Spieltheorie

Bearbeitet vonGernot Sieg

3., überarbeitete und aktualisierte Auflage 2011 1999. Taschenbuch. VIII, 163 S. PaperbackISBN 978 3 486 59657 1

Format (B x L): 17 x 24 cmGewicht: 329 g

Weitere Fachgebiete > Mathematik > Operational Research > Spieltheorie

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VonProfessor

Dr. Gernot SiegTechnische Universität Braunschweig

3., überarbeitete und aktualisierte Auflage3., vollständig überarbeitete Auflage

OldenbourgVerlag München

Spieltheorie

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.d-nb.de> abrufbar. © 2010 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertungaußerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Rainer Berger Herstellung: Anna Grosser Coverentwurf: Kochan & Partner, München Titelbild: iStockphoto Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: Grafik + Druck GmbH, München ISBN 978-3-486-59657-1

Vorwort zur 3. AuflageDiese Neuauflage des Buches enthalt einige neue Konzepte. Daruber hinaus werdenan mehreren Stellen die bekannten Konzepte mit anderen Beispielen und einfacherdargestellt. Damit ist die Hoffnung verbunden, dass die Konzepte leichter zu verstehenund das Buch besser zu lesen ist.

Meinen wissenschaftlichen Mitarbeitern Antje-Mareike Dietrich, Uwe Kratzsch, IngaMeyering, Julia Rothbauer und Ulrike Stegemann danke ich fur wertvolle Hinweise,die ich gerne in diese Auflage aufgenommen habe.

Braunschweig, im September 2010 GERNOT SIEG

Vorwort zur 1. Auflage (Auszug)Dieses Buch beinhaltet den Stoff fur eine 2-SWS-Vorlesung in Spieltheorie. Dabeistehen die Anwendungen moderner Spieltheorie in der Volkswirtschaftslehre und derBetriebswirtschaftslehre im Vordergrund.

Das Buch entstand aus meiner Vorlesung Spieltheorie, die ich seit 1994 regelmaßigan der Georg-August-Universitat halte. Bei der Planung und Durchfuhrung der Vor-lesung zeigte sich, daß sich die Studierenden in besonderer Weise fur die praktischenAnwendungen der spieltheoretischen Methodik interessieren. Gleichzeitig mochten siedie theoretischen Grundlagen kennenlernen, ohne die eine souverane Anwendung derSpieltheorie nicht moglich ist. Dieses Buch wurde geschrieben, um diesen berechtigtenWunschen gerecht zu werden.

Grundkenntnisse in Mikro- und Makrookonomik, wie sie jeder Haupt- oder Ne-benfachstudent einer wirtschaftswissenschaftlichen Fakultat in den ersten Semesternerwirbt, sind dem Verstandnis forderlich, da der Leser sich mit ihnen auf die Spieltheo-rie konzentrieren kann. Der Besuch einer Einfuhrung in die Wirtschaftswissenschaftenist aber nicht wirklich notwendig, um das Buch mit Gewinn zu lesen. Am Ende derLekture wird der Leser die spieltheoretischen Methoden verstanden haben, die aktuelleArtikel in Fachzeitschriften voraussetzen.

Das Buch kann entlang der Gliederung durchgearbeitet werden, wobei das An-spruchsniveau stetig steigt. Die Kapitel 4 und 5 beruhen auf anderen axiomatischenGrundlagen als die Kapitel 1–3 und 6–7 und dienen dem Zweck, moglichst fruh al-ternative Konzepte der Spieltheorie vorzustellen. Mochte man dem traditionellen Wegfolgen, so bearbeitet man zuerst die Kapitel 1–3 und 6–7, wahrend die Kapitel 4, 5 und8 optional bleiben.

