Spieltheorie - Startseite - Mikroökonomik Technische … · 2013-01-08 · Stephan Schosser 45 Spieltheorie • Grundidee bei Evolutionsmodellen • Menschen bzw. deren Gene pflanzen

Spieltheorie Kapitel 6 – Evolutionär stabile Strategien

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Einführung • Klassische Entscheidungstheorie • Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien • Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien • Anwendungen des Nash-Konzepts • Alternative Gleichgewichtskonzepte • Evolutionär stabile Strategien

• Einführung des Konzepts • Existenz von evolutionär stabilen Strategien • Umgebungen evolutionär stabiler Strategien • Populationsdynamik

• Spiele in Extensivform • (Teilspiel-)perfekte Gleichgewichte • Perfekt Bayesianische Gleichgewichte • Wiederholte Spiele

WS12/13

Evolutionär stabile Strategien 2

Agenda

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Grundidee bei Evolutionsmodellen • Menschen bzw. deren Gene pflanzen sich in Generationen fort • Jede Generation besteht aus (unendlich) vielen Genen • Für jedes Gen wird Erfolg („Fitness“) bestimmt • Anzahl der Nachkommen des Gens abhängig von Fitness • Zentrale Frage:

Welches Gen setzt sich (langfristig) durch?

• In der Spieltheorie • Gene sind Strategien von Spielern • Generation besteht aus unendlich großer Population von Strategien • Fitness mit zufälligem Partner ermittelt • Zentrale Frage:

Welche Strategie ist langfristig keiner anderen Strategie unterlegen?

• Nutzen von spieltheoretischer Evolutionsbetrachtung • Vorhersagen für dynamische Systeme • Anwendung in Biologie

WS12/13


Evolution und Spieltheorie

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Hier: • Unser Ziel ist Verständnis des Konzepts, ... • ... nicht Lösung komplexer Fragestellungen

• Nur symmetrische Spiele mit 2 Spielern, d.h. • G = {Σ1, Σ2; π1,, π2; {1, 2}} mit Σ1 = Σ2 = Σ und π1(σ1, σ2) = π2(σ2, σ1) = π • ... oder verständlich:

WS12/13


Vereinfachende Annahmen I

Spieler 2 x y

Spieler 1 x a, a b, c y c, b d, d

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Warum ist Einschränkung auf symmetrische Spiele sinnvoll? • „Auszahlungsmatrix“ als Matrix darstellbar

• Gemischte Strategien als Vektoren darstellbar

• 

s1 = (x1 ... xm) = x s2 = (y1 ... ym) = yT

• Damit: Auszahlung ist Produkt aus Vektoren und Matritzen

• Wichtig: • xAy ist Auszahlung des Spielers mit Strategie x an, wenn Mitspieler y wählt! • Spiel jetzt vereinfacht G = (A, Σ) statt G = {Σ1, Σ2; π1,, π2; {1, 2}}

WS12/13


Vereinfachende Annahmen II

A1 =a bc d

!

"#

$

%&= A A2 =

a cb d

!

"#

$

%&= AT

Sp. 2 x y

Sp. 1 x a, a b, c

y c, b d, d

S = {x ∈ R+m | xi =1

i=1

m

∑ }

π1(s1, s2 ) = x ⋅A ⋅ y = xiaij y jj∑

i∑

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Zurück zur AusgangsüberlegungInteresse an Strategien, die sich langfristig gegenüber anderen durchsetzen

• ... oder anders • Interesse an Strategie x∗, die ...

... in Population mit wenigen y Spielern höhere Auszahlung als y erreicht • x* nennen wir Evolutionär Stabile Strategie (ESS)

• Anforderung lässt sich überführen in

• Formalx* heißt evolutionär stabile Strategie (ESS), wenn gilt(a) ∀x: x∗Ax∗ ≥ xAx∗(b) ∀y ≠ x∗ mit x∗Ax∗ = yAx∗: x∗Ay > yAy

• Nebenbemerkung:In der Forschung oft Überprüfung/Ergänzung durch Simulationen

WS12/13


Evolutionär Stabile Strategie

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• ESS besser als jede beliebige Mutanten-Strategie...... solange Anteil der Mutanten klein genug

