Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf ......Algebra Lineare Gleichungssysteme - Anwendungsaufgaben *** Arbeit und Leistung 3 Das nach einem Unwetter in einer Baugrube

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Arbeit und Leistung 1

Zwei Zuflussrohre zu einem Wasserbecken liefern zusammen l984 , wenn das erste 24min und das zweite 30min geöffnet ist. Ist das erste 18min und das zweite 20min geöffnet, liefern die beiden Zuflussrohre l688 . Wie viel liefert jedes der Rohre pro Minute alleine? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.

Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Gib die gesuchten Mengen an.

2010 Thomas Unkelbach


x: Die Menge, die das erste Rohr pro Minute liefert, in l y: Die Menge, die das zweite Rohr pro Minute liefert, in l Gleichungen: 688y20x18984y30x24 =+∧=+ Lösungsmenge: L = { (16 | 20) } Antwort: Das erste Rohr liefert l16 pro Minute, das zweite Rohr l20 pro Minute.



Arbeit und Leistung 2 Wenn die Kaltwasserleitung und die Warmwasserleitung gleichzeitig 12 Minuten geöffnet sind, so liefern sie

l240 Badewasser. Fließt aus beiden Leitungen das Wasser 10 Minuten lang und dann aus der Warmwasserlei-tung allein noch 5 Minuten, so enthält die Wanne ebenfalls l240 . Wie viel liefert jede Leitung pro Minute al-leine? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Gib die gesuchten Mengen an.



x: Die Menge, die die Kaltwasserleitung pro Minute liefert, in l y: Die Menge, die die Warmwasserleitung pro Minute liefert, in l Gleichungen: 240y5y10x10240y12x12 =++∧=+ Lösungsmenge: L = { (12 | 8) } Antwort: Die Kaltwasserleitung liefert l12 pro Minute, die Warmwasserleitung l8 pro Minute.


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Arbeit und Leistung 3 Das nach einem Unwetter in einer Baugrube stehende Wasser wurde durch zwei Pumpen ausgeleert. Als die erste Pumpe 4 Stunden und die zweite 3 Stunden gearbeitet hatte, waren 5

3 der Wassermenge entfernt. Um den Rest des Wassers herauszupumpen, musste die erste Pumpe noch 3 Stunden und die zweite 2

11 Stunden in Be-trieb sein. Welchen Anteil der Baugrube könnte jede der beiden Pumpen in einer Stunde ausleeren, und in wel-cher Zeit hätte somit jede der beiden Pumpen allein die Grube leergepumpt? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.

Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Gib die gesuchten Anteile bzw. Zeiten an.



x: Der Anteil der Baugrube, den die erste Pumpe allein in einer Stunde ausleeren kann y: Der Anteil der Baugrube, den die zweite Pumpe allein in einer Stunde ausleeren kann Gleichungen: 5

221

53 y1x3y3x4 =+∧=+

Lösungsmenge: L = { ( 10

1 | 151 ) }

Antwort: Die erste Pumpe kann in einer Stunde 10

1 der Baugrube leeren, die zweite Pumpe 151 . Somit bräuchte

die erste Pumpe allein 10 Stunden und die zweite allein 15 Stunden.



Arbeit und Leistung 4 Ein Fuhrunternehmer hatte es übernommen, das Material für einen Straßenbau mit zwei Lastkraftwagen in 12 Tagen anzufahren. Nach 9 Tagen musste er einen Wagen abziehen, weil er ihn zu anderen Arbeiten benötigte. Der andere Wagen fuhr nun allein noch 5 Tage, dann war das gesamte Material herangeschafft. Welchen Anteil des Materials hätte jeder Wagen allein in einem Tag anfahren können, und in welcher Zeit hätte jeder Wagen allein das Material anfahren können? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.

Gib die gesuchten Anteile bzw. Zeiten an.



x: Der Anteil des Materials, den der erste Wagen allein an einem Tag anfahren kann y: Der Anteil des Materials, den der zweite Wagen allein an einem Tag anfahren kann Gleichungen: 1y5y9x91y12x12 =++∧=+ Lösungsmenge: L = { ( 20

1 | 301 )}

Antwort: Der erste Wagen kann an einem Tag 20

1 des Materials anfahren, der zweite Wagen 301 . Somit bräuchte

der erste Wagen allein 20 Tage und der zweite allein 30 Tage.



Arbeit und Leistung 5 Ein Schiff soll von 2 Kränen entladen werden. Die beiden Kräne schaffen die Arbeit normalerweise zusammen in 4 Stunden. Leider fällt nach einer Stunde ein Kran aus. Der andere arbeitet alleine weiter und ist 5

44 Stunden später mit dem Entladen fertig.? Welchen Anteil der Schiffsladung hätte jeder Kran allein in einer Stunde ent-laden können, und in welcher Zeit könnte jeder der beiden Kräne das Schiff alleine entladen? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.

Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Gib die gesuchten Anteile bzw. Zeiten an.



x: Der Anteil der Schiffsladung, den der erste Kran allein in einer Stunde entladen kann y: Der Anteil der Schiffsladung, den der zweite Kran allein in einer Stunde entladen kann Gleichungen: 1y4y1x11y4x4 5

4 =++∧=+ Lösungsmenge: L = { ( 32

3 | 325 )}

Antwort: Der erste Kran kann in einer Stunde 32

3 der Schiffsladung entladen, der zweite Kran 325 . Somit bräuch-

te der erste Kran allein 3210 Stunden und der zweite allein 5

26 Stunden.



Altersrätsel 1 Eine Mutter war vor 7 Jahren siebenmal so alt, wie ihre Tochter damals war. In 3 Jahren wird die Mutter drei-mal so alt sein, wie ihre Tochter dann sein wird. Wie alt sind Mutter und Tochter jetzt? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.

Gib die gesuchten Längen an.



x: Das heutige Alter der Mutter in Jahren y: Das heutige Alter der Tochter in Jahren Gleichungen: )3y(33x)7y(77x +⋅=+∧−⋅=− Lösungsmenge: L = { (42 | 12) } Antwort: Die Mutter ist heute 42 Jahre, die Tochter 12 Jahre alt.


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Aus dem Alltag 1 Ein 20-€-Schein wird in 1,-€-Stücke und 50-ct-Stücke umgewechselt. Die Anzahl der 1,-€-Stücke ist um 5 grö-ßer als die der 50-ct-Stücke. Wie viele Geldstücke erhält man von jeder Sorte? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.

Gib die gesuchten Anzahlen an.



x: Die Anzahl der 1,-€-Stücke y: Die Anzahl der 50-ct-Stücke Gleichungen: 5yx00,20y50,0x00,1 +=∧=+ Lösungsmenge: L = { (15 | 10) } Antwort: Man erhält 15 1,-€-Stücke und 10 50-ct-Stücke.