Gottingen, im Juli 1999 GERNOT SIEG

Inhaltsverzeichnis

1 Einfuhrung 1

2 Spiele in strategischer Form 52.1 Dominanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Nash-Gleichgewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien . . . . . . . . . . . 142.2.2 Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien . . . . . . . . 192.2.3 Existenz und Effizienz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Nullsummenspiele und Minmax-Wert . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4 Korrelierte Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5 Gleichgewichtsauswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5.1 Pareto-Perfektheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.2 Risiko-Dominanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.3 Trembling-Hand-Perfektheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5.4 Kommunikation vor dem Spiel . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5.5 Sich selbst erfullende Erwartungen . . . . . . . . . . . . . . 362.5.6 Fokalpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5.7 Lernprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Dynamische Spiele mit vollstandiger Information 393.1 Perfekte Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Extensive Form und imperfekte Information . . . . . . . . . . . . . . 443.3 Teilspielperfektheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4 Endlich wiederholte Spiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5 Unendlich wiederholte Spiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 Evolutorische Spieltheorie 694.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2 Evolutionar stabile Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3 Replikatordynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.4 Zusammenfassung und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5 Kooperative Spiele 915.1 Verhandlungsspiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.2 Koalitionsspiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.3 Machtindizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6 Statische Spiele mit unvollstandiger Information 1056.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.2 Bayessches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.3 Gemischte Strategien neu interpretiert . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7 Dynamische Spiele mit unvollstandiger Information 1197.1 Perfekte Bayessche Gleichgewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.2 Signalspiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.3 Leeres Gerede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.4 Vorwartsinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8 Empirische Aspekte 1338.1 Nutzenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338.2 Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378.3 Losungskonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398.4 Uber die Regeln hinaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Literaturverzeichnis 145

Index 151

VIII Inhaltsverzeichnis

1 Einfuhrung

Sherlock Holmes muss vor dem Mathematik-Professor Moriarty fliehen, der ihn totenwill. Zusammen mit Dr. Watson gelingt es ihm, in der Victoria Station den ContinentalExpress zu erreichen. Professor Moriarty ist noch auf den Gleisen zu sehen, da erden Zug nur um Sekunden verpasst hat, und Holmes und Dr. Watson machen essich im Abteil bequem, als wir uns in den Dialog einblenden (SIR ARTHUR CONANDOYLE 1902):

”Mein lieber Watson, du hast offenbar die Bedeutung meiner Worte nichterfasst, als ich dir sagte, dass unser Gegner durchaus auf dem gleichenintellektuellen Niveau steht wie ich. Du glaubst doch nicht, dass ich michvon einem so kleinen Hindernis abhalten ließe, wenn ich der Verfolger ware?Warum traust du es dann ihm nicht zu?“

”Ja, was kann er denn unternehmen?“

”Genau, was ich in diesem Fall unternehmen wurde. . . Einen Extrazug mietenund nach Dover fahren.“

”Aber er wird zu spat kommen.“

”Uberhaupt nicht. Unser Zug halt in Canterbury, und in Dover gibt es bis zurAbfahrt des Dampfers immer noch mindestens eine Viertelstunde Spielraum.Dort wird er uns erwischen.“

”Was fangen wir also an?“

”Wir steigen in Canterbury aus. . . dann mussen wir quer durch England fahrenund uns in Newhaven nach Dieppe einschiffen. Moriarty wird auch jetzt wiedertun, was ich selber tate – namlich nach Paris weiterfahren, unsere Koffer in derGepackaufbewahrung ausfindig machen und dort zwei Tage lang geduldig aufuns warten.“

Holmes und Doktor Watson steigen in Canterbury aus, da sehen sie schon eineLokomotive mit einem einzigen Wagen in hollischem Tempo um die weite Kurverasen: Professor Moriarty. Holmes bemerkt:

”Wie du siehst, hat sogar die hochste Intelligenz ihre Grenzen. Es ware auchein unglaublich genialer Schachzug unseres Freundes gewesen, zu folgern, wasich folgern wurde, und dementsprechend zu handeln.“

2 1 Einfuhrung

Was ware aber passiert, wenn Professor Moriarty gefolgert hatte, was Holms folgernwurde, und dementsprechend gehandelt hatte? Oder wenn Holmes gefolgert hatte, dassMoriarty in der Lage gewesen ware zu folgern, was Holmes folgern wurde?

