S trenge Losungen zur Prandtlschen Theorie der tragenden Linie.

Von Harry Schmidt in KMhen.

Die Aufgabe, bei vorgcgebener Tiefenverteilung und vorgegeberier An- stellwinkelverteilung die zugeliorige Zirkulationsverteilung langs eixier tragenden Linie zu erniitteln, hat eine Dheraris reichhaltigc? Literatur hervorgeriifen, auf deren kritische Wurdigung ich demnachst an anderer Stelle ausfiihrlich zuruckkommen werde.

In der vorliegenden Arbeit handelt es sicli lediglicli darum, erstens aus den physikalisclien Hilfsvorstellungen (P r a n d t 1 sche Tlieorie) unter Besclirankung auf die durch s i e a 1 1 e i n bedingten Voraussetzungen s t r e n g e , d. 11. durch keinerlei mathematisch nicht voll gekllrtes Vorgelien beeinfiufite Folgerungen zu ziehen, zweitens ini Anschluk hieran fur s p ez i e l le Klassen von Tiefenverteilungen bei beliebiger Anstellwinkelverteilung die Losung des Problems in g e s c h l o s s e n e r F o r m tatsaclilich herzustellen, und drittens die a l l g e m e i n e Erledigung cler Aufgahe auf ein unendliclies lineares Gleicliungssystem zureduzieren, das der Erh. S c h m i d t - sclien Aufllisuiigstlieorie ziigtinglicli ist.

Ihren praktischen Nutzen haben die hier erhaltenen Resultate bereits insofern erkennen lassen, als sic: die Moiglichkeit bieten, irgendein teclinisch interessierendes Beispiel im Sinne einer Fehlerabsclidtzung in eine Mannigfaltigkeit streng beherrschter Typen einzubetten.

Einen besonderen Genufj bereitete mir die Feststellung, dafi die niathematischen Konse- quenzen der P r a n d t lschen Anstitze eine innere Folgerichtigkeit aufdeckeo, wie sie wohl nur wenigen Theorien der mathematischen Physik eigentunilich ist.

Im ersten Abschnitt werden die ltllgemeinen Grundlagen der Theorie der tragenden Linie kurz zusammengestellt , die nacli L. P r a n d t 1 zu einer hochgradig singularen Integro~Differentialgleicliiing fur die gesuchte Zirkulationsverteilung fuhren.

Im zweiten Abschnitt wird die von E. T r e f f t z angegebene potentialtheoretische Formulierung des Problems dargelegt.

Im dritten Abschnitt wird gezeigt, dafi durch einfache Fortsetzungsvorschriften fur die Tiefen- und Anstellwinkelverteilungen eine Reduktion auf das dritte Randwertproblem der Potentialtheorie fur das Aufjengebiet des Einheitskreises mliglich ist.

Im vierten Abschnitt wird auf Grund einschltigiger potentialtheoretischer Ergebnisse linter Voraussetzung stiickweise stetiger Tiefen- und Anstellwinkelverteilungen die Existenz einer einzigen, Iiings der ganzen tragenden Linie stetigen Zirkulationsverteilung bewiesen, die sicli nacli ubertragung auf den Einlieitskreis in eine daselbst absolut und gleichmtibig kon- vergente F o u r i e r r e i h e entwickeln ILfjt.

Im funften Abschnitt werden einige in der Llteren Literatur bereits vielfacli benutztc, auf die beiden ersten F o u r i e r koeffizienten der Zirkulationsverteilung beztigliche Aussagen sicliergestellt.

Im sechsten Abschnitt wird die strenge Losung des im dritten Absclinitt erlialtenen Raiidwertproblenis fur den beliebig verwundenen elliptischen Flugel auf potentialtheoretisclieni Wege in gesclilossener Form gewonnen und uber einige Anwendungsergebnisse kurz berichtet.

Im siebenten Abschnitt wird auf funktionentheoriscliem Wege die strenge Losung fur cine spezielle Klasse niclit - elliptixher Tiefenverteilungen bei beliebiger Verwindung in geschlossener Form hergeleitet. Uberdies wircl erwahnt, dab die Entwicklungskoeffizienten der zugehorigen Potentialfunktion einem unendliclien lineareri Gleichungssystem genugen, das nach der von E r 11, S c h m i d t angegebenen, aiif dem Orthogonalisierungsprozefi beruhenden Methode explizit gelbst werden kann.

Im achten Abschnitt wird die Ubertragbarkeit der im siebenten Absclinitt benutzten funktioiientheoretisclim Metliode auf allgeiiieincre Grundrififamilien hervorgehoben; fiberdies werden einige Bemerkungen uber die Approsinlation praktisch in Betraclit kommender Tiefen- verteilungen durch solche Grundrisse angeknupft, die durch das dargelegte Losungsverfahren exakt erfafjbar sind.

Im neunten Abschnitt wird der Nacliweis erbracht, dab sich fur die F o u r i e r koeffizienten der Zirkulationsverteilung irgendeiner stuck weise stetigen Tiefenverteilung bei beliebiger Ver. windung ein unendliches lineares Gleichungssysteiii ableiten lilfjt, das der Erh. Sch iii id tschen Auflosungstlieorie zuganglicli ist.

Vorbemerkung.

Inhaltsiibersicht.

Ztschr. 1. angew. 102 S c 11 m i d t , Strenge Losungen zur PratldtIscIlcn Theorir: dey pagendcn Link Math. u l l d { ~ e c h .

1. Die Pr a n d t l sche Integro-Differentialgleichuug. Die Grundlage der von L. P r a n d t 1') entwickelten Tragfliigeltheorie bildet der Ersatz einer senkrecht zur Querachse des Flugzeugs rnit der zeitlich konstanten Geschwindigkeit 1) angeblasenen Tragfllche von der Spannweite b durch eine tragende Linie, d. 11. durch ein geradlinigesl Wirbelfadenstuck von veranderlicher, in den beiden Endpunkten auf den Retrag Null absinkender Wirbelstarke, von dem ein ebenes, gemah Abb. 1 sich einseitig ins Unendlichferne erstreckendes Wirbelband abgeht. Die

t Y ,/'

Abb. I .

