Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 1 06.10.2010

Statistik und Wahrscheinlichkeit

1 Grundbegriffe der beschreibenden Statistik

1.1 Häufigkeit eines Merkmals einer Datenmenge 1.2 Kennzahlen (Zentralmaße) einer Datenmenge

2 Grundbegriffe der schließenden Statistik

2.1 Statistische Wahrscheinlichkeit 2.2 Axiomatische Wahrscheinlichkeit 2.3 LAPLACE-Wahrscheinlichkeit

3 Anzahlbestimmung – Kombinatorik

3.1 Geordnete Stichprobe mit Wiederholung (Variation mit Wiederholung) 3.2 Geordnete Stichprobe ohne Wiederholung (Variation ohne Wiederholung) 3.3 Ungeordnete Stichprobe ohne Wiederholung (Kombination ohne Wiederholung) 3.4 Ungeordnete Stichprobe mit Wiederholung (Kombination mit Wiederholung)

4 Bedingte Wahrscheinlichkeit

4.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit 4.2 Multiplikationssatz für bedingte Wahrscheinlichkeiten 4.3 Unabhängige Ereignisse

5 Diskrete Verteilungen

5.1 Verteilung von Zufallsvariablen 5.2 Binomialverteilung 5.3 Poisson Verteilung

6 Stetige Verteilungen

6.1 Klasseneinteilung 6.2 Dichtefunktionen 6.3 Gleichverteilung 6.4 Normalverteilung 6.5 Dichtefunktion der Normalverteilung 6.6 Standardnormalverteilung 6.7 Approximation der Binomialverteilung 6.8 Approximation der Poisson Verteilung

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 2 06.10.2010

Statistik und Wahrscheinlichkeit Statistik ist die Gesamtheit der Methoden, die für die Untersuchung von Massendaten angewendet werden können. Man unterscheidet: 1. Deskriptive (beschreibende, empirische) Statistik: Man untersucht ein Phänomen und fasst die Daten zusammen, ordnet sie, stellt sie grafisch dar. Auf wissenschaftliche Aussagen wird verzichtet. 2. Induktive (schließende, folgernde, mathematische, analytische) Statistik: Grundlage ist die Wahrscheinlichkeitstheorie. Ergebnisse der deskriptiven Statistik dienen häufig als Ausgangspunkt für verallgemeinernde Aussagen.

1 Grundbegriffe der beschreibenden Statistik

(Verwende das Applet Statistik – diskret: http://webprojekte.grg21oe.at/fri/ Mathematik/7. Klasse: Englisch oder 8. Klasse: deutsch) 1.1 Häufigkeit eines Merkmals einer Datenmenge Beispiel: Manuelle Eingabe der der letzten M-SA-Noten: und auf <Auswerten> klicken Urliste geordnete Liste … Stichprobe vom Umfang n Tabelle: In der Liste treten die Merkmale xi= 1,…,5 auf. Die absolute Häufigkeit h(xi) eines Merkmals xi bei einer Stichprobe vom Umfang n ist jene Zahl, die angibt, wie oft das Merkmal xi auftritt. Die relative Häufigkeit r(xi) eines Merkmals xi bei einer Stichprobe vom Umfang n ist gegeben durch:

n

xhxr i

i

)()( = . Diese kann man als Bruch, Prozentwert oder Dez.zahl darstellen.

Histogramm: Die relative Häufigkeit r(xi) entspricht dem Flächeninhalt der jeweiligen Streifen über dem Intervall mit der Mitte xi. 1.2 Kennzahlen (Zentralmaße) einer Datenmenge Datenanzahl (Umfang), Minimum, Maximum Spannweite: Die Differenz zwischen Maximum und Minimum.

Das arithmetische Mittel x aller Daten d1, d2, . . . ,dn erhält man, indem man die Summe dieser Zahlen durch ihre Anzahl n dividiert.

n

dddx n+++

=...21 .

Gewichtetes arithmetisches Mittel: Treten bei den Daten d1, d2, . . . ,dn die Merkmale x1, x2, . . . ,xm auf, so gilt auch:

)(....)(.)(.)(.

...)(.)(.)(....)(.)(.

221122112211

mmmmmm xrxxrxxrx

n

xhx

n

xhx

n

xhx

n

xhxxhxxhxx ++=+++=

++=

Modus: Der am häufigsten in der Liste auftretende Wert heißt Modalwert oder Modus. (Eine Liste kann auch mehrere Modalwerte besitzen.) Median: Der Wert in der Mitte der geordneten Liste ist der Median. Bei gerader Anzahl von Listenwerten bildet man das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte. Beispiele: SA-Noten (a) fast nur 2-er (geringe Streuung), (b) fast nur 1er und 5-er (große Streuung) Als Streuungsmaß verwendet man:

Standardabweichung: n

xdxdxds n

222

21 )...()()( −+−+−

=

Verwendet man die Merkmale xi so gilt:

)(.)...()(.)()(.)()(.)(...)(.)()(.)( 2

22

212

1

22

221

21

mmmm xrxxxrxxxrxx

n

xhxxxhxxxhxxs −+−+−=

−++−+−=

Bemerkung: s2 nennt man Varianz .

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 3 06.10.2010 Übungsbeispiele: Beispiel 1: Punkteverteilung bei der 1. M-SA 8B am 15.10.07: (max. 18 Punkte): 3 11 18 17 7 17 17 18 10 18 13 12 11 14 18 17 15 17 10 18 8 13 11 18 Beispiel 2: SA-Noten einer (fiktiven SA): 2 4 4 5 4 4 4 5 5 3 5 5 3 4 4 4 5 5 2 5 5 4 3 4 4 4 4 5 4 4 3 5 Beispiel 3: 60 Würfe mit einem normalen Spielwürfel (mit 6 Augenzahlen): 4 2 4 4 6 2 5 6 6 5 5 5 3 4 3 6 1 1 6 6 1 3 1 6 2 1 6 1 2 4 5 2 6 4 3 5 2 6 3 1 2 6 3 1 1 6 2 4 1 5 5 3 4 5 4 4 3 3 2 4 Ermittle die Kennzahlen und interpretiere deren Aussagekraft für den jeweiligen Datensatz!

2 Grundbegriffe der schließenden Statistik

Was ist Wahrscheinlichkeit? Das weiß niemand. Sie ist ein Produkt menschlicher Bemühungen, Ereignisse in der Zukunft vorherzusagen. Sie soll eine Vorstellung über den Grad der Sicherheit vermitteln, mit der ein Ereignis auftritt. 2.1 Statistische Wahrscheinlichkeit Als guter Anhaltspunkt für die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis A [in Zeichen P(A)], dient die relative Häufigkeit r(A) für ein großes n: P(A) ≈ r(A) Gesetz der großen Zahlen:

Beispiel: Eine langfristige Untersuchung der Matches einer Fußballmannschaft liefert folgende relative Häufigkeiten für die Anzahl der geschossenen Tore:

Anzahl der erzielten Tore

Merkmal r(x) ≈ P(x) (in %)

0 0 30 1 1 35 2 2 20

>2 m 15 Man definiert P(x) durch r(x)

2.2 Axiomatische Wahrscheinlichkeit In der Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet man folgende Bezeichnungen (siehe voriges Beispiel): Die Menge der Merkmale 1, 2, 3,m nennt man (Elementar-)Ereignisse: ωi. Diese bilden den Ereignisraum Ω = 0,1,2,m. Jedes mögliche Ereignis ist eine Teilmenge von Ω. z.B. höchstens 1 Tor … E1 = 0,1; mehr als 2 Tore …E2 = m; …. Die Eigenschaft P(A) ≈ r(A) legt folgende Regeln für die Wahrscheinlichkeit nahe: Axiomensystem von KOLMOGOROW (1933) (P1) P(E) ≥ 0 für alle E ⊆ Ω (P2) P(Ω) = 1 (P3) P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) wenn E1 und E2 keine gemeinsamen Elemente haben. z.B. P(E1) = P(0∪1) = P(0) + P(1) = 30% + 35% = 65% P(höchstens 1 Tor oder mehr als 2Tore) = P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) = 65% + 15% = 80%

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 4 06.10.2010 Übungsbeispiele: Beispiel 4: Würfel (Hexaeder): Ω = 1,2,3,4,5,6. Welche Teilmengen von Ω beschreiben folgende Ereignisse: a) ein 6-er wird gewürfelt, b) eine gerade Zahl wird gewürfelt, c) die Zahl 7 wird gewürfelt, d) eine Zahl < 7 wird gewürfelt. Beispiel 5: Berechne für das Fußballbeispiel durch Verwendung der Axiome: a) P(es werden Tore erzielt), b) P(es werden weniger als 3 Tore erzielt), c) P(es werden 0 oder mehr Tore erzielt) Beispiel 6: Beweise mit den Axiomen von KOLMOGOROW: P(∅) = 0 ! 2.3 LAPLACE-Wahrscheinlichkeit Für manche Beispiele z.B. 6 Augenzahlen beim Würfeln mit einem Hexaeder ist eine LAPLACE-Annahme: jedes Elementarereignis ist gleichwahrscheinlich sinnvoll. Besitzt ein LAPLACE-Experiment n Ereignisse ωi gilt dann nach (P2) und (P3): 1 = P(Ω) = P(ω1)+ P(ω2)+…+ P(ωn) = n . P(ω1) ⇒ P(ωi) = 1/n Simuliere mit dem Applet Statistik – diskret / automatisch – LaPlace 60 Würfe mit einem Hexaeder und vergleiche r(x) mit P(x). Erhöhe die Anzahl der Würfe. Beispiel: Roullete … 37 mögliche Ausfälle (Elementarereignisse): 0,1,2,3,…36 LAPLACE-Annahme: P(0) = P(1) = P(2) = … = P(36) = 1 /37 = 2,7% Simuliere eine Versuchsreihe von Rouletteergebnissen mit dem Applet Statistik – diskret und überprüfe das Gesetz der großen Zahlen. Beispiel: Ereignisse beim Roulette, die mehrere Ausfälle beinhalten: P(Pair) = P(gerade Zahlen von 1 bis 36) = P(2) + P(4) + … + P(36) = %65,48.18 37

