Statistik II - tu-dresden.de · Anpassungstests7.1.a Test von Kolmogorov{Smirnov Da zur Berechnung von Ddas Supremum einer Funktion uber alle reellen Zahlen zu bestimmen ist, scheint

Statistik II

——————————————————————————————————————————————————Fakultat Verkehrswissenschaften ”Friedrich List” Professur fur Okonometrie und Statistik, insb. im Verkehrswesen——————————————————————————————————————————————————

Statistik II

7. Anpassungstests (goodness-of-fot test):7.1 Einelementige Verteilungsklassen:

(a) Test von Kolmogorov–Smirnov,(b) χ2–Anpassungstest;

7.2 Mehrelementige Verteilungsklassen:(a) Graphische Methode,(b) Der Test von Shapiro und Wilk,(c) Modifizierter Test von Kolmogorov,(d) Der modifizierte χ2-Anpassungstest von Pearson.

Prof. Dr. Ostap OkhrinOstap Okhrin 1 of 31

Statistik II 7. Anpassungstests

MotivationI Um ein Konfidenzinterval zu berechnen und um einen Test

durchzufuhren, muss man die Verteilung der Prufstatistik kennen.I Dies ist im Fall einer endlichen Stichprobe nur moglich, falls die

Verteilungsklasse des zugrunde liegenden Merkmals bekannt ist.I Fur ein stetiges Merkmal bedeutet dies, dass eine geeignete

Verteilungsklasse ausgewahlt werden muss, die geeignet ist, diewahre (unbekannte) Verteilungsstruktur des Merkmals wieder zugeben.

I Eine Vorstellung hieruber liefern die Kenngroßen und vor allemdie graphische Datenanalyse mittels eines Histogramms.

I Bisher haben wir fast ausschließlich die Normalverteilungzugrunde gelegt.

I Wie kann dies uberpruft werden?I Ob die ausgezeichnete Verteilungsklasse die Daten nicht sinnvoll

beschreibt, kann mittels eines Anpassungstests (goodness-of-fittest) uberpruft werden.

Ostap Okhrin 2 of 31

Statistik II 7. Anpassungstests 7.1 Einelementige Verteilungsklassen

7.1 Anpassungstests fur einelementige Verteilungsklassen

Annahme: Es sei X ∼ F . Die Stichprobenvariablen X1, .., Xn seienunabhangig und identisch verteilt.

Zunachst gehen wir davon aus, dass die Verteilungsklasse von Xunter der Nullhypothese F0 = {Fϑ : ϑ ∈ Θ0} einelementig ist.

Testproblem: H0 : F = F0 gegen H1 : F 6= F0.

Dabei ist F0 eine bekannte Verteilungsfunktion.


Statistik II 7. Anpassungstests 7.1.a Test von Kolmogorov–Smirnov

(a) Der Test von Kolmogorov–Smirnov

Idee: Vergleiche F mit F0, d. h. betrachte |F (x)− F0(x) |.Da F unbekannt ist, schatzt man F durch die empirischeVerteilungsfunktion F .Dabei gibt F (x) die relative Anzahl von Beobachtungen an, diekleiner oder gleich x sind.

Teststatistik: D = supx∈IR

∣∣ F (x)− F0(x)∣∣

Entscheidung: D > c H0 abgelehnen.

Definition: Supremum einer Menge ist gleich der kleinsten oberenSchranke der Menge. Existiert das Maximum, so ist es gleich demSupremum.



Eigenschaften der Teststatistik D:

I Es kann gezeigt werden, dass die Verteilung von D unter H0

nicht von F0 abhangt, wenn F0 stetig ist. Man spricht vonverteilungsinvariant.

Motivation:I F0 ist stetig, F (−∞) = 0, F (∞) = 1, F0(x) ∈ (0, 1)

I x = F−10 (y) ⇒ D = supy∈(0,1)

∣∣∣F{F−10 (y)} − y∣∣∣.

I

F{F−10 (y)} =1

n

n∑i=1

I(−∞,F−10 (y)](Xi) =

1

n

n∑i=1

I(0,y]{F0(Xi)}.

I Da die Zufallsvariable F0(Xi) gleichverteilt auf (0, 1) ist, ist dieVerteilung von D gleich der Verteilung von

supy∈(0,1)

∣∣∣∣∣ 1nn∑

i=1

I(0,y](Ui)− y

∣∣∣∣∣ .Dabei bezeichnen U1, .., Un unabhangige Variable, die auf (0, 1)gleichverteilt sind. Damit ist die Verteilungsinvarianz bewiesen.



I Damit ist nur eine Tabelle erforderlich. Die kritischen Werte sindtabelliert (siehe Formelsammlung).

