VERKNÜPFUNG VON ZWEI FUNKTIONEN

Benjamin, Christian, Jannik

Auswirkung auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit

Übersicht

Einführung Was sind verknüpfte Funktionen?

Stetigkeit Differenzierbarkeit Integrierbarkeit

Verknüpfte Funktionen

Zusammenfügung zweier einzelner Funktionen in einen Funktionsterm durch Verkettung Addition Multiplikation Division Subtraktion

Eine Funktion ist abschnittsweise durch zwei oder mehr Funktionen definiert

2 2( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 3 2x xf x x g x h x f x g x x

22

( ) 3( ) 3 ( ) ( )

( )

f x xf x x g x x h x

g x x

Stetigkeit

Eine Funktion ist stetig, wenn der Graph ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden kann. Die Funktion darf insbesondere keine Sprungstellen haben.

Bei Verknüpfung zweier stetiger Funktionen durch Addition, Multiplikation und Subtraktion ist die neue Funktion auch stetig

Ausnahme: Division

Beispiel: Verknüpfung durch Division

( )( ) ( ) 5 ( )

( ) 5

f x xf x x g x x h x

g x x

f(x)

g(x)

h(x)

Beispiel: Abschnittsweise definiert

Differenzierbarkeit

Differenzierbarkeit an der Stelle a: Steigung der Funktion kann an der Stelle a bestimmt werden

Es gilt: f(x) stetig → f(x) differenzierbar

Ausnahme: Funktionen mit Knick f(x) differenzierbar → f(x) stetig f(x) unstetig → f(x) nicht differenzierbar

Beispiele

2xf (x)

x 3

f (x) x

Integration

Die Integration ist bei auf ihrem Definitionsbereich stetigen Funktionen immer möglich. Addition, Subtraktion, Multiplikation

Bei abschnittsweise definierten Funktionen muss man getrennt aufleiten. Die untere Grenze des 2. Integrals kann als

Grenzwert angenommen werden. Sprungstellen müssen beim Integrieren

übergangen werden

Integrationsregeln

Siehe auch im Tafelwerk (blau) auf Seiten 58/59