18371 ==

Beispiel: Ein L-Würfel (Hexaeder) wird geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl größer als 4 kommt! Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 → mögliche Fälle: 6 Ereignis H = 5, 6 → günstige Fälle: 2 Übungsbeispiele: Beispiel 7: Simuliere mit dem Applet Statistik – diskret 20, 200, 2000, 20000 Würfe mit einem Tetraeder (mit 4 Augenzahlen) und interpretiere die auftretenden relativen Häufigkeiten im Vergleich mit der L-Wahrscheinlichkeit. Beispiel 8: Berechne für ein Tetraederwürfeln mit der LAPLACE-Regel folgende Wahrscheinlichkeiten: P(es wird eine Primzahl gewürfelt), P(es wird 5 gewürfelt), P(es wird eine natürliche Zahl gewürfelt)! Beispiel 9: Simuliere mit dem Applet Statistik – diskret das Drehen der Roullete-Scheibe. a) Ermittle empirisch (durch Versuche): Ab wieviel Versuchen gilt |P(A) − r(A)| < 5% ? b) Berechne P(Plein), P(Carré), P(Passe) !

LAPLACE-Regel: AusfällemöglichenderAnzahl

AusfällegünstigenAfürderAnzahlAP =)(

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 5 06.10.2010 3 Anzahlbestimmung – Kombinatorik

Fundamentale Produktregel: Die Gesamtzahl der Möglichkeiten ergibt sich als Produkt aus der Anzahl der Möglichkeiten, die bei jeder Entscheidung getroffen werden kann. 3.1 Geordnete Stichprobe mit Wiederholung (Variation mit Wiederholung) Definition: Ist M eine Menge von n Elementen, so heißt jede Anordnung von k (nicht notwendig verschiedenen) Elementen aus M („k-Tupel“) eine geordnete Stichprobe mit Wiederholungen vom Umfang k aus n Elementen. Variation mit Wiederholung von n Elementen zur Klasse k. Anzahl: n.n….n = nk Beispiel: Wie viele dreiziffrige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 1 und 2 bilden? Schreibe sie alle auf! 111 121 211 221 112 122 212 222 Anzahl: n=2, k=3 23 = 8 Beispiel: Urnenmodell: Eine Urne enthält n Kugeln verschiedener Farbe. Zieht man nacheinander k Kugeln mit Zurücklegen, so erhält man eine geordnete Stichprobe mit Wiederholungen vom Umfang k. Wie viele Möglichkeiten gibt es? ⇒ nk Beispiel: Kästchenmodell: k nummerierte (unterscheidbare) Kugeln sollen auf n Kästchen a1, …, an aufgeteilt werden, wobei in ein Kästchen auch mehrere Kugeln passen. Jede Aufteilung ist eine geordnete Stichprobe (ai, aj, … ) vom Umfang k, wobei ai das Kästchen der 1. Kugel, aj das Kästchen der 2. Kugel, u.s.w. ist. Wie viele Möglichkeiten gibt es? ⇒ nk 3.2 Geordnete Stichprobe ohne Wiederholung (Variation ohne Wiederholung) Definition: Ist M eine Menge von n Elementen, so heißt jede Anordnung von k verschiedenen Elementen aus M eine geordnete Stichprobe ohne Wiederholungen vom Umfang k aus n Elementen. Variation ohne Wiederholung von n Elementen zur Klasse k Anzahl: (n)k = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · (n − k + 1) = n! / (n − k)! Beispiel: Wie viele zweiziffrige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 1, 2, 3, 4 bilden, wenn jede Ziffer nur einmal vorkommen darf? Schreibe alle auf! 12 21 31 41 13 23 32 42 14 24 34 43 Anzahl: Anzahl: n=4, k=2 ⇒ (4)2 = 4 · 3 = 12 Beispiel: Urnenmodell: Eine Urne enthält n Kugeln verschiedener Farbe. Zieht man nacheinander k Kugeln mit Zurücklegen, so erhält man eine geordnete Stichprobe mit Wiederholungen vom Umfang k. Wie viele Möglichkeiten gibt es? ⇒ (n)k Beispiel: Kästchenmodell: k nummerierte (unterscheidbare) Kugeln sollen auf n Kästchen a1, …, an aufgeteilt werden, wobei in jedes Kästchen nur 1 Kugel passt. Jede Aufteilung ist eine geordnete Stichprobe (ai, aj, … ) vom Umfang k, wobei ai das Kästchen der 1. Kugel, aj das Kästchen der 2. Kugel, u.s.w. ist. Wie viele Möglichkeiten gibt es? ⇒ (n)k Sonderfall: Eine geordnete Stichprobe ohne Wiederholung mit k = n heißt Permutation. Anzahl: (n)n = n!

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 6 06.10.2010 3.3 Ungeordnete Stichprobe ohne Wiederholung (Kombination ohne Wiederholung) Definition: Ist M eine Menge von n Elementen, so heißt Teilmenge von k verschiedenen Elementen aus M eine ungeordnete Stichprobe ohne Wiederholungen vom Umfang k aus n Elementen. Kombination ohne Wiederholung von n Elementen zur Klasse k

Anzahl:

k

n

Beweis: Es gibt x k-Teilmengen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt. Jede diese k-Teilmengen kann man in k! verschiedenen Anordnungen anschreiben (permutieren) und man erhält somit alle möglichen Anordnungen von k Elementen aus n. Das sind aber die geordneten Stichproben und davon

gibt es laut früher (n)k Stück. ⇒ x . k! = (n)k ⇒

==

k

n

k

nx k

!

)(

Beispiel: Urnenmodell: Eine Urne enthält n Kugeln verschiedener Farbe. Zieht man gleichzeitig k Kugeln, so erhält man eine ungeordnete Stichprobe ohne Wiederholungen vom Umfang k. Wie viele

Möglichkeiten gibt es? ⇒

k

n

Beispiel: Kästchenmodell: k gleiche Kugeln sollen auf n Kästchen a1, …, an aufgeteilt werden, wobei in jedes Kästchen nur 1 Kugel passt. Jede Aufteilung ist eine ungeordnete Stichprobe (ai, aj, … ) vom Umfang k, wobei ai, aj, die mit Kugeln belegten Kästchen sind. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Beispiel: Geg. n verschieden Punkte im Rn, von denen nie drei auf der selben Geraden liegen. Wie viele Verbindungsgeraden sind möglich? Beispiel: Geg. n verschieden Punkte im Rn, von denen nie vier in der selben Ebene liegen. Wie viele Verbindungsebenen sind möglich? Beispiel: Binomischer Lehrsatz

( ) nn

kknk

nnnnbaxbaxbaxbaxbaxbabababa 022

211

10

0 ...........))...()(( ++++++=+++=+ −−−

und kx ist die Anzahl der Möglichkeiten aus diesen n Klammern genau k mal die Klammer mit b

auszusuchen. ⇒

=

k

nxk somit gilt der Binomische Lehrsatz: ( ) ∑

=

−

=+

n

k

kknnba

k

nba

0

3.4 Ungeordnete Stichprobe mit Wiederholung (Kombination mit Wiederholung) Definition: Ist M eine Menge von n Elementen, so heißt eine Gruppe von k Elementen (die sich auch wiederholen können) aus M eine ungeordnete Stichprobe mit Wiederholungen vom Umfang k aus n Elementen. Kombination mit Wiederholung von n Elementen zur Klasse k

Anzahl:

+−

k

kn 1

Beweis: Es werden aus M = a1, a1,…, an k-Gruppen ausgewählt. Wir stellen eine solche mit Hilfe der Menge a1, a1,…, an so dar, dass die n-1 Beistriche bleiben (sie lokalisieren jedes Element ∈ M) und für die gewählten ai jeweils ein x gesetzt wird. (Die aj, die nicht auftreten sind Leerräume geworden, die Beistriche als Trennstriche bleiben aber um die eindeutige Lokalisation zu erhalten). Beispiel: aus M = a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7 4-Gruppen auswählen (n = 7, k = 4) Eine Stichprobe wäre: (a4, a2, a7, a4) ≅ (a2, a4, a4, a7) ≅ …. Diese wird codiert durch , x x , , x, , , x → 7-1=6 Beistriche + 4 x-en → 7 – 1 + 4 = 10 Zeichen zi Jede k-Gruppe lässt sich eindeutig durch eine Anordnung von n-1 Beistrichen und k x-en der Art , , x x x x, …, beschreiben. Diese Anordnung besteht also aus n – 1 + k Zeichen (z1, z2, .. ,zn-1+k). Aus diesen n – 1 + k Zeichen werden k ausgewählt, die x-en sein sollen. Das sind ungeordnete Stichproben vom Umfang k aus n – 1 + k Elementen und davon gibt es

laut oben

+−

k

kn 1!