I Bezeichnet c1−α das (1− α)-Quantil dieser Verteilung, so wirdH0 abgelehnt, falls D > c1−α ist.

I Kolmogorov (1933) leitete die asymptotische Verteilung von D:

limn→∞

P(√nD ≤ x

)=

∞∑k=−∞

(−1)k e−2 k2 x2

fur x > 0.



Da zur Berechnung von D das Supremum einer Funktion uber allereellen Zahlen zu bestimmen ist, scheint die Berechnung schwierig zusein. Dies ist aber nicht der Fall. Es gilt fur F0 stetig undx1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn

D = max1≤i≤n

{F (xi)− F0(xi), F0(xi)− F (xi−1)

}.

Dabei setzt man F (x0) := 0.



Praktische Berechnung von D

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

F (x)

x

F (x15)

F (x16)

F (x17)

F (x18)

Φ(x16)

Φ(x17)

Φ(x18)

x16 x17 x18

• • •

.......

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. ........................................................................ .......

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.......................................

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...................................................

ccc

cc

cc

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq



Beispiel: Test auf eine Standardnormalverteilung (F0 = Φ).

Stichprobe: x1 = −1.0, x2 = 0.5, x3 = 0.5, x4 = 1.5

i xi F (xi) Φ(xi) F (xi−1) maxi

1 -1.0 0.25 0.159 0 0.159

2 0.5 0.75 0.691 0.25 0.441

3 0.5 0.75 0.691 0.75 0.059

4 1.5 1 0.933 0.75 0.183

Hypothesen: H0 : F = Φ vs. H0 : F 6= Φ

Prufgroße: d = 0.441.

kr. Wert: α = 0.1→ c0.9 = 0.565.

Entscheidung: d ≤ c0.9 H0 nicht abgelehnen.


Statistik II 7. Anpassungstests 7.1.b χ2–Anpassungstest

(b) Der χ2–Anpassungstest von Pearson

Allgemein: Das Merkmal X sei diskret. Es nehme r verschiedeneWerte t1, . . . , tr an. Die unterstellten Wahrscheinlichkeiten P (X = t1)bis P (X = tr) seien p1, . . . , pr.

Annahme: Es sei X ∼ Fϑ. Die Stichprobenvariablen X1, .., Xn seienunabhangig und identisch verteilt.

Strategie: Vergleiche die beobachtete Anzahl der jeweiligen Augenzahlmit der (theoretisch) erwarteten Anzahl.



Testproblem: H0 : P (X = ti) = pi fur i = 1, .., r

gegen

H1 : P (X = ti) 6= pi fur ein i

Si gebe die Anzahl der Beobachtungen an, die gleich ti sind. Dieerwartete Anzahl ist gleich n pi.

Prufgroße: Q =

r∑i=1

(Si − n pi

)2n pi

Vert. der Prufgroße: Es gilt unter der Nullhypothese

limn→∞

P(Q ≤ x

)= χ2

r−1(x)

kritische Wert: χ2r−1;1−α

Entscheidung: Q > χ2r−1;1−α H0 abgelehnen.



Beachte:

I Damit die asymptotische Verteilungsannahme gerechtfertigt ist,sollte n pi ≥ 5 (unter H0) fur alle i gelten.

I Im Gegensatz zum Test von Kolmogorov kann dieser Test auchzur Uberprufung diskreter Verteilungen angewendet werden.



Beispiel: Symmetrie eines Wurfels.

Das Ergebnis von n = 120 Wurfen lautet

1 2 3 4 5 624 12 15 25 16 28

Testproblem: H0 : P (X = i) =1

6fur i = 1, .., 6 gegen

H1 : P (X = i) 6= 1

6fur ein i;

Prufgroße: q =16

20+

64

20+

25

20+

25

20+

16

20+

64

20=

210

20= 10.5;

kritische Wert: χ2r−1;1−α = χ2

5;0.9 = 9.236 fur α = 0.1;

Entscheidung: q > χ2r−1;1−α H0 abgelehnen.

⇒ Der Wurfel ist nicht symmetrisch (zum Niveau α = 0.1).



Motivation: Anwendung des χ2–Anpassungstests von Pearson aufstetige Verteilungen

Tagliche Aktienrendite eines Jahres vs. Normalverteilung

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

−3 −2 −1 0 1 2 3

f(x)

x



Motivation: Anwendung des χ2–Anpassungstests von Pearson aufstetige Verteilungen

Tagliche Aktienrendite eines Jahres vs. t3-Verteilung

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

−3 −2 −1 0 1 2 3

f(x)

x



jetzt: χ2–Anpassungstest von Pearson angewandt auf stetigeVerteilungen

I Testproblem: H0 : F = F0 gegen H1 : F 6= F0.