Aus dem Alltag 2 Frau A kaufte 10 Apfelsinen einer besseren Sorte und 8 Apfelsinen einer schlechteren Sorte und zahlte 4,10€ dafür. Frau B, die von der ersten Sorte 6 Stck. und von der zweiten Sorte 5 Stck. kaufte, zahlte 1,60€ weniger. Wie viel kosteten die beiden Apfelsinensorten? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.

Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Gib die gesuchten Preise an.



x: Der Preis für eine Apfelsine der besseren Sorte in € y: Der Preis für eine Apfelsine der schlechteren Sorte in € Gleichungen: 60,110,4y5x610,4y8x10 −=+∧=+ Lösungsmenge: L = { (0,25 | 0,20) } Antwort: Eine Apfelsine der besseren Sorte kostet 0,25€, eine der schlechteren Sorte 0,20€.



Aus dem Alltag 3 Die Eintrittskarten für ein Schulkonzert kosteten für Erwachsene 0,80€ und für Schüler 0,30€. Die Einnahme aus dem Kartenverkauf betrug 324,-€. Bei der Wiederholung des Konzerts, das diesmal nur für Schüler statt-fand, wurde die gleiche Gesamtanzahl Karten verkauft, der Erlös betrug aber nur 144,-€. Wie viel Eintrittskar-ten für Erwachsene bzw. für Schüler wurden beim ersten Konzert verkauft? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Gib die gesuchten Anzahlen an.



x: Die Anzahl der Erwachsenenkarten y: Die Anzahl der Schülerkarten Gleichungen: 144)yx(30,0324y30,0x80,0 =+⋅∧=+ Lösungsmenge: L = { (360 | 120) } Antwort: Es wurden 360 Erwachsenenkarten und 120 Schülerkarten verkauft.



Aus dem Alltag 4 Ein Handwerksmeister zahlte an zwei Gesellen, von denen der erste 40 Stunden und der zweite 48 Stunden ge-arbeitet hatte, zusammen 1140,-€ Wochenlohn. In der folgenden Woche hatte der erste 48 Stunden und der zweite 40 Stunden gearbeitet. Nun betrug die Lohnsumme 1148,-€. Welche Stundenlöhne erhielten die beiden Gesellen? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Gib die gesuchten Stundenlöhne an.



x: Der Stundenlohn des ersten Gesellen in € y: Der Stundenlohn des zweiten Gesellen in € Gleichungen: 1148y40x481140y48x40 =+∧=+ Lösungsmenge: L = { (13,50 | 12,50) } Antwort: Der erste Geselle erhielt 13,50€ Stundenlohn, der zweite 12,50€ Stundenlohn.



Aus dem Alltag 5 In einer großen Familie sagt ein Sohn: Ich habe doppelt so viele Schwestern wie Brüder. Eine Tochter sagt: Ich habe ebenso viele Schwestern wie Brüder. Wie viele Söhne und wie viele Töchter hat die Familie? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.

Gib die gesuchten Anzahlen an.



x: Die Anzahl der Söhne y: Die Anzahl der Töchter Gleichungen: x1yy)1x(2 =−∧=−⋅ Lösungsmenge: L = { (3 | 4) } Antwort: Die Familie hat 3 Söhne und 4 Töchter.



Aus dem Alltag 6 Zwei Esel tragen Säcke. Da sagt der eine Esel zum anderen: „Wenn du mir einen Sack abgibst, dann tragen wir beide gleich viele Säcke.“ Der andere Esel erwidert: „Wenn du mir einen Sack abgibst, dann trage ich doppelt so viele Säcke wie du.“ Wie viel Säcke trägt der eine Esel, und wie viele der andere? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.

Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Gib die gesuchten Anzahlen an.



x: Die Anzahl der Säcke, die der eine Esel trägt y: Die Anzahl der Säcke, die der andere Esel trägt Gleichungen: 1y)1x(21x1y +=−⋅∧+=− Lösungsmenge: L = { (5 | 7) } Antwort: Der eine Esel trägt 5 Säcke, der andere Esel 7 Säcke.



Bewegungsaufgabe 1 Zwei Orte A und B liegen 21 km voneinander entfernt. Zwei Wanderer, die gleichze itig von A und B aufbre-chen und von denen Wanderer B um 3

1 schneller ist als der andere, treffen sich nach 2 Stunden. Wie groß wa-ren die Geschwindigkeiten der beiden Wanderer? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.

Gib die gesuchten Geschwindigkeiten an.



x: Die Geschwindigkeit des Wanderers A in km/h y: Die Geschwindigkeit des Wanderers B in km/h Gleichungen: 21y2x2x1y 3

1 =+∧= Lösungsmenge: L = { (4,5 | 6) } Antwort: Wanderer A geht mit 4,5km/h, Wanderer B mit 6km/h.



Bewegungsaufgabe 2

Ein Motorradfahrer fahrt von A nach dem 90km entfernten B. Nach 211 Stunden Fahrt begegnet ihm ein Pkw,

der vor 15 Minuten von B abgefahren ist und der um 20% schneller ist als das Motorrad. Wie schnell ist der PKW, wie schnell das Motorrad? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.




x: Die Geschwindigkeit des Motorrads in km/h y: Die Geschwindigkeit des PKWs in km/h Gleichungen: 90yx1x%)20%100(y 4

121 =+∧⋅+=

Lösungsmenge: L = { (50 | 60) } Antwort: Das Motorrad fährt mit 50km/h, der PKW mit 60km/h.



Bewegungsaufgabe 3

Ein Lkw fuhr um 8 Uhr von A ab. 211 Stunden nach seiner Abfahrt folgte ihm ein Pkw, der nach einer Stunde

Fahrzeit noch 20km hinter ihm und nach einer weiteren Stunde 5km vor ihm war. Wie schnell ist der LKW, wie schnell der PKW? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.




x: Die Geschwindigkeit des LKWs in km/h y: Die Geschwindigkeit des PKWs in km/h Gleichungen: y)11(5x)111(20y1x)11( 2

121 ⋅+=+⋅++∧+=⋅+

Lösungsmenge: L = { (30 | 55) } Antwort: Der LKW fährt mit 30km/h, der PKW mit 55km/h.



Bewegungsaufgabe 5 Ein Flussdampfer legt in stromabwärts in einer Stunde 28km zurück. Stromaufwärts schafft er nur 15km in ei-ner Stunde. Wie groß ist die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses, wie groß ist die Eigengeschwindigkeit des Dampfers? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.

Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Gib die gesuchten Geschwindigkeiten an.



x: Die Geschwindigkeit des Dampfers in km/h y: Die Geschwindigkeit des Flusses in km/h Gleichungen: 15yx28yx =−∧=+ Lösungsmenge: L = { (21,5 | 6,5) } Antwort: Der Dampfer hat die Geschwindigkeit 21,5km/h, der Fluss 6,5km/h.



Bewegungsaufgabe 6 Für die 60km lange Strecke Koblenz-Bingen benötigte ein Motorboot zur Bergfahrt 3h45min und zur Talfahrt 2h24min. Welche Geschwindigkeit würde das Boot in stehenden Wasser haben und wie groß ist die Geschwin-digkeit der Strömung? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.

Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Gib die gesuchten Geschwindigkeiten an.



x: Die Geschwindigkeit des Motorboots in km/h y: Die Geschwindigkeit des Flusses in km/h

Gleichungen: 60)yx(260)yx(3 52

43 =+∧=− oder

52

43 2

60yx360yx =+∧=−

Lösungsmenge: L = { (20,5 | 4,5) } Antwort: Das Motorboot hat die Geschwindigkeit 20,5km/h, der Fluss 4,5km/h.



Bewegungsaufgabe 7 Ein Donauschiff benötigt für die 90km lange Fahrt zwischen Passau und Linz talwärts 4h30min und bergwärts 6h. Wie groß ist die Eigengeschwindigkeit des Schiffes und wie groß die Fließgeschwindigkeit der Donau? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.




x: Die Geschwindigkeit des Donauschiffs in km/h y: Die Geschwindigkeit der Donau in km/h

Gleichungen: 90)yx(690)yx(4 21 =−∧=+ oder

690yx

490yx

21

=−∧=+

Lösungsmenge: L = { (17,5 | 2,5) } Antwort: Das Donauschiff hat die Geschwindigkeit 17,5km/h, die Donau 2,5km/h.



Dreieck 1

Der Winkel an der Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks ist 531 mal so groß wie ein Basiswinkel. Wie groß

sind die Winkelweiten des Dreiecks? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.

Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Gib die gesuchten Winkelweiten an.



γ : Die Weite des Winkels an der Spitze in ° α : Die Weite der Basiswinkel in ° Gleichungen: α=γ∧=γ+α+α 5

31180 Lösungsmenge: L = { (50 | 80) } Antwort: Die Winkelweiten des Dreiecks sind °50 und °80 .



Dreieck 2 Ein Außenwinkel eines Dreiecks beträgt °112 . Von den beiden nicht anliegenden Innenwinkeln ist der eine

212 mal so groß wie der andere. Wie groß sind die Winkelweiten des Dreiecks?

Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.

Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Gib die gesuchten Winkelweiten an.



α : Die Weite des einen Winkels, der nicht an dem Außenwinkel liegt, in ° β : Die Weite des anderen Winkels, der nicht an dem Außenwinkel liegt, in ° Gleichungen: α=β∧=β+α 2

12112 Lösungsmenge: L = { (32 | 80) } Antwort: Die Winkelweiten des Dreiecks sind °32 , °68 und °80 .



Dreieck 3 Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt 35cm. Die Basis ist um 5,5cm kürzer als jeder Schenkel. Wie lang sind die Seiten des Dreiecks? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.




a: Die Länge der Schenkel des Dreiecks in cm c: Die Länge der Basis des Dreiecks in cm Gleichungen: 5,5ac35ca2 −=∧=+ Lösungsmenge: L = { (13,5 | 8,0) } Antwort: Die Seiten des Dreiecks sind 13,5cm und 8,0cm lang.



Dreieck 4 Vergrößert man in einem Dreieck eine Seite um 5m und die zugehörige Höhe um 2m, so ist der Flächeninhalt des neuen Dreiecks um 265m größer als der des ursprünglichen. Durch Verlängerung der Seite um 3m und Verkürzung der Höhe um 2m entsteht ein Dreieck, das 2m7 weniger Flächeninhalt hat als das erste Dreieck. Wie lang sind die Seiten und die Höhe des Dreiecks? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.

Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Gib die gesuchten Längen an.



c: Die Länge der Seite des Dreiecks in m h: Die Länge der zugehörigen Höhe des Dreiecks in m Gleichungen: 7hc)2h)(3c(65hc)2h)(5c( 2

121

21

21 −⋅=−+∧+⋅=++

Lösungsmenge: L = { (25 | 14) } Antwort: Die Seite des Dreiecks ist 25m, die zugehörige Höhe 14m lang.



Mischungsaufgabe ‚Menge und Anteil’ 1

Werden l15 einer Spiritussorte mit l30 einer anderen Sorte gemischt, so erhalt man 40%-igen Spiritus (40% Alkohol, 60% Wasser). Mischt man jedoch l30 der ersten Sorte mit l15 der zweiten Sorte, so wird die Mi-schung 30%-ig. Wie hoch sind die Spiritusanteile in den beiden Spiritussorten? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.

Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Gib die gesuchten Anteile an.



x: Die Konzentration der ersten Spiritussorte y: Die Konzentration der zweiten Spiritussorte Gleichungen: %30)1530(y15x30%40)3015(y30x15 ⋅+=+∧⋅+=+ Lösungsmenge: L = { (0,20 | 0,50) } Antwort: Die Konzentration der ersten Spiritussorte beträgt 20%, die der zweiten 50%.



Mischungsaufgabe ‚Menge und Anteil’ 2 Aus 80%-iger Essigessenz (80% Essigsäure, 20% Wasser) wurde durch Zusatz von Wasser 5%-iger Essig her-gestellt. Um die gleiche Menge 4%-igen Essig herzustellen, benötigte man 325cm Essenz weniger. Wie viel Essigessenz enthielt die erste Mischung und wie viel Wasser wurde zugesetzt? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.

Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Gib die gesuchten Größen an.



x: Die Menge der Essigessenz in der ersten Mischung in cm3 y: Die Menge an Wasser in der ersten Mischung in cm3 Gleichungen: )yx(%4)25y(%0)25x(%80)yx(%5y%0x%80 +⋅=+⋅+−⋅∧+⋅=⋅+⋅ Lösungsmenge: L = { (125 | 1875) } Antwort: Die erste Mischung enthielt 125cm3 Essigessenz und 1875cm3 Wasser.



