной, причем ее блоки являются операторами Коши соответственно двухуравнений– с предельной матрицей J1 порядка m1 × m1, если 2 6 m1 6 (m − 1)/2;– с диагональной предельной матрицей, имеющей простой спектр.

При m1 = 1 первое уравнение превращается в скалярное и регулярно зависит от малогопараметра. При m1 = 0 первый блок, а вместе с ним и 1-е уравнение отсутствуют.

Подставив (15.2) в (15.1), придем к равенству

εΨ = M−1(t, ε)[(D0(t) − λ(t)I − εD1(t))M(t, ε) − εM(t, ε)]Ψ. (15.3)

15.2. Первый шаг алгоритма. Используем формулы (2.4), (2.5) и положим

M(t, ε) = Φ(t) MI(t, ε) (15.4)

в (15.3). Тогда согласно равенству Φ−1(t) εM(t, ε) = εH(t) MI(t, ε) + εMI(t, ε) получаем

εΨ = M−1I (t, ε)[(J − εA(t))MI(t, ε) − εMI(t, ε)]Ψ. (15.5)

С точностью до малого слагаемого нами получено уравнение с пучком подобным исход-ному в базисе er, 1 6 r 6 m, причем главной матрицей пучка является J.

Замечание 15.1. Если с самого начала D0(t) ≡ J, то в (15.2) следует взять M(t, ε) =MI(t, ε) и λ(t) ≡ 0.

15.3. Второй шаг алгоритма. Положим в (15.5)

MI(t, ε) = (I + ε Ω−n(t)) MII(t, ε)

и согласно равенствам (8.1), (8.5), (8.6) от (15.5) перейдем к эквивалентному уравнению

εΨ = M−1II (t, ε)

([J − ε(D1−n(t) +

m−1∑

i=2−n

Ui(t)) − ε2

m1−1∑

i=1−m

Ui, 0(t)−

−ε3

−s−1∑

i=1−m

Ui, 1(t)] MII(t, ε) − εMII(t, ε)

)Ψ. (15.6)

Тем самым в структурной матрице выделена главная часть D1−n(t).

15.4. Третий шаг алгоритма. Матрица D1−n(t) участвует в перестройке пучка пу-тем создания новой предельной матрицы Γ(t). Одновременно происходит смена базисаer, 1 6 r 6 m на базис, составленный из собственных и присоединенных векторовматрицы Γ(t). Положим в (15.6)

MII(t, ε) = Λ(ε) MIII(t, ε),

воспользуемся равенствами (10.2), (10.4), (10.5). Тогда уравнение (15.6) записывается вформе

ε(n−1)/nΨ = M−1III

(Γ(t) −

m+n−2∑

i=1

εi/nHi+1−n(t) MIII − ε(n−1)/nMIII

)Ψ. (15.7)


Замечание 15.2. Поскольку матрицы Ω−n(t) и Λ(ε) не коммутируют, то 2-й и 3-й шагиалгоритма непереставимы.

Равенство (15.7) в обозначениях (14.1) принимает вид

ξn−1 Ψ = M−1III

(Γ(t) −

m+n−2∑

i=1

ξi Hi+1−n(t) MIII − ξn−1 MIII

)Ψ. (15.7)′

15.5. Четвертый шаг алгоритма. Вернемся в базис er, 1 6 r 6 m, положив в (15.7)′

MIII(t, ε) = Φ(1)(t) MIY (t, ε).

По аналогии с обозначением (2.1) примем H(1)(t) = (Φ(1)(t))−1 Φ(1)(t) и заметим, что

(Φ(1)(t))−1 ξn−1 MIII(t, ε) = ξn−1 H(1)(t) MIY (t, ε) + ξn−1 MIY (t, ε).

Кроме того, используем формулы (11.5). После преобразований уравнение (15.7)′ запи-сывается в форме

ξn−1 Ψ = M−1IY

(Γ(1)(t) −

m+n−2∑

i=1

ξi H(i+1−n)(t)MIY − ξn−1 MIY

)Ψ, (15.8)

где, как указано в п. 11.4, Γ(1)(t) = diag (J1; Q(t)) при 2 6 m1 6 (m − 1)/2, Γ(1)(t) =diag (0; Q(t)) при m1 = 1. Если m1 = 0, n = m, то в качестве MIV (t, ε) следует взятьтождественное преобразование I, и тогда

ε(m−1)/mΨ =

Q(t) −

2(m−1)∑

i=1

εi/m H(i+1−m)(t)

Ψ. (15.8)0

Уравнение (15.8)0 соответствует случаю простого спектра при D0(t) = Q(t). Как и в § 7,здесь следует диагонализовать младшие члены пучка, применив преобразование подобияI + ξZ∗(t, ξ). Позже в п. 16.2 мы вернемся к случаю m1 = 0 и изучим его подробнее.

15.6. Пятый шаг алгоритма. Пусть 1 6 m1 6 (m − 1)/2. Представим полные матрицыв форме блочно-диагональных, диагонализуем младшие члены пучка с помощью сплета-ющих матриц Y (t, ε), что позволит в конечном итоге расщепить уравнение. С этой цельюпримем MV (t, ε) ≡ I и положим в (15.8)

MIV (t, ε) = I + ε1/n Y (t, ε) = I + ξ Y (t, ξ).

Согласно равенству ξn−1 MIY = ξn Y вместо (15.8) получим эквивалентное уравнение

ξn−1 Ψ = (I + ξ Y )−1[Γ(1)(t) −m+n−2∑

i=1

ξi H(i+1−n)(t)](I + ξ Y ) − ξn Y Ψ. (15.9)

Введем матрицу B = diag (F, G), где F (t, ξ), G(t, ξ) определены в (14.3) – (14.4), ипотребуем, чтобы выражение в фигурных скобках в (15.9) при всех 0 6 t 6 T совпадалос матрицей Γ(1) − ξB из (14.6). Далее положим Ψ = diag (Ψ1, Ψ2). Тогда уравнение (15.9)при 2 6 m1 6 (m − 1)/2 примет форму расщепленной системы

ξn−1Ψ1 = (J1 −m+n−2∑

i=1

ξiF (i)(t))Ψ1, ξn−1Ψ2 = (Q(t) −m+n−2∑

i=1

ξiG(i)(t))Ψ2, (15.10)

причем Ψ1(0, ξ) = Im1 , Ψ2(0, ξ) = In.

Замечание 15.3. В результате всех пяти шагов алгоритма

M(t, ε) = Φ(t) (I + ε Ω−n(t)) Λ(ε) Φ(1)(t) (I + ε1/n Y (t, ε)). (15.11)


Если m1 = 1, то первое уравнение в (15.10) с учетом (14.16) является скалярным ипринимает форму

ψ = −2m−3∑

i=0

εi f (i+1)(t) ψ. (15.12)

Обозначим H(t, ξ) =m+n−2∑

i=1

ξi−1 H(i+1−n)(t) и заметим, что переход от (15.9) к (15.10)

возможен, если разрешимо дифференциальное уравнение (14.7) относительно сплетающейматрицы Y (t, ξ) из (14.8). Записывая (14.7) в виде блоков и используя результаты § 14,приходим к формулам (14.12) – (14.15).

Обратившись к системе (15.10), отметим, что первое уравнение напоминает с учетомзамечания 15.1 исходное уравнение (15.1). Отличие состоит в том, что, во-первых, онорассматривается не в N, а в подпространстве End PE матриц размерности m1 × m1,зависящих от переменной t, 0 6 t 6 T, во-вторых, изменился ранг малого параметра(показатель степени параметра при производной), и, в-третьих, правая часть разложенане по целым степеням ε, а по степеням ξ = ε1/n. Что касается второго уравнения, то оносоответствует случаю простого спектра при D0(t) = Q(t) (см. также (15.8)0, где n = m).

16. Уравнение в подпространстве End (I − P )E. Случай I

16.1. Представление для WI−P (t, ε). Действуя по схеме п. 6.2, перейдем от уравнения

ξn−1 Ψ2 = (Q(t) − ξG(t, ξ)) Ψ2 = (Q(t) −m+n−2∑

i=1

ξi G(i)(t)) Ψ2 (16.1)

в подпространстве End (I − P )E к уравнению ξn−1 W = (Q(t) − ξG(t, ξ)) W с диаго-нальным пучком в том же подпространстве. Такой переход возможен в силу теоремы 6.2о существовании единственного ограниченного решения дифференциального уравнения(6.8) относительно матрицы Z(t, ξ) = Z∗(t, ξ) с нулевой диагональю при некоторой диа-гональной матрице G(t, ξ), при всех 0 6 t 6 T и всех достаточно малых ξ. В результатеимеем

WI−P (t, ε) = M(t, ε)diag (0m1 ; eµ1(t, ε), ..., eµn(t, ε))M−1(0, ε), (16.2)

где

M(t, ε) = Φ(t) (I + ε Ω−n(t)) Λ(ε) Φ(1)(t) (I + ε1/n Y (t, ε)) (I + ε1/nZ∗(t, ε)), (16.3)

M−1(0, ε) = O(ε(1−m)/n) и

µj(t, ε) = ε−1

t∫

0

λ(τ) − ε1/nq1, j(τ) − ε2/n γ2−n(τ)

n qn−21, j (τ)

− ε3/n...dτ, 1 6 j 6 n. (16.4)

16.2. Случай I. Так как m1 = 0, или n = m, то, используя равенства (2.5), (10.4), (11.5),после применения преобразования подобия Φ(t)Λ(ε)V(t) получаем уравнение (15.8)0, т. е.уравнение (16.1) в End E при ξ = ε1/m, G(i) = H(i+1−m), 1 6 i 6 2(m − 1). Как и в § 7,здесь следует диагонализовать младшие члены пучка, применив преобразование подобияI + ξZ∗(t, ξ). Напомним, что согласно (10.5) имеем Γ(t) = J − D1−m(t); Hi+1−m(t) =Ui+1−m(t), 1 6 i 6 m − 1; Hi+1−m(t) = Ui+1−m(t) + Ui+1−2m, 0(t), m 6 i 6 2(m −1). Из (11.4) находим G(m−1)(t) = H(0)(t) = V−1(t)(U0(t)V(t) + V(t)), H(i+1−m) =V−1(t)Hi+1−m(t)V(t), i 6= m − 1, 1 6 i 6 2(m − 1). Матрицы Z(i)(t) имеют нулевую диаго-наль, а Qi(t) являются диагональными. Для нахождения явного вида неизвестных матриц


Z(i)(t), Qi(t), i ∈ N, рассмотрим дифференциальное уравнение

(Q−2(m−1)∑

i=1

ξiH(i+1−m))(I +∞∑

i=1

ξiZ(i)) = (I +∞∑

i=1

ξiZ(i))(Q−2(m−1)∑

i=1

ξiQi)+ ξm

∞∑

i=1

ξiZ(i) (16.5)

относительно матриц Z(i)(t). Приравнивая коэффициенты при ξi, i ∈ N, придем к итера-ционной процедуре

K0Z(1) = H(2−m) − Q1, K0Z

(2) = TH(2−m), Q1Z(1) + H(3−m) − Q2,

K0 Z(3) = TH(2−m), Q1Z(2) + TH(3−m), Q2

Z(1) + H(4−m) − Q3, ... ,

K0 Z(m−1) = Z(1)+TH(2−m), Q1Z(m−2)+TH(3−m), Q2

Z(m−3)+. . .+TH(−1), Qm−2Z(1)+H(0)−Qm−1, ... .

(16.6)Здесь одновременно находятся матрицы Qi(t) из условий разрешимости уравнений

(16.3), а также матрицы Z(i)(t), служащие решениями этих уравнений. Так как H(2−m) =

(h(2−m)kl ), где h

(2−m)kl =

1

mq2−m1, k (σm−1, 1 +

q1, l

q1, k

σm, 2), k, l = 1, 2, ...,m, то с учетом леммы 4.5

найдем Q1 из условий разрешимости первого уравнения в (16.3):

Q1 =γ2−m

m(Q−1)m−2. (16.7)

В то же время по формуле (4.4) отыщем элементы z(1)kl матрицы Z(1) :

z(1)kl =

1

m qm−21, k (q1, k − q1, l)

(σm−1, 1 +q1, l

q1, k

σm, 2), k 6= l, k, l = 1, 2, ...,m. (16.8)

Точно так же Q2 находится из условий разрешимости второго уравнения в (16.3), и егорешение Z(2) записывается согласно формуле (4.4). Продолжая аналогичные рассуждения,можем найти любое наперед заданное число диагональных матриц Qi.

Таким образом, при m1 = 0 имеем

M(t, ε) = Φ(t)Λ(ε)V(t)(I + ε1/mZ∗(t, ε)), (16.9)

W (t, ε) = M(t, ε) diag (eµ1(t, ε), ..., eµm(t, ε)) M−1(0, ε), (16.10)

где M−1(0, ε) = O(ε(1−m)/m) и при всех 1 6 j 6 m

µj(t, ε) = ε−1

t∫

0

λ(τ) − ε1/mq1, j(τ) − ε2/m γ2−m(τ)

m qm−21, j (τ)

− ε3/m...dτ. (16.11)

Теорема 16.1. Если выполнено предположение 15.1 и σm, 1(t) 6= 0, m > 2 при всех0 6 t 6 T, то оператор Коши уравнения (15.1) имеет вид (16.10), причем матрицаM(t, ε) находится из (16.9) и скалярные функции µj(t, ε) определяются равенствами(16.11).

В частности, когда D(t, ε) ≡ D(ε), имеем

exp(ε−1D(ε) t) = e(λ/ε)t M(ε) diag(etµ1(ε), ..., etµm(ε)

)M−1(ε), (16.12)

где

µj(ε) = −ε(1−m)/m

(q1, j + ε1/m γ2−m

m qm−21, j

+ ε2/m...

), 1 6 j 6 m. (16.13)


17. Скалярное уравнение в End PE. Случай II

Пусть m1 = 1 в (9.2). В п. 14.2.2 указано, что после расщепления получаем одномерное(скалярное) уравнение (14.20), а также уравнение

ξm−2 Ψ2 = (Q(t) −2m−3∑

i=1

ξi G(i)(t)) Ψ2 (17.1)

в подпространстве End (I − P )E размерности n = m − 1, в котором ξ = ε1/(m−1), G(i) =H(i+2−m), 1 6 i 6 2m−3. После применения преобразования подобия I+ξZ(t, ξ) уравнение(17.1) примет вид

ξm−2 W = (Q(t) −2m−3∑

i=1

ξi Qi(t)) W. (17.2)

Таким образом, при m1 = 1 в итоге всех шести преобразований подобия находим M(t, ε)из (16.3), полагая n = m − 1. Тогда

W (t, ε) = M(t, ε) diag(eµm(t, ε); eµ1(t, ε), ..., eµm−1(t, ε))M−1(0, ε), (17.3)

где M−1(0, ε) = O(ε−1),

µj(t, ε) = ε−1

t∫

0

λ(τ)−ε1/(m−1)q1, j(τ)−ε2/(m−1) γ3−m(τ)

(m − 1) qm−31, j (τ)

−ε3/(m−1)...dτ, 1 6 j 6 m−1,

µm(t, ε) = ε−1

t∫

0

(λ(τ) − εf (1)(τ) − ε2f (2)(τ) − ε3...)dτ. (17.4)

Теорема 17.1. Если выполнено предположение 15.1 и σm, 1(t) ≡ 0, γ2−m(t) 6= 0, m > 3при всех0 6 t 6 T, то оператор Коши уравнения (15.1) имеет вид (17.3), причем матрица M(t, ε)находится из (16.3) при n = m − 1 и скалярные функции µj(t, ε) определяются равен-ствами (17.4).

В частности, когда D(t, ε) ≡ D(ε), получаем

exp(ε−1D(ε) t) = e(λ/ε)t M diag(etµm(ε); etµ1(ε), ..., etµm−1(ε)

)M−1, (17.5)

где µm(ε) = −f (1) − εf (2) − ε2... ,

µj(ε) = −ε(2−m)/(m−1)

(q1, j + ε1/(m−1) γ3−m

(m − 1) qm−31, j

+ ε2/(m−1)...

), 1 6 j 6 m − 1

(сравни с (16.13)).

Замечание 17.1. Если σ1,m−1 = 0, то Ω1−m = 0, и преобразование I+εΩ1−m превращаетсяв тождественное.

18. Частные случаи

18.1. Случай I при m = 2. Так как γ−1(t) ≡ σ2, 1(t) 6= 0 при всех 0 6 t 6 T, то ν =1/2, q1, 1/q1, 2 ≡ −1, q1, k/q1, k ≡ σ2, 1/(2 σ2, 1), k = 1, 2,

Γ =

(0 1

−σ2, 1 0

), H(1) =

σ12

2

(q1, 1 q1, 2

q1, 1 q1, 2

),

H(0) =1

2

(γ0 σ1, 1 − σ2, 2

σ1, 1 − σ2, 2 γ0

)+

1

2

σ2, 1

σ2, 1

(1 −1−1 1

),


где γ0 = Tr A = σ1, 1 + σ2, 2. Кроме того,

Q1 =1

2(γ0 +

σ2, 1

σ2, 1

)I, Z(1)∗ =

(0 z

(1)12

z(1)21 0

),

z(1)k l =

σ1, 1 − σ2, 2 − (σ2, 1/σ2, 1)

2 (q1, k − q1, l), k 6= l, k, l = 1, 2.


W (t, ε) = M(t, ε) diag(eµ1(t, ε), eµ2(t, ε)

)M−1(0, ε), (18.1)

где M−1(0, ε) = O(ε−1/2) и при j = 1, 2

µj(t, ε) = ε−1

t∫

0

(λ(τ) − ε1/2q1, j(τ) − ε

2(γ0(τ) − σ2, 1(τ)

σ2, 1(τ)) − ε3/2...

)dτ.

18.2. Случай I при m = 3. До конца § 18 будем считать матрицы D0, D1 в (15.1)постоянными. Поскольку γ−2 = σ3, 1 6= 0, то ν = 1/3,

Γ =

0 1 00 0 1

−σ3, 1 0 0

.

Здесь H(−1) = (h(−1)kl ), где h

(−1)kl = (1/(3q1, k))(σ2, 1 +

q1, l

q1, k

σ3, 2), k, l = 1, 2, 3, в частно-

сти, h(−1)kk = (1/(3q1, k))γ−1. Кроме того, H(0) = (h

(0)kl ), где h

(0)kl = (1/3)σ1, 1 +

q1, l

q1, k

σ2, 2 +

(q1, l

q1, k

)2σ3, 3, k, l = 1, 2, 3, в частности, h(0)kk = γ0/3. Далее, H(1) = (h

(1)kl ), где h

(1)kl =

(1/3)q1, l(σ1, 2 +q1, l

q1, k

σ2, 3), k, l = 1, 2, 3, в частности, h(1)kk = q1, k (γ1/3), и, наконец,

H(2) = (h(1)kl ), где h

(1)kl = (σ1, 3/3) q2

1, l, k, l = 1, 2, 3, в частности, h(2)kk = (σ1, 3/3) q2

1, k.

Согласно (9.12), (9.13) находим, что Q1 = (γ−1/3) Q−1, и элементы z(1)k l матрицы Z

(1)∗

имеют вид

z(1)kl =

1

3 q1, k (q1, k − q1, l)(σ2, 1 +

q1, l

q1, k

σ3, 2), k 6= l, k, l = 1, 2, 3.


exp(ε−1D(ε) t) = M(ε) diag(etµ1(ε), etµ2(ε), etµ3(ε)

)M−1(ε), (18.2)

где M−1(ε) = O(ε−2/3),

µj(ε) = ε−1

(λ − ε1/3q1, j − ε2/3 γ−1

3q1j

− ε...

), j = 1, 2, 3.

18.3. Случай II при m = 3. Здесь σ3, 1 = 0, γ−1 = σ2, 1 + σ3, 2 6= 0. Тогда ν = 1/2,

H0 =

σ1, 1 0 00 σ2, 2 00 0 σ3, 3

+ σ21 (σ3, 3 − σ1, 1)

0 0 00 0 01 0 0

,

Φ(1) =

1 1 10 q1, 1 q1, 2

0 q21, 1 q2

1, 2

, (Φ(1))−1 =

1 0 1/γ−1

0 1/2q1, 1 1/2q21, 1

0 1/2q1, 2 1/2q21, 2

,


H(0) =

σ1, 1 σ1, 1 − σ3, 3 σ1, 1 − σ3, 3

0 12(σ2, 2 + σ3, 3)

12(σ3, 3 − σ2, 2)

0 12(σ3, 3 − σ2, 2)

12(σ2, 2 + σ3, 3)

+σ2, 1(σ3, 3 − σ1, 1)

γ−1

1 1 1

−1/2 −1/2 −1/2

−1/2 −1/2 −1/2

.

В скалярном уравнении (15.11) имеем

f (1) = H(0)11 =

1

γ−1

(σ1, 1σ3, 2 + σ2, 1σ3, 3), f (2) = H(2)11 + H

(1)12 Y

(0)21 + H

(0)12 Y

(1)21 , ... .


exp(ε−1D(ε) t) = M(ε) diag(etµ3(ε); etµ1(ε), etµ2(ε)

)M−1(ε), (18.3)

где M−1(ε) = O(ε−1), µ3(ε) = ε−1(λ − εf (1) − ε2f (2) − ε3...),

µj(ε) = ε−1(λ − ε1/2q1, j − ε

γ0

2− ε3/2...

), j = 1, 2.

Замечание 18.1. Если σ2, 1 = 0, то γ−1 = σ3, 2, Ω−2 = 0 и f (1) =1

γ−1

σ1, 1σ3, 2 = σ1, 1.

19. Сильное вырождение структурной матрицы.Случаи I, II в подпространстве End PE

19.1. Переход к системе независимых уравнений. Пусть теперь 2 6 m1 6 (m− 1)/2в соотношениях (9.2). Обратимся к расщепленной системе (15.10) и заметим, что второеуравнение из (15.10) в End (I − P )E с функциями G(i)(t) из (14.14) изучено в п. 16.1.Первое уравнение из (15.10) в End PE с функциями F (i)(t) из (14.12) рассматривалосьв п. 15.6. Оно по форме напоминает уравнение (15.5) в пространстве N, поэтому мож-но использовать алгоритм, изложенный в § 15, и ввести в рассмотрение преобразованиеподобия

M1(t, ε) = diag (M1(t, ε); 0n) (19.1)

типа (16.3), действующее в End PE.По аналогии с предположением 8.1 и формулами (8.2), (8.3) будем считать выполненным

Предположение 19.1. Справедливо неравенство 1 6 s1 6 m1, или 0 6 m2 6 (m1 − 1)/2.

Здесь используются обозначения m1 = m2 + n1, s1 = n1 − m2. Важно отметить, что ис-следование заканчивается, когда в End PE имеет место случай I (при m2 = 0) или случайII (при m2 = 1). Если же в подпространстве End PE возникает случай сильного вырож-дения (при 2 6 m2 6 (m1 − 1)/2), то после первой редукции задачи следует повторитьаналогичные рассуждения.

В согласии с формулами из п. 16.2 и § 17 получаем, что в случае I

WP (t, ε) = M(t, ε) P M1(t, ε) diag (eµn+1(t, ε), ..., eµm(t, ε); 0n) M−11 (0, ε) P M−1(0, ε),

(19.2)а в случае II

WP (t, ε) = M(t, ε) P M1(t, ε) diag (eµm(t, ε); eµn+1(t, ε), ..., eµm−1(t, ε); 0n)M−11 (0, ε) P M−1(0, ε).

(19.3)И тогда в силу (16.2), (19.2), (19.3) получаем

W (t, ε) = WP (t, ε) + WI−P (t, ε).

Далее опишем структуру матрицы M1(t, ε) и укажем вид скалярных функцийµj(t, ε), n + 1 6 j 6 m в каждом из случаев I, II.

Предварительно отметим, что матрицы F (i)(t) порядка m1 × m1 действуют в End PEи ведут свое происхождение от матриц Hi+1−n(t), имеющих от одной до трех ненулевых


линий параллельных диагонали (см. (8.1), (10.5), (11.5)). В § 12 указано, что номера линийоднодиагональных (или двухдиагональных, когда 1 6 s 6 m1 − 2) матриц F (i)(t) при всех1 6 i 6 m+n− 2 могут изменяться от 1−m1 до m1 − 1. Из лемм 12.6 – 12.8 вытекает, чтоненулевые элементы однодиагональных матриц F (1)(t), ..., F (s−1)(t) располагаются на ли-ниях с неотрицательными номерами. Матрица F (s)(t) содержит один ненулевой элемент,стоящий в m1 - й строке и 1 - м столбце, и является первой однодиагональной матрицей сотрицательным номером, причем наименьшим.

Поскольку матрица F (i)(t) по структуре совпадает с H(i+1−n)11 (t), то случай I в End PE

может возникнуть только при i = s, i = s + n, i = s + 2n (последний имеет место, когда1 6 s 6 m1 − 2), а случай II в End PE – только при i = s + 1, i = s + n + 1, i = s + 2n + 1(последний также имеет место, когда 1 6 s 6 m1 − 2).

В данной работе ограничимся рассмотрением случаев i = s, i = s+1. Будем обозначатьсумму элементов матрицы F (i)(t) через γi, 1(t). Если матрица F (i)(t) является двухдиаго-нальной, то условимся, что γi, 1(t) – это сумма элементов матрицы с меньшим номером(большим весом).

19.2. Случай I в End PE. Пусть m2 = 0, n1 = m1. Случай I в подпространстве End PEхарактеризуется соотношением

γs, 1(t) 6= 0, 0 6 t 6 T. (19.4)

Возьмем матрицу срезания Λ1(ε) из (10.3), матрицу Вандермонда V1(t) порядка m1×m1,матрицу Z1(t, ε) с нулевой диагональю и положим

M1(t, ε) = Λ1(ε)V1(t) (I + εν1Z1(t, ε)). (19.5)

Как показано в [?], ν = s/(nm1), ν1 = ν+ν = 1/m1, Γ1(t) = J1−F (s)(t). При выполненииусловия (19.4) все ненулевые попарно различные собственные значения q

(1)1 (t) матрицы

Γ1(t) находятся из тождества

(q(1)1 (t))m1 + γs, 1(t) ≡ 0, 0 6 t 6 T. (19.6)

Так как M−1(0, ε) = O(ε(1−m)/n), M−11 (0, ε) = O(εs(1−m1)/nm1), то

PM−11 (0, ε)PM−1(0, ε) = O(ε(1−2m1)/m1). (19.7)

Следовательно, в (19.2) имеем

µj(t, ε) = ε−1

t∫

0

(λ(τ) − ε1/m1q(1)1, j(τ) − ε2/m1 ...) dτ, n + 1 6 j 6 m. (19.8)

Теорема 19.1. Пусть выполнены соотношения (9.2) при 2 6 m1 6 (m − 1)/2 и справед-ливо предположение 15.1. Если, кроме того, γs, 1(t) 6= 0 при всех 0 6 t 6 T, то операторКоши уравнения (15.1) имеет вид

W (t, ε) = WP (t, ε) + WI−P (t, ε) =

= M(t, ε) P M1(t, ε) diag (eµn+1(t, ε), ..., eµm(t, ε); 0n)M−11 (0, ε) P+

+diag (0m1 ; eµ1(t, ε), ..., eµn(t, ε))M−1(0, ε), (19.9)

где матрицы M(t, ε), M1(t, ε) определяются равенствами (16.3), (19.5) соответствен-но, а скалярные функции µj(t, ε) – равенствами (16.4), (19.8).

В [?] установлено, что γs, 1(t) = (1/γ1−n(t))n∑

r=m1

σr, 1(t)σm, r+1(t), поэтому имеет место


Следствие 19.1. Если в условиях предположения 15.1 выполнены соотношения (9.2) и,

кроме того,n∑

r=m1

σr, 1(t)σm, r+1(t) 6= 0 при всех 0 6 t 6 T, то справедливо представление

(19.9) оператора Коши уравнения (15.1) с матрицами M(t, ε), M1(t, ε) из (16.3), (19.5)соответственно и скалярными функциями µj(t, ε), определяемыми равенствами (16.4),(19.8).

19.3. Случай II в End PE. Пусть m2 = 1, n1 = m1−1. Напомним, что через γs+1, 1(t) обо-значена сумма двух элементов однодиагональной матрицы F (s+1)(t) = F

(0)s+1, 1(t)+Ds+1, 1(t)

с номером диагонали равным 2 − m1. Примем

M1(t, ε) = (I + ε(s+1)νΩ−n1,1(t))Λ1(ε)Φ(2)(t)(I + εν1Y1(t, ε))(I + εν1Z1(t, ε)). (19.11)

Здесь ν = 1/n, m2 = 1, матрица Λ1(ε), ν > 0 определяется в (10.3), ν1 = ν + ν, матрицыΩ−n1, 1(t) (однодиагональная), Φ(2)(t), Y1(t, ε) (сплетающая), Z1(t, ε) (с нулевой диагона-лью) аналогичны описанным выше. Случай II в подпространстве End PE характеризуетсясоотношениями

F (s)(t) ≡ 0, γs+1, 1(t) 6= 0, 0 6 t 6 T. (19.12)

Отдельно следует рассмотреть случай m1 = 2, отличающийся от рассмотренного в п.18.1 случаяm = 2,m1 = 0 тем, что здесь s = 2 > 1, но s1 = n1 − m2 = 0 < 1, и предположение 19.1 невыполнено.

Пусть 3 6 m1 6 (m − 1)/2, m2 = 1. Тогда согласно [?] имеем ν1 = 1/(m1 − 1), ν =(s+1)/(n(m1 − 1)), Γ1(t) = J1 −D2−m1, 1(t). При выполнении условия (19.12) все попарноразличные собственные значения q

(1)1 (t) матрицы Γ1(t) находятся из тождества

q(1)1 (t) ((q

(1)1 (t))m1−1 + γs+1, 1(t)) ≡ 0, 0 6 t 6 T. (19.13)

По аналогии с § 17 находим, что

(I − P ) M−1(0, ε) = O(ε(1−m)/n), PM−11 (0, ε)PM−1(0, ε) = O(ε−2),

µj(t, ε) = ε−1

t∫

0

(λ(τ) − ε1/(m1−1)q(1)1, j(τ) − ε2/(m1−1)...)dτ, n + 1 6 j 6 m − 1,

µm(t, ε) = −t∫

0

(q1, m(τ) + εq2, m(τ) + ε2...) dτ. (19.14)

Теорема 19.2. Пусть выполнены соотношения (9.2) при 3 6 m1 6 (m − 1)/2 и справед-ливо предположение 15.1. Если, кроме того, γs, 1(t) ≡ 0, γs+1, 1(t) 6= 0 при всех 0 6 t 6 T,то оператор Коши уравнения (15.1) имеет вид

W (t, ε) = WP (t, ε) + WI−P (t, ε) =

= M(t, ε) P M1(t, ε)diag (eµm(t, ε); eµn+1(t, ε), ..., eµm−1(t, ε); 0n) M−11 (0, ε) P+

+diag (0m1 ; eµ1(t, ε), ..., eµn(t, ε)) M−1(0, ε), (19.15)

где матрицы M(t, ε), M1(t, ε) определяются равенствами (16.3), (19.11) соответствен-но, а скалярные функции µj(t, ε) – равенствами (16.4), (19.14).

В [?] показано, что γs+1, 1(t) = (1/γ1−n(t))n∑

r=m1−1

σr, 1(t)σm−1, r+1(t) + [σr, 1(t) +

σr+1, 2(t)] σm, r+2(t). Таким образом, имеет место


Следствие 19.2. Если в условиях предположения 15.1 выполнены соотношения (9.2) при3 6 m1 6 (m − 1)/2 и, кроме того,

n∑

r=m1

σr, 1(t)σm, r+1(t) ≡ 0,n∑

r=m1−1

σr, 1(t)σm−1, r+1(t) + [σr, 1(t) + σr+1, 2(t)] σm, r+2(t) 6= 0

при всех 0 6 t 6 T, то справедливо представление (19.15) оператора Коши уравнения(15.1) с матрицами M(t, ε), M1(t, ε) из (16.3), (19.11) соответственно и скалярнымифункциями µj(t, ε), определяемыми равенствами (16.4), (19.14).


[1] Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом про-странстве. М.: Наука, 1970.

[2] Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.М.: Наука, 1983.

[3] Рапопорт И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Ки-ев: Изд-во АН УССР, 1954.

[4] Федорюк М.В. Асимптотические методы в анализе // Соврем. проблемы математики. Фундам. на-правления. Т. 13. М.: ВИНИТИ, 1986. С. 93–210.

[5] Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981.[6] Коняев Ю.А. Теория возмущений в прикладных задачах. М.: Изд-во МЭИ, 1990.[7] Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Николенко Л.Д. Асимптотические методы в теории линейных диффе-

ренциальных уравнений. Киев: Наукова думка, 1966.[8] Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969.[9] Сотниченко Н.А., Фещенко С.Ф. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений

// Препринт 80.3 Института математики АН УССР. Киев: Изд-во АН УССР, 1980.[10] Елисеев А.Г. Теория сингулярных возмущений для систем дифференциальных уравнений в случае

кратного спектра предельного оператора. I // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1984. Т. 48. 5. С. 999–1020. II // там же. 1984. Т. 48. 6. С. 1171–1195.

[11] Елисеев А.Г., Ломов С.А. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущеннных задач // Успе-хи матем. наук. 1988. Т. 43. 3. С. 3–53.

[12] Шкиль Н.И., Старун И.И., Яковец В.П. Асимптотическое интегрирование линейных систем обык-новенных дифференциальных уравнений. Киев: Вища школа, 1989.

[13] Чернышов К.И. Метод стандартного расщепления сингулярно возмущенных дифференциальныхуравнений // Докл. АН СССР. 1990. Т. 311. 6. С. 1311–1316.

[14] Чернышов К.И. Асимптотический анализ уравнения с фредгольмовым оператором при производной// Дисс. докт. физ.-мат. наук. Киев: ИМ НАН Украины, 1992.

[15] Чернышов К.И. Асимптотические разложения решения задачи Коши для одного линейного диффе-ренциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. 5. С. 765–779.

[16] Чернышов К.И. Об экспоненте матричного пучка, зависящего от параметра, в случае кратного спек-тра предельной матрицы // Spectral and Evolution Problems (proc. of the Thirteenth Crimean AutumnMath. School). National Taurida V. Vernadsky Univ. Simferopol. 2003. V. 13. P. 65–81.

[17] Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:Наука, 1968.

[18] Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем. М.: Наука, 1973.[19] Арнольд В.И. О матрицах, зависящих от параметров // Успехи матем. наук. 1971. Т. 25. 2. С.

101–114.[20] Колесов Ю.С., Кубышкин Е.П. Минимальный алгоритм исследования устойчивости линейных систем

// Исследования по устойчивости в теории колебаний. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1977. С. 142–155.[21] Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.[22] Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука,

1966.[23] Территин Х.Л. Асимптотическое разложение решений систем обыкновенных линейных дифферен-

циальных уравнений, содержащих параметр // Математика: Сб. переводов. 1957. Т. 1. 2. С. 29–59.[24] Богаевский В.Н., Повзнер А.Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений. М.: Наука,

1987.


Чернышов К.И., профессор, Воронежская государственная лесотехниче-ская академия, Воронеж, 394613, Россия


The algorithm of the diagonalization of the matrix pencil, depending on a variable and aparameter, is suggested in cases when the limit matrix has the simple spectrum or it has themultiple eigenvalue for all values of a variable. The exhaustive superposition of special similaritytransformations is used in the algorithm. Formulae for Cauchy operator of the nonstationarylinear equation with a small parameter in the derivative and with the matrix pencil are obtainedunder different degrees of the structure matrix degeneracy.


SPECTRAL PROPERTIES OF ONE OPERATOR MATRIX ANDSTABILITY QUESTIONS ARISING IN SUPERSONIC

HYDRODYNAMICS

I. A. Sheipak, A.A. Vladimirov

An operator matrix, arised in some problems of mathematical physics, is considered.The spectral properties of this operator are studied. The essential spectrum is described.The localization theorem for discrete spectrum is proved. Asymptotic formulas foreigenvalues in neighbourhood of infinity are obtained. Some stability questions arediscussed.

1. Introduction

This paper is devoted to the investigation of spectral properties of operator matrix of kind

L0 :=

u(x) −ip12(x)d

dxp13(x)

−ip21(x)d

dxu(x) 0

p31(x) 0 u(x)

,

and its perturbation

L :=

u(x) −ip12(x)d

dxp13(x)

−ip21(x)d

dxu(x) 0

p31(x) p32(x) u(x)

.

These operators will be defined more precisely below.The results obtained in the paper can be applied to the investigation of stability of supersonic

flow.

2. Spectral properties of operator L0

2.1. Essential spectrum. Let us define Hn for n-th cartesian product of space L2[0, 1]. Letus consider in space H3 differential expression

l(Y ) :=

u(x) −ip12(x)d

dxp13(x)

−ip21(x)d

dxu(x) 0

p31(x) 0 u(x)

y1(x)y2(x)y3(x)

. (1)

pij(x) and u(x) are continuous real-valued functions defined on interval [0, 1], submitting toinequalities

p12(x)p21(x) ≥ c1 > 0, p13(x)p31(x) ≥ c2 > 0, (2)

where ci are some constants.In spaces H1, H2 and H3 one can introduce inner products

〈Y, Z〉H1 =

1∫

0

3(x)y(x)z(x) dx,

〈Y, Z〉H2 =2∑

k=1

1∫

0

k(x)yk(x)zk(x) dx,


〈Y, Z〉H3 =3∑

k=1

1∫

0

k(x)yk(x)zk(x) dx,

where weights k(x) are functions associated with differential expression (??)

1(x) =1

|p12(x)| , 2(x) =1

|p21(x)| , 3(x) =p13(x)

|p12(x)| · p31(x).

Operator L0 is defined in space H3 with differential expression (??) and periodic boundaryconditions

y1(1) − y1(0) = y2(1) − y2(0) = 0. (3)

So the domain of operator L0 is linear subspace in H3 of the kind

D(L0) =

Y =

y1(x)y2(x)y3(x)

yk(x) ∈ W 1

2 [0, 1]; yk(1) = yk(0), k = 1, 2; y3(x) ∈ L2[0, 1]

.

One can easely verify that operator L0 is selfadjoint in H3.

Remark 7. Other boundary conditions, which with expression (??) raise selfadjoint operator inH3 can be considered. The pair of linear independent boundary conditions Uk(Y ) = 0, k = 1, 2,are selfadjoint, iff for any Y from linear subspace

Y =

y1(x)y2(x)y3(x)

Y ∈ W 1

2 [0, 1] × W 12 [0, 1] × L2[0, 1], Uk(Y ) = 0, k = 1, 2

,

the equation is validy1(1)y2(1) = y1(0)y2(0).

However spectral properties of operator L0 investigated below are not depend on selfadjointboundary conditions, therefore we will consider without loss of generality only periodicboundary conditions (??).

The following statement is valid

Theorem 1. Essential spectrum of operator L0 coincides with the range of function u(x) oninterval [0, 1].

Доказательство. Operator L0 can be written as block-matrix

L0 =

(A BC D

).

Here we denote:• A is operator in space H2, defined by expression

u(x) −ip12(x)d

dx

−ip21(x)d

dxu(x)

with boundary conditions (??);• B : H2 → H1 is operator of kind

(p13(x)

0

);

• C : H1 → H2 is operator of kind(

p31(x) 0);


• D : H1 → H1 is operator of multiplication on function u(x).

Obviously next conditions are valid:

(1) Operator A has compact resolvent.(2) Operator D is bounded.(3) Operators B and C are bounded.(4) For any λ ∈ ρ(A) operator F (λ) := (A − λ)−1B is bounded.(5) For any λ ∈ ρ(A) operator S(λ) := C(A − λ)−1B is bounded.(6) For any λ ∈ ρ(A) operator Q(λ) := C(A − λ)−2B is compact.

In accordance with the theorem 2.2 of paper [?] it means, that essential spectrum of operatorL0 coincides with essential spectrum of operator D − C(A − λ)−1B for some fixed λ ∈ ρ(A).From compactness of resolvent of operator A and boundness of operators B and C, essentialspectrum of operator L0 coincides with essential spectrum of operator D, i. e. with rang offunction u(x). Theorem is proved. ¤

2.2. Discrete spectrum. In this part we study behaviour of eigenvalues of operator L0 whichlie outside of essential spectrum of operator L0.

Let ξ 6∈ σess(L) is an eigenvalue of operator L0 and Y =(

y1 y2 y3

)Tis corresponding

eigenfunction. Then second and third lines of matrix equation (L0 − ξ)Y = 0 are equivalent forthe parities

y2(x) =ip21(x)

u(x) − ξ· y′

1(x) (4)

and

y3(x) = − p31(x)

u(x) − ξ· y1(x). (5)

If we substitute these equations in first line of system L0 − ξ)Y = 0 then obtain that ξ, y1(x)is eigenpair of operator-function

− (P (x, λ)y′(x))′+ Q(x, λ)y(x), (6)

y(1) = y(0), (7)

P (1, λ)y′(1) = P (0, λ)y′(0) (8)

where

P (x, λ) =|p21(x)|

|u(x) − λ| > 0, (9)

Q(x, λ) =1

|p12(x)|

(p13(x)p31(x)

|u(x) − λ| − |u(x) − λ|)

.

It is easy verify that from given eigenpair ξ, y1(x) of operator-function (??)–(??) with thehelp of equations (??) and (??) one can restore functions y2(x) and y3(x), which together withy1(x) form eigenvector of operator L0. So the eigenvalue problem for operator L0 is equivalentfor the eigenvalue problem for operator-function (??)–(??).

For any λ ∈ (−∞, min u) functions P (x, λ) and Q(x, λ) are strictly increased by variable λfor any x ∈ [0, 1]. On contrary, if λ ∈ (max u, +∞) functions P (x, λ) and Q(x, λ) are strictlydecreased by variable λ for any x ∈ [0, 1]. From theorem 2.15 of paper [?] next statementfollows.

Theorem 2. Discrete spectrum of operator L0 has just two (infinite) points of accumulations±∞.

Let us make more precise the behaviour of eigenvalues in the neighbourhood of infinity.


Theorem 3. Eigenvalues of operator L0 in the neighbourhood of infinity has linear asymptotic

λn =πn

1∫0

(p12(x)p21(x))−1/2 dx

· (1 + o(1)). (10)

Доказательство. According with corollary 2.9 of paper [?], the quantity(with multiplicity) ofeigenvalues of operator-function (??)–(??) on interval (max

[0,1]|u(x)|, λ0) coincides up to arbitrary

constant which is not depend on λ0 with quantity of zeroes on interval (0, 1) of arbitrary solutionof equation

− (P (x, λ0)y′(x))

′+ Q(x, λ0)y(x) = 0. (11)

Let us divide interval [0, 1] on N equal subintervals

∆k :=

[k − 1

N,

k

N

], k = 1, 2, . . . , N.

Let us estimate the quantity of zeroes of any solution of equation (??) on each subinterval ∆k.We introduce numbers

P+k := max

x∈∆k

P (x, λ0), P−k := min

x∈∆k

P (x, λ0), Q+k := max

x∈∆k

Q(x, λ0), Q−k := min

x∈∆k

Q(x, λ0).

According with Sturm theorem about alternation of zeroes the quantity of zeroes of any solutionof equation (??) on interval ∆k does not exceed the quantity (enlarged by one) of zeroes oninterval ∆k of the any solution of the equation

−P−k y′′(x) + Q−

k y(x) = 0. (12)

By analogy the quantity of zeroes on interval ∆k of any solution of equation (??) not less thanreduced by one quantity of zeroes on interval ∆k of any solution of equation

−P+k y′′(x) + Q+

k y(x) = 0. (13)

But equations (??) and (??) have solutions

cos

√−Q−

k (λ0)

P−k (λ0)

x and cos

√−Q+

k (λ0)

P+k (λ0)

x,

correspondingly. Consequently, the quantity of zeroes on interval ∆k of any solution ofequation (??) is estimates above by value

1

π

√(Q−

k (λ0)

P−k (λ0)

)

−· 1

N+ 1.

Correspondingly the quantity of such zeroes is estimated below by value

1

π

√(Q+

k (λ0)

P+k (λ0)

)

−· 1

N− 2.

Aforesaid means that quantity of zeroes on interval (0, 1) of any solution of equation (??)has an above estimation

1

π

N∑

k=1

√(Q−

k (λ0)

P−k (λ0)

)

−· 1

N

+ O(N)

and below estimation1

π

N∑

k=1

√(Q+

k (λ0)

P+k (λ0)

)

−· 1

N

+ O(N).


The value of remainder does not depend on λ0. Here a− denotes the negative part of value a(i. e. a− = −min(0, a)).

However as λ → ∞ the asymptotics valid

P+k (λ) =

maxx∈[0,1]

|p21(x)|

λ·(

1 + O

(1

λ

)), P−

k (λ) =

minx∈[0,1]

|p21(x)|

λ·(

1 + O

(1

λ

)),

Q+k (λ) = − λ

maxx∈[0,1]

|p12(x)| + O

(1

λ

), Q−

k (λ) =λ

minx∈[0,1]

|p12(x)| + O

(1

λ

).

Therefore the quantity of zeroes on interval (0, 1) of any solution of equation (??) has aboveestimation

λ0

π

N∑

k=1

√√√√ 1

minx∈[0,1]

|p12(x)| · minx∈[0,1]

|p21(x)| ·1

N

+ O(N)

and below estimation

λ0

π

N∑

k=1

√√√√ 1

maxx∈[0,1]

|p12(x)| · maxx∈[0,1]

|p21(x)| ·1

N

+ O(N).

The value of remainder O(N) does not depend on λ0. As functions p12(x) and p21(x) arecontinuous, these estimations mean that for quantity (with multiplicity) of eigenfunctions oninterval ( max

x∈[0,1]|u(x)|, λ) of operator-function (??)–(??) as λ → ∞ the asymptotic is valid

N (λ) =λ

π

1∫

0

dx√p12(x)p21(x)

+ o(λ).

From this formula the correctness of asymptotic (??) follow in case n > 0. Case n < 0 isconsidered in analogous way. Theorem is proved. ¤

3. Perturbation of operator L0

Let us consider perturbation of operator L0 of the kind

L :=

u(x) −ip12(x)d

dxp13(x)

−ip21(x)d

dxu(x) 0

p31(x) p32(x) u(x)

.

Operator L acts in the same space with the same domain as operator L0. p32(x) is continuousand complex valued function on interval [0, 1].

The next statements on spectral properties of operator L are valid.

Theorem 4. Essential spectrum of operator L is range of function u(x) on interval [0, 1].

Доказательство. Operator L

L =

(A BC1 D

)

differs from operator L0 only in left bottom component in matrix representation. But mainproperties of this component (operator C1 coincide with the properties of operator C. Inparticular operator

C1 =(

p31(x) p32(x)),


acting from H1 to H2 is also bounded. Therefore it is sufficient to repeat reasons of theorem ??in order to prove this theorem. ¤

The same reasons as in the proof of theorem ?? lead us to the conclusion that operator Lhas two infinite series of eigenvalues (possibly complex), which are accumulated to ±∞.

Let us number eigenvalues of operator L by increasing of real parts. The next statement isvalid.

Lemma 1. There exists sequence ωn ≍ n (so limits lim supn→∞

ωnn−1 and lim inf

n→∞ωnn

−1 are

positive) that for Re λ ∈ ωn+∞1 estimations

‖(D − λ)−1‖H1 ≤const

|λ| − max |u(x)|and

‖C1(A − λ)−1‖H2 ≤const

1 + | Im λ|are true.

Доказательство. The eigenvalue problem for operator A by the method used in studying ofdiscrete spectrum of operator L0 can be replaced by eigenvalue problem for operator-function

− (P (x, λ)y′(x))′+ Q(x, λ)y(x),

y(1) = y(0),

P (1, λ)y′(1) = P (0, λ)y′(0),

where function P (x, λ) is the same as in (??) and Q(x, λ) = −|u(x) − λ||p12(x)| .

Repeating the reasons from proof of theorem ??, one can obtain that the main term ofeigenvalue asymptotic of operator A coincides with the main term of eigenvalue asymptotic ofoperator L0, that is λn(A) ≍ n. Therefore, the sufficient small number ε > 0 and sequenceωn∞1 are exist, such that for all n ∈ N interval (ωn − ε, ωn + ε) lies in the resolvent set ofoperator A. Operator A is self-adjoint and C1 is bounded, so for Re λ ∈ ωn∞1 the secondinequality of lemma is valid.

Operator D is self-adjoint and ‖D‖H1 = maxx∈[0,1]

|u(x)|. So for sequence ωn∞1 the first

inequality is valid too. Lemma is proved. ¤

Operator L can be presented as L = L0 + M , where

M =

(0 0V 0

).

Here V =(

0 p32(x))

is bounded operator from H1 to H2.

Lemma 2. For the sequence ωn∞1 from lemma ?? while Re λ ∈ ωn∞1 the inequalities

‖(L0 − λ)−1‖H3 ≤const

1 + | Im λ|and

‖(L0 − λ)−1M‖H3 ≤const

|Re λ| + | Im λ|are true.


Доказательство. We shall introduce operator-function

S(λ) := A − λ − B(D − λ)−1C.

If we convert Frobenius-Schur factorization for operator L0 − λ, i. e. identity(

A − λ BC D − λ

)=

(I B(D − λ)−1

0 I

)·(

S(λ) 00 D − λ

)·(

I 0(D − λ)−1C I

),

we shall obtain presentation

(L0 − λ)−1 =

(S−1 −S−1B(D − λ)−1

−(D − λ)−1CS−1 −(D − λ)−1 [I − CS−1B(D − λ)−1]

). (14)

Here I denotes identity operator. If Re λ ∈ ωn∞1 then equality

S−1(λ) = (A − λ)−1[I − B(D − λ)−1C(A − λ)−1

]−1(15)

is valid obviously. If we substitute operator C1 by operator C the second inequality fromlemma ?? remains valid, so the inequality

‖S−1(λ)‖H3 ≤const

1 + | Im λ| . (16)

holds too. From last estimation, from (??) and lemma ?? we obtain the first inequality oflemma.

The formula (??) implies relation

(L0 − λ)−1M =

(−S−1B(D − λ)−1V 0

−(D − λ)−1 [I − CS−1B(D − λ)−1] V 0

). (17)

In addition as |λ| → ∞ the inequality

‖(D − λ)−1‖H1 ≤const

|Re λ| + | Im λ| (18)

is carried out. From estimations (??)–(??) the second inequality of the lemma implies. ¤

Theorem 5. Asymptotic behaviour of real part of eigenvalue of operator L on infinity coincideswith asymptotic of eigenvalues of operator L0, i.e. looks likes

Re λn(L) =πn

1∫0

(p12(x)p21(x))−1/2 dx

· (1 + o(1)).

Imaginary part of eigenvalues lies in the strip

λ ∈ C |Im λ| ≤ Θ/2 , (19)

where

Θ = maxx∈[0,1]

|p32(x)| ·

√p21(x)p13(x)

p12(x)p31(x)

.

Доказательство. It is easy to check that numerical range of operator L lies in the strip (??).From this fact the estimation on imaginary part of λn(L) follows.

The difference between resolvents (L − λ)−1 and (L0 − λ)−1 can be presented as

(L − λ)−1 − (L0 − λ)−1 =[I + (L0 − λ)−1M

]−1 · (L0 − λ)−1 − (L0 − λ)−1.

If Re λ ∈ ωn∞1 and |λ| → ∞ with the help of lemma ?? this difference can be written as

(L − λ)−1 − (L0 − λ)−1 = (L0 − λ)−1M(L0 − λ)−1 + O

(1

|λ|2)

. (20)


Γ4

Γ2

Γ1 Γ3r

ωnr

ωn+k

Pic. 1: Contour Γ from proof of theorem ??.

From (??) and lemma ?? it follows that if Re λ ∈ ωn∞1 and |λ| → ∞ then formula

‖(L0 − λ)−1 − (L − λ)−1‖ ≤ const

|Re λ| + | Im λ| → 0 (21)

fulfills. Let us choose positive number h > Θ/2 and sufficient large numbers n, k ∈ N. Thencontour Γ = Γ1 ∪ Γ2 ∪ Γ3 ∪ Γ4, where

Γ1 = λ Re λ = ωn, | Im λ| ≤ h,Γ2 = λ ωn ≤ Re λ ≤ ωn+k, Im λ = −h,Γ3 = λ Re λ = ωn+k, | Im λ| ≤ h,Γ4 = λ ωn ≤ Re λ ≤ ωn+k, Im λ = h,

(see also pic. 1) divides spectrum of operator L0 on two parts. Let us consider the restrictionsof operators L and L0 on subspaces corresponding to the part of spectrum which lies inside thecontour Γ. These restrictions we will denote as L(Γ) and L0(Γ) correspondingly:

L(Γ) = − 1

2πi

∫

Γ

(L − λ)−1 dλ, L0(Γ) = − 1

2πi

∫

Γ

(L0 − λ)−1 dλ.

Estimation (??) denotes that for sufficient small positive number ε there exist ωn and ωn+k

from sequence obtained in lemma ?? such that

‖(L(Γ) − λ)−1 − (L0(Γ) − λ)−1‖ ≤ ε.

From theorem [?, IV.3.16] and last inequality follows that inside contour Γ lies the same quantity(with multiplisity) of eigenvalues of operator L and L0. It means that asymptotics of eigenvaluesof these operators coincide. ¤

We can make the behaviour of eigenvalues with sufficient large real part more precise.

Corollary 1. Spectrum of operator L asymptotically lies inside domain bounded by hyperbola

| Im λ| =const

|Re λ| − maxx∈[0,1]

|u(x)| .

Доказательство. We will consider operator-function

T (λ) := B(D − L0)−1C1(A − λ)−1.

If for some λ the inequality ‖T (λ)‖H2 < 1 fulfills then such λ belongs to the resolvent set ofoperator L. It follows from formulas (??) and (??) if we substitute there operator C by C1.

From another side from inequalities (??)–(??) for the norm of operator-function T (λ) theestimation

‖T (λ)‖H2 ≤const

(|Re λ| − maxx∈[0,1]

|u(x)|) · | Im λ|

implies, from which the corollary is obtained. ¤


4. Estimations of semigroups, generated by operators L0 and L

4.1. The global estimations of semigroups. Let us consider Cauchy problem

dY

dt= iL0Y, Y (0) = Y0,

dZ

dt= iLZ, Z(0) = Z0. (22)

Initial values Y0 and Z0 belongs to space H3.Let us consider semigroup U(t) := eiL0t generated by operator iL0. The numerical range of

this operator is imaginary axis so for any λ ∈ R inequalities

‖(iL0 − λ)−k‖H3 61

|λ|−k, k = 1, 2, . . .

are valid. The formula

‖iL − iL0‖H3 = Θ := maxx∈[0,1]

|p32(x)| ·

√p12(x)p31(x)

p21(x)p13(x)

is also true. Therefore from theorem [?, IX.2.1] it follows that iL is generator of semigroup too.We denote this semigroup as V (t). V (t) satisfies inequality

‖V (t)‖H3 6 eΘt.

For the difference of semigroups U(t) and V (t) the next estimation fulfills

‖V (t) − U(t)‖H3 =

∥∥∥∥∥∥

t∫

0

U(t − s)(L − L0)V (s) ds

∥∥∥∥∥∥H3

6 eΘt − 1.

4.2. Estimations of semigroups on subspaces. In the case when initial values ofproblem (??) belong to special subspaces of space the estimations on growth of solution can beimproved.

For this aim let us consider the problem in general case and introduce operator matrixes

A =

(A BB∗ D

), B =

(0 V0 0

).

Let operators B, D = D∗ and V are bounded and operator A = A∗ has only discrete spectrumλn+∞

−∞ with asymptotic behaviour λn ≍ n as n → ±∞.