London

Dover

CalaisNewhaven

Paris

Dieppe

Canterbury

Abbildung 1.1: Wege von London nach Paris

Mit solchen Situationen, in denen die Erwartungen uber das Verhalten eines Gegnersdas eigene Verhalten und das des Gegners beeinflussen, beschaftigt sich die Spieltheo-rie. Eines der ersten okonomischen Beispiele findet sich bei AUGUSTIN COURNOT,der im Jahre 1838 seine ”Untersuchungen uber die mathematischen Grundlagen derTheorie des Reichtums“ veroffentlichte. Im siebten Kapitel untersucht er zwei Ei-gentumer von Mineralwasserquellen:

”Jetzt nehmen wir zwei Besitzer und zwei Quellen an, deren Eigenschaftengleich sind und die infolge der Ahnlichkeit ihrer Lage denselben Wettbe-werbsmarkt beliefern. Demgemaß ist der Preis fur den einen wie den anderenBesitzer der gleiche. Es sei p dieser Preis,D = F (p) der Gesamtertrag,D1 derErtrag der Quelle (1), D2 der Ertrag der Quelle (2), so dass D1 +D2 = D ist.Bei vorlaufiger Vernachlassigung der Ausbeutungskosten werden die Einkunf-te der Eigentumer jeweils p ·D1 und p ·D2 sein und jeder fur sich wird diesesEinkommen zum großtmoglichen Wert zu bringen versuchen.“

Wie dieses geschieht, beschreibt er einige Absatze spater:

”Der Eigentumer (1) kann die Festsetzung von D2 nicht direkt beeinflussen, erkann nach der Festsetzung des Wertes D2 durch den Eigentumer (2) lediglich

3

den Wert D1 so wahlen, dass er ihm am zutraglichsten ist. Das wird erdurch entsprechende Preisanderung bewerkstelligen konnen, wenn nicht derEigentumer (2), der sich gezwungen sieht, diesen Preis und diesen Wert vonD1 seinerseits anzunehmen, einen neuen Wert von D2 festsetzt, der wiederseinen Interessen gunstiger ist als der vorige.“

So viele Reaktionen und Erwartungen konnte man denken und sich fragen, wie denndie Losung sei. Der Losung solcher Problemstellungen widmet sich die Spieltheorie.

Optimiert ein Konsument seinen Nutzen in dem er sich in einem Supermarkt Gutereinkauft, so muss er sich keine Gedanken daruber machen, wie der Supermarkt aufseinen Einkauf reagiert, da Supermarkte wegen eines einzigen Konsumenten ihreStrategie nicht andern. Kauft der Konsument sich jedoch einen Gebrauchtwagen,dann kann er davon ausgehen, dass der Verkaufer je nachdem wie der Konsumentsich verhalt, den Gebrauchtwagen zu unterschiedlichen Preisen verkauft. Vor demGebrauchtwagenkauf uberlegt der Konsument sich eine Verhandlungsstrategie, dieAntworten auf verschiedene Angebote des Verkaufers beinhaltet.

Auch die Situation eines Dyopolisten zeichnet sich dadurch aus, dass zwei Konkur-renten auf dem Markt agieren. Da mehr als eine Person agiert, wird die Spieltheoriezu Hilfe gezogen, denn nur sie betrachtet mehrere Wirtschaftssubjekte, die jeweils ihreZielfunktionen optimieren. In einem Spiel wirkt sich die Aktion eines Spielers auf denErfolg des Konkurrenten aus. Deshalb muss ein Spieler, will er eine optimale Entschei-dung treffen, das Verhalten der Gegenspieler antizipieren. Gleichzeitig befinden sichdie Spieler in einem Interessengegensatz, der zum Konflikt fuhren kann. Denn wasdem einen nutzt, kann dem anderen schaden.

JOHN F. NASH nimmt 1951 den von COURNOT vorgeschlagenen Ausweg ausdem Problem der nie endenden Erwartungserwartungen auf und bildet mit seinemLosungskonzept, dem Nash-Gleichgewicht, das Fundament der modernen Spiel-theorie. Zusammen mit JOHN HARSANYI und REINHARD SELTEN gelingt es, dieSpieltheorie als Methode in den Wirtschaftswissenschaften zu etablieren.

1 Einfuhrung

4 1 Einfuhrung

Preistrager fur Wirtschaftswissenschaften der schwedischen Reichsbank in Gedenkenan Alfred Nobel

Jahr Preistrager LeistungReinhard Selten Fur ihre grundlegende

1994 John Forbes Nash Jr. Analyse des GleichgewichtsJohn C. Harsanyi in nicht-kooperativer Spieltheorie

Fur ihre grundlegenden Beitrage1996 James Mirrlees zur okonomischen Theorie von Anreizen