• Formal: ∀y ≠ x*: x* A ((1 – ε)x* + εy) > yA((1 – ε)x* + εy) für ε klein genug

• Geht ε gegen 0, so erhält man x*Ax* ≧ yAx* ... also die ursprüngliche Beschreibung evolutionärer Strategien

• Damit lassen sich mit ESS auch biologische Prozesse interpretierbar • Zwei Individuen treffen zufällig aufeinander • Individuen interagieren in Spiel mit 2 Spielern • Individuen reproduzieren sich dann asexuell (jeder erzeugt Nachkommen) • Individiuen können auch gemischte Strategien wählen • Nachkommen wählen Strategie des Erzeugers

WS12/13


Alternative Interpretation

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Die Story: • Population von Tieren besetzt Lebensraum • Jedes Tier hat ein bestimmtes Territorium / „Herrschaftsgebiet“ • Tier kann eigenes Herrschaftsgebiet ausdehnen durch Angriff anderer...

... oder mit eigenem Herrschaftsgebiet zufrieden sein • Zusätzliches Herrschaftsgebiet hat Wert V > 0

• Verletzung im Kampf führt zu Verwundungskosten C > 0 (und V < C)

• Die Spieler:n Tiere (Stopp: Nicht so wichtig - Wird bewegen uns im Kontext von ESS!)

• Die Strategien:Produktionsmenge Σ ∈ {H (Angreifen, Falke), D (nicht Angreifen, Taube)}

• Die Auszahlung

WS12/13


Taube/Falke-Spiel (oder Hawk/Dove Game)

A = (V −C) / 2 V0 V / 2

"

#$$

%

&''

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Darstellung als Auszahlungsmatrix

• Zwei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien:(D, H) und (H, D)

• Ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien: (V-C)/2 · q + V · (1-q) = V/2 · (1-q) (V-C)/2 · q = V/2 · (q-1) C/2 · q = V/2 → q = V/C

Nash-Gleichgewicht: ((V/C, 1-V/C); (V/C, 1-V/C))

WS12/13


Taube/Falke Spiel – Traditionelle Betrachtung A = (V −C) / 2 V

0 V / 2

"

#$$

%

&''Spieler 2

H (q) D (1-q)

Spieler 1 H (p) (V-C)/2, (V-C)/2 V, 0 D (1-p) 0, V V/2, V/2

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Frage: Ist gemischtes Gleichgewicht ESS?

• Ermittlung: Gilt für alle x: x*Ax* ≧ xAx* mit x* = (V/C 1-V/C)?

WS12/13


Taube/Falke Spiel – Evolutionär Stabile Strategien I

(x* − x)Ax* ≥ 0

(x* − x)Ax* = VC− p 1− V

C− (1− p)

"

#$$

%

&''(V −C) / 2 V

0 V / 2

"

#$$

%

&''

V /C1−V /C

"

#$

%

&'

=VC− p −

VC− p

"

#$

%

&'

"

#$$

%

&''

V /C( ) ⋅ (V −C) / 2+ (1−V /C) ⋅V(V / 2) ⋅ (1−V /C)

"

#

$$

%

&

''

=VC− p −

VC− p

"

#$

%

&'

"

#$$

%

&''(V 2 −VC) / 2C +V −V 2 /C

(V −V 2 /C) / 2

"

#

$$

%

&

''

=12C

VC− p −

VC− p

"

#$

%

&'

"

#$$

%

&''

V 2 −VC + 2CV − 2V 2

VC −V 2

"

#$$

%

&''

=12C

(VC− p)(V 2 −VC + 2CV − 2V 2 )− (V

C− p)(VC −V 2 )

"

#$%

&'

A = (V −C) / 2 V0 V / 2

"

#$$

%

&''

Stephan Schosser 45

Spieltheorie


• Ermittlung: Gilt für alle x: x*Ax* ≧ xAx* mit x* = (V/C 1-V/C)?

• Ergebnis:Egal welchen Wert p annimmt: x*Ax* = xAx* ist immer erfüllt!