Remark. Operator L0 is self-adjoint so we can consider A to be representation of L0. OperatorL∗ can be represented as A + B.

Let us consider the family of contours in complex plane

Γn = Γn1 ∪ Γn2 ∪ Γn3,

where

Γn1 = λ ∈ C | Re λ = ωn, | Im λ| 6 α for some α > ‖B‖,Γn2 = λ ∈ C | Im λ = k(Re λ − ωn) + α,Γn3 = λ ∈ C | Im λ = −k(Re λ − ωn) − α for some k > 1(pic.2).

Let us define projectors on invariant subsets of operators A and A + B correspondingly:

Pn :=1

2πi

∫

Γn

(B − λ)−1 dλ, Qn :=1

2πi

∫

Γn

(A + B − λ)−1) dλ.

Lemma 3. ‖Pn − Qn‖ 6 constln ωn

ωn

→ 0 as n → ∞.


Γn1

³³

³³

³³

³³

³³

³³

Γn2

PP

PP

PP

PP

PP

PP

Γn3

r

ωn

Pic. 2: The family of contours Γn

Доказательство. We estimate the norm of difference on each of part of contour Γn.1.Contours Γn2 and Γn3.The difference between resolvents of operators A + B and A can be presented as

−(A + B − λ)−1B(A− λ)−1.

According with lemma ?? on line Γn2 estimations

‖B(A− λ)−1‖ 6const

1 + | Im λ| , (A + B − λ)−1 6const

1 + | Im λ|fulfils. With presentation Im λ = −k(Re λ − ωn) − α it follows to the inequality

∥∥∥∥∥∥

∫

Γn2

((A + B − λ)−1 − (A− λ)−1

)dλ

∥∥∥∥∥∥6 const

∞∫

ωn

dx

x2=

const

ωn

. (23)

Contour Γn3 is symmetric to the contour Γn2 with regard to real axis. Numerical range ofoperator A + B is symmetric with regard to real axis too. So the estimation of integral ofdifference of resolvents on contour Γn3 is the same to the estimation (??).

2. Contour Γn1.One can present difference between resolvents of operators A + B and A as

−(A− λ)−1(I + B(A− λ)−1

)−1 B(A− λ)−1.

From this presentation and lemma ?? it follows that the norm of integral∥∥∥∥∥∥

∫

Γn1

((A + B − λ)−1) − (B − λ)−1

)dλ

∥∥∥∥∥∥

has the same rate of growth as integral+∞∫

0

dx

(1 + x)(x + ωn)=

ln ωn

ωn − 1,

and this estimation is uniform by α. Lemma is proved. ¤

Let Ln and Mn are invariant subspaces of operators A+B and A correspondingly which aregenerated by part of spectrum Re λ > ωn i.e. Ln = QnH, Mn = PnH.

Lemma 4. For x ∈ Ln the inequality

‖Bx‖ 6const√

ωn

holds.


Доказательство. Let e = (e1,e2) is eigenvector of operator A corresponding to eigenvalue µ.From relation

B∗e1 + De2 = µe2

and from boundness of operators B∗ and D we obtain that inequality

‖e2‖ 6const

µ‖e‖

holds.By reason of linear asymptotic on infinity of spectrum of operator A and selfadjointness of

this operator it follows that in subspace Mn one can choose such orthonormal basis ek+∞O(ωn)

that norm of second component of each vector of the kind

x = (x1,x2) =+∞∑

O(ωn)

ckek =

∑ck(e

k1,e

k2)

can be appreciate in the next way

‖x2‖ 6

+∞∑

O(ωn)

|ck|const

k6 const

+∞∑

O(ωn)

|ck|2

1/2

+∞∑

O(ωn)

1

k2

1/2

6const√

ωn

‖x‖. (24)

For the vector x from invariant subspace of the operator A + B the formula

Bx = BPnx + B(Qn − Pn)x. (25)

holds. So far as

Bx =

(V x2

0

),

and operator V is bounded then by lemma ?? and estimation (??) from identity (??) we obtainneeded inequality. Lemma is proved. ¤

From lemma ?? the next statement follows.

Theorem 6. If initial values of Cauchy problem for operator L lies in subspace Ln then forthe solution Z(t) estimation

‖Z(t)‖ 6 e

const√ωn ‖Z0‖

is valid.

5. Application to the hydrodynamic problem

Let us apply the results obtained above to some hydrodynamic problems. We study supersonicflow of compressible liquid.

In general case there are a lot of different parameters influencing on stability of compressiblesupersonic flows. Firstly, these flows have not only pulsation (the deviation from time average)of velocity but pulsations of density, pressure, temperature and entropy. Secondly, there areeffects of heat transfer. For example the profile of average velocity is depended on mode ofheat exchange. So the problem is complicated. Therefore we study influence of compressibilitywithout viscosity and heat transfer (so we study only ideal liquid). Moreover we consider onlytwo-dimensional flows.

So we consider supersonic flow of ideal compressible liquid in two-dimensional stream. Let(x1, x2) is cartesian coordinate system, −∞ 6 x1 6 +∞, 0 6 x2 6 1. Let us study only laminarflows with average pressure to be constant and where other average values (density, profile ofvelocity, temperature and entropy depend only on x2).

We introduce the follow notations:


• π(x2) — average amplitude of pulsation of pressure;• ρ(x2) — average amplitude of pulsation of density;• τ(x2) — average amplitude of pulsation of temperature;• σ(x2) — average amplitude of pulsation of entropy;• u(x2), v(x2) — average amplitude of pulsation of horizontal and vertical components of

velocity correspondingly.

We consider the full solution for pulsations as product of average amplitude and factor eiα(x1−λt).After separation of variables only one dimensional variable remains, so further we omit index

and use variable x = x2, x ∈ [0, 1].For the variables of main flow we introduce the notation

u(x), v(x), T (x), S(x)

for horizontal and vertical components of liquid velocity, temperature and entropycorrespondingly.

The pulsation of density ρ can be written in dimensionless form

θ(x) =ρ

p(x),

where p(x) is the density of liquid.Under assumption that liquid is not viscous and heat transfer (τ = 0) is absence the main

equations for pulsations of velocity, pressure, density and entropy have the form ([?])

iα(u(x) − λ)θ(x) +p′(x)

p(x)v(x) + iαu(x) + v′(x) = 0, (26)

iα(u(x) − λ)u(x) + u′(x)v(x) + iαπ(x)

p(x)= 0, (27)

iα(u(x) − λ)v(x) +π′(x)

p(x)= 0, (28)

iα(u(x) − λ)σ(x) + S ′(x)v(x) = 0, (29)

π = p(x)a2(θ(x) +

σ(x)

c

), (30)

p′(x)

p(x)+

S ′(x)

c= 0. (31)

Here c is constant which is equal to specific heat at constant pressure, a2 is physical parameterwhich depends linearly on temperature. Temperature is function of x.

In book [?] there is analysis of physical system based on equations (??)–(??). An additionalvariable corresponding to the rate of compressibility of liquid and additional equation for thisvariable are introduced there. In spite of lot of variables the main analysis is based on studyingof one equation on one variable in some limiting cases.

We offer the following mathematical model. If we eliminate from system (??)–(??) pulsationsof entropy σ and density θ then obtain the following spectral problem

u(x) −ip(x)a2

α

d

dxp(x)a2

− i

p(x)α

d

dxu(x) 0

1

p(x)−iu′(x)

αu(x)

y1(x)

y2(x)

y3(x)

= λ

y1(x)

y2(x)

y3(x)

. (32)

Here we introduce for convenience new notations for variables: y1(x) is pulsation of pressure,y2(x) is pulsation of vertical component of velocity, y3(x) is pulsation of horizontal component


of velocity. p(x) is density of liquid, and u(x) is profile of stable flow. We assume that thesefunctions are continuous.

Let us introduce operators L0 and L

L0 :=

u(x) −ip(x)a2

α

d

dxp(x)a2

− i

p(x)α

d

dxu(x) 0

1

p(x)0 u(x)

, L :=

u(x) −ip(x)a2

α

d

dxp(x)a2

− i

p(x)α

d

dxu(x) 0

1

p(x)−iu′(x)

αu(x)

.

The domains of operators L0 and L is the set in L2(0; 1)3:

D(L) = y(x) = (y1(x), y2(x), y3(x)) : yi(x) ∈ W 12 (0; 1), yi(0) = yi(1), i = 1, 2;

y3(x) ∈ L2(0; 1).One can easy to check that operators L0 and L∗ are satisfied to theorems ??, ??, ??, ??, ??

and corollary ??.So the next statement is valid.

Theorem 7. Essential spectrum of problem (??)–(??) coincides with the range of functionu(x). Discrete spectrum accumulates to ±∞. There exists such constant C > 0, that outsidehyperbola

| Im λ| =C

|Re λ| − max |u(x)|there is only resolvent set.

For eigenvalues with sufficient large modulus the following asymptotic is valid

Re λn =πn

α

1∫

0

dx

a(x)

(1 + o(n)).

For the solution of Cauchy problemdY

dt= iL1Y , Y (0) = Y0 estimation

‖Y (t)‖ 6 e

maxx∈[0,1] |u′(x)|α

t‖Y0‖

holds.If initial value Y0 belongs to the invariant subset of operator L1 corresponding to the part of

spectrum Re λ > ω (for sufficient large ω) then the solution of Cauchy problem satisfies to theinequality

‖Y (t)‖ 6 eC√ω

t‖Y0‖with some C > 0.

References

[1] F. V. Atkinson, H. Langer, R. Mennicken, A. Shkalikov. The essential spectrum of some matrix operators//Math. Nachr., 167 (1994), pp. 5–20.

[2] А. А. Владимиров, Р. О. Гринив, А. А. Шкаликов. Спектральный анализ периодических дифферен-циальных матриц смешанного порядка// Труды ММО, т.63(2002), с. 45–86.

[3] R. Mennicken, H. Schmid, A. Shkalikov. On the eigenvalue accumulation of Sturm-Liouvile problemdepending nonlinearly on the spectral parameter// Math. Nachr., 189 (1998), pp. 157–170.

[4] Т. Като. Теория возмущений линейных операторов// М.,«Мир», 1972.[5] Р. Бетчов, В. Криминале. Вопросы гидродинамической устойчивости// М.,«Мир», 1971.

Section 2

EVOLUTION AND BOUNDARY VALUE PROBLEMS

Subsection 2.1

Differential-Operator and Evolution Equations

_

134 Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЙБЕСКОНЕЧНОГО ПОРЯДКА

Г. С. БалашоваМЭИ(ТУ), Москва, Россия

Рассматриваются условия разрешимости задачи Дирихле для нелинейных диф-ференциальных уравнений бесконечного порядка в ограниченной области.

Во-первых, рассматриваются условия, при которых решения уравнений конеч-ного порядка 2m, левая и правая части которых есть частичные суммы левой иправой частей уравнений бесконечного порядка, сходится к решению предельногоуравнения при m → ∞.

Во-вторых, установлен новый подход для сравнения двух операторов бесконеч-ного порядка. В основу сравнения рассматриваемых операторов положено соот-ношение пространств Соболева бесконечного порядка, являющихся областью ихопределения.

We consider the conditions of the solvability of Dirichlet problem for nonlineardifferential equations of infinite order in a bounded domain.

In the first place we have considered conditions under which the solutions of theequations of finite order 2m, whose left- and right-hand sides are partial sums of theleft- and right sides of the equations of infinite order, will converge to a solution of thelimiting equation as m → ∞.

Secondly, we have discribed a new approach to compare two operators of infinite order.We compare operators on the basics of the relationships between the infinite order Sobolevspaces that serve as their domains. This way of defining a leading operator to yield moresimple equation for which the solvability has been studied.

В некоторой ограниченной области G ⊂ Rν , ν ≥ 1, с границей Γ, рассматривается задачаДирихле для уравнения бесконечного порядка

Lu(x) =∞∑

|α|=0

(−1)|α|DαAα(x,Dγu) = h(x), x ∈ G, (1)

Dω u(x)|Γ = Ψω(x′), x′ ∈ Γ, |ω| = 0, 1, . . . , (2)

где Aα(x,Dγu) - непрерывные функции переменных x ∈ G и всевозможных Dγu, |γ| ≤ |α|,α, γ, ω - целочисленные мультииндексы, Ψω(x) - заданные на границе Γ функции.

В дальнейшем предполагается, что энергетическое пространство Соболева бесконечногопорядка, соответствующее уравнению (??),

W∞aα, p(G) ≡

u(x) ∈ C∞(G) : ρ(u) =∞∑

|α|=0

aα‖Dαu‖pp < ∞

нетривиально. Здесь aα ≥ 0, p > 1 - некоторые действительные числа, ‖ · ‖p - норма в про-странстве Lp(G). Условия нетривиальности таких пространств получены Ю.А. Дубинским[?].

Правая часть h(x) в уравнении (??) принадлежит пространству обобщенных функ-ций, возможно, бесконечного порядка сингулярности, т.е. пространству, сопряженному кW∞aα, p(G)

W−∞aα, p′(G) ≡

≡

h(x) =

∞∑

|α=0

(−1)|α|Dαhα(x) : ρ′(h) =∞∑

|α|=0

aα‖hα‖p′

p′ < ∞

,

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations 135

здесь p′ = pp−1

, hα(x) ∈ Lp′(G).Определение. Функция u(x) ∈ W∞aα, pG называется обобщенным решением задачи

(??), (??), если Dαu(x)|Γ = Ψω(x′), x′ ∈ Γ, |α| = 0, 1, 2, . . ., и для любой функции v(x) =

W∞aα, p(G) ≡ u(x) ∈ C∞0 (G), ρ(u) < ∞ справедливо равенство

∞∑

|α=0|

∫

G

Aα(x,Dγu)Dαv dx =∞∑

|α|=0

aα

∫

G

hα(x)Dαv dx

Предлагается два подхода к вопросу о разрешимости задачи (??), (??). Первый заклю-чается в рассмотрении последовательности задач для уравнений порядка 2m, соответству-ющих частичным суммам ряда (??), и предельном переходе при m → ∞. Второй подходпредполагает дифференциальный оператор бесконечного порядка L представить в видесуммы двух дифференциальных операторов L1 и L2, каждый из которых также беско-нечного порядка, и выделить главный из них L1. Тогда задача сводится к уравнению соператором L1 и измененной правой частью h(x) ∈ W−∞aα, p′(G). Решением исходнойзадачи будет неподвижная точка оператора L−1

1 - обратного к оператору L1, примененногок h(x).

Остановимся на этих методах.

10. Рассмотрим последовательность нелинейных эллиптических краевых задач:

L2m(um) ≡m∑

|α|=0

(−1)|α|DαAαm(x,Dγum) = hm(x), x ∈ G, (3)

Dωum(x)|Γ = Ψωm(x′), x′ ∈ Γ, ω = 0, 1, . . . ,m − 1. (4)

Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия:1) Для любых x ∈ G, ξγm, ηαm, |γ| ≤ |α|, справедливы неравенства:

∣∣∣∣∣∣

m∑

|α|=0

Aαm(x, ξγm) ηαm

∣∣∣∣∣∣≤ K

m∑

|α|=0

aαm(|ξαm|p−1 + 1)|ηαm|,

m∑

|α|=0

Aαm(x, ξγm) ξαm ≥ δm∑

|α|=0

aαm|ξαm|p − K, m = 0, 1, . . . ,

в которых при всех m a0m = 1, aαm ≥ 0 - некоторая числовая последовательность,1 < p < ∞, δ > 0, K > 0 -постоянные.

2) При m → ∞ aαm → aα, причем для бесконечного множества значений |α| все aα > 0.Кроме того, если ξγm → ξγ , то равномерно по x ∈ G Aαm(x, ξγm) → Aα(x, ξγ), где Aα(x, ξγ)- непрерывные функции своих аргументов.

3) Для любого ε > 0 существует N0(ε) такое, что для всех m

m∑

N=N0

M cNm(M c

N+1,m)−1 < ε,

где M cNm - выпуклая регуляризация посредством логарифмов (в.р.п.л.) [?] последователь-

ности

MNm = (∑

|α|=N

aαm)−1p , если

∑

|α|=N

aαm 6= 0;


MNm = ∞, если∑

|α|=N

aαm = 0,

в случае M cNm = M c

N+1,m = ∞ их отношение полагается равным нулю.4) Для всех m граничные значения Ψωm(x′) допускают продолжение внутрь области

G, т.е. существование такой функции Ψm(x) ∈ Wmp (G), что DωΨm(x)|Γ = Ψωm(x′), |ω| =

0, . . . ,m − 1, причем при m → ∞ Ψωm(x′) → Ψω(x′) равномерно по x′ ∈ Γ и для всех

m = 1, 2, . . .m∑

|α|=0

aαm‖DαΨm(x)‖pp < K.

5) Правые части hm(x) уравнения (??) имеют вид

hm(x) =m∑

|α|=0

(−1)|α|aαmDαhαm(x),

где hαm(x) ∈ Lp′(G), для всех m

m∑

|α|=0

aαm‖hαm‖p′

p′ ≤ K

и при m → ∞ ‖hαm(x) − hα(x)‖p′ → 0.Тогда последовательность решений задач (??), (??) имеет предельную точку в смысле

сходимости в C∞(G), которая является решением задачи (??), (??).

Пример 1.∞∑

n=0

(−1)nDn(2−2n|Dnu|p−2Dnu) = 1, x ∈ (0, 1), (5)

Dnu(0) = 22n· p+1

P2 · 1

n3, Dn(1) = 0, n = 0, 1, . . . . (6)

Соответствующая последовательность задач для уравнений порядка 2m

m∑

n=0

(−1)nDn(2−2n|Dnum|p−2Dnum) = 1, x ∈ (0, 1), (7)

Dnum(0) = 22n· p+1

p2 · 1

n3, Dnum(1) = 0, n = 0, 1, . . . ,m − 1. (8)

Известно (см. [?], [?]), что эти задачи разрешимы при любых m и p > 1. Выполнениеусловий теоремы ??, кроме условия 4), легко проверяется. Теорема о существовании следав пространстве W∞2−2n

, p(0,1) (см. [?]) позволяет представить условие 4) в виде:

m∑

n=0

anm|bnm|p2

p+1 < K.

Для рассматриваемых задач оно выполняется, так как

m∑

n=1

anm|bnm|P2

P+1 =m∑

n=1

1

n3 · p2

p+1

≤∞∑

n=1

1

n3/2< K.

Следовательно, последовательность задач (??), (??) имеет предельную точку u(x) всмысле сходимости в C∞(0, 1), являющуюся решением предельной задачи (??), (??).

Пример 2.

∞∑

n=0

(−1)nDn(2−n2|Dnu|p−2Dnu) = 0, x ∈ (0, 1), (9)


Dnu(0) = 2(n+1)2 , Dnu(1) = 0, n = 0, 1, . . . . (10)

Соответствующая последовательность задач для уравнений порядка 2m

m∑

n=0

(−1)nDn(2−n2|Dnum|p−2Dnum) = 0, x ∈ (0, 1), (11)

Dnum(0) = 2(n+1)2 , Dnum(1) = 0, n = 0, 1, . . . ,m − 1. (12)

В силу известных теорем (см. [?], [?]) задачи (??), (??) разрешимы при любых m иp > 1. Выполнение всех условий теоремы ??, за исключением условия 4), легко проверя-ются. Однако, если даже последовательность решений задач (??), (??) при m → ∞ имеетпредельную точку u(x), то она не может быть решением предельной задачи. Это следуетиз того, что для любого p > 1 имеет место вложение W∞an, p(0,1) ⊂ W∞an, p, 1(0,1),где W∞an, p, 1(0,1) ≡ u(x) ∈ C∞(0, 1), ρ(u) =

∑∞n=0 an‖Dnu‖ρ

1 < ∞. А для того, что-бы пространство W∞an, p, 1(0,1) содержало функцию, удовлетворяющую условиям (??),необходимо, чтобы сходился ряд

∑∞n=1 an|bn−1|p ([?]). В рассматриваемом случае он расхо-

дится.

20. Исследуем теперь разрешимость задачи Дирихле для дифференциального уравнениябесконечного порядка, левая часть которого есть эллиптический оператор L1 с возмуще-нием L2.

L1(u) + L2(u) ≡∞∑

|α|=0

(−1)|α|DαAα(x,Dγu)+

+∞∑

|α|=0

(−1)|α|DαBα(x,Dγu) = h(x), x ∈ G,

(13)

Dωu(x)|Γ = 0, , |ω| = 0, 1, . . . . (14)

Отметим, что оба оператора L1 и L2 имеют бесконечный порядок, поэтому в основуих сравнения положено сравнение пространств, являющихся областью определения этихоператоров.

Определение. Дифференциальный оператор L1 называется главным по сравнению соператором L2, в дальнейшем называемым подчиненным, если пространство W∞aα, p(G),соответствующее оператору L1, компактно вложено в пространство W∞bα, p(G), соответ-ствующее оператору L2.

Теоремы вложения таких пространств получены автором в[?], [?]. Правая часть уравнения (??) принадлежит пространствуW−∞aα, p′(G).

Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия:1) Aα(x, ξγ), Bα(x, ξγ) - непрерывные функции аргументов x ∈ G и всевозможных ξγ ,

|γ| ≤ |α|, такие, что для любых x ∈ G, ξγ и ηα справедливы неравенства:

∣∣∣∣∣∣

m∑

|α|=0

Aα(x, ξγ) ηα

∣∣∣∣∣∣≤ δ1

m∑

|α|=0

aα(|ξα|p−1 + 1) |ηα|,

m∑

|α|=0

Aα(x, ξγ) ξα ≥ δ2

m∑

|α|=0

aα|ξα|p − K,


∣∣∣∣∣∣

m∑

|α|=0

Bα(x, ξγ) ηα

∣∣∣∣∣∣≤ δ3

m∑

|α|=0

bα(|ξα|p−1 + 1) |ηα|, m = 0, 1, . . . ,

где a0 > 0, b0 > 0, aα ≥ 0, bα ≥ 0 - некоторые числовые последовательности, δ1, δ2, δ3,K - положительные постоянные, не зависящие от m.

2) Пространство

W∞aα, p(G) нетривиально.

3) Пространство

W∞aα, p(G) компактно вложено в пространство

W∞bα, p(G).4) Для оператора L1 существует непрерывный (относительно h(x) ∈ W−∞aα, p′(G))

обратный оператор L−11 .

5) Для любых ut(x) ∈

W∞aα, p(G), являющихся решением задач

L1(u) + t(L2(u) − h(x)) = 0, 0 ≤ t ≤ 1,

Dωu(x)|Γ = 0, |ω| = 0, 1, . . . ,

имеет место априорная оценка

∞∑

|α|=0

aα‖Dαut(x)‖pp < K0. (15)

Тогда при любой правой части h(x) ∈ W−∞aα, p′(G) задача (??), (??) имеет по крайнеймере одно решение.

Пример 3.

L(u) =∞∑

n=0

D2n

(1

2(2n)2|D2nu|p−2D2nu

)+

+ λ∞∑

n=0

(−1)nDn

(x − 0, 5

2n3 |Dnu|p−2Dnu

)= h(x),

(16)

Dnu(0) = Dnu(1) = 0, n = 0, 1, . . . , (17)

p > 1, λ ∈ R - параметр.Отметим, что оператор L(u) таков, что из известных результатов [?] не следует разре-

шимость этой задачи.Условия 1)-2) теоремы ?? достаточно легко проверяются. Выполнение условия 3) сле-

дует из условия компактного вложения пространства W∞aα, p(G) в W∞bα, p(G), полу-ченного в работе [?]: sup

n(bnM

cn) = 2|λ| < ∞.

Выполнение условия 4) следует из неравенства ∂An

∂ξn> (p − 1)an|ξn|p−2 и результатов

работы [?]. Для априорной оценки (??) должно быть выполнено неравенство δ2−δ3δ42p+1 >

0, где в рассматриваемом примере δ2 = δ3 = 1, δ4 = supn

(bnM cn) · sup

i(ni+1 − ni), ni -

последовательность основных индексов при в.р.п.л. последовательности

an =

2−n2

, n = 2k,0, n = 2k + 1,

k = 0, 1, . . ., supi

(ni+1 − ni) = 2, ni, т. е. δ4 = 4|λ|.Поэтому при |λ| < 2−(p+3) задача (??), (??) имеет по крайней мере одно решение при

любой правой части h(x) ∈ W−∞an, p′(G).

Для линейной задачи Дирихле с подчиненными членами


L1(u)+λL2(u) =∞∑

n=0

(−1)|α|Dα (Aα(x)Dαu) +

+ λ

∞∑

n=0

(−1)|α|Dα (Bα(x)Dαu) = h(x), x ∈ G,

(18)

Dωu(x)|Γ = 0, |ω| = 0, 1, . . . , (19)

установлена Фредгольмова разрешимость.

Теорема 3. Пусть выполнены следующие условия:1. Существуют постоянные 0 < δ1 ≤ δ2, δ3 > 0 и последовательности a0 > 0, aα ≥ 0,

b0 > 0, bα ≥ 0, |α| = 1, 2, . . ., такие, что для всех x ∈ G и всех α

aαδ1 ≤ Aα(x) ≤ aαδ2,

|Bα(x)| ≤ δ3bα.

2. Пространство

W∞aα, 2(G) нетривиально и компактно вложено в пространство

W∞bα, 2(G).

Тогда задача (??), (??) имеет решение u(x) ∈

W∞aα, 2(G) при любой правой части

h(x) ∈

W∞aα, 2(G), удовлетворяющей условию∫

G

∞∑

|α|=0

aαhα(x)Dαvλ(x) dx = 0

для всех vλ(x), являющихся решениями однородной задачи

L1(v) + λL2(v) = 0, x ∈ G, Dωv(x)|Γ = 0, |ω| = 0, 1, . . . , (20)

Причем, если задача (??) имеет только нулевое решение, то задача (??), (??) имеетединственное решение при любой правой части h(x) ∈ W−∞aα, 2(G).

Показано, что при|λ| < δ1δ

−13 ‖A‖−1, (21)

где ‖A‖ - норма оператора вложения пространства

W∞aα, 2(G) в пространство

W∞bα, 2(G), задача (??) имеет только нулевое решение. Таким образом, при выполне-нии условия (??) задача (??), (??) имеет единственное решение при любой правой частиh(x) ∈ W−∞aα, 2(G).


[1] Dubinskij Ju.A. Sobolev spaces of infinite order and differential equations. Leipzig, 1986 г.[2] Мандельбройт С. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения. М., 1995

г.[3] Дубинский Ю.А. Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого порядка. //

УМН, 1968 г., т. XXIII, 1, с. 45-90.[4] Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972 г.[5] Балашова Г.С. Некоторые теоремы продолжения в пространстве Соболева бесконечного порядка и

неоднородные краевые задачи. // Докл. АН СССР, 1979 г., т. 244, 6, с. 1294-1297.[6] Балашова Г.С. Теоремы вложения для банаховых пространств бесконечно дифферекцируемых функ-

ций нескольких переменных. // Математические заметки, 1990 г., т. 47, 6, с. 3-14.[7] Балашова Г.С. Об условиях продолжения следа и вложения для банаховых пространств бесконечно

дифференцируемых функций. // Математический сборник, 1993 г., т. 184, 1, с. 105-128.


[8] Дубинский Ю.А. О нетривиальности некоторых классов функций и разрешимости нелинейных диф-ференциальных уравнений бесконечного порядка. // Дифф. уравнения, 1974 г., т. 10, 2, с. 231-240.

Балашова Г.С., профессор, д.ф.-м.н., Московский Энергетический Институт(Технический Университет), 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 14,Россия

E-mail: [email protected], [email protected]


МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, МОДЕЛИРУЮЩЕЙ

ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЙ ДИОД

С. И. Безродных, В. И. ВласовВычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН


Предложен новый аналитико–численный метод решения краевой задачи для син-гулярно возмущенной системы трех нелинейных обыкновенных дифференциаль-ных уравнений. Эта задача возникает при моделировании взаимодействия фи-зических полей в полупроводниковом диоде. Предлагаемый метод использует со-четание специальной модификации операторного метода Ньютона, процесса по-следовательных приближений и метода продолжения по параметру. При этомпроизводная Фреше, функция Грина соответствующего дифференциального урав-нения и начальное приближение найдены в явном аналитическом виде. Численнаяреализация подтвердила высокую эффективность и экспоненциальную скоростьсходимости предложенного метода.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ПОДХОД К ЕЕ РЕШЕНИЮ

Настоящая работа посвящена решению краевой задачи на отрезке [−1, 1] для следу-ющей системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительнофункций Ψ(x) , P (x) , N(x) , принадлежащих классу B := C2[−1, 0] ∩ C2[0, 1] ∩ C1[−1, 1]:

κ2 Ψ′′ + P − N − sign x = 0, (1)

Q(Ψ)[P ] := P ′′ + Ψ′P ′ + Ψ′′P = δP R, (2)Q(−Ψ)[N ] = N ′′ − Ψ′N ′ − Ψ′′N = δN R. (3)

Искомые функции удовлетворяют на концах отрезка [−1, 1] граничным условиям

Ψ(−1) = −V, Ψ(1) = V ; (4)

P (−1) = 0, P (1) = 1; (5)N(−1) = 1, N(1) = 0. (6)

Функция R(x), фигурирующая в (??), (??), связана с P (x) и N(x) нелинейной зависимо-стью:

R = R[P,N

]:=

PN − N2i

N + Ni + τ(P + Ni). (7)

Параметры κ, δP , δN , τ , Ni и V из соотношений (??)–(??), (??) безразмерны и лежат вследующих диапазонах:

κ ∈ [10−4, 10−2], δP ≃ δN ∈ [10−4, 10−2], τ ∈ [0.1, 10], Ni ≃ 10−9, V ∈ [−100, 100].

Задача (??)–(??) является сингулярно возмущенной, поскольку множителем при старшейпроизводной в уравнении (??) служит малый параметр κ2 .

Уравнения (??)–(??) описывают одномерную модель полупроводникового диода вдиффузионно–дрейфовом приближении [?]. Начало координат выбрано в центре диода,так что безразмерная координата x пробегает отрезок [−1, 1]. Функция Ψ(x) представляетсобой безразмерный электрический потенциал, P (x) и N(x) — соответственно безразмер-ные плотности дырок и электронов. Функция R(x) описывает генерацию и рекомбинациюэлектронов и дырок (в настоящей работе она принята в форме Шокли — Рида — Холла[?]), а V является безразмерной разностью потенциалов, подаваемой на диод.


В настоящей работе дан эффективный аналитико–численный метод решения задачи(??)–(??). В его основе лежит, прежде всего, сведение исходной краевой задачи к системедвух уравнений, одно из которых интегро–дифференциальное, а второе — интегральное(разд. 2). Для решения последней системы предложен метод (см. разд. 4 и 6), основанныйна сочетании итерационного процесса типа Ньютона (для интегро–дифференциальногоуравнения) c процессом последовательных приближений (для интегрального уравнения), атакже с методом продолжения по параметру V от тех его значений, для которых начальноеприближение строится явно, до его произвольных значений.

При этом ряд важных функций и операторов, фигурирующих в указанных итераци-онных процессах, найдены в аналитическом виде. Так, в явном виде найдены производ-ная Фреше интегро-дифференциального оператора и функция Грина, используемая приобращении оператора этой производной (разд. 4), а также начальное приближение длярешения в некотором диапазоне изменения параметра V (разд. 3). Отметим еще, что ме-тод нигде не использует операцию дифференцирования искомых функций; используетсятолько их интегрирование (см. разд. 5). Предлагаемый метод обладает экспоненциальнойскоростью сходимости и высокой эффективностью, что было подтверждено численнымиэкспериментами, результаты которых приведены в разд. 7.

2. СВЕДЕНИЕ К СИСТЕМЕ ДВУХ УРАВНЕНИЙ

Заметим, что определяемый равенством (??) оператор Q (Ψ) [P ] линеен относительноP . Выпишем функцию Грина P(Ψ; x, ξ) краевой задачи

Q (Ψ) [P ] = 0, x ∈ [−1, 1]; P (−1) = P (1) = 0

и функцию Грина N(Ψ; x, ξ) аналогичной задачи с оператором Q(−Ψ) из уравнения (??).Первая из них дается формулами P (Ψ; x, ξ) = P± (Ψ; x, ξ) , где верхний индекс "−"соответствует условию x ∈ [−1, ξ] , a "+" — условию x ∈ [ξ, 1]; функции P± определяютсявыражениями

P−(Ψ; x, ξ) = e−Ψ(x)E ξ−1[Ψ]

E x−1[Ψ]

E[Ψ], P+(Ψ; x, ξ) = e−Ψ(x)E ξ

1 [Ψ]E x

1 [Ψ]

E[Ψ];

здесь использованы обозначения

Eβα [u] :=

β∫

α

exp[u(t)

]dt, E [u] := E1

−1 [u] .

Вторая функция Грина дается соотношениями N(Ψ; x, ξ) = N±(Ψ; x, ξ) , где N± определя-ются равенством

N±(Ψ; x, ξ) = P±(−Ψ; x, ξ) .

Заметим, что для других вводимых ниже функций, зависящих от x и ξ, верхние индексы"+" и "−" будут выбираться по тому же правилу.

Используя функции Грина P и N и вводя следующее обозначение для свертки:

⟨g(x, ξ) ∗ f(ξ)

⟩:=

1∫

−1

g(x, ξ) f(ξ) dξ,

получаем из уравнений (??), (??) представления для P и N через функции Ψ и R

P (x) = P [Ψ, R] := δP

⟨P(Ψ; x, ξ) ∗ R(ξ)

⟩+ eV −Ψ(x) Ex

−1[Ψ]

E[Ψ], (8)

N(x) = N [Ψ, R] := δN

⟨N(Ψ; x, ξ) ∗ R(ξ)

⟩+ eV +Ψ(x) E1

x[−Ψ]

E[−Ψ]; (9)


первые члены в правых частях равенств (??) и (??) представляют собой решения уравне-ний (??), (??) с однородными граничными условиями, а вторые — решения соответству-ющих однородных уравнений с неоднородными граничными условиями (??), (??).

Подставляя P = P [Ψ, R] и N = N [Ψ, R] из формул (??), (??) в уравнение (??), при-ходим к нелинейному интегро–дифференциальному уравнению относительно Ψ, котороевместе с граничными условиями из (??) составляет краевую задачу

L (R) [Ψ] = 0 , Ψ(−1) = −V , Ψ(1) = V ; (10)

здесь оператор L (R) [Ψ], действующий на функцию Ψ(x), определяется по формуле

L (R) [Ψ] := κ2 Ψ′′(x) − sign x + S [Ψ] + T (R) [Ψ] , (11)

где введены обозначения

S [Ψ] := eV −Ψ E x−1 [Ψ]

E [Ψ]− eV +Ψ E 1

x [−Ψ]

E [−Ψ],

T (R) [Ψ] := δP

⟨P(Ψ; x, ξ) ∗ R(ξ)

⟩− δN

⟨N(Ψ; x, ξ) ∗ R(ξ)

⟩.

Отметим, что в уравнении (??) функция R(x) играет роль параметра.Подставляя P = P [Ψ, R] и N = N [Ψ, R] из формул (??) и (??) в (??), получаем

интегральное уравнение для функции R(x)

R = R[P [Ψ, R], N [Ψ, R]

], (12)

в котором роль параметра играет функция Ψ(x).Таким образом, задача (??)–(??) для тройки функций Ψ, P, NV сведена к задаче (??),

(??) для пары функций Ψ, RV .

3. ПОСТРОЕНИЕ НАЧАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

Пусть Ψ0(x) есть (классическое) решение следующей краевой задачи на бесконечноминтервале (−∞, +∞):

κ2Ψ′′0 +

shΨ0

shV− sign x = 0; Ψ0(−∞) = −V, Ψ0(∞) = V. (13)

Можно показать, что при достаточно больших отрицательных V (т.е. при значениях V ,меньших некоторого V < 0) для него справедливы следующие оценки:

∣∣Ψ0(±1) − (±V )∣∣ ≤ C1 exp

(−κ−1

√−cthV

),

∣∣Ψ0 − Ψ∣∣ ≤ C2 e 2 V .

В силу этих оценок сужение функции Ψ0 на отрезок [−1, 1] можно принять в качественачального приближения для Ψ при V < V . Начальные приближения P0 и N0 для плот-ностей дырок и электронов определим через решение задачи (??) по формулам

P0(x) = − eΨ0(x)

2 shV, N0(x) = − e−Ψ0(x)

2 shV. (14)

Физически такое распределение электрического потенциала, дырок и электронов соот-ветствует условию равенства нулю дырочного и электронного токов в каждой точке иравенству нулю суммарного заряда на концах диода.

После решения задачи (??) и вычисления P0(x), N0(x) по формуле (??) начальное при-ближение R0(x) для функции R(x) находим, подставляя P0, N0 в формулу (7):

R0 (x) = R[P0 (x), N0(x)

].

Решение задачи (??) является, очевидно, нечетной функцией, поэтому вместо (13) до-статочно рассмотреть следующую задачу на полубесконечном интервале (0, ∞):

κ2Ψ′′0 = − shΨ0

shV+ 1; Ψ0(0) = 0, Ψ0(∞) = V. (15)


Замечая, что правая часть уравнения (??) не зависит явно от координаты x, и применяяизвестный прием [?], получаем для функции x(Ψ0), обратной к решению задачи (??),интегральное представление

x(Ψ0) = − κ√2

Ψ0∫

0

(chV − cht

shV− V − |t|

)−1/2

dt. (16)

Для того чтобы обратить этот интеграл и, тем самым, найти искомую функцию Ψ0(x),разложим подынтегральное выражение вблизи некоторых точек (например, Ψ0 = ±V илиΨ0 = 0) в соответствующие ряды, которые затем почленно проинтегрируем. Обращая по-лученные разложения при помощи известной техники (см., например, [?], [?]), приходимк набору представлений для функции Ψ0(x). Можно показать, что для представленияэтой функции достаточно дать её разложения вблизи начала координат, точек ±∞ и ещёнекоторых точек ±x, поскольку области сходимости этих разложений покрывают в со-вокупопности всю вещественную ось. Приведем два из них: в правой полуокрестностиначала координат и вблизи точки x = +∞.

Разложение в правой полуокрестности точки x = 0 имеет вид

Ψ0(x) =∞∑

k=1

ak

(κ−1 x

)k.

Здесь коэффициенты ak факторизуются следующим образом:

ak =(−√

2 L)k

ak,

где параметр L вводится по формуле

L = th (V/2) − V,

а величины ak определяются из следующих рекуррентных соотношений:

a1 = 1, ak = −k−1∑

n=1

an En, k , k ≥ 2 .

Здесь величины En, k даются равенствами

E1, k =fk−1

kL, k ≥ 1 ; En, k =

k−1∑

m=n−1

E1, k−m En−1, m; n ≥ 2 , k ≥ n ;

входящие в них коэффициенты fn даются рекуррентными формулами

f0 = 1, f1 =C1

2; fn =

1

2

[Cn −

n−1∑

k=1

fk fn−k

], n ≥ 2,

в которых величины Cn, в свою очередь, определяются через Dk

C0 = 1, Cn = −n−1∑

k=0

Ck Dn−k , n ≥ 1 ;

последние же вычисляются по формулам

D0 = 1, D1 = L−1 ; D2n =[(2n)! L

]−1, D2n+1 = 0, n ≥ 1 ,

получающимся путем разложения подкоренной функции из (??) в правой полуокрестностинуля.


Приведем также разложение функции Ψ0(x) в окрестности точки x = +∞

Ψ0 (x) = V +∞∑

k=1

bk exp[−k

√−cthV κ−1 x

],

Kоэффициенты bk в этом разложении представимы в виде

bk = bk exp (k√−cthV κ−1 x∗) , (17)

где параметр x∗ определяется по формуле

x∗ = − κ√2

Ψ∗∫

0

(chV − cht

shV− V + t

)−1/2

dt ,

а величина Ψ∗ := Ψ0(x∗) является суммой ряда

Ψ∗ = V +∞∑

k=1

bk. (18)

Коэффициенты bk из (??), (??) вычисляются из следующих рекуррентных соотношений:

b1 = 1, bk = −k−1∑

n=1

bn Hn, k, k ≥ 2,

в которых величины Hn, k даются формулами

H1, k = Ek−1, k ≥ 1; Hn, k =k−1∑

m=n−1

H1, k−m Hn−1, m ; n ≥ 2 , k ≥ n,

где En определяются равенствами

E0 = 1, En =n∑

k=1

ck1

k!Fk, n;

входящие в них коэффициенты Fn, k даются рекуррентными соотношениями

F1, k =ck

k c1

, Fn, k =k−1∑

m=n−1

F1, k−m Fn−1, m ; n ≥ 2 , k ≥ n,

в которых величины cn, в свою очередь, определяются через dn

c0 = 1, c1 =d1

2, cn =

1

2

[dn −

n−1∑

k=1

ck cn−k

], n ≥ 2 ,

последние же вычисляются через hk

d0 = 1, dn = −n−1∑

k=0

dk hn−k , n ≥ 1 ;

h0 = 1; h 2k−1 =2 th V

(2k + 1)!, h 2k =

2

(2k + 2)!, k ≥ 1 ,

которые получаются разложением подкоренного выражения в (??) в окрестности Ψ0 = V .


4. ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД

Для решения задачи (??), (??) относительно пары функций Ψ, RV предложен сле-дующий итерационный алгоритм. На его нулевом шаге строится начальное приближениеΨ0, R0V ; способ построения такого приближения при V < V дан в разд. 3, а для произ-вольных V — в разд. 6. На первом шаге процесса вначале находится функция Ψ1(x); дляэтого используется одна итерация излагаемого ниже метода типа Ньютона применитель-но к задаче (??), где полагается R = R0, а в качестве начального приближения беретсяΨ0. Затем с помощью (??), (??) находим функции P1 = P [Ψ1, R0] и N1 = N [Ψ1, R0] и,подставляя их в (??), получаем

R1 = R[P [Ψ1, R0], N [Ψ1, R0]

],

чем и завершаем первый шаг алгоритма. Каждый последующий его шаг состоит из од-ной итерации метода типа Ньютона для задачи (??) с начальным приближением для Ψ ифункцией R, вычисленными на предыдущем шаге, и одной итерации процесса последова-тельных приближений для уравнения (??). Общая схема последнего процесса следующая:

R0 = R[P0, N0

]; Rn = R

[P (Ψn, Rn−1), N (Ψn, Rn−1)

], n = 1, 2, . . . . (19)

Напомним, что P0 и N0 даются формулами (??), операторы P (Ψ, R) и N (Ψ, R) — фор-мулами (??), (??), а Ψn есть приближение к точному решению Ψ на n–м шаге алгоритма.

Обратимся к упомянутому выше операторному методу типа Ньютона [?]-[?] для решениязадачи (??). Прежде всего, приведем вид производной Фреше L′(u, f) [v] оператора L (f) [u]из (??)

L′ (u, f) [v] = κ2 v′′(x) − F (u, f ; x) v (x) + H(u, f) [v] . (20)

В этой формуле функция F даётся равенством

F (u, f ; x) := eV −u Ex−1[u]

E [u]+ eV +u E1

x[−u]

E [−u]+

+ δP

⟨P (u; x, ξ) ∗ f(ξ)

⟩+ δN

⟨N (u; x, ξ) ∗ f(ξ)

⟩,

а оператор H — следующим равенством:

H(u, f)[v] := eV −u(x) Ex−1 [u; v] E[u] − Ex

−1 [u] E [u; v]

(E[u])2−

−eV +u(x) E1x [−u; v] E [−u] − E1

x [−u] E[−u; v]

(E [−u])2+

+δP

⟨p (u, v; x, ξ) P(u; x, ξ) ∗ f(ξ)

⟩− δN

⟨n (u, v; x, ξ) N(u; x, ξ) ∗ f(ξ)

⟩.

Здесь использованы обозначения

Eβα[u; v] :=

β∫

α

v(t) eu(t)dt, E[u; v] := E 1−1[u; v],

а функции p и n определяются выражениями

p−(u, v; x, ξ) =Ex

−1 [u; v]

Ex−1 [u]

+E1

ξ [u; v]

E1ξ [u]

− E [u; v]

E [u],

p+(u, v; x, ξ) =Ex

1 [u; v]

Ex1 [u]

+Eξ

−1 [u; v]

Eξ−1 [u]

− E [u; v]

E [u],

n−(u, v; x, ξ) = p−(−u, v; x, ξ), n+(u, v; x, ξ) = p+(−u, v; x, ξ).


Функцию Ψ будем искать в виде предела последовательности

Ψ = limn→∞

Ψn , (21)

где разность Ψn+1 = Ψn+1 − Ψn является решением следующей краевой задачи

κ2d2 Ψn+1

dx2− F

(Ψn, Rn; x

)Ψn+1 = −L(Rn)

[Ψn

]− H

(Ψn, Rn

)[Ψn

], (22)

Ψn+1(−1) = 0, Ψn+1(+1) = 0, (23)

Отметим, что оператор H здесь действует на известную с предыдущего шага функциюΨn, а не на искомую Ψn+1, как это было бы в стандартном методе Ньютона [?]-[?].

Решение краевой задачи (??), (??) представляем в виде свертки

Ψn+1(x) = −⟨

G(Ψn, Rn; x, ξ

)∗

L(Rn)

[Ψn

]+ H

(Ψn, Rn

)[Ψn

]⟩(24)

правой части уравнения (??) и функции Грина G(u, f ; x, ξ) оператора

M (u, f) [v] := κ2 v′′(x) − F (u, f ; x) v (x) , u(∓1) = 0 (25)

и полагаем Ψ0 ≡ 0 по определению. Таким образом (как и было сказано выше), решениеΨ, RV задачи (??), (??) находится в виде предела итерационного алгоритма, включаю-щего на каждом своем шаге одну итерацию процесса (??) и одну итерацию следующегопроцесса типа Ньютона

Ψn+1 = Ψn − M−1(Ψn, Rn)[L(Rn)

[Ψn

]+ H

(Ψn, Rn

)[Ψn

]]. (26)

Подчеркнем, что в предложенном методе необходимо обращать дифференциальный опе-ратор M , что является намного более простой задачей, чем обращение сложного интегро–дифференциального оператора (??), как это требовалось бы в обычном методе Ньютона.Обращение оператора M и, тем самым, решение задачи (??), (??) сводится к постро-ению введенной выше функции Грина G(u, f ; x, ξ). Поскольку параметр κ мал, то длявычислительных целей достаточно использовать вместо функции G главный член G0 ееасимптотики при κ → 0, вид которого, полученный методом ВКБ [?], следующий:

G−0 (x, ξ) = −κ−1

[F (x) F (ξ)

]−1/4sh

(I x−1

)sh

(I 1

ξ

)/ sh

(I),

G+0 (x, ξ) = G−

0 (ξ, x), Iβα := κ−1

β∫

α

√F (t) dt , I := I 1

−1 ;

в этих формулах для краткости G±0 (u, f ; x, ξ) заменено на G±

0 (x, ξ), а F (u, f ; x) — на F (x).После того как приближения Ψn и Rn−1 найдены, приближения Pn и Nn к функциям

P и N определяются по формулам (??) и (??), в которые следует подставить Ψ = Ψn,R = Rn−1, т.е.

Pn = P [Ψn, Rn−1], Nn = N [Ψn, Rn−1], n > 0. (27)

Теорема 1. Существует такое V < 0, что при всех V < V решение Ψ, P, NV задачи(??)–(??) существует в классе B и единственно в окрестности Ψ0, P0, N0V . После-довательность Ψn, Pn, NnV , получаемая из итерационного процесса (??), (??), (??) сначальным приближением Ψ0, P0, N0V , определяемым из (??), (??), сходится к реше-нию задачи (??)–(??).


5. ИСКЛЮЧЕНИЕ ОПЕРАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Отметим, что при осуществлении описанного в разд. 4 алгоритма появляется необходи-мость вычисления выражения L(Rn)

[Ψn

], фигурирующего в формуле (??). Если для этого

вычисления непосредственно использовать определение оператора L (??), то возникаютсущественные трудности, связанные с численным дифференцированием быстро изменя-ющейся функции Ψ. Если же для этой цели использовать саму формулу (??) с диффе-ренцированием по переменному x и редукцией по индексу n, то возникает необходимостьвычисления сингулярных интегралов, что также приводит к большим трудностям. В дан-ной работе предложен способ нахождения L(Rn)

[Ψn

], основанный на явном вычислении

величины κ2Ψ′′n при помощи уравнения (??), исключающий операцию дифференцирова-

ния функции Ψn. Приведем соответствующие формулы для L(Rn)[Ψn], вытекающие из(??), (??), (??):

L (R0) [Ψ0] = − sh Ψ0

sh V+ S [Ψ0] + T (R0) [Ψ0],

L (Rn) [Ψn] = S [Ψn] − S [Ψn−1] + T (Rn) [Ψn] − T (Rn−1) [Ψn−1] +

+ F (Ψn−1, Rn−1; x) [Ψn] − H (Ψn−1, Rn−1) [Ψn−1], n > 0.

6. МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ

В соответствии с теоремой 1, при V = V∗ < V решение задачи (??)–(??) строитсяпри помощии итерационного процесса, описанного в разд. 4, и начального приближенияΨ0, P0, N0V∗ , найденного в разд. 3.

Для того чтобы получить решение этой задачи при V = V ∗ > V , разобьем отрезок[V∗, V

∗] точками Vm (где m = 0,M) так, что

V∗ =: V0 < V1 < . . . Vm < . . . < VM := V ∗, (28)

и обозначим через Ψ(Vm), P (Vm), N(Vm) решение задачи (??)–(??), соответствующееV = Vm. Если такое решение известно для V = Vm−1, то, основываясь на нем, можно по-лучить решение Ψ(Vm), P (Vm), N(Vm) при помощи метода, изложенного в разд. 4. Дляэтого положим в качестве начального приближения Ψ0(Vm), P0(Vm), N0(Vm) следующиефункции

Ψ0(Vm) := Ψ(Vm−1) + (Vm − Vm−1)x, (29)P0(Vm) := P (Vm−1), N0(Vm) := N(Vm−1); m = 1, 2, . . . ,M. (30)

Тогда при помощи итерационного процесса (??), (??) с заменой Ψn, Rn на Ψn(Vm), Rn(Vm)и начальными приближениями (??), (??) получим в пределе

Ψ(Vm) = limn→∞

Ψn(Vm), R(Vm) = limn→∞

Rn(Vm). (31)

Функции P (Vm) и N(Vm) получаются подстановкой Ψ(Vm) и R(Vm) в (??) и (??), т.е.

P (Vm) = P[Ψ(Vm), R(Vm)

], N(Vm) = N

[Ψ(Vm), R(Vm)

]. (32)

Поскольку решение Ψ(V0), P (V0), N(V0) известно, то такая процедура дает продолже-ние решения от меньших m к большим. Справедлива следующая

Теорема 2. Пусть решение Ψ(V∗), P (V∗), N(V∗) при V∗ < V0 известно. Тогда при до-статочно мелком разбиении (??) алгоритм (??), (??) с начальным приближением (??),(??) дает на M–м шаге продолжения по m решение Ψ(V ∗), P (V ∗), N(V ∗) задачи (??)–(??) при V = V ∗. Для любого V решение задачи (??)–(??) существует в классе B иединственно в окрестности начального приближения (??), (??).


Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3


Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6


Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9


7. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Изложенный метод решения задачи (??)–(??) был программно реализован. Численныерезультаты получены для широкого диапазона изменения входных параметров. Все при-ведённые ниже данные соответствуют следующим их значениям:

κ = 4.35 · 10−4, δP = 1.731 · 10−4, δN = 0.577 · 10−4, τ = 1, Ni = 10−9;

результаты, представленные на рис. 1–3, получены при V = −1, на рис. 4–6 — при V = 0, ана рис. 7–9 — при V = 6. Численные эксперименты показали, что для указанных значенийвходных параметров можно положить V = −1.

На рис. 1, 4, 7 даны графики функции Ψ(x) на всём отрезке [−1, 1], на рис. 2, 5, 8 —графики той же функции на отрезке [−0.004, 0.004], т.е. вблизи начала координат, чтопозволяет более детально представить структуру внутреннего слоя; на рис. 3, 6, 9 даныграфики функции P (x) на отрезке [−1, 1].

Метод показал высокую эффективность при всех рассматривавшихся значенияхвходных параметров. В частности, данные, представленные на рис. 1–9, получены с от-носительной погрешностью 10−9 при использовании 8 итераций алгоритма, описанного вразд. 4. Для V = 0 и V = 6, кроме того, использовался метод продолжения по параметру(разд. 6); при этом достаточно было положить ∆V := max

m(Vm − Vm−1) = 0.5 .

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 01–01–00341)


[1] Зи С. Физика полупроводниковых приборов. М.: Мир, 1984.[2] Selberherr S. Analysi and simulation of semiconducter devices. Springer Verlag, 1984.[3] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.[4] Уитеккер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа: в 2–х частях. М.: Едиториал УРСС, 2002.[5] Власов В.И. Краевые задачи в областях с криволинейной границей. М.: ВЦ АН СССР, 1987.[6] Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.[7] Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.[8] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука,

1976.[9] Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). М.: Мир, 1965.

Безродных С.И., Вычислительный центр им. А.А.Дородницына РАН, Москва,119991, ул. Вавилова, 40, Россия.

Власов В.И., Вычислительный центр им. А.А.Дородницына РАН, Москва,119991, ул. Вавилова, 40, Россия.



АНАЛИТИКО-ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТАСОЛИТОННЫХ РЕШЕНИЙ В МОДЕЛИ ТЕОРИИ ПОЛЯ

А. И. Боголюбский,МГУ им. М.В.Ломоносова,Мех.-мат. ф-т,

Москва, Россия;С. Л. Скороходов

ВЦ РАН, Москва, Россия

Предложен эффективный метод расчета солитонных решений в калибровочно-инвариантной модели антиферромагнетика Гейзенберга, использующий степен-ные и асимптотические ряды и технику их аналитического продолжения — пере-разложения, аппроксимации Паде и квадратичные аппроксимации. На основе со-временного комплексного анализа, включая методы компьютерной алгебры, про-ведено детальное исследование особых точек решения.

1. ВВЕДЕНИЕ

Для решения системы нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка,описывающих U(1) калибровочно-инвариантную обобщенную модель антиферромагнети-ка Гейзенберга c легкоосной анизотропией (см. [?]), разработан и численно реализованэффективный метод расчета солитонных решений (далее солитонов). Решение опреде-ляется, во-первых, непрерывным параметром анизотропии p, а во-вторых – дискретным"топологическим зарядом" Qt = 1, 2, . . ., т.е. степенью осуществляемого им отображениякомпактифицированного пространства R2

comp на сферу S2. Наибольший физический инте-рес представляют случаи Qt = 1 и Qt = 2.

Задача ставится для переменных ϕ(r) и β(r), описывающих поля Максвелла и Гейзен-берга на интервале r ∈ [0,∞); здесь r – радиальная переменная. Краевые условия заданы вдвух граничных точках, которые являются особыми: два условия – при r = 0 (особенностьтипа полюса порядка Qt) и два – при r = ∞ (существенно особая точка).

В [?] проведено численное исследование решений для параметра анизотропии p ∈[10−2, 10−1]; авторы [?] рассмотрели теоретические вопросы существования и единствен-ности решений возникающей системы ODE. С ипользованием методa интегральных нера-венств в [?] доказано, что искомое решение задачи не существует при значениях парамет-ра анизотропии p > 4 Qt. Однако проведенные обширные вычисления показали, что этаоценка может быть значительно улучшена и решение не существует уже при p > pcrit, гдекритическое значение pcrit для случая Qt = 1 составляет pcrit ≈ 0.4.