Mischungsaufgabe ‚Menge und Anteil’ 3 Werden 1,2kg Silber mit 2,4kg einer zweiten Silbersorte legiert, so hat die Legierung den Feingehalt 800 (80% Silberanteil, 20% Kupferanteil). Legiert (mischt) man 2,4kg der ersten mit 1,2kg der zweiten Sorte, so beträgt der Feingehalt der Legierung 750. Wie hoch sind die Feingehalte der beiden Legierungen? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.




x: Der Feingehalt der ersten Silbersorte y: Der Feingehalt der zweiten Silbersorte Gleichungen: %75)2,14,2(y2,1x4,2%80)4,22,1(y4,2x2,1 ⋅+=+∧⋅+=+ Lösungsmenge: L = { (0,70 | 0,85) } Antwort: Der Feingehalt der ersten Silbersorte beträgt 700, der der zweiten 850.



Mischungsaufgabe ‚Menge und Anteil’ 4 Aus zwei Silbersorten mit dem Feingehalt 700 (70% Silberanteil, 30% Kupferanteil) bzw. 900 wurde eine Le-gierung mit dem Feingeha lt 825 hergestellt. Als man für eine andere Legierung von der zweiten Sorte 4kg mehr nahm, entstand Silber mit dem Feingehalt 850. Wie groß waren die Mengen der beiden Silbersorten zur Her-stellung der ersten Legierung? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Gib die gesuchten Mengen an.



x: Die Menge der ersten Silbersorte in kg y: Die Menge der zweiten Silbersorte in kg Gleichungen: )4yx(850)4y(900x700)yx(825y900x700 ++⋅=+⋅+∧+⋅=+ Lösungsmenge: L = { (3 | 5) } Antwort: Von der ersten Silbersorte wurden 3kg, von der zweiten 5kg benutzt.




Aus Wasser von C15° und C90° soll eine Mischung von l25 hergestellt werden, deren Temperatur C36° be-trägt. Wie groß waren die beiden Wassermengen? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.




x: Die erste Wassermenge in l y: Die zweite Wassermenge in l Gleichungen: )yx(36y90x1525yx +⋅=+∧=+ Lösungsmenge: L = { (18 | 7) } Antwort: Von der ersten Wassermenge wurden l18 , von der zweiten l7 genommen.




Gießt man Wasser von C12° und C40° zusammen, so erhält man eine Mischung von C28° . Setzt man noch l2 des kalten Wassers und l1 des wärmeren Wassers hinzu, so beträgt die Mischungstemperatur C26° . Wie

groß waren die beiden Wassermengen zur Herstellung der ersten Mischung? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.




x: Die erste Wassermenge in l y: Die zweite Wassermenge in l Gleichungen: )3yx(26)1x(40)2x(12)yx(28y40x12 ++⋅=+⋅++⋅∧+⋅=+ Lösungsmenge: L = { (3 | 4) } Antwort: Von der ersten Wassermenge wurden l3 , von der zweiten l4 genommen.




Zur Bereitung des Badewassers ließ man aus der Warmwasserleitung l75 und aus der Kaltwasserleitung l90 Wasser in die Wanne fließen. Die Mischungstemperatur betrug nun C40° . Als man noch l5 warmes und l50 kaltes Wasser zufließen ließ, betrug die Temperatur des Badewassers nur noch C35° . Wie hoch waren die Temperaturen des warmen und des kalten Wassers? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.

Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Gib die gesuchten Temperaturen an.



x: Die Temperatur des warmen Wassers in C° y: Die Temperatur des kalten Wassers in C° Gleichungen: 35)14080(y140x8040)9075(y90x75 ⋅+=+∧⋅+=+ Lösungsmenge: L = { (70 | 15) } Antwort: Die Temperatur des warmen Wassers betrug C70° , die des kalten Wassers C15° .




Aus konzentrierter Schwefelsäure mit einem spezifischen Gewicht von 3,8g/cm1 und destilliertem Wasser sol-len l50 Akkumulatorensaure (verdünnte Schwefelsäure) mit einem spezifischen Gewicht von 3,2g/cm1 herge-stellt werden. Wie viel Liter konzentrierter Schwefelsäure und wie viel Liter destilliertes Wasser muss man zusammenschütten? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.

Gib die gesuchten Mengen an.



x: Die Menge der konzentrierten Schwefelsäure in l y: Die Menge des destillierten Wassers in l Gleichungen: 502,1y0,1x8,150yx ⋅=⋅+⋅∧=+ Lösungsmenge: L = { (12,5 | 37,5) } Antwort: Man muss l5,12 konzentrierte Schwefelsäure mit l5,37 destilliertem Wasser mischen.




Ein Werkstück aus Messing, das ist eine Mischung aus Kupfer und Zink mit der Dichte 38,36g/cm=ρ , hat ein Volumen von 340cm . Wie viel Kubikzentimeter Kupfer (Dichte 38,9g/cm=ρ ) und viel Kubikzentimeter Zink (Dichte 37,1g/cm=ρ ) enthält das Werkstück, und welche Massen haben dann die beiden Metalle? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.

Gib die gesuchten Volumina bzw. Massen an.



x: Die Menge an Kupfer in g y: Die Menge an Zink in g Gleichungen: 4036,8y1,7x9,840yx ⋅=⋅+⋅∧=+ Lösungsmenge: L = { (28 | 12) } Antwort: Das Werkstück enthält 328cm Kupfer und 312cm Zink; die beiden Metalle haben die Massen 249,2g und 85,2g.



Mischungsaufgabe ‚Menge und Preis’ 1 In einer Schokoladenhandlung soll aus zwei Sorten Pralinen eine Mischung hergestellt werden. Werden 15kg der besseren Sorte mit 25kg einer anderen Sorte gemischt, so kostet 1kg der Mischung 8,-€. Mischt man 25kg der besseren Sorte mit 15kg der anderen, so stellt sich der Preis für 1kg der Mischung auf 9,-€. Wie viel koste-ten die beiden Pralinensorten? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Gib die gesuchten Preise an.



x: Der Preis für 1kg der besseren Pralinensorte in € y: Der Preis für 1kg der anderen Pralinensorte in € Gleichungen: 9)2515(y15x258)2515(y25x15 ⋅+=+∧⋅+=+ Lösungsmenge: L = { (10,50 | 6,50) } Antwort: 1 Kilogramm der besseren Pralinensorte kostet 10,50€, 1 Kilogramm der anderen Pralinensorte 6,50€.



Mischungsaufgabe ‚Menge und Preis’ 2 In einer Teehandlung wird aus zwei Teesorten, die 20,-€ und 32,-€ je kg kosten, eine Mischung hergestellt, von der 1kg 27,50€ kostet. Nimmt man von der ersten Sorte 3kg mehr und von der zweiten Sorte 3kg weniger, so beträgt der Preis für 1kg der Mischung 27,20€. Wie viel Kilogramm Tee muss man von den beiden Teesorten für die erste Mischung nehmen? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Gib die gesuchten Mengen an.



x: Die Menge der ersten Teesorte in kg y: Die Menge der zweiten Teesorte in kg Gleichungen: )yx(20,27)3y(32)3x(20)yx(50,27y32x20 +⋅=−⋅++⋅∧+⋅=+ Lösungsmenge: L = { (45 | 75) } Antwort: Man muss von der ersten Teesorte 45kg und von der zweiten Teesorte 75kg nehmen.