I b Intensitiit dieses Wirbelsystenis wird durch eine auf deni Interval1 - - ~ 5 a ~ ~ derx.Achse

definierte, den Bedingungen

. . . . . . . (111)

genugende Zirkulationsverteilung r ( a ) cliarakterisier t. Als Reprasentanten der Tiefenverteilung der Tragfllche bzw. der gegeii die Strbrnungsrichtung iin Unendlichen gemessenen Verteilung der Anstellwinkel der Nullauftriebsriclitiingen der einzelnen Fliigelschnitte sind auf den1 genannten Intervall zwei Funktionen f = 1 (a) bzw. a = a (x) vorgegeben, wahrend als einzige Profileigenschaft unter Voraussetzung eines linearen Zusammenhmgs zwischen deni Auftriebsbei- wert c, und detn Anstellwinkel a die Konstarite

in die Theorie eingeht2).

Langs der tragenden strbmungsgeschwindigkeit v

Linie wird clurcli dns Wirbelband eine gegenuber der Grund- als klein anzusehende Abwartsgeschwindigkeit rv (a) von der Grbbe

hervorgerufen, falls man sich auf solclie Zirkulationsverteilungen I' (x) beschrankt, fur die der C a u c h y sche Hauptwert des auf der rechten Seite voti (1,2) auftretenden uneigentlichen Integrals existiert und einen positiven Wert besitzt. Dies hat z u r Folge, dab die Anblase-

1) b richtung um den suf dem Intervall - 35 a s 3 variierenden induzierten Anstellwinkel a{ (2)

gesenkt wird, fur den wegen seiner Kleinheit mit praktisch ausreichender Ann%\ierung

. . . . . . . . . . . (1,N)

gesetzt werden darf. Die Verteilung des sogenannten effektiven Anstellwinkels a, (a) geht demnach aus der geometrischen Anstellwinkelverteilung a (a) durch Subtraktion der Funktion ai (x) hervor.

Nach der K u t t a - J o u k o w s k i sclien Theorie der beiderseiB unbegrenzt breiten Trag flache ergibt sich die langs der ganzen Spannweite konstante Zirkulation

. . . . . . . . . . . . ~ = 4 n a - v . s i n a 1 (1,3) wenn a den Radius desjenigen Kreises bedeutet, auf dessen Aukengebiet das Aubengebiet der Profilkontur (bei geeigneter Norniierung der Abbildungsfunktion im Unendlichfernen) umkehrbar

1) L. P r a n d t 1 : Oiittinger Nactir., math.-phys. K1 1918, S. 451. h

2) Allgemeiiier darf n';lj alu eine weseiitlich Positivc. auf dem Intervall - .~ 5 x 5 ' 2 2 vorgegcbene Funktioil

~ ' ~ ( x j aufgefeBt wcrdcri; nlsdann behnltcii siiiiitliclic folgci~deii Darlcgungen Gi i l t igkn i t , wciiii t ( x ) rlurch L (x)/u', ( x ) ersetzt wird.

103 Bond 17, Heft 2

~ ~ ~ i l 1937 S c 11 in i (1 t , Strenge Liisungen xur Praiitltlschen Theorie der trilgeririen Linie

eindeutig und konform abgebildet werden kann. konstanton Auftrieb A pro Einheit der Tragfllchenbreite vom Retrage

fiberdies liefert die ebene Theorie einen

A = Q V I’, fur den in der Praxis die Darstellung

1 2

mit Q als Luftdichte und init t als I’rofiltiefe (Maximalabstand zweier Punkte der I’rofilkontur) ublich ist. Deninach gilt

A = c, (a) a- 0 v2. t

V I‘= c, (a) - * t , 2

woraus wegen (1,3) bei Beschrankung auf kleine Anstellwinkel a

c, (a) = 8 n *- . - n *

t a , iiiitliin

(1 C, (1

d n t . ~. .=f in.-

oder

folgt. Die mit (1,31) aus (1,3) hervorgehende Reziehung

wird nunniehr in dcr Theorie der tragenden h i e zu der Forderung verallgenieinert, dak auf b b 2 - - 2 dem Interval1 - - < 2 < - die Relation

(194)

V T(r ) =.,7 - . t ( x ) .:a (r) - Q i ( x ) ) . . . . . . . . . . . . 2 a m

erfiillt seiti soll. Fiihrt nian hierin (1,31) init (lt2) ein, so erhiilt man die Tntegro-Differential- gleichung

-612

die den von I,. P r a n d t l angegebenen Zusammenliang zwischen den drei Funktionen t (x), n ( x ) und r (s) zum Ausdruck bringt. Sol1 also nach Vorgabe einer technisch brauchbaren Tiefenverteilung t ’(a) sowie einer beliehigen, yraktisch in Betracht konimenden Anstellwinkel- vertpilung a (5) die zugehorige Zirkulationsverteilung r ( z ) ermittelt werden, so ist die Funktionalgleichung (1,s) nach T (1c) aufzuloisen. Die sehr erheblicheri mathematischen Schwierigkeiten, die der Bewgltigung dieser Aufgabe entgegenstehen, liegen wesentlich in der Tatsache begriindet, dab (1,5) eine hochgradig s i n g u 1 ii r e Gleichung darstellt, die den iiblichen Methoden der liitegralgleichungstheorie keineswegs ohne meiteres zuganglich gemacht werden kann.

2. Die T re f f t z eche Formulierung als potentialtheoretische Randwertaufgabe. Zu einer ebenso eleganten wie prinzipiell bedeutsamen Formulierung der uns interessierenden Problem- stellung ist E, T r e f f t zJ) durch die Erkenntnis gelangt, dab sich die Zirkulationsverteilung I’(x) und die induzierte Abwartsgeschwindigkeit m (2) durch eine P o t e n t i a 1 f u n k t i on zur Darstellung bringen lassen. Denkt man sich niimlich die xy-Ebene (vgl. Abb. 1) langs der die tragende Linie reprasentierenden St.recke

.. - 3) E. T r c I f 1 z : Mnth. Ann. U, S . :lW;, lV21: ZAMhf 1 , S. 2llti, l!Iil. Vg l . auch .,Vortriigc aus dell1 Gebicte dcr

Hydro- nnd .4crodyunn1ik (lnrisbrnpk IY?’?)“, S. 34; Berlin 1W.1. Eine ctwas abweicheiidc Dorstellung der einschligigen Zusamiuenliiiiige habe ich im 7. Kapitel ineiner .,Aerodynalnik dcs,”ligess‘ (Berlin 13’29) gegeben.