William Vickrey bei unterschiedlichen Graden von Informationder Marktteilnehmer

Fur ihre grundlegenden Beitrage2005 Robert Aumann zur Spieltheorie

Thomas Schelling und zum besseren Verstandnisvon Konflikt und Kooperation

Leonid Hurwicz Fur die Entwicklung2007 Eric S. Maskin der Grundlagen des

Rober B. Myerson Mechanism Design

2 Spiele in strategischer Form

2.1 DominanzDas erste (Bei-)Spiel, das in diesem Buch genau untersucht wird, ist das Gefange-nendilemma (prisoners’ dilemma). Obwohl die Geschichte, die hinter dem Dilemmasteckt, nicht originar okonomisch ist, so trifft man in vielen okonomischen Anwendun-gen eine strategisch aquivalente Situation. Daruber hinaus ist das Gefangenendilemmader Lieblingsartist der Spieltheoretiker. Fur viele Kunststucke, die aufgefuhrt werdensollen, holt der Spieltheoretiker das Gefangenendilemma auf die Buhne.

Beispiel 2.1 (Gefangenendilemma)Zwei Angeklagte, denen ein schweres Verbrechen vorgeworfen wird, werden ge-trennt verhort. Ohne Gestandnis kann man ihnen nur ein minderschweres Verbrechennachweisen, das zu einer kurzen Haftstrafe von 4 Jahren fuhrt. Gesteht genau ein Ge-fangener und belastet den anderen, so kann er von der Kronzeugenregelung Gebrauchmachen und erhalt eine Strafreduktion um drei Jahre auf 1 Jahr, wahrend der anderefur 15 Jahre ins Gefangnis kommt. Gestehen beide, so werden beide mit 10 JahrenHaft bestraft, weil ihr Gestandnis strafmindernd wirkt.

In diesem Spiel mussen die beiden Gefangenen sich beim Verhor gleichzeitig undunabhangig voneinander entscheiden, ob sie >Gestehen< oder >Schweigen<. Tragtman die moglichen Handlungen in eine Matrix ein und berechnet die Haftstrafen,die sich aus der jeweiligen Kombination der Handlungen der Gefangenen ergeben,so erhalt man die Ereignismatrix (siehe Abbildung 2.1). Die erste Zahl in einer Zellesteht dabei fur die Dauer der Haftstrafe des Zeilenspielers. Die zweite Zahl in der Zellebeschreibt die Dauer der Haftstrafe des Spaltenspielers.

SpaltenspielerSchweigen Gestehen

ZeilenspielerSchweigen 4 , 4 15 , 1Gestehen 1 , 15 10 , 10

Abbildung 2.1: Ereignismatrix: Haftstrafe in Jahren im Gefangenendilemma

6 2 Spiele in strategischer Form

Man kann davon ausgehen, dass die Spieler eine kurzere Haftstrafe einer langerenvorziehen. Sind die Ereignisse mit Nutzenbewertungen der Spieler verbunden, sospricht man von Auszahlungen (payoffs) an die Spieler. Auszahlungen an die Spielersind dabei die Nutzenwerte, die der Spieler bei einem bestimmten Ereignis erreicht.Eine Auszahlungsmatrix zum Gefangenendilemma ist in der Matrix 2.1 abgetragen.Jeder Spieler versucht, eine moglichst hohe Auszahlung zu erreichen.

SpaltenspielerSchweigen Gestehen

ZeilenspielerSchweigen 3 , 3 0 , 5Gestehen 5 , 0 1 , 1

Auszahlungsmatrix 2.1: Gefangenendilemma

Der Zeilenspieler steht vor der Wahl, zu gestehen oder zu schweigen. Die Auszah-lungen, die er erhalt, sind jeweils abhangig von der Handlung des Mitgefangenen.Nimmt der Zeilenspieler an, dass der Mitgefangene gesteht, so erhalt er entweder 1,wenn er auch gesteht, oder 0, falls er schweigt. Nimmt der Zeilenspieler an, dass derMitgefangene schweigt, so erhalt er entweder 5, wenn er gesteht, oder 3, falls er auchschweigt. In beiden Fallen ist es fur den Zeilenspieler besser, wenn er gesteht, da er ei-ne hohere Auszahlung erhalt. Man sagt, dass die Handlung >Gestehen< die Handlung>Schweigen< dominiert, da sie, unabhangig davon, was der Gegenspieler unternimmt,die hohere Auszahlung verspricht. Der Zeilengefangene gesteht.