Mischungsaufgabe ‚Menge und Preis’ 3 Ein Bäcker mischt Weizenmehl zu 68ct je kg mit Roggenmehl zu 60ct je kg und erhält das Backmehl für Wei-zenmischbrot. 1kg der Mischung kostet 65ct. Nimmt der Bäcker 60kg Roggenmehl mehr und 60kg Weizen-mehl weniger, so erhalt er die richtige Mischung für Roggenmischbrot. Der Preis für 1kg dieser Mehlmischung beträgt 62ct. Wie viel Kilogramm muss der Bäcker von den beiden Mehlsorten für die erste Mischung nehmen? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Gib die gesuchten Mengen an.



x: Die Menge der ersten Mehlsorte in kg y: Die Menge der zweiten Mehlsorte in kg Gleichungen: )yx(62)60y(60)60x(68)yx(65y60x68 +⋅=+⋅+−⋅∧+⋅=+ Lösungsmenge: L = { (100 | 60) } Antwort: Der Bäcker muss 100kg Weizenmehl und 60kg Roggenmehl für die Mischung nehmen.



Prozentrechnungsaufgabe 1 Ein Kaufmann bestellte bei einer Großhandlung 15kg Tee der Sorte A und 20kg Tee der Sorte B, die nach der Preisliste zusammen 800,-€ kosten sollten. Infolge einer Preiserhöhung von 5% für die Sorte A und 10% für die Sorte B lautete die Rechnung über 865,-€. Wie viel kosteten die beiden Teesorten vor der Preiserhöhung? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.




x: Der Preis für 1kg Tee der Sorte A vor der Preiserhöhung in € y: Der Preis für 1kg Tee der Sorte B vor der Preiserhöhung in € Gleichungen: 865y%)10%100(20x%)5%100(15800y20x15 =⋅+⋅+⋅+⋅∧=+ Lösungsmenge: L = { (20 | 25) } Antwort: Vor der Preiserhöhung kostete 1 Kilogramm Tee der Sorte A 20,-€ und 1 Kilogramm Tee der Sorte B 25,-€.



Prozentrechnungsaufgabe 2 Ein Eisenwarenhändler bezog 10 Herde der Serie A und 12 Herde der Serie B und berechnete für die 22 Herde einen Selbstkostenpreis von 5250,-€. An den Herden der Serie A verdiente der Händler 20%, an denen der Serie B 15%. Insgesamt nahm er für die Herde 6150,-€ ein. Wie viel kosteten die beiden Herdsorten im Einkauf? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.




x: Der Preis für 1 Herd der Serie A im Einkauf in € y: Der Preis für 1 Herd der Serie B im Einkauf in € Gleichungen: 6150y%)15%100(12x%)20%100(105250y12x10 =⋅+⋅+⋅+⋅∧=+ Lösungsmenge: L = { (225 | 250) } Antwort: Im Einkauf kostete 1 Herd der Serie A 225,-€ und 1 Herd der Serie B 250,-€.



Prozentrechnungsaufgabe 3 Ein Herrenanzug war 60,-€ teurer als ein Knabenanzug. Nachdem für den Ausverkauf der Preis für den Herren-anzug um 20% und der für den Knabenanzug um 25% herabgesetzt worden war, betrug der Preisunterschied nur noch 54,-€. Wie viel kosteten die beiden Anzüge vor dem Ausverkauf? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.




x: Der Preis für 1 Herrenanzug vor dem Ausverkauf in € y: Der Preis für 1 Knabenanzug vor dem Ausverkauf in € Gleichungen: 54y%)25%100(x%)20%100(60yx +⋅−=⋅−∧+= Lösungsmenge: L = { (180 | 120) } Antwort: Vor dem Ausverkauf kostete 1 Herrenanzug 180,-€ und 1 Knabenanzug 120,-€.



Prozentrechnungsaufgabe 4 Ein Autohändler kaufte zwei Gebrauchtwagen für zusammen 2700,-€. Beim Verkauf des ersten Wagens erhielt er 20%, beim Verkauf des zweiten Wagens 25% des Kaufpreises mehr und verdiente im ganzen 600,-€. Wie viel kosteten die beiden Wagen den Gebrauchtwagenhändler? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.




x: Der Preis für den ersten Wagen in € y: Der Preis für den zweiten Wagen in € Gleichungen: 600y%25x%202700yx =⋅+⋅∧=+ Lösungsmenge: L = { (1500 | 1200) } Antwort: Der erste Wagen kostete 1500,-€, der zweite Wagen 1200,-€.



Raute 1 Von den zwei Diagonalen einer Raute ist die eine um 60% länger als die andere. Die Differenz der beiden Dia-gonalen beträgt 7,5cm. Wie lang sind die beiden Diagonalen? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.




x: Die Länge der einen Diagonalen in cm y: Die Länge der anderen Diagonalen in cm Gleichungen: 5,7yxy60,1x =−∧⋅= Lösungsmenge: L = { (20,0 | 12,5) } Antwort: Die Diagonalen der Raute sind 20,0cm und 12,5cm lang.



Raute 2 Die eine Diagonale einer Raute ist doppelt so lang wie die andere. Verlängert man die kürzere Diagonale um 2cm und verkürzt die längere um 3cm, so entsteht eine Raute, die denselben Flächeninhalt hat wie die ur-sprüngliche. Wie lang sind die beiden Diagonalen? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.




x: Die Länge der kürzeren Diagonalen in cm y: Die Länge der längeren Diagonalen in cm

Gleichungen: 2

yx2

)2x()3y(x2y ⋅=+⋅−∧=

Lösungsmenge: L = { (6 | 12) } Antwort: Die Diagonalen der Raute sind 6cm und 12cm lang.



Raute 3 Wird die längere Diagonale einer Raute um 5cm verkürzt und die kürzere um 8cm verlängert, so entsteht ein Quadrat, dessen Flächeninhalt um 2cm50 größer ist als der der Raute. Wie lang sind die beiden Diagonalen? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.





Gleichungen: 502

yx2

)8x()5y(8x5y +⋅=+⋅−∧+=−




Raute 4 Vergrößert man die kürzere Diagonale einer Raute um 3cm und die längere um 5cm, so ist die kürzere Diago-nale um 40% kürzer als die längere und der Flächeninhalt der Raute ist um 2cm5,67 größer als vorher. Wie lang sind die beiden Diagonalen? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.