• Randbemerkung:Ergebnis nicht überraschend, da x* = (V/C 1-V/C) gemischtes GleichgewichtLogisch?

WS12/13


Taube/Falke Spiel – Evolutionär Stabile Strategien II A = (V −C) / 2 V

0 V / 2

"

#$$

%

&''

(x* − x)Ax* ≥ 0

(x* − x)Ax* = 12C

(VC− p)(V 2 −VC + 2CV − 2V 2 )− (V

C− p)(VC −V 2 )

"

#$%

&'

=12C

(VC− p)(2V 2 − 2VC + 2CV − 2V 2 )

"

#$%

&'= 0

Stephan Schosser 45

Spieltheorie


• Da für alle x: x*Ax* = xAx* mit x* = (V/C 1-V/C) gilt, ...noch zu zeigen, dass ∀y ≠ x∗: x∗Ay > yAy mit y = (p 1-p)

• Damit ist q = p = V/C eine evolutionär stabile Strategie!

WS12/13


Taube/Falke Spiel – Evolutionär Stabile Strategien III A = (V −C) / 2 V

0 V / 2

"

#$$

%

&''

yAy− x*Ay = (y− x*)AyyAy− x*Ay < 0

= (y− x*)Ay− yAx* − x*Ax*( )=0

= (y− x*)Ay− (y− x*)Ax*

= (y− x*)A(y− x*)

= ( p− VC

−(p− VC) ) (V −C) / 2 V

0 V / 2

"

#$$

%

&''( p− V

C−(p− V

C) )T

= p− VC

"

#$

%

&'2

((V −C) / 2−V +V / 2)

= −C2

p− VC

"

#$

%

&'2

< 0∀p ≠ VC

Stephan Schosser 45

Spieltheorie




WS12/13


Agenda

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• BisherJedes Spiel besitzt mindestens ein Nash-Gleichgewicht

• JetztExistiert auch für jedes beliebige Spiel eine evolutionär stabile Strategie

• Gegeben sei

• Hier gilt: xAx = yAx = 1, wegen

WS12/13


Existenz von Evolutionär Stabilen Strategien I

A = 1 11 1

!

"#

$

%&

p 1− p( ) 1 11 1

"

#$

%

&'

q1− q

"

#$$

%

&''= p+1− p p+1− p( ) q

1− q

"

#$$

%

&''= 1 1( ) q

1− q

"

#$$

%

&''=1

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Es gilt: xAx = yAx = 1

• Jetzt Prüfung der Bedingungen für (ESS) • ∀x: x∗Ax∗ ≥ xAx∗

Immer erfüllt, da xAx = yAx = 1

• ∀y ≠ x∗ mit x∗Ax∗ = yAx∗: x∗Ay > yAy Nie erfüllt, da xAx = yAx = 1

• Es gibt also keine evolutionär stabilen Strategien, für A...... damit kann es nicht für jedes Spiel eine ESS geben!

WS12/13


Existenz von Evolutionär Stabilen Strategien II A = 1 1

1 1

!

"#

$

%&

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Wenn x* vollständig gemischt ist, gilt immer für Bedingung (a):∀x: x∗Ax∗ = xAx∗, da bei Mischung Abweichen zu anderem Verhältnis

• Damit muss immer Bedingung (b) gelten:∀y ≠ x∗ mit x∗Ax∗ = yAx∗: x∗Ay > yAy

• D.h. keine andere Strategie y kann evolutionär stabil sein.

• ⇒ Ist eine gemischte Strategie eine evolutionär stabile Strategie, ...⇒ ... ist diese immer die einzige evolutionär stabile Strategie!

• Anwendung auf Taube/Falke-Spiel • Die gefunden evolutionär stabile Strategie (q = p = V/C)...