Wenn der Spaltenspieler dieses Verhalten antizipiert, dann geht er davon aus, dassder Zeilenspieler gesteht. Er hat die Wahl zwischen einer Auszahlung von 0 fur dasSchweigen und einer Auszahlung von 1 fur das Gestehen. Er wird gestehen.

Die Vorhersage der Spieltheorie ist demnach, dass im Gefangenendilemma beideSpieler gestehen werden, da dies ihre dominante Strategie ist. Man spricht davon, dassdie Strategie >Gestehen< fur den Zeilenspieler und >Gestehen< fur den Spaltenspielerdie Losung des Spiels nach dem Kriterium der Dominanz bilden.

Auffallig ist bei dieser Losung, dass sich beide Spieler besserstellen konnten, wennsie schweigen wurden. Jede Anderung der Strategiekombination, durch den die Aus-zahlung eines Spielers steigt, ohne dass die eines anderen Spielers sinkt, heißtPareto-Verbesserung. Der Wechsel von (Gestehen, Gestehen) auf (Schweigen, Schwei-gen) ist eine Pareto-Verbesserung von (1, 1) auf (3, 3). Die Losung nach demKriterium der Dominanz ist also nicht Pareto-optimal. Eine Strategiekombinati-on, von der aus keine Pareto-Verbesserung moglich ist, heißt Pareto-effizient oderPareto-optimal. Im Gefangenendilemma ist (Schweigen, Schweigen) Pareto-effizient,genauso wie (Schweigen, Gestehen) und (Gestehen, Schweigen).

Im Gefangenendilemma wurden selbst Absprachen vor dem Verhor nicht dazu fuhren,dass Kooperation mit beiderseitigem Schweigen zustande kommt. Die Kronzeugen-

2.1 Dominanz 7

regelung ist vom Gesetzgeber gerade deshalb so konstruiert worden. Nehmen wir an,die beiden Gefangenen treffen sich beim Hofgang und versprechen, alles abzustreiten.Beim Verhor hat wieder jeder Gefangene den Anreiz, doch zu gestehen, konnte er mitdieser Strategie doch seine Auszahlung weiter erhohen. Das Gefangenendilemma istein nicht-kooperatives Spiel, denn verbindliche Absprachen sind nicht moglich. JederSpieler muss in einem nicht-kooperativen Spiel fur sich alleine entscheiden und eineHandlung auswahlen. Er kann nicht darauf pochen, dass eine Absprache vom Gegen-spieler eingehalten wird.

Fallstudie (Kronzeugenregelung im Kartellrecht)Kraft Foods Deutschland machte dabei von et-was Gebrauch, das sich als einer der großtenErfolge der Bonner Wettbewerbskontrolleureentpuppt hat: der Kronzeugenregelung. Wer alsTeil eines Kartells dabei hilft, dieses aufzu-decken, der geht mit der auch Bonusantraggenannten Regelung womoglich straffrei aus.Seit die Moglichkeit zur Strafverschonungdurch Petzen im Jahr 2000 eingefuhrt wordenist, gingen beim Bundeskartellamt in 87 ver-schiedenen Fallen 233 Bonusantrage ein.

”Die ganz uberwiegende Zahl der Kartell-verfahren wird inzwischen uber Kronzeugenangestoßen”, sagt der Sprecher des Bundes-kartellamts. Colgate-Palmolive etwa verrietPreisabsprachen unter den Drogerieartikelher-stellern Henkel, Schwarzkopf & Henkel, Sa-ra Lee und Unilever. ArzneimittelherstellerGrunenthal meldete, mit dem Konkurrenten In-fectopharm Preise fur bestimmte Antibiotikaabgestimmt zu haben. Ohne solche Insiderin-formationen seien viele Kartelle kaum mehr zuknacken, so der Behordensprecher.“Quelle: Der Feind sitzt mitten im Kartell, Fi-nancial Times Deutschland, 20.1.2010

Eine strategisch gleiche Situation wie im Gefangenendilemma erhalt man in vielenokonomischen Anwendungen.