Gleichungen: 5,672

yx2

)3x()5y()5y(%)40%100(3x +⋅=+⋅+∧+⋅−=+




Raute 5 In einer Raute ist die eine Diagonale um 25% kürzer als die andere. Eine zweite Raute, deren Diagonalen um je 2cm länger sind, hat einen um 216cm größeren Flächeninhalt. Wie lang sind die beiden Diagonalen der ersten Raute? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.





Gleichungen: 162

yx2

)2y)(2x(y%)25%100(x +⋅=++∧⋅−=




Rechteck und Quadrat 1 Der Umfang eines Rechtecks beträgt 168m. Die größere Seite ist um 12m länger als die kleinere. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.




x: Die Länge der größeren Seite des Rechtecks in m y: Die Länge der kleineren Seite des Rechtecks in m Gleichungen: 12yx168y2x2 +=∧=+ Lösungsmenge: L = { (48 | 36) } Antwort: Die Seiten des Rechtecks sind 48m und 36m lang.



Rechteck und Quadrat 2 Aus einem 90cm langen Draht soll ein Rechteck geformt werden, dessen längere Seite 2 mal so lang wie die kürzere sein soll. Wie lang werden die Seiten des Rechtecks? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.




x: Die Länge der längeren Seite des Rechtecks in cm y: Die Länge der kürzeren Seite des Rechtecks in cm Gleichungen: y2x90y2x2 ⋅=∧=+ Lösungsmenge: L = { (30 | 15) } Antwort: Die Seiten des ursprünglichen Rechtecks waren 30cm und 15cm lang.



Rechteck und Quadrat 3 Aus einem 180cm langen Draht soll ein Rechteck geformt werden, dessen eine Seite um 25% länger ist als die andere. Wie lang werden die Seiten des Rechtecks? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.




x: Die Länge der einen Seite des Rechtecks in cm y: Die Länge der anderen Seite des Rechtecks in cm Gleichungen: x%)25%100(y180y2x2 ⋅+=∧=+ Lösungsmenge: L = { (40 | 50) } Antwort: Die Seiten des ursprünglichen Rechtecks waren 40cm und 50cm lang.



Rechteck und Quadrat 4 Von zwei anstoßenden Seiten eines Rechtecks ist die eine um 60% länger als die andere. Die Differenz der bei-den Seiten beträgt 7,5m. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.




x: Die Länge der einen Seite des Rechtecks in m y: Die Länge der anderen Seite des Rechtecks in m Gleichungen: y%)60%100(x5,7yx ⋅+=∧=− Lösungsmenge: L = { (20,0 | 12,5) } Antwort: Die Seiten des ursprünglichen Rechtecks waren 20,0m und 12,5m lang.



Rechteck und Quadrat 5 Der Umfang eines Rechtecks beträgt 26cm. Verlängert man die eine Seite um 1cm und die andere Seite um 2cm, so vergrößert sich der Flächeninhalt um 2cm20 . Wie lang waren die Seiten des ursprünglichen Recht-ecks? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.




x: Die Länge der einen Seite des ursprünglichen Rechtecks in cm y: Die Länge der anderen Seite des ursprünglichen Rechtecks in cm Gleichungen: 20yx)2y()1x(26y2x2 +⋅=+⋅+∧=+ Lösungsmenge: L = { (5 | 8) } Antwort: Die Seiten des ursprünglichen Rechtecks waren 5cm und 8cm lang.



Rechteck und Quadrat 6 Die eine Seite eines Rechtecks ist doppelt so lang wie die andere. Verlängert man die kürzere Seite um 2cm und verkürzt die längere um 3cm, so entsteht ein Rechteck, das denselben Flächeninhalt hat wie das ursprüngliche. Wie lang waren die Seiten des ursprünglichen Rechtecks? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.




x: Die Länge der einen Seite des ursprünglichen Rechtecks in cm y: Die Länge der anderen Seite des ursprünglichen Rechtecks in cm Gleichungen: yx)3x()2y(y2x ⋅=−⋅+∧= Lösungsmenge: L = { (12 | 6) } Antwort: Die Seiten des ursprünglichen Rechtecks waren 12cm und 6cm lang.



Rechteck und Quadrat 7 Wird die größere Seite eines Rechtecks um 5m verkürzt und die kleinere Seite um 8m verlängert, so entsteht ein Quadrat, dessen Flächeninhalt um 2m100 größer ist als der des Rechtecks. Wie lang waren die Seiten des ursprünglichen Rechtecks? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.




x: Die Länge der größeren Seite des ursprünglichen Rechtecks in m y: Die Länge der kleineren Seite des ursprünglichen Rechtecks in m Gleichungen: 100yx)8y()5x(8y5x +⋅=+⋅−∧+=− Lösungsmenge: L = { (25 | 12) } Antwort: Die Seiten des ursprünglichen Rechtecks waren 25m und 12m lang.



Rechteck und Quadrat 8 Vergrößert man die kleinere Seite eines Rechtecks um 3cm und die größere Seite um 5cm, so ist diese kleinere Seite um 40% kürzer als die größere und der Flächeninhalt des Rechtecks ist um 2cm135 größer als vorher. Wie lang waren die Seiten des ursprünglichen Rechtecks? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.




x: Die Länge der kleineren Seite des ursprünglichen Rechtecks in cm y: Die Länge der größeren Seite des ursprünglichen Rechtecks in cm Gleichungen: 135yx)5y()3x()5y(%603x +⋅=+⋅+∧+⋅=+ Lösungsmenge: L = { (12 | 20) } Antwort: Die Seiten des ursprünglichen Rechtecks waren 12cm und 20cm lang.



Rechteck und Quadrat 9 Verlängert man die eine Seite eines Rechtecks um 3cm und die andere um 2cm, so wächst der Flächeninhalt um

2cm29 . Verkürzt man dagegen die erste Seite um 2cm und die zweite um 1cm, so nimmt der Flächeninhalt um 2cm11 ab. Wie lang waren die Seiten des ursprünglichen Rechtecks?

Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.




x: Die Länge der einen Seite des ursprünglichen Rechtecks in cm y: Die Länge der anderen Seite des ursprünglichen Rechtecks in cm Gleichungen: 11yx)1y()2x(29yx)2y()3x( −⋅=−⋅−∧+⋅=+⋅+ Lösungsmenge: L = { (7 | 3) } Antwort: Die Seiten des ursprünglichen Rechtecks waren 7cm und 3cm lang.