Beispiel von oben: (a4, a2, a7, a4) ≅ (a2, a4, a4, a7) ≅ …. ↔ , x x , , x , , , x ↔ (z2, z3, z6,z10)

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 7 06.10.2010 Beispiel: Urnenmodell: nicht möglich! Beispiel: Kästchenmodell: k gleiche Kugeln sollen auf n Kästchen a1, …, an aufgeteilt werden, wobei in jedes Kästchen beliebig viele Kugeln passen. Jede Aufteilung ist eine ungeordnete Stichprobe (ai, aj, … ) vom Umfang k, wobei ai, aj, die mit Kugeln belegten Kästchen sind, wobei sich die ai wiederholen dürfen. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Beispiel: 3 Päckchen Zigaretten aus dem Zigarettenautomat Aus einem prall gefüllten Zigarettenautomat mit 15 Fächern kann man 15 verschiedene Zigarettensorten auswählen. Sie erhalten den Auftrag, 3 Päckchen Zigaretten zu besorgen, wobei es egal ist, um was es sich dabei handelt, da es dem Raucher nur um Nikotin geht. Wie viele mögliche Zusammensetzungen von unterschiedlichen 3 Zigarettenpäckchen gibt es. Bemerkungen: 1.) Für jede Ziehung stehen alle Zigarettensorten zur Verfügung. D.h. sie können mehrmals dieselbe Marke ziehen (mit Wiederholung). 2.) Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Zigarettenpäckchen gezogen werden (Reihenfolge irrelevant). n = 15 Zigarettensorten, k = 3 Zigarettenpäckchen

Anzahl: 6803

17

3

3115=

=

+− ⇒ 680 mögliche unterschiedliche 3

Zigarettenpäckchenkombinationen. Zusammenfassung: Ohne Wiederholungen Mit Wiederholungen

Geordnete Stichproben k)n( kn

Ungeordnete Stichproben

k

n

+−

k

kn 1

Beispiel 10: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit aus einem 4, 5, 6-stellgen Passwort das richtige zu erraten? (es werden nur die 26 Kleinbuchstaben verwendet) Beispiel 11: Eine Klasse hat 14 Schüler und 10 Schülerinnen. Die 1. Reihe besteht aus 8 Sitzplätzen, die alle besetzt sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der 1. Reihe nur Mädchen sitzen? Beispiel 12: Eine Urne enthält 2 rote und 2 blaue Kugeln. Es wird 5 mal eine Kugel gezogen (mit Zurücklegen). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei dieser 5er Serie genau 3 mal rot zu ziehen? (Hinweis: alle 5er Serien sind gleichwahrscheinlich, da die Einzelziehungen unabhängig voneinander sind.) Beispiel 13: Die Ziffern 1 2 3 4 5 werden in beliebiger Reihenfolge angeordnet um ein 5-stellige Zahl zu erhalten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl größer als 50000 zu erhalten? Exercise 14: In a class are 28 students: 2 boys and 26 girls. One boy is the speaker and two girls assist him. How many triples are possible? Exercise 15: There are 5 points in a plane, and it never happens that 3 points belong to the same line. How many triangles can you form using any three points of these 5 points? Exercise 16: There are 4 places A, B, C, D. How many possibilities do you have when you choose a) 1, b) 2, c) 3, d) 4 places?

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 8 06.10.2010

Exercise 17: Calculate:

0

8,

8

8,

3

10,

7

10,

4

6,

2

6

4 Bedingte Wahrscheinlichkeit

Siehe 6. Klasse 4.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit 2 verschiedenfärbige Würfel: Ω = N6 x N6 . → |Ω| = 36 Es sei B =(x,y)∈Ω | x+y = 6 = (1,5);(5,1),(2,4);(4,2);(3,3) → |B| = 5 ⇒ 36

5)( =BP

Zusatz: In wieviel % der Fälle, wo B eintritt, gilt zusätzlich A=(x,y)∈A | x∨y = 2 = (2,4);(4,2)

→ |A|=2 ⇒ )(

)()/(

365

362

52

BP

BAPBAP

∩===

Bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Hypothese B: )(

)()/(

BP

BAPBAP

∩=

4.2 Multiplikationssatz für bedingte Wahrscheinlichkeiten

)(

)()/(

BP

BAPBAP

∩=

⇒ Multiplikationssatz für bedingte Wahrscheinlichkeiten: )/(.)()( BAPBPBAP =∩

Beispiel: Drei Kartons mit mit funktionierenden und defekten Glühbirnen: Ω = (x,y)| x = i,ii,iii ∧ y = d, f Ein Karton und daraus eine Birne werden gewählt. P(defekt) = ?

Multiplikationssatz: (1. Pfadregel):

152

104

31 .)/(.)()( ===∩ IDPIPDIP

181

61

31 .)/(.)()( ===∩ IIDPIIPDIIP

81

83

31 .)/(.)()( ===∩ IIIDPIIIPDIIIP

Additionssatz: (2. Pfadregel): %4,31)( 360

11381

181

152 ==++=DP

Da ABBA ∩=∩ gilt, folgt:

)/(.)()/(.)( ABPAPBAPBP = und somit

Satz von BAYES: )(

)(.)/()/(

AP

BPBAPABP =

4.3 Unabhängige Ereignisse Unabhängige Ereignisse: )()/( APBAP = und )()/( BPABP =

Karton defekt (d) OK (f) I 4 6 II 1 5 III 3 5

iii i

d

START

1/3

ii

1/3 1/3

f d f d f

4/10 6/10 1/6 5/6 3/8 5/8

d…defekt f…funktioniert

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 9 06.10.2010 ⇒ Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse: )(.)()( APBPBAP =∩

Beispiel: Roulette: Es wird auf Pair gesetzt. Für die Wahrscheinlichkeit für Gewinn (G) bzw. Verlust (V) gilt: 37

18)( == pGP und 3719)( == qVP

Ein Versuch besteht aus 3-maligen Setzen auf Pair. ⇒ Ω = (GGG), (GGV), (GVG), … (Vergleiche das Baumdiagramm!) Berechne: P(genau 2-mal Gewinn)! Achtung: Die Tripel aus Ω sind NICHT gleichwahrscheinlich! Die Einzelspiele sind aber voneinander unabhängige Ereignisse d.h.: P(A) = P(A / B) Addiere die für das Ereignis zuständigen Pfadprodukte! Beispiel 21: Eine (unfaire) Münze (Kopf, Adler) wird geworfen: 3

2)( =KP . Erscheint K, wird eine Zahl

aus 1,2,3,4,5,6,7,8,9 L-gewählt, erscheint A wird eine Zahl aus 1,2,3,4,5 L-gewählt. Berechne: P(Zahl ist gerade) ! Beispiel 21a: Ein junges Ehepaar blickt 50 Jahre in die Zukunft. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Mann noch dann noch lebt ist 4

1 , dass die Frau lebt aber 31 (zäher).

Berechne: a) P(beide leben noch), b) P(mindestens einer lebt noch), c) P(keiner lebt mehr), d) P(nur die Frau lebt noch). Beispiel 22: Roullettebeispiel aus der SÜ: P(genau 0-mal, 1-mal, 2-mal, 3-mal Gewinn bei einer 3er Serie)

V G

G

G

G

G G G

V V

V V V V

START p q

p

p

q q

q q q q

p

p p p

G…gewonnen V…verloren

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 10 06.10.2010

5 Diskrete Verteilungen

5.1 Verteilung von Zufallsvariablen Die Ausfälle (Elementarereignisse) werden durch Zahlen ai dargestellt. Diese nennt man Zufallsvariable X: X: Ω → R. Nimmt X den Wert ai an, so schreibt man: X= ai. Sind diese Werte ai ganzzahlig, so spricht man von einer diskreten Zufallsvariablen. Kann ai alle reellen Werte eines Intervalls annehmen, so liegt eine stetige Zufallsvariable vor. Die Funktion, die jedem Wert ai die zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X=ai) zuordnet, nennt man Wahrscheinlichkeitsverteilung f: f: ai → P(X=ai) Beispiele: a) Geschlechtsbestimmung: Ω = , Zufallsvariable: X() = 0; X() = 1 ⇒ diskret Wahrscheinlichkeitsverteilung f: f(0) = 0.5; f(1) = 0.5 b) Würfeln: Zufallsvariable: ⇒ diskret Wahrscheinlichkeitsverteilung f: f(1) = f(2) = … = f(6) = 1/6 c) Körpergröße: Ω = [a,b]R ⇒ stetige Zufallsvariable(siehe später) Beispiel: Mit zwei verschiedenfärbigen L-Tetraedern wird gewürfelt. Die Zufallsvariable X sei die Augensumme. Ω = (r,b) | r = 1,…,4 ∧ b = 1,…,4 ⇒ 16 mögliche gleichwahrscheinliche Fälle. ⇒ P((r,b)) = 16

1 .