... ist die einzige im Spiel

WS12/13


Eindeutigkeit von evolutionär stabilen Strategien

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Gegeben sei folgende symmetrische Auszahlungsmatrix

• Ermittlung der Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien: {(X,Y), (Y,X)} • Ermittlung der Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien:

• Spieler i πi(X,⋅) = p ⋅ 0 + (1-p) ⋅ 3 = 3 – 3p πi(Y,⋅) = p ⋅ 1 + (1-p) ⋅ 2 = 2 – p ⇒ πi(X,⋅) = πi(Y,⋅) ⇒ 3 – 3p = 2 – p ⇒ p = 1/2

• Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien: ((1/2, 1/2), (1/2, 1/2))

• keine Randlösungen: offensichtlich keine Indifferenz an den Rändern

WS12/13

Evolutionär stabile Strategien

Umfangreiches Beispiel I

X (q) Y (1-q)

X (p) 0,0 3,1 Y (1-p) 1,3 2,2

17

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Prüfung auf evolutionär stabile Strategien • Bestimmung der Auszahlungsmatrix

• Evolutionär stabile Strategien sind immer Nash-Gleichgewichtsstrategien

• Kandidaten für evolutionär stabile Strategien (X, Y); (Y, X); ((1/2, 1/2), (1/2, 1/2))

• Weiteres Vorgehen:

Prüfung der Bedingungen für evolutionär stabile Strategien, d.h.(a) ∀x: x∗Ax∗ ≥ xAx∗(b) ∀y ≠ x∗ mit x∗Ax∗ = yAx∗: x∗Ay > yAy

WS12/13


Umfangreiches Beispiel II X (q) Y (1-q)

X (p) 0,0 3,1

Y (1-p) 1,3 2,2 A = 0 3

1 2

!

"#

$

%&

18

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Kandidat: x*(1) = (1 0) • Bedingung (a): ∀x: x∗Ax∗ ≥ xAx∗

Es gilt: x∗Ax∗ < xAx∗, da sonst x = x*

⇒ Bedingung (a) für evolutionär stabile Strategie nicht erfüllt.

WS12/13


Umfangreiches Beispiel III A = 0 3

1 2

!

"#

$

%&

19

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Bedingung (b): ∀y ≠ x∗ mit x∗Ax∗ = yAx∗: x∗Ay > yAyNicht zu prüfen, da Bedingung (a) nicht erfüllt

• ⇒ Kandidat x*(1) = (1 0) ist keine evolutionär stabile Strategie

WS12/13


Umfangreiches Beispiel IV A = 0 3

1 2

!

"#

$

%&

20

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Kandidat: x*(2) = (0 1) • Bedingung (a): ∀x: x∗Ax∗ ≥ xAx∗

Es gilt: x∗Ax∗ < xAx∗, da sonst x = x*

⇒ Bedingung (a) für evolutionär stabile Strategie nicht erfüllt.

WS12/13


Umfangreiches Beispiel V A = 0 3

1 2

!

"#

$

%&

21

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Bedingung (b): ∀y ≠ x∗ mit x∗Ax∗ = yAx∗: x∗Ay > yAyNicht zu prüfen, da Bedingung (a) nicht erfüllt

• ⇒ Kandidat x*(2) = (0 1) ist keine evolutionär stabile Strategie

WS12/13


Umfangreiches Beispiel VI A = 0 3

1 2

!

"#

$

%&

22

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Kandidat: x*(3) = (0,5 0,5) • Bedingung (a): ∀x: x∗Ax∗ ≥ xAx∗

Es gilt: x∗Ax∗ = xAx∗

⇒ Bedingung (a) für evolutionär stabile Strategie erfüllt.

WS12/13


Umfangreiches Beispiel VII A = 0 3

1 2

!

"#

$

%&

23

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Bedingung (b): ∀y ≠ x∗ mit x∗Ax∗ = yAx∗: x∗Ay > yAy

WS12/13


Umfangreiches Beispiel VIII A = 0 3

1 2

!

"#

$

%&

24

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Bedingung (b): ∀y ≠ x∗ mit x∗Ax∗ = yAx∗: x∗Ay > yAy (forts.)⇒ Einsetzten in Ungleichung:Ungleichung erfüllt für⇒ Kandidat x*(3) = (0,5 0,5) ist evolutionär stabile Strategie

WS12/13


Umfangreiches Beispiel IX A = 0 3

1 2

!

"#

$

%&

25

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Lässt sich ein Spiel ohne evolutionär stabile Strategie konstruieren?