I Der Testsverlauf ist genauso gleich wie fur diskrete Verteilungen.

I Unterschied 1: Man zerlegt den Wertebereich des Merkmals X inr disjunkte Klassen T1, . . . , Tr.Unter H0 sei pi = P (X ∈ Ti) > 0 fur i = 1, . . . , r.

I Unterschied 2: Si gebe die Anzahl der Stichprobenelemente an,die in der Klasse Ti liegen.

Beachte:

I Bei diesem Test kann die Nullhypothese auf Grund seinerKonstruktion nicht bestatigt werden!

I T1, . . . , Tr durfen nicht von den Daten abhangen.



Beispiel: Test auf Standardnormalverteilung.Gegeben sei die Stichprobe −1.2,−1.1,−0.6,−0.3, 0.2, 0.5, 0.8, 1.4.

Testproblem: H0 : F (x) = Φ gegen H1 : F (x) 6= Φ.

Wir wahlen r = 3 Klassen

T1 = (−∞,−1),

T2 = [−1, 1],

T3 = (1,∞),

⇒ S1 = 2, p1 = Φ(−1) = 0.1587,

S2 = 5, p2 = Φ(1)− Φ(−1) = 0.8413− 0.1587 = 0.6826,

S3 = 1, p3 = 1− Φ(1) = 0.1587.



Beispiel:

Prufgroße: q =(2− 8 · 0.1587)2

8 · 0.1587+

(5− 8 · 0.6826)2

8 · 0.6826

+(1− 8 · 0.1587)2

8 · 0.1587= 0.5163.

kritische Wert: χ2r−1;1−α = χ2

2;0.9 = 4.605 fur α = 0.1;

Entscheidung: q < χ2r−1;1−α H0 nicht abgelehnen.

⇒ Die Normalverteilung kann nicht abgelehnt werden (zum Niveauα = 0.1).


Statistik II 7. Anpassungstests 7.2 Mehrelementige Verteilungsklassen

7.2. Mehrelementige VerteilungsklassenAnnahme: Es sei X ∼ F . Die Stichprobenvariablen seien unabhangigund identisch verteilt. Ferner sei die Verteilungsklasse unter derNullhypothese gegeben durch

F0 =

{F0

(· − µσ

): µ ∈ IR, σ > 0

}.

Dabei sei F0 bekannt.

Beispiel: Ist F0 = Φ, dann ist unter H0.

F (x) = Φ

(x− µσ

)= N(µ, σ2)(x).

Testproblem:

H0 : F ∈ F0 gegen H1 : F ∈ D − F0



(a) Graphische Methode

Idee: Ist F (x) = F0

(x−µσ

), so ist

F−10

(F (x)

)= F−10

{F0

(x− µσ

)}=x− µσ

.

F−10 (·) heißt Quantilfunktion.

Ersetze F (x) durch F (x(i)) und betrachte F−10

(F (x(i))

).

Problem: F−10 (1) =∞ , deshalb: pi =

{(i− 1/2)/n

(i− 3/8)/(n+ 1/4)



Idee:I Sind alle Beobachtungen verschieden, so ist F (x(i)) = i/n.

I Mit vi = F−10 (pi) gilt somit vi ≈ (x(i) − µ)/σ.I Dies ist aquivalent zu x(i) ≈ µ+ σvi.I Ist H0 richtig, so liegen also die Punkte

(vi, x(i)

)in etwa auf

einer Geraden. Das Schaubild dieser Punktepaare heißtQuantil-Plot (QQ-Plot).

I Diese Gerade kann mittels der Methode der kleinstenFehlerquadrate bestimmt werden (vgl. Kapitel 2):

n∑i=1

(x(i) − a− bvi

)2 != min

a,b x = x− σv︸︷︷︸

=a

+ σ=bv,

mit σ =

n∑i=1

(x(i) − x

) (vi − v

)/

n∑i=1

(vi − v

)2I Betrachte die Ausgleichsgerade x = x− σv + σv.

v = 0 Schatzer fur µ : x− σvv = 1 Schatzer fur µ+ σ : x+ σ − σv



Beispiel: WIG

1200

016

000

2000

024

000

day

wig

04.02 11.02 05.03 12.03

Zeitraum: 01.01.2002 – 31.12.2003 (# 499)



Beispiel: WIG-Rendite

−0.

04−

0.02

0.00

0.02

0.04

day

rWIG

04.02 11.02 05.03 12.03

Zeitraum: 01.01.2002 – 31.12.2003 (# 498)



Beispiel: Q-Q-Plot fur die WIG-Rendite (F0 = Φ)

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−3 −2 −1 0 1 2 3

−0.