Rechteck und Quadrat 10 Vergrößert man die kleinere Seite eines Rechtecks um 3cm, so ist diese kleinere Seite um 40% kürzer als die größere und der Flächeninhalt des Rechtecks ist um 2cm135 größer als vorher. Wie lang waren die Seiten des ursprünglichen Rechtecks? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.




x: Die Länge der kleineren Seite des ursprünglichen Rechtecks in cm y: Die Länge der größeren Seite des ursprünglichen Rechtecks in cm Gleichungen: 135yxy)3x(y%603x +⋅=⋅+∧⋅=+ Lösungsmenge: L = { (24 | 45) } Antwort: Die Seiten des ursprünglichen Rechtecks waren 24cm und 45cm lang.



Rechteck und Quadrat 11 Der Umfang eines Rechtecks beträgt 84m. Verkürzt man die längere Seite um 3m und verlängert die kürzere Seite um 5m, so hat das neue Rechteck 2m59 mehr Flächeninhalt als das ursprüngliche Rechteck. Wie lang waren die Seiten des ursprünglichen Rechtecks? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.




x: Die Länge der längeren Seite des ursprünglichen Rechtecks in m y: Die Länge der kürzeren Seite des ursprünglichen Rechtecks in m Gleichungen: 59yx)5y()3x(84y2x2 +⋅=+⋅−∧=+ Lösungsmenge: L = { (25 | 17) } Antwort: Die Seiten des ursprünglichen Rechtecks waren 25m und 17m lang.



Trapez 1 In einem Trapez beträgt der Längenunterschied der beiden Parallelseiten 10m. Das Trapez hat eine Höhe von 12m und einen Flächeninhalt von 2360m . Wie lang sind die beiden Parallelseiten? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.




a: Die Länge der längeren Parallelseite in cm c: Die Länge der kürzeren Parallelseite in cm

Gleichungen: 360122

)ca(10ca =⋅+∧=−

Lösungsmenge: L = { (35 | 25) } Antwort: Die Parallelseiten des Trapezes sind 35cm und 25cm lang.



Trapez 2

Ein Trapez hat den Flächeninhalt 2cm6,40 und die Höhe cm8,2 . Eine der beiden parallelen Seiten ist viermal so lang wie die andere. Wie lang sind die beiden Parallelseiten? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.





Gleichungen: 6,408,22

)ca(c4a =⋅+∧=

Lösungsmenge: L = { (23,2 | 5,8) } Antwort: Die Parallelseiten des Trapezes sind 23,2cm und 5,8cm lang.



Trapez 3

In einem Trapez ist die Differenz der Parallelseiten cm2 , die Höhe cm5,3 und der Flächeninhalt 2cm6,12 . Wie lang sind die beiden Parallelseiten? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.





Gleichungen: 6,125,32

)ca(2ca =⋅+∧=−

Lösungsmenge: L = { (4,6 | 2,6) } Antwort: Die Parallelseiten des Trapezes sind 4,6cm und 2,6cm lang.



Trapez 4 In einem Trapez ist eine der beiden parallelen Seiten ist dreimal so lang wie die andere. Das Trapez hat den Flächeninhalt 2cm12 und die Höhe cm5,1 . Wie lang sind die beiden Parallelseiten? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.





Gleichungen: 125,12

)ca(c3a =⋅+∧=

Lösungsmenge: L = { (12 | 4) } Antwort: Die Parallelseiten des Trapezes sind 12cm und 4cm lang.



Zinsrechnungsaufgabe 1 Ein Aktienbesitzer erhielt in einem Jahre für Aktien einer Verkehrsgesellschaft 5% und für Aktien eines Indus t-rieunternehmens 8% Dividende. Beide Gewinnanteile zusammen betrugen 1800,-€. Im folgenden Jahr zahlte die Verkehrsgesellschaft 1% mehr und das Industrieunternehmen 1%. weniger Dividende. Der Gesamtbetrag der Aktien war nun um 30,-€ geringer als im Vorjahr. Wie viel Kapital war für Aktien der Verkehrsgesellschaft, wie viel für Aktien des Industrieunternehmens angelegt? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.

Gib die gesuchten Kapitalien an.



x: Das Kapital, das in Aktien der Verkehrsgesellschaft angelegt war in € y: Das Kapital, das in Aktien des Industrieunternehmens angelegt war in € Gleichungen: 301800y%)1%8(x%)1%5(1800y%8x%5 −=⋅−+⋅+∧=⋅+⋅ Lösungsmenge: L = { (12000|15000) } Antwort: In Aktien der Verkehrsgesellschaft waren 12000,-€ , in Aktien des Industrieunternehmens 15000,-€ angelegt.



Zinsrechnungsaufgabe 2 Zwei Brüder legten ihre Erbteile, die zusammen 18000,-€ ausmachten, so an, dass sich das Geld des ersten mit 5,5% und das des zweiten mit 5% verzinste. Als die Brüder nach 4 Jahren ihre Erbteile für die gemeinsame Gründung eines Geschäftes verwandten, hatte das höher verzinste Erbteil 180,-€ Zinsen mehr gebracht als das andere. Wie groß waren die beiden Erbteile? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Gib die gesuchten Erbteile an.



x: Der Erbteil des ersten Bruders in € y: Der Erbteil des zweiten Bruders in € Gleichungen: 180y%0,54x%5,5418000yx +⋅⋅=⋅⋅∧=+ Lösungsmenge: L = { (9000|9000) } Antwort: Die Erbteile beider Brüder betrugen jeweils 9000,-€.



Zinsrechnungsaufgabe 3 Herr Müller nimmt einen Kredit auf. Am Ende des ersten Jahres zahlt er 465,-€ Zinsen. und 1200,-€ Tilgung zurück. Am Ende des zweiten Jahres musste er noch 375,-€ Zinsen zahlen. Wie hoch war der Kredit zu Beginn, und wie hoch ist der Zinssatz? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.




x: Die Höhe des Kredits in € y: Der Zinssatz Gleichungen: 375y)1200x(465yx =⋅−∧=⋅ Lösungsmenge: L = { (6200|7,5%) } Antwort: Die Höhe des Kredits betrug 6200,-€, der Zinssatz 7,5%.



Zahlenrätsel 1 Die Summe zweier Zahlen beträgt 220, ihre Differenz 30. Wie lauten die beiden Zahlen? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.

Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Gib die gesuchten Zahlen an.



x: Die eine Zahl y: Die andere Zahl Gleichungen: 30yx220yx =−∧=+ Lösungsmenge: L = { (125 | 95) } Antwort: Die Zahlen lauten 125 und 95.



Zahlenrätsel 2 Die Summe zweier Zahlen beträgt 80. Der erste Summand ist um 20 größer als der zweite. Wie lauten die bei-den Zahlen? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.