• Bedingungen evolutionär stabiler Strategien (ESS)(a) ∀x: x∗Ax∗ ≥ xAx∗(b) ∀y ≠ x∗ mit x∗Ax∗ = yAx∗: x∗Ay > yAy ⇒ Finde ein A, das Bedingung (b) widerspricht.

• Widerspruchsbedingung: ∀x∗: x∗Ay ≤ yAy mit x* = (q 1-q)

• Allgemeine Auszahlungsmatrix:

• Eingesetzt in Widerspruchsbedingung

WS12/13


Formales Beispiel I

26

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Auflösen der Widerspruchsbedingung

• Da p ≠ q, ist die Ungleichung nur (mit Gleichheit) erfüllt für

• Erfüllt für a1 = a2 und a3 = a4

WS12/13


Formales Beispiel II

27

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Bisher: Bedingungen evolutionär stabiler Strategien (a) ∀x: x∗Ax∗ ≥ xAx∗(b) ∀y ≠ x∗ mit x∗Ax∗ = yAx∗: x∗Ay > yAy ⇒ Bedingung (b) nicht erfüllt mit ⇒ Dabei gilt x∗Ay = yAy

• Damit auch: x∗Ax∗ = xAx∗

• Gesuchtes 2-Personen-Normalformspiel ohne evolutionär stabile Strategie

WS12/13


Formales Beispiel III

28

Stephan Schosser 45

Spieltheorie




WS12/13


Agenda

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Gegeben sei ein symmetrisches Koordinationsspiel mit Auszahlungsmatrix

• Im Spiel existieren zwei Nash-Gleichgewichte x1 = (1, 0) und x2= (0, 1)

• Beide Nash-Gleichgewichte sind auch evolutionär stabil: • x1 = (1, 0)

•  •  ⇒ x1Ax1 > xAx1 • x1 = (0, 1)

•  •  ⇒ x1Ax1 > xAx1

WS12/13


Umgebungen evolutionär stabiler Strategien I

A = 2 00 4

!

"#

$

%&

xAx1 = (q 1-q) 2 00 4

!

"#

$

%& 1

0

!

"#

$

%&= (q 1-q) 2

0

!

"#

$

%&= 2q

x1Ax1 = (1 0) 2 00 4

!

"#

$

%& 1

0

!

"#

$

%&= (1 0) 2

0

!

"#

$

%&= 2

xAx1 = (q 1-q) 2 00 4

!

"#

$

%& 0

1

!

"#

$

%&= (q 1-q) 0

4

!

"#

$

%&= 4− 4q

x1Ax1 = (0 1) 2 00 4

!

"#

$

%& 0

1

!

"#

$

%&= (0 1) 0

4

!

"#

$

%&= 4

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Zentrale Frage:Gibt es eine „Umgebung“, d.h. eine Teilmenge von Strategien gegen die sich die Gleichgewichtsstrategie immer durchsetzt

• Bedingungen von evolutionär stabilen Strategien(a) ∀x: x∗Ax∗ ≥ xAx∗(b) ∀y ≠ x∗ mit x∗Ax∗ = yAx∗: x∗Ay > yAy

• D.h. wir konzentrieren uns auf Bedingung (b) • Eine Strategie x* setzt sich gegen y durch, ...

... wenn gilt x∗Ay > yAy bzw. x∗Ay – yAy > 0

• In unserem Beispiel: • x1 = (1, 0): (1 0)Ay – yAy > 0 • x2 = (0, 1): (0 1)Ay – yAy > 0

WS12/13


Umgebungen evolutionär stabiler Strategien II

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• x1 = (1, 0): • (1 0)Ay – yAy > 0

•  • = 2q (1-q) – (4-4q)(1-q) = (6q-4)(1-q) = 6q – 4 – 6q2 +4q=-6q2 + 10q – 4

• Visualisierung

• Für q ∈ ]2/3, 1[ gilt x1Ay > yAy und ...

... Umgebung des ESS: U(x1) = {(q, 1-q) ∈ [0,1]2 | q > 2/3}

WS12/13


Umgebungen evolutionär stabiler Strategien II

1 0( ) 2 00 4

!

"#

$

%&

q1− q

!