Для важных задач квантовой физики большой интерес представляют и отличные от ис-следованных в [?] значения параметра анизотропии p. В [?] нами проводился анализ случаяQt = 1 и p = 10−5. В настоящей работе модификация предложенного в [?] аналитико-численного метода позволила расширить область его применимости как для значений pвблизи pcrit, так и для сверхмалых величин параметра p ≈ 10−12.

Искомые функции ϕ(r) и β(r) при значениях p вблизи pcrit являются быстро изменяю-щимися в окрестности точки r = 0, имея сходство с погранслойными решениями, и исполь-зование различных численных методов здесь сопряжено со значительными трудностями,связанными с вопросами устойчивости решения в окрестности особых точек. Поэтомупредложенный здесь и в [?] метод является весьма актуальным. С помощью современно-го комплексного анализа, включая аппроксимации Паде и их обобщения (квадратичныеаппроксимации), а также методы компьютерной алгебры, в данной работе построено реше-ние и исследовано качественное и количественное поведение его особых точек. Для случая"топологического заряда" Qt = 1 уточнено значение критического параметра анизотро-пии pcrit = 0.408878203 и построено решение задачи при p ∈ [10−12, pcrit).


2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим на интервале r ∈ [0,∞) систему ODE (см. [?]):

ϕ ′′(r) +ϕ ′(r)

r−

[p +

β2(r)

r2

]sin ϕ(r) = 0 , (1.a)

β ′′(r) − β ′(r)

r− 2 β(r) sin2 ϕ(r)

2= 0 (1.b)

с краевыми условиямиϕ(0) = 2π , β(0) = Qt , (2.a)

ϕ(∞) = 0 , β ′(∞) = 0 . (2.b)

Функции ϕ(r) и β(r) связаны с переменными θ(r) и α(r) в работе [?] соотношениямиϕ(r) = 2θ(r), β(r) = Qt(1− α(r)). Здесь величина p – параметр анизотропии, p > 0, а Qt

– "топологический заряд", Qt = 1, 2, . . ..В точке r = 0 одно из независимых решений (1) имеет полюс порядка Qt, а второе

регулярно. Точка r = ∞ является существенно особой: одно из решений при r → +∞здесь имеет экспоненциальный рост, а второе ограничено. Нас интересуют функции ϕ(r)и β(r), регулярные при r = 0 и ограниченные при r → +∞.

В работе [?] получен главный член асимптотики решений (1), (2) при r → +∞:

ϕ(r) ≈ 2 T∞e−

√p r

√r

, β(r) ≈ B∞

[1 + T 2

∞e−2

√p r

2 p r

], (3)

где T∞ и B∞ – неизвестные постоянные, представляющие особый интерес.Далее рассмотрим метод решения задачи (1), (2) для случая "топологического заряда"

Qt = 1; при значении Qt = 2 метод включает непринципиальные изменения.

3. МЕТОД РЕШЕНИЯ

Рассмотрим две вспомогательные краевые задачи в точках r = 0 и r = ∞.Задача P0. В точке r = 0 в дополнение к (2.a) поставим недостающие два краевых

условияϕ ′(0) = t0 , β ′′(0) = b0 , (4.a)

где t0 и b0 – некоторые искомые постоянные. Задача (1), (2.a), (4.а) теперь однозначноразрешима при r ∈ [0,∞); условие (2.b) при этом не участвует в задаче P0.

Задача P∞. В точкe r = ∞ в дополнение к (2.b) поставим недостающие два краевыхусловия

limr→∞

1

2ϕ(r) e

√p r

√r = T∞ , β(∞) = B∞ , (4.b)

где T∞ и B∞ – другие искомые постоянные. Задача (1), (2.b), (4.b) также однозначноразрешима при r ∈ [0,∞); условие (2.a) при этом не участвует в задаче P∞.

Выберем теперь некоторое значение rm ∈ (0,∞) и построим решение задачи P0 на отрез-ке [0, rm] при заданных t0 и b0, а затем построим решение задачи P∞ на интервале [rm,∞)при некоторых T∞ и B∞. Варьируя постоянные t0 и b0, а также T∞ и B∞ и решая задачиP0 и P∞, добьемся гладкой стыковки функций ϕ(r) и β(r) в точке сшивки r = rm:

[ϕ(rm)] = 0, [ϕ ′(rm)] = 0, [β(rm)] = 0, [β ′(rm)] = 0, (5.a)

где [u(rm)] – скачок функции u(r) в точке rm:

[u(rm)] = u(rm + 0) − u(rm − 0) . (5.b)

Тогда, в силу уравнений (1), функции ϕ(r) и β(r) являются гладким решением задачи(1), (2) на всем интервале r ∈ [0,∞).


4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ P0 И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Учитывая регулярность решения в точке r = 0, представим функции ϕ(r) и β(r) в видеразложения

ϕ(r) =∞∑

m=0

ϕm rm , β(r) =∞∑

m=0

βm rm , |r| < Rc , (6)

где Rc – неизвестный радиус сходимости рядов (6). Подставляя (6) в (1), находим искомыекоэффициенты ϕm и βm рекуррентно:

ϕm =p sm−2 +

∑m−1k=1 sk β

(2)m−k + σm

m2 − 1, βm =

qm−1

2m − m2, m = 3, 4, . . . , (7)

где ϕ0 = 2π, ϕ1 = t0, β0 = 1, β2 = b0/2, а также обозначено

σm =m∑

n=2

n, 2 (−1)⌊n/2⌋ Φn,m

n!, qm =

m−3∑

k=0

βk cm−k−1 , β(2)m =

m∑

k=0

βk βm−k ,

cm =m∑

n=1

n + 1, 2 (−1)⌊n/2⌋ Φn,m

n!, sm =

m∑

n=1

n, 2 (−1)⌊n/2⌋ Φn,m

n!, (8)

Φ1,m = ϕm, Φn,m =m−1∑

k=n−1

Φn−1,k Φ1,m−k , n = 2, 3, . . . ;

здесь n, 2 = n mod 2, а ⌊·⌋ – целая часть числа.Полученный ряд (6) будем рассматривать при комплексификации радиуса r, что позво-

ляет определять особые точки функций ϕ(r) и β(r) в комплексной r-плоскости. Применимтеорему Фабри об отношении коэффициентов разложения функции и координате ее осо-бой точки (см. [?]).

Теорема Фабри. Если для коэффициентов степенного ряда u(z) =∑∞

m=0 um zm имеетместо соотношение

limm→∞

um

um+1

= a , (9)

то z = a – особая точка суммы этого ряда на границе его круга сходимости |z| < |a|.Тогда, используя (9) и вычисленные коэффициенты разложений (6), найдем положение

двух ближайших к началу координат комплексно-сопряженных особых точек r = ±iRc:

Rc = Rc(t0, b0) = limm→∞

√− ϕm−1

ϕm+1

= limm→∞

√− βm

βm+2

, m = 2, 4, 6, . . . . (10)

Квадратный корень и шаг 2 в номерах коэффициентов здесь возникают благодаря нечет-ности функции ϕ(r) − 2 π и четности β(r).

Метод переразложения. Вычислив значения ϕ(r), β(r) и производных ϕ ′(r), β ′(r) внекоторой точке r = R1 < Rc, мы повторим процедуру представления решения задачи P0

в виде разложений

ϕ(r) =∞∑

m=0

ϕm (r − R1)m , β(r) =

∞∑

m=0

βm (r − R1)m , (11)

где новые коэффициенты ϕm и βm находятся рекуррентно из (1), аналогично формулам(7), (8). При этом радиус сходимости в (11) отличен от значения (10) и определяетсяособыми точками, ближайшими к новому центру r = R1 этих разложений.

Продолжая цепочку переразложений (11) с центрами в r = R2, R3, . . . и приближаяськ точке сшивки rm, мы покроем отрезок r ∈ [0, rm] конечной системой окрестностей, вкаждой из которых решение задачи P0 находится с любой точностью.


5. Задача P∞ и асимптотические разложения

Для решения задачи P∞ при r → +∞, используем асимптотический метод. С учетомвида (3) главного члена асимптотики было получено полное разложение:

ϕ(r) ∼∞∑

m=0

Um(r) e−(2m+1)√

p r , β(r) ∼∞∑

m=0

Vm(r) e−2m√

p r , (12)

где функции Um(r) и Vm(r) имеют, в свою очередь, асимптотическое разложение:

Um(r) ∼ r−m−1/2

∞∑

n=0

um, n r−n , Vm(r) ∼ r−m

∞∑

n=0

vm, n r−n , r → +∞. (13)

Ряды вида (12), (13) связаны с методом Пуанкаре [?] разделения быстрых и медленныхпеременных, которыми в данном случае являются экспоненциальные функции и функцииUm(r) и Vm(r), соответственно.

Из постановки задачи P∞ следует, что коэффициенты разложений (13) являются функ-циями лишь двух параметров T∞ и B∞. Для нахождения этих явных зависимостей былииспользованы символьные преобразования в системе компьтерной алгебры MAPLE 9. Опе-рации с рядами здесь аналогичны правилу Коши (типа свертки) для перемножения сте-пенных рядов, но их трудоемкость значительно выше, что вызвано необходимостью учетадинамически изменяемой длины используемых разложений для медленных переменных,оптимизации вычислений и упорядочивания результата на каждом из шагов.

Приведем несколько первых коэффициентов um, n(T∞, B∞) и vm, n(T∞, B∞):

u0, 0 = 2 T∞ , u0, 1 =T∞(4 B2

∞ − 1)

4√

p, u0, 2 =

T∞(16 B4∞ − 40 B2

∞ + 9)

64 p,

u0, 3 =T∞(64 B6

∞ − 560 B4∞ + 1036B2

∞ − 225)

1536 p3/2; (14)

v0, 0 = B∞ , v1, 0 =B∞ T 2

∞2 p

, v1, 1 =B∞ T 2

∞ (4 B2∞ − 7)

8 p3/2,

v1, 2 =B∞ T 2

∞ (16 B4∞ − 104 B2

∞ + 121)

64 p2.

Аппроксимации Паде. Ряды (13) являются асимптотическими и могут обеспечитьнеобходимую точность решения задачи P∞ лишь при достаточно больших значениях r.Вместе с тем, точку сшивки rm необходимо выбирать такой, чтобы цепочка переразло-жений (11) при решении задачи P0 не была слишком длинной. Это требование диктуетнеобходимость существенного ускорения сходимости разложений (13), которого нам уда-лось добиться благодаря использованию аппроксимаций Паде (см. [?], [?]). Кратко опишемнаиболее эффективные диагональные аппроксимации Паде.

Для функции F (z), заданной своим разложением F (z) =∑∞

k=0 fk zk, строятся два такихмногочлена PN(z) и QN(z) степени N с условием QN(0) = 1, чтобы отношение PN(z)/QN(z)касалось функции F (z) в точке z = 0 с максимально возможным порядком:

F (z) − PN(z)

QN(z)= O(z2N+1) , z → 0. (15)

Это условие приводит к системе Паде линейных алгебраических уравнений относительнокоэффициентов многочлена QN(z), из решения которой затем находится многочлен PN(z).

Для вычисления медленных переменных Um(r) и Vm(r) в (13) были использованы ап-проксимации Паде (15) степени N = 15, где обозначено z = r−1. Это позволило добитьсяотносительной точности ε = 10−8 для решения задачи P∞ на всем интервале r ∈ [rm, +∞)


при значениях параметра анизотропии p ∈ (10−3, pcrit), в то время как сами асимптотиче-ские ряды (13) в окрестности точки сшивки r = rm быстро расходятся.

При значениях p ∈ (10−12, 10−3) аппроксимации (15) применялись на интервале r ∈[C rm, +∞), C > 1, а на отрезке r ∈ [rm, C rm], использовались регулярные переразло-жения (11); здесь C = C(p, ε) – эмпирически определяемая функция, сложным образомзависящая от задаваемой точности решения ε. Это позволило также гарантировать точ-ность ε = 10−8 при особо важных сверхмалых значениях параметра p.

6. СШИВКА РЕШЕНИЙ И СИМВОЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Как сказано выше, метод решения задачи (1), (2) сводится к поиску постоянныхt0, b0, T∞, B∞, которые обеспечили бы сшивку (5.a) решений задач P0 и P∞. Находитьэти четыре константы наиболее удобно с помощью непрерывного аналога итерационногометода Ньютона (см. [?]):

x(n+1) = x(n) − q

[∂G(x(n))

∂x

]−1

G(x(n)) , q ∈ (0, 1], x = (t0, b0, T∞, B∞)T, (16)

где G(x) – вектор-функция скачка (5.b) решений, а [∂G(x)/∂x]−1 – матрица, обратная кматрице Якоби функции G(x).

Для сходимости метода (16) особенно важным является вопрос выбора начального при-ближения искомого вектора x. Решение этой задачи было реализовано с помощью эффек-тивных символьных преобразований в системе MAPLE 9 следующим образом.

Представим приближенное решение задачи P0 в виде (6), ограничившись длиной разло-жений m ≤ 4. Для коэффициентов ϕm и βm, используя рекурсии (7), (8), получим явныепредставления через параметры t0 и b0 краевого условия (4.a):

ϕ0 = 2π, ϕ1 = t0, ϕ2 = 0, ϕ3 =p t08

+t0 b0

8− t30

48, ϕ4 = 0,

β0 = 1, β1 = 0, β2 =b0

2, β3 = 0, β4 =

t2016

.

Далее запишем приближенное решение задачи P∞ в виде (12), ограничившись значени-ями m = 0 и m = 1 для функций ϕ(r) и β(r), соответственно. Для разложений (13), (14)медленных переменных U0(r) и V1(r) построим аппроксимации Паде (15) степени N = 1,также содержащие явные представления через параметры T∞ и B∞ краевого условия (4.b):

U0(r) =2 T∞ [16

√p + (4 B2

∞ + 7) r−1]√r [16

√p + (9 − 4 B2

∞) r−1],

V1(r) =B∞ T 2

∞ [√

p (56 − 32 B2∞) + (23 + 8B2

∞ − 16 B4∞) r−1]

2 p r [√

p (56 − 32 B2∞) + (121 − 104 B2

∞ + 16 B4∞) r−1]

.

Теперь, осуществляя сшивку (5.a) приближенных решений задач P0 и P∞ в точкеrm = ηRc, η ∈ (0, 1), получим относительно искомых t0, b0, T∞, B∞ систему четырех урав-нений полиномиального типа степени 12. Ее численное решение находилось с помощьюпроцедуры fsolve в системе MAPLE 9. Численные эксперименты показали, что это реше-ние является хорошим начальным приближением для итерационного процесса Ньютона(16), который сходится с необходимой точностью за 6 – 8 шагов.

7. АНАЛИЗ ХАРАКТЕРА ОСОБЫХ ТОЧЕК

Для качественного анализа полученных решений важным является понимание положе-ния и характера особых точек. Кратко опишем здесь этот анализ, применяемый нами кширокому классу функций для различных задач математической физики.


Возвращаясь к решению задачи P0 (см. (1), (2.a), (4.а)) и комплексифицируя радиаль-ную переменную r, определим с помощью (10) положение ближайших к началу координатr = 0 особых точек r = ±iRc. Теперь найдем показатель сингулярности γ = γ(t0, b0) в этихточках, то есть величину γ в представлении

ϕ(r) = (R2c + r2)γ ϕ(r) , β(r) = (R2

c + r2)γ β(r) , (17)

где ϕ(r) и β(r) – регулярные в окрестности точек r = ±iRc функции. Решению этоговопроса служит

Теорема. Пусть функция F (z) имеет представление

F (z) = (z0 − z)γ Ψ(z) , z0 6= 0, γ 6= 0, 1, 2, . . . , (18)

где функция Ψ(z) регулярна в круге радиуса R, большего |z0|, R > |z0|. Пусть известнотакже разложение F (z):

F (z) =∞∑

m=0

fm zm , |z| < |z0|. (19)

Тогда для показателя сингулярности γ в (18) верно равенство

γ = limm→∞

m2

[fm+1 fm−1

f 2m

− 1

]− 1 . (20)

Приведем здесь схему доказательства, основанного на использовании разложения

(z0 − z)γ =zγ0

Γ(−γ)

∞∑

m=0

Γ(m − γ) z−m0

Γ(m + 1)zm (21)

и асимптотического ряда для отношения значений двух Γ-функций (см. [?]):

Γ(m + a)

Γ(m + b)= ma−b

[N−1∑

k=0

(−1)k B(1+a−b)k (a) (b − a)k

k! mk+ O(m−N)

], m → +∞; (22)

здесь (c)k = Γ(c + k)/Γ(c) – символ Похгаммера, а B(d)k (x) – обобщенные многочлены

Бернулли.Вводя разложение Ψ(z) =

∑∞n=0 ψn zn и умножая его, в соответствии с (18), на ряд (21),

находим коэффициенты fm в представлении (19):

fm =zγ−m0

Γ(−γ)

m∑

k=0

ψkΓ(m − k − γ)

Γ(m − k + 1)zk0 . (23)

Разобьем сумму в (23) на два слагаемых S1 +S2, где S1 =∑[m/2]

k=0 (·), S2 =∑m

k=[m/2]+1 (·);тогда для суммы S2 можно показать, что S2 = o(S1) при m → ∞.

Оценивая теперь сумму S1, для каждой дроби Γ(m−k−γ)/Γ(m−k+1) из (23) используемряд (22) с тремя первыми членами; это приводит к необходимому равенству (20) дляпоказателя сингулярности γ.

Условие (18) в этой Теореме весьма важно и отказ от него не позволяет нам доказатьформулу (20), поскольку абелева и тауберова теории [?], [?] не дают метода нахожденияпоказателя сингулярности в особых точках лишь по коэффициентам разложения функции.Это и привело нас к необходимости доказательства (20) в указанных выше условиях. Яснопоэтому, что равенство (20) служило для нас лишь косвенным инструментом анализахарактера особых точек.

Вычисленные значения показателя сингулярности γ в представлении (17) оказыва-ются дробными для всего диапазона изменения параметра анизотропии p ∈ (0, pcrit):


γ ∈ (0.2, 0.9). Это говорит об особенности типа ветвления в точках r = ±iRc и под-тверждает неинтегрируемость системы (1) (см. [?]).

Другим инструментом исследования особых точек являлось использование аппрокси-маций Паде (15) для рядов (6) и (11). Суть такого анализа состоит в изучении поведениянулей и полюсов рациональной аппроксимации PM(z)/QN(z), которыми являются нулимногочленов PM(z) и QN(z), соответственно. Если исходная функция F (z) является меро-морфной на некотором круге D = z : |z| < R и содержит здесь N полюсов, то строчныеаппроксимации Паде PM(z)/QN(z), где N фиксировано, а M → ∞, сходятся с геометри-ческой скоростью к функции F (z) на всем круге D за исключением точек полюсов (см [?],[?]).

Если же исходная функция F (z) не является на D мероморфной, то нули и полюсыаппроксимации Паде PM(z)/QN(z) могут вести себя очень прихотливым образом. Чтобыподчеркнуть это сложное поведение, для них вводится понятие "дефектов" аппроксима-ции Паде (см. [?], [?]). При увеличении степеней M и N аппроксимации PM(z)/QN(z)эти нули и полюсы могут скучиваться в некоторых областях, проявляя эффект "кроудин-га" (crowding), а также стихийно возникать и исчезать, образуя блуждающие ("spurious")дефекты (см. [?], [?], [?]).

Особенно интересным здесь является накопление дефектов аппроксимации Паде вокрестности точек ветвления и вблизи берегов разрезов, проведенных из точек ветвле-ния до бесконечно удаленной точки по лучам, исходящим из начала координат.

В проведенном исследовании дефектов диагональных аппроксимаций ПадеPN(z)/QN(z) при увеличении степени N очень ярко проявлялось именно последнееиз описанных явлений – в окрестности особых точек r = ±iRc и вблизи разрезовr = ±ix, x ≥ Rc, накапливались нули и полюсы аппроксимации, подтверждая вывод обособых точках типа ветвления.

Современным "трехмерным" обобщением "двумерных" аппроксимаций Паде являют-ся квадратичные аппроксимации, которые впервые исследованы в работе [?]. Процесс ихпостроения заключается в следующем: по разложению функции F (z) =

∑∞k=0 fkz

k нахо-дятся многочлены QM(z), RN(z) и SL(z) степеней M , N и L соответственно такие, чтоQM(0) = 1 и

QM(z) F 2(z) + 2RN(z) F (z) + SL(z) = O(zM+N+L+2), z → 0 . (24)

Коэффициенты qj, rj и sj многочленов QM(z), RN(z) и SL(z) находятся из системы ли-нейных уравнений, которая получается из определения (24):

k∑

j=0

qjf(2)k−j + 2

k∑

j=0

rjfk−j + sk = 0, k = 0, 1, . . . ,M + N + L + 1,

где f(2)j =

∑jm=0 fjfm−j. Тогда, полагая правую часть равенства (24) нулем, получаем

искомую аппроксимацию F (z):

F[M/N/L](z) =−RN(z) +

√R2

N(z) − QM(z) SL(z)

QM(z), (25)

причем здесь возникает необходимость выбора нужной ветви корня.Аппроксимации этого типа, в отличие от аппроксимаций Паде, обладают не только

особенностями типа полюсов, но и точками ветвления порядка 1/2.Обширные результаты расчетов показали, что аппроксимации (25) по конечному числу

членов разложения (6) при выборе краевых условий t0 и b0 в задаче P0, близких к обеспе-чивающим решение исходной задачи (1), (2) для фиксированного параметра анизотропииp, дают значительно более точное приближение к решению на всем интервале r ∈ [0, ∞),


нежели аппроксимации Паде. Это показывает, что квадратичные аппроксимации лучшеучитывают специфику особенностей решения исходной системы (1).

Используя теорему Фабри и данные, полученные на основе анализа "кроудинга" нулей иполюсов аппроксимации Паде (15) и анализа особенностей квадратичных аппроксимаций(25), было детально исследовано поведение особых точек решения краевой задачи P0.

Прежде всего, мы изучили динамику особых точек ±iRc решения задачи (1), (2) приизменении параметра анизотропии p. На Фиг. 1 приведена рассчитанная зависимость Rc(p)координат этих точек для параметра p ∈ (0, pcrit).

Фиг. 1Помимо этого, была исследована динамика "ложных" особых точек решений задачи P0

при фиксированном параметре p и различных значениях t0 и b0, участвующих в краевыхусловиях (4.а). Как сказано выше, величины t0 и b0 мы находим в процессе итераций(16), каждый раз решая задачу P0 с помощью построения цепочки переразложений длярешений ϕ(r) и β(r) в регулярных точках Rk:

ϕ(r) =∞∑

m=0

ϕ(k)m (r − Rk)

m , β(r) =∞∑

m=0

β(k)m (r − Rk)

m . (26)

Однако разложения (26) сходятся в окрестностях, ограниченных ближайшими к цен-трам Rk особыми точками. При варьировании параметров t0 и b0 эти особые точки дви-жутся в комплексной r-плоскости, изменяя характер решения задачи P0.

Особенно интересным явлением здесь оказывается поведение особых точек для фик-сированного параметра анизотропии p при приближении величин t0 и b0 к значени-ям, доставляющим искомое решение задачи (1), (2). Эти точки участвуют комплексно-сопряженными парами и они уходят в бесконечно удаленную существенно-особую точкуr = ∞ вдоль весьма сложных траекторий. Лишь пара ближайших к началу координатчисто мнимых точек ±iRc оказывается при этом конечной.

Особые точки решения, уходящие в r = ∞ при приближении параметров t0 и b0 к значе-ниям, обеспечивающим решение задачи P0, мы называем "ложными" особыми точками.На Фиг. 2 показана траектория первой такой особой точки S при p = 0.01 и приближе-нии вещественного параметра t0 к истинному значению, когда величина b0 задана верно.Первой эту точку мы считаем потому, что именно она (в паре с комплексно-сопряженной)является первой особой точкой решения (не считая пары чисто мнимых точек ±iRc),встречающейся при использовании переразложений (26).


Фиг. 2Все следующие "ложные" особые точки движутся по аналогичным траекториям, удаля-

ясь от вещественной оси Re (r), так что решение ϕ(r) и β(r) задачи (1), (2) при правильнонайденных значениях t0 и b0 оказывается строго монотонно убывающим на всем интерва-ле r ∈ [0; +∞). Hа Фиг. 3 и Фиг. 4 даны графики полученных функций ϕ(r) и β(r) призначении параметра анизотропии p = 10−5. На оси r ромбиками отмечены 2 точки пере-разложения (11) на одном из шагов в итерационной схеме, а кружочком — точка сшивкиrm.

ϕ(r)

Фиг. 3 r


β(r)

Фиг. 4 r

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработанный метод, в сочетании с методом продолжения по параметру анизотропииp (см. [?]) был применен для расчета солитонных решений задачи (1), (2) при изменениизначения p в диапазоне p ∈ (10−12, pcrit). Относительная погрешность решения при этомбыла не выше ε = 10−8, а число итераций в методе Ньютона составило 6 – 8.

Отметим здесь, что аналогичный подход был применен нами к исследованию и высоко-точному расчету систем нелинейных уравнений другой природы, включая ударные волныв магнитной гидродинамике. На всех этапах такого анализа незаменимую роль игралиметоды аналитического продолжения степенных и асимптотических рядов, использованиеаппроксимаций Паде и квадратичных аппроксимаций, а также эффективные символьныепреобразования.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 01–01–00341).


[1] Bogolubsky I.L., Bogolubskaya A.A. 2D Topological Solitons in the Gauged Easy-Axis HeisenbergAntiferromagnet Model // Physics Letters B. 1997. V. 395. P. 269-274.

[2] Ai Sh., Chen X. Solitons of the Two-Dimensional 3-Component Gauged Sigma Model // Journ. of Diff.Equat. 1999. V. 153. P. 61-81.

[3] Боголюбский А.И., Скороходов С.Л. Аппроксимации Паде, символьные преобразования и метод рас-чета солитонов в двухполевой модели антиферромагнетика // Программирование. 2004. No 2.

[4] Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М. "Наука". 1967.[5] Найфэ А. Введение в методы возмущений. М. "Мир". 1984.[6] Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М. "Мир". 1986.[7] Суетин С.П. Аппроксимации Паде и эффективное аналитическое продолжение степенного ряда //

Успехи матем. наук. 2002. Т. 57. Вып. 1. С. 45–142.[8] Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений. М. "Мир". 1985.[9] Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. М. "Мир". 1980.[10] Харди Г. Расходящиеся ряды. М. "ИЛ". 1951.[11] Постников А.Г. Тауберова теория и ее применения // Труды МИАН. 1979. Т. CXLIV. 145 c.[12] Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. М. "Эдиториал УРСС". 2001.


[13] Скороходов С.Л. Аппроксимации Паде и численный анализ дзета-функции Римана // Журн. вычисл.матем. и матем. физ. 2003. Т. 43. No 9. С. 1330–1352.

[14] Shafer R.E. On Quadratic Approximation // SIAM Journ. Numer. Anal. 1974. V. 11. No 2. P. 447–460.[15] Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая парамет-

ризация. М. "Эдиториал УРСС". 1999.

Боголюбский А.И., студ., МГУ им. М.В.Ломоносова, Мех.-мат. ф-т., Москва,119992, Россия


Скороходов С.Л., к.ф.-м.н., ВЦ РАН, Москва, 119991, Россия



О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ТИПА КОШИ ДЛЯАБСТРАКТНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С

ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ7

А.В. Глушак, Ю.В. ПоваляеваВоронежский государственный технический университет

Воронеж, Россия

Аннотация

Criteria of a uniform correctness homogeneous problems such as Cauchy for abstractdifferential equation with fractional derivative and the formula for the decision of thenon-uniform equation. As an example the problem such as Cauchy with a fractionaldegree of generator C0-semi - group is considered. The theorem about indignation ofthe equation of the limited operator is proved also it is examined it application to anestablishment of a uniform correctness for iterated equation.

Приводятся критерий равномерной корректности однородной задачи типа Ко-ши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной и фор-мула для решения неоднородного уравнения. В качестве примера рассмотрена за-дача типа Коши с дробной степенью генератора C0-полугруппы. Доказываетсятеорема о возмущении уравнения ограниченным оператором и рассматриваетсяее применение к установлению равномерной корректности итерированного урав-нения.

В банаховом пространстве E рассматривается следующая задача

Dαv(t) = Av(t), t > 0, (1)

limt→0

Dα−1v(t) = v0, (2)

где A — линейный замкнутый оператор в E с плотной в E областью определения D(A),v0 ∈ D(A),

Dαv(t) =1

Γ(1 − α)

d

dt

t∫

0

(t − s)−α v(s) ds −

левосторонняя дробная производная Римана-Лиувилля порядка α ∈ (0, 1) (см. [?]), Γ(·) —гамма-функция Эйлера,

Dα−1v(t) = I1−αv(t) =1

Γ(1 − α)

t∫

0

(t − s)−α v(s) ds −

левосторонний дробный интеграл Римана-Лиувилля порядка 1−α. Под решением задачи(1), (2) понимается сильно непрерывная при t > 0 функция v(t) такая, что I1−αv(t) пред-ставляет собой сильно непрерывно дифференцируемую при t > 0 функцию, функция v(t)принимает значения из D(A) и удовлетворяет (1), (2).

Используя метод регуляризации контурного интеграла, в [?] был указан критерий рав-номерной корректности задачи (1), (2). В настоящей работе мы приводим иной критерийравномерной корректности этой задачи, который при α = 1 превращается в известнуютеорему Хилле-Иосиды [?, c. 68].

Задача Коши для уравнения порядка α, содержащего регуляризованную дробную произ-водную, рассматривалась в [?]. В этой статье вместо условия (2) задается условие v(0) = v0.

7Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 04 – 01 – 00141


В идейном отношении излагаемые в [?] результаты примыкают к теории ослабленной за-дачи Коши (см. [?, c. 76]).

Определение 1. Задача (??), (??) называется равномерно корректной, если существуетзаданная на E, коммутирующая с A операторная функция Tα(t, A) и числа M ≥ 1, ω ∈ Rтакие, что для любого v0 ∈ D(A) функция Tα(t, B)v0 является ее единственным решением,и при этом

‖Tα(t)‖ ≤ Mtα−1 exp(ωt). (3)

Например, если A — ограниченный оператор, то (см.[?, c. 601 ]) Tα(t) = tα−1Eα,α (tαA),где Eα,β(·) — функция типа Миттаг-Леффлера.

Установим вначале необходимое условие равномерной корректности задачи (??), (??).Пусть R(λ) = (λI − A)−1 — резольвента оператора A.

Теорема 1. Если задача типа Коши (??), (??) равномерно корректна и Reλ > ω, то λα

принадлежит резольвентному множеству ρ(A) оператора A, для любого x ∈ E справедли-во представление

R(λα)x =

∞∫

0

exp(−λt)Tα(t)x dt, (4)

и при этом для всех целых n ≥ 0

∥∥∥∥dnR(λα)

dλn

∥∥∥∥ ≤ MΓ(α + n)

(Reλ − ω)n+α . (5)

Следует отметить, что оператор A, для которого равномерно корректна задача (??),(??), вообще говоря, не является генератором C0-полугруппы, т.к. его резольвентное мно-жество не содержит правой полуплоскости.

Теорема 2. Если при Reλ > ω оператор A имеет резольвенту R (λα), которая удовлетво-ряет неравенству (??), и v0 ∈ D(A), то функция

Tα(t)v0 = D1−α 1

2πiv.p.

ω0+i∞∫

ω0−i∞

λα−1 exp(λt)R (λα) v0 dλ, ω0 > max(0, ω) (6)

является решением задачи (??), (??).

Теорема 3. Для того чтобы задача типа Коши (??), (??) была равномерно корректной,необходимо и достаточно, чтобы при Reλ > ω оператор A имел резольвенту R (λα), удо-влетворяющую неравенству (??).

Доказательство теорем 1 – 3 приводится в [?].Используя неравенство (??) и теорему 3, доказывается, что что если с оператором А

равномерно корректна задача (??), (??), то с этим же оператором равномерно корректнаи задача вида (??), (??), содержащая дробную производную порядка δ = α/2. Мы уста-новим формулу, связывающую решения указанных задач и при α = 1 применим ее дляисследования поведения решения при t → ∞.

Теорема 4. Пусть для α ∈ (0, 1] выполнено неравенство (??) и δ = α/2. Тогда задача

Dδv(t) = Av(t), limt→0

Dδ−1v(t) = v0 ∈ D(A)


равномерно корректна и ее решение имеет вид

Tδ(t)v0 =2tδ−1

π

∞∫

0

∞∫

0

sα−1E1,δ

(−ts2

)sin

(πα

2− τs

)ds Tα(τ)v0 dτ .

Следствие. Пусть в неравенстве (??) α = 1, т.е., как следует из теоремы Хилле-Иосиды,оператор А является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы T1(t)класса C0. Тогда задача

D1/2v(t) = Av(t), limt→0

D−1/2v(t) = v0 ∈ D(A)

равномерно корректна и ее решение имеет вид

T1/2(t)v0 =1

2t√

πt

∞∫

0

τ exp

(−τ 2

4t

)T1(τ)v0 dτ. (7)

Представление (??) может быть использовано для исследования поведения функцииT1/2(t)v0 при t → ∞.

Теорема 5. Пусть А — производящий оператор сильно непрерывной полугруппы T1(t)класса C0, причем sup

t≥0‖T1(t)‖ ≤ M . Тогда для того чтобы существовал предел

limt→∞

√πt T1/2(t)v0 = l,

необходимо и достаточно, чтобы существовал предел

limt→∞

1

t

t∫

0

T1(τ)v0 dτ = l.

Доказательство теорем 4, 5 приводится в [?].

В качестве еще одного приложения неравенства (??) рассмотрим задачу типа Коши длядробной степени генератора C0-полугруппы.

Пусть E — комплексное банахово пространство, T(t) — равномерно ограниченная C0-полугруппа с генератором A. Тогда можно определить положительную дробную степеньоператора (–A) (см., например, [?, c. 96])

− (−A)αf =sin απ

π

∞∫

0

λα−1(λI − A)−1Af dλ, (8)

где α ∈ (0, 1), f ∈ D(A).При этом, если g ∈ E, то для резольвенты оператора −(−A)α, который в дальнейшем

мы будем обозначать Aα, справедливо представление

(µI − Aα)−1g =sin απ

π

∞∫

0

λα(λI − A)−1g

µ2 − 2µλα cos απ + λ2αdλ.

Доказывается, что с оператором Aα равномерно корректна следующая задача типа Ко-ши

Dαv(t) = Aαv(t), t > 0, (9)


limt→0

Dα−1v(t) = v0, v0 ∈ D(A). (10)

Теорема 6. Пусть A является генератором равномерно ограниченной C0-полугруппы иоператор Aα определен равенством (??). Тогда задача типа Коши (??), (??) равномернокорректна.

Рассмотрим теперь задачу нахождения решения неоднородного уравнения

Dαv(t) = Av(t) + f(t), t > 0, (11)

удовлетворяющего условию (??). Установим формулу для решения задачи (??), (??), ис-пользуя операторную функцию Tα(t) и формулу из примера 42.2 [?], позволяющую на-ходить решение неоднородного уравнения в случае, когда A — оператор умножения начисло.

Теорема 7. Пусть однородная (f(t) ≡ 0) задача (??), (??) равномерна корректна, v0 ∈D(A) и выполнено одно из двух условий: a) f(t) ∈ C ((0,∞), E) абсолютно интегpиpуема внуле и принимает значения в D(A) , Af(t) ∈ C ((0,∞), E) и также абсолютно интегpиpуемав нуле; b) Dαf(t) ∈ C ((0,∞), E) и абсолютно интегpиpуема в нуле. Тогда неоднороднаязадача (??), (??) имеет единственное решение, которое определяется равенством

v(t) = Tα(t)v0 +

t∫

0

Tα(t − s)f(s) ds,

где Tα(t) задается равенством (??).

Доказательство теорем 6, 7 приводится в [?].

Исследуем далее равномерную корректность абстрактного дифференциального уравне-ния с дробной производной при возмущении его ограниченным оператором и равномернуюкорректность итерированного уравнения с дробной производной.

Теорема 8. Пусть равномерно корректна задача (??), (??) и пусть P — линейный огра-ниченный оператор из E в E. Тогда равномерно корректна возмущенная задача

Dαv(t) = (A + P )v(t), t > 0, (12)

limt→0

Dα−1v(t) = v0, (13)

и при этом справедливо представление

Tα(t, A + P ) =∞∑

n=0

Vn(t), (14)

где V0(t) = Tα(t, A), Vn(t) =t∫

0

Tα(t − s, A)PVn−1(s) ds, n = 0, 1, ...

Доказательство. Установим сначала существование резольвенты оператора A + P , т. е.,докажем, что при заданном комплексном λ, Reλ > ω1 существует ограниченный обратныйоператор R(λα, A + P ) = (λαI − (A + P ))−1.

Рассмотрим

λαI − (A + P ) = (λαI − A)(I − (λαI − A)−1 P

)= (λαI − A) (I − R(λα, A)P )

и покажем, что существует обратный оператор к оператору I − R(λα, A)P .


В силу (??) при достаточно больших Reλ > ω имеем

‖R(λα, A)P‖ ≤ M Γ(α) ‖P‖(Reλ − ω)α

< 1 ,

поэтому справедливо разложение

(I − R(λα, A)P )−1 =∞∑

n=0

(R(λα, A)P )n,

и, таким образом, существует

R(λα, A + P ) =∞∑

n=0

R(λα, A)n+1P n. (15)

Разрешающий оператор задачи (??), (??) будем искать в виде ряда

T (t) =∞∑

n=0

Vn(t).

Методом математической индукции докажем следующую оценку

‖Vn(t)‖ ≤ Mn+1 ‖P‖n Γn+1(α)

Γ((n + 1)α)t(n+1)α−1 exp(ωt), n = 0, 1, ... (16)

Действительно, при n = 0 неравенство (??) совпадает с неравенством (??).Пусть далее неравенство (??) справедливо для n = k − 1, т.е., выполнена оценка

‖Vk−1(t)‖ ≤ Mk ‖P‖k−1 Γk(α)

Γ(kα)tkα−1 exp(ωt). (17)

Тогда в силу (??), (??) будем иметь

‖Vk(t)‖ ≤t∫

0

‖Tα(t − s, A)‖ · ‖P‖ · ‖Vk−1(s)‖ ds ≤

≤ Mk+1 ‖P‖k Γk(α)

Γ(kα)

t∫

0

(t − s)α exp(ω(t − s))skα−1 exp(ωs) ds =

= Mk+1 ‖P‖k Γk+1(α)

Γ((k + 1)α)t(k+1)α−1 exp(ωt).

Таким образом, справедливость оценки (??) для n = k доказана.Учитывая (??), оценим

∞∑

n=0

‖Vn(t)‖ ≤∞∑

n=0

Mn+1 ‖P‖n Γn+1(α)t(n+1)α−1

Γ((n + 1)α)exp(ωt) =

= MΓ(α)tα−1 exp(ωt)∞∑

n=0

(M ‖P‖Γ(α)tα)n

Γ((n + 1)α)=

= MΓ(α)tα−1 exp(ωt) Eα,α (M ‖P‖Γ(α)tα) . (18)

Используя асимптотическое равенство для функции Миттаг-Леффлера (см. [?, c. 224])

Eα,β(z) =1

αz(1−β)/α exp(z1/α) + O

(1

|z|

), z → ∞, |argz| ≤ απ

2,


из (??) получим∞∑

n=0

‖Vn(t)‖ ≤ MM1Γ(α)tα−1 exp((ω + ω0)t), ω0 > (M ‖P‖Γ(α))1/α . (19)

Следовательно, мажорирующий ряд∞∑

n=0

‖Vn(t)‖ сходится, поэтому ряд∞∑

n=0

Vn(t) абсолют-

но сходится.

Применив интегральное преобразование Лапласа к представлению T (t)x =∞∑

n=0

Vn(t)x,

x ∈ E, будем иметь∞∫

0

exp(−λt)T (t)x dt =

∞∫

0

∞∑

n=0

exp(−λt)Vn(t)x dt =∞∑

n=0

∞∫

0

exp(−λt)Vn(t)x dt =

=

∞∫

0

exp(−λt)Tα(t, A)x dt +∞∑

n=1

∞∫

0

exp(−λt)V n(t)x dt, λ = σ + iω. (20)

В силу равномерной корректности задачи (??), (??) справедливо представление (??),поэтому имеет место равенство

∞∫

0

exp(−λt)Vn(t)x dt = P n (R(λα, A))n+1 x, (21)

которое докажем по индукции. Действительно, для n = 1 имеем∞∫

0

exp(−λt)V1(t)x dt =

∞∫

0

exp(−λt) dt

t∫

0

Tα(t − τ, A)PTα(τ, A)x dτ =

= P

∞∫

0

Tα(τ, A) dτ

∞∫

τ

exp(−λt)Tα(t − τ, A)x dt =

= P

∞∫

0

exp(−λτ)Tα(τ, A)dτ

∞∫

0

exp(−λt1)Tα(t1, A)x dt1 = P (R(λα, A))2 x.

Пусть (??) выполнено для n = k, т.е.∞∫

0

exp(−λt)Vk(t)x dt = P k (R(λα, A))k+1 x.

Тогда∞∫

0

exp(−λt)Vk+1(t)x dt =

∞∫

0

exp(−λt) dt

t∫

0

Tα(t − τ, A)PVk(τ)x dτ =

= P

∞∫

0

Vk(τ) dτ

∞∫

τ

exp(−λt)Tα(t − τ, A)x dt =

= P

∞∫

0

exp(−λτ)Vk(τ) dτ

∞∫

0

exp(−λt1)Tα(t1, A)x dt1 = P k+1 (R(λα, A))k+2 x.

Таким образом, формула (??) доказана.


Из (??), (??), (??) вытекает, что

R(λα, A + P )x =

∞∫

0

exp(−λt)T (t)x dt, x ∈ E. (22)

Используя оценку (??) и представление (??), для Reλ > ω + ω0 будем иметь

∥∥∥∥dnR(λα, A + P )

dλn

∥∥∥∥ ≤∞∫

0

tn exp(−tReλ) ‖T (t)‖ dt ≤

≤ MM1Γ(α)

∞∫

0

tn+α−1 exp((ω + ω0 − Reλ)t) dt =MM1Γ(α)Γ(n + α)

(Reλ − ω − ω0)n+α . (23)

Таким образом, при Reλ > ω + ω0 существует резольвента R(λα, A + P ) оператораA + P и установлена оценка (??), поэтому в силу теоремы 3 задача (??), (??) равномернокорректна.

Так как R(λα, A + P ) — резольвента оператора A + P , то по теореме 1 справедливоследующее представление

R(λα, A + P )x =

∞∫

0

exp(−λt)Tα (t, A + P ) x dt, x ∈ E. (24)

В силу того, что оригинал по известному изображению определяется единственнымобразом, из формул (??) и (??) вытекает, что T (t) = Tα(t, A + P ). Теорема доказана.

В качестве применения теоремы 8 рассмотрим теперь в банаховом пространстве E сле-дующее уравнение

n∏

i=1

(Dα − Ai)v(t) = 0, (25)

где Ai (i = 1, n) — линейные, замкнутые, вообще говоря, некоммутирующие и плотноопределенные в E с областью определения D(Ai) операторы.

Также предположим, что множество

D =⋂

i1 ≥ i2 ≥ ... ≥ im

D(Ai1 ...Aim) : ij ∈ (1, ..., n), j = 1, ...,m, m = 1, 2, ..., n

плотно в E.Введем следующие обозначения

v(t) = u1(t),

j−1∏

i=1

(Dα − Ai)v(t) = uj(t), 2 ≤ j ≤ n.

Тогда уравнение (??) запишется в виде системы

Dαu1(t) = A1u1(t) + u2(t),...Dαun−1(t) = An−1un−1(t) + un(t),Dαun(t) = Anun(t).

(26)

Зададим начальные условия в виде

limt→0

Dα−1ui(t) = ui 0, i = 1, n. (27)


Определение 2. Под решением задачи (??), (??) понимается непрерывная при t > 0функция v(t) такая, что I1−αuj(t), 1 ≤ j ≤ n представляют собой непрерывно дифферен-цируемые при t > 0 функции, uj(t) ∈ D(Aj+1) и, наконец, u(t) удовлетворяет равенствам(??), (??).

В матричном виде система (??) и начальные условия (??) примут вид

Dα

u1(t). . .

un−1(t)un(t)

=

A1 . . . 0 0. . . . . . . . . . . .0 . . . An−1 00 . . . 0 An

u1(t). . .

un−1(t)un(t)

+

+

1 . . . 0 0. . . . . . . . . . . .0 . . . 0 10 . . . 0 0

u1(t). . .

un−1(t)un(t)

, (28)

limt→0

Dα−1

u1(t). . .

un−1(t)un(t)

=

u1 0

. . .un−1 0

un 0

. (29)

Обозначим через En банахово пространство, состоящее из элементов (u1, ..., un), где ui ∈E, с нормой ‖(u1, ..., un)‖ =

n∑i=1

‖ui‖ и пусть

U(t) =

u1(t). . .

un−1(t)un(t)

, U0 =

u1 0

. . .un−1 0

un 0

, A =

A1 . . . 0 0. . . . . . . . . . . .0 . . . An−1 00 . . . 0 An

,

P =

1 . . . 0 0. . . . . . . . . . . .0 . . . 0 10 . . . 0 0

. (30)

Используя обозначения (??), задачу (??), (??) запишем в виде

DαU(t) = (A + P )U(t), t > 0, (31)

limt→0

Dα−1U(t) = U0. (32)

Определение 3. Задача (??), (??) называется равномерно корректной, если в En равно-мерно корректна задача (??), (??).

Пусть задачиDαui(t) = Aiui(t), (33)

limt→0

Dα−1ui(t) = ui 0, i = 1, ..., n (34)

равномерно корректны. Тогда, очевидно, в En равномерно корректна задача

DαU(t) = AU(t), t > 0, limt→0

Dα−1U(t) = U0,

причем разрешающий оператор Tα(t, A) имеет вид

Tα(t, A) =

Tα(t, A1) . . . 0 0. . . . . . . . . . . .0 . . . Tα(t, An−1) 00 . . . 0 Tα(t, An)

.


Тогда по теореме 8 о возмущении в En будет равномерно корректной задача (??), (??),

причем Tα(t, A + P ) =∞∑

n=0

Vn(t), где

V0(t) = Tα(t, A), Vn(t) =

t∫

0

Tα(t − s, A)PVn−1(s)ds, n = 0, 1, ...

Укажем явную формулу для решения задачи (??), (??). Начнем со случая n = 2. По-скольку

V0(t)U0 = Tα(t, A)U0 =

(Tα(t, A1) 0

0 Tα(t, A2)

)(u1 0

u2 0

)=

(Tα(t, A1)u1 0

Tα(t, A2)u2 0

),

V1(t)U0 =

t∫

0

Tα(t − s, A)PV0(s)U0ds =

=

t∫

0

(Tα(t − s, A1) 0

0 Tα(t − s, A2)

)(0 10 0

)(Tα(s, A1) 0

0 Tα(s, A2)

)U0 ds =

=

t∫

0

(0 Tα(t − s, A1)Tα(s, A2)0 0

)(u1 0

u2 0

)ds =

=

t∫

0

(Tα(t − s, A1)Tα(s, A2)u2 0

0

)ds,

V2(t)U0 =

t∫

0

Tα(t − s, A)PV1(s)U0 ds =

=

t∫

0

(Tα(t − s, A1) 0

0 Tα(t − s, A2)

)(0 10 0

) (Tα(s − s1, A1)Tα(s1, A2)

0

)(u1 0

u2 0

)ds =

=

t∫

0

(00

)ds =

(00

),

то V2(t) = V3(t) = ... ≡(

00

). Следовательно, решение задачи (??), (??) имеет вид

U(t) = Tα(t, A + P )U0(t) = (V0(t) + V1(t)) U0(t) =

=

Tα(t, A1)u1 0 +

t∫0

Tα(t − s, A1)Tα(s, A2)u2 0 ds

Tα(t, A2)u2 0

,

а его первая компонента

u1(t) = Tα(t, A1)u1 0 +

t∫

0

Tα(t − s, A1)Tα(s, A2)u2 0 ds

является решением задачи (??), (??) для n = 2.


Нетрудно заметить, что при произвольном n ≥ 2 Un(t) = Un+1(t) = ... = (0, . . . , 0)T. Вэтом случае решение задачи (??), (??) будет выглядеть следующим образом

v(t) = u1(t) = Tα(t, A1)u1 0 +

t∫

0

Tα(t − s1, A1)Tα(s1, A2)u2 0 ds1+

+n−2∑

m=1

t∫

0

Tα(t − s1, A1)

s1∫

0

Tα(s1 − s2, A2)

s2∫

0

...

sm∫

0

Tα(sm − sm+1, Am+1)×

×Tα(sm+1, Am+2)um+1 0 dsm+1... ds2 ds1. (35)Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 9. Пусть для i = 1, . . . , n задачи (??), (??) равномерно корректны. Тогда ите-рированная задача (??), (??) будет равномерно корректной и при этом для ее решениясправедливо представление (??).

Формула (??) совпадает с соответствующим представлением решения, полученным в [?]путем сведения уравнения (??) к системе (??) и дальнейшим использованием теоремы 7 оразрешимости неоднородного уравнения. Отметим, что равномерная корректность задачи(??), (??) в [?] не исследовалась.

Кроме того, при α = 1 происходит “стыковка” формулы (??) с установленной в [?]формулой для решения уравнения целого порядка.


[1] Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые ихприложения. Минск. Наука и техника. 1987.

[2] Костин В.А. К задаче Коши для абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производ-ными. ДАН СССР. 1992. Т. 326. 4. С. 597 – 600.

[3] Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука. 1967.[4] Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка. Дифференциальныеуравнения. 1989. Т. 25. 8. С. 1359 – 1368.

[5] Глушак А.В. О задаче типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной произ-водной. Вестник ВГУ. Серия физика, математика. Воронеж. – 2001, 2. – С. 74 – 77.

[6] Глушак А.В. О связи решений абстрактных дифференциальных уравнений, содержащих дробные про-изводные. Вестник ВГУ. Серия физика, математика. Воронеж. – 2002, 2. С. 61 – 63.

[7] Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения. Киев, Выща школа. 1989.[8] Глушак А.В. О задаче типа Коши для неоднородного абстрактного дифференциального уравнения сдробной производной. Вестник ВГУ. Серия физика, математика. Воронеж. – 2002, 1. – С. 121 – 123.

[9] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентые функции. Т.3. М.: Наука. 1967.[10] Поваляева Ю.В. Разрешимость задачи типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения,содержащего дробные производные Римана - Лиувилля. Математические модели и операторные уравне-ния, Том 2, ВГУ, Воронеж. – 2003, С. 104 – 111.

[11] Sandefur J.T. Higher order abstract Cauchy problems. Journal of mathematical, Analysis and Applications,60, Academic Press, 1977. – C. 728 – 742.

Глушак А.В., профессор, Воронежский государственный технический уни-верситет, кафедра прикладной математики, Воронеж, 394711, Россия

Поваляева Ю.В., Воронежский государственный технический универси-тет, кафедра прикладной математики, Воронеж, 394711, Россия



ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО НЕСТАЦИОНАРНОГОСУЩЕСТВЕННО БЕСКОНЕЧНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ

A. Ю. МальцевНациональный Технический Университет Украины ’КПИ’

Киев, Украина

Для уравнения ∂u/∂t = 12j(t)(u′′

xx)+Zu+λu с положительными существенно бес-конечномерными функционалами j(t) исследуется задача Коши в соответствую-щим образом выбранном банаховом пространстве функций на бесконечномерномсепарабельном вещественном гильбертовом пространстве.

The Cauchy problem for the equation ∂u/∂t = 12j(t)(u′′

xx) + Zu + λu with positiveessentially infinite-dimensional functionals j(t) is studied in a certain Banach space offunctions on an infinite-dimensional separable real Hilbert space.

1. Основные определения

Целью этой статьи является построение решения одного нестационарного существеннобесконечномерного уравнения и исследование свойств этого решения. Результаты, полу-ченные в этой статье, опираются на результаты, полученные автором в [?],[?].

Пусть H - бесконечномерное сепарабельное вещественное гильбертово пространство, аL(H) - пространство ограниченных линейных операторов в H. Обозначим через BC(H)пространство самосопряжённых ограниченных операторов в H. Пусть j ∈ (BC(H))∗.Функционал j называется положительным, если (∀D ≥ 0) : j(D) ≥ 0. В соответствиис [?] назовём функционал j существенно бесконечномерным, если в его ядро входят всеоператоры конечного ранга. Обозначим через Qn,c множество всех линейных ограничен-ных операторов ранг которых не превосходит n, а норма не превосходит c. МножествоM ⊆ L(H) назовём почти компактным, если ∀ε > 0 существует компактное множествоK ⊆ L(H), и числа n ∈ N, c > 0, такие, что K+Qn,c является ε - сетью для M . Класс почтикомпактных множеств был рассмотрен, например, в [?]. В работе [?] определена алгебрафункций A. В A входят те и только те функции из C2(H) для которых: 1.) ∀R > 0 ∃почти компактное множество M ⊆ L(H) такое, что u

′′(x) ∈ M,∀x ∈ BR = x | ‖x‖ ≤ R;

2.) u′′(·) равномерно непрерывна на ограниченных в H множествах. Через A0 обозначим

подалгебру A в которую входят функции носитель которых ограничен. Введём в A0 норму:∀ϕ ∈ A0 ‖ϕ‖ = sup

x∈H|ϕ (x)| . Пусть X - пополнение A0 по указанной норме. С каждым поло-

жительным существенно бесконечномерным функционалом j свяжем линейный операторLj в пространстве X с областью определения A0. ∀ϕ ∈ A0 : (Ljϕ) (x) = 1

2j (ϕ′′

xx). Будем го-ворить, что векторное поле Z в пространстве H является полем класса A0, если 1.) Z имеетограниченный носитель; 2.) Z дважды непрерывно дифференцируемо на H, и при этомвторая производная Z является равномерно непрерывной на H операторнозначной функ-цией; 3.) Z ′ (x) |x ∈ H - почти компактное множество; 4.)

(ξ, Z)′′ (x) | ‖ξ‖ ≤ 1; x ∈ H

-

почти компактное множество.

2. Эволюционное семейство уравнения ∂u/∂t = 12j(t)(u′′

xx) + Zu + λu

Пусть j : [0, T ] 7→ (BC (H))∗ - отображение, которое ставит в соответ-ствие каждой точке отрезка [0, T ] положительный существенно бесконечномерныйфункционал. Считаем, что j(·) удовлетворяет на этом отрезке условию Липшица:(∃C > 0) (∀t1, t2 ∈ [0, T ] : ‖j (t1) − j (t2)‖ ≤ C |t1 − t2|). Рассмотрим в банаховом простран-стве X следующее дифференциальное уравнение

∂u (t, x)

∂t= Lj(t)

x u (t, x) + (Zu)(t, x) + (λu) (t, x) , (1)


где Lj(t) : A0 → X;∀ϕ ∈ A0 :(Lj(t)ϕ

)(x) = 1

2j (t) (ϕ′′

xx, ), Z - векторное поле класса A0,а λ - непрерывное отображение отрезка [0, T ] в пространство A0, то есть при каждомфиксированном t0 функция λ(t0, ·) принадлежит классу A0. Нашей ближайшей целью яв-ляется построение для уравнения (??) решения задачи Коши на отрезке [τ, T ] (0 ≤ τ < T )с начальным условием в точке τ

u (τ, x) = ϕ (x) ∈ A0. (2)

В [?] доказано, что задача Коши для уравнения ∂u(t,x)∂t

= Lj(t)x u (t, x)+(Zu)(t, x) с начальным

условием (??) имеет и при том единственное решение. В [?] так же построено эволюционноесемейство для этого уравнения, которое здесь будем обозначать как W (t, τ). Положим поопределению K(t, s)ϕ = W (t, s)(λ(s, ·)ϕ).