Günstige Ausfälle (1,1)

(1,2) (2,1)

(1,3) (3,1) (2,2)

(1,4) (4,1) (3,2) (2,3)

(2,4) (4,2) (3,3)

(3,4) (4,3) (4,4)

a = r + b 2 3 4 5 6 7 8

f(a) = P(X=a) 161 16

2 163 16

4 163 16

2 161

In Analogie zum Mittelwert wird festgesetzt:

Erwartungswert E(X) = µ = ∑=

m

iii afa

1

)(. ⇒ µ = 5

Standardabweichung ∑=

µ−=σm

iii afa

1

2 )(.)( ⇒ µ = 1.58

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 11 06.10.2010 Beispiel 23: Mit zwei verschiedenfärbigen L-Hexaedern wird gewürfelt. Die Zufallsvariable X sei die größere der beiden Augenzahlen. Erstelle eine Tabelle mit den für die jeweilige Zufallsvariable günstigen Ausfällen sowie die zugehörige Verteilungsfunktion. Zeichne ein Histogramm und berechne Erwartungswert und Standardabweichung. Beispiel 24: Roulette (siehe Beispiel 22): Es wird auf Pair gesetzt. Für die Wahrscheinlichkeit für Gewinn (G) bzw. Verlust (V) gilt: 37

18)( == pGP und 3719)( == qVP

Ein Versuch besteht aus viermaligen Setzen auf Pair. ⇒ Ω = (GGGG), (GGGV), (GVGG), … Die Zufallsvariable sei die Anzahl von G einer solchen 4-er Serie. (d.h. X = 0, 1, 2, 3 oder 4) Erstelle eine Tabelle mit den für die jeweilige Zufallsvariable günstigen Ausfällen sowie die zugehörige Verteilungsfunktion. Zeichne ein Histogramm und berechne Erwartungswert und Standardabweichung. Beispiel 25: Formuliere den Binomischen Lehrssatz: ?)( =+ nba

5.2 Binomialverteilung Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsversuch mit nur zwei möglichen Ergebnissen (Erfolg und Misserfolg), wobei p die Wahrscheinlichkeit von Erfolg und q = 1 - p die Wahrscheinlichkeit von Misserfolg sei. Vergleiche http://webprojekte.grg21oe.at/fri/ Mathematik / 8. Klasse / Statistik – diskret / Automatisch - Bernoulli Im Beispiel 22 und 24 besteht ein Elementarereignis aus einer Serie von Bernoulli-Experimenten: Erfolg = Gewinn, Misserfolg = Verlust, 37

363718 1, =−== pqp .

Ein Bernoulli-Experiment wird unter den gleichen Bedingungen n mal durchgeführt. Die Zufallsvariable k sei die Anzahl von Erfolg bei einer solchen n-Serie. Beispiel 22: Beispiel 24: P(X=0) = b3,p(0) = q3 P(X=1) = b3,p(1) = 3 . p1.q2 P(X=2) = b3,p(2) = 3 . p2.q1 P(X=3) = b3,p(3) = p3

P(X=0) = b4,p(0) = q4 P(X=1) = b4,p(1) = 4 . p1.q3 P(X=2) = b4,p(2) = 6 . p2.q2 P(X=3) = b4,p(3) = 4 . p3.q1 P(X=4) = b4,p(4) = p4

Die Binomialverteilung bn,p(k) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit genau k mal Erfolg auftritt.

Allgemein gilt: knkpn qp

k

nkbkXP −

=== ..)()( , wobei pq −= 1 ist.

Proof: The formula can be understood as follows: we want k successes and n − k failures. The multiplication rule gives us the probability pk.qn − k of any favourable outcome. (Any branch of the tree with k sucesses yields the probability (using the multiplication rule) pk.qn − k). How many farourable

outcomes do exist? However, the k successes can occur anywhere among the n trials, and there are

k

n

different ways of distributing k successes in a sequence of n trials.

Erwartungswert pnXE .)( =µ= Standardabweichung qpn ..=σ (ohne Bew.)

Bemerkung: 2σ nennt man Varianz Vergleiche http://webprojekte.grg21oe.at/fri/ Mathematik / 7. Klasse / Binomialverteilung

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 12 06.10.2010 Verwende für die folgenden Beispiele das Applet!

You get the result of

r

n on your calculator by using the key: PRB(Probability) / nCr (Combinations)

Beispiel 26: Ein L-Würfel (Hexaeder) wird 8 mal geworfen. a) Wie viele 6-er kann man im Mittel erwarten? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass immer ein 6-er gewürfelt wird? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 3 mal ein 6-er erscheint? Beispiel 27: Roman gewinnt gegen Bettina beim Tischtennis mit einer Wahrscheinlichkeit von 75%. Sie spielen 6 Sätze. a) Wie viele Sätze kann er erwarten zu gewinnen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Roman b) alle Sätze gewinnt? c) keinen Satz gewinnt? d) mehr als die Hälfte der Sätze gewinnt? Beispiel 28: 70% der neuen Schüler in der 1. Klasse sind ehrgeizig. In jeder 1. Klasse sind 25 Schüler. Berechne die Wahrscheinlichkeit in eine Klasse mit mindestens 5

4 ehrgeiziger Schüler zu kommen.

Weitere Beispiele: Beispiel 29: a) Elisabeth würfelt 6 mal und erhält dabei 2 mal eine “6”. Ist das besonders glücklich und ungewöhnlich? b) 10% der Studenten sind Linkshänder. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, genau 5 Linkshänder in einer Klasse mit 25 Studenten zu finden: Beispiel 30: Ein Student rät willkürlich die Antworten eines 5 Fragen JA/NEIN – Tests. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass er genau 3 richtige errät. Wie viele richtige Antworten kann er erwarten? Beispiel 31: 90% einer Fabrikationsserie von Glühbirnen funktionieren einwandfrei. Mimi kauft 30 Stück ein. a) Wie viele Glühbirnen werden wahrscheinlich funktionieren? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass von diesen 30 Glühbirnen b) alle funktionieren, c) mehr als 20 funktionieren d) höchstens 3 defekt sind ? Beispiel 32: Bei der Tombola des Schulballs gibt es 40 Geldpreise a 10 € und 200 Lose. Ein Los kostet 2,50 €. Karo kauft 8 Lose. Ist das vernünftig? (Hinweis: Berechne den Erwartungswert)

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 13 06.10.2010 5.3 Poisson Verteilung Die Poisson Verteilung berechnet die Wahrscheinlichkeit der Anzahl der Ereignisse, die in einem festen Intervall (Zeit, Länge, Fläche oder Volumen, ...) auftreten, wenn diese Ereignisse in diesem Intervall mit einer bekannten mittleren Rate λ auftreten und von einander unabhängig sind. Beispiele sind die Anzahl der Fehlerstellen pro Längeneinheit eines Metallstabs, die Anzahl der Telefongespräche in einer Minute, die Anzahl der Autos pro Zeiteinheit, die eine bestimmte Stelle einer Straße passieren,… Die Poisson Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Wenn der Erwartungswert der Anzahl der Ereignisse in einem Intervall λ ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau k Ereignisse in so einem Intervall auftreten, bestimmt durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion: pλ(k) = P(X = k)

λ−λ

λ=== e

kkXPkp

k

!)()( wobei λ der Mittelwert (oder Erwartungswert) ist.

Bemerkung: Die Poissonverteilung besitzt nur einen Parameter λ !

Erwartungswert λ=)(XE Varianz λ=σ2 ebenso! (ohne Bew.)

Beispiel 33: In einer Fabrik gibt es im Mittel 2,6 Unfälle pro Tag. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass an einem bestimmten Tag (a) genau ein Unfall; (b) überhaupt kein Unfall; (c) weniger als 5 Unfälle; (d) wenigstens 2 Unfälle auftreten. Lösung: Unter der Annahme, dass die Unfälle unabhängig sind, setzen wir die Zufallsvariable X gleich der Anzahl der Unfälle pro Tag und verwenden die Poissonverteilung: Zuerst simulieren wir den Prozess mit dem Applet: http://webprojekte.grg21oe.at/fri/ 7.Klasse / Statistik - diskrete Daten: Automatisch - Poisson Wir setzen die Parameter λ = 2.6 und n = 1000 Tage und klicken auf <Urliste>. In 1000 Tagen gibt es λ.n = 2600 Unfälle. Das Applet verteilt nun 2600 Unfälle gleichwahrscheinlich (LA PLACE) auf diese 1000 Tage und erzeugt eine Liste von 1000 Daten mit den Anzahlen der Unfälle jedes Tages. Klicke auf <Auswerten> und interpretiere die Tabellen und das Histogramm! Dann aktiviere die Box „Wahrscheinlichkeit“ und vergleiche die Ergebnisse mit der Dichtefunktion der Poissonverteilung! Wenn man n erhöht, nähern sich die relativen Häufigkeiten immer mehr den Poisson-Wahrscheinlichkeiten an. Beachte die offensichtliche Konvergenz! Nun öffnen wir das Applet: 7.Klasse / Poisson Verteilung: Das Applet berechnet die Wahrscheinlichkeiten mit der Poisson-Formel. (a) Wir setzen λ = 2.6 und k = 1 ⇒ P(X=1) = 0.19311 ≈ 19.3 % Die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag genau ein Unfall ist, ist 19.3 %. (b) Wir setzen λ = 2.6 und k = 0 ⇒ P(X=0) = 0.07427 ≈ 7.4 % Die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag kein Unfall ist, ist 7.4 %. (c) Wir wählen P(k1 ≤ X ≤ k2); setzen λ = 2.6, k1 = 0, k2 = 4 ⇒ P(0 ≤ X ≤ 4) = 0.87742 ≈ 87.7 % Die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag weniger als 5 Unfälle auftreten, ist 87.7 %. (d): P(X ≥ 2) = 1 - P(0 ≤ X ≤ 1) = 1 - 0.26738 = 0,73262) Die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag wenigstens 2 Unfälle auftreten, ist 73.3 %. Überprüfe die Ergebnisse auch mit deinem Taschenrechner!