Zlsehr. f.angew. 104 S c h m i d t , Strenge IAijsuiigrri m r l'raiidtlscheii Tlieorie der tragcnrle~i Linie Math. und &lecll.

aufgeschnitten, und kennzeichnet man (vgl. Abb. 2) den Ubergang ails jener Ebene auf das o b e r e Schlitzufer

bzw. auf das u n t e r e Schlitzufer

@,12)

kurz durch Anhangen des Index o bzw. u, so gilt

und r (Z) = 2 . [cp (x, ?I)]" = - 2 . [q (z, 9)lt' . . . . . . . . . . . (2,Sl)

wobei unter rp (x, y) eine im ganzen Schlitzgebiet einschliefilich des unendlichfernen Punkts regulare Potentialfunktion zu verstelien ist. Hierniit nimmt aber die Fordcrung (1,4) die Form

(2,3l)

mit

an, und so erweist sich die Bestininiung der bei vorgegebener Tieferiverteilung t (z) und vor. gegebener Anstellwinkelverteilung a (z) resultierenden Zirkulntionsverteilung r (x) als auf das p o t e n t i a l t h e o r e t i s c h e R a n d w e r t p r o b l e m reduzierbar, eine in der ganzen liings der Strecke (3,l) aufgcschlitzten syEbene regulare Potentialfunktion rp (z, y) zu ermitteln, die beiin Ubergang auf die Sclilitzufer (3 , l l ) und (2,12) den beiden Bedingungen (8,31) und (232) geniigt.

[& ( x , y)Jt1 = - [v (z, 9)]" . . . . . . . . . . . (232)

fu I

Abb. 3. Abb. 3.

Durch die Traxisforniation

x + i y = " . ( t + + ) mit 5 = r . e ' 3 . . . . . . . . . . (%,4) 4

wird das Definitionsgebiet der Potentialfunktion (z, y) auf das Aufiengebiet r > 1 des Ein- lieitskreises r = 1 der Ebene der koinplexen Varinblen [ = r . eig derart konforni abgebildet, daD dem o b e r c n Schlitzufer (2,l l) der o b e r e Halbkreis

0 1 6 S n , r = l . . . . . . . . . . . (2,41)

und dem u n t e r e n Schlitzufer (2,12) der u n t e r e Halbkreis

. . . . . . . . . . . --.2<650, r = l ('2,42) entspricht (vgl. Abb. 3). Da geniiifi (2,4)

wird, so ist 18ngs des Sclilitzes

zu setzen; ferner ergibt sich nach einfachcr Rechnung

so dafj (231) unter Beibelialtung der mit Berucksichtigung von (2,43) zu verstehenden Re- zeichnungen t (s) und a ( z ) in

2, t(s).a(x) . . . . . . (2951)

1

sowie (2,32) in [q (r, - 8)]1.+1= - bp ( r , S)Jr+i . . . . . . (d,52)

iibergeht; dns Argument t? bleibt dabei der Einschrankung

O S A s n . . . . . . . . . . . . . (2,53)

unterworfen. Auf diese Weise ist also unsere Aufgnbe auf das Problem zuruckgefuhrt, eirie im Aufjengebiet r > 1 des Einheitskreises r = 1 uberall regulare Potentialfunktion r/7 (r , 19) zu bestinimen, die Iangs des o b e r e n Halbkreises (2,4l) die Bedingung (2,51) und langs des 11 n t e r e n Halbkreises (d,42) die Hedingung (a,52) erfiillt.

3. Zuruckfiihrung aut das dritte Randwertproblem der Potentialtheorie. Schreibt man (232) in der Form

so mufj auch . . . . . . . . . . . . . [a ( r , a)]u == - [fp (r, ,$)If,, (371)

. . . . . . .

werden. I)a nun uberdies

. . . . . . . . . . . . . . [sin .SIu = - [sin t9l0 (3712) gilt, so lafit sich offenbar fur das zweite auf der linken Seite von (2,51) auftretende Glied das Bestehen der zu (3,l) analogen Relation

liochst eirifach dadurch erreichen, dafj die Festsetzurig

[ t (%)It4 = - [t (%)I0 . . . . . . . . . . . . . . (3,21)

getroffen, mithin die gemafi (2,43) zuniichst nur auf dem o b e r e n Halbkreis (2,U) vorgegebene Tiefenverteilung zu einer auf dem ga n z e n Einheitskreis r = 1 definierten u n g e r a d e n Funktion erweitert wird. Um alsdann auch fur die reclite Seite von (2,51) die durch

[t (4 . a ( 4 t = - [ t ( x ) a (410 ziini Ausdruck gelangende Eigenscliaft zu erzwingen, brauchen wir lediglicli

[a (S)] l t = [a (%)lo . . . . . . . . . . . . . . . ($22) zu wahlen, d. h. also die Anstellwinkelverteilung - im Gegensatz zur Tiefenverteilung - als eine ge r a d e Funktion auf den unteren Halbkreis fortzusetzen. Dies alles besag$ aber nichts anderes, als daFj die Einfulirung der J‘orschriften (3.21) und (3,22) die beiden von der ge- suchten Potentialfunktion 9 ( r , 6) zu verlangenden Forderungen (231) und (2,52) zu der e i n e n langs des g a n z e n Einheitskreises r = 1 zu erfullenden Ran’dbedingung

niit b 2 ~ = , . c o s ~ ? (-JZ< 8 5 ~ ~ ) . . . . . . . . . . . . (3,31)

zusamnienzufassen gestattet. Daniit ist jetzt das Fuiidanientalproblem der l’heorie der tragcn- den Linie auf das d r i t t e R a n d w e r t p r o b l e n i d e r P o t e n t i a l t l i e o r i e fur das Aufjen. gebiet des Einheitskreises zuruckgefuhrt.

Ztschr. I. angew. 106 S c I1 ni i tl t , Strenge Losungen zur 1'randt;sclien 'I'heorie cler trngenden Linie Math. ulId Mech.