Теорема 1. Задача Коши (??)-(??) на каждом отрезке [τ, T ] (0 ≤ τ < T ) имеет и притом единственное решение. Соответствующее эволюционное семейство задаётся фор-мулой

U (t, τ) = W (t, τ) +t∫

τ

K (t, t1) W (t1, τ) dt1+

+∞∑

n=2

t∫τ

tn∫τ

...t2∫τ

K (t, tn) K (tn, tn−1) ...K (t2, t1) W (t1, τ) dt1dt2...dtn.

(3)

Доказательство. Рассмотрим линейное пространство C ([τ, T ] , X) - пространство непре-рывных функций, заданных на отрезке [τ, T ] и принимающих значение в X. Введём вC ([τ, T ] , X) норму: если u ∈ C ([τ, T ] , X), положим по определению |||u||| = sup

t∈[τ,T ]

‖u (t, ·)‖.

Норму элемента u ∈ C ([τ, T ] , X) будем обозначать символом |||u|||, чтобы отличать её отнормы ‖u (t0, ·)‖ функции u (t0, ·) в пространстве X. Теперь покажем, что любое решениеu(t, ·) задачи Коши (??)-(??) является решением следующего интегрального уравнения впространстве C ([τ, T ] , X)

u (t, ·) =(W (t, τ) ϕ

)(·) +

t∫

τ

W (t, s) λ (s, ·) u (s, ·) ds (4)

Действительно, рассмотрим тождество du (s, ·) /ds =(L

j(s)x + Z

)u (s, ·) + λ (s, ·) u (s, ·) .

Применив к обеим частям этого равенства ограниченный оператор W (t, s) и используяформулу (3.5) главы 2 [?] будем иметь

∂

∂s

(W (t, s) u (s, ·)

)= W (t, s) λ (s, ·) u (s, ·) .

Правая, а поэтому и левая часть этого равенства является непрерывной функцией поs ∈ [τ, t]. Проинтегрировав это равенство по s в пределах от τ до t и учитывая, чтоW (t, t) = I (I - тождественный оператор в X), получим (??). При помощи теоремы Бана-ха о неподвижной точке докажем, что интегральное уравнение (??), а значит и исходнаязадача Коши не могут иметь более одного решения. В пространстве C ([τ, T ] , X) рассмот-рим такое отображение

(Bu) (t, ·) =(W (t, τ) ϕ

)(·) +

t∫

τ

W (t, s) λ (s, ·) u (s, ·) ds. (5)

Докажем, что если в C ([τ, T ] , X) надлежащим образом выбрать норму, B будет отобра-

жением сжатия. Из результатов, полученных в [?] следует, что∥∥∥W (t, s)

∥∥∥ ≤ 1 для всех


(t, s) ∈ T = (t1, t2) : 0 ≤ t2 ≤ t1 ≤ T. Отсюда, для всех t ∈ [τ, T ] и для любыхu1, u2 ∈ C ([τ, T ] , X) имеет место оценка

‖(Bu1) (t, ·) − (Bu2) (t, ·)‖X ≤t∫

τ

∥∥∥W (t, s) λ (s, ·) (u1 (s, ·) − u2 (s, ·))∥∥∥

Xds ≤ M ·

·t∫

τ

‖u1 (s, ·) − u2 (s, ·)‖X ds,

(6)

где M = supτ∈[0,T ]

‖λ (τ, ·)‖ < +∞ вследствие непрерывности λ. Введём в пространстве

C ([τ, T ] , X) такую норму:

|||u|||2 = maxτ≤t≤T

exp −k (t − τ) ‖u (t, ·)‖X ,

где u ∈ C ([τ, T ] , X), а k > 0 - фиксированное число, которое будет выбрано позже.Из двойного неравенства exp −k (T − τ) |||u||| ≤ |||u|||2 ≤ |||u||| следует, что нормы||| · ||| и ||| · |||2 эквивалентны. Отсюда, C ([τ, T ] , X) с нормой ||| · |||2 является банаховымпространством. Из (??) и определения нормы ||| · |||2 следует, что

exp −k (t − τ) · ‖(Bu1) (t, ·) − (Bu2) (t, ·)‖X ≤ M ·t∫

τ

exp −k (t − s) exp −k (s − τ) ·

· ‖u1 (s, ·) − u2 (s, ·)‖X ds ≤ M · |||u1 − u2|||2 ·t∫

τ

exp −k (t − s)ds = M · |||u1 − u2|||·· 1k

(1 − exp −k (t − τ)) ≤ Mk|||u1 − u2|||2.

(7)Отсюда следует, что |||Bu1 −Bu2|||2 ≤ q|||u1 −u2|||2, где q = M

k. Если k в определении нор-

мы ||| · |||2 выбрать таким образом, что q < 1, то B будет отображением сжатия. Поэтомуинтегральное уравнение (??) и задача Коши (??)-(??) не могут иметь более одного реше-ния. Как следует из результатов работы [?], задача Коши (??)-(??) решение имеет. Сталобыть, решив интегральное уравнение (??), получим решение исходной задачи Коши.

Введём в рассмотрение линейный оператор Aξ в пространстве A0. ∀µ ∈ X : (Aξµ)(x) =ξ(x)µ(x), где ξ - функция класса A0. Нетрудно проверить, что оператор Aξ является

ограниченным, а его норма равна ‖ξ‖ . Пусть χ (t, x) =(W (t, τ) ϕ

)(x). Решение (??)

будем искать как предел: u (t, ·) = limn→∞

(Bnχ) (t, ·). Пусть u ∈ C ([τ, T ] , X). Выясним, чему

равно (Bnu) (t, ·). Для этого отметим, что W (t, s) λ (s, ·) u (s, ·) = W (t, s) Aλ(s,·) (u (s, ·)) =

K (t, s) u (s, ·) , где по определению K (t, s) = W (t, s) Aλ(s,·) - непрерывный линейный опе-ратор в пространстве X. В этих обозначениях отображение B запишется в следующем

виде (Bu) (t, ·) = χ (t, ·) +t∫

τ

K (t, s) u (s, ·) ds.По индукции устанавливается, что

(Bnu) (t, ·) = χ (t, ·) +t∫

τ

K (t, t1) χ (t1, ·) dt1+t∫

τ

t2∫τ

K (t, t2) K (t2, t1) χ (t1, ·) dt1dt2+

+t∫

τ

tn−1∫τ

...t2∫τ

K (t, tn−1) K (tn−1, tn−2) ...K (t2, t1) χ (t1, ·) dt1dt2...dtn−1+

+t∫

τ

tn∫τ

...t2∫τ

K (t, tn) K (tn, tn−1) ...K (t2, t1) u (t1, ·) dt1dt2...dtn

(8)


Следовательно, решение интегрального уравнения (??) может быть представлено в видеряда

u (t, ·) = χ (t, ·) +t∫

τ

K (t, t1) χ (t1, ·) dt1+

+∞∑

n=2

t∫τ

tn∫τ

...t2∫τ

K (t, tn) K (tn, tn−1) ...K (t2, t1) χ (t1, ·) dt1dt2...dtn

Введём в рассмотрение семейство линейных операторов

U (t, τ) = W (t, τ) +t∫

τ

K (t, t1) W (t1, τ) dt1+

+∞∑

n=2

t∫τ

tn∫τ

...t2∫τ

K (t, tn) K (tn, tn−1) ...K (t2, t1) W (t1, τ) dt1dt2...dtn.

(9)

Сейчас мы докажем, что ряд, находящийся в правой части (??) сходится по опе-раторной норме равномерно в треугольнике T = (t, τ) : 0 ≤ τ ≤ t ≤ T.‖K (t, s)‖ ≤

∥∥∥W (t, s)∥∥∥ ·

∥∥Aλ(s,·)∥∥ ≤

∥∥Aλ(s,·)∥∥ = ‖λ (s, ·)‖ ≤ M . Пусть Vn =

t∫τ

tn∫τ

...t2∫τ

K (t, tn) K (tn, tn−1) ...K (t2, t1) W (t1, τ) dt1dt2...dtn. По индукции устанавливается,

что ‖Vn‖ ≤ (MT )n

n!. Отсюда, и заключаем, что рассматриваемый ряд сходится по норме

равномерно в T. Ясно, что кроме того имеет место оценка

∀(t, τ) ∈ T : ‖U (t, τ)‖ ≤ exp MT . (10)

Теорема доказана.

3. Свойства решения задачи Коши для уравнения ∂u/∂t = 12j(t)(u′′

xx) + Zu + λu

Теорема 2. Для каждого ϕ ∈ X функция U(t, τ)ϕ является непрерывной в треуголь-нике T. Решение задачи Коши (??)-(??) непрерывно зависит от начальных данных втом смысле, что из сходимости ϕm ∈ A0 к нулю следует равномерная по (t, s) ∈ T∆

сходимость к нулю соответствующих решений U (t, s) ϕm.

Доказательство. Докажем сначала второе свойство. Пусть ϕm ∈ A0 и ϕm →m→∞

0. Нужно

понять, что ‖U (t, τ) ϕm‖ →m→∞

0 равномерно по (t, τ) ∈ T∆. Из (??) вытекает, что для всех

(t, τ) ∈ T∆ и любого натурального m ‖U (t, τ) ϕm‖ ≤ exp MT · ‖ϕm‖. Отсюда сразувидно, что ‖U (t, τ) ϕm‖ →

m→∞0 и сходимость является равномерной по (t, τ) ∈ T∆.

Теперь будем доказывать, что ∀ϕ ∈ X функция U(t, τ)ϕ непрерывна в T∆ по со-вокупности переменных. Как было показано при доказательстве теоремы 1, ряд вправой части (??) сходится равномерно по (t, τ) ∈ T∆. Поэтому достаточно дока-зать сильную непрерывность в этом треугольнике первых двух слагаемых правой ча-сти (??), а так же каждого члена соответствующего ряда. Уже упоминалось, чтоW (t, τ)ϕ непрерывна в T∆. Итак, доказываем непрерывность функции ρn (t, τ) =t∫

τ

tn∫τ

...t2∫τ

K (t, tn) K (tn, tn−1) ...K (t2, t1) W (t1, τ) ϕdt1dt2...dtn по совокупности переменных

(t, τ) ∈ T∆. Так как подынтегральная функция является непрерывной, можем записать


ρn (t, τ) как n-кратный интеграл по соответствующему множеству Qn(t, τ). Тогда

‖ρn (t + ∆t, τ + ∆τ) − ρn (t, τ)‖ ≤∫Qn(t,τ)\Qn(t+∆t,τ+∆τ)

∥∥∥K (t, tn) K (tn, tn−1) ...K (t2, t1) W (t1, τ) ϕ∥∥∥ dt1dt2...dtn+

+∫

Qn(t+∆t,τ+∆τ)\Qn(t,τ)

∥∥∥K (t + ∆t, tn) K (tn, tn−1) ...K (t2, t1) W (t1, τ + ∆τ) ϕ∥∥∥ dt1dt2...dtn+

+∫

Qn(t+∆t,τ+∆τ)∩Qn(t,τ)

∥∥∥K (t + ∆t, tn) K (tn, tn−1) ...K (t2, t1) W (t1, τ + ∆τ) ϕ−

−K (t, tn) K (tn, tn−1) ...K (t2, t1) W (t1, τ) ϕ∥∥∥ dt1dt2...dtn.

Отсюда,

‖ρn (t + ∆t, τ + ∆τ) − ρn (t, τ)‖ ≤ Mn ·∫

Qn(t,τ)∆Qn(t+∆t,τ+∆τ)

dt1dt2...dtn+

+T∫0

T∫0

. . .T∫0

∥∥∥K (t + ∆t, tn) K (tn, tn−1) ...K (t2, t1) W (t1, τ + ∆τ) ϕ−

−K (t, tn) K (tn, tn−1) ...K (t2, t1) W (t1, τ) ϕ∥∥∥ dt1dt2...dtn.

(11)

Оценим первое слагаемое в правой части (??).∫

Qn(t,τ)∆Qn(t+∆t,τ+∆τ)

dt1dt2...dtn =

∫Qn−1(t,τ)∆Qn−1(t+∆t,τ+∆τ)

dt2dt3...dtnt2∫

τ+∆τ

dt1 ≤ T ·∫

Qn−1(t,τ)∆Qn−1(t+∆t,τ+∆τ)

dt2dt3...dtn. Если обо-

значить как µn меру Жордана в Rn, с учётом предыдущего неравенства будем иметь

µn (Qn (t, τ) ∆Qn (t + ∆t, τ + ∆τ)) ≤ Tµn−1 (Qn−1 (t, τ) ∆Qn−1 (t + ∆t, τ + ∆τ)) ≤T 2µn−2 (Qn−2 (t, τ) ∆Qn−2 (t + ∆t, τ + ∆τ)) ≤ . . . ≤ T n−2µ2 (Q2 (t, τ) ∆Q2 (t + ∆t, τ + ∆τ))

Несложно понять, что µ2 (Q2 (t, τ) ∆Q2 (t + ∆t, τ + ∆τ)) → 0, когда (∆t, ∆τ) → (0, 0). По-этому, учитывая предыдущее неравенство µn (Qn (t, τ) ∆Qn (t + ∆t, τ + ∆τ)) → 0, то естьпервое слагаемое правой части (??) стремится к нулю при (∆t, ∆τ) → (0, 0). Будем оце-нивать второе слагаемое в (??).

∥∥∥K (t + ∆t, tn) ...K (t2, t1) W (t1, τ + ∆τ) ϕ − K (t, tn) ...K (t2, t1) W (t1, τ) ϕ∥∥∥ ≤

≤∥∥∥K (t + ∆t, tn) ...K (t2, t1) W (t1, τ + ∆τ) ϕ−

−K (t + ∆t, tn) ...K (t2, t1) W (t1, τ) ϕ∥∥∥ +

∥∥∥K (t + ∆t, tn) ...K (t2, t1) W (t1, τ) ϕ −−K (t, tn) ...K (t2, t1) W (t1, τ) ϕ

∥∥∥ ≤ Mn ·∥∥∥W (t1, τ + ∆τ) ϕ − W (t1, τ) ϕ

∥∥∥ +

+∥∥∥K (t + ∆t, tn) ...K (t2, t1) W (t1, τ) ϕ −K (t, tn) ...K (t2, t1) W (t1, τ) ϕ

∥∥∥ .

(12)

Оператор K (tn, tn−1) ...K (t2, t1) W (t1, τ) является сильно непрерывным по(t1, t2, ..., tn) ∈ [0, T ] × [0, T ] × ... × [0, T ] на пространстве X. Множество

L =

K (tn, tn−1) ...K (t2, t1) W (t1, τ) ϕ |(t1, t2, ..., tn) ∈ [0, T ] × [0, T ] × ... × [0, T ]

⊆ X

является компактным как непрерывный образ компакта (куба в конечномерном про-странстве). K (t + ∆t, tn)

s−−−→∆t→0

K (t, tn) равномерно по tn ∈ [0, T ], поскольку K (t, tn)

является равномерно непрерывной по (t, tn) ∈ T∆. Эта сходимость будет равномерной накомпакте L. Теперь уже несложно понять, что подынтегральное выражение во второмслагаемом (??) равномерно по (t1, t2, ..., tn) ∈ [0, T ] × [0, T ] × ... × [0, T ] стремится кнулю, когда (∆t, ∆τ) → (0, 0). Это даёт возможность сделать предельный переход подзнаком интеграла. Непрерывность ρn(t, τ), а потому и сильная непрерывность U(t, τ) втреугольнике T∆ доказана. Доказательство теоремы завершено.



[1] Мальцев А.Ю. Задача Коши для уравнения с существенно бесконечномерным эллиптическим опе-ратором, зависящим от времени//Учёные записки таврического национального университета им.Вернадского.—2002.–т15(54), 1.–с.107-111.

[2] Мальцев А.Ю. Задача Коши для уравнения с нерегулярным эллиптическим оператором, зависящимот времени//Учёные записки таврического национального университета им. Вернадского.—2003.–т16(55), 1.

[3] Богданский Ю.В. Задача Коши для существенно бесконечномерного параболического уравнения с пе-ременными коэффициентами//Укр. мат. журн.—1994.–т46, 6.–с.663-670.

[4] Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве М.:Наука, 1967.—464с.

[5] Богданский Ю.В. Задача Коши для параболических уравнений с существенно бесконечномернымиэллиптическим операторами//Укр. мат. журн.—1977.–т29, 6.–с.781-784.

Мальцев А.Ю.,КПИ, Киев 02156,Украина E-mail: [email protected]


ОБ ОДНОЙ СЛАБО ВЫРОЖДАЮЩЕЙСЯГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ

В. П. ОрловВоронежский государственный университет, Воронеж

Устанавливается однозначная разрешимость задачи Коши для вырождающегосяуравнения с неограниченным операторным коэфффициентом.

1. Введение

В банаховом пространстве E рассматривается задача Коши для гиперболического урав-нения

t2αu′′(t) −Au(t) =f(t), u(0)=u0, u′(0)=u1; 0 < t ≤ t0, 0 < α < 1. (1)

Здесь A – действующий в E линейный, вообще говоря неограниченный оператор, с плот-ной в E областью определения D(A), являющийся производящим оператором сильнонепрерывной (с.н.) косинус операторной функции (КОФ) C(t) (см.[?]), т.е. семейства C(t),t ∈ R1, линейных ограниченных в E операторов таких, что C(0) = I и

C(t + s) + C(t − s) = 2C(t)C(s), t, s ∈ R1. (2)

Для α < 0 и f = 0 задача ?? изучалась в [?]-[?] для случая A = B2, B - производящийоператор с.н. группы, и в [?] для случая самосопряженного оператора A в гильбертовомпространстве. Аналогичная уравнению (??) эллиптическая задача изучалась в [?]-[?].

В настоящей работе мы устанавливаем однозначную разрешимость задачи (??) и стро-им явную формулу для решения. Операторные функции Бесселя (ОФБ) Iν(z) введенныв [?] для индексов ν > −1/2. Ниже мы, индуктивно определяя Iν(z) для произвольныхотрицательных значений индекса, даем точное описание их областей определения и выяс-няем их свойства. Это позволяет установить разрешимость задачи (??) при естественныхограничениях на данные (как в предельном случае α = 0, см. [?, стр. 301]). Отметим,что близкие к Iν(z) функции, заданные на "гладких"x ∈ E рассматривались в [?] приизучении уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.

2. Свойства ОФБ

Согласно [?] при x ∈ E, ν > −1/2, ОФБ Iν(z) определялись как

Iν(z)x = Cνzν

1∫

0

(1 − t2)ν−1/2C(tz)x dt, z > 0. (3)

Здесь Cν = 21−νπ−1/2(Γ(ν + 1/2))−1, а Γ- гамма-функция.При этом было установлено, что операторы Iν(z) равномерно по z ∈ (δ, z0], δ, z0 ∈ R1,

ограничены, функция u(z) = Iν(z)x при x ∈ D(A) дважды непрерывно дифференцируема,

u′′(z) + z−1u′(z) − (A + ν2z−2)u(z) = 0, (4)

причем справедливы соотношения

Iν−1(z)x − Iν+1(z)Ax = 2νz−1Iν(z)x; (5)

Iν−1(z)x + Iν+1(z)Ax = 2I ′ν(z)x. (6)

Определим Iν(z) при всех ν ∈ R1 \ N− = −1,−2, . . . . Для x ∈ D(A), ν ∈ (−3/2,−1/2] спомощью (??) имеем

Iν(z)x = dνz−1Iν+1(z)x + Iν+2(z)Ax, dν = 2(ν + 1). (7)


Определим I−1/2(z)x и для x ∈ E, а не только на D(A), формулой

I−1/2(z)x = C1/2z−1/2C(z)x. (8)

Интегрируя при ν ≥ 1/2 в (??) по частям [ν + 1/2] раз ([µ] - целая часть числа µ),показывается, что

Iν(z)x = zν−[ν+1/2]

[ν+1/2]∑

i=1

1∫

0

Mi(t)(1 − t2)ν−1/2−i× (9)

tz∫

0

(tz − τ)[ν+1/2]−1C(τ)x dτdt.

Здесь Mi(t) – многочлены степени не выше i. Используя это представление, устанавлива-ются следующие факты.

Теорема 1. При ν ≥ 1/2 функция Iν(z)x, x ∈ E, будет [ν + 1/2] раз непрерывно диффе-ренцируема, причем

‖I(j)ν (z)x‖ ≤ Mzν−j‖x‖, j = 1, 2, . . . , [ν + 1/2]. (10)

Воспользовавшись (??), определим Iν(z)x при ν ∈ ℑ−2, ν ∈ ℑ−3 и т.д. для всех остальныхотрицательных ν. Здесь ℑn = [−1/2+n, 1/2+n), n ∈ Z. Введем невозрастающую функциюk(ν), определив k(ν) = −[ν/2 + 1/4] при ν < −1/2 и k(ν) ≡ 0 при ν ≥ −1/2. Функцияk(ν) = n при ν ∈ [−2n − 1/2,−2n + 3/2), n ∈ N .

Лемма 1. Для функции k(ν) справедливы соотношения

k(ν − 2) = k(ν) + 1, ν < 3/2; k(ν − 2) = k(ν) = 0, ν ≥ 3/2; (11)

k(ν − 1) = k(ν) + 1, ν ∈ ℑ−n, n = 2(k − 1), n ∈ N ;

k(ν − 1) = k(ν), ν ∈ ℑ−n, n = 2k − 1, n ∈ N.

Теорема 2. При x ∈ D(Ak(ν)) функция Iν(z)x непрерывна, непрерывно дифференцируемапри x ∈ D(Ak(ν−1)), и дважды непрерывно дифференцируема при x ∈ D(Ak(ν−2)), причем

‖I(m)ν (z)x‖ ≤ M

k(ν−m)∑

i=0

zν−m+2i‖Aix‖, m = 0, 1, 2. (12)

При x ∈ D(Ak(ν−2)) функция Iν(z)x удовлетворяет уравнению (??).

Полагая ‖x‖m = ‖x‖ + ‖Amx‖, получаем из теоремы ?? неравенства

‖Iν(z)x‖ ≤ Mzν‖x‖k(ν), x ∈ D(Ak(ν)), (13)

‖I ′ν(z)x‖ ≤ Mzν−1‖x‖k(ν−1), x ∈ D(Ak(ν−1)), (14)

‖I ′′ν (z)x‖ ≤ Mzν−2‖x‖k(ν−2), x ∈ D(Ak(ν−2)), (15)

соотношения (??)-(??) и вытекающие из них соотношения

(zνIν(z))′x = zνIν−1(z)x, x ∈ D(Ak(ν−1)); (16)

(z−νIν(z))′x = z−νIν+1(z)Ax, x ∈ D(Ak(ν−1)), (17)

где ν < 0 и x ∈ D(Ak(ν−1)). Из (??), в силу перестановочности ограниченных операторовC(t) и A−n

p , n > 0, вытекает перестановочность A−np и Iν(z) при ν > −1/2 на E. Отсюда

и из (??) следует перестановочность A−np и Iν(z) на D(Ak(ν)). Здесь p – регулярная точка

оператора A, а Ap = pI − A.Выясним, как улучшаются свойства Iν(z) с ростом ν.


Теорема 3. Пусть ν ≥ −1/2, x ∈ D(Ar), r ∈ N . Тогда функция Iν(z)x будет 2r+[ν +1/2]

раз непрерывно дифференцируема, причем операторы I(j)ν (z)A−r

p , j = 1, 2, . . . , [ν + 1/2]ограничены на E.

Пусть n(ν) = [ν/2 + 1/4]. Функция n(ν) = n при ν ∈ [2n − 1/2, 2n + 3/2), n ∈ Z.

Теорема 4. При n ≥ 0 и n ≥ k(ν) оператор Iν(z) переводит D(An) в D(An+n(ν)) (D(Am) =E при m ≤ 0), причем

‖Iν(z)x‖n+n(ν) ≤ Mνzν−2n(ν)‖x‖n. (18)

Из теоремы ?? вытекает

Теорема 5. При ν ≥ 0 операторы An(ν)Iν(z) ограничены на E, а операторы Iν(z)An(ν)

допускают с D(An(ν)) расширение до ограниченного на всем E оператора. При ν < 0

операторы Iν(z)A−k(ν)p ограничены на E, а операторы A

−k(ν)p Iν(z) допускают расширение

с D(Ak(ν)) до ограниченного на всем E оператора.

С помощью теоремы ?? легко доказывается

Теорема 6. Пусть r ∈ N, n ≥ k(ν − r). Тогда функция Iν(z)x, x ∈ D(An(ν−r)+n), непре-

рывно дифференцируема r раз, а I(r)ν (z) переводят D(An) в D(An(ν−r)+n).

Ниже нам понадобятся дополнительные свойства Iν(z).

Теорема 7. Справедливы соотношения

Iν(z)x = zν((2νΓ(ν + 1))−1x + o(z)

), x ∈ D(Ak(ν)), (19)

I ′ν(z)x = zν−1

(ν(2νΓ(ν + 1))−1x + o(z)

), x ∈ D(Ak(ν−1)), (20)

где o(z) зависят от x.

Рассмотрим на D(Ak(−ν)) оператор-функцию

Jµ,−ν(z, s)x = Iµ(z)I−ν(s)x(= I−ν(s)Iµ(z)x), µ, ν ≥ −1/2.

Теорема 8. Пусть µ ≥ ν ≥ −1/2. Тогда: 1) оператор-функция Jµ,−ν(z, s) допускаетограниченное продолжение на E, причем

‖Jµ,−ν(z, s)‖ ≤ Mµ,νzµs−ν(1 + snz−n), ν ∈ ℑn; (21)

2) Jµ−k,−ν(z, s), k = 1, 2, определена на D(A), причем

‖Jµ−k,−ν(z, s)x‖ ≤ Mµ,ν,kzµ−ks−ν(1 + snz−n)‖Ax‖, ν ∈ ℑn. (22)

Заметим, что для оператор-функции J−ν,ν(z, s) справедлив результат теоремы ?? (с пе-ременой местами z и s). В частности,

‖J−ν,ν(z, s)‖ ≤ Msνz−ν(1 + zns−n), ν ∈ ℑn. (23)

Рассмотрим при ν > 0 оператор-функцию - аналог определителя Вронского для Iν(z) иI−ν(z):

W (z)x = I−ν(z)I ′ν(z)x − I ′

−ν(z)Iν(z)x(≡ S1(z) + S2(z)). (24)

Теорема 9. W (z) определена на D(Ak(−ν−1)), причем

W (z)x = −cνz−1x, cν = 2π−1 sin(πν). (25)

С помощью теоремы ?? устанавливается

Теорема 10. Оператор-функция

W (z)x = zν(zνI−ν(z))′I−ν(z)x − zν(zνI−ν(z))′Iν(z)x (26)

определена на D(Ak(−ν−1)) и W (z)x = −cνz2ν−1x.

Далее считаем, что W (z)x = −cνz2ν−1x на всем E.


3. Формулировка основного результата

При 0 < α < 1/2 назовем решением задачи (??) непрерывную на [0, t0] функциюu(t) ∈ C1([0, t0]; E)∩C2((0, t0]; E) такую, что t2αu′′(t) и Au(t) непрерывны при t > 0 ивыполняются уравнение и условия (??). При 1/2 ≤ α < 1 условие u′(0) = u1 заменяет-ся на условие limz→0(u(t) − u(t))′ = u1. Здесь u(t) = q((2(1 − α))−1t1−α), q(z) = zνI−ν(z),ν = (2(1 − α))−1. Соответственно, в определении решения u(t) ∈ C1([0, t0]; E) заменяетсяна u(t) ∈ C([0, t0]; E). Имеет место

Теорема 11. Пусть 0 < α < 1, α 6= (2n−1)/2n, n ∈ N , u0 ∈ D(Ak(α0)), α0 = (4α−5)(2(1−α))−1, u1 ∈ D(Ak(α1)) α1 = (4α − 3)(2(1 − α))−1. Пусть функции f(t) и Af(t) непрерывны

при t > 0, причем конечны

t0∫

0

‖f(t)‖t−2α dt,

t0∫

0

‖Af(t)‖t−2α dt. Тогда задача (??) имеет

единственное решение.

Нам удобно заменой z = (1 − α)−1t1−α свести задачу (??) к задаче

L(v(z)) := v′′(z) − (2ν − 1)z−1v′(z) − Av(t) = g(z), 0 < z ≤ z0; (27)

v(0) = v0, limz→0

z1−2νv′(z) = v1, v0 = u0, v1 = u1(2ν)2ν−1. (28)

Здесь v(z) = u((2ν)−1z2ν), g(z) = f((2ν)−1z2ν), z0 = (1 − α)−1t1−α0 , ν = (2(1 − α))−1. Со-

гласно определению решения задачи (??), при 0 < α < 1/2 решением задачи (??)-(??)называется непрерывная на [0, z0] функция v(z) ∈ C([0, z0]; E) ∩ C2((0, z0]; E) такая, чтоAv(z) непрерывна при z > 0 и выполняются (??) и (??). При 1/2 ≤ α < 1 второе условие(??) заменяется на условие limz→0 z1−2ν v′(z) = v1. Здесь v(z) = v(z)−2−νΓ(1−ν)zνI−ν(z)v0.Теорема ?? эквивалентна следующей теореме.

Теорема 12. Пусть 1/2 < ν <∞, ν /∈ N . Пусть g(z)∈C((0, z0]; E), Ag(z)∈C((0, z0]; E)

и конечны

z0∫

0

‖g(z)‖z1−2ν dz,

z0∫

0

‖Ag(z)‖z1−2ν dz, v0 ∈ D(Ak(−ν−2)), v1 ∈ D(Ak(ν−2)). Тогда

задача (??)-(??) имеет единственное решение.

4. Замечания.

Теоремы ?? и ?? справедливы и при α = (2n−1)/2n, n ∈ N , ν ∈ N . Для доказательстванужно установить нужные свойства ОФБ при любых целых значений индекса. Условияпринадлежности f(t) области определения оператора A в приложениях требуют от f(t)удовлетворения граничным условиям (дифференциального) оператора A и могут бытьзаменены на условия гладкости f(t) по t. Мы не касаемся также качественно другогослучая сильного вырождения α ≥ 1.

В качестве приложения теоремы ?? приведем следующий результат. Рассмотрим вL2(R

n) оператор Лапласа ∆ с D(∆) = W 22 (Rn). Пусть P (λ) = λ2m+1 +

∑2mk=0 ckλ

k, ck ∈ R1.Пусть A = P (∆) с D(A) = W 4m+2

2 (Rn), m ≤ 4n + 1. Тогда A - генератор КОФ в L2(Rn)

(см. [?]). Рассмотрим задачу A:

t2αu′′tt(t, x) + P (∆)u(t, x) = f(t, x), 0 < t ≤ t0, x ∈ Rn, 0 < α < 1/2,

u(0, x) = u0(x), u′t(0, x) = u1(x), x ∈ Rn.

Теорема 13. Пусть u0(x) ∈ W2k(α0)2 (Rn), u1(x) ∈ W

2k(α1)2 (Rn). Пусть f(t, x) ∈

C(0, t0]; W8m+42 (Rn)), причем ‖t−2αf(t, x)‖L1([0,t0];L2(Rn)) < ∞,

‖t−2αf(t, x)‖L1([0,t0];W 8m+42 (Rn)) < ∞. Тогда задача A имеет единственное решение u(t, x) ∈

C1([0, t0]; L2(Rn))∩C2((0, t0]; L2(R

n)) ∩ C((0, t0]; W8m+42 (Rn)).

Можно вместо L2(Rn) рассмотреть пространство непрерывных функций (см. [?]).



[1] В.В. Васильев , С.Г. Крейн , С.В. Пискарев Полугруппы операторов, косинус оператор-функции илинейные дифференциальные уравнения, Итоги науки и техники. Сер. Матем. Анализ, ВИНИТИ,1990, 28, с. 87 – 202.

[2] A. Favini, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1978, 55, pp. 227 – 242.[3] J.A. Donaldson, Proc. of NAS. 1970, 6, N 2, pp. 69 – 274.[4] Л.И. Вайнерман, Сиб. мат. журн. 1977, 18, N 4. c. 736 – 746.[5] В.П. Орлов, Дифференц. уравнения. 2003, 39, N 10, c. 1409 - - 1419.[6] В.П. Орлов, Изв. вузов. Математика. 1997, 1(416), c. 34 – 43.[7] В.П. Орлов Изв. вузов. Математика. 1997, 3(418), c. 44 – 51.[8] В.Н. Копанева, деп. ВИНИТИ 14 марта 1983. N 1330-83.[9] С.Г. Крейн Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве М., 1967, c. 328.

[10] А.В. Глушак, В.И. Кононенко, С.Д. Шмулевич, Изв. вузов. Математика. 1986, N 6, c. 55 – 56.[11] В.В. Лебедев, Специальные функции и их приложения, М., 1953, c. 190.[12] В.А. Костин, Докл. АН СССР, 1994, 336, N 5, c. 545 – 549.[13] П.Е. Соболевский, Докл. АН СССР, 1988, 298, N 4, c. 815 – 819.

В. П. Орлов, профессор, Воронежский государственный университет, Уни-верситетская пл., 1, 394 693 Воронеж, Россия



CANONICAL FORMS FOR CONTROLLABLEAFTER-EFFECT SYSTEMS AND APPLICATIONS

V. M. MarchenkoBialystok Technical University

15-531 Bialystok, Poland;Belarussian State Technological University

220630 Minsk, Belarus

Several classes of non-singular functional transformations for linear stationarydynamical systems with retarded argument are introduced. Then, the problem ofdetermination of canonical forms is interpreted as the algebraic problem of universalityfor each class of transformations. Generalization of Kalman, Popov and Brunovskycanonical representations are discussed for systems of control and observation with after-effect. By using the results obtained, the main qualitative control theory problems suchas controllability, stabilization, observability, modal control, reconstruction, and otherscan be successfully investigated for various types of functional-differential systems underaction of several kinds of linear difference state feedback.

1. Introduction

It is well-known that every linear system

.x= Ax(t), t > 0, A ∈ Rn×n (1)

x(0) = x0 ∈ Rn (2)(Rn×n is the set of real n by n matrices) can be transformed to a system

.y= Ly(t), t > 0, L ∈ Rn×n (3)

y(0) = y0 ∈ Rn (4)with a canonical matrix L = T−1AT (∃T ∈ Rn×n, det T 6= 0) by using the lineartransformation x (t) = Ty (t) , y (t) = T−1x (t) , y0 = T−1x0. The transformation of the system(1), (2) into (3), (4) simplifies [?] its investigation.The problem of determination of canonical forms can be interpreted [?] as the well-knownproblem of universality for some equivalence relation. Here and later on, by the symbol Rn×q

(m)

and Rn×q[m] we denote the set of n by q rational and polynomial correspondingly (with respect to

m) matrices over the field R of natural numbers and Rn×q[0] = Rn×q.

We define an equivalence relation L in Rn×n as follows (A ∈ Rn×n, A ∈ Rn×n): ALA ⇔∃T ∈ Rn×n, det T 6= 0, A = T−1AT .

For given set S of properties, the symbol W (S) denotes all the mappings f : Rn×n → S suchthat f(T−1AT ) = f(A) for A ∈ Rn×n and all T ∈ Rn×n with det T 6= 0.Then, the problem of universality is to find a set C and a mapping ξ ∈ W (C) such that for anyset S and any mapping f ∈ W (S) there exist an unique mapping η : C → S such that f = ηξ,i.e. the following diagram

Rn×n ξ−→ Cց ւf η

S

is commutative. A pair (ξ, C) is an universal element of the problem. Such a solution ofthe universality problem is unique to within some isomorphism. Let X be a set and L be an


equivalence relation in X. A mapping ξ : X → X is said to be canonical [?, ?] if the followingconditions hold:

1) xLξ(x), ∀x ∈ X,2) xLy ⇔ ξ(x) = ξ(y); ∀x, y ∈ XThe image ImξX under mapping ξ is a set of canonical forms for L in X.It is clear that x ∈ ImξX ⇔ ξ(x) = x and the pair (ξ, ImξX) is an universal element for L

in X. So, the set of canonical forms is also unique to within some isomorphism.The problem of universality induced by the equivalence relation L is similarly treated [?] for

completely controllable [?] linear control systems of the form

.x (t) = Ax(t) + Bu(t), t > 0, B ∈ Rn×r (5)

More general type of transformations (with linear feedback) and the corresponding canonicalforms were obtained by Brunovsky [?]. The systems with output were considered in [?].

The goal of this paper is the investigation of the problem of canonical representation forsystems with delay. Some results in such a direction are in [?, ?]. The systems with delay, fromthe point of view of C0-semigroups, were investigated in [?]. The paper [?] presents an approachto canonical representations (for time-delay systems) like Jordan elementary divisors canonicalforms.

Below we deal with normal canonical form analogies for systems with delay.

2. Canonical forms for systems with retarded argument

2.1. Transformation classes. Let us consider the simplest system with delay

.x (t) = Ax(t) + A1x(t − h) + Bu(t), t > 0 (6)

with initial conditions x(τ) = ϕ(τ), τ ∈ [−h, 0], x(+0) = ϕ0 ∈ Rn.Here A, A1 ∈ Rn×n; B ∈ Rn×r, ϕ is piecewise continuous n-vector function, h is a constant

delay, h > 0.Take the system (6) in the operator form

.x (t) = (A + A1 exp(−ph))x(t) + Bu(t), p =

d

dt,

exp(−ph) is a delay operator: exp(−ph)x(t) = x(t − h).Then the system (6) is uniquely defined by the polynomial matrix pair (A(m), B) where

A(m) = A0 + mA1, m ∈ R.Consider now more general neutral-type systems of the form

N∑

j=0

βjx(t − jh) =N∑

j=0

(Ajx(t − jh) + Bju(t − jh)), t > 0, (7)

where βj ∈ R, Aj ∈ Rn×n, Bj ∈ Rn×r for j = 0, 1, ..., N . Then, system (7), taking in the operatorform, is uniquely defined by a rational pair (A(m), B(m)).

For systems with delay, it is difficult to expect that it is possible to obtain ”simple” canonicalrepresentations by using the equivalence relation L. Therefore for the time-delay systems weconsider the following more general classes of transformations:

(i)

x(t) = D(exp(−ph))y(t)

y(t) = D−1(exp(−ph))x(t)(x(τ) ≡ 0 for τ < −h)

D(m) ∈ Rn×n(m) or D(m) ∈ Rn×n

[m] , det D(m) ≡ const 6= 0 for all m ∈ R;

(ii) the transformations (i) with det D(m) ≡ cmk, ∃c 6= 0, ∃k ≥ 0, m ∈ R;(iii) the transformations (i) with det D(m) 6≡ 0, m ∈ R;


(4i)

x(t) =H∫

−H

dG(s)y(t + s) =H∫

−H

dG(s) exp(ps)y(t)

y(t) =H∫

−H

dQ(s)x(t + s) =H∫

−H

dQ(s) exp(ps)x(t)

withH∫

−H

exp(ps)dQ(s) ·H∫

−H

exp(ps)dG(s) ≡ I, p ∈ C

(C is the complex number field and I is the identity n by n matrix).Every transformation (i) − (4i) defines some linear operator and inverse one.For example, let us consider (iii) with D(m) ∈ Rn×n

[m] in details

x(t) =K∑

j=0

Djy(t − jh), Dj ∈ Rn×n, (8)

N∑

j=0

αjy(t − jh) =M∑

j=0

Cjx(t + νh − jh), αj ∈ R, Cj ∈ Rn×n,

ν ≥ 0, α0 6= 0, t ∈ R, (9)

x(·) ∈ Ω+ = x : R → Rn | x(τ) ≡ 0 for τ < −h,

y(·) ∈ Ων(D) = y : R → Rn | y(τ) ≡ 0 for τ < −νh,K∑

j=0

Djy(t − jh) ≡ 0 for t < −h.

Then we haveLemma1. If the identity

(M∑

j=0

Djmj) · (

K∑

j=0

Cjmν+j) ≡

N∑

j=0

αjmjI for all m ∈ R (10)

is valid then the condition (8) defines a linear operator ℜ : Ων (D) → Ω+ and (9) gives aninverse one ℜ−1 : Ω+ → Ων(D).

Proof. Using algebraic properties of delay operator and the condition (10) we have

x(t) =K∑

j=0

Dj exp(−pjh)y(t) = (K∑

j=0

Dj exp(−pjh) ·M∑

j=0

Cj exp(νkh − pjh) :

N∑j=0

αj exp(−pjh))x(t) = x(t). Hence ℜℜ−1x = x for all x ∈ Ω+ and similarly ℜ−1ℜy = y

for all y ∈ Ων(d) that finishes the proof.The transformation (i) − (4i) induce equivalence relations Li − L4i in Rn×n

(m) and Rn×n[m] .

We say that polynomial matrices A(m) and A(m) are Lj equivalent if there exists a matrixD(m) from transformations (j) such that A(m) = D−1(m)A(m)D(m) (j = i, ii, iii, 4i).

2.2. The problem of universality for Liii in Rn×n(m) . Let A(m) be a n by n rational in

m matrix, A(m) ∈ Rn×n(m) . By the symbol K1we denote the largest natural number such that

n-vectors

g1(m), A(m)g1(m), ..., (A(m))K1−1g1(m) (11)

are linearly independent (at some rational in m n-vector g1(m) and some m ∈ R). Then wehave

(A(m))K1−1g1(m) =1 α0(m)g1(m) +1 α2(m)A(m)g1(m) + ...


+1αK1−1(m)(A(m))K1−1g1(m)

where the coefficients 1αj(m), ..., can be taken as rational in m functions, and the polynomial(with respect to λ)

Ψ1(λ,m) = λK1 −1 αK1−1(m)λK1−11 − ... −1 α0(m) is the minimal annihilator polynomial [?]

of the matrix A(m) for m ∈ R\S, mesS = 0, i.e. Ψ(A(m),m) ≡ 0.Further, let K2 be the largest natural number for which n-vectors

g1(m), A(m)g1(m), ..., (A(m))K1−1g1(m); g2(m), A(m)g2(m), ..., (A(m))K2−1g2(m) are linearlyindependent (at some rational in m n-vector g2(m) and some m ∈ R). Hence, we have

(A(m))K2g2(m) =K2−1∑j=0

2αj(m)(A(m))jg2(m) (mod L1) where L1 is a linear span of n -vectors

(11). Then the polynomial in λ Ψ2 (λ,m) = λK2 −K2−1∑j=0

2αj(m)λj is the minimal annihilator

polynomial of the matrix A(m) with respect to mod L1 [?], i.e.Ψ2 (A(m),m) g2(m) = 0 (mod L1).Continuing such a process, in finite steps, we obtain a system which consists of n linearly

independent n-vectors g1(m), A(m)g1(m), ..., (A(m))K1−1g1(m); . . . , gβ(m), A(m)gβ(m), ..., (A(m))Kβ−1gβ(m) and polynomials in λ Ψ1(λ,m), ..., Ψβ(λ,m) such that every next ofthem is a divisor of the previous one and Ψj (A(m),m) gj(m) = 0 (mod Lj−1).

Following [?](pp. 178-179) one can prove that there exist n−vectors (with rational inm components) g1 (m) , ..., gβ (m) such that their absolute minimal annihilator polynomialscoincide with the polynomials Ψ1(λ,m), ..., Ψβ(λ,m) respectively. Let us define a matrixD(m) = [d1(m), ..., dn(m)] by the following

d j∑s=0

Ks+i(m) = (A(m))i−1gj+1(m); i = 1, ..., Kj+1; j = 0, 1, ..., β − 1; K0 = 0.

Then we have(D(m))−1A(m)D(m) = L(m) =

=

0 · · · 0 1α1(m)1 · · · 0 1α2(m)

. . ....

...1 1αK1−1(m)

. . .

. . .0 · · · 0 βα0(m)1 · · · 0 βα1(m)

. . ....

...1 βαKβ−1(m)

= diagLΨ1 , ..., LΨβ

and LΨj

is an accompanying matrix for

Ψj(λ,m). Here and later on, matrix elements not written out are assumed to be zero.Let Kn[λ,m] be a set of polynomials in λ (with rational in m coefficients)

ϕ1(λ,m), ..., ϕj(λ,m) (j = 1, ..., n)

such that1) ϕi(λ,m) is a divisor of ϕi−1(λ,m), 2) deg ϕ1 + ...+deg ϕj = n, 3) the leading coefficient

of ϕi(λ,m) is equal to 1.Introduce a notation

Cn[m] = L(m) ∈ Rn×n(m) |L(m) = diagLϕ1 , ..., Lϕj

,ϕ1, . . . , ϕj ∈ Kn[λ,m]

where Lϕiis the accompanying matrix for ϕi(λ,m).


Let ξ:Rn×n

(m) → Kn[λ,m], ξ(A(m)) = Ψ1(λ,m), ..., Ψβ(λ,m)and γ : Kn[λ,m] → Rn×n

(m) , γ(ϕ1(λ,m), ..., ϕj(λ,m)) = diagLϕ1 , ..., Lϕj.

Then the following properties are valid:a) ξ(T−1(m)A(m)T (m)) = ξ(A(m)) (invariance)b) for any ϕ1, ..., ϕj ∈ Kn[λ,m] there exists A(m) = diagLϕ1 , ..., Lϕj

∈ Rn×n(m) such that

ξ(A(m)) = ϕ1, ..., ϕβ (independence)c) for any A(m), A(m) ∈ Rn×n

(m) and ξ(A(m) = ξ(A(m)) there exists T (m) ∈ Rn×n(m) with

det T (m) 6≡ 0 such that A(m) = T−1(m)A(m)T (m) (completeness).Hence, the pair (ξ, Kn[λ,m]) is an universal element for our problem. Further, let f : Rn×n

(m) →S where f is invariant with respect to Liii, and f is a restriction of f to Cn[m]. Then the diagram

Rn×n(m)

ξ−→ Kn[λ,m]γ−→ Cn[m]

ց ↓ ւf S f

is commutative. It is clear that γ is one-to-one correspondence. Therefore the pair (γξ, Cn[m])is a new universal element and Cn[m] is a set of canonical forms for Liii in Rn×n

(m) .

Remark. If we consider the set Rn×n[m] we can prove that the polynomial coefficients ψj(λ,m)

can be taken as polynomials in m for j = 1, ..., β − 1 but it is not true, in general, for j = β.

2.3. Canonical forms for time-delay control systems. Let us consider the system (6) with

B = b ∈ Rn (12)and assume that the system (6), (12) is modally controllable, i.e. [?]

det[b, (A + mA1)b, ..., (A + mA1)n−1b]

det= det W (m) ≡ c 6= 0 for m ∈ R (13)

Then we haveTheorem 1. In class of transformations (i) the system (6), (12), (13) can be transformed into

the system.y (t) =

0 1 · · ·...

.... . .

0 0 · · ·−

n∑j=0

rnj exp(−pjh) −n−1∑j=0

rnj exp(−pjh) · · ·

· · · 0. . .

...· · · 1

· · · −1∑

j=0

rnj exp(−pjh)

y(t) +

0...01

u(t) for t > nh (14)

that is a generalization (to systems with delay) of the well-known Kalman canonicalrepresentation [?] (p.55) which corresponds to the scalar controllable equation of n-th order.

Here the elementsi∑

j=0

rij exp(−λjh); i = 1, ...n are the coefficients of the characteristic equation


0 = det[λI − A − A1 exp(−λh)]def= λn +

n∑i=1

i∑j=0

rijλn−i exp(−λjh), p = d

dt.

Proof. Introduce a matrix D(m) = [d1(m), ..., dn(m)] where

d1(m) = (A + mA1)n−1b +

1∑j=0

r1jmj(A + mA1)

n−2b + ... +n−1∑j=0

rn−1jmjb,

...

di(m) = (A + mA1)n−ib +

n−i∑k=1

k∑j=0

rkjmj(A + mA1)

n−i−k,

...

dn−1(m) = (A + mA1)b +1∑

j=0

r1jmjb, dn(m) = b,

and consider the linear transformationx(t) = D(exp(−ph))y(t)

y(t) = D−1(exp(−ph))x(t)with det D(exp(−ph)) = det W (exp(−ph)) ≡ c 6= 0. Then for t > nh we have.y (t) = D−1(exp(−ph))

.x (t) = D−1(exp(−ph))((A + A1 exp(−ph))x(t) + bu(t)) =

D−1(exp(−ph))((A +A1 exp(−ph))D(exp(−ph))y(t) + D−1(exp(−ph))bu(t)) that is theoperator form of (14). The proof is complete.

Remark 1. Using Popov [?] and Brunovsky [?] kinds of canonical forms for systems with nodelay we can obtain its analogies for time-delay systems. Some results are in [?]. But, we haveto observe that the matrix elements in canonical representation for systems with delay (see(14)) are quotient of quasi-polynomials with respect to delay operator in general case. Thenthe canonical representation for system (6) of retarded type is a system of neutral type (ingeneral). Then, using the solution of the problem of universality for Liii in Rn×n

(m) (see 2.2) wecan construct set of canonical representations for neutral type time-delay systems of the form(7) similarly to ones given in [2], [6].

3. Applications

3.1. Complete controllability. Consider the system

.x (t) = A(t)x(t) + A1(t)x(t − h) + bu(t), t > t0 (15)

with initial conditions

x(τ) = ϕ (τ) , τ ∈ [t0 − h, t0] , x(t0 + 0) = ϕ0 ∈ Rn (16)

Here A(·), A1(·) are n by n and b(·) is n by 1 periodic matrix functions with period T suchthat h = ηT at some natural η; and ϕ is a piecewise continuous n-vector-function. The elementsof A(·), A1(·) and b(·) are continuous with their derivatives up to (n − 1)-th, (n − 1)-th andn-th order respectively.

Let Qk(m, t) satisfies the equationQk(m, t) = (A(t) + mA1(t))Qk−1(m, t) − d

dtQk−1(m, t), m ∈ R

with initial conditions Q0(m, t) ≡ b(t); k = 1, ..., n − 1.Assume that

det Q(m, t)det= det[Q0(m, t), Q1(m, t),

..., Qn−1(m, t)] ≡ c(t)mν , m ∈ R (17)

c(t) 6= 0, ν ≥ 0and introduce the following notation


L(m, t) =

l0(m, t)l1(m, t)

...ln−1(m, t)

is a n by n matrix with (lj(m, t))T ∈ Rn,

lj(m, t) = lj−1(m, t)(A(t) + mA1(t)) + ddt

lj−1(m, t); j = 1, 2...;vector-row l0(m, t) is defined by the condition L(m, t)b(t) = [0, ..., 0, 1]T ,which by analogy with [?] is equivalent to l0(m, t)[Q0(m, t), ..., Qn−1(m, t)] = [0, ..., 0, 1]Hence, we have l0(m, t) = [0, ..., 0, 1](Q(m, t))−1 and | det L(m, t)| = | det Q(m, t)|−1.Consider a non-singular transformation

y(t) = L(exp(−ph), t)x(t)

x(t) = (L(exp(−ph), t)−1y(t)(18)

Theorem 2. For sufficiently large t, the vector -function y(·) satisfies the equation

.y (t) = F (exp(−ph), t)y(t) + [0, ..., 0, 1]T u(t) (19)

where

F (m, t) =

0 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

αn(m, t) αn−1(m, t) · · · α1(m, t)

and α1(m, t), ..., αn(m, t) are continuous

in t polynomials (with respect to m).Definition 1. The system (15) is said to be completely controllable if for any initial data ϕ

and ϕ0 there exists a time moment t1 and control function u (·) such that the correspondingsolution of the system possesses the property

x(t1 + τ) ≡ 0 and u(t1 + τ) ≡ 0 for τ ≥ 0.By [?] (p.92) it is not difficult to see that the system (19) is completely controllable and,

taking into account that property of complete controllability is invariant with respect totransformations (18), we can state

Theorem 3. If identity (17) is valid then the system (15) is completely controllable for alldelays h such that h = ηT.

3.2. About stabilization problem. Consider the system (6), (12) and the followingProblem of stabilization. To find numbers αj ∈ R, α0 6=0 and n-vectors qj ∈ Rn (j = 0, 1, ..., N)such that the system (6), (12) closed by the linear feedback

N∑

j=0

αju(t − jh) =N∑

j=0

qTj x(t − jh)

(u(τ) ≡ 0, xT (τ) ≡ 0, τ < −h) (20)

is asymptotically stable.Theorem 4. If all the roots of the equation det W (m) = 0 (det W (m) is defined in (13)) are

situated outside of unit disk (|m| > 1, m ∈ C) then there exists a regulator (20) stabilizing thesystem (6), (12).To prove the theorem it is sufficient to apply the same transformations as in the proof of thetheorem 1 and to use the well-known stability conditions for the obtained neutral-type system.

Example. Consider the second order system (6) with

A =

[0 10 0

], A1 =

[a11 a12

a21 a22

], b =

[01

], |a12| < 1 (21)


By Theorem 4 the system (6), (21) is stabilizable and a stabilizing regulator can be taken asfollows

u(t) + a12u(t − h) =

[exp(−2ph)(a11a22 − a12a21 − a21 exp(−ph) − 1,−(a11 + a22) exp(−ph) − 2][1 0

a11 exp(−ph) 1 + a12 exp(−ph)

]x(t)

4. Discussion

By analogy with the previous consideration, the obtained canonical representations for time-delay systems can be successfully applied to the investigation of the basic qualitative controltheory problems such as pointwise (multipoint) controllability and observability, modal controlunder action of several kinds of linear difference state feedback, reconstruction, and others. Forexample, canonical form representation methods are successfully applied in [14] to investigatethe problem of scale realization of time-delay systems.

If we use canonical forms it is important to take into account the following two observations:1) if class of transformation is too wide a great many properties may be not invariant withrespect to the transformations, 2) if class of transformation is too restricted it is difficult toobtain a simple canonical form.

References

[1] Gantmakher F.R., "Matrix theory", Moscow: Nauka, (1967), (in Russian)[2] Popov V.M., "Invariant description of linear time-invariant controllable systems",SIAM J.Control, vol.10,

(1972)[3] Maclane S. and Birkhoff, "Algebra",Macmillan, New York, (1967)[4] Wang S.H. and Davison E.J., "Canonical forms of linear multivariable systems",SIAM J.Control and

Optimization,vol. 14, No 2, pp. 236-250, (1976)[5] Kalman R., Falb P., Arbib M., "Topics in Mathematical Systems Theory", Moscow: Mir, (1971), (in

Russian)[6] Brunovsky P., "A classification of linear controllable systems", Kybernetika, No 3, pp.173-187, (1970)[7] Morse A.S., "Ring models for delay-differential systems", Automatica, vol. 12, pp.529-531, (1976)[8] Marchenko V.M., "To canonical forms for systems with delay",Matematicheskij sbornik,vol. 105(147), No

3, pp. 403-412, (1978), (in Russian)[9] Hale J.K., "Linear functional differential equations",N.Y., Springer-Verlag, (1977)

[10] Kappel F. and Wimmer H.K., "An elementary divisor theory for autonomous linear functional differentialequations",J. of Differential Equations, No 21, pp.134-147, (1978)

[11] Asmykovich I.K. and Marchenko V.M., "Pole assignment for systems with delay", Avtomatika iTelemekhanika,7, pp.5-14, (1976), (in Russian)

[12] Ramaswami B. and Ramar K., "On the transformation of time-variable systems to the phase-variablecanonical form",IEEE Trans. Automat. Contr.,V. AC-14, pp.417-419, (1969)

[13] Gabasov R. and Kirillova F.M., "The qualitative theory of optimal processes",Moscow: Nauka, (1971), (inRussian)

[14] Loiseau J.J. and Marchenko V.M., "Scale realization of time-delay systems", Doklady Mathematics, RAN,pp. 305-308, 383, No 3 (2002) (In Russian). English translation: Doklady Mathematics, pp. 208-211, 65,No 2 (2002)



ABOUT REGULARIZATION IN A BROAD SENSE

I. V. Melnikova8

Ural State UniversityEkaterinburg, Russia

Semigroup, abstract ultradistribution, and Fourier transform approaches for ill-poseddifferential Cauchy problems are considered from general point of view as the techniquesfor construction of regularized solutions. Для некорректных дифференциальных задачКоши методы теории полугрупп, абстрактных ультрараспределений и преобра-зования Фурье рассмотрены с единой точки зрения построения регуляризованныхрешений.