Beispiel 2.2 (Liegestuhlreservierung am Swimmingpool)Eine wichtige Beschaftigung im Urlaub ist das Sonnen am Swimmingpool. Dabeiexistieren Liegestuhle an schattigen und sonnigen Platzen, mit unterschiedlichenAuflagen und unterschiedlich weit von der Bar entfernt. Durch ein Handtuch kann manmorgens den bevorzugten Liegestuhl reservieren und so einen Nutzen von 7 erhalten.Eine durchschnittliche Liege ist 3 Nutzeneinheiten wert und eine schlechte Liege nur 0.Eine andere wichtige Beschaftigung im Urlaub fuhrt dazu, dass man nicht gerne fruhaufsteht. Fruh aufzustehen verursacht einen Nutzenverlust von 2. Den bevorzugtenLiegestuhl erhalt man nur, wenn man vor den Miturlaubern am Pool ist. Kommt mangleichzeitig zum Pool, so erhalt man nur eine durchschnittliche Liege. Kommt manspater als die anderen zum Pool, so sind alle guten und durchschnittlichen Liegestuhleschon reserviert und man erhalt nur eine von den schlechten, die ubrig geblieben sind.

8 2 Spiele in strategischer Form

Es ergibt sich (Ubung) eine Auszahlungsmatrix, die dieselbe Struktur besitzt wie dieMatrix 2.1 des Gefangenendilemmas. Mit einer zum Gefangenendilemma analogenArgumentation kann man erklaren, warum der deutsche Pauschaltourist im Urlaubfruh aufsteht, um mit seinem Handtuch einen Liegestuhl zu reservieren.

In formaler Schreibweise nennt man die Gefangenen aus dem GefangenendilemmaSpieler und gibt ihnen Nummern. Der Zeilenspieler ist beispielsweise der Spieler 1,der Spaltenspieler der Spieler 2. Die moglichen Aktionen (action) in dem Spiel heißen>Gestehen< und >Schweigen<. Als Strategie (strategy) bezeichnet man einen Plan furdie von einem Spieler durchzufuhrenden Aktionen. Im Gefangenendilemma ist derPlan nicht kompliziert. Entweder man schweigt, oder man gesteht. Jeder Spieler ihat seine Strategien, die in der Menge Si gesammelt werden. Im Gefangenendilemmakonnen beide Spieler nur gestehen oder schweigen, d.h., beide Spieler haben dieselbeStrategiemenge. Das muss aber nicht immer der Fall sein. Die Auszahlung an Spieler 1heißt u1 und ist abhangig davon, welche Strategie (s1) er und welche der Gegenspieler(s2) gespielt haben. Die eingetretene Kombination der Strategien (profile) der Spielernennt man s = (s1, s2). Somit ist die Auszahlung an Spieler 1 abhangig von s undergibt sich zu u1(s). Zusammenfassend definiert man:

Definition 2.1Ein Spiel in strategischer (oder Normal-) Form besteht aus drei Elementen:

1. Menge der I Spieler {1, . . . , I}2. Menge Si der reinen Strategien s1

i , . . . , sMii fur jeden Spieler i

3. Auszahlungsfunktionen ui(s), die fur Strategiekombinationen s = (s1, . . . , sI)die Auszahlung an den Spieler i angeben.

Die Aufgabe der Spieltheorie ist es zu prognostizieren, welche Strategie die Spieler ineinem Spiel wahlen. Diese Prognose nennt man Losung des Spiels. Die Losung kanneindeutig sein, aber auch unterschiedliche Strategiekombinationen konnen als Losungin Frage kommen.

Definition 2.2Ein Losungskonzept ist eine Korrespondenz zwischen der Menge aller Spiele und derMenge aller Strategiekombinationen.

Ein Losungskonzept ordnet also jedem Spiel eine oder mehrere (deshalb nicht Abbil-dung, sondern Korrespondenz) Strategiekombinationen als Losung zu.

Betrachtet man einen Spieler i, so wird man oftmals auch alle anderen Spielerund ihre Strategien untersuchen mussen. Wir nennen deshalb zur Vereinfachung alleGegenspieler −i. Dabei steht das ”−“ -Zeichen nicht fur eine negative Zahl, sondern