4. Existenz einer und nur einer stetigen, in eine absolut und gleichmafiig konvergente F o u r i e r relhe entwickelbaren Zirkulationsverteilung. Sind die zur Flugelmitte x = 0 syinme- trische Tiefenverteilung t (5) und die Anstellwinkelverteilung a (x) als auf den1 Intervall

b 2 - - 2

_- <x< - s t i i c k w e i s e s t e t i g e Funktionen von x vorgegeben, so gehen sie mit der

Substitution (3,31) unter Beachtung von (3,21) und (3,22) in liings des Einlieitskreises r = 1 stuckweise stetige Funktionen von 6 iiber. Da ferner auf dem o f f e n e n Interval1

h < x < 5 stets t (2) > 0 vorausgesetzt werden dart, so stellt auch h 2

_ -

sin 6 t (4 (4,1) T ( 6 ) = . . . , . . . . . * . . . .

eine langs r = 1 stiickweise stetige, wegen (3,12) und (3,21) b e s t a n d i g p o s i t i v e Funktion von 7? dar, falls t (c) als Funktion von 6 fiir 6 = 0 und r9 =n, d. 11. also an den beiden Fliigelenden, je eine e i n f a c h e N u l l s t e l l e besitzt. U'ird uberdies qj(r, (9) als eine b e s c h r a n k t e , fur r > 1 regulare und mit b e s c h r 51 n k t e r Ableitung -; versehene Potentialfunktion voraus. gesetzt, die fiir r + l , von den Unstetigkeitsstellen der Funktionen a (z) und T(6) abge- sehen, der Randbedingung (3,3) geniigt, SO existiert nach bekannten potentialtheoretischen

Ergebnissen') stets e i n e u n d n u r e i r ie derartige Funktion, und es konvergiert -- fur r + 1 auf jedem von Unstetigkeiten der Funktionen a (x) und T (8) frcien Rogen des Einheits- kreises g 1 e i c h rn ii ti i g. Fassen wir nun die somit l h g s r = 1 tiberall beschrankte und, yon den Unstetigkeitsstellen der Funktionen a (c) urid T (6) nidglicherweise abgesehen, stetige

ay a

397 a r

Funktion [a;-] av I als Vorgabe ') des z w c i t c n Randwertproblcms fur das Auhengebiet des r+ 1

Einheitskreises r = 1 auf, so erscheint die Funktion q~ ( r , 8) als Ldsung d i e s e s Randwert- problems in der Form des logarithmisclien Potentials einer einfachen Belegung, deren Dichte ,u (9) unbedingt integrierbar und, mdglicherweise wiederum von den Unstetigkeitsstellen der Funktionen a (2) und T (9) abgesehen, langs 1' = 1 stetig ist : die L 6 s u n g (r, 9) selbst ist langs r = 1 uberall s t e t ige). Damit folgt aber aus unserer Rsndbedingung (3,3) die stuckweise Stetig

keit von [a--] und damit wiederum die Darstellbarkeit der Funktion 'p (r, 6) als Potential einer einfachen Belegung mit der jetzt als lsngs des ganzen Einheitskreises s t u c k w e i s e s t e t i g ' ) erkannten Dichte p (a). Demnach gilt mit beliebig kleineni 1 > O und n i t I p (a) I 5 M gleichmatiig in 6 auf dein Interval1 - n 5 8 I n die Abschatzung8)

ap7 r+l

I [p (r, 6 + h)lr+l- [CP (r, if)lr+l I < A (;I). I h I L , durcli die schliefilicli die Entwickelbarkeit der stetigen Funktion [q (t-, 8)]r+1 in eine auf dein Interval1 - az 5 i). 5 n absolut und gleichm8tiig konvergente F o u r i e r reihe sichergestellt wirde). W e g e n (2,21) i s t d a h e r f u r a l l e d e n g e n a n i i t e n B e d i n g u n g e n g e n i i g e n - d e n T i e f e n v e r t c i l u n g e i i t ( z ) u n d A n s t e l l w i n k e l v e r t e i l u n g e n a ( z ) d i e E x i s t e n z e i n e r e i n z i g e n Z i r k u l a t i o n s v e r t e i l u n g l'(2) b e w i e s e n , d i e a u f i l i r e m g a n z e n D e f i n i t i o n s i n t e r v a l l - - r S x s x s t e t i g i s t , u n d d i e sic11 a l s F u n k t i o n v o n to i n e i n e s b s o l u t u n d g l c i c h m a b i g k o n v e r g c n t e F o u r i e r r e i h e e n t w i c k e l n 11Fjt.

5. Die F o u r i e r koeffizienten der Zirkulationsverteilung. Da die durch (3,3) eindeutig festgelegte, fur r > 1 regiilare Potentialfunktion cr (r, 8) eine u n g e r a d e Funktion von 6 sein muti, so kann sie in eine fiir r > 1 absolut und gleichmiitiig konvergente Reihe von der Form

b b 2 -

4) VgI. L. 1, i c 11 t e II s t e i 11: Neucre Eiitaieklung der Potentialtheoric. Kciiifomie Abbildiing. Eoc. d. math.

5) Die Erfiilluiig der Bedingung [ [$]r+ld4 = U ist dahci dureh (3.11) gewiihrleislet.

U) Vgl. L. L i c h t c i i s t e i n : 1. c. Nr.21 , S. W?. 7) Wird T (") alu eine s t e t i g e Fiinkt.ion von 3 voraiisgcsctzt, so lolgt diescs Ergebiiis ciiifuchcr nus d e n Utii..

8 ) ygi. L. I> i c 11 1 c II Y t e i n: 1. c. Nr. C, S. 201, insbesundcrr FiiUiiote 68) .

8 ) \gl. hierzii hiiisichtlich cler g l c i c h ~ n i i U i g c i i Konvcrgeriz z.11. R. R o g o s i i i s k i : 1 ~ ' o i i r i e r s c l i e llcilieii (Qaiiiiiiliiiig Giischeii Bd. ill"!), S. 59; hinsiclitlich der n b s o 1 u t c I I Koiivergcnz vgl. S. Ile r u s t c i 1 1 : C. R. 158. S . 1661. 1914.

Wiss. 11. 3, I. Artikel II C3, Nr. 58, S. 2791280. ¶I

- ,7

lcgiiiigcn von T. C a r I c in a 1 1 , Diss. llpsnln 1916 (5 3).

