Mathematik macht Freu(n)de AB – Stetigkeit

Stetigkeit: „Kleine Veränderungen in x-Richtung bewirken kleine Veränderungen in y-Richtung.“

Wie ändern sich die Funktionswerte von f ,wenn wir uns ein bisschen von der Stelle x = 2nach links oder nach rechts bewegen?

Wie ändern sich die Funktionswerte von g,wenn wir uns ein bisschen von der Stelle x = 2nach links oder nach rechts bewegen?

Was heißt hier stetig?

Die rechts dargestellte Funktion f ist stetig an der Stelle x0 = 1.Deshalb können wir stets das folgende Spiel gewinnen:

1) Unser Gegner legt eine Fehlertoleranz ε > 0 fest.In den Bildern rechts ist ε = 0,2.

2) Danach wählen wir einen Spielraum δ > 0.Im Bild oben ist δ = 0,045. Im Bild unten ist δ = 0,02.

3) Die Fehlertoleranz ε und der Spielraum δ legen – wie rechtsdargestellt – ein Rechteck mit Mittelpunkt (1 | f(1)) fest.

4) Liegt an jeder Stelle x in ]1− δ; 1 + δ[ der zugehörigeFunktionswert f(x) in ]f(1)− ε; f(1) + ε[ , dann gewinntunser Spielraum δ gegen die vorgegebene Fehlertoleranz ε.In diesem Spiel gewinnt δ = 0,02 gegen ε = 0,2.

Stetigkeit

f ist stetig an der Stelle x0, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, sodass

f(x0)− ε < f(x) < f(x0) + ε

für alle x in ]x0 − δ;x0 + δ[ gilt. ∀ε > 0∃δ > 0 ∀x : |x− x0| < δ =⇒ |f(x)− f(x0)| < ε

Stetigkeit

Die rechts dargestellte Funktion g ist stückweise definiert.

Es gilt:

g(x) ={x2

4 , falls x < 2.3− x2

4 , falls x ≥ 2.

Die Funktion hat an der Stelle x0 = 2 eine Sprungstelle.

Erkläre mit ε = 0,5, warum f an der Stelle 2 nicht stetig ist.

Für jede Stelle x in der Umgebung von 2 müsste g(x) > 1,5 gelten.Aber jede noch so kleine Umgebung von 2 enthält Stellen x mit g(x) < 1.

Wir sagen auch: Die Funktion ist unstetig an der Stelle x0 = 2.

Sprungstelle

Datum: 22. Oktober 2020

Mathematik macht Freu(n)de AB – Stetigkeit

Die Funktion f ist stückweise definiert:

f(x) =

−2 · x+ a, falls x < 2.−3, falls 2 ≤ x ≤ 6.13 · x+ b, falls x > 6.

Berechne die Zahlen a und b so, dass die Funktion f überallstetig ist. Skizziere rechts den Funktionsgraphen.

f(2) = −3 =⇒ −4 + a = −3 =⇒ a = 1

f(6) = −3 =⇒ 2 + b = −3 =⇒ b = −5

Stückweise definierte Funktion

Die elementaren Funktionen sind – überall dort, wo sie definiert sind – stetig. Dazu zählen:

1) Polynomfunktionen: f(x) = 4 · x5 − 5 · x3 + 2 · x+ 42 mit Definitionsmenge D = R

2) Potenzfunktionen: p(x) = x−2 = 1x2 mit Definitionsmenge D = R \ {0}

3) Wurzelfunktionen: w(x) = x54 = 4√

x5 mit Definitionsmenge D = R+

4) Exponentialfunktionen: e(x) = 4x mit Definitionsmenge D = R

5) Logarithmusfunktionen: `(x) = log4(x) mit Definitionsmenge D = R+

6) Winkelfunktionen: s(x) = sin(x) mit Definitionsmenge D = R

7) Arkusfunktionen: a(x) = arcsin(x) mit D = [−1; 1]

Sind f und g stetige Funktionen, dann ist auchi) ihre Summe, ii) ihre Differenz, iii) ihr Produkt, iv) ihr Quotient, v) ihre Zusammensetzungwieder im gesamten Definitionsbereich stetig.

Stetige Funktionen

Die Funktionen f mit f(x) =√x und g mit g(x) = x− 4 sind als elementare Funktionen stetig.