2.1 Dominanz 9

Fallstudie (Unterschiedliche Ziele)Jeder Mensch kann seine eigenen Ziele verfol-gen. In der Spieltheorie geht man davon aus,dass jeder Spieler nur seine eigene Auszahlungmaximiert.Ist ein Spieler jedoch Utilitarist, dann wirder nicht das unternehmen, was fur ihn selbstam besten ist, sondern das, was fur die Ge-meinschaft den hochsten Nutzen spendet. ImGefangenendilemma kann man durch >Geste-hen< 2 Einheiten gewinnen, wenn der andereschweigt, und 1 Einheit, wenn der andere ge-steht. Gleichzeitig wurde aber der Gegenspieler3 bzw. 4 Einheiten verlieren. Versucht der Spie-ler, den Nutzen aller zu maximieren, wurde erniemals >Gestehen<, sondern immer >Schwei-gen<.Ein Spieler konnte versuchen, das Schlimmstezu vermeiden, indem er die Strategie spielt, beider die minimale Auszahlung maximal ist. Dasist sinnvoll, wenn er davon ausgeht, dass derGegenspieler das Ziel hat, ihm einen moglichsthohen Schaden zuzufugen. Die niedrigste Aus-zahlung im Gefangenendilemma ware 0. Erwurde also >Schweigen<, um mindestens 1 zuerhalten.

Ein Spieler konnte optimistisch sein und ver-suchen, so viel wie moglich zu erhalten. Diemaximal erreichbare Auszahlung ist 5. Nurwenn er gesteht, ist sie moglich.Der Spieler konnte als Altruist versuchen,den Nutzen des Gegenspielers zu maximieren.Wenn er schweigt, erhalt der Gegenspieler einehohere Auszahlung.Der Spieler konnte versuchen, eine hohereAuszahlung zu erhalten, als der andere. DemSpieler geht es also nicht darum, dass es ihmgut geht, sondern dass es ihm besser gehtals dem Gegenspieler. Im Gefangenendilemmageht es einem nur besser als dem Gegenspie-ler, wenn man selbst gesteht, der andere aberschweigt.In der traditionellen Spieltheorie jedoch nimmtman an, dass jeder Spieler seinen eigenen Nut-zen maximiert. Wie viel der andere bekommt,ob es mehr oder weniger ist, oder wie viel dieGemeinschaft aller Spieler erhalt, ist dem Spie-ler egal. Diese Annahme wird das ganze Buchuber verfolgt. Ausnahmen davon werden expli-zit erwahnt.

dafur, dass die Gegenspieler gemeint sind. Die Strategien eines Spielers und seinerGegenspieler werden in folgender Definition wieder zusammengefuhrt.

Definition 2.3Sei s−i = (s1, . . . , si−1, si+1, . . . , sI) ∈ S−i ein Strategietupel von Strategien allerSpieler bis auf i und sei si eine Strategie des i. Dann ist

(si, s−i) = (s1, . . . , si−1, si, si+1, . . . , sI).

Im Gefangenendilemma ist die Strategie >Gestehen< dominant, da sie immer einehohere Auszahlung als die Strategie >Schweigen< verspricht — unabhangig davon,was der Gegenspieler unternimmt. Um Dominanz formal fassen zu konnen, mussman den Blickwinkel umdrehen: man schaut sich nicht die erfolgreiche (dominante)Strategie an, sondern eine nicht-erfolgreich sogenannte dominierte Strategie.

10 2 Spiele in strategischer Form

Definition 2.4Eine reine Strategie si des Spielers i ist strikt dominiert, falls si ∈ Si existiert, so dass

ui(si, s−i) > ui(si, s−i) fur alle s−i ∈ S−i.

Die Strategie ist schwach dominiert, falls

ui(si, s−i) ≥ ui(si, s−i) fur alle s−i ∈ S−iund

ui(si, s−i) > ui(si, s−i) fur ein s−i ∈ S−igilt.

Eine Strategie ist strikt dominiert, falls es eine andere gibt, die fur alle moglichenStrategien des Gegners eine hohere Auszahlung verspricht. Entsprechend ist eineStrategie schwach dominiert, falls es eine andere gibt, die fur alle moglichen Strategiendes Gegners eine mindestens genauso hohe Auszahlung bewirkt und fur mindestenseine Strategie des Gegners eine hohere.

Links RechtsOben 2 , 0 3 , 1Mitte 0 , 3 1 , 2Unten 4 , 0 1 , 1

Auszahlungsmatrix 2.2: Dominierte Strategien

In dem Spiel, das durch die Matrix 2.2 beschrieben wird, ist fur den Spaltenspielerweder >Links< noch >Rechts< eine dominante Strategie. >Rechts< ergibt eine hohereAuszahlung (1), wenn der Zeilenspieler >Oben< oder >Unten< spielt, >Links< ergibtdie hohere Auszahlung (3), falls der Zeilenspieler >Mitte< spielt.