1 O i

Da andererseits die F o u r i e r reihe des Randwerts [ q ~ (T, .89)],.+1 konver-

nand 17. Heft 2 ~ ~ ~ i l 1~3; s C, 11 in i d t , Strenge Losungen zur Prandtlschen Theorie der tragenden Linie

entwickelt werden. giert, so darf nrif Grund des A b e l schen Grenzwertsatzes

m

. . . . . . . . . . . . . . [cp (r, = A, sin (v 6) . (5,111

geschrieben werden, und die in (5,l) auftretenden Koeffizienten A, sind daher als die F o u r i e r k o e f f i z i e n t e n

7

der Funktion [cp (r, 9)]r+1 anzusprechen.

bei Beaclitung von (231) durch die Beziehung Der der Zirkulationsverteilung I ' (x ) zugeordnete Gesaintauftrieb A des Tragflugels ist

b / 2 IT

- 6 1 2 U A = v . r ( x ) d x = e v b e [p (r, 9)]r+l. sin 6 d B

oder geiiiiifi (5,12) durch

e v b n 2 A = - - - A , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . @,2)

gegeben, uiid wenn man den in der Technik ubliclien Ansntz

1 (5,211 A =ca .- e v 2 . F . . . . . . . . . . . . . . . . . .

henutzt, i n dem P den Flacheninhalt der griifiten Flugelprojektion mifit, so gilt

- bn c ~ = ; T ~ * A, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5,22).

Ebenso tindet man fur das Rollmoment (Moment der Auftriebsverteilung um die LLngsachse des Flugzeugs) MQ wegen

die einfaclie Relation

(593) p v b2n ill,=- -s-- - A 2 , . . . . . . . . . . . . . . . . . .

310 = c,,Q- 3 e V' . F . b

C,() = i-& . A , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (632)

A = , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( Q 3 )

die mit dem Ansatz 1 . . . . . . . . . . . . . . . . (5,311

ZU n 11

fulirt, unter b2

das Seitenverlialtnis der TragHiichc vcrstandcn.

6. Der elliptische Fliigel. Die tatsachliche H e r s t e 11 u n g d e r L 6 s u n g Q) ( r , 6) des ICandwertproblems (33) gestaltet sich hesonders hequem fur den e 11 i p t i s c 11 e n Fliigel, bei dcni im Einklang mit (3,21)

___. .

t (2) = t o . 1/1 -Er= t o . sin 6 . . . . . . . . . . . . . (671)

zu setzen ist. Alsdann kann nanilich (3,3) mit Benutzung der Abktinung 4 b . d m k = ~. __

t o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6,ll)

Ztschr. f.angew. S c 11 m i tl t , Strenge 1,iisuligen zur I'mii~Itlsr!~cn Tlieorie tler tragenden Linie Math. und Me&. 101)

auf die einfache Form

gebracht werden, und da rnit cp (r, 6) auch r . c y eine im Unendlichfernen regullire Potential- 3r funktion ist, so liiuft die Randwertaufgabe (6,12) auf ein D i r i c h 1 e t sclies Problem fiir das Aufjengebiet des Einheitskreises hinaus, das init Hilfe des P o i s s o n schen Integrals

- -A

durch

(6,211 . . . . . . . . . . . . . . . 1 397 q) (r, 8) - -. r = Q (r , S) k f i r

geltist wird lo). Nun hat die gewblinliche homogene L)itferentialgleicliunE:

als partikullires Integral die Funktion zd (r) = rlc,

so dab, wenn in (6.21) als Parameter aufgefabt wird, mit Anwendung der Methode der Variation der Konstanten als einzige der Differentialgleichung (6,21) genugende, im Unendlich- fernen regulare Potentialfunktion q (r, 8) der Ausdruck

resultiert. Hierinit ist deninacli die Losung des Problems der tragenden Linie fur den beliebig verwundenen elliptischen Flihgel in g e s c 11 1 o s s e n e r Foriii nufgefunden.

b b 1st die Anstellwinkelverteilung a (2) als eine langs der ganzen Spannweite - 3 5 x 5 5 ga n z - r a t i o n a1 e Funktion von x vorgegeben, gilt also

so ist die Bedingung (3,22) automatisch erfullt, und die Auswertung voii (6,2) Ilifit sicli mit Benutzung cler bekannten trigonometrischen Identitiiten

und n - 1

l' = u

auf die mit Hilfe des Residuensatzes leiclit zu berechnenden Integrale

-37

und (n 2 1)

sin [(n -t 1) 81 .p -1- 1

sin [(n - 1) 811 rll - 1 __ -7 ____ ~ -_.___

(r2 - 1) . sin y* . cos (n yi") 1 + r2 - 2 r . cos (8 - y")

- z --

l o ) Vgl. hierzu H. S c h m i d t : Math. hnnnlen 112, S . 322, 193(i, w o auC analogeni Wege die Losungeines statisehen Problems fur die gelenkig gestiitzte Kreisplatte auf das entsprechende Problem fur die eingespannrc Kreisplatte zn- riickge f iihr t wi rd.

109 Rand l i . Heft 2 ~ ~ ~ i l 1 ~ 3 7 s c 11 m i (1 t , Strenge Liisungen m r Prantltisclirn Theorie der trngenrlen Linie

reduzieren. Fiir den u n v e r w u n d e n e n Fliigel . . . . . . . . . . . . . . . . . a (32) = a , (674)

wird auf cliese Weise v b sil l i) k r ' Q ( r , 6) = - a,. -- -~ . . . . . . . . . . . . . (6,41)

womit (G,3) sofort 7) B sin ,O.