"##

$

%&&− q 1− q( ) 2 0

0 4

!

"#

$

%&

q1− q

!

"##

$

%&&= 1− q q−1( ) 2q

4− 4q

!

"##

$

%&&

-4.50 -3.50 -2.50 -1.50 -0.50 0.50 1.50

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• x2 = (0, 1): • (0 1)Ay – yAy > 0

•  • = -2q2 + (4-4q)q = -6q2 + 4q

• Visualisierung

• Für q ∈ ]0, 2/3 [ gilt x2Ay > yAy und ...

... Umgebung des ESS: U(x2) = {(q, 1-q) ∈ [0,1]2 | q < 2/3}

WS12/13


Umgebungen evolutionär stabiler Strategien III

0 1( ) 2 00 4

!

"#

$

%&

q1− q

!

"##

$

%&&− q 1− q( ) 2 0

0 4

!

"#

$

%&

q1− q

!

"##

$

%&&= −q q( ) 2q

4− 4q

!

"##

$

%&&

-4.5 -3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Stephan Schosser 45

Spieltheorie




WS12/13


Agenda

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• BisherStatische Betrachtung evolutionärer (End-)Zustände

• JetztBetrachtung dynamischer Anpassungsprozesse (Replikatordynamik)

• Neue Annahmen • Individuen spielen immer reine Strategien (keine gemischten mehr) • Verschiedene Individuen können simultan verschiedene Strategien wählen • Betrachtung polymorpher Populationen ersetzt gemischte Strategie

(d.h. Anteil der Spieler mit reiner Strategie i wird beschrieben) • Strategieverteilung: x = (x1, …, xk) • Zeitpunktbetrachtung: Strategieverteilung zum Zeitpunkt t: xt

WS12/13


Populationsdynamik (diskret) I

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• AnpassungshypotheseAnpassung der relativen Strategiewahlen ist:

• (Axt)k ist durchschnittliche Auszahlung der reinen Strategie σk • xtAxt ist durchschnittliche Auszahlung die Population erreicht

• Eigenschaften der Anpassung („to beat the average“) • Überdurchschnittlich erfolgreiche Strategien vermehren sich • Unterdurchschnittlich erfolgreiche Strategien verringern sich

• Anmerkungen • Sämtliche Elemente der Auszahlungsmatrix aij müssen größer 0 sein...

... sonst Gefahr negativer Populationsanteile oder Nenner = 0

• Population bleibt immer gleich groß:

WS12/13


Populationsdynamik (diskret) II

xk,t+1 = xk,t(Axt )kxtAxt

xk,t+1k∑ =

xk,t (Axt )kk∑xtAxt

=xtAxtxtAxt

=1

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Anpassungshypothese aus diskretem Fall ableitbar:

•  • Geht Dauer der Anpassungsperiode gegen 0, so gilt:

mit xk(t) ist Anteil von σk zum Zeitpunkt t

• Da nur Richtung der Anpassung (und nicht Betrag) relevant:

• Anmerkungen • Verzicht auf Nenner: negative Elemente in Auszahlungsmatrix möglich • Jede Nash-Gleichgewichtsstrategie ist stationärer Zustand, ...

... d.h. im Nash-Gleichgewicht gilt mit wenn σk gespielt • Wählt gesamte Population eine Strategie ist dies ein stationärer Zustand...

... Verlassen des Zustands nicht mehr möglich

WS12/13


Populationsdynamik (stetig) II

xk,t+1 − xk,t = xk,t(Axt )k − xtAxt

xtAxt

xk (t) = xk (t)(Ax(t))k − x(t)Ax(t)

x(t)Ax(t)

xk (t) = xk ((Ax)k − xAx)

x = xk = 0 xk > 0

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Evolutionär stabile Strategie • Erlaubt reine und gemischte Strategien • Im Gleichgewicht spielen alle eine dieser Strategien

• Replikatordynamik • Erlaubt nur reine Strategien • Mischung durch Zusammensetzung der Population

• Allgemein gilt • Ist x* eine evolutionär stabile Strategie, so ist x* ein asymptotisch

stabiles Gleichgewicht (Grenzwert des Zeitpfades) der Replikatordynamik • Die Umkehrung gilt nicht

WS12/13


Beziehung zwischen ESS und Replikatordynamik

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Allgemeine Form von symmetrischen Spielen mit 2 Spielern und 2 Strategien

• Anpassungsgleichung

• Folglich hat jedes dieser Spiele zwei stationäre Zustände • p = 0 • p = 1

WS12/13


ESS und Replikatordynamik – Beispiel I

A = a bc d

!