Fur den Zeilenspieler jedoch wird die Aktion >Mitte< durch >Oben< dominiert. Spielter >Oben< anstelle von >Mitte<, so erhalt er 2 anstelle von 0, falls der Spaltenspieler>Links< spielt, und er erhalt 3 anstelle von 1, falls der Spaltenspieler >Rechts< spielt.Ein rationaler Zeilenspieler wird also niemals >Mitte< spielen. Das Konzept derstrikten Dominanz schließt diese Strategie aus.

Das Prinzip der wiederholten strikten Dominanz unterstellt, dass der Spaltenspielerdas Verhalten des Zeilenspielers antizipiert und davon ausgeht, dass dieser niemals>Mitte< spielt. Deshalb sieht sich der Spaltenspieler auch nur noch den Strategien>Oben< und >Unten< gegenubergestellt. Fur ihn gilt die Auszahlungsmatrix 2.3, diesich aus der Matrix 2.2 ergibt, wenn man die Strategie >Mitte< streicht.

Wahrend fur den Zeilenspieler in dieser Matrix keine Strategie die andere dominiert,dominiert fur den Spaltenspieler die Strategie >Rechts<, die zu einer Auszahlung von

2.1 Dominanz 11

Links RechtsOben 2 , 0 3 , 1Unten 4 , 0 1 , 1

Auszahlungsmatrix 2.3: Auszahlungsmatrix

1 fuhrt, die Strategie links, die nur eine Auszahlung von 0 bedeutet. Der Spaltenspielerspielt >Rechts<.

Die noch einmal wiederholte Anwendung des Arguments der strikten Dominanz fuhrtzu der Annahme, dass der Zeilenspieler die Strategie >Rechts< des Spaltenspielersantizipiert. Die beste Antwort des Zeilenspielers auf diese Strategie ist >Oben<, da 3eine hohere Auszahlung als 1 bedeutet.

Durch die wiederholte Anwendung des Kriteriums der strikten Dominanz ergibtsich in dem betrachteten Spiel eine Losung: Der Zeilenspieler spielt >Oben<, derSpaltenspieler spielt >Rechts<.

Beispiel 2.3 (Tankstellendyopol)Zwei Tankstellen liegen einander gegenuber an derselben Straße. Zusammen konnensie pro Tag 10.000 Liter Benzin verkaufen. Die Tankstellenbesitzer kaufen Benzinfur 0,75 Euro ein und verkaufen es zu (jeweils in Cent-Schritten) hoheren Preisen.Verlangt eine Tankstelle mehr als 0,80 Euro, so kann sie kein Benzin mehr verkaufen.Verlangen beide Tankstellen denselben Preis, so teilen sie sich den Markt. Ist eineTankstelle billiger, so kaufen alle Autofahrer bei dieser Tankstelle (10.000 Liter),wahrend die andere Tankstelle nichts verkauft. Die Auszahlungen sind in der Matrix2.4 dargestellt.

Preis 0,80 0,79 0,78 0,77 0,76 0,750,80 250 , 250 0 , 400 0 , 300 0 , 200 0 , 100 0 , 00,79 400 , 0 200 , 200 0 , 300 0 , 200 0 , 100 0 , 00,78 300 , 0 300 , 0 150 , 150 0 , 200 0 , 100 0 , 00,77 200 , 0 200 , 0 200 , 0 100 , 100 0 , 100 0 , 00,76 100 , 0 100 , 0 100 , 0 100 , 0 50 , 50 0 , 00,75 0 , 0 0 , 0 0 , 0 0 , 0 0 , 0 0 , 0

Auszahlungsmatrix 2.4: Tankstellendyopol

Fur einen Tankstellenbesitzer ist ein Preis von 0,80 Euro eine schwach dominierteStrategie. Verlangt der andere auch 0,80 Euro, so ist es besser, mit einem Preis von0,79 Euro den gesamten Markt zu erreichen und einen Gewinn von 400 zu erhalten. Bei0,80 Euro und Marktteilung hatte er nur 250 Euro Gewinn erhalten. Der Zeilenspielerwird nicht den dominierten Preis von 0,80 Euro verlangen (siehe Auszahlungsmatrix