Steifigkeit

4. Aufbau der Steifigkeitsmatrizen

Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier

Finite-Elemente Methoden (FEM) Prof. Dr.-Ing. T. Preußler

4. Steifigkeit 1

Da die Steifigkeit eines Bauteils in der FEM von grundlegender Bedeutung ist, wird der Aufbau der Steifigkeitsmatrizen anhand einer einfachen Struktur mit Federn als Elemente exemplarisch dargestellt.

In der FEM unterscheidet man:

• Elementsteifigkeitsmatrix [Ke]Die Steifigkeit eines Elements ergibt sich aus dem gewählten Verschie-bungsansatz unter Berücksichtigung der Elastizitätsgesetze

• Gesamtsteifigkeitsmatrix [K]Die Gesamtsteifigkeit eines Bauteils wird aus den Elementsteifigkeits-matrizen unter Berücksichtigung der Lage, der Randbedingungen und der strukturellen Verknüpfung der Elemente aufgebaut



2

4.1 Steifigkeitsmatrix eines FederelementsDie Steifigkeitsmatrix eines Federelements lässt sich elementar mit der direkten Steifigkeitsmethode ableiten.

4. Steifigkeit

- Knoten k - Federsteifigkeit

F1, F2 - Knotenkräfte u1, u2 - Knotenverschiebungen

1 2

k

u1 u2

F1 F2

1 2



3

Linker Rand wird festgehalten (u1=0):

4. Steifigkeit

k

u2

F1 F2

1 2

2)1(

2 ukF ⋅=

2)1(

2)1(

1 ukFF ⋅−=−=

Rechter Rand wird festgehalten (u2=0):

1)2(

1 ukF ⋅=

1)2(

1)2(

2 ukFF ⋅−=−=

k

u1

F1 F2

1 2



4

Überlagerung (Superposition) der Lastfälle liefert die Beziehung zwischen den Knotenverschiebungen und den Knotenkräften.

4. Steifigkeit

)( 2112)2(

1)1(

11 uukukukFFF −⋅=⋅+⋅−=+=)( 2112

)2(2

)1(22 uukukukFFF +−⋅=⋅−⋅=+=

In Matrizenschreibweise erhält man:

1-1

-11

F2

F1= k ⋅ ⋅

u2

u1

eK ⋅ eu=eF

Knoten-kräfte

Knotenver-schiebungen

Element-steifigkeits-matrix

Durch den Querstrich wird ausgedrückt, dass sich die Größen auf ein lokales Elementkoordinaten-system beziehen.



5

Da die Elemente einer Struktur i. allg. unterschiedlich ausgerichtet sind, müssen die im lokalen Elementkoordinatensystem definierten Größen in ein gemeinsames globales Koordinatensystem transformiert werden.

4. Steifigkeit

4.2 Koordinatentransformation

k11 2

u1 u2

F2F16

5

k3

F5

u5

F6

u6

y

x

F4

3

4

k2

u3F3

u4



6

Der Zusammenhang zwischen den lokalen Verschiebungen u und den globalen Verschiebungen x und y ergibt sich für kleine Verschiebungen

4. Steifigkeit

4.2.1 Transformation der Verschiebungen

1

y

x

2

∆α<<1

α x1

y1u1 = x1·cos α + y1·sin α

2´

u 1

1´

u 2

y2

x2

u2 = x2·cos α + y2·sin α



74. Steifigkeit

In Matrizenschreibweise erhält man mit den Abkürzungen c = cos α und s = sin α die Transformationsmatrix [T], die den Zusammenhang zwischen den lokalen { } und den globalen Elementverschiebungen {ue} herstellt.

0

s

c

0

s0

0c

u2

u1= ⋅

y1

x2

y2

x1

eu

eu =

Trans-forma-tions-matrix

Globale Ver-schiebungen

Lokale Ver-schiebungen

T ⋅ ue



8

Die Knotenkräfte F1 und F2 lassen sich einfach in Richtung des globalen Koordinatensystems zerlegen.