"#

$

%&

xk (t) = xk ((Ax)k − xAx)p = p((Ax)1 − xAx)

= p ap+ b(1− p)− ( p 1− p )ap+ b(1− p)cp+ d(1− p)

"

#$$

%

&''

"

#

$$

%

&

''

= p ap+ b(1− p)− p(ap+ b(1− p))− (1− p)(cp+ d(1− p))( )

= p(1− p)[b− d + p(a− c+ d − b)]

p = 0

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

• Anpassungsgleichung mit zwei Spielern

• Dominante Strategien (z.B. a > c und b > d) • Es gilt ∀p ∈ ]0,1[:

• D.h. p wächst im Intervall ]0,1[

• Einziges asymptotisch stabiles dynamisches Gleichgewicht in p∗ = 1

WS12/13


ESS und Replikatordynamik – Beispiel II

p = p(1− p)[b− d + p(a− c+ d − b)] A = a bc d

!

"#

$

%&

p = p(1− p)[b− d + p(a− c+ d − b)]= p(1− p)[p(a− c>0)+ (1− p)(b− d

>0)]> 0

Stephan Schosser 45

Spieltheorie


• Dominante Strategien (z.B. a > c und b > d) • Illustration (a = 5, b = 4, c = 1, d = 2)

WS12/13


ESS und Replikatordynamik – Beispiel III


!

"#

$

%&

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

dp/d

t

p

Stephan Schosser 45

Spieltheorie


• Koordinationsspiele (z.B. a > c und d > b) • Es gilt ∀p ∈ ]0,1[:

• Eckige Klammer > 0, wenn

• D.h. dp/dt hat Nullstelle im Intervall ]0,1[... ... und dp/dt fällt (steigt) für p < (>) p*

• p* ist instabil ⇒ System tendiert zu den beiden Extremen⇒ zwei asymptotisch stabile dynamisches Gleichgewichte in p*=0 und p*=1

WS12/13


ESS und Replikatordynamik – Beispiel IV


!

"#

$

%&

p = p(1− p)[b− d<0 + p(a− c

>0 + d − b

>0)]> 0

p* > d − b>0

a− c>0 + d − b

>0

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

dp/d

t

p


• Koordinationsspiele (z.B. a > c und d > b) • Illustration (a = 2, b = 0, c = 0, d = 4)

WS12/13


ESS und Replikatordynamik – Beispiel V


!

"#

$

%&

Stephan Schosser 45

Spieltheorie


• Taube/Falke Spiele (z.B. a < c und d < b) • Es gilt ∀p ∈ ]0,1[:

• Eckige Klammer > 0, wenn

• D.h. dp/dt hat Nullstelle im Intervall ]0,1[... ... und dp/dt fällt (steigt) für p > (<) p*

• p* ist stabil ⇒ System tendiert von den beiden Extremen zu p*⇒ ein asymptotisch stabiles dynamisches Gleichgewicht in p*

WS12/13


ESS und Replikatordynamik – Beispiel VI


!

"#

$

%&

p = p(1− p)[b− d>0 + p(a− c

<0 + d − b

<0)]> 0

p* > d − b<0

a− c<0 + d − b

<0

Stephan Schosser 45

Spieltheorie

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

dp/d

t

p


• Koordinationsspiele (z.B. a < c und d < b) • Illustration (a = 1, b = 3, c = 2, d = 0)

WS12/13


ESS und Replikatordynamik – Beispiel VII


!

"#

$

%&

Documents

Spieltheorie - Startseite - Mikroökonomik Technische … · 2013-01-08 · Stephan Schosser 45 Spieltheorie • Grundidee bei Evolutionsmodellen • Menschen bzw. deren Gene pflanzen