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 14 06.10.2010 Beispiel 34: Zeige, dass die Poissonverteilung mit dem Erwartungswert λ den einen Modus [λ] hat, wenn λ keine ganze Zahl ist und die 2 Modi λ −1 und λ hat, wenn λ eine ganze Zahl ist. (Nicht exakt zu beweisen, sondern mit dem Histogramm des Poisson Applets mit wenigstens 10 Proben nachzuvollziehen.) Beispiel 35: Biancas Antworten auf Mathematik Beispiele haben eine 5%-ige Fehlerquote. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass sie weniger als 2 Fehler in einem Test mit 20 Beispielen macht. Lösung: 5% von 20 = 1 Fehler (im Mittel) in 20 Beispielen ⇒ λ = 1 und P(0 ≤ X ≤ 1) = 0.73576 Beispiel 36: Nehmen wir an, dass die Anzahl X der Druckfehler auf einer Webseite Poisson-verteilt mit dem Parameter 2,5 ist. Ermittle (a) den Modus; (b) die Wahrscheinlichkeit, dass eine solche Seite mehr als 4 Druckfehler; (c) weniger als 3 Druckfehler enthält. Beispiel 37: Ein m2 einer bestimmten Sorte Teppich besitzt im Mittel 5 Webfehler. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass in (a) 1 m2; (b) 2 m2; (c) ¼ m2 weniger als 5 Webfehler sind. Beispiel 38: Kosmische Strahlen treffen einen Detektor zufällig mit einer Mittleren Rate von 1,25 pro Tag. (a) Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass morgen genau 2 Treffer eintreten? (b) Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass nächste Woche mehr als 5 Treffer auftreten werden? Beispiel 39: Bei einer Eintages-Safari werden im Mittel 5 Löwen gesehen. Was ist die Wahrscheinlichkeit für Touristen bei der nächsten Safari (a) mehr als 5 Löwen; (b) weniger als 4 Löwen zu sehen? Beispiel 40: Ein Frachtunternehmen operiert mit einer großen Flotte an Lastwagen und hatte letztes Jahr 103 Pannen. Ermittle die mittlere Pannenanzahl pro Tag und die Wahrscheinlichkeit an irgendeinem bestimmten Tag (a) genau 2 Pannen; (b) höchstens 2 Pannen zu haben. Überprüfe die Ergebnisse auch mit deinem Taschenrechner!

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 15 06.10.2010

6 Stetige Verteilungen

6.1 Klasseneinteilung Wenn ein Merkmal (Zufallsvariable) alle reellen Zahlen innerhalb eines Intervalls [a,b] annehmen kann liegt ein so genanntes stetiges Merkmal (Zufallsvariable) vor. (z.B. Körpergroße, Gewicht, Druck, Zeit, …) Wegen der Messungenauigkeit ist es gar nicht möglich, dass eine stetige Variable genau durch eine Zahl festgelegt ist, sondern nur in innerhalb eines gewissen Bereichs. Man verwendet deswegen eine Klasseneinteilung: Das gegebene Intervall [a,b] wird in n gleichgroße Teilintervalle (Klassen) unterteilt. Jede Klasse kann man z.B. durch ihren Mittelpunkt beschreiben. Beispiel: Einteilung des Intervalls [0.5,5.5) in n = 5, 10, 20 Klassen.

Beispiel: Verwende das Applet Statistik – stetig Achtung: Verwende nicht “zoom” bei den folgenden Beispielen! Untersuchung der Körpergröße (in dm) einer 7. Klasse im Intervall [14.5,19.5): Eingabe der Urliste: 16.4 14.7 17.3 17.0 16.6 18.0 17.4 18.8 17.6 15.7 18.2 17.1 16.5 17.3 17.7 15.7 Alle Daten werden nun ihrem entsprechenden Klasse zugeordnet und auf die Klassenmitte „gerundet“. Diese Klassenmitten können nun als diskrete Daten weiter verarbeitet werden. Für das Histogramm setzen wir fest:

• Ist die Klassenbreite = 1 (wie bei den diskreten Verteilungen) so stimmt die Höhe des Streifens mir r(x) überein.

• Ist die Klassenbreite < 1, so wird die Höhe vergrößert. • Ist die Klassenbreite > 1, so wird die Höhe verringert.

Übung: Wähle verschiedene Klasseneinteilungen in 2, 10, 1000 Klassen (bei gleich bleibenden Daten) und beachte die entsprechenden Klassenbreiten, Tabellen und Histogramme! Verwende nicht “zoom” ! Bemerkung:

• Ändert man bei gleich bleibender Urliste die Klasseneinteilung, so ändert sich die Auswertung ⇒ Die Verteilung hängt von der Klasseneinteilung ab.

• Die Verkleinerung der Klassenbreite ist nur bis zu einer gewissen Größe sinnvoll.

r(x) = Flächeninhalt des Streifens über der entsprechenden Klasse

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 16 06.10.2010 Beispiel 41: Ergebnisse eines 100m Rennens (in sec): 12.4 11.9 13.5 12.3 12.9 14.5 13.2 14.6 12.0 14.3 12.7 12.3 13.2 12.5 14.0 13.2 Verwende das Applet und untersuche die Daten im Intervall [11,15] mit Hilfe einer Klasseneinteilung in gleichbreite Klassen. (a) Gib die Tabelle an für die Klassenbreiten: 4; 2; und 5. (d) Ermittle r(12.5 ≤ x ≤ 14.0) und r(12.3 ≤ x ≤ 12.7) (Hinweis: Wähle eine geeignete Klasseneinteilung, die die gegebenen Grenzen erzeugt und addiere die relativen Häufigkeiten!) 6.2 Dichtefunktionen Gegeben ist das Histogramm der Körpergröße von Studenten im Intervall [14.5,19.5) mit einer Klasseneinteilung in 5 und 10 Klassen. Wir erhalten die Klassenbreiten 1 und 0.5 (siehe letztes Kapitel): Die oberen Strecken der Rechtecksstreifen des Histogramms definieren die statistische Dichtefunktion f(x). f(x) ist eine Treppenfunktion. Sie hängt von der gewählten Klasseneinteilung ab. Man erhält die y-Werte (=Höhen) von f(x) indem man die Flächeninhalte der Streifen (=r(x)) durch die entsprechende Klassenbreite dividiert. Beispiele: (siehe nebenstehende Graphik) a) r(17<x<17.5) = 0.31 Deshalb f(x) = 0.31 / 0.5 = 0.62 für 17<x<17.5 b) Man erhält die relative Häufigkeit r(15.5 <x<17.5) durch Addition der Flächeninhalte der Streifen von 15.5 bis 17.5 (dunkelgrün) und das ist der Flächeninhalt unter f(x) von 15.5 bis 17.5. Dieser Flächeninhalt hängt nicht von der Klasseneinteilung ab! Bemerkung: Außerhalb des Intervalls [a,b) wird f (x)= 0 angenommen.

Dieser Flächeninhalt unter f(x) lässt sich durch das bestimmte Integral ∫5.17

5.15

)( dxxf berechnen.

Bemerkung: ∫b

a

dxxf )( ist der Flächeninhalt zwischen dem Graph von f(x) und der x-Achse von a bis b.

Speziell gilt: ∫+∞

∞−

= 1)( dxxf

Beispiel 42: Verwende das Applet Statistik – stetig Untersuchung der Temperaturwerte im Jänner über dem Intervall [-20°,20°): Messwerte: -2 -4 -3 -6 -3 0 2 2 0 -4 -8 -10 -14 -13 -13 -10 -8 -5 -3 -5 -6 0 3 6 8 12 10 4 1 1 3 (1) Starte mit einer Einteilung in 5 Klassen und erhöhe die Klassenanzahl sinnvoll. Interpretiere die jeweilige Aussagekraft der Untersuchung!