4. Steifigkeit

4.2.2 Transformation der Kräfte

1

y

x

2

F2

Fx1 = F1· cos αFy1 = F1· sin α

αFy1

Fx1

F1

Fx2

Fy2

Fx2 = F2· cos αFy2 = F2· sin α



94. Steifigkeit

In Matrizenschreibweise erhält man mit den Abkürzungen c = cos α und s = sin α

0s

0c

s

c

0

0 F2

F1= ⋅Fy1

Fx2

Fy2

Fx1

eF=

Globale Kräfte

Lokale Kräfte

T ⋅Fe

Den Zusammenhang zwischen den lokalen und den globalen Knoten-kräften stellt die transponierte Transformationsmatrix [T]T her.

T



10

Die Transformation der Steifigkeitsmatrix auf das globale Koordinaten-system erfolgt mit Hilfe der zuvor abgeleiteten Beziehungen für die Verschiebungen und die Kräfte:

4. Steifigkeit

4.2.3 Transformation der Elementsteifigkeitsmatrix

Fx1 = F1· cos α

Einsetzen der Verschiebungen u1 = x1·cos α + y1·sin α und u2 = x2·cos α + y2·sin α liefert

Fx2 = k· (–x1 cos2α – y1 cos α sin α + x2 cos2α + y2 cos α sin α) Fy2 = k· (–x1 cosα sin α – y1 sin2α + x2 cos α sin α + y2 sin2α)

Fx2 = F2· cos α = k · (– u1 + u2) cos αFy2 = F2· sin α = k · (– u1 + u2) sin α

= k · (u1 – u2) cos αFy1 = F1· sin α = k · (u1 – u2) sin α

Fx1 = k · (x1 cos2α + y1 cos α sin α – x2 cos2α – y2 cos α sin α)Fy1 = k · (x1 cosα sin α + y1 sin2α – x2 cos α sin α – y2 sin2α)



114. Steifigkeit

In Matrizenschreibweise erhält man mit den Abkürzungen c = cos α und s = sin α

-sc

-c2

sc

c2

-s2

-sc

s2

sc

-s2-sc

-sc-c2

s2

sc

sc

c2= k ⋅Fy1

Fx2

Fy2

Fx1

⋅y1

x2

y2

x1

=Globale Kräfte

Globale Ver-schiebungen

Ke ⋅Fe

Die Steifigkeitsmatrix [Ke] ist symmetrisch und stellt den Zusammenhang zwischen den Knotenverschiebungen {ue} und den Knotenkräften {Fe} eines Federelements in beliebiger Lage bezüglich eines globalen Koordinaten-systems her.

ue

Globale Steifig-keitsmatrix



124. Steifigkeit

Die globale Steifigkeitsmatrix lässt sich einfacher durch Matrizen-multiplikation ableiten. Allgemein gilt:

Transformation der Kräfte:

}{][][][][}{ eeT

eT

e uKTFTF ⋅⋅=⋅=

Transformation der Verschiebungen:

}{][}{ ee uTu ⋅=

Einsetzen: }{][}{][][][}{ eeeeT

e uKuTKTF ⋅=⋅⋅⋅=

Globale Steifig-keitsmatrix: ][][][][ TKTK e

Te ⋅⋅=

][][][ TKT eT ⋅⋅

Falk sche Schema:

TT ][

][ eK

][][ eT KT ⋅

][T



13

Das FE-Modell einer Struktur besteht aus Elementen, die durch Knoten miteinander Verbunden sind. Das Schema wird an einer einfachen Struktur aus drei miteinander verbundenen Federelementen erläutert.

4. Steifigkeit

4.3 Gesamtsteifigkeitsmatrix

1 k1

y

x

2

Federkonstanten:k1 = k = 10 N/mmk2 = k3 = 2k = 20 N/mm

3

k2

45°

k3

135°



14

Der Aufbau der Steifigkeitsmatrix erfolgt in vier Schritten:

4. Steifigkeit

a) Aufstellen der Elementsteifigkeitsmatrizen im lokalen System

1

k2

3

1 k1 2

3

2

k3

1-1-11

= k ⋅K1¯ =10-10-1010

Element 1:

K2 1-1-11

= 2k ⋅ =20-20-2020

Element 3:

K3 1-1-11

= 2k ⋅ =20-20-2020

Element 2:



154. Steifigkeit

b) Transformation auf globale Koordinaten [Ke] = [T]T ⋅ [ ] ⋅ [T]:

0-101

0000

000-1

00

01= k ⋅k1

Element 1:α= 0°c = 1;s = 0

=

0-10010

0000

000-10

00

010

eK

-0,5-0,50,50,5

-0,5-0,50,50,5

-0,5-0,5-0,5-0,5

0,50,5

0,50,5= 2k ⋅k2

Element 2:α= 45°c2 = s2 = 0,5;sc = 0,5

=

-10-101010

-10-101010

-10-10-10-10

1010

1010

0,5-0,5-0,50,5

-0,50,50,5-0,5

-0,50,50,5-0,5

0,5-0,5

-0,50,5= 2k ⋅k3

Element 3:α= 135°c2 = s2 = 0,5;sc = -0,5

=

10-10-1010

-101010-10

-101010-10

10-10

-1010



164. Steifigkeit

c) Aufstellen der Kraft-Verschiebungs-Relation im globalen System

1 k1 2 x2

Fx2

Fy2 y2Fy1 y1

x1

Fx1

=

y2x2y1x1

0-10010

0000

000-10

00

010 ⋅

y1

x2

y2

x1

Fx2

Fy1

Fx1

Fy2

Element 1:1 → 2



174. Steifigkeit

1

k23

x1

Fx1

Fy1 y1

x3

Fx3

Fy3 y3

=

y3x3y1x1

-10-101010

-10-101010

-10-10-10-10

1010

1010 ⋅

y1

x3

y3

x1

Fx3

Fy1

Fx1

Fy3

Element 2:1 → 3



184. Steifigkeit

3

2

k3y3

Fx3

Fy1 y1

x2

Fx2Fy2 y2

=

y3x3y2x2

10-10-1010

-101010-10

-101010-10

10-10

-1010 ⋅

y2

x3

y3

x2

Fx3

Fy2

Fx2

Fy3

Element 3:2 → 3



194. Steifigkeit

d) Aufbau der Gesamtsteifigkeitsmatrix

Die Gesamtsteifigkeitsmatrix der Struktur wird aus den transformierten Elementsteifigkeitsmatrizen aufgebaut, indem die Koeffizienten mit gleichem Index addiert werden (Koinzidenz).

=Fy2

Fx3

Fx2

Fy1

Fx1

Fy3

⋅x3

y2

y1

x2

y3

x1

x1 y1 y3x3y2x2

-10

-10

0

-10

0+10

10+10

-10

-10

0

0

0+10

0+10

-10-1000

-10-100-10

10

-10

0–10

10+10

-10

10

0+10

0–10

-1010

-10-10

10+10

10–10

10–10

10+10

-10

-10

0

-10

0+10

10+10

-10

-10

0

0

0+10

0+10

-10-1000

-10-100-10

10

-10

0–10

10+10

-10

10

0+10

0–10

-1010

-10-10

10+10

10–10

10–10

10+10

-10

-10

0

-10

0+10

10+10

-10

-10

0

0

0+10

0+10

-10-1000

-10-100-10

10

-10

0–10

10+10

-10

10

0+10

0–10

-1010

10-10

10+10

10–10

10–10

10+10

Durch die Addition wird der Zusammenhang der Struktur hergestellt.



204. Steifigkeit

4.4 Eigenschaften der Gesamtsteifigkeitsmatrix

-10-100

-101020

-10-10001010

-10-1000-10-100-10

10-10-1020

-101010-10

-101010-10

200

020

=K

Die Gesamtsteifigkeitsmatrix einer Struktur ist symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen. Die Koeffizienten der Hauptdiagonalen (Pivot-koeffizienten) müssen bei statischen Problemen stets größer Null sein.

Bei verschwindenden Pivotkoeffizienten (z. B. infolge unvollständiger Lagerung oder schlechter Konditionierung) bricht der Lösungsalgorithmus mit einer Fehlermeldung ab.



21

Für größere Systeme ergibt sich i. allg. eine sog. Bandmatrix, da die Elemente jeweils nur mit ihren Nachbarelementen verknüpft sind.

4. Steifigkeit

=Ke

Die Bandbreite m ist die Anzahl der Nebendiagonalen, die von Null verschiedene Matrixkoeffizienten enthalten. Für die direkten Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen müssen nur die im schraffierten Teil enthaltenen Koeffizienten gespeichert werden

mxxxx00

x0x0000

xsym.

0000xxx

00xx0x0x

x0x0x

x

x



22

Die Bandbreite m ist abhängig von der Knotennummerierung

4. Steifigkeit

1 2 3 4

567

m = 13

x xx

x xx x

0

x xx x

x xx x

0

x xx

x xx x

000

x xx x

x xx x000x x

x xx x

x

sym.

x xx

x xx x

x xx x

x xx

0x xx x0

x xx

x xx

x xx x

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

1 3 5 7

642

m = 5

x xx

x xx x

x xx x

000

x xx

x xx x

x xx x

000000x x

x xx xx x

x xx

sym.

x xx

x xx x

x xx x

x xx

0x xx x

x xx x

x xx

x xx

x xx x

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7



23

Durch Ausnutzung der Symmetrie der Koeffizientenmatrix und Opti-mierung der Knotennummerierung lässt sich der Speicherbedarf und damit die Rechenzeit drastisch reduzieren.

4. Steifigkeit

Für ein Problem mit n = 1000 FHG s ergibt sich danach bei doppelgenauer Darstellung ein Speichebedarf für alle Matrixkoeffizienten von

sMatrix = 8 · n2 = 8 · 10002 = 8 000 000 Byte = 8 MByte

Lässt sich die Knotennummerierung des Problems auf eine Bandbreite von z. B. m = 50 optimieren, ergibt sich unter Ausnutzung der Symmetrie ein Speicherbedarf von

sBand = 8 · (m+1)·(n-m/2) = 8 · 51 · (1000-25) = 397800 Byte = 398 kByte,

was nur noch 5% des ursprünglichen Bedarfs darstellt.

Für n Unbekannte werden für eine vollbesetzte Koeffizientenmatrix p = n2

Speicherplätze, während für eine Bandmatrix nur p = (m+1)·(n-m/2) Plätze benötigt werden.



244. Steifigkeit

Die Rechenzeit bei Bandmatrizen ist proportional zu n · m2 gegenüber n3

bei einer voll besetzen Matrix. Für das Beispiel reduziert sich damit die Rechenzeit auf nur noch 0,25%.

Ringförmige Strukturen sind für eine Bandbreitenoptimierung ungünstig. Hier sollte, wenn möglich, die Symmetrie des Modells ausgenutzt werden.

Alle kommerziellen FE-Programme verfügen daher über entsprechendeBandbreitenoptimierer, wobei eine programminterne Umnummerierung der Knoten durch ein geeignetes Verfahren, z. B. dem Algorithmus vonCuthill-McKnee, erfolgt.

m = 5

1 3 5 7 9 11 13

2 4 6 8 10 12 14

1

7

4

10

2

35

612

11

8

9m = 9

xxxx00

x0x0000

xsym.

0000xxx

00xx0x0x

x0x0x

x

x



25

Eine weitere Möglichkeit zur Reduzierung des Speicherbedarfs und der Rechenzeit stellt die sog. Hüllenspeicherung dar.

4. Steifigkeit

=Ke

Hierbei werden nur die Koeffizienten innerhalb der „Skyline“ in einem Vektor abgespeichert

x x xx 0 xx x x xx x 0 xx xx xx xx

19161286421

, wobei ein Zeiger auf die Diagonalelemente verweist.



26

Aufbau und Besetzungsstruktur eines Hochspannungsmastes (nach H. R. Schwarz)

4. Steifigkeit

Problemgröße:

499 Balken-elemente

167 Knoten1002 Freiheits-

grade50343 Skyline-

Speicher-plätze

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