04−

0.02

0.00

0.02

0.04

Normal Q−Q Plot

Theoretical Quantiles

Sam

ple

Qua

ntile

s

0.00

07960.0119

vi = Φ−1(i−1/2n

), x = 0.000796 , s = 0.0120, σ = 0.0119

Zeitraum: 01.01.2002 – 31.12.2003 (# 499)



Beispiel: Q-Q-Plot fur Pseudo-Zufallszahlen zu Φ

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−3 −2 −1 0 1 2 3

−0.

04−

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0.02

0.04

Normal Q−Q Plot

Theoretical Quantiles

Sam

ple

Qua

ntile

s

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Beispiel: Q-Q-Plot fur die WIG-Rendite (F0 = t5)

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−4 −2 0 2 4

−0.

04−

0.02

0.00

0.02

0.04

Student t (5 df) Q−Q Plot

v

rWIG

0.00

07960.012

vi = t−15

(i−1/2n

)/√

5/(5 − 2) , x = 0.000796 , s = 0.0120, σ = 0.0120

Zeitraum: 01.01.2002 – 31.12.2003 (# 499)



(b) Der Test von Shapiro und Wilk (1965)

Testproblem: H0 : F (x) = Φ

(x− µσ

)gegen

H1 : F (x) 6= Φ

(x− µσ

)

Teststatistik: W =

(n∑i=1

(X(i) − X

)Φ−1

((i− 1/2)/n

))2

n∑i=1

(X(i) − X

)2 n∑i=1

Φ−1((i− 1/2)/n

)2Entscheidung: W < c H0 abgelehnen.

Die kritischen Werte c sind tabelliert.



Idee:

I W ist gleich dem Quadrat des PearsonschenKorrelationskoeffizienten angewandt auf (Φ−1((i− 1/2)/n), x(i))

I deshalb ist W ein Schatzer fur ρ2, wobei ρ die Korrelationzwischen den beiden Variablen bezeichne.

I Die Punktepaare sollten in etwa auf einer Geraden liegen, wennH0 zutrifft,

I d.h. W sollte groß sein.



Beispiel: Fur rWIG ist W = 0.987 und der p-Wert ist gleich0.0001951. Damit wird die Normalverteilungshypothese abgelehnt.

Beachte: Der Test von Shapiro und Wilk kann auch auf beliebigeVerteilungsklassen F0 vom obigen Typ angewandt werden. DieFunktion F0 muss allerdings bekannt sein. Die kritischen Wertehangen allerdings von F0 ab.



(c) Modifizierter Test von Kolmogorov

Die Verteilungsklasse unter H0 ist gegeben durchF0 = {F0(

·−µσ ) : µ ∈ IR, σ > 0}. Die unbekannten Parameter µ und σ

werden nun durch X und S geschatzt.Prufgroße:

D∗ = supx∈IR

∣∣∣∣F (x)− F0(x− XS

)

∣∣∣∣Entscheidung: Ist D∗ > c∗, so wird H0 abgelehnt.Problem: Die Verteilung von D∗ hangt jetzt von F0 ab!

Tabelle fur c∗(α, n)

H0 : F ∈ α 0.1 0.05 0.01{N (µ, σ2)

} √n(

1− 0.01√n

+ 0.85n

)c∗ 0.819 0.895 1.035{

Exp(λ)} √

n(

1 + 0.26√n

+ 0.5n

) (c∗ − 0.2

n

)0.990 1.094 1.308

Es ist c∗ < c. Der p-Wert ist gleich PH0

(D∗ > d∗

).



(d) Der modifizierte χ2-Anpassungstest von Pearson

Annahmen:

I Es sei X ∼ F .

I X sei diskret.

I X nehme die Werte t1, .., tr an.

I Es sei P (X = ti) = pi(ϑ) mit ϑ ∈ Θ.

Testproblem: H0 : ϑ ∈ Θ0 gegen H1 : ϑ ∈ Θ1.

Zunachst werden die Parameter geschatzt. Es wird die Prufstatistik Qverwendet, allerdings wird pi durch pi(ϑ) ersetzt. Ist Θ einl-dimensionaler Parameterraum, so ist die asymptotische Verteilungder Teststatistik Q unter H0 eine χ2

r−1−l-Verteilung.


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Statistik II - tu-dresden.de · Anpassungstests7.1.a Test von Kolmogorov{Smirnov Da zur Berechnung von Ddas Supremum einer Funktion uber alle reellen Zahlen zu bestimmen ist, scheint