1. Introduction

In our monograph [?] we investigeted the abstract Cauchy problem

u′(t) = Au(t), t ∈ [0, T ), T ≤ ∞, u(0) = f, (CP)

with linear operator A in a Banach space X assuming (CP) to be not uniformly well-posed.(That is the Miyadera-Feller-Phillips-Hille-Yosida condition does not hold for the resolvent ofoperator A). We pointed out three approaches to treating such problems:

• semigroup methods• abstract distributions methods• regularization methods

Modern semigroup methods constructing families of bounded operators more general thansemigroups of class C0 (such as integrated, convoluted, and R-semigroups) enable solutionsfor f ∈ X1 ⊂ dom A stable with respect to f in a norm stronger than X-norm. Abstractdistributions and ultradistributions methods for any f ∈ X enable distributional (in t) solutions.They are operators on test function spaces (Schwartz spaces or spaces of ultradifferentialfunctions). Term ‘abstract’ means here that instead of usual C-valued functionals in distributiontheory we deal with X-valued operators. Regularization methods for a given fδ (‖f −fδ‖X ≤ δ)enable solutions uα of appropriate well-posed problems depending on a regularizing parameterα such that uα(δ)(t) → u(t) as δ → 0 (α(δ) →δ→0 0) and define regularizing operators Rα(t) :Rα(t)fδ = uα(t), t ∈ [0, T ).

In the present paper we consider the Cauchy problem for the system of differential equations:

∂u(t, x)

∂t= A(D)u(t, x), t ∈ [0, T ), u(0, x) = f(x), x = (x1, x2, . . . xn) ∈ Rn, (DCP)

where u(t, x) = (u1(t, x), u2(t, x), . . . um(t, x)) is a vector-function, A(D) is a differentialoperator-matrix of order r:

A(D) =∑

|α|≤r

AαDα, |α| = α1 + α2 + · · · + αn,

Dα = Dα11 Dα2

2 . . . Dαnn , Dk = i∂/∂xk, k = 1, 2, . . . , n,

and Aα are m × m matrices.

All methods mentioned above as methods for the abstract problem (CP) can be applied toexplore the differential problem (DCP). Moreover,

• the Fourier transform method

8The work was supported by grant RFBR No 03-01-00310


using the specific differential nature of A is applied. The method allows to obtain distributional(in x) solutions of the problem.

We show that the Fourier transform method as well as semigroup and distribution methodsis the method of constructing some regularized solutions. Regularization in a broad sense asit is meant here signifies that we construct some corrected (smoothed) solutions and are notconcerned about approximation of an exact solution. Only solutions constructed via regularizingoperators play the role of approximate solutions: uα(δ)(t) = Rα(δ)(t)fδ → u(t) as fδ → f .

In semigroup methods the Laplace transform is an important component of the techniques.Here the resolvent RA(λ) (λ ∈ ρ(A)) is equal to the Laplace transform of solution operators andthe decreasing or increasing nature of RA(λ) (as λ → ∞) defines the character of well-posednessor ill-posedness of (CP).

We will show that the regularization in the semigroup approach results from multiplyingRA(λ) by an appropriate function R(λ) (the Laplace transform of R(t), t ≥ 0) in R-convolutedsemigroups or from replacing f by Rf (where R ∈ L(X)) in R-semigroups.

In abstract distribution and ultradistribution methods regularization results from applyingsolution operators U(t), t ∈ [0, T ), to appropriate test functions ϕ(t) or from applying RA(λ)to test functions ϕ(λ).

In the Fourier transform method we obtain regularization in perfect analogy to the Laplacetransform. We multiply eA(σ)t (the Fourier transform of solution operators) by an appropriatefunction R(σ) and obtain an R-convoluted (in x) solution or apply eA(σ)tf(σ) to appropriatetest functions ϕ(σ) and obtain a distributional solution. ‘Appropriate’ here means that wechoose spaces of test functions, wherein eA(·)t is a multiplicator. Notice, that constructing anexact solution, we multiply eA(·)t by f , the Fourier transform of a smooth initial data f .

It should be pointed out that obtained via techniques of the Laplace transform regularizationin terms of R-semigroups correcting solution operators in ’variables of operator A’ (x in ourcase) is connected with regularization in the Fourier transform method: R turns out to be aconvolution operator.

The wondering at first sight fact that the resolvent RA(·) equal to the Laplace transform (int) of solution operators and eA(·)t equal to the Fourier transform (in x) have similar estimates forcorresponding Cauchy problems finds its interpretation in the context of outlined connections:solution operators U(t), t ∈ [0, T ), are connected by differential relation dU(t)/dt = A(D)U(t),hence solution operators have ‘a proportional smooth’ and their Laplace and Fourier transformshave the similar growth rate.

2. Regularization by semigroup methods

We consider regularization via the most general semigroups, which we call regularizedsemigroups. This type of bounded operator families in a Banach space X contains integratedsemigroups introduced by Arendt [?], R-semigroups of Davies-Pang and Da Prato [?, ?, ?, ?],and Chioranesku-Lumer’s convoluted semigroups [?] specifically.

Definition 1. Let A be a closed linear operator and R(t), t ≥ 0, be a continuous operator-function in X. Strongly continuous operator-family SR = S(t), t ∈ [0, T ) such that

S(t)f = A

t∫

0

S(s)fds +

t∫

0

R(s)fds, f ∈ X, (1)


is called regularized (R-regularized) semigroup generated by A and A is called the generatorof SR. If there exist C > 0 and ω ∈ R such that ‖S(t)‖ ≤ Ceωt for t ≥ 0, then SR is anexponentially bounded regularized semigroup, in the case T < ∞ it is a local one. If theoperator-function R(·) is equal to I multiplied by a real or complex-valued function (alsodenoted by R) semigroup SR is called convoluted (or R-convoluted).

In the special case of operators R(t) = (tn−1/(n−1)!)I, semigroup SR coincides with a n-timesintegrated semigroup. If in addition, A is the generator of a strongly continuous semigroup ofsolution operators U(t), t ≥ 0, then

S(t)f =

t∫

0

(t − s)n−1

(n − 1)!U(s)fds.

In the special case of the operator-function R(t) not depending on t, semigroup SR coincides withan R-semigroup. For the important for regularization case of R-semigroups another definitionmay be given (in [?] they are called C-semigroups).

Definition 2. Let R be a bounded invertible operator in a Banach space X and imR = X.A one parameter family of bounded linear operators S(t), t ∈ [0, T ) in X is called an R-semigroup if

(R1): S(t + s)R = S(t)S(s) for s, t, s + t ∈ [0, T ), S(0) = R;(R2): for every f ∈ X, S(·)f : [0, T ) → X is continuous.

Operator A := G defined by

Gf := limh→0

h−1(R−1S(h)f − f),

dom G := f ∈ imR| limh→0

h−1(R−1S(h)f − f) existsis called the generator of S(t), t ∈ [0, T ).

It is well known that the generator is densely defined and for a densely defined operator Athe Cauchy problem (CP) is R-well-posed on [0, T ) (for any f ∈ y| y = Rz, z ∈ dom A thereexists a unique solution u(·) such that

supt∈[0,τ ],τ<T

‖u(t)‖ ≤ Cτ‖R−1f‖ )

iff A is the generator of an R-semigroup. If, in addition, A is the generator of a stronglycontinuous semigroup U(t), t ≥ 0, then S(t)f = U(t)Rf = RU(t)f .

In the general case of U(t) being solution operators we have S(t)f = U(t)Rf . Hence, theregularization in the R-semigroup approach results from replacing f by Rf .

In the case of R-convoluted semigroup SR the Cauchy problem for v(t) =∫ t

0S(s)fds

v′(t) = Av(t) +

t∫

0

R(s)fds, t ∈ [0, T ), v(0) = 0, (2)

is called R-convoluted Cauchy problem. If there exists a solution of (CP), then as usual forinhomogeneous equations, we have

v = Θ ∗ u, Θ :=

t∫

0

R(s)ds =⇒ SRf = R ∗ u = (R ∗ U)f.


Hence, in the case of R-convoluted semigroups we construct regularized solution SRf = (R∗U)fsmoothing solution operators U(t), t ∈ [0, T ), by convolution with R. Now we show that thissmoothing of solution operators is equivalent to reducing the resolvent increase through themultiplication of RA(λ) by corresponding R(λ), the Laplace transform of R. It follows from thetheorems below that the resolvent of the of R-convoluted semigroup generator exists in someregion from the right semi-plane and can exponentially increase: ‖RA(λ)‖ ≤ CeM(λ). Here areal-valued function M(λ) grows not faster then |λ| and is defined by the order of decreasingof R(λ).

Theorem 1. Let A be the generator of an R-convoluted semigroup, where R is an exponentiallybounded function and

|R(λ)| = O|λ|→∞(e−M(αλ)

), some α ∈ R.

Then there exists a region

Λα,β = λ ∈ C : Re λ ≥ M(αλ)

T+ β

that for any λ ∈ Λα,β we have

‖RA(λ)‖ ≤ CeM(αλ). (3)

Proof Let |R(t)| ≤ Ceωt and consider∫ t

0e−λτS(τ) dτ , the local Laplace transform of SR.

Then operator

R(λ, t) := [R(λ)]−1

t∫

0

e−λτS(τ) dτ

is bounded and ‘nearly’ the resolvent: (λI − A)R(λ, t) = I − B(λ, t), where

‖B(λ, t)‖ ≤ CeM(λ)−(Reλ−ω)t,

and ‖B(λ, t)‖ ≤ δ < 1, for λ ∈ Λα,β, t ∈ [0, T ). Hence

RA(λ) = R(λ, t)[(I − B(λ, t))]−1, λ ∈ Λα,β, t ∈ [0, T ),

and (??) holds. ¤

Theorem 2. Suppose

∀λ ∈ Λα,0, ‖RA(λ)‖ ≤ CeM(αλ) (some C,α > 0)

and R is such that

|R(λ)| = O|λ|→∞(e−κM(αλ)

), κ > 1. (4)

Then A is the generator of the R-convoluted semigroup on [0, T1), T1 := T (κ − 1).

Proof Let RA satisfy (??) for λ ∈ Λα,0 and R satisfy (??). Consider the inverse Laplacetransform of R(λ)RA(λ)

S1(t) :=

∫

∂Λ

eλtR(λ)RA(λ) dλ.

Since‖eλtR(λ)RA(λ)‖

∣∣∣∂Λ≤ CeReλt+M(αλ)−κM(αλ),

operators S1(t) are defined for t ∈ [0, T (κ − 1)). It can be verified that S1(t) satisfies theconvoluted semigroup equation (1) on [0, T1) [?]. Hence S1 is the R-convoluted semigroup. ¤

Remark. Both theorems 1 – 2 are true for R-regularized semigroups, where R(t), t ≥ 0, is aninvertible operator-function with the estimate (??) for its norm.


Thus, we see that the function R in the construction of regularized (convoluted) solutionis chosen so that R(λ)RA(λ) is a bounded operator and serves ’nearly’ the local Laplacetransform of R-convoluted semigroup SR (and ’nearly’ the Laplace transform of SR in thecase of exponentially bounded SR).

3. Regularization by distribution methods

In the previous section we saw how regularizing multipliers are chosen for the construction ofconvoluted solutions. Now we show what test function spaces (and corresponding distributionspaces) can be taken in order to construct regularization via distributional (in t) solutions.Consider a solution U to the Cauchy problem in the space of abstract Schwartz distributionsD′(X) := L(D, X):

〈P ∗ U,ϕ〉 = 〈δ ⊗ f, ϕ〉, ϕ ∈ D. (δCP)

HereP := δ′ ⊗ I − δ ⊗ A ∈ D′

0(L(XA, X)), < δ ⊗ A,ϕ >:=< δ, ϕ > A,

XA := dom A, ‖f‖A := ‖f‖ + ‖Af‖,U ∈ D′

0(X), that is U ∈ D′(X) and supp U ⊂ [0,∞).

As it is proved in [?] well-posedness of (δCP ) is equivalent to A being the generator of a localn-times integrated semigroup for some n. Generally, when A is the generator of a convolutedsemigroup, well-posedness of (δCP ) is studied in spaces of ultradistributions. Spaces of testfunctions for ultradistributions are spaces of infinitely differentiable functions defined in termsof estimates of their derivatives depending on some sequence Mn.

Let Mn be a sequence of positive numbers, satisfying the following conditions

(M.1): M2n ≤ Mn−1Mn+1, n = 1, 2, . . .;

(M.2): ∃α, β ∈ R : Mn ≤ αβn min0≤s≤n MsMn−s;

(M.3): ∃ γ ∈ R :∞∑

s=n+1

Ms−1

Ms≤ nγ Mn

Mn+1.

Let K be a compact set in R and h > 0. We consider the space of functions ϕ ∈ C∞(R) withsupport K and with estimates

‖ϕ(n)‖C(K) = supt∈K

|ϕ(n)(t)| ≤ CMnhn, n ∈ N.

The space DMn,h,K of such functions with the norm

‖ϕ‖Mn,h,K = supn∈N

‖ϕ(n)‖C(K)

Mnhn

is a Banach space.

Definition 3. The space

DMn = ind limK⊂R

proj limh→0

DMn,h,K

with the corresponding topology of inductive and projective limits is called the space ofultradifferentiable functions of class Mn. The dual space D′

Mn is the space of ultradistributionsof class Mn.

The following theorem connects well-posedness in D′Mn with estimates for the resolvent.

Theorem 3. [?] For (δCP ) in the space of ultradistributions the following statements areequivalent.


(D): there exists an operator-ultradistribution E ∈ D′0,Mn(L(X,XA)) satisfying

P ∗ E = δ ⊗ IX , E ∗ P = δ ⊗ IXA; (5)

(R): there exists a region

Λ := λ ∈ C| Reλ ≥ γM(αλ) + β (some α, γ, β > 0)

that for any λ ∈ Λ,

‖RA(λ)‖L(X,XA) ≤ CeM(αλ).

Here

M(σ) := supn∈N

lnσnM0

Mn

, σ ∈ (0,∞),

is called the associated to Mn function.

Thus, in the case when (δCP ) is well-posed in ultradistribution spaces the estimates forRA(λ) are the same as for the resolvent of the generator of an R-convoluted semigroup with Runder condition

|R(λ)| ≤ Ce−M(αλ).

The regularization of solution operators is here via applying them to test functions ϕ ∈ DMn orequivalently via applying the resolvent to test functions that have the same order of decreasingas R(λ) defined by order of RA(λ).

4. Regularization by Fourier transform methods

In the previous section we saw how to choose test function spaces (and correspondingdistribution spaces) in order to construct regularization via distributional (in t) solutions.Now we show this for regularization via distributional (in x) solutions of (DCP). Moreover,we show how to choose multipliers for Fourier transformed solutions in order to construct someR-semigroups with R being a convoluted (in x) operator.

Let Φ be a space of test functions ϕ(x), x ∈ Rn, and Φ the space of their Fourier transformsϕ(σ), σ ∈ Rn. We apply the generalized Fourier transform to the Cauchy problem (DCP)

du(σ, t)

dt= A(σ)u(σ, t), u(σ, 0) = f(σ) (σ ∈ Rn, f ∈ Φ′) (FCP)

and obtain u(σ, t) = etA(σ)f(σ).

Now we need to find Φ in order to construct distributional (in x) solutions to (DCP)and corresponding regularization via test functions or smoothing operators. Similarly to theconstruction of distributional and ultradistributional (in t) solutions, the choice of correspondingtest functions space Φ is of great importantance here. In [?] these spaces are chosen in such away that Φ and Φ are dual with respect to the Fourier transform and etA(·) is a multiplicatorin Φ. It is shown that such spaces may be taken as WQ

M -spaces.

Let µ(ξ) and ω(τ), (0 ≤ ξ, τ < ∞) be increasing continuous functions such that µ(0) =ω(0) = 0, µ(∞) = ω(∞) = ∞. Introduce functions M(x) and Ω(y):

M(x) =

x∫

0

µ(ξ)dξ, Ω(y) =

y∫

0

ω(η)dη (x, y ≥ 0)

andΩ(y) := Ω(−y), M(x) := M(−x), x, y ≤ 0.


Definition 4. Denote by WM,a the space of infinitely differentiable functions ϕ satisfyinginequalities

|ϕ(q)(x)| ≤ Cqδe−M [(a−δ)x] (q = 0, 1, 2, . . . )

for any δ > 0 and with norms defined as follows

‖ϕ‖qδ = supx

|ϕ(q)(x)|eM [(a−δ)x].

Denote by WΩ,b the space of analytical functions ϕ satisfying inequalities

|zkϕ(z)| ≤ CkρeΩ[(b+ρ)y], z = x + iy (k = 0, 1, 2, . . . )

for any ρ > 0 with norms‖ϕ‖kρ = sup

z|zkϕ(z)|e−Ω[(b+ρ)y].

Then WΩ,bM,a is the space of analytical functions ϕ satisfying inequalities

|zkϕ(q)(x + iy)| ≤ Cq,ke−M [(a−δ)x]+Ω[(b+ρ)y]

for any ρ, δ > 0 with norms

‖ϕ‖kqδρ = sup

z|zkϕ(q)(z)|eM [(a−δ)x]−Ω[(b+ρ)y].

WΩM := ind lim

a=1,1/2, ...b=1,2, ...

proj limδ→0ρ→0

WΩ,bM,a.

From the definition of these spaces we have the following description of multiplicators in thespaces of WΩ

M type.

Theorem 4. [?] Let M(x) and Ω(y) be the functions defining the space WΩM . Then an entire

analytical function g satisfying the equality

g(z) ≤ CeM(a0x)+Ω(b0y), z ∈ Z,

defines a bounded multiplication operator from WΩ,bM,a into WΩ,b+b0

M,a−a0with a > a0 and any

permissible b > 0.

If functions µ and ω are connected by relations

µ[ω(η)] = η, ω[µ(ξ)] = ξ,

then corresponding functions M and Ω are called dual by Jung. For such functions the Junginequality holds

xy ≤ M(x) + Ω(y), x, y ≥ 0. (6)

The important example of the functions dual by Jung is M(x) = xp

p, Ω(y) = yq

q, where 1

p+ 1

q= 1.

From the Jung inequality the relationship between the spaces of type WΩM and their Fourier

transforms follows.

Theorem 5. If M and Ω are dual by Jung, then

WM,a = WΩ,1/a, WΩ,b = WM,1/b.

If Ω1 and M1 are the functions dual by Jung to the functions M and Ω, respectively, then

WΩ,bM,a = W

Ω1,1/aM1,1/b .

It turns out that the properties of functions from the spaces WΩM can be described in terms

of spaces Sβα [?].


Definition 5. The space Sβα ( α, β > 0) consists of infinitely differentiable functions ϕ(x), x ∈

R, satisfying inequalities

|xkϕ(q)(x)| ≤ CAkBqkkαqqβ (k, q = 0, 1, 2, . . . )

where C,A,B depend on ϕ, with corresponding norms.

Functions from Sβ0 are functions with compact supports. If β < 1, then ϕ is analytical and

|ϕ(q)(x)| ≤ CBqqqαe−α|x|1/α

, |ϕ(q)(x + iy)| ≤ Ce−α|x|1/α

eβ|y|1/(1−β)

.

Hence, spaces Sβ0 (0 < β < 1) coincide with the corresponding WΩ

M . Moreover, they are thespaces of ultradifferential functions DMn with special choice of Mn.

For a sake of simplicity, definitions 4, 5 are given for x, y ∈ R. The definitions of introducedspaces WΩ

M and Sβα may be given for x, y ∈ Rn as well.

As it was said above, under solving (DCP) the spaces Φ equal to WΩM or Sβ

α are chosen sothat etA(·) are multiplicators in Φ and the regularization here is through the multiplication ofetA(·)f(·) by ϕ(·) ∈ Φ.

The behaviour of etA(·) is closely related to Λi(s), i = 1, 2, . . . ,m, the system of eigenvaluesof the operator-matrix A(s), s = σ + iτ :

|etΛk(s)| = et Re Λk(s) ≤ ‖etA(s)‖m,

‖etA(s)‖m ≤ M(1 + 2t‖A(s)‖m + · · · + 2tm−1‖A(s)‖m−1m )et max Re Λk(s).

According to the behaviour of Λi , all systems from (DCP) are divided into three classes:(I): the system is Petrovsky correct if

∃C > 0 : Re Λk(σ) ≤ C;

(II): the system is conditionally correct if

∃a > 0, h < 1, b ∈ R : Re Λk(σ) ≤ a|σ|h + b;

(III): the remaining systems are called incorrect.

Ill-posed problems with Petrovsky correct systems we call weakly ill-posed and others we callstrongly ill-posed.

To summarize, in the case of distributional (in x) solutions to (DCP) we can realize theregularization via the multiplication of etA(·)f(·) by test functions from corresponding Φ-spaces. Nevertheless, such regularization is rather severe in the following sense. Since etA(·)

are multiplicators in Φ, we have etA(·)ϕ(·) again in Φ.

Besides the regularization by test functions we can obtain the regularization by multiplyingetA(σ) by corresponding R(σ) or replacing f by Rf . Acting this way in the section below wewill construct regularizing operators via R-convoluted and R-semigroups for different ill-posedproblems. These regularizing operators takes into accounts the features of ill-posed problems(that is the behaviour of etA(·)) and are not so severe as in the test functions regularization.

5. Construction of regularizing operators

Consider the Cauchy problem (CP) that is not uniformly well-posed. Suppose, as is theconvention in the theory of ill-posed problems, that for some f there exists a solution u(·) andfδ (‖fδ−f‖X ≤ δ) is given. As indicated in introduction, approximate solutions of the problemwill be constructed through various regularizing operators [?, ?].


Definition 6. Let t ∈ [0, T ). An operator Rε(t) : X → X depending on a parameter ε > 0 iscalled the regularizing operator for the Cauchy problem (CP) if the following conditions hold

1): for any ε > 0, operator Rε(t) is defined on X and for any f ∈ X, Rε(·)f ∈C[0, T ), X). (Usually Rε(t) supposed to be bounded);

2): there exists a dependence ε = ε(δ) (ε(δ) →δ→0 0) such that

‖Rε(δ)(t)fδ − u(t)‖ →δ→0 0, t ∈ [0, T ).

The relationship between existence of R-semigroups and regularizing operators is shown in[?, ?].

Theorem 6. Let −A generate a strongly continuous semigroup on a Banach space X, thenthe following statements are equivalent

(i): A is the generator of a local Rε-semigroup Sε(t), t ∈ [0, T ) with operator Rε

convergent to the identity operator as ε → 0 on dom A;(ii): for (CP ) there exist bounded linear regularizing operators Rε(t), t ∈ [0, T ). They are

invertible and commute with A.

Condition for operator −A to generate a strongly continuous semigroup holds for stronglyill-posed problems of the back heat type. For ill-posed Cauchy problems (CP) without thiscondition we also can use Rε-semigroups for construction of regularizing operators due to thefollowing result.

Theorem 7. [?, ?] Let A be the generator of a local Rε-semigroup Sε(t), t ∈ [0, T ) withoperator Rε convergent to the identity operator as ε → 0 on dom A. Then for (CP) there existlinear bounded regularizing operators Rε(t) commuting with A.

We prove that for regularization of a wide class of ill-posed differential problems (DCP) thesame type of operators Rε can be used. To this end we consider vector-functions u(t, ·) and f(·)as functions in Lm

2 (Rn) := L2(Rn) × · · · × L2(R

n). In this case, the Plancherel theorem holdsand Fourier transforms u(t, ·) and f(·) are also vector-functions with coordinates in L2(R

n).Hence we also obtain the Fourier transformed Cauchy problem (FCP) in Lm

2 (Rn).

Due to the Plancherel theorem, estimates for the solution operators etA(·) to (FCP) coincidewith estimates for the solution operators U(t) to (DCP).

For Petrovsky correct and conditionally correct systems we obtain the following general resulton regularization of (DCP).

Theorem 8. Let ∆ be the Laplace operator in X = Lm2 (Rn). In the case of Petrovsky correct

systems Rε-semigroups with generator A = A(D) and

Rε =1

εβRβ

∆

(1

ε

), β >

r(m − 1)

2, ε > 0,

form regularizing operators for weakly ill-posed Cauchy problem (DCP). In the case ofconditionally correct systems regularising operators Rε(t) are equal to Rε(t)-semigroups withgenerator A and Rε = U∆(ε), where U∆(t), t ≥ 0 is the semigroup generated by the Laplaceoperator ∆.

Proof Corresponding Rε-semigroups are constructed as follows:

(S1ε (t)f)(x) =

∫

Rn

ei(σ,x)etA(σ)f(σ)(1 + ε|σ|2

)βdσ, t ∈ [0, T ), ε > 0, β >

r(m − 1)

2, (7)


(S2ε (t)f)(x) =

∫

Rn

ei(σ,x)etA(σ)e−εσ2

f(σ)dσ, t ∈ [0, T ), ε > 0. (8)

Convergence of integrals with indicated values of parameters and equation (1) with R = Rε

(or equivalently the R-semigroup relation: Sε(t + τ)Rε = Sε(t)Sε(τ)) can be checked easily.Convergence

1

εR∆

(1

ε

)f →ε→0 f, U∆(ε)f →ε→0 f

on dom ∆ and even on X follows from the property of the semigroup U∆(t), t ≥ 0 to bestrongly continuous in the space X = Lm

2 (Rn) [?, ?]. ¤

Regularizing algorithm R1ε(t)fδ := S1

ε (t)fδ corresponding to (??), is constructed as solutionsof the following well-posed boundary problems depending on ε:

∂u(t, x)

∂t= A(D)u(t, x), x ∈ Rn, t ∈ [0, T ), (I − ε∆)βu(0, x) = fδ. (9)

Regularizing algorithm R2ε(t)fδ := S2

ε (t)fδ corresponding to (??), is constructed as solutions ofthe following well-posed problems:

∂v(t, x)

∂t= ∆v(t, x), 0 ≤ t ≤ ε, v(0, x) = fδ, (10)

∂u(t, x)

∂t= A(D)u(t, x), x ∈ Rn, t ∈ [0, T ), u(0, x) = v(ε, x). (11)

Both of these algorithms consist of two steps. For (??) the first step is smoothing of initialdata with help of operator Rε = 1

εβ Rβ∆

(1ε

), the second step is solving (DCP) with these smoothed

initial data. The very important fact here is that various weakly ill-posed problems have thecommon part as a part of the regularization. For (??)–(??) the first step is smoothing of initialdata by finding v(t, x) to (??) as t = ε, the second step is solving (DCP) with these smoothedinitial data v(ε, x). Here various strongly ill-posed problems also have the common part as apart of the regularization.

We note that for Shilov parabolic systems, a subclass of Petrovsky correct systems, where

∃a, h > 0, b ∈ R : Re Λk(λ) ≤ −a|λ|h + b (12)

and

‖etA(λ)‖m ≤ c

tγ, γ =

(r − h)(m − 1)

h, c > 0,

regularization is necessary only in some neighborhood of t = 0.

Now we show that along with regularizing operators constructed in theorem 8 via regularizedsemigroups, regularizing operators can be constructed by reducing ill-posed (CP) to an equationof the first order

Ku = v (with K−1 being an unbounded operator),

the traditional form of problems in the ill-posed problems theory, and further usingregularization methods for such equations.

Consider the Cauchy problem (CP) with A generating an R-convoluted semigroup S(t), t ∈[0, T ). By definition 1, S(t)Af = AS(t)f for f ∈ dom A and for f ∈ X equation (1) holds:

S(t)f = A

t∫

0

S(s)fds + Θ(t)f, t ∈ [0, T ), Θ(t) =

t∫

0

S(s)ds.


If for some f there exists a solution of (CP) u(·), then as it was indicated, u(·) is connectedwith a solution of the corresponding convoluted Cauchy problem (2):

v′(t) = Av(t) + Θ(t)f, t ∈ [0, T ), v(0) = 0,

as v = Θ ∗ u.

Thus, having constructed vδ(t) =∫ t

0S(s)fδ, t ∈ [0, T ), the solution to convoluted problem

(2) with fδ ∈ X such that ‖f − fδ‖ ≤ δ (hence ‖v − vδ‖ ≤ Cδ) we need to regularize the firstkind (convolution) equation Ku = v, where

(Ku)(t) := (Θ ∗ u)(t) =

t∫

0

Θ(t − s)u(s)ds.

Applying the Laplace transform to the first kind convolution equation we have

L(Θ, λ) · L(u, λ) = L(v, λ), λ ∈ Λ ⊂ C,

Λ is the same type as in theorems 1–2 and

u = L−1 L(v, λ)

L(Θ, λ)= K−1v.

Since L(Θ, λ) → 0 as λ → ∞, we need to regularize the unbounded operator K−1. Accordingto the Arsenin-Tikhonov regularization [?] we can define regularizing operators Rε(t), ε ∈(0, ε0], t ∈ [0, T ), as follows

Rε(t)f = L−1

(L(v, λ)a(λ, ε)

L(Θ, λ)

), f ∈ X,

where a is a complex or real-valued function such that a(λ, ε) → 1 as ε → 0 uniformly by λ ∈ Λand

a(λ, ε) = O (L(Θ, λ)) as λ → ∞, ε ∈ (0, ε0].

For example, a(λ, ε) = L(Θ, λ)/(L2(Θ, λ) + ε)1/2.

The procedure with using the first kind equation methods can be successfully implored inthe case of (CP) with A generating an R-semigroup. As the first step we construct a solutionof the Cauchy problem

v′δ(t) = Avδ(t), vδ(0) = Rfδ.

That is some sort of smoothing of the error initial data. The second step is a regularization ofthe first kind equation Ru = v with obtained vδ.

References

[1] Arendt W, Batty Ch., et all Vector-valued Laplace transform and Cauchy problems, Birkhauser Verlag:Basel–Boston–Berlin, 2001

[2] Balakrishnan A.V. Applied functional analysis. Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1976[3] Davies E.B. and Pang M.M. The Cauchy problem and a generalization of the Hille-Yosida theorem //

Proc. London Math. Soc., 1987, 55, 181–208[4] Gel’fand I.M. and Shilov G.E. Some questions of the theory of differential equations. Academic Press, New

York, 1968.[5] deLaubenfels R. Existence families, functional calculi and evolution equations. Springer Verlag, 1994[6] Cioranescu I. and Lumer G. On K-convoluted semigroups. Recent developments in evolution equations //

Pitman Research Notes in Math. Ser. 324, 1995[7] Ivanov V.K., Melnikova I.V. and Filinkov A.I. Differential-operator equations and ill-posed problems.

Nauka, Moscow, 1995[8] Krein S.G. Linear differential equations in a Banach space. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1972[9] Melnikova I.V. General theory of ill-posed Cauchy problem // J. Inverse & Ill-Posed Problems, 1995, 2,

1995, 149–171


[10] Melnikova I.V. and Filinkov A.I. Integrated semigroups and C-semigroups. Well-posedness andregularization of differential-operator problems // Uspekhi Mat. Nauk, 1994, 49, No. 6, 111–150

[11] Melnikova I.V. and Alshansky M.A. Well-posedness of the Cauchy problem in a Banach space: regular anddegenerate cases // J. Math. Sci. 1997, 87, 3732–3777

[12] Melnikova I.V. and Filinkov A.I. The Cauchy problem. Three approaches. Monographs and Surveys inPure and Applied Mathematics, 120, London-New York: Chapman&Hall, 2001

[13] Melnikova I.V., Quan Zheng and Jizhou Zhang Regularization of weakly ill-posed Cauchy problems // J.Inverse & Ill-Posed Problems, 2002, 10, No 5, 385–393

[14] Melnikova I.V. Semigroup regularization of ill-posed differential problems // Dokl. Akad. Nauk, 2003, 393,No 6, 1–5

[15] Miyadera I. and Tanaka N. Exponentially bounded C-semigroups and generation of semigroups // J. Math.Anal. Appl. 1989, 143, 358–365

[16] Tanaka N. and Okazawa N. Local C-semigroups and local integrated semigroups // Proc. London Math.Soc. 1990, 61, 63–90

[17] Tikhonov A.N. and Arsenin V.Ja. Methods for solving ill-posed problems. Nauka, Moscow, 1979

Melnikova Irina V., Russia, 620083 Ekaterinburg, Lenina av., 51, Ural StateUniversity, Math. Dept.



ON PARABOLIC UNILATERAL PROBLEMS WITH OPERATORSOF 2m ORDER

O. V. SolonukhaNTUU "KPI", Kiev, Ukraine

Keywords: parabolic variational inequality, generalized pseudomonotone–type operator, quasi–bounded

operator, unilateral problem, property (S+)

We consider sufficient condition for solvability of parabolic variational inequalities inspaces of integrable functions with values in reflexive Banach spaces. This result isapplied for studying of unilateral problems with operators of order 2m in Sobolev spaces.We propose the criterion on coefficients when operator is generalized pseudomonotoneon W and has property (S+) on W .

At present quasi–linear unilateral evolution problems and smoothness of their solutions arestudied sufficiently well, see [?, ?, ?] and bibliography. In this paper we consider unilateralevolution problems with essentially nonlinear operators. It is obtained the criterion oncoefficients when operator is generalized pseudomonotone on W and has property (S+) onW . This criterion allows to apply the theory of parabolic variational inequalities to parabolicunilateral problems.

1. Solvability of variational inequalitiesLet V be a reflexive Banach space, and let V ∗ be its dual space with respect to some Hilbert

space V . For fixed T ∈ (0,∞), we introduce the spaces of integrable functions with values inspaces V and V for almost all t ∈ [0, T ]:

X = Lp0(0, T ; H) ∩ Lp1(0, T ; V ),1

p0

+1

q0

=1

p1

+1

q1

= 1, 1 < p1 ≤ p0 < ∞,

where

Lp0(0, T ; H) =

y :

T∫

0

‖y‖p0

H dt < ∞

, Lp1(0, T ; V ) =

y :

T∫

0

‖y‖p1

V dt < ∞

.

Then X is reflexive Banach too, and X∗ = Lq0(0, T ; H) + Lq1(0, T ; V ∗) is dual for X withrespect to H = L2(0, T ; H). The norm in X is defined by formula

‖y‖X = ‖y‖Lp0 (0,T ;H) + ‖y‖Lp1 (0,T ;V ).

For arbitrary f ∈ X∗ and ξ ∈ X, let 〈f, ξ〉 =T∫0

(f1(t), ξ(t))Hdt +T∫0

〈f2(t), ξ(t)〉V dt, where

f = f1 + f2, f1 ∈ Lq0(0, T ; H), f2 ∈ Lq1(0, T ; V ∗). If ξ(t) ∈ V for almost all t ∈ [0, T ], then

〈f, ξ〉 =T∫0

〈f(t), ξ(t)〉V dt. Let us define the reflexive Banach space W :

W = y ∈ X : ∂ty ∈ X∗, ‖y‖W = ‖y‖X + ‖∂ty‖X∗ .

Let A : X → ConvX∗ be a nonlinear operator with domain Dom(A) = W . Assume that Kis a convex, closed set from X such that

y|t=0 = y0 ∀y ∈ K ∩ W, (1)

∀y ∈ K ∃ζi ⊂ W ∩ K such that ζi → y and limi→∞

〈∂tζi, ζi − y〉 ≤ 0. (2)

We consider the strong evolution variational inequality

〈∂ty(t) + Ay(t) − f(t), ξ(t) − y(t)〉V ≥ 0 for a.a. t ∈ [0, T ], ∀ξ(t) ∈ K(t),y|t=0 = y0,

(3)


where f ∈ X∗, y0 ∈ H, K(τ) ≡ K|t=ττ∈(0,T ] is a family of convex closed sets for almost allτ ∈ (0, T ]. We fix ζ0 ∈ W ∩ K such that ζ0|t=0 = y0. Denote

Wζ0 = y ∈ W : y|t=0 = ζ0|t=0.Definition 1. A mapping A : Dom(A) ⊂ X → X∗ is called generalized pseudomonotone

on W , if for arbitrary (yn, Ayn) such that yn → y weakly in W , Ayn → w weakly in X∗ andlim

n→∞〈Ayn, yn − y〉 ≤ 0, we have w = A(y) and 〈Ayn, yn〉 → 〈Ay, y〉.

Definition 2. A mapping A : Dom(A) → X∗ is demicontinuous, if it is continuous fromthe strong topology of X into the weak topology of X∗.

Definition 3. A mapping A : Dom(A) → X∗ is quasi–bounded, if for any k1 > 0 and forany set

y ∈ Dom(A) : ‖y − ζ0‖X ≤ k1 and 〈Ay, y − ζ0〉 ≤ k1‖y − ζ0‖X

, there exists N > 0

such that ‖Ay‖X∗ ≤ N = N(k1) < ∞.Definition 4. A mapping A : Dom(A) → X∗ is called quasi–bounded with respect to

∂t, if for any k1 > 0 and for any sety ∈ Dom(A) ∩ W : ‖y − ζ0‖X ≤ k1 and 〈Ay + ∂t(y − ζ0), y − ζ0〉 ≤ k1‖y − ζ0‖X

, (4)

there exists N > 0 such that ‖Ay‖X∗ ≤ N = N(k1) < ∞.

Lemma 1. Any quasi–bounded operator A : Dom(A)∩Wζ0 → X∗ is quasi–bounded with respectto ∂t.

Доказательство. Let us consider the set given by (??). Then

〈∂t(y − ζ0), y − ζ0〉 =1

2‖(y − ζ0)(T )‖2

H − 1

2‖(y − ζ0)(0)‖2

H ≥ 0.

Hence for any element from this set we have 〈Ay, y − ζ0〉 ≤ k1‖y − ζ0‖X . By virtue of thequasi–boundedness of operator A, we have ‖Ay‖X∗ ≤ N = N(k1) < ∞. ¤

Definition 5. A mapping A : Dom(A) → X∗ is coercive on K, if there exist y0 ∈ K andc : R+ → R+ such that

‖y − ζ0‖−1X 〈Ay, y − ζ0〉 ≥ c(‖y − ζ0‖X), c(γ) → ∞ as γ → ∞. (5)

The coercitivity condition can be modified (see §4.4 [?]).We will consider the restriction on time–interval:

Xt = Lp1

(0, t; V

)∩ Lp0

(0, t; H

), X∗

t = Lq1

(0, t; V ∗) + Lq0

(0, t; H

),

Wt = y ∈ Xt : ∂ty ∈ X∗t ; Aty(τ) =

Ay(τ), τ ∈ [0, t],

0, τ ∈ (t, T ].

Lemma 2. If A : Dom(A)∩W → X∗ is coercive, quasi–bounded with respect to ∂t, generalizedpseudomonotone on W mapping, then for any t ∈ [0, T ] operator At : Dom(A) ∩ Wt → X∗

t iscoercive, quasi–bounded with respect to ∂t, generalized pseudomonotone on Wt mapping.

Доказательство. 1. Let

yt(τ) =

y(τ), τ ∈ [0, t],

0, τ ∈ (t, T ],ζ0t(τ) =

ζ0(τ), τ ∈ [0, t],

0, τ ∈ (t, T ].

Obviously that ‖yt‖X = ‖y‖Xt and (Ay)(τ) = (Atyt)(τ) for almost all τ ∈ [0, t]. Using thecoercitivity of operator A, we obtain that

‖yt−ζ0‖−1Xt

t∫

0

〈(Atyt)(τ), yt(τ)−ζ0(τ)〉V dτ = ‖yt−ζ0t‖−1X

T∫

0

〈(Atyt)(τ), yt(τ)−ζ0t(τ)〉V dτ → +∞,

if ‖yt − ζ0‖Xt → ∞. Operator At is coercive.


2. Now let yn → y weakly in Wt, let Atyn → w weakly in X∗t , and let

limn→∞

t∫

0

〈(Atyn)(τ), yn(τ)〉V dτ ≤t∫

0

〈w(τ), y(τ)〉V dτ.

Thus, for all ϕ ∈ X∗t and for all ψ ∈ Xt, we have 〈yn, ϕ〉Xt → 〈y, ϕ〉Xt , 〈ψ, ∂tyn〉Xt → 〈ψ, ∂ty〉Xt .

Then that for any ϕ ∈ X∗ and ψ ∈ X the following equalities are true:t∫

0

〈yn(τ), ϕ(τ)〉V dτ =

t∫

0

〈ynt(τ), ϕ(τ)〉V dτ = 〈ynt, ϕ〉 → 〈yt, ϕ〉,

t∫

0

〈∂tyn(τ), ψ(τ)〉V dτ =

t∫

0

〈∂tynt(τ), ψ(τ)〉V dτ = 〈∂tynt, ψ〉 → 〈∂tyt, ψ〉,

i.e. ynt → yt weakly in W . Sincet∫

0

〈w(τ), y(τ)〉V dτ ≥ limn→∞

t∫

0

〈(Aynt)(τ), ynt(τ)〉V dτ = limn→∞

〈Aynt, ynt〉

and operator A is generalized pseudomonotone on W , we have w = Aty andt∫

0

〈w(τ), y(τ)〉V dτ =

limn→∞

〈Aynt, ynt〉. Operator At : Wt → X∗t is generalized pseudomonotone on Wt.

3. Finally, let ‖yt‖Xt ≤ k1, 〈Atyt + ∂t(yt − ζ0t), yt − ζ0t〉Xt ≤ k1‖yt − ζ0t‖Xt . We extend yt bythe following manner: yt(τ) = ζ0(τ) for almost all τ ∈ (t, T ]. Then

〈Ayt + ∂t(yt − ζ0), yt − ζ0〉X = 〈Atyt + ∂t(yt − ζ0t), yt − ζ0t〉Xt ≤ k1‖yt − ζ0‖X

for any ‖yt − ζ0‖X = ‖yt − ζ0‖Xt ≤ k1. The quasi–boundedness with respect to ∂t of operatorA implies that there exists N > 0 such that ‖Atyt‖X∗ ≤ N(k1). Thus ‖Aty‖X∗

t≤ N(K1). ¤

We also introduce the family of finite–dimensional subspaces of H:

F (H) = F ⊂ H : dimF < ∞,⋃

F∈F (H)

F = H.

We means that F ≃ F ∗. Let

XF = Lp0(0, T ; F ), X∗F = Lq0(0, T ; F ); WF = y ∈ XF : ∂ty ∈ X∗

F;〈fF , ξF 〉XF

= 〈f, ξF 〉, 〈AF y, ξ〉XF= 〈Ay, ξ〉 ∀ξF ∈ XF .

We can consider AF : C([0, T ]; F ) ⊂ XF → X∗F . Assume that

C([0, T ]; F ) ⊂ Dom(A) for any F ∈ F (H).

Theorem 1. Let K be a convex, closed set that satisfies conditions (??) and (??), and letA : Dom(A) ∩ W → X∗ be a quasi–bounded with respect to ∂t, generalized pseudomonotone onW mapping. Moreover, we suppose that C([0, T ]; F ) ⊂ Dom(A) and AF : C([0, T ]; F ) → X∗

F isdemicontinuous for any F ∈ F (H). We also assume that either A is coercive, or K is bounded.Then parabolic variational inequality (??) has nonempty, weakly compact in spaces X and Wset of solutions.

Доказательство. We aproximate variational inequality (??) by following system

〈∂tyF (t) + AF yF (t) − fF (t), ξF (t) − yF (t)〉F ≥ 0 for a.a. t ∈ [0, T ], ∀ξF ∈ KF ,yF (0) = yF0 ∈ F,

(6)

where yF0 → y0 in H, KF = prF K.


Lemma 3. Problem (??) has at least one solution yF ∈ WF for any F . Moreover, the set ofsolutions yFF∈F (H) is bounded in X and in C([0, T ]; H).

Доказательство. We fix t1 ∈ [0, T ] and suppose that for any F , some function yF ∈Lp0(0, t1; F ) satisfies the following inequality (??) for almost all t ∈ [0, t1]. By construction,∂tyF ∈ Lq0(0, t1; F ). Substituting ξF = ζ0F into (??), we obtain

1

2‖yF (t) − ζ0F (t)‖2

H +

t∫

0

〈(AF yF )(τ), yF (τ) − ζ0F (τ)〉V dτ ≤

≤t∫

0

〈f(τ) − ∂tζ0(τ), yF (τ) − ζ0F (τ)〉V dτ ≤ ‖f − ∂tζ0‖X∗‖yF − ζ0F‖Lp0 (0,t;F ). (7)

The first term in (??) is nonnegative. Let us consider the case when operator A is coercive.Then the second one tends to +∞, see Lemma ??. Hence from coercitivity of A and estimate

‖yF − ζ0F‖−1Lp0 (0,t1;F )

t∫

0

〈(AyF )(τ), yF (τ) − ζ0F (τ)〉V dτ ≤ ‖f − ∂tζ0‖X∗

we have‖yF − ζ0F‖Lp0 (0,t;F ) ≤ k1 ∀t ∈ [0, t1]. (8)

Here k1 does not depend on either t1 or F . If K is bounded, this estimate follows from the factthat yF ∈ KF . Moreover,

t∫

0

〈(AF yF )(τ) + ∂tyF (τ) − ∂tζ0F (τ), yF (τ) − ζ0F (τ)〉V dτ ≤ ‖f − ∂tζ0‖X∗k1. (9)

Since A is quasi–bounded with respect to ∂t, then there exists k3 > 0 such that

‖AF yF‖Lq0 (0,t1;F ) ≤ k3 (10)

and k3 does not depend on either t1 or F . Simultaneously we obtain that

‖yF (t) − ζ0F (t)‖2H ≤ 2

t∫

0

〈fF (τ) − ∂tζ0F (τ) − (AF yF )(τ), yF (τ) − ζ0F (τ)〉V dτ ≤

≤ 2 (‖f − ∂tζ0‖X∗ + k3) k1 ∀t ∈ [0, t1],

i.e.‖yF − ζ0F‖C([0,t1];H) ≤

√2 (‖f − ∂tζ0‖X∗ + k3) k1 = k2. (11)

Here k2 does not depend on either t1 or on F .We proved that if solution of (??) exists, it must satisfy the total limitations (??), (??), and

(??). Now we will show that as constant t1 we can consider any element from interval [0, T ].Let S1 be a set of points t1 such that problem (??) has solution from Lp0(0, t1; F ). It is possiblethat t1 = 0. Estimate (??) and property ‖yF‖C([0,t1);H) < k2 ⇒ ‖yF‖C([0,t1];H) ≤ k2 implythat S1 is a closed set. We denote S1 = [0, t0].

We assume that t0 < T and we will show that this is impossible. Let b = y(t0) and

ξ(t) =

yF (t), 0 ≤ t ≤ t0,

b, t0 < t ≤ T.

By virtue of the conditions of theorem, variational inequality (??) has solution on interval [0, t0].Then there exists vF ∈ Lq0(0, t0; F ) such that

∂tyF (t) + AF yF (t) = fF + vF for a.a. t ∈ [0, t0],


see Lemma 1 [?]. Demicontinuous operator AF : C([0, T ]; F ) → Lq0(0, T ; F ) is locally bounded,see §39.3 [?]. Then there exist ε = ε(ξ) and M = M(ξ) such that ‖AF y − fF‖Lq0 (0,T ;F ) ≤ M ,

if ‖y − ξ‖C([0,T ];F ) ≤ ε. For any η ∈ Cb = ξ ∈ C([t0, T ]; F ) : ξ(t0) = b ∈ F, the elementy ∈ C([0, T ]; F ) is given by the formula

y(t) =

yF (t), 0 ≤ t ≤ t0,η(t), t0 < t ≤ T, ‖η(t) − b‖F ≤ ε,

b + ε η(t)−b‖η(t)−b‖F

, t0 < t ≤ T, ‖η(t) − b‖F > ε.

We introduce Cyb = y = y(η) : η ∈ Cb. By construction, there exists some interval [t0, t0 + ∆]

such that Cyb is uniformly bounded and uniformly continuous. By virtue of Arzela Theorem,

Cyb ∩K ∩C([t0, t0 + ∆], F ) is compact. The boundedness of ∂ty + Ayy∈Cy

bin Lq(t0, T ; F ) and

pseudomonotonicity of operator ∂t + A : Cyb → Lq(t0, T ; F ) imply that there exists a solution

of variational inequality

t0+∆∫

t0

〈∂tyF (t) + AF yF (t) − fF (t), ξF (t) − yF (t)〉F dt ≥ 0 ∀ξF ∈ Cyb ∩ KF , (12)

see Theorem 24 [?]. In this inequality we consider all admissible direction. This follows fromproof of Lemma 1 [?]. Thus yF is a solution of variational inequality (??) for any ξ ∈ Cb ∩K ∩C([t0, t0 +∆], F ). In this case Lemma 1 [?] implies that there exists vF ∈ Lq0(t0, t0 +∆; F ) suchthat

∂tyF (t) + AF yF (t) − fF (t) = vF (t) for almost all t ∈ [t0, t0 + ∆].

Moreover,t0+∆∫t0

〈vF , ξF (t)− yF (t)〉F dt ≥ 0 for any ξF ∈ Cb ∩K ∩C([t0, t0 + ∆], F ). We

define some auxiliary operator G : Cb → Lq0(t0, t0 + ∆; F ):

(Gη)(t) = (AF y − fF − vF )(t), t0 ≤ t ≤ t0 + ∆.

Since η 7→ y is continuous from Cb into C([0, T ]; F ) and AF is demicontinuous, then G :C([t0, t0 + ∆]; F ) → X∗

F is demicontinuous too. Obviously, ‖Gη‖Lq0 (t0,t0+∆;F ) ≤ M for anyη ∈ Cb. Lemma VI.1.3, [?] (this is generalized Karatheodori’s Theorem) implies that problem

η(t) = b−t∫

t0

(Gη)(τ)dτ has a solution on Cb, if t ∈ [t0, t0 +∆′]. Substituting η(t0) = b, we obtain

‖η(t) − b‖F < ε on sufficiently small interval t0 ≤ t ≤ t0 + ∆′, ∆′ ∈ (0, ∆]. Now we extend thefunctions:

yF (t) = η(t),

vF (t) = v(t)

if t0 < t ≤ t0 + ∆′.

Then (Gη)(t) = (AF yF − fF − vF )(t) for t ∈ [t0, t0 + ∆′] and

yF (t) = b −t∫

t0

(Gη)(τ)dτ = yF0 −t∫

0

(AF yF − fF − vF )(τ)dτ,

t0+∆′∫

0

〈∂tyF (τ) + AF yF (τ) − fF (τ), ξF (τ) − yF (τ)〉F dτ =

t0+∆′∫

0

〈vF , ξF (τ) − yF (τ)〉F dτ ≥ 0

for any ξF ∈ KF . We used that yF (t0) = b = yF0 −t0∫0

(AF yF − fF − vF )(τ)dτ. We proved the

solvability of (??) on interval [0, t0+∆′]). We can continue up this process to t0 = T . Variational


inequality (??) has at least one solution that we denote as yF ∈ Lp0(0, T ; F ). Simultaneouslywe obtain that there exists vF ∈ Lq0(0, T ; F ) such that

∂tyF + AF yF = fF + vF , yF |t=0 = y0. (13)

The total boundedness of yF in X follows from (??), the one in C([0, T ], H) follows from (??).The total boundedness of AF yF in X∗ follows from (??). Also we obtain the boundedness ofvF ў X∗, see (??), (??), (??), and equality (??). ¤

Let us continue the proof of Theorem ??. For any F ∈ F (H), we define

GF =⋃

F⊃F

yF ∈ XF : yF satisfies (??) .

This set is nonempty and bounded in X and in C([0, T ]; H), see above. Denote by Gw

F a minimalconvex closed in the weak topology of X set such that GF ⊂ G

w

F . The set GF is non-emptyand belongs to a bounded set that is independent of F . Moreover, for any F1, . . . , Fn ∈ F (X)and F ∈ F (X) such that F ⊃ ⋃

1≤i≤n

Fi, it is true that GF ⊂ ⋂1≤i≤n

GFi, i.e. Gw

F is a family

of sets with the finite intersection property. Since X is a reflexive Banach space, there existsy ∈ ⋂

F∈F (W )

Gw

F ⊂ X. Let GF ∋ yF → y weakly in X. The boundedness of this sequence

in C([0, T ]; H) and boundedness of vF and of AyF imply that yF (T ) → z weakly in H,vF → v weakly in X∗, and AyF → κ weakly in X∗ (or we can consider some subsequences thatsatisfy these properties). Using the Bohner integral’s properties, we have:

( T∫

0

ϕ(t)(∂tyF (t) + (AyF )(t)

)dt, h

)= 〈∂tyF + AyF , ϕh〉 = 〈fF + vF , ϕh〉 =

=

( T∫

0

ϕ(t)(fF (t) + vF (t))dt, h

)∀ϕ ∈ D([0, T ]),∀h ∈ F. (14)

∂tyF → ∂ty in D∗([0, T ]; V ∗) and estimate (??) imply that

〈∂ty(ϕ), h〉V =⟨ T∫

0

ϕ(t)(f(t) + v(t) − κ(t)

)dt, h

⟩V

∀ h ∈⋃

F∈F (H)

F,

where ∂ty(ϕ) is the action of distribution ∂ty ∈ D∗([0, T ]; V ∗) on element ϕ ∈ D([0, T ]). Since

V ⊂ ⋃F∈F (H)

F densely, we have ∂ty(ϕ) =T∫0

(−κ(t) + f(t) + v(t)

)ϕ(t)dt, i.e ∂ty = f + v − κ

and y ∈ W . Moreover, for any h ∈ ⋃F∈F (H)

F ,

T∫

0

〈∂ty(t), (T − t)h〉V dt =

T∫

0

〈f(t) + v(t) − κ(t), (T − t)h〉V dt =

= limF

T∫

0

〈fF (t) + vF (t) − (AF yF )(t), (T − t)h〉V dt =

= limF

T∫

0

〈∂tyF (t), (T − t)h〉V dt = limF

T∫

0

(yF (t), h

)dt − (y0, Th)

=


=

T∫

0

(y(t), h

)dt − (y0, Th) =

T∫

0

(∂ty(t), (T − t)h

)dt −

(y(0) − y0, Th

).

The density of⋃

F∈F (H)

F into H implies that y0 = y|t=0. Simultaneously we obtain

(y(T ) − y0, h) =

T∫

0

(∂ty(t), h) dt = limF

T∫

0

(∂tyF (t), h) dt = limF

(yF (T ) − y0, h) = (z − y0, h)

for any h ∈ ⋃F∈F (H)

F . Thus z = w. lim yF (T ) = y(T ).

Let us show that κ = Ay and y is a solution of (??). By virtue of estimate

limF〈AyF , yF − y〉 = lim

F〈fF − ∂tyF , yF − y〉 ≤ lim

F〈fF − ∂ty, yF − y〉−

− 1

2limF

‖yF (T ) − y(T )‖2H = −1

2limF

‖yF (T ) − y(T )‖2H ≤ 0

and generalized pseudomonotonity on W of operator A, we have κ = Ay and limF〈AyF , yF 〉 =

〈Ay, y〉. Consequently, for any ξ ∈ K,

〈∂ty + Ay, ξ − y〉 = limF〈∂tyF + AyF , ξF − yF 〉 ≥ lim

F〈fF , ξF − yF 〉 = 〈f, ξ − y〉,

where KF ∋ ξF → ξ ∈ K in X∗. y is a solution of (??). The boundedness of y in X followsfrom (??), the one in C([0, T ], H) follows from (??).