1) Die Funktion s(x) =√x+ x− 4 ist als Summe stetiger Funktionen stetig. D = [0;∞[

2) Die Funktion d(x) =√x− x+ 4 ist als Differenz stetiger Funktionen stetig. D = [0;∞[

3) Die Funktion p(x) =√x · (x− 4) ist als Produkt stetiger Funktionen stetig. D = [0;∞[

4) Die Funktion q(x) =√x

x− 4 ist als Quotient stetiger Funktionen stetig. D = [0;∞[ \ {4}

5) Die Funktion k(x) =√x− 4 ist als Zusammensetzung stetiger Funktionen stetig. D = [4;∞[

Baukastenprinzip

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limx→x0

f(x) ist der Grenzwert der Funktion f an der Stelle x0. Was heißt das genau?

Wenn wir limx→x0

f(x) = a schreiben, meinen wir:

Zu jeder Fehlertoleranz ε > 0 finden wir ein δ > 0 so, dass

a− ε < f(x) < a+ ε

für alle x in ]x0 − δ;x0 + δ[ mit x 6= x0 gilt.

Wenn limx→x0

f(x) = f(x0), dann ist die Funktion f stetig an der Stelle x0.

Grenzwert einer Funktion an einer Stelle

Die Funktion f ist an der Stelle x0 definiert. Also ist f(x0) eine bestimmte Zahl.Wenn wir versuchen den Grenzwert lim

x→x0f(x) zu berechnen, können drei verschiedene Fälle eintreten:

a) Der Grenzwert existiert, und f ist stetig bei x0.

Berechne den Grenzwert von f(x) = x2

4 an der Stelle x0 = 2.

limx→2

f(x) = limx→2

x2

4 = 22

4 = 1.

b) Der Grenzwert existiert, aber f ist unstetig bei x0.

Berechne den Grenzwert an der Stelle x0 = 2 von

f(x) ={x2

4 , falls x 6= 2.2, falls x = 2.

limx→2

f(x) = limx→2

x2

4 = 22

4 = 1.

c) Der Grenzwert von f existiert nicht an der Stelle x0.

Berechne den Grenzwert an der Stelle x0 = 2 von

f(x) ={x2

4 , falls x < 2.3− x2

4 , falls x ≥ 2.

Der linksseitige Grenzwert von f an der Stelle 2 ist 1.

Kurz: limx→2−

f(x) = 1.

Der rechtsseitige Grenzwert von f an der Stelle 2 ist 2.

Kurz: limx→2+

f(x) = 2.

f ist genau dann stetig an der Stelle x0, wenn limx→x−

0

f(x) = limx→x+

0

f(x) = f(x0).

Fall 1: f ist an der Stelle x0 definiert.

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Mathematik macht Freu(n)de AB – Stetigkeit

Die Funktion f ist an der Stelle x0 nicht definiert. Zum Beispiel wegen einer Division durch 0.

Wenn wir versuchen den Grenzwert limx→x0

f(x) zu berechnen, können zwei verschiedene Fälle eintreten:

a) Der Grenzwert von f existiert nicht an der Stelle x0.

1) Die Funktion f(x) = 1(x+ 2) · (x− 3)2 ist an den Stellen −2 und 3 nicht definiert.

Was passiert mit den Funktionswerten, wenn wiruns diesen Stellen von links bzw. rechts annähern?Solche Stellen heißen Polstellen.Die strichlierten Geraden heißen Asymptoten.Skizziere rechts den Graphen von f .

2) Die Funktion f(x) = sin(

1x

)ist an der Stelle 0 nicht definiert.

Jede noch so kleine Umgebung von x0 = 0enthält jeden Funktionswert in [−1; 1].

Es kann also kein Grenzwert existieren.

Eine solche Stelle heißt auch Oszillationsstelle.

b) Der Grenzwert von f existiert an der Stelle x0.

Die Funktion f(x) = 2 · x2 − 18x− 3 ist an der Stelle x0 = 3 nicht definiert.

Beim Versuch für x den Wert 3 einzusetzen, erhalten wir einen

unbestimmten Ausdruck der Form 00 . Es gibt also noch Hoffnung.

Tatsächlich gilt: f(x) = 2 · (x2 − 9)x− 3 = 2 · (x− 3) · (x+ 3)

x− 3

Wenn x 6= 3 ist, dann ist f eine lineare Funktion

mit der Gleichung f(x) = 2 · x+ 6.

Skizziere rechts den Graphen.

Tatsächlich existiert der Grenzwert von f an der Stelle x0 = 3:

limx→3

f(x) = limx→3

2 · (x− 3) · (x+ 3)x− 3 = lim

x→32 · (x+ 3) = 2 · (3 + 3) = 12

Die Funktion f hat eine sogenannte stetige Fortsetzung f̃ : f̃(x) =

f(x), falls x 6= 3.

12, falls x = 3.

Fall 2: f ist an der Stelle x0 nicht definiert.

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