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 17 06.10.2010

(2) f(x) sei die zugehörige statistische Dichtefunktion. Berechne ∫−

1

8

)( dxxf und ∫−

∞−

9

)( dxxf

Beispiel 43: Verwende das Applet Statistik – stetig Bei einer Serie von 20 gleichen Uhren wird die Genauigkeit untersucht. Nach einer gemeinsamen Testzeit von einem Tag wird die Abweichung (in sec) von der genauen Uhrzeit gemessen: 0.2 -1.6 -3.2 2.6 -1.3 -0.3 2.3 0.5 0.9 -0.6 3.0 -1.8 -1.1 2.4 0.3 4.1 0.7 -0.2 -0.5 -2.4 Alle Abweichungen befinden sich im Intervall I = [-5,+5]. (1) Untersuche die Auswertungen für eine Einteilung von I in 5, 10, 100 Klassen, und interpretiere die Ergebnisse. (2) Welche Klasseneinteilung ist sinnvoll? (3) Was haben die Dichtefunktionen für alle Klasseneinteilungen gemeinsam? Beispiel 44: Verwende die Daten aus Beispiel 43 Ermittle die relative Häufigkeit: a) r(-3≤X<+3); b) r(1≤X < 2); c) r(0≤X<+5) Tipp: Verwende passende Klassengrößen zu den gefragten Intervallen! Beispiel 45: Erzeuge mit dem Applet 2000 gleichverteilte Zahlen aus dem Intervall -5 bis 5 mit Einteilung in 10 Klassen. (1) Wieso ist für jedes Teilintervall r ≈ 0.1 ? (2) Wie groß muss r über einer Klasse bei 5, 20, 100, n Teilintervallen ungefähr sein? (3) Gegen welche Kurve strebt die Dichtefunktionen für ∞→n ? (4) Gib die zu erwartende relative Häufigkeit für sehr große n an: a) r(1.4<X<2.6); b) r(1.3<X < 2.3); c) r(X=2) Tipp: Die relative Häufigkeit stimmt mit dem Flächeninhalt unter der Dichte überein. Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Vergrößert man die Anzahl der untersuchten Daten und dazu entsprechend vorsichtig die Anzahl der Klassen, so strebt die statistische Dichtefunktion gegen die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x). Außerhalb des Intervalls [a,b] setzt man wieder f(x) = 0. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist somit der Grenzwert der statistischen Dichtefunktion. Beispiel: Verwende das Applet Statistik – stetige Daten und wähle Automatisch – normalverteilt. Das Applet erzeugt eine Datenmenge, die in 6.4 besprochen wird. Erhöhe die Anzahl der Daten (3. Parameter): 1000, 2000, 4000 und die Anzahl der Klassen. 41, 82, 164. Die statistische Dichte strebt gegen die Wahrscheinlichkeitsdichte. Durch Anhaken der „Wahrscheinlichkeitsdichte“ – Box kann die Wahrscheinlichkeitsdichte angezeigt werden.

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 18 06.10.2010 6.3 Gleichverteilung (Uniforme Verteilung) Eine stetige Zufallsvariable ist über einem Intervall [a,b] gleichverteilt, wenn alle Intervalle der selben Länge gleich wahrscheinlich sind. Beispiel 45 legt nahe: Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Gleichverteilung ist:

wobei die zugehörige Wahrscheinlichkeit der Flächeninhalt unter f(x) ist. Beispiel 46: Auf einer dünnen Schnur wird nach 0.5m eine Strecke von 4m abgemessen und Start- und Ende-Marken [a,b] gesetzt. Die Schnur wird nun vollkommen willkürlich zwischen a und b auseinander geschnitten. Keine Stelle soll bevorteilt sein. Wir erhalten somit eine gleichverteilte Zufallsvariable X = s (Siehe Skizze). Simuliere mit dem Applet Statistik – stetig das 100, 1000, 10000-malige Wiederholen des Versuchs! Teile das Intervall in 4, 10, 40 Klassen ein und vergleiche mit der Wahrscheinlichkeitsdichte! Berechne P(0 < X <1), P(0 < X <2), P(1.2 < X < 3.1) mit Hilfe a) des Integrals, b) des Flächeninhalts eines Rechtecks! Beispiel 47: Aus dem Intervall [0,10] wird eine gleichverteilte Zufallsvariable ermittelt. Berechne P(2 < X < 4.5), P(X > 7.8), P(X = 6) und stelle diese samt der Dichtefunktion graphisch dar!

∫ −=<<

2

1

1)( 21

x

x

dxab

xXxP

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 19 06.10.2010 6.4 Normalverteilung Wir untersuchen Maße von Objekten, die gleiche Produktions- oder Entstehungsgeschichte haben: Beispiele: (a) Länge von Nägel der selben Sorte, (b) Gewicht von gleichaltrigen Jugendlichen, (c) Volumen von 1Liter Milchflaschen des gleichen Produzenten, (d) Hü-Zeitaufwand von Schülern gleicher Schulstufe, (e) Benzinverbrauch von Autos gleicher Marke und Typ, ... Alle diese Größen entstehen als Summe von vielen unabhängigen Einzelgrößen, die nicht vollkommen gleich sind, sondern in einem i.A. recht kleinen Intervall schwanken. Beispiele: ad (a): Einstellung aller Maschinen, die bei der Produktion durchlaufen werden, Härte der Nägel, Luftdruck, … ad (b): Lebensbedingungen, Essgewohnheit, Kalorienverwertung, Schönheitsstreben, … ad (c): … Alle diese Größen haben also wegen vieler beteiligter Größen mechanischer, thermischer, atmosphärischer usw. Art nie vollkommen gleiche Entstehungsgeschichte. Sie schwanken des halb mehr oder weniger um einen „Idealwert“ (Mittelwert). Solche Größen nennt man normalverteilt.

Wie schaut die Dichtfunktion einer normal verteilten Zufallsvariablen aus? Die nächsten 2 Beispiele geben uns einen Hinweis, wie der Graph der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen ausschauen kann:

Beispiel 1: Simuliere eine Zufallsvariable, die als Summe von sehr vielen in einem beschränkten Bereich gleichverteilten Zufallsvariablen entsteht mit: (Erklärung unter „About“) http://www.mathe-online.at/galerie/wstat3/wstat3.html#normalv

Verteilung der Summe von 8 (über [0,1]) gleichverteilten Variablen. Beispiel 2: Einfaches Modell für eine normalverteilte Größe: Nehmen wir an eine normalverteilte Größe X entsteht durch folgenden Vorgang: Sie sei zu Beginn = 0. Sie entstehe jetzt, indem sie hintereinander viele unabhängige Vorgänge durchläuft, die (vereinfacht) immer 1 oder 0 dazuaddieren. Einfachster Fall: die Wahrscheinlichkeiten mit P(1) = p und P(0) = q seien für jeden Teilvorgang gleich. Nach Durchlaufen von n Einzeleinflüssen entsteht X als Summe der Einzeleinflüsse. z. B. X = 1 +1 +0 +1 +0 +1 + 1 = 5, d.h. X beschreibt die Anzahl der 1. Die Häufigkeit bzw. Wahrscheinlichkeit wie oft X = 5 auftreten kann ist aber genau einen Binomialverteilung! ⇒ Nimmt man eine sehr große Anzahl n von Einzelereignissen, die X als Summe erzeugen, erhält man annähernd eine Normalverteilung! Die Binomialverteilung approximiert einen Sonderfall der Normalverteilung! Erzeuge mit dem Applet Approximation der Binomialverteilung für b30,0.5(k) das Histogramm: Die gesuchte Dichtefunktion einer Binomialverteilung gibt einen Hinweis auf die Gestalt der Dichtefunktion der Normalverteilung! Folgerung: In beiden Beispielen hat der Graph der Dichtfunktion die Form einer Glockenkurve!

Zentraler Grenzwertsatz: Eine Summe X von sehr vielen unabhängigen Zufallsvariablen ist nahezu normalverteilt, wenn jeder Summand auf den Wert der Summe nur geringen Einfluss hat.

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 20 06.10.2010 Beispiel 48: Nenne 5 Beispiele für normalverteilte Größen und begründe deine Auswahl. Beispiel 49: (Verwende das Applet Approximation der Binomialverteilung!) Binomialverteilung bn,p(k): p = 0.3, n = 20, 80, 200. Skizziere für jedes n das Histogramm und die Dichte mit Angabe der auftretenden x- und y Einheiten. Gib auch jeweils µ und σ an! Beispiel 50:

Diskutiere die Funktion: f:

2

.2

1

.2.

1

σ

µ−−

πσ=

x

ey (Gauß-sche Glockenkurve) für 2=µ und 1=σ

6.5 Dichtefunktion der Normalverteilung (probability density function PDF) Wie schaut nun der Funktionsterm der Dichte einer Normalverteilten Zufallsvariablen aus? Carl. F. Gauß gelang es eine Funktion für die Dichte der Normalverteilung anzugeben.

2

.2

1

, .2.

1)(

σ

µ−−

σµπσ

=ϕ=

x

exy wobei µ der Mittelwert und σ die Standardabweichung der Verteilung ist.

(o. Bew.) Der Graph heißt „Gauß´sche Glockenkurve) Folgerungen:

• Alle normalverteilten Größen mit dem Mittelwert µ und der Standardabweichung σ können )(, xσµϕ beschrieben werden.

• Die Binomialverteilung kann durch die Normalverteilung approximiert werden. (siehe später). Öffne das Applet 8. Klasse/Normalverteilung und untersuche den Graph für verschiedene µ und σ!

Hochpunkt bei µ=x und Wendepunkte bei σ±µ=x

Symmetrisch bez. µ=x , x-Achse: horizontale Asymptote

Berechnung der Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit P(X < x1) ist der Flächeninhalt unter der Kurve y = φµ,σ(x) von -∞ bix x1 und wird

mit Φµ,σ(x1) bezeichnet: ∫∞−

σµσµ ϕ=Φ=<1

)()()( ,1,1

x

dxxxxXP .

Die Funktion Φµ,σ(x1) = P(X < x1) ist die kumulative Verteilungsfunktion (cumulative distribution function CDF) der Normalverteilung. („kumulativ“ bedeutet von -∞ bis x1) Die Berechnung des Flächeninhalts CDF ist nicht durch elementare Funktionen möglich! Man verwendet deshalb computergestützte Näherungswerte (siehe Applet) oder Tabellen (siehe 6.6).