Now we can show that set of solution is weakly compact. Let yn ⊂ W satisfy to (??).Estimates (??) and (??) imply that this set is bounded in X and in W . Thus yn → y weaklyin W (or we consider the subsequence that has this property). The quasi–boundedness withrespect to ∂t of operator A and estimate (??) imply that ‖Ayn‖X∗ ≤ N < ∞. We can choosethe subsequence such that Aym → d weakly in X∗. By virtue of estimate

limn→∞

〈Ayn, yn − y〉 ≤ limn→∞

〈f − ∂tyn, yn − y〉 ≤ −1

2limF

‖yn(T ) − y(T )‖2H ≤ 0

and of generalized pseudomonotonicity on W of operator A, we have limn→∞

〈Ayn, yn〉 = 〈Ay, y〉and Ay = d. Hence,

〈∂ty + Ay, ξ − y〉 = limn→∞

〈∂tyn + Ayn, ξ − yn〉 ≥ limn→∞

〈f, ξ − yn〉 = 〈f, ξ − y〉 ∀ξ ∈ K.

This completes the proof. ¤

2. Operator of order 2mLet Ω ⊂ Rn be a bounded domain with boundary ∂Ω belonging to class Cm−1,1, ν =

(ν1, ν2, · · · , νn) be an external normal with respect to ∂Ω, Q = (0, T )×Ω, ΓT = (0, T )×∂Ω. Weintroduce multi–index α = (α1, · · · , αn) with integer positive components αi, |α| = α1+· · ·+αn,

Dαy =∂α1

∂x1

· · · ∂αn

∂xn

y = ∂α11 · · · ∂αn

n y.

Denote by M = M(m,n) and M′ = M′(m,n) the numbers of different multi–indexes α =(α1, · · · , αn) such that |α| ≤ m and |α| ≤ m − 1, respectively.

For simplicity of formulation we consider V = Wmp (Ω) with p ∈

[2n

n + m,∞

). Then L2(Ω) =

H, the space X = Lp(0, T ; Wmp (Ω)) is reflexive and Banach, and

W =y ∈ Lp(0, T ; Wm

p (Ω)) : ∂ty ∈ Lq

(0, T ;

(Wm

p (Ω))∗)

,1

p+

1

q= 1.


For almost all t ∈ [0, T ], let operator A : Lp(0, T ; Wmp (Ω)) → Lq

(0, T ;

(Wm

p (Ω))∗)

be given bythe formula

〈(Ay)(t), z(t)〉V ≡∑

|α|≤m

∫

Ω

Aα(t, x, y, · · · , Dmy)Dαz(t, x)dx ∀z ∈ Lp(0, T ; W 1p (Ω)). (15)

We denote ξ = ξα : |α| ≤ m ∈ RM and formulate the conditions on functions Aα(t, x, ξ):Am1. Integrability condition. Functions Aα(·, ·, ξ) are measurable for a.a. ξ ∈ RM, and

Aα(t, x, ·) are continuous at a.a. (t, x) ∈ Q; moreover, at a.a. (t, x) ∈ Q and for all ξ ∈ RM andfor some positive non–decreasing function g1 we have9

|Aα(t, x, ξ)| ≤ g1(ξ0)

∑

m−np≤|γ|≤m

|ξγ|rαγ + hα(t, x)

, |α| ≤ m. (16)

Here ξ0 =

ξα : |α| < m − n

p

. If m − n

p≤ |γ| ≤ m, then rαγ = p − 1 for |α| = |γ| = m,

rαγ < pγ

(1 − 1

pα

)for m − n

p≤ |α| ≤ m and |α| + |γ| < 2m, rαγ = pγ for |α| < m − n

p,

pα =np

n − (m − |α|)p for |α| > m − n

p, and 1 < pα < +∞ for |α| = m − n

p. Moreover,

hα ∈ Lqα(Q), where qα = 1 for |α| < m − n

p, qα =

pα

pα − 1for m − n

p≤ |α| ≤ m.

Am2. Ellipticity condition. For any (t, x) ∈ Q, ζ = ζα : |α| = m ∈ RM−M′, ζ ′ = ζ ′

α :|α| = m ∈ RM−M′

, and η = ηα : |α| < m ∈ RM′we have

∑

|α|=m

(Aα(t, x, η, ζ) − Aα(t, x, η, ζ ′)

)(ζα − ζ ′

α) > 0, пЄй r© ζ ′ 6= ζ. (17)

This condition can be false for finite set of isolated points ηα.Am3. Coercitivity condition. For some c > 0 and g2 ∈ L1(Q), we have

∑

|α|≤m

Aα(t, x, ξ)ξα ≥ c∑

|α|=m

|ξα|p − g2(t, x). (18)

In order to consider properties of operator A we introduce some special functionH : Q × RM′ × RM−M′ × RM−M′ → R1

H(t, x,, ξ, η) =∑

|α|=m

(Aα(t, x,, ξ) − Aα(t, x,, η)

)(ξi − ηi).

For case of elliptic operators of order 2, this function was considered in [?].

Lemma 4. Let conditions Am1 and Am2 hold.Then, for any || ≤ N and |η| ≤ N1, the following estimate

H(t, x,, η, ξ) ≥ c(t, x)|ξ − η|, |ξ − η| ≥ l > 0

is fulfilled, where c(t, x) is nonnegative for almost all (t, x) ∈ Q, depends on N , N1, and l > 0and is independent of ∈ RM′

, and ξ, η ∈ RM−M′.

Доказательство. Let r = |ξ − η|. Then ξ = η + rζ0, J¤Ґ |ζ0| = l. We introduce the functionh(r) = H(t, x,, ξ, η+rζ0). For this function, t, x,, ξ, η, and ζ0 are parameters. By definition,

h(r) =∑

|α|=m

(Aα(t, x,, η + rζ0) − Aα(t, x,, η)

)rζ0

α =

9In simplest case we have |Aα(t, x, ξ)| ≤ c∑

|γ|≤m

|ξγ |p−1 + h(t, x), where c > 0, h ∈ Lq(Q).


=∑

|α|=m

(Aα(t, x,, η + rζ0) − Aα(t, x,, η + ζ0)

)rζ0

α +

+∑

|α|=m

(Aα(t, x,, η + ζ0) − Aα(t, x,, η)

)rζ0

α = σ1 + σ2.

By construction, σ2 = rh(1). If ξ0 = η + ζ0, then rζ0 =r

r − 1(ξ − ξ0). Hence, by virtue of

condition Am2, we have

σ1 =∑

|α|=m

(Aα(t, x,, ξ) − Aα(t, x,, ξ0)

)(ξα − ξ0

α)r

r − 1> 0 for r > 1.

Then σ1 ≥ 0 for r ≥ 1. Therefore, h(r) = σ1 + σ2 ≥ rh(1), i.e.

H(t, x,, η, ξ) ≥ |ξ − η|H(t, x,, η, η + ζ0),

where ξ = η + rζ0, |ζ0| = l, r ≥ 1. For fixed N , N1, and l, we introduce the constant

c(t, x) = minU

H(t, x,, η, η + ζ0), U = || ≤ N, |η| ≤ N1, |ζ0| = l.

Since U is bounded and closed, then this minimum exists. Note that two last arguments offunctional H are different. Condition Am2 implies that c(t, x) > 0. ¤

Theorem 2. Let coefficients Aα satisfy conditions Am1 and Am2. Then operator A :Lp(0, T ; Wm

p (Ω)) → Lq

(0, T ;

(Wm

p (Ω))∗)

given by (??) is bounded, demicontinuous,pseudomonotone on W , moreover, it has property (S+) on W (within to subsequences).

Доказательство. Condition Am1 and Am2, Sobolev spaces imbedding Theorems, see §7–10[?], and demicontinuous of Nemytskii operator, see for example §1.2 [?], imply that A is boundedand demicontinuous.

Let yj → y weakly in W and limj→∞

〈Ayj, yj−y〉 ≤ 0. By virtue of boundedness of A we can mean

that Ayj → w weakly in X∗ (within to subsequences). Let |γ| ∈[m − n

p,m − 1

]. Imbeddings

Wmp (Ω) ⊂ W γ

αγ(Ω) are compact. Since imbeddings Wmp (Ω) ⊂ W γ

αγ(Ω) ⊂ Lq(Ω) are dense, weobtain that W ⊂ Lp(0, T ; W γ

αγ(Ω)) are compact too, see Sobolev spaces imbedding Theorems

and Theorem 1.5.1 in [?]. For |γ| < m−n

p, the compactness of imbeddings Wm

p (Ω) ⊂ Cγ(Ω) and

density of imbeddings Wmp (Ω) ⊂ Cγ(Ω) ⊂ Lq(Ω) imply that imbeddings W ⊂ Lp(0, T ; W γ

pα(Ω))

are compact too. Thus,

Dγyj → Dγy in Lpα(Q)∀|γ| ∈[m − n

p,m − 1

]; Dγyj → Dγy in C(Q)∀|γ| < m − n

p. (19)

Let us decompose

〈Aym, ym − y〉 =∑

|α|=m

∫

Q

Aα(t, x, yj, D1yj, · · · , Dm−1yj, D

my)Dα(yj − y)dxdt +

+∑

|α|≤m−1

∫

Q

Aα(t, x, yj, D1yj, · · · , Dmyj)D

α(yj − y)dxdt+

+∑

|α|=m

∫

Q

(Aα(t, x, yj, D

1, · · · , Dm−1yj, Dmyj)−

− Aα(t, x, yj, D1, · · · , Dm−1yj, D

my)

)Dα(ym − y)dxdt. (20)


By virtue of continuity of function Aα(t, x, ξ) by ξ and of (??), we have

Aα(t, x, yj, D1, · · · , Dm−1yj, D

my) → Aα(t, x, y,D1, · · · , Dm−1y,Dmy) in Lq(Q).

Since right factors of first term of (??) tend to zero in weak topologies, this term tends to zero.Since right factors of second term of (??) tend to zero in strong topologies and left factors arebounded, this term tends to zero too. Hence,

limj→∞

∫

Q

H(t, x, yj, D1yj, · · · , Dmyj, D

my)dxdt = limj→∞

〈Ayj, yj − y〉 ≤ 0. (21)

The strong positivity of values of H imply that limj→∞

〈Ayj, yj − y〉 = 0, see Lemma ??. Thus

〈Ayj, yj〉 → 〈w, y〉. This means that limj→∞

H(t, x, yj, D1yj, · · · , Dmyj, D

my) = 0 for almost all

(t, x) ∈ Q. By virtue of Lemma ?? and this estimate we have Dmyj → Dmy almost everywhereon Q. Consequently, yj → y in strong topology of Lp(0, T ; Wm

p (Ω)), see Lemma 1.1.3 in [?].The demicontinuity of operator implies that Ayj → Ay weakly in X∗. We proved that A hasproperty (S+) on W , moreover, A is generalized pseudomonotone on W . ¤

3. Unilateral problem

Now let V =

Wmp (Ω). The norm in space X = Lp(0, T ;

Wm

p (Ω)) is defined by formula‖y‖p

Lp(0,T ;

W mp (Ω))

=∑

|α|=m

∫Q|Dαy(t, x)|p dx dt. Assume that function

ψ ∈ W =

y ∈ Lp(0, T ;

Wm

p (Ω)) : ∂ty ∈ Lq(0, T ; W−mq (Ω))

is such thatψ ≤ 0 a.e. on ΓT , ψ(0) ≤ y0 a.e. on Ω. (22)

We find an element y ∈ Wζ0 such that

f ≤ ∂ty +∑

|α|≤m

(−1)|α|DαAα(t, x, y, · · · , Dmy) ≤

≤ f + sup

0, ∂tψ +

∑

|α|≤m

(−1)|α|DαAα(t, x, ψ, · · · , Dmψ) − f

, (23)

in space Lp(0, T ;

Wmp (Ω)), where fα ∈ Lq(Q), f =

∑|α|≤m

(−1)|α|Dαfα,10. The following variational

inequality corresponds to this unilateral problem∫

Q

∂ty (ξ − y) dx dt +∑

|α|≤m

∫

Q

Aα(t, x, y, · · · , Dmy) Dα(z − y) dx dt ≥

≥∑

|α|≤m

∫

Q

fα(t)Dα(z − y)(t) dx dt ∀ξ ∈ K, (24)

where K =

z ∈ Lp

(0, T ;

Wm

p (Ω))

: z|t=0 = y0 a.e. on Ω, z ≥ ψ a.e. on Q

.

Definition 1. An element y ∈ K∩W is called a srtong generalized solution of unilateralproblem (??), if it satisfies variational inequality (??) for any ξ ∈ K.

10Note that any f ∈ Lq(0, T ;W−1

q (Ω)) can be presented as f =∑

|α|≤m

(−1)|α|Dαfα, see Lemma II.1.38 [?].


Theorem 3. Let coefficients Aα satisfy conditions Am1–Am3, and let function ψ ∈ W satisfies

(??). Then problem (??) has nonempty, weakly compact in W and compact in Lp

(0, T ;

Wm

p (Ω))

set of solutions.

Доказательство. By virtue of Theorem ??, operator A : Lp

(0, T ;

Wm

p (Ω))

→Lq(0, T ; W−m

q (Ω)) given by (??) is demicontinuous, bounded, and generalized pseudomonotoneon W , moreover, it has property (S+) on W . This operator is coercive too. This follows fromboundedness of operator and from estimate

〈Ay, y〉 =∑

|α|≤m

∫

Q

Aα(t, x, y, · · · , Dmy)Dαy dx dt ≥ c∑

|α|=m

∫

Q

|Dαy|p dx dt − ‖g2(t, x)‖L1(Q)

(we give integral form with respect to condition (??)). Thus variational inequality (??) has

weakly compact in W and in Lp

(0, T ;

Wm

p (Ω)), nonempty set of solution, see Theorem ??.

Let yj ⊂ W be a set of solutions of variarional inequality (??). By virtue of estimates

(??) and (??), this set is bounded in X = Lp

(0, T ;

Wm

p (Ω))

and in W . Hence we can meanthat yj → y weakly in W (within to subsequences). The boundedness of operator A imply thatAyj → κ weakly in X∗. By virtue of estimate

limj→∞

〈Ayj, yj − y〉 ≤ limj→∞

〈f − ∂tyj, yj − y〉 ≤ −1

2limF

‖yj(T ) − y(T )‖2H ≤ 0

and of property (S+) on W of operator A, we obtain that yj → y in Lp

(0, T ;

Wm

p (Ω))

and

Ay = κ. This proved that set of solution of (??) is compact in Lp

(0, T ;

Wm

p (Ω)). ¤

References

[1] Arhipova A.A. On limit smoothness of solution of nonstationary problem with one or two obstacle. Problemymat.analiza, 1987, 9, pp.149–157.

[2] Troianiello G.M., On class of unilateral evolution problems. – Manuskripta Math., 1979, V.29, pp.353–384.[3] Uraltseva N.N. C1–smoothness of boundary for noncoincident set in unilateral problem. Algebra i analiz,

1996, 8, 2, pp.205–221[4] Mel’nik V.S. and Zgurovskii M.Z., Nonlinear Analysis and control of infinite dimensional systems,

"Naukova dumka", Kiev, 1999 (in Russian).[5] Solonukha O.V., On the extremal regularization of the variational inequality with multivalued operators. –

Birkhauser, Operator Theory: Advances and Applications, 2000, V.117, pp. 359–370.[6] Trenogin V.A. Functional analysis, M:"Nauka", 1980 (in Russian).[7] Bresis H., Equations et inequations non lineaires dans les espaces vectoriels en dualite// Ann. Inst. Fourier,

V. 18, 1968, pp. 115–175.[8] Gajewski H., Groger K., Zacharias K., Nichtlineare operatorgleichungen und

operatordifferentialgleichungen, Acad.Verlag, Berlin, 1974 (in German). Russian transl.: Gajewski H.,Groger K., Zacharias K., Nonlinear operator equations and operator–differential equations, M.:"Mir", 1978(in Russian).

[9] Laptev G.I., First boundary problem for quasilinear ellitic equations of second order with doubledegeneration, Differetsial’nie uravneniya, 30, N 6, 1994, 1057-1068; English transl.: in Differential Equations,30, 1994.

[10] Sobolev S.L., Some applications of functonal analysis in mathematical physics. M.:"Nauka", 1988 (inRussian).

[11] Krasnosel’skii M.A. Topological methods in theory og nonlinear integral equations. M.: Gosizdat, 1956 (inRussian).

[12] Lions J.-L., Quelques Methodes de Resolution de Problemes aux Limities Non Lineaires, Paris: Dunod,1969.

O. V. Solonukha, Institute of Problems of System Analysis, National Technical University ofUkraine "KPI", Pr. Peremogy 37, Kiev, 03056, Ukraine.



Section 2

EVOLUTION AND BOUNDARY VALUE PROBLEMS

Subsection 2.2

Boundary Value Problems

_

Subsection 2.2. Boundary Value Problems 219

О ПОЛНОТЕ СИСТЕМ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ НЕКОТОРЫХГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА 2 − ε

А.В. АгибаловаДонецкий национальный университет

Донецк, Украина

We consider Sturm-Liouville type differential equation of fractional order 2−ε subject toboundary conditions of special type. The completeness of root subspaces of this boundaryvalue problem is proved.

Рассматривается граничная задача с краевыми условиями специального видадля дифференциального оператора дробного порядка 2−ε, ε ∈ (0, 1) и доказываетсяполнота системы корневых векторов этой задачи.

Известно (см. [?]), что система собственных и присоединённых функций (ССПФ) опе-ратора Штурма-Лиувилля

−y′′ + q(x)y = λ2y,

с разделяющимися граничными условиями

y′(0) − h0y(0) = y′(1) − h1y(1) = 0

полна в пространстве L2[0, 1] при любом комплекснозначном потенциале q ∈ L1[0, 1] и лю-бых h0, h1 ∈ C. Подобный результат также имеет место для произвольных невырожденныхграничных условий (см. [?]).

А. А. Шкаликовым (см. [?]) доказана полнота ССПФ задачи с нерегулярными рас-падающимися граничными условиями для обыкновенных дифференциальных уравненийпорядка n > 2. На уравнения произвольного дробного порядка n − ε, n > 3, ε ∈ (0, 1)этот результат был распространён М. М. Маламудом и Л. Л. Оридорогой (см. [?]). Полно-та ССПФ дифференциального оператора порядка (2− ε) с разделяющимися граничнымиусловиями получена в [?].

В заметке доказана теорема о полноте ССПФ граничной задачи для оператора порядка2 − ε с граничными условиями специального вида. Результаты о полноте ССПФ в случаепроизвольных граничных условий будет опубликован в другой работе.

Рассмотрим в пространстве L1[0, 1] дифференциальное уравнение порядка 2−ε, ε ∈ (0, 1)

y(2−ε) + q(x)y(−ε) = λy (1)

с краевыми условиями

Γ1(y) = hy(−ε)(0, λ) + y(1−ε)(0, λ) = 0, (2)

Γ2(y) = a21y(−ε)(0, λ) + a22y

(1−ε)(0, λ) + a23y(−ε)(1, λ) + a24y

(1−ε)(1, λ) = 0. (3)

Здесь y(2−ε) = D2−εy = d2

dx2 Jεy, а Jε–оператор дробного интегрирования:

Jεy(x) =1

Γ(ε)

x∫

0

(x − t)ε−1y(t)dt.

Обозначим σ(L) — спектр задачи (??)–(??). Рассмотрим вначале случай нулевого по-тенциала q = 0. Уравнение

y(2−ε) = λy (4)

имеет фундаментальную систему решений

c(x, λ) = x−εE 12−ε

(λx2−ε, 1 − ε),

s(x, λ) = x1−εE 12−ε

(λx2−ε, 2 − ε),


удовлетворяющую начальным условиям

c(−ε)(0, λ) = s(1−ε)(0, λ) = 1,

c(1−ε)(0, λ) = s(−ε)(0, λ) = 0.

Здесь

Eρ(z; µ) :=∞∑

k=0

zk

Γ(µ + kρ−1),

где ρ > 0, µ– произвольный комплексный параметр,— функция типа Миттаг-Леффлера.Известно (см. [?]), что Eρ(z; µ)—целая функция порядка роста ρ и типа 1.

С помощью асимптотических оценок для функций типа Миттаг-Леффлера (см. [?]) по-лучаем такое асимптотическое поведение функций c(x, λ) и s(x, λ) :

c(x, λ) =1

2 − ελ

ε2−ε exλ

12−ε

+ O

(xε−4

|λ|2)

, (5)

s(x, λ) =1

2 − ελ

ε−12−ε exλ

12−ε

+ O

(xε−3

|λ|2)

. (6)

Оценки (??) и (??), а также доказанное в [?] существование треугольного операторапреобразования для уравнений порядка n− ε (n > 1) с аналитическими коэффициентамисущественно используются при доказательстве теоремы о полноте ССПФ задачи (??)–(??).

Теорема. Пусть q — целая аналитическая функция. Тогда ССПФ задачи (??)–(??) полнав пространстве L1[0, 1].

Доказательство. Пусть ω(x, λ) — решение следующей задачи Коши для уравнения (??)

ω(−ε)(0, λ) = −1,

ω(1−ε)(0, λ) = h.

Так как ω при всех λ удовлетворяет граничному условию (??), то λ0 будет собственнымзначением задачи (??)–(??) тогда и только тогда, когда λ0 — корень характеристическогоуравнения

χ(λ) := (ha22 − a21) + a24

(hs(1−ε)(1, λ) − c(1−ε)(1, λ)

)+ a23

(hs(−ε)(1, λ) − c(−ε)(1, λ)

). (7)

При этом кратность p(λ0) нуля λ0 характеристической функции χ(λ0) совпадает с размер-ностью корневого подпространства в точке λ0 задачи (??)–(??).

Пусть ω0(x; λ) = −c(x, λ) + hs(x, λ) — решение задачи Коши для уравнения (??) с на-чальными условиями

ω

(−ε)0 (0, λ) = −1,

ω(1−ε)0 (0, λ) = h.

Известно (см. [?]), что решение ω(x, λ) допускает следующее представление:

ω(x; λ) = (I + K)ω0(x; λ) = ω0(x; λ) +

x∫

0

K(x, t)ω0(t; λ) dt, (8)

при помощи треугольного оператора преобразования I + K, в котором K — вольтерровинтегральный оператор, K(·, ·) ∈ C(Ω), Ω = 0 6 t 6 x 6 1. Из (??) вытекает следующаяасимптотическая оценка для ω(x, λ) при λ → ∞ :

ω(x, λ) ∼ − 1

2 − ελ

ε2−ε exλ

12−ε

+ o

(λ

ε2−ε exλ

12−ε

)+ o

(1

λ

), |λ| > R0.


Допустим противное, т.е. ССПФ не полна в L1[0, 1]. Тогда найдётся функция f ∈ L∞ \0, для которой

1∫

0

ωj(x, λn)f(x)dx = 0,

где ωj(x, λn) =[

∂j

∂λj ω(x, λ)] ∣∣∣

λ=λn

, j ∈ 0, 1, . . . pn − 1, λn ∈ σ(L), pn — кратность корня λn

как нуля характеристической функции χ(λ) вида (??). Введём функцию

F (λ) =

1∫

0

ω(x, λ)f(x)dx.

Очевидно, что F (λ) — целая функция. Кроме того, каждое собственное значение λ0 задачи(??)–(??) кратности p является нулём функции F (λ) порядка не ниже p. Следовательно,функция

F (λ) =F (λ)

χ(λ)(9)

является целой. Чтобы доказать, что F (λ) ≡ 0, оценим её рост на мнимой оси. Для этогооценим отдельно рост функций F (λ) и χ(λ).

∣∣F (it)∣∣6 C1|t|

ε−12−ε

(2 − ε) cos π4−2ε

(e|t|

12−ε cos π

4−2ε − 1

), (10)

где C1 — некоторая константа. С помощью (??) и (??) получаем асимптотическую оценкухарактеристической функции (??):

χ(λ) = (ha22 − a21) +1

2 − ε

(ha23λ

− 12−ε + (ha24 − a23) − a24λ

12−ε

)eλ

12−ε −

−(

ha23

Γ(ε)− ha24 − a23

Γ(ε − 1)

)1

λ+ O

(1

|λ|2)

.

Поскольку π4

< π4−2ε

< π2, то cos π

4−2ε> 0. Тогда Re

(λ

12−ε

)> 0 и

χ(λ) ∼ −a24

2 − ελ

12−ε eλ

12−ε

, λ = iy, y → ∞ (11)

Из (??), (??) и (??) получаем

|F (λ)| 6

C1

(e|t|

12−ε cos π

4−2ε − 1

)|t|−1

cos π4−2ε

(−a24)e|t|

12−ε cos π

4−2ε

=C2

|t| −C2

|t|e|t|1

2−ε cos π4−2ε

→ 0, |t| → +∞.

Из теоремы Фрагмена-Линделёфа и теоремы Лиувилля следует, что F (λ) ≡ 0. Сле-довательно, F (λ) ≡ 0. Но это означает, что f(x) "ортогональна" ω(x, λ) при всех λ и(I + K∗)f(x) = 0. Так как оператор K — вольтерров, то K∗ — тоже вольтерров и I + K∗

обратим. Значит, f(x) = 0 для п. в. x ∈ [0, 1]. Полученное противоречие доказывает пол-ноту ССПФ задачи (??)–(??). ¤



[1] Агибалова А. В., Оридорога Л. Л. О полноте систем собственных и присоединённых функций диффе-ренциальных операторов порядка 2−ε// Учёные записки Таврического национального университетаим. В. И. Вернадского.—2003, т.16 (55), 1, с. 111–115.

[2] Джарбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплекснойобласти.—М.—Наука, 1966.

[3] Malamud M. M. Подобие вольтерровых операторов и смежные вопросы теории дифференциальныхуравнений дробных порядков.—Труды Мос. Мат. общества, 1994, т.55, с. 73–148.

[4] Malamud M. M., Oridoroga L. L. Analog of the Birkhoff theorem and the completeness results for fractionalorder differential equations.— Russian Jour. of Math. Physics, 2001, vol. 8, 3, p. 287-308.

[5] Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения.—Киев—"Наукова думка", — 1977.[6] Шкаликов А. А. О полноте собственных и присоединённых функций обыкновенного дифференциаль-

ного оператора с распадающимися краевыми условиями // Функциональный анализ и его приложе-ния. — 1976, т.10, 4, с. 69–80.

Агибалова А. В., кафедра математического анализа и теории функций, мате-матический факультет, Донецкий национальный университет, ул. Универ-ситетская, 24, г. Донецк, 83055



SINGULAR NONLINEAR BOUNDARY VALUE PROBLEMS ANDASSOCIATED SPECTRAL ONES ARISING IN THE

INFLATIONARY COSMOLOGY

N. B. Konyukhova, A. L. DyshkoDorodnicyn Computing Centre of RAS, Moscow

N. A. VoronovInstitute of Theoretical and Experimental Physics, Moscow

Keywords: (D + 1)-dimensional space-time with the de Sitter metric (D ≥ 1), N interacting scalar Higgs fields

(1 ≤ N ≤ D), system of N nonlinear wave equations (NWEqs), singular problem in all the space, the domain

walls with the different space symmetries, self-similar soliton-type solutions, second-order nonlinear ordinary

differential equation (ODE) with the singularities and large parameter, singular boundary value problem (BVP)

and its solvability, a multiplicity of solutions, associated singular spectral problem (SP) for a bifurcation

parameter (singular self-adjoint Sturm-Liouville problem), continuability of solutions on an infinite interval

and their asymptotic behavior.

A brief representation on a correct statement and analytical-numerical approach tosome singular problems arising from the inflationary cosmology models with scalar Higgsfields is given. The formulated problems are more common than studied in [?]–[?].

Introduction

The inflationary cosmology is the morden theory of the very early stages of the evolutionof the Universe where a space-time is postulated as the de Sitter space (see, e.g., [?]–[?] andreferences there). For the corresponding cosmological paradigm, the scalar Higgs fields (or thefields with spontaneous break of symmetry) play an important role as well as in the theory ofthe elementary particles (with reference to the particle physics, see, e.g., [?], [?]); in particular,the objects generated by such fields could be treated as the prototypes (pre-images) of a matter.

For the topic of this paper, the previous results have been obtained in [?]–[?]: in the four-dimensional de Sitter space, the scalar neutral Higgs fields (until three ones) were considered;for self-similar soliton-type solutions of the corresponding NWEqs, the singular ODEs wereobtained and studied by analytical-numerical methods.

In this paper we consider a general case of N interacting scalar Higgs fields in the (D + 1)-dimensional de Sitter space (D ≥ 1, 1 ≤ N ≤ D). For a corresponding system of NWEqs,we construct self-similar soliton-type solutions defined and bounded in all the P -dimensionalsubspace on spatial variables (1 ≤ P ≤ D) and including into themselves the investigatedsolutions (for D = 3 and N = 1, 2, 3) as the particular cases.

In what follows, we use the system of units with c = ~ = 1, where c is the speed of lightin vacuum and ~ is the Plank constant. In this system, which is commonly used in cosmology,the only nontrivial dimension is that of mass ([m] = M), and both length ([l] = L) and time([t] = T ) have the dimension 1/M : [c] = L/T , [~] = ML2/T (dimension of ~ follows from therelation E = ~ω), so that c = ~ = 1 implies L = T = 1/M (in detail see, e.g., [?]–[?]).

1. Statement of singular problem for system of nonlinear wave equations

The (D + 1)-dimensional space-time with the coordinates x0 = t, x1, . . . , xD is called the deSitter space when it is provided with the metric

ds2 = dt2 − exp(2Ht)D∑

i=1

dx2i , (1)


where ds is an element of length, D ≥ 1 and 0 < H is the Hubble constant, [H] = M (1/His called the de Sitter horizon). The metric tensor corresponding to (??) satisfies the Einsteinequation with the cosmological constant

Λ = D(D − 1)H2/2. (2)

In this space-time, we consider a system of N nonlinear scalar neutral fields ϕjNj=1 with

the Higgs self-action potential

U(ϕ1, . . . , ϕN) = λ2(N∑

j=1

ϕ2j − ν2)2, (3)

where λ and ν are positive parameters, [λ] = M whereas both ϕj and ν are the dimensionlessquantities. The column ~ϕ with components ϕ1, . . . , ϕN can be treated as a unified field withvalues in the N -dimensional space of columns RN

field.

The values ϕj ≡ ϕvj such that∑N

j=1 ϕ2vj = ν2 are called the true degenerate vacua of the

same depth d (d = λ2ν4) because they correspond to the lowest-energy stable states of the fieldwhereas the point ϕ1 = . . . = ϕN = 0 is referred to as a trivial (or false) vacuum because itcorresponds to unstable equilibrium of the field.

It is convenient to introduce the dimensionless variables

ϕj,new = ϕj,old/ν, ~rnew = (a0H/ν)~rold, τ = − exp(−Ht)/ν, (4)

where a new time variable τ (conformal time) is especially important: 0 ≤ t < ∞ ⇐⇒−ν−1 ≤ τ < 0 and −∞ < t < ∞ ⇐⇒ −∞ < τ < 0 whereas for a geodesicly completespace we must put formally −∞ < τ < ∞ (in detail see, e.g., [?], p.139). To study the objectevolution for t > 0, it is enought to consider the main interval −ν−1 ≤ τ < 0 extending underthe necessity obtained solution onto geodesicly complete space.

In what follows,0 < C = λν/H =

√d/(νH) (5)

is a dimensionless parameter relating the values and depth of the Higgs-field vacua to the deSitter horizon.

If we use the dimensionless variables (??), then the true vacua satisfy relationN∑

j=1

ϕ2vj = 1, (6)

i.e., for N ≥ 2 they form the unit (hyper)sphere in the field space RNfield; for N = 1, there are

two vacuum values ϕ1± = ±1.At last, extending the approach and hypothesises of [?], [?] on the general case under

consideration in this paper, we obtain the equations describing a system of scalar Higgs fieldsin the de Sitter space in the form

∂2ϕj

∂τ 2− [(D − 1)/τ ]

∂ϕj

∂τ− ∆Dϕj + (4C2/τ 2)ϕj

( N∑

s=1

ϕ2s − 1

)= 0, j = 1, . . . , N, (7)

~r ∈ RD, τ ∈ [−ν−1, 0),

where ∆D is the D-dimensional Laplace operator.We look for a solution ϕj(~r, τ)N

j=1 to Eqs.(??) defined and bounded in all the subspaceRP ⊆ RD ∀τ ∈ [−ν−1, 0], different from true vacua and satisfying condition

lim|~r|→∞

N∑

j=1

ϕ2j(~r, τ) = 1 ∀~r, τ : ~r ∈ RP , τ ∈ [−ν−1, 0). (8)


Remark 8. If N = 1 then the problem (??), (??) is invariant under change from ϕ1 to −ϕ1

and when one of the vacuum states (e.g., ϕv1+ = 1) is observed, discrete symmetry is saidto be spontaneously broken. The symmetry is called global if it is independent of both timeand spatial coordinates. If N ≥ 2 then the problem (??), (??) has a global SO(N) symmetryin the space of the fields, i.e., remains invariant under the transformation ~ϕ ⇒ A~ϕ, ~ϕ ∈RN , A ∈ RN × RN , AT A = EN , det A = 1, where EN is an identity N × N–matrix andA is the matrix of orthogonal rotations in RN

field. The global SO(N) symmetry is said to bespontaneously broken as a specific point is singled out from the continuous set of vacua on theunit (hyper)sphere (??), moreover for N ≥ 3 the SO(N) symmetry is broken incompletely: theSO(N − 1) symmetry holds, where SO(N − 1) is the group of orthogonal rotations in the fieldspace RN−1

field about the axis containing the point in question (it is in just the same way as in [?]for the Higgs fields in the Minkowski space).

2. Classification of some solutions with the various space symmetries

For the problem (??), (??), the solutions with the different space symmetries are definedbelow.

Definition 1. For D ≥ 1 and N = P = 1, let ϕ1 = ϕ(x1, τ) be a one-dimensional solution tothe problem (??), (??). We say that ϕ(x1, τ) is a domain wall (or a heteroclinic solution) if itsatisfies condition

[ limx1→−∞

ϕ(x1, τ)][ limx1→∞

ϕ(x1, τ)] = −1 ∀τ ∈ [−ν−1, 0), (9)

i.e., it is a transition layer between two different vacua, whereas ϕ(x1, τ) is a wave swell (eithera solitary wave or a homoclinic solution) if it satisfies condition

[ limx1→−∞

ϕ(x1, τ)][ limx1→∞

ϕ(x1, τ)] = 1 ∀τ ∈ [−ν−1, 0), (10)

i.e., it is a splash over the same vacuum.

In what follows we rename r = x1 for P = 1 where r ∈ (−∞,∞).When P ≥ 2, we introduce in RP the polar ((hyper)spherical) coordinates r, θ1, . . . , θP−1:

x1 = r sin θP−1 sin θP−2 · · · sin θ2 sin θ1,

x2 = r sin θP−1 sin θP−2 · · · sin θ2 cos θ1,

x3 = r sin θP−1 sin θP−2 · · · cos θ2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xP−1 = r sin θP−1 cos θP−2,

xP = r cos θP−1,

(11)

r ≥ 0, 0 ≤ θ1 < 2π, 0 ≤ θk ≤ π, k = 2, ..., P − 1.

In these coordinates, as it is well known, the P -dimensional Laplace operator has the form

∆P ≡ ∂2/∂r2 + [(P − 1)/r]∂/∂r + (1/r2)LP−1, (12)

where LP−1(θ1, . . . , θP−1) is the Laplace-Beltrami operator:

LP−1 =1

h

P−1∑

j=1

∂

∂θj

( h

hj

∂

∂θj

), (13)

hP−1 = 1, hP−2 = sin2 θP−1, . . . , h1 = sin2 θP−1 sin2 θP−2 · · · sin2 θ2,

h = sinP−2 θP−1 sinP−3 θP−2 · · · sin θ2.(14)

Further we use the following fact. Let U1(x1, . . . , xP−1) be a homogeneous harmonic polinomialof the first degree on the variables x1, . . . , xP−1. Going over to the (hyper)polar coordinates


(??), we obtain U1(x1, . . . , xP−1) = rY1(θ1, . . . , θP−1), where Y1 is a (hyper)spherical functionof the first order. Then Y1 satisfies equation

LP−1Y1 = −(P − 1)Y1, (15)

where the Laplace-Beltrami operator LP−1 is given by (??), (??) (see, e.g., [?], p.117).In the polar coordinates (??), we define the following solutions to the problem (??), (??).

Definition 2. For D ≥ 2, N = 1 and 2 ≤ P ≤ D, a P -dimensional (hyper)bubble is a centrallysymmetric solution ϕ1 = ϕ(r, τ) to the problem (??), (??) where r is a radial variable in thepolar coordinates (??) in RP .

Definition 3. For D ≥ 2 and N = P = 2, a (hyper)string (or, for D = 2, a ring) is a solutionto the problem (??), (??) having the form

ϕ1 = ϕ(r, τ) sin(nθ1), ϕ2 = ϕ(r, τ) cos(nθ1), n = 1, 2, . . . , (16)

where r and θ1 are the polar coordinates in R2.

Definition 4. For D ≥ 3, 3 ≤ P ≤ D and N = P , a P -dimensional (hyper)monopole is asolution to the problem (??), (??) having the form

ϕ1 = ϕ(r, τ) sin θP−1 sin θP−2 · · · sin θ2 sin θ1,

ϕ2 = ϕ(r, τ) sin θP−1 sin θP−2 · · · sin θ2 cos θ1,

ϕ3 = ϕ(r, τ) sin θP−1 sin θP−2 · · · cos θ2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ϕP−1 = ϕ(r, τ) sin θP−1 cos θP−2,

ϕP = ϕ(r, τ) cos θP−1,

(17)

where r, θ1, . . . , θP−1 are the polar coordinates (??) in RP .

For all constructions described above, the condition (??) implies

limr→∞

ϕ2(r, τ) = 1 ∀τ ∈ [−ν−1, 0) (18)

where ϕ(r, τ) is the same as in Definitions ??, ??, ?? or ?? respectively.

3. Self-similar solitons and associated singular problems for ODEs

At last we look for the self-similar solutions of the indicated above types setting ψ(ξ) =ϕ(r/τ). For ψ(ξ), taking into account (??), (??), (??), (??) and (??), we get the commonproblem

[(1 − ξ2)ψ′]′ − [(D − 1)ξ − (P − 1)/ξ]ψ′ = Qψ/ξ2 + 4C2ψ(ψ2 − 1), (19)

−∞ < ξ < −1, −1 < ξ < 0,

limξ→−∞

ψ2(ξ) = 1, (20)

where a value of Q is connected with N , D and P and the following restrictions are valid: 1) ifN = 1 then Q = 0, for (D ≥ 1) ∧ (1 ≤ P ≤ D); 2) if N = 2 then Q = Qn = n2 (n = 1, 2, . . .),for (D ≥ 2) ∧ (P = 2); 3) if N ≥ 3 then Q = P − 1, for (D ≥ N) ∧ (P = N). As particularcases, Eq.(??) includes ODEs of [?]–[?].


3.1. Singular BVP on a finite interval and its solvability. Let us consider Eq.(??) onthe interval (−1, 0). First of all we need to define the limiting boundary conditions (BCs) at thesingular points ξ = −1 and ξ = 0. On a classification of [?], these points are regular singularones but there is no theory of nonlinear ODEs with such points both in [?] and in the otherwell-known monographs, e.g., in [?] (according to [?], the behavior of solutions near such pointsare enough nontrivial to study).

For singular points ξ = −1 and ξ = 0, we set the limiting conditions

| limξ→−1+0

ψ(ξ)| < ∞, limξ→−1+0

[(1 + ξ)ψ′(ξ)] = 0; (21)

| limξ→−0

ψ(ξ)| < ∞, limξ→−0

[ξψ′(ξ)] = 0. (22)

For P = 1 (it implies Q = 0), we replace (??) by BCs

ψ(0) = 0 or ψ′(0) = 0. (23)

Let us consider the problem (??), (??) (the problem (??), (??)) locally in a vicinity of singularpoint as a singular Cauchy problem (CP). For a principal linear ODE near the point ξ = −1,i.e., for the equation (1 + ξ)2ψ′′ − [(P − D − 2)/2](1 + ξ)ψ′ = 0, ξ ∼ −1, the characteristicexponents at the point ξ = −1 are λ1 = 0 and λ2 = (P − D)/2. Similarly, for the linear ODEξ2ψ′′ + ξ(P − 1)ψ′ − Qψ = 0, ξ ∼ 0, the characteristic exponents at the point ξ = 0 are thefollowing: 1) if Q = 0 then λ1 = 0 and λ2 = 2 − P ; 2) if (Q = n2, n = 1, 2, . . .) ∧ (P = 2) thenλ1,2 = ±n ; 3) if Q = P − 1 then λ1 = 1 and λ2 = 1 − P . Then the next two propositions arethe corollaries of the theorem 5 in [?] (this not complicated theorem has been obtained as thecorollary and generalization of some Lyapunov results [?]).

Proposition 1. For any fixed C2, Q and P,D : P − D ≤ 0, singular CP (??), (??) has aone-parameter family of solutions. Each solution of this set is a holomorphic function at thepoint ξ = −1:

ψ(ξ, c0) = c0 +∞∑

k=1

ck(c0)(1 + ξ)k, |1 + ξ| ≤ ∆1(c0), ∆1 > 0, (24)

where c0 is a parameter,

c1 = c0[Q − 4C2(1 − c20)]/(D − P + 2),

c2 = c1[3D + Q − P − 4C2(1 − 3c20) + 4] + 8C2c0(1 − c2

0)/[2(D − P + 4)],

c3 = [3(D − P + 6)]−12c2[3D − P + Q/2 + 9 − 2C2(1 − 3c20)]+

+c1[4C2(2 − 6c2

0 + 3c0c1) − 3(D + 1)] − 4C2c0(1 − c20),

c4 = [4(D − P + 8)]−1c3[9D − 3P + Q + 42 − 4C2(1 − 3c20)]−

−c2[6D + 14 − 8C2(1 − 3c20 + 3c0c1)] + c1[D + 1 − 4C2(1 − 3c2

0 + 6c0c1 − c21)],

ck+1 = [(k + 1)(D − P + 2k + 2)]−1

ck[Q − 4C2 + k(5k + 3D − P − 1)]+

+ck−1[8C2 − (k − 1)(4k + 3D − 5)] + ck−2[(k − 2)(k + D − 2) − 4C2]+

+4C2[k−2∑

l=0

k−l−2∑

m=0

clcmck−l−m−2 − 2k−1∑

l=0

k−l−1∑

m=0

clcmck−l−m−1 +k∑

l=0

k−l∑

m=0

clcmck−l−m

],

k = 4, 5, . . . .

(25)

Proposition 2. For any fixed C2, D and P,Q: (P ≥ 2) ∧ (Q = 0) (the case I) either (P =2) ∧ (Q = n2, n = 1, 2, . . .) (the case II) or (P ≥ 3) ∧ (Q = P − 1) (the case III), singular CP


(??), (??) has a one-parameter family of solutions. Each solution of this set is a holomorphicfunction at the point ξ = 0:

ψ(ξ, b0) = ξq[b0 +∞∑

k=1

b2k(b0)ξ2k], |ξ| ≤ ∆0(b0), ∆0 > 0, (26)

where b0 is a parameter; for the case I, q = 0 and

b2k+2 = [(k + 1)(2k + P )]−1b2k[k(2k + D) − 2C2] + 2C2

k∑

l=0

k−l∑

m=0

b2lb2mb2k−2l−2m

,

k = 0, 1, . . . ;

(27)

for the case II, q = n and

b2k = b2k−2[(2k + n − 2)(2k + n + D − 2) − 4C2]/[4k(k + n)], k = 1, . . . , n,

b2k = [4k(k + n)]−1b2k−2[(2k + n − 2)(2k + n + D − 2) − 4C2]+

+4C2

k−n−1∑

l=0

k−n−l−1∑

m=0

b2lb2mb2(k−n−l−m−1)

, k = n + 1, n + 2, . . . ;

(28)

for the case III, q = 1 and

b2 = (D + 1 − 4C2)b0/[2(2 + P )], b2k =b2k−2[(2k − 1)(2k + D − 1) − 4C2]+

4C2

k−2∑

l=0

k−l−2∑

m=0

b2lb2mb2k−2l−2m−4

/[2k(2k + P )], k = 2, 3, . . . .

(29)

Taking into account Propositions ??, ?? and the input restrictions on the parameters D, Pand Q, we obtain that singular BVP (??), (??), (??) is a correctly formulated problem withrespect to a number of the BCs near the both ends of the singular interval (-1, 0). For P = 1,analogous statement concerns to the problem (??), (??), (??) on the interval (-1, 0].

Proposition 3. For any fixed C2 6= 0, when (D ≥ 2)∧(P ≥ 2)∧(Q = 0) either (D ≥ 2)∧(P =2) ∧ (Q = n2, n = 1, 2, . . .) or (D ≥ 3) ∧ (P ≥ 3) ∧ (Q = P − 1) any solution of singular BVP(??), (??), (??) satisfies restriction

|ψ(ξ)| ≤ 1, −1 ≤ ξ ≤ 0. (30)

This problem is solvable and in general there occurs a multiplicity of solutions (in particularψ0(ξ) ≡ 0 is a solution to the problem and, when Q = 0, the values ψ±(ξ) ≡ ±1 are thesolutions as well; for Q 6= 0 these vacuum values are the super- and subsolution respectively).For (D ≥ 1)∧ (P = 1)∧ (Q = 0), the restriction (??) concerns to the solutions of singular BVP(??), (??), (??) with ψ0(ξ) ≡ 0 and ψ±(ξ) ≡ ±1 as the particular solutions to the problem.

3.2. Multiplicity of solutions and associated singular SP. We usedPropositions ??, ??, ?? to solve BVP (??), (??), (??) (BVP (??), (??), (??)) numerically byshooting methods. As it was expected, the number of solutions depends on the value of C.With the growth of C, a new solution appears as a small perturbation of the false vacuum,moreover critical points of the global bifurcation are the eigenvalues (EVs) of the associatedsingular SP. This problem is formulated for the linear ODE obtained by the linearization ofEq.(??) on a trivial solution:

[(1 − ξ2)ψ′]′ − [(D − 1)ξ − (P − 1)/ξ]ψ′ − Qψ/ξ2 + 4C2ψ = 0, −1 < ξ < 0, (31)

| limξ→−1+0

ψ(ξ)| < ∞, limξ→−1+0

[(1 + ξ)ψ′(ξ)] = 0; (32)

| limξ→−0

ψ(ξ)| < ∞, limξ→−0

[ξψ′(ξ)] = 0. (33)


For P = 1, we replace (??) by (??). If C = Cm is the EV of singular linear SP (??), (??), (??)(SP (??), (??), (??)) then for each C : Cm < C < Cm+1, the input nonlinear BVP (??), (??),(??) (BVP (??), (??), (??)) has exactly m nontrivial solutions ψ1(ξ, C), . . . , ψm(ξ, C) (to withinsign) different from ψ±(ξ) = ±1 where ψk(ξ, C) has equally k zeros on the interval (−1, 0) (forP = 1, on the interval (−1, 1)).

As far as we know, no theory of singular self-adjoint Sturm-Liouville problems for ODEs withtwo singular points has been developed to the present day. To solve singular SP (??), (??), (??)(SP (??), (??), (??)) we use a phase method (see, e.g., [?], [?], [?]). Moreover there are somecases with the exact solutions:

1) when (D = P = 1) ∧ (Q = 0), we obtain the Legendre equation [(ξ2 − 1)ψ′]′ =

4C2ψ, −1 < ξ < 1, so that there are the exact EVs, C = Cm =√

m(m + 1)/2, m =1, 2, . . . , and the eigenfunctions proportional to the Legendre polynomials Pm(ξ);

2) when (D = 3) ∧ (P = 1) ∧ (Q = 0), in the variable v(ξ) =√

1 − ξ2ψ(ξ) we obtain the

associated Legendre equation[(1− ξ2)v′

]′+

[2(2C2 +1)− 1/(1− ξ2)

]v = 0, −1 < ξ < 1, and

for each C = Cm = [(m + 1)(m + 2)/4 − 1/2]1/2, m = 1, 2, . . . , singular SP has a nontrivialsolution vm(ξ) proportional to the function

√1 − ξ2P ′

m+1(ξ);3) when (D = 3) ∧ (P = 3) ∧ (Q = 0), in the variable v(ξ) = ξψ(ξ) we obtain the Legendre

equation[(ξ2 − 1)v′

]′= 2(2C2 + 1)v, −1 < ξ < 0, and for each C ∼ Cm, where Cm =

[(2m + 1)(m + 1)/2 − 1/2

]1/2

, m = 1, 2, . . . , we obtain a small solution ψ(ξ, C) to the input

nonlinear BVP (??), (??), (??) approximately proportional to the function P2m+1(ξ)/ξ, whereP2m+1(ξ) is the Legendre polynomial.

3.3. Continuable solutions and their asymptotic behavior. Finally we establish that thesolutions of nonlinear singular BVP (??), (??), (??) (BVP (??), (??), (??)) determine multipleself-similar solutions to the input singular problem (??), (??) of the types defined in Section 2.

Proposition 4. For any fixed C2 and D, P , Q satisfying restrictions of Proposition ??, eachsolution of Eq.(??) from the set (??), (??) is continuable to the left with no limit and forC2 > D2/32 has the asymptotics

ψ(ξ, c0) = sign(c0) + A(c0)|ξ|−D/2

cos((√

32C2 − D2/2)ln |ξ| + δ(c0)

)+ o(1)

, ξ → −∞,

where A(c0) and δ(c0) are the constants uniquely defined by a specification of a value of c0 inthe expansion (??), (??), so that ψ(ξ, c0) with c0 6= 0 satisfies condition (??) (it is a naturalcondition for the solutions of the family (??), (??)).

Corollary. For singular BVP (??), (??), (??) with fixed C2 > D2/32 and D, P , Q satisfyingthe input restrictions, each nontrivial and different from ψ± = ±1 solution ψ(ξ), continuedto the left with no limit and used for the input problem (??)), (??) as a function ϕ(r/τ),ϕ(r/τ) = ψ(ξ), defines a self-similar (hyper)bubble (N = 1) either a self-similar (hyper)string(N = 2) or a self-similar (hyper)monopole (N ≥ 3); for singular BVP (??), (??), (??), whenN = 1, the analogous statement is valid for self-similar domain walls and wave swells.

For large values of C, the behavior of solutions is qualitatively consistent both with the thin-wall approximation and the results of singular perturbation theory. In detail, see in [?]–[?] theanalytical-numerical studies relating to the case D = 3.

This work was supported by RFBR, project N 02-01-00050.

References

[1] Basu R., Vilenkin, A. Evolution of Topological Defects During Inflation // Phys. Rev. D. — 1994. — No. 12(50). — P. 7150-7153.


[2] Dyshko A.L., Konyukhova N.B. Self-Similar Solutions to the Nonlinear Wave Equation for the Higgs Fieldin the de Sitter Space // Comput. Maths Math. Phys. — 1999. — No. 1 (39). — P. 118-134. MR 2000c :58051.

[3] Dyshko A.L., Konyukhova N.B., Voronov N.A. Automodelling Solutions for the Higgs-Field Nonlinear WaveEquation in the de Sitter Space // Comput. Phys. Commun. — 2000. — No. 1-2 (126). — P. 57-62.

[4] Dyshko A.L., Konyukhova N.B. Singular Nonlinear Boundary Value Problems in the Inflationary CosmologyModels with a Scalar Field // Spectral and Evolution Problems: Proceedings of the Tenth Crimean AutumnMathematical School-Symposium (KROMSH-X) (18-29 September, 1999, Sevastopol, Laspi)/ Group ofauthors, Kopachevsky, N.D. and Orlov, I.V., Eds. – Simferopol: National Taurida V.Vernadsky University,Crimean Mathematical Foundation, Crimean Academy of Sciences. — 2000. Vol. 10. — P. 121-126.

[5] Dyshko A.L., Konyukhova, N.B. Multiple One-Dimensional and Spherically Symmetric Self-SimilarSolutions to the Nonlinear Wave Equation for the Higgs Field in the de Sitter Space // Comput. MathsMath. Phys. — 2001. — No. 3 (41). — P. 435-456. MR 2001m : 81197.

[6] Dyshko A.L., Konyukhova, N.B., Multiple Self-Similar String and Monopole Solutions to Nonlinear WaveEquations in Inflationary Cosmology // Comput. Maths Math. Phys. — 2002. — No. 4 (42). — P. 450-469.MR 2003e : 83076.

[7] Dyshko,A.L., Konyukhova N.B. Multiple Self-Similar Solitons to the Higgs Field in the de Sitter Space //J. Comput. Methods in Sciences and Engineering (JCMSE). — 2002. — No. 1-2 (2). —- P.155-162.

[8] Dolgov A.P., Zel’dovich Ya.B., Sazhin M.V. Kosmologiya rannei Vselennoi (Cosmology of the EarlyUniverse) // Moscow: Mosk. Gos. Univ., 1988.

[9] Linde A.P. Particle Physics and Inflationary Cosmology // Harwood Academic, Chur, Switzerland, 1990.[10] Vilenkin A., Shellard E.P.S. Cosmic Strings and Other Topological Defects // Cambridge: Cambridge

University Press, 1993.[11] Rubakov V.A. Klassicheskie kalibrovochnye polya (Classical Gauge Fields) // Moscow: Editorial URSS,

1999.[12] Belova T.I., Kudryavtsev A.E. Solitons and Their Interactions in Classical Field Theory // Physics

Uspekhi. — 1997. — Vol. 40. — P. 359-386.[13] Birrel N.D., Davies P.C.W. Quantum Fields in Curved Space // Cambridge: Cambridge University Press,

1982.[14] Belova T.I., Voronov N.A. Evolution of a Bubble in a Theory with a Degenerate Vacuum in Friedmann and

de Sitter Spaces // JETF Lett. — 1995. —- No. 5 (61). — P. 341-345.[15] Vecoua E. O metagarmonicheskikh funkciyakh (On Metaharmonic Functions) // Trudy Tbilisskogo

Matematicheskogo Instituta (The works of the Tbilissi Mathematical Institute). — 1943. — Vol. XII. —P. 105-174.

[16] Wasov W. Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations // New York: Wiley, 1965.[17] Coddington E.A., Levinson N. Theory of Ordinary Differential Equations // New York: Mc Graw-Hill,

1955.[18] Konyukhova N.B. Singular Cauchy Problems for Systems of Ordinary Differential Equations // Comput.

Maths. Math. Phys. — 1983. — No. 3 (23). — P. 72-82. MR 85h: 34005; ZM 529.34003; ZM 553.34002.[19] Lyapunov A.M. Obshchaya zadacha ob ustoichivosti dvizheniya (The General Problem of Motion Stability)

// Moscow: Gostekhteoretizdat, 1950.[20] Kitoroage D.I., Konyukhova N.B., Pariiskii B.S. A Modified Method of Phase Functions in Singular

Problems of Quantum Physics for the Bound States of Particles// Soobshcheniya po prikladnoi matematike(Communications in Applied Mathematics). Moscow: Vychisl. Tsentr Akad. Nauk SSSR, 1987. MR 92d:81027.

[21] Konyukhova N.B., Staroverova I.B. Modification of the Phase Method for Singular Selfadjoint Sturm-Liouville Problems // Comput. Maths. Math. Phys. — 1997. — No. 10 (37). — P. 1143-1160. MR 98h:34049.

[22] Konyukhova N.B., Linh V.H., Staroverova I.B. Modifications of the Method of Phase Functions as Appliedto Singular Problems in Quantum Physics // Comput. Maths. Math. Phys. — 1999. — No. 3 (39). — P.468-498. MR 2000b: 81025.