'I' (T , A) = ~ - -- * . - - . . . . . . . . k + 1 " r

ergibt, wiihrend iiian bei der l i n e a r e n V e r w i n d u n g

zuniiclist

(6,42)

v b' sin (26) 4 k r z

Q ( r , H ) = -- - c(, . -- ---- . . . . . . . . . . . . (G,51) und damit dann

erliiilt. Auch fur s t u c k w e i s e g a n z - r a t i o n a 1 e Anstellwinkelverteilungen a (z) kiinnen unter

der Voraussetzung r a t i o n a 1 e r Werte der Konstanten k geschlossene, durcli elementare Funktionen ausgedruckte L6sungen erhalten werden. Als Beispiel fiihre ich hier einige von Herrn K. B a u s c h DVL in einer noch nicht ver6ffentlicliten Arbeit erhaltene Resultate an, die sich auf eineti an e i n e m Ende urn den festen Winkel gem%& Abb. 4 verwundenen

2

Abb. 4.

elliptischen Fliigel beziehen, der uberdies zur Erzielung eines verschwindenden Gesamhuf- triebs A kings der ganzen Spannweite um den festen Winkel a, gedreht ist. Mit

y, = arc cos p) . . . . . . . . . . ergibt sich dabei die vom Seitenverhaltnis A unabhiingige (!I Relation

die fiir w a n d e d e Sprungstelle in Abb. 5 dargestellt ist. konstantc, durcli technische Gesichtspunkte bedingte Faktoren fur

Abb. G veranschaulicht bis auf

2 ba - ~ = R A u ' ~ = ~ und ~ -0 ,4 . . . . . . . . (6,62)

die der I'-Vertcilung proportionale GrBhe c, (z) t (x), die c,-Verteilung, die q-Verteilung, die c,i-Verteilung und die dem (Irtlich induzierten Widerstand proportionale Funktion c W i (2). t (z), wallrend in Abb. 7 der R.ollniomentenbeiwert c, bei beliebigern Seitenverhaltnis rl sowie in Abb. 8 bzw. Abb. 9 die Heiwerte ( Z , , ~ ) F ~ = I I bxw. (c, ,)F,=o des bei verscliwindendem Ge. snmtauftrieb infolge der Verwindung induzierten Gesamtwiderstands bzw. des zugleich auf- tretenden Wendemoments fur k = 3 zur Wiedergabe gelangen.

Fiir b e 1 i e b i g e Anstellwinkelverteilungen a (z) bei b e l i e b i g em k fflhrt die fur r > 1 nbsolut und gleichrnlkig konvergente Reihenentwicklung

m

unter Beachtung von (332) zu m

A,, sin (v6) . . . . . . . . . . . . (6,71)

Zlecbr. f . angew. S c h ni i d t , Strenge T&ungrn zttr Prandtlsclicn Tli~oric tlcr tragenden Linie Math. und Mech. I10

mit

- sill (v y~*) (2 y~*, ((i,72) 0

so daP gemlfi (6,3)

f/J (Y, 6) = . . . . . . . . . . (G,73) I’ = 1

wird.

Abti. 5.

Ahb. 7.

Abb. S.

Abb. 9. Abb. 6.

7. Eine spezielle Klasse nicht-elliptischer Tiefenverteilungen. Um nunmelir zu n i c h t - e 11 i p t i s c h e n , zur Flilgelmitte symmetrischen Tiefenverteilungen iiberzugehen, wiihlen wir im Einklang mit (3,21) zuniichst den Ansatz

t (5) = t o . sin 6 - (1 + z, cos (2 6)). . . . . . . . (7,l)

mit It,[ < 1, fur den wir bei beliebiger Verwindung a (2) das durcli (3,3) gekeniizeichnete Randwertproblem in g e s c h l o s s e n e r F o r m auf einem Wege lbsen wollen, der auch unter Zugrundelegung allgerneinerer Klassen von Tiefenverteilungen (vgl. Abschnitt 8) ohne weiteres an wendbar bleibt.

11 1 Band 17. Heft '2

~ ~ ~ i l 193; S c I1 m i d t , Strenge fA6isungen zur Prnndtlschen Theorie der tragenden Linie

Setzen wir zur Bbkurzung g (8) = v b . sin 9 . a (x),

so geht (3,3) mit (7,l) unter Beibehaltung von (6 , l l ) in

. . . . . . . . . . . (7,l l)

iiber. Mit Benutzung der komplexen Variablen 2= r . ei.9

fiiliren wir sodann durch

diejenige bis auf die willkurlich wghlbare, hier der Einfachheit halber als Null angenommene (imagingre) Konstante F (cd) eindeutig festgelegte, im Aufiengebiet I zI = r > 1 des Einlieits- kreises r = 1 tiberall regulgre analytische Funktion von z ein, deren Realteil niit der gesuchten Potentialfunktion q (r, 8) ubereinstirnmt. Dann wird wegen

m

und

. . . (7,31)

. . . (7932)

die linke Seite der G1. (7,2) der lgngs r = 1 angenommene Randwert des Realteils 8 : f (z ) } der Funktion

. . . . . . . (7,331

mit der Potenzreihenentwicklung

. . . . f ( ~ ) = ~ ~ ~ - A , . z + ~ . A , + i . i 7

2k k

i 7 2 .k

Demnacli stellt

(7,341 f ( ~ ) - . A , - 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e i n e a u c h i m U n e n d l i c h f e r n e n r e g u l a r e F u n k t i o n von z dar, fur die

i 7 i t2 [ 2 k I.+-- k f ( z ) - - I * A , . z - - a A, . . . . . . . . . . . . ( 7 3 )

gilt. Addiert man also auf beiden Seiten der Beziehung (73) die Funktion

so erhalt man als Randbadingung fur die fur I z I > 1 i i b e r a l l r e g u 1 % r e Funktion (7,34) die Forderung

1 iz, . - T 2

- fi - A, - sin 6 + - :1+ 7? - cos (2 8)) - 9 or) , [. { f (2) - 2% A i .

aus der bei Beachtung von (7;58) mit Benutzung des Po i s sonschen Integrals sofort

(7,361 i t i7 1 i

f ( z ) -5 . A , . z=---z . A + 2 . A , . -+x . G ( z ) . . . . . . k * 2k 2 mit

z + eiq* Fw g (v") (1 + 7 , * cos (2 YJ")] dy". . . . --rr

. . . (7,4)

R

Ztechr. Langew. 112 S c 11 m i d,t , Strenge Losungen zur Prandtlschen 'I'heorie der tragenden L i n k Math. und Mech.

folgt. Fiiliren wir (7,33) in (7,36) ein, so ergibt sicli far die Funktion F (z) die lineare Differen- tialgleichung

cleren der Bedingung

geniigendes Integral F(.o) = o . . . . . . . . (7,421

niit 1

7 2 p + V - l = G 3 > I . . . . . . . . . . . . . (7,511 a"=-.

und init k * (L? > o - - k

y - - - . . . . . . . . . * 7 2 . 1 - 7'' (a' - 1) (7,52)

lautet. Diese Funktion F ( z ) iiiufi aber im allgemeinen (d. 11. fiir i r g e n d w i e gewiililte Werte von A, und A,) in den beiden dem A u b e n gebiet I z 1 > 1 des Einheitskreises angehorenden Stellen

a , = i a , z ,=- ia . . . . . . . . . . . . (7,531 S i n g u 1 a r i t ii t e n aufweisen, deren Charakter durch die in (7,52) verzeichnete Zalil x bedingt wird. Deninach sind die Konstanten A, und A , durcli die Forderung festzulegen, dab sich die Funktion E' (z ) aucli in den Punkten z = z, und z = z, ilires Definitionsgebiets r e g u 1 ii r verhnlten soll.