Eigenschaften von )(, xy σµϕ= :

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 21 06.10.2010

Eigenschaften der CDF :

• 1)()()( ,, =ϕ=∞Φ=∞< ∫+∞

∞−

σµσµ dxxXP

• 5.0)()()( ,, =ϕ=µΦ=µ< ∫µ

∞−

σµσµ dxxXP

• )()()()( ,,, abdxxbXaPb

a

σµσµσµ Φ−Φ=ϕ=<< ∫

Bemerkung: Wenn X eine stetige Zufallsvariablen ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass X genau den Wert x1 annimmt, gleich 0. → P(X = x1) = 0. Deshalb gilt: P(X < x1) = P(X ≤ x1)! Beispiel: Eine durchschnittliche Glühbirne einer speziellen Marke brennt 300 Tage mit einer Streuung (Standardabweichung) von ± 50 Tagen. Berechne, unter der Annahme dass die Brenndauer normalverteilt ist, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne höchstens 365 Tage brennt! Lösung: Bei gegebenen Mittelwert von µ=300 Tagen und einer Standardabweichung von σ=50 Tagen müssen wir die (kumulative) Wahrscheinlichkeit, dass die Brenndauer weniger als 365 Tage ist, finden. Wir geben diese Werte in das Applet Normal Verteilung ein und ermitteln die kumulative Wahrscheinlichkeit: P(X ≤ 365) ≈ 0.9032. Deshalb ist die Chance, dass eine Glühbirne innerhalb von 365 Tagen defekt ist, 90%. Beispiel (Verwende das Applet Normalverteilung) Eine Maschine erzeugt Zylinder mit einer mittleren Dicke von 8.1cm und einer Standardabweichung von 0.15cm. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zylinderdicke X um weniger als 0.1cm vom Mittelwert abweicht? Lösung: Wir ermitteln mit dem Applet P(8 < X < 8.2) ≈ 0.495015. Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zylinderdicke um weniger als 0.1cm vom Mittelwert abweicht, ist 50%. Beispiel 51: (Löse mit dem Applet Normalverteilung) Die Brenndauer X einer Marke von Glühbirnen sei normalverteilt mit µ = 800 h und σ = 200 h. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Brenndauer einer willkürlich gewählten Glühbirne a) geringer als 700 h, b) geringer als 800 h, c) zwischen 700 h und 900 h liegt. Beispiel 52: (Löse mit dem Applet Normalverteilung) Für die dauernde Beleuchtung eines Gebäudes benötigt man 2000 Glühbirnen der Marke aus Beispiel 33. Es werden 2500 Birnen gekauft (d.h. 500 Reservebirnen zum Austauschen). a) Wird man damit (einschließlich der Reserve) das ganze Gebäude 600 h beleuchten können? b) Nach wie viel h ist voraussichtlich auch die Reserve von 500 Birnen aufgebraucht?

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 22 06.10.2010 Beispiel 53: Die Dicke von Spannplatten sei normalverteilt mit µ = 16mm und σ = 0.04mm. a) Wie viel % Ausschuss ist zu erwarten, wenn die Platten höchstens 0.1mm vom Sollwert µ abweichen dürfen? b) Wie sind die Toleranzgrenzen (symmetrisch zu µ) ungefähr festzulegen, wenn man weiß, dass 90% der Produktion zum Verkauf freigegeben werden? (Löse mit dem Applet Normalverteilung) Hinweis: In der Qualitätskontrolle spricht man vom Toleranzintervall [ ]ε+ηε−µ , bzw. der erlaubten

Abweichung ± ε vom Sollwert µ. 6.6 Standardnormalverteilung Den einfachsten Fall der Normalverteilung erhält man bei µ = 0 und σ = 1. „Standardnormalverteilung“

Dichte: 2.

2

1

1,0 .2.

1)(

z

ezy−

πσ=ϕ= Wahrscheinlichkeit: ∫

∞−

ϕ=Φ=<1

)()()( 1,011,01

z

dzzzzZP

Bemerkung: Man bezeichnet die Variable der Standardnormalverteilung mit Z . (Zur Unterscheidung zur Variablen X einer allgemeinen Normalverteilung.) Beispiel: Zeichne mit dem Applet Normalverteilung den Graph von )(1,0 zy ϕ= und diskutiere die

Eigenschaften! Wichtig: Der Flächeninhalt )()( 1,0 zzZP Φ=< kann in Tabellen nachgeschlagen werden. (Buch S. 256)

Beispiele: Ermittle mit der Tabelle und dem Applet folgende Wahrscheinlichkeiten der Standardnormalverteilung (Verwende die Symmetrie bez. z = 0) : a) P(Z < 1.73), b) P(Z < 0), c) P(Z < -1.73) = )73.1(1 1,0Φ− , d) P(-0.65 < Z < 1.73)

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 23 06.10.2010 Problem: Was ist mit den allgemeinen Normalverteilungen? Gibt es für jedes µ und σ eine eigene Tabelle? Jede Normalverteilung kann durch die Standardtransformation auf die Standardnormalverteilung übergeführt werden! Diese Formel der Standardtransformation führt X- Werte in Z- Werte über. Beispiel: Gegeben ist eine Normalverteilung mit µ = 5 und σ = 2. Konvertiere X = µ, X = µ− σ, X = µ + σ, X = 8 in die Z-Werte der Standardnormalverteilung! Vergleiche mit dem Applet unter Verwendung der Box „Standardtransformation“ und besprich die Eigenschaften! Geometrisch bewirkt diese Substitution eine flächentreue Transformation der Glockenkurve φµ,σ(x) in die Standardglockenkurve φ0,1(z). (o. Bew.) Deshalb stimmt der Flächeninhalt Φµ,σ(x) unter φµ,σ(x) mit dem entsprechenden Flächeninhalt Φ0,1(z) unter φ0,1(z) überein und man kann somit die Wahrscheinlichkeiten jeder allgemeinen Normalverteilung durch die Tabellen der entsprechenden Standartnormalverteilung bestimmen! Beispiel: Eine Untersuchung von 10000 gleichaltrigen Schülern lieferte eine normalverteilte Körpergröße mit µ = 168cm und σ = 12cm. Wie viele Schüler sind kleiner als 160 cm? Berechne mit Tabelle und Applet!

)()160()160( 11,012,168 zXP Φ=Φ=< Standardtransformation:

Tabelle: 25%0.25)67.0(1)67.0( 1,01,0 =≈+Φ−=−Φ

⇒ 10000 Schüler . 0,25 ≈ 2500 Schüler sind kleiner als 160 cm. (Bem.: Die Genauigkeit der Tafel ist sehr gering.) Aufgabe: Berechne Beispiel 33 und 34 noch einmal nur mit Hilfe der Tabelle! Beispiel 54: Berechne mit der Tabelle! Familie Sulzgruber erwartet ein Kind und weiß auch schon, dass es ein Mädchen wird. In dem betreffenden Krankenhaus wird angenommen, dass die Geburtsmasse eines Mädchens normalverteilt mit µ = 2.9 kg und σ = 0.6 kg ist. Ein neugeborenes Mädchen mit höchstens 2.25 kg wird als untergewichtig, eines mit mindestens 3.75 kg als übergewichtig bezeichnet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Kind der Familie Sulzgruber normalgewichtig sein wird? Beispiel 55: Berechne mit der Tabelle! Die Funktionsdauer eines Sunshine CD Players ist normalverteilt mit einem Mittelwert von 4.1 Jahren und einer Standardabweichung von 1.3 Jahren. Der CD Player hat eine Garantiezeit von 3 Jahren. Wir untersuchen die Zeit, die ein CD Player funktioniert. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein CD Player während der Garantiezeit eingehen wird. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein CD Player mehr als 5 Jahre funktionieren wird. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Funktionsdauer eines CD Player zwischen 2.8 and 6 Jahren liegt. Beispiel 56: Beweise die Flächentreue der Standardtransformation!

Hinweis: Zeige )()( 11,01, zx Φ=Φ σµ wenn σ

µ−= 1

1

xz durch Berechnung der zugehörigen Integrale.

σ

µ−=

xz

)()( 11,01, zx Φ=Φ σµ mit σ

µ−= 1

1

xz

67.012

16816011 −≈

−=

σ

µ−=

xz

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 24 06.10.2010 Umkehraufgaben sind in der Tabelle durch Rückschlagen und im Applet durch Probieren zu lösen. Beispiel: Eine Untersuchung von 10000 gleichaltrigen Schülern lieferte eine normalverteilte Körpergröße mit µ = 168cm und σ = 12cm. Welche Körpergröße wird von nur 500 Schülern erreicht oder überschritten? Berechne mit der Tabelle und Applet!

%510000

500= ⇒ Gesucht: Größe x1 mit

05.0)( 1 =< XxP bzw. 95.0)( 1 =< xXP

64.195.0)( 111,0 ≈⇒=Φ zz

7.18712

16864.1 1

1 =⇒−

= xx

Die 500 Schüler sind mindestens 188cm groß.

Beispiel 57: Ein Hersteller behauptet, dass 95% seiner Druckerpatronen das Drucken von mindestens 180 Seiten erlauben. Wie groß ist die mittlere Druckkapazität X (in Seiten) dieser Patronen unter der Vorraussetzung, dass eine Normalverteilung mit σ = 10 Seiten vorliegt?