N. Konyukhova, Dorodnicyn Computing Centre, Russian Academy of Sciences,Vavilov str., 40, Moscow 119991, Russia E-mail: [email protected]


THE OPERATOR METHOD OF THE INVESTIGATION OF THEFOURTH ORDER EQUATION

Yu.T.Silchenko 11

Voronezh State University, Russia

The fourth order partial differential equation with boundary conditions and conditionin zero is considered in the space Lp. The problem is reduced to an abstract equationwith an irreversible operator by the derivative. The unique solvability of the problem isestablished with its help.

Keywords: differential equation, operator, resolvent, generalized semigroup

We shall consider the equation

∂2

∂x2

(∂2u

∂x∂t+ 2

∂2u

∂x2

)= f(t, x) (1)

where t ∈ (0, 1], x ∈ [0, 1], u = u(t, x) is an unknown function, f(t, x) is the given function,boundary conditions

u(t, 0) = u(t, 1) = 0 (2)

and initial condition∂2u(0, x)

∂x2= u0(x) (3)

(u0(x) is the given function).We shall seek a solution of this problem such that the left side of equation (1) belongs to the

space Lp(0 < x < 1) - and the differentiation with respect to t is understood in the norm ofthis space.

We assume v(t, x) = u′x(t, x), then we shall receive the system

∂2

∂x2

(∂2u∂x∂t

+ ∂2u∂x2 + ∂v

∂x

)= f(t, x) (4)

∂u∂x

− v = 0. (5)

Problem (4)-(5), (2)-(3) is considered in the space E = Lp(0, 1) × Lp(0, 1) of the elementsw = (u, v) with the norm ‖ w ‖=‖ u ‖ + ‖ v ‖ . We shall introduce the matrix operators

A =

(− d2

dx2 − ddx

− ddx

1

), B =

(ddx

00 0

)

with the domains

D = D(A) = w ∈ W 2p , w = (u, v), u(0) = u(1) = 0,DB = D(B) = W 1

p

and operator C = d2

dx2 with the domain D(C) = u ∈ W 2p (0, 1),

u(0) = u(1) = 0.Now problem (4)-(5), (2)-(3) is reduced to abstract Cauchy problem

Bw′

t − Aw = F (t) (6)w(o) = w0, (7)

where F (t) = (C−1f(t, .), 0), w0 = (C−1u0(.), 0).The last problem has a peculiarity: operator B is irreversible.We shall consider the generalized resolvent equation

(λB − A)w = Φ, Φ = (f, g)

11The work is fulfilled with the financial support of RFBR(grant 04-01-00141)


or u′′ + λu′ + v′ = f(x), x ∈ [0, 1]u′ − v = g(x)

u(0) = u(1) = 0.

We can write out the solution of this problem

u(x) = − 1 − eλx

1 − e−λ

1∫

0

eλ(s−1)g(s)ds + G(x, λ)

where G(x, λ) — the other terms and ‖ G(·, λ) ‖≤ C|λ|−1, | arg λ| < π. Having used thestructure of matrix B we get

B(λB − A)−1

(f

g

)=

(u

0

).

That is why‖ B(λB − A)−1 ‖≤ C|λ| 1

p−1, | arg λ| < π. (8)

Estimate (8) allows to construct the generalized semigroup [1] for equation (6)

T (t) =1

2πi

∫

Γ

eλtA−1B(λB − A)−1dλ (t > 0),

where Γ is a certain special contour.The operator function T (t) has the following properties:

1) T (t) ∈ L(E), T (t) : E → D;2) T (t + s) = T (t)AT (s), t, s > 0;3) T (t) is differentiable at t greater than zero in the norm of L(E) and

BT ′(t) = AT (t);

4) lim BT (t) = BA−1 for t → +0 in the norm of L(E).That is why the function w(t) = T (t)w0 satisfies the homogeneous equation (6) and the

initial condition Bw(0) = BA−1w0.Now we shall consider the function

h(t) =

t∫

0

T (t − s)f(s)ds.

This function satisfies the equation

Bh′(t) = Ah(t) + BA−1f(t)

and h(t) → 0 for t → +0. Its existence is established in [2].Thus the function

w(t) = T (t)w0 +

t∫

0

T (t − s)f(s)ds

is the solution of the problem

Bw′(t) = Aw(t) + BA−1f(t) (9)Bw(0) = BA−1w0 (10)

Now we return to the problem introduced at the beginning and calculate that

BA−1

(f(t, x)

0

)=

x∫0

(x − s)f(t, s)ds + x1∫0

(s − 1)f(t, s)ds

0

=


=

(C−1f(t, x)

0

).

We shall consider the equality of the first components of equation (9):

∂u

∂t+

∂2u

∂x2+

∂v

∂x= C−1f(t, x).

Having differentiated the last equality twice we get the functions u and v satisfying equation(4). The equality of the second components will give equation (5) and then (1). The realizationof (3) is verified analogously. That is why the following theorem is valid

Theorem. Let the following conditions be realized1) ‖ f(t + ∆t, ·) − f(t, ·) ‖Lp≤ C | ∆t |1− 1

p ;2) u0(x) ∈ Lp.

Then the problem (1)-(3) has the unique solution.

References[1] Silchenko Y.T. Differential equation with a degenerate operator // Modern problems offunctional analysis and differential equations. Conference proceedings. Voronezh state universitypublishing house, Voronezh (2003), - P. 208-212 (Russian).[2] Silchenko Y.T. On a class of semigroups. Functional analysis and its applications. V. 33, N4(1999). - P.90-93.

Yu.T.Silchenko, Dr. Sci., Prof. of Voronezh State University. Math.Department of VSU, Universitetskaya pl., 1, 394006, Voronezh, Russia

E-mail: [email protected].


HYPERBOLIC DIFFERENTIAL-OPERATOR EQUATIONS ON AFINITE INTERVAL

S. YakubovUniversity of Haifa

Haifa, Israel,Ya. Yakubov

Tel-Aviv UniversityTel-Aviv, Israel

In this paper we give, for the first time, an abstract interpretation of such initialboundary value problems for hyperbolic equations that a part of boundary valueconditions contains also a differentiation on the time of the same order as equations.A similar situation for parabolic and elliptic equations has been studied in [YYa2,section 7.2.10] and [YakS], respectively. Initial boundary value problems for hyperbolicequations are reduced to the Cauchy problem for a system of hyperbolic differential-operator equations. A solution of this system is not a vector-function but one function.At the same time, the system is not overdetermined. We prove the well-posedness ofthe Cauchy problem and for some special cases we give an expansion of a solution tothe series of eigenvectors. As application we show, in particular, a generalization of theclassical Fourier method of separation of variables.

1. Introduction

Problems with the time differentiation in boundary conditions arise in many problems ofphysics and mechanics. We consider a situation in which the time differentiation appears atthe same order in both the equation and boundary conditions. About importance of such kindof problems see, e.g., [LSQi], [TiSa, Application to ch.II, §3] and references therein. First, wegive an abstract interpretation of such initial boundary value problems for hyperbolic equationsthat a part of boundary value conditions contains also a differentiation on the time t of thesame order as the equation. We prove the well-posedness of such abstract problems. For someparticular cases, we have expanded a solution to the series of eigenvectors of the correspondingspectral problem. Then we show an application of these abstract results to partial (hyperbolic)differential equations. In the second case, we have obtained a generalization of the classicalFourier method of separation of variables to the case in which boundary conditions containthe differentiation on the time t. Corresponding hyperbolic differential-operator equations ona whole axis, for almost periodic solutions, and oscillations decay have been studied in [Yak1]and [Yak2].

Let H and F be Hilbert spaces. The set H ⊕F of all vectors of the form (u, v) where u ∈ H,and v ∈ F , with usual coordinatewise linear operations and the norm

‖(u, v)‖H⊕F :=(‖u‖2

H + ‖v‖2F

) 12

is a Hilbert space and called the orthogonal sum of Hilbert spaces H and F .For the operator A closed in a Hilbert space H, the domain D(A) is turned into a Hilbert

space H(A) with respect to the norm

‖u‖H(A) :=(‖u‖2 + ‖Au‖2

) 12.

If H1 and H are two Hilbert spaces where H1 ⊂ H, then H1 can be represented as the domainD(S) = H1 of a suitable positive definite selfadjoint operator S in H (see, for example, [Trie,Remark 1.18.10/3]). Then, by [Trie, Theorem 1.18.10], the interpolation space

(H1, H)θ,2 = H(S1−θ).


W ℓp((0, 1); H), 1 ≤ p < ∞, 0 ≤ ℓ is an integer, denotes a Banach space of functions u(x) with

values in H which have generalized derivatives up to the ℓ-th order inclusive on (0, 1) and thenorm

‖u‖W ℓp((0,1);H) :=

ℓ∑

k=0

( 1∫

0

‖u(k)(x)‖p dx) 1

p

is finite.Ck([0, T ]; H), 0 ≤ k is an integer, denotes a Banach space of functions u(x) with values from

H which have continuous derivatives up to the k-th order inclusive on [0, T ] and the norm

‖u‖Ck([0,T ];H) :=k∑

ℓ=0

maxx∈[0,T ]

‖u(ℓ)(x)‖

is finite.Denote by

C2([0, T ]; H1, H2, H3) := C([0, T ]; H1) ∩ C1([0, T ]; H2) ∩ C2([0, T ]; H3).

We present here all results without proofs. The paper with rigorous proofs will appear in thejournal “Differential and Integral Equations".

2. Hyperbolic differential-operator equations

An abstract interpretation of such initial boundary value problems for hyperbolic equationsthat a part of boundary value conditions contains also the differentiation on the time t isdifferent from the one of those problems which do not contain the differentiation on t inboundary conditions. Let us derive such an abstract interpretation.

Let H and Hν , ν = 1, ..., s, be Hilbert spaces. Consider the following initial boundary valueproblem

L(Dt)u := u′′(t) + A(t)u′(t) + (B + B1(t))u(t) = h(t), (1)

Lν(Dt)u := (Aν0u(t))′′ + Aν2u(t) = hν(t), ν = 1, ..., s, (2)

u(0) = u0, u′(0) = u1, (3)

where t ∈ [0, T ]; A(t), B, and B1(t) are operators in H; Aν0 and Aν2 are operators from asubspace of H into Hν ; u(t) from [0, T ] into H is an unknown function, h(t) and hν(t) from[0, T ] into H and Hν , respectively, are given functions. Note that operators A(t), B, B1(t), Aν0,and Aν2 are, generally speaking, unbounded.

A function u(t) is called a solution of problem (1)–(3) if the function t → (u(t),A10u(t), . . . , As0u(t)) from [0, T ] into H ⊕ H1 ⊕ · · · ⊕ Hs is twice continuously differentiable,from [0, T ] into H(B) ⊕ H1 ⊕ · · · ⊕ Hs is continuous, and u(t) satisfies (1)–(3).

Consider, in the Hilbert space H := H ⊕ H1 ⊕ · · · ⊕ Hs, operators A(t), B, and B1(t) givenby the equalities

D(A(t)) := D(A(t)) ⊕ H1 ⊕ · · · ⊕ Hs,

A(t)(u, v1, . . . , vs) := (A(t)u, 0, . . . , 0),

D(B) :=

v∣∣∣ v := (u,A10u, . . . , As0u), u ∈ D(B)

,

B(u,A10u, . . . , As0u) := (Bu,A12u, . . . , As2u),

and D(B1(t)) := D(B1(t)) ⊕ H1 ⊕ · · · ⊕ Hs,

B1(t)(u, v1, . . . , vs) := (B1(t)u, 0, . . . , 0).

Theorem 1. Let the following conditions be satisfied:


(1) B is a closed operator in a Hilbert space H with a dense domain D(B); for t ∈ [0, T ], A(t)and B1(t) are operators in H with D(A(t)) ⊃ (H(B), H) 1

2,2 and D(B1(t)) ⊃ (H(B), H) 1

2,2,

respectively;(2) the operators Aν0 from (H(B), H) 1

2,2 into H act boundedly and the operators Aν2, ν =

1, . . . , s, from H(B) into Hν act boundedly; Aν0(H(B), H) 12,2 = Hν ;

(3) the linear manifold

v∣∣∣ v := (u,A10u, . . . , As0u), u ∈ D(B)

is dense in the Hilbert space

H = H ⊕ H1 ⊕ · · · ⊕ Hs;(4) for u ∈ D(B), v ∈ D(B)

(Bu, v)H + (A12u,A10v)H1 + · · · + (As2u,As0v)Hs

= (u,Bv)H + (A10u,A12v)H1 + · · · + (As0u,As2v)Hs ;

(5) all sufficiently large numbers λ > 0 are regular for the operator pencil L(λ): u → L(λ)u :=((λI + B)u, (λA10 + A12)u, . . . , (λAs0 + As2)u

)which acts boundedly from H(B) onto H, and

for λ > 0, λ → ∞‖L(λ)−1‖B(H,H) ≤ C|λ|−1,

‖Aν0L(λ)−1‖B(H,Hν) ≤ C|λ|−1, ν = 1, . . . , s;

(6) for t ∈ [0, T ] and u ∈ (H(B), H) 12,2, Re(A(t)u, u) ≥ ω‖u‖2 for some real number ω, the

operator A(t) from (H(B), H) 12,2 into H is bounded, and the function t → A(t)u : [0, T ] → H

is continuously differentiable;(7) for t ∈ [0, T ], the operator B1(t) from (H(B), H) 1

2,2 into H is bounded and for u ∈

(H(B), H) 12,2 the function t → B1(t)u : [0, T ] → H is continuously differentiable;

(8) h ∈ W 1p ((0, T ); H), hν ∈ W 1

p ((0, T ); Hν), ν = 1, . . . , s, for some p > 1;(9) u0 ∈ H(B), u1 ∈ (H(B), H) 1

2,2.

Then there exists a unique solution u(t) of problem (1)–(3) such that the function t →(u(t), A10u(t), . . . , As0u(t)) from [0, T ] into H is twice continuously differentiable and from [0, T ]into H(B) ⊕ H1 ⊕ · · · ⊕ Hs is continuous and the following estimate holds

‖u′′(t)‖ + ‖u′(t)‖(H(B),H) 12 ,2

+ ‖Bu(t)‖ + ‖u(t)‖ +s∑

ν=1

‖(Aν0u(t))′′‖Hν

≤ C(‖Bu0‖ + ‖u0‖ + ‖u1‖(H(B),H) 1

2 ,2+ ‖h‖W 1

p ((0,T );H) +s∑

ν=1

‖hν‖W 1p ((0,T );Hν)

), t ∈ [0, T ].

Remark 1. In applications, the first estimate in condition (5), i.e.,

‖L(λ)−1‖B(H,H) ≤ C|λ|−1

can be obtained from [AgmN], [AgrV], but the rest estimates in condition (5), i.e,

‖Aν0L(λ)−1‖B(H,Hν) ≤ C|λ|−1, ν = 1, . . . , s (4)

cannot be obtained from the above and other results. One can get from [AgmN] and [AgrV] anestimate with a loss in power of |λ|, namely,

‖Aν0L(λ)−1‖B(H,Hν) ≤ C|λ|−1+ε, ν = 1, . . . , s, ε > 0.

Estimate (4) has been proved in [YYa1, Theorem 3.4] for ordinary differential equations (seealso the book [YYa2, Theorem 3.2.9/4) and in [KoYa] for elliptic equations (see also the book[YYa2, Theorem 4.3.4/1]).


Consider now such a formulation of problem (1)–(3) which allows us to get an expansion ofthe solution in a series of elementary solutions. Let H and Hν , ν = 1, ..., s, be Hilbert spaces.Consider the following initial boundary value problem

L(Dt)u := u′′(t) + Au′(t) + Bu(t) = h(t), (5)

Lν(Dt)u := (Aν0u(t))′′ + Aν2u(t) = hν(t), ν = 1, ..., s, (6)

u(0) = ϕ0, u′(0) = ϕ1, (7)

where t ∈ [0, T ]; A and B are operators in H; Aν0 and Aν2 are operators from H into Hν ; u(t)from [0, T ] into H is an unknown function, h(t) and hν(t) from [0, T ] into H and Hν , respectively,are given functions. Note that operators A, B, Aν0, and Aν2 are, generally speaking, unbounded.

Consider, in the Hilbert space H := H ⊕ H1 ⊕ · · · ⊕ Hs, operators A and B given by theequalities

D(A) := D(A) ⊕ H1 ⊕ · · · ⊕ Hs,

A(u, v1, . . . , vs) := (Au, 0, . . . , 0),

and D(B) :=

v

∣∣∣ v := (u,A10u, . . . , As0u), u ∈ D(B)

,

B(u,A10u, . . . , As0u) := (Bu,A12u, . . . , As2u),

The corresponding spectral problem is

λ2u + λAu + Bu = 0,

λ2Aν0u + Aν2u = 0, ν = 1, . . . , s.(8)

Let there exist a Hilbert space H0 ⊂ H such that the operators A and B from H0 into H actboundedly and the operators Aν0 and Aν2 from H0 into Hν act boundedly. Then, a number λ0

is called an eigenvalue of problem (8) if the problem

λ20u + λ0Au + Bu = 0,

λ20Aν0u + Aν2u = 0, ν = 1, . . . , s

has a nontrivial solution u0 ∈ H0. The nontrivial solution u0 ∈ H0 is called an eigenvectorcorresponding to the eigenvalue λ0 of problem (8).

Theorem 2. Let the following conditions be satisfied:(1) B is a closed operator in a Hilbert space H with a dense domain D(B); A is an operatorin H with D(A) ⊃ (H(B), H) 1

2,2; the embedding H(B) ⊂ H is compact;

(2) the operators Aν0, ν = 1, . . . , s, from (H(B), H) 12,2 into Hν act compactly and the operators

Aν2, ν = 1, . . . , s, from H(B) into Hν act boundedly; Aν0(H(B), H) 12,2 = Hν ;

(3) the linear manifold

v∣∣∣ v := (u,A10u, . . . , As0u), u ∈ D(B)

is dense in the Hilbert space

H = H ⊕ H1 ⊕ · · · ⊕ Hs;(4) for u ∈ D(B), v ∈ D(B)

(Bu, v)H + (A12u,A10v)H1 + · · · + (As2u,As0v)Hs

= (u,Bv)H + (A10u,A12v)H1 + · · · + (As0u,As2v)Hs ;

(5) for u ∈ D(B) and some c 6= 0

(Bu, u)H + (A12u,A10u)H1 + · · · + (As2u,As0u)Hs

≥ c2(‖u‖2H + ‖A10u‖2

H1 + · · · + ‖As0u‖2Hs);


(6) all sufficiently large numbers λ > 0 are regular for the operator pencil L(λ): u → L(λ)u :=((λI + B)u, (λA10 + A12)u, . . . , (λAs0 + As2)u

)which acts boundedly from H(B) onto H, and

for λ > 0, λ → ∞‖L(λ)−1‖B(H,H) ≤ C|λ|−1,

‖Aν0L(λ)−1‖B(H,Hν) ≤ C|λ|−1, ν = 1, . . . , s;

(7) A is a skew-symmetric operator in H, i.e., A∗u = −Au, u ∈ D(A) and A from (H(B), H) 12,2

into H is bounded;(8) h ∈ W 1

p ((0, T ); H), hν ∈ W 1p ((0, T ); Hν), ν = 1, . . . , s, for some p > 1;

(9) ϕ0 ∈ H(B), ϕ1 ∈ (H(B), H) 12,2.

Then there exists a unique solution u(t) of problem (5)–(7) such that the function t →(u(t), A10u(t), . . . , As0u(t)) from [0, T ] into H is twice continuously differentiable and from [0, T ]into H(B) ⊕ H1 ⊕ · · · ⊕ Hs is continuous and the solution can be expanded to the series

u(t) =∞∑

k=1

eλkt

(Buk, uk)H +s∑

ν=1

(Aν2uk, Aν0uk)Hν + |λk|2(‖uk‖2H +

s∑ν=1

‖Aν0uk‖2Hν )

×[(Bϕ0 − λkϕ1, uk)H +

s∑

ν=1

(Aν2ϕ0 − λkAν0ϕ1, Aν0uk)Hν − λk

t∫

0

e−λkτ((h(τ), uk)H

+s∑

ν=1

(hν(τ), Aν0uk)Hν

)dτ

]uk,

where λk are purely imaginary eigenvalues and uk are the corresponding eigenvectors ofspectral problem (8), and the series converges in the sense of the space C2([0, T ]; H(B),(H(B), H) 1

2,2, H).

Remark 2. From the proof of Theorem 6 in the Appendix (for the proof see [YYa2, Theorem6.4.3]) it follows that under the conditions of Theorem 2 there are no associated vectors toeigenvectors uk of problem (8) (for the definition see [YYa2, p.60]) and the eigenvectors uk

of problem (8) are orthogonal in the following sense: (Bvk, vm)H + |λk|2(vk, vm)H = 0, wherevk = (uk, A10uk, . . . , As0uk), vm = (um, A10um, . . . , As0um), i.e., for k 6= m,

(Buk, um)H +s∑

ν=1

(Aν2uk, Aν0um)Hν + |λk|2((uk, um)H +

s∑

ν=1

(Aν0uk, Aν0um)Hν

)= 0.

3. An initial boundary value problem for hyperbolic equations

The following theorem is an application of Theorem 1.Consider, in the domain [0, T ] × [0, 1], a principally initial boundary value problem for the

hyperbolic equation

L(Dt)u := D2ttu(t, x) + a1(t, x)D2

txu(t, x) + a2(t, x)Dtu(t, x) − Dx(b(x)Dxu(t, x))

+B1(t)u(t, ·) = h(t, x), (t, x) ∈ [0, T ] × [0, 1], (9)

L1(Dt)u := αD2tt[u(t, 0)] + Dxu(t, 0) = h1(t), t ∈ [0, T ],

L2(Dt)u := βD2tt[u(t, 1)] + Dxu(t, 1) = h2(t), t ∈ [0, T ],

(10)

u(0, x) = u0(x), Dtu(0, x) = u1(x), x ∈ [0, 1], (11)

where α, β, are real numbers, Dt := ∂∂t

, Dx := ∂∂x

. By D2tt[u(t, 0)] we mean d2u(t,0)

dt2.

Theorem 3. Let the following conditions be satisfied:


(1) ai(t, x) are real-valued functions, a1(t, x) is continuously differentiable, a2(t, x) is continuouswith respect to x and continuously differentiable with respect to t, a1(t, 0) = a1(t, 1) = 0,∀t ∈ [0, T ]; b ∈ C1[0, 1], b(x) > 0 for x ∈ [0, 1];(2) α < 0, β > 0;(3) for t ∈ [0, T ], the operator B1(t) from W 1

2 (0, 1) into L2(0, 1) is bounded and for u ∈ W 12 (0, 1),

the function t → B1(t)u : [0, T ] → L2(0, 1) is continuously differentiable;(4) h ∈ W 1

p ((0, T ); L2(0, 1)), hν ∈ W 1p (0, T ), ν = 1, 2, for some p > 1;

(5) u0 ∈ W 22 (0, 1), u1 ∈ W 1

2 (0, 1).Then there exists a unique solution u(t, x) of problem (9)–(11) such that the function t →

(u(t, x), u(t, 0), u(t, 1)) from [0, T ] into L2(0, 1)⊕C⊕C is twice continuously differentiable andfrom [0, T ] into W 2

2 (0, 1) ⊕ C ⊕ C is continuous and the following estimate holds

‖D2ttu(t, ·)‖L2(0,1) + ‖D2

txu(t, ·)‖L2(0,1) + ‖D2xxu(t, ·))‖L2(0,1)

+‖u(t, ·)‖L2(0,1) + |D2tt[u(t, 0)]| + |D2

tt[u(t, 1)]|

≤ C(‖u0‖W 2

2 (0,1) + ‖u1‖W 12 (0,1) + ‖h‖W 1

p ((0,T );L2(0,1)) +2∑

ν=1

‖hν‖W 1p (0,T )

), t ∈ (0, T ].

Remark 3. For B1(t) in equation (9) one can take, for example,

D(B1(t)) := W 12 (0, 1),

B1(t)u := c(t, x)u(x) + d(t, x)u′(x),

where ∀t ∈ [0, T ], c(t, ·), d(t, ·) ∈ C[0, 1] and the functions t → c(t, ·) : [0, T ] → C[0, 1] andt → d(t, ·) : [0, T ] → C[0, 1] are continuously differentiable, or

D(B1(t)) := W 12 (0, 1),

B1(t)u :=

1∫

0

(c(t, x, y)u(y) + d(t, x, y)u′(y)

)dy,

where ∀t ∈ [0, T ], c(t, ·, ·), d(t, ·, ·) ∈ L2((0, 1) × (0, 1)) and the functions t → c(t, ·, ·) : [0, T ] →L2((0, 1) × (0, 1)) and t → d(t, ·, ·) : [0, T ] → L2((0, 1) × (0, 1)) are continuously differentiable.

Remark 4. The case t ∈ R, a1(t, x) ≡ a2(t, x) ≡ 0, h(t, x) ≡ h1(t) ≡ h2(t) ≡ 0, andB1(t) ≡ 0 in (9) was considered in [LSQi].

Remark 5. If s = 0 in problem (1)–(3), i.e., there is no the time differentiation in boundaryconditions, then we have the more general Theorem 5 (see Appendix).

We present now an application of Theorem 2. Consider, in the domain [0, T ]× [0, 1], an initialboundary value problem for the hyperbolic equation

L(Dt)u := D2ttu(t, x) + ia(x)Dtu(t, x) − Dx(b(x)Dxu(t, x)) + c(x)u(t, x)

= h(t, x), (t, x) ∈ [0, T ] × [0, 1], (12)

L1(Dt)u := αD2tt[u(t, 0)] + Dxu(t, 0) = h1(t), t ∈ [0, T ],

L2(Dt)u := βD2tt[u(t, 1)] + Dxu(t, 1) = h2(t), t ∈ [0, T ],

(13)

u(0, x) = ϕ0(x), Dtu(0, x) = ϕ1(x), x ∈ [0, 1], (14)

where α, β, are real numbers, i =√−1, Dt := ∂

∂t, Dx := ∂

∂x. The corresponding spectral problem

is

λ2u(x) + λia(x)u(x) − (b(x)u′(x))′ + c(x)u(x) = 0,

λ2αu(0) + u′(0) = 0,

λ2βu(1) + u′(1) = 0.

(15)


A number λ0 is called an eigenvalue of problem (15) if the problem

λ20u(x) + λ0ia(xu(x) − (b(x)u′(x))′ + c(x)u(x) = 0,

λ20αu(0) + u′(0) = 0,

λ20βu(1) + u′(1) = 0

has a nontrivial solution u0(x) ∈ W 22 (0, 1). The nontrivial solution u0(x) ∈ W 2

2 (0, 1) is calledan eigenfunction corresponding to the eigenvalue λ0 of problem (15).

Theorem 4. Let the following conditions be satisfied:(1) a ∈ C[0, 1] and is real-valued; b ∈ C1[0, 1], b(x) > 0 for x ∈ [0, 1]; c ∈ C[0, 1], c(x) > 0 forx ∈ [0, 1];(2) α < 0, β > 0;(3) h ∈ W 1

p ((0, T ); L2(0, 1)), hν ∈ W 1p (0, T ), ν = 1, 2, for some p > 1;

(4) ϕ0 ∈ W 22 (0, 1), ϕ1 ∈ W 1

2 (0, 1).Then there exists a unique solution u(t, x) of problem (12)–(14) such that the function t →

(u(t, x), u(t, 0), u(t, 1)) from [0, T ] into L2(0, 1)⊕C⊕C is twice continuously differentiable andfrom [0, T ] into W 2

2 (0, 1) ⊕ C ⊕ C is continuous and the solution can be expanded to the series

u(t, x) =∞∑

k=1

Ck(t)

Dk

eλktuk(x),

where

Dk =

1∫

0

b(x)|u′k(x)|2dx +

1∫

0

c(x)|uk(x)|2dx

+|λk|2( 1∫

0

|uk(x)|2dx − b(0)α|uk(0)|2 + b(1)β|uk(1)|2),

Ck(t) =

1∫

0

(− (b(x)ϕ′

0(x))′ + c(x)ϕ0(x) − λkϕ1(x))uk(x)dx

−b(0)(ϕ′0(0) − λkαϕ1(0))uk(0) + b(1)(ϕ′

0(1) − λkβϕ1(1))uk(1)

−λk

t∫

0

e−λkτ( 1∫

0

h(τ, x)uk(x)dx − b(0)h1(τ)uk(0) + b(1)h2(τ)uk(1))dτ

and λk are purely imaginary eigenvalues and uk(x) are the corresponding eigenfunctionsof spectral problem (15), and the series converges in the sense of the space C2([0, T ];W 2

2 (0, 1),W 12 (0, 1), L2(0, 1)).12

Remark 6. From Remark 2 it follows that under conditions of Theorem 4 there are noassociated functions to eigenfunctions uk(x) of problem (15) (for the definition see [YYa2,p.167]) and the eigenfunctions uk(x) of problem (15) are orthogonal in the following sense:

1∫

0

(−(b(x)u′k(x))′ + c(x)uk(x))um(x)dx − b(0)u′

k(0)um(0) + b(1)u′k(1)um(1)

12Without loss of generality we can assume that uk(x) are real-valued functions since uk(x) is also a solution

of (15) with purely imaginary λ = λk and, therefore, uk(x) ± uk(x) are also solutions of (15).


+|λk|2( 1∫

0

uk(x)um(x)dx − b(0)αuk(0)um(0) + b(1)βuk(1)um(1))

= 0, k 6= m.

Remark 7. We cannot take α = β = 0 in (13) because of condition (2) of Theorem 4 (thiscase can be separately treated using Theorem 6 in the Appendix or Theorem 2 with s = 0).But if we formally take α = β = 0, a(x) ≡ h(t, x) ≡ h1(t) ≡ h2(t) ≡ 0, c(x) ≡ c2 > 0,b(x) ≡ b2 > 0 then problem (12)–(14) turns out to be a classical problem and the expansionformula of Theorem 4 coincides with the known one

u(t, x) =

1∫

0

ϕ0(x)dx cos(ct) +1

c

1∫

0

ϕ1(x)dx sin(ct)

+2∞∑

k=1

( 1∫

0

ϕ0(x) cos(kπx)dx cos(t√

k2π2b2 + c2)

+1√

k2π2b2 + c2

1∫

0

ϕ1(x) cos(kπx)dx sin(t√

k2π2b2 + c2))

cos(kπx),

which is obtained by the classical Fourier method of separation of variables.

4. Appendix

Here, we only list theorems which have been used for the proofs of the above results.Consider, in a Hilbert space H, the Cauchy problem for the second order hyperbolic

differential-operator equation

L(D)u := u′′(t) + A(t)u′(t) + (B(t) + B1(t))u(t) = f(t), t ∈ [0, T ], (16)

u(0) = u0, u′(0) = u1. (17)

Theorem 5. [YYa2, Theorem 6.4.1/1] Let the following conditions be satisfied:(1) for t ∈ [0, T ] the operator B(t) is a selfadjoint positive definite operator in a Hilbert spaceH;(2) the operator B(t)

12 has an independent on t domain D(B(t)

12 ) ≡ D(B

12 ) and for u ∈ D(B

12 )

the function t → B(t)12 u from [0, T ] into H is continuously differentiable; for u ∈ D(B

12 ) or

the function t → B(t)12 u from [0, T ] into H is twice continuously differentiable or the function

t → B(t)12 (B(t)

12 )′B(t)−1u from [0, T ] into H is continuous;

(3) for t ∈ [0, T ], A(t) is an operator in H; D(A(t)) ⊃ D(B12 ) and the operator A(t) from

H(B12 ) into H is bounded13; for u ∈ D(B

12 ) the function t → A(t)u from [0, T ] into H is

continuously differentiable;(4) Re(A(t)u, u) ≥ ω(u, u), u ∈ D(B

12 ) for some ω ∈ R;

(5) for t ∈ [0, T ], B1(t) is an operator in H; D(B1(t)) ⊃ D(B12 ) and the operator B1(t)

from H(B12 ) into H is bounded; for u ∈ D(B

12 ) the function t → B1(t)u from [0, T ] into H is

continuously differentiable;(6) f ∈ W 1

p ((0, T ); H), where p > 1;

(7) u0 ∈ D(B(0)), u1 ∈ D(B12 ).

Then, problem (16)–(17) has a unique solution u ∈ C2([0, T ]; H(B(t)), H(B12 ), H) and the

following estimate holds for a solution of problem (16)–(17), for t ∈ [0, T ]:

‖u′′(t)‖ + ‖B(t)12 u′(t)‖ + ‖B(t)u(t)‖ ≤ C

(‖B(0)u0‖ + ‖B(0)

12 u1‖ + ‖f‖W 1

p ((0,T );H)

).

13Since all spaces H(B(t)1

2 ) are equivalent, for different t, one can take H(B1

2 ) = H(B(0)1

2 ).


Consider, in a Hilbert space H, the Cauchy problem for the second order hyperbolicdifferential-operator equation

L(D)u := u′′(t) + Au′(t) + Bu(t) = f(t), t ∈ [0, T ],

u(0) = g0, u′(0) = g1,(18)

and the characteristic operator pencil

L(λ) := λ2 + λA + B. (19)

Theorem 6. [YYa2, Theorem 6.4.3] Let the following conditions be satisfied:(1) B is a selfadjoint positive definite operator in a Hilbert space H;(2) the embedding H(B) ⊂ H is compact;(3) A is a skew-symmetric operator in H, i.e., A∗u = −Au, u ∈ D(A); the operator A from

H(B12 ) into H is bounded;

(4) f ∈ W 1p ((0, T ); H), where p > 1;

(5) g0 ∈ D(B), g1 ∈ D(B12 ).

Then, problem (18) has a unique solution u ∈ C2([0, T ]; H(B), H(B12 ), H) and the solution

can be expanded to the series

u(t) =∞∑

k=1

eλkt

‖B 12 uk‖2 + |λk|2‖uk‖2

((Bg0 − λkg1, uk) − λk

t∫

0

e−λkτ (f(τ), uk)dτ)uk,

where λk are purely imaginary eigenvalues and uk are the corresponding eigenvectors of operatorpencil (19), and the series converges in the sense of the space C2([0, T ]; H(B), H(B

12 ), H).

DenoteAν0u := ανu

(mν)(0) + βνu(mν)(1), ν = 1, . . . ,m. (20)

Theorem 7. [YYa2, Theorem 3.6.2] Let the following conditions be satisfied:(1) m ≥ 1, mν ≥ 0, 0 ≤ s ≤ m;(2) a system of functionals (20) are p-regular with respect to a system of numbers ωj :=

e2πi j−1m , j = 1, . . . ,m, i.e.,

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

α1ωm11 · · · α1ω

m1p β1ω

m1p+1 · · · β1ω

m1m

......

......

......

......

......

......

αmωmm1 · · · αmωmm

p βmωmmp+1 · · · βmωmm

m

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

6= 0,

where p = m2, if m is even, p = [m

2] or p = [m

2] + 1 if m is odd.

Then, the linear manifold

(u, v)∣∣∣ u ∈ C∞[0, 1], Aν0u = 0, ν = s + 1, . . . ,m, v := (A10u, . . . , As0u)

is dense in the space W ℓq (0, 1) + Cs, ℓ ≤ minmν, q ∈ (1,∞).

Consider a principally boundary value problem for an ordinary differential equation with avariable coefficient in case when the spectral parameter appears linearly in the equation andcan appear in boundary-functional conditions

L(λ)u := λu(x) + a(x)u(m)(x) + Bu|x = f(x), x ∈ (0, 1), (21)

Lν(λ)u := λ(ανu

(mν)(0) + βνu(mν)(1) +

Nν∑

j=1

δνju(mν)(xνj) + Tνu

)+ Tν0u


= gν , ν = 1, . . . , s, (22)

Lνu := ανu(mν)(0) + βνu

(mν)(1) +Nν∑

j=1

δνju(mν)(xνj) + Tνu = 0, (23)

ν = s + 1, . . . ,m,

where m ≥ 1, mν ≤ m − 1, xνj ∈ (0, 1), 0 ≤ s ≤ m, B is an operator in L2(0, 1), Tν and Tν0

are functionals in L2(0, 1).

Theorem 8. [YYa1, Theorem 3.4] Let the following conditions be satisfied:(1) m ≥ 1; mν ≤ m − 1; 0 ≤ s ≤ m;(2) a ∈ C[0, 1]; a(x) 6= 0; a(0) = a(1)14; sup

x∈[0,1]

arg a(x) − infx∈[0,1]

arg a(x) < 2π, if m is even;

supx∈[0,1]

arg a(x) − infx∈[0,1]

arg a(x) < π, if m is odd;

(3) for all ε > 0

‖Bu‖L2(0,1) ≤ ε‖u‖W m2 (0,1) + C(ε)‖u‖L2(0,1), u ∈ Wm

2 (0, 1);

(4) functionals Tν in Wmν2 (0, 1) and functionals Tν0 in Wm−ε

2 (0, 1), for some ε > 0, arecontinuous;

(5) system (20) is p-regular with respect to a system of numbers ωj = e2πi j−1m , j = 1, . . . ,m, i.e.,

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

α1ωm11 · · · α1ω

m1p β1ω

m1p+1 · · · β1ω

m1m

......

......

......

......

......

......

αmωmm1 · · · αmωmm

p βmωmmp+1 · · · βmωmm

m

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

6= 0,

where p = m2, if m is even; p = [m

2] or p = [m

2] + 1, if m is odd.

Then for any ε > 0 there exists Rε > 0 such that for all complex numbers λ which satisfy|λ| > Rε and for m = 2p lying inside the angle

πm

2− π + sup

x∈[0,1]

arg a(x) + ε < arg λ <πm

2+ π + inf

x∈[0,1]arg a(x) − ε,

for m = 2p + 1 lying inside the angle

πm

2+ sup

x∈[0,1]


2+ π + inf

x∈[0,1]arg a(x) − ε,

and for m = 2p − 1 lying inside the angle

πm

2− π + sup

x∈[0,1]


2+ inf

x∈[0,1]arg a(x) − ε,

the operator L(λ) : u → L(λ)u :=(L(λ)u, L1(λ)u, . . . , Ls(λ)u

)from Wm

2 ((0, 1); Lνu = 0, ν =

s + 1, . . . ,m) onto L2(0, 1)+Cs is an isomorphism, and for these λ for a solution of problem(21)–(23) the estimate

‖u‖W m2 (0,1) + |λ|

(‖u‖L2(0,1) +

s∑

ν=1

|Aν0u|)≤ C(ε)

(‖f‖L2(0,1) +

s∑

ν=1

|gν |)

is valid, where Aν0 is defined by (20).

14If boundary-functional conditions (22)–(23) are principally local, i.e., or αν = 0, or βν = 0 for all ν =1, . . . ,m, then the condition a(0) = a(1) should be omitted.


References

[AgmN] Agmon, S. and Nirenberg, L., Properties of solutions of ordinary differential equations in Banach spaces,Comm. Pure Appl. Math., 16 (1963), 121–239.

[AgrV] Agranovich, M. S. and Vishik, M. I., Elliptic problems with a parameter and parabolic problems ofgeneral type, Uspekhi Mat. Nauk, 19, 3 (1964), 53–161 (Russian; English translation in Russian Math.Surveys, 19, 3 (1964), 53–159).

[KoYa] Kozhevnikov, A. and Yakubov, S., On operators generated by elliptic boundary problems with a spectralparameter in boundary conditions, Integr. Eguat. Oper. Th., 23 (1995), 205-231.

[LSQi] Lancaster, P., Shkalikov, A. A., and Qiang Ye, Strongly definitizable linear pencils in Hilbert space,Integr. Equat. Oper. Th., 17 (1993), 340–360.

[TiSa] Tikhonov, A. N. and Samarskii, A. A., “Equations of Mathematical Physics", Oxford, Pergamon Press,1963 (translated from Russian).

[Trie] Triebel, H., “Interpolation Theory. Function Spaces. Differential Operators", North-Holland,Amsterdam, 1978.

[YakS] Yakubov, S., A boundary value problem for elliptic differential-operator equations, Result. Math., 37(2000), 373-392.

[YYa1] Yakubov, S. and Yakubov, Ya., Abel basis of root functions of regular boundary value problems,Mathematischten Nachrichten, 197(1999), 157-187.

[YYa2] Yakubov, S. and Yakubov, Ya., “Differential-Operator Equations. Ordinary and Partial DifferentialEquations", Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, 2000.

[Yak1] Yakubov, Ya., Almost periodic solutions and oscillations decay for hyperbolic differential-operatorequations, Functional Differential Equations, 10 (2003), no.1-2, 315-330.

[Yak2] Yakubov, Ya., Hyperbolic differential-operator equations on a whole axis, Abstract and Applied Analysis(accepted).

Yakubov, S., Professor, Department of Mathematics, University of Haifa,Haifa 31905, Israel

Yakubov, Ya., Ph.D., Raymond and Beverly Sackler Faculty of Exact Sciences,School of Mathematical Sciences, Tel-Aviv University, Tel-Aviv 69978, Israel


Section 3

OPTIMIZATION, CONTROL, GAMES AND ECONOMIC BEHAVIOR

_

Section 3. Optimization, Control, Games and Economic Behavior 247

РИСК В ОДНОЙ ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНОЙ ЗАДАЧЕ

А. А. Горелова, В. И. ЖуковскийРосЗИТЛП


Для линейно-квадратичной задачи с ограниченной скалярной неопределенностьюнайден явный вид гарантированного по исходу и риску решения.The obvious kind guaranteed on outcome and risk decision was found for the linear-guadratic problem with the restricted scalar uncertainty.

1. Постановка задачи

Рассматривается вопрос формирования гарантированного решения в однокритериаль-ной задаче при неопределенности

〈X,Y, f(x, y)〉, (1)

где ЛПР (лицо, принимающее решение) за счет выбора подходящей альтернативыx ∈ X ⊆ Rn стремится достичь возможно большего исхода - значения критерия f(x, y).При этом ЛПР вынужден учитывать реализацию любой скалярной неопределенностиy ∈ [y1, y2] = Y ⊂ R1.

При формализации гарантированного решения задачи (??) будем основываться на сле-дующих двух положениях.

Во-первых, ЛПР стремится уменьшить риск - значение функции риска (сожаления)

Φ(x, y) = maxz∈X

f(z, y) − f(x, y). (2)

Заметим, что функция риска введена Сэвиджем в предложенном им в 1951 году принци-пе минимаксного сожаления [?] и численно оценивает сожаление ЛПР о том, что при дан-ной неопределенности y ∈ Y ЛПР выбрал альтернативу x ∈ X, а не x0 = arg max

x∈Xf(x, y).

Во-вторых,ЛПР одновременно стремится максимально возможно увеличить исход - зна-чение f(x, y).

Стремление ЛПР одновременного уменьшения риска и увеличения исхода отвечает ши-роко пропагандируемому в финансовой математике требованию (например, в [?],c.21) оп-тимального сочетания значения критерия и величины риска.

Определение 1. Тройку (x∗, f ∗, Φ∗) назовем Р-гарантированным по исходу и рискурешением (ГИР) задачи (??), если существует неопределенность y∗ ∈ Y такая, что

(1) выполнены равенства f ∗ = f(x∗, y∗), Φ∗ = Φ(x∗, y∗);(2) при любых x ∈ X несовместны неравенства

f(x∗, y∗) ≤ f(x, y∗), Φ(x∗, y∗) ≥ Φ(x, y∗), (3)

из которых, по крайней мере, одно строгое;(3) несовместна система неравенств

f(x∗, y∗) ≥ f(x∗, y), Φ(x∗, y∗) ≤ Φ(x∗, y)∀y ∈ Y, (4)

причем хотя бы одно из них строгое.Замечание 1. Несовместность системы неравенств (??) означает, что альтернатива

x∗ ∈ X максимальна по Парето (эффективна) ([?], с.33) в двухкритериальной задаче〈X, f(x, y∗),−Φ(x, y∗)〉, которую получаем из (??) при фиксированном y = y∗, а несовмест-ность (??) - минимальность по Парето неопределенности y∗ ∈ Y в 〈Y, f(x∗, y),−Φ(x∗, y)〉,которую получаем из (??) при x = x∗. Одновременное выполнение требований (2) и (3)определяет седловую точку по Парето ([?], с.175).

248 Section 3. Optimization, Control, Games and Economic Behavior

Замечание 2. Используя альтернативу x∗ ∈ X, ЛПР "обеспечивает себе"исход f(x∗, y),не меньший f ∗, и одновременно риск не больший Φ∗, при реализации любой неопределен-ности y ∈ Y - в этом "гарантирующий смысл"предлагаемого определением 1 решениязадачи (??). Несовместность неравенств (??) отвечает стремлению ЛПР к наибольшемуисходу и одновременно к наименьшему риску.

2. Явный вид гарантированного решения

Рассматриваем частный случай задачи (??), в которой критерий

f(x, y) = x′Ax + 2yb′x + Cy2 + 2a′x + 2cy + d. (5)

Здесь предполагается, что априори заданы симметричная постоянная n×n-матрица A,постоянные n-вектора a, b и скаляры C, c, d; штрих сверху означает операцию транспони-рования; альтернативы x ∈ Rn и неопределенности y ∈ Y = [y1, y2] (считаем y1 < y2); далеедля матрицы A < 0 означает, что квадратичная форма x′Ax определенно отрицательная.

Введем функциюΨ(x, y) = αf(x, y) − (1 − α)Φ(x, y), (6)

где f(x, y) - входящий в (??) критерий, а Φ(x, y) имеет вид (??).Лемма 1. Если для задачи (??) существуют α = const ∈ (0, 1) и пара (x∗, y∗) ∈ X × Y

такие, чтоmaxx∈X

Ψ(x, y∗) = Ψ(x∗, y∗) = miny∈Y

Ψ(x∗, y), (7)

то пара (x∗, y∗) является седловой точкой по Парето задачи (??), то есть для нее выпол-нены требования (2) и (3) определения 1.

Замечание 3. С учетом (??) функция Ψ(x, y) примет вид

Ψ(x, y) = f(x, y) − (1 − α) maxz∈X

f(z, y). (8)

Замечание 4. Согласно определению 1, построение гарантированного по исходу и рис-ку решения (x∗, f ∗, Φ∗) задачи (??) сводится к нахождению седловой точки по Парето(x∗, y∗) с последующим нахождением f ∗ = f(x∗, y∗), Φ∗ = Φ(x∗, y∗). В силу леммы 1 дляэтого достаточно найти седловую точку (x∗, y∗) (определенную в (??)) скалярной функцииΨ(x, y) из (??). Ниже для задачи (??), (??) построим явный вид функции Ψ(x, y) и затемпару(x∗, y∗) ∈ Rn × [y1, y2], удовлетворяющую цепочке равенств (??).

Лемма 2. Если A < 0, то в задаче (??), (??)

maxz∈Rn

f(z, y) = (C − b′A−1b)y2 + 2(c − a′A−1b)y + d − a′A−1a. (9)

Действительно, из A < 0 и (??) следует, что функция x(y), удовлетворяющаяmaxz∈Rn

f(z, y) = f(x(y), y) ∀y ∈ [y1, y2], имеет вид x(y) = −A−1(by + a). Подставляя x = x(y)

в (??) получаем (??).Лемма 3. Если A < 0, то для функции Ψ(x, y), определенной в (??), будет

Ψ(x, y) = x′Ax + 2yb′x + 2a′x + [αC + (1 − α)b′A−1b]y2 +

+[αc + (1 − α)a′A−1b]y + αd + (1 − α)a′A−1a (10)

В самом деле, формулу (??) получаем из (??) с учетом (??) и (??).Лемма 4. Если A < 0, то левое равенство из (??), именно max

x∈RnΨ(x, y∗) = Ψ(x∗, y∗),

имеет место приx∗ = −A−1(by∗ + a). (11)

Действительно, левое равенство из (??) выполнено, если A < 0 и(∂Ψ(x,y)

∂x

)(x∗,y∗)

= 2Ax∗ + 2by∗ + 2a = 0n, 0n - нулевой n-вектор. Отсюда получаем (??).


Замечание 5. Аналогично лемме 4 при A < 0 получаем maxx

Ψ(x, y) = Ψ(x(y), y)

∀y ∈ [y1, y2], при

x(y) = −A−1(by + a). (12)

Тогда правое равенство в (??), именноΨ(x∗, y∗) = min

y∈[y1,y2]Ψ(x∗, y),

достигается на y∗ ∈ [y1, y2], если Ψ(x∗, y) = αϕ(y), где

ϕ(y) = (C − b′A−1b)y2 + 2(c − a′A−1b)y + d − a′A−1a. (13)

В самом деле, формулу (??) получаем, подставляя x = x(y) из (??) в (??). Далее, сучетом α ∈ (0, 1), найдем y∗ из условия

miny∈[y1,y2]

ϕ(y) = ϕ(y∗). (14)

При этом выделим три возможных случая: C−b′A−1b < 0, C−b′A−1b = 0, C−b′A−1b > 0.Утверждение 1. Пусть в задаче (??), (??)

A < 0, C < b′A−1b. (15)

Тогда

(1) при y1 + y2 ≤ 2 c−a′A−1bb′A−1b−C

ГИР имеет вид

(x∗, f ∗, Φ∗) = (−A−1(by1 + a), (C − b′A−1b)y21 + 2(c − a′A−1b)y1 + d − a′A−1a, 0); (16)

(2) при y1 + y2 > 2 c−a′A−1bb′A−1b−C

ГИР имеет вид

(x∗, f ∗, Φ∗) = (−A−1(by2 + a), (C − b′A−1b)y22 + 2(c − a′A−1b)y2 + d − a′A−1a, 0). (17)

Доказательство. При C < b′A−1b функция ϕ(y) из (??) строго вогнута по y на [y1, y2].Поэтому

miny∈[y1,y2]

ϕ(y) = minϕ(y1), ϕ(y2). (18)

Построим

ϕ(y2) − ϕ(y1) = (y2 − y1)[(C − b′A−1b)(y2 + y1) + 2(c − a′A−1b)]. (19)

Тогда для y1 + y2 ≤ 2 c−a′A−1bb′A−1b−C

будет ϕ(y2) ≥ ϕ(y1) и поэтому минимум в (??) достигаетсяпри y = y1. Отсюда ГИР имеет вид (x∗, f(x∗, y1), Φ(x∗, y1)), где x∗ = −A−1(by1 + a).

Аналогично из (??) при y1 + y2 > 2 c−a′A−1bb′A−1b−C

получаем ϕ(y2) < ϕ(y1) и тогда ГИР будет(x∗, f(x∗, y2), Φ(x∗, y2)), где x∗ = −A−1(by2 + a).

Утверждение 2. Пусть в задаче (??), (??)

A < 0, C = b′A−1b. (20)

Тогда(1) при c − a′A−1b ≥ 0 ГИР имеет вид (??),(2) при c − a′A−1b < 0 ГИР имеет вид (??).

Доказательство. При C = b′A−1b функция ϕ(y) из (??) будет линейной. Она не убыва-ет на [y1, y2], если c−a′A−1b ≥ 0, поэтому min

y∈[y1,y2]ϕ(y) = ϕ(y1). При c−a′A−1b < 0 функция

ϕ(y) убывает на [y1, y2], отсюда miny∈[y1,y2]

ϕ(y) = ϕ(y2). Отсюда следует справедливость утвер-

ждения 2.Утверждение 3. Пусть в задаче (??), (??)

A < 0, C > b′A−1b. (21)

Тогда


(1) при y < y1 ГИР имеет вид (??),(2) при y > y2 ГИР имеет вид (??),(3) при y ∈ [y1, y2] ГИР будет

(x∗, f ∗, Φ∗) = (−A−1(by + a),−(c − a′A−1b)2

C − b′A−1b+ d − a′A−1a, 0), (22)

где

y =a′A−1b − c

C − b′A−1b. (23)

Доказательство. При C > b′A−1b функция ϕ(y) из (??) будет строго выпуклой поy ∈ R1. Точка минимума y такая, что ϕ(y) = min

y∈R1ϕ(y), приведена в (??). Далее выделяются

три случая: y < y1, y > y2 и y ∈ [y1, y2]. В последнем случае f ∗ = f(x∗, y),где x∗ = −A−1(by + a). Тогда справедливость утверждения 3 становится очевидной.


[1] Savage L.Y. The theory of statistical decision. J. Amer. statistic Assotiation. 1951. N 46. P. 55-67.[2] Уткин Э.А. Риск-менеджмент. М., ЭКМОС, 1998.[3] Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М., Наука,

1982.[4] Zhukovskiy V.I., Salukvadze M. E. The Vector-Valued Maximin. N.Y., Academic Press, 1994.

Горелова А. А., нет, РосЗИТЛП, Москва, Россия



ГАРАНТИРОВАННЫЙ РИСКВ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ

Л. В. Жуковская Л.В.Москва, Институт проблем управления РАН

В работе предложен новый подход к принятию решений в многокритериальных за-дачах при неопределенности (МЗН) с учетом риска, когда качество функционированияуправляемой системы оценивается набором критериев и когда о неопределенных факто-рах известны лишь границы изменений, а какие-либо статистические характеристикиотсутствуют. Предложена процедура формализации гарантированного решения и уста-новлено его существование при обычных (в математической теории игр) ограничениях.

Введение

Процесс принятия групповых и индивидуальных решений с учетом человеческого фак-тора и неопределенностей в настоящее время до конца не формализован. Особую труд-ность здесь вызывают случаи, когда заданы только границы изменений неопределенностей(названных поэтому в [1, c.21] "дурными неопределенностями"), а также, когда качествопринимаемых ЛПР (лицом, принимающим решения) решений оценивается набором крите-риев. В результате приходим к актуальному вопросу теории исследования операций - при-нятию решений в многокритериальной задаче при неопределенностях (МЗН). Причем онеопределенности известны лишь границы изменения, а какие-либо вероятностные харак-теристики либо отсутствуют, либо невозможно получить по тем или иным причинам. Этизадачи решались в [2, 3, 4] с помощью векторного аналога седловой точки или векторногоаналога максимина. Однако такой подход рассчитан на "катастрофу", т.е. на реализацию"самой неблагоприятной"(для ЛПР) неопределенности и поэтому зачастую приводит к"заниженным"гарантиям. Кроме того, "неблагоприятные неопределенности"реализуютсявесьма редко и вследствии этого такой подход крайне писсемистичен. Другой подход (на-зываемый в настоящее время ”принципом минимаксного сожаления”), но только для од-нокритериальных задач предложил Л.Сэвидж [5]. Здесь уже ЛПР ориентируется на "са-мую благоприятную"для него неопределенность. Именно этот подход и модифицированв настоящей работе для МЗН и именно этот подход позволяет оценить риск ЛПР привыборе того или иного решения.

1. Постановка задачи

Математическую модель принятия решений при неопределенности в многокритериаль-ных задачах (МЗН) образует упорядоченный набор

〈X,Y, f(x, y)〉. (1)

В (1) ЛПР выбирает альтернативу x ∈ X ⊂ Rn (Rn–n–мерное евклидово простран-ство).При выборе конкретной альтернативы x ∈ X ЛПР сталкивается с появлениемнеопределенностей y ∈ Y ⊂ Rm. Допустимые неопределенности в (1) отождествля-ются с m–вектором y, а множество возможных значений y обозначено через Y . ЛПРпри выборе альтернативы x ∈ X ориентируется на возможность реализации любойнеопределенности y ∈ Y , т.е. ЛПР известно лишь множество Y , а какие-либо вероят-ностные характеристики распределения y отсутствуют. На прямом произведении X × Yопределены критерии fi(x, y)(i ∈ N = 1, ..., N). Они образуют векторный критерийf(x, y) = (f1(x, y), ..., fN (x, y)), численное значение которого (векторный исход) оценива-ет качество выбираемой ЛПР альтернативы x ∈ X. Для определенности считаем, чтоЛПР стремится возможно увеличить одновременно все компоненты fi(x, y) векторногокритерия f(x, y). Заметим, если цель ЛПР–уменьшить fj(x, y), то следует в f(x, y) вместо


компоненты fj(x, y) использовать −fj(x, y). Используя (1), ЛПР строит функцию риска(сожаления) по i-му критерию

Φi(x, y) = maxz∈X

fi(z, y) − fi(x, y) (i ∈ N). (2)

Значение функции риска (риск) по i-му критерию численно оценивает сожаление ЛПР отом, что при реализации неопределенности y ∈ Y он использует альтернативу x ∈ X, ане ту x(i) = arg max

x∈Xfi(x, y), при которой исход fi(x, y) был бы самым большим. Заметим,

если функции fi(x, y) непрерывны на X×Y и множества X и Y суть компакты, то [6, c.54]функции Φi(x, y) (i ∈ N) из (2) также непрерывны на X × Y . Естественно, что ЛПРстремится возможно уменьшить все риски Φi(x, y) (i ∈ N) за счет выбора альтернативыx ∈ X, а из (2) следует, что Φi(x, y) ≥ 0 (i ∈ N), и поэтому наименьший из возможныхрисков по i-му критерию является нулевым.