Indem wir zuniiclist die Stelle z = i (1 ins Auge fassen, sclireiben wir (7,5) in der Form

woraus sofort crsichtlicli ist, dafi n o t w e n d i g m

. . (7,6)

sein muP. in z: i u, da fiir cine passend gewlhlte Uiiigebung jener Stelle

Uiese Hedingung ist aber aucli 11 i 11 r e i c 11 en d fur reguliires VeIlialten von F ( z )

gesetzt werden darf, mithin dort die regulgre Entwicklung

gilt. Nach entsprccliendem Vorgehen bei Vertauscliung von i mit - i bekoninit man geingb (7,G) die beiden linearen Gleichungen

B a ~ p ~ ~ E$t ' S c 11 n-1 i d t , Strenge Losungen zur Prmdtlschen Theorie der tragenden Linie 113

(7,G 1 )

und m

da

wird. Mit den als Lllsung der GI. (7,61) und (7,62) ermittelten Konstanten A, und A, wird

durch (7,5) die der Tiefenverteilung (7,l) bei beliebiger Verwindung a (x) zugeordnete Funktion F(z ) und damit gemiifj (7,3) auch die zugehllrige Potentialfunktion y (r, 6) in ge s c h 1 o s s e n e r F o r m dargestellt. Die Auswertung einschliigiger praktisch interessierender Spezialfiille hat Herr J. G e h l e n in Angriff genommen.

Wird die in (7,4) verzeichnete Funktion G ( z ) gemafj

in eine fur J z J > 1 absolut und gleichniiifjig konvergente Potenzreihe entwickelt, so liefert die Differentialgleichung (7,41) nach Eintragung der in (7,3) angegebenen Entwicklung von F (2) durcli Koeffizientenvergleich das unendliche Gleichungssystem

. . . (7,71) t 32 4 7 C ( l + k - - $ ) . A , + + . A , = c , , (1 + +) . A * +

_____. ' AY-,+( l+; )*AY+-- - - A V t 2 = ~ ,

. A , = ;- , ( I f - 2) T k (v + 2) 2, C

(v=S,4 ,5 , . .. , ;) 2 v 2 v

das als einzige mit konvergenter Quadratsumme versehene Lllsung die Koeffizienten A, von F (z) ergibt. HierUber sowie tiber die explizite Bereclinung der A, aus (7,71) nach der von E r h. S c h m i d t 11) angegebenen, auf dem Orthogonalisierungsprbze6 berubenden Methode wird Herr H. S c h u b e r t demniichst berichten.

8. Allgemeinere GrundriDfamilien. Die obertragung der im vorhergehenden Abschnitt dargelegten Losungsmethode auf den Fall von solchen Tiefenverteilurigen t (z), die in Ver- allgemeinerung von (7,l) durch den der Bedingung (3,21) gentigenden Ansatz

n

v = 1 t ( x ) = to . sin A . (I + 2 t2 , + cos (2 v IY)} . . . . . , . . (891)

mit rc 2 2 erfa6t werden ktJnnen12), bereitet selbstverstUndlic1i keinerlei p r i n z i p i e 11 e Schwierigkeiten, da ja in -4nalogie zu (7,32)

n n 1 1

1 + 2 T p y . cos (2 v 8) = [ 1 + j- .L t 2 Y . (22. + zyY)Ir+, v = 1 v = 1

gilt. ______

11) Erh. S c h m i d t : Rend. Palermo?6. 5. 53, 19UB. Vgl. liierzu E. H e l l i n g e r uud 0. T o e p l i t z : Integral- gleichungen und Gleichungen mit unendlich vieleii Unbekannten. Enc. d. iuatb. Wiss. 11, 3, 11, Artikel 11 C 15. Nr. l ! ) .

11

I + 2 l ~ y . C O S ( 2 v * )

1 + 2 r 2 p . c o s ( 2 p 3 )

12) Noch allgenieiiier dnrf. wic man leicht sieht. t (x )=to . s in* . - genommeii wcrden. * . p= 1

n*

Ztrhr. f. angew. 114 S c h m i d t , Strenge Lbungen zur Prandtlschen Theorie der txagenden Linie Math. und Mech.

Um jedoch die zur Integration der alsdann an Stelle von (7,41) auftretenden linearen Differentialgleichung benstigten Integrale

hequem auswerten zu kGnnen, sind der Anwendung von (8,l) gewisse p r a k t i s c h e Grenzen gesetzt Is). Nehmen wir beispielsweise an, dab man einen Rechteckfliigel durch Tiefen- verteilungen von der Form (8,l) derart zu approximieren wiinsclit, dab im Einklang mit Ge- pflogenheiten der Flugtechnik und neuerdings auch bei Windkanalvereuchen zwecks Ver- meidung 6rtlicher Ablssungsgefahr eine geringfugige Abrundung der beiden tiuberen Ecken resultiert. Auf Grund gelaufiger trigonometrischer Identitaten kann nun (8,l) durch

oder wegen

auch durch

2 2 b cos 8 = -= 6

?I

t (2) = t o . 1K-T.C z ; v . p y . . . . . . . . . . Y = O

ersetzt werden, so dak t ( z ) eine lineare Superposition von Funktionen der Form

darstellt. Diese Funktionen sind fur .n = 1 bis n = 5 in Abb. 10 uber dem Interval1 0 5 6 5 1 graphisch wiedergegeben; man erliiilt so eine niitzliche Handhabe fur ein zweckmafiiges Vor- gehen bei der Durchfuhrung der Aufgabe, eine bcreits erreichte Approximation einer an- gestrebten UmriPform durch Hinzufugung eines neuen Summanden zu verbegsern. Man wird sich dabei aber aus den zuvor erwahnten Grunden die Einschrhkung aufzuerlegen liaben, dab die Nullstellen des in (8,2) auftretenden Polynoms in 6 mit mehr oder minder grofiem Rechenaufwand e x p l i z i t zu ermitteln sein miissen; ein Beispiel, fur das dies zutrifft, ist in Abb. 11 unter der Annahme b = 2 veranschaulicht.