P(X>180) = 0.95 bzw. P(X<180) = 0.05,

Standardnormalverteilung: 10

1801

µ−=z und 05.0)( 1 =< zZP

bzw. 95.0)( 1 =−< zZP ⇒ 645.11 =− z

10

180645.1

µ−=− ⇒ µ = 196.5.

Mit einer Patrone kann man im Mittel 197 Seiten drucken.

Beispiel 58: Die Körpergröße der Jugendlichen der Oberstufe des GRG21oe ist annähernd normalverteilt mit µ = 158cm und σ = 6,5cm. a) Wie viel % der Jugendlichen haben eine Körpergröße von mindestens 170cm? b) Welche Körpergröße wird nur von 5% der Jugendlichen erreicht oder überschritten? Beispiel 59: Eine Flaschenabfüllanlage füllt 1l - Milchflaschen mit einer Standardabweichung σ = 15 ml ab, sodass die Füllmengen normalverteilt sind. Der Abfüller muss seinen Kunden garantieren, dass bei höchstens 4% der Flaschen die Füllmenge kleiner als 0.95 l ist. Auf welchen Mittelwert µ muss er die Abfüllanlage einstellen? Der Abfüller bezahlt an den Zulieferer 0.65€ / Liter und füllt jede Woche 120 000 Flaschen ab. Wie viel l benötigt er bei obiger Einstellung der Anlage um diese 120 000 Flaschen abzufüllen und wie viel € erspart er sich deshalb beim Zulieferer jede Woche? Interpretiere das Ergebnis! Wieso kann man annehmen, dass die Füllmengen annähernd normalverteilt sind?

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 25 06.10.2010 6.7 Normalapproximation der Binomialverteilung Zur Erinnerung: Die Dichtefunktion bn,p(k) der Binomialverteilung gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit genau k mal Erfolg in einer Serie von n Bernoulliversuchen auftritt. In jedem Einzelversuch gilt P(Erfolg) = p.

knkpn qp

k

nkbkXP −

=== ..)()( , wobei pq −= 1 ist.

Erwartungswert pnXE .)( =µ= Standardabweichung qpn ..=σ

Problem: Für große n ist bn,p(k) schwer zu berechnen da

k

n sehr groß werden kann.

In diesen Fällen versucht man bn,p(k) durch Verteilungen mit weniger Rechenaufwand zu approximieren: Normalapproximation der Binomialverteilung Für große n und n.p > 5 und n.q > 5 kann man die Binomialverteilung sehr gut durch die Normalverteilung annähern. (siehe 6.4) Übung: Verwende das Applet Approximation der Binomialverteilung Binomialverteilung: n = 14, p = 0.5 und k = 6 Stetigkeitskorrektur: Die Binomialverteilung arbeitet mit einer diskreten Variablen X = k und die Normalverteilung mit einer stetigen Zufallsvariablen X = x. Die Binomialwahrscheinlichkeit P(X = 6) stimmt mit dem Flächeninhalt des Streifens über 6 mit der Breite 1 und der Höhe b14,0.5(6) überein. Die Basis dieses Streifens ist das Intervall: (5.5, 6.5). Um diesen Flächeninhalt durch die Normalverteilung zu approximieren muss man den Flächeninhalt unter der Glockenkurve von 5.5 bis 6.5 verwenden!

Deshalb erhält man als untere Grenze k−0.5 und als obere Grenze k+0.5: ∫+

−

σ

µ−−

πσ≈

5.0

5.0

.2

1

,

2

.2.

1)(

k

k

x

pn dxekb

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 26 06.10.2010 Übung: n maliges Werfen einer Münze (Ausfälle: Zahl oder Wappen, beide gleichwahrscheinlich): Berechne die Wahrscheinlichkeit wenigstens k1 und höchstens k2 mal Zahl zu erhalten. Approximiere die Binomialverteilung durch die Normalverteilung! Verwende das Applet Binomialverteilung und die Tabelle! a) n = 30, k1 = 10, k2 = 18 b) n = 100, k1 = 45, k2 = 55 Achtung: Beachte, dass die Binomialverteilung eine diskrete und die Normalverteilung eine stetige Verteilung ist. Deshalb benütze die Stetigkeitskorrektur! Poisson-Approximation der Binomialverteilung Für kleine p und große n (p ≤ 0.05 and n ≥ 20) kann man die Binomialverteilung durch die Poisson Verteilung annähern:

µ−µ≈ e

kkb

k

pn !)(,

Beispiel: Verwende das Applet Approximation der Binomialverteilung Binomialverteilung: n = 30, p = 0.05 und k = 2 Das Applet zeigt, dass in diesem Fall die Poisson-Approximation um einiges besser als die Normalapproximation ist! Bemerkung: Sowohl die Binomialverteilung als auch die Poisson Verteilung verwenden diskrete Zufallsvariable. Deshalb gibt es auch keine Stetigkeitskorrektur bei der Poisson-Approximation! Beispiel 60: Wir werfen einen Standardwürfel hintereinander 56 mal und zählen Anzahl der Sechser. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit; dass die Anzahl der Sechser (a) zwischen 6 und 14 (beide einschließlich), (b) wenigsten 12 ist? Verwende die Normalapproximation und die Tabellen. Vergleiche mit dem Applet! Beispiel 61: Ein Spiel besteht aus einer Serie von 50 -maligen Werfen mit einer präparierte Münze (P(Zahl) = 0.6). Spielregel: Wenn man mindestens x mal Zahl erhält gewinnt man. Ein Spieler gewinnt nur in ca. 15% aller Spiele. Berechne x! Verwende die Normalapproximation (Umkehraufgabe!) und die Tabellen. Vergleiche mit dem Applet! Beispiel 62: Wir werfen 3 Würfel gleichzeitig 50 mal: Berechne die Wahrscheinlichkeit drei Sechser (a) niemals (b) wenigstens 3 mal [Tipp: P(X ≥ 3) = 1− P(X ≤ 2)] zu erhalten! Verwende die Normalapproximation und die Tabellen. Vergleiche mit dem Applet!

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 27 06.10.2010 Beispiel 63: Roulette: Bill Gates setzt täglich 50 mal auf seine Glückszahl 13. Mit wie viel Gewinnen kann er täglich rechnen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er an einem Tag wenigstens 4 mal gewinnt? Verwende die Binomialverteilung als auch die Approximationen durch die Normal- und Poisson Verteilung. Vergleiche und interpretiere die Ergebnisse! Rechne nur mit dem TR und der Tabelle! Überprüfe mit dem Applet! 6.8 Approximation der Poisson Verteilung Zur Erinnerung: Die Poisson Verteilung berechnet die Wahrscheinlichkeit der Anzahl der Ereignisse, die in einem festen Intervall auftreten. Wenn der Erwartungswert der Anzahl der Ereignisse in einem Intervall λ ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau k Ereignisse in so einem Intervall auftreten, bestimmt durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:

λ−λ

λ=== e

kkXPkp

k

!)()( mit λ als Mittelwert. Die Varianz σ2 ist ebenfalls gleich λ!

Wenn λ>10 kann man die Poissonverteilung durch die Normalverteilung (mit Stetigkeitskorrektur) annähern: Beispiel: Verwende das Applet Approximation der Poisson Verteilung Poisson Verteilung: λ = 42 > 10, k = 38

Wie das Applet zeigt, kann man den Flächeninhalt pλ(k) = P(X = k) unter Verwendung einer Stetigkeitskorrektur durch die Normalverteilung approximieren:

Beispiel 64: Auf einer besonders gefährlichen Strecke einer Straße gibt es

durchschnittlich 215 Unfälle pro Jahr. (a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Monat weniger als 25 Unfälle passieren. (b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass in zwei Monaten genau 30 Unfälle passieren.

∫+

−

λ

λ−−

λπλ

≈5.0

5.0

)(.

2

1 2

.2

1)(

k

k

x

dxekp

Stochastik – Dr. H. Fritsche Seite 28 06.10.2010 Lösung: (a) Da 215 Unfälle in einem Jahr sind ist der Mittelwert pro Monat: 215 / 12 = 17.92 (2 Dez.) Weil dieser Wert größer als 10 ist, können wir die Normalapproximation verwenden. Die Poisson Wahrscheinlichkeit, dass X < 25 ist, entspricht einer stetigkeits-korrigierten Normalwahrscheinlichkeit, dass X < 24.5 ist.

939.0)55.1()5.24( 1,092.17,92.17=Φ=Φ .

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 25 Unfälle in einem Monat passieren ist 94%. (b) λ = 215 / 6 = 35.83 (2d.p.) ….. → P(X = 30) = 0.042 Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass in 2 Monaten genau 30 Unfälle passieren ist 4%. Beispiel 65: Die Anzahl der von einer bestimmten Pflanze produzierten Samen ist Poisson-verteilt mit λ = 200. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass: (a) mehr als 210 Samen produziert werden (23%); (b) zwischen 180 und 230 (inklusive) Samen produziert werden (91%). Es ist bekannt, dass einer von zehn Samen keimen und wachsen wird. (c) Zeige, dass die Anzahl der ausgekeimten Samen einer Pflanze Poisson-verteilt mit dem Parameter λ = 20 ist; (d) Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 15 keimender Samen produziert werden (84%). Verwende die Normalapproximation und die Tabellen. Vergleiche mit dem Applet!