Теперь (1) ставим в соответствие МЗН

〈X,Y, Φ(x, y)〉, (3)

где X и Y те же, что в задаче (1), а компоненты Φi(x, y)(i ∈ N) векторной функции рискаΦ(x, y) = (Φ1(x, y), ..., ΦN (x, y)) определены в (2).

Определение 1. Пару (x∗, Φ∗) ∈ X ×RN назовем гарантированным по риску реше-нием задачи (1), если существует неопределенность y∗ ∈ Y такая, что

1) выполнены равенстваΦ∗

i = Φi(x∗, y∗) (i ∈ N),

2) несовместна система неравенств

Φi(x, y∗) ≤ Φi(x∗, y∗) ∀x ∈ X (i ∈ N), (4)

из которых хотя бы одно строгое;3) несовместна система неравенств

Φi(x∗, y∗) ≤ Φi(x

∗, y) ∀y ∈ Y (i ∈ N), (5)

из которых, по крайней мере, одно строгое.Замечание 1. Несовместность неравенств (4) определяет минимальную по Парето

альтернативу x∗ ∈ X в N–критериальной задаче (3), где фиксирована неопределенностьy = y∗. Наличие x∗ из (4) означает, что ЛПР стремится возможно уменьшить векторныйриск Φ(x, y∗) (в "многокритериальном смысле"). Аналогично существование неопределен-ности y∗ ∈ Y , при которой несовместна система (5), означает, что y∗ - максимальна поПарето в задаче (3), где уже фиксирована альтернатива x∗.

Ориентирование ЛПР в определении 1 на максимальную по Парето неопределенностьсоответствует принципу гарантированного результата [7], по которому при формированиирешения ЛПР расчитывает на реализацию "самой плохой для него"неопределенности.Если выполнены одновременно требования несовместности систем (4) и (5), то пару (x∗, y∗)называют [2, с.175] седловой точкой по Парето задачи (3).

Из определения 1 получаем, что построение гарантированного по риску решения задачи(1) сводится в конечном счете к нахождению седловой точки по Парето (x∗, y∗) задачи (3)с последующим определением N–вектора

Φ(x∗, y∗) = (Φ1(x∗, y∗), ..., ΦN (x∗, y∗)).

Замечание 2. Если ЛПР использует альтернативу x∗ ∈ X, введеную определением 1,то он "обеспечивает"себе при реализации любой неопределенности y ∈ Y векторный рискΦ(x∗, y) не больший Φ∗ одновременно по всем компонентам. Поэтому естественно называтьN– вектор Φ∗ = Φ(x∗, y∗) гарантированным риском задачи (1).


2. Достаточные условия

Введем множество N положительных чисел

ℑ = α = (α1, ..., αN )|αi = const > 0 (i = N); (6)

далее штрих сверху означает операцию транспонирования.Лемма. Если существует два N -вектора α, β ∈ ℑ

такие, чтоminx∈X

α′Φ(x, y∗) = α′Φ(x∗, y∗), (7)

maxy∈Y

β′Φ(x∗, y) = β′Φ(x∗, y∗),

то пара (x∗, y∗) является седловой точкой по Парето задачи (3).Замечание 3. Равенства (7) эквивалентны

maxx∈X

[−α′Φ(x, y∗)] = −α′Φ(x∗, y∗), (8)

maxy∈Y

β′Φ(x∗, y) = β′Φ(x∗, y∗).

В свою очередь выполнение (8) означает, что(x∗, y∗) ∈ X × Y является ситуацией равно-весия по Нэшу в бескоалиционной игре двух лиц

〈1, 2, X,Y , −α′Φ(x, y), β′Φ(x, y)〉. (9)

В (9) участвуют два игрока: 1-ый и 2-ой; первый (второй) за счет выбора своей стратегииx ∈ X (соответственно, y ∈ Y ) стремится достичь возможно большего выигрыша–значениясвоей функции выигрыша −α′Φ(x, y) (соответственно, β′Φ(x, y)). Поэтому построение сед-ловой точки по Парето ( и, в конечном счете, нахождение гарантированного решения(x∗, Φ∗)задачи (1)) сводится к нахождению ситуации равновесия по Нэшу игры (9) прихотя бы одной паре постоянных N -векторов (α, β) ∈ ℑ × ℑ. Этот факт лежит в основеследующего раздела настоящей работы. В нем устанавливается существование введенноговыше гарантированного по риску решения при обычных (в математической теории игр)ограничениях.

Замечание 4. Приведенная лемма позволяет предложить метод построения гаранти-рованного по риску решения. Он сводится к следующим четырем этапам:

1 этап: найти maxx∈X

fi(x, y) и с помощью этих функций построить функции риска

Φi(x, y) = maxx∈X

fi(x, y) − fi(x, y) (i ∈ N);

2 этап: составить две функции

Fα(x, y) =∑

i∈N

αiΦi(x, y),

Fβ(x, y) =∑

i∈N

βiΦi(x, y);

для каких-либо двух наборов положительных чисел α = (α1, ..., αN ) и β == (β1, ..., βN ); заметим, что, не уменьшая общности, можно эти числа ограничить условием

∑

i∈N

αi = 1,∑

i∈N

βi = 1;

3 этап: найти две пары (α, β) и (x∗, y∗) такие, что

minx∈X

Fα(x, y∗) = Fα(x∗, y∗),

maxy∈Y

Fβ(x∗, y) = Fβ(x∗, y∗);


если в этих условиях положить αi = βi (i ∈ N), то данные равенства превращаются в

minX∈X

Fα(x, y∗) = Fα(x∗, y∗) = maxy∈Y

Fα(x∗, y),

это означает, что (x∗, y∗) ∈ X × Y является седловой точкой функции Fα(x, y);4 этап: найти N -вектор Φ(x∗, y∗) = (Φ1(x

∗, y∗), ..., ΦN (x∗, y∗)).Тогда гарантированным по риску решением задачи (1) будет (x∗, Φ(x∗, y∗)).

3. Существование

Как было отмечено в замечании 3, построение гарантированного по риску решениязадачи (1) сводится к нахождению ситуации равновесия по Нэшу (x∗, y∗) бескоалиционнойигры двух лиц (9) с последующим вычислением N -вектора Φ∗ = Φ(x∗, y∗). Поэтому фактсуществования гарантированного по риску решения будет следовать из существованияситуации равновесия по Нэшу в игре (9). Здесь будем следовать подходу, принятому вматематической теории игр. Именно, задаче (1) поставим в соответствие ее следующееквазирасширение

〈X, ν, f(x, ν)〉. (10)

Здесь так же как в задаче (1) ЛПР выбирает альтернативу x ∈ X ⊂ Rn. Отличие от(1) в том, что множество Y неопределенностей y расширено до смешанных ν, имен-но, неопределенности отождествляются с вероятностными мерами ν(·), определеннымина компакте Y (естественно предполагается компактность Y ⊂ Rm), множество сме-шанных неопределенностей ν(·) в (10) обозначено через ν. В (10) векторный критерийf(x, ν) = (f1(x, ν), ..., fN(x, ν)), где

fi(x, ν) =

∫

Y

fi(x, y)ν(dy) (i ∈ N), (11)

при этом предполагается непрерывность fi(x, y) (i ∈ N) на X × Y . Аналогично разделу 2вводится квазисмешанная функция риска по i-му критерию

Φi(x, ν) = maxz∈X

fi(z, ν) − fi(x, ν) (i ∈ N), (12)

вспомогательная N -критериальная задача

〈X, ν, Φ(x, ν)〉,где Φ = (Φ1, ..., ΦN ), бескоалиционная игра 2-х лиц при хотя бы одной паре (α, β) ∈ ℑ2

〈1, 2, X, ν, −α′Φ(x, ν), β′Φ(x, ν)〉, (13)

в отличии от (9), второй игрок выбором своей смешанной стратегии ν(·) ∈∈ ν стремитсядостичь возможно большего значения своей функции выигрыша β′Φ(x, ν). Аналогичноопределению 1 введем

Определение 2. Пару (x∗, Φ∗) ∈ X×RN назовем квазисмешанным гарантированнымпо риску решением задачи (1), если существует смешанная неопределенность ν∗(·) ∈ νтакая, что

1) выполнены равенства Φ∗ = Φ(x∗, ν∗) (i ∈ N),2) при любых альтернативах x ∈ X несовместна система неравенств

Φi(x, ν∗) ≤ Φi(x∗, ν∗) (i ∈ N),

из которых, по крайней мере, одно строгое;3) для всех неопределенностей y ∈ Y несовместна система неравенств

Φi(x∗, y) ≥ Φi(x

∗, ν∗) (i ∈ N),

среди которых хотя бы одно строгое.Теорема. Пусть в задаче (1)

10) множества Y –компакт в Rm и X–выпуклый компакт в Rn,


20) каждый критерий fi(x, y) (i ∈ N) непрерывен на X × Y и fi(x, y) вогнута по x ∈ Xпри каждом y ∈ Y .

Тогда существует гарантированное по риску квазисмешанное решение задачи (1).Доказательство. Здесь, в первую очередь, отметим, что из вогнутости по x при каж-

дом y ∈ Y критерия fi(x, y) следует [8, c.120] вогнутость fi(x, ν) из (11) по x при каждойсмешанной неопределенности ν(·) ∈ ν, а, согласно вида функции риска Φi(x, ν) из (12),тогда функция Φi(x, y) (i ∈ N) будет выпуклой по x, т.к. −fi(x, ν) в этом случае выпуклапо x. Наконец, линейная свертка выпуклых функций с положительными коэффициента-ми выпукла [8, c.118], поэтому при любом α ∈ ℑ линейная свертка −α′Φ(x, ν) вогнута поальтернативе x ∈ X при каждой смешанной неопределенности ν(·) ∈ ν.

Далее аналогично приведенной выше Лемме и замечанию 3 устанавливается справед-ливость утверждения: если существуют две пары (α, β) ∈ ℑ2 и (x∗, ν∗(·)) ∈ X ×ν такие,что

maxx∈X

[−α′Φ(x, ν∗)] = −α′Φ(x∗, ν∗), (14)

maxν(·)∈ν

β′Φ(x∗, ν) = β′Φ(x∗, ν∗), (15)

то пара (x∗, ν∗(·)) удовлетворяет требованиям определения 2 и поэтому квазисмешанноегарантированное по риску решение задачи (1) имеет вид

(x∗, Φ(x∗, ν∗)).

Действительно, из (15) следует несовместность системы неравенств

Φi(x∗, ν) ≥ Φi(x

∗, ν∗) ∀ν(·) ∈ ∈ (i ∈ N), (16)

из которых, по крайней мере, одно строгое. В множество ν входит мера Диракаδ(y − y∗)(dy), для которой Φi(x, δ(y − y∗)) = Φi(x, y∗) (i ∈ N) при всех y∗ ∈ Y . Поэтому изнесовместности (16) будет следовать несовместность системы неравенств из требования 3)определения 2.Равенства (14) и (15) означают, что пара (x∗, ν∗(·)) ∈ X × ν является ситуацией равно-весия по Нэшу в бескоалиционной игре двух лиц

〈1, 2, X, ν, −α′Φ(x, ν), β′Φ(x, ν)〉. (17)

В (17) игрок 1 за счет выбора своей стратегии x ∈ X (альтернативы в (1)) стремитсявозможно увеличить значение своей функции выигрыша −α′Φ(x, ν), а игрок 2 выборомсмешанной стратегии ν(·) ∈ ν (смешанная неопределенность для задачи (1)) стремитсядостичь максимально возможного значения своей функции выигрыша β′Φ(x, ν). Причем,как показано выше, при любом α ∈ ℑ функция −α′Φ(x, ν) вогнута по x при каждомν(·) ∈ ν, а само множество X–выпуклый компакт (требование 1) Теоремы). Кроме того,обе функции −α′Φ(x, y) и β′Φ(x, y) непрерывны на декартовом произведении компактовX × Y . Тогда бескоалиционная игра (17) будет вогнутой для игрока 1 [9, c.121]. Отсюда ииз [9, c.123] следует, что в игре (17) существует ситуация равновесия по Нэшу (x∗, ν∗(·)) ∈X × ν, определяемая равенствами (14), (15). Итак, при любой паре α, β) ∈ ℑ2 игра(17) имеет ситуацию равновесия (x∗, ν∗(·)), которая (по приведенному выше утверждению)определяет квазисмешанное гарантированное по риску решение (x∗, Φ(x∗, ν∗)) задачи (1).


[1]Венцель Е.С. Исследование операций.–М.: Знание, 1976.[2]Zhukovskiy V.I., Salukvadze M.E. The Vector–Valued Maximin.–N.Y. etc.: Academic

Press, 1994.[3]Tanaka T. Generalized qvasiconvexities cone saddle point and minimax theorem for vector–

valued functions // J. Optimiz. Theory and Appl.- 1994.- 81, 2.- P.355-377.[4]Ferro F. Minimax theorem for vector–valued functions // J. Optimiz. Theory and Appl.-

1991.- 68, 1.- P. 35-48.


[5]Savage L.U. The theory of statistical decision // J. American Statistic Assotiation.- 1951.- 46.- P.55-67.

[6]Морозов В.В., Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций в задачах иупражнениях.- М.: Высшая школа, 1986.

[7]Wald A. Statistical Decision Function.- N.Y.: J. Wiley and Son, 1950.[8]Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов–кибернетиков.- М.: Наука, 1985.[9]Воробьев Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры.- М.: Наука, 1984.

Л.В.Жуковская, Институт проблем управления РАН, Россия, Москва117806, ул. Профсоюзная, 65.


Section 4

COMPUTER SCIENCES

_

Section 4. Computer Sciences 259

ПРИНЦИП СОГЛАСОВАННОСТИ ДЛЯ КОНКРЕТИЗАЦИИАПРИОРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К

ЗАДАЧЕ ДОВЕРИТЕЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ15

С. И. ГуровМГУ им. М.В.Ломоносова, ф-т ВМиК,


Предлагается новый метод конкретизации априорного распределения в рамкахбейесовского подхода к статистическим задачам. Метод базируется на принци-пе, определяющим согласованно со статистической моделью класс возможныхаприорных распределений и выбор конкретного распределения из данного класса.Полученное апостериорное распределение используется в задаче бейесовского до-верительного оценивания случайной величины, распределенной по биномиальномузакону. Библ. 9.

Ключевые слова: математическая статистика, оценивание параметров, точечные и интер-вальные оценки, бейесовский подход, априорное распределение.

1. Введение. Сущность принципа согласованности

Основная трудность применения бейесовского подхода для получения выводов на ос-нове статистического эксперимента состоит в необходимости конкретизации априорногораспределения.

При наличии у исследователя результатов аналогичных экспериментов, проводимых ра-нее, возможно использование того или иного метода восстановления априорного распреде-ления в рамках эмпирического бейесовского подхода. При отсутствии указанных данныхтакой возможности нет. В этих случаях обычно прибегают к постулату Бейеса, которыйустанавливает, что если ничего не известно о параметре θ, и он изменяется на конечноминтервале, то в качестве априорного распределения принимают равномерное. В 1948 г.Г. Джеффрейс расширил постулат Бейеса, предложив т.н. неинформативное априорноераспределение для случая, когда параметр θ изменяется на полубесконечном интервале[?], [?].

В данной работе предлагается новый принцип конкретизации априорного распределе-ния неизвестной величины θ, определяющей распределение Pθ(ξ) случайной величины ξ,значения которой наблюдаются в статистическом эксперименте. Он состоит в указании(1) некоторого естественного для данной задачи класса G возможных априорных распре-делений, параметризованного конечномерным параметром λ и (2) метода нахождения λ.

Данный принцип мы будем называть принципом согласованности, поскольку он пола-гает, с одной стороны, однотипность априорных плотностей и функции правдоподобияпараметра θ, и с другой — равенство его частотной (классической) и бейесовской точеч-ных оценок. Требование согласованности двух указанных видов представляется вполнеестественным. Заметим, что приравнивание частотной и бейесовской оценок применяетсяв математической статистике при рассмотрении минимаксных точечных оценок и нахож-дения т.н. соответствующего наименее благоприятного априорного распределения.

Полученное на основе указанного принципа априорное распределение определяет апо-стериорное, которое и используется для получения статистических решений, в частностидля доверительного оценивания.

Впервые без обоснования предлагаемый метод построения доверительных интерваловбыл предложен в [?] и [?].

15Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 04-01-00161)

260 Section 4. Computer Sciences

2. Точечное и интервальное оценивание параметров распределенийслучайных величин

Данный раздел носит вспомогательно-справочный характер.Рассмотрим параметризованную статистическую структуру

(X n, B(X n), Pn

)модели

простого выбора, связанную с наблюдением над случайным элементом ξ, принимающимзначения в X . Здесь P = Pθ(ξ), θ ∈ Θ — параметрическое семейство распределений на(X , B(X )), X n — множество всевозможных значений статистических данных, полученныхв ходе выполнения n независимых повторений элементарного эксперимента со случайнойвеличиной ξ, B(X ) и B(X n) — σ-алгебры событий на X и X n соответственно. Θ — множе-ство изменения параметра θ. Мы будем рассматривать практически наиболее интересныеслучай, когда Θ ⊆ R и X ⊆ R. Будем также считать, что и Pθ(ξ), и все остальные рассмат-риваемые ниже распределения имеют плотности (дифференцируемы по соответствующейвероятностной мере); так обозначаем через pθ(ξ) плотность распределения Pθ(ξ).

В рамках частотного подхода найдем точечную оценку неизвестного истинного значе-ния θ∗. Известно, что при не очень жестких предположениях многими “хорошими” стати-стическими свойствами обладает оценка θL максимального правдоподобия (МП-оценка),определяемая как

θL = arg maxθ∈Θ

L(θ, x) = θL(x) ,

где Θ — замыкание множества Θ, а L(θ, x) = pθ(x) — функция правдоподобия параметраθ для данных x ∈ X n. В нашем случае x = (x1, . . . , xn) и

L(θ, x) =n∏

i=1

pθ(xi) .

Будем далее предполагать существование доверительной области для θ в виде интервалаJ(x, η, λ) = J(η) = (θ−(x, η); θ+(x, η)) ⊆ Θ, где η — коэффициент доверия. Указание навеличину η и функциональную зависимость границ интервала будем иногда опускать ииспользовать обозначение |J(η)| = (θ+ − θ−).

Пусть функция распределения использованной точечной МП-оценки θL есть F (t | θ).Для построения неймановских (наиболее селективных) доверительных интервалов ис-пользуется непрерывная функция распределения F (θL | θ) статистики θL, называемая ней-мановским доверительным распределением указанной статистики. В случае, когда Pθ —непрерывное распределение, границы θ−, θ+ неймановских интервалов JN(η) = (θ−; θ+) скоэффициентом доверия η = 2P − 1, (0, 5 6 P < 1) определяются как решения уравнений

F (θL | θ) =

P ,

1 − P .(1)

Известно, что при условии выполнения некоторых условий регулярности, которые име-ют место почти во всех интересных для практики случаях, вышеприведённые уравненияимеют единственные решения (функция F (θL, θ) строго монотонна).

Если Pθ — дискретное распределение, то при определении доверительных интерваловвозникают неопределенности, связанные с нестрогими неравенствами, появляющимися в(??) вместо равенств. Для снятия этих неопределенностей применяют рандомизацию [?],в результате чего доверительные интервалы укорачиваются и появляются два распре-деления, по одному из которых определяют верхнюю, а по другому нижнюю границуинтервала J(η).


В рамках бейесовского подхода предположим, что задан класс G = G(θ |λ), λ ∈ Λаприорных распределений G(θ |λ) величины θ, где λ — конечномерный параметр из неко-торой области Λ. Тогда апостериорное распределение H(θ |x, λ) параметра θ будет найде-но как

dH(θ |x, λ) ∝ L(θ, x) · dG(θ |λ) . (2)

Совокупность всевозможных апостериорных распределений данной задачи образует мно-жество H = H(θ |x, λ), x ∈ X n, λ ∈ Λ. Считаем функции из H строго вогнутыми по θ,что имеет место почти для всех практически важных случаев.

Бейесовской точечной оценкой θB величины θ∗ при наиболее часто используемой квад-ратичной функции потерь будет математическое ожидание µH = µH(x, λ) апостериорногораспределения H [?]. Таким образом,

θB = µH = θB(x, λ) . (3)

Апостериорное распределение может быть использовано нахождения доверительногоинтервала J(η) = J(x, η, λ). В случае, когда Pθ — непрерывное распределение, границыθ−, θ+ бейесовского интервала JB(η) определяют решением системы [?]:

H(θ+ |x, λ) − H(θ− |x, λ) = η ,

h(θ+ |x, λ) = h(θ− |x, λ) ,

где h(θ |x, λ) — непрерывная унимодальная плотность апостериорного распределения.Указанные выше условия обычно записывают компактнее: границы θ−, θ+ бейесовско-го интервала JB(η) определяются как решения уравнений (??), где в левой части стоитфункция апостериорного распределения H(θ |x, λ).

Если Pθ — дискретное распределение, то возникают те же неопределенности, что и вчастотном случае. Здесь также появляются два распределения, каждое для определенияверхней и нижней границ интервала JB(η). Если в качестве априорного принять равномер-ное (пропорциональное dθ) распределение, апостериорное распределение будет совпадатьс фидуциальным, а бейесовские интервалы — с неймановскими JN(η) и фишеровскимиJF (η) (интервальными оценками максимального правдоподобия [?]).

3. Принцип согласованности

Как указывалось выше, принцип согласованности включает в себя два момента. Первый(ПС1) связан с определением класса G = G(θ |λ), λ ∈ Λ. Согласно принципу согласо-ванности,

dG(θ |λ) ∝ L(θ, x) , x ∈ X n, n > 0, (ПС1)

т.е. класс G предлагается составлять из распределений, плотности которых пропорцио-нальны функциям правдоподобия параметра θ при всевозможных вариантах исходов про-извольного числа элементарных экспериментов, и, кроме того, все дискретные параметрыраспределений считаем непрерывными в условиях соответствующих ограничений. Пред-ставляется, что такой выбор априорных функций распределения θ адекватно отражаетспецифику решаемой задачи. Заданный указанным образом класс G будет совпадать смножеством всевозможных фидуциальных распределений θ. Ясно также, что при указан-ном выборе однозначно задается область Λ. Нетрудно видеть, что (ПС1) с (??) обеспечи-вает H = G (согласованность в смысле [?] семейств распределений ξ и θ).


Второй момент (ПС2) принципа согласованности указывает способ нахождения пара-метра λ, конкретизирующего априорное распределение для данной задачи в условиях на-блюденных результатов статистического эксперимента. Принцип согласованности опреде-ляет, что параметр λ находится как решение оптимизационной задачи

|J(x, η, λ)| → max , θL(x) = θB(x, λ) , λ ∈ Λ (ПС2)

при заданных x и η. В случае отсутствия решения, считаем, что в данных условиях прин-цип согласованности неприменим. Область Xc ⊆ X n в которой решение задачи (ПС2) су-ществует, назовём областью применимости принципа согласованности. При сделанныхпредположениях относительно свойств апостериорных распределений решение, очевидно,будет единственным.

Пусть x ∈ Xc и найдено решение λ задачи (ПС2). Оно определит плотности апри-орного g(θ | λ), и апостериорного h(θ |x, λ) распределений величины θ, обеспечивающиенаибольшую величину доверительной области при условия совпадения точечных оценок,полученных в рамках частотного и бейесовского подходов. Это позволяет утверждать,что в сделанных предположениях достоверность (значение коэффициента доверия) спра-ведливости включения θ∗ ∈ J(x, η, λ) будет не менее η при любых λ и x. Полученныедоверительные пределы θ−, θ+ и сам интервал Jc = J(x, η, λ) будем называть согласо-ванными. Ясно, что величина согласованного доверительного интервала будет не большесоответствующего классического бейесовского.

Против применения предлагаемого принципа могут быть выдвинуто возражение, свя-занное с тем, что часто оцениваемые параметры являются неизвестными, но фиксиро-ванными (неслучайными), и поэтому при их нахождении применимы лишь классическиечастотные методы. Однако, если придерживаться т.н. “субъективного” подхода в стати-стических задачах оценивания, (считать, что априорное распределение является меройнашего незнания), то применение бейесовского подхода является оправданным [?].

Отметим, что в некоторых случаях согласованные доверительные пределы совпадаютс полученными традиционно. Это имеет место, например, в классических задачах оце-нивания неизвестных параметров нормального распределения. Ниже рассмотрен пример,когда применение принципа согласованности приводит к сокращению доверительных ин-тервалов.

4. Согласованное доверительное оценивание параметра биномиальногораспределения

Рассмотрим применение предложенного подхода на примере задачи интервального оце-нивания неизвестной вероятности случайной величины, распределенной по биномиально-

му закону — с плотностью вероятности Bim(n, p) =

(n

m

)pm(1 − p)n−m.

Пусть величина ξ, принимающая значения 0 или 1, имеет распределение

Pξ = t | p∗ = Bit(1, p∗) = (p∗)t (1 − p∗)1−t; p∗ ∈ (0, 1) , t ∈ 0, 1 ,

где p∗ — неизвестная, но фиксированная величина, для которой требуется построить ин-тервальную оценку. Как обычно, мы интерпретируем 1 и 0 соответственно как появлениеили отсутствие некоторого случайного события X в данном эксперименте. Пусть в резуль-тате проведения n таких элементарных экспериментов получена выборка x = (x1, . . . , xn).В рассматриваемом случае

X = 0, 1, B(X n) — булева алгебра n-мерных двоичных наборов,

θ = p∗ = p, Θ = (0, 1) ⊂ R .


Обозначим x =1

n

n∑

i=1

xi. Функция распределения новой случайной величины x есть

Px 6 m/n |n, p =m∑

i=0

(n

i

)pi(1 − p)n−i = I1−p(n − m, m + 1) = 1 − Ip(m + 1, n − m) ;

0 6 m 6 n , n = 1, 2, . . . .

где Ip(a, b) — неполная B-функция, которая определена для положительных параметровa и b. Заметим, что в нашем случае функция распределения x является непрерывной истрого монотонно убывающей по p (n и m фиксированы, 0 6 m < n).

Пусть при проведении n элементарных испытаний событие X наблюдалось m раз. Тогдафункция правдоподобия L(p, x) величины ξ есть

L(p, x) = pm(1 − p)n−m ,

а МП-оценкой величины p будет являться наблюдённое значение величины x

pL = x =m

n.

Известно, что эта оценка является несмещённой, эффективной и состоятельной, а несме-щённая функция оценки DpL ее дисперсии есть

DpL =m (n − m)

n2 (n − 1). (4)

Поскольку распределение ξ дискретно, в рамках классического частотного подхода ней-мановские интервалы (p−, p+) с коэффициентом доверия η накрывающие значение p опре-деляются [?] как решения следующих уравнений:

Ip+(m, n − m + 1) = 1 − P ,

Ip−(m + 1, n − m) = P ,(5)

где P = (η + 1)/2 .Если рамках бейесовского подхода в качестве априорного распределения использо-

вать равномерное распределение Bep(1, 1), то апостериорной плотностью будет являтьсяBep(m + 1, n − m + 1). В этом случае интервальные бейесовские оценки будут совпадать[?] с неймановскими (и фишеровскими) и также определяться решениями уравнений (??).

В соответствии с (ПС1) класс G = G(θ |λ), λ ∈ Λ есть множество Ip(a, b) | a, b ∈ Λ,где Λ : a > 1, b > 1 и λ = (a, b) ∈ R2. Таким образом, плотность некоторого данногоаприорного распределения p представляет собой B-распределение

g(p | a, b) = Bep(a, b) =Γ(a + b)

Γ(a)Γ(b)pa−1(1 − p)b−1 ; p ∈ (0, 1) a > 1, b > 1 , (6)

математическое ожидание которого есть

µG =a

a + b.

Напомним, что в общем случае B-распределение определено для a > 0, b > 0.С учётом (??) плотность вероятности апостериорного распределения будет

h(p |x, a, b) = Bep(m + a, n − m + b) , (7)

и бейесовская точечная оценка pB параметра p в соответствии с (??) есть

pB = µH =m + a

n + a + b.


По плотности апостериорного распределения (??) найдем согласованный доверительныйинтервал Jc(η) = (p−; p+) с коэффициентом доверия η = (P + 1)/2, 0, 5 6 P < 1: егограницы суть решения уравнений

Ip+(m + a − 1, n − m + b) = 1 − P ,

Ip−(m + a, n − m + b − 1) = P .(8)

Таким образом, задача оптимизации (ПС2) записывается в виде

(p+ − p−) → max ,m

n=

m + a

n + a + b= p , 1 6 a, 1 6 b , (9)

где p+ и p− — решения уравнений (??).Первое ограничение (равенство частотной и бейесовской оценок) определяет область

применимости принципа согласованности: Xc в данной задаче есть 1 6 m 6 n − 1. Со-ответственно, далее мы исключаем из рассмотрения полное и 0-события. Заметим, что впрактике доверительного оценивания эти случаи принято рассматривать отдельно [?].

Нетрудно видеть, что условие (p+ − p−) → max равносильно t → min, где t — такоеминимальное натуральное, что t-я производная от h(p |x, a, b) в точке p = 0 или p = 1 неравна 0. Отсюда получаем, что решение оптимизационной задачи (??) есть

a = 1 , b =n − m

m, если 1 6 m 6

n

2,

a =m

n − m, b = 1 , если

n

2< m 6 n − 1 .

(10)

Полученное решение полностью определяет плотности априорного (??) и апостериорно-го (??) распределений. Точечная оценка p истинного значения p∗ будет выражаться черезопределенные параметры a и b как p = 1/(b+1) или p = a/(a+1) соответственно в первомили втором случае (??) и для дисперсии этой оценки верна формула (??).

Границы доверительного интервала Jc(η) определяются уравнениями (??). Ясно, что|Jc(η)| 6 |JB(η)|, причем равенство достигается лишь когда m = n/2. Например, приn = 10, m = 1 и η = 0.9 (P = 0.95) по таблицам [?] имеем:

J = (0.005, 0.394) ; Jc = (0.003, 0.238) ,

т.е. длина доверительного интервала сократилась почти на 40% (бейесовский интервал JB

рассмотрен при равномерном априорном распределении; границы интервалов определеныпо таблицам [?]). Заметим, что симметричность плотностей апостериорных распределенийпри p = 1/2 − r и p = 1/2 + r, 0 < r < 1/2 повлечет равенство длин доверительныхинтервалов для этих случаев.

В заключение отметим, что для представления точечной оценки вероятностей редких со-бытий в [?] было предложено в качестве априорного распределения использовать Bep(1, b)с достаточно большим b, однако не было приведено ни обоснования данному выбору, никаких-либо указаний на возможный способ определения параметра b. Эта идея Э. Леманаи послужила толчком к появлению данной работы.


[1] Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. — М.: Наука, 1983.[2] Гуров С.И. Оценка надежности классифицирующих алгоритмов. — М.: Издательский отдел ф-та

ВМиК МГУ, 2002.[3] Гуров С.И. Как оценить надёжность алгоритма классификации. Интервальные оценки // Таври-

ческий Вестник информатики и математики, Вып. 2, 2003. Симферополь: КНЦ НАН Украины. —С. 4-15.

[4] Закс Л. Статистическое оценивание. — М.: Статистика, 1976.[5] Кендал М., Стюарт А. Теория распределений. — М.: Наука, 1966.


[6] Кендал М., Стюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, 1973.[7] Климов Г.П. Теория вероятности и математическая статистика. — М.: Изд. Моск. ун-та, 1983.[8] Леман Э. Теория точечного оценивания. — М.: Наука, 1991.[9] Jeffreys H. (1961) Theory of Probability, Oxford University Press.

Россия, г. Москва, 119992, ГСП-2, Ленинские горы, МГУ, учебный корпус 2,ф-т ВМиК



ПЕРСПЕКТИВНI НАПРЯМИ ВДОСКОНАЛЕННЯНАВЧАЛЬНОГО ПРОЦЕСУ З МАТЕМАТИЧНИХ

ДИСЦИПЛIН

Г.О.Козлакова, О.Б.Осадчий,НТУУ "Київський полiтехнiчний iнститут, Україна

В данной статье на основе анализа научных, методических и Интернет-ресурсовпроведено сравнение количества учебных часов на изучение математических дис-циплин в университетах Украины, России, США, обоснованы возможные путиусовершенствования математической подготовки в технических университетахс использованием математических компьютерных систем.

The Perspective Directions for Improvement of mathematical Disciplines Teaching.There are represented some results of analysis of science, methodological and Internetresources of educational time for mathematical disciplines teaching at differentuniversities of Ukraine, Russia and USA. The main directions for improvement of thesedisciplines teaching by using of mathematical computer systems are shown too.

Сучасний свiт все бiльше залежить вiд розвитку математичних наук, i ця залежнiстьпоширюється майже на усi сфери дiяльностi людини: вiд нацiональної безпеки i медичнихтехнологiй до виробництва комп’ютерного обладнання, телекомунiкацiй та iнвестицiйноїполiтики. Все назване, у свою чергу, призводить до того, що все бiльше випускникiв вищихтехнiчних закладiв освiти у майбутньому не зможуть вдало виконувати свої професiйнiобов’язки без достатнiх математичних знань. Висновок очевидний - без утворення по-тужного кадрового потенцiалу у математичних науках будь-яка країна не зможе вийтина першi позицiї у науковому, технiчному та економiчному розвитку. Але, як не дивно,незважаючи на розумiння цього факту, все частiше спостерiгається повсюдне скороченняобсягiв викладання математичних дисциплiн.

1.Порiвняння обсягiв вивчення математичних дисциплiн. З метою уявлення прообсяги викладання математичних дисциплiн, нами проаналiзовано назви дисциплiн i кiль-кiсть навчальних годин, якi витрачаються на вивчення вищої математики в унiверситетахУкраїни та Росiї, серед них: НТУУ"Київський полiтехнiчний iнститут", Київський нацiо-нальний унiверситет iм.Тараса Шевченка, Вiнницький державний технiчний унiверситет,Уральський державний технiчний унiверситет (Росiя), Новосибiрський державний технiч-ний унiверситет (Росiя).

Дану iнформацiя отримано з офiцiйних сайтiв унiверситетiв i датується 2001/2002 рр.,що вказує на її використання у цьому навчальному роцi.

Процес скорочення викладання математичних дисциплiн можна спостерiгати i в iншихкраїнах, зокрема, у США. Якщо проаналiзувати кiлькiсть годин, якi вiдводяться на вив-чення математичних дисциплiн в унiверситетах США, зокрема, у Техаському Унiверситетiв Остiнi та Унiверситет Плiмут Рок, то ситуацiя не здаватиметься такою жахливою.

Для порiвняння одержанi данi проiлюстровано на рис.1 i рис.2.Аналiз цих даних показує, що найменша кiлькiсть годин на вивчення математики вiд-

водиться в унiверситетах США. Ця країна претендує на перше мiсце у свiтi як найбiльшрозвинута країна у галузi математичних i комп’ютерних наук, проте не заперечує, щоздобути цю позицiю їй допомагають вихiдцi з країн пострадянського простору.

Сам процес викладання математики в унiверситетах i технiчних ВНЗ за багато деся-тирiч суттєво не змiнився. Змiст курсу математики типового вищого закладу освiти вбагатьох випадках традицiйний i не включає в себе досягнень науки у ХХ столiттi. Багатоважливих роздiлiв сучасної математики (теорiя диференцiйних рiвнянь, функцiональнийаналiз, теорiя прийняття рiшень тощо) не вивчаються або вивчаються дуже поверховобез пiдтримки практичними заняттями, в результатi чого надбанi студентами теоретичнi


знання не закрiплюються у пам’ятi майбутнього фахiвця. Сучаснi навчальнi плани не пе-редбачають певних суттєвих форм самостiйної роботи з вивчення математики (наприклад,у виглядi курсових робiт) окрiм звичайних домашнiх завдань та розрахункових робiт, якiчасом вiдiрванi вiд практичного застосування теоретичних математичних знань. Дужечасто навчальний процес зводиться до розв’язання вже написаного рiвняння.

Необхiдно зазначити, що методика викладання вищої математики не завжди досконала,бiльшiсть задач суто дидактичнi i вiдiрванi вiд реальних потреб сучасної науки та техно-логiї. Надмiрна увага, яка придiляється методам розв’язання задач, заважає студентам таiнженерам творчо використовувати математику. Як наслiдок, студенти iнодi стурбованiтим, як вони розв’язуватимуть професiйнi задачi, але сумлiнно виконують спрощення за-вдань, здiйснюють непотрiбнi наближення з єдиною метою - якомога бiльше спроститипроцедуру розв’язання [2].

Сучасний розвиток iнформацiйних технологiй, поява сучасного математичного програм-ного забезпечення дозволяють спрямувати процес вивчення та викладання математики наякiсно новий етап розвитку. Адже сучаснi математичнi програми дозволяють за декiлькахвилин вирiшувати задачi, на розв’язання яких ранiше потребувалися години важкої пра-цi. Окремi "продвинутi", якщо можна так сказати, студенти давно це зрозумiли i широковикористовують такi програми, як MathCad, Mathematica та iншi у розв’язанi практичнихзадач. Але тут виникає iнша проблема.

У багатьох випадках розв’язання певної практичної задачi математичними методамизводиться до простого розв’язання i не поширюється далi на дослiдження отриманих ре-зультатiв. Якщо i ставиться перед студентом задача дослiдження, то вона дуже частосамим же студентом зводиться до побудови гарних кольорових графiкiв, якi особливогонаукового змiсту за собою не мають, але справляють необхiдне враження на викладача.

На сьогоднiшнiй день викладання математичних наук майже не перетинається iз систе-матичним викладанням сучасних математичних комп’ютерних систем, оскiльки останнємайже вiдсутнє i зводиться до купiвлi книжок типу "MathCad для студентiв та iнженерiв"iсамостiйного їх опанування. Треба також зазначити, що дуже часто студенту доводить-ся серйозно стикатися з математичними програмами вже на старших курсах при вивченiспецiальних iнженерних дисциплiн, наприклад, "Теорiя автоматичного управлiння", "Ана-логовi та цифровi фiльтри", "Теорiя iнформацiї та кодування"тощо.

Вiдсутнiсть необхiдної пiдготовки i навичок роботи з математичними пакетами призво-дить до того, що лабораторнi роботи, виконанi за допомогою цих пакетiв, вiдрiзняютьсяодна вiд одної лише шрифтом та вхiдними значеннями, якi пiдставляються, що не можепозитивно впливати на пiдготовку фахiвця.

Рис.1.Порiвняння даних про вивчення математичних дисциплiн в унiверситетах УкраїниРис.2.Порiвняння даних про вивчення математичних дисциплiн в унiверситетах Росiї та

США2.Напрями вдосконалення вивчення математичних дисциплiн. Вищенаведене

дозволяє стверджувати, що необхiднiсть модернiзацiї змiсту математичної пiдготовкиу технiчному ВНЗ з урахуванням сучасного математичного програмного забезпеченняобґрунтовується тим, що:

1.Використання систем комп’ютерної математики допоможе ускладнювати задачi, якiрозв’язуються на практичних заняттях, сприятиме виконанню курсових i дипломних робiт,що, у свою чергу, дозволить бiльш досконало засвоїти навчальний матерiал.

2.Використання математичних програмних систем уможливить збiльшення обсягiв са-мостiйної роботи студентiв у навчальному процесi.

3.Математичнi комп’ютернi системи дозволять бiльшою мiрою використовувати у нав-чальному процесi задачi дослiдницького характеру.

Але треба зрозумiти, що вдале поєднання вивчення математичних дисциплiн та мате-матичних комп’ютерних систем (МКС) можливе тодi, коли студентами будуть засвоєнi


основнi теоретичнi аспекти i набутi певнi практичнi навички. Для грамотного та ефектив-ного використання комп’ютерiв необхiдно:

а) ґрунтовне, а не поверхове знання математичної термiнологiї,б) умiння формулювати задачу, яка доручається для виконання математичнiй

комп’ютернiй системi,в) умiння проконтролювати правильнiсть розв’язання задачi на промiжних етапах,г) умiння аналiзувати та дослiджувати отриманi результати, а також оцiнювати мож-

ливостi їх практичного застосування,д) сучасний викладач (вчитель) має бути орiєнтованим на використання сучасних про-

грамних засобiв при проведеннi рiзноманiтних математичних розрахункiв.У Росiйськiй Федерацiї, наприклад, вже здiйснюється робота щодо впровадження су-

часного програмного забезпечення у процес викладання та вивчення математичних наук.Ще у 1998 р. було створено асоцiацiю Academia ХХI, яка у своїй дiяльностi намагаєтьсястворити єдиний освiтньо-науковий простiр. Academia XXI розробляє програмне забезпе-чення, що допомагає створювати електронi системи контролю знань, електронi навчальнiсистеми, комп’ютернi лабораторiї. Одним з прикладiв є пакет РЕШЕБНИК.ВМ [1], якийдопомагає розв’язувати типовi математичнi задачi. Також можна зазначити Iнтернет-портал Exponenta.ru, який вже спiвпрацює з офiцiйним представником компанiй MathSoft,Mathworks, Waterloo Maple та Wolfram Research — SoftLine. Саме на Exponenta.ru постiйнооновлюються рiзноманiтнi методики викладання математичних i фiзичних наук за допо-могою сучасного програмного забезпечення. Авторами цих методик виступають виклада-чi, студенти, науковi працiвники. Крiм того, за сприянням самого порталу Exponenta.ruпостiйно проводяться конференцiї на тему "Математика. Комп’ютер. Освiта".

На однiй з останнiх конференцiй [2, 3] було сформовано своєрiдну програму дiй, якасприятиме реорганiзацiї процесу вивчення математичних наук у вищiй школi. Основниминапрямами цiєї програми є:

1.Привести до єдиних вимог програми вивчення математики у школi та вищих навчаль-них закладах.

2.Кардинально змiнити викладання iнформатики у школах з метою пiдвищення загаль-ної комп’ютерної грамотностi учнiв, з метою уможливлення ефективного використаннякомп’ютерних технологiй при навчаннi у вищому навчальному закладi.

3.Переглянути змiст курсу вищої математики, зменшити його технiчну складову й пе-ренести акцент з питання "як"(розв’язати, розрахувати и тощо) на питання "що"i "на-вiщо". Суттєва частина матерiалу, в якому пояснюється, як розв’язувати типовi задачi,передається на самостiйне вивчення з використанням спецiальних комп’ютерних програм.Час, який звiльнюється, можна використовувати для обговорення та дослiдження отрима-них результатiв, а також для включення до навчальної програми вивчення важливих темi роздiлiв сучасної математики, якi в даний момент зовсiм не вивчаються або вивчаютьсянедостатньо повно.

4.Пiдготувати i впровадити навчальнi комплекси, якi включають лекцiї, практичнi за-няття i приблизно вiдповiдають навчальним робочим програмам, а також запропонуватидостатню кiлькiсть задач для самостiйного розв’язання та урiзноманiтнення матерiалу длясамоконтролю. Також цi комплекси можуть одночасно виконувати функцiї пiдручника,задачника та репетитора-тренажера. При цьому потрiбно зберегти значення традицiйноїнавчальної лiтератури для бiльш детального вивчення предмету.

5.Розробити на основi навчальних комплексiв спецiальнi робочi зошити для студентiв,якi можна розповсюджуватися електронними засобами. Цi зошити мають складатися iзстислого конспекту лекцiй, а також включати поля для замiток, пояснень i прикладiв. Ма-ючи цi зошити, студенти отримають додаткову можливiсть повторити матерiал, уточнитинезрозумiлi моменти та вивчити пропущений матерiал.


6.Обладнати комп’ютернi класи для проведення деяких (не обов’язково усiх) аудиторнихзанять, контрольних, лабораторних та самостiйних робiт студентiв.

7.Розповсюдити програмне забезпечення цих класiв з тим, щоби студенти та викладачiмали можливiсть працювати з ним у вiльний час.

8.Збiльшити об’єм завдань з тим, щоб студенти розв’язували по декiлька задач кожноготипу i дослiджували отриманi результати з використанням комп’ютерної пiдтримки.

Таким чином, створене єдине освiтньо-наукове iнформацiйне середовище дозволить про-вести успiшну комп’ютеризацiю вивчення математичних дисциплiн i перехiд на якiсно но-вий рiвень освiти. У свою чергу, створене таким чином належне програмне та методичнезабезпечення дозволять зекономити до 60-70

Необхiдно зазначити, що й самi виробники, i дистриб’ютори математичних програмсприяють впровадженню своїх продуктiв у процес вивчення математики та в освiтнiй про-цес взагалi. Так, наприклад, виробник пакету MathCad американська компанiя MathSoftпостiйно оголошує гранти на кращу методику викладання математики за допомогоюMathCad, i це пов’язано не тiльки з прагненнями компанiї привабити якомога бiльшеклiєнтiв, а й з тим, що США поставили за мету вийти на перше мiсце у свiтi в галузi ма-тематичних наук. У звiтi Нацiональної Наукової Фундацiї США зазначається: "Вiдокрем-лення комп’ютерних наук вiд математичних наук в унiверситетах США негативно вплину-ло на комбiнаторику, дискретну математику, символьну математику. Також це вплинулона погану математичну пiдготовку науковцiв у комп’ютернiй галузi, i в свою чергу нанедостатню комп’ютерну пiдготовку математикiв"[4].

Можна впевнено стверджувати, що системи комп’ютерної математики суттєво змiнюютьсвiт освiти. Вони роблять достатньо доступним використання потужних математичних ме-тодiв при розв’язаннi прикладних задач, пiдвищують наочнiсть i конкретнiсть абстракт-них концепцiй як у процесi навчання, так i в експериментальних дослiдженнях. Такожможна зазначити, що необхiднiсть включення до навчальних математичних курсiв при-кладного використання сучасних МКС вже назрiла, i за своєю суттю це нововведення будене менш важливiшим, нiж початок використання Iнтернет у сферi навчання та освiти.

До найбiльш продвинутих унiверсальних систем програмування математичних задач,якi мають розповсюдження в Українi, можна вiднести MathCAD, Maple, Mathematica.Переваги використання цих математичних пакетiв у розв’язаннi задач прикладного при-значення (порiвняно з традицiйними мовами програмування) обумовленi значно меншоютрудомiсткiстю написання i налагоджування програм для розрахункiв, що досягаєтьсязавдяки мовi програмування високого рiвня, а також зручному iнтерфейсу. Названi вищематематичнi комп’ютернi системи можна роздiлити на двi групи:

1) системи, якi мають APL-схожу мову програмування (типу Mathlab, Mathematica,Maple, MathView),

2) системи, якi мають вбудований процесор написання програм на внутрiшнiй мовi си-стеми, типу MathCad.

Математичнi системи першої групи пiдтримують ефективне написання та виконанняобчислювальних програм, в яких виконуються матричнi операцiї лiнiйної алгебри. Такiсистеми доцiльно використовувати при вивченi деяких методiв динамiки i статики технiч-них систем управлiння.

Системи другої групи, якi ще iнодi називають унiверсальними системами математичнихзадач, займають особливе мiсце серед iнших математичних пакетiв. Це пов’язано з тим, щовони мають досить спрощений спосiб написання та вiзуального представлення розроблениху таких системах програм. До таких систем вiдноситься пакет MathCad.

3.Загальнi висновки. У данiй статтi на основi вивчення наукових, бiблiографiчних таIнтернет-ресурсiв нами показано, що:

по-перше, iснують тенденцiї скорочення часу на вивчення математичних дисциплiну вищих навчальних закладiв в усьому свiтi. Нами проаналiзовано кiлькiсть годин, якi


надаються у вищих навчальних закладах України, Росiї та США. Пiд час аналiзу ми на-магалися обрати найбiльш схожi мiж собою за змiстом спецiальностi. Аналiз показав, щонайгiрша ситуацiя з вивчення математичних дисциплiн у США, не зважаючи на те, щоця країна бореться за перше мiсце у свiтi, як країна з найбiльш розвинутою математич-ною наукою. Щодо України та Росiї, то найбiльша кiлькiсть годин надається на вивченняматематичних дисциплiн у КНУ iм. Тараса Шевченка та МДТУ iм. Н.Е.Баумана. Але вжодному з розглянутих вищих навчальних закладiв не надiляється належної уваги вив-ченню комп’ютерних систем та їх використанню у розв’язаннi математичних завдань;

по-друге, на пiдставi аналiзу публiкацiй навчальних закладiв України, Бiлорусiї таРосiї було зроблено висновок, що процес пiдготовки викладачiв математики за останнiроки суттєво не змiнився, а традицiйнi пiдходи до пiдготовки математикiв дещо застарiлi.Також iснують доволi серйознi протирiччя у програмах шкiльної середньої освiти та вищоїосвiти, що призводить до недостатньої пiдготовки майбутнiх iнженерiв;

по-третє, наголошено i позначено кроки, що здiйснюються в Росiї для подолання про-блем, якi заважають вдосконаленню математичної пiдготовки молодих фахiвцiв. Середтаких засобiв можна видiлити створення єдиного освiтньо-наукового iнформацiйного се-редовища, що у перспективi дозволить провести успiшну комп’ютеризацiю та перехiд наякiсно новий рiвень математичної освiти,

по-четверте, визначено своєрiдну програму дiй, яка сприятиме модернiзацiї процесупiдготовки молодих фахiвцiв в Українi. Одним iз пунктiв такої програми є пiдготовкасучасних навчальних i програмних комплексiв, якi могли би одночасно виконувати функ-цiї пiдручника, задачника та репетитора-тренажера. Запропоновано класифiкацiю мате-матичних програмних засобiв, якi обов’язково включаються до навчальних i програмнихкомплексiв, доцiльнiсть використання яких обґрунтовано у пiдготовцi студентiв технiчнихспецiальностей.


[1] Бурковская М.А. О методике эффективного применения компьютера в учебной и аудиторной рабо-те (на примере работы с пакетом РЕШЕБНИК ВМ) // Тезисы VIII Международной конференции“Математика. Компьютер. Образование". M.: МФТИ, 2001. — 140 с.

[2] Кудрявцев Л.Д., Кирилов А.И., Бурковская М.А. О тенденциях и перспективах математическогообразования. — М.: Наука, 1999. — 11 с.

[3] Kirillov A.I. Analysis and synthesis in mathematics and in teaching the mathematics to engineers // Те-зисы докладов Международной конференции “Функциональные пространства. Дифференциальныеоператоры. Проблемы математического образования", Москва, 1998. — С. 1–4.

[4] Executive Summary of National Science Foundation. 2001. — Матерiали сайту http://www.google.com —18.05.2001.

[5] Матерiали сайту http://www.AcademiaXXI.ru , травень, 2002.[6] Матерiали сайту http://www.mathsoft.com , травень,2002.

Козлакова Галина, кандидат технiчних наук, доцент, Осадчий Олександр,магiстр, НТУУ"Київський полiтехнiчний iнститут, м.Київ, пр.Перемоги, 37,кафедра технiчної кiбернетики, тел.(044) 290-29-68,432-11-55

Содержание

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

М.С.Агранович Суммирование ортогональных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Section 1. Spectral Problems

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

А.П.Гуревич, А.П.Хромов Суммируемость по Риссу в пространстве Cα[0, 1] спек-тральных разложений интегральных операторов с переменным верхним пре-делом интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

А.С.Костенко О характеристической функции струны Крейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Е.В.Назарова О равносходимости спектральных разложений для интегральныхоператоров с разрывными ядрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

А.Ю.Савин, Б.Ю.Стернин Индекс для одного класса нелокальных эллиптическихоператоров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

A.Boivin, A.M.Sedletskii Bases of exponential in weighted Lp spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

S.Hassi, I.Karabash Similarity of J-selfadjoint Sturm-Liouville operators with anoperator potential to selfadjoint ones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

N.A.Kachanovsky A generalized malliavin derivative in a coloured noise analysis . . . . . . 47

D.V.Limansky, M.M.Malamud Weak coercivity of systems of differential operators in L1

and L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

G.S.Romashchenko On Similarity of Convolution Volterra Operators in Sobolev Spaces 63

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils

В.С.Рыхлов О некоторых свойствах определителей с циклически сдвинутымистолбцами и их применении в классификации дифференциальных операторов 71

К.И.Чернышов Об операторе Коши нестационарного линейного дифференциально-го уравнения с малым параметром при производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

I.A.Sheipak, A.A.Vladimirov Spectral properties of one operator matrix and stabilityquestions arising in supersonic hydrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

Г.С.Балашова О разрешимости задачи Дирихле для уравнений бесконечного поряд-ка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

С.И.Безродных, В.И.Власов Метод решения системы нелинейных дифференциаль-ных уравнений, моделирующей полупроводниковый диод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

272 Contents

А.И.Боголюбский, С.Л.Скороходов Индекс для одного класса нелокальных эллип-тических операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

А.В.Глушак, Ю.В.Поваляева О свойствах решений задачи типа Коши для аб-страктного дифференциального уравнения с дробной производной . . . . . . . . . . . . . . 163

A.Ю.Мальцев Задача Коши для одного нестационарного существенно бесконечно-мерного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

В.П.Орлов Об одной слабо вырождающейся гиперболической задаче . . . . . . . . . . . . . . . 179

V.M.Marchenko Canonical forms for controllable after-effect systems and applications . 184

I.V.Melnikova About regularization in a broad sense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

O.V.Solonukha On parabolic unilateral problems with operators of 2m order . . . . . . . . . . . 204

Subsection 2.2. Boundary Value Problems

А.В.Агибалова О полноте систем корневых функций некоторых граничных задачдля уравнения порядка 2 − ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

N.B.Konyukhova, A.L.Dyshko Singular nonlinear boundary value problems andassociated spectral ones arising in the inflationary cosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Yu.T.Silchenko The operator method of the investigation of the fourth order equation . . 229

S.Yakubov, Ya.Yakubov Hyperbolic differential-operator equations on a finite interval . 232

Section 3. Optimization, Control, Games and Economic Behavior

А.А.Горелова, В.И.Жуковский Риск в одной линейно-квадратичной задаче . . . . . . . 245

Л.В.Жуковская Гарантированный риск в многокритериальных задачах . . . . . . . . . . 249

Section 4. Computer Sciences

С.И.Гуров Принцип согласованности для конкретизации априорного распределенияи его применение к задаче доверительного оценивания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

Г.О.Козлакова, О.Б.Осадчий Перспективнi напрями вдосконалення навчальногопроцесу з математичних дисциплiн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

Сборник научных трудов

Информационно-издательский отделТаврического национального университета им. В. И. Вернадского

95007, Симферополь, пр-т. Вернадского, 4

Подписано к печати Формат 60×84/8 Бумага тип.Объем 15 печ. л. Тираж 300 экз. Заказ

Documents

Spectral and Evolution Problems Vol. 14