Abb. IU. Abb. 11.

13) Von dieser Schwierigkeit uuberiihrt bleibt die Auflusbnrkeit des jetzt. an Stelle von (7.71) sich ergebenden C.lciehiiugssyste~ns nacli der E r h. Sc h m i d tscheri Methode.

116

Sehr vie1 zweckm8higer erscheint es daher, zum Aufbau von Tiefenverteilungen t (x), auf die unsere Methode iibertragbar ist, neben der in (8,2) ausschlieblich benutzten additiven Verknupfung auch m u 1 t i p 1 i k a t i v e Bildungen lieranzuziehen. So hat Herr M. Z o 11 einen ltechteckfliigel durcli den Ansatz

nand 17, Heft2 ~ ~ , . i l 3937 S c 11 m i d t , Streiigc Liisungun zur Praiidtlsclien Theorie der tragenden Linie

t (5) = t o . v m * (1 + 0,333 t*)*(l+ 0,2 E ' ) * ( l + 0,835 En) - (1 + 1,11 lze) so weit approximieren k(innen, dab lilngs zirka der Wurzeltiefe to den Betrag 0,005 - t, nicht Gberschreiten (vgl. Abb. 12).

der Spannweite die Abweichungen von

9. Beliebige stuckweise stetige Tiefenverteilungen. Schreiben wir (3,3) mit Benutzung von (4,1), (G,11) und (7 , l l ) in der Forni

und fuhren neben (7,3) durch 7l

-71

diejenige bis auf eine imaginare (hier gleicli Null gesetzte) Konstnnte festgelegte, fur I Q I > 1 uberall regulare Funktion

H ( z ) = U ( r , . S ) + i * V ( r , 6 ) . . . . . . . . . . (9,W

[U(r,&)]r+~= T(6) . . . . . . . . . . . (9913) der komplexen Veranderlichen z = r ei3 ein, deren Realteil U (r, 8) der Randbedingung

genugt, so kann (9,l) nach Addition von k t o . [V (r, @).y (r, @)]r+l auf beiden Seiteii wegen

= [R { z . F' (2) - k to. H ( 2 ) .F (z ) ) ] , p I +*

[R { Q * F ' (2) - k ~ , . H ( Q ) . F ( z ) } ] I z 1 +I = - 9 (6) + k t o - [ V(r, 19.1. YJ ( r , ? % ] r + ~ . durch

(0,3)

ersetzt werden, woraus aber sofort die lineare Differentialgleichung

2 . F' (2) - k to . H (2) . F (2 ) = G* (2 ) . . . . . . . . (!),3) mi t

7

-71 --II

Ztschr. f. angew. 116

folgt. Da nun T(,19) wegen (3,21) eine g e r a d e Funktion von A ist, so wird gemilb (9,ll)

S c 11 m i d t , Strenge Liisungen zur Prandtlsclien Theorie der tragenden Link Math. und Mech.

. . . . . . . (974)

mit -z

2 y - n O n [ T (y") d y*,

ferner gilt wegen ( 7 3 , d. 11.

T ( ? / I * ) cos (Y 111") d y*; ( 7 1 2 1) . . . . (9,41) a - - ' a = - - . ( I 0

iy,

[ y ( r , t!!)]r + I = 2 A,, . cos (Y vY), . . . . . . . . . . . . . . . (9,511

F(B) ='p ( r , , ~ ) + i . y' ( r , A)= . . . . . . . . . (9,5) v= 1

die absolut und gleichm%big") konvergente Entwicklung

r = l

mit der man unter Beachtung von

[ V ( r , t9)]r+1=-[V(r,IY)]?.+1 sowie von

gemlb (0,31) die Beziehung 9 (- tY) = - g (A)

mit 7

9 (?/I*) . sin (A . I / ] * ) d W* . . . . . . . . . . . . (9,61)

und

erlialt. Tragt man die Entwicklungen (9,5), (9,4) und (9,6) in (9,3) ein, so ergibt sich durch

Vergleich der Koeffizienten von 2 ein unendliches lineares Gleichungssystem fiir die Unbe- kannten A,, , das den folgenden Bedingungen geiiiigt :

1

1. Fiir die gesuchte L6sung A,r ist eine konvergente Quadratsumme zu fordern; 3. in der Koeffizientenmatrix sind die Elemente jeder Zeile reell und besitzen eine

fjberdies hat Herr H. S c h u b e r t ini Zusainmenhsng mit seinen im vorliergehenden Abschnitt erwlhnten Untersuchungen gezeigt, da6 auch

3. je endlich viele Zeilen der Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems linear

Damit ist dann das resultierende Gleichungssystem als ein solches vom E r h , S c h m i d t schen Typus erkannt, fiir das eine vollstiindige Aufl6sungstheorie fertig vorliegt

Mit aufrichtiger Freude hebe ich am SchluP dieser Arbeit hervor, dab mir die M6glich- keit zu einer 'eingehenden Besch-aftigung mit den hier beliandclteti Fragen durch die Deutsche Versuchsnnstalt fur Luftfahrt in Berlin-Adlershof geboten wurdc. 656

konvergente Quadratsumme.

voneinander unabhlngig sind.

l a ) . -

~

1') Vgl. hierzu S. B e r 11s t e i n : C. R. 158, S. ItiG1, 1114.

16) Vgl. hierzii wicder E. H e l l i n g e r iind 0. T o e p l i t a , Iiitcgralgleichuiigcri und Gleichungen niit unendlicli- viclen Unheknrinten. Eiic. d. math. Wiss. 11, 8, TI, Arlikel 11 C 13, Nr. 19.

10) Auf die praktischen Auswirkunyeu dieser Tatsnchc wird Herr H. S c h u b e r t zuriickkommeu.