Gib die gesuchten Zahlen an.



x: Die eine Zahl y: Die andere Zahl Gleichungen: 20yx80yx +=∧=+ Lösungsmenge: L = { (50 | 30) } Antwort: Die Zahlen lauten 50 und 30.



Zahlenrätsel 3

Von zwei Zahlen ist die eine 213 mal so groß wie die andere. Ihre Summe beträgt 45. Wie lauten die beiden

Zahlen? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf.

Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Gib die gesuchten Zahlen an.



x: Die eine Zahl y: Die andere Zahl Gleichungen: 45yxy3x 2

1 =+∧⋅= Lösungsmenge: L = { (35 | 10) } Antwort: Die Zahlen lauten 35 und 10.



Zahlenrätsel 4 Die Differenz aus dem 5fachen einer Zahl und dem 3fachen einer anderen beträgt 35. Die Summe aus dem 3fachen der ersten Zahl und aus dem 2fachen der zweiten Zahl beträgt 40. Wie lauten die beiden Zahlen? Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.

Gib die gesuchten Zahlen an.



x: Die eine Zahl y: Die andere Zahl Gleichungen: 40y2x335y3x5 =+∧=− Lösungsmenge: L = { (10 | 5) } Antwort: Die Zahlen lauten 10 und 5.


Name: Datum: Lineare Gleichungssysteme - Additionsverfahren - Grundwissen

2010 Thomas Unkelbach Seite 1 von 1

Wie löst man ein Lineares Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren? 1. Forme beide Gleichungen so um, dass sich jeweils auf den einen Seiten der

Gleichungen beide Variablen in der gleichen Reihenfolge und auf den ande-ren Seiten keine Variablen mehr befinden. Bemerkung: Wenn beide Gleichungen bereits diese Form haben, kann dieser Schritt selbstverständlich entfallen.

2. Multipliziere beide Gleichungen jeweils so mit (verschiedenen) Zahlen, dass die Koeffizienten vor einer der beiden Variablen (hier z.B. y) in den beiden Gleichungen entgegengesetzt gleich sind. Bemerkung: Wenn beide Gleichungen bereits diese Form haben, kann dieser Schritt selbstverständlich ebenfalls entfallen.

3. Addiere jeweils die beiden Seiten der beiden Gleichungen. Du erhältst eine Gleichung mit nur noch einer Variablen (hier x).

4. Bestimme die Lösungsmenge dieser Gleichung. 5. Setze die gefundene Lösung (hier die Lösung für die Variable x) in eine der

beiden Ausgangsgleichung für diese Variable ein und berechne den Wert der anderen Variable (hier y).

6. Schreibe die Lösungsmenge des Linearen Gleichungssystems als Zahlenpaar (hier (x | y)) auf.

7. Probe: Setze das Zahlenpaar in beide Ausgangsgleichungen ein und überprü-fe, ob sich beide Male eine wahre Aussage ergibt; wenn nicht, ist das Zahlen-paar keine Lösung und Du musst den Fehler in Deiner Rechnung suchen.

Bemerkung: Bei dieser Anleitung wurde davon ausgegangen, dass das Lineare Gleichungssystem, das gelöst werden soll, genau ein Zahlenpaar als Lösung hat.

Beispiel: Bestimme die Lösung des Linearen Gleichungssystems

x3y2y616x2

=+−=

.

1. 3y2x

16y6x2−=+−

=+

2. 6y4x2

16y6x2−=+−

=+

3. 10y100 =+ 4. 1y =

}1{L y = 5. 532312x =+=+⋅= 6. })1|5({L = 7.

)w(91653)w(161652

=⋅−⋅=⋅+⋅

Name: Datum: Lineare Gleichungssysteme - Einsetzungsverfahren - Grundwissen


Wie löst man ein Lineares Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfah-ren? 1. Löse eine der beiden Gleichungen nach einer der beiden Variablen (z.B. nach

der Variablen y) auf. Du erhältst einen Term, der gleich dieser Variablen ist, nach der Du aufgelöst hast (hier y) und der nur noch die andere Variable (hier x) enthält. Bemerkung: Wenn eine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst sind, kann dieser Schritt selbstverständlich entfallen.

2. Setze diesen Term, den Du erhalten hast, für die Variable (hier y) in die ande-re Gleichung ein. Du erhältst eine Gleichung mit nur noch einer Variablen (hier x).

3. Bestimme die Lösungsmenge dieser Gleichung. 4. Setze die gefundene Lösung (hier die Lösung für die Variable x) in die Glei-

chung, die Du im ersten Schritt nach der einen Variablen (hier y) aufgelöst hast, für die andere Variable (hier x) ein und berechne den Wert der einen Va-riable (hier y).





9y6x316y6x2

=−=+

.

1. 3y2x

16y6x2+=

=+

2. 3.

}1{L1y

10y10166y1016y66y416y6)3y2(2

y ====+=++=++⋅

4. 532312x =+=+⋅= 5. })1|5({L = 6.

)w(91653)w(161652

=⋅−⋅=⋅+⋅

Name: Datum: Lineare Gleichungssysteme - Gleichsetzungsverfahren - Grundwissen


Wie löst man ein Lineares Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsver-fahren? 1. Löse beide Gleichungen nach einer der beiden, aber unbedingt der selben Va-

riablen (z.B. nach der Variablen y) auf. Du erhältst zwei Terme, die gleich der Variablen sind, nach der Du aufgelöst hast (hier y) und die beide nur noch die andere Variable (hier x) enthalten. Bemerkung: Wenn beide Gleichungen bereits nach der gleichen Variablen aufgelöst sind, kann dieser Schritt selbstverständlich entfallen.

2. Setze die beiden Terme, die Du erhalten hast, gleich. Du erhältst eine Glei-chung mit nur noch einer Variablen (hier x).

3. Bestimme die Lösungsmenge dieser Gleichung. 4. Setze die gefundene Lösung (hier die Lösung für die Variable x) in eine der

beiden Gleichungen, die Du im ersten Schritt nach der einen Variablen (hier y) aufgelöst hast, für die andere Variable (hier x) ein und berechne den Wert der einen Variable (hier y).





9y6x316y6x2

=−=+

.

1. 3y2x8y3x

+=+−=

2. 3.

}1{Ly1y55

3y28y3

y ===

+=+−

4. 583813x =+−=+⋅−= 5. })1|5({L = 6.

)w(91653)w(161652

=⋅−⋅=⋅+⋅

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Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf ......Algebra Lineare Gleichungssysteme - Anwendungsaufgaben *** Arbeit und Leistung 3 Das nach einem Unwetter